Comparaciones Múltiples Entre Medias

7/25/2019 Comparaciones Mltiples Entre Medias

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COMPARACIONES MLTIPLES ENTRE MEDIAS ANLISIS DE VARIANZA

Daniel Guzmn Rojas1

COMPARACIONES MLTIPLES ENTRE MEDIAS

COMPARACIONES MLTIPLES

Combinacin lineal de medias con coeficientes que suman cero.

Para Kmedias:

1 1 2 2 k kL c c c = + + +

1

K

i i

i

L c=

=

EJEMPLO:

Si desean compararse dos medias 1 y 2 , en caso de que sean iguales:

1 2=

Esto puede escribirse tambin del modo:

1 2 0L = =

Cuyos coeficientes son 1 y -1, y por tanto suman 0.EJEMPLO:

Tres medias:

1) Una posibilidad es comparar 1 y 2 , tomadas juntas, con 3 . Es decir:

1 23

2

+=

Lo cual puede escribirse:

1 1 2 32 0L = + =

Cuyos coeficientes son 1, 1 y -2, y por tanto suman 0.

2) Otra posibilidad es comparar

1 3

2

2

+=


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Daniel Guzmn Rojas2

Es decir:

2 1 2 32 0L = + =

Cuyos coeficientes son -1, 2 y -1, y por tanto suman 0.

3) Otra comparacin es:

1 3=

Luego:

3 1 3 0L = =

Cuyos coeficientes son 1, 0 y -1, y por tanto suman 0.

ASIGNACIN DE COEFICIENTES A LAS MEDIAS:

1) Dividir las medias en los dos grupos que van compararse entre s.

2) Asignar a la media de cada grupo un coeficiente igual al nmero de medias del otrogrupo.

3) Cambiar el signo de los coeficientes de uno de los grupos.

EJEMPLO

Cinco medias: 1 , 2 , 3 , 4 y 5 . Desea compararse 1 y 2 con 3 , 4 y

5 .

1) Grupo 1: 1 y 2 . Grupo 2: 3 , 4 y 5 .

2) Grupo 1: 13 , 23 . Grupo 2: 32 , 42 , 52 .

3) Grupo 1: 13 , 23 . Grupo 2: 32 ,42 ,

52 .Es decir:

1 2 3 4 53 3 2 2 2 0L = + =

COMPARACIONES ORTOGONALES:

Aquellas que no contienen informacin redundante. La informacin que proporciona unacomparacin no se solapa con la proporcionada por otra comparacin.


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Daniel Guzmn Rojas3

Con Kmedias es posible realizar 1K comparaciones ortogonales.

REGLA PRCTICA:Dos comparaciones son ortogonales si el producto de sus coeficien-tes es cero.

1 11 1 12 2 1k kL c c c = + + +

2 21 1 22 2 2k kL c c c = + + +

Son ortogonales si:

1 2

1

0K

i i

i

c c=

=

EJEMPLO:

COMPARACIN COEFICIENTES

1 1 2 32L = + 1 1 -2

2 1 2L = 1 -1 0

3 1 3L = 1 0 -1

1L Y 2L son ortogonales:

( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 1 1 1 2 0 0+ + =

1L Y 3L no son ortogonales:

( )( ) ( )( ) ( )( )1 1 1 0 2 1 3+ + =

2L Y 3L no son ortogonales:

( ) ( ) ( )( ) ( )( )1 1 1 0 0 1 1+ + =


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Daniel Guzmn Rojas4

COMPARACIONES MLTIPLES PLANEADAS O A PRIORI

Se realizan de forma independiente al ANVA. No es necesario realizar tambin este.

PRUEBA F PLANEADAS O A PRIORI PARA COMPARACIONES MULTIPLES:

Se aplican cuando desean realizarse dos o ms comparaciones ortogonales: 1L , 2L , ...,

1CL .

Para una comparacin jL , con tres medias:

1) Ho: 1 1 2 2 3 3 0j j j jL c c c = + =

Ha: 1 1 2 2 3 3 0j j j jL c c c = +

2) 0.01, 0.05, 0.10, .etc=

3) PUNTO CRTICO:

1 1gl C=

2gl n K =

Donde:

C= Nmero de comparaciones a analizar.

K= Nmero de medias a analizar.

n= Tamao total de la muestra.

1 2; ;gl glF

Se acepta Ha

Se acepta H0


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Daniel Guzmn Rojas5

4) ESTADSTICO ESTIMADO:

( )j

cj

CM LF

CME=

Donde:

1 1 2 2

j j j jk kL c X c X c X= + + +

( )2

2

1

j

j K

ij

i ij

LSC L

c

n=

=

Para 1C comparaciones ( )1

1

J

j

j

SC L SCC

=

=

( ) ( )

1

j

j

SC LCM L

J

=

2

2

1 1 1

n K Kk

ik

i k k k

TCME X

n= = == (Cuadrado Medio del Error, tomado del cuadro

ANVA)

5) CONCLUSIONES:

Si1 2; ;cj gl gl

F F

, entonces se acepta Ho, a un nivel de significancia del

% .

Si1 2; ;cj gl gl

F F

> , entonces se acepta Ha, a un nivel de significancia del

% .

EJEMPLO:

Un investigador desea contrastar si el mtodo presencial difiere de la enseanza auto-didacta y por internet. Tambin si el mtodo por internet difiere del autodidacta. Utili-

ce un nivel de significancia del 5% para ambas pruebas de hiptesis.


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Daniel Guzmn Rojas6

1 2 36.48, 4.43, 3.76X X X= = =

2.308, 18CME n= =

SOLUCIN:

2 31

2

+=

2 3=

1 1 2 3

2 0L = =

2 2 3 0L = =

Son ortogonales:

( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 0 1 1 1 1 0+ + =

1) Ho1: 1 1 2 32 0L = =

Ha1: 1 1 2 32 0L =

Ho2: 2 2 3 0L = =

Ha2: 2 2 3 0L =

2) 0.05=


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Daniel Guzmn Rojas7

3) PUNTO CRTICO:

1 2 1 1gl = =

2 18 3 15gl = =


( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 6.48 1 4.43 1 3.76 4.77L = + + =

( ) ( )2 22 23

1

1 1

1 12

16 6 6

i

i i

c

n=

= + + =

( ) ( )

2

1

4.7722.75

1SC L = =

( )122.75

22.751

CM L = =

1

22.759.86

2.308cF = =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 0 6.48 1 4.43 1 3.76 0.67L = + + =

( ) ( )2 22 23

2

1 2

1 100.33

6 6 6

i

i i

c

n=

= + + =

1;15;0.05 4.54F =

0.950.95

0.05

Se

acepta

Ha

Se

aceptaH0


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Daniel Guzmn Rojas8

( ) ( )

2

2

0.671.35

0.33SC L = =

( )21.35

1.351

CM L = =

2

1.350.59

2.308c

F = =

( )1

1

22.75 1.35 24.10C

j

j

SCC SC L

=

= = + =

5) CONCLUSIONES:

Como 1 1;15;0.05cF F> ( )9.86 4.54> , entonces se acepta Ha, es decir,

( )1 2 3Promedio , , a un nivel de significancia del 5% .

Como 2 1;15;0.05cF F< ( )0.59 4.54< , entonces se acepta Ho, es decir,

2 3= , a un nivel de significancia del 5% .

PRUEBA t-Student PLANEADAS O A PRIORI PARA COMPARACIONES MULTIPLES:

Se aplican cuando desean realizarse dos o ms comparaciones ortogonales: 1L , 2L , ...,

1CL .

Para una comparacin jL , con tres medias:

1) Ho: 1 1 2 2 3 3 0

j j j j

L c c c = + =

Ha: 1 1 2 2 3 3 0j j j jL c c c = +

2) 0.01, 0.05, 0.10, .etc=

3) PUNTO CRTICO:

gl n K =

Donde:


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Daniel Guzmn Rojas9




j

j

cj

L

Lt

=

Donde:

1 1 2 2

j j j jk kL c X c X c X= + + +

( )2 2

2

1 1

j

K Kij ij

L

i iij ij

c cCME

n n

= =

= =

, Cuando las varianzas son igua-

les.

( ) 22 1

1

1

K

j j

i

K

j

i

n S

n K

=

=

=

2

2

1 1 1

n K Kk

ik

i k k k

TCME X


ANVA)

1

Regin de Aceptacin de 0HRegin de Aceptacin de 0H

Regin de

Rechazo de 0H

Regin de

Rechazo de 0H

Regin de

Rechazo de 0H

Regin de

Rechazo de 0H

2

; 2glt

; 2glt

2


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Daniel Guzmn Rojas10

2

2

1

j

Kij

L j

i ij

cS

n

=

=

, Cuando las varianzas no son iguales.

5) CONCLUSIONES:

Si ; 2 ; 2gl cj glt t t , entonces se acepta Ho, a un nivel de signifi-

cancia del % .

Si ; 2 ; 2cj gl cj glt t t t < > , entonces se acepta Ha, a un nivel de

significancia del % .

EJEMPLO:Un investigador desea contrastar si el mtodo presencial difiere de la enseanza auto-didacta y por internet. Tambin si el mtodo por internet difiere del autodidacta. Utili-ce un nivel de significancia del 5% para ambas pruebas de hiptesis. (suposicin: las va-rianzas son iguales)

1 2 36.48, 4.43, 3.76X X X= = =

2.308, 18CME n= =

SOLUCIN:

2 31

2

+=

2 3=

1 1 2 32 0L = =

2 2 3 0L = =

Son ortogonales:

( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 0 1 1 1 1 0+ + =


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1) Ho1: 1 1 2 32 0L = =

Ha1: 1 1 2 32 0L =

Ho2: 2 2 3 0L = =

Ha2: 2 2 3 0L =

2) 0.05=

3) PUNTO CRTICO:

18 3 15gl= =


( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 6.48 1 4.43 1 3.76 4.77L = + + =

( ) ( )

2 22 23

1

1 1

1 12 16 6 6

i

i i

cn=

= + + =

( ) ( )1

1 2.308 1.519L

= =

1

4.773.14

1.519ct = =

0.95


Regin de

Rechazo de 0H

Regin de

Rechazo de 0H

Regin de

Rechazo de 0H

Regin de

Rechazo de 0H

0.025

2.13

0.025

2.13


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( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 0 6.48 1 4.43 1 3.76 0.67L = + + =

( ) ( )2 22 23

2

1 2

1 100.33

6 6 6

i

i i

c

n=

= + + =

( ) ( )2

0.33 2.308 0.873L

= =

2

0.670.77

0.873ct = =

5) CONCLUSIONES:

Como 1 15;0.025ct t> ( )3.14 2.13> , entonces se acepta Ha, es decir,

( )1 2 3Promedio , , a un nivel de significancia del 5% .

Como 2 15;0.025ct t< ( )0.77 2.13< , entonces se acepta Ho, es decir,

2 3= , a un nivel de significancia del 5% .

PRUEBA F PLANEADAS O A PRIORI PARA COMPARACIONES DE TENDENCIA:

Las variable independiente (VI) debe ser cuantitativa para poder aplicar este contras-te. Con Kmedias pueden contrastarse 1K tipos de tendencia. Las tendenciasms sencillas son:

RELACIN LINEAL RELACIN CUADRTICA RELACIN CBICA

RELACIN DE 5 GRADORELACIN DE 4 GRADO RELACIN DE 6 GRADO


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Se realizan igual que las F planeadas, tomando los coeficientes de la tabla G para el tipode tendencia a analizar.

EJEMPLO:

Se est estudiando el efecto de la dosis de un medicamento sobre el rendimiento de lossujetos en una prueba de atencin. Se han formado cuatro grupos de sujetos a los que sesuministra diferente dosis, y se ha medido su rendimiento. Estudiar el tipo de relacincon 0.01= , sabiendo que la SCE es 32.26.

DOSISRENDIMIENTO

PROMEDION

5 mg 3.58 5

10 mg 6.74 5

15 mg 6.90 5

20 mg 2.90 5

SOLUCIN:

Cmo4

K=

se estudiar la tendencia lineal, cuadrtica y cbica.PRUEBA F:

1) Ho1: Lineal 1 2 3 33 3 0L = + + =

Ha1: Lineal 1 2 3 33 3 0L = + +

Ho2: Cuadrtico 2 2 3 4 0L = + =

Ha2: Cuadrtico 2 2 3 4 0L = +

Ho2: Cbico 2 2 3 43 3 0L = + + =

Ha2: Cbico 2 2 3 43 3 0L = + +


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2) 0.01=

3) PUNTO CRTICO:

1 1gl =

2 20 4 16gl = =


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Lineal 3 3.58 1 6.74 1 6.90 3 2.90 1.88L = + + + =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2241

1 1

3 1 1 34.0

5 5 5 5

i

i i

c

n=

= + + + =

( ) ( )

2

1

1.880.88

4.0SC L

= =

( )10.88

0.881CM L = =

( )Lineal

0.880.44

2.02c

F = =

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Cuadrtica 1 3.58 1 6.74 1 6.90 1 2.90 7.16L = + + + =

1;16;0.01 8.53F =

0.950.95

0.05

Se

acepta

Ha

Seacepta

H0


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( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 224

2

1 2

1 1 1 10.8

5 5 5 5

i

i i

c

n=

= + + + =

( ) ( )2

27.16 64.080.8

SC L = =

( )264.08

64.081

CM L = =

( )Cuadrtica

64.0831.78

2.02c

F = =

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )Cbica 1 3.58 3 6.74 3 6.90 1 2.90 1.16L = + + + =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 224

3

1 3

1 3 3 14.0

5 5 5 5

i

i i

c

n=

= + + + =

( ) ( )

2

3

1.160.34

4.0

SC L

= =

( )30.34

0.341

CM L = =

( )Cbica

0.340.17

2.02c

F = =

5) CONCLUSIONES:

Como ( ) 1;16;0.01LinealcF F< ( )0.44 8.53< , entonces se acepta Ho, esdecir, la relacin no es lineal, a un nivel de significancia del 1% .

Como ( ) 1;16;0.01CuadrticocF F> ( )31.78 8.53> , entonces se acepta Ha,es decir, la relacin es Cuadrtica, a un nivel de significancia del 1% .


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Como ( ) 1;16;0.01CbicocF F< ( )0.17 8.53< , entonces se acepta Ho, esdecir, la relacin no es Cbica, a un nivel de significancia del 1% .

PRUEBA t - Student:

1) Ho1: Lineal 1 2 3 33 3 0L = + + =

Ha1: Lineal 1 2 3 33 3 0L = + +

Ho2: Cuadrtico 2 2 3 4 0L = + =

Ha2: Cuadrtico 2 2 3 4 0L = +

Ho2: Cbico 2 2 3 43 3 0L = + + =

Ha2: Cbico 2 2 3 43 3 0L = + +

2) 0.01=

3) PUNTO CRTICO:

20 4 16gl= =


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Lineal 3 3.58 1 6.74 1 6.90 3 2.90 1.88L = + + + =

0.99


Regin de

Rechazo de 0H

Regin de

Rechazo de 0H

Regin de

Rechazo de 0H

Regin de

Rechazo de 0H

0.005

2.92 2.92

0.005


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( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 224

1

1 1

3 1 1 34.0

5 5 5 5

i

i i

c

n=

= + + + =

( ) ( )1 4.0 2.308 2.84L = =

( )Lineal

1.880.66

2.84c

t

= =

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Cuadrtica 1 3.58 1 6.74 1 6.90 1 2.90 7.16L = + + + =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

242

1 2

1 1 1 10.8

5 5 5 5

i

i i

c

n=

= + + + =

( ) ( )1

0.8 2.308 1.27L

= =

( )Cuadrtica

7.165.64

1.27c

t

= =

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )Cbica 1 3.58 3 6.74 3 6.90 1 2.90 1.16L = + + + =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 224

1

1 1

1 3 3 14.0

5 5 5 5

i

i i

c

n=

= + + + =

( ) ( )1

4.0 2.308 2.84L

= =

( )Cbica

1.160.41

2.84c

t = =

5) CONCLUSIONES:

Como ( )16;0.005 16;0.005Linealct t t < < ( )2.92 0.66 2.92 < < , enton-ces se acepta Ho, es decir, la relacin no es lineal, a un nivel de signifi-cancia del 1% .


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Como ( ) 16;0.005Cuadrticoct t< ( )5.64 2.92 < , entonces se aceptaHa, es decir, la relacin es Cuadrtica, a un nivel de significancia del1% .

Como ( )16;0.005 16;0.005Cbicoct t t < < ( )2.92 0.41 2.92 < < , en-tonces se acepta Ho, es decir, la relacin no es Cbica, a un nivel de signi-ficancia del 1% .


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PRUEBA DE LEVENE DE HOMOGENEIDAD DE VARIANZAS

Uno de los pasos previos a la comprobacin de si existen diferencias entre las mediasde varias muestras es determinar si las varianzas en tales muestras son iguales (esdecir, si se cumple la condicin de homogeneidad de varianzas o homoscedasticidad),ya que de que se cumpla o no esta condicin depender la formulacin que empleemosen el contraste de medias.

Existen varias pruebas que permiten comprobar la igualdad de varianzas (F de Fisher,Fmax de Hartley, prueba de Bartlett, etc), pero aqu desarrollaremos la prueba de Le-vene que es la que emplea SPSS. Para su clculo se siguen los siguientes pasos:

1) Calcular la diferencia (en valor absoluto) entre cada valor y la media de su grupo:

ki ki k D X X=

donde:

kiX : es la puntuacin del sujeto i perteneciente al grupo k.

kX : es la media del grupo k.

2) Calcular la media de las diferencias de cada grupo:

1

kn

ki

ik

k

D

Dn

==

donde:

1

kn

ki

i

D=

: es la suma de las puntuacionesiD en el grupo k.

kn : es el tamao del grupo k.

3) Calcular la media total de las diferencias:

1 1

kn k

ki

i kT

D

Dn

= ==

donde...


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kiD : es la suma de las puntuaciones

iD de todos los sujetos.

n : es la suma de todos los sujetos.

4) Calcular ANVA para la prueba de Homogeneidad de varianza:

ANVA

Fuente de VariacinGrados delibertad (gl)

Suma de cuadrados(SC)

Cuadrado medio(CM)

CocienteF

Intergrupo

Intragrupo

Total ( T )

PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA HOMOGENEIDAD DE VARIANZA:

1) Ho: 1 2 K = = =

Ha: 1 2 K

2) 0.01, 0.05, 0.10, .etc=

3) PUNTO CRTICO:

1 1gl K=

2gl n K =

1K

n K

1n

( )2

inter

1

K

k k T

k

SC n D D

=

=

inter intraSCT SC SC = +

inter

intra

c

CMF

CM=

( )2intra1 1

k

nK

ki k

k i

SC D D= =

=

inter

inter

1

SCCM

K=

intra

intraSCCMn K

=

1 2; ;gl glF

Se acepta Ha

Se acepta H0


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inter

intra

c

CMF

CM=

5) CONCLUSIONES:

Si1 2; ;c gl gl

F F

, entonces se acepta Ho, es decir,

1 2 K = = = , a un nivel de significancia del % .

Si1 2; ;c gl gl

F F

> , entonces se acepta Ha, es decir,

1 2 K , a un nivel de significancia del % .

EJEMPLO:

X1 X2 X3 X42.6 4 9.4 3.8

2.9 4.5 7.2 4.2

2.3 5.9 5.9 2.2

2.7 6.8 7.5

7.2 4.5

9.3 1.9

2.4

ANVA

Fuente de VariacinGrados delibertad (gl)

Suma de cuadrados(SC)

Cuadrado medio(CM)

CocienteF

Interg rupo 3 12.02 4.01 3.83

Intragrupo 16 16.73 1.05

Total ( T ) 19 28.75

1) Ho: 1 2 3 4 = = =

Ha: 1 2 3 4

2) 0.05=


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3) PUNTO CRTICO:

1 1 4 1 3gl K= = =

2 20 4 16

gl = =


3.83cF =

5) CONCLUSIONES:

Como 3;16;0.05cF F> ( )3.83 3.24> , entonces se acepta Ha, es decir,

1 2 3 4 , a un nivel de significancia del 5% .

3;16;0.05 3.24F =

0.950.95

0.05

Se

acepta

Ha

Se

acepta

H0


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COMPARACIONES MLTIPLES NO PLANEADAS O A POSTERIORI

Se realizan despus del ANVA, para descubrir donde estn las diferencias entre medias,

si la F ha resultado significativa ( )1 2 0k .

COMPARACIONES PAREADAS CUANDO LAS VARIANZAS SON HOMOGENEAS

Para el caso de Kmedias, habr ( )1 2C K K= contrastes posibles.

PRUEBA DMS DE FISHER:

Diferencia mnima significativa basada en la tde Student. Este mtodo, inicialmentepropuesto por Fisher (1935) no ejerce ningn control sobre la tasa d error. Es decir, ca-da comparacin se lleva a cabo utilizando el nivel de significacin establecido (general-

mente 0.05= ), por lo que la tasa de error ( )e para el conjunto de comparaciones

puede llegar a ( )1 1 C , siendo el nivel de significacin y Jel nmero de com-

paraciones llevadas a cabo. (suele encontrarse en la literatura estadstica con su acrni-mo ingls: LSD= Least Significant Differrence). Es el menos conservador de los proce-dimientos.

PRUEBA DE HIPOTESIS PARA ( )i j :

1) Ho: 0i j =

Ha: 0i j

2) 0.01, 0.05, 0.10, .etc=

3) PUNTO CRTICO:

e

gl n K =

Donde:




24/63




i j

i jc

X X

X Xt

=

Donde:

( )1 1 1 1

i j

eX X

i j i j

CMEn n n n

= + = +

22

1 1 1

n K Kk

ik

i k k k

TCME X


ANVA)

( ) 21

1

1

K

i i

ie K

i

i

n S

n K

=

=

=

5) CONCLUSIONES:

Si ; 2 ; 2e egl c glt t t , entonces se acepta Ho, es decir,

0i j

= , a un nivel de confianza del ( )1 % .

1


Regin de

Rechazo de 0H

Regin de

Rechazo de 0H

Regin de

Rechazo de 0H

Regin de

Rechazo de 0H

2

; 2glt

; 2glt

2


25/63



Si ; 2 ; 2e ec gl c glt t t t < > , entonces se acepta Ha, es decir,

0i j

, a un nivel de confianza del ( )1 % (es significativa al% ).

PROBABILIDAD DE ct (Significancia):

Si 2 c eP t t gl n K = , entonces se acepta Ho, es decir,

0i j = , a un nivel de confianza del ( )1 % .

Si 2 c eP t t gl n K = > , entonces se acepta Ha, es decir,

0i j , a un nivel de confianza del ( )1 % (es significativa al% ).

INTERVALO DE CONFIANZA PARA ( )i j :

( )( )

( )1 ; 2%

ei j

i j i j glX XIC X X t

=

( ) ( )( ) ( )%; 2 ; 21 e ei j i ji j gl i j i j glX X X XX X t X X t +


26/63



EJEMPLO:

X1 X2 X3 X4

4.2 4 8.3 3.8

2.9 4.5 7.2 4.2

4.1 5.9 5.9 2.2

2.7 6.8 7.5

7.2 4.5

8.1 4

3.8

kn 4 6 7 3

kS 0.78 1.59 1.83 1.06

kX 3.48 6.08 5.89 3.40

20n= 4K=

( )4 4 1 2 6C= =

0.05=

20 4 16egl = =

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2

4 1 0.78 6 1 1.59 7 1 1.83 3 1 1.06 1.5163

4 6 7 3 4e

+ = =

+ + +


27/63



PRUEBA DE HIPOTESIS PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS:

i j iX jX i jX X in jn i jX X ct 16;0.05 2t .Sig

2 3 6.08 5.89 0.20 6 7 0.8436 0.23 2.12 0.8177

2 1 6.08 3.48 2.61 6 4 0.9787 2.66 2.12 0.0169*

2 4 6.08 3.40 2.68 6 3 1.0722 2.50 2.12 0.0235*

3 1 5.89 3.48 2.41 7 4 0.9504 2.54 2.12 0.0220*

3 4 5.89 3.40 2.49 7 3 1.0463 2.38 2.12 0.0304*

1 4 3.48 3.40 0.08 4 3 1.1581 0.06 2.12 0.9492

* Significante al 5%

INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS

95% . .Interv Conf

i j iX jX i jX X in jn i jX X 16;0.05 2t .Inf .Sup

2 3 6.08 5.89 0.20 6 7 0.8436 2.12 -1.5907 1.9859

2 1 6.08 3.48 2.61 6 4 0.9787 2.12 0.5335 4.6832

2 4 6.08 3.40 2.68 6 3 1.0722 2.12 0.4105 4.9562

3 1 5.89 3.48 2.41 7 4 0.9504 2.12 0.3960 4.4254

3 4 5.89 3.40 2.49 7 3 1.0463 2.12 0.2676 4.7038

1 4 3.48 3.40 0.08 4 3 1.1581 2.12 -2.3800 2.5300


28/63



PRUEBA DE BONFERRONI:

Mtodo basado en la distribucin t de Student y en la desigualdad Bonferroni (tam-bin conocido como mtodo de Dunn-su promotor en 1961- o de Dunn-Bonferroni).Controla la tasa de error dividiendo el nivel de significacin entre el nmero de com-paraciones llevadas a cabo. Cada comparacin se evala utilizando un nivel de significa-cin C = .


1) Ho: 0i j =

Ha: 0i j

2) 0.01, 0.05, 0.10, .etc=

3) PUNTO CRTICO:

( )!

2! 2 !

KC

K=

egl n K =

Donde:


C= Nmero de combinaciones ha analizar.


= Nivel de significancia para la prueba Bonferroni.

; 2eglt

1 22

Regin de aceptacin de Ho

Regin de

rechazo de Ho

Regin de

rechazo de Ho

; 2eglt


29/63




i j

i j

c

X X

X Xt

=

Donde:

( )1 1 1 1

i j

eX X

i j i j

CMEn n n n

= + = +

, Cuando las varianzas

son iguales.

( ) 21

1

1

K

i i

ie K

i

i

n S

n K

=

=

=

2

2

1 1 1

n K Kk

ik

i k k k

TCME X


ANVA)5) CONCLUSIONES:


0i j





Si ( )2 c eCP t t gl n K = , entonces se acepta Ho, es de-cir, 0i j = , a un nivel de confianza del ( )1 % .


30/63



Si ( )2 c eCP t t gl n K = > , entonces se acepta Ha, es de-cir, 0i j , a un nivel de confianza del ( )1 % (es significati-

va al % ).INTERVALO DE CONFIANZA PARA ( )i j :

( )( )

( )1 ; 2%

ei j


=

( ) ( )( )

( )%; 2 ; 21

e ei j i j

i j gl i j i j glX X X XX X t X X t

+

EJEMPLO:X1 X2 X3 X4

4.2 4 8.3 3.8

2.9 4.5 7.2 4.2

4.1 5.9 5.9 2.2

2.7 6.8 7.5

7.2 4.5

8.1 4

3.8

kn 4 6 7 3

kS 0.78 1.59 1.83 1.06

kX 3.48 6.08 5.89 3.40

20n=

4K=

( )4!

62! 4 2 !

C= =

20 4 16egl = =


31/63



0.05=

0.0083=

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 24 1 0.78 6 1 1.59 7 1 1.83 3 1 1.06

1.51634 6 7 3 4

e +

= =+ + +



2 3 6.08 5.89 0.20 6 7 0.8436 0.23 3.01 1.0000

2 1 6.08 3.48 2.61 6 4 0.9787 2.66 3.01 0.1017

2 4 6.08 3.40 2.68 6 3 1.0722 2.50 3.01 0.1413

3 1 5.89 3.48 2.41 7 4 0.9504 2.54 3.01 0.1319

3 4 5.89 3.40 2.49 7 3 1.0463 2.38 3.01 0.1821

1 4 3.48 3.40 0.08 4 3 1.1581 0.06 3.01 1.0000



95% . .Interv Conf

i j iX jX i jX X in jn i jX X 16;0.0083 2t .Inf .Sup

2 3 6.08 5.89 0.20 6 7 0.8436 3.01 -2.3401 2.7353

2 1 6.08 3.48 2.61 6 4 0.9787 3.01 -0.3360 5.5527

2 4 6.08 3.40 2.68 6 3 1.0722 3.01 -0.5421 5.9087

3 1 5.89 3.48 2.41 7 4 0.9504 3.01 -0.4483 5.2697

3 4 5.89 3.40 2.49 7 3 1.0463 3.01 -0.6619 5.6334

1 4 3.48 3.40 0.08 4 3 1.1581 3.01 -3.4088 3.5588


32/63



PRUEBA DE SIDAK

Al igual que el procedimiento de Bonferroni, se basa en la distribucin t de Student,pero controla la tasa de error evaluando cada comparacin con un nivel de significacin

( )1

1 1

C

= . Esta solucin es algo menos conservadora que Bonferroni (es de-cir rechaza la hiptesis de igualdad de medias en ms ocasiones que el mtodo de Bon-ferroni).


1) Ho: 0i j =

Ha:0

i j

2) 0.01, 0.05, 0.10, .etc=

3) PUNTO CRTICO:

( )!

2! 2 !

KC

K=

egl n K = Donde:




= Nivel de significancia para la prueba Sidak.

; 2eglt

1 22


Regin de

rechazo de Ho

Regin de

rechazo de Ho

; 2eglt


33/63




i j

i j

c

X X

X Xt

=

Donde:

( )1 1 1 1

i j

eX X

i j i j

CMEn n n n

= + = +

, Cuando las varianzas

son iguales.

( ) 21

1

1

K

i i

ie K

i

i

n S

n K

=

=

=

2

2

1 1 1

n K Kk

ik

i k k k

TCME X




0i j





34/63




Si [ ]( )( )1 1 2 C

c eP t t gl n K = , entonces se acepta Ho,

es decir, 0i j = , a un nivel de confianza del ( )1 % .

Si [ ]( )( )1 1 2 C

c eP t t gl n K = > , entonces se acepta Ha,

es decir, 0i j , a un nivel de confianza del ( )1 % (es signi-ficativa al % ).


( )( )

( )1 ; 2%

ei j


=

( ) ( )( )

( )%; 2 ; 21

e ei j i j

i j gl i j i j glX X X XX X t X X t

+


35/63



EJEMPLO:

X1 X2 X3 X4

4.2 4 8.3 3.8

2.9 4.5 7.2 4.2

4.1 5.9 5.9 2.2

2.7 6.8 7.5

7.2 4.5

8.1 4

3.8

kn 4 6 7 3

kS 0.78 1.59 1.83 1.06

kX 3.48 6.08 5.89 3.40

20n=

4K=

( )4!

62! 4 2 !

C= =

20 4 16egl = =

0.05=

0.0085=

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

4 1 0.78 6 1 1.59 7 1 1.83 3 1 1.06 1.5163

4 6 7 3 4e

+

= =+ + +


36/63





2 3 6.08 5.89 0.20 6 7 0.8436 0.23 3.00 1.0000

2 1 6.08 3.48 2.61 6 4 0.9787 2.66 3.00 0.0974

2 4 6.08 3.40 2.68 6 3 1.0722 2.50 3.00 0.1332

3 1 5.89 3.48 2.41 7 4 0.9504 2.54 3.00 0.1249

3 4 5.89 3.40 2.49 7 3 1.0463 2.38 3.00 0.1688

1 4 3.48 3.40 0.08 4 3 1.1581 0.06 3.00 1.0000



95% . .Interv Conf

i j iX jX i jX X in jn i jX X 16;0.0085 2t

.Inf .Sup

2 3 6.08 5.89 0.20 6 7 0.8436 3.00 -2.3315 2.7267

2 1 6.08 3.48 2.61 6 4 0.9787 3.00 -0.3261 5.5427

2 4 6.08 3.40 2.68 6 3 1.0722 3.00 -0.5311 5.8978

3 1 5.89 3.48 2.41 7 4 0.9504 3.00 -0.4386 5.2600

3 4 5.89 3.40 2.49 7 3 1.0463 3.00 -0.6513 5.6227

1 4 3.48 3.40 0.08 4 3 1.1581 3.00 -3.3970 3.5470


37/63



PRUEBA DE SCHEFF:

Este mtodo basado en la distribucin F, permite controlar la tasa de error para elconjunto total de comparaciones que es posible disear con K medias (una con otra,una con todas las dems, dos con dos, etc). Utilizada slo para efectuar slo concomparaciones por pares, es un procedimiento muy conservador: tiende a considerarsignificativas menos diferencias de las que debiera.


1) Ho: 0i j =

Ha: 0i j

2) 0.01, 0.05, 0.10, .etc=

3) PUNTO CRTICO:

1 1gl K=

2gl n K =

Donde:



1


Regin de

Rechazo de 0H

Regin de

Rechazo de 0H

Regin de

Rechazo de 0H

Regin de

Rechazo de 0H

2

( )1 2; ;

1gl gl

K F

( )1 2; ;

1 gl glK F

2


38/63




i j

i j

c

X X

X Xt

=

Donde:

( )1 1 1 1

i jX X

i j i j

CMEn n n n

= + = +

, Cuando las varianzas son

iguales.

( ) 21

1

1

K

i i

i

K

i

i

n S

n K

=

=

=

22

1 1 1

n K Kk

ik

i k k k

TCME X



Si ( ) ( )1 2 1 2; ; ; ;

1 1gl gl c gl glK F t K F , entonces se acepta

Ho, es decir, 0i j = , a un nivel de confianza del ( )1 % .

Si ( ) ( )1 2 1 2; ; ; ;

1 1c gl gl c gl glt K F t K F < > , entonces se

acepta Ha, es decir, 0i j , a un nivel de confianza del

( )1 % (es significativa al % ).


39/63




Si

2

1 21;

1

ctP F gl K gl n K

K

= =

, entonces se

acepta Ho, es decir, 0i j = , a un nivel de confianza del

( )1 % .

Si

2

1 21;

1

ctP F gl K gl n K K

= = > , entonces se

acepta Ha, es decir, 0i j , a un nivel de confianza del( )1 % (es significativa al % ).


( )( )

( ) ( )1 2; ;1 %

1i j

i j i j gl glX XIC X X K F

=

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 2 1 21 %; ; ; ;

1 1i j i ji j gl gl i j i j gl glX X X X

X X K F X X K F

+


40/63



EJEMPLO:

X1 X2 X3 X4

4.2 4 8.3 3.8

2.9 4.5 7.2 4.2

4.1 5.9 5.9 2.2

2.7 6.8 7.5

7.2 4.5

8.1 4

3.8

kn 4 6 7 3

kS 0.78 1.59 1.83 1.06

kX 3.48 6.08 5.89 3.40

20n=

4K= 0.05=

1 4 1 3gl = =

2 20 4 16gl = =

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 2 2

4 1 0.78 6 1 1.59 7 1 1.83 3 1 1.06

1.51634 6 7 3 4 +

= =+ + +


41/63




i j iX jX i jX X in jn i jX X ct 3;16;0.05F .Sig

2 3 6.08 5.89 0.20 6 7 0.8436 0.23 3.12 0.9965

2 1 6.08 3.48 2.61 6 4 0.9787 2.66 3.12 0.1092

2 4 6.08 3.40 2.68 6 3 1.0722 2.50 3.12 0.1421

3 1 5.89 3.48 2.41 7 4 0.9504 2.54 3.12 0.1346

3 4 5.89 3.40 2.49 7 3 1.0463 2.38 3.12 0.1734

1 4 3.48 3.40 0.08 4 3 1.1581 0.06 3.12 0.9999



95% . .Interv Conf

i j iX jX i jX X in jn i jX X 3;16;0.05F

.Inf .Sup

2 3 6.08 5.89 0.20 6 7 0.8436 3.12 -2.4319 2.8271

2 1 6.08 3.48 2.61 6 4 0.9787 3.12 -0.4425 5.6592

2 4 6.08 3.40 2.68 6 3 1.0722 3.12 -0.6587 6.0254

3 1 5.89 3.48 2.41 7 4 0.9504 3.12 -0.5517 5.3731

3 4 5.89 3.40 2.49 7 3 1.0463 3.12 -0.7758 5.7472

1 4 3.48 3.40 0.08 4 3 1.1581 3.12 -3.5348 3.6848


42/63



PRUEBA DE DUNCAN:

Prueba del rango mltiple de Duncan. Mtodo de comparacin por pasos basado en ladistribucin del rango estudentizado. Controla la tasa de error utilizando, para el con-

junto de medias separadas r pasos, un nivel de significacin ( ) 1

1 1

r

= .Cuando ms pasos existen entre dos medias, mayor es la diferencia mnima con la quevamos a considerar que esas medias difieren significativamente.


1) Ho: 0i j =

Ha:0

i j

2) 0.01, 0.05, 0.10, .etc=

3) PUNTO CRTICO:

K

r

egl n K =

Donde:

r= Nmero de pasos entre medias a analizar.



; ;er glD

1 22


Regin de

rechazo de Ho

Regin derechazo de Ho

; ;er glD


43/63




i j

i j

c

X X

X XD

=

Donde:

( )1 1 1 1

i jX X

i j i j

CMEn n n n

= + = +

, Cuando las varianzas son

iguales.

( ) 21

1

1

K

i i

i

K

i

i

n S

n K

=

=

=

22

1 1 1

n K Kk

ik

i k k k

TCME X



Si ; ; ; ;e er gl c r glD D D , entonces se acepta Ho, es decir,

0i j


Si ; ; ; ;e ec r gl c r glD D D D < > , entonces se acepta Ha, es decir,



44/63



PROBABILIDAD DE cD (Significancia):

Si [ ]( )1

11 ; rc eP D D r gl n K

=

, entonces se acepta

Ho, es decir, 0i j = , a un nivel de confianza del ( )1 % .

Si [ ]( )1

11 ; rc eP D D r gl n K

= >

, entonces se acepta

Ha, es decir, 0i j , a un nivel de confianza del ( )1 % (essignificativa al % ).


( )( )

( )1 ; ;%

ei j

i j i j r glX XIC X X D

=

( ) ( )( )

( )%; ; ;1 ;

e ei j i j

i j r gl i j i j r glX X X XX X D X X D

+


45/63



EJEMPLO:

X1 X2 X3 X4

4.2 4 8.3 3.8

2.9 4.5 7.2 4.2

4.1 5.9 5.9 2.2

2.7 6.8 7.5

7.2 4.5

8.1 4

3.8

kn 4 6 7 3

kS 0.78 1.59 1.83 1.06

kX 3.48 6.08 5.89 3.40

20n=

4K= 0.05=

20 4 16egl = =

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2

4 1 0.78 6 1 1.59 7 1 1.83 3 1 1.06 1.5163

4 6 7 3 4e

+ = =

+ + +


46/63




i j iX jX i jX X in jn r i jX X cD 4;16;0.05q .Sig

2 3 6.08 5.89 0.20 6 7 2 0.8436 0.23 3.00 1.0000

2 1 6.08 3.48 2.61 6 4 3 0.9787 2.66 3.14 0.0924

2 4 6.08 3.40 2.68 6 3 4 1.0722 2.50 3.23 0.1222

3 1 5.89 3.48 2.41 7 4 2 0.9504 2.54 3.00 0.0914

3 4 5.89 3.40 2.49 7 3 3 1.0463 2.38 3.14 0.1293

1 4 3.48 3.40 0.08 4 3 2 1.1581 0.06 3.00 1.0000



95% . .Interv Conf

i j iX jX i jX X in jn r i jX X cD .Inf .Sup

2 3 6.08 5.89 0.20 6 7 2 0.8436 3.00 -2.3314 2.7266

2 1 6.08 3.48 2.61 6 4 3 0.9787 3.14 -0.4686 5.6853

2 4 6.08 3.40 2.68 6 3 4 1.0722 3.23 -0.7850 6.1517

3 1 5.89 3.48 2.41 7 4 2 0.9504 3.00 -0.4385 5.2599

3 4 5.89 3.40 2.49 7 3 3 1.0463 3.14 -0.8037 5.7751

1 4 3.48 3.40 0.08 4 3 2 1.1581 3.00 -3.3969 3.5469


47/63



PRUEBA DE TUKEY:

Diferencia honestamente significativa de Tukey. Equivale a utilizar el mtodo de Stu-dent-Newman-Keuls con K= Nmero de medias. Por tanto, todas las comparacionesson referidas a una misma diferencia mnima. Es uno de los mtodos de mayor acepta-cin.


1) Ho: 0i j =

Ha: 0i j

2) 0.01, 0.05, 0.10, .etc= 3) PUNTO CRTICO:

K

egl n K =

Donde:

K= Nmero de medias a analizar.n= Tamao total de la muestra.

1


Regin de

Rechazo de 0H

Regin de

Rechazo de 0H

Regin de

Rechazo de 0H

Regin de

Rechazo de 0H

2

; ;eK glq

; ;eK glq

2


48/63




i j

i j

c

X X

X Xq

=

Donde:

( )1 1 1 1 1 1

2 2i j

X X

i j i j

CMEn n n n

= + = +

, Cuando las va-

rianzas son iguales.

( ) 21

1

1

K

i i

i

K

i

i

n S

n K

=

=

=

22

1 1 1

n K Kk

ik

i k k k

TCME X



Si ; ; ; ;e eK gl c K glq q q , entonces se acepta Ho, es decir,

0i j


Si ; ; ; ;e ec K gl c K glq q q q < > , entonces se acepta Ha, es decir,



49/63



PROBABILIDAD DE cq (Significancia):

Si [ ];c eP q q K gl n K = , entonces se acepta Ho, es decir,


Si [ ];c eP q q K gl n K = > , entonces se acepta Ha, es decir,0

i j , a un nivel de confianza del ( )1 % (es significativa al

% ).


( )( )

( )1 ; ;%

ei j

i j i j K glX XIC X X q

=

( ) ( )( )

( )%; ; ;1 ;

e ei j i j

i j K gl i j i j K glX X X XX X q X X q

+


50/63



EJEMPLO:

X1 X2 X3 X4

4.2 4 8.3 3.8

2.9 4.5 7.2 4.2

4.1 5.9 5.9 2.2

2.7 6.8 7.5

7.2 4.5

8.1 4

3.8

kn 4 6 7 3

kS 0.78 1.59 1.83 1.06

kX 3.48 6.08 5.89 3.40

20n=

4K= 0.05=

20 4 16egl = =

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2

4 1 0.78 6 1 1.59 7 1 1.83 3 1 1.06 1.5163

4 6 7 3 4e

+

= =+ + +


51/63




i j iX jX i jX X in jn i jX X cq 4;16;0.05q .Sig

2 3 6.08 5.89 0.20 6 7 0.5965 0.33 4.05 1.0000

2 1 6.08 3.48 2.61 6 4 0.6921 3.77 4.05 0.0728

2 4 6.08 3.40 2.68 6 3 0.7581 3.54 4.05 0.0978

3 1 5.89 3.48 2.41 7 4 0.6720 3.59 4.05 0.0924

3 4 5.89 3.40 2.49 7 3 0.7399 3.36 4.05 0.1226

1 4 3.48 3.40 0.08 4 3 0.8189 0.09 4.05 1.0000



95% . .Interv Conf

i j iX jX i jX X in jn i jX X 4;16;0.05q

.Inf .Sup

2 3 6.08 5.89 0.20 6 7 0.5965 4.05 -2.2158 2.6111

2 1 6.08 3.48 2.61 6 4 0.6921 4.05 -0.1919 5.4085

2 4 6.08 3.40 2.68 6 3 0.7581 4.05 -0.3841 5.7508

3 1 5.89 3.48 2.41 7 4 0.6720 4.05 -0.3083 5.1297

3 4 5.89 3.40 2.49 7 3 0.7399 4.05 -0.5078 5.4792

1 4 3.48 3.40 0.08 4 3 0.8189 4.05 -3.2382 3.3882


52/63



GAMES-HOWELL:

Mtodo similar al de Tukey. Se basa en la distribucin del rango estudentizado y en unestadstico T en el que, tras estimar las varianzas poblacionales suponiendo que sondistintas, se corrigen los grados de libertad mediante la ecuacin de Welch. En trmi-nos generales de los tres mtodos para varianzas heterogneas, este es el que mejorcontrola la tasa de error en diferentes situaciones.


1) Ho: 0i j =

Ha: 0i j

2) 0.01, 0.05, 0.10, .etc=

3) PUNTO CRTICO:

K2

22

22 22

1 1

ji

i j

ji

ji

i j

SS

n ngl

SSnn

n n

+

=

+

Donde:



; ;

2

k glq

1 22

Regin de aceptacin de HoRegin de

rechazo de Ho

Regin de

rechazo de Ho

; ;

2

k glq


53/63




i j

i j

c

X X

X Xq

=

Donde:

22

i j

ji

X X

i j

SS

n n

= +


5) CONCLUSIONES:

Si; ; ; ;

2 2

K gl K gl

c

q qq , entonces se acepta Ho, es decir,


Si; ; ; ;

2 2

K gl K gl

c c

q qq q

< > , entonces se acepta Ha, es decir,

0i j

, a un nivel de confianza del ( )

1 %

(es significativa al

% ).

PROBABILIDAD DE cq (Significancia):

Si 2 ;cP q q K gl n K = , entonces se acepta Ho, es

decir, 0i j = , a un nivel de confianza del ( )1 % .

Si 2 ;cP q q K gl n K = > , entonces se acepta Ha, es

decir, 0i j , a un nivel de confianza del ( )1 % (es signifi-cativa al % ).


54/63




( )( )

( )1

; ;

%

2i j

K gl

i j i j X X

qIC X X

=

( ) ( )( )

( ) ;1

; ;

%

;

2 2i j i jK gl K gl

i j i j i jX X X X

q qX X X X

+

EJEMPLO:

Facultad deCienciasAgrcolas

Facultad deIngeniera en

Informtica y Sis-temas

Facultad deIndustrias

Alimentaras

Facultad deCiencias

Econmicas

52 37 24 18 37 43 19 13

31 22 16 19 40 40 26 21

72 24 22 24 51 35 31 26

36 17 20 30 49 33 13 24

39 88 23 24 36 69 12 12

15 18 24 55 16 32

35 40 30

26

kn 10 12 15 13

kS 41.80 21.08 40.87 21.15

kX 22.74 4.23 11.47 7.53

20n=

4K=

0.05=


55/63




i j iX jX i jX X in jn iS jS i jX X cq gl 4; ;0.05

2

glq.Sig

1 3 41.80 40.87 0.93 10 15 22.74 11.47 7.7781 0.12 12.09 2.97 0.9993

1 4 41.80 21.15 20.65 10 13 22.74 7.53 7.4891 2.76 10.52 3.03 0.0780

1 2 41.80 21.08 20.72 10 12 22.74 4.23 7.2953 2.84 9.52 3.09 0.0733

3 4 40.87 21.15 19.71 15 13 11.47 7.53 3.6231 5.44 24.35 2.76 0.0001*

3 2 40.87 21.08 19.78 15 12 11.47 4.23 3.2034 6.18 18.49 2.82 0.0000*

4 2 21.15 21.08 0.07 13 12 7.53 4.23 2.4184 0.03 19.17 2.81 1.0000



95% . .Interv Conf

i j iX jX i jX X in jn iS jS i jX X gl 4; ;0.05

2

glq

.Inf .Sup

1 3 41.80 40.87 0.93 10 15 22.74 11.47 7.7781 12.09 2.97 -22.1343 24.0010

1 4 41.80 21.15 20.65 10 13 22.74 7.53 7.4891 10.52 3.03 -2.0602 43.3525

1 2 41.80 21.08 20.72 10 12 22.74 4.23 7.2953 9.52 3.09 -1.8072 43.2405

3 4 40.87 21.15 19.71 15 13 11.47 7.53 3.6231 24.35 2.76 9.7285 29.6972

3 2 40.87 21.08 19.78 15 12 11.47 4.23 3.2034 18.49 2.82 10.7527 28.8139

4 2 21.15 21.08 0.07 13 12 7.53 4.23 2.4184 19.17 2.81 -6.7241 6.8651


56/63



PRUEBA T2 DE TAMHANE:

Mtodo basado en la distribucin de t de Student. Controla la tasa de error evaluando

cada comparacin con un nivel de significacin ( )1

1 1 C

= .


1) Ho: 0i j =

Ha: 0i j

2) 0.01, 0.05, 0.10, .etc=

3) PUNTO CRTICO:

K

( )12

K KC

=

Donde:

K= Nmero de medias a analizar.C= Nmero de combinaciones ha analizar.


= Nivel de significancia para la prueba de Tamhane.

; 2glt

1 22


Regin de

rechazo de Ho

Regin de

rechazo de Ho

; 2glt


57/63



222

22 22

1 1

ji

i j

ji

ji

i j

SS

n ngl

SS

nn

n n

+

=

+


i j

i j

c

X X

X Xt

=

Donde:22

i j

ji

X X

i j

SS

n n

= + =


5) CONCLUSIONES:

Si ; 2 ; 2egl c glt t t , entonces se acepta Ho, es decir,


Si ; 2 ; 2c gl c glt t t t < > , entonces se acepta Ha, es decir,



Si [ ]( )( )1 1 2 CcP t t gl , entonces se acepta Ho, es decir,0

i j = , a un nivel de confianza del ( )1 % .


58/63



Si [ ]( )( )1 1 2 C

cP t t gl > , entonces se acepta Ha, es decir,

0i j

, a un nivel de confianza del ( )1 % (es significativa al

% ).


( )( )

( )1 2% ;

i j


=

( ) ( )( )

( ); 2 ; 21 % i j i ji j gl i j i j glX X X XX X t X X t +

EJEMPLO:Facultad de

CienciasAgrcolas




Alimentaras

Facultad deCiencias

Econmicas

52 37 24 18 37 43 19 13

31 22 16 19 40 40 26 21

72 24 22 24 51 35 31 26

36 17 20 30 49 33 13 24

39 88 23 24 36 69 12 12

15 18 24 55 16 32

35 40 30

26

kn 10 12 15 13

kS 41.80 21.08 40.87 21.15

kX 22.74 4.23 11.47 7.53

20n=

4K=

0.05=


59/63



( ) ( )4 4 16

2C

= =

( )

1

6 1 1 0.0085

= =


i j iX jX i jX X in jn iS jS i jX X ct gl ; 2glt .Sig

1 3 41.80 40.87 0.93 10 15 22.74 11.47 7.7781 0.12 12.09 3.14 1.0000

1 4 41.80 21.15 20.65 10 13 22.74 7.53 7.4891 2.76 10.52 3.23 0.1107

1 2 41.80 21.08 20.72 10 12 22.74 4.23 7.2953 2.84 9.52 3.30 0.1054

3 4 40.87 21.15 19.71 15 13 11.47 7.53 3.6231 5.44 24.35 2.86 0.0001*

3 2 40.87 21.08 19.78 15 12 11.47 4.23 3.2034 6.18 18.49 2.94 0.0000*

4 2 21.15 21.08 0.07 13 12 7.53 4.23 2.4184 0.03 19.17 2.93 1.0000



95% . .Interv Conf

i j iX jX i jX X in jn iS jS i jX X gl ; 2glt .Inf .Sup

1 3 41.80 40.87 0.93 10 15 22.74 11.47 7.7781 12.09 3.14 -23.4662 25.3328

1 4 41.80 21.15 20.65 10 13 22.74 7.53 7.4891 10.52 3.23 -3.5186 44.8109

1 2 41.80 21.08 20.72 10 12 22.74 4.23 7.2953 9.52 3.30 -3.3801 44.8134

3 4 40.87 21.15 19.71 15 13 11.47 7.53 3.6231 24.35 2.86 9.3422 30.0835

3 2 40.87 21.08 19.78 15 12 11.47 4.23 3.2034 18.49 2.94 10.3539 29.2128

4 2 21.15 21.08 0.07 13 12 7.53 4.23 2.4184 19.17 2.93 -7.0185 7.1595


60/63



PRUEBA T3 DE DUNNETT:

Modificacin propuesta por Dunnett al estadstico T2 de Tamhane. Se basa en la dis-tribucin del Mdulo mximo estudentizado.


1) Ho: 0i j =

Ha: 0i j

2) 0.01, 0.05, 0.10, .etc=

3)

PUNTO CRTICO:K

( )12

K KC

=

Donde:




; ;C glM

1 22


Regin de

rechazo de Ho

Regin de

rechazo de Ho

; ;C glM


61/63



222

22 22

1 1

ji

i j

ji

ji

i j

SS

n ngl

SS

nn

n n

+

=

+


i j

i j

c

X X

X XM

=

Donde:22

i j

ji

X X

i j

SS

n n

= + =


5) CONCLUSIONES:

Si ; ; ; ;C gl c C glM M M , entonces se acepta Ho, es decir,


Si ; ; ; ;c C gl c C glM M M M < > , entonces se acepta Ha, es de-

cir, 0i j , a un nivel de confianza del ( )1 % (es significati-va al % ).

PROBABILIDAD DE cM (Significancia):

Si [ ];cP M M C gl , entonces se acepta Ho, es decir,0

i j = , a un nivel de confianza del ( )1 % .

Si [ ];cP M M gl C > , entonces se acepta Ha, es decir,0i j , a un nivel de confianza del ( )1 % (es significativa al

% ).


62/63




( )( )

( )% ; ;1

i j

i j i j C glX XIC X X M

=

( ) ( )( )

( ); ; ; ;1 % i j i ji j C gl i j i j C glX X X XX X M X X M +

EJEMPLO:

Facultad deCienciasAgrcolas




Alimentaras

Facultad deCiencias

Econmicas

52 37 24 18 37 43 19 13

31 22 16 19 40 40 26 21

72 24 22 24 51 35 31 26

36 17 20 30 49 33 13 24

39 88 23 24 36 69 12 12

15 18 24 55 16 32

35 40 30

26

k

n

10 12 15 13

kS 41.80 21.08 40.87 21.15

kX 22.74 4.23 11.47 7.53

20n=

4K=

0.05=

( ) ( )4 4 16

2C

= =


63/63



i j iX jX i jX X in jn iS jS i jX X cM gl ; ;gl CM .Sig

1 3 41.80 40.87 0.93 10 15 22.74 11.47 7.7781 0.12 12.09 3.09 1.0000

1 4 41.80 21.15 20.65 10 13 22.74 7.53 7.4891 2.76 10.52 3.17 0.0989

1 2 41.80 21.08 20.72 10 12 22.74 4.23 7.2953 2.84 9.52 3.23 0.0929

3 4 40.87 21.15 19.71 15 13 11.47 7.53 3.6231 5.44 24.35 2.85 0.0001*

3 2 40.87 21.08 19.78 15 12 11.47 4.23 3.2034 6.18 18.49 2.92 0.0000*

4 2 21.15 21.08 0.07 13 12 7.53 4.23 2.4184 0.03 19.17 2.91 1.0000



95% . .Interv Conf

i j iX jX i jX X in jn iS jS i jX X gl ; ;gl CM

.Inf .Sup

1 3 41.80 40.87 0.93 10 15 22.74 11.47 7.7781 12.09 3.09 -23.1073 24.9740

1 4 41.80 21.15 20.65 10 13 22.74 7.53 7.4891 10.52 3.17 -3.0756 44.3679

1 2 41.80 21.08 20.72 10 12 22.74 4.23 7.2953 9.52 3.23 -2.8603 44.2937

3 4 40.87 21.15 19.71 15 13 11.47 7.53 3.6231 24.35 2.85 9.3966 30.0290

3 2 40.87 21.08 19.78 15 12 11.47 4.23 3.2034 18.49 2.92 10.4269 29.1398

4 2 21.15 21.08 0.07 13 12 7.53 4.23 2.4184 19.17 2.91 -6.9664 7.1075

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Comparaciones Múltiples Entre Medias