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UNIDAD Nº 3: CAMPOS ESCALARES
IntroducciónEl objetivo de esta unidad es generalizar los métodos del cálculo diferencial de funciones reales de una variable real a funciones reales de varias variables reales.En el mundo real, se presentan funciones que dependen de más de una variable.Por ejemplo:Una función de dos variables que se emplea en Economía es la función de producción llamada de Cobb-Douglas. En 1828, Charles Cobb y Paul Douglas publicaron un estudio que presenta un modelo de crecimiento de la economía estadounidense durante el período 1899-1922.Estos investigadores consideraron una simplificación de la economía en la que la producción está determinada por la cantidad de mano de obra empleada y la cantidad de capital invertido. Aunque existen numerosos factores que afectan el comportamiento de la economía, el modelo resultó ser sorprendentemente preciso. Esta función de dos variables que utilizaron para hacer este modelo de la producción es de la forma siguiente:
donde es la producción total (el valor en pesos de todos los artículos producidos en un año), es función de , la cantidad de mano, es decir, el número total de hombres-hora trabajados en un año; y de , la cantidad de capital invertido, es decir, el valor monetario de toda la maquinaria, equipos y edificios, y .
Ejercicio propuesto
La función de producción de Cobb-Douglas
Un fabricante estima que su función de producción es , donde es el número de unidades de trabajo e el de unidades de capital.
a) Comparar el nivel de producción cuando con el nivel de producción cuando .
b) Hacer una tarea similar considerando y .
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Daremos una definición para función de dos variables que es extensible para funciones de tres o más variables. Por razones de practicidad trabajaremos con funciones de dos o tres variables.
Definición
Una función real de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado de números reales de un conjunto D un único número real . El conjunto D se llama dominio de la función y los valores correspondientes de constituyen el recorrido de .La función se llama función de vector o campo escalar.
Cuando es una función de dos variables, escribiremos .
Ejercicio 1 Halle el dominio de la función dada por
SoluciónPara que , debe ocurrir que
Gráficamente, se trata de todos los puntos del plano que son mayores o iguales que los que se encuentran en la circunferencia centrada en el origen y de radio 4.(Recordar que la ecuación de una circunferencia centrada en el origen y de radio
es la siguiente: )
Ejercicio 2
Determine el dominio de la función y realice un gráfico de
este conjunto.SoluciónLa operación principal que define a la función es la división, y para que esta división tenga sentido, es decir, para que sea un número real, debe ser
Gráficamente, se trata de todos los puntos del plano que no están en la circunferencia centrada en el origen y de radio 2.
Gráfica de la función de dos variables
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A cada par ordenado (x,y) del dominio de se le asigna el punto:
o bien .
El conjunto de todos estos puntos recibe el nombre de gráfica de . Puede considerarse que representa una superficie en el espacio. Es decir, el gráfico de una función de dos variables es una superficie en el espacio de tres dimensiones.
El tipo de superficie más simple es el plano y su ecuación es de la forma son números no simultáneamente nulos.
Ejercicio: Representar el plano de ecuación mediante el procedimiento de hallar las intersecciones con los ejes coordenados.
Estos son puntos de intersección del plano dado con los ejes coordenados.Actividad: representar el plano dado.
Si uno de los tres números reales o es cero, el plano es paralelo al eje correspondiente a la coordenada cuyo coeficiente es cero.Por ejemplo: En este caso, el plano es paralelo al eje z.
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Actividad: representar el plano dado.
DERIVADAS PARCIALESLa derivación parcial es un proceso que consiste en derivar una función de varias variables respecto de una de ellas, considerando a las otras variables como constantes.
Definición
Si , la derivada parcial de con respecto a , denotada por ó es
= si este limite existe.
La expresión se lee: “derivada parcial de con respecto a ”.
ActividadDefina la derivada parcial de con respecto a .
Ejercicios.
1) Sea . Calcule: a) ;
b)
Solución
a)
b)
2)Sea halle: a) ; b) ; c)
Solución
a) ; b) ; c)
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Interpretación geométrica
La ecuación es la ecuación de una superficie, mientras que para
fijo, es la ecuación de una curva Co que resulta de la intersección de la
superficie y el plano . Por lo tanto, nos da la pendiente de la recta
tangente en cualquier punto de la curva Co.
Con relación a la interpretación geométrica, también podemos decir que la
derivada parcial con respecto a x en el punto (x0, y0) es la pendiente de la recta
tangente a la curva C (y a la superficie) en el punto .
La interpretación es la misma para el caso de la derivada parcial con respecto a y.
Actividad
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z
x
yyo
C
z
x
y
xo
C1
Escribir la interpretación geométrica de la
Aplicaciones de las derivadas parciales
Consideremos el caso de un fabricante que elabora x unidades del producto X y Y unidades del producto Y. En este caso, el costo total ‘c’ de estas unidades es función de x e y, y se la conoce como función de costos conjuntas.
Sea dicha función.
De modo que recibe el nombre de costo marginal (parcial) con respecto
a x. Esta es la tasa de variación de c con respecto a x, cuando se mantiene a y fija o constante.
¿Qué representa entonces ?
Por ejemplo, si c se expresa en dólares y = 2, entonces el costo
de fabricar una unidad extra de Y cuando el nivel de producción de X es fijo es aproximadamente de dos dólares.
Ejemplo
Una compañía fabrica dos tipos de esquemas, los modelos Relámpago y Alpino. Supóngase que la función de costos conjuntos de fabricar x pares de modelos Relámpago y y pares del modelo Alpino a la semana es :
c = f(x,y) = 00,6 x2 +65x +75y +1000
en donde c se expresa en dólares. Calcular los costos marginales
y cuando x =100 e y =50 e interpretar los resultados.
R : = 77 (1) = 75 (2)
La ecuación (1) significa que aumentando la producción del modelo Relámpago de 100 a 101 unidades mientras que “y” se mantiene en 50, la producción del modelo Alpino produce un aumento en costos de aproximadamente $77.
Actividad : Escriba ahora la interpretación de la ecuación (2).
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DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Sea , tenemos:
Derivadas segundas
La expresión se lee: Derivada parcial segunda de con respecto a x dos
veces.
La expresión se lee: Derivada parcial segunda de con respecto a y dos
veces.
Derivadas cruzadas
Esto se puede leer: Derivada parcial segunda de con respecto a , con respecto a .
Actividad: realice un desarrollo similar al anterior para obtener
TEOREMA DE SCHWARTZ DE LAS DERIVADAS CRUZADAS
Si tiene derivadas segundas cruzadas en y éstas son
continuas en un abierto que contiene a , entonces:
Ejercicio
Sea .
Halle las siguientes derivadas:
a) b) c) d)
Solución
a) c)
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b) d)
Ejercicio propuesto
Sea
Halle las siguientes derivadas parciales:
Función de producción y productividad marginal
La elaboración de un artículo depende de muchos factores de producción. Entre estos se encuentra mano de obra, capital, terreno, maquinarias, etc.
Vamos a suponer, a los fines de fijar ideas, que la producción depende sólo de la mano de obra y del capital. Si la función da la producción del fabricante para unidades de mano de obra y unidades de capital, entonces a esta función se le denomina función de producción.
Se define la productividad marginal de con respecto a como
Esta es la tasa de variación de con respecto a cuando se mantienes o se conserva fija. De un modo similar, la productividad marginal con respecto a
es .
Esta es la tasa de variación de P con respecto a k cuando q se mantiene fija.
Ejemplo.
El fabricante de un juguete popular ha establecido que su función de producción es , en donde es el número de horas de mano de obra a la semana y es el capital ( expresado en centenares de dólares a la semana) que se requieren para la producción semanal de P gruesas del paquete (una gruesa son 144 unidades). Hallar las funciones de productividad marginal y evaluarlas cuando q= 400 y k= 16. Interpretar los resultados.
R : = (1) = (2)
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El resultado (1) significa que si q = 400 y k =16 aumentar q de 400 a 401 y
mantener k en 16 origina un aumento en la producción de alrededor de gruesa.
Tarea : Dar la interpretación del resultado (2).
Derivadas direccionales
Introducción
Recordemos que da la pendiente de la recta tangente a la
superficie en el punto que es una recta paralela al plano .
De un modo similar, da la pendiente de la recta tangente a la superficie
en , que es una recta paralela al plano
Ahora vamos a evaluar derivadas en otras direcciones, llamadas derivadas direccionales.
Para medir la pendiente de la recta tangente en una dirección arbitraria del plano, usamos un vector unitario tiene el origen en (x0,y0).
Vector unitario significa que su módulo es igual a 1. Esto es,
Para hallar la pendiente en la dirección dada por se considera la intersección de la superficie con el plano vertical que pasa por P0 y contiene al vector , como se indica en el dibujo. Este plano vertical corta a la superficie en una curva C, y definimos la pendiente de la superficie en P0 en la dirección de como la pendiente de la tangente a la curva C en ese punto.
La derivada direccional se define en términos de límite de un cociente incremental.
En lugar de la definición, emplearemos el siguiente resultado, que aceptaremos sin demostración y que nos permitirá calcular la derivada direccional de un modo más eficaz.
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Se interpreta geométricamente la derivada direccional de en la dirección del vector , como la pendiente de la superficie (que representa ) en el punto P 0.
Ejercicio
Halle la derivada direccional de =3-2x2+y3 en el punto P=(1,2) en la
dirección del vector unitario
Solución
Verifiquemos primero que es un vector unitario. Como y
se verifica que:
Ahora, obtengamos las derivadas parciales, mediante el álgebra de derivadas:
Observe que la derivada direccional es un número, que se puede interpretar como la pendiente de una cierta recta tangente a la superficie
en P0=(x0,y0) según la dirección dada por .
Extremos relativos para funciones de dos variables.
Sea una función definida en .
Entonces es un máximo relativo si para todo de un
disco abierto que contiene a .
es un mínimo relativo si para todo de un disco
abierto que contiene a .A los máximos y mínimos relativos se les llama extremos relativos.
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Teorema: Derivadas direccionales usando derivadas parciales
Sea un función derivable en P(x0,y0). Entonces tiene derivada direccional en la dirección de cualquier vector unitario que está dada por la expresión
Se tienen extremos absolutos en el caso en que la relación
(máximo) y (mínimo) tiene lugar para todo del dominio de .
Puntos críticosUn punto crítico de una función definida en un conjunto abierto S es un punto
de S en el que se verifica una de las siguientes posibilidades:
a)
b) Al menos una de las dos derivadas o no existe.
Criterio de las derivadas segundas para determinar extremos relativos de una función de dos variables
Supongamos que tiene un punto crítico en y que tiene
derivadas parciales continuas en un disco abierto con centro en .
Sea
Entonces se verifica: Si y , en el punto se alcanza un máximo
relativo. Si y , en el punto se alcanza un mínimo
relativo. Si , el punto es un punto de ensilladura. Si , el criterio no permite afirmar nada.
Significado de las notaciones
significa la derivada parcial segunda de con respecto a x .
significa la derivada parcial segunda de con respecto a y.
significa la derivada parcial segunda de con respecto a x
primero, luego con respecto a y.
Observe que D es igual al determinante:
.
Esto permite recordar la forma de obtener D
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Problema de optimización. Beneficio máximo
El beneficio obtenido al producir unidades de un producto A e unidades del producto B viene dado aproximadamente por el modelo
Determinar la cantidad de unidades que producen el máximo beneficio.
Solución
Punto crítico Calculamos las derivadas segundas para aplicar el criterio antes formulado:Y como , concluimos que un nivel de producción de unidades e
unidades produce el máximo beneficio.Este beneficio máximo es:
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Ejercicio 1
Halle todos los puntos críticos de f(x,y)=1-x2-y2 y use el criterio de las derivadas segundas para clasificar cada uno de ellos.
Solución: Se tiene que fx(x,y)=-2x
fy(x,y)=-2y
Para obtener los puntos críticos se hace fx(x,y)=0 y fy(x,y)=0.
Se obtiene así el único punto crítico (0,0)
Para calcular D, obtenemos las derivadas segundas:
fxx(x,y)=-2 fxy(x,y)=0 fyy(x,y)=-2
Luego, como D=4>0 para todo (x,y), y como fxx(0,0)=-2<0, entonces por el criterio de las derivadas parciales segunda afirmamos que la función alcanza un máximo relativo en (0,0).
Ejercicio 2
Examinar f(x,y) = x3 + y3 - xy para ver si tiene máximos y mínimos aplicando la prueba de la derivada segunda.
Solución
En primer lugar se hallan los puntos críticos :
fx (x,y) = 3x2 - y fy (x,y) = 3y2 - x
Luego se hace
fx (x,y) = fy (x,y) = 0 , de donde
1º) 3x2 - y =0 2º) 3y2 - x = 0
3x2 = y2 reemplazamos en la 2º ecuación.
3 ( 3x2)2 - x = 0
3 . 9 x4 - x = 0
27 x4 - x = 0
x ( 27 x3 - 1) = 0 Þ x =0 o bien 27 x3 - 1 = 0
x=
Si x = 0 Þ y = 0 Þ ( 0,0) Puntos
Si x = 1/3 Þ y = 3 . 1/9 = 1/3 Þ ( 1/3, 1/3 ) Críticos
Ahora fxx(x,y) = 6x , fyy (x,y) = 6y , fxy = -1
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En esta última expresión, fxy, se ha derivado fx (x,y) = 3x - y con respecto a y , lo que da -1. De modo que:
D(x,y) = (6x). (6y) - (-1)2 = 36xy - 1
Evaluamos D en los puntos críticos:
D(0,0) = -1 < 0, no existen extremos relativos en (0,0)
D( 1/3,1/3) = 36. ( 1/3).(1/3) - 1 = 3 > 0 y
fxx ( 1/3,1/3) = 6. (1/3) = 2 > 0, entonces existe un mínimo relativo en (1/3,1/3).
El valor de la función en el punto es: f(1/3,1/3) = - 1/ 27
Ejercicio propuesto
Sea P una función de producción dada por:
P(x,y) = 0,54x2 - 0,02 x3 + 1.89 y2 - 0,09 y3
en donde x e y son las cantidades de mano de obra y capital respectivamente, y P es la cantidad de productos que se fabrican. Calcular los valores de x e y que maximizan a P.
Respuesta : x = 18
y = 14
Multiplicadores de Lagrange
En la determinación de extremos podemos distinguir dos tipos de problemas: problemas sin ligadura o restricción, donde se plantea la determinación de extremos de una función sin ninguna condición adicional, y problemas con ligadura o con restricción, que consiste en determinar los valores extremos de una función, por ejemplo, llamada función objetivo, que se encuentran sujetos a una restricción o condición dada por una función de la forma . Esta situación podría presentarse en el caso de un fabricante que desea minimizar el costo total de los factores de insumo y, al mismo tiempo, lograr un determinado nivel de producción. Este tipo de problemas se pueden resolver de dos maneras: si se tiene una función de dos variables, se puede reducir la situación a una función de una sola variables y aplicar aquí los criterios de determinación de extremos relativos vistos en la unidad uno de esta asignatura; y también puede resolverse utilizando el método de multiplicadores de Lagrange, que veremos enseguida. En el primer caso, con frecuencia, no se puede resolver la ecuación en términos de una sola variable, lo que lleva a utilizar el segundo procedimiento.Presentamos a continuación un ejemplo de la resolución de un problema con restricción, sin utilizar multiplicadores de Lagrange.
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ProblemaDeterminar los valores de e , que hacen máximo el producto , donde
.Solución Resolvemos la segunda ecuación en : Ahora reemplazamos en el producto y podemos expresarlo como una función de una sola variable: ; y se aplica ahora alguno de los criterios estudiados de extremos de una sola variable.
El método de multiplicadores de Lagrange es un método que se aplica para maximizar o minimizar una función general sujeta a una restricción o condición de la forma Por ejemplo: determinar las medidas de una caja abierta sin tapa, para que el área sea máxima, sabiendo que la caja tiene un volumen determinado. En este problema, la función viene a ser el área de la caja y el volumen dado, la restricción impuesta a las medidas de la caja.Actividad: Escribir las ecuaciones de las funciones y correspondiente a la caja mencionada.
Teorema de Lagrange
Supongamos que y son dos funciones de dos variables cuyas primeras derivadas parciales son continuas y que tiene un extremo en sobre la
curva lisa de restricción . Si , entonces existe un número
tal que.
Procedimiento general del método de los multiplicadores de Lagrange
A fin de aplicar el método de multiplicadores de Lagrange para hallar los extremos relativos de una función de dos variables sujeta a la restricción , se procede de la siguiente manera:Paso 1. Se resuelve el sistema de ecuaciones
Paso 2. Se calcula el valor de en cada uno de los puntos críticos hallados en el paso 1. Los valores mayor y menor son el máximo y el mínimo, respectivamente, de sujeta a la restricción dada.
Ejercicios
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1) Encontrar el mínimo de la función sujeta a la restricción .
2) sujeta a la restricción
3) sujeta a la restricción
4) Rectángulo de área máxima que se puede inscribir en la elipse
Solución1) La superficie correspondiente a la función es un paraboloide
circular y la de la restricción es un plano.Aplicamos el procedimiento arriba señalado:Paso 1:
De la primera y segunda ecuación se tiene: Reemplazando en la tercera ecuación: Punto crítico Paso 2:
mínimo relativo de sobre la función .
2) La superficie de es una especie de cuádrica , donde son nulos los
coeficientes Paso 1:
Reemplazamos de la segunda ecuación en la primera, tenemos:
Reemplazamos en la función de restricción:
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16
Reemplazamos en la función de restricción:
Puntos críticos: Paso 2:
3) Paso 1:
De la segunda ecuación obtenemos , reemplazamos en la primera ecuación:
Reemplazamos en la tercera ecuación:
Si
Tenemos los siguientes puntos críticos:
Si
Ahora, tenemos los siguientes puntos críticos:
Paso 2:
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17
4) El rectángulo podemos considerarlo como la función Paso 1:
En la primera ecuación simplificamos y nos queda:
, en la segunda ecuación resolvemos para y reemplazamos en la
primera, recién modificada:
Si
Reemplazando en la tercera ecuación, nos queda:
Si
Punto crítico:
Si
Punto crítico:
Si
Trabajando de un modo similar a lo realizado anteriormente, se tiene:
Si
Punto crítico:
Si
Punto crítico:
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18
Paso 2:
Observación
El método de multiplicadores de Lagrange no indica en forma directa si el valor que alcanza la función en un punto crítico es un máximo o mínimo o ninguno de ellos. Esto se puede deducir de la naturaleza misma del problema o de consideraciones geométricas que se puedan hacer. Con frecuencia, se parte de la existencia de un máximo o mínimo relativo y los puntos críticos obtenidos están en relación con ellos.
Ejemplo Hallar los puntos críticos para sujetos a la restricción
SoluciónEscribimos la restricción en la forma Paso 1:Obtenemos las derivadas parciales y escribimos el sistema siguiente:
teniendo en cuenta las derivadas obtenidas:
De la primera y segunda ecuación obtenemos:
Reemplazamos en la tercera ecuación:
Si , entonces y
De un modo similar, si , y
Luego, los puntos críticos de sujetos a la restricción dada son:
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y
Observe que los valores de , no aparecen, son medios para obtener los puntos críticos.
Problemas propuestos aplicados a la Administración y Economía
Problema 1Supóngase que una empresa ha recibido un pedido de 200 unidades de su producto y desea distribuir su manufactura entre dos de sus fábricas, la planta 1 y la planta 2. Se utilizan y para denotar las producciones de 1 y 2, respectivamente, y se supone que la función de costos totales está dada por
. ¿Cómo se debe distribuir la producción para minimizar los costos, sujetos a la restricción ?.
Resultados: , , ,
Se deben fabricar 50 unidades en la planta 1 y 150 en la 2, para minimizar los costos.
Observación: en la primera ecuación del sistema se obtiene , el
costo marginal en la planta 1. De la segunda ecuación del sistema, ,
el costo marginal para la planta 2. Así, y esto permite concluir que para
minimizar los costos es necesario que los costos marginales de cada planta sean iguales entre sí.
Problema 2La función de producción de Cobb-Douglas que dimos en la página 2 para un
cierto fabricante viene dada por: , siendo las unidades de
trabajo ( a $150 cada una) e las unidades de capital ( a $ 250 cada una). Hallar el máximo nivel de producción admisible para este fabricante, si tiene para el costo conjunto de trabajo y capital un tope de $50.000.R: el nivel máximo de producción es unidades.Problema 3Repita el ejemplo anterior si la función de costos es y se deben fabricar 200 unidades en total.Problema 4La función de producción para una empresa es El costo para la compañía es de 4 y 8, por unidad de y , respectivamente. Si la empresa desea que el costo total de los insumos sea 88, calcule la máxima producción posible, sujeta a esta restricción presupuestal.
Problema 5
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Repita el problema anterior, suponiendo que y la restricción presupuestal es .
Integrales múltiples
Las integrales múltiples son una extensión de las integrales definidas de funciones escalares a campos escalares de dos o más variables.
Una integral doble se puede escribir en la forma
donde está definida en una región rectangular R del plano:
y tiene el sentido de diferencial de área.
Integrales iteradas
Como no se puede evaluar la integral doble mediante su definición, porque esta no es operativa, se recurre a un procedimiento llamado integración sucesiva, que indicamos a continuación:
Sea una función definida en una región R.
Se fija y se integra con respecto a :
Esta es la integral parcial de con respecto a x.
Luego se integra con respecto a y:
De un modo similar, si consideramos a x fijo:
integral parcial de con respecto a y.
Luego se evalúa:
Se calcula entonces una integral doble por cálculo sucesivo de dos integrales: primero se integra con respecto a una variable y luego se integra el resultado con respecto a la otra variable. Cuando se realiza esta integración parcial sucesiva, se opera de dentro hacia fuera como se puede ver en las expresiones siguientes:
Las integrales de este tipo se llaman integrales iteradas. El teorema siguiente nos dice como evaluar integrales dobles.
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Teorema de Fubini
Sea una función continua sobre un rectángulo
Entonces se puede calcular la integral doble por integración iterada en cualquier orden, es decir:
Es decir, para calcular una integral doble se puede calcular una cualquiera de las integrales iteradas:
Ejercicio 1
Calcule
Solución
Podemos escribir esta integral en la forma
Resolvemos
Ahora se integra este resultado con respecto a y entre 0 y 2.
De donde
Ejercicio 2
Calcule
Donde R es el rectángulo del plano xy cuyos vértices son (0,0), (3,0), (3,2) y (0,2).SoluciónEl recinto de integración es el rectángulo Por el Teorema de Fubini, se puede calcular la integral doble como una integral iterada:
se integra respecto a y
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Integrales dobles sobre regiones no rectangulares
Una región se dice acotada si está contenida en un rectángulo, como muestra la figura:
Para resolver la integral doble sobre la región no rectangular D, podemos pensar en considerar regiones de tipo I (bandas verticales) y en regiones de tipo II (bandas horizontales), como indicamos a continuación:
Región de tipo I (banda vertical)
Una región de tipo I contiene puntos (x,y) tales que, para cada x fijo entre las dos constantes a y b, la coordenada varía de a , donde y son funciones continuas.
Región de tipo II (banda horizontal)
Una región de tipo II contiene puntos (x,y) tales que, para cada fijo entre las dos constantes y , la coordenada varía de a , donde y son funciones continuas.
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Región D
y
y =g2(x) A
y =g1(x)
a b x
El teorema siguiente nos permite calcular una integral doble sobre una región de tipo I o de tipo II.
EjercicioSea T la región triangular limitada por las rectas y=0, y=2x, x=1. Calcule la
integral doble por integración iterada.
a) Integrando primero con respecto a y.b) Integrando primero con respecto a x.
Solucióna) Fijo x entre 0 y 1, e y varía entre y=0 y y=2x
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y
d
B x=h1(x) x=h2(x) c
x
Teorema de Fubini para regiones no rectangulares
Si D es una región de tipo I, entonces
Siempre y cuando existan las dos integrales. De un modo similar, para una
región de tipo II,
dxy
xydxdyyxdAyx
xx
T
2
0
21
0
2
0 2)()(
3
4
3
422
1
0
31
0
22 xdxxx
b) Si
Fijo y entre 0 y 2, x varía entre
Propiedades de la integral doble
* ; k .
*
* si en .
* si en .
Además hay una propiedad aditiva del dominio.
, si R = R1 R2.
Determinación de los límites de Integración.Ejercicio
Dibuje la región de integración de: y exprese la integral como una
integral doble equivalente con el orden de integración invertido.
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25
SoluciónLa región de integración viene dada por la desigualdad:
x2 y 2x; 0 x 2.
Invertimos el orden de integración y obtenemos:
Ejercicios 1) Dibújese la región sobre la cual se realiza la integración, y escríbase la integral equivalente con el orden de integración invertido. Calcúlese ambas integrales.
2) En los problemas siguientes escriba la integral iterada equivalente. No integre, haga el gráfico.
a)
b)
c)
Solución
1)
1) a)
26
26
y y=2x
y =x2
0 2 x
b)
c)
Ejercicios propuestosEvaluar las siguientes integrales dobles
1)
2)
3)
Un poco más sobre áreas y volúmenes
Si sobre una región D del plano xy, entonces es el volumen del sólido bajo la superficie sobre D.
En el caso particular en que , la integral doble da el área de D.
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