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1R�FRSLDU

“ Comportamiento de losas de cimentación durante el proceso de consolidación”

Félix Hernández RodríguezIngeniero Civil Universidad Nacional de Colombia

MSc. en Geotecnia: Universidad Nacional de ColombiaProfesor Asistente Universidad Nacional de Colombia

Dirección: Ciudad UniversitariaBogotá, Colombia

Tel: 3165000 Ext. 13305, felixh@unal.edu.co

Jhon Jairo Silva CastroIngeniero Civil Universidad Nacional de Colombia

MSc. en Geotecnia: Universidad Nacional de ColombiaProfesor Temporal Cátedra Universidad Nacional de Colombia

RESUMENEn este trabajo se hace una adaptación al método de

interacción suelo-estructura propuesto por Zeevaert (1) paratener en cuenta la influencia del proceso de consolidación delos suelos en la magnitud y distribución de las reacciones decimentación sobre una losa armada en una dirección. Losdesarrollos logrados permitieron evaluar la variación de esasreacciones con el tiempo y por ende, los cambios en losdiagramas tanto de momento flector como de fuerza cortanteen la estructura de cimentación. De igual forma, el métodopropuesto permite evaluar cómo es el progreso de losasentamientos durante ese proceso.

Los ejemplos desarrollados permiten ver que en algunoscasos se tienen variaciones importantes de los momentosflectores y de las fuerzas cortantes en el tiempo.Consecuentemente, parecería conveniente que para el diseñoestructural se utilizaran los máximos valores obtenidosdurante el proceso de consolidación.

Palabras clavePlaca de cimentación, interacción, consolidación,

relaciones hiperbólicas.

NOMENCLATURACv

2D coeficiente de consolidación bidimensional.u exceso en la presión de porosEi módulo de Young tangente inicial

rf relación de fallaφ ángulo de fricciónc cohesiónσ’ 1 esfuerzo efectivo principal mayorσ’ 3 esfuerzo efectivo principal menorEt módulo de Young tangenteBulk módulo Bulkν relación de Poissonk permeabilidadK módulo de rigidez de la subrasante∆t intervalo de tiempoδi asentamiento de la banda idN espesor del estrato Nqi carga de reacción de la banda i

1. INTRODUCCIÓNEl método de interacción suelo-estructura permite

evaluar las reacciones en la interfase suelo-estructurade cimentación como una función de las propiedadesde la estructura y del suelo. Esas reacciones permitencalcular tanto los momentos flectores y las fuerzascortantes en la estructura como los asentamientos delsuelo.

Para la determinación de esas reacciones se suelensuponer condiciones extremas: bien sea una condiciónno-drenada o una drenada. En otras palabras, no escomún hacer el estudio de variación de las reaccionesde la cimentación durante el proceso deconsolidación.

2

Eic

rfEt

2

´3

´3

´1

sin2cos2

))(sin1(1

+−−−=

φσφσσφ

ulkB

Et

62

1 −=υ

En este trabajo se propone una metodología para llenarese vacío considerando que con ello se logran diseños más

cercanos a la realidad del problema. El método se aplica auna losa de cimentación armada en una dirección.

Para llevar a cabo el análisis de interacción, se supusoque las propiedades de la losa de cimentación, en particularsu rigidez a la flexión ExI, permanecen constantes. En elcaso del suelo se utilizó un método que permite evaluar laspropiedades de compresibilidad como una función del estadode esfuerzos efectivos, de la trayectoria de esfuerzos y deltiempo. La dependencia de esos módulos del estado ytrayectoria de esfuerzos efectivos se definió utilizando lateoría de las relaciones esfuerzo-deformación hiperbólicasplanteada por Duncan y otros (2). Ahora, la variación de losesfuerzos efectivos con el tiempo se determinó solucionandola ecuación de consolidación bidimiensional mediante elmétodo numérico de las diferencias finitas.

Además de concebir los algoritmos de solución, se diseñoun programa de computador en lenguaje Visual Basic queresuelve integralmente el problema: calcula los incrementosde esfuerzos, ejecuta los procesos de interacción en formaiterativa, resuelve el problema de la consolidaciónbidimensional utilizando el método del las diferencias finitasy entrega los resultados numérica y gráficamente.

En lo que sigue se va a presentar, en forma sucinta, lametodología empleada y los resultados obtenidos paraalgunos casos particulares de estudio.

2. METODOLOGÍA DE INTERACCIÓN SUELO-ESTRUCTURA INCLUYENDO EL PROCESO DECONSOLIDACIÓN

2.1 Consideraciones generales

Para resolver el problema de interacción entre una losa decimentación y un depósito de suelo de cimentación, se partióde las siguientes suposiciones:♦ El suelo de fundación es homogéneo, isotrópico y se

encuentra totalmente saturado desde el nivel de fundación.♦ Las propiedades de deformabilidad del suelo se

relacionan con el estado y las trayectorias de esfuerzosefectivos por medio de las relaciones hiperbólicas.

♦ El problema se desarrolla en condiciones planas dedeformación ξy =0.

♦ La placa de cimentación tiene una rigidez a la flexión EIconstante con el tiempo.

♦ Las cargas que llegan por las columnas a la losa decimentación permanecen constantes con el tiempo y no seven afectadas por las deformaciones que se generan en laplaca

♦ Toda la carga de la estructura sobre la placa decimentación se aplica al inicio del problema en un instantede tiempo en forma monotónica.

En forma simplificada, el método de interacción comprendelos siguientes pasos:a) Discretización del problema. La cimentación se divide

en bandas y el suelo en subestratos. De esta manera se

obtiene una malla en que cada casillacorresponde a una banda y a un subestrato.

b) Suposición de los esfuerzos de reaccióncumpliendo con las ecuaciones de equilibrioestático.

c) Cálculo de asentamientos de las bandas ydeterminación del módulo de reacción de lasubrasante. Los asentamientos se calculanmediante la ecuación matricial de asentamientos,EMA, de Zeevaert.

d) Solución del problema de la estructura soportadaen el conjunto de resortes con rigideces iguales alos módulos de reacción. Con ello se evalúa unnuevo conjunto de esfuerzos de reacción. Loanterior se hace aplicando la ecuación Matricialde Interacción EMI de Zeevaert.

e) Proceso Iterativo entre los pasos d y b hastaigualdad de las reacciones.

f) Chequeo por plastificación y ajuste del problema.

2.2 Relaciones hiperbólicas

Las relaciones constitutivas elasto-plásticas delsuelo, en las condiciones de un ensayo de compresióntriaxial drenado, se pueden representarsimplificadamente por curvas esfuerzo deformaciónde tipo hiperbólico. El planteamiento matemático deesas hipérbolas se puede hacer mediante la utilizaciónde módulos elásticos equivalentes: el módulo deYoung tangente y el módulo bulk. En esos ensayos,se ha visto que el módulo de Young tangente dependetanto del esfuerzo de consolidación como de larelación de esfuerzo cortante movilizado. LasEcuaciones Nos.1 y 2 permiten calcular el módulo deYoung tangente y la relación de Poisson equivalentesen ese tipo de ensayo.

1.

2.

2.3 Metodología general

Para resolver el problema de una losa soportada porun suelo que se consolida se contemplaron lossiguientes pasos:a) Cálculo de los esfuerzos efectivos iniciales y delos módulos elásticos equivalentes correspondientes.b) Cálculo de los incremento de esfuerzos totales ydel incremento de presión de poros en condición no-drenada, debidos a la cimentación. Para ello se aplicóla metodología de interacción ya citada y la expresiónde Skempton de incrementos no drenados de lapresión de poros.

3

γ

BLp

Pq i

i ∗= ∑

i

iii

aqK

δ*=

∑=

∆−−∆

+=M

AN

Ni

Nxz

N

iti d

E*))1((

1 ,, υσυσυδ

c) Cálculo de los módulos elásticos equivalentes en elpunto medio de las trayectorias de esfuerzos que van del

paso a) al b).d) Aplicación de la metodología de interacción ydeterminación de las reacciones, de los asentamientos, de losmomentos flectores y de las fuerzas cortantes en condicionesno-drenadase) Solución del problema de la consolidaciónbidimensional no acoplada mediante el método de lasdiferencias finitas. De esta forma se pudieron establecer losestados de esfuerzos efectivos y los módulos de deformaciónpara cada tiempo considerado en el análisis.f) Aplicación del método de interacción para cada tiempo,utilizando la totalidad de la carga sobre la estructura.g) Corrección de los asentamientos teniendo en cuenta laporción de carga tomada por los esfuerzos efectivos deacuerdo con el grado de consolidación.

3. FORMULACIÓN DEL ALGORITMO DE SOLUCIÓN

3.1 Discretización del problema

El tratamiento numérico del problema requiere de la divisiónde la placa de cimentación en bandas y del suelo defundación en estratos. De esta manera se conforma una mallacomo la que se muestra en la Figura No.1

Figura 1. Discretización del problema y cargas en lasbandas

3.2 Condición inicial de esfuerzos

Se supuso una condición inicial geostática para ladeterminación de los esfuerzos efectivos iniciales y de losmódulos elásticos equivalentes de acuerdo con lasEcuaciones 1 y 2.Estas condiciones de esfuerzos representan el punto inicialde las trayectorias de esfuerzos en cada uno de los puntos dela malla.

3.3 Condición no-drenada

Para el estudio de esta condición se empezó por aplicar elmétodo de interacción con los módulos correspondientes a lacondición geostática.Para tal efecto, se supusieron unas cargas en las bandas.Inicialmente, se puede suponer una carga distribuida

uniformemente, resultado de la división de lasumatoria de cargas sobre el área de la placa así:

(3)

en donde:qi: Esfuerzo de reacciónΣPi : Sumatoria de las carga estructurales aplicadas

(incluido peso propio de la losa).Lp: Longitud de la placa en el sentido largo.B: Ancho de la placa.

Posteriormente, se calculan incrementos de esfuerzosefectivos en cada uno de los puntos de la malla. Paratal efecto es necesario calcular los incrementos deesfuerzos totales y los incrementos no drenados de lapresión de poros de acuerdo con la expresión deSkempton, producidos por las cargas en las bandas. Al nuevo estado de esfuerzos efectivos encondición no-drenada, le corresponde un nuevoconjunto de módulos elásticos equivalentes según lateoría hiperbólica.Tomando como módulos elásticos equivalentes, parael proceso no-drenado, los correspondientes al estadopromedio de esfuerzos entre el estado geostáticos y elrecientemente calculado, los asentamientos no-drenados se calculan mediante la siguiente ecuación:

(4)

Este paso es equivalente a aplicar la ecuaciónmatricial de asentamientos EMA propuesta porZeevaert.

Con estos valores de asentamientos se evalúan losmódulos de reacción de la subrasante así:

(5)Ahora, se procede a encontrar las deformaciones

en la placa. Esto se realiza suponiendo la placa comouna viga apoyada sobre resortes cuya rigidez es iguala los módulos de reacción calculados en el pasoanterior. El problema que se resuelve aquí se ilustraen la Figura No.2.

Figura 2. Modelo para encontrar las deflexiones dela placa

4

{ } [ ] { }io

Diiji KSX ∆

+=

−1

1

)(

)()221(

,1,,1,2

,,1,,11,,211,,

tzxtzx

tzxtzxtzxtzx

uu

uuuu

−+

−++

+

+++−−=

α

ααα

2

2

2

2

2

1

z

tC

yx

tC

Dv

Dv

∆∆=

∆∆=

α

α

Las cargas en los resortes se calculan mediante laEcuación Matricial de Interacción, EMI, cuya expresión es

la siguiente:

(6)

en que:vector columna de las reacciones del terreno.matriz de desplazamientos en los nodos i como producto decargas unitarias aplicadas en los nodos j (condición Xi=+1).

matriz diagonal de los inversos de las rigideces en los nodosi

vector columna de deformaciones en los nodos i debido a laaplicación de las cargas estructurales, cuando no hayresortes intermedios apoyando la viga (condición Xi =0)

Ya que las deformaciones del suelo y las de la placa decimentación deben ser iguales, el proceso descrito esiterativo hasta que se encuentre la compatibilidad deesfuerzos y deformaciones entre la placa y el suelo, lo cualse garantiza, por medio de los módulos de reacción de lasubrasante Ki .

De esta manera, y previo chequeo por plastificación de lasbandas extremas, se obtienen las siguientes cantidades en elproceso no-drenado:� Distribución de cargas en el contacto placa-suelo defundación.� Estado de esfuerzos efectivos principales no-drenadosen el inicio de la consolidación.� Exceso de presiones de poros iniciales -antes de laconsolidación-.� Incremento de esfuerzos totales al inicio del proceso dela consolidación.� Parámetros elásticos del suelo de fundación en elmomento inicial del proceso de consolidación (Et y ν).� Cortantes y momentos flectores de la placa de fundaciónpara la condición no drenada o condición inicial.

3.4 Consolidación

Para poder dar solución al problema durante la consolidaciónse deben calcular los módulos de deformación en diferentestiempos. Para tal objetivo, se plantean además de lashipótesis anteriores las siguientes:♦ La disipación en el tiempo del exceso en la presión de

poros, se puede determinar por medio de la siguienteecuación:

(7)

donde:

(8)

que es la ecuación de la consolidación bidimensional.

♦ Los incrementos de esfuerzos totales permanecenconstantes durante el proceso de la consolidación(Formulación desacoplada).

♦ Los parámetros de resistencia -c´ y φ´- del suelodurante el proceso de la consolidación permanecenconstantes.

♦ Aunque la permeabilidad (k) y los parámetros dedeformación del suelo (Et y ν) cambian durante elproceso de la consolidación, la relación

(9)

permanece más o menos invariable, por lo que Cv2D se

puede considerar como constante durante todo elproceso de la consolidación.

Para resolver la Ecuación 7, se utilizó un esquemaexplícito de diferencias finitas que se manifiesta en lasiguiente ecuación:

(10)

en donde:

(11)

Los términos de la ecuación 11 se conocen comolos operadores de la ecuación y deben estar en unintervalo tal que se garantice la convergencia yestabilidad de la solución. Se ha encontrado que sedebe cumplir :

De esta manera, se pueden encontrar los esfuerzosefectivos en cada uno de los puntos de la malla y paracada tiempo en que se quiera hacer el análisis deinteracción. Así, con base en la teoría hiperbólica, sepueden evaluar los módulos elásticos equivalentespara cada punto de la malla y para cada tiempo deanálisis.

Es necesario señalar que lo que quedará en memoriaes la información de los módulos y no la de losesfuerzos. Sin duda, esto conduce a algún grado deinconsistencia en la formulación del problema. Lacoherencia absoluta en la formulación del problemade interacción bajo condiciones de consolidación delsuelo es un problema muy complejo que no trató desolucionarse en este trabajo.

{ }iX

[ ]ijS

DiK

1

{ }io∆

)21)(1(22

2

2

2

22

υυγ −+=

∂∂=

∂∂+

∂∂

w

Dv

Dv

kEC

t

u

z

u

x

uC

)21)(1(2 υυγ −+w

kE

51

61 << iα

5

δASENTAMIENTO

CARGAESTRUCTURAL

PESO TOTAL

Ko

δ

to...Uo=0

δ

K1

t1...

U1

δ

DE LA ESTRUCTURA

t2...

U2

K2

∆

δ δ

∆

ρ2

1

22 K

WE∆=ρ

3.5 Proceso de interacción en el tiempo

Para cada tiempo de análisis se aplicó la metodología deinteracción con los módulos determinados durante lasolución de la ecuación de la consolidación bidimensional.De esa manera se obtienen las reacciones, los diagramas demomentos y cortantes en la losa y los asentamientos delsuelo.En cuanto a los asentamientos se debe tener en cuenta que enla medida que avance el proceso de consolidación la rigidezpromedio del suelo se incrementa como producto delaumento gradual de los esfuerzos efectivos. Por ello, al hacerel análisis de interacción los asentamientos iríandisminuyendo para cada tiempo sucesivo. Esto se debe a quese aplica toda la carga estructural en todo momento puestoque es muy difícil establecer qué porcentaje de esa carga estomada por los esfuerzos efectivos del suelo.Para corregir esa inconsistencia, se determinaron losincrementos en el grado de consolidación promedio del sueloal pasar de un tiempo al siguiente. Concordantemente con lateoría de la consolidación, se estimó que el porcentaje decarga estructural tomada por los esfuerzos efectivos en eselapso de tiempo eran directamente proporcionales a esoscambios en el grado de consolidación promedio. De estamanera, el incremento en el asentamiento de un tiempo dadoal siguiente se calculó como el módulo de reacciónmultiplicado por el incremento de carga estructural tomadadurante ese lapso.

Figura No. 3 Cálculo de asentamientos por consolidación

Para ilustrar este procedimiento es bueno referirse a la FiguraNo.3. En condiciones no-drenadas, aplicando toda la cargaestructural, el asentamiento encontrado por el método deinteracción es δ1 y el módulo promedio de reacción Ko. Paraun tiempo t1 ese asentamiento es δB y el módulo de reacciónK1. De igual forma, para un tiempo t2 el asentamiento seríaδC. Como se ve δC es inferior a δB y se pensaría que elasentamiento va disminuyendo con el tiempo, cosa que no escorrecta. No obstante, si se considera que la carga estructural tomadapor los esfuerzos efectivos en condición no-drenada es:

∆WE1 = Ko*δ1

(12)

el incremento de carga en el lapso de tiempo que vade t0 a t1 será:

∆WE2 = WE x (U1-Uo)

y el incremento de asentamiento:

(13)

De esta forma, el asentamiento para un tiempo t1 será:

(14)

La variación de los asentamiento con el tiempo secalcula siguiendo el procedimiento que se acaba deindicar.

3.6 Análisis de platificación

Para introducir esta parte es necesario mencionar queen el proceso no-drenado se tomó una trayectoria deesfuerzos paralela al eje t, y en el de consolidación latrayectoria era paralela al eje s’. En otras palabras, seconsideró un incremento no-drenado de la presión deporos basado en teoría elástica y se supuso que losesfuerzos totales permanecían constantes durante elproceso de consolidación.

Es posible que una vez lograda la compatibilizaciónentre la placa y el suelo de soporte, en las bandasextremas se encuentren estados de esfuerzos porencima de la envolvente de resistencia. Esto se debeal efecto de arco que será mas importante en lamedida en que la rigidez relativa estructura-suelo seamayor.

Por lo anterior, es necesario verificar que ningúnponto viole la ley de resistencia del suelo. En estecaso, se utilizó la envolvente de resistencia de Mohr –Coulomb.

Como en el problema se conocen los estados deesfuerzos de todos los puntos de la masa de suelo, sepueden calcular los esfuerzos equivalentes s ́ y t yverificar la condición de falla mediante el criterio deresistencia de Mohor-Coulomb. De esa manera, seestará en condición de fluencia si:

(15)

En la Figura No.4 se muestra un elemento de suelo A,cerca del extremo de la placa. Este elemento seencuentra sometido al estado de esfuerzos que semuestra en el detalle.

´sin´´cos´ φφ ∗+∗≥ sct

212 ρδδ +=

6

α

Estado de esfuerzos PERMISIBLES

(Geoestáticos)Estado inicial de esfuerzos

Estado de esfuerzos

de la placa al terrenouna vez aplicada la carga

A

A

Df

τ

τ

xzi

xzi

zi

,xiσ

B

Estado de esfuerzos durante la

(Geoestáticos)Estado inicial de esfuerzos

consolidación

Figura 4 Estado deesfuerzos bajo lasbandas extremas

en el punto A

Llevando este estado de esfuerzos a un diagrama s´- t, sepueden presentar dos casos: que el suelo esté o no este enfalla. En el caso de la condición no-drenada, la condición deno falla se ilustra en la Figura No.5 y la condición deplastificación en la Figura No.6.

Figura 5 Condición de esfuerzos del suelo que no estaen falla

Figura 6Condición deesfuerzos del

suelo que estaen falla

Como no puede haber un estado de esfuerzos por encima dela envolvente de resistencia, se debe encontrar la presiónmáxima admisible del suelo de fundación. La propuesta esobligar que el punto de coordenadas s´1i, t1i, de la Figura 7,se ubique exactamente sobre la envolvente de falla punto s´1i,t2i, .

Figura 7 Presión máxima admisible

Se supuso entonces que este era el estado deesfuerzos que actuaba en el punto de consideración,se estableció el esfuerzo de contacto y se trató, al serconocido, como una carga estructural en el proceso deinteracción.

Para estudiar el fenómeno de plastificación en elproceso de consolidación se debe hacer referencia a laFigura No.8. En principio la trayectoria no-drenadava del punto 1 al punto 2, y la trayectoria durante laconsolidación del punto 2 al punto 8. Si hayplastificación, en el proceso no-drenado el punto dosse baja al punto 2’, como se explicó anteriormente.De igual manera, los puntos 3 4 y 5, quecorresponden a diferentes tiempos del proceso deconsolidación, se bajaron a los puntos 3’ a 5’ quequedan sobre la envolvente de resistencia. Comoestos últimos estados de esfuerzos son conocidos,también lo serán las reacciones en las bandasplastificadas. Por ello, estas reacciones fuerontratadas como cargas estructurales para cada uno delos tiempos correspondientes.

Figura 8 Trayectoria de esfuerzos efectivos paraun caso especial

)(sin

cos´*

φαφ

ATAN

ca

==

α

(Geoestáticos)Estado inicial de esfuerzos

una vez aplicada la cargade la placa al terreno

Estado de esfuerzos

α

Estado inicial de esfuerzos(Geoestáticos)

una vez aplicada la cargaEstado de esfuerzos

de la placa al terreno

)(sin

cos´*

φαφ

ATAN

ca

==

7

Módulo número

Módulo exponente

Relación de falla

Presión atmosférica

Numero módulo Bulk

Exponente bulk

Coeficiente de consolidación

Peso unitario saturadoγγ Sobrecarga a nivel de cimentación

φ

Cohesión

Fricción

1 4 6 8 10 12 14 17Punto

3431292725232118

5148464442403835

6865636159575552

8582807876747269

10299979593918986

119116114112110108106103

136133131129127125123120

153150148146144142140137

170167165163161159157154

187184182180178176174171

204201199197195193191188

221218216214212210208205

(antes de consolidación)Estado de esfuerzos PERMISIBLES

Estado inicial de esfuerzos

Estado de esfuerzos PERMISIBLES durante la

(Geoestáticos)

consolidación

Finalmente, la trayectoria que se trabajó en las bandasplastificadas es la que se muestra en la Figura No.9.

Figura 9 Trayectoria de esfuerzos efectivos corregidapara un caso en falla

4. EJEMPLO

4.1 Datos de la cimentación

A continuación se presentan, los resultados para unanálisis a 30 años de la losa de cimentación de la FiguraNo.10, tomada de “Interacción suelo-estructura decimentación Zeevaert 1991”.

EI=6x105 Tm2

Figura 10. Planta de la placa de cimentación

Para el análisis en el sentido largo, la placa se puederepresentar como la viga que aparece en la Figura No.11.

Figura 11. Representación de la placa de cimentación

Por otra parte, los parámetros hiperbólicos delsuelo y las otras propiedades geomecánicaspertinentes se detallan en la Figura No.12

Figura 12. Parámetros del suelo

En la Figura No.13 se ilustra la malla utilizada paralos análisis drenado y no drenados.

4.2 Análisis del proceso no-drenado

Los resultados de condición no-drenada,consistentes en las reacciones en las bandas y losasentamientos respectivos se ilustran en la Tabla No.1en este caso no se presentó plastificación de lasbandas extremas.

Figura 13. Discretización de la placa y del suelo:se muestra la numeración de las bandas y de los

nodos

8

0

5

10

15

20

25

30

-2,0 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0Incrementos de esfuerzos (t/m2)

Pro

fund

idad

(m)

∆σz

∆σx

∆τxz

0

5

10

15

20

25

30

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0

Exceso inicial de presión de poros (t/m2)

Pro

fund

idad

(m)

∆u

-3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0Incrementos de esfuerzos efectivos (t/m2)

Pro

fund

idad

(m)

∆σ´z

∆σ´x ∆τxz

0

5

10

15

20

25

30

0 5 10 15 20 25 30Esfuerzo efectivo (t/m2)

Pro

fund

idad

(m)

σ´1

σ́ 3

Tabla 1. Resultados para condición no drenada

Antes de analizar los efectos sobre la losa se quiereilustrar algunos resultados previos del análisis no-drenado.Para tal efecto, se mostraran los resultados obtenidos bajo labanda No.1.

En la Figura No.14 se muestran las magnitudes de losincrementos de esfuerzos y su variación con la profundidad

Los incrementos no-drenados de la presión de poros secalcularon mediante la teoría de Skempton usando elparámetro (A=1/2) que corresponde al valor elástico paracondición plana de deformaciones. En la Figura No.15 semuestra la variación de ese incremento no-drenado de lapresión de poros con la profundidad bajo la banda 1.

Figura 14. Incrementos de esfuerzos Bajo la banda 1.

Figura 15 Exceso no-drenado en la presión de porosbanda 1

Como resultado del balance entre incrementos deesfuerzos totales y presión de poros no-drenada, secalcularon los incrementos de esfuerzos efectivosobteniendo la variación de esos esfuerzos en términosde la profundidad como se muestra en la FiguraNo.16.Al sumar vectorialmente los incrementos a losesfuerzos efectivos in situ se obtiene el estado deesfuerzos efectivos en la etapa no-drenada del procesode carga, tal como se muestra en la Figura No.17.

Figura 16. Incremento de los esfuerzos efectivospara los puntos bajo la banda 1.

Figura 17. Estado de esfuerzos efectivosprincipales en la mitad del incremento para los

puntos bajo la banda 1.

Usando la teoría de las relaciones hiperbólicas, en quelos módulos de deformación dependen del estado deesfuerzos efectivos y de su trayectoria sedeterminaron los módulos que deberían utilizarse enel proceso no-drenado. En la Figura No.18 secompara el módulo de Young tangente no-drenadocon el correspondiente al estado de esfuerzos in-situ.

BANDA Carga(ton)

Esfuerzo(t/m2)

Asentamiento(cm)

A 354.672 7.389 10.701 350.640 7.305 11.702 361.344 7.528 12.403 361.344 7.528 12.404 350.640 7.305 11.70B 354.672 7.389 10.70

9

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

0 6 12 18 24Longitud (m)

Fue

rza

Cor

tant

e (t

)

-1200

-1000

-800

-600

-400

-200

0

200

0 6 12 18 24Longitud (m)

Mom

ento

flec

tor

(txm

)

0

5

10

15

20

25

30

0 200 400 600 800 1000

Modulo tangente (t/m2)

Pro

fund

idad

(m)

Estado geoestático

Mitad del incremento

0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4 5 6 7 8Exceso en la presión de poros (t/m2)

Pro

fun

did

ad

(m)

T=0

T=1

T=2

T=3

T=4

T=5

T=6

T=7

T=8

T=9

T=10

T=11

T=12

T=13

T=14

T=15

T=16

Figura 18. Modulo de Young tangente EtLa disminución sistemática en la magnitud del módulo sedebe a tanto a la generación de presiones de poros como a laexistencia de la trayectoria vertical que resulta al utilizarparámetros de presión de poros elásticos.

Figura 19. Diagrama de fuerza cortante para la condiciónno drenada

Figura 20. Diagrama de momento flector para lacondición no drenada

Las reacciones de la Tabla No.1 producen en la losade cimentación los diagramas de fuerza cortante ymomento flector que se muestran en las Figuras 19 y20.

4.3 Análisis del proceso de consolidación

Utilizando el programa se solucionó el problema de laconsolidación bidimensional obteniendo la magnituddel incremento de presión de poros en cada punto dela malla como una función del incremento no-drenadoy del tiempo transcurrido desde el momento de laaplicación de las cargas en condiciones planas dedeformación. En la Figura No.21 se muestran losresultados obtenidos bajo la banda No.1 para un lapsode 30 años.

Figura 21 Comportamiento del exceso de presiónde poros en 30 años bajo la banda 1

En la Figura No.22, y para efectos de ilustración, sehizo el mismo ejercicio para un periodo de 120 años.Como puede apreciarse, el suelo de cimentación esmuy plástico y compresible de forma tal que elproceso de deformación progresará a lo largo detiempos muy considerables.

Con esto se demuestra que las determinaciones de losasentamientos para una condición puramente drenadapuede ser un procedimiento muy conservador ensuelos arcillosos muy plásticos.

Para efectos de ilustración y de comprobación de laeficiencia del programa se construyó la Figura No.23que muestra la variación de la presión de poros a lolargo de un corte horizontal a 4 metros bajo laprofundidad de cimentación.

10

0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Exceso de presión de poros (t/m2)

Pro

fund

idad

(m)

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

12,0

14,0

0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0s´ (t/m2)

t (t/m

2)

Nodo 108

Nodo 176

Nodo 6

Nodo 23

Nodo 193

Envolvente de falla

200

300

400

500

600

700

800

900

0 5 10 15 20Intervalo de tiempo

Par

ámet

ro (

t/m2 )

Modulo Tangente

Modulo Inicial

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

0 4 8 12 16 20 24Distancia (m)

Exc

eso

de p

oros

(t/m

2 )

Figura 22. Comportamiento del exceso de presión deporos en 120 años bajo la banda 1

Figura 23. Comportamiento del exceso de presión deporos en 120 años bajo la placa a 4 metros de

profundidad.

El proceso de consolidación hace que se presente unavariación de esfuerzos efectivos en el tiempo y comoproducto de ella, una variación en los módulos dedeformación del suelo. En la Figura No.24 se muestran lastrayectorias de esfuerzos en varios puntos de la mallaevidenciando una pérdida de rigidez durante el proceso no-drenado y una recuperación durante el proceso deconsolidación. Una evidencia de esa recuperación se muestraen la Figura No.25 donde se pueden apreciar los aumentostanto del módulo tangente inicial como del módulo tangenteen la medida que progresa el proceso de la consolidación.Esa gráfica se hizo para un nodo particular de la malla pero

el comportamiento es similar en todo el suelo decimentación.

Figura 24 Trayectoria de algunos puntos bajo labanda 1 durante consolidación

Figura 25 Parámetros de deformación –módulo deYoung inicial y tangente- para el nodo 23 durante

consolidación

Al poder conocer los módulos de deformación delsuelo en el tiempo, es posible realizar los análisis deinteracción para diferentes épocas. Con ello se puedendeterminar las variaciones en las reacciones y en lasfuerzas cortantes y en los momentos flectores queactúan sobre la losa durante la consolidación delsuelo. Tales efectos se ilustran en las Figuras 26 a 30.Para el caso en estudio se ve que la condición críticapara momento positivo es la condición no drenada ypara momento negativo la condición de deformacióna largo plazo. Las variaciones se acercan a un 30%para el caso de momento positivo máximo y de 42%

11

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

5000 6 12 18 24

Longitud (m)

Fue

rza

Cor

tant

e (t

)

-1200

-1000

-800

-600

-400

-200

0

200

400

0 6 12 18 24Longitud (m)

Mom

ento

flec

tor

(txm

)

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

5000 6 12 18 24

Longitud (m)

Fue

rza

Cor

tant

e (t

)

T=0 años

T=30 años

-1200

-1000

-800

-600

-400

-200

0

200

4000 6 12 18 24

Longitud (m)

Fue

rza

Cor

tant

e (t

)

T=0 años

T=30 años

5,0

5,5

6,0

6,5

7,0

7,5

8,0

8,5

9,0

1 2 3 4 5 6Banda

Pre

sión

de

rea

cció

n (t

/m2

)

para momento negativo. En el caso concreto del caso quese esta analizando.

Figura 26 Cambio en las reacciones debido al proceso dela consolidación

Figura 27 Diagramas de fuerza cortante durante elproceso de la consolidación

Figura 28 Diagramas de momento flector durante elproceso de la consolidación

Figura 29 Diagramas de fuerza cortante para losestados inicial y final del análisis

Figura 30 Diagramas de momento flector para losestados inicial y final del análisis

5. CONCLUSIONES• Los procedimientos de interacción proveen desoluciones más analíticas por que consideran laspropiedades del suelo y de la estructura. En esesentido dan cuenta de la influencia de la rigidezrelativa sobre el comportamiento de la estructura decimentación y del suelo.• Es un hecho reconocido que las relacionesconstitutivas de los suelos están representadas pormódulos de deformación cuya magnitud depende delestado y trayectoria de esfuerzos y de la historiaprevia de consolidación. Consecuentemente, lassoluciones más precisas deben dar cuenta de estehecho dentro del proceso de interacción suelo-estructura.

12

• Finalmente, un buen diseño debe considerar el hechode la consolidación de los suelos durante la vida útil de lasestructuras. Este fenómeno hace que haya cambios en lasreacciones de cimentación durante el tiempo. En estetrabajo se tienen en cuenta esas tres variables con el objetode predecir, dentro de un rango de precisión aceptable,cuáles serán las solicitaciones críticas sobre la estructura decimentación y el progreso de los asentamientos con eltiempo.

• En el trabajo se ha podido ilustrar que las condicionescríticas no se presentan en un solo momento en el tiempopor lo que habrá de recurrirse a envolventes que garanticenun diseño adecuado de las estructuras de cimentación. Enesta misma dirección, se han podido determinar variacionesde hasta un 40% en los momentos flectores negativos quese presentan en la estructura. Aunque esto se deduce paraun caso particular, parecería útil la valoración delcomportamiento del sistema de cimentación con el tiempo.

• Este trabajo se ha hecho utilizando algunassuposiciones simplificadoras como la de suponer cargasestructurales constantes sobre la estructura de cimentacióny esfuerzos totales constantes durante el proceso deconsolidación. De igual forma, el problema se hasimplificado considerando condiciones planas dedeformación. En lo que tiene que ver con el suelo, se hanusado relaciones constitutivas relativamente simplesbasadas en la teoría de la elasticidad incremental. En lamedida en que se desarrollen trabajos adicionales quesuperen las limitaciones que imponen las suposicionesreferidas, se podrían ratificar los resultados de este trabajoen el sentido de mostrar la conveniencia de desarrollarprogramas para predecir el comportamiento de lascimentaciones con el tiempo.

• Sin duda, se trata de procesos de análisis y de cálculoscomplejos que requerirían de una mayor base experimentalsobre estructuras reales. Consecuentemente, se requiere desistemas de instrumentación robustos y durables paraconfrontar este tipo de predicciones con el comportamientoreal de las estructuras.

6. BIBLIOGRAFÍASilva Castro, J.J. (2003) Comportamiento de Losas deCimentación durante el Proceso de Consolidación. Tesis deMaestría, Universidad Nacional de Colombia.

“Desing applications of raft foundations”. (2000) Publishedby Thomas Telford Ltd.

Zeevaert, W. L. (1991), “Interacción Suelo – Estructura deCimentación”

Zeevaert, W. L. (1983), “Foundation Engineering fordifficult subsoil conditions”

Zeevaert, W. L. (1997), “ISE- Interacción Suelo –Estructura de Cimentaciones Superficiales yProfundas”

Bogotá, D.C. Agosto de 2003.