CÁLCULO I • TEORÍACiencias Exactas y Naturales

Bibliografía recomendada por la cátedra: Cálculo diferencial e integral (Ricardo J. Noriega); Calculus (TomM. Apostol); Cálculo I (Serge Lang); Curso de análisis Vol. 1 (E. L. Lima Proyecto Euclides IMPA)

Axiomas para los números reales

Se puededemostrar que los siguientes axiomasdeterminan una única estructura para el conjunto de los núme -- ros reales (cuya notación es ℝ)Utilizamos para ello la notación (ℝ ,+ ,⋅,<)→ℝ

• ℝ esun conjunto en el queestán definidos 0 y 1, y 1≠ 0• Suma : dados a ,b ∈ ℝ ⇒ a+b ∈ ℝ• Multiplicación: dados a ,b ∈ℝ ⇒ a⋅b ∈ ℝ• Relación de orden: dados a , b ∈ ℝ ∧ a≠ b ⇒ a<b ∨ b<a

Axiomas

Para a , b , c ∈ ℝ valen los siguientes axiomas :

SUMA PRODUCTO

♦ S1 (asociatividad) (a+b)+c= a+(b+c) ♦ P1 (asociatividad) (a⋅b)⋅c= a⋅(b⋅c)

♦ S2 (conmutatividad) a+b= b+a ♦ P2 (conmutatividad ) a⋅b= b⋅a

♦ S3 (elemento neutro) a+0= a= 0+a ♦ P3 (elemento neutro) a⋅1= a= 1⋅a

♦ S4 ∃ a / a+a= 0= a+a y a=−a ♦ P4 ∃ a ´ / a ´⋅a= 1= a⋅a ´ y a ´= a−1= 1/a

♦ Distributividad a⋅(b+c)= a⋅b + a⋅c

S4 define al elemento opuesto, y P4 define al elemento inverso

Observaciones: I) Una estructura que satisface los axiomas de suma, producto y distributividad se llama cuerpo.II) Si además verifica los axiomas de orden, es un cuerpo ordenado.III) ℚ es un cuerpo ordenado.

Propiedades

1 ) El opuesto y el inversoson únicos

Demostración de unicidad delelemento opuesto : asumimosque a y a son opuestos de aa =

(1)a+0 =

(2)a+(a+ a) =

(3)(a+a)+ a =

(4)0+ a= a

(1) por el axioma deelemento neutro (S3) (3) porel axioma deasociatividad (S1)

(2) por elaxioma deelemento opuesto (S4) (4) por elaxioma deelemento neutro (S3)

• Demostrar la unicidaddel elemento inverso...

I

2) Cualquiera sea a , a⋅0= 0, además a⋅b= 0 ⇔ a= 0 ∨ b= 0

Demostración:(1) Como 0 es neutro 0= 0+0 luego a⋅0= a⋅(0+0)= a⋅0+a⋅0 necesariamente a⋅0= 0

1 ° demostraremosque a= 0 ∨ b= 0 ⇒ a⋅b= 0a= 0 ⇒ a⋅b= 0⋅b= 0 por (1)

2° demostraremos que a⋅b= 0 ⇒ a= 0 ∨ b= 0

a⋅b= 0 ⇒ a= 0 ∨ a≠ 0• a= 0 ⇒ 0⋅b= 0 por (1) • a≠ 0 ⇒ ∃ a−1 ⇒ a−1⋅a⏟

= 1

⋅b= a−1⋅0 ⇒ 1⋅b= 0 ⇒ b= 0

3 ) a<b ∧ c<d ⇒ a+c < b+d 4 ) a⋅(−b)=−(a⋅b)=−a⋅b

5 ) a<b ∧ c>0 ⇒ a⋅c < b⋅c 6 ) a≠ 0 ⇒ a2>0 en particular 1= 12

>0

Demostración de la propiedad 6 : a≠ 0 ⇒ a>0 ∨ a<0 a<0 ⇒ −a>0 ⇒ a2=−a⋅(−a)>0

a>0 ⇒ a2= a⋅a>0

Orden

• o1 a<b ∧ b<c ⇒ a<c (transitividad )

• o2 Sólo vale una de las siguientes: a= b ∨ a<b ∨ b<a ( tricotomía)• o3 a<b ⇒ a+c < b+c (consistencia de la suma)• o4 a<b ∧ c>0 ⇒ a⋅c < b⋅c (consistencia del producto)

El orden parcial (≤)

Para a ,b ∈ ℝ se define a≤ b si a<b o a= b Vale quees transitivoy consistente respecto de la suma ydelproducto. Ademássi a ,b ∈ ℝ entonces a≤ b ∨ b≤ a

a≤ b ∧ b≤ a ⇒ a= b (antisimetría )

Distancia y valor absoluto

d (a ,0)= a > 0

d (a ,0)= a < 0 ⇒ −a>0

Definición de valor absoluto

d (a ,0)= ∣a ∣= { a si a≥ 0−a si a< 0

también es válido { a si a> 0−a si a≤ 0

pero la primera forma es más usual.

Ejemplo:

∣4−2 x3 ∣= 8

4−2 x3

= 8 ∨4−2 x

3=−8 ⇒ 4−2 x= 24 ∨ 4−2 x=−24 ⇒ 4−24= 2 x ∨

∨ 4+24= 2 x ⇒ −20= 2 x ∨ 28= 2 x ⇒ x=−10 ∨ x= 14

II

Observaciones : ∣a ∣≥ 0 ∀ a ∈ ℝ ej. : ∣x−1∣=−4 x ∈ ℝ

• Para a ,b ∈ ℝ tenemosque d (a ,b)=∣a−b∣=∣b−a ∣ ej. : d (5,3)= ∣5−3∣= 2 o ∣3−5∣=∣−2∣= 2

Observaciones :1) ∣a ∣=∣−a ∣2 ) r> 0 • { x ∈ ℝ : ∣x∣= r }= {−r ; r }

•{ x ∈ ℝ : ∣x∣< r }= { x ∈ℝ : x≥ 0 ∧ ∣x∣< r } ∪ { x ∈ ℝ : x< 0 ∧∣x ∣< r }== { x ∈ℝ : −r<x<r }=(−r ; r)

Demostración ∣x ∣< r ⇔ −r< x<r

1 ° ∣x ∣< r ⇒ −r< x<r • x ≥ 0 ⇒ ∣x ∣= x por definición y como ∣x∣< r entonces x< r ademásr>0 ⇒ −r< 0 entonces −r<0≤ x<r • x<0 ⇒ ∣x ∣=−x<r por hipótesis , pero r>0 ⇒ −r<0entonces −r< x<0<r

2° −r< x<r ⇒ ∣x ∣< r • x≥ 0 ⇒ ∣x∣= x< r , por hipótesis • x< 0 ⇒ ∣x ∣=− x< r ⇒ ∣x ∣< r

• { x ∈ ℝ : ∣x∣> r}= { x ∈ ℝ : x≥ 0 ∧∣x∣> r } ∪ { x ∈ ℝ : x< 0 ∧∣x∣> r }= { x ∈ ℝ : x> r ∨ x<−r }• { x ∈ ℝ : ∣x∣≤ r }= { x ∈ ℝ : −r≤ x ≤ r }• { x ∈ ℝ : ∣x∣≥ r }= { x ∈ ℝ : x≥ r ∨ x≤ −r }

3 ) ∣a⋅b∣= ∣a∣⋅∣b∣ en particular ∣a2∣=∣a∣2= a2 demostración : por un lado ∣a2∣=∣a⋅a∣=∣a∣⋅∣a∣= ∣a∣

2por

otro lado a≥ 0 ⇒ ∣a∣= a ∣a∣⋅∣a∣= a⋅a= a2 ; a< 0 ⇒ ∣a∣=−a ∣a∣⋅∣a∣= (−a)⋅(−a )= (−a)2= a2

4) −∣a∣≤ a ≤∣a∣∀a ∈ ℝ demostración : a≥ 0 ⇒ ∣a∣= a , luego a≤ ∣a∣ y , como por otrolado ∣a∣> 0,entonces −∣a∣< 0 . Entonces −∣a∣<0≤ a≤∣a∣⇒ −∣a∣≤ a≤ ∣a∣ ; a< 0 ⇒ ∣a∣=−a ⇒ −∣a∣= a y así−∣a∣≤ a , entonces −∣a∣≤ a< 0≤ ∣a∣⇒ −∣a∣≤ a≤ ∣a∣

5 ) ∣a+b∣≤ ∣a∣+∣b∣∀a ,b ∈ ℝ (desigualdad triangular ódesigualdad de Minkowski)demostración : por 4) −∣a∣≤ a≤ ∣a∣ ∧ −∣b∣≤ b≤ ∣b∣ sisumamos ambas expresiones previas miembroamiembro tenemos: −∣a∣−∣b∣≤ a+b≤ ∣a∣+∣b∣ pero ∣a∣+∣b∣≥ 0 entonces , recordando r> 0 ⇒ −r≤ x≤ r ⇒⇒ ∣x∣≤ r , tenemos −(∣a∣+∣b∣)≤ a+b≤ ∣a∣+∣b∣ y podemos concluir que ∣a+b∣≤ ∣a∣+∣b∣

Intervalos

A= { x ∈ ℝ : a< x< b}= (a ;b) intervalo abierto A= { x ∈ ℝ : a< x≤ b}= (a ;b ]i. semiabiertoosemicerrado

A= { x ∈ ℝ : a≤ x< b}= [a ;b )i. semiabiertoosemicerrado

A= { x ∈ ℝ: a≤ x≤ b}= [a ;b] i. cerrado

A= { x ∈ ℝ : x> a}= (a ; +∞) A= { x ∈ ℝ: x≥ a }=[ a ; +∞)

A= { x ∈ ℝ : x< a}= (−∞ ;a) A= { x ∈ ℝ : x≤ a}= (−∞ ;a ]

III

Ejemplos:

1 ) {x ∈ ℝ : −3<3x

≤ 6} x≠ 0 ⇒ x> 0 ∨ x< 0

x> 0 ∧−3<3x∧

3x≤ 6 ∨

x> 0 ∧−3 x< 3 ∧ 3≤ 6 x ∨

x> 0 ∧ x>−1 ∧12≤ x ∨

x> 0 ∧ x>−1 ∧ x≥12

∨

[ 12

; +∞) ∪

(−∞ ; −1) ∪

x< 0 ∧ −3<3x

∧3x≤ 6

x< 0 ∧ −3 x> 3 ∧ 3≥ 6 x

x< 0 ∧ x<−1 ∧12≥ x

x< 0 ∧ x<−1 ∧ x≤12

(−∞ ; −1)

[ 12

; +∞)

2) ∣2 x−5∣≤ 9 ∣x∣≤ r 3 ) ∣6−3 x∣> 5 ∣x∣> r ⇒ x> r ∨ x<−r

−9 ≤ 2 x−5 ≤ 9−9+5 ≤ 2 x−5+5 ≤ 9+5

−4 ≤ 2 x ≤ 14−42

≤2 x2

≤142

−2 ≤ x ≤ 7

6−3 x> 5 ∨ 6−3 x<−56−3 x−6> 5−6 ∨ 6−3 x−6<−5−6

−3 x>−1 ∨ −3 x<−11−3 x−3

<−1−3

∨−3 x−3

>−11−3

x<13

∨ x>113

x ∈ [−2 ;7] x ∈ (−∞ ;13)∪(11

3;+∞)

4) ∣ 3− x2 x−1∣≤ 4 debemos considerar : • 2 x−1≠ 0 ⇒ 2 x−1< 0 ∨ 2 x−1> 0 y también • 3− x≤ 0 ∨

∨ 3− x≥ 0 por loque tenemos:

(2 x−1< 0 ∧ 3−x≤ 0) ∨ (2 x−1< 0 ∧ 3−x≥ 0) ∨ (2 x−1> 0 ∧ 3−x≤ 0) ∨ (2 x−1> 0 ∧ 3− x≥ 0)

♦ A 2 x−1< 0 ∧ 3−x≤ 0 ⇒ ♦ B 2 x−1< 0 ∧ 3−x≥ 0 ⇒

⇒ x<12

∧ x≥ 3 x ∈ ℝ ⇒ x<12

∧ x≤ 3 ⇒ x<12

∅ x< 1 /2 ∧ 3−x ≤ −4(2 x−1)x< 1 /2 ∧ 3−x ≤ −8 x+4

x< 1/ 2 ∧ −1 ≤ −7 xx< 1/2 ∧ x ≤ 1/7

x≤ 1/7(−∞ ;1/7 ]

IV

♦ C 2 x−1> 0 ∧ 3−x≤ 0 ⇒ ♦ D 2 x−1> 0 ∧ 3−x≥ 0 ⇒

⇒ x>12

∧ x≥ 3 ⇒ x≥ 3 ⇒ x>12

∧ x≤ 3

x≥ 3 ∧ x−3 ≤ 4(2 x−1)x≥ 3 ∧ x−3 ≤ 8 x−4x≥ 3 ∧ 1 ≤ 7 xx≥ 3 ∧ x ≥ 1/7

x> 1/2 ∧ x≤ 3 ∧ 3−x ≤ 4(2 x−1)x> 1/2 ∧ x≤ 3 ∧ 3−x ≤ 8 x−4x> 1/2 ∧ x≤ 3 ∧ 7 ≤ 9 xx> 1/2 ∧ x≤ 3 ∧ x ≥ 7/9

x≥ 3 x≥ 7/9 ∧ x≤ 3[3 ;+∞) [7 /9 ;3]

Luego, los x quesatisfacen la inecuación son aquellosqueestán en los casos ♦ A ∨ ♦ B ∨ ♦ C ∨ ♦ D

es decir , para los valoresde x en(−∞ ;17 ]∪ [ 7

9;3]∪ [3 ;+∞) queequivale a x ∈ (−∞ ;

17 ]∪ [ 7

9;+∞)

5 ) Calificar deV o F

• ∣ 1x+1∣≥ 0 F • ∣x+1∣> 0 F • ∣ 1

x+1∣≤ 0 F • ∣x+1∣< 0 F • ∣x+1∣≤ 0 F

Extremos de subconjuntos de ℝ

Sea A unsubconjunto novacío deℝ Definición : un número real c es cota superior de Asi para cualquierx ∈ A , setiene que x≤ cEjemplos: A= [0 ;1) cotassuperiores (c.s.): 1 ; 1,001 ; 15 ; 1.000...

A= (−2 ;+∞) no tienec.s.A= ℚ no tienec.s.

Observaciones : si ces una cota superior y b≥ c , entonces b es cota superior.

Definición : un número real c es máximo deA si c escota superior y pertenecea AEjemplos: A= [0 ;3] 3 es máximo A= [−1 ;2 ) 2 noes máximo (el conjunto no tiene máximo)

Definición : un número real c es supremo deA , si es la menor de las cotassuperioresEjemplo : A= [−1 ;2 ) sup. : 2

Definición : un número real m escota inferior de A si para cualquier x ∈ A , m≤ x ; es mínimo si ademásm ∈ A ; es ínfimosi es la mayor de las cotas inferioresEjemplos : A= [−1 ;2 ) c.i. :(−∞ ;−1 ] ; c.s. :[ 2 ;+∞) ; min.: −1 ; máx. : no tiene ; inf.: −1 ; sup. : 2

Observaciones :

1 ) Un conjunto puede tener a losumo un máximo , unsupremo , un mínimo y un ínfimo.

2) Si tienemáximo /mínimo , entonces también tienesupremo / ínfimo

3 ) Elsiguiente resultado indica queS= sup. A si y sólo si existen elementosde A tan cerca deS comosequiera

Proposición : siS es cota superior deA , son equivalentes :1 ° S= sup. A2 ° ∀ϵ> 0 ∃ x ∈ A : S−ϵ< x≤ S

V

Demostración:

• A 1° ⇒?

2 ° Por hipótesis s= sup. ADado ϵ> 0 ⇒ −ϵ< 0 con locual s − ϵ< s s − ϵ noesc.s. ∃ x ∈ A : s − ϵ< x , y como x≤ s ,entonces s − ϵ< x≤ s

• B 2 ° ⇒?

1 ° Sabemos que vale 2° por hipótesis

Vemosque a< s ⇒ a no escota superior : como a< s , a − s< 0 o bien s − a> 0tomamos ϵ= s − a.Por 2 ° s − ϵ< x o bien x> s − ϵ= s−(s − a )= s − s + a= a. Entonces x> a (pero a< s) entonces noes c.s. como no puedepasar quea< s ⇒ a≥ s

Análogamente sedemuestra para el ínfimo: a= inf. A ⇔ ∀ϵ> 0 ∃ x ∈ C : a≤ x< a + ϵ

Consideramos ∗0 A= {x ∈ ℚ: x2< 2} 2 es cota superior ; √2 no esc.s. (√2 ∉ ℚ)

Axioma de completitud

Todo subconjuntode los números realesno vacío y acotadosuperiormente / inferiormente tienesupremo/ in -- fimo

Si A=(a , b) elsupremo deA es b , no pertenecea ASi A= [a , b] el supremodeA es b , sí pertenece a A (eneste caso b sellama máximo)

Elsupremoes único. Demostración :

Supongamos que c1 y c2 sonsupremos de A 1 ° c1 es c.s. y c2 essup. ⇒ c2≤ c1 2 ° c2 esc.s. y c1 essup. ⇒ c1≤ c2 por lo tanto c1= c2, entonces el supremo, deexistir , es único.

Como A no es vacío ∗0 y está acotado superiormente, tienesupremo. Esesupremoess2= 2

Demostración :Paras2= 2 voy a ver ques2 2 y s2 2

• Sis2< 2 ⇒ s2−2< 0 ⇒ 2−s2⏟= h

> 0 (1) Sea s+h3s

> 0 ; (s+h

3s )2

= s2+2sh3s

+h2

9s2= s2+

23

h+h2

9⋅

1

s2

s2+

23

h+h2

9⋅

1s2 < s2

+23

h+h2

9< s2

+23

h+h9<

h3

(s+h

3s )2

< s2+

23

h+h3= s2

+h

Por (1) s2+h= 2 h= 2 − s2

> 0 ⇒ h+s2= 2> 0

Si s+h

3s> 0 pero (s+

h3s)

2

< 2 como (s+h3s)

2

> s+h3s

entonces s+h

3sno puedeser c.s. porque está en A

Entoncess2 2 ⇒ s2> 2 ∨ s2

= 2Análogamentese demuestra ques2 2 s2

= 2 s2= 2 ⇒ sup. A : s= √2 ∉ ℚ

VI

Potenciación, propiedades

• Si a ∈ ℝ , a≥ 0, n ∈ ℕ , partiendode {x ∈ ℝ: xn< a } se prueba que ∃! r : r n

= a yse lo nota r=n√a=

= a1n

• Si a≠ 0 se define a0= 1 y a−n

= (an)−1=

1an ⇒ an

⋅a−n= an−n

= a0= 1

• Para m , n ∈ ℝ , n≠ 0,mn

∈ ℚ , resulta amn = (am)

1n=

n√am

• Si a> 1, b ∈ ℝ , el conjunto {a x : x ∈ ℚ , x≤ b } es no vacío y acotadosuperiormente , entonces se definecomo ab a susupremo.

• Para 0< a< 1, como a−1> 1, sedefine ab

= (a−b)−1

• Para a> 0, x , y ∈ ℝ , valen : a x⋅a y

= ax+ y , (a x)y= a x⋅ y

Nota : si a< 0 ⇒ −a> 0 y ahora la basees −a

Consecuencias del axioma de completitud

1 ) Si B yC son conjuntosno vacíos tales que ∀x ∈ B ∧ ∀ y ∈ C , x≤ y , entonces B tienesupremo yC ,ínfimo yademás sup. B≤ inf.C

2) Teorema deArquimedianidad : para cada número real c ∃ n ∈ ℕ : n> cDemostración : suponemos queno esválido para un cierto c ∈ ℝ , entonces el conjunto de losnúmeros naturales es novacío (1 ∈ ℕ) yestaría acotado (n c ⇔ n≤ c) . Entoncesel conjuntotendría unsupremo, llamamoss alsupremo (s ∈ ℝ) . Si tomamos h= 1 ∃ n ∈ ℕ : s−1< n≤ spor la propiedad anterior. Pero s−1+1< n+1 ⇒ s< n+1⏟

∈ ℕ

(contradicción óabsurdo) . Entonces

el conjuntoℕ noestá acotado.

Observación : el teorema anterior puede enunciarsecomo queel conjunto de los números naturales noestáacotado superiormente.

3 ) Elconjuntoℕse definecomoel menor conjunto inductivo.

4) Se prueba quecualquier subconjuntode ℕno vacío tiene mínimo.

5 ) ℤ= ℕ ∪ { 0} ∪ {−n : n ∈ ℕ} si k ∈ ℤ ⇒ (k ; k+1)∩ ℤ= ∅

Corolario 1) Sean r> 0 y a números reales , entonces ∃ n ∈ ℕ : n⋅r> a

Demostración : por el principio de Arquímedes ∃ n ∈ ℕ : n>ar

ycomo r> 0 ⇒ n⋅r> a

Corolario 2 ) Cualquiera sea el número real r> 0 ∃ n ∈ ℕ :1n< r

Demostración : por corolario 1 ) si tomamos a= 1 ⇒ ∃ n ∈ ℕ : n⋅r> 1 ⇒ r> 1/n

VII

Observación : puede enunciarse también como inf. {1n

: n ∈ ℕ}= 0

• Lema : Si A⊂ℤ es novacío yacotado superiormente , entoncessup. A ∈ ℤ , esdecir , tiene máximo.Demostración : por el axioma decompletitud ∃ s= sup. A (por hipótesis del teorema) . Por carac -- terística delsupremo , ∃ k ∈ A: s−1< k ≤ s (sesel mayor elemento deA) . Luego tenemosques−1+1<k+1≤ s+1 ⇒ s<k+1≤ s+1 ⇒ k≤ s< k+1≤ s+1 k ≤ s< k+1 y comoentre dosenteros nopuede haber unentero , finalmentese deduceque k= s

• 3 Para cada real "a " existe un únicoentero " m": m≤ a< m+1. Dicho entero se llama " parte enterade a " yse escribe m=[a ]

• 4 Para a y ϵ> 0, números reales , existen racionales r 1 y r2 talesque : a − ϵ< r 1< a< r2< a + ϵ

Demostración : Sea n ∈ ℕ :1n< ϵ (por corolario • 2)

• si a= 0 entonces 0−ϵ=−ϵ< r1<0 < r 2< 0+ϵ= ϵ

• si a> 0 por corolario • 3 ∃ m ∈ ℤ: m≤ a⏟a=

mn

⋅n< m+1 entonces a<m+1

n⏟r2

=mn⏟a

+1n⏟

> 0

≤ a+1n<

< a+ϵ

• si a< 0 ⇒ −a> 0 ⇒ ∃ r1 , r2 ∈ ℚ : se verifica que −a−ϵ< r1<−a< r 2<−a+ϵ

multiplico por −1 : a+ϵ>−r1> a>−r2> a−ϵ reorganizo : a−ϵ<−r2< a<−r 1< a+ϵ

Sucesiones

Definición: una sucesión denúmeros realeses una función S: ℕ→ℝNotación : utilizaremosSn en vez deS(n) y {Sn } n ∈ ℕ simplemente {Sn} para referirnosa la sucesión.

a1⏟(1 )

, a2 , a3 , ... , a i , ... , an , an+1

(1) primer término de lasucesión

Ejemplos :

• 1 an=1n

a1= 1 , a2=12

, a3=13

, a4=14

, a5=15

...

La sucesiónse va acercando a0 pero nunca es0.

• 2 bn= n La sucesión crece indefinidamente , por esono tiene límite

• 3 cn= (−1)n Es unasucesión oscilante oalternada

• 4 d n= { 0 si n es par

(−1)n−1

2 si n es impar

d 1= 1 , d 2= 0 , d 3=−1 , d 4= 0 , d 5= 1 , d 6= 0

VIII

• 5 en=43 (2+

3n+

1

n2) e1= 8 , e2= 5 , e3≃ 4,15 , e100≃ 2,71 , e1000≃ 2,67 , e10000≃ 2,6671

Meacerco al 2,6

• 6 f n=(−1)

n

nf 1=−1 , f 2=

12

f 3=−13

, f 4=14

, f 5=−15

Límite de una sucesión

Definición: decimosque una sucesión {Sn} converge a un número l ∈ ℝ , si existe un natural n0 tal quea partir deél , todos los Sn están a unadistancia de l menor queun número prefijado (lo llamaremos ϵ).Formalmente : lim

n →∞

Sn= l si para ϵ> 0, ϵ ∈ ℝ ∃ n0(ϵ): ∀n≥ n0 ⇒ ∣Sn − l ∣< ϵ (ver gráficos)

Dicho deotro modo , la sucesión { Sn} tiene límite l cuandon→∞ si a partir de un determinado número ,todos losdemás están tan cerca de l como sequiera.

Volviendoa los ejemplos {1n} converge a 0, encambio {n} noconverge

limn →∞

1n= 0 Sea ϵ> 0, ∃ n0 : n≥ n0 ⇒ ∣1n − 0∣< ϵ

∣1n

− 0∣< ϵ= ∣1n∣=1n< ϵ deboencontrar n0

de n ≥ n0 ⇒1n≤

1n0

<ϵ ⇒ n0>1ϵ

Si ϵ= 0,01 n0>1ϵ ⇒ n0>

10,01

= 100 ⇒ n0> 100 ⇒ n0= 101

Si ϵ= 0,1 n0>1ϵ ⇒ n0>

10,1

= 10 ⇒ n0> 10 ⇒ n0= 11

Ejemplo 1: calcular el límite , si esque tiene , de laserie Sn=n+1

n

Surgen dos problemas: 1) ver si tiene límite 2 ) calcular el límite (nosiempre es posible)

Probamos por tanteo : S1= 2 , S2=32

, S3=43

, S100=101100

≃ 1,01 , S1000=10011000

≃ 1,001 converge a 1

limn →∞

Sn= 1 Sea ϵ> 0 ∃ n0 : ∀n≥ n0 ⇒ ∣n+1n

− 1∣< ϵ ∣n+1n

− 1∣=∣n+1−nn ∣=∣1

n∣=1n< ϵ

IX

n0 :1n0

< ϵ ⇒ n0>1ϵ Si n≥ n0 ⇒

1n≤

1n0

< ϵ

Ejemplo2 : t n=1

n2− 1

tanteo : t1= 0 , t 2=−34

, t3=−89=−0,8 , t100=−0,9999 , t 1000=−0,99999 la serieconverge a −1

limn →∞

t n=−1 Sea ϵ> 0, ∃ n0: ∀n≥ n0 ⇒ ∣ 1n2 − 1 + 1∣< ϵ ∣ 1

n2 − 1 + 1∣=∣ 1n2∣= 1

n2 < ϵ

1

n02< ϵ ⇒ n0

2>

1ϵ ⇒ n0> √ 1

ϵ ⇒ n0>1

√ϵ(ver teorema deArquímedes)

Si ϵ= 0,001 n0>1

√0,001= 31,62 basta tomar n0= 32

Teorema : si unasucesión denúmeros naturales tiene límite , éste es único.Demostración : sea {Sn } lasucesión ysean l 1 y l 2 sus límites , entonces lim

n→∞

Sn= l1 ∧ limn→∞

Sn= l 2

Por tricotomía l 1< l 2 ∨ l 2< l 1 ∨ l 1= l2

Tomamos l1< l 2 ⇒ 0< l 2 − l1 ⇒l 2 − l1

2> 0, sea ϵ=

l 2 − l 1

2> 0 con locual ∣l 2 − l 1∣= 2 ϵ

Aplicando la definición de límite :Para l1 , ∃ n0: ∀n≥ n0 ⇒ ∣Sn − l 1∣< ϵ

Para l 2 , ∃ n ´0: ∀n≥ n´0 ⇒ ∣Sn − l 2∣< ϵ

Elegimos n= máx. { n0 , n ´0 } ⇒ n≥ n0 ∧ n≥ n ´0 ∣l 2 − l 1∣=∣l 2−Sn + Sn−l 1∣≤(1)

∣l 2−Sn∣+ ∣Sn−l1∣==∣Sn−l 2∣+∣Sn−l 1∣< ϵ+ϵ=2ϵ lo cual esabsurdo , ya quesi l 1< l 2 habíamos visto que ∣l 2−l 1∣= 2ϵ por lotanto l 1 l 2

Análogamentese demuestra que l 2 l 1 yfinalmente seconcluirá que l1= l 2 por lotanto el límite , si existe ,es único.

(1) por desigualdad de Minkowski

Propiedades de límites de sucesiones

Para operar límite esconveniente llevar el término general a la expresión más sencilla :

• Sn=n+1

nbuscola expresión más sencilla :

n+1n

= 1 +1n

• tn= 1 −1

n2= 1 −

1n⋅

1n

• rn=4n2

+2 n+3n2 = 4 +

2n

+3n2 = 4 + 2⋅

1n

+ 3⋅1n⋅

1n

Sn= a (constante) ⇒ limn→∞

Sn= a

Teorema : toda sucesión convergente está acotada.

Estoes : { an } converge ⇒ ∃ k ∈ℝ (k> 0)/ ∣an∣≤ k ∀n ∈ ℕ

X

Por ejemplo, la sucesión {1n } converge a cero (lim

n→∞

1n= 0) una cota superior es0 la sucesión {n} noes

convergente , por lo tanto nopuede aplicarse el teorema anterior.

Observaciones :

1 ) No vale que toda sucesiónacotada sea convergente , por ejemplo : {(−1)n}= {−1 , 1 , −1 , 1...}

2) Si unasucesión noestá acotada , entonces noes convergente (es la negación del teorema) ej.: an= n

3 ) Si {an } está acotada por un número M y tiene límite l entonces l≤ M

Proposiciones:

Si limn→∞

an= a ∈ ℝ ∧ limn→∞

bn= b ∈ℝ , entonces...

1 ) La sucesiónsuma : Sn= an + bn esconvergente y limn→∞

Sn= limn→∞

(an +bn )= limn →∞

an + limn→∞

bn= a+b

2) La sucesión producto { an⋅bn } es convergente y limn →∞

(an⋅bn)= limn→∞

an ⋅limn→∞

bn= a⋅b

3 ) La sucesióncociente {an

bn}, bn≠ 0 es convergente lim

n→∞

an

bn

= limn→∞

an : limn→∞

bn=ab

si b≠ 0

Demostraciones :

1 ) El límite de la suma es lasuma de los límites...

Dado ϵ> 0 ∃ n1 , n2 : {∀ n≥ n1 ⇒ ∣an − a∣< ϵ

2∀ n≥ n2 ⇒ ∣bn − b∣< ϵ

2

Sea n0= máx. { n1 , n2 } ∀ n≥ n0 ∣(an+bn)− (a+b)∣=∣an+bn−a−b∣=∣an−a+bn−b∣≤(1)

∣an−a∣+ ∣bn−b∣< ϵ

2+ ϵ

2= ϵ

(1) por la desigualdad de Minkowski Análogamentesedemuestran lasdemás proposiciones.

Corolario : con las mismas hipótesis limn→∞

(an − bn)= limn→∞

an − limn→∞

bn= a−b (demostrar )

Propiedad : limn→∞

an= a si k ∈ ℕ , limn→∞

ank= (lim

n→∞

an)k= ak si k ∈ ℤ hay queconsiderar el caso an

−k ,

an−k

=1

ank se debe usar propiedadesdel cociente

Propiedad : si {bn} es unasucesión y an= bn+p , p ∈ ℕ entonces limn→∞

an= limn→∞

bn

XI

Cálculo de límite utilizando propiedades

• limn→∞

n+1n

= limn→∞

nn

+1n= lim

n→∞1 +

1n= lim

n→∞1 + lim

n→∞

1n= 1+0= 1

• limn→∞

2

n2 = limn →∞

2⋅1n⋅

1n= lim

n→∞2 ⋅ lim

n→∞

1n

⋅ limn→∞

1n= 2⋅0⋅0= 0

• limn→∞

n2n−1

= limn→∞

12 n−1

n

= limn →∞

1

2 −1n

=limn→∞

1

limn →∞

2 − limn→∞

1n

=1

2 − 0=

12

• limn→∞

2 n2−1⏞

→∞

3n2+2n−1⏟→∞

indeterminación ∞∞ lim

n→∞

2n2−1

3n2+2n−1

= limn→∞

n2(2−1n)

n2(3+ 2n+

1n2)

=23

• limn→∞

43(2+

3n+

1n2)= 8

3= 2, 6

Límites infinitos

Diremos que :

• limn→∞

an= ∞ (diverge a∞) si cualquierasea el número real M> 0, ∃ n0 ∈ ℕ : n≥ n0 ⇒ an> M

• limn→∞

an=−∞ (diverge a −∞) si cualquiera sea M ∈ ℝ , M< 0, ∃ n0 ∈ ℕ : n≥ n0 ⇒ an< M

Ejemplos :

an= n limn→∞

an= limn→∞

n=+∞ ; an=−n limn→∞

an= limn→∞

−n=−∞ ; an= (−1)n n esoscilante.

Propiedades

Sean limn→∞

an= ∞ ; limn→∞

bn= ∞ ; limn→∞

cn= c , c ∈ ℝ

♦ limn→∞

(an + bn)= limn →∞

an + limn→∞

bn= ∞+∞=+∞ ♦ limn →∞

(an + cn)= limn →∞

an + limn→∞

cn= ∞+c=+∞

♦ limn→∞

(an ⋅bn)= limn→∞

an⋅ limn→∞

bn= ∞⋅∞=+∞ ♦ limn→∞

(an⋅cn)= limn→∞

an⋅limn →∞

cn= ∞⋅c ∗0

∗0 hay3 posibilidades: c> 0 ⇒ ∞⋅c=+∞ ; c< 0 ⇒ ∞⋅c=−∞ ; c= 0 ⇒ ∞⋅c= ∞⋅0 (indeterminación )

Ejemplos: limn→∞

n2→∞

⋅1n= ∞ lim

n→∞

1

n2

→0

⋅n= 0

XII

♦ limn→∞

cn

an

= 0 si an≥ 0 y c= 0 ♦ limn→∞

1cn

= ∞ si c= 0

Ejemplos : A) limn→∞

n+n2= ∞+∞= ∞ B) lim

n→∞

n⋅(−1)

n

n= lim

n→∞

(−1)n= {si n es par (−1)n

→1si n esimpar (−1)n

→−1

C ) limn →∞

nn2

+1= lim

n→∞

1n2+1

n

= limn→∞

1n 2

n→∞

+1n→0

=1∞= 0 otro modode calcularlo esextraer factor común en el de-

- nominador : limn →∞

nn2

+1= lim

n→∞

n

n (n+1n)

= limn→∞

1

n +1n

=1∞= 0

♦ limn→∞

(an − bn)= limn→∞

an − limn→∞

bn= ∞ − ∞ ( indeterminación)

Ejemplos : A) limn→∞

n2→∞

− n→∞

= limn→∞

n (n−1)= ∞⋅∞= ∞ B) limn →∞

(n+1)→∞

− n→∞

= n+1−n= 1

♦ limn→∞

an

bn

∞∞ (indeterminación)

Ejemplos : A) limn→∞

n2→∞

n→∞

= limn→∞

n= ∞ B) limn→∞

n→∞

n2

→∞

= limn→∞

1n= 0

Demostración : demostraremos por definición limn→∞

cn

an

= 0 si an≥ 0 y c= 0

• Como { cn} converge , está acotada ⇒ ∣cn∣< k ∀ n ∈ ℕ

• Como limn→∞

an= ∞ , ∃ M> 0 : an> M⏟⇒

1an

<1M

, M=kϵ ∀n≥ n0

Luego ∀n≥ n0 ∣cn

an

− 0∣=∣cn

an∣= ∣cn∣

an

como ∣cn∣< k entonces∣cn∣an

<kan

= k ⋅1an

y como1an

<1M

en -

- tonces∣cn∣an

<kan

<kM

=kkϵ

= k ⋅ ϵk

∣cn

an

− 0∣< ϵ

Algunos límites importantes

Sea r un número real , estudiaremos la sucesión Sn= rn

♦ r≥ 0 • si r= 0 o r= 1 limn→∞

r n= r (A) • r> 1 ⇒ lim

n →∞

r n= ∞ (B) • r< 1 ⇒ lim

n→∞

r n= 0

XIII

(A) Si r> 1 ⇒ r= 1+h , h> 0 ⇒ rn=(1+h)

n≥ 1+h n r 2

=(1+h)2= 1+2 h+h2

> 1+2 h ,r3= (1+h)3

= 1+3h+3 h2+h3

> 1+3h , ... r n> 1+n h lim

n→∞

rn= lim

n→∞

1+h n⏟→∞

= ∞

(B) Si r< 1 entonces limn→∞

r n= 0 ej. : 0,11

= 0,1 ; 0,14= 0,0001 ; 0,17

= 0,0000001 (Sn →0)

r< 1 ⇒1r> 1 r n

=( 1r n)

−1

=11r n

=1

(1r )

n =(1)

0 (1)1r> 1 ⇒ (1

r )n

→∞ (por (A ))

♦ r< 0 • Si −1< r< 0 entonces : limn→∞

rn= 0 ( ∣r∣< 1 ⇒ ∣r∣

n=∣r n∣→0 ⇒ r n

→0)

• Si r≤−1 ⇒ r=−∣r∣

rn= (−1)n

⋅∣r∣n

no hay límite , lasucesión oscila

En consecuencia , si ∣r∣< 1 ⇒ limn→∞

r n= 0 si r> 1 ⇒ lim

n→∞

rn= ∞

♦ Si { an} es unasucesión de términos positivos convergente limn→∞

an= a ⇒ limn→∞

√an= √a

En general limn→∞

k√an=k√a y si a> 0, lim

n→∞

n√a= 1

♦ Si {bn } es una sucesiónde términos positivos limn→∞

bn+1

bn

=b (b≥ 0 ∨ b= ∞) ⇒ limn→∞

n√bn= b

Ejercicios:

• limn→∞

n√ 1n !

an=1n!

; an+1=1

(n+1)!limn→∞

1(n+1) !

1n !

= limn →∞

1(n+1) !

⋅n != limn→∞

n !(n+1)!

∞∞ =

= limn →∞

n !n !(n+1)

= limn→∞

1n+1

= 0 limn→∞

n√ 1n!

= 0

• limn→∞

n√n an= n ; an+1= n+1 limn→∞

n+1→∞

n→∞

= limn→∞

1 +1n= 1 lim

n→∞

n√n= 1

• limn→∞

n√n2+n ∞

0(indeterminación ) an= n2

+n ; an+1= (n+1)2+n+1= n2

+3 n+2

limn →∞

n2+3 n+2

→∞

n2+n

→∞

= limn→∞

n2 (1+3n+

2

n2)n2 (1+ 1

n)= 1 lim

n→∞

n√n2+n= 1

XIV

• limn→∞

n√3n−2 ∞0 ( indeterminación) an= 3n−2 ; an+1= 3n+1−2 limn→∞

3n+1−2

→∞

3n−2→∞

= limn→∞

3⋅3n−2

3n−2

=

= limn →∞

3n (3−2

3n)3n (1−

23n)

= 3 limn→∞

n√3n−2= 3

• Si 0< a< b , limn→∞

n√an+bn

= ... Sn= an+bn ; S n+1= an+1

+bn+1 limn→∞

an+1+bn+1→∞

an+bn

→∞

=

a < b ⇒ab< 1 ∧

ba> 1

= limn →∞

aan+ bbn

an+bn = lim

n→∞

aan

an+bn + lim

n→∞

bbn

an+bn = lim

n→∞

a an

an (1+bn

a n)+ lim

n→∞

bbn

bn (a n

bn +1)= lim

n→∞

a

1+bn

a n

+ limn→∞

ba n

bn+1

limn →∞

a

1+bn

a n

+ limn→∞

ba n

bn+1= lim

n→∞

a

1+( ba)

n + limn→∞

b

1+(ab)

n= 0+b= b limn→∞

n√an+bn

= b

Crecimiento y decrecimiento de sucesiones

Definición : unasucesión {Sn } denúmeros realeses :

• crecientesi an+1≥ an ∀n ∈ ℕ si an+1> an la sucesión se diceestrictamente creciente

• decrecientesi an+1≤ an ∀n ∈ ℕ si an+1< an la sucesión se diceestrictamente decreciente

• La sucesión se dice monótona si es o bien siempre creciente o bien siempre decreciente.

Ejemplos :

♦n

n+1escreciente n= 1 ⇒

nn+1

=12= 0,5 ; n= 2 ⇒

nn+1

=23= 0, 6 an+1≥

?

an

n+1n+2

≥? n

n+1Por propiedad

MN

<PQ

⇒ M Q < N P ⇒ (n+1)2≥ n (n+2) ⇒ n2

+2 n+1 ≥ n2+2 n ⇒

⇒ 2 n+1 ≥ 2 n ⇒ 1 ≥ 0 locual es verdadero (V) ∀n ∈ ℕ nn+1

escreciente.

♦n

n−1esdecreciente ∀n ∈ ℕ

n+1n

≤? n

n−1n+1

n≤

nn−1

⇒ (n+1)2≤ n2

⇒

⇒ n2+2 n+1 ≤ n2

⇒ −1 ≤ 0 ∀n ∈ ℕ nn−1

esdecreciente.

XV

Cambios de convergencia

Teorema : sea Sn unasucesión denúmeros reales monótona , entonces :

1 ) Si Sn está acotada , es convergente

2) Si Sn no está acotada , entonces es divergente

Demostración 1) : suponemos que an es creciente, y como por hipótesis está acotada , entonces tienecotassuperiores. Entonces , llamamos a al supremo: a= sup. C, C ∈ { an: n ∈ ℕ} entonces ∀ϵ> 0 ∃n0(ϵ)/

/a−ϵ< an0< a perocomo la sucesión es creciente, entonces an≥ an0

∀n> n0 luego an≥ n0> a−ϵ ⇒

⇒ an> a−ϵ ⇒ ϵ> a−an como a essupremo a−an≥ 0 entonces 0≤ a−an< ϵ ∀ϵ> 0 a−ϵ< an0<

< an< a −ϵ< 0≤ a−an< ϵ ⇒ −ϵ< a−an< ϵ ⇒ ∣a−an∣< ϵ ⇒ ∣an−a∣< ϵ ⇒ limn→∞

an= a an escon -

- vergente.

Ejemplo : an=n

n+2a1=

13= 0, 3 , a2=

24=

12= 0,5 , a3=

35

≃ 0,6 , a1000=10001002

≃ 0,9980 ...

La sucesión parece creciente , pero esta afirmación debeser probada.

an≤ an+1 debemos demostrar quen

n+2≤

n+1n+3

nn+2

≤n+1n+3

⇒ n (n+3)≤ (n+1)(n+2) ⇒

⇒ n2+3 n≤ n2

+3 n+2 ⇒ 0≤ 2 lo cual escierto la sucesiónes creciente.

el primer elemento de la sucesión es13

limn→∞

n→∞

n+2→∞

= limn→∞

n

n (1+2n)

= 1 (la sucesión está acotada)

Finalmente , la sucesiónes monótona y está acotada , por lo tanto converge por el teorema previamente visto.

Aproximaciones de e

Introduciremos unasucesión muy importante : an= (1 +1n)

n

2≤ an≤ 3

a1=(1+11)

1

= 2 ; a2= (1+12)

2

=94= 2,25 ; a8= (1+

18)

8

≃ 1,5658 ; a15= (1+115)

15

≃ 2,6329

a100=(1+1

100)100

≃ 2,7048 ; a1000=(1+1

1000)1000

≃ 2,7169 ... e≃ 2,7182

Definición : limn→∞

(1+1n)

n

= e ind. 1∞ En general si an: an →∞ si n →∞ limn→∞(1+

1an)

a n

= e

Ejemplos:

1 ) limn→∞(1+

1n+1)

n

= ... llevemos esto a una expresión limn→∞ (1+

1an)

an

, de tal forma que an →∞ si n→∞

XVI

limn →∞ (1+

1n+1)

n

= limn→∞(1+

1n+1)

n+1−1

= limn→∞(1+

1n+1)

n+1

⋅ limn→∞ (1+

1n+1)

−1

= e⋅1= e

2) limn→∞(1−

1n)

n

= limn→∞(

n−1n )

n

= limn →∞ (

nn−1)

−n

= limn→∞ (

n−1+1n−1 )

−n

= limn→∞(

n−1n−1

+1

n−1)−n

=

= limn →∞

(1+1

n−1)−n

= limn→∞

1

(1+1

n−1)n= lim

n→∞

1

(1+1

n−1)n−1+1= lim

n→∞

1

(1+ 1n−1)

n−1

⋅(1+1

n−1)1=

limn →∞

1 : limn→∞[(1+

1n−1)

n−1

⋅(1+1

n−1)]= 1 : [limn→∞(1+

1n−1)

n−1

⋅ limn →∞

(1+1

n−1)]= 1e⋅1

=1e= e−1

an= n−1→∞ si n→∞

Otra forma de hallar el límiteanterior es limn→∞(1−

1n)

n

= limn →∞ (1+

1−n)

n

= limn →∞ [(1+

1−n)

−n

]−1

=

= (limn→∞

(1+1

−n)−n

)−1

a n=−n→∞

n→∞

= e−1

3 ) limn →∞

(n+1n+2)

3n+2

= limn→∞

(n+2−1n+2 )

3n+2

= limn →∞

(1−1

n+2)3n+2

= limn→∞

(1−1

n+2)3 (n+2)− 4

=

= limn →∞ [(1−

1n+2)

3 (n+2 )

⋅ (1−1

n+2)−4

]= limn→∞[(1+

1−(n+2))

−3 [−(n+2)]

⋅ (1+1

n+2)−4

]=

= limn →∞ [(1+

1−(n+2))

−(n+2)

]−3

⋅ limn→∞

(1−1

n+2)−4

= e−3⋅1= e−3 an=−(n+2)→∞ si n→∞

Otra forma decalcular el límiteanterior : limn→∞(

n+1n+2)

3n+2

= limn→∞ [ n (1+1

n)n (1+

2n)]

3n+2

= limn →∞ [(

1+1n

1+ 2n)

3n

⋅ (1+1n

1+ 2n)

2

⏟→ 1

]==

limn→∞

(1+1n )

3 n

limn→∞

(1+2n )

3 n=

limn→∞

[(1+ 1n)

n

]3

limn→∞(1+ 1

n2 )

3n =e3

limn→∞[(1+

1n2 )

n2 ]

6=e3

e6= e−3

XVII

Propiedades

Sea {an } una sucesión de términos positivos con limn→∞

an= a y {bn} con limn→∞

bn= b entonces:

1 ) 0< a< ∞ , b ∈ℝ limn→∞

an

bn= ab 2) 0< a< 1, b= ∞ limn→∞

an

bn= 0

3 ) a> 1, b= ∞ limn →∞

anbn= ∞ 4) a= ∞ , b> 0 lim

n→∞an

b n= ∞ 5) a= 1, b= ∞ no hayinforma -

- ción, por ejemplo: (1+1n)

n

→e

Subsucesiones

Si {Sn } es una sucesión y M: ℕ→ℕ es unasucesión estrictamentecreciente de números naturales, enton -- ces bn= aMn

es unasubsucesión de { an}

Ejemplos :• an= 2n Mn= 3n bn= aMn

= 2⋅(3 n)= 6n

• an=(−1)

n

nMn= 2 n bn= aMn

=(−1)2n

2nan= {−1,

12

, −13

,14

, −15

,16

, −17

,18

...}bn= {1

2,

14,

16,

18

...}Teorema de Bolzano

Toda sucesiónacotada tiene unasubsucesión convergente.

Ejemplo : an= (−1)n+

1n

(acotada ) Mn= 2n Rn= 2 n+1 aMn= bn= (−1)2n

+1

2n= 1+

12n

1+1

2n→1 si n→∞ bn converge aRn

= bn=(−1)2n+1+1

2n+1=−1+

12n+1

(converge)

−1+1

2 n+1→−1 si n→∞

Teorema : unasucesión { an } esconvergente y limn→∞

an= a si y sólo si toda subsucesión {bn} de { an } es

convergente y limn→∞

bn= a

Sucesiones de Cauchy

Una sucesión { an} esde Cauchysi ∀ϵ> 0 ∃ n0: n , m≥ n0 ⇒ ∣an − am∣< ϵ .Es decir , es natural pensar quesi los términos de una sucesión seacercan a uncierto número , entonces dichostérminosse acercan entre sí ( toda sucesiónconvergentees deCauchy) . También es natural pensar quesi lostérminos de la sucesión se van acercandoentre sí es porque todosse acercan a un número determinado ( todasucesión convergenteesdeCauchy ) .Teorema : unasucesión denúmeros realesesconvergente si y sólosi esde Cauchy

XVIII

Series numéricas

Sea {an } una sucesión de números reales , al sumar los términos de la sucesión obtenemos una expresión de

la forma a1+a2+a3+ ... +an+ ...= ∑n= 1

∞

an o bien ∑ an llamada serie.

Sumas parciales

S1= a1 ; S2= a1+a2 ; S3= a1+a2+a3 ; Sn= a1+a2+a3+ ... +an ; Sn+1= a1+a2+ ... +an+an+1=

= Sn+an+1

Definición : si la sucesión {Sn } de"sumas parciales " es convergentey su límiteess , decimos queses la

suma de todos los términos de lasucesión { an} y escribimos ∑i= 1

∞

an= s

La expresión ∑i= 1

∞

an se usa para ubicar la sucesión { Sn}= {∑i=1

∞

an} n ∈ ℕ y sela denomina seriede término

general an . Si la sucesión desumas parciales converge/ noconverge, laserie converge/noconverge.

Ejemplo : consideremos ∑i= 1

∞

(−1)n yveamos que noes convergente.

S1=−1 ; S2=−1+1= 0 ; S3= 0+(−1)=−1 ; S4=−1+1= 0 S impares=−1 Spares= 0

Serie geométrica de valor r

Sea r ∈ ℝ , ∑k =1

∞

rk −1 es la seriegeométrica (ak= r k−1)

Sn= 1+r+r2+...+r n−1 Sn+1= 1+r+r 2

+...+rn−1+rn

= Sn+r n

⏟(1)

⇒ Sn+1−1= r+r 2+r 3

+...+rn⇒

⇒ Sn+1−1= r (1+r+r 2+...+rn−1

) ⇒ Sn+1−1= r ⋅Sn por (1) Sn+1−1= Sn+rn−1= r⋅Sn ⇒

⇒ Sn − r⋅Sn= 1−r n⇒ Sn (1−r )= 1−r n

⇒ Sn=1−rn

1−rr≠ 1 r= 1 ⇒ Sn →∞

Entonces limn→∞

Sn= limn→∞

r n−1

r−1= {

11−r

si ∣r∣< 1

si r≤−1∞ si r> 1

• Si ∣r∣< 1 ⇒ −1< r< 1 ⇒ limn→∞

rn= 0 entonces lim

n→∞

r n−1

r−1= lim

n→∞

r n→0

r−1− lim

n→∞

1r−1

= 0 −1

r−1=−

1r−1

=

=1

1−r

Proposición : (condición necesaria) Si ∑k= 1

∞

ak < ∞ (es convergente) ⇒ limn →∞

an= 0

XIX

Demostración : sea Sn= a1+a2+...+an y Sn−1= a1+a2+...+an−1 entonces an= Sn − Sn−1

Como ∑ ak converge , {Sn} converge llamo limn→∞

Sn= S (n→∞ ⇒ Sn →∞ ; n→∞ ⇒ Sn−1 →∞)

limn →∞

Sn−1= S Entonces limn→∞

an= limn→∞

(Sn − Sn−1)= limn→∞

Sn − limn →∞

Sn−1= S−S= 0

Propiedades de las series

Proposición : si la serie ∑k= 1

∞

a k esconvergente , entonces , cualquiera sea c ∈ ℝ , ∑k= 1

∞

c⋅ak esconver -

- gente yse verifica que ∑k = 1

∞

c⋅ak= c⋅∑k= 1

∞

ak

Proposición: si ∑k= 1

∞

ak= S < ∞ y ∑k= 1

∞

bk= T < ∞ entonces ∑k = 1

∞

(ak+bk)= S+T

Ejercicio: dada unaserie ∑k= 1

∞ 2k+3k

4k probar queesconvergente y hallar su suma.

∑k= 1

∞ 2k+3k

4k = ∑k= 1

∞

(2k

4k +3k

4k )= ∑k= 1

∞

(12)

k

⏟(1)

+ ∑k =1

∞

(34)

k

⏟(2)

(1) seriegeométrica de razón r=12< 1 ⇒ ∑ (1

2)k

converge. (2) seriegeométrica de razón r=34< 1 ⇒ ∑ (3

4)k

converge Por (1) y (2) la suma con-

- verge

(1) ∑k= 1

∞

(12)

k

= ∑k= 1

∞

(12)(

12)

k−1

=

12∑k= 1

∞

(12)

k−1⏞(3)

=12⋅2= 1 (3)∣r∣< 1 ⇒ lim

n →∞Sn=

11−r

la serie con-

- verge en1

1−(1 /2)= 2

(2) ∑k= 1

∞

(34)

k

= ∑k= 1

∞

(34)(

34)

k −1

=

34 ∑

k= 1

∞

(34)

k−1⏞(4)

=34⋅4= 3 (4)∣r∣< 1 ⇒ lim

n→∞

Sn=1

1−r laserie con -

- verge en1

1−(3 /4)= 4 Finalmente (1)+ (2)= 1+3= 4

Otra forma de hacer el ejercicio es: ∑k= 1

∞

(12)

k

+ ∑k= 1

∞

( 34)

k

=12∑k = 1

∞

(12)

k −1

+34∑k= 1

∞

(34)

k−1

=12⋅

11−(1 /2)

+

+34⋅

11−(3/4)

=12⋅2 +

34⋅4= 4

Proposición: si ∑k= 1

∞

ak= S< ∞ entonces ∑k= k0

∞

ak= S − ∑k= 1

k0−1

ak ysi ∑k= 1

∞

ak= ∞ ⇒ ∑k= k0

∞

ak= ∞ esto esasí

XX

porque ∑k= 1

∞

ak= ∑k= 1

k0−1

ak + ∑k= k 0

∞

ak

Proposición : si ∑k= k0

∞

ak= S< ∞ ⇒ ∑k= 1

∞

ak= S + ∑k =1

k0−1

ak y si ∑k= k0

∞

ak= ∞ ⇒ ∑k= 1

∞

ak= ∞

Ejemplo : consideremos la sucesión dada por : a1= 1 , a2=−2 , a3= 5 , a4=−1 , a4+k= (12)

k−1

∀k ∈ ℕ

Queremos hallar ∑k= 1

∞

ak Sn= 1+(−2)+5+(−1)+(12)

0

⏟k = 1

+(12)

1

⏟k= 2

+(12)

2

⏟k = 3

+(12)

3

+(12)

4

+ ...⏞

(5 )

=

= 1−2+5−1+2= 5 (5) ∑ (12)

k−1

∣12∣=12< 1 converge a

11−(1 /2)

= 2 seriegeométrica a partir

del 5 ° término (a5)

Criterios de convergencia para series de términos positivos

Consideremosseries de la forma ∑ ak con a k ≥ 0 ∀k ∈ ℕ (y las sumas parciales son nonegativas ).Lassumas parciales soncrecientes (por lo tanto monótonas), pues Sn+1= Sn + an+1≥ Sn≥ 0. Entoncessi {Sn } está acotada , converge ysi noestá acotada , diverge.

Criterio de comparación

Si lasseries ∑k = 1

∞

ak y ∑k =0

∞

bk cumplen que ak≤ bk ∀k≥ n0 , entonces: a ) Si ∑ bk converge ⇒ ∑ ak con -

- verge b ) Si ∑ ak diverge ⇒ ∑ bk diverge

Demostración a ) : Sn − Sn0= ∑

k= n0+1

∞

ak ≤ ∑k= n0+1

∞

bk= Tn − Tn0Como por hipótesis ∑ bk converge , en -

- tonces la sucesión {Tn} está acotada por M. Luego Sn= Tn + Sn0− Tn0

≤ M + (Sn0− Tn0

) ⇒

⇒ Sn ≤ M (Sn0− Tn0

) ⇒ { Sn} está acotada , y , como escreciente , entonces Sn converge. Luego ∑ ak

converge.

Ejemplos : 1 ) ∑k =1

∞ 2k−1

3k la comparo con ∑k = 1

∞

(23)

k

(seriegeom. de razón) r=23< 1 ⇒ converge

2k−1< 2k

⇒2k−1

3k⏟

A

<2k

3k⏟B

Por criterio , si Bconverge , entonces A converge

2) ∑k= 1

∞ 2k

3k−1 comparo con ∑k =1

∞

(23)

k

3k −1< 3k

⇒1

3k−1>13k ⇒

2k

3k−1 >2k

3k no da información

3 ) ∑k= 1

∞ 3k

2k−1 comparo con la serie ∑k= 1

∞

(32)

k

∣32∣> 1 ⇒ ∞ 2k−1

< 2k⇒

1

2k −1 >1

2k ⇒3k

2k −1>3k

2k **

** diverge , entonces , por el criteriode comparación , la seriequeestudiamosdiverge.

XXI

Serie armónica

∑n=1

∞ 1n= 1+

12+

13+... esuna serie muy conocida , llamada seriearmónica.

• S1= 1 • S2= 1+12=

32

... • S4= 1+12+

13+

14> 1+

12+(1

4+

14)⏟

12

= 1+12+

12= 1+

22

• S8= 1+12+

+13+

14+

15+

16+

17+

18> 1+

12+(1

4+

14)⏟

12

+(18+

18+

18+

18)⏟

12

= 1+32

• S16= 1+12+

13+...+

116

> 1+12+(1

4+

14)⏟

12

+(18+

18+

18+

18)⏟

12

+( 116

+1

16+

116

+1

16+

116

+1

16+

116

+116)⏟

12

=

= 1+42

• S32 > 1+52

• S64 > 1+62

• S2n > 1+n2

⇒ S2n no está acotada diverge

Corolario (criterio decomparación): si ∑ ak y ∑ bk con ak> 0 y bk> 0 ∀k ∈ ℕ talesque limn→∞

ak

bk

= S

S ∈ ℝ+ entonces ∑ ak converge ⇔ ∑ bk converge. Además, si S= 0 y ∑ bk< ∞ ⇒ ∑ ak< ∞

Si S= ∞ y ∑ bk= ∞ ⇒ ∑ ak= ∞

Demostración :ak

bk

→ S elijo un ϵ=S2 ∣ak

bk

− S∣< S2

⇒ −S2

<ak

bk

− S <S2

sumamosS...

S −S2

<a k

bk

<S2

+ S ⇒S2

<ak

bk

<32

S ⇒S2

bk⏟A

< ak <32

Sbk⏟B

si ak converge , entonces A converge por

el criterio decomparación. Si Bconverge , entonces ak converge por el criteriode comparación.

Ejemplo : ∑k= 1

∞ 2k

3k−1¿Converge? Cociento con

2k

3k = (23)

k23< 1 ⇒ converge

limn →∞

2n

3n−1

2n

3n

= limn→∞

2n

3n−1

⋅3n

2n = limn→∞

3n

3n−1

= limn→∞

13n

−1

3n

= limn→∞

1

1−1

3n⏟→1

= 1 > 0

Serie “P”

∑n= 1

∞ 1

n pdonde p ∈ ℝ , p≥ 0 1 ) 0≤ p≤ 1 ⇒ la seriediverge

2) p> 1 ⇒ la serie converge

XXII

Continuidad y límites

Definición : sea f : D→ℝ una función y x0 ∈ ℝ diremosque f tiene límite l cuando x tiende a x0

( limx →x0

f ( x)) si para cada sucesión { xn } ⊂ D − { x0} tal que xn tiendea x0 , se tieneque limn→∞

f (x0)= l

Ejemplo : • f : D→ℝ / f ( x)=3 x+15 x+4

tiene límitecuando x → 2 y es12

limx →2

f (x )= limn→∞

f ( x0)= limn→∞

3 x n+1

5 xn+4=

3⋅2+15⋅2+4

=714

=12

• Sea g : ℝ→ℝ la función parteentera g ( x)= [ x ] no tiene límite en x0= 1

gn( x)= 1+1n⏟

→1n→∞

g ( xn)= [1+1n ]= 1

gn( x)= 1−1n⏟

→ 1n →∞

g ( xn)= [1−1n ]= 0

Esta función no tiene límite en ningún número entero.

Definición : sea f : D→ℝ una función , diremos queescontinua en x0 ∈ D si y sólosi limx → x0

f (x )= f ( x0).

Por ejemplo :• f (x )= x es continua para cualquier x0 ∈ ℝ porque si xn → x0 cuando n →∞ lim

n→∞

f ( xn)= f (x0)= x0

• f (x )= ax con a> 0 escontinua porque x n→ x0 si n→∞ limn→∞

f (xn)= f ( x0)= a x0

• f (x )= sen (x ) veamos que limx → x0

f (x)= limn→∞

f ( xn)= f (x0)= sen(x0)

Para ver que limx → x0

sen(x )= sen (x0) usaremos la definición de límite para ver que ∣sen (x )− sen (x0)∣< ϵ

entonces : ∣sen( x) − sen( x0)∣=∣2cos[ 12(x+ x0)]⋅sen[ 1

2( x−x0)]∣

∗1

≤∣2 sen[ 12(x−x0)]∣<∣x−x0∣

XXIII

∗1 Se usa la identidad trigonométrica : sen(x )−sen( x0)= 2 cos( x+x0

2 )sen( x−x0

2 )Definición : sea x0 ∈ ℝ y f una función definida en todos los puntos del intervalo (a ,b), que contieneax0 decimos que lim

x →x0

f (x )= l si y sólosi ∀ϵ> 0 ∃ δ(ϵ) : ∣ x−x0∣< δ ⇒ ∣ f ( x)−l∣< ϵ

• ∣ f ( x)−l∣< ϵ ⇒ −ϵ< f (x )−l< ϵ ⇒ l−ϵ< f (x )< l+ϵ

• ∣x−x0∣< δ ⇒ −δ< x−x0< δ ⇒ x0−δ< x< x0+δ

Ejemplos: 1) Sea f : ℝ→ℝ : f (x )= x2−2 x yseax0= 1 lim

x →1( x2

−2 x )= 12−2⋅1=−1

∀ϵ> 0 ∃ δ(ϵ) : ∣x−1∣< δ⏟debe usarsela hipótesis

⇒ ∣x2−2 x−(−1)∣< ϵ ∣x2−2 x+1∣=∣(x−1)2∣=∣x−1∣2< δ2< ϵ ⇒ δ= √ϵ

2) f (x)= 2 x+1 y x0= 3 limx →3

2 x+1= 2⋅3+1= 7 ∀ϵ> 0 ∃ δ(ϵ): ∣x−3∣< δ ⇒ ∣2 x+1−7∣< ϵ

∣2 x+1−7∣=∣2 x−6∣=∣2( x−3)∣=∣2∣∣x−3∣< 2δ ⇒ basta con tomar ϵ= 2δ ⇒ δ= ϵ2

3 ) Sea f : ℝ→ℝ : f ( x)= x2 y sea x0= 2 limx →2

x2= 4 ∀ϵ> 0 ∃ δ(ϵ) : ∣x−2∣< δ ⇒ ∣x2

−4∣< ϵ

∣x2−4∣=∣(x−2)( x+2)∣=∣x−2∣∣x+2∣< δ⏟

(1)

∣x+2∣< ϵ ⇒ δ=ϵ

x+2mal ! , δ sólo puededepender de ϵ

Procesode acotación: sea δ´= 1 como ∣x−2∣< δ ⇒ ∣x−2∣< 1 ⇒ −1< x−2< 1 ⇒ −1+2< x< 1+2 ⇒⇒ 1< x< 3 ⇒ (sumo 2en los tresmiembros de la desigualdad) 1+2< x+2< 3+2 ⇒ 3< x+2< 5 yestopor transitividad puedeextenderse así :−5< 3< x+2< 5 ⇒ ∣x+2∣< 5 (por (1) δ ∣x+2∣< δ⋅5) ⇒ ϵ= 5δ

entonces δ= ϵ5

Ahoradebo tomar el mínimo entre δ ´= 1 y δ= ϵ5

. Sea δ ´´= min {1, ϵ5 } ⇒

⇒ ∣x+2∣∣x−2∣< 5⋅ ϵ5= ϵ lim

x →2x2

= 4

Propiedades del límite funcional

Sean f : D f →ℝ y g : Dg →ℝ entonces :

a ) El límitees único b) Si c ∈ ℝ y limx → x0

f (x )= l ∈ ℝ ⇒ limx → x0

c f ( x)= c limx → x0

f ( x)= c⋅l

c ) Siexisten limx →x0

f (x )= l 1 ∈ ℝ y limx →x0

g ( x)= l 2 ∈ ℝ entonces :

• 1) limx → x0

f (x )±g ( x)= limx → x0

f ( x) ± limx →x0

g ( x)= l1 ± l 2 • 2) limx → x0

f (x)⋅g ( x)= limx → x0

f ( x)⋅ limx → x0

g (x )=

= l1⋅l2 • 3) Si g (x )≠ 0 ∀ x ∈ D f ∩ Dg y l 2≠ 0 ⇒ limx → x0

f (x )

g (x )=

l1

l 2

• 4) Si f ( x)≤ g (x ) ⇒ limx → x0

f (x )≤ limx →x0

g ( x)

XXIV

Demostración a ): Sea f definida en (a ,b) y x0 ∈ (a ,b) . Si limx → x0

f (x )= l 1 y limx →x0

g ( x)= l 2 debover que

l 1= l2

Para esto tomo un ϵ arbitrario y positivo ϵ2> 0. Como lim

x →x0

f (x )= l 1 ⇒ ∀ϵ> 0 ∃ δ1(ϵ): ∣x−x0∣< δ1 ⇒

⇒ ∣ f (x )− l1∣<ϵ2

y limx→ x0

f (x )= l 2 ⇒ ∀ϵ> 0 ∃ δ2(ϵ) : ∣x−x0∣< δ2 ⇒ ∣ f ( x)− l 2∣<ϵ2

∣l1 − l 2∣=∣l1− f ( x)+ f (x)−l 2∣≤(2)

∣l1 − f (x )∣+ ∣f (x )− l2∣<ϵ2

+ ϵ2= ϵ ⇒ ∣l 1 − l 2∣< ϵ peroademás

∣l1 − l 2∣≥ 0 l 1= l 2

Demostración 1) : limx→ x0

f (x )±g ( x)= l1 ± l 2 Observemos que f (x )± g (x ) es la imagen de x para la

función f +g : D f ∩ Dg →ℝ . Usamos sucesiones para probarlo. Debemos probar que { xn}, { xn} ⊂

⊂ D f ∩ Dg−{ x0 }: limn →∞

xn → x0 entonces limn→∞

f ( xn)+g (xn)= f ( x0)+g (x0)= l 1+l 2

Si { xn } ⊂ D f ∩ Dg−{ x0} y converge a x0 , entonces tenemosque { xn } ⊂ D f −{ x0 } yconverge a x0 ,entonces , por definición de límite lim

n →∞

f (xn)= l 1 y análogamente { xn } ⊂ Dg−{ x0} y converge a x0 ⇒

⇒ limn→∞

g (xn)= l 2 . Luego limn→∞

f ( xn)+g (xn) =(1)

limn→∞

f ( xn)+ limn →∞

g (x n)= l1+l 2

(1) por propiedad de límite desucesiones

Más propiedades

• Todo polinomio escontinuo • limx → x0

ln(x )= ln(x0) si x0> 0 • limx → x0

e f ( x)= e

limx→ x 0

f (x)= e f ( x0 )

• limx →x0

sen( f (x))= sen(limx → x0

f ( x))= sen( f ( x0))• Sean g : D g →ℝ y f funciones tal que f está definida en un intervalo abierto quecontienea g ( x0)= y0=

= limx →x0

g ( x) y limy → y0

f ( y)= l entonces limx → x0

( f ∘ g )(x )= l donde ( f ∘ g )(x )= f ( g (x ))

limx → x0

( f ∘ g)( x)= limx → x0

f ( g (x ))= f ( limx → x0

g (x))= f ( y0)= l

Corolario : si f : D f →ℝ y g : D g →ℝ son continuasy f (D f )⊂ Dg , entonces g ∘ f escontinua.Delmismo modo: si g es continuaen x= a y f es continua en g (a) , entonces f ∘ g (x )= f ( g (x )) escontinua en x= a .

Ejemplos :

• f (x )= cos( x)= sen( x+π2 )⏟

(2 )

escontinua • f (x )= tg ( x)=sen (x )

cos (x )⏟(3)

cos( x)≠ 0 ⇒ x≠ π2+k π

(2) Composiciónde funcionescontinuas , por lo tanto escontinua(3) Cociente defunciones continuascon denominador no nulo, es una composición defuncionescontinuaspor lo tanto también escontinua.

• •• • •• • • •• • •Veamos, retomando , queel límite lim

x →x0

sen (x ) esigual a sen (x0) . Usaremos identidades trigonométricas ,

las mismasse puedenencontrar en la mayoría de los líbrosde cálculoe inclusoen bibliografía deeducaciónsecundaria. No demostraremos las identidades trigonométricas , sólo las usaremos. Ellas son:

sen (α±β)= sen(α)⋅cos (β) ± cos (α)⋅ sen(β) ➋ cos (α±β)= cos (α)⋅cos(β)∓ sen(α)⋅sen (β)

XXV

sen (α)− sen(β)= 2⋅cos(α + β

2 )⋅ sen(α − β

2 ) ,α ,β dos ánguloscualesquiera

Quedamos enque ∣sen(x )− sen(x0)∣=∣2⋅cos( x+ x0

2 )⋅ sen( x−x0

2 )∣ (ver )

∣2⋅cos( x+ x0

2 )⋅sen( x− x0

2 )∣=∣2∣⋅∣cos( x2

+x0

2 )⋅ sen( x2

−x0

2 )∣ usamos y ➋ parasimplificar

= 2⋅∣[cos( x2)⋅cos( x0

2 )− sen( x2)⋅sen( x0

2 )]⋅[sen( x2)⋅cos( x0

2 )− cos( x2)⋅sen( x0

2 )]∣=

= 2⋅∣ cos( x2 )⋅ sen( x2 )⋅cos2( x 0

2 )− cos2( x2)⋅cos( x0

2 )⋅sen( x0

2 )− sen2( x2 )⋅cos( x0

2 )⋅sen( x0

2 )+

+ sen2( x0

2 )⋅cos( x2 )⋅ sen( x2 )∣= 2⋅∣ cos( x2 )⋅sen( x

2)⋅[sen2( x0

2 )+ cos2( x0

2 )]−

− cos( x0

2 )⋅sen( x0

2 )⋅[sen2( x2)+ cos 2( x

2)]∣= 2⋅∣ cos( x2)⋅sen( x

2 )− cos( x0

2 )⋅sen( x0

2 )∣<

< sen( x− x0

2 ) x> x0 x , x0 ∈ Icc (primer cuadrante cartesiano)

Indeterminaciones del tipo 0/0

Ejemplos : 1 ) limx →2

√ x−√2→0

x−2→0

= limx →2

√ x−√2x−2

⋅√x+√2

√x+√2= lim

x →2

x−2(x−2)(√ x+√2)

= limx→2

1

√ x+√2=

12√2

=√24

2) limx→1

√9 x−3→0

1−√ x→0

= limx →1

(√9 x−3)(√9 x+3)(1+√ x )

(1−√ x )(√9 x+3)(1+√ x )= lim

x→1

(9 x−9)(1+√ x)(1−x)(√9 x+3)

= limx →1

−9 (1−x )(1+√x )

(1−x )(√9 x+3)=

= limx →1

−9(1+√ x)

√9 x+3=

−9⋅(1+1)

√9+3=

−186

=−3 3 ) limx →−1

x2−1

→0

x+1→0

= limx →−1

(x+1)(x−1)x+1

= limx →−1

x−1=−2

4) limx→−1

(x+1)2→0

x 2−1→0

= limx →−1

(x+1)2

(x−1)(x+1)= lim

x →−1

x+1x−1

= 0

5 ) limx →2

x3−2 x−4

→0

x2−4→0

= limx →2

(x−2)(x2+2 x+2)

(x−2)(x+2)= lim

x →2

x2+2 x+2x+2

=104

=52

XXVI

1 0 -2 -4

2 2 4 4

1 2 2 0(Ejemplo 5)

Límites infinitos

Sea f : D ⊂ ℝ→ℝ una función y x0 ∈ ℝ ( x0 no necesariamenteen D)

Definición : diremos que limx→ x0

f (x)= ∞ (ó −∞) si cualquierasea la sucesión { xn } ⊂ D−{ x0 } con

limn →∞

xn= x0 , se tieneque limn→∞

f (xn)= ∞ (ó −∞)

Ejemplo : f : ℝ−{3 }→ℝ : f (x )=1

2 x−6xn →3n→∞

limn→∞

f (xn)= limn→∞

12 xn−6

= 0

Propiedades y operaciones con límites infinitos

Sean f : D f →ℝ y g : D g →ℝ

♦ limx→ x0

f (x)= l ∈ ℝ ∧ limx→ x0

g ( x)=±∞ entonces :

• limx →x0

f ( x)g (x )

= 0 • limx →x0

( f ( x)+g (x ))=±∞ • limx → x0

f ( x)⋅ g ( x)= {∞ si l> 0

−∞ si l< 0sin información si l= 0

♦ limx→ x0

f (x)= l> 0 ∧ limx → x0

g (x )= 0 entonces : limx →x0

f (x)g (x )

= {+∞ si g ( x)> 0−∞ si g ( x)< 0

♦ limx→ x0

f (x)=±∞= limx →x0

g (x ) entonces limx → x0

( f (x )+g ( x))=±∞

♦ limx→ x0

f (x)= l y limx→ x0

g (x )= ∞ entonces limx →x0

f ( x) g (x)= {

0 si l< 1∞ si l> 1no hayinformación si l= 1

Ejemplos: 1) limx→0 ( 1

x2 −1x4)

→ ∞−∞

= limx →0

x2−1x4 =−∞ 2) lim

x→0

1x2

+ x4

→0

=+∞ 3 ) limx →0

−1∣x∣

=−∞

4) limx→0+

1√ x

=+∞ Dom(√ x)= [ 0,+∞) 5) limx →0

x→0

√1+x2−1

→0

= limx →0

x

√1+x2−1

⋅√1+ x

2+1

√1+ x2+1

=

= limx →0

x (√1+x 2+1)

1+x2−1

= limx →0

x (√1+x2+1)

x2 = limx→0

√1+x2+1x

= ∞ (sin signo denominador →0)

"" símbolo matemático quesignifica " porque" o " puestoque"

Límites cuando x tiende a ±∞

Definición : sea f : D→ℝ (dondeD incluye semirrectas (a ,+∞) o (−∞ , a)) decimos que limx→∞

f ( x)= l

si cualquiera sea la sucesión { xn} ⊂ D, talque limn→∞

xn= ∞ se tiene que limn→∞

f ( xn)= l . Análogamente

limx →−∞

f (x )= l (l puedeser ±∞)

XXVII

Ejemplos : • limx →∞

1x= 0 ( xn →∞

n→∞, lim

n→∞

f ( xn)= limn→∞

1xn

= 0)

• limx →∞ (1+

1x)

x

= e pues limn→∞ (1+

1xn)

xn

= e

Límites laterales

Definición : diremos que f : D→ℝ tiene límite lateral por izquierda l1 ( también denotado " l i") cuandox→ x0 , si para cada sucesión { xn} ⊂ D : xn< x0 y lim

n→∞

xn= x0 , se tieneque limn→∞

f (xn)= l1

Por definición ∀ϵ> 0 ∃ δ(ϵ)> 0 : −δ< x−x0< δ ⇒ x0−δ< x< x0+δ ⇒ ∣ f (x )−l 1∣< ϵ

Análogamentediremos que tiene límite lateralpor derecha l 2 ( también deno-- tado " l d ") cuando x →x0 si para cadasucesión { xn} ⊂ D−{ x0}, xn> x0

y limn→∞

xn= x0 ⇒ limn→∞

f (xn)= l 2

∀ϵ> 0 ∃ δ(ϵ)> 0 : 0< x− x0< δ ⇒ x0< x< δ+x0 ⇒ ∣ f (x )−l 2∣< ϵ

Ejemplos : 1) f ( x)= [ x ] x0= 1 l d= limx →1+

[ x ]= 1 li= limx →1−

[ x]= 0 l d≠ li ⇒ limx →1

[ x ]

2) f (x)=1x

x0= 0 l d = limx→0+

f ( x)= limx →0+

1x=+∞ l i= lim

x →0−

f ( x)= limx→0−

1x=−∞

3 ) f ( x)= {x2 si x≠ 25 si x= 2

x0= 2 l d = limx→2+

x 2= 4 l i= lim

x →2−

x2= 4 lim

x→2f ( x)= 4

4) f (x )= {3 x−1 si x< 04 si x= 02 x+5 si x> 0

l d= limx →0+

f (x)= limx →0+

2 x+5= 5 l i= limx →0−

f ( x)= limx→0−

3 x−1= 1

l d ≠ l i ⇒ limx →0

f (x )

Teorema : sea f : D→ℝ una función , son equivalentes : a ) limx → x0

f ( x)= l (existeel límite)

b ) limx → x−0−

f (x )= l= limx → x−0+

f (x )

XXVIII

Ejemplos: 1) h( x)= tg( x) x0=π2

limx →π

2

+

tg (x )=−∞ limx → π

2

−

tg (x )=+∞

2) f (x)= {3 x−1 si x< 2x2

+1 si x≥ 2l d = lim

x→2+

x2+1= 5 l i= lim

x →2−

3 x−1= 5

l d = l i= 5 limx→2

f ( x)= 5

Observación : f escontinua en x= x0 si y solosi limx → x0

+

f (x )= limx →x0

−

f (x )=

= f (x0)

Límites notables

Recordemos quesi {an }, n ∈ ℕ es unasucesión talque limn →∞

an= ∞ entonces limn→∞(1+

1an)

an

= e .Estudia -

- remosahora limx →0

(1+x )1x

Consideremos xn →0+⇒

1x n

→+∞ limx →0+

(1+x )1x= lim

n→∞ (1+11xn

)1xn= e= lim

n →∞ [(1 −1−1xn

)−

1x n ]

−1

limx →0

(1+ x )1x= e y también vale que lim

x→∞(1+

1x)

x

= e= limx →−∞

(1+1x )

x

Ejemplos: 1) limx→0

ln(1+x )→0

x→0

= limx →0

1x

ln(1+ x)= limx →0

ln( x+1)1x= ln(lim

x →0( x+1)

1x)= ln e= 1

2) limx →0

e x−1→0

x→0

=(1)

limz→0

z→0

ln (z+1)→0

= limz→0

1ln(z+1 )

z

= limz→0

11z⋅ln (z+1)

0 limz→0

1

ln (z+1)1z

=11= 1

(1) cambio de variable: z= ex−1 ⇒ z+1= ex

⇒ ln(z+1)= x {z= e x−1 ∧ x →0} ⇒ z →0

limx →0

sen(x )

x= 1 Demostración : sen( x)≤ x ≤ tg( x) ⇒ sen (x )≤ x≤

sen ( x)cos (x )

⇒

⇒ (invertimos )1

sen ( x)≥

1x≥

cos (x )

sen (x )⇒

cos (x)sen (x )

≤1x≤

1sen(x )

⇒

⇒ (multiplico por sen (x ))∗1 cos( x)≤sen(x )

x≤ 1 ⇒ (tomo límite )∗2

*1 se puede multiplicar por sen (x) ya que enel1er cuadrante el senoes positivo

*2 recordar la propiedad : f (x)≤ g(x) ⇒ limx → x0

f (x)≤ limx → x0

g ( x)

limx →0+

cos (x)≤ limx →0+

sen( x)x

≤ limx →0+

1 ⇒ 1≤ limx →0+

sen (x )

x≤ 1 lim

x →0+

sen( x)x

= 1

XXIX

Análogamente limx →0−

sen( x)x

= limx →0−

sen(−x)−x

= limx →0−

−sen( x)−x

=

= limx →0 −

sen (x)x

= 1

limx →0

tg ( x)→0

x→0

= limx →0

sen(x )

cos(x)

x= lim

x →0

sen(x )

cos (x )⋅

1x= lim

x→0

sen( x)x

⋅1

cos (x )→1

= 1

En general limx →0

sen (α x )

α x= 1 ∧ lim

x →0

tg(α x)α x

= 1

Ejemplos :

1 ) limx →0

ln (1+x )→0

x→0

= limx →0

1x⋅ln(1+x )= lim

x →0ln(1+ x)

1x= ln(lim

x→0(1+ x)

1x)= ln(e )= 1

2) limx →0

ln x→0

x−1→0

= ... cambio de variable:{ z= x−1 ⇒ x= z+1 ∧ x →0 ⇒ z →0 } ... = limz→0

ln( z+1)

z=

= limz→0

ln(z+1)1z= ln(e )= 1

3 ) limx →0

2 x→0

sen (3 x)→0

= limx →0

23⋅

3 xsen (3 x )

= limx →0

23⋅

1sen(3 x)

3 x

= limx →0

23=

23

4) limx→0

1−cos( x)→0

x2

→0

= limx →0

(1−cos ( x))⋅(1+cos (x ))

x2⋅(1+cos (x ))

= limx →0

1−cos2( x)

x2(1+cos ( x))

= limx →0

sen2(x )

x2(1+cos( x))

=

= limx →0

sen2(x )

x2 ⋅1

1+cos (x )⏟→

12

= limx →0 (

sen( x)x )

2

⋅1

1+cos( x)=

12

5 ) limx →0

tg 2(5 x )→0

sen (2 x )→0

= limx →0

tg(5x )⋅tg (5 x)sen (2 x )

= limx →0

(5 x)2 tg (5 x)⋅ tg (5 x)5 x⋅5 x

2 x⋅sen(2 x)

2 x

= limx →0

(5 x)2 tg (5 x)5 x⏞→1

⋅tg (5 x )

5 x⏞→1

2 x⋅sen(2 x)

2 x⏟→1

= limx →0

25 x2

= 0

Discontinuidad

Una función f ( x) es continua en x0 , x0 ∈ D( f ) ⇔ limx →x0

f ( x)= f ( x0) . Por lo cualse considera loque

sigue : I ) existe f (x0) II) existe limx → x0

f (x ) III) f (x0) coincidecon limx → x0

f (x)

XXX

Si unode esos trespuntos considerados nose cumplen , entonces se habla de un tipo dediscontinuidad.

Tipos de discontinuidad

Sea f : D→ℝ una función , diremos que :

a ) f tiene una discontinuidad evitableen x= x0 si:

• 1 f no está definida en x0 pero limx→ x0

f (x )= l , l ∈ ℝ

Ej.: f : ℝ−{1 }→ℝ : f (x )= x I ) f (1) II) limx→1+

x= 1 , limx →1−

x= 1 limx →1

x= 1

• 2 ∃ f (x0) ∧ ∃ limx → x0

f ( x) pero f ( x0)≠ limx → x0

f ( x) (no coinciden )

Ej.: f (x)= { x2 si x≠ 2−1 si x= 2

I ) ∃ f (2)=−1 II) limx→2+

x2= 4 , lim

x →2−

x2= 4 lim

x →2f (x)= 4

III ) f (2)≠ limx →2

f ( x)

b) f tiene una discontinuidad inevitablede tipo saltoen x= x0 , si no existe limx → x0

f ( x)

1) Porque los límiteslaterales no coinciden (salto finitoo de1a especie)limx→ x0

+

f ( x)≠ limx→ x0

−

f ( x) ⇒ limx→ x0

f (x )

2 ) Alguno de los límites lateraleso ambos son infinitos (salto infinitoo de 2a especie)

Ejemplos : 1) f (x )= [ x ] en x= 0 I ) f (0)= [0]= 0 II) limx→0+

f ( x)= 0 ∧ limx→0−

f (x )=−1 ⇒

⇒ limx →0

f ( x) discontinuidad inevitabledesalto finito.

2) f (x)= {x

2−4

x+2si x< 2

3 si x= 2x2 si x> 2

en x= 2 y en x=−2

En x= 2 I ) f (2)= 3 II) limx →2+

f (x )= limx →2+

x2= 4 ∧ lim

x →2−

f ( x)= limx →2−

x2−4x+2

= 0 ⇒ ∃ limx →2

f (x )

Por lo tantoen x= 2 hay una discontinuidad inevitablede tipo salto finito.

En x=−2 I ) f (−2) (ya quehay una indeterminación :00) II ) lim

x →−2+

f (x)= limx →−2+

x2−4

x+2=

= limx →−2+

( x−2)( x+2)

x+2=−4

limx →−2−

f ( x)= limx→−2−

x2−4

x+2= lim

x →−2−

(x−2)( x+2)

x+2=−4 ⇒ ∃ lim

x →−2f (x )=−4 hay una discontinuidad

evitable en x=−2 .Ahora voya redefinir la función

XXXI

h(x )= {x2

−4x+2

si x< 2

−4 si x=−23 si x= 2x2 si x> 2

3 ) f ( x)= {x−1 si x≤ 0x+2 si x> 0

en x= 0 I ) f (0)=−1 II ) limx →0+

f ( x)= limx →0+

x+2= 2

limx →0−

f ( x)= limx→0−

x−1=−1 ⇒ limx →0

f (x ) f ( x) es discontinua inevitablede1a especieen x= 0

4) f (x )=sen( x)

xen x= 0 I) f (0) II) lim

x →0

sen( x)x

= 1 hay una discontinuidad evitable

en x= 0

Redefinimos la función : h(x )= {sen(x)

xsi x≠ 0

1 si x= 0

Definición : unafunción f : D→ℝ se dice infinitésimoen x= x0 ∈ D si ysolo si limx→ x0

f (x)= 0

Ejemplos : sen(x ) ; x ; 1−cos ( x) ; ln(1+x ) ; ex−1 ...

Teorema : si f y g son funcionescontinuasen x= x0 y c ∈ ℝ entonces las siguientes funciones también

son continuas : 1 ) f +g 2 ) f −g 3 ) c⋅ f 4 ) c⋅g 5)fg

si g ( x0)≠ 0

Demostración 1) : limx → x0

( f +g)( x)= limx → x0

( f (x )+g ( x))= limx → x0

f ( x)+ limx → x0

g (x )= f ( x0)+ g (x0)=

= ( f +g )(x0)

Proposición : toda función polinómica escontinua.

f ( x)= x (fácil dedemostrar)

f ( x)= x2= x⋅x (producto de funcionescontinuas , escontinua por el teorema anterior)

⋮

f ( x)= xn= x⋅ x⋅x⋅ ...⋅ x⏟

n veces

(producto de funcionescontinuas , es continua)∗1

Si k ∈ ℝ f (x )= k⋅ xn , por ∗1 y por el teorema dadoanteriormente , escontinua ∀n ∈ ℕ

Un polinomioes una suma o restade monomios de la forma k xn por lo tanto , por ser una suma oresta defunciones continuas , por el teorema previamente visto , escontinuo.

La función racional es uncociente de polinomios (y los polinomios soncontinuos ) , por lo tanto será contí -- nua en todo puntoque noanule al denominador.

Ejemplopara reflexionar sobre la redefinición : f (x )= {x2−4x−2

si x> 2

3 si x= 2x3

−4 si x< 2

en x= 2

XXXII

I ) f (2)= 3 II) limx→2+

f ( x)= limx →2+

x2−4→0

x−2→0

= limx →2+

( x−2)( x+2)

x−2= 4 lim

x →2−

f (x )= limx →2−

x3−4= 4

Luego, como los límites lateralesexisten y tienen el mismo valor , el límite de la función en x= 2 existe y es4 ; el límitede la función no coincide con la imagen de la función en x= 2 por lo cual tenemos una disconti -- nuidad evitable en x= 2 . Redefinamosla función.

Como el límite de la función en x= 2 vale 4, podemos decir queen la expresiónde f (x) debemos cambiarel 3 por un 4 y entonces tendremos una función continua a la que llamaremos h.

h(x )= {x2

−4x−2

si x> 2

4 si x= 2x3

−4 si x< 2

Si nos detenemosa pensar loque hemos visto cuandoanalizamos límites tenemosque a medidaque nosapro -- ximamos al valor 2 (por derecha y por izquierda) la función esmás próxima a 4por derecha y por izquierda.Y por ello podemos incluir , en el intervalo donde la función tiene forma polinómica , al 2, de modoqueahora será un intervalo semicerrado. Es importanteentender también que no podemos incluir al 2 enel inter -- valosemiabierto donde la expresiónde la función es racional , ya queen esa parte de la función no existeimagen para un x= 2 (el denominador de la expresión racional sería nulo) .

Finalmente tenemos queeslo mismo escribir la formaanterior o esta otra :

h(x )= { x2−4x−2

si x> 2

x3−4 si x≤ 2

Propiedades de las funciones continuas

Sea f continua en todos los puntos de un intervalo [a , b]

1 ) Sea f : A →ℝ (A ⊂ ℝ) , f se dice acotada si existen números reales m y M talesque m≤ f (x )≤ M∀ x ∈ A , esdecir Im ( f ) está acotada inferiormente y superiormente Im ( f )= { x ∈ A : f (x ) ∈ℝ}

Teorema : una función continua en un intervalo [a , b] esacotada en [a , b] .

2) Alser Im ( f ) acotada , significa que tiene ínfimo y supremo querepresentanmínimo y máximo de la función. Esdecir , existen x0 y x1 en [a , b] talesquef ( x1)≥ f ( x) ∀ x ∈ [a , b]

Teorema : toda funcióncontinua en [a , b] alcanza un mínimo y un máximoen[a , b] , esdecir f (x0)≤ f ( x)≤ f ( x1) ∀ x ∈ [a , b]

Lema : sea f : D→ℝ continua , x ∈ (x0−r ; x0+r )∗1⊂ D tal que f (x0)≠ 0 , entonces f conserva su

signo en un entorno de x0 .Demostración : ∗1 ∣x− x0∣< rComo lim

x → x0

f ( x)= f (x0) entonces ∀ϵ> 0 ∃ δ(ϵ)> 0 : ∣x−x0∣< δ ⇒ ∣ f ( x)− f ( x0)∣< ϵ

XXXIII

• Asumamos f (x0)> 0 y ϵ=12

f ( x0) entonces existe δ0> 0 que verifica Entonces por un lado te -

- nemos ∣x−x0∣< δ0 y , por otro lado ∣x−x0∣< r . Entonceselijo δ= min.{δ0, r } entonces six ∈(x0−δ ; x0+δ) ⇒ −ϵ< f ( x) − f (x0)< ϵ ⇒ f ( x0)−ϵ< f ( x)< f (x0)+ϵ ⇒ f (x )> f (x0)−ϵ pero

ϵ=12

f (x0) ⇒ f (x )> f (x0)−12

f ( x0)=12

f ( x0)> 0 queda demostradoque elsigno seconserva.

Si f (x0)< 0 ⇒ − f ( x0)> 0... demostrar.

Proposición: f : D→ℝ continua tal que [a ,b]⊂ D entonces :I ) (Bolzano) si f (a) y f (b) son no nulos y dedistinto signo, existe x0 ∈ (a ,b): f (x0)= 0 fig. 1

II) (Darboux ) para cada y0 entre f (a ) y f (b) existe x0 ∈ [a ,b] tal que f (x0)= y0 teorema devalorintermedio.

Demostración I) : asumamos que f (a )< 0< f (b) . Seael conjuntoc= { x ∈ [a ,b ]: f (x)< 0} a ∈ c ⇒ c≠ ∅ yestá acotadosuperiormente por b ⇒⇒ tienesupremo. Sea x0= sup. (c) , para ver que f (x0)= 0 vamos a descartarf ( x0)< 0 y f (x0)> 0 para ello tendremosen cuenta la siguiente propiedad.

♦ propiedad : sea f continua en x= x0 . Si a< f ( x0)< b ⇒

⇒ ∃ δ> 0 : ∣x− x0∣< δ ⇒ a< f ( x)< b fig. 2

• si f ( x0)< 0 ⇒ ∃δ> 0 tal que para ∣x−x0∣< δ ⇒ f ( x)< 0 recordemos que∣x− x0∣< δ ≡ x0−δ< x< x0+δ

Sea x1 un número cualquiera entre x0 y x0+δ, es decir x0< x1< x0+δ entoncesf ( x1)< 0 , con lo cual x1 ∈ c y x1> x0 queesel sup.(c)# ⇒ f ( x0) 0Análogamente f (x0) 0 f (x0)= 0

Demostración II ): Asumimosque f (a)< y0< f (b) ➋ Definimos g (x)= f (x )− y0 continuaen D

g (a)= f (a )− y0 < 0 (ver en ➋) g (b)= f (b)− y0 > 0 (ver en ➋) entonces , por I) ∃ x0 ∈ [a ,b] talque g (x0)= 0 pero g (x0)= f ( x0)− y0= 0 ⇒ f (x0)= y0

Corolario : la imagen de un intervalo por una función continua es un intervalo.

Teorema de Weierstrass: si f : [a ,b ]→ℝ escontinua , entonces alcanza un mínimo en algún x0 ∈ [a ,b]

y un máximoen algún x1 ∈ [a ,b] con locual f ( x0)≤ f ( x)≤ f (x1) ∀ x ∈ [a ,b]

Derivada

Dada una función f : D→ℝ sea P= (x0 , f ( x0)) un punto de la curva ysea Q= (x0+h, f (x0+h)) un puntode la curva próximo a P, si se unea P conQ seobtiene una recta queessecante.

XXXIV

Pendiente de la rectasecante : msec= tg (α)=f (x0+h)− f ( x0)

hfig. 3

Q→P ⇒ la recta secante tiende a la recta tangentea la curva en P fig. 4

Pendientede la recta tangente : mtg= limΔ x →0

Δ yΔ x

= limh →0

f ( x0+h)− f (x0)

h

Definición : llamamos derivadade la función f en el punto x= x0, y sedenota : f ´ (x0) al siguiente límite

si este existe : limΔx →0

Δ yΔ x

= limh→0

f ( x0+h)− f (x0)

h

Observaciones :

1 ) Si ellímite existe , decimos que f es"diferenciable "en x0. Con locual también usaremos la notacióndfdx

( x0)

2) La noción dederivada es puntual , hemosdefinido la derivada de una función en un punto.

Ejemplos : 1 ) Sea f (x)= x y x0= 1, hallar f ´ (1) y f ´( x)

f ´(1)= limh→0

f (1+h)− f (1)

h= lim

h→0

1+h−1h

= limh→0

hh= 1

f ´(x )= limh→0

f ( x+h)− f ( x)h

= limh→0

x+h−xh

= limh→0

hh= 1} f (x )= x ⇒ f ´( x)= 1

2) f (x)= x3+1 y x0= 1 , hallar f ´(1) y f ´( x)

f ´(1)= limh→0

f (1+h)− f (1)

h= lim

h→0

(1+h)3+1 − (13

+1)h

= limh→0

1+3h+3h2+h3

+1−2h

=

= limh→0

h (3+3h+h2)

h= lim

h→03+3h+h

2⏟

→0

= 3

f ´(x )= limh→0

f ( x+h)− f (x)h

= limh→0

(x+h)3+1− x3

−1h

= limh→0

x3+3 x2 h+3 x h2

+h3−x3

h=

= limh→0

h (3 x2+3 x h+h2

)

h= 3 x2

3 ) f ( x)=∣x∣ x0= 0 f ´(0)= limh→0

f (0+h)− f (0)h

= limh→0

∣h∣− 0h

= limh→0

∣h∣h

la única manerade hallar

este límite , sies queexiste , es analizando por límiteslaterales.

limh→0+

∣x∣h

= limh→0+

hh= 1

limh→0−

∣x∣h

= limh→0−

−hh

=−1} limh→0

f (0+h)− f (0)

h f ´(0)

XXXV

Ecuaciones de las rectas tangente y normal a una curva en un punto

Sea f : D→ℝ derivable en x0 ∈ D, se definen :

• Recta tangente : y= f ´( x0)(x−x0)+ f (x0)

• Recta normal : y=−1

f ´( x0)(x− x0)+ f ( x0) f ´(x0)≠ 0

La recta normales perpendicular a la recta tangente.Si f ´( x0)= 0 la recta normalse busca deotra manera , noesque noexista ! , la recta normal existesiempreque exista la recta tangente.

Cálculo de algunas derivadas por definición

Por definición tenemos que f ´(x0)= limh→0

f (x0+h)− f (x0)

h

• f ( x)= k , k ∈ ℝ f ´ (x )= limh →0

f (x+h)− f (x )

h= lim

h→0

k−kh

= 0

• f ( x)= x f ´(x )= limh→0

x+h − xh

= limh→0

hh= 1

• f ( x)= x2 f ´(x )= limh→0

(x+h)2− x2

h= lim

h→0

x2+2 x h+h2

− x2

h= lim

h→0

h (2 x+h)

h= lim

h→02 x+h= 2 x

• f ( x)= x3 f ´ (x )= limh →0

(x+h)3− x3

h= lim

h→0

x3+3x2 h+3 x h2

+h3− x3

h= lim

h→0

h (3 x2+3 x h+h2

)

h=

= limh→0

3 x2+3 x h+h2

= 3 x2

En general f (x )= x n⇒ f ´(x)= n xn−1

• f ( x)= sen (x ) f ´(x )= limh→0

sen (x+h)−sen( x)h

=(1)

limh→0

sen( x)cos (h)+cos( x) sen(h) − sen (x)h

=

= limh→0

sen (x ) (cos (h)−1)+cos( x) sen(h)

h= lim

h→0

sen( x) (cos(h)−1)h

+ limh→0

cos (x )sen (h)

h=

= sen (x )⋅limh→0

cos (h)−1h

+ cos (x )⋅ limh→0

sen (h)

h= sen (x)⋅lim

h→0

cos (h)−1h

⋅cos(h)+1cos(h)+1

+ cos( x)⋅

⋅limh →0

sen (h)

h= sen( x)⋅ lim

h→0

cos2(h)−1

h (cos (h)+1)+ cos( x)⋅ lim

h→0

sen(h)h

= sen (x )⋅limh→0

−sen2(h)

h (cos(h)+1)+

+ cos( x)⋅ limh→0

sen(h)

h= sen (x )⋅lim

h→0

−1 sen(h) sen (h)

h (cos (h)+1)+ cos( x)⋅ lim

h→0

sen(h)h

=

= sen (x )⋅limh→0 (−1⋅

sen(h)

h⋅

sen(h)

cos(h)+1)+ cos( x)⋅ limh→0

sen (h)h

= 0 + cos (x)= cos (x )

XXXVI

(1) Se usa la identidad sen (α+β)= sen(α)cos (β)+ cos (α)sen(β)

• f (x )= cos( x) f ´ (x )= limh→0

cos ( x+h)−cos (x)h

=(2)

limh→0

cos ( x)cos (h)−sen (x )sen (h)− cos (x )

h=

= limh→0

cos( x) (cos (h)−1)− sen (x )sen(h)

h= cos( x)⋅ lim

h→0

cos (h)−1h

− sen( x)⋅ limh→0

sen(h)

h=

= cos ( x)⋅ limh→0

cos (h)−1h

⋅cos (h)+1cos (h)+1

− sen(x )⋅limh→0

sen(h)

h= cos( x)⋅ lim

h→0

cos2(h)−1

h (cos (h)+1)−

− sen (x )⋅limh→0

sen (h)

h= cos ( x)⋅ lim

h→0

−sen2(h)

h (cos (h)+1)− sen (x )⋅lim

h→0

sen (h)

h=

= cos ( x)⋅ limh→0 (−1⋅

sen(h)

h⋅

sen(h)

cos(h)+1)− sen(x)⋅limh→0

sen(h)

h= 0−sen( x)=−sen (x )

(2) Se usa la identidad cos (α+β)= cos (α)cos(β)− sen (α) sen(β)

• f (x )= ln(x ) x> 0 limh→0

ln( x+h)−ln ( x)h

= limh →0

ln ( x+hx )

h= lim

h→0

ln(1+hx)

h= lim

h→0

1h⋅ ln(1+

hx )=

= limh→0

ln(1+hx )

1h = ... cambio devariable : z=

hx

⇒ h= z x ; h →0 ⇒ z →0 ... = limz →0

ln (1+z )1

z x=

= ln(limz→0

(1+ z)1

z x)= ln(limz→0

[(1+z )1z ]

1x)= ln e

1x=

1x

ln e=1x

• f (x )= √x x≥ 0 f ´( x)= limh→0

√ x+h−√ xh

= limh→0

√x+h−√ xh

⋅√ x+h+√ x

√ x+h+√ x= lim

h→0

x+h− xh (√ x+h+√ x )

=

= limh→0

hh (√ x+h+√ x)

= limh→0

1√ x+h+√ x

=1

2√x=

√ x2 x

x≠ 0

• f (x )= ex f ´( x)= limh→0

ex+h− e x

h= lim

h→0

e x⋅eh

− ex

h= lim

h→0

ex(eh

−1)h

= ex limh→0

eh−1h

=

= ... Cambio devariable : z= eh+1⇒ h= ln(z+1) ; h→0 ⇒ z →0 ... = ex lim

z→0

zln( z+1)

=

= e x limz →0

1ln (z+1)

z

= e x limz→0

1ln(z+1)1 / z = ex

⋅

limz→0

1

limz→0

ln(z+1)1 / z = ex⋅

1

ln(limz→0

(1+ z)1 / z

)= ex

⋅1

ln e= ex

• f (x )= ax a ∈ℝ+−{1 } f ´( x)= lim

h→0

ax+h−a x

h= lim

h→0

ax(ah

−1)

h= ... cambio devariable : t= ah

−1

t+1= ah⇒ ln(t+1)= ln (ah

) ⇒ ln (t+1)= h ln a ⇒ h= ln(t+1)/ ln a ; h→0 ⇒ t →0

XXXVII

... = limt→0

ax tln (t+1)

ln a

= a x limt →0

11t⋅

ln(t+1)ln a

= ax limt→0

ln a1t⋅ ln(t+1)

= a x limt→0

ln aln(t+1)

1/ t = a x ln a limt →0

1ln(1+t)1 /t =

= a x ln a⋅

limt→0

1

limt→0

[ln (1+t)1/ t ]= a x ln a⋅

1

ln( limt →0

(1+t)1/ t

)=

a x ln aln e

= ax ln a

• f (x )= tg (x ) f ´(x )= sec2(x ) • f (x )= cotg (x ) f ´ (x )=−cosec2

( x)

Para todas las funciones vistas hallamos la derivada en todos los puntos del dominiodedefinición. Encontra -- mos una nueva función : la función derivada.

Función derivada

f : D→ℝ (x → f (x)) f ´ : D→ℝ (x → f ´ (x)) f ´( x) notaciónde Lagrange

" y " o , actualmente " f " notación de Newtondydx

odfdx

notación deLeibniz (la más útil)

" D f " o " D x f " notación de Arbogast

Tabla de derivadas

f (x ) c x xn sen( x) cos (x ) ln x e x a x √ x tg x cotg x

f ´(x) 0 1 n x n−1 cos (x ) −sen (x )1x e x a x ln a

12√ x

sec2(x) −cosec 2

( x)

Teorema : si f : D→ℝ es derivableen x0 ∈ D , entonces f es continuaen x0

Demostración: limx → x0

f (x)= limx→ x0

f (x)− f (x0)+ f (x0)= limx → x0

f (x )− f (x0)+ limx → x0

f (x0)=

= limx →x0

[ f (x)− f (x0)] (x− x0)

x−x0

+ limx →x0

f ( x0) x−x0= h ⇒ x= h+x0 ; x → x0 ⇒ h →0

limh→0

[ f (h+ x0) − f (x0)] hh

+ limh→0

f (x0)= limh→0

f ´( x0)h + limh→0

f (x0)= 0+ f (x0)= f (x0) f (x0) escon -

- tinua en x0

Reglas de derivación

Teorema : sean f y g derivablesen x0 , y α ∈ ℝ , entonces :

a ) (α f )´ (x0)= α f ´( x0) b ) ( f +g )´ (x0)= f ´ (x0)+g ´( x0)

c ) ( f ⋅ g)´( x0)= f ´( x0) g ( x0)+ f (x0) g ´( x0) d ) ( fg )´(x0)=

f ´ (x0) g ( x0) − f (x0)g ´( x0)

g2( x0)

XXXVIII

f esderivable en x0 ⇒ f escontinua en x0 f no escontinua en x0 ⇒ f noesderivable en x0

Demostración de la reglade derivación del producto de funciones :

( f ⋅g )´(x0)= limh→0

( f g)( x0+h)−( f g )( x0)

h= lim

h→0

f ( x0+h)⋅g ( x0+h) − f (x0)⋅g ( x0)

h=

Sumo y resto f (x0) g (x0+h) enel numerador:

limh→0

f ( x0+h)⋅ g (x0+h)− f ( x0)⋅g ( x0)+ f ( x0) g ( x0+h)− f ( x0) g (x0+h)

hreordenamos el numerador

limh→0

f ( x0+h)⋅ g (x0+h)− f ( x0) g (x0+h)+ f ( x0) g ( x0+h)− f ( x0)⋅ g (x0)

h=

limh→0

g (x0+h) [ f ( x0+h)− f (x0)]

h+ lim

h→0

f (x0) [ g (x0+h)−g (x0)]

h=

= limh→0

g (x0+h)⋅f (x0+h)− f ( x0)

h+ lim

h→0f (x0)⋅

g (x0+h)−g (x0)

h= g (x0)⋅ f ´(x0)+ f ( x0)⋅ g ´(x0)

Si f (x )= x4 entonces f ´( x)= 4 x3= (x⋅ x3

)´ usando la regla anteriormente demostrada tenemos:

f ´(x )= x ´ x3+ x ( x3

)´= 1⋅x3+ x⋅3 x2

= x3+3 x3

= 4 x3

f ( x)= xn+1(ξ( x)= xn

⇒ ξ ´ (x)= n xn−1) f ´(x )= (x )´ xn

+ x ( xn) ´= xn

+ x n xn−1= xn

+n xn=

= x n(1+n)= (n+1) xn

Ejercicio: calcular f ´ (x ) encada caso, aplicando reglasde derivación

1 ) f (x )= 3 ln (x)+ln 2+18

x4−

13

x5 f ´ (x )= 31x+0+

48

x3−

53

x4=

3x+

12

x3−

53

x4

2) f (x)= π−sen( x)+ x ln(x )−34√ x+cos π f ´( x)= 0−cos( x)+ln(x )+1−

38

x−

12+0=

= ln (x)−cos (x )−3

8√ x+1

3 ) f ( x)=3 x−1x+2

x≠−2 f ´(x)=(3 x−1)´ (x+2)− (3 x−1) (x+2)´

( x+2)2 =

3 x+6−3 x+1

( x+2)2 =

7

(x+2)2

4) f (x )= x3( x+1) 1a forma : f ´( x)= 3 x2

(x+1)+ x3= 4 x3

+3 x2

2a forma : f (x )= x4+x3

⇒ f ´( x)= 4 x3+3 x2

Demostración de la derivada de la tangente usando regla del cociente : tg( x)=sen(x )

cos (x )⇒ f ´( x)=

XXXIX

=sen ´(x ) cos (x) − sen (x) cos ´(x )

cos2(x )

=cos2

(x )+sen2( x)

cos2( x)

=1

cos2( x)

=( 1cos (x))

2

= sec2( x)

Regla de la cadena

Si g esderivable en x0 y f es derivableen g ( x0) entonces la composición f ∘g= h esderivable en x0 yh´ (x0)= ( f ∘g )´ (x0)= f ´ (g ( x0))⋅g ´( x0)

Demostración:

g ´(x0)= limh→0

g ( x0+h)−g (x0)

h

f ´( g (x0))= limh →0

f ( g (x0)+h)− f ( g (x0))

h} por definición

h´ (x0)= ( f ∘g )´ (x0)= limh→0

( f ∘g )(x0+h)− ( f ∘g )(x0)

h= lim

h→0

f (g ( x0+h))− f (g (x0))

h= ...

k= g ( x0+h)−g (x0) ⇒ k+g (x0)= g ( x0+h) h →0 ⇒ k →0

tenemosf (g (x0)+k )− f (g ( x0))

h=

f (g ( x0)+k )− f (g (x0))

h⋅

kk

f (g ( x0)+k )− f ( g (x0))

h⋅

kk=

f (g (x0)+k )− f (g (x0))

k⋅

kh

...= limk →0

f (g ( x0)+k )− f (g (x0))

k⋅lim

h →0

kh= lim

k →0

f ( g (x0)+k )− f (g ( x0))

k⋅lim

h→0

g ( x0+h)−g (x0)

h=

= f ´(g ( x0))⋅g ´( x0)

Ejemplos :

1 ) s (x)= sen(3 x2+x) f ( x)= sen( x) ⇒ f ´(x )= cos( x) g (x )= 3 x2

+ x ⇒ g ´(x )= 6 x+1s (x )= ( f ∘g )(x)= f (g ( x))= f (3 x2

+ x)= sen (3 x2+ x)

s ´ (x)= f ´(g ( x))⋅g ´( x) ⇒ s ´(x )= cos (3 x2+ x)⋅(6 x+1)

2) t( x)= sen3(x ) f (x )= x3

⇒ f ´( x)= 3x2 g (x )= sen (x ) ⇒ g ´(x )= cos( x)

f ´(g ( x))= 3 g 2(x)⋅g ´( x) t (x )= ( f ∘g )(x )= f (sen( x))= (sen( x))3

= sen3( x)

t (x )= sen3(x) ⇒ t ´( x)= 3 sen2

(x )⋅cos (x )

3 ) n(x )= sen2(ln(2 x)) ξ´ (x )= f ´(g ( x))⋅g ´( x)

f ( x)= x2 ; g (x )= sen (ln(2 x)) ; f 1( x)= sen (x ) ; g1(x )= ln (2 x ) ; f 2( x)= ln( x) ; g2( x)= 2 x

( f ∘g )(x )= f (sen (ln(2 x))) ( f 1∘g1)(x)= sen( ln(2 x )) ( f 2∘ g2)( x)= ln(2 x)

XL

la derivada de x2 es 2 xla derivada de 5 es 0

(derivada deuna constante)

y2 sederiva comosi fuerauna función compuesta : 2 y⋅ y ´

n ´(x )= f ´(g (x ))⋅ g ´ (x )= f ´(g ( x))⋅ f ´1(g1( x))⋅g ´1(x )= f ´(g (x ))⋅ f ´1(g 1( x))⋅ f ´2(g 2(x ))⋅

⋅g ´2( x)= 2 sen (ln(2 x))⋅cos ( ln(2 x ))⋅1

2 x⋅2=

2 sen( ln(2 x))⋅cos (ln (2 x ))

x

4 ) z ( x)= ln(cos3( x2

+1)) z ´(x )=1

cos3(x2

+1)⋅3 cos2

( x2+1)⋅(−sen(x2

+1))⋅2 x=

=−6 x cos2(x2+1) sen( x2+1)

cos3( x2

+1)=

−6 x sen ( x2+1)

cos ( x2+1)

=−6 x tg (x2+1)

5 ) f ( x)= ln(x 4+tg 2

(x )) f ´ (x)=1

x4+tg 2

( x)⋅(4 x3

+2 tg( x)⋅sec 2(x))

6 ) g (x )= sen(x2−1)⋅(x+1)

2 g ´(x )= cos( x2−1)⋅2 x⋅( x+1)2

+ sen (x2−1)⋅2 (x+1)=

= 2(x+1) [ x cos (x2−1)( x+1) + sen( x2−1)]

7) h( x)= x3 e1− x h´ (x )= 3 x2 e1−x+ x3 e1− x

⋅(−1)= x2 e1−x(3−x )

Derivación implícita

y= √ x2+1 ... y= f (x ) es más fácil dederivar y= x sen( x) fácil dederivar

y2+ x2

= 5 ⇒ y2= 5− x2

⇒ ∣y∣= √5− x2 difícilde derivar x3+ y2

= 6 x y ⇒ x3= 6 x y− y2

⇒ x3=

= y (6 x− y) es más difícildederivar. La técnica dederivación implícita trata dederivar una ecuación dadacon respectoa la variable x teniendo encuenta que y es unafunción de x con derivada y ´ .

Ejemplos : 1 ) x2+ y2

= 5 hallar y ´ (recordar que y ´= f ´ (x ))

x2+ y2= 52 x+2 y y ´= 02 y y ´=−2 x

y ´=−2 x2 y

y ´=−xy

2) 3 x2 y+ y4+5= 0 ⇒ 3(2 x y + x2 y ´)+ 4 y3 y ´= 0 ⇒ 6 x y + 3 x2 y ´ + 4 y3 y ´= 0 ⇒

⇒ y ´ (3 x2+4 y3

)=−6 x y ⇒ y ´=−6 x y

3 x2+4 y3

3 ) y x2−3 y+1= x3

⇒ y ´ x2+ y 2 x−3 y ´+0= 3 x2

⇒ y ´( x2−3)= 3 x2

−2 x y ⇒ y ´=3 x2

−2 x yx2

−3

4) sen( x+ y )= y2 cos (x ) ⇒ cos( x+ y)⋅(1+ y ´)= 2 y y ´cos (x )+ y2 (−sen(x )) ⇒

⇒ cos (x+ y )+ cos( x+ y) y ´−2 y y ´cos (x)=− y2 sen (x ) ⇒ y ´(cos( x+ y)−2 y cos (x))=

XLI

=−cos (x+ y)− y2 sen( x) ⇒ y ´=(−1) [cos ( x+ y) + y2 sen (x )]

cos( x+ y)−2 y cos( x)⇒ y ´=

cos (x+ y )+ y2 sen (x )

2 y cos (x )−cos (x+ y)

Ejercicios de continuidad y derivabilidad

♦ f (x )= { 1−3 x si x≥ 0−3 x+8 si x< 0

en x= 0 hallar f ´(0) primero seestudia la continuidad.

• Continuidad

f (0)= 1 limx →0+

1−3 x= 1 limx →0−

−3 x+8= 8 ⇒ limx →0

f (x ) ⇒ f (x ) noes continuaen x= 0 ⇒ f ´(0)

♦ f (x )= x ∣x∣ en x= 0 f (x)= { x2 si x≥ 0−x2 si x< 0

f (0)= 0 limx →0+

x2= 0 ∧ lim

x →0 −

−x2= 0 ⇒

⇒ limx →0

f (x )= 0 f (0)= 0= limx→0

f ( x) f (x) es continuaen x= 0

• Derivabilidad

limh→0

f ( x0+h)− f ( x0)

hllamo x= x0+h de modo que x → x0 si h→0

Queda entonces: limx → x0

f ( x)− f ( x0)

x− x0

f ´d (0)= limx →0+

x2

x= 0 f ´i (0)= lim

x →0−

−x2

x= 0 f ´(0)= 0

♦ f (x )=∣x3−8∣ en x0= 2

f ( x)= { x3−8 si x≥ 2

−x3+8 si x< 2

• Continuidad

f (2)= 0 limx →2+

x3−8= 0 lim

x →2−

−x3+8= 0 ⇒ lim

x →2f (x )= 0 f (0)= 0= lim

x →2f ( x) f (x) es con-

- tinua en x0= 2

• Derivabilidad

f ´d ( x)= 3 x2⇒ f ´d (2)= 3⋅22

= 12 f ´i( x)=−3 x2⇒ f ´i (2)=−3⋅22

=−12 f ´(2)

♦ f (x )= {5 x+4 si x< 0a x+b si x≥ 0

Hallar a y b talque ∃ f ´(0)

• Continuidad

f (0)= a⋅0+b= b limx →0+

a x+b= b limx →0−

5 x+4= 4 para que existael límite b= 4

• Derivabilidad f ´d (x )= a ⇒ f ´d (0)= a f ´ i(x )= 5 ⇒ f ´i(0)= 5 a= 5

XLII

♦ Siendo f (0)= 4 ; f ´(0)=−1 ; g (0)=−3 ; g ´(0)= 5 Hallar ( f⋅g )´ (0)

( f ⋅g )´(0)= f ´(0) g (0)+ f (0)g ´(0)=−1⋅(−3)+ 4⋅5= 23

♦ Idem ( fg )´(0) ( f

g )´(0)=

f ´(0) g (0) − f (0) g ´(0)

g2(0)

=−1⋅(−3)− 4⋅5

(−3)2 =−

179

Derivada de la función inversa

Una función admite inversa si es biyectiva. Una función se dice biyectiva si es inyectiva y suryectiva.

f : A→B es inyectiva si ∀ x1 , x2 ∈ A , x1≠ x 2 ⇒ f (x1)≠ f (x2).

Essuryectiva si ∀ y ∈ B ∃ x ∈ A : y= f ( x) esdecir Im ( f )= codom( f )

Si de y= f ( x) surge x= ϕ( y) , donde ϕ esfunción , ϕ se llama inversa de f y recíprocamente.

y= f (x) ⇒ f −1( y)= ϕ( y )= x⏟∗1

∗1 derivamoscon respecto a x ϕ´( y) y ´= 1 ⇒ y ´=1

ϕ ´( y )o tam -

- bien ϕ´( y )=1y ´

donde ϕ´( y ) es la derivada y1y ´

es la recíproca

Teorema : si f : D→ℝ es inversible (esdecir , si existe f −1: f (D)→[a ,b ]; f ∘ f −1= f −1∘ f = Id ) y esderivable en x0 ∈ (a ,b)⊂ D con f ´(x0)≠ 0, entonces f −1 esderivable en y0= f (x0) ⇒ x0= f −1

( y0) y

ddx

( f −1( y0))=

1f ´ (x0)

o , en notación deLagrange : ( f −1)´( y0)=1

f ´( f −1( y0)⏟

x0

)

Demostración : aceptando que f −1 esderivable en y0= f (x0) calculamos su valor : ( f −1∘ f )( x)= x o, lo

que es lo mismo: f −1 ( f (x))= x luegoderivamos implícitamente aplicando la regal de la cadena.

[ f −1 ( f ( x)) ]´= 1 ⇒ ( f −1)´ ( f (x ))⋅ f ´( x)= 1 ⇒ ( f −1)´ ( f (x ))=1

f ´( x)(A)

Puestoque f −1 es derivableen y0= f ( x0) , y considerandola hipótesis que indica que f ´(x0)≠ 0 y , ade-

- más x0= f −1( y0) (la función esinversible) podemos afirmar que , por (A)

( f −1) ´( f ( x0))=1

f ´( x0)

es decir : ( f −1)´( y0)=1

f ´( f −1( y0))

Ahora , habiendodemostrado la expresión generalde la derivada de la función inversa , podemos hallar lasderivadas de las principales funciones inversas circulares (o trigonométricas) .

Consideramos la función seno, con su dominio restringidoen [−π/2 ; π/2 ]. Tenemos entonces unafunción

XLIII

f : [−π2

; π2 ]→ℝ f ( x)= sen (x ) y tenemos que f −1

( x)= arcsen(x ) quees g : [−1;1]→[−π2

; π2 ]

Sabemos , por el teorema previo , que sen(arcsen( x))= x ; queremos hallar arcsen ´( x).

Partiendode ( f −1) ´( x)=1

f ´( f −1( x))tenemos : sea f (x )= sen (x )∧ f ´ (x)= cos (x )

arcsen´ (x )=1

cos (arcsen( x))=(1) 1

√1−sen2(arcsen( x))

=1

√1− x2

(1) cos2( x)+sen2

(x )= 1 ⇒ ∣cos (x )∣= √1−sen2(x ) pero cos (x )> 0 ∀ x ∈ (−

π2

; π2 ) ⇒ cos( x)=

= √1−sen2(x) Por lo cual cos (arcsen( x))= √1−sen2(arcsen(x ))= √1−(sen (arcsen( x)))2= √1−x2

Hallaremosla derivada de la función arccos(x ) f : [0 ;π]→ℝ (cos( x)) f −1: [−1;1]→[0 ;π]

f ( x)= cos( x) ⇒ f −1(x )= arccos(x) ; f ´( x)=−sen (x) arccos ´(x )=1

−sen (arccos( x))=

=1

−√1−cos2(arccos(x ))

=−1

√1−x2cos2

( x)+sen2( x)= 1 ⇒ ∣sen( x)∣= √1−cos2

( x) y nóteseque en

(0 ;π) el senoes positivo, por lo tanto sen( x)= √1−cos2(x )

Hallaremos arctg ´( x) f : (−π2

; π2 )→ℝ (tg (x )) f −1 : ℝ→(−π

2; π

2 ) f (x )= tg (x ) ; f −1( x)=

= arctg ( x) ; f ´(x )= sec2(x )

arctg ´( x)=1

sec2(arctg (x))

=(3 ) 1

1+tg 2(arctg( x))

=1

1+x2

(3) cos2( x)+sen2

( x)= 1 ⇒cos2(x )+sen2(x)

cos2( x)

=1

cos2( x) (cos2

( x)≠ 0 x ∈ (−π2

; π2 )) ⇒

⇒cos2

( x)

cos2( x)

+sen2

(x)

cos2( x)

= sec2( x) ⇒ 1+( sen (x )

cos (x ))2

= sec2(x ) ⇒ 1+tg 2( x)= sec2(x)

Nota : elsímbolo "" significa " porque" , o " puestoque", o " dadoque"

Derivación logarítmica

Si u (x)= f (x)g (x ) aplico logaritmoen ambos miembros : ln(u( x))= ln ( f (x )g( x)) ⇒ ln(u( x))=

= g ( x) ln( f ( x)) derivamos:1

u (x)⋅u ´( x)= g ´(x )ln ( f (x))+ g (x )⋅

1f (x)

⋅ f ´( x) ⇒

XLIV

⇒u ´(x )

u (x)= g ´( x) ln( f (x )) + g ( x)⋅

f ´(x )

f ( x)⇒ u ´( x)= u( x) [g ´( x) ln( f ( x))+ g (x)⋅

f ´( x)f (x ) ] ⇒

⇒ u ´( x)= [g ´( x) ln( f ( x)) + g ( x)⋅f ´(x )

f (x) ]⋅ f ( x)g( x)

Ejemplos :

1 ) u (x )= x sen(x ) ln(u (x ))= sen( x) ln( x) ⇒1

u( x)⋅u ´( x)= cos( x) ln( x) + sen( x)⋅

1x

⇒

⇒ u ´( x)= [cos ( x) ln( x)+sen (x)

x ]⋅ x sen( x)

2) f (x)= (1+x)1x ln( f ( x))=

1x

ln (1+x ) ⇒1

f ( x)⋅ f ´( x)=

−1x2 ln(1+x) +

1x⋅

11+x

⇒

⇒ f ´( x)= [−1x2 ln(1+ x) +

1x (x+1)]⋅ f (x ) ⇒ f ´ (x )= [−1

x2 ln(1+x) +1

x (x+1)]⋅(1+x )1x

3 ) v( x)= xex

ln (v (x ))= e x ln( x) ⇒1

v ( x)⋅v ´( x)= ex ln( x) + e x

⋅1x

⇒v ´(x )

v (x)= e x (1

x+ln( x))⇒

⇒ v ´(x )= v( x) e x (1x+ln( x))⇒ v ´( x)= xex

ex (1x+ln(x ))⇒ v ´ (x )= e x xex

(1x+ln( x))

Derivadas de orden superior

Una función derivable admitederivada y esta derivada es una nuevafunción queasu vez tiene derivada...

Sea y= f (x ) ⇒ y ´= f ´( x) ⇒ y ´´= f ´´(x ) ... siendo y ´= f ´(x )=dydx

=ddx

( f (x ))= D f ( x)

y ´´= f ´´(x )=ddx (

dydx )=

d 2 y

dx2 = ( f ´(x ))´= D2 f (x ) ; y ´´´= f ´´´( x)=ddx (d 2 y

dx2 )= d 3 y

dx3 =

= ( f ´´(x )) ´= D3 f ( x)

Ejemplos :

XLV

1 ) y=y ´=

y ´´=y ´´´=y(4)

=⋮

yn=

x3+6 x2

−5 x+33x2

+12 x−56 x+1260

0 ∀n≥ 4

2) f (x)=1x= x−1

f ´( x)=− x−2

f ´´(x )= 2 x−3

f ´´´(x )=−6 x−4

f (4)= 24 x−5

⋮

f n= (−1)

n n ! x−(n+1)=

(−1)n n!

xn+1

Ejemplo : f (x)= x2 en x=0

f ´( x)= 2 x⏟larecíprocanoes cierta

⇒ f ´(0)=0

Observación : f ´ (x0)=0nogarantiza la existenciade un extremo.

3 ) f ( x)= ln( x1+ x2) ⇒ f ´ (x )=

1x

1+x2

⋅(1+x2

)− (x⋅2 x )

(1+x2)2 =

1x⋅

1+ x2−2 x2

1+ x2 =1− x2

x(1+x2)=

1−x 2

x+x3

f ´´( x)=−2 x ( x+x3

)− (1− x2) (1+3 x2

)

(x+ x3)2

=−2 x2

−2 x4−1−3 x2

+x 2+3 x4

(x+x3)2

=x4

−4 x2−1

(x+ x3)2

f ´´´(x)=(4 x3

−8 x) (x+ x3)2−( x4

−4 x2−1) 2 ( x+x3

) (1+3 x2)

( x+x3)4 =

=( x+x3

) [(4 x3−8 x ) (x+x3)− (x4

−4 x2−1) 2 (1+3 x2

)](x+ x3)

4 =

=(4 x3

−8 x) ( x+x3)− ( x4−4 x2

−1) 2 (1+3 x2)

( x+x3)3

Definición : sea f : ℝ→ℝ, x0 ∈ D se dice que f tiene un máximo local ( relativo) siexiste δ> 0 talquepara cada x ∈ ( x0−δ ; x0+δ) se tieneque f (x )≤ x0 . Tendrá un mínimo local (relativo) si f (x )≥ f ( x0)

para x ∈ (x0−δ ; x0+δ). Tiene un máximo absolutosi f (x )≤ f (x0) ∀ x ∈ D ; tieneun mínimo absolutosi f (x )≥ f ( x0) ∀x ∈ D. Diremosque f tiene un extremo en x= x0 si tiene un máximo oun mínimo enx0 .

Teorema de Fermat: sea f : D→ℝ , derivable en x= x0 ∈ D . Si f tiene un extremolocal en x0 entoncesf ´(x0)= 0

Demostración : asumamosque f tiene un máximoen x= x0, es decir , f (x )≤ f ( x0)

en unentorno ( x0−δ ; x0+δ) si ∣h∣< δ ⇒ f (x+h)≤ f (x0) ⇒ −δ< h< δ yf ( x+h)− f ( x0)≤ 0 ⇒ x0−δ< h+x0< δ+ x0

f ´d ( x0)= limh→0+

f (x0+h)− f ( x0)⏞≤ 0

h⏟> 0

≤ 0

f ´i(x0)= limh→0−

f (x0+h)− f ( x0)⏞≤ 0

h⏟< 0

≥ 0 } f ´(x0)= 0

Otroejemplo: f ( x)= x3 en x=0f ´(x )= 3 x2

f (0)= 0

XLVI

f ( x)=∣x∣Hay extremo local en x0=0 pero f ´ (0)no existe.

Teorema deRolle : sea f : [a ,b ]→ℝ continua y derivable encada puntode (a ,b) . Si f (a )= f (b) enton -ces existe c ∈ (a ,b) tal que f ´ (c)= 0.

Demostración: como f es continua en [a ,b ] , por el teorema de Weierstrass , se tiene un extremolocal enx0 ∈ (a ,b) y por el teorema deFermat se tiene que f ´( x0)= 0. Basta con tomar x0= c .Si no tiene extremolocal en (a ,b), los exremos están en a yen b pero f (a)= f (b)f (a)≤ f ( x)≤ f (b) ∀ x ∈ [a ,b] ⇒ la función es continua ⇒ f ´ (x)= 0 ∀ x ∈ (a ,b)Observación : la hipótesis dederivabilidad en cada punto de (a , b) es imprescindible

f : [−1;1]→ℝ / f ( x)=∣x∣ f ´d ( x)= 1 para 0< x< 1f ´i( x)=−1 para −1< x < 0 f ( x) no esderivable en x0= 0

Teorema del valor medio (Lagrange): sea f : [a ;b]→ℝ continua y derivable

en (a ,b) entonces existe un punto ξ ∈ (a ,b) tal que f ´(ξ)=f (b)− f (a)

b−a

Ejemplo :

Sea f : [0 , 2]→ℝ / f (x )= x3+x f ´( x)= 3 x2

−1 ⇒ f ´(ξ)= 3ξ2−1 ; f (b)= f (2)= 6

f (a)= f (0)= 0 usando tenemos: 3ξ2−1= ( f (2)− f (0)) / (2−0) ⇒ 3ξ

2−1= 3 ⇒ 3ξ

2= 4 ⇒

⇒ ξ2=

43

⇒ ξ=2√3

=23

√3

Corolario 1: si una función tienederivada nula en todos los puntos de un intervalo, entonces es una funciónconstante.

Demostración : sean "a " y " x " dos puntoscualesquiera del intervalo , entonces existe ξ ∈ (a ,b) tal que

f ´(ξ)=f ( x)− f (a)

x−a= 0 ⇒ f ( x)− f (a)= 0 ⇒ f ( x)= f (a)

Corolario 2 : dos funciones tienen idéntica derivada en un intervalo si y solo si sudiferencia esconstante.Es decir : ∃ k ∈ ℝ : f ( x)= g ( x)+k ∀ x ∈ [a ,b]

Demostración : ⇒) f ´= g ´ ⇒ f ´−g ´= 0 ⇒ ( f −g )´= 0 ⇒ f −g= k ⇐) Si f −g= k ⇒⇒ ( f −g)´= 0 ⇒ f ´−g ´= 0 ⇒ f ´= g ´

Intervalos de crecimiento

Definición : sea f : D→ℝ diremos que f escreciente en un intervalo I ∈ D si para cada x1< x2 ∈ I setiene que f ( x1)≤ f ( x2) . Si f (x1)< f (x2) la función sedice estrictamentecreciente.Si para cada x1< x2 ∈ I se tiene f (x1)≥ f (x2) , entonces diremos que f esdecreciente. Si f (x1)> f (x2)

f sedice estrictamentedecreciente.Ejemplos :

1 ) f : ℝ→ℝ : f (x)= 3 x

Si x1< x2

f ( x1)= 3 x1< 3 x2= f (x2)

f (x1)< f (x2)

XLVII

2) f : ℝ−{0 }→ℝ : f ( x)=1x

x1< x2 ⇒ f ( x1)=1x1

<1x2

= f ( x2) ⇒ f ( x1)> f (x2)

3 ) f : ℝ→ℝ : f (x )= x2 Si x1≥ 0 y x2≥ 0 ( I= [ 0 ;+∞)) entonces , si x1< x2 tenemosque f (x1)=

= x12 < x2

2= f (x2) ⇒ f (x1)< f (x2)

Si x1< 0 y x2< 0 ( I = (−∞ ;0)) entonces , si x1< x2 tenemos que f (x1)= x12> x2

2= f (x2) ⇒

⇒ f (x1)> f (x2)

Corolario 3 : sea f : D→ℝ derivable en todo punto de D , entonces , dado un intervalo abierto I ⊂ D secumple que :

a ) f ´(x )> 0 ∀ x ∈ I ⇒ f esestrictamentecreciente en Ib ) f ´(x )< 0 ∀ x ∈ I ⇒ f es estrictamentedecreciente en I

Demostración : sea I =( s ,t ) : s< t como f escontinua y derivable en I entonces , por el teorema del

valor medio , existe ξ ∈ (s , t) tal que f ´(ξ)=f ( t)− f (s)

t−s⇒ f ´(ξ)⋅(t−s)= f (t)− f ( s) pero t−s> 0

y f ´(ξ)> 0 ⇒ f (t)− f (s )> 0 ⇒ f (t)> f (s) f es etrictamentecreciente en I .Por otro lado t−s> 0 ∧ f ´(ξ)< 0 ⇒ f ( t)− f (s)< 0 ⇒ f ( t)< f (s ) f esestrictamente decreciente enel intervalo I

Ejemplo : f (x )= x3−2 x2

+ x+2 f ´(x)= 3 x2−4 x+1

f ´(x )= 0 ⇒ 3 x2−4 x+1= 0 ⇒ x1=

13

∧ x2= 1

debo analizar el signode la derivada en todoslos puntosdel intervalodonde la misma no seanula. Es decir , estudiaré elsigno de f ´ en

(−∞;13)∪(1

3;1)∪(1 ;+∞) • En (−∞;

13): tomo un número enese intervalo , por ejemplo el 0, 0 es

mi valor de prueba : f ´(0)= 1 el resultadoes un número positivo (1> 0) es decir , en el intervalo (−∞ ;13)

f ´> 0 (cualquier número queelija en ese intervalo , si lo evalúoen f ´ me va a dar un resultado positivo)Como la derivada es positiva enel intervalo considerado , por el corolario del teorema deLagrange (corola -- rio 3) , f es estrictamentecreciente.

• En (13

;1): v.p. (valor de prueba) :12

f ´(12)= 3⋅(1

2)2

−4⋅12+1=

34−2+1=−

14

< 0 ⇒ f es

estrictamente decreciente , por el corolario del teorema de Lagrange, en el intervalo considerado.

• En (1 ;+∞) : v.p.: 2 f ´(2)= 5 > 0 ⇒ f esestr. creciente en ese intervalo.Conviene , finalmente , graficar la función teniendo encuenta losdatos que aporta el análisis hasta ahora.

Teorema deCauchy: sean f y g derivables en (a ;b) con g (b)≠ g (a) y g ´ (x)≠ 0 entonces existe

ξ ∈ (a ;b) tal quef ´(ξ)g ´ (ξ)

=f (b)− f (a )

g (b)−g (a)

Demostración : sea ϕ(x )= f ( x)−f (b)− f (a)

g (b)−g (a )⋅[g (x )−g (a)]

XLVIII

ϕ(a)= f (a)−f (b)− f (a)

g (b)−g (a )⋅g (a)−g (a)= f (a) ϕ(b)= f (b)−

f (b)− f (a)

g (b)−g (a )⋅g (b)−g (a)= f (a)

Entonces ϕ(a)= ϕ(b) entonces , por el teorema deRolle ∃ ξ ∈ (a ; b): ϕ´(ξ)= 0

ϕ´( x)= f ´( x)−f (b)− f (a)

g (b)−g (a )⋅g ´ (x) ϕ ´(ξ)= f ´(ξ)−

f (b)− f (a)

g (b)−g (a)⋅g ´(ξ)= 0 ⇒

⇒ f ´ (ξ)=f (b)− f (a)

g (b)−g (a)⋅g ´(ξ) ⇒

f ´(ξ)g ´(ξ)

=f (b)− f (a)

g (b)−g (a)

Teorema deLagrange (una demostración) : si g ( x)= x ⇒ g ´( x)= 1 g ´ (ξ)= 1 ∀ ξ ∈ (a ; b) y g (a )=

= a y g (b)= bf ´(ξ)g ´(ξ)

=f (b)− f (a)

g (b)−g (a)⇒

f ´(ξ)1

=f (b)− f (a)

b−a

El teorema deCauchy previamente visto nos permite calcular límitesdel tipo limx →a

f ( x)g (x )

cuando limx→a

f (x)=

= f (a)= 0 y limx →a

g (x )= g (a)= 0 limx →a

f (x )→0

g (x )→0

indeterminación00

Regla de L'Hôpital

Sean f y g continuas yderivables en un intervalo I quecontienea x0 , demanera que f ( x0)= g (x0)= 0

pero ni f ni g seanulan en unentorno de x0, entonces limx →x0

f (x)g (x )

= limx → x0

f ´(x )

g ´(x )siempre que g ´( x)≠ 0

y el límite exista.

Demostración : demostraremos teniendo encuenta las hipótesis del teorema deCauchy y f (x0)= g (x0)= 0

Sea x ∈ I por el teorema deCauchy ∃ ξ ∈ (x ; x0):f (x )

g ( x)=

f ( x)− f ( x0)

g ( x)−g (x0)=

f ´(ξ)g ´(ξ)

Si limx → x0⏟∗1

f ´(ξ)g ´(ξ)

= l ∀ ϵ> 0 ∃ δ(ϵ)> 0 : ∣x− x0∣< δ ⇒ ∣ f ´(ξ)g ´(ξ)

− l∣< 0 ∗1 significa que ∣x−x0∣< δ

Como ∣x− x0∣< δ ⇒ ∣ξ− x0∣< δ y entonces ∣ f ( x)g (x)

−l∣⏟limx → x0

f (x)g( x)

= l

= ∣ f ´(ξ)g ´(ξ)

−l∣< ϵ

Observaciones :

1 ) El resultado se puede volver a aplicar , si no puedo salvar la indeterminación cuandoderivo por primeravez , puedoderivar tantas veces comosea necesario para salvar la indeterminación.

2) Sirve para indeterminaciones de tipo00

, ∞∞ pero no para otro tipo de indeterminaciones.

limx →x0

f (x )= limx → x0

g (x)= ∞ esel caso de indeterminación ∞∞

XLIX

Ejemplos :

1 ) limx →0

sen x→0

x→0

=L´ H

limx →0

cos x1

= 1 2 ) limx →0

cos( x)−1→0

x2

→0

=L´ H

limx →0

−sen x2 x

=−12

3) limx →0

ln x→∞

cotg x→∞

=L´ H

=L´ H limx →0

1x

−cosec2( x)

= lim→0

−1x

⋅sen2(x)= lim

x →0−

sen (x )⋅sen (x )

x= 0

Indeterminación 0⋅∞

4) limx →1

(x−1)→0

ln(1− x)→∞

indeterminación tipo 0⋅∞ ... = limx →1

ln (1−x )

( x−1)−1∞∞ =

L´H limx →1

11−x

⋅(−1)

−1⋅(x−1)−2

=

= limx →1

1x−1

−( x−1)−2 = lim

x →1

−1x−1

⋅(x−1)2= lim

x →1−(x−1)= 0

5 ) limx →π

2(x−π

2 ) tg (x) 0⋅∞ = limx →π

2

x−π2

cotg (x)00

=L´H lim

x →π2

1−cosec2

(x)= lim

x → π2

−sen2( x)=−1

Indeterminación ∞−∞

6 ) limx →0 (

1x

−1

sen x) ∞−∞ = limx →0

sen (x )−xx sen( x)

00

=L´ H

limx →0

cos (x)−1sen( x)− x cos( x)

00

=L´H

...

... =L´H limx →0

−sen( x)cos (x)+cos (x )+x (−sen( x))

= limx→0

−sen( x)2cos ( x)−x sen( x)

=0

2−0= 0

Otras indeterminaciones

Parasalvar indeterminaciones de tipo 00 ; 0∞ ; ∞0 ; 1∞ se aplican primerolas reglas de logaritmación y luego

se usa la regla de L ' Hôpital.

7 ) limx →0

x x 00 armo la ecuación limx →0

xx= A (llamo " A " al resultadodesconocido) y aplico logaritmo a

ambos lados de la ecuación : ln(limx→0

xx

)= ln A ⇒ limx →0

x ln x= ln A (1)

limx →0

x ln x= limx →0

ln x

x−1∞∞ =

L´Hlimx→0

1/ x

−x−2 = limx→0

−1x⋅ x2= lim

x →0−x= 0 finalmente , por (1) tenemos que

ln A= 0 ⇒ A= 1 limx →0

x x= 1

8 ) limx →0

(1+ x)tg (x+π

2 )1∞ armo la ecuación : A= lim

x →0(1+ x)

tg (x+π2 )

⇒ ln A= limx→0

tg (x+π2 )⋅ ln(1+x )

L

hayuna indeterminación de tipo ∞⋅0 ...= limx →0

ln(1+x)cotg (x+π

2 )00

=L' H lim

x →0

11+x

−cosec2

(x+π2 )

= limx →0

−sen2

( x+π2 )

1+ x=−1

Entonces ln A=−1 ⇒ A= e−1 limx →0

(1+ x)tg (x+π

2 )= e−1

Diferencial

Si f esderivable en P :(x0 ; f (x0)) entonces existe la recta tangenteala curva en el punto x= x0

T(x0): f ( x)= f ´( x0)( x−x0)+ f (x0)

o , lo quees lo mismo y= f ´ (x0)( x−x0)+ y0

tg α=QBPB

=QBh

⇒ QB= h⋅f ´ (x0)

T( x0) es la recta tangentea la gráfica de f ( x) en x0

Observaciones :

• La función T x0coincidecon f en x0 yes la quemejor aproxima a f en x0

• T x0− y0= f ´( x0)( x−x0)= f ´ (x0)⋅h cuanto menor sea el valor de h más seaproxima T x0

a la función fTx0

− y0 es eldiferencial de f en x0. Eldiferencial se nota : df x0. df x0

(h)= f ´(x0)h. Esta es una transfor -- mación lineal.

Otros casos:

Ejemplos :

• Calculemos la diferencialde la función identidad : Id.(x )= x en x= x0 (Id. ´(x )= 1) d id.x 0(h)=

= id. ´(x0)⋅h= 1⋅h= h ⇒ d id.x0(h)= h (d id.(x0)= x0) el diferencial nodependedel valor que toma x .

dx( id.)= id. f ´=dfdx

(Leibniz) ⇒ f ´dx= df ⇒ f ´( x)dx= dy

• Calculamos √82 (√82≃ 9,055385...) dx= Δ x= hf ( x)= √x= x1/2 x0= 81 x0+h= 82 ⇒ h= 1 dy≃ Δ yΔ y= f ( x0+h)− f ( x0)= f (82)− f (81) ⇒ √82−√81≃ f ´(81)dx

√82−√81≃1

2√81⋅1 ⇒ √82≃

118

+√81 ⇒ √82≃118

+9= 9,0 5

LI

Derivadas sucesivas

• y= sen (x ) ⇒ y ´= cos( x) ⇒ y ´´=−sen (x ) ⇒ y ´´´=−cos (x ) ⇒ y(4)= sen( x)

• y= ex⇒ y ´= ex

⇒ y ´´´= e x⇒ ... ⇒ y(n )

= e x

• y= ln(x ) ⇒ y ´=1x= x−1

⇒ y ´´=− x−2⇒ y ´´´= (−1)(−2) x−3

⇒ y(4 )=(−1)(−2)(−3) x−4

⇒ y(5)=

=(−1)(−2)(−3)(−4) x−5⇒ ... ⇒ y(n)

=(−1)n+1

(n−1)! x−n

Fórmula y serie de Taylor

Consideremos una función polinómica P( x)= a0+a1 x+a2 x2+ ... +an xn, ak ∈ ℝ, k= 0 ,1,2 , ...,n

• P(0)= a0 • P ´( x)= a1+2 a2 x+3a3 x2+ ... + xan xn−1 P ´(0)= a1

• P´´(x )= 2a2+3⋅2a3 x+ ... +n(n−1)an xn−2 P ´´(0)= 2a2 • P ´´´(x )= 3⋅2 a3+4⋅3⋅2a4 x+ ... +

+n (n−1)(n−2)an xn−3 P ´´´(0)= 3⋅2a3 • P(4)( x)= 4⋅3⋅2⋅1a4+ ... +n(n−1)(n−2)(n−3)an xn−4

P(4 )(0)= 4⋅3⋅2⋅1a4 ⋯ P(n )

(x )= n(n−1)(n−2)(n−3) ... 2⋅1⋅an x n−n= n(n−1)(n−2)(n−3) ... 2⋅1⋅an

P( n)(0)= n(n−1)(n−2)(n−3) .... 2⋅1⋅an= n!an En general : P(k)

(0)= k!ak ⇒ ak=P(k)

(0)k !

P(x )= P(0)+a1

1!x+a2 x2

+a3 x3+ ... +an xn

= P(0)+P´ (0)

1!x+

P´´(0)

2!x2

+P ´´´(0)

3!x3

+ ... +P(n)

(0)

n!xn

Si x0 → 0 ⇒ x= x−x0 P( x)= P( x0)+P ´( x0)

1!(x− x0)+

P´´( x0)

2!( x−x0)

2+ ... +

P(n)(x0)

n!( x−x0)

n

Definición : sea f : D→ℝ una función con derivadas , al menos hasta orden n+1 en x0 ∈ D . Se llama po-- linomio deTaylor de gradonde f alrededor de x0 a :

(1) Tn(x )= f (x0)+ f ´( x0)(x− x0)+f ´´( x0)( x−x0)

2

2!+ ... +

f (n )(x0)( x−x0)

n

n!+Rn( x)

Donde Rn(x ) esel error matemático de la aproximación , dado por el polinomio deTaylor.

Rn(x)=f (n+1)

(c )

(n+1)!( x−x0)

n+1 , c ∈ ( x ; x0) Elteorema deLagrange (valor medio) es un caso particular

del teorema deTaylor :

Para n= 0 f ( x)= f ( x0)+R0(x ) con R0( x)=f ´(c )(x− x0)

1

1!= f ´(x0)(x− x0) ⇒ f ( x)= f ( x0)+ f ´(c)

⋅(x−x0) ⇒f ( x)− f ( x0)

x− x0

= f ´(c )

En (1) : Tn( x0)= f (x0) esdecir , en x= x0 el polinomio de Taylor y la función coinciden.

LII

Ejemplos :

• 3 x3−8 x2+5 x−2 en x0= 1 f (1)=−2 f ´( x)= 9 x2−16 x+5 f ´(1)=−2 f ´´( x)= 18x−16

f ´´(1)= 2 f ´´´(x)= 18 f ´´´(1)= 18 f (4 )(x )= 0 f (4 )

(1)= 0

p( x)= f (1)+f ´(1)( x−1)

1!+

f ´´(1)(x−1)2

2!+

f ´´´(1)( x−1)3

3!+

f (4 )(1)(x−1)4

4!⇒

P(x )=−2+(−2)(x−1)+22!

( x−1)2+

183!

(x−1)3+0=−2−2( x−1)+( x−1)2

+3(x−1)3

• f (x )= sen (x) en x0= 0 f (0)= sen(0)= 0 f ´(0)= cos (0)= 1 ; f ´´(0)=−sen(0)= 0

f ´´´(0)=−cos (0)=−1 ; f (4)(0)= sen (0)= 0 P( x)= 0+

11!

(x−0)1+

02!

( x−0)2+

(−1)3!

(x−0)3+

+04!

( x−0)4⇒ P(x )= x−

x3

3!+

x5

5!+

x7

7!+

x9

9!+

x11

11!...

• g ( x)= ex en x0= 0 g (0)= e0= 1 g ´(0)= 1 g ´´(0)= 1 g ´´´(0)= 1 ...

P(x )= 1+11!

(x−0)1+

12!

( x−0)2+

13!

x3 ... ⇒ P(x )= 1+x+x2

2!+

x3

3!+

x4

4!+...

Error

Tn(x )→ f (x ) Rn( x)= f ( x)−Tn( x) Rn(x0)= f ( x0)−Tn(x0)= 0 ⇒ Rn( x0)= 0

Consideremos la función g ( x)= ( x−x0)n+1, entonces g ( x0)= 0 Por el teorema deCauchyexiste c1 entre

x y x0 tal queRn( x)

g (x )=

Rn(x )−Rn(x0)⏞= 0

g (x )−g (x0)⏟= 0

=R ´n(c1)

g ´(c1)

Si g (x )= (x− x0)n+1 y g ( x0)= 0 , g ´ (x)= (n+1)(x− x0)

n ; g ´´(x )= n(n+1)(x−x0)n−1 ; g ´´´(x)=

=(n+1)n(n−1)( x−x0)n−2 ; g (4 )

(x )= (n+1)n(n−1)(n−2)( x−x0)n−3 ; ... ; g(n )

( x)= (n+1)!(x−x0)n−(n−1 )

entonces g (n)( x)= (n+1)!(x− x0) g (n+1)

(x)= (n+1)!⋅1⋅( x−x0)0= (n+1)! Luego g (n)

(cn)=

=(n+1)!(cn−x0) ; g(n+1 )(cn)= (n+1)! ; g(n+1)

(cn+1)= (n+1)!

Además g ( x)= ( x−x0)n+1 ; g (cn)= (cn−x0)

n+1 ; g (cn+1)= (cn+1−x0)n+1

Veamosahora que , como Rn(x )= f ( x)−Tn(x ) ; R ´n(x )= f ´(x )−T ´n(x) luego estudiaremos T ´n(x0)

Tn(x )= f (x0)+ f ´(x0)(x− x0)+f ´´( x0)(x− x0)

2

2!+

f ´´´( x0)(x−x0)3

3!+ ... +

f (n)(x0)(x− x0)

n

n!

LIII

T ´n(x )= 0+f ´( x0)

1!⋅1+

f ´´( x0)

2!⋅2 (x−x0)

1+ ... +

f (n)(x0)

n!⋅n⋅( x−x0)

n−1⇒ T ´n( x)= f ´( x0)+

+ f ´´(x0)(x− x0)+ ... +f (n)

( x0)

(n−1)!(x− x0)

n−1 con lo cual R ´n(x0)= f ´(x0)− f ´(x0)= 0 ⇒ R ´n( x0)= 0

Por el teorema deCauchy existe c2 y x0 tal que :R ´n(c1)

g ´(c1)=

R ´n(c1)−R ´n(x0)

g ´(c1)−g ´(x0)=

R ´´n(c2)

g ´´(c2)=

R ´´´n(c3)

g ´´´(c3)=

= ... =R(n )

n(cn)

g (n)(cn)

= ... =R (n+1)

n(cn+1)

g(n+1 )(cn+1)

=R(n+1 )

n(cn+1)

(n+1)!

Rn( x)

g (x )=

R (n+1)n(cn+1)

(n+1)!=(1 ) f (n+1)(cn+1)

(n+1)!con cn+1

entre x0 y cn (1) por R (n )(x)= f (n )

(x)− f (n)( x0)

Rn(x )

(x−x0)n+1 =

f (n+1)(cn+1)

(n+1)!⇒

⇒ Rn(x )=f (n+1)

(cn+1)

(n+1)!⋅( x−x0)

n+1

Formula de Taylor

f ( x)= f ( x0)+ f ´( x0)( x−x0)+f ´´(x0)(x− x0)

2

2!+ ... +

f (n)(x0)(x− x0)

n

n!+

f (n+1)(c)(x−x0)

n+1

(n+1)!con c

entre x0 y x . O bien f (x)= ∑k = 0

n f (k)(x0)

k !( x−x0)

k+

f (n+1)(c)(x− x0)n+1

(n+1)!cuando x0= 0 seobtiene la fór -

- mula deMaclaurin para f

Ejemplos :

• Calcular a fórmula de Maclaurin para f ( x)= cos (x ) en x0= 0 f (0)= cos (0)= 1

f ´(x )=−sen (x ) ⇒ f ´(0)= 0 ; f ´´(x )=−cos (x ) ⇒ f ´´(0)=−1 ; f ´´´(x )= sen (x ) ⇒ f ´´´(0)= 0 ;f (4)

(x )= cos( x) ⇒ f (4)(0)= 1

f (n)(0)= { 0 si nes impar

(−1)k si n= 2k

Luego cos (x )= 1−12!

x2+

x 4

4!−

x6

6!+ ... +

(−1)k

(2 k )!x 2k

⏟términon -ésimo

+R2k+1( x) R2k+1(x )=x2k +1

(2k+1)!⋅ sen(c) y co -

- mo ∣sen(c)∣≤ 1 ⇒ ∣R2k+1( x)∣≤x2k +1

(2 k+1)!y

x2k+1

(2 k+1)!→0 porque k →∞

Además , como ∣Tn(x )− f (x )∣= ∣R2k +1( x)∣ y limk →∞

R2k+1(x )= 0 ⇒ limn→∞

Tn( x)= f ( x) (se puede tener

una aproximación de la función con la precisión quesedesee.)

LIV

Análogamentese puede mostrar que sen( x)= ∑k= 0

∞

(−1)k x2k +1

(2k+1)!+ sen(c)

x2k +2

(2 k+2)!

En general , si vale que limn→∞

Rn( x)= 0 , resulta que f (x)=∑n=0

∞

f (n)(a )

( x−a )n

n!que esla seriede Taylor ( de

Maclaurin si a=0 )

• Para f ( x)=ex , como f (n )(x)= e x , entonces f (n )

(0)= 1 y limn →∞

xn+1

(n+1)!⋅ec

= 0 el límite dependede n , no

de x , por eso, para cada valor fijode x el límitees nulo.

Tenemos entonces : e x= ∑

n=0

∞ xn

n!

Estudio de funciones

En el gráficosiguiente notamos que tg (α)= m1 > 0 α ∈ Icc y tg(β)= m2 < 0 β ∈ IIcc

Notemos además que f ´( x0)= f ´( x1)= 0 . Por otro lado, enel intervalo abierto (−∞ ; x0) , f ´ (x i)> 0 ⇒ f escreciente.En ( x0; x1) f ´( x i)< 0 ⇒ f es decreciente. Y , finalmente , en(x1;+∞) f ´( xi)> 0 ⇒ f es creciente. Concluímos queel creci -- miento o decrecimientode la función está ligado alsigno de laderivada primera de la función en un punto del intervalo considerado

Estudio de extremos

Los extremos pueden estar localizados en puntos donde la derivada noexiste o , si existe , esnula. Un ejem-- plo deextremo localdonde la derivada noexistees f ( x)=∣x∣. A estos puntos los llamaremos puntos críti -- cos.

Ejemplo : sea f (x )= x 4 Dom( f )= ℝ f ´ (x )= 4 x3 f ´ (x )= 0 ⇒ 4 x3= 0 ⇒ x= 0 (es punto

crítico )

1 °) Estudio de la función

En (−∞ ;0) −1>−2 ; f (−1)= 1< f (−2)= 16 cambióel orden ⇒ f decrece.En (0;+∞) 1< 2 ; f (1)= 1< f (2)= 16 el orden se mantiene ⇒ f crece

En (0 , f (0)) hay un mínimo local. En estecaso f (0)= 0 luego el mínimo local es el punto (0 ,0)

2° ) Estudio del signode la derivada1a de la función

f ´(x )= 4 x3 x= 0 es punto crítico En (−∞ ;0) valor deprueba : −1 f ´(−1)=−4< 0 ⇒ f de -- crece. En (0;+∞) v.p. : 1 f ´(1)= 4> 0 ⇒ f crece.Como f ( x) decrece en (−∞ ;0) y crece en (0 ;+∞) , (0 , f (0)) es un mínimo relativo.

Teorema (criteriode la derivada2a): si x0 es un puntocrítico de f , en el cual f ´( x0)= 0 yexiste f ´´(x0)

tal que f ´´(x0)≠ 0 , entonces :a ) Si f ´´(x0)> 0 ⇒ ( x0, f (x0)) es un mínimo relativob ) Si f ´´(x0)< 0 ⇒ ( x0, f (x0)) es un máximo relativo

LV

Demostración b ):

f ´( x0)= limh→0

f ( x0+h)− f ( x0)

hf ´´(x0)= lim

h→0

f ´ (x0+h)− f ´(x0)

h

f ´(x0)= 0 ∧ f ´´( x0)< 0por hipótesis. Entonces f ´´( x0)= limh→0

f ´( x0+h)h

< 0 ⇒ ∃ δ> 0 : ∣h∣< δ ⇒

⇒f ´(x0+h)

h< 0 ⇒ {h< 0 ⇒ f ´( x0+h)> 0 ⇒ f escreciente

h> 0 ⇒ f ´( x0+h)< 0 ⇒ f esdecreciente (x0 , f ( x0)) esmáximo local

Ejemplo : f (x)= x5+ x4

−13

x3+1 Dom ( f )= ℝ f ´( x)= 5 x4

+4 x3− x2 f ´ (x )= 0 ⇒

⇒ 5x4+4 x3

−x2= 0 ⇒ x2

(5x2+4 x−1)= 0 ⇒ x2

= 0 ∨ 5 x2+4 x−1= 0 ⇒ x= 0 ∨ x=−1 ∨ x=

15

puntos críticos: x= 0 , x=−1 , x=15

f ´´(x )= 20 x3+12 x2

−2 x f ´´(0)= 0 no hay información

f ´´(−1)=−20+12+2< 0 ⇒ (−1 , f (−1)) es máximolocal

f ´´(1 /5)= 20⋅1

125+12⋅

125

−25> 0 ⇒ (1

5, f ( 1

5 )) esmínimo local

Concavidad

Hemosencontrado puntoscríticos queno son extremos, por ejemplo el casode y= x3 y ´= 3 x2 punto crí -- tico x= 0 . y ´´= 6 x x= 0 no da información. Esta función essiempre creciente, entonces no hay extre -- mos.

Definición : diremos que unafunción esconvexa (cóncava hacia arriva) en un intervalo I si para cada x1 , x2

en dicho intervalo, el gráfico de f está por debajo de la recta que pasa por ( x1 , f (x1)) y ( x2 , f (x2)) y escóncava (cóncava hacia abajo) si el gráficode f está por encima de la recta.

Teorema : f : D→ℝ esconvexa en I si f ´´(x)> 0∀ x ∈ I y es cóncava en I si f ´´( x)< 0 ∀ x ∈ I

Observación : si f ´´ escontinua y seanula en a y enb ( f ´´(a)= f ´´(b)= 0) y no seanula másen (a , b),entonces , f ´´ no cambiadesigno en (a , b), resul -- tando f cóncava o convexaen (a , b)

Ejemplo : f (x )= x3 f ´( x)= 3 x2 puntocrítico x= 0 f ´´(x )= 6 x x= 0 no da información

Estudiamosla derivada2a

en (−∞ ,0) v.p. : −1 f ´´(−1)< 0 ⇒ f es cóncavaen (0 ,+∞) v.p.: 1 f ´´(1)> 0 ⇒ f es convexa } en (0 , f (0)) hay un puntode inflexión , ya que

allí cambia la concavidad de f

LVI

Máximo local: (0 , f (0))=(0, 0)mínimolocal : (2 , f (2))=(2, 4)puntode inflexión : (1, f (1))= (1,−2)

Definición : si en x0 ∈ D , f tieneun cambio deconcavidad , diremosque en x0 hay un punto de inflexión.

Teorema : si f tiene un punto de inflexión en x0 yexiste f ´´(x ) ⇒ f ´´( x0)= 0

Observación : f ´´(x0)= 0 nogarantiza que x0 sea un puntode inflexión (es decir , la recíproca del teoremanoes válida )

Criterio1 : si f ´´( x0)= 0 y la primera derivada no nula en x0 esdeorden impar , entonces x0 es un puntode inflexión.

Ejemplo : f (x )= x5+ x4

−13

x3+1 f ´ (x )= 5 x4

+4 x3− x2 f ´´(x )= 20 x+12 x2

−2 x

f ´´´(x )= 60 x2+24 x−2 f ´´(0)= 0 no tenemos información f ´´´(0)=−2≠ 0 y por elcriterio

como f ´´´(0) es una derivada deorden impar ⇒ (0 , f (0)) es punto de inflexión.

Con elestudio defunciones podemos esbozar ungráfico de la función. Por ejemplo enel caso de f (x )=

= x5+ x4

−13

x3+1

(−1 , f (−1))= (−1 ,4/3) máximo local ; (15

, f ( 15 ))=(1

5;0,99) mínimolocal ;

(0 , f (0))= (0 ,1) puntode inflexión

Criterio 2: si la primera derivada no nula en x0 es deorden par , entonces en x0 hay unextremo y será :

• x0 es máximo local si f (n)( x0)< 0

• x0 esmínimo local si f (n)(x0)> 0

Ejemplo : f (x)= x3−3 x2 Dom( f )= ℝ f ´(x )= 3 x2

−6 x f ´(x )= 0 ⇒ 3 x2−6 x= 0 ⇒

⇒ x (3 x−6)= 0 ⇒ x= 0 ∨ x= 2 f ´´(x )= 6 x−6 ⇒ f ´´(0)=−6< 0 ⇒ en (0 , f (0)) hay un máxi -

- mo local f ´´(2)= 6> 0 ⇒ (2 , f (2)) es mínimo local f ´´( x)= 0 ⇒ 6 x−6= 0 ⇒ x= 1 es un po -

-sible punto de inflexión

En (−∞ ;1) v.p.: 0 f ´´(0)=−6< 0 ⇒ f escóncavaEn (1 ;+∞) v.p.: 2 f ´´(2)= 6> 0 ⇒ f es convexa } (1 , f (1)) es un puntode inflexión

f ´´´(x )= 6≠ 0 es la primera derivada nonula , yes impar , con lo cualse confirma que hay punto de infle -- xión

Sidefinimos f ( x)= x3−3 x2 para f : [−1 ;4 ]→ℝ

ahora tendremos : en (−1 ,−4) yen (2 ,−4)dos mínimos absolutos. (4 ,16) es un

máximoabsoluto

LVII

Definición : una función f : D→ℝ tiene unaasíntota vertical en x= x0 si limx → x0

f ( x)=±∞ y tiene una

asíntota oblicua en y= m x+b cuando f ( x) se" aproxima" infinitamentea la recta y= m x+b cuandox→−∞ o x →+∞

Si y= m x+b esasíntota oblicua de la función f ( x) , entonces limx →∞

f ( x)−(m x+b)= 0 ⇒

⇒ limx →∞

1x

( f ( x)−(m x+b))= 0 ⇒ limx →∞

f ( x)x

−m x

x−bx⏟→0

= 0 ⇒ limx →∞

f ( x)x

−m= 0 ⇒ limx →∞

f (x)x

= m

considerandosiempre que x →−∞ o x →+∞

Por otro lado, si limx →∞

f ( x)−(m x+b)= 0 ⇒ limx →∞

f ( x)−m x−b= 0 ⇒ limx →∞

f (x )−m x= b

Observaciones :

• limx →∞

f ( x)x

debeser un número finito.

• Si limx →∞

f (x )

x= 0= m ⇒ la asíntota es horizontal y , además lim

x →∞

f ( x)= b ∈ ℝ ; y= b será la asíntota ho -

- rizontal.

Ejemplos :

1 ) f (x )=−x2

x2−1

Dom ( f )= ℝ−{−1 ;1 } ver fig.1

♦ Asíntotas verticales

• En x= 1 limx →1+

− x2

x2−1

=−1

0+=−∞

limx →1−

− x2

x2−1

=−10−

=+∞}⇒ en x= 1 hay unaasíntota vertical

• En x=−1 limx →−1+

−x2

x2−1

=−1

0−=+∞

limx →−1−

−x2

x2−1

=−1

0+=−∞}⇒ en x=−1 hay unaasíntota vertical

♦ Asíntotas oblicuas

• limx →∞

−x2

x2−1

⋅1x= lim

x →∞

−x 2

x3−x

∞∞ =

L' H limx →∞

−2 x

3 x2−1

∞∞ =

L' H limx →∞

−26 x

= 0= m ⇒ A.O.

• b= limx →∞

f (x )= limx →∞

−x2

x2−1

∞∞ = lim

x →∞

−1

1−1

x2

=−1 ⇒ y=−1 es A.H.

LVIII

2) f (x)=x3

1+x2 Dom f = ℝ ⇒ A.V.

♦ Asíntotas oblicuas • limx →∞

x3

1+ x2 ⋅1x= lim

x →∞

x2

1+x2 = limx →∞

11

x2+1= 1= m

• limx →∞

x3

1+x2 −x= limx →∞

x3−x3

− x

1+x2 = limx →∞

−x

1+x 2= limx →∞

−11+x

= 0= b y= x es asíntota oblicua

Estudio completo de funciones

1 ) f (x )=2 x2

x2−1

Dom ( f )= ℝ−{−1 ;1} ♦ Continuidad : • En x= 1 f (1) • limx →1+

f (x )=

= limx →1+

2 x2

x2−1

=2

0+=+∞ • lim

x→1−

f (x )= limx →1−

2 x2

x2−1

=2

0−=−∞ hay discontinuidad inevitable.

• En x=−1 f (−1) • limx →−1+

f (x )= limx →−1+

2 x2

x2−1

=2

0−=−∞ • lim

x →−1−

2 x2

x2−1

=20+

=+∞ hay

discontinuidad inevitable en x=−1 La función tieneasíntotas verticalesen : x=−1 yen x= 1

♦ Puntos críticos : f ´(x )=4 x (x2

−1)−2 x2(2 x)

( x2−1)

2 =4 x3

−4 x−4 x3

(x2−1)2 =

−4 x( x2

−1)2

f ´(x )= 0 ⇒ −4 x= 0 ⇒ x= 0 En (−∞ ;−1) v.p.: −2 f ´(−2)> 0 ⇒ f crece en el intervalo

En (−1 ;0) v.p. : −12

f ´(−12)> 0 ⇒ f crece en el intervalo

En (0; 1) v.p.:12

f ´(12)< 0 ⇒ f decrece en el intervalo

En (1 ;+∞) v.p. : 2 f ´(2)< 0 ⇒ f decrece enel intervalo

f ´´( x)=−4 (x2

−1)2−(−4 x )⋅2 (x2

−1)⋅2 x

(x2−1)

4=

−4( x2−1)+16 x2

(x2−1)

3=

−4 x2+16 x2

+4

(x2−1)

3=

12 x2+4

( x2−1)

3

f ´´(0)=4

(−1)3< 0 ⇒ (0, f (0)) esmáximo localde f (x )

♦ Puntos de inflexión : f ´´(x )= 0 ⇒ 12 x2+4= 0 # ⇒ puntos de inflexión

♦ Concavidad : f ´´( x i)> 0 ∀ x i ∈ (−∞,−1) , i= 0,1 ,2, ... ,n ⇒ f esconvexa en (−∞,−1)

f ´´( xi)< 0 ∀ xi ∈ (−1 ,0) ⇒ f es cóncava en (−1 ,0) f ´´( xi )< 0 ∀ xi ∈ (0 ,1) ⇒ f es cóncava en (0,1)

f ´´( xi )> 0 ∀ xi ∈ (1,+∞) ⇒ f es convexa en (1 ,+∞)

LIX

♦ Asíntotas oblicuas :

• limx →∞

2 x2

x2−1

⋅1x= lim

x →∞

2 x

x2−1

∞∞ =

L' Hlimx →∞

22 x

= 0= m ⇒ A.O. • limx→∞

2 x2

x2−1

= limx→∞

2

1− 1

x2

= 2 ⇒

⇒ y= 2 esasíntota horizontal.

2) f (x)= x4 e−x Dom ( f )= ℝ ⇒ A.V. ver fig.1

♦ Asíntotas oblicuas :

• limx →∞

x4

e x ⋅1x= lim

x →∞

x3

e x∞∞ =

L'H limx →∞

3 x2

ex∞∞ =

L' H limx →∞

6 xex

∞∞ =

L'H limx →∞

6ex = 0= m ⇒ A.O.

• limx →+∞

x4

e x∞∞ =

L' H limx→+∞

4 x3

ex∞∞ =

L' H limx →+∞

12 x2

e x∞∞ =

L'H limx →+∞

24 x

ex∞∞ =

L' H limx→+∞

24

ex= 0 (1)

• limx →−∞

x4

ex∞0

= ∞ (2) (1) ∧ (2) ⇒ y= 0 esasíntota horizontal a derecha.

♦ Puntos críticos : f ´(x)= 4 x3e− x+x4

(−e−x)= 4 x3e− x

−x4 e−x= x3 e−x

(4−x )=x3

(4−x )

e x

f ´(x )= 0 ⇒ x3(4− x)= 0 ⇒ x= 0 ∨ x= 4 f ´( xi)< 0 ∀ xi ∈ (−∞ , 0), i= 0 ,1 , 2 ,... , n ⇒ f decrece

en (−∞ , 0) f ´( xi )> 0 ∀ xi ∈ (0 ,4) ⇒ f creceen (0, 4) f ´( xi)< 0 ∀ xi ∈ (4 ,+∞) ⇒ f decrece en (4 ,+∞)

(0 , f (0)) es un posible mínimolocal (4 , f (4)) esun posiblemáximo local

f ´´( x)=[3 x2

(4−x )+x3(−1)] ex

− x3(4−x)e x

(e x)2 =

e x [12 x2−3 x3

−x3−4 x3

+ x4 ]

(ex )2 =

x4−8 x3

+12 x 2

ex =

=x2

( x2−8 x+12)

e x f ´´(4)=−64e4 ⇒ (4, f (4)) es un máximolocal f ´´(0)= 0 no da información

f ´´´(x)= x e−x(−x3

+12 x2−36 x+24) f ´´´(0)= 0 no da información

f (4)(x )= (e−x

− xe− x)(−x3

+12 x2−36 x+24)+ x e−x

(−3 x2+24 x−36) f (4)

(0)= 24 ⇒ (0 , f (0)) es un

mínimo local

♦ Concavidad : f ´´( x)= 0 ⇒ x2(x2

−8 x+12)= 0 ⇒ x= 0 ∨ x= 2 ∨ x= 6

f ´´( xi)> 0 ∀ xi ∈ (−∞ ,0) ⇒ f es convexa en (−∞,0 ) f ´´( xi)> 0 ∀ xi ∈ (0,2) ⇒ f es convexa en (0 , 2)

f ´´( xi)< 0 ∀ xi ∈ (2 ,6) ⇒ f es cóncava en (2 , 6) f ´´( xi )> 0 ∀ xi ∈ (6,+∞) ⇒ f es convexa en (6,+∞)

LX

Integración

Definición : una función F se denomina" primitiva "o"antiderivada "de f en un intervalo I , si F ´( x)== f (x ) ∀ x ∈ I .

Por ejemplo: si f (x )= x2⇒ F ´( x)=

x3

3ya que F ´( x)=

13⋅3⋅x2

= x2 Entonces F es una primitiva de f

En general H ( x)=13

x3+C ,C ∈ℝ/H ´(x)= f (x ) ∀ x ∈ I Recordemos quepor el corolario del teorema

del valor medio , dosfunciones tienen idéntica derivada en un intervalo si y solo si difieren en una constante.En el ejemplo: H ( x)−F ( x)= C

Teorema : si F es una primitiva de f en un intervalo I , la primitiva más generalde f en I será F ( x)+C,donde Ces una constante arbitraria.

Ejemplo : hallar encada caso la primitiva :

a ) f (x )= sen (x ) ⇒ F (x )=−cos (x )+C b ) f (x)= xn , n≥ 0 ⇒ F ( x)=xn+1

n+1

c ) f (x)= x−3 noestá definida en x= 0 ⇒ F (x )= {−1

2 x2+C1 si x> 0

−12 x2 +C2 si x< 0

d ) f ( x)=1x

⇒ F (x )= ln∣x∣+C lleva barras devalor absoluto porque ∀ x ∈ (−∞ ;0 ] ln x

Observación : la notaciónquese emplea para el cálculode las primitivas es la que usóLeibniz : ∫ f ( x) dxyse la llama integral indefinida.

Expresemoscon notación deLeibniz las primitivas vistas anteriormente.

a ) ∫ sen x dx=−cos x+C b ) ∫ xn dx=xn+1

n+1+C c ) ∫ x−3 dx= {

−1

2 x2 +C1 si x> 0

−12 x2 +C2 si x< 0

Observación : la integral indefinida es un operador lineal , tal quesi f y g tienen primitivas y k es una cons-- tante , entonces :

I ) ∫k f (x ) dx= k∫ f (x ) dx

II ) ∫ [ f ( x)±g (x )] dx=∫ f (x) dx +∫ g ( x) dx

Demostración I ) : [k∫ f ( x) dx ] ´= k [∫ f (x) dx ]´= k f (x )

Demostración II ): [∫ f (x ) dx +∫ g (x ) dx ]´= [∫ f (x ) dx ]´ + [∫ g (x ) dx ]´= f (x )+g ( x)

LXI

Ejemplos :

1 ) ∫4 x4 dx= 4∫ x4 dx=45

x5+C 2 ) ∫(3 x3

+2 x+1) dx=∫3 x3 dx +∫ 2 x dx +∫ dx=

= 3∫ x3 dx + 2∫ x dx +∫ dx=34

x4+ x2

+x+C , dondeC esla constanteúnica de integración.

3 ) ∫ sen (x)+x−1 dx=∫ sen( x) dx +∫ x−1 dx=∫ sen( x) dx +∫ 1x

dx=−cos( x)+ln∣x∣+C

Integral definida

f (x )≥ 0Se quiere hallar el área A que está bajola gráfica de f , sobre eleje y= 0 y entre lasrectas verticales x= a y x= b . Aproximaremosel área por figuras conocidas , unadeellas esel rectángulo , muy útilen este caso.

Es fácil de ver queel área de un círculo puedeaproximarse por medio depolígonosinscritosenél , de manera que cuantos más lados tenga el polígono más seconfundirá con el círculo. Es decirsi usamos un cuadrado, el área será aproximadamente igual a la delcírculo pero su diferencia es notoria. Siahora aproximamos con un octógono (polígono de ocho lados), tendremos un valor máscercano al del áreadel círculo ; un hexadecágono (polígono de16 lados) tendrá un área más parecida a la del círculo. (fig.1)Si el número de lados escada vez más grande, el área del polígono inscrito será muy similar a la del círculo.

Trataremos de definir el área bajola funciónf ( x)= x2 en [0; 1]

dividimos al intervalo [0 ;1] en 4 subinterva -- los y la distancia entre los valores (abscisas )que marcan la división hechaen el intervaloserá la base de un rectángulocuya altura sede -- termina evaluando la función dada en la abs -- cisa dondecortamos al intervalo (el extremoderecho ) demanera que tendremos una aproximación por excesodel área de la región considerada , locuales visible en la figura fig.2 en la quese puede distinguir queel área de todos los rectángulos excedeal área quenos proponemosencontrar ( la de la función dada con las condiciones previamenteespecificadas ).

A=14

f ( 14 )+

14

f ( 24 )+

14

f ( 34 )+

14

f ( 44 )=

=14⋅(1

4 )2

+14⋅(1

2)2

+14⋅( 3

4)2

+14⋅(1)2 ≃

≃ 0,47 u2(u2 son unidades cuadradas , para ge -

- neralizar una unidad de medida ). También podemosaproximar por defecto (fig.3) o tomando puntosmedios ( fig.4) , y la aproximación eneste último casoserá mucho mejor.

LXII

Dividimosel intervalo [a ;b] en n subintervalos menores.Ysean x0, x1 , ..., xn los puntosde división talesquea= x0< x1< x2< ... < xn= b ⇒ los n subintervalos son lossi -- guientes : [ x0 ; x1]; [ x1; x2] ; ... ; [ xi−1 ; x i] ; ... ;[ xn−1 ; xn]

A esta subdivisión se la llama partición de [a ; b] yse la simboli -- za P .Utilizamos Δ x para" medir " la longitudde uno de lossubin -- tervalos (cualquiera )por ejemplo [ x i−1; x i]

Δ xi= x i−x i−1

A la longitud delintervalo más

Si dividimos el intervalo [0 ,1] en8subintervalos , la basedecada rectánguloserá 1 /8y la altura se halla eva-- luandoa la función enel extremos derecho inferior del rectángulo.

Así tenemos : A=18⋅(1

8)2

+18⋅(2

8)2

+18⋅(3

8)2

+18⋅(4

8)2

+18⋅(5

8)2

+

+18⋅(6

8)2

+18⋅(7

8)2

+18⋅(8

8)2

⇒ A=18⋅( 12

82+

22

82+

32

82+

42

82+

52

82+

62

82+

72

82+

82

82)=

=18⋅

182 (12

+22+32

+42+52

+62+72

+82)=

=1

83(12+22+32+42+52+62+72+82)≃ 0,4u2

Podemos dividir al intervalo [0 ;1] en n subintervalos (fig.5), tendremos así

por basede cada rectángulo1n

. Y si llamamosSn a la suma de las áreas deestos

nuevos rectángulos:

Sn=1n⋅(1

n)2

+1n⋅(2

n)2

+1n⋅(3

n )2

+ ... +1n⋅(n

n)2

=

=1n (1

2

n2 +2

2

n2 +3

2

n2+...+n

2

n2)= 1n⋅

1n2 (12

+22+32

+...+n2)=

1n3 (12

+22+32

+...+n2) ⇒

⇒ Sn=1

n3 ∑i=1

n

i 2

¿Qué pasará cuando n tome valoresarbitrariamente muy grandes ? ... n→∞ ⇒1n→0 entonces las bases de

los rectángulosserán infinitamente pequeñas (pero nunca nulas) , por consiguiente, la suma de las áreas delos nuevos rectángulosserá el área buscada de la región bajo la curva dada.

Definición : definimos el área A comoel límite de la suma de las áreas de los rectángulos deaproximación , esdecir : A= lim

n→∞

Sn

Observación :

S= {( x ; y ): a⩽ x⩽ b ; 0⩽ y⩽ f ( x)}

Además , niel ancho ni la altura de losrectángulos tienen queser iguales entodos ellos. Puede variar la longitudy para la altura se puede tomar el puntomedio o cualquier otro.

LXIII

largo se la llama norma de la partición yse nota : ∥P∥ tal que ∥P∥= máx.{Δ x1; Δ x 2; ... ;Δ xn }

Si elegimos un x i∗ en cadasubintervalo [ x i−1; xi] y así formamos el rectángulo deárea Ai cuya base es Δ xi

y su altura es f ( x i∗) , donde x i

∗ escualquier punto delsubintervalo , tenemosque :

Ai= Δ x i⋅ f ( x i∗)

Luego, si ∑i= 1

n

Ai=∑i= 1

n

[Δ x i⋅ f ( x i∗)]= Δ x1⋅ f ( x1

∗)+Δ x2⋅ f ( x2∗)+ ... +Δ x n⋅ f ( xn

∗) entonces A=

= lim∥P∥→0 {∑i= 1

n

[Δ x i⋅ f ( x i∗)]} si el límite existe. Este límite también seexpresa lim

Δx i →0 {∑i= 1

n

[Δ x i⋅ f ( x i∗)]}

Definición : sea f una función definida en [a ;b] . Sea P una partición de [a ;b ] cuyos puntos de particiónson x0 ; x1; ... ; xn tal que a= x0< x1< x2< ... < x n= b . Seeligen puntos x i

∗ en [ xi−1 ; x i] yse defineΔ xi= x i− xi−1 y ∥P∥= máx. Δ x i entonces , la integral definida de f de "a " a "b "es:

∫a

b

f (x ) dx= lim∥P∥→0 {∑i= 1

n

[Δ x i⋅ f ( xi∗)]}

siempre queese límiteexista , y , deser así , sedice que f es integrable en el intervalo [a ; b]

En la expresión ∫a

b

f (x ) dx " f (x)" se llama integrando y " a " y "b " son los límites de integración

inferior y superior respectivamente.

Observaciones :

1 ) La integral definida es un número 2 ) A=∫a

b

f (x) dx=∫a

b

f (t) dt=∫a

b

f (u) du la integral es la

misma indistintamente del uso de una uotra letra.

3 ) ∫a

b

f (x ) dx / f ( x)≥ 0 4) A=∫a

b

f ( x) dx= A1−B1

5 ) Sedefinió f en [a ,b] ysesupuso que a< b . Ahora suponemos que a> b entonces : ∫a

b

f (x ) dx=

=−∫b

a

f (x ) dx si a= b ⇒∫a

a

f ( x) dx= 0

Teorema : si f escontinua omonótona en [a ,b] y es integrable en el mismo intervalo, entonces existe la

integral definida ∫a

b

f (x) dx

Propiedades de la integral definida

Suponemos queexisten todas las integrales siguientes:

LXIV

1 ) ∫a

b

c f (x ) dx= c ∫a

b

f (x ) dx , c ∈ ℝ 2 ) ∫a

b

[ f ( x)±g (x )] dx=∫a

b

f (x) dx ±∫a

b

g ( x) dx

3 ) ∫a

b

c dx= c (b−a ) , c ∈ ℝ 4 ) Si c ∈ [a ,b ], ∫a

b

f (x ) dx=∫a

c

f ( x) dx +∫c

b

f (x ) dx

5 ) ∫a

b

[α f (x)+β g ( x)] dx= α∫a

b

f (x ) dx + β∫a

b

g (x ) dx , α ,β ∈ ℝ

Demostración 2 ): ∫a

b

[ f ( x)±g (x )] dx existe por hipótesis. Entonces ∫a

b

[ f (x )±g ( x)] dx=

= limΔ x i →0 [∑i= 1

n

f (x i)Δ x i ±∑i= 1

n

g ( x i)Δ x i]= limΔx i →0 [∑i=1

n

f ( x i)Δ x i]± limΔ xi →0 [∑i=1

n

g (x i)Δ x i]=

=∫a

b

f (x ) dx ±∫a

b

g (x ) dx

Propiedades de orden

Suponemos queexisten las integrales y que a≤ b

6 ) Si f (x )≤ g ( x) ∀ x ∈ [a , b] ⇒∫a

b

f (x ) dx≤∫a

b

g ( x) dx y ∣∫a

b

f (x) dx∣≤∫a

b

∣ f (x )∣ dx

7 ) Si f (x )≥ 0 cuando a≤ x≤ b ⇒∫a

b

f (x ) dx≥ 0

8 ) Si m≤ f ( x)≤ M cuando a≤ x≤ b ⇒ m(b−a )≤∫a

b

f (x ) dx≤ M (b−a)

Demostraciones :

6 ) Si f ≤ g ⇒ g ( x)− f ( x)≥ 0 ⇒∫a

b

[ g (x )− f ( x)] dx ≥ 0 ⇒∫a

b

g (x ) dx −∫a

b

f ( x) dx ≥ 0 ⇒

⇒∫a

b

g (x ) dx ≥∫a

b

f ( x) dx

7 ) Si f (x )≥ 0 entonces ∫a

b

f ( x) dx determina un área , entonces es positiva.

8 ) Dadoque m≤ f ( x)≤ M ⇒ (por 6)) ∫a

b

m dx≤∫a

b

f (x ) dx≤∫a

b

M dx ⇒ m(b−a)≤∫a

b

f (x) dx≤

≤ M (b−a )

LXV

Teorema fundamental del cálculo (1ra parte): sea f continua en [a ,b] , la función g definida por

g (x)=∫a

x

f (t) dt , a≤ x≤ b , g continuaen [a ,b] ydiferenciable en (a ,b) y talque g ´( x)= f (x ). Vea -

- mos que g solo dependede x , que esel extremosuperior de la integral , y es variable.

Si x fuera fijo ∫a

x

f ( t) dt es un número. Si x varía , ∫a

x

f (t) dt también varía y define una función de x re-

- presentada por g ( x) .

Ej.: ∫0

x

t dt=t 2

2 ∣0

x

=x2

2−

02=

x2

2= g ( x)

Demostración : si x y x+h están en (a ,b) , entonces : g (x+h)−g ( x)= ∫a

x+h

f (t) dt −∫a

x

f ( t) dt por la

propiedad 4 ) =∫a

x

f (t) dt + ∫x

x+h

f ( t) dt −∫a

x

f (t) dt= ∫x

x+ h

f (t) dt y para h≠ 0g (x+h)+g (x)

h=

=1h∫

x

x+h

f (t) dt

Consideremos h> 0 . Dado que f es continuaen [x , x+h ] ∈ [a ,b ], el teorema del valor medio dice queexisten dos números , u y v tales que f (u )= m y f (v)= M , donde m y M son los valores mínimo y má -- ximo absolutode f en [x , x+h ] ver fig. 1

Deacuerdo con la propiedad 8) m≤ f (x )≤ M ⇒ m(b−a)≤∫a

b

f (x) dx≤

≤ M (b−a ) , a≤ x≤ b Si ahora el límite inferior es x y el límitesuperior esx+h tenemosqueen vezdel intervalo [a ,b] observaremos el intervalo [ x , x+h]

x+h−x= h ⇒ m⋅h≤ ∫x

x+h

f (t) dt≤ M⋅h donde m= f (u) y M = f (v)

f (u)h≤ ∫x

x+h

f (t ) dt≤ f (v )h ycomo h> 0 ⇒ f (u)≤1h∫

x

x+h

f (t ) dt⏟g ( x+h )−g (x)

h

≤ f (v)

f (u )≤g (x+h)−g ( x)

h≤ f (v) h→0 ; u → x ; v → x lim

h→0f (u)≤ lim

h→0

g (x+h)−g ( x)h

≤ limh→0

f (v )

limh→0

f (u)= limu→ x

f (u)= f ( x) ; limh→0

f (v)= limv → x

f (v)= f (x ) ⇒ f ( x)≤ g ´(x )≤ f ( x) ⇒ g ´(x)= f (x )

g es continuaen [a ,b] ⇒ddx [∫a

x

f (t ) dt ]= f (x )

Ej.: hallar la derivadade la función : g (x )=∫0

x

√1+t 2 dt como f ( t)= √1+t 2 escontinua g ´( x)=

√1+ x2= f (x )

LXVI

∗1 Entonces F (b)−F (a)= [ g (b)+C] −

−[g (a)+C]= g (b)−g (a)=∫a

b

f (t) dt

Teorema fundamental del cálculo (2da parte) : si f escontinua en [a ,b] ⇒∫a

b

f (x ) dx= F (b)−F (a ) en

donde F es cualquier primitiva de f , estoes F ´= f

Demostración : sea g ( x)=∫a

x

f ( t) dt , sabemos , por la primera parte del teorema , que g ´( x)= f ( x) , es

decir que , g es una primitiva de f . Sea F otra primitiva de f en [a ,b ] tal que f y g difieren en unaconstante. Entonces F ( x)= g (x )+C ∗1 siendo a< x< b

f y g son continuasen [a ,b] x→a+

x →b−entonces , calculando lim

x →a+

F (x ) y limx→b−

F (x ) tenemos:

limx →a+

F (x)= limx →a +

[ g ( x)+C]= g (a)+C = F (a) limx →b−

F (x )= limx →b−

[ g ( x)+C]= g (b)+C = F (b)

Además, especializandoen F (x) por x= a y x= b , tenemos: F (a)= g (a)+C ; F (b)= g (b)+C

Es g (x )=∫a

x

f (t ) dt= {en x= a g (a)=∫

a

a

f ( t) dt= 0

en x= b g (b)=∫a

b

f (t ) dt

Ejemplos :

1 ) ∫−2

1

x3 dx=x4

4 ∣−2

1

=14−

164

=−154

f ( x)= x3 escontinua en [−2;1] F ( x)=x4

4+C F (1)−

−F (−2)=14−

164

=−154

2) Calcular el área bajo la parábola y= x2+1 de x= 0 a x= 2 A=∫

0

2

(x 2+1) dx=

= ( x3

3+ x)∣

0

2

=(83+2)−(0+0)=

83+

63=

143

u2 3) ∫0

π

sen x dx= −cos x∣0

π

=−cosπ − (−cos0)=

= 1+1= 2 u2 4 ) ∫0

2π

cos x dx= sen x∣0

2π

= sen (2π) − sen (0)= 0−0= 0 tambiénse puede pensar de

esta otra forma : ∫0

2π

cos x dx= ∫0

π/2

cos x dx + ∫π/2

3π/ 2

cos x dx + ∫3π/2

2π

cos x dx= sen x∣0

π/2

+sen x∣π/2

3π/2

+sen x∣32π

2π

=

= (1−0)+ (−1−1)+ (0+1)= 0

LXVII

Tabla de algunas integrales indefinidas

♦ ∫ dx= x ♦ ∫ k f (x ) dx= k∫ f (x) dx ,k ∈ ℝ ♦ ∫ [ f (x )±g (x)] dx=∫ f (x ) dx +

+∫ g ( x) dx ♦ ∫ xn dx=1

n+1xn+1

+C ,n≠−1 ♦ ∫ 1x

dx= ln∣x∣+C ♦ ∫e x dx= e x+C

♦ ∫ ax dx=a x

ln a+C ♦ ∫ sen x dx=−cos x+C ♦ ∫ cos x dx= sen x+C ♦ ∫ sec2 x dx=

= tg x+C ♦ ∫ cosec2 x dx=−cotg x+C ♦ ∫ sec x tg x dx= sec x+C

♦ ∫ cosec x cotg x dx=−cosec x+C ♦ ∫ 11+ x2 dx= arctg x+C ♦ ∫ 1

√1− x2dx= arcsen x+C

Observación : adoptaremosla convención queal integrar una integral indefinida quesoloes válida en un in-- tervalo , vale:

∫ 1x2 dx=∫ x−2 dx=−

1x+C (−∞ ;0)∪ (0 ;+∞)

f ( x)= {−

1x+C1 si x> 0

−1x+C2 si x< 0

Ejemplos :

1 ) ∫(10 x4⏟

f

+ 3 sec2 x⏟g

) dx= 10x5

5+3tg x+C 2) ∫

0

2

( x3−5x ) dx= ( x4

4−5

x2

2 )∣0

2

= (164

−202 )−

−(0−0)= 4−10=−6 3) ∫0

1

ex dx= ex∣0

1

= e1−e0

= e−1 4) ∫ 2 t2+√ t−1

t2 dt=∫ 2 dt+

+∫ t−

32 dt −∫ t−2 dt= 2 t +

t−

12

−12

−t−1

−1+C= 2 t−2 t

−12+t−1

+C 5 ) ∫−1

31

x2 dx noes integrable , ya

que f (x)=1x2 noestá definida en x= 0 f (0)∧ lim

x →0

1x2 = ∞

Métodos para calcular integrales

♦ Descomposición :

1 ) ∫10 x2cos2 x−2

cos2 xdx=∫(10 x2

−2 sec2 x) dx= 10x3

3−2tg x+C=

103

x3−2 tg x+C

LXVIII

2) ∫ (2 x2+3 x )

2

x4 dx=∫ 4 x4+12 x3

+9 x2

x4 dx=∫(4+12x

+9x2) dx=∫(4+12⋅

1x+9 x−2) dx=

=∫ 4 dx + 12∫1x

dx + 9∫ x−2 dx= 4 x+12 ln∣x∣−9x+C

♦ Regla desustitución :

∫ 2 x√1+x2 dx=∫ 2 x √udu2 x

=∫ u12 du=

u32

32

+C=23

(1+x2)

32+C u= 1+ x2

⇒ du= 2 x dx

En general , el método seaplica : ∫ f (g ( x))⋅g ´( x) dx=∫ f (u) du

Cuando F ´= f ,∫F ´(g ( x))⋅g ´( x) dx= F ( g ( x)⏟u

)+C y ahora sise sustituye g (x ) por u (debeser con -

- tinua y diferenciable ), se tiene :∫ F ´( g (x ))⋅ g ´(x ) dx= F (g ( x))+C= F (u )+C=∫F ´(u) du=

=∫ f (u) du

Ejemplos :

1 ) ∫ x3 cos (x4+2) dx= ... {u= x4

+2 ⇒ du= 4 x3 dx} ... =14∫cos u du=

14

sen u+C=14

sen (x 4+2)

+C

2) ∫ x3 √x2+1 dx=∫ x2

⋅ x⋅√x2+1 dx= ... {u= x2

+1 ⇒ x2= u−1 ⇒ du= 2 x dx} ... =

=∫u12 (u−1)

du2

=12∫(u

32−u

12) du=

12 (2

5u

52−

23

u32)+C=

15

( x2+1)

52 −

13

( x2+1)

32 + C

3 ) ∫ tg x dx=∫ sen xcos x

dx= ... {u= cos x ⇒ du=−sen x dx ⇒ −du= en x dx} ... =∫ iu⋅(−du)=

=−∫ duu

=−ln∣u∣+C=−ln∣cos x∣+C= ln∣cos x∣−1+C= ln∣ 1

cos x∣+C= ln∣sec x∣+C

4) ∫ cos x senk x dx= ... {u= sen x ⇒ du= cos x } ... =∫ uk du=uk +1

k+1+C=

senk+1(x )

k+1+C

5 ) ∫cos3 x dx=∫cos x⋅cos2 x dx=∫cos x (1−sen2 x) dx=∫ cos x dx −∫ cos x sen2 x dx=

= sen x+C −∫ cos x sen2 x dx= ... {u= sen x ⇒ du= cos x dx } ... = sen x+C −∫ u2 du=

= sen x−u3

3+C= sen x −

sen3 x3

+ C

LXIX

6 ) ∫ cos2 x dx=12∫ [1+cos (2 x )] dx=

12

[∫ dx +∫ cos (2 x ) dx]= ... {u= 2 x ⇒ du= 2dx } ... =

=12 [∫dx +∫ cos u

du2 ]= 1

2 [∫ dx +12∫cos u du]= 1

2x+

14

sen (2 x)+C Se usó la identidad trigo-

- nométrica quedice: cos2 x=12

(1+cos (2 x )) quesurge de : cos(2 x)= cos2 x − sen2 x ⇒ 1+ cos (2 x)=

= 1+ cos2 x − sen2 x ⇒ 1+cos (2 x )= cos2 x + 1−sen2 x⏟cos 2 x

⇒ 1+cos (2 x )= 2cos2 x ⇒ cos2 x=1+cos (2 x)

2

♦ Integración por partes : recordemos queddx

( f ( x)⋅ g (x ))= f ´ (x) g ( x) + f (x) g ´( x) queen notación de

integral indefinida significa : ∫ [ f ´( x) g (x )+ f ( x) g ´(x )] dx= f (x) g ( x)+C ⇒∫ f ´( x) g ( x) dx +

+∫ f (x )g ´( x) dx= f (x) g ( x)+C ⇒∫ f (x )⏟u

g ´( x) dx⏟dv

= f ( x)⏟u

g (x )⏟v

−∫ g ( x)⏟v

f ´( x) dx⏟du

quese escribe : ∫u dv= uv −∫ v du

Ejemplos :

1 ) ∫ x sen x dx= ... { u= x ⇒ du= dxdv= sen x dx ⇒ v=−cos x} ... =−x cos x+∫cos x dx=−x cos x+sen x+C

2) ∫ x ln x dx= ... {u= ln x ⇒ du=1x

dx ; dv= x dx ⇒ v=x2

2 } ... =x2

2ln x −∫( x2

2⋅

1x ) dx=

=x2

2ln x −

12∫ x dx=

x2

2ln x −

12⋅

x2

2+ C=

x2

2 (ln x −12)+C

3 ) ∫ ln x dx= ... {u= ln x ⇒ du=1x

dx

dv= dx ⇒ v= x } ... = x ln x −∫ x⋅1x

dx= x ln x−x+C= x ( ln x − 1)+C

4) ∫ x2 ex dx= ... {u= x2⇒ du= 2 x dx

dv= ex dx ⇒ v= e x } ... = x2 ex −∫ ex 2 x dx= x2 ex − 2∫ xe x dx= ...

... { u= x ⇒ du= dxdv= ex dx ⇒ v= e x} ... = x2 ex

− 2 [x ex−∫ ex dx ]= x2 ex

− 2 x ex+ 2ex

+ C= ex( x2

−2 x+2)+C

5 ) ∫ sen2 x dx=∫ sen x⋅sen x dx= ... { u= sen x ⇒ du= cos x dxdv= sen x dx ⇒ v=−cos x} ... =−sen x cos x −∫−cos2 x dx

=−sen x cos x +∫(1−sen2 x ) dx=−sen x cos x +∫dx−∫ sen2 x dx ⇒

LXX

⇒ ∫ sen2 x dx= x−sen xcos x −∫ sen2 x dx+C ⇒ 2∫ sen2 x dx= x−sen x cos x+C ⇒

⇒∫ sen2 x dx=x−sen x cos x+C

2=

x−sen xcos x2

+ C

♦ Integración por descomposición en fracciones simples :

∫P( x)Q(x )

dx , P( x) , Q( x) son funcionespolinómicas degrado n y m respectivamente , con locual puede

pasar : n< m ó n= m ó n> m . Serán estos los casos a considerar consus variantes.

I ) gr.(P(x )) < gr.(Q(x))

♦ Q( x) tiene raícessimples :

a ) ∫ 6x2

+x−2dx expresamos factorizado eldenominador : x2

+ x−2=( x−1)( x+2)

6

x2+x−2

=A

x−1+

Bx+2

=A(x+2)+ B(x−1)

( x−1)( x+2)⇒ 6= A( x+2) + B(x−1) buscamos los valoresde

A y B: x=−2 ⇒ 6= A(−2+2)+ B(−2−1) ⇒ 6= 0+B(−3) ⇒ 6=−3 B ⇒ B=−2

x= 1 ⇒ 6= A(1+2)+0 ⇒ 6= 3 A ⇒ A= 2

∫ 6x 2+x−2

dx= 2∫ 1x−1

dx − 2∫ 1x+2

dx= 2 ln∣x−1∣−2 ln∣x+2∣+ C= ln (x−1)2−ln(x+2)

2+

+C= ln[ (x−1)2

(x+2)2 ]+C= ln( x−1x+2)

2

+ C

b) ∫x+1

x3+x2

−6 xdx x3

+x2−6 x= x (x2

+ x−6)= x (x−2) ( x+3)

x+1

x3+x2

−6 x=

Ax

+B

x−2+

Cx+3

⇒x+1

x3+ x2

−6 x=

A (x−2) (x+3) + B ( x2+3 x) + C ( x2

−2 x)x (x−2) ( x+3)

⇒

⇒ x+1= A ( x−2) ( x+3)+ B (x2+3 x)+ C (x2

−2 x )

• x= 0 ⇒ 0+1=−6 A ⇒ A=−16

• x= 2 ⇒ 3= 10B ⇒ B=3

10• x=−3 ⇒ C=−

215

∫ x+1x3

+ x2−6 x

dx=−16∫ dx

x+

310

∫ dxx−2

−2

15∫ dx

x+3=−

16

ln∣x∣+3

10ln∣x−2∣−

215

ln∣x+3∣+C

♦ Q( x) tiene raíces con multiplicidad > 1

a ) ∫3

x4+2 x3

+x2 dx x4+2 x3

+ x2= x2

(x2+2 x+1)= x2

( x+1)2

LXXI

1 -1 -1 1

1 1 0 -1

1 0 -1 0

x2−1

3x4

+2x3+ x2 =

Ax

+Bx2 +

Cx+1

+D

( x+1)2=A x (x+1)

2+ B(x+1)2

+ C x2(x+1) + D x2

x2(x+1)

2 ⇒

⇒ 3= A x (x+1)2 + B(x+1)2 + C x2(x+1)+ D x2

• x= 0 ⇒ 3= B • x=−1 ⇒ 3= D • x= 1 ⇒ 3= 4A+4 B+2C+D ⇒ 3= 4 A+2C+15 ⇒

⇒ −12= 4 A+2C ⇒ −6= 2A+C ⇒ A=−3−C2

• x= 2 ⇒ 3= 18A+9B+12C+4D ⇒

⇒ 3=−54−9C+12C+27+12 ⇒ 54+3−27−12= 3C ⇒ C=183

⇒ C= 6 ⇒ A=−6

∫ 3x 4

+2 x3+ x2 dx=∫(−6

x+

3x2 +

6x+1

+3

( x+1)2) dx=−6 ∫ dxx

+ 3 ∫ dxx2 + 6 ∫ dx

x+1+

+3∫ dx( x+1)

2 =−6∫ dxx

+ 3∫ x−2 dx + 6∫ dxx+1

+ 3∫( x+1)−2 dx=−6 ln∣x∣−3x+6 ln∣x+1∣−

−3

x+1+C= ln( x+1

x )6

−6 x+3

x2+ x

+ C

b) ∫ 3 x+5x3

−x2− x+1

dx3 x+5

x3−x2

− x+1=

3 x+5(x−1)2

( x+1)=

Ax−1

+B

(x−1)2 +C

x+1⇒

⇒ 3 x+5= A(x−1) ( x+1) + B( x+1) + C( x−1)2

• x= 1 ⇒ 8= 2 B ⇒ B= 4 • x=−1 ⇒ 2= 4C ⇒ C=12

• x= 0 ⇒ 5=−A+B+C 5=−A+92

⇒ A=92−5=−

12

∫ 3 x+5x3

− x2−x+1

dx=−12∫ dx

x−1+ 4 ∫( x−1)

−2 dx +12∫ dx

x+1dx=−

12

ln∣x−1∣−4(x−1)−1

+

+12

ln∣x+1∣+C

Un ejemplo demultiplicidad de raíces :

∫ 2 xx4

( x−1)3 dx2 x

x4( x−1)3 =

Ax

+Bx2 +

Cx3 +

Dx4 +

Ex−1

+F

(x−1)2 +

G( x−1)

3

♦ Q( x) tiene raíces complejas

a ) ∫ 8 x3+13 x

( x2+2)2 dx

8x3+13x

(x2+2)

2 =A x+Bx2

+2+

C x+D( x2

+2)2 ⇒ 8 x3+13 x= (A x+B)(x2

+2)+ C x+D

LXXII

45=6A+C─

21=3A+C24=3A

• x= 0 ⇒ 0= 2 B+D • x= 1 ⇒ 21= 3(A+B)+C+D ➋ • x=−1 ⇒ −21= 3(−A+B)−

−C+D ⇒ −21=−3 A+3 B−C+D • x= 2 ⇒ 90= 6(2 A+B)+(2 C+D) ⇒ 90= 12 A+6B+

+2 C+D Así tenemos: D=−2 B ; ➋ + 0= 6 B+2 D y , por : 0= 6 B+2(−2 B) ⇒

⇒ 0= 6 B−4 B ⇒ B= 0 ∧ D= 0 ; − ➋ ⇒ ⇒ A= 8 ; 21= 24+C ⇒ C=−3

∫ 8 x3+13 x

( x2+2)

2dx=∫ 8 x

x2+2

dx +∫ −3 x

( x2+2)

2dx= 8 ∫ x

x2+2

dx − 3 ∫ x

(x2+2)

2dx= ...

{z= x2+2 ⇒ dz= 2 x dx ⇒ x dx=

dz2 } ... =

82∫ dz

z−

32∫ dz

z2 = 4∫ 1z

dz −32∫ z−2 dz=

= 4 ln∣x2+2∣+3

2( x2

+2)−1+C= 4 ln ( x2

+2)+32(x2

+2)−1+C

b) ∫ x2

16−x4 dx 16−x4= (4− x4

)(4+x2)= (2− x)(2+ x)(4+ x2

)

x2

16−x4 =A

2−x+

B2+x

+C x+D4+x2 ⇒ x2

= A(2+x)(4+x2) + B(2−x )(4+x 2)+ (C x+D)(2−x )(2+x )

• x= 2 ⇒ 4= 4⋅8⋅A ⇒ A=18

• x=−2 ⇒ 4= 4⋅8⋅B ⇒ B=18

• x= 0 ⇒ 0= 2⋅4⋅A+2⋅4⋅B+

+2⋅2⋅D ⇒ D=−12

• x= 1 ⇒ 1= 15 A+5 B+3(C+D) ⇒ 1=158

+58+3 C+3(−1

2) ⇒ C= 0

∫x2

16−x4 dx=18∫

12−x

dx +18∫

12+x

dx −12∫

1

4+ x2 dx= ... {z= 2−x ⇒ dz=−dx } ... =

=−18∫ dz

z+

18

ln∣2+x∣−12⋅

12

arctg( x2)+C=−

18

ln∣2−x∣+18

ln∣2+x∣−14

arctg( x2 )+C

Para resolver la integral ∫ 14+x2 dx se usa cambiodevariable :

=∫ 1

4 (1+x2

4 )dx=

14∫ 1

1+( x2)

2 dx= ... {u=x2

⇒ du=12

dx} ... =

=24∫ 1

1+u2 du=12∫ 1

1+u2 du=12

arctg u=

=12

arctg( x2)

LXXIII

x3+2 x2

−x x2+2 x+1

−x3−2 x2

−x x

−2 x

P( x) Q( x)

R( x) C( x)

II ) gr.(P( x)) ≥ gr. (Q(x ))

Seemplea el algoritmode la división como sigue : para polinomios enteros : P(x )= Q(x )⋅C( x)+R( x)

para polinomios racionales:P( x)Q( x)

= C( x)+R( x)Q( x)

Ejemplo : ∫ x3+2 x2

−xx2

+2 x+1dx=∫ x dx +∫ −2 x

x2+2 x+1

dx=∫ x dx − 2∫ x( x+1)

2 dx= ... (A)

Calcularemos la integral ∫ x( x+1)2 dx :

x(x+1)

2 =A

x+1+

B(x+1)

2 ⇒

⇒ x= A (x+1)+B • x=−1 ⇒ B=−1 • x= 0 ⇒ A+B= 0 ⇒

⇒ A−1= 0 ⇒ A= 1 luego ∫x

(x+1)2

dx=∫1

x+1dx − 1∫(x+1)

−2 dx= ln∣x+1∣+(x+1)−1

+C

Continuamosen (A) ... =∫ x dx − 2 [ln∣x+1∣+( x+1)−1

+C ]= x2

2−2 ln∣x+1∣−

2x+1

+C

Otra forma decalcular ∫ −2 xx2

+2 x+1dx :

∫ −2 xx2

+2 x+1dx=−∫ 2 x

x 2+2 x+1

dx= ... { z= x2+2 x+1

dz= (2 x+2) dx} ... =−∫ 2 x+2−2x 2

+2 x+1dx=

−1 [∫ 2 x+2

x2+2 x+1

dx − 2 ∫dx

x2+2 x+1 ]=−∫

dzz

+ 2∫1

(x+1)2

dx=−∫dzz

+ 2∫(x+1)−2 dx=

=−ln∣z∣−2 (x+1)−1

+C=−ln∣x2+2 x+1∣−2( x+1)

−1+C=−ln∣(x+1)2∣−2 (x+1)

−1+C=

=−ln(x+1)2−2( x+1)−1

+C=−2ln∣x+1∣−2( x+1)−1+C=−2ln∣x+1∣−

2x+1

+C

Cálculo de áreas

Si f : [a ;b ]→ℝ es una función integrable talque f ( x)≥ 0, entonces ∫a

b

f (x ) dx representa el área entre la

función f , el eje x y las rectas verticales x= a y x= b . Veamosahora unejemplo genérico delcaso deáreas quese encuentran por encimadel eje deabscisas y por debajo deél.

∫a

b

f ( x) dx=∫a

c

f (x) dx⏟

(A )

+∫c

b

f (x) dx⏟

(B)

(A) ∫a

c

( f ( x)−0) dx=∫a

c

f ( x) dx ≥ 0

(B) ∫c

b

(0− f (x )) dx=∫c

b

− f (x ) dx=−∫c

b

f (x ) dx=∫b

c

f (x ) dx

LXXIV

Ejemplo : calcular el área encerrada por f ( x)= cos x , eleje deabscisas y x= 0 y x= 2π

A= ∫0

π/2

(cos x−0) dx + ∫π/2

3π/2

(0−cos x) dx + ∫3π/2

2π

(cos x−0) dx=

= ∫0

π/2

cos x dx − ∫π/2

3π/2

cos x dx + ∫3π/2

2π

cos x dx= sen x∣0

π2 − sen x∣π

2

32π

+ sen x∣32π

2π

=

= sen(π2 )−sen (0)−(sen(3

2π)− sen(

π2 ))+sen(2π)−sen(3

2π)= 1+2+1= 4u2

(unidades cuadradas)

Area entre dos curvas

Sea una region R , limitada por dos funciones continuas f ( x) y g ( x) y por las rectas verticales x= a yx= b con a< b, g (x)≤ f (x ) en [a ;b] , g ( x)≥ 0 . Elárea A de la regiónR es la diferencia entre las áreas de las regiones delimitadas entre el eje xy la curva que representa cada función.

A=∫a

b

[ f ( x)−g (x )] dx

Ejemplos :

1 ) Calcular el área encerrada por las curvas y= 3 x e y= x2. Sedebe tener en cuenta que losgráficossonorientativos , deben hallarse lasintersecciones de manera analítica.

3 x= x2

0= x2−3 x

0= x (x−3)

x= 0 ∨ x= 3

A=∫0

3

(3 x−x2) dx=(3x2

2−

x3

3 )∣0

3

=272

−9=92

u2

2) Calcular el área comprendida por la curva y= 9−x2 yel eje x 9−x2= 0 ⇒ x=−3 ∨ x= 3

A=∫−3

3

(9−x2) dx= 9 x−

x3

3 ∣−3

3

= 27−9−(−27+9)= 36u2

3 ) Calcular el área de la región comprendida entre la curva y= x3−9 x y

el ejede abscisas.

Intersecciones : x3−9 x= 0 ⇒ x( x2−9)= 0 ⇒ x= 0 ∨ x=−3 ∨ x= 3

Elárea de la región R1 es A=∫0

3

(−x3+9 x) dx= −

x4

4+

92

x2∣0

3

=−814

+812

=814

u2

entonces el área totales : S=812

u2

LXXV

4) Calcular el área de la región comprendida entre y= 3 x2−2 x , y= 0 , x=−1 , x= 1

Si elárea de la región R i esAi (i= 1 ,2,3) entonces el área total será : A1+A2+A3

Interseccionesentre el eje y y la curva y= 3 x2−2 x :

3 x2−2 x= 0 ⇒ x (3 x−2) ⇒ x= 0 ∨ x=

23

A1=∫−1

0

(3 x2−2 x−0) dx= x3

− x2∣−1

0

=−(−1−1)= 2u2 A2= ∫0

2/3

(−3 x2+2 x) dx= −x3

+ x2∣0

23 =

=−827

+49=

427

u2 A3= ∫2 /3

1

(3 x2−2 x) dx= x3

−x2∣ 23

1

=−( 827

−49)=

427

u2 entonces elárea esA=

= 2+427

⋅2= 2+827

=6227

u2

5 ) Calcular el área encerrada por y2= 2 x+6 , y= x−1 , y=−

23

x+4

• Intersección entre las rectas : x−1=−23

x+4 ⇒ x+23

x= 4+1 ⇒

⇒53

x= 5 ⇒ x= 3 ⇒ y= 2 entonces las rectasse intersecan en (3 ;2)

• intersección entre la curva y la recta y= x−1 : ( x−1)2= 2 x+6 ⇒ x2

−2 x+1= 2 x+6 ⇒ x2−4 x−5= 0

entonces : x=−1 ∨ x= 5 a nosotros nos interesa loquesucede cuandola intersección esen x=−1x=−1 ⇒ y=−2

• Intersección entre la curva y la recta y=−23

x+4 : (−23

x+4)2

= 2 x+6 ⇒49

x2−

163

x+16−2 x−6= 0

entonces49

x2−

223

x+10= 0 ⇒ x= 15 ∨ x=32

nos interesa el valor32

: x=32

⇒ y= 3

Área de la región R1: A1=∫−3

−1

[√2 x+6−(−√2 x+6)] dx=∫−3

−1

2√2 x+6 dx= 2 ∫−3

−1

√2 x+6 dx=

= 2 ∫−3

−1

(2 x+6)12 dx= 2⋅

12⋅

23

(2 x+6)32∣

−3

−1

=23(4

32−0

32)= 16

3u2

A2=∫−1

3/2

(√2 x+6− x+1) dx=13(2 x+6)

32−

x2

2+x∣

−1

32=

19724

u2

A3=∫3 /2

3

[(−23

x+4)−( x−1)] dx=158

u2

LXXVI

Por lo tanto elárea total es : A1+A 2+A3=163

u2+

19724

u2+

158

u2=

18512

u2

Otra forma decalcular el área es "rotando " la gráfica y usandolas curvas enfunción de la variable y deestamanera tendremos:

x=y2

2−3 ; x= y+1 ; x=−

32

y+6

Ahora tendremosel eje horizontal y y el eje vertical x y calcularemos la misma área , soloque esta vez lasregiones sonsólo dos : R4 y R5

Elárea totalserá la suma de las áreas de las regiones R4 y R5:

A=∫−2

2

[ y+1−( y2

2−3)] dy

⏟área de R 4

+∫2

3

[−32

y+6−( y 2

2−3)] dy

⏟área de R 5

=

=∫−2

2

(− y2

2+ y+4) dy +∫

2

3

(− y2

2−

32

y+9) dy= −y3

6+

y2

2+4 y∣

−2

2

+ (− y3

6−

34

y2+9 y)∣

2

3

=

=−43+2+8−(4

3+2−8)+ [−9

2−

274

+27−(−43−3+18)]=−

83+16+

43−

454

+12= 28−(43+

454 )=

=18512

u2

Ecuaciones diferenciales

Ejemplos :

1 ) y ´= x y⏟1er órden

2) y ´´+2 y ´+ y= 0⏟2° órden

3)d 3 y

dx3 +xd 2 y

dx2 +dydx

−2 y= e−x

⏟3er órden

o bien y ´´´+x y ´´+ y ´−

−2 y= e−x 4 )dydx

−2 x= 0⏟

1er órden

obien y ´−2 x= 0 Una solución de unaecuación diferenciales una

función y= f (x ) que la satisface. Por ejemplo: en el caso 4) anterior , si derivamos y= x2 tenemos y ´== 2 x ⇒ y ´−2 x= 0 lo cuales cierto , ya que y ´= 2 x ⇒ y ´−2 x= 2 x−2 x= 0

Definición : llamaremos ecuación diferencialordinaria (EDO) a una ecuación de la forma :

ϕ ( x , y , y ´ , y ´´, ... , y(n) , ...)= 0

donde ϕ esuna función de la variable independiente x , de y que esuna función desconocida quedependedex yde lasderivadas de y hasta un ciertoorden.

LXXVII

Ejemplos :

• y ´´+ y= 0 las funciones circulares sen (x ) y cos (x) cumplen conesta ecuación , enefecto :

f (x )= sen (x)f ´(x)= cos (x )

f ´´( x)=−sen (x)

f ( x)= cos (x )

f ´(x )=−sen( x)f ´´(x )=−cos (x )

• y ´= x3 y ´= f (x ) ⇒ y ´− y= 0 y=x4

4+C

• Verificar que y= x+Cx

essolución de la ecuación y ´ x= 2 x− y

y ´= 1+C⋅(−1) x−2= 1−

Cx2 luego y ´ x= (1−

2x2)x= x−

Cx

y 2 x− y= 2 x−(x+Cx )= x−

Cx

se verifica que y= x+Cx

essolución de la E.D. y ´ x= 2 x− y

• Verificar que y=1+Ce x

1−Ce xessolución de la ecuación y ´=

12( y2

−1)

y ´=C ex

(1−C ex)−(1+Ce x

)(−C ex)

(1−C e x)

2 =C ex

(1−Ce x)+(1+C e x

)(C ex)

(1−C e x)

2 =C e x [(1−C ex

)+(1+Ce x)]

(1−Ce x)

2 =

=2 Ce x

(1−Ce x)

2

Verificamos el resultado:12( y2

−1)=12 [(1+C e x

1−C e x)2

−1]= 12 [(1+C e x

)2

(1−C e x)

2 −1]=

=12 [(1+Ce x

)2−(1−C e x

)2

(1−C ex)

2 ]= 12

1+2C ex+C2e2 x

−1+2Ce x−C2 e2x

2 (1−C ex)

2=

4C ex

2(1−C ex)

2=

2C ex

(1−C ex)

2

por lo tanto y=2C ex

(1−C ex)

2 essolución.

• y ´= f ( x) ódydx

= f (x ) integrandose tiene : ∫ y ´ dx=∫ f (x ) dx ⇒ y= F ( x)+C con F primitiva

de f yC ∈ ℝ

•dydx

= g ( x)⋅ f ( x) pero y= y (x ) ecuación diferenciala variables separables.

Si llamo h( y)=1

f ( y )o bien f ( y )=

1h( y )

entoncesdydx

=g (x )

h( y)⇒ h( y ) dy= g (x ) dx ⇒∫ h( y ) dy=

LXXVIII

=∫ g ( x) dx

1 ) Resolver la ecuación diferencial y ´=6 x2

2 y+cos y

dydx

=6 x 2

2 y+cos y⇒ (2 y+cos y ) dy= 6 x2 dx ⇒∫(2 y+cos y ) dy=∫6 x2 dx ⇒ y2

+sen y= 6x3

3+C ⇒

⇒ y2+sen y= 2 x3

+C

2) Resolver la ecuación diferencial y ´= x2 y

dydx

= x2 y ⇒dyy

= x2 dx ⇒∫ dyy

=∫ x2 dx ⇒ ln∣y∣=x3

3+C aplicamos función exponencial aambos

miembros : ∣y∣= ex3

3+C

⇒ ∣y∣= ex3

3 ⋅eC llamamos : eC= k luego tenemos : ∣y∣= k e

x3

3 ⇒ y=±k ex3

3 k ∈ ℝ

y= 0 porque verifica la ecuación f (x0)= 0 es unasolución particular.

3 ) Resolver : x y ´=− y para x> 0 , y (4)= 2

xdydx

=− y ⇒dyy

=−dxx

⇒∫ dyy

=−∫ dxx

⇒ ln∣y∣=−ln∣x∣+C pero x> 0 entonces ln∣y∣=−ln x+C ⇒

⇒ ln∣y∣+ln x= C ⇒ ln(∣y∣x)= C ⇒ eC=∣y∣x ⇒ k=∣y∣x ⇒ ∣y∣=kx

⇒ y=±kx

k= 1 ⇒ y=1x

k=−1 ⇒ y=−1x

k= 2 ⇒ y=2x

k=−2 ⇒ y=−2x

y (4)= 2 ⇒ 2=k4

⇒ k= 8 y=8x

essolución particular

4) y ´=6 x2

2 y+cos y, y(1)= π solución general : y2

+sen y= 2 x3+C

π2+sen(π)= 2⋅13

+C ⇒ π2−2= C solución particular : y2

+sen y= 2 x3+π

2−2

Calcular y ´=dydx

2 y y ´+cos y y ´= 6 x2+0 ⇒ y ´(2 y+cos y )= 6 x2

⇒ y ´=6 x2

2 y+cos y

5 ) Resolver y ´= 1+ y2−2 x−2 x y2 , y (0)= 0

dydx

= 1+ y2−2 x−2 x y2

⇒dydx

= 1+ y2−2 x (1+ y 2

) ⇒dydx

= (1+ y2)(1−2 x) ⇒

dy

1+ y2= (1−2 x) dx ⇒

⇒∫ 11+ y2 dy=∫(1−2 x) dx ⇒ arctg ( y )= x−x2

+C luego , si y (0)= 0 ⇒ arctg (0)= 0−0+C ⇒

LXXIX

⇒ 0= C ⇒ arctg ( y )= x−x2 y= tg( x−x2) essolución particular de la ecuación diferencial.

Ecuaciones diferenciales homogéneas

Son ecuaciones de la forma y ´= h (x ; y ) en la quedydx

= f ( yx ) o y ´= g( y

x )Ejemplos :

y ´=2 x− yx+4 y

⇒dydx

=2 x− yx+4 y

⇒dydx

=x(2−

yx )

x(1+4 yx )

⇒dydx

=2− y

x

1+4yx

si llamamosyx= ρ tenemos: y= ρ x

con lo cual podemos derivar ambos miembros deesta última ecuación : ⇒dydx

=dρ

dxx + ρ⋅1 ➋

Por y ➋ tenemos:dρ

dxx + ρ=

2−ρ

1+4ρ⇒

dρ

dxx=

2−ρ

1+4ρ−ρ ⇒

dρ

dxx=

2−ρ−ρ(1+4ρ)

1+4ρ⇒

⇒dρ

dxx=

−4ρ2−2ρ+2

1+4ρ⇒

1+4ρ

−4ρ2−2ρ+2dρ=

dxx

⇒∫1+4ρ

−4ρ2−2ρ+2dρ=∫ dx

x⇒

⇒ −12∫

1+4ρ

2ρ2+ρ−1

dρ=∫ dxx

⇒ ... { z= 2ρ2+ρ−1⇒ dz=(4ρ+1) dρ} ... ⇒ −

12∫ dz

z=∫ dx

x⇒∫ dz

z=−2∫ dx

x⇒

⇒ ln∣z∣=−2 ln∣x∣+C ⇒ ln∣z∣+2ln∣x∣= C ⇒ ln∣z∣+ln∣x2∣= C ⇒ ln∣x∣+ln ( x2)= C ⇒ ln (∣z∣x2)= C ⇒

⇒ eC=∣z∣x2

⇒ k= ∣z∣x2⇒ k=∣2ρ

2+ρ−1∣x2

⇒ ±k= (2ρ2+ρ−1) x2

⇒ ±k= 2ρ2 x2

+ρ x2−x2

⇒

⇒ ±k= 2y2

x2 x2+

yx

x2− x2

⇒ ±k= 2 y2+ y x−x2 con lo cual tenemosdossoluciones ( una negativa yotra

positiva ). derivamos para verificar :ddx

(±k )=ddx

(2 y2+ y x−x2

) ⇒ 0= 4 y y ´+ y ´ x+ y−2 x ⇒

⇒ 2 x− y= 4 y y ´+ y ´ x ⇒ y ´(4 y+ x)= 2 x− y ⇒ y ´=2 x− y4 y+ x

Ecuaciones diferenciales homogéneas reductibles a variables separables

El metodo para llevar una EDa variablesseparables es la sustitución de la variable y por alguna expresiónconveniente. Veamos uncaso:

y ´ y x= 2 y2+ x2 sustitución : y= x z

y= x z ⇒ y ´= z+xdzdx

a esta última expresión la reemplazamos en la ecuación diferencial dadaoriginal -

- mente : ( z+x z ´)(x z) x= 2( x z )2+ x2 ⇒ (z+ x z ´) x2 z= 2 x2 z2+x2 ⇒ x2 z2+x3 z z ´= 2 x2 z 2+x2 ⇒

LXXX

⇒ x2(z2

+x z z ´)= x2(2 z 2

+1) ⇒ x z z ´= z2+1 ⇒ x z

dzdx

= z 2+1 ⇒

z

z2+1

dz=dxx

⇒ ∫z

z2+1dz=∫

dxx

⇒ ... { u= z2+1⇒ du= 2 z dz} ... ⇒ ∫

12

duu

=∫dxx

⇒12 ∫

duu

=∫dxx

⇒

ln∣u∣2

= ln∣x∣+C ⇒ ln∣z2+1∣= 2 ln∣x∣+C ⇒ ln(z2

+1)−2 ln∣x∣= C ⇒ ln(z2+1)−ln(x 2

)= C ⇒

⇒ ln( z2+1x2 )= C ⇒ eC

=z2+1

x 2 ⇒ k=1x2 ( y2

x2 +1) ⇒ k=y 2+x2

x4

Ecuaciones diferenciales de primer orden

Son aquellasque pueden expresarsede la forma y ´±P( x) y= Q( x) o biendydx

±P( x) y= Q(x ) dondeP (x)

y Q( x) son funcionescontinuassobre un intervalo dado.

Ejemplos :

1 ) Q(x )= 0 y ´−P(x ) y= 0 ED homogpenea de primer orden (lineal)

y ´= P( x) y ⇒dydx

= P( x) y ⇒dyy

= P (x) dx ⇒∫ dyy=∫P( x) dx ⇒ ln∣y∣= O(x)+C ⇒ ∣y∣= eO (x)+C

⇒

⇒ y=±eO (x)eC⇒ y=±k eO ( x)

⇒ y= 0

Observación : La solución general de unaEDL de primer orden está dada por yG= α yh+ y0

donde {yh= e∫ P(x)dx

y0= yh ∫Q(x )

yh(x )dx

Busquemosahora la solución particular de la ecuación y ´±P( x) y= Q( x)

Será de la forma y0= yh z derivando: y0´= yh ´ z+ yh z ´ ⇒ yh ´ z+ yh z ´±P( x) yh z= Q( x) ⇒

⇒ ( yh´±P (x) yh)z⏟= 0

+ yh z ´= Q(x) si anulamos el primer término enel miembro izquierdo tenemos final -

- menteque y h z ´= Q(x ) ⇒ z ´=Q( x)

yh

⇒∫ z ´dx=∫Q(x )

yh

dx ⇒ z=∫Q(x)yh( x)

dx

Ejemplos:

1 ) y ´−2 y= 2e x P( x)=−2 ∧ Q(x )= 2ex resolvemos usando {yh= e∫P( x)dx

y0= yh ∫Q( x)yh( x)

dx

yG= α yh+ y0 yh= e∫−2 dx

= e−2 x y0= e−2x∫2e x

e−2 x dx ⇒ y0= 2e−2x ∫e3x dx ⇒

LXXXI

⇒ ... {z= 3 x ⇒ dz= 3dx ⇒ dx=dz3 } ... ⇒ y0= 2e−2 x ∫ e z

3dz ⇒ y0=

23

e−2 x ∫ ez dz ⇒

⇒ y0=23

e−2 x e z⇒ y0=

23

e−2x e3x⇒ y0=

23

ex yG= α e−2 x+

23

ex dx

( yG)=−2αe−2x+

23

e x

Verificamos el resultadoel la ED: y ´+2 y=−2α e−2x+

23

ex+ 2 (αe−2 x

+23

e x) ⇒ y ´+2 y= 2e x

2) y ´+3 x2 y= 6 x2⇒ y ´= 6 x2

−3 x2 y ⇒ P( x)=−3 x2∧ Q(x )= 6 x2

yh= e∫−3 x2 dx

= e−x3

; y0= e−x3

∫ 6 x2

e−x3 dx ⇒ y0= 6e− x3

∫ x2 ex3

dx {u= x3⇒

du3

= x2 dx}

⇒ y0= 6e−x3

∫ eu du3

⇒ y0= 2e−x3

∫eu du ⇒ y0= 2e−x3

eu⇒ y0= 2e− x3

ex3

= 2 yG= α e−x3

+2

Si derivamos yG :ddx

( yG)=ddx

(α e−x3

+2) ⇒ddx

( yG)=−3α x2 e−x3

Ahora verifiquemosen la

ecuación diferencial si el resultado obtenidoes correcto. Reemplazaremos yG e yG´ en la ecuación diferen-- cialoriginal :

y ´+3 x2 y=−3α x2 e−x3

+ 3 x2(αe−x3

+2)

y ´+3 x2 y= 6 x2

3 ) Hallar la solución de x2 y ´+x y= 1 x> 0 ∧ y (1)= 2

dividimos ambos miembros por x2 :x2 y ´+ x y

x2 =1

x2 ⇒ y ´+yx=

1

x2 ⇒ y ´=1

x2 −1x

y P(x )=−1x

Q( x)=1x2 = x−2 yG= α yh+ y0 yh= e∫

−1 / x dx= e−ln∣x∣= e−ln (x)

= x−1 y0= x−1 ∫ x−2

x−1 dx ⇒

⇒ y0= x−1 ∫ dxx

⇒ y0= x−1 ln(x ) yG= α x−1+ x−1 ln x

y (1)= 2 ⇒ 2= α1−1+ 1−1 ln(1) ⇒ α= 2 ⇒ yG= 2 x−1

+x−1ln x ⇒ yG= x−1(2+ln x) ⇒

⇒ yG=2+ln x

x⇒ yG=

ln e2+ln xx

⇒ yG=ln(e2 x )

x

Ecuación diferencial de Bernoulli

Esta es una ED reductible a EDlineal y toma la forma : y ´−P( x) y= Q(x ) yα donde α ∈ ℝ−{0 ;1 } de locontrario , si α= 0 tenemos una EDlineal y si α= 1 tenemos una EDa variablesseparables.Multiplicamos ambos miembros deesta ecuación por y−α para obtener : y−α y ´− y−α P (x) y= y−α Q(x ) yα

ahora llevamos a una expresión más chica : y−α y ´−P( x) y1−α= Q(x ) multiplicamos loanterior por (1−α)

LXXXII

yasí tenemos y−α y ´(1−α)−P(x ) y1−α(1−α)= Q( x)(1−α)

Finalmente llamamos z= y1−α⇒ z ´=(1−α) y−α y ´ reemplazando en :

z ´− z P(x )(1−α)= Q(x)(1−α)

yesta ultima es unaecuación diferencial en términos de la variable z

Ejemplos :

1 ) y ´− y+1y= 0 ⇒ y ´− y=−

1y

⇒ y ´− y=− y−1⇒ y ´= y− y−1 P(x)= 1 ; Q(x)=−1 ; α=−1

α=−1 ⇒ 1−α= 1−(−1)= 2 ⇒ z= y2⇒ z ´= 2 y y ´

Multiplicamos la ecuación original por 2 y : 2 y y ´−2 y2+2= 0 ⇒ 2 y y ´−2 y2

=−2 ⇒ z ´−2 z=−2

Ahora tenemosla ecuación másfamiliar z ´−2 z=−2 P(x )= 2 ∧ Q( x)=−2 recordemosque lasolución esde la forma z G= α zh+ z0

z h= e∫ 2 dx= e2x z0= e2 x ∫−2

e2 xdx ⇒ z0= e2 x ∫−2e−2x dx {u=−2 x ⇒ du=−2dx } ⇒

⇒ z0= e2 x ∫ eu du ⇒ z 0= e2 x eu⇒ z 0= e2 x e−2 x

⇒ z 0= 1 zG= αe2 x+1 ⇒ y2

= α e2 x+1 ➋ ⇒

⇒ddx

( y2)=

ddx

(αe2 x+1) ⇒ 2 y y ´= 2α e2x

⇒ y ´=2αe2 x

2 y⇒ y ´=

αe2 x

y

Verificamos reemplazando y ´ en la ED original:αe2 x

y− y =

(1 ) αe2 x− y2

y=(2) αe2 x

−(αe2x+1)

y=−

1y

(1) desarrollamos algebraicamente (2) reemplazamos y2(ver ➋)

2) y ´− y= x y3 y(0)= 1

α= 3 ⇒ 1−α=−2 z= y1−α⇒ z= y−2

⇒ z ´=−2 y−3 y ´ multiplico la ED original por −2 y−3

−2 y−3 y ´−(−2 y−3) y=−2 x y−3 y3 ⇒ −2 y−3 y ´+2 y−2=−2 x reemplazo por la variable z ...

⇒ z ´+2 z=−2 x ⇒ z ´=−2 x−2 z P( x)=−2 ∧ Q(x)=−2 x

buscamos la solución z G= α zh+ z0: zh= e∫−2 dx

= e−2 x z0= e−2 x ∫−2 x

e−2 x dx ⇒ z0=−2e−2x ∫ x e2 x dx

debemos resolver la ecuación aplicandoel metodo de integración por partes : {u= x ⇒ du= dx

dv= e2 x dx ⇒ v=e2 x

2 }LXXXIII

Entonces tenemos : z0=−2 e−2 x ( xe2 x

2−∫

e2 x

2dx) ⇒ z0=−2 e−2 x ( x e2 x

2−

12∫e2 x dx) ⇒

⇒ z0=−2 e−2 x ( x e2 x

2−

12

e2 x

2 )=− x+12

zG= αe−2x− x+

12

⇒ y−2= αe−2 x

−x+12

y ahora , te -

- niendo en cuenta la consigna del ejercicio: y (0)= 1 reemplazamosesto en la última ecuación hallada

1−2= αe−2 × 0

−0+12

⇒ 1= α+12

⇒ α=12

la sol. particular esentonces : y−2=

e−2 x

2−x+

12

Trayectorias ortogonales

Una de las aplicaciones de las EDL esel cálculode trayectoriasortogonales a una familia de curvas, degranutilidad en cienciascomo física , meteorología , geología , etc. Calcular estas trayectoriasesencontrar otrafamilia decurvas que respectode las curvas dadassean perpendiculares en todo punto, esdecir , en cadapuntode la familia decurvas queseconoce , la recta tangentea la curva resulta ortogonal (perpendicular) aotra recta quees tangentea curvasdesconocidas quesedesea encontrar. Siestas rectasson perpendicularesentonces el productodesus pendientes esel opuesto aditivode la unidad.En la gráfica fig.1 notamos que las rectasr y sson rtogonales , esdecir ,

si la pendientede la recta r esm , la pendiente de la recta ses −1m

r es la recta tangentea una curva dada , mientras que s es tangentea latrayectoria ortogonala aquellacurva previamente conocida.

Ejemplos :

1 ) Calcular las trayectorias ortogonalesa la familia decurvas x= k y2

derivamos : 1= 2k y y ´ ⇒ k=1

2 y y ´sustituyo k en la ecuación general : x=

y2

2 y y ´⇒ x=

y2 y ´

⇒

⇒ y ´=y

2 xesta es la pendientede la curva dada , entonces la pendiente de la trayectoria ortogonal es y´to=

=−2 xy

⇒dydx to

=−2 xy

⇒ y dy=−2 x dx ⇒ ∫ y dy=∫−2 x dx ⇒y2

2=−x2

+C ⇒ C=y2

2+ x2

2) Idem k x2+ y2

= 1 derivo: 2k x+2 y y ´= 0 ⇒ k x+ y y ´= 0 ⇒ k=−y y ´

xreemplazoen

(−y y ´x ) x2

+ y2= 1 ⇒ − y y ´ x= 1− y 2

⇒ y ´=1− y2

−y x⇒ y ´=

y2−1

y x(pendiente tangentea la curva) ⇒

⇒ y´to=y x

1− y2 ⇒dydx to

=y x

1− y2 ⇒1− y2

ydy= x dx ⇒∫ 1− y 2

ydy=∫ x dx ⇒∫ 1

y− y dy=∫ x dx ⇒

⇒ ln∣y∣−y2

2=

x2

2+C ⇒ C= ln∣y∣−

y2

2−

x2

2⇒ C= ln( y )−( x2

+ y2

2 )

LXXXIV