Cálculosdelasfuerzasdepuentesde hidrógenoenlosparesdebases … · en conformaciones de polímeros para los cuales sus parámetros fueron calculados, en otras palabras solo se pueden

Cálculos de las fuerzas de puentes dehidrógeno en los pares de bases

Watson-Crick simulando AFM con SMD.

Cristian Joel Ordóñez Martínez

Escuela de Física

Universidad Nacional Autónoma de Honduras

Una tesis presentada para el grado de

Máster en Física

30 de mayo de 2017

mailto:[email protected]

http://www.fisicaunah.com

http://www.unah.edu.hn

Me gustaría dedicar esta tesis a mi amado hijo...

Agradecimientos

Agradecimientos a mi asesor Ruben Santamaria, que con paciencia y lahabilidad de transmitir sus conocimientos me ha ayudado a terminar estetrabajo y comprender los alcances de las teorías física, que muchas vecesdifusas por la poca experiencia como estudiante. También agradezco aArmando Euceda por apoyarme a movilizarme al instituto de Física dela UNAM, cuya visita fue determinante para culminar mis estudios. Aalgunos compañeros en el estudio de la física, en especial a Ana Romero,ya que muchas discusiones con ellos fueron importantes para los estudiospresentados en esta disertación. Por ultimo agradecer a mi familia quesiempre a sido fuente de inspiración para continuar en la búsqueda delentendimiento del universo y su complejidad, en especial a mi hijo JoséJulián. A todos ellos Gracias.

Resumen

Esta investigación forma parte de un estudio sistemático que se iniciobastante tiempo atrás sobre las características del ADN a nivel moleculary que demanda la aplicación de técnicas computacionales de última ge-neración. Este estudio que se presenta a continuación es la primera partede un estudio mas general acerca de las características mecánicas del ADN.

El ADN es un polímero, este cuando se pliega alcanza una estructuratridimensional caracteristica, esta compuesto por unidades estructuralesllamadas bases nucleicas. La diversidad en la secuencia de los bases nu-cleicas en el ADN es la causa, por ejemplo, de la existencia de diferentesgenes que codifican la información genética, y con directo impacto enel metabolismo celular. La estructura tridimensional que adopta el ADNes debido a la precisa interacción de las cadenas complementarias, estasinteractúan por medio de fuerzas de puentes de hidrógeno y fuerzas porapilamiento de bases. La lectura de la información genética se lleva acabo por medio de enzimas, que estresan el ADN, para después leer la in-formación a lo largo de la cadena, los limites elásticos en estos procesosestán presentes, por esta razón el conocimiento de las fuerzas implicadasson de gran interés científico. Para este primer estudio el objetivo pro-puesto fue calcular las fuerzas de interacción de los puentes de hidrógenoen el par de bases Watson-Crick (Adenina-Timina y Guanina-Citosina).

En la actualidad existen una variedad de estudios sobre el ADN, en su ma-yoría estudios experimentales. A nivel teórico se han utilizado los poten-ciales modelos llamados campos de fuerza ya que estos son relativamentesimples de aplicar y son efectivos computacionalmente. A pesar que loscampos de fuerza representan interacciones reales entre los átomos, es-tos tienen algunos inconvenientes, por ejemplo, solo se pueden aplicaren conformaciones de polímeros para los cuales sus parámetros fueroncalculados, en otras palabras solo se pueden usar en polímeros donde

los campos de fuerza fueron construidos específicamente para ellos. Encontraste con el método de campos de fuerza se presenta una metodo-logía que en la manera de lo posible hace uso de teorías suficientementeprecisas a nivel molecular. Se presenta en esta disertación la ecuaciónde Zwanzig-Langevin como una teoría que caracteriza cadenas cortas deADN en condiciones de presión y temperatura especificas. Se sustituyenlos potenciales modelos por potenciales provenientes de las interaccioneselectrónicas entre átomos de la cadena corta de ADN que son calculadoscon La Teoría Funcional de la Densidad (capitulo 2), y por potencialesque especifican los efectos de presión y temperatura que son puramenteestadísticos, según el modelo de Zwanzig-Langevin expuestos en el capi-tulo 3.

Para calcular las fuerzas entre puentes de hidrógeno presentes en lospares de bases Watson-Crick se diseñaron dos experimentos utilizandoSteered Molecular Dynamics en concordancia con experimentos hechosconMicroscopios de fuerza atómica sobre el ADN, estos fueron: (1) cálculosde las fuerzas de los puentes de hidrógeno utilizando resortes con fuerzasde resorte variable en el tiempo, (2) cálculos de fuerza de los puentesde hidrógeno utilizando resortes con fuerzas constantes para diferenteselongaciones del resorte. Con estos experimento se identifico la fuerzanecesaria para romper los puentes de hidrógeno en los pares de bases deWatson-Crick, que resultaron ser 0.51 nN y 0.98 nN para Adenida-Timinay Guanina-Citosina respectivamente. Los valores encontrados concuer-dan con los encontrados en la literatura. Se calculan también las fuerzasde los puentes de hidrógeno individuales presentes en los pares de bases,resultaron ser 0.04 nN para el puente de hidrógeno N− H · · · N y 0.47 nN

para el puente de hidrógeno N− H · · · O. Los valores encontrados paralos experimentos realizados con varias condiciones se encuentran lista-dos en las tablas resumen del capitulo 4. Por ultimo la discusión de losresultados se presenta en el capitulo de conclusiones (cap. 5).

Índice general

Índice general v

Índice de figuras vii

1. Introducción 11.1. Los procesos bioquímicos de la célula están jerárquicamente organizados 21.2. Las proteínas como el componente principal de la estructura celular . 3

1.2.1. Las proteínas están codificadas en la estructura molecular delARN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. El ADN como ejecutor de la actividad bioquímica de los organismosvivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.1. Susceptibilidad mecánica del ADN a agentes externos . . . . . . 111.3.2. El AFM como instrumento de medición de las propiedades me-

cánicas del ADN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2. Metodología sobre átomos multielectrónicos 192.1. Aproximación de BO para el desacoplamiento de los movimientos elec-

trónicos y nucleares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.1.1. Dificultades impuestas por la ecuación de Schrödinger para

átomos multielectrónicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1.2. Aproximación de núcleos lentos con respecto a electrones rápidos 222.1.3. Separación del movimiento electrónico del nuclear . . . . . . . 23

2.2. Energía como funcional de la densidad electrónica . . . . . . . . . . . 252.2.1. El modelo de Thomas y Fermi para la energía electrónica . . . 262.2.2. Inclusión del término de intercambio de Dirac en la energía

electrónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.3. DFT como un modelo de estructura electrónica . . . . . . . . . . . . . 32

v

ÍNDICE GENERAL

2.3.1. Teorema de Hohenberg y Kohn como fundamento de la teoríaDFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3.2. Aproximación de Kohn y Sham para el cálculo de la energíaelectrónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3.3. Funcionales de intercambio y correlación en la energía electrónica 392.4. Diagrama de Flujo para el cálculo de la energía electrónica de una

molécula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3. Dinámica Molecular para el estudio de las propiedades mecánicasdel ADN 483.1. Migración a una ecuación de movimiento Newtoniana . . . . . . . . . 48

3.1.1. Limite clásico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.1.2. Ecuación de movimiento para sistemas moleculares . . . . . . 503.1.3. Partícula browniana con estructura atómica . . . . . . . . . . 513.1.4. Dinámica molecular para cadenas cortas de ADN . . . . . . . . 53

3.2. Diagrama de flujo para la dinámica de la molécula del ADN . . . . . . 55

4. Implementación del modelo para calcular las fuerzas de los puentesde hidrógeno en los pares de bases Watson-Crick. 574.1. Objetivo del Capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.2. Medición de la fuerza de los puentes de hidrógeno en los pares de

bases Watson-Crick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.2.1. Resumen de los resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5. Conclusiones 68

A. La Aproximación de Hartree-Fock 69

B. Densidad electronica 81.1. Definición de la densidad electrónica de un sistema molecular de N

electrones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2. Operadores de Densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

References 87

vi

Índice de figuras

1.1. Estructura primaria de una proteína. Los aminoácidos tienen una se-cuencia especifica, el orden y tipo de aminoácido determina las carac-terísticas de cada proteína. Los enlaces entre aminoácidos son enlacespéptidos. Figura tomada de: National Human Genome Research Ins-titute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Estructura quimica de los aminoacidos. El enlace del grupo aminoy el grupo carbolxilo es el carbono alpha. El carbono alpha se unetambien a H y R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3. a-e) Bases Nitrogenadas. f) Ácido Adenílico. Formado por una basenitrogenada, un fosfato y un azúcar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4. Representación de la unión fosfodiéster entre nucleótidos de un seg-mento de cadena de ARN. Para unir los monomeros en la cadena deARN el fosfato se une con el carbono numero 3 de una ribosa y elcarbono 5 de otra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5. Unión química de las nucleótidos del ADN y puentes de hidrógeno. . . 101.6. Esquema del proceso de transcripción de ADN. Se muestra la produc-

ción de ARN por acción de la enzima ARN polimerasa. By Dovelike [CCBY-SA 3.0] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.7. Microscopio de Fuerza Atómica. By Askewmind . . . . . . . . . . . . 131.8. Geometría idealizada de la punta de la sonda del AFM cerca de la

superficie de una muestra.[3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.9. Potencial de Lennard-Jones, caracteriza las fuerzas repulsivas y atrac-

tivas de las interacciones dipolares entre átomos o moléculas. . . . . . 15

2.1. Representación bidimensional del espacio de momentos para un gasde electrones, los puntos representan estados con momentos p < pF

(curva azul). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

vii

ÍNDICE DE FIGURAS

2.2. Diagrama de flujo para el cálculo de la energía electrónica de unamolécula utilizando DFT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.1. Diagrama de flujo para el cálculo de la Dinámica de una cadenascortas de ADN, utilizando la ecuación Zwanzig-Langevin. . . . . . . . . 56

4.1. Pares de bases de Watson-Crick. a) Adenina-Timina. b) Guanina-Citosina. En las figuras se muestran los puentes de hidrógeno conlineas punteadas, dos puentes de hidrógeno para Adenina-Timina(N · · · H − N y N − H · · · O), tres puentes de hidrógeno para Guanina-Citosina (N− H · · · O, N− H · · · N y O · · · H− N). . . . . . . . . . . . . . 59

4.2. Representación de las fuerzas de resorte aplicadas en los pares debases Watson-Crick en las simulaciones. a) Fuerzas aplicadas al par debases Adenina-Timina. b) Fuerzas aplicadas al par de bases Guanina-Citosina. Las moléculas se prepararon tal que las direcciones de lasfuerzas de resorte sean paralelas a la dirección de las interacciones delos puentes de hidrógeno. ver figura 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.3. Se muestra cuatro instantes de tiempo de la dinámica de la moléculaA-T para el rompimiento de los puentes de hidrógeno. El estiramientodel resorte identifica la fuerza que actúa en la molécula, entre masestirado este el resorte, este aplica mayor fuerza al par de bases A-T. . 61

4.4. Fuerza de resorte en función del tiempo aplicada al par de basesAdenina-Timina para varias Razones de Carga. La gráficas correspon-den a 3, 750 fs (rojo), 6, 250 fs (verde) y 23, 000 fs (azul) de tiempode simulación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.5. Fuerza de resorte en función del tiempo aplicada al par de basesGuanina-Citosina, para varias Razones de Carga (RC). La gráficascorresponden a 3, 000 fs, 11, 000 fs y 42, 000 fs de tiempo de simula-ción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.6. Mapas de densidad electrónica correspondiente a una iso-superficiede 0.05 u. a. Los colores superpuestos representan las polarizacionesdebido a la transferencia de carga electrónica. . . . . . . . . . . . . . 65

viii

Capítulo 1

Introducción

Los organismos vivos están constituidos por una o varias células. Las células queconforman los organismos vivos determinan su estructura y precisan su funciona-miento. El funcionamiento celular esta altamente organizado y si hay organizaciónhay información. Esta información está intrínsecamente contenida en la estructuracelular.

El ácido desoxirribonucleico (ADN) codifica la información que conduce todas lasfunciones celulares, desde la información para producir las proteínas necesarias parael funcionamiento óptimo de la célula, hasta la información necesaria para la divisióncelular. El ADN se encuentra contenido en el núcleo celular de las células eucariotas1,formando los cromosomas2. Frecuentemente segmentos de código del ADN, llamadosgenes3, se copian a través de mecanismos químicos para formar otras macromolé-culas llamadas ácidos ribonucleicos (ARN), el ARN codificado generalmente sale delnúcleo celular hacia el citoplasma de la célula, y por medio de él, se lleva a cabo laproducción de proteínas esenciales para el desarrollo y el funcionamiento de la célula.

Desde el descubrimiento de la estructura del ADN por Francis Harry Compton Cricky James Dewey Watson, los procesos biológicos están sustentados en los principiosfísicos en instancias atómicas de las células, así que, los métodos físicos pueden apli-carse en los procesos biológicos y descifrar el funcionamiento atómico de estos.

1Son células con núcleo celular limitado por una capa lípida, en las células eucariotas el materialgenético esta contenido en el núcleo celular, a diferencia de las células procariotas que no poseennúcleo definido y el material genético se encuentra en el citoplasma.

2Estructuras biológicas constituidas por ADN y proteínas, están contenidas formando estructurasbien organizadas en el núcleo celular. Contienen todo el material genético de un organismo.

3Segmentos de código del ADN que codifican una proteína en especifico (según el código decodones).

1

En este capítulo se presentan las generalidades que se conocen por parte de lasciencias bioquímicas acerca de la estructura y caracteristicas del ADN, y como estamacromolécula conduce los procesos celulares. Se presentan la relación y las propie-dades químicas que comparte con el ARN y como esta ultima se encarga de conducirla producción de proteínas.

También se discute las características mecánicas del ADN y uno de los métodos expe-rimentales de medición de estas características, el cual se presenta como el que masresalta en función del objetivo de la disertación.

1.1. Los procesos bioquímicos de la célula están je-

rárquicamente organizados

La bioquímica se encarga del estudio de las moléculas de la vida, comúnmentellamadas biomoléculas. Las biomoléculas son los bloques fundamentales de los orga-nismos vivos, forman estructuras complejas y dinámicas que son fundamentales parael funcionamiento de las células. Los experimentos de los bioquímicos se basan enconceptos de biología, química, física y matemáticas, la inclusión de estos diversosconocimientos permitió proporcionar nueva información acerca de la estructura yfuncionamiento de las células. Todos los seres vivos, a pesar de la inmensa diversi-dad existente, obedecen las mismas leyes físicas y químicas que obedece el universo.Todos los seres vivos están formados por las mismas biomoléculas y los procesosbiológicos de todos ellos son semejantes.

Desde un punto de vista molecular, los organismo vivos están en su mayoría cons-tituidos por seis elementos químicos, estos son, hidrógeno (H, con una abundanciarelativa de 60.5 %), oxigeno (O, 25.4 %), carbono (C, 10.7 %), nitrógeno (N, 2.4 %),fósforo (P, 0.17 %) y azufre (S, 0.13 %). El 0.4 % restante lo constituyen Ca+, Na+,K+, Mg2+, Cl−, estos actúan como electrolitos que permiten las interacciones entremoléculas a través de los iones de Fe3+ → Fe2+ y Cu2+ → Cu+. Los elementos quí-micos presentes en las células forman moléculas a través de uniones químicas, estasnuevas moléculas son las llamadas biomoléculas. Las biomoléculas se pueden agruparen ácidos carboxílicos, alcoholes, monosacáridos, aminas, heterociclos nitrogenados,hidrosulfuros y fosfatos.

2

Las biomoléculas a su vez sirven de bloques de construcción para una gran can-tidad de moléculas más complejas, por ejemplo, aminoácidos (grupo amina y ácidocarboxílico), ácidos grasos como los triglicéridos (ácidos carboxílico y glicerina), eta-nol (alcohol), pentosas (monosacáridos), purinas y pirimidinas (ciclos nitrogenados),por nombrar algunas de la gran diversidad que existe. Esta diversidad de moléculascomplejas se agrupan para formar macromoléculas, comúnmente llamadas políme-ros, tenemos por ejemplo, las proteínas, la cadena de ARN y la cadena de ADN.

Los organismos vivos están jerárquicamente organizados, moléculas mas básicas seunen químicamente para formar moléculas mas complejas. La información necesariapara todos estos procesos químicos se gestiona de forma precisa y esta contenidaen el ADN. En la próxima sección se discutirá como esta información gestiona laproducción de proteínas y como se codifica en la macromolécula del ADN.

1.2. Las proteínas como el componente principal de

la estructura celular

El 80 % de la estructura de la célula consiste en proteínas, estas son las macromo-léculas mas versátiles y diversas, cumplen una gran cantidad de funciones diferentesen la célula, por ejemplo, se agrupan para formar tejidos, proporciona inmunolo-gía, cumplen funciones enzimáticas, etc. Las proteínas son polímeros, ya que estánconstituidas por cadenas de monómeros llamados aminoácidos. Para formar cadenasde proteínas los aminoácidos se enlazan químicamente uno tras otro a través de unenlace llamado enlace péptido, como se muestra en la figura 1.1.

Figura 1.1: Estructura primariade una proteína. Los aminoácidostienen una secuencia especifica, elorden y tipo de aminoácido deter-mina las características de cadaproteína. Los enlaces entre ami-noácidos son enlaces péptidos. Fi-gura tomada de: National HumanGenome Research Institute

3

La diversidad de las proteínas descansa sobre el número y orden de los aminoácidos,estos tienen un orden en la cadena proteica que es especifica para cada proteína.Existen conocidos hasta la fecha 20 aminoácidos diferentes esenciales para la vida.En la tabla 1.1 se especifican los aminoácidos junto con su código de codones co-rrespondiente.

Los aminoácidos son moléculas orgánicas constituidas por un grupo amino (NH2)y un grupo carboxilo (COOH) unidos químicamente a un mismo átomo de carbonollamado carbono alpha. Este carbono alpha se enlaza a la vez a un hidrógeno y auna cadena carbonada de diverso tamaño, representado comúnmente por R, llamadaradical, como se muestra en la figura 1.2. En general la estructura química básicade los aminoácidos es común para todos ellos, siendo la única diferencia entre ellosel radical R, dependiendo del tamaño y el tipo de R, este especifica el aminoácidoconcreto, su identidad y propiedades. En la figura 1.2 se muestra un ejemplo dealgunos aminoácido concretos y su R en especifico.

(a) Aminoacido (b) Metionina

Figura 1.2: Estructura quimica de los aminoacidos. El enlace del grupo amino y elgrupo carbolxilo es el carbono alpha. El carbono alpha se une tambien a H y R.

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Código Código Nombre Código1-letra 3-letras Completo de Codones

A Ala Alanina GCU, GCC, GCA, GCG.C Cys Cisteína UGU, UGC.D Asp Ácido aspártico GAU, GAC.E Glu Ácido glutámico GAA, GAG.F Phe Fenilalanina UUU, UUC.G Gly Glicina GGU, GGC, GGA, GGG.H His Histidina CAU, CAC.I Ile Isoleucina AUU, AUC, AUA.K Lys Lisina AAA, AAG.L Leu Leucina UUA, UUC, CUU, CUC, CUA, CUG.M Met Metionina AUG.N Asn Asparagina AAU, AAC.P Pro Prolina CCU, CCC, CCA, CCG.Q Gln Glutamina CAA, CAG.R Arg Arginina AGA, AGG, CGU, CGC, CGA, CGG.S Ser Serina AGU, AGC, UCU, UCC, UCA, UCG.T Thr Treonina ACU, ACC, ACA, ACG.V Val Valina GUU, GUC, GUA, GUG.W Trp Triptófano UGG.Y Tyr Tirosina UAU, UAC.

Codón de parada UAA, UAG, UGA.Codón de parada UGA.

Cuadro 1.1: Los 22 aminoácidos conocidos con su código de codones correspon-diente. Los primeros 20 son los aminoácidos esenciales para la vida. Los últimos doslistados, son dos moléculas que producen el inicio y la finalización de la producciónde las proteínas cuando son codificados.

1.2.1. Las proteínas están codificadas en la estructura mole-

cular del ARN

La secuencia de aminoácidos para formar una proteína determinada es altamenteprecisa, esta se conoce como traducción, es una parte del proceso de producción deproteínas, y se da lugar en el citoplasma de las células. En la producción de proteí-nas están implicadas varias moléculas que reaccionan químicamente para formar unaproteína especifica, esto sucede a través de la lectura de un código llamado código decodones, que esta codificado intrínsecamente en la estructura química de la moléculallamada ARN mensajera (ARNm). Cuando una molécula ARNm se une a un ribosoma,

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el ribosoma da lectura a ese código y lo traduce en un aminoácido correspondienteal código. En general la traducción es la expresión de la secuencia de aminoácidossegún la lectura del código de codones por los ribosomas la cual esta contenida enel RNAm. En la tabla 1.1 se puede observar el código de codones que corresponde acada aminoácido.

El ARN es otra macromolécula. A diferencia de las proteínas, el ARN esta consti-tuido por monómeros llamado nucleótidos, estos nucleótidos se enlazan unos a otrosformando la cadena a través de enlaces fosfodiéster. Existen varios tipos de ARN,estos se pueden clasificar en ARN codificante y ARN no codificante. Los ARN codifi-cantes son aquellos que codifican en su estructura química intrínseca la informaciónpara la traducción de codones, un ejemplo de ello es el ARNm. El ARN no codificanteno contiene el código para producir codones y es utilizado en la célula para otrosprocesos, ejemplos de ellos son el ARN de transferencia (ARNt) y ARN ribosómatico(ARNr). El ARNt y ARNr también participan en la síntesis de proteínas, el ARNt esel que se encarga en transferir al ribosoma el aminoácido correcto según el codóncodificado, y el ARNr participa en la lectura del código.

Los nucleótidos que constituyen los bloques de construcción del ARN están forma-dos por tres moléculas unidas químicamente, un monosacárido de cinco carbonosllamado ribosa, un grupo fosfato y una base nitrogenada. Estas bases nitrogenadaspueden ser purinas, Adenina y Guanina, o pirimidinas, Citosina y Uracilo (ver figura1.3a-e. El nucleótido es formado específicamente de la siguiente forma: los carbonosde la ribosa se enumeran del 1 al 5 en sentido horario, la base nitrogenada se une alcarbono numero 1 y el grupo fosfato se une al carbono numero 5, como se muestraen la figura 1.3f.

Ya que la única diferencia entre nucleótidos que forman una cadena de ARN sonlas bases nitrogenadas, el código de codones hace referencia a ellas, tomando la no-tación, Adenina=A, Guanina=G, Citosina=C y Uracilo=U. Siendo un codón igual alcódigo sucesivo de tres bases nitrogenadas, por ejemplo AUG, que representa en latraducción el aminoácido llamado Metionina (es el código para iniciar la traducción).Por eso se considera que la estructura química del ARN contiene la información co-dificada de la traducción. Los nucleótidos en la cadena de ARN se unen unos a otrosa través de un enlace fosfodiéster como se muestra en la figura 1.4.

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(a) Adenina (b) Timina

(c) Guanina (d) Citosina

(e) Uracilo (f) Acido Adenílico

Figura 1.3: a-e) Bases Nitrogenadas. f) Ácido Adenílico. Formado por una basenitrogenada, un fosfato y un azúcar.

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Figura 1.4: Representación de la unión fosfodiéster entre nucleótidos de un seg-mento de cadena de ARN. Para unir los monomeros en la cadena de ARN el fosfato seune con el carbono numero 3 de una ribosa y el carbono 5 de otra.

Existe una gran diversidad de proteínas implicadas en los procesos celulares, cadaARNm codifica una proteína, eso significa que existen una gran diversidad de ARN

diferentes que codifican de manera precisa cada proteína. La naturaleza ha propor-cionado un mecanismo que organiza de manera precisa toda la información necesariapara producir todas las proteínas y demás procesos, toda esa información esta conte-nida en el ADN. En la siguiente sección se discutirá como esta molécula codifica todaesta información y como la transmite para ser utilizada en los procesos bioquímicosde la célula.

1.3. El ADN como ejecutor de la actividad bioquímica

de los organismos vivos

El ADN en células eucariotas se encuentra formando los cromosomas localizadosen el núcleo de la célula, esta contiene todas las instrucciones genéticas que permi-ten el desarrollo y funcionamiento de un organismo vivo, también se considera quees el responsable de transmitir toda esa información, ya que se copia exactamente

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cuando la célula está en la etapa de división. La información contenida en el ADNesta organizada en genes, los genes son segmentos de la cadena de ADN que contienela información para construir una proteína y/o un ARN.

Químicamente al igual que las proteínas y el ARN, el ADN es un polímero, al igual queel ARN esta constituido por cadenas de monómeros llamados nucleótidos. Los nucleó-tidos están formados por tres moléculas, un monosacárido de 5 carbonos llamadodesoxirribosa, una base nitrogenada que puede ser una purina, Adenina, Guanina ouna pirimidina, Citocina o Timina, y un fosfato que se encarga de la unión entre losnucleótidos, al igual que el ARN, los nucleótidos de la cadena de ADN se diferencianpor la base nitrogenada, así que, de la misma forma que en el ARN, el orden de lacadena del ADN se determina por el código de codones.

Una característica del ADN es que al mismo tiem-po que los nucleótidos de una cadena se unen,las bases nitrogenadas de una cadena se unen conotras bases nitrogenadas de una segunda cadena,estos enlaces se llaman puentes de hidrógeno, asíla macromolécula del ADN es una macromoléculade dos cadenas unidas formando una especie deescalera de caracol, como semuestra en la figuraa la izquierda. A las dos cadenas que forman lacadena de ADN se les llama cadenas complemen-tarias ya que en la unión de las bases nitroge-nadas, estas se unen de la única forma Adenina-Timina y Guanina-Citocina, así que si utilizamosla notación de codones, un segmento de cadenade ADN puede ser ...AGT-AAT-CTC... y su ca-dena complementaria seria ...TCA-TTA-GAG...

únicamente, de esta forma la cadena de ADN co-difica en su estructura química la informacióngenética. La figura 1.5 muestra las uniones quí-

micas de una de las cadenas complementarias del ADN.

El mecanismo para gestionar todos los procesos de las células a través de la infor-mación contenida en el ADN se conoce como transcripción, y es la primera expresión

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Figura 1.5: Unión química de las nucleótidos del ADN y puentes de hidrógeno.

genética. Esta consiste en copiar segmentos del código genético. Este proceso iniciacuando una enzima llamada ARN polimerasa se adhiere en el codón inicial de unacadena de ADN que contiene la información de un gen, el ARN polimerasa estresa lacadena y rompe los puentes de hidrógeno cercanos, se mueve a través de la cadenarompiendo cooperativamente los puentes de hidrógeno y copia secuencialmente lainformación de una de las cadenas complementarias del ADN, y así produce una nuevacadena de ARNm, la cual sale del núcleo celular para estar lista en la producción deproteínas. Con el mismo mecanismo el ADN proporciona la información para producirtodas las macromoléculas implicadas en los procesos celulares. En la figura 1.6 sepresenta un esquema de la síntesis de ARNm.

En resumen, podemos notar que todos los procesos dentro de las células es de-bido a la precisa gestión por parte del ADN. El ADN, ARN y las proteínas en general,están constituidas por un conjunto finito de moléculas, y estas moléculas por núcleosy electrones. Sabiendo esto, podemos pensar en la aplicabilidad de las teorías físicascomo la mecánica cuántica, que es una teoría que explica y predice el comporta-miento de partículas tales como electrones, núcleos atómicos, átomos, y moléculas.Por lo tanto desde el punto de vista de las ciencias físicas, las macromoléculas, ADN,

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Figura 1.6: Esquema del proceso de transcripción de ADN. Se muestra la producciónde ARN por acción de la enzima ARN polimerasa. By Dovelike [CC BY-SA 3.0]

ARN y proteínas son un conjunto de átomos multielectrónicos interactuantes. Porotro lado, la actividad celular al nivel molecular, conlleva en copiar segmentos decódigo del ADN, este mecanismo estresa las hebras de ADN y rompe los puentes de hi-drógeno presentes, por lo que caracterizar las propiedades elásticas es de gran interés.

En el capitulo 2 se discute la teoría física necesaria para proporcionar un mecanismopara el análisis de átomos multielectrónicos, pero antes se presentan algunas de laspropiedades mecánicas de la estructura química del ADN, que son de importanciapara el desarrollo de esta disertación.

1.3.1. Susceptibilidad mecánica del ADN a agentes externos

Las células interactúan constantemente con el medio ambiente. De estas inter-acciones surgen fuerzas que producen cambios mecánicos en las células. Ya que lasfunciones biológicas están ligadas con estos cambios, el comportamiento de las cé-lulas puede ser alterado. Desde un punto de vista molecular, estas alteraciones, enalguna medida pueden modificar la actividad y las características de los componen-tes celulares, como las proteínas, el ARN y ADN.

Se sabe que el ADN en ciertas condiciones esta sometido a interactuar con molé-culas ajenas a él. Estas moléculas pueden unirse químicamente, por lo que puedenmodificar la estructura y cambiar el estado de estabilidad que se encuentra el ADN,de tal forma que se modifiquen las propiedades mecánicas de este. Podemos estudiar

11

las propiedades mecánicas del ADN conociendo los puntos críticos de la estructuramolecular, entendiendo estos puntos críticos como aquellos estados del ADN donde laspropiedades mecánicas cambien de una manera abrupta o sus variaciones sean nulas.

Para medir las característica estructurales del ADN se necesitan instrumentos quepuedan medir en escalas atómicas. Los instrumentos usados para este propósito sonlos microscopios de barrido de sonda (SPMs por sus siglas en ingles). La principalcaracterística de los SPMs radica en que son capaces de entrar en contacto con lamuestra y hacer un mapa de su estructura atómica. Los primeros STMs, como elmicroscopio de efecto túnel (STM), son capaces de medir estas propiedades solo paramuestras conductoras, por lo que estos primeros instrumentos no pueden ser utili-zados para medir propiedades de muestras orgánicas como el ADN. Los STMs han idomejorando, y ahora son capaces de medir características estructurales y mecánicas,tanto en muestras conductoras como no conductoras, este es el caso del microscopiode fuerza atómica (AFM). Para medir las propiedades mecánicas de moléculas orgá-nicas como el ADN, el AFM resalta por sus características.

A continuación se presentan las características del AFM y como este mide las propie-dades mecánicas de compuestos como el ADN.

1.3.2. El AFM como instrumento de medición de las propieda-

des mecánicas del ADN

El AFM permite realizar mediciones en vacío y medios fisiológicos, para muestrasorgánicas e inorgánicas. En cualquiera de las condiciones de la muestra mencionadasanteriormente, el AFM permite medir la morfología de la superficies de la muestra ymedir fuerzas entre punta y muestra, características importantes para determinarlas propiedades mecánicas del ADN. La medición de fuerzas con el AFM entre pun-ta y muestra por ejemplo, abarca varios tipos de experimentos: interacción punta-muestra controlada (se puede retirar, empujar y mover en dirección de la superficiede la muestra), unión a puntos químicos específicos y unión eléctrica con la muestrapara hacer medidas de corriente o potencial.[8][19]

La medición con el AFM se lleva a cabo con la unión entre la punta de la sonday la muestra en el espacio comprendido de interacción débil. Su principio de trabajoes similar a la de un tocadiscos de vinilo; la muestra se empuja contra la sonda (agu-

12

Figura 1.7: Microscopio de Fuerza Atómica. By Askewmind

ja) elástica y la deflexión resultante se mide a través de un foto-receptor, como seobserva en la figura 1.7. Conocer la constante elástica de la sonda, implica determi-nar la fuerza de contacto entre esta y la muestra. La fuerza medida esta relacionadacon las propiedades mecánicas de la muestra, así que, controlando la interacción dela sonda con la muestra se puede determinar por ejemplo los puntos críticos de laspropiedades mecánicas del ADN.[17]

En un caso especifico, en un experimento de interacción punta-muestra en el AFM,que permita medir la fuerza entre ellas, la punta de la sonda y la muestra se colocanmuy próximas, como se muestra en la figura 1.8, por lo que surgen fuerzas de adhe-sión con diferentes órdenes de magnitud y dependientes de la distancia entre ellas.Estas fuerzas pueden ser de varios tipos. En general la fuerza entre la punta de lasonda y la muestra en el AFM esta comprendida por[16]

Fad = FvdW + Felec + Fmagn + Fchem, (1.1)

donde FvdW es la fuerzas de van der Waals, Felec es la fuerza electrostática, Fmagn esla fuerza magnética y Fchem es la fuerza intramolecular de interacción química.

13

Figura 1.8: Geometría idealizada de la punta de la sonda del AFM cerca de lasuperficie de una muestra.[3]

Interacción de van der Waals

Cuando la punta de la sonda y la muestra están cercanas, como se muestra enla figura 1.8, aparecen fuerzas interatómicas de atracción y/o repulsión, diferentes ainteracciones covalentes o iónicas. Dependiendo de la distancia entre punta-muestralas interacciones pueden ser atractivas (distancias moderadas) o repulsivas (distan-cias muy pequeñas), ver figura 1.9. Estas interacciones atractivas y/o repulsivas sonconocidas como interacciones de van der Waals, describen las atracciones y/o repul-siones atómicas por momentos dipolares permanentes o inducidos presentes en lasmoléculas. Las interacciones de van der Waals están caracterizadas por ser ∝ r−6,donde r es la distancia entre los centros atómicos. Si la distancia entre moléculasse acorta las capas electrónicas de las moléculas empiezan a solaparse y aparecenfuerzas repulsivas de acuerdo con el principio de exclusión de Pauli, esta fuerzasrepulsivas se caracterizan por ser ∝ r−12. En lo que respecta a las fuerzas de van derWaals un par de moléculas están sujetas a dos fuerzas, una repulsiva cuando estánmuy cerca y una atractiva cuando están lejos una de otra, un modelo matemáticosencillo para representar esas características es el potencial de Lennard-Jones,

VLJ = −Catrac

r6+Crepul

r12, (1.2)

donde Catrac y Crepul son constantes. Una representación gráfica de la ecuación 1.2se muestra en la figura 1.9. La interacción de van der Waals,[8] se puede clasificar entres interacciones diferentes: la interacción entre dos dipolos permanentes llamadainteracción de Keesom, la interacción entre dipolo permanente y dipolo inducidollamada interacción de Debye y la interacción dipolo instantáneo y dipolo inducido

14

Figura 1.9: Potencial de Lennard-Jones, caracteriza las fuerzas repulsivas y atrac-tivas de las interacciones dipolares entre átomos o moléculas.

llamada interacción de dispersión de London, todas ellas en general pueden actuaral mismo tiempo entre átomos y/o moléculas. Las interacciones de van der Waalsen función del potencial es

VvdW = −CKr6− CD

r6− CL

r6

= − p21 p22

3(4πε0ε)2 kB T r6− p21α2 + p22α1

(4πε0ε)2 r6− 3

2h

α1α2

(4πε0)2 r6(hν1) (hν2)

ν1 + ν2, (1.3)

donde p1 y p2 son los momentos dipolares, α1 y α2 son las polarizaciones electrónicas,y, hν1 y hν2 son los primeros potenciales de ionización de las moléculas. Con lospotenciales de la ecuación 1.3 se puede calcular la fuerza entre punta-muestra en elAFM, según la geometría de la punta, esta se registra en la tabla 1.2.

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Geometría punta-muestra Fuerza (FvdW)

Dos superficies planas f = − AH6πD3 por unidad de área

Dos esferas F = − AH6D2

R1R2

R1+R2

Esfera - Superficie Plana F = −AHR6D2

Cono - Superficie Plana F = −AH tan2 θ6D

Paraboloide - Superficie Plana F = − AH12D2

lxy2

lz

Cilindro - Superficie Plana F = −AHR2

6D3

Cuadro 1.2: Leyes de interacción de van der Waals para geometrías de AFM máscomunes. AH es la constante de Hamaker, D es la distancia punta-muestra, R esel radio de la esfera o del cilindro de la punta, θ es la semi-abertura del cono en lapunta, l es el semi-eje del paraboloide de la punta. AH = π2C ρ1ρ2, donde C es laconstante del potencial entre átomo-átomo y ρ1, ρ2 son el número de átomos porunidad de volumen de la punta y la muestra.[8]

Interación Electrostática

Cuando las punta de la sonda y la muestra en el AFM se acercan cabe la posibilidadde que se induzca o se depositen cargas en la punta, dado por las propiedadesmetálicas de la punta o si es el caso de la muestra. Estas cargas presentes producenuna fuerza electrostática[8]

Felec = qE +1

2

∂(CV 2)

∂D, (1.4)

donde q es la carga inducida en la punta de la sonda, E, V y C es el campo eléctrico,el voltaje y la capacitancia entre la punta de la sonda y la muestra respectivamentey D es la distancia entre la punta de la sonda y la muestra. La carga q tiene doscontribuciones siendo q = −(qind +CV ), donde qind es la carga inducida en la puntade la sonda debido a la superficie de la muestra, por lo que la fuerza electrostáticatotal es

Felec = −(qind + CV )E +1

2

(∂C

∂D

)V 2. (1.5)

16

Interación Magnética

La punta de la sonda del AFM esta hecha de materiales ferromagnéticos, talescomo Ni, Fe y Co. La punta, al acercarse a la muestra produce una dispersión delcampo magnético H de la muestra, provocando que este se disperse, así provoca unafuerza sobre la punta de la sonda del AFM

Fmag =

∫

punta

∇(M ·H)dV, (1.6)

donde M es la magnetización de la punta de la sonda del AFM.

Interacción Química

Cuando la punta de la sonda del AFM esta muy cerca de la muestra, y esto corres-ponde a distancias interatómicas, se puede dar el caso de uniones intramoleculares,que dependerán de la preparación de la muestra, si esta en vacío o en un mediofisiológico, o si la muestra esta saturada o no esta saturada. Si sucede que hay in-teracciones interatómicas, estas producirán fuerzas químicas entre los átomos de lapunta de la sonda y la muestra, Fchem.

Para medir las propiedades mecánicas de compuestos orgánicos como el ADN conel AFM, utilizamos la técnica llamada dinámica microscópica de fuerza (DFM). El mé-todo DFM es utilizado comúnmente para medir la fuerza de interacción entre punta-muestra, se utiliza los movimientos oscilatorios controlando la frecuencia de oscila-ción (FM - Frecuencia Modulada) de la punta del AFM. En el experimento se sometea oscilar a la punta del AFM cerca de la frecuencia de resonancia, la cual permitemedir los cambios de frecuencia ∆f producidos por la interacción de la punta y lamuestra. La oscilación de la punta del AFM se comporta como

md2zsdt2

+ γdzsdt

+ kzs = F (t) + Fad, (1.7)

donde m es la masa efectiva de la sonda, γ es la constante de amortiguamiento delmedio, k es la constante de resorte de la sonda, F (t) = F0 sin ω0t donde ω0 corres-ponde a f0 (oscilación forzada) y Fad es la fuerza de adhesión de la ecuación 1.1. Conla medición de los cambios de frecuencia se puede calcular las fuerza indirectamenteutilizando (ver referencia [25])

∆ω

ω0

=〈Fzs〉kA2

(1.8)

17

donde A es la amplitud de la oscilación de la sonda.

Las propiedades mecánicas del ADN son importantes para poder entender el com-portamiento que surge de las interacciones con su ambiente, medir los punto críticosdel ADN nos permitirán entender los limites mecánicos que puede estar sometida suestructura hasta perder su naturaleza. Los métodos elegidos para cuantificar estascaracterísticas son la teoría de funcionales de la densidad, junto con las técnicas desimulación computacional que nos permite hacer la Dinámica Molecular (DM). Elmétodo sera validado por los registros de experimentos pertinentes hechos con elAFM sobre el ADN.

En el capítulo 2 se discute la teorías de los funcionales de la densidad y en el capítulo3 la teoría de la dinámica molecular utilizadas en la disertación. En el capitulo 4 sepresenta el método dinámico molecular especifico utilizado en la disertación y losresultados encontrados y en el capitulo 5 las conclusiones del trabajo presentado.

18

Capítulo 2

Metodología sobre átomosmultielectrónicos

Se puede resolver analíticamente los orbitales electrónicos para átomos hidro-genoides. Para un conjunto de átomos como las moléculas, el valor exacto de losorbitales no se puede calcular analíticamente, por lo que debemos tener procedi-mientos aproximados que nos aseguren acercarnos al valor exacto. En otras palabrasy que es de conocimiento común, la ecuación de Schrödinger para una molécula noes posible resolverla analíticamente.[28]

Los procedimientos que nos propone una solución aproximada y nos permite co-nocer acerca de la estructura molecular y sus características, se remontan alrededorde los años 1920, seguida inmediatamente después de la teoría de Schrödinger, es-te procedimiento reúne y condensa varias teorías, por ejemplo, la aproximación deBorn-Oppenheimer, la teoría de Hartree-Fock, las consideraciones estadísticas deThomas-Fermi-Dirac, las ecuaciones de Kohn-Sham. Todas estas correcciones y/oaportes a los procedimientos y teorías se han reunido para conformar la Teoría Fun-cional de la Densidad (DFT, por sus siglas en ingles ), que gana mucho interés en losque hacen química cuántica por los resultados que se obtienen de ella.[27][26][10][11]

La metodología utilizada en esta disertación es llamada dinámica molecular (MDpor sus siglas en ingles). La MD nos proporciona un esquema dinámico de átomoso moléculas, utilizando simulaciones por computadora que permite observar y me-dir las características de estos sistemas. Existen varios tipos de MD, van desde lospuramente clásicos hasta híbridos combinando teorías clásicas y cuánticas. En estecaso se utilizara un modelo híbrido combinando teorías clásicas y cuánticas. Como

19

2. Metodología sobre átomos multielectrónicos

es común la aproximación de Born-Oppenheimer (BO) es precisa para desacoplar laecuación de Schrödinger y obtener las ecuaciones de los electrones y núcleos por se-parado. En este capitulo se presenta la separación de la ecuación de Schrödinger endos problemas, el problema electrónico y el problema nuclear, y se discute las teoríasy resultados de las características electrónicas de las moléculas. En el capitulo 3 seestudiara el problema nuclear restante.

Como se ha dicho en el parrafo anterior se presenta en breve la metodología del pro-blema electrónico. La teoría que resulta satisfactoria para el análisis del problemaelectrónico es la DFT. La DFT tiene como base el concepto de densidad electrónica,y esta sirve para representar la energía electrónica de una molécula en su estadofundamental en función de ella, y representa una ecuación que debemos resolverpara conocer las propiedades moleculares. Este también es el caso. La DFT no essimplemente un método matemático que permite calcular los orbitales electrónicosmoleculares, si no que es una conceptualización que proporciona una teoría solidaexistencialista de los procedimientos empleados.

2.1. Aproximación de BO para el desacoplamiento de

los movimientos electrónicos y nucleares

En el caso de las moléculas es importante reconocer que están constituidas pormuchas partículas que interactúan entre si, esas interacciones establecen la estruc-tura y estabilidad de la misma; para ser específicos, la interacción electrón-electrón,núcleo-núcleo y electrón-núcleo. Al plantear la ecuación de Schrödinger para estesistema vemos que es intratable (ver ecuación 2.1 y 2.2), sin embargo, la aproxima-ción de BO proporciona una idea general de como atacar esta dificultad para hacerde él un problema relativamente menos complejo de resolver, esto no significa que laaproximación BO nos dá la solución de los orbitales electrónicos o la dinámica de lamolécula, mas bien, nos proporciona una formulación de la ecuación de Schrödingermenos compleja de resolver.[18]

20


2.1.1. Dificultades impuestas por la ecuación de Schrödinger

para átomos multielectrónicos

El estado mecánico del sistema de partículas que conforman una molécula, consti-tuida porN electrones yM núcleos, esta determinado por la ecuación de Schrödingerno relativista independiente del tiempo

HΨ = EΨ, (2.1)

donde el operador Hamiltoniano esta dado por,

H =−N∑

i=1

1

2∇2i −

M∑

α=1

1

2Mα

∇2α +

N∑

i<j

1

|ri − rj|+

−N∑

i=1

M∑

α=1

Zα|ri −Rα|

+M∑

α<β

ZαZβ|Rα −Rβ|

. (2.2)

En la ecuación (2.2) se ha utilizado unidades atómicas. Los vectores ri, rj, Rα yRβ, representan las posiciones instantáneas de los electrones i, j y los núcleos α, βrespectivamente, Zα y Zβ son el numero atómico del átomo α y β respectivamente,y Mα es la razón de la masa del átomo α con respecto a la masa del electrón. Por lotanto, el primero y segundo término de la ecuación (2.2), representan el operador deenergía cinética electrónica y nuclear total, respectivamente, los tres términos restan-tes representan los operadores de energía potencial Coulombiana electrón-electrón,electrón-núcleo y núcleo-núcleo total, respectivamente. Todos ellos especifican la es-tabilidad de la molécula.[31][15]

Podemos utilizar el Hamiltoniano (2.2) para resolver la ecuación (2.1). La soluciónde la ecuación (2.1) será Ψ ({ri, Rα}), la cual proporciona la información comple-ta de la estructura, dinámica y las razones de la estabilidad de la molécula, sinembargo hay un problema, en general los término Coulombianos de las interaccio-nes no permiten separar la ecuación (2.2) en ecuaciones independientes de la formaH = He1+· · ·+HeN+Hn1+· · ·+HnM, si este fuera el caso se podría suponer una solu-ción de la forma Ψ ({ri, Rα}) = ψ1(r1)ψ2(r2) · · ·ψN(rN)ψ1(R1)ψ2(R2) · · ·ψM(RM),donde el métodos de separación de variable de ecuaciones diferenciales parciales,muy bien conocido, se aplicaría inmediatamente y se obtendría Ψ({ri, Rα}) fácil-mente. Dado que no es el caso, esto representa una dificultad inherente de la ecuaciónSchrödinger para el problema molecular.[15][6][14]

21


No podemos tener un conjunto (N + M) de ecuaciones independientes, pero laaproximación BO desacopla los movimientos nucleares y electrónicos aunque estos serelaciones parametricamente, esto siempre es una ventaja ya que de un problemacompleto se reduce a resolver dos sub-problemas. Veamos en la siguiente sección lahipótesis general de la aproximación BO.

2.1.2. Aproximación de núcleos lentos con respecto a electro-

nes rápidos

La idea principal de la aproximación BO, es suponer el movimiento nuclear muylento en comparación al movimiento de los electrones. Esto es debido a que la masade un protón1 es mayor ∼ 2, 000 más que la masa de un electrón2.

La aproximación BO indica que los núcleos que tienen más inercia que los electrones,con la misma energía para ambos, los electrones se moverían mas rápido que los nú-cleos. Esto significa que a medida que el núcleo se mueve (movimiento traslacional,rotacional y vibracional) el movimiento de los electrones asociados a ellos se producerápidamente y los electrones se reajustarán a las nuevas posiciones nucleares. Porotro lado en el punto de vista de los núcleos siempre se observará aproximadamentea los electrones en las mismas posiciones con respecto a ellos, por lo que se suponeque,

1. Los movimientos electrónicos dependen de las posiciones de los núcleos (paracada posición nuclear habrá una posición electrónica en un tiempo específico).

2. Los movimientos de los núcleos no dependeráan de las posiciones de los elec-trones, siempre desde el punto de vista de los núcleos los electrones tienen lasmismas posiciones.

Esta consecuencia nos permite plantear la ecuación de Schrödinger de una maneraaproximada, separando los movimientos nucleares de los electrónicos. La siguientesección detalla la aproximación BO y la ecuación de Schrödinger asociada.

1mp = 1.67267× 10−27kg2me = 9.01939× 10−31kg

22


2.1.3. Separación del movimiento electrónico del nuclear

Tomando en consideración la discusión de la sección anterior, la diferencia demasa entre un núcleo y un electrón que lo orbita nos permite aproximar la situaciónreal a una situación hipotética. Los movimientos nucleares son lentos en comparacióncon los movimientos electrónicos, esto significa que cuando los núcleos se mueven aotras posiciones, los electrones ¡muy rápidos! que los orbitan se ajustan automáti-camente a las nuevas posiciones nucleares, desde el punto de vista de los núcleos seobservará siempre que los electrones tienen aproximadamente las mismas posicionescon respecto a ellos, por lo que la configuración representada por la ecuación de ondanuclear, Ψn, no dependerá de las posiciones electrónicas para un conjunto especificode coordenadas nucleares {Rα}.

Por otro lado, al moverse los núcleos, los electrones se ajustan a esas nuevas po-siciones rapidamente, sin embargo debido a su rapidez en comparación a la rapidezde los núcleos, las variaciones de su configuración, representada por la función deonda electrónica, Ψe, variara poco con respecto a los movimientos nucleares para unconjunto de coordenadas nucleares {Rα}.

Bajo la aproximación BO se puede considerar que los electrones se mueven en uncampo potencial debido a núcleos fijos, esto indicaría que en el punto de vista delos electrones la energía cinética de los núcleos Tn, se pueden despreciar y el terminode interacción núcleo-núcleo Unn({Rα}) se puede considerar constate, esto es paraposiciones fijas de los núcleos, entonces el Hamiltoniano de la ecuación (2.2) se puedeaproximar como[18][15]

H ≈ Te + Uee + Uen + En = He + En (2.3)

Sabemos que si sumamos una constante a un operador, la constante solo se suma alos valores propios del operador y no afecta las funciones propias, por lo que confia-damente podemos definir sin ambigüedad el operador Hamiltoniano electrónico,

He = Te + Uee + Uen = −N∑

i=1

1

2∇2i +

N∑

i<j

1

|ri − rj|−

N∑

i=1

M∑

α=1

Zα|ri −Rα|

, (2.4)

23


el cual depende parametricamente de las coordenadas nucleares {Rα}, así

HeΨe = EeΨe (2.5)

representa la dinámica del movimiento electrónico para un conjunto especifico decoordenadas nucleares y

Ψe = Ψe({ri, Rα}) (2.6)

es la funcion de onda electrónica, por lo que se le da el nombre de solución deenergía electrónica. La ecuación para el movimiento electrónico (2.5) es para unconjunto especifico de coordenadas nucleares, por lo que si varia las coordenadasnucleares a otros valores, se tendrá otras ecuaciones que llevaran a otras solucionesde energía, ya que al igual que (2.6),

Ee = Ee({Rα}) (2.7)

depende parametricamente de las coordenadas nucleares, una ves que se halla re-suelto este problema serán las energías para cada conjunto de coordenadas nucleares.

Por otro lado en el punto de vista de los núcleos, las posiciones de los electro-nes pueden ser sustituidas por sus valores promedios generando un campo promedioelectrónico, entonces

Hn ≈ −M∑

α=1

1

2Mα

∇2α + Ee({Rα}) +

M∑

α<β

ZαZβ|Rα −Rβ|

= −M∑

α=1

1

2Mα

∇2α + Etot({Rα}). (2.8)

La Etot({Rα}) representa una energía potencial para el movimiento de los núcleosllamada comúnmente como superficie de energía potencial. La solución de laecuación de onda de Schrödinger,

HnΨn({Rα}) = EΨn({Rα}) (2.9)

proporciona el movimiento de traslación, rotación y vibración de la molécula. Por lotanto conociendo Ψn({Rα}) se esta estudiando la dinámica del movimiento nuclear,el cual constituye la rama de la espectroscopia. La función de onda total que

24


describe la dinámica de la molécula sera entonces

Ψ ({ri, Rα}) = Ψe ({ri, Rα}) Ψn ({Rα}). (2.10)

Por lo tanto, lo que tenemos en resumen, es que el problema central de muchos nú-cleos y electrones se separa en dos ecuaciones de movimiento paramétricas, una parael movimiento electrónico (ver ecuación 2.4 y 2.5), que es un problema de energíaestacionaria estática dependiente de las coordenadas nucleares y otra para el movi-miento nuclear (ver ecuación 2.8 y 2.9) que es un problema dinámico de los núcleosen presencia de un potencial total generado por el movimiento electrónico. Si losnúcleos se mueven, las coordenadas nucleares cambiarán, y hay que resolver otrasecuaciones que generan otras energías, por lo tanto, consiguiendo muchas energíaselectrónicas como función de las coordenadas nucleares, se podrán utilizar para re-solver el problema nuclear restante.[18][28]

Para nuestro propósito, la solución de la ecuación (2.5) junto con (2.4) es la quenecesitamos para el estudio de la formación y estabilidad de una molécula, analiza-remos detenidamente la solución de dicha ecuación, ya con esa informacion, podemosanalizar la dinámica de los núcleos utilizando las ecuaciones (2.8) y (2.9), la soluciónde las ecuaciones referentes a los núcleos la retomaremos en el capitulo 3.

Aún utilizando la aproximación de BO las ecuaciones (2.5) y (2.9) no pueden serresueltas analíticamente, sin embargo el concepto de superficie de energía poten-cial electrónica esta relacionado con el concepto introducido por Douglas Hartree,llamado densidad electrónica[30], este es un concepto importante que utilizaremospara describir y enterder la estructura de las moléculas. El cual discutiremos en lasiguiente sección.

2.2. Energía como funcional de la densidad electró-

nica

El problema de átomos multielectrónicos se ha separado en dos sub-problemas, apartir de ahora y en el resto de este capitulo se analiza lo concerniente al problemaelectrónico y se ha dejado para el próximo capitulo al problema nuclear.

Si consideramos las ecuaciones (2.4) y (2.5) no podemos obtener una solución ana-

25


lítica para Ψe({ri, Rα}). El interés por obtener una solución del problema electró-nico, permite que Llewellyn Thomas y Enrico Fermi propongan una formulaciónaproximada al calculo de la energía electrónica, utilizando como una propiedad de-terminante la densidad electrónica. Su formulación se basa en sustituir el conceptode densidad electrónica y su sistema de calculo, por la función de onda Ψe({ri, Rα})y su ecuación de onda de Schrödinger asociada. El método desarrollado por Thomasy Fermi, facilita por lo menos en principio, el calculo de la energía electrónica enel estado base como un funcional de la densidad electrónica aplicada localmente,dado que se utiliza la idea de una densidad local, el método desarrollado se conocecomúnmente con el nombre de aproximación de densidad local (LDA según sus siglasen ingles).

2.2.1. El modelo de Thomas y Fermi para la energía electró-

nica

Thomas y Fermi consideraron que los principios estadísticos se podían utilizarpara aproximar la distribución de los electrones en un átomo. El modelo de Thomas-Fermi considera al sistema cuántico como un gas de electrones en el espacio fase, loscuales interactúan con sigo mismo a través de la repulsión columbiana electrónicay un potencial atractivo externo que representa la interacción electrónica con lanuclear.[27][26] Proponen que

Teorema 1 los electrones se distribuyen uniformemente en el espacio fase de 6dimensiones para el movimiento de un electrón a razón de dos por cada h3 de volu-men,1 y que generan un campo potencial efectivo que esta determinado por la carganuclear y la distribución de carga electrónica. Esto es

Ne =2

h3∆Vf , (2.11)

donde Ne es el numero de electrones distribuidos uniformemente en ∆Vf en el es-pacio fase.

Se considera un pequeño volumen ∆V del espacio real, comprendido donde tieneprobabilidad de moverse un electrón, con ello fijamos r. El estado mecánico de unelectrón para un átomo en el estado base estará determinado en el espacio fase por

1Este volume (∆Vf ) es considerado pequeño, por eso el nombre de densidad local

26


(px, py, pz), para estados cuánticos muy dejenerados o números cuánticos grandes,podemos aproximar el numero de estados N con momentos p < pF al volumen depuntos en el espacio de momentos,1 la Figura (2.1) muestra una representación endos dimensiones de la situación. Entonces el numero de estados distintos en el estadobase es

N =4π

3[pF(r)]

3 , (2.12)

así el volumen ∆Vf en el espacio fase es

∆Vf = N∆V. (2.13)

Definimos la densidad de electrones o la densidad electrónica como ρ = Ne/∆V , sisustituimos las ecuaciones (2.11) y (2.12) en la ecuación (2.13) y despejamos para ρobtenemos una representación de la densidad electrónica,2

ρ(r) =8π

3h3[pF(r)]

3 . (2.14)

Ahora bien, la fracción de electrones en la posición r que tienen momentos entre py p+ dp es

g(p)dp =4πp2dp

N, ∀ p < pF, (2.15)

donde g(p) es la densidad de estados en el estado base. Para una estadística de Fermia 0 K, con la ecuación (2.15) y la expresión clásica de la energía cinética T = p2/2m,podemos calcular la energía cinética por unidad de volumen en r, esto es

tTF[ρ(r)] =

∫ pF

0

p2

2me

g(p)ρ(r)dp =4πρ(r)

10meN[pF(r)]

5 ,

así, si utilizando las ecuaciones (2.12) y (2.14), podemos escribir la densidad deenergía cinética por unidad de volumen en función de la densidad electrónica, de laforma

tTF[ρ(r)] = CF [ρ(r)]5/3 , CF =3h2

10me

(3

8π

)2/3

≈ 2.871. (2.16)

1pF es el momento asociado a la energía de Fermi (εF), cuya energía corresponde a la energíaen el estado fundamental.

2Para un análisis mas detallado del significado de la densidad electrónica ver el apéndice B.

27


Figura 2.1: Representación bidimensional del espacio de momentos para un gas deelectrones, los puntos representan estados con momentos p < pF (curva azul).

Para calcular la energía cinética total electrónica integramos la densidad de energíacinética tTF en todo el espacio, por lo que al final la expresión de esta es[31]

TTF[ρ(r)] = CF

∫[ρ(r)]5/3 dr. (2.17)

La ecuación (2.17) representa la energía cinética en función de la densidad electró-nica que Thomas y Fermi aplicaron a los electrones de los átomos, la ecuación lograuna aproximación de la energía cinética electrónica en términos del funcional dedensidad local ρ(r), si conocemos la densidad electrónica es relativamente sencillocalcular la energía cinética electrónica. Esta es una de las principales ideas de laLDA, en esta aproximación en general se considera que las propiedades electrónicasson determinadas como funcionales de la densidad electrónica aplicada localmente através de relaciones para una distribución homogénea de electrones.[31][18]

Con la misma idea podemos utilizar los resultados del apendice B, para escribirel funcional de energía electrónica de la teoría de Thomas y Fermi (TF) para átomosen el estado base, en función de la densidad electrónica, esta formula de energíaelectrónica queda expresada como[31]

ETF [ρ(r)] = CF

∫[ρ(r)]5/3 dr +

∫ρ(r)v(r)dr +

1

2

∫ρ(r)ρ(r′)

|r− r′| drdr′, (2.18a)

28


v(r) = −M∑

α=1

Zα|r−Rα|

, (2.18b)

donde en la ecuación (2.18a), el primer término a la derecha de la igualdad es laenergía cinética de Thomas-Fermi, el segundo término es la interacción atractivaelectrón-núcleo,1 y el tercer término es la interacción electrón-electrón clásica. Enesta ecuación se ha sustituido el resultado encontrado en la ecuación (2.17) por el re-sultado de la ecuación (38) y solo se ha tomado el primer término de la ecuación (41).

La teoría de Thomas y Fermi no proporciona una buena aproximación de la energíaelectrónica en el estado base, ya que solo es correcta en el limite cuando el núcleotiene carga infinita, también esta no incluye la interacción de correlación electróni-ca ni la interacción de intercambio electrónico, las cuales estan relacionadas con elprincipio de exclusión de Pauli, por ejemplo, para notar el problema de la teoríade Thomas-Fermi, podemos decir que la energía correcta esta muy por debajo delvalor de la energía de Thomas-Fermi cuando la calculamos para cualquier molécula,como lo mostro Edward Teller cuando intentaba describir la unión molecular. Sinembargo, aunque el método de Thomas y Fermi es un método simplista y de pocaimportancia para las predicciones cuantitativas de la energía electrónica, sugiere quees una teoría aproximada a una teoría exacta para un sistema de electrones en elestado base.

La ecuación (2.18a) muestra una sencillez de calculo, por lo que la idea de Tho-mas y Fermi es una atractiva opción para las predicciones de la energía electrónica,por lo que mejorar la aproximación tomando en cuenta que la densidad es una pro-piedad que proporciona la naturaleza del problema planteado es un buen camino. Acontinuación se discute y presenta una de las correcciones a la ecuación de Thomasy Fermi, conocida como la energía de intercambio electrónico de Dirac.

2.2.2. Inclusión del término de intercambio de Dirac en la

energía electrónica

La teoría TF esta basada en un conjunto de partículas no interactuantes (laecuación 2.18a no toma en cuenta el espín de los electrones), esta proporciona unaaproximación alejada de la realidad, la interacción es inminente, la energía de elec-

1En su mayoría de veces llamada potencial externo, referente al potencial en las posiciones delos electrones debido a los núcleos

29


trones desapareados depende de la simetría de sus orbitales cuando estos están cerca,de su distribución en el espacio, por lo tanto de su espín, si los electrones están des-apareados aparecen fuerzas repulsivas que no permiten que los átomos o moléculascolapsen, la cual es una manifestación del principio de exclusión de Pauli, y estaenergía sera mas pequeña que la energía calcula por (2.18a). En términos de la den-sidad electrónica, la energía de intercambio se expresa (ver el segundo término de laecuación 41),

K =1

2

∫ρ1(r, r

′)ρ1(r′, r)

|r− r′| dr dr′, (2.19)

donde ρ1(r, r′) y ρ1(r′, r) son matrices de densidad de primer orden, el factor 1/|r−r′|es el operador Columbiano, y el orden de r y r′ determina el intercambio elec-trónico. Para un sistema de electrones donde σ (valor del espín del electrón) to-ma los valores de α y β, omitiendo el efecto de correlación, ρ1(r, r′)ρ1(r′, r) =

ρα1 (r, r′)ρα1 (r′, r)+ρβ1 (r, r′)ρβ1 (r′, r), y ya que las dos contribuciones son iguales, tene-mos que ρ1(r, r′)ρ1(r′, r) = (1/2ρ(r, r′))(1/2ρ(r, r′)) + (1/2ρ(r, r′))(1/2ρ(r, r′)) =

1/2ρ(r, r′), así que podemos escribir la ecuación anterior como

K =1

4

∫ρ(r, r′)2

|r− r′| drdr′. (2.20)

Si tomamos en cuanta la descripción de un gas de electrones como el modelo de lapartícula libre dentro de una caja de lado l y volumen V = l3, la teoría dice que lasfunciones de onda serán

ψ =∑

k

1

V 1/2eιk·r con ~k = p, (2.21)

y si definimos ρ(r, r′) = 2∑

k ψ(r)ψ(r′)∗, podemos escribirla de la forma

ρ(r, r′) =2

V

∑

k

eιk·|r−r′|,

si hay muchos estados ocupados entonces la suma se puede reemplazar por unaintegral,

ρ(r, r′) =2

V

∫eιk·|r−r

′|dn,

30


que en el espacio k se puede escribir de la forma

ρ(r, r′) =1

4π3

∫eιk·|r−r

′|dk.

Ahora si utilizamos coordenadas esféricas, proyectamos k a lo largo del eje z, eintegramos en el espacio ocupado de mínima energía, tenemos que la integral anteriorse puede escribir como

ρ(r, r′) =1

4π3

∫ kf

0

k2dk

∫ π

0

sin θ eιk|r−r′| cos θdθ

∫ 2π

0

dφ

= 3ρ(r)

[sin t− t cos t

t3

], (2.22)

donde t = kF|r − r′| y se a utilizado la relación de Broglie ~k = p y la ecuación(2.14) para encontrar que kF = [3π2 ρ(r)]3. Si sustituimos la ecuación (2.22) en laecuación (2.20),

K = 9π

∫ρ(r)4/3

(3π2)2/3dr

[∫ ∞

0

(sin t− t cos t)2

t5dt

],

donde la integral encerrada entre corchetes tiene el valor de 1/4, por lo tanto,

K[ρ(r)] = Cx

∫[ρ(r)]4/3 dr, Cx =

3

4

(3

π

)1/3

≈ 0.7386 (2.23)

Asi con la corrección de Dirac, de la energía de intercambio, ecuación (2.23), elfuncional de energía (2.18a) se reescribe como[31][18]

ETFD [ρ(r)] =CF

∫[ρ(r)]5/3 dr +

∫ρ(r)v(r) dr +

1

2

∫ρ(r)ρ(r′)

|r − r′| dr dr′+

− Cx∫

[ρ(r)]4/3 dr. (2.24)

La aproximación de Dirac para la energía total de un sistema de partículas inter-actuantes, toma la energía de Thomas-Fermi, y le resta la energía de intercambioelectrónico. La ecuación (2.24) es una buena aproximación para la física del es-tado sólido, pero no para la química cuántica, incluir el funcional de energía deintercambio-correlación y la energía cinética exacta es complicado. Pero, la ecua-ción (2.24) propone una idea interesante que se discutirá en la siguiente sección. Sepropone en bases matemáticas, que la teoría de Thomas-Fermi-Dirac (TFD), es unateoría aproximada a una teoría exacta, y que la densidad electrónica ρ(r) juega unpapel fundamental en dicha teoría, llamada DFT.[30]

31


2.3. DFT como un modelo de estructura electrónica

Utilizar el concepto de densidad electrónica como una característica fundamentalpara el problema electrónico proporciona una ventaja a la hora de hacer cálculos dela energía en el estado fundamental, por la sencillez de las ecuaciones (ver ecuación2.24). Por lo que resultó ser alentador continuar con esta ruta de pensamiento. LaDFT tiene sus raíces conceptuales de la teoría de Thomas y Fermi, esta fue funda-mentada matemáticamente por Pierre Hohenberg y Walter Kohn. Los postuladosde Hohenberg-Kohn que ponen en bases matemáticas la DFT se presentará en estasección, además, se discuten las ecuaciones de Kohn y Sham que determina unaforma de conocer las propiedades en el estado base de un sistema de electronesinteractuantes.

2.3.1. Teorema de Hohenberg y Kohn como fundamento de

la teoría DFT

La solución de la ecuación (2.5) representa la energía electrónica para nuestrosistema, esta depende del operador He, el cual a su ves es fijado por el numero deelectrones, N , y el potencial externo v(r), ya que estas proporcionan todo el marconuclear y electrónico de una molécula. Para muchas mediciones de la energía, estatendrá el valor esperado

E[Ψ] =〈Ψ|H|Ψ〉〈Ψ|Ψ〉 , (2.25)

y según el principio de variación,

E0 = E[Ψ0] ≤ E[Ψ]. (2.26)

Podemos notar que la energía en el estado fundamental es un funcional de la fun-ción de onda polielectrónica Ψ, por lo que es dependiente de He, el cual es fijado porN y v(r), en otras palabras la energía en el estado fundamental es fijado porN y v(r).

Sin embargo, Hohenberg y Kohn formularon y probaron un teorema que puso enbases matemáticas sólidas las ideas propuestas por Thomas-Fermi, ecuación (2.24).La Energía en el estado base es un funcional de otra característica electrónica quedesempeña un papel clave, ρ(r), y además proponen que todas las propiedades elec-trónicas de los átomos también son determinadas por ella.

32


Teorema 2 Para el estado fundamental de un gas de electrones que interactúan enun potencial externo v(r). Está comprobado que existe un funcional universal de ladensidad, F [ρ(r)], independiente de v(r), tal que la expresión E[ρ(r)] tiene comovalor mínimo la correcta energía E0 del estado fundamental asociado con v(r).[10]

El Teorema 2 tiene dos aspectos importantes, primero, muestra la dependencia de ladensidad electrónica ρ(r) con el potencial externo v(r), en otras palabras, para dossistemas electrónicos con funciones de onda y Hamiltonianos denotados por {Ψ, H}y {Ψ′, H ′}, y potenciales externos v(r) y v(r)′ respectivamente, con v(r) − v(r)′ =

Constante, las densidades para cada sistema son diferentes (ρ(r) 6= ρ(r)′), lo cualindica que v(r) es un funcional único de ρ(r). Y segundo, muestra la independenciadel funcional F [ρ(r)] con el potencial externo v(r), establece que el funcional F [ρ(r)]

es universal, para cualquier numero de partículas, cualquier potencial externo y conla condición

N =

∫ρ(r)dr, (2.27)

para una correcta ρ(r), la energía E[ρ(r)] toma su valor mínimo igual a su energíafundamental E0. Por lo tanto la densidad electronica especifica tanto el potencialexterno como el funcional F [ρ(r)], siendo v(r) y F [ρ(r)] independientes.1

Ya que v(r) fija He, entonces el estado fundamental Ψ0 es un funcional único deρ(r), así que si se define

F = 〈Ψ0|Te + Uee|Ψ0〉, (2.28)

podemos escribir el funcional de energía (2.24) de la forma

E[ρ(r)] =

∫ρ(r)v(r)dr + F [ρ(r)]. (2.29)

Note que el funcional F contiene toda la información de la energía cinética y lainteracción electrónica. Debido a la larga gama de la interacción de Coulomb clásica,en la mayoría de los casos se separa del funcional F , con ello la energía toma la forma

E[ρ(r)] =

∫ρ(r)v(r)dr +

1

2

∫ρ(r)ρ(r′)

|r− r′| drdr′ +G[ρ(r)], (2.30)

donde G es un funcional universal al igual que F .

1Puede ver la demostración formal de este teorema en el trabajo de P. Hohenberg, W. Kohn,Phys. Rev. 1964, 136, B864

33


La energía de la ecuación (2.30) para que proporcione la energía en el estado funda-mental, según el principio variacional, requiere que la densidad en el estado funda-mental satisfaga el principio variacional,

δ

[E[ρ(r)]− µ

(∫ρ(r)dr−N

)]= 0 (2.31)

lo que resulta en la ecuación de Euler-Lagrange

µ =δE[ρ(r)]

δρ(r)= v(r) +

∫ρ(r′)

|r− r′|dr′ +

δG[ρ(r)]

δρ(r), (2.32)

donde µ es un multiplicador de Lagrange que corresponde al potencial químico.

Las ecuaciones (2.30) y (2.32) son las ecuaciones de trabajo básicas de la teoríaDFT. Si conocemos el funcional G[ρ(r)] es relativamente sencillo encontrar la ener-gía E correcta para el estado base. Sin embargo, el funcional G[ρ(r)] es muy difícilconocerlo explícitamente, dado que las interacciones cuánticas como la energía deCorrelación-Intercambio y la energía cinética correcta son muy complicadas de en-contrar o representar.

Hay que hacer notar un aspecto relevante de la teoría de Hohenberg-Kohn, el teo-rema (2) manifiesta que esta teoría es existencialista y no constructivista, dado quepropone la existencia de una Densidad electrónica pero no proporciona un me-canismo para encontrarla.

A pesar de ser muy difícil de encontrar una expresión de la energía incluyendo lasinteracciones cuánticas, Kohn-Sham proporcionan una aproximación muy elegante ysencilla para soslayar este punto, introducen el funcional de Correlación-Intercambio,Exc[ρ(r)]. Consideran que el sistema real, interactuante, puede ser representado porun sistema ficticio que interactúa externamente con un potencial veff(r). En lo si-guiente se presenta las contribuciones de Kohn-Sham y la mejora al funcional deenergía, también plantearemos las ecuaciones de Kohn-Sham que hay que resolverpara poder encontrar el funcional de energía E[ρ(r)] en el estado base.

34


2.3.2. Aproximación de Kohn y Sham para el cálculo de la

energía electrónica

Los teoremas de Hohenberg y Kohn nos indican que la DFT es una teoría exacta,sin embargo para fines prácticos calcular la energía total es complicado, la ecuación(2.30) muestra que la energía es dependiente del funcional G[ρ(r)], a su vez estefuncional es difícil de encontrar explícitamente debido a la inclusion de la energíade intercambio-correlación y cinética correcta.

Mejoras se han hecho para el funcional G[ρ(r)], que producen una mejor aproxi-mación al valor exacto de la energía total, por ejemplo la inclusión de la energía deintercambio por parte de Dirac, la cual, como se menciono, no era suficiente paralos cálculos en la química cuántica, aparentemente hay un limite de aproximaciónpara esta teoría. El cuadro (2.1) muestra las energías calculadas por tres métodos,dejando evidenciado lo antes mencionado.

TFa TFDb HFNe −165.61 −176.3 −128.55Ar −652.672 −680.7 −526.82Kr −3289.50 −3377.9 −2752.05Xe −8472.46 −8646.1 −7232.13

Cuadro 2.1: Energías atómicas para varias moléculas para varios modelos, Thomas-Fermi, Thomas-Fermi-Dirac, Hartree-Fock. a) Calculado con (2.18a), b) Calculadocon (2.24), c) Calculado con (23) y (24). Tomado de Robert G. Parr and WeitaoYang, Density-Functional Theory of Atoms and Molecules.

El problema del enfoque de Thomas-Fermi-Dirac para la DFT, radica en que esuna aproximación directa de la densidad electrónica para la energía cinética T [ρ(r)]

e interacción electrónica Uee[ρ(r)]. Por otro lado, en la teoría de Hartree-Fock queproporciona una mejor aproximación en este nivel de la DFT, las funciones de ondano pueden, en general, representarse en un determinante único de Slater (ecuación11), dado que esta descripción no incluye la correlación completamente entre loselectrónes.1

1Incluye la contribución de Dirac, Energía de Intercambio, pero aún así esto hace que la energíacalculada tenga un valor mayor a la energía exacta.

35


Por lo que Walter Kohn y Sham Lu Jeu, propusieron una ingeniosa idea; utili-zar orbitales electrónicos tales que se puede aproximar la energía exacta del sistemareal (interactuante) en un sistema ficticio (no-interactuante) que tiene la mismadensidad electrónica del sistema real, así ellos introducen los orbitales electróni-cos de Kohn-Sham generando una buena aproximación para la energía cinéticaT [ρ(r)] ∼ Ts[ρ(r)] y dejando una pequeña corrección residual que se maneja porseparado, T [ρ(r)] − Ts[ρ(r)], en el término de la energía de intercambio y correla-ción, con este punto de vista la energía funcional, ecuación (2.30) puede escribirsecomo[11]

E[ρ(r)] = Ts[ρ(r)] +

∫ρ(r)v(r)dr +

1

2

∫ρ(r)ρ(r′)

|r− r′| drdr′ + Exc[ρ(r)], (2.33)

aquí Exc[ρ(r)] es la energía de intercambio y correlación que contiene la correcciónresidual T [ρ(r)] − Ts[ρ(r)] que presumiblemente es pequeña y la información delintercambio-correlación, definida como

Exc[ρ(r)] =

∫εxc[ρ(r), ∇ρ(r), ∇2ρ(r), · · · ]dr, (2.34)

donde εxc es la densidad de energía de intercambio y correlación por electrón deun sistema electrónico no interactuante con densidad ρ(r), que presumiblemente esdependiente también de las derivadas de la densidad electrónica así como se indica.1

La esencia de la aproximación de Kohn-Sham, es el remplazar el complicado proble-ma de muchos electrones por el problema de un solo electrón eficaz, al igual que en lateoría de Hartree-Fock, sometido a una interacción debido a la excitación colectivade los electrones restantes, así, Kohn-Sham regresan al modelo de orbitales electró-nicos para calcular la densidad electrónica del sistema y luego calcular la energía enel estado base. Ya sabemos que al igual que en Hartree-Fock la mejor representacióndel estado fundamental que tiene la energía mínima es la representada por una fun-ción de onda monodeterminantal Ψ0(x1, x2, · · · , xN), compuesta por un conjuntode espín-orbitales {ψ1, ψ2, · · · , ψa, ψb, · · · , ψN}, para la cual podemos definir

Ts[ρ(r)] =N∑

a=1

∫dxiψ

∗a(xi)

(−1

2∇2i

)ψa(xi) (2.35)

1W. Kohn y J. Sham, Phys. Rev. 140, A4 (1965).

36


como la energía cinética aproximada a la energía correcta y

ρ(r) =N∑

a=1

ψ∗a(xi)ψa(xi) (2.36)

como la densidad electrónica del sistema de Kohn-Sham, la cual se calcula de talforma que corresponda a la densidad del sistema real.

Ahora encontremos la condición variacional para la energía en el estado base. Pode-mos definir un Lagrangiano utilizando la ecuación (2.27) y (2.33) de la forma

L [ρ(r)] = E[ρ(r)]− µ(∫

ρ(r)dr−N), (2.37)

y para una variación estacionaria δL = 0, variando la densidad electrónica δρ(r),podemos encontrar utilizando la ecuación de Euler (2.32) que

∫δρ(r)

[δTs[ρ(r)]

δρ(r)+ v(r) +

∫ρ(r′)

|r− r′|dr′ +

δExc[ρ(r)]

δρ(r)

]dr = 0. (2.38)

Las ecuaciones que aparecen en la ecuación (2.38) son las mismas que aparecen paraun sistema de electrones no interactuantes sometido a un potencial efectivo

veff

(r) = v(r) +

∫ρ(r′)

|r− r′|dr′ + vxc(r) (2.39a)

vxc(r) =δExc[ρ(r)]

δρ(r), (2.39b)

por lo que podemos utilizar la relación (2.38) para encontrar las ecuaciones quesatisfacen la condición estacionaria. Haciendo una derivada implícita con respecto alos orbitales para la ecuación (2.38), utilizando la ecuación (2.36) y

δρ(r) =N∑

a=1

δψ∗a(xi)ψa(xi) + C.C., (2.40)

37


podemos escribir la ecuación (2.38) como

δL =N∑

a=1

∫dxiδψ

∗a(xi)

{[−1

2∇2i + v(r) +

∫ρ(r′)

|r− r′|dr′ +

+vxc(r)]ψa(xi)−N∑

b=1

εbaψb(xj)

}+ C.C. = 0. (2.41)

Donde para δψa(xi) 6= 0, la condición que cumple los orbitales ψa tal que la energíasea la del estado fundamental es, de nuevo, la ecuación de valores propios

[−1

2∇2i + v(r) +

∫ρ(r′)

|r− r′|dr′ + vxc(r)

]ψa(xi) =

N∑

b=1

εbaψb(xj), (2.42)

donde εba son elementos de una matriz hermitiana. La ecuación (2.42) puede escri-birse de la forma canónica a través de una transformación unitaria de los orbitales,así que se podrá escribir como

[−1

2∇2i + v

eff(r)

]ψa(xi) = εaψa(xi). (2.43)

Esta ecuación es parecida a las ecuaciones de la teoría de Hartree-Fock, la diferenciasustancial radica en que el potencial v

eff(r) contiene la interacción de correlación e

intercambio de la que carece las ecuaciones de Hartree-Fock cuando se propone unsistema monodeterminantal (véase el apéndice A).

Las ecuaciones (2.33), (2.35), (2.36), (2.39a) y (2.43) se conocen como ecuaciones deKohn-Sham y deben ser resueltas auto-consistentemente. Se supone una densidadinicial y se calcula el potencial efectivo, luego se calcula los orbitales con la ecuación(2.43) y se vuelve a calcular la densidad con los nuevos orbitales, se repite el proce-dimiento hasta alcanzar la auto-consistencia y luego se calcula la energía funcionalcon la ecuación (2.33).

De nuevo hay que reconocer que a menos que conozcamos la forma explicita dela energía de intercambio-correlación Exc[ρ(r)], podremos calcular la energía delsistema electrónico (2.33). En la siguiente sección propondremos un funcional deintercambio-correlación especifico para resolver las ecuaciones de Kohn-Sham.

38


Referencia C X GGAJ.C. Slater y K.H. Johnson, Phys. Rev. B5, 844(1972) *A.D. Becke, Phys. Rev. A88, 3098(1988) * *C. Lee, W. Yang y R.G. Parr, Phys. Rev. B37, 785(1988) * *C. Adamo, V. Barone y J. Chem. Phys. 110, 6158(1999) * * *T.W. Keal, D.J. Tozer, J. Chem. Phys 123, 121103(2005) * * *A. D. Becke, J. Chem. Phys. 104, 1040(1996)Y. Zhao, D. G. Truhlar, J. Chem. Phys. 125, 194101(2006) * *J. P. Perdew and W. Yue, Phys. Rev. B 33, 8800(1986) * *N.C.Handy, A.J. Cohen, Mol. Phys. 99, 403(2001) * *

Cuadro 2.2: Citas que hacen referencia a energías funcionales de intercambio (X)y de correlación (C). GGA es la Aproximación del Gradiente Generalizado.

2.3.3. Funcionales de intercambio y correlación en la energía

electrónica

Debido a que la teoría DFT es una teoría existencialista y no constructivista, seespera que haya diferentes representaciones aproximadas a la forma explicita delfuncional de intercambio-correlación, véase el cuadro (2.2).

El calculo de la energía funcional (2.33) depende del funcional de intercambio-correlación, una mejora de la expresión del funcional de intercambio-correlaciónimplica una mejora a la aproximación de la energía funcional calculada, por lo quetener una forma para calcular el funcional de intercambio-correlación implica resol-ver de forma relativamente sencilla los orbitales electrónicos y la energía en el estadobase.El cuadro (2.2) contiene información de algunas citas que hacen referencia a losfuncionales de correlación e intercambio. Para este trabajo se utiliza el funcional deintercambio que proponen Axel D. Becke, y el funcional de correlacion que proponeChengteh Lee, Weitao Yang, Robert G. Parr . Se han elegido estas expresiones de-bido a que son sencillas, directas y demanda pocos recursos.

Energía de Intercambio de A. D. Becke[2]

El gran numero de versiones de la energía de intercambio electrónica se presentabajo dos esquemas de análisis en general, una es llamada método de densidad pon-

39


derada y la otra de corrección de tipo gradiente, esta ultima es un esquema de tipodensidad local, por lo que se le da el nombre de Local Gradient correction (LGC), yes el que recibe mayor atención por su sencillez. El funcional de A. D. Becke es unLGC.

Se sabe bien que para un gas de electrones con interacción colectiva como Hartree-Fock, la energía de intercambio dada por la ecuación (2.22) proporciona valoresmenores que la energía correcta por un 10%, así que Becke propone una correccióntomando en cuenta los siguientes criterios. Primero, el comportamiento asintóticoexacto de la densidad de intercambio de energía es conocido y debe cumplir que

lımr→∞

Uσx = −1

r, (2.44)

donde Uσx es el potencial Columbiano de la carga de intercambio, la variable σ

representa el valor del espín que en este caso es α y β; también el comportamientode la densidad electrónica de espín ρσ es conocida y cumple que

lımr→∞

ρσ = e−aσr, (2.45)

donde aσ es una constante relacionada con el potencial de ionización del sistema elec-trónico. Por lo que cumpliendo estos criterios, Becke propone el siguiente funcionalde intercambio,

Ex = −ELDAx − ζ

∑

σ

∫[ρσ(r)]4/3

x2σ1 + 6ζxσ sinh−1(xσ)

dr, (2.46a)

xσ =|∇ρσ(r)|[ρσ(r)]4/3

, ζ = 0.0042 a.u. (2.46b)

donde ELDAx es precisamente la energía de la ecuación (2.22) y el parámetro ζ es una

constante que se determina a través de un ajuste de mínimos cuadrados de datosatómicos exactos de Hartree-Fock. Con el funcional de la ecuación (2.46a) se puedecalcular la derivada funcional con respecto a la densidad

vx(r) =δEx[ρ(r)]

δρ(r)(2.47)

para encontrar el potencial de intercambio electrónico.

40


Energía de Correlación de Lee-Yang-Parr[4]

Al igual que en el caso de la energía de intercambio electrónico proponemos unfuncional de correlación, en este caso la energía de correlación de Lee-Yang-Parr,por las mismas razones del por que elegimos el funcional de intercambio de Becke.La formula de Lee-Yang-Parr tambien es del tipo LGC. Para este funcional se tomacomo base la bien conocida formula Colle-Salvetti, que es una versión que se expresaen función de la densidad de electrones y el Laplaciano de la matriz de densidad deHartree-Fock de segundo orden. La energía de correlación de Colle-Salvetti es,

Ec = −4a

∫ρHF2 (r, r)

ρ(r)

(1 + b[ρ(r)]−8/3 [∇2

sρHF2 (r, s)]s=0 e

−c[ρ(r)]−1/3

1 + d[ρ(r)]−1/3

)dr, (2.48a)

r =r1 + r2

2, (2.48b)

s = r1 + r2, (2.48c)

a = 0.04918, b = 0.132, c = 0.2533, d = 0.349. (2.48d)

a, b, c y d son constantes que se obtienen mediante un procedimiento de ajuste uti-lizando sólo los orbitales para el átomo de helio de Hartree-Fock, ρ(r) es la densidadelectrónica de Hartree-Fock (ecuación 2.36) y

ρHF2 (r1, r2) =N(N − 1)

2

∫Ψ∗(x′1,x

′2, x3, · · · ,xN)

×Ψ(x1, x2, x3, · · · ,xN)dσ1dσ2dx3dx4 · · ·xN∣∣∣∣r′1=r1; r′2=r2

(2.49)

es el elemento de la diagonal de la matriz de densidad de Hartree-Fock de segundoorden. Ahora, si se supone que la matriz de densidad de segundo orden que incluyecorrelación puede aproximarse por la matriz densidad de Hartree-Fock de segundoorden por un factor de correlación, tenemos que para capa cerrada (closed-shell)

ρHF2 (r1, r2) =1

2ρ(r1)ρ(r2)−

1

4ρHF1 (r1, r2)ρ

HF1 (r2, r1), (2.50)

41


donde ρHF1 (r1, r2) es la matriz de densidad reducida de primer orden de Hartree-Fock.Y para capa abierta (open-shell),

ρHF2 (r1, r2) =1

2ρ(r1)ρ(r2)−

1

2ρHF1, αα(r1, r2)ρ

HF1, αα(r2, r1)+

− 1

2ρHF1, ββ(r1, r2)ρ

HF1, ββ(r2, r1). (2.51)

Con las ecuaciones (2.50) y (2.51), podemos encontrar los Laplacianos respectivos,escribiéndolas en función de r y s. Para closed-shell,

∇2sρ

HF2 (r, s)

∣∣s=0

= ρ(r) [tHF(r)− 2tW(r)] , (2.52)

dondetHF(r) =

1

2[∇r1 · ∇r2ρ(r1, r2)]r1=r2=r −

1

8∇2ρ(r), (2.53)

es la densidad de energía cinética local de Hartree-Fock, y

tW(r) =1

8

|∇ρ(r)|2ρ(r)

− 1

8∇2ρ(r), (2.54)

es la densidad de energía cinética local de Weizsacker. Para una open-shell,

∇2sρ

HF2 (r, s)

∣∣s=0

= 2[ρα(r)tαHF(r) + ρβ(r)tβHF(r)− ρ(r)tW(r)

], (2.55)

donde tαHF(r) y tβHF(r) son la densidad de energía cinética local con espín α y β res-pectivamente.

Las ecuaciones (2.52) y (2.55) no son funcionales de densidad puros, ya que lostérminos tHF, tαHF y tβHF dependen de la densidad de orbitales individuales (ver ecua-ción 2.53). Se puede convertir las ecuaciones (2.52) y (2.55) en fórmulas explícitas dedensidad funcional mediante el uso de expansión de gradiente, donde tHF se expan-de sobre la densidad de energía cinética local de Thomas-Fermi tTF, ecuación (2.16).Así, con expansión de gradiente de segundo orden, las densidades de energía cinéticade Hartree-Fock para closed-shell y open-shell son,

tHF(r) = tTF(r) +

[1

9tW(r) +

1

18∇2ρ(r)

], (2.56a)

tαHF(r) =1

2tHF(2ρα(r), r), tβHF(r) =

1

2tHF(2ρβ(r), r), (2.56b)

42


respectivamente. Ahora si sustituimos las ecuaciones (2.56 a y b) en las ecuaciones(2.52) y (2.55) respectivamente, y el resultado luego en la ecuación (2.48a), podemosencontrar las energías de correlación. Para closed-shell,

Ec =− a∫

1

1 + d[ρ(r)]−1/3

{ρ(r) + b[ρ(r)]−2/3

(CF [ρ(r)]5/3 +

−2tW(r) +

[1

9tW(r) +

1

18∇2ρ(r)

])e−c[ρ(r)]

−1/3

}dr. (2.57)

Para open-shell,

Ec =− a∫

γ(r)

1 + d[ρ(r)]−1/3

{ρ(r) + 2b[ρ(r)]−5/3

(22/3CF [ρα(r)]8/3 +

+ 22/3CF [ρβ(r)]8/3 − ρ(r)tW(r) +1

9

[ρα(r)tαW (r) + ρβ(r)tβW (r)

]+

+1

18

[ρα(r)∇2ρα(r) + ρβ(r)∇2ρβ(r)

])e−c[ρ(r)]

−1/3

}dr, (2.58)

donde

γ(r) = 2

(1− [ρα(r)]2 + [ρβ(r)]2

[ρ(r)]2

). (2.59)

Con los funcionales de las ecuación (2.57) y (2.58) se puede calcular las derivadafuncional con respecto a la densidad

vc(r) =δEc[ρ(r)]

δρ(r)(2.60)

para encontrar los potencial de correlación para closed-shell y open-shell respectiva-mente.

Las ecuaciones (2.46a), y (2.57) ó (2.58) segun el caso, determinan las energíasde intercambio y correlación respectivamente, donde el funcional Exc[ρ(r)] serala suma del funcional de intercambio mas el funcional de correlación, del mismomodo la derivada funcional de los funcionales de correlación e intercambio seravxc(r) = vx(r) + vc(r), con esos cálculos podemos utilizar la ecuación (2.33) paradeterminar la energía en el estado base del problema electrónico, su derivada conrespecto a las posiciones será la fuerza sistemática que proporciona la estructurade la molécula. Para una solución completa del problema molecular, esta energía seutiliza para el problema nuclear de la forma planteada en la ecuación (2.8) la cualse retomara en el capitulo 3.

43


En la siguiente sección se presenta un resumen de las ecuaciones necesarias pararesolver el problema electrónico con posiciones nucleares fijas.

2.4. Diagrama de Flujo para el cálculo de la energía

electrónica de una molécula

Para un mejor acceso a las ecuaciones que utilizaremos para resolver el problemaelectrónico y como un diagrama de flujo que determina la forma de utilizarlas, estasse presentan a continuación.

Para el Método de Kohn-Sham DFT, primero se escoge un conjunto de orbitaleselectrónicos de electrones individuales base, con ellos se calcula la densidad electró-nica de Kohn-Sham,

ρ(r) =N∑

a=1

ψ∗a(xi)ψa(xi) (2.61)

. Calculada la densidad podemos calcular el potencial efectivo,

veff

(r) = v(r) +

∫ρ(r′)

|r− r′|dr′ + vxc(r) (2.62a)

v(r) = −Zr

(2.62b)

vxc(r) =δExc[ρ(r)]

δρ(r)(2.62c)

dondeExc[ρ(r)] = Ex[ρ(r)] + Ec[ρ(r)] (2.63a)

Ex[ρ(r)] = −ELDAx − ζ

∑

σ

∫[ρσ(r)]4/3

x2σ1 + 6ζxσ sinh−1(xσ)

dr (2.63b)

xσ =|∇ρσ(r)|[ρσ(r)]4/3

, ζ = 0.0042 a.u. (2.63c)

44


para Closed-Shell,

Ec[ρ(r)] =− a∫

1

1 + d[ρ(r)]−1/3

{ρ(r) + b[ρ(r)]−2/3

(CF [ρ(r)]5/3 +

−2tW(r) +

[1

9tW(r) +

1

18∇2ρ(r)

])e−c[ρ(r)]

−1/3

}dr. (2.63d)

para Open-Shell,

Ec[ρ(r)] =− a∫

γ(r)

1 + d[ρ(r)]−1/3

{ρ(r) + 2b[ρ(r)]−5/3

(22/3CF [ρα(r)]8/3 +

+ 22/3CF [ρβ(r)]8/3 − ρ(r)tW(r) +1

9

[ρα(r)tαW (r) + ρβ(r)tβW (r)

]+

+1

18

[ρα(r)∇2ρα(r) + ρβ(r)∇2ρβ(r)

])e−c[ρ(r)]

−1/3

}dr, (2.63e)

con

γ(r) = 2

(1− [ρα(r)]2 + [ρβ(r)]2

[ρ(r)]2

), (2.63f)

tW(r) =1

8

|∇ρ(r)|2ρ(r)

− 1

8∇2ρ(r), (2.63g)

a = 0.04918, b = 0.132, c = 0.2533, d = 0.349, CF = 2.871. (2.63h)

Con el potencial efectivo calculado (ecuación 2.62a) podemos utilizar la ecuación devalores propios, [

−1

2∇2i + v

eff(r)

]ψa(xi) = εaψa(xi). (2.64)

La solución de esta ecuación proporciona un nuevo conjunto de orbitales electróni-cos {ψa(xi)}, estos nuevos orbitales se utilizan para calcular de nuevo la densidadelectrónica y se repite el proceso hasta que se alcance la autoconsistencia. Cuandose alcanza la autoconsistencia el conjunto final, {ψa(xi)}, se utiliza para calcular laenergía funcional,

E[ρ(r)] = Ts[ρ(r)] +

∫ρ(r)v(r)dr +

1

2

∫ρ(r)ρ(r′)

|r− r′| drdr′ + Exc[ρ(r)], (2.65a)

Ts[ρ(r)] =N∑

a=1

∫dxi ψ

∗a(xi)

(−1

2∇2i

)ψa(xi). (2.65b)

45


Obteniendo el valor de la energía funcional electrónica (2.65a) podemos calcular laenergía total,

EDFT({Rα}) = EDFTe ({Rα}) +

1

2

M∑

α=1

M∑

β=1︸︷︷︸α 6=β

ZαZβ|Rα −Rβ|

, (2.66)

donde EDFTe es la energía calculada por la ecuación 2.65a (aquí se ha utilizado el

supra-índice DFT para recordar con que método se ha calculado la energía electróni-ca) y el segundo término del lado derecho es la interacción Columbiana entre núcleos.En la dinámica de los núcleos la energía EDFT se puede considerar como una energíapotencial asociada a ellos (ver ecuación 2.8).

A continuación se presenta un diagrama de flujo para el calculo de la energía totalde una molecula utilizando DFT.

46


Inicio

Proponer:ψ01 , ψ

02 · · · , ψ0

a, · · · , ψ0n

Calcular:ρ(r) y veff(r)

Resolver:[− 1

2∇2i + veff

]ψa = εaψa

Utilizar las nuevas:ψi1, ψ

i2, · · · , ψi

a, · · · , ψin

|ψia − ψi−1

a | → 0,|εia − εi−1

a | → 0

Calcular:EDFT(R1, R2, · · · ,RM ),

Ψ(R1, R2, · · · ,RM )

Fin

No

Si

Figura 2.2: Diagrama de flujo para el cálculo de la energía electrónica de unamolécula utilizando DFT.

47

Capítulo 3

Dinámica Molecular para el estudiode las propiedades mecánicas del ADN

La dinámica molecular es una teoría que se utiliza para estudiar los movimientosde átomos y moléculas. Los modelos utilizados van desde solo suponer condicionesclásicas Newtonianas hasta modelos híbridos donde se utilizan suposiciones tantoclásicas como cuánticas, en esta disertación en la medida de lo posiblee se utiliza unmodelo cuántico. Se utilizó un modelo mecánico cuántico para describir la estruc-tura electrónica como se presentó en el capitulo anterior y se utilizará un modelosemi-cuántico para el ambiente que rodea los núcleos el cual se abordara en estecapitulo.

Para el análisis de los núcleos de una molécula se considera de nuevo la aproximaciónBO. En la aproximación BO cabe considerar que las posiciones nucleares están bienlocalizadas en el espacio, en comparación a las posiciones electrónicas que son esen-cialmente difusas como lo indica la mecánica cuántica. Con esta suposición podemosmigrar la representación cuántica del movimiento de los núcleos a una representaciónclásica con una buena aproximación. Esta aproximación y las ecuaciones de calculoasociadas junto con su solución numérica se presentan a continuación.

3.1. Migración a una ecuación de movimiento New-

toniana

Ya que el comportamiento medio de un paquete de ondas bien definido debeestar de acuerdo con las leyes clásicas de la mecánica de movimiento de la partícula

48

3. Dinámica Molecular

que representa, los valores esperados de las variables dinámicas (posición, velocidad,movimiento, energía cinética, energía potencial y fuerza) calculadas en la mecánicacuántica, deben obedecer las mismas relaciones que las variables dinámicas en lamecánica clásica.

3.1.1. Limite clásico

Sea A un operador lineal, este puede ser cualquier variable dinámica asociada almovimiento de una partícula, y |Ψ〉 la función de onda asociada al movimiento dedicha partícula. La derivada temporal del valor promedio de A es

d

dt〈Ψ|A|Ψ〉 =

⟨∂Ψ

∂t

∣∣∣A∣∣∣Ψ⟩

+

⟨Ψ∣∣∣A∣∣∣ ∂Ψ

∂t

⟩+

⟨Ψ

∣∣∣∣∣∂A

∂t

∣∣∣∣∣Ψ⟩, (3.1)

dado que la función de onda |Ψ〉 cumple con la ecuación de Schrödinger,

i∂|Ψ〉∂t

= H|Ψ〉, (3.2)

donde H es el Hamiltoniano asociado a la dinámica de la partícula, podemos sustituirla ecuación (3.2) en (3.1) y obtener,

d

dt〈A〉 = i〈HΨ|A|Ψ〉 − i〈Ψ|AH|Ψ〉+

⟨Ψ

∣∣∣∣∣∂A

∂t

∣∣∣∣∣Ψ⟩

= −i〈Ψ|[A, H]|Ψ〉+

⟨Ψ

∣∣∣∣∣∂A

∂t

∣∣∣∣∣Ψ⟩

(3.3)

por lo que,d

dt〈A〉 = −i〈[A, H]〉+

⟨∂A

∂t

⟩. (3.4)

Esta ecuación es conocida como el Teorema de Ehrenfest, donde [A, H] es el con-mutador de A y H. Note que en la ecuación (3.4) si el operador A no dependeexplícitamente del tiempo, el segundo termino a la derecha de la igualdad es iguala cero.

49


3.1.2. Ecuación de movimiento para sistemas moleculares

Según la aproximación BO el problema de muchos átomos se separa en un pro-blema electrónico y un problema nuclear relacionados parametricamente. Para elproblema electrónico (ver capitulo 2), la metodología DFT representa una aproxi-mación para calcular los orbitales electrónicos que describen los N electrones delsistema que se encuentran centrados en los M núcleos. Para cada conformaciónnuclear {Rα} de las N + M partículas, podemos definir la función V DFT de la con-formación molecular {Rα} en base a la energía EDFT calculada con la ecuación 2.66como

V DFT({Rα}) = EDFT|{Rα}, (3.5)

donde EDFT es evaluada en cada conformación nuclear {Rα}. La función V DFT repre-senta la energía potencial asociada a los M núcleos, siendo FDFT

α = −∇αVDFT({Rα})

la fuerza sistemática que actúa sobre los M núcleos de la molécula.

La solución de la ecuación 2.9 junto con 2.8, que representa la dinámica de losnúcleos, se puede migrar de una representación cuántica a una representación clá-sica si consideramos los núcleos atómicos localizados, según la aproximación BO.Entonces, si suponemos que A = pα = −i∇α es el operador de momento del núcleoα y utilizando las ecuaciones 3.4 y 2.8 encontramos que

d〈pα〉dt

= −i⟨[−i∇α, −

M∑

α=1

1

2Mα

∇2α + V DFT({Rα})

]⟩, (3.6)

ya que el operador de momento no depende explicitamente del tiempo, y que elprimer término del Hamiltoniano conmuta con el operador pα, se obtiene que

d〈pα〉dt

= −∇αVDFT({Rα}) = FDFT

α ({Rα}). (3.7)

Así que, la dinámica del núcleo α queda determinada por la ecuación 3.7, dondela FDFT

α ({Rα}) es la fuerza sistemática que proporciona la estabilidad del núcleo αcon respecto a los demás núcleos. En un sistema de partículas clásicas el momentolineal total corresponde al momento esperado en la ecuación 3.7 y la variación enel tiempo de él representa el movimiento del nucleo α, ya que 〈pα〉 → pα = Mαvα,entonces podemos escribir la ecuación 3.7 como

Mαd2Rα

dt2= FDFT

α ({Rα}), (3.8)

50


donde vα(t) = dRα/dt. La ecuación 3.8 es un modelo simplificado de la dinámicade una molécula, la cual no tiene importancia para predicciones cuantitativas, yaque es un modelo que no incluye interacciones con su alrededor inherente a estossistemas.

3.1.3. Partícula browniana con estructura atómica

El ADN dentro de las células están rodeadas de un medio fisiológico, este medioproporciona interacciones que son determinantes para su funcionamiento. Inclusolas muestras que se utilizan para hacer estudios de ADN están preparadas en mediosfisiológicos como el agua, ya que el agua no altera las propiedades físicas y químicasde las muestras por ser estas hidrofóbicas. Este medio circundante al ADN debe sertomado en cuenta al analizar las propiedades mecánicas, ya que someten al ADN acondiciones de temperatura y presión especificas. Desde un punto de vista molecu-lar, la molécula de ADN se encuentra sumergida en un medio que podemos considerarcomo fluido, donde este fluido agita térmicamente la molécula de ADN, por lo quepodemos considerar este caso como una partícula browniana con estructura atómica.

El enfoque Zwanzig-Langevin es ideal para este estudio, ya que permite estudiarpartículas brownianas desde un punto de vista estadístico incluyendo los efectosde viscosidad, presión y temperatura. El análisis lo iniciamos con el lagrangianoZwanzig-Langevin,

L =M∑

α=1

1

2MαR

2α +

M∑

α=1

s∑

i=1

1

2miαq

2iα

−M∑

α=1

s∑

i=1

[1

2miαω

2iαq

2iα − ciαqiαRα +

1

2

c2iαmiαω2

iα

R2α

]− U({Rα}) (3.9)

En este modelo se debe distinguir dos tipos de partículas: (1) los átomos que con-forman la molécula de ADN cuyas posiciones son Rα, masas Mα y velocidades Rα,(2) las partículas que conforman el baño térmico, denotadas sus posiciones por qiα,velocidades qiα y masa miα. Se supone que el baño térmico esta constituido por mu-chas moléculas que vibran armónicamente con frecuencias ωiα. Los subíndices queacompañan a las variables de las partículas del baño térmico denotan la interacciónentre el α-ésimo átomo de la molécula del ADN con la i-ésima partícula del baño tér-mico. En la ecuación 3.9 los dos primeros términos representan las energías cinéticasde los átomos de la molécula y las partículas del baño térmico respectivamente. El

51


término entre corchetes representa las interacciones de la molécula con las partículasdel baño térmico, y se supone que las interacciones con los átomos de la moléculason biliniales, esta condición se ilustra incluyendo los coeficientes ciα,[23] también sesimplifica el modelo tomando en consideración que las interacciones entre las par-tículas del baño térmico son nulas, ya que solo hay interés en los efectos del bañotérmico sobre los átomos de la molécula del ADN. Por último U({Rα}) representa elpotencial de interacción de los átomos de la molécula entre si o con agentes exter-nos. Mas adelante hablaremos del potencial U({Rα}) especifico para nuestro estudio.

La evolución temporal de las posiciones de los átomos de la molécula del ADN, puedenser encontradas a partir de la ecuación 3.9, de acuerdo a la mecánica analítica lasecuaciones de movimiento serán las que corresponden a

d

dt

(∂L

∂q

)− ∂L

∂q= 0. (3.10)

Utilizando las ecuaciones 3.9 y 3.10 podemos encontrar las expresiones de las ecua-ciones de movimiento, tanto para los átomos de la molécula del ADN como para laspartículas que constituyen el baño térmico, estas son:

MαRα −∑

i

(ciαqiα −

c2iαmiαω2

iα

Rα

)+∂U({Rα})

∂Rα

= 0, (3.11a)

miαqiα +miαω2iαqiα − ciαRα = 0. (3.11b)

Las ecuaciones 3.11a y 3.11b están acopladas, ya que el estado mecánico de losátomos de la molécula de ADN dependen del estado de equilibrio del baño térmico. Sepuede calcular la solución de la ecuación 3.11b utilizando variación de parámetro,la solución de esta ecuación es:

qiα(t) =

[qiα(0)− ciα

miαω2iα

Rα(0)

]cos(ωiαt) +

qiα(0)

ωiαsin(ωiαt)

− ciαmiαω2

iα

Rα(t)− ciαmiαω2

iα

∫ t

0

cos[ωiα(t− t′)]Rα(t′)dt′. (3.12)

Si sustituimos la qiα en la ecuación 3.11a y la acomodamos convenientemente pode-mos llegar a las ecuaciones,

Mαd2Rα(t)

dt2−Gα(t) + γMα

dRα(t)

dt+∂U({Rα})

∂Rα

= 0. (3.13)

52


Donde se ha definido,

Gα(t) =∑

i

ciα

{qiα(0)

ωiαsin(ωiαt) +

[qiα(0)− ciα

miαω2iα

Rα(0)

]cos(ωiαt)

}, (3.14a)

MαγdRα(t)

dt=

∫ t

0

Kα(t− t′)Rα(t′)dt′, con (3.14b)

Kα(t− t′) = Mα

∑

i

c2iαmiαω2

iα

cos[ωiα(t− t′)]. (3.14c)

La función Gα(t) corresponde a la fuerza de agitación térmica necesaria paramantener en movimiento la molécula en el baño térmico, si no estuviera presente,el movimiento cesaría por el efecto de la fuerza viscosa MαγRα.La función Kα seconoce como función de memoria, ya que introduce una dependencia de la diferenciade tiempos, el valor de la función de memoria depende del valor del tiempo pasado(t′) en el movimiento, esto produce una condición en el movimiento a seguir por lapartícula dependiente de el estado de movimiento anterior. Las funciones G y K sonpuramente estadísticas.[23]

En la siguiente sección se explica como la ecuación 3.13 es utilizada en el estudio delas propiedades mecánicas del ADN.

3.1.4. Dinámica molecular para cadenas cortas de ADN

La molécula del ADN esta constituida por N electrones y M núcleos, estos elec-trones y núcleos interactúan entre si produciendo fuerzas que determinan las ca-racterísticas físicas y químicas de su estructura. A estas fuerzas entre partículassubatómicas se les dará el nombre de FDFT, ya que estas fuerzas serán calculadaspor DFT. La Fuerza entre partículas subatómicas serán calculadas explícitamente através de la ecuación 3.5, con FDFT = −∇αV

DFT({Rα}), donde la energía EDFT seracalculada con el algoritmo presentado en el diagrama de la figura 3.1.

53


Se elige hacer un estudio de las propiedades mecánicas del ADN en condicionesde laboratorio, esto determina las condiciones de temperatura y presión que seránla temperatura y presión estándar (300 K y 1 atm). Estas condiciones son incluidasen los cálculos a través de la función de agitación térmica y la función de memoria,proporcionando un entorno que simula una partícula browniana con estructura ató-mica, por lo que Gα sera la fuerza sobre los núcleos que mantienen en movimiento elADN y la función K(t− t′) que a través de MαγRα introduce la fuerza de viscosidadsobre el ADN.

Por ultimo, al hacer un estudio de las propiedades elásticas del ADN, debemos desometer a la molécula en estados de tensión para así poder identificar los estadoscríticos de la estructura. Se utilizara steered molecular dynamics (SDM) pararealizar esta tarea, ya que la molécula del ADN será sometida a fuerzas externas espe-cíficamente dirigidas para obtener los resultados esperados. Estas fuerzas externas,Fext, serán tales que simulen un experimento realizado en el AFM. En el capitulode resultados hablare mas acerca de la fuerza Fext. Con toda esta discusión pode-mos concluir que la ecuación 3.13 aplicada a la molécula del ADN adopta la formaexplicita,

Mαd2Rα(t)

dt2= Gα(t)−Mαγ

dRα(t)

dt+ FDFT + Fext, (3.15)

que determina la dinámica de la molécula del ADN bajo la influencia de fuerzasexternas. En la ecuación 3.15 las fuerzas

FDFT + Fext = −∂U({Rα})∂Rα

= −∂VDFT({Rα})∂Rα

− ∂Uext({Rα})∂Rα

. (3.16)

Hay que hacer notar que la ecuación 3.15 es equivalente a la ecuación 1.7 en elexperimento DFM del AFM, esto es un hecho importante para el modelo presentadoen esta disertación, ya que valida el método antes de hacer algún calculo sobre elADN y a la vez determina un modelo de trabajo universal sobre sistemas moleculares.

En la siguiente sección se presenta un resumen de los procedimientos utilizadospara resolver la ecuación 3.15.

54


3.2. Diagrama de flujo para la dinámica de la mo-

lécula del ADN

En esta sección se presentan la metodología y algoritmo que se utilizo parallevar a cabo la dinámica de cadenas cortas de ADN. En nuestro sistema de calculo sedetermina la energía funcional electrónica en el estado fundamental (ecuación 2.33),la cual representa, junto con la energía columbiana entre núcleo-núcleo una energíapotencial que genera una fuerza sobre los núcleos del ADN (ecuación 2.66) que hemosllamado FDFT, junto con las fuerzas de interacción Fext, Gα y −γMαvα, podemosdefinir una fuerza total Ftot = FDFT

α − γMαvα +Gα +Fext actuando sobre la cadenacorta de ADN, por lo que la dinámica del ADN esta dada por la solución de un conjuntode M ecuaciones de Newton acopladas de la forma

Mαd2Rα

dt2= Ftot(R1, · · · , Rα, · · · , RM), (3.17)

con 3 componentes cada una, donde α = 1, 2, · · · , M yRα es la posición instantáneadel núcleo α. Hay que hacer notar que la fuerza en la ecuación 3.17 esta constituidapor fuerzas sistemáticas (FDFT y Fext) y por fuerzas de naturaleza estadísticas (Gα y−γMαvα), por lo que cada una de ellas se calcula de manera diferente. La solucióndel sistema resulta en resolver 3M ecuaciones de Newton de forma simultanea, estatarea se realiza con del método presentado en [23].

A continuación se presenta un diagrama de flujo del calculo de la dinámica de ca-denas cortas e ADN.

55


Inicio

Proponer:{Rα}0, {vα}0,N iteraciones.

Calcular: V DFT =EDFT({Rα})

Refiérase aldiagrama de

Flujo electrónico.

Calcular:Ftot({Rα})

Utilizar las nuevas:Ri

1, Ri2, · · · , Ri

M

Calcular: vα(ti+∆t)y Ri

α(ti + ∆t)

Construir: Frame(Fotografía) conRi

1, Ri2, · · · , Ri

M

n ≥ N

Construir ladinámica dela molécula.

Fin

No

Si

Figura 3.1: Diagrama de flujo para el cálculo de la Dinámica de una cadenas cortasde ADN, utilizando la ecuación Zwanzig-Langevin.

56

Capítulo 4

Implementación del modelo paracalcular las fuerzas de los puentes dehidrógeno en los pares de basesWatson-Crick.

Las propiedades mecánicas del ADN como la resistencia mecánica y la estabilidadestructural determinan los procesos de replicación y transcripción en las células.La estructura y el comportamiento funcional del ADN se estabiliza y adquiere pro-piedades elásticas debido a fuerzas entre puentes de hidrógeno, interacciones porapilamiento de bases nucleicas e interacciones con su alrededor. Por esta razón lamedición directa de la fuerza entre los puentes de hidrógeno son de gran importanciacientífica.

Los primeros intentos por medir las fuerzas implicadas en la estructura del ADNse basaron en métodos físicos y termodinámicos indirectos tales como cristalografíade rayos X, dispersión de luz, y la espectroscopia de resonancia magnética nuclear.Estos métodos son insuficientes para una interpretación correctas de las fuerzas, yaque las mediciones están limitadas por una baja eficiencia y resolución. Métodosactuales han sido utilizados por ser métodos de medición sensibles (en una escala depico-newton), estos métodos experimentales hacen uso de pinzas ópticas y magné-ticas, micro-pipetas, o palancas de microscopios de fuerza atómica (AFM), los cualespermiten hacer medidas directas en la escala atómica con alta resolución.[21] Estosmétodos han demostrado ser un conjunto de medios excelentes para la medición de

57

4. Resultados

fuerzas tales como las producidas por los puentes de hidrógeno en el ADN. Casi almismo tiempo del uso de métodos experimentales para medir estas fuerzas intramo-leculares han sido usados modelos teóricos, como dinámica molecular[12] (en variosniveles de teoría), los cuales han permitido una comprensión mas profunda de lafísica molecular.

La utilización del AFM en estudios moleculares es una técnica reciente que permi-te estudiar un gran número de propiedades, sus características resaltan de todos losdemás ya que permite al experimentador una alta resolución, preparación mínima dela muestra y la capacidad de trabajar en condiciones fisiológicas en tiempo real.[21]El AFM ha sido aplicado para visualizar las estructuras químicas de las moléculascon gran precisión [24][13]. Otra de las aplicaciones del AFM es medir las fuerzasde interacción intermoleculares, tales como la fuerza de los puentes de hidrógeno ylas fuerzas por apilamiento de bases nucleicas[32][5]. Se han reportado valores de lafuerza de los puentes de hidrógeno y las fuerzas por apilamiento de bases que estánpresentes en el ADN cuya fuerza oscila en una escala de nano-newton[20][29].

Tanto las mediciones experimentales como las teóricas de las fuerzas de los pun-tes de hidrógeno y fuerzas por apilamiento de bases nucleicas se han calculadoindirectamente[29][7][1][9][12] utilizando cálculos empíricos de fuerzas[20][7] que im-plican potenciales de fuerza media. En este capítulo se presenta una alternativa paracuantificar las propiedades mecánicas del ADN simulando un experimento de tipo AFMutilizando SMD.

4.1. Objetivo del Capítulo

El objetivo principal es cuantificar las propiedades mecánicas del ADN utilizan-do un modelo de dinámica molecular de primeros principios[23] que permita medirdirectamente las fuerzas responsables de la estabilidad estructural y la resistenciamecánica del ADN. Para lograr este objetivo se construyen experimentos computacio-nales basado en el modelo de dinámica molecular presentado en los capítulos 2 y 3.El modelo permite medir directamente la fuerza de los puentes de hidrógeno en lospares de bases Watson-Crick, Adenina-Timina y Guanina-Citosina.

58

4. Resultados

4.2. Medición de la fuerza de los puentes de hidró-

geno en los pares de bases Watson-Crick

Se han diseñado varias simulaciones utilizando el modelo de dinámica molecularde primeros principios presentados en los capítulos 2 y 3. El modelo es tal que so-mete a estrés los pares de bases A-T y G-C. Las simulaciones se han hecho para doscondiciones diferentes: (1) condiciones de vacío y (2) en condiciones de temperaturade 300 K, presión de 1 atm y un coeficiente de fricción de 3.0 ps−1.

En la figura 4.1 se muestran los pares de bases A-T y G-C que se construyeronpara las simulaciones. En cada uno de estos pares de bases se utilizaron dos resorteslineales con la misma costante de resorte con la idea de tensar las moleculas.

(a) Par de bases: Adenina-Timina (b) Par de bases: Guanina-Citosina

Figura 4.1: Pares de bases de Watson-Crick. a) Adenina-Timina. b) Guanina-Citosina. En las figuras se muestran los puentes de hidrógeno con lineas punteadas,dos puentes de hidrógeno para Adenina-Timina (N · · · H−N y N−H · · · O), tres puentesde hidrógeno para Guanina-Citosina (N− H · · · O, N− H · · · N y O · · · H− N).

La aplicación de estas fuerzas de resorte en los pares de bases Watson-Crick es muysimilar a cuando se aplica dos fuerzas en los extremos de una cuerda para tensar.Las fuerzas de resorte se aplican en direcciones tales que son paralelas a la direcciónde acción de las fuerzas de los puentes de hidrógeno, cuya dirección se eligió paralelaal eje x por simplicidad, como se muestra en la figura 4.2. Al aplicar las fuerzas deresorte de esta forma, se minimizan los efectos de momentos de torsión, permitiendoasí calcular con pequeños errores las fuerzas de los puentes de hidrógeno.

59

4. Resultados

(a) Adenina-Timina (b) Guanina-Citosina

Figura 4.2: Representación de las fuerzas de resorte aplicadas en los pares de basesWatson-Crick en las simulaciones. a) Fuerzas aplicadas al par de bases Adenina-Timina. b) Fuerzas aplicadas al par de bases Guanina-Citosina. Las moléculas seprepararon tal que las direcciones de las fuerzas de resorte sean paralelas a la direc-ción de las interacciones de los puentes de hidrógeno. ver figura 4.1

Para lograr un cálculo directo de las fuerzas de los puentes de hidrógeno se di-señaron dos experimentos diferentes que fueron probados con las condiciones antesmencionadas.

Experimento (1): Cálculo de las fuerzas de los puentes de hidrógeno utilizandoresortes con fuerzas de resorte variable en el tiempo. Para lograr aplicar fuerzas deresorte variables en el tiempo se sometió a las muestras A-T y G-C a resortes quefueran incrementando su longitud en el tiempo, a una razón de cambio específicapara nuestras necesidades, esta razón de cambio es comunmente llamada razón decarga, RC = kv, esta definida como la constante de resorte, k, multiplicada por lavelocidad que se estira el resorte, v. En la figura 4.3 se muestran fotografías que re-presentan cualitativamente la longitud del resorte en diferentes instantes de tiempoy la respuesta de las muestra según dichas fuerzas aplicadas.

El experimento consistió en estirar los resortes con una velocidad v para registrar elinstante cuando ocurre el rompimiento de los puentes de hidrógeno y así establecerla fuerza con la cual sucede la ruptura. Al inicio de la simulación, la fuerza de losresortes es menor a la fuerza que mantiene los puentes de hidrógeno y esta se vaincrementando en el tiempo hasta sobrepasar la fuerza que mantiene los puentes dehidrógeno, en el instante que la fuerza de resorte sobrepasa la fuerza que mantienelos puentes de hidrógeno es cuando ocurre la ruptura. En el instante que ocurre la

60

4. Resultados

ruptura se mide la fuerza. La fuerza medida es la fuerza mínima para romper lospuentes de hidrógeno en los pares de bases A-T y G-C según el caso.

Figura 4.3: Se muestra cuatro instantes de tiempo de la dinámica de la moléculaA-T para el rompimiento de los puentes de hidrógeno. El estiramiento del resorteidentifica la fuerza que actúa en la molécula, entre mas estirado este el resorte, esteaplica mayor fuerza al par de bases A-T.

Los cálculos en las dinámicas realizadas permiten identificar el instante de tiem-po donde, y la fuerza con la cual, se llega al limite de elasticidad del par de bases.En la figura 4.4 se pueden identificar los instantes de tiempo cuando sucede la sepa-ración de los ácidos Adenílico y Timidílico, estos valores corresponden a 2,863 fs

(curva roja), 5,625 fs (curva verde) y 20,670 fs (curva azul). En el instante dela ruptura de los puentes de hidrógeno, las fuerzas de resorte corresponden a losvalores máximos de las curvas. Se puede observar que los valores máximos en lascurvas se alcanzan en valores diferentes de fuerza, esto es debido a los efectos deinercia que presenta el par de base A-T. Los efectos de inercia aparecen en mayor o

61

4. Resultados

menor medida según el valor de RC.

-0.002

0

0.002

0.004

0.006

0.008

2000 4000 6000 15000 20000 25000

Fuerz

a [H

art

ree/B

ohr]

Tiempo [fs]

Fuerzas de resorte aplicadas al par de bases Adenina-Timina para varias RC

RC = 0.25 [pN/fs]k=0.01 [N/cm], v=0.0025 [Angstrom/fs]



Figura 4.4: Fuerza de resorte en función del tiempo aplicada al par de basesAdenina-Timina para varias Razones de Carga. La gráficas corresponden a 3, 750 fs(rojo), 6, 250 fs (verde) y 23, 000 fs (azul) de tiempo de simulación.

Una característica de los cálculos de las fuerzas que podemos identificar, es la re-lación entre la RC y los efectos de inercia que presenta el par de bases. Para unaRC = 0.25 pN/fs (curva roja) la molécula presenta efectos de inercia mayores encomparación para una RC = 0.025 pN/fs (curva azul), esto es determinante parapoder medir con precisión las fuerzas de los puentes de hidrógeno, ya que con efec-tos de inercia pequeños, las conformaciones moleculares no cambiaran mucho entrelos aumentos de fuerzas aplicadas y tendremos una mayor exactitud a la hora deidentificar el instante donde ocurre la ruptura.

Considerando lo anterior tomaremos los valores con mayor exactitud los que co-rresponden a la simulación que se hizo con una RC = 0.025 pN/fs (curva azul), porlo tanto la fuerza mínima para separar los puentes de hidrógeno (punto mas alto dela curva) tiene un valor de 0.0062 Hartree/Bohr = 0.51 nN.[20]

62

4. Resultados

Las fuerzas de resorte aplicada a la molécula G-C están presentadas en la figura 4.5.Al igual que para A-T los experimentos realizados corresponden a RC = 0.10 pN/fs

(curva verde), RC = 0.25 pN/fs (curva roja) y RC = 0.025 pN/fs (curva azul). Segúnlos cálculos realizados, el instante de tiempo donde ocurre la separación del par debases G-C descritos por la curva azul es 39,400 fs (punto mas alto de la curva), porlo tanto la fuerza mínima para separar los puentes de hidrógeno en el par de basesG-C es 0.0119 Hartree/Bohr = 0.98 nN.[20]

-0.002

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

5000 10000 15000 30000 35000 40000 45000

Fu

erz

a [

Ha

rtre

e/B

oh

r]

Tiempo [fs]

Fuerzas de resorte aplicadas al par de bases Guanina-Citosina para varias RC

RC = 0.25 [pN/fs]

k=0.01 [N/cm], v=0.0025 [Angstrom/fs]

RC = 0.10 [pN/fs]


RC = 0.025 [pN/fs]


Figura 4.5: Fuerza de resorte en función del tiempo aplicada al par de basesGuanina-Citosina, para varias Razones de Carga (RC). La gráficas correspondena 3, 000 fs, 11, 000 fs y 42, 000 fs de tiempo de simulación.

Las fuerzas calculadas para separar los puentes de hidrógeno en los casos de A-T yG-C son fuerzas totales, estas fuerzas proporcionan la información suficiente para cal-cular valores aproximados de las fuerzas de interacción de los puentes de hidrógenoindividuales, como se muestran en la figura 4.1. Este es el siguiente objetivo.

63

4. Resultados

En la molécula A-T hay dos puentes de hidrógeno (Figura 4.1a) y en la G-C haytres puentes de hidrógeno (Figura 4.1b), estas fuerzas individuales están relacionadascon las fuerzas totales calculadas anteriormente, estas relaciones son:

FAT = FNH(N) + FNH(O), (4.1a)

FGC = FNH(N) + 2FNH(O), (4.1b)

donde FAT es la fuerza total para separar los puentes de hidrógeno de la base A-T,FGC es la fuerza total para separar los puentes de hidrógeno de la base G-C, FNH(N)

es la fuerza que une el puente de hidrógeno N− H · · · N y FNH(O) es la fuerza queune el puente de hidrógeno N− H · · · O. Despejando las ecuaciones 4.1a y 4.1b paralas fuerzas FN−H···N y FN−H···O y sustituyendo los valores encontrados para FAT y FGC,podemos calcular las fuerzas individuales de los puentes de hidrógeno, los valores deestas son:

FNH(N) = 2FAT − FGC = 0.04 nN, (4.2a)

FNH(O) = FGC − FAT = 0.47 nN. (4.2b)

Hay que hacer notar que los valores encontrados para las fuerzas de los puentes dehidrógeno individuales en las ecuaciones 4.2a y 4.2b son los primeros en su especie,ya que no se encuentran en la literatura.

La diferencia entre los valores de las fuerzas de los puentes de hidrógeno calcu-lados en las ecuaciones 4.2a y 4.2b se puede explicar tomando en consideración ladistribución de carga electrónica en las moléculas. La figura 4.6 muestra los mapasde densidad electrónica para el par de bases A-T y G-C. Los colores superpuestosal mapa de densidad electrónica corresponde a las polarizaciones producidas por elintercambio de carga entre los puentes de hidrógeno, donde el color rojo represen-ta una concentración de carga negativa y el color azul una concentración de cargapositiva.

64

4. Resultados

(a) Ácido Adenílico - Ácido Timidílico (b) Ácido Guanílico - Acido Citidílico

(c) Adenina-Timina (d) Guanina-Citosina

Figura 4.6: Mapas de densidad electrónica correspondiente a una iso-superficiede 0.05 u. a. Los colores superpuestos representan las polarizaciones debido a latransferencia de carga electrónica.

En la figura 4.6 se puede observar una mayor concentración de carga negativa enlos átomos involucrados en los puentes de hidrógeno NH(O) (color rojo más intensoen esos átomos), en comparación a la concentración de carga negativa en los átomosinvolucrados en los puentes de hidrógeno NH(N) (color rojo menos intenso). Ya quela fuerza electrostática es dependiente de la carga, podemos cuantificar una mayorfuerza en los puentes de hidrógeno NH(O) en comparación a la fuerza en los puentesde hidrógeno NH(N).

65

4. Resultados

Experimento (2): Cálculos de fuerza de los puentes de hidrógeno utilizando re-sortes con fuerzas constantes para diferentes elongaciones del resorte. En este casose utilizaron resortes con una constante de resorte de k = 0.02 N/cm, proporcionandodiferentes valores de la fuerzas aplicadas dependientes de la elongación, estos valoresse fueron acotando hasta encontrar la fuerza requerida para romper los puentes dehidrógeno. Por ejemplo, resulto que las fuerzas necesarias para romper los enlacesde hidrógeno en los pares de bases Watson-Crick son: 0.47 nN para A-T y 0.96 nN

para G-C, en condiciones de presión y temperatura estándar.

4.2.1. Resumen de los resultados

Como a modo de resumen, se presenta en esta sección los valores de las fuer-zas calculadas para romper los puentes de hidrógeno presentes en los pares de baseWatson-Crick y las fuerzas individuales de los puentes de hidrógeno presentes en di-chas moléculas, se resumen los valores encontrados con los dos métodos presentadosantes, los cuales arrojan valores aproximados de fuerzas, también se incluyen valoresen condiciones de vacío y en condiciones de presión y temperatura estándar (300 K,1 atm) para su comparación.

Tabla 4.1: Valores de las fuerzas de rompimiento de bases Nucleicas y fuerzasde puentes de hidrógeno, para T = 300 K, P = 1 atm y γ = 3.0 ps−1

RC [A-T] [G-C] FNH(N) FNH(O)

[pN/fs] [nN] [nN] [nN] [nN]

Exp. (1)0.250 0.59 0.96 0.22 0.370.100 0.44 1.02 0.14 0.580.025 0.51/0.48∗ 0.98/0.80∗ 0.04/0.16∗ 0.47/0.32∗

Exp. (2) 0.47 0.96 0.02 0.49

Los valores en las tablas 4.1 y 4.2 que están acompañadas del símbolo (*), se refierena valores encontrados con pares de bases Watson-Crick sin azúcar y fosfato.

66

4. Resultados

Tabla 4.2: Valores de las fuerzas de rompimiento de bases Nucleicas yfuerzas de puentes de hidrógeno, para condiciones de vacío.RC [A-T] [G-C] FNH(N) FNH(O)

[pN/fs] [nN] [nN] [nN] [nN]

Exp. (1) 0.025 0.75/0.73∗ 1.23/1.33∗ 0.27/0.13∗ 0.48/0.6∗

Exp. (2) 0.62 1.13 0.11 0.51

Se puede observar que las magnitudes de las fuerzas para romper los enlaces dehidrógeno en los pares de bases Watson-Crick son mayores en el vacío en compara-ción a las medidas en un baño térmico con las condiciones propuestas, esto era deesperarse, ya que el baño térmico contribuye a las interacciones totales que estánsometidos los átomos, permitiendo así la estabilidad del par de bases A-T y G-C.Otra característica de los valores presentados, es la diferencia entre las fuerzas en-contradas por los dos métodos, estas diferencias son debido al incluir funciones denaturaleza estadística, ya que estas producen fluctuaciones de temperatura.

67

Capítulo 5

Conclusiones

El modelo presentado en la disertación, ya que no utiliza campos de fuerza, sepuede considerar como un modelo flexible, y su metodología como una metodologíauniversal de calculo para caracterizar propiedades de moléculas tales como el ADNy proteínas. El modelo tiene varias ventajas, una de ellas es que une varias áreasde las ciencias físicas, Mecánica Clásica, Mecánica Cuántica y Mecánica Estadísti-ca, exhibiendo así la flexibilidad del modelo, otra ventaja es que al introducir lasinteracciones entre partículas, se puede utilizar cualquier método de cálculo de es-tructura electrónica para determinar dichas interacciones, según la necesidad, losrecursos computacionales, etc. También, el modelo Zwanzig-Langevin introduce sa-tisfactoriamente los efectos de presión y temperatura ya que cuando se prepararonlas muestras en las condiciones propuestas las muestras alcanzaron la temperaturay presión requerida.

Con respecto a los valores calculados de las fuerzas totales de asociación de lospuentes de hidrógeno para las bases nucleicas A-T y G-C, concluimos que son satis-factorios, ya que son comparables con valores encontrados en la literatura, que hansido determinados por procesos experimentales, como por ejemplo utilizando el AFM.Por otro lado en estudios teóricos los valores presentados en dichos estudios corres-ponden en su mayoría, a valores de energía de asociación de los pares de bases, sinembargo estos valores proporcionan valores de fuerza que también son comparablescon los presentados en nuestro trabajo.

68

A. La Aproximación de Hartree-Fock

Un orbital atómico es una función Matemática, esta describe el comportamientoondulatorio de una partícula, por ejemplo el electrón. Dado que el comportamientoondulatorio de un electrón es afectado por la condición si está, o no apareado con otroelectrón, hay que incluir dicho efecto a través del espín, la función matemática queincluye el efecto del espín en el comportamiento ondulatorio de un electrón se llamaespín-orbital. Para especificar el estado mecánico de un conjunto de N electronesse considera un conjunto de estados base particular {|ψ〉} (por lo menos un ψ paracada electrón), en términos generales, cualquiera y cada uno de estos estados basees llamado espín-orbital, compuesto de una parte orbital |φ〉 y una parte de espín|χs〉, de la forma

|ψ〉 = |φ〉 ⊗ |χs〉, (1)

la cual puede representarse en el espacio real de funciones de onda, proyectandoa |ψ〉 en una base de estados propios posición-espín |x〉 = |r〉 ⊗ |σ〉, a través delproducto interno

〈x|ψ〉 = ψ(x) = φ(r)χs(σ), (2)

donde φ(r) = 〈r|φ〉 es simplemente la parte orbital de la función de onda y χs(σ) =

〈σ|χs〉 es la parte de espín.1 Si podemos encontrar la forma explicita de las fun-ciones ψ(x), podremos construir una función Ψ = Ψ({ψ(x)}) que especifique lamecánica del conjunto de los N electrones, esto representara la base para describirel comportamiento de sistemas complejos como las moléculas o sistemas moleculares.

La teoría satisfactoria para determinar los espín-orbitales de un conjunto de N

electrones interactuantes con un potencial generado por un conjunto de M núcleos1La función χs(σ) para un electrón solo toma dos valores diferentes, ↑ y ↓; up y down; + y −,

α y β. Todas son representaciones del espín del electrón.

69

fijos, según la aproximación de Born-Oppenheimer, es la ecuación de Schrödingerindependiente del tiempo no relativista (véase las ecuaciones 2.6 y 2.7),

[−

N∑

i=1

1

2∇2i +

N∑

i<j

1

|ri − rj|−

N∑

i=1

M∑

α=1

Zα|ri −Rα|

]Ψ = EΨ. (3)

De nuevo los términos entre los corchetes representan el hamiltoniano electrónicocompuesto por la suma de la energía cinética electrónica, la interacción electrónicaclásica y la interacción electrón-núcleo clásica respectivamente.

Esta ecuación tiene dos inconvenientes: primero, la ecuación no proporciona infor-mación acerca del espín de los electrónes, el cual es un aspecto importante para elentendimiento de las características de los electrónes en una molécula, esta contienela información de la estabilidad de la misma; Segundo, la ecuación es imposible deresolver analíticamente dado que la ecuación no puede ser separada en ecuacionesbásicas independientes ya que la energía electrónica depende de todas las coordena-das electrónicas.

Para resolver estos obstáculos, como es usual en las ciencias físicas, se proponeestrategias para poder encontrar aproximaciones. Para atacar y resolver nuestra ne-cesidad acerca de los dos problemas planteados, se comienza por proponer que lasolución para la ecuación (3) sea dependiente del espín de los electrones. Es de-cir, la solución que se plantea es suponer que la función de onda dependa de lascoordenadas de espín-espaciales explícitamente, esto es que Ψ = Ψ({xi}). Al incluiresta nueva idea debemos de estar sujetos a una teoría satisfactoria adicional parala función de onda, esta es una declaración muy general del familiar Principio deExclusión de Pauli, llamado principio de antisimetria: Una función de onda polielec-trónica debe ser antisimétrica con respecto al intercambio de las coordenadas x dedos electrones,

Ψ(x1, · · · , xi, · · · , xj, · · · , xN) = −Ψ(x1, · · · , xj, · · · , xi, · · · , xN). (4)

Esta ecuación permite que exista una probabilidad igual a cero de encontrar doselectrones con el mismo espín-orbital, como lo indica el Principio de Exclusión dePauli. Así tomando en cuenta las dos ecuaciones (3) y (4) se puede construir unafunción polielectrónica Ψ aproximada, la cual incluye la información del espín de los

70

electrones.

Para construir una función Ψ que cumpla con la condición de antisimetria, primerosuponemos un conjunto de electrones no interactuantes, es decir un conjunto de Nelectrones donde su comportamiento ondulatorio está determinado por la ecuación(3) con la condición que el Hamiltoniano carece del término de interacción entreelectrones, es decir

[−

N∑

i=1

1

2∇2i −

N∑

i=1

M∑

α=1

Zα|ri −Rα|

]Ψ = εΨ. (5)

Si la función polielectrónica la suponemos como el producto de funciones de ondade un electrón, llamado productos de Hartree,

ΨHF(x1, x2, · · · ,xN) = ψa(x1)ψb(x2) · · · ψk(xN), (6)

el Hamiltoniano de la ecuación (5) se puede escribir como una suma de Hamiltonia-nos de un solo electrón ya que sin la interacción electrón-electrón se puede utilizarel método matemático sencillo de separación de variable, así que

H =N∑

i=1

h(i), (7)

con

h(i) = −1

2∇2i −

M∑

α=1

Zα|ri −Rα|

(8)

representarán el Hamiltoniano de un sistema de N electrones no interactuantes, h(i)

representa la energía cinética y potencial del electrón i debido a los núcleos fijos.h(i) tendrá un conjunto {ψk}a de funciones propias tal que,

h(i)ψa(xi) = εaψa(xi), (9)

y por lo tanto la energía total del sistema, ecuación (5), sera ε = εa + εb + · · · + εk.

Este análisis no resuelve el problema de la función polielectrónica pero es una ba-se para ello, la razón es que los productos de Hartree no satisfacen el postulado

71

de antisimetría y el sistema es de electrones no interactuantes. El cumplimientode la condición de antisimetría se resuelve fácilmente, no utilizamos productos deHartree, ecuación (6), mas bien usamos combinaciones de ellos. Para un sistema deN electrones una función de onda polielectrónica se construye a través de la sumade las permutaciones posible de los productos de Hartree para el intercambio dedos electrones, podemos construir entonces una función Ψ que satisfaga el principiode antisimetría como

Ψ({xi}) =1√N !

[N∑

a=1

N∑

b=1

· · ·N∑

k=1

εa b ··· k ψa(x1)ψb(x2) · · · ψk(xN)

], (10)

donde las sumas representan los términos de productos de Hartree, el operadorLevi-Civita indica las permutaciones debido al intercambio de dos electrones y eltermino 1/

√N ! es una constante de normalización. La ecuación (10) puede reescri-

birse de una forma mas compacta llamado Determinante de Slater,

Ψ (x1, x2, . . . , xN) =1√N !

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

ψa (x1) ψb (x1) . . . ψk (x1)

ψa (x2) ψb (x2) . . . ψk (x2)...

... . . . ...ψa (xN) ψb (xN) . . . ψk (xN)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

. (11)

Esta ecuación representa la función de onda polielectrónica antisimétrica que cumplecon el postulado de antisimetría, donde para un sistema de electrones no interac-tuantes los términos del determinante se encuentran con las ecuaciones (8) y (9).Hay que hacer notar que la ecuación (11) determina N electrones ocupando k orbi-tales pero no especifica cual electrón esta en cual orbital.

Hay que hacer notar que las ecuaciones (9) son relativamente sencillas de resol-ver, por ser independientes entres si, pero debemos recordar que esta solución norepresenta la solución del sistema real, ya que las ecuaciones (7), (8) y (11) no in-cluyen la interacción electrónica.

Todavía hay que resolver la forma de incluir la interacción electrónica con la condi-ción que la función de onda Ψ sea antisimétrica. Para lograrlo se utiliza el principiovariacional, y el resultado proporciona los espín-orbitales para el estado fundamentalque conlleva a la energía mínima E0, desde luego se supone que la representación de

72

Ψ es de la forma determinante único de Slater (representación monodeterminantal),ecuación (11). Ahora bien, el principio variacional afirma que la mejor función de on-da Ψ de esta forma monodeterminantal, la cual es un funcional de los espín-orbitalesde los electrones es la que da la energía más baja posible, o la energía en el estadofundamental.

Para conseguir esto utilizamos orbitales de un solo electrón, se incluye la interacciónelectrónica a través de la interacción colectiva, es decir se sustituye el complicadoproblema de la interacción electrón-electrón de la ecuación (3) por el problema de unsolo electrón eficaz i-ésimo que esta sometido a un potencial llamado potencial de

Hartree-Fock, vHF(i), que se encuentra promediando con respecto a las posicionesinstantáneas de los otros electrones.

Entonces supongamos un sistema de N electrones en su estado fundamental, re-presentados por su operador Hamiltoniano H y una función de onda polielectrónicamonodeterminantal Ψ0(x1, x2, · · · ,xN), compuesta por un conjunto N de espín-orbitales {ψ1, ψ2, · · · , ψa, ψb, · · · , ψN} ortonormales. El valor esperado para la ener-gía en su estado fundamental

E0 = 〈Ψ0|H|Ψ0〉 (12)

se encuentra a través del principio de variación. La función Ψ0 es un funcional delos espín-orbitales. Para encontrar la energía en su estado fundamental, E0[{ψa}],variamos los espín-orbitales de tal forma que produzcan la energía mas pequeña, conla condición que los espín-orbitales {ψa} permanezcan ortonormales,

∫dxiψ

∗a(xi)ψb(xi) = δab. (13)

Recordemos que la mecánica cuántica carece de la forma de identificar que electrónesta en que espín-orbital, por lo que en la aproximación de Hartree-Fock se utilizaun método aproximado donde se elige un electrón, en este caso el i-esimo, para estaren un espín-orbital especifico, en este caso vamos a suponer ψa, ahora, se calculalas interacciones con los demás electrones ocupando los restantes orbitales, estoes a través de un potencial promedio Coulombiano y un potencial de Intercambioelectrónico para el electrón elegido, esto lo hacemos para todos los electrones y luego

73

calculamos la energía total, esto produce que la energía sea

E0[{ψa(xi)}] =N∑

a=1

∫dxi ψ

∗a(xi)h(i)ψa(xi)

+N∑

a<b

∫dxi dxj ψ

∗a(xi)ψ

∗b (xj)r

−1ij ψb(xj)ψa(xi)

−N∑

a<b

∫dxi dxj ψ

∗b (xi)ψ

∗a(xj)r

−1ij ψb(xj)ψa(xi). (14)

El primer termino a la derecha de la igualdad representa el valor esperado del opera-dor que incluye la energía cinética e interacción electrón-núcleo h(i), para el electróni-ésimo calculado para todos los estados posibles ψa; el segundo termino es la in-teracción coulombiana promedio que actúa sobre el electrón eficaz i-ésimo, este secalcula promediando la interacción r−1ij del electrón i-ésimo y j-ésimo sobre todaslas coordenadas xj de todos los espín-orbitales que puede encontrarse el electrónj-ésimo (menos el espín-orbital ψa que ocupa el electrón i-ésimo) ponderado por laprobabilidad dxj |ψb(xj)|2 de encontrar el electrón en dxj alrededor de xj, y además,ponderado por la probabilidad dxi |ψa(xi)|2 de encontrar el electrón i-ésimo en dxialrededor de xi para todos los espín-orbitales, lo que resulta un potencial promedioque actúa sobre el electrón i-ésimo en ψa y que surge de los demás electrones enotros espín-orbitales. Con respecto a este termino, se define un operador llamadooperador coulombiano[22], donde el potencial coulombiano que actúa en un electrónen el espín-orbital ψa debido a los N − 1 electrones restantes es

Cb(xi) =

∫dxjψ

∗b (xj)r

−1ij ψb(xj). (15)

Por ultimo el tercer termino a la derecha de la igualdad en la ecuación (14) es el valorpromedio de la energía de repulsión electrónica, esta correlacionada al intercambiode las coordenadas de los electrones i y j, al igual que en el caso Coulombiano sedefine el operador de intercambio[22] de la forma siguiente,

Eb(xi) =

∫dxjψ

∗a(xj)r

−1ij ψb(xj). (16)

74

Ahora, podemos construir un funcional L utilizando la ecuación (14) y la restricción(13), que simplemente es la suma de la energía y la condición de ortogonalidad,

L [{ψa}] =N∑

a=1

∫dxi ψ

∗a(xi)h(i)ψa(xi)

+N∑

a<b

∫dxi dxj ψ

∗a(xi)ψ

∗b (xj)r

−1ij ψa(xi)ψb(xj)

−N∑

a<b

∫dxi dxj ψ

∗a(xj)ψ

∗b (xi)r


−N∑

a<b

εab

(∫dxiψ

∗a(xi)ψb(xi)− δab

), (17)

donde εba son los multiplicadores de Lagrange tal que cumplen con ε∗ab = εba, utilizan-do el principio variacional hacemos que L sea estacionaria (δL = 0) con respectoa variaciones de los espín-orbitales, así la energía sera la mas pequeña, esto es

δL [{ψa}] =N∑

a=1

∫dxi δψ

∗a(xi)h(i)ψa(xi) +

N∑

a=1

∫dxi ψ

∗a(xi)h(i)δψa(xi)

+N∑

a<b

∫dxi dxj δψ

∗a(xi)ψ

∗b (xj)r


+N∑

a<b

∫dxi dxj ψ

∗a(xi)δψ

∗b (xj)r


+N∑

a<b

∫dxi dxj ψ

∗a(xi)ψ

∗b (xj)r

−1ij δψa(xi)ψb(xj)

+N∑

a<b

∫dxi dxj ψ

∗a(xi)ψ

∗b (xj)r

−1ij ψa(xi)δψb(xj)

−N∑

a<b

∫dxi dxj δψ

∗a(xj)ψ

∗b (xi)r


−N∑

a<b

∫dxi dxj ψ

∗a(xj)δψ

∗b (xi)r


75

−N∑

a<b

∫dxi dxj ψ

∗a(xj)ψ

∗b (xi)r

−1ij δψa(xi)ψb(xj)

−N∑

a<b

∫dxi dxj ψ

∗a(xj)ψ

∗b (xi)r

−1ij ψa(xi)δψb(xj)

−N∑

a<b

εab

∫dxiδψ

∗a(xi)ψb(xi)

−N∑

a<b

εab

∫dxiψ

∗a(xi)δψb(xi),

haciendo manipulaciones algebraicas, organizando los términos y utilizando las de-finiciones de los operadores Coulombiano y de Intercambio, podemos reescribir laecuación anterior de la siguiente forma,

δL =N∑

a=1

∫dxi δψ

∗a(xi)

[h(i)ψa(xi) +

N∑

b=1

(Cb(xi)− Eb(xi))ψa(xi)−N∑

b=1

εbaψb(xi)

]

− Complejos Conjugados = 0, (18)

el espín-orbital ψa es arbitrario y δψa 6= 0 por lo que los términos en corchetes seracero, así que

[h(i)ψa(xi) +

N∑

b=1

(Cb(xi)− Eb(xi))ψa(xi)−N∑

b=1

εbaψb(xi)

]= 0,

que puede escribirse de la forma

[h(i) +

N∑

b=1

(Cb(xi)− Eb(xi))

]ψa(xi) =

N∑

b=1

εbaψb(xi).

El termino en los corchetes se llama el operador de Fock, f(xi), y las ecuacionesson las ecuaciones de Hartree-Fock, podemos notar que es una ecuación de valorespropios con la cual se pueden determinar los orbitales ψa y así construir nuestra

76

función polielectrónica Ψ, por lo que las ecuaciones

f(xi)ψa(xi) =N∑

b=1

εbaψb(xi) con a = 1, 2, · · · , N (19)

representan las condiciones tal que para un conjunto de espín-orbitales {ψa} la fun-ción polielectrónica Ψ0 proporcione la energía en el estado fundamental E0 de los Nelectrones, note que esta ecuación contiene información de la interacciónde intercambio electrónico pero carece de la correlación electrónica.

Debido a que no podemos distinguir que electrón esta en cual orbital, cualquierfunción de onda Ψ0 formada a partir de un conjunto de espín-orbitales {ψa} tie-ne cierto grado de flexibilidad ya que podemos arreglar los electrones de diferentesformas en los espín-orbitales y todos esos arreglos proporcionan el mismo valor espe-rado para la energía E0. Hay que hacer notar que la ecuación (19) no tiene la formade una ecuación de valores propios estándar como la ecuación (9), así que es precisotransformarla de tal forma que la ecuación (19) se pueda escribir como una funciónde valores propios estándar.

Para escribir la ecuación (19) en una ecuación de valores propios en su formaestándar, recordemos que los elementos εba = ε∗ab son elementos de una matrizHermitiana, así que existe una matriz unitariaU de transformación tal que la matrizde elementos εba se pueda diagonalizar, de la forma

εba =∑

cd

U∗cbεcdUad → ε′ = U†εU. (20)

Supongamos una transformación unitaria tal que transforma el conjunto de espín-orbitales {ψ′a} en el conjunto de espín-orbitales {ψa}, es decir

ψ′a =∑

b

Uabψb → ψb =∑

a

U−1ba ψ′a. (21)

Así el operador de Fock que depende de los espín-orbitales se puede escribir en

77

función de {ψ′a} de la forma

f ′(i) = h′(i) +∑

b6=a

[∫dxjψ

′∗b (xj)r

−1ij ψ

′b(xj)−

∫dxjψ

′∗b (xj)r

−1ij ψ

′a(xj)

], (22)

el operador h(i) no depende de los espín-orbitales, por lo que es invariante a unatransformación unitaria, es decir h′(i) = h(i), por otro lado el operador Coulombianode (22) se puede escribir en función de {ψa} haciendo una transformación unitariacomo (21), esto es

C ′b(xi) =

∫dxjψ

′∗b (xj)r

−1ij ψ

′b(xj)

=∑

cd

[∑

b

U∗bcUbd

]∫dxjψ

∗c (xj)r

−1ij ψd(xj)

=∑

c

δcd

∫dxjψ

∗c (xj)r

−1ij ψd(xj)

Cc(xi) =

∫dxjψ

∗c (xj)r

−1ij ψc(xj)

donde se comprueba que el operador Coulombiano es invariante ante una trans-formación unitaria. De la misma forma se puede comprobar que el operador deintercambio (16), también es invariante a una transformación unitaria, lo que llevaa la conclusión que el operador de Fock es invariante a una transformación unitaria,es decir f ′(i) = f(i).

Podemos escribir entonces la ecuación (19) de la forma

f ′(xi)ψ′c(xi) =

N∑

b=1

εbcψ′b(xi)

y si utilizamos las ecuaciones (20), (21) y la condición que el operador de Fock esinvariante ante una transformación unitaria, entonces

f ′(xi)Ucaψa(xi) = U∗caεaaUabψ′b(xi)

f(xi)Ucaψa(xi) = U∗caεaaψa(xi)

,

78

multiplicando por la inversa de Uca a ambos lados, tenemos que

Uca[f(xi)ψa(xi)] = U∗caεaaψa(xi)

U−1ca Uca[f(xi)ψa(xi)] = U−1ca U∗caεaaψa(xi),

y así, dado que U−1ca Uca = I tenemos que

f(xi)ψa(xi) = εaψa(xi) con a = 1, 2, · · · , N, (23)

donde se a utilizado que εaa = εa. La ecuación (23) es la forma (19) en su formaestándar de valores propios y los espín-orbitales que son solución de estas ecuacionesse llaman espín-orbitales canónicos. Las ecuaciones (23) tienen la misma forma quelas ecuaciones (9), pero la diferencia sustancial es que se a incluido un potencialelectrónico vHF promedio que incluyen los términos de potencial Coulombiano y deIntercambio, haciendo la aproximación de interacción colectiva. Así que

vHF(i) =N∑

b

[Cb(xi)− Eb(xi)] . (24)

En resumen, la aproximación de Hartree-Fock es un método aproximado para de-terminar la función de onda polielectrónica monodeterminantal y la energía en elestado base de un sistema de N electrones. Cuando se utiliza el método variacional,se establece la ecuación de valores propios (23) que determinan los orbitales electró-nicos de tal forma que la energía asociada, que es la suma de las energías para esosorbitales, sea la mas pequeña, la cual corresponde al estado base para el sistema delos N electrones.

Hay que hacer notar que para obtener la función de onda polielectrónica (11) senecesitan conocer los orbitales electrónicos, a través de la ecuación de valores propios(23), la cual depende en si misma de dichos orbitales, debido a que el operador deFock depende tambien de ellos, así que las ecuaciones (23) son no lineales, por loque para resolverlas se utilizan métodos iterativos. Por otro lado, el operador deFock supone un potencial eficaz con simetría esférica,1 por lo que podemos asumirinicialmente un conjunto de orbitales base para calcular inicialmente el operador

1Se puede observar en las ecuaciones (8) y (14) que el operador de Fock tiene simetría esférica(solo depende de r).

79

de Fock y luego utilizar la ecuación de valores propios (23) para encontrar nuevosorbitales electrónicos, este método puede repetirse con los nuevos orbitales y asíelegir los orbitales adecuados cuando se alcance la auto-consistencia. El método deHartree-Fock es llamado también método de Campo Auto-Consistente (SCF,por sus siglas en ingles), debido a que la auto-consistencia es un requisito para lasolución de las ecuaciones (23). Este método, llamado método de Hartree-Fock oSCF, constituye generalmente el primer paso para aproximaciones mas precisas, porejemplo, la DFT.

80

B. Densidad electronica

.1. Definición de la densidad electrónica de un sis-

tema molecular de N electrones

La densidad electrónica para un estado dado de un sistema de N electrones, esel numero de electrones por unidad de volumen dado por la siguiente ecuación,

ρ(r1) = N

∫|Ψ(x1, x2, · · · , xi, · · · , xN)|2dσ1dx2dx3 · · · , dxi, · · · , dxN . (25)

Ya que la función Ψ(x1, x2, · · · , xi, · · · , xN) esta normalizada, una condición paraρ(r1)

1 es ∫ρ(r1)dr1 = N. (26)

La densidad electrónica es una propiedad física importante para el análisis de laspropiedades moleculares (ver capitulo 2), para su estudio se han generado muchasrepresentaciones y se observa que para sistemas en su estado base, el valor de ladensidad electrónica disminuye conforme se aleja del núcleo atómico de una for-ma exponencial y en instancias muy cerca del núcleo adopta un valor finito, estascondiciones se toman en cuenta al momento de calcular la densidad electrónica co-rrespondiente a un estado de un sistema de electrones.

1La ecuación (25) pudo haberse integrado en todas las variables menos x2 y el resultado es elmismo, ya que los electrones en las posiciones xi son indistinguibles.

81

.2. Operadores de Densidad

Para el análisis y la aplicabilidad de la densidad de un estado para un sistemade N electrones, es conveniente definir el operador muy conocido

ΨN(x1, x2, · · · , xN)Ψ∗N(x1, x2, · · · , xN), (27)

que presenta la distribución de probabilidad asociada a una ecuación de Schrödinger,esta cantidad aparece muchas veces en las operaciones implicadas en los sistemascuánticos. Una generalización de esta cantidad es el operador de proyección

γN(x′1, x′2, · · · , x′N ;x1, x2, · · · , xN) = ΨN(x′1, x

′2, · · · , x′N)Ψ∗N(x1, x2, · · · , xN),

(28)llamado comúnmente operador de densidad de orden N . El operador de la ecuación(28) esta relacionado con la densidad electrónica del sistema que representa. Porejemplo podemos definir el operador de densidad de orden n < N de la siguienteforma,

γn(x′1, x2,′ · · · , x′n; x1, x2, · · · , xn) =

=

(N

n

)∫γN(x′1, x

′2, · · · , x′n; x1, x2, · · · , xn, · · · , xN)dxn+1 · · · dxN , (29)

donde γN en la integral se evalúa en {x′n+1 = xn+1, · · · , x′N = xN} y la combinatoriaadelante del símbolo de la integral representa las combinaciones posibles de tomarn electrones de N posibles ya que los electrones son indistinguibles. Del resultadode la ecuación (29) podemos encontrar la densidad electrónica asociada a los elec-trones tomados en la integral con respecto a los demás que no se integraron, esto esintegrando los espines de la siguiente forma

ρ(r′1, r′2, · · · , r′n; r1, r2, · · · , rn) =

∫γn(x′1, x2,

′ · · · , x′n; x1, x2, · · · , xn)dσ1dσ2 · · · dσn. (30)

De forma análoga podemos encontrar la densidad electrónica de orden 1 de la si-guiente forma: encontramos el operador de densidad de orden 1 y lo integramos en

82

todos los espines correspondientes,

γ1(x′1; x1) =

∫γN(x′1;x1, x2, · · · , xN)dx2dx3 · · · dxN , (31)

y la densidad sera

ρ(r′1; r1) =

∫γ1(x

′1; x1)dσ1, (32)

y el resultado de la ecuación (32) es igual al resultado de la ecuacion (25) cuando seevalúa en r′1 = r1, esto es ρ(r′1; r1)|r′1=r1 = ρ(r1). Otro operador importante y quese utiliza comúnmente es el operador de densidad de segundo orden y su densidadcorrespondiente, este es del tipo

ρ(r1, r2) =

∫γ2(x

′1, x

′2; x1, x2)|{x′1=x′1, x′2=x2}dσ1dσ2. (33)

Otra de las interesantes propiedades de los operadores de densidad es que los opera-dores de orden mayor que 1, se pueden escribir en función del operador de densidadde orden 1, y cuando la función de onda polielectrónica Ψ es representada por la for-ma monodeterminantal (vea la ecuación 11) la forma que adopta es de gran interés.Por ejemplo, supongamos que tenemos una función de onda monodeterminantal dedos electrones, se sabe que

γ2(x′1, x

′2; x1, x2) = Ψ(x′1, x

′2)Ψ

∗(x1, x2)

=1

2

∣∣∣∣∣ψa (x′1) ψb (x′1)

ψa (x′2) ψb (x′2)

∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣ψ∗a (x1) ψ∗b (x1)

ψ∗a (x2) ψ∗b (x2)

∣∣∣∣∣

=1

2[ψa (x′1)ψb (x′2)ψ

∗a (x1)ψ

∗b (x2)− ψa (x′1)ψb (x′2)ψ

∗a (x2)ψ

∗b (x1)]

=1

2[γ1(x

′1; x1)γ1(x

′2; x2)− γ1(x′1; x2)γ1(x

′2; x1)]

=1

2

∣∣∣∣∣γ1(x

′1; x1) γ1(x

′1; x2)

γ1(x′2; x1) γ1(x

′2; x2)

∣∣∣∣∣ (34)

De la misma forma se puede demostrar que el operador de densidad de orden N sepuede representar como un determinante de una matriz con elementos matriciales

83

de orden 1.

γN(x′1, . . . , x′N ; x1, . . . , xN) =

1

N !

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

γ1(x′1; x1) γ1(x

′1; x2) . . . γ1(x

′1; xN)

γ1(x′2; x1) γ1(x

′2; x2) . . . γ1(x

′2; xN)

...... . . . ...

γ1(x′N ; x1) γ1(x

′N ; x2) . . . γ1(x

′N ; xN)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

.

(35)Ahora bien si tomamos la ecuación (34) y la integramos en las variables de espínpodemos encontrar la densidad electrónica de segundo orden,

ρ(r′1, r′2; r1, r2) =

1

2[ρ1(r

′1, r1)ρ1(r

′2, r2)− ρ1(r′1, r2)ρ1(r′2, r1)] (36)

Una aplicabilidad de los operadores de densidad es la representación del valor espe-rado de la energía de un sistema de N electrones. Considere el sistema representadopor el hamiltoniano de la ecuación (2.4). El valor esperado de la energía para estesistema es

〈Ψ|H|Ψ〉 = 〈Ψ|T |Ψ〉+ 〈Ψ|Uen|Ψ〉+ 〈Ψ|Uee|Ψ〉. (37)

Valor esperado de la energía cinética

Ya que el operador de energía cinética es un operador de rango 1, se utiliza eloperador de densidad de rango 1.

〈Ψ|T |Ψ〉 =N∑

i=1

∫ΨN(x′1, · · · , x′N)

(−1

2∇2i

)Ψ∗N(x1, · · · , xN)dx1 · · ·∆xi · · · dxN

=N∑

i=1

[(−1

2∇2i

)∫γ1(x

′i; xi)dσi

]∆ri

=

∫ [−1

2∇2

rρ(r′; r)

]

r′=r

dr. (38)

En la ecuación (35) se ha cambiado el símbolo de∑

por el símbolo de∫al pasar al

limite ∆ri.

84

Valor esperado de la energía electrón-núcleo

Al igual que el operador de energía cinética, el operador de interacción electrón-núcleo es un operador de rango 1, asi que el operador de densidad a utilizar es eloperador de rango 1. Si utilizamos la ecuación (2.18b) tenemos,

〈Ψ|Uen|Ψ〉 =N∑

i=1

∫ΨN(x′1, · · · , x′N) v(ri) Ψ∗N(x1, · · · , xN)dx1 · · ·∆xi · · · dxN

=N∑

i=1

[v(ri)

∫γ1(x

′i; xi)dσi

]∆ri

=

∫v(r)ρ(r′; r)|r′=rdr

=

∫v(r)ρ(r)dr. (39)

Valor esperado de la energía electrón-electrón

En este caso el operador columbiano es un operador de rango 2, así que seutilizará un operador de densidad de rango 2.

〈Ψ|Uee|Ψ〉 =N∑

i<j

∫ΨN(x′1, · · · , x′N)

(1

|ri − rj|

)

Ψ∗N(x1, · · · , xN)dx1 · · ·∆xi · · ·∆xj · · · dxN

=N∑

i<j

[(1

|ri − rj|

)∫γ2(x

′i, x

′j; xi, xj)dσidσj

]∆ri∆rj

=

∫ ∫ [ρ(r′i, r

′j; ri, rj)

|ri − rj|

]

r′i=ri, r′j=rj

dri drj. (40)

Si utilizamos la ecuación (36) y la sustituimos en la ecuación (40) tenemos que

〈Ψ|Uee|Ψ〉 =1

2

∫ ∫ [ρ(r′i, ri)ρ(r′j, rj)− ρ(r′i, rj)ρ(r′j, ri)

|ri − rj|

]

r′i=ri, r′j=rj

dri drj

=1

2

∫ ∫ρ(ri)ρ(rj)

|ri − rj|dri drj −

1

2

∫ ∫ρ(ri, rj)ρ(rj, ri)

|ri − rj|dri drj

85

La ecuación se puede escribir de una forma mas compacta suprimiendo los subindicesi y j, esta notación es la más común en la literatura, asi que la adoptaremos.

〈Ψ|Uee|Ψ〉 =1

2

∫ ∫ρ(r)ρ(r′)

|r− r′| dr dr′ − 1

2

∫ ∫ρ(r, r′)ρ(r′, r)

|r− r′| dr dr′ (41)

En esta ecuación el primer término esta asociado a la interacción columbiana quesupone una auto-repulsión de carga ρ(r) y otra ρ(r′) y el segundo término estaasociado a la correlación del intercambio electrónico.

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