CONCEBIR y ANALIZARESTRUCTURAS

Jaime Cervera

Con ebir y analizar estru turasJaime Cervera BravoDepartamento de Estru turas de Edi a iónEs uela Té ni a Superior de Arquite turaUniversidad Polité ni a de MadridV2.0, Enero de 2008

Debo ha er onstar mi re ono imientoa las mu has personas que, a lo largode los años, me han ayudado a enten-der on más profundidad el omporta-miento estru tural, y las di ultades pa-ra su omprensión. Buena parte de ellasson mis apre iados olegas en las dis-tintas a tividades en el Departamentode Estru turas de Edi a ión de la Es- uela de Arquite tura de Madrid. Perotambién ha resultado formativa el diá-logo on otros profesionales y alumnos,pues a menudo la ne esidad de reformu-lar uestiones difí iles aporta interesan-tes perspe tivas no siempre sospe hadas.Aunque mis deudas son múltiples, só-lo itaré explí itamente a Mariano Váz-quez, que ha tenido la deferen ia de leerdetenidamente el texto, y proponer a er-tadas orre iones. A todos, mi gratitud.Esta obra está bajo una li en ia deCreative Commons. Algunos dere hosreservados.http:// reative ommons.org/li enses/by-n -sa/2.5/es/

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ÍNDICE GENERAL 3Índi e generalI Bases 61. Introdu ión 71.1. Con ebir y omprobar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2. Lenguaje y per ep ión: el papel del análisis . . . . . . . . . . . . 91.3. Analizar estru turas para omprenderlas . . . . . . . . . . . . . . 101.4. La teoría de proye to de estru turas . . . . . . . . . . . . . . . . 122. Bases del análisis 132.1. El modelo estru tural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2. Equilibrio o admisibilidad estáti a . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3. Compatibilidad o admisibilidad inemáti a . . . . . . . . . . . . 272.4. Constitu ión material, o admisibilidad material. Rela iones derigidez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.5. Trabajo y energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.6. Prin ipio de superposi ión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.7. Prin ipio de los trabajos virtuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.7.1. Dualidad me áni o inemáti a . . . . . . . . . . . . . . . 362.8. Análisis lineal y no lineal. Primer orden. Segundo orden, . . . . . . 372.8.1. Análisis lineal y no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.9. La solu ión elásti a del problema estru tural . . . . . . . . . . . 402.9.1. Sustenta iones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.9.2. Subestru turas: ondensa ión estáti a . . . . . . . . . . . 412.10. Las teorías de estru turas: esquema on eptual general. . . . . . 43II Análisis 453. Elementos en Estru turas de edi ios 463.1. Punto, rebanada, pieza, y estru tura . . . . . . . . . . . . . . . . 463.1.1. Estado de tensión en un punto . . . . . . . . . . . . . . . 473.1.2. Estado de soli ita ión en una rebanada . . . . . . . . . . 483.1.3. Estado de esfuerzos y deforma iones en una barra re ta . 523.1.4. Estado de una estru tura sometida a argas . . . . . . . . 603.2. Barras. Realidad y abstra ión. Tipos y modelos . . . . . . . . . 633.3. Uniones. Tipos. Modelos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.3.1. Uniones simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.3.2. Uniones intermedias. El modelo de resorte. Uniones in- ompletas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.3.3. Nudos semirrígidos en estru turas metáli as . . . . . . . . 69

ÍNDICE GENERAL 43.4. Elementos super iales típi os. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734. Análisis basados en el equilibrio elásti o 744.1. Métodos de análisis matri ial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.1.1. Introdu ión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.1.2. Equilibrio a ionessoli ita iones. . . . . . . . . . . . . . . 764.1.3. Compatibilidad movimientos-deforma iones . . . . . . . . 794.1.4. E ua iones de rigidez esfuerzos-deforma iones . . . . . . . 824.1.5. Solu ión de los problemas elásti os . . . . . . . . . . . . . 834.2. Introdu ión al método de los elementos nitos . . . . . . . . . . 845. Análisis basados en la disipa ión plásti a 915.1. Métodos en rotura. Teoremas del análisis límite. . . . . . . . . . 915.1.1. Modelos de rotura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.1.2. Regla de ujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.1.3. Modelos de seguridad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.1.4. Teoremas fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.2. Apli a iones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.2.1. Estru turas de barras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103III Proye to 1096. Teoría de proye to 1106.1. Introdu ión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.2. El proye to de estru turas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.2.1. Normaliza ión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1126.2.2. Las buenas solu iones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.2.3. Comproba ión o proye to . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146.3. Teoría de proye to y optimiza ión . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1166.3.1. Problemas de minimiza ión . . . . . . . . . . . . . . . . . 1166.3.2. Métodos apli ables a problemas de minimiza ión de fun- iones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1196.3.3. Métodos apli ables a problemas de minimiza ión de fun- ionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256.3.4. Métodos a utilizar en el desarrollo de una teoría de proye to1266.4. Análisis genéri o. Tipos, formas y parámetros . . . . . . . . . . . 1276.4.1. El análisis omo herramienta de la teoría de proye to . . . 1276.4.2. Tipos estru turales según el uso . . . . . . . . . . . . . . 1286.5. La medida del onsumo en estru tura . . . . . . . . . . . . . . . 1307. Cantidad de estru tura 1327.1. Deni iones y estima ión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327.1.1. Deni iones bási as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327.1.2. Rela ión on otras magnitudes . . . . . . . . . . . . . . . 1347.1.3. Cantidad de estru tura tra ionada y omprimida . . . . 1357.1.4. Cantidad de estru tura horizontal y verti al . . . . . . . . 1367.2. Teoremas fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1377.2.1. Constan ia del número de Maxwell . . . . . . . . . . . . . 1377.2.2. Cara teriza ión de solu iones óptimas . . . . . . . . . . . 142

ÍNDICE GENERAL 57.2.3. Rela ión entre la e ien ia estru tural y la rigidez . . . . 1457.2.4. Cambios de anto y estru turas anes. Esbeltez óptima . 1487.3. Expresión genéri a para la antidad de estru tura . . . . . . . . . 1547.4. Cantidad de estru tura y peso propio . . . . . . . . . . . . . . . . 1567.4.1. Al an e o tamaño insuperable. . . . . . . . . . . . . . . . 1567.4.2. Carga y peso propio. Fa tor de amplia ión de arga . . . 1577.5. Cualidades geométri as: parámetros estru turales de la forma. . . 1587.5.1. Tamaño y propor ión en las estru turas . . . . . . . . . . 1608. Consumo en tipos estru turales bási os 1628.1. Cantidad de estru tura de barras omprimidas o tra ionadas . . 1628.2. Cantidad de estru tura en vigas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1638.2.1. Cantidad de estru tura en ordones de vigas . . . . . . . 1638.2.2. Cantidad de estru tura en el alma de vigas . . . . . . . . 1658.2.3. Cantidad de estru tura total en vigas . . . . . . . . . . . 1668.3. Cantidad de estru tura en ar os funi ulares . . . . . . . . . . . . 1678.4. Cantidad de estru tura en er has de anto variable . . . . . . . 1698.5. Cantidad de estru tura en otros tipos estru turales . . . . . . . . 1728.5.1. Cantidad de estru tura de vigas o er has radiales sobreapoyo ir unferen ial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1738.5.2. Cantidad de estru tura de Pla a ir ular . . . . . . . . . 1748.6. Resumen de valores de antidad de estru tura. . . . . . . . . . . 1768.7. Esbeltez óptima. Expresión general de la antidad de estru tura. 1779. Planos paralelos: solu iones adinteladas 1799.1. Resisten ia y rigidez de solu iones de vigas paralelas . . . . . . . 1799.1.1. Esbelte es base y límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1819.1.2. Comproba iones, bien sin peso propio, bien on sólo éste . 1839.2. Coste de las solu iones adinteladas . . . . . . . . . . . . . . . . . 18810.Cubiertas: solu iones urvas. 18910.1. Solu iones: transi iones entre formas alternativas . . . . . . . . . 18910.1.1. Viga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19010.1.2. Emparrillado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19110.1.3. Ar os paralelos. Bóvedas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19210.1.4. Ar os ruzados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19310.1.5. Ar os radiales. Anillos y úpulas. . . . . . . . . . . . . . . 19410.1.6. Cer has radiales. Solu iones híbridas. . . . . . . . . . . . 19610.1.7. Catenarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19610.1.8. Con lusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19711. Geometría y estru tura. Con lusiones 19911.0.9. Análisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19911.0.10.Proye to . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200A. Solu iones a los problemas 202B. Comproba ión plásti a de perles 204

Parte IBases

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Capítulo 1Introdu iónLa on ep ión y el proye to de estru turas requieren una visión de su om-portamiento que usualmente se adquiere por experien ia, auque puede a elerarse uando se omprenden las bases geométri as de la respuesta estru tural. Estetexto trata de presentar ono imientos que, al abo de los años, he llegado a onsiderar bási os para al anzar di ha omprensión. Presento, por un lado, lasbases y las herramientas de análisis de estru turas sus eptibles de empleo gene-ralizado, apli adas fundamentalmente a tipos ligados a la edi a ión. Por otrolado estudio las generaliza iones que pueden derivarse, empleando di hos mé-todos, sobre la rela ión entre el omportamiento estru tural y la forma de laestru tura. El presente texto ontiene la base de un breve seminario de do to-rado de 10 horas impartido desde el año 2004. Sus pretensiones no al anzan,sin embargo, las de ser un texto ompleto en ningún tipo de re orrido1, sinomás bien una sele ión personal, a ve es de regularidades, en otros asos desingularidades, de ará ter teóri o, apa es de guiar el difí il traye to orientadoa intuir la rela ión entre forma y omportamiento.En esta introdu ión, entendiendo la distan ia que media entre on ebir y omprobar las estru turas, se argumenta la ne esidad de dominar las té ni as deanálisis en su forma más general omo modo de interiorizar el omportamientoestru tural.En el primer apítulo se revisan los on eptos bási os omunes a los diferentesmétodos de análisis, poniendo de maniesto sus rela iones.En los apítulos siguientes se desarrollan on mayor detalle métodos elás-ti os y plásti os apli ables a estru turas típi as de edi a ión, omo son lasestru turas de pisos superpuestos, y las de ubierta.Más adelante se emplean tales métodos para evaluar y estimar el ompor-tamiento general de los tipos de estru tura señalados, en base a sus ualidadesgeométri as o de forma.Finalmente se on luye revelando algunas de las bases formales más generalesque pueden onsiderarse responsables del buen omportamiento estru tural.Es pre iso re ono er aquí el papel fundamental que, para este texto, hasupuesto la do en ia en el Departamento de Estru turas de Edi a ión de laEs uela Té ni a Superior de Arquite tura de la Universidad Polité ni a de Ma-drid, en el que han germinado, de la mano de mis olegas, mu has de las ideas1Pueden apre iarse múltiples aren ias si se observa on la perspe tiva de lo que podría onstituir un texto de introdu ión al omportamiento estru tural.7

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 8que aquí se presentan. El rastreo de su origen sería una interesante tarea dere ono imiento, en buena parte por ha er. Cabe, sin embargo, desta ar el papelbási o desempeñado por Ri ardo Aro a en el ini io y en la dire ión de estalínea de reexión a través de su do en ia en di ho departamento.1.1. Con ebir y omprobarLos arquite tos tenemos una lara idea de la diferen ia existente entre on- ebir y validar un on epto. Todo proye to no onsiste más que en un repetido i lo on ep ión omproba ión, i lo en el que los resultados de la omproba- ión apli ada al objeto que se on ibe, o bien validan el on epto, rati an sua tual estado, o bien fuerzan a su orre ión más o menos profunda, en un pro- eso de progresión en el detalle de lo on ebido, y de progresiva ade ua ión delobjeto imaginado a los requisitos a que debe plegarse el objeto real que pregu-ra. Di ho pro eso no es lineal, no está asegurado que las bases de partida hayande ser inamovibles y, a menudo, deben ser modi adas provo ando importantesaltera iones.En di ho pro eso podría hablarse de poten ia y pre isión2 omo términos querevelan aspe tos de di ha progresión ha ia la realiza ión bus ada: las de isionestienen mayor o menor poten ia según supongan un impa to mayor o menor enla materializa ión on reta. De isiones de mu ha poten ia que se revelan inade- uadas impli arán orre iones importantes de forma, y es importante asegurarsu justeza lo antes posible en el pro eso de proye to, pues todo el trabajo derenamiento desarrollado puede revelarse inútil.La pre isión está ligada al progresivo renamiento en el on epto, su progre-siva aproxima ión a la realidad pretendida.El pro eso de proye to se entiende así omo un pro eso de on ep ión omproba ión, en el que las de isiones se produ en en general en el sentido delas de progresivamente menor poten ia, y progresivamente mayor pre isión, yen el que la omproba ión, sea sobre la totalidad del objeto, sea sobre parteso abtra iones del mismo, debe permitir su valida ión frente a los objetivos orequisitos a umplir.Trasladando tales ideas a las estru turas resulta fá il entender la dialé ti aentre su on ep ión y su valida ión. En di ha dialé ti a, la fase de on ep iónintera túa on el resto de los aspe tos arquite tóni os onsiderados en el pro-ye to del objeto que se pretende edi ar, siendo los requisitos estru turales sóloparte de los requisitos generales a que el proye to responde.La fase de omproba ión, sin embargo, goza de autonomía propia: podemosasegurar la validez de una estru tura sea experimentalmente, sea analíti amenteal margen de otras onsidera iones, si bien di ha validez meramente estru turalno asegura la validez del proye to, la ompatibilidad de la estru tura on otroselementos de éste, et .3 Ahora bien, la omproba ión estru tural exige mu hapre isión en el diseño, mu ho detalle en la deni ión del objeto proye tado. El aso más extremo lo representa el análisis experimental: es pre iso produ ir unobjeto real ompleto o un modelo a es ala para el experimento. Las teorías2Con eptos identi ados en los ursos impartidos por Ri ardo Aro a en la ETSAM.3Di ho sea de paso, esta autonomía permite la existen ia de una asta de espe ialistasque, en tanto a túan omo tales, se sitúan al margen del resto de las onsidera iones a queresponde el proye to, lo que da origen a no po os problemas de omuni a ión.

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 9de análisis estru tural permiten dis ulpar la onstru ión del objeto, al prede irteóri amente el resultado del experimento en él sobre la base de experimentosprevios y de las generaliza iones que la teoría aporta, pero el análisis requieremu ha deni ión. Hoy día pueden realizarse análisis sobre modelos teóri os osimulados informáti os de estru turas de todo tipo, pero los métodos másgenerales, para asegurar sus predi iones, requieren de tal úmulo de informa- ión, que el detalle o pre isión on que debe estar denido el objeto a analizares muy alto. Por otro lado los pro esos de omproba ión, sean experimentaleso analíti os, son en ierta medida iegos u os uros: la arma ión de validez oinvalidez, aporta en mu has o asiones muy po a informa ión sobre las orre io-nes a realizar: un ejemplo lási o es el de los pórti os de gran altura sometidosa viento en los que el fallo de los pilares inferiores debe a onsejar el aumentoen las dimensiones antos de las vigas de las plantas más bajas, on lusióninvisible omo resultado del análisis.Resulta evidente que la toma de de isiones en el desarrollo de la estru tura,realizada en el urso del proye to ompleto, debe fa ilitar que las de isiones demayor poten ia las que responden a los parámetros geométri os y tipológi osfundamentales puedan tomarse pronto on garantías de validez, on inmuni-dad frente a las de isiones de pre isión mayor que se tomen posteriormente: porejemplo, es deseable a ertar en las dimensiones de vigas de hormigón, previas asu posterior armado, aun uando es en el pro eso de armado en el que se validandi has dimensiones.Dado que la mayor parte de las omproba iones a que se someten los modelosen las fases ini iales de proye to se basan en su deni ión geométri a, resulta degran valor asegurar la idoneidad estru tural a partir de parámetros geométri os:dimensiones, propor iones, tamaños . . . , de modo que las potentes de isionesini iales tengan una buena garantía de validez posterior.Esto permite entender la importan ia que supone la omprensión del om-portamiento estru tural, en lo posible desde la forma de la estru tura, en lasfases ini iales de on ep ión, y la importantísima diferen ia de ono imientoque esta omprensión supone frente a la apa idad general de análisis. Es es-te ono imiento el que puede on eptuarse omo visión del omportamientoestru tural.1.2. Lenguaje y per ep ión: el papel del análisisLa per ep ión de ualquier lase de objetos está íntimamente aso iada alas pautas de interpreta ión aprendidas on anterioridad al a to de per ibir.Desde el na imiento, la mayor parte de la a tividad intele tual ons iente oin ons iente está destinada a rear el mar o de interpreta ión de los objetos ya onte imientos que onforman el entorno vital.Di ho mar o, de omplejidad re iente, tiene una doble dimensión que po-demos ali ar de paradóji a. Pues por un lado, al eñir las pautas on quese observa la realidad, tienen un papel de onstri ión que redu e las formasen que di ha realidad puede ser aprehendida. La realidad quedaría deformadapor di ho mar o. Pero por otro lado, sin él, la omplejidad de la realidad nopuede ser des rita ni omprendida de modo alguno, de modo que la aren ia demar o resulta más redu ionista que su propia omplejidad. La evolu ión en laper ep ión, la mejora en la apa idad de per ibir, resulta más bien del aumento

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 10en la omplejidad del mar o mismo, y su mejor apa idad de adapta ión parades ribir nuevos aspe tos de la realidad.De este modo la per ep ión y el lenguaje tienen una extrema ligazón entodos los ampos de la ultura, ien ia in luida. Sólo se per ibe on pre isión loque puede des ribirse on análoga pre isión, es de ir, aquello sobre lo que puedeapli arse un lenguaje espe í o.El lenguaje umple no sólo el papel de estable er el entramado que ha e po-sible la per ep ión; es responsable de la apa idad de des rip ión, onsiderandotanto la introdes rip ión aso iada a la omprensión de lo per ibido, omo laextrades rip ión, base de la omuni a ión on otros.La omprensión del omportamiento estru tural y la apa idad de omuni ardi ho omportamiento está íntimamente ligada al lenguaje que permite expresarhe hos sobre resisten ia o deforma ión de las estru turas, y por lo tanto, elanálisis de estru turas juega un papel entral en di ha omprensión.No es posible una per ep ión ompleja e inteligente de las estru turas sinuna seria apa idad de análisis de éstas. Se trata, por supuesto, de una ondi- ión ne esaria aunque no su iente. No por ser buen analista se asegura una apa idad de omprensión e innova ión estru tural, pero es ése un paso en labuena dire ión.Un objetivo primordial de este texto es, por tanto, profundizar en di holenguaje, tratar de dominarlo, al menos apli ado a los tipos estru turales queaborda.Pero las posiblidades de liberarse de las onstri iones que el propio lenguajeimpone están ligadas a la apa idad de abstra ión y generaliza ión de di holenguaje. Así pues, no sólo por razones de omuni abilidad, sino por razones aúnmás egoístas, de libertad personal, de apa idad de innova ión, de apa idadpara desembarazarse del análisis mismo, es ne esario avanzar en el grado deabstra ión on que se onsidera el análisis.En esta línea es sorprendente onstatar el es aso número de on eptos fun-damentales que sustenta toda la reexión sobre las estru turas, y su elevadaversatilidad. Unos po os elementos presentan disfra es aparentemente muy di-feren iados en estru turas de tipos diferentes, pero nuestra a tual apa idad deabstra ión permite entenderlos omo aspe tos diferentes del mimo tipo de on- epto, y no sólo entenderlos de di ha forma omún, sino de operar on ellos dela misma forma. Los a tuales programas de análisis por elementos nitos basansu universalidad pre isamente en la generalidad de apli a ión de unos po osmuy po os on eptos bási os, semejantes en todos los tipos de omporta-miento estru tural a que pueden apli arse.Trataremos de avanzar en el grado de abstra ión on que se onsideran ytratan las uestiones estru turales, bus ando des ribir su fun ionamiento generalre urriendo a objetos de interpreta ión global, por tanto más omplejos.1.3. Analizar estru turas para omprenderlasLa omprensión de las estru turas va más allá de la omprensión del lenguajeempleado para ategorizarlas, hay también que saber hablar de ellas: no sólohay que entender de estru turas, de teoría estru tural; para proye tar hay queentender las estru turas.

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 11Este aprendizaje sólo es posible tratando on estru turas, reales o virtuales,pero en buen número, onsiderando y omparando mu has. No se trata sólo deque la abstra ión se aprenda indu tivamente: el pro eso dedu tivo es posiblesólo uando ya se ha al anzado ierto nivel on eptual, y por tanto el aminodel aprendizaje es de doble vía, de ida y vuelta en ierta forma, í li o: de-ben revisarse tipos que se reían ono idos a la vista de los nuevos grados de ono imiento al anzados. Se trata de análoga diferen ia a la que existe entre ono er las teorías sobre el olor y la omposi ión, y ser apaz de aprehender yemo ionarse ante la belleza de olor o omposi ión de una obra de arte. Saberanalizar una estru tura es sólo un paso en aprehender de un modo global, in-tuitivo, o físi o, el omportamiento de di ha estru tura. Para llegar a ello hayque estable er una ierta empatía entre la des rip ión ualitativa y uantitativade su omportamiento on estados del propio uerpo: por poner una imagengrá a sen illa, se trata de llegar a experimentar in omodidad físi a y no sólointele tual a la vista de geometrías inestables o ine a es.Es importante no olvidar el doble aspe to ualitativo y uantitativo de la uestión estru tural: en ien ia, en ien ia físi a parti ularmente, y desde luegoen estru turas, la ualidad se mide en la antidad, y no hay ualidad separadade la antidad misma. La ualidad es un atributo o onstru to on eptual queapli amos para des ribir y lasi ar antidades y sus rela iones, que nos permi-ten medirlas. Las rela iones entre ualidades son proye iones de las rela ionesmedibles entre antidades mediadas por las onstru iones teóri as en las quefundamentamos tales ualidades. De modo que un pórti o es deformable porquemedimos los des ensos o los desplazamientos de determinados puntos del mismo,y un objeto es resistente o no porque somos apa es de medir iertas a ionesfrente a las que es apaz de sobrevivir. Cali ar y omprender una estru tu-ra exige medir su omportamiento y, por lo tanto, omprender una estru turasupone anti ipar de ualquier modo intuitivo las medidas de des riben di ho omportamiento.Ahora bien, las ualidades de superviven ia de las estru turas, ligadas a lasmedidas de sus esfuerzos y movimientos, están íntimamente ligadas a su for-ma además de a los materiales de que está onstituida. Es parti ularmentela forma lo que interesa al arquite to en las fases primordiales de on ep ión,puesto que es la forma la ualidad primordial de ontraste on los requisitosestable idos a la obra, y la que será responsable de su apa idad para emo- ionar. Por ello, los parámetros bási os de des rip ión uantitativa, de análisisde la estru tura, deberán ser geométri os si pretendemos que la ara teriza ión ualitativa de su omportamiento pueda ser aprehendible desde la forma misma.De este modo el ono imiento y dominio de las diferentes té ni as de análi-sis no es un objetivo en sí mismo: se trata por un lado de una herramienta deper ep ión, de aprehensión de las estru turas que tratamos de proye tar. Peropor otro lado, mediante su empleo repetido sobre estru turas su esivas, o me-diante su apli a ión sistemáti a a ole iones o géneros estru turales, el análisises una herramienta que permite desarrollar arma iones de viabilidad sobre di- hos géneros o tipos, estable iendo pro edimientos aprehensibles y apa es deprede ir su omportamiento omo fun ión, o resultado inmediato, de sus pará-metros formales más esen iales o bási os, aquellos que hemos denominado máspotentes.

CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN 121.4. La teoría de proye to de estru turasUna teoría sobre el proye to de estru turas trata de des ribir las ualidadesestru turales que abe obtener en tipos y formas en base a las ualidades propiasde di hos tipos y formas, previamente a la deni ión y análisis detallado de las orrespondientes estru turas. Trata de extraer informa ión rigurosa sobre el omportamiento de las estru turas a partir de las ualidades más generales yde mayor poten ia de las formas estru turales, exigiendo la mínima pre isión ompatible on la dedu ión de on lusiones válidas para el tipo o la formaexplorada. De este modo di ha teoría se onvierte en una herramienta útil enlas fases de on ep ión de la estru tura, poten iando y pudiendo sustituir enalgunos asos la experien ia del diseñador.Este texto, tras realizar un re orrido por los métodos de análisis apropiadosal estudio de las estru turas de edi a ión, y por sus generaliza iones más prove- hosas, ha e uso sistemáti o del análisis, tanto en apli a iones parti ulares omoen apli a iones de índole más abstra ta y general, para extraer pro edimientoso rela iones que permitan expresar ideas, no ya sobre estru turas parti ularesque resuelven un ierto problema y sobre ómo lo resuelven, sino sobre lases deestru turas apa es de resolver di hos problemas, onsiderando sus semejanzasy sus diferen ias. En la medida en que se avanza en di ha lase de rela iones, loque se trata no es ya de una teoría de análisis de estru turas, sino de una teoríaque permite lasi ar y uali ar lases de estru turas, que permite prede ir los omportamientos de las estru turas pertene ientes a tales lases.En di ho desarrollo, puesto que los requisitos fun ionales o estru turales queha de resolver ualquier estru tura apli ada a un ierto problema son iguales,o al menos omparables, pueden imaginarse proye tadas totalmente todas lasvariantes tipológi as y formales posibles que orresponden a la evolu ión de unoo varios de los parámetros geométri os que se onsideren relevantes, y puedenobtenerse on lusiones pro edentes de la ompara ión entre di has variantes.Puesto que todas las estru turas alternativas han de satisfa er on igual rigor losrequisitos estable idos la resisten ia o rigidez deben asegurarse on idénti os riterios de seguridad, se impone un elemento de ompara ión ajeno a lasatisfa ión de éstos. Di ho requisito estru tural no es otro que la e ien ia onque la estru tura resuelve el problema a ometido. Serán preferidas las solu ionesde mayor e ien ia frente a las de menor, y la medida uantitativa de la e ien iaal anzada tratará de prede irse a partir de los parámetros bási os de la formaelegida.Este objetivo exigirá una ara teriza ión rigurosa del on epto u objeto onel que trataremos de medir la e ien ia, así omo un desarrollo teóri o posterioren lo posible ontrastado experimentalmente que permita poner en rela iónlas medidas de este objeto on los parámetros libres en las fases de diseño, y enespe ial on aquellos de mayor poten ia en el mismo y que requieran la menorpre isión de diseño posible. En esto onsiste pre isamente lo que hemos dado enllamar teoría de proye to de estru turas.La parte nal de este texto estará destinada, pre isamente, a des ribir losresultados al anzados en di ha teoría, y apli arlos a la ara teriza ión del om-portamiento de estru turas estándares en edi a ión, mejorando de este modola apa idad para entenderlas.

Capítulo 2Bases del análisisEn este apítulo se des riben los on eptos que onstituyen la base de lades rip ión del omportamiento estru tural, y que forman el uerpo de los mé-todos de análisis, y sus rela iones mutuas. Se denen, pues, las ondi iones deequilibrio, de ompatibilidad, y las de onstitu ión de los materiales estru tu-rales, presentes en diferentes formatos en todos los modelos de análisis, ya seanelásti os o plásti os.Se revisan las rela iones entre di has ondi iones, y las magnitudes agregadasque pueden onstruirse a partir de ellos utilizando los on eptos de energía ytrabajo.Di hos on eptos permiten reformular las leyes del omportamiento estru -tural en forma muy general a partir del ono ido prin ipio de los trabajos vir-tuales. De este modo puede errarse el onjunto de términos bási os empleadosen el análisis en un esquema on eptual extremadamente estable y expresivo, y apaz de dar uenta de buen número de desarrollos teóri os diferen iados.2.1. El modelo estru turalEn este apartado se estable en los términos y la simbología ne esaria pa-ra denir un modelo de una estru tura, puesto que la des rip ión de su om-portamiento exige su existen ia previa, y es al modelo al que se apli an lasherramientas del análisis.GeometríaEn general, una estru tura estará onstituida por un onjunto de elemen-tos materiales de ualidades y geometría ono ida antes de su puesta en ar-ga. El volumen o volúmenes o upados por el material puede denotarse porΩ, podrían usarse subíndi es para lasi ar regiones en di ho volumenen tanto que la super ie exterior de di ho volumen puede denotarse por Γ omo en parte de la literatura lási a. Di ha geometría está denida en un es-pa io tridimensional pueden onsiderarse simpli a iones bidimensionales ounidimensionales, espa io denotado por las oordenadas artesianas X, sien-do X = xi = (x1, x2, x3) = (x, y, z). 13

CAPÍTULO 2. BASES DEL ANÁLISIS 14A iones, rea iones, y desplazamientos de la estru turaTanto el volumen de la estru tura omo su super ie exterior estará sometidoen ada instante a fuerzas externas, que pueden suponerse distribuidas de algúnmodo fuerzas super iales o presiones ejer idas sobre super ies exterioreso interiores de la estru tura, o fuerzas de masa o iner iales orrespondientes aelementos de volumen de ésta, pudiendo onsiderarse fuerzas puntuales que seránen general on entra iones altas de alguna de las anteriores. Denotaremos engeneral a di has fuerzas externas por F , y dependerán del punto y el instante onsiderado: F = F (X , t)1.Las fuerzas externas a la estru tura tienen dos orígenes diferen iados, siendo ono idas omo a iones y rea iones, omo luego veremos.En virtud de las fuerzas exteriores a la estru tura, ésta tiende a moverse, demodo que ada punto material, de oordenadas X0 antes de la arga en elinstante 0 pasa a una posi ión próxima Xt en el instante t, desplazándose, porlo tanto en di ho movimiento una magnitud denotada por U , siendo evidenteque U t = Xt −X0. .La fun ión estru tural exige en sus apli a iones inmuebles que di ho movi-miento esté oa ionado en alguna región de la super ie Γs o del volumen Ωsde la estru tura, región a la que denominamos sustenta ión. En la literatura lási a es usual referirse a la sustenta ión sólo omo una parte de la super ieexterior de la estru tura, y no omp parte del volumen de ésta, pues siemprepuede eliminarse del modelo estru tural ualquier punto sustentado o oa io-nado, dejando sólo los de onta to on la región no sustentada. La estru turaestá formada enton es por un volumen Ω delimitado por una super ie Γ quepuede des omponerse en dos partes separadas, la super ie orrespondiente a lasustenta ión, y la super ie denominada libre, Γ = Γs ∪ Γl, siendo Γs ∩ Γl = ∅.Respe to de la sustenta ión supondremos al menos ini ialmente una oa ión perfe ta, es de ir, una oa ión que impide totalmente su movimiento:UX = 0; ∀X ∈ Γs. Más adelante podrá analizarse lo que su ede en aso de oa ión imperfe ta, o de movimiento impuesto a través de la sustenta ión a laestru tura.Ahora podemos distinguir entre las a iones y las rea iones: las primeras sonlas ejer idas sobre la estru tura por elementos externos, por el uso, los agentesatmosféri os, et . Son las ono idas a iones gravitatorias, de viento, o sísmi as,. . . , mientras que las rea iones son las que apare en ejer idas por el elementoque oa iona el movimiento de la estru tura, usualmente el terreno.De este modo la estru tura tiene regiones en las que existe movimiento U ,que no es ono ido antes de pro eder al análisis de la estru tura, y sobre las quese ejer en argas o a iones F que sí son ono idas previamente a di ho análisis,aunque pueden ser nulas en alguna región de la estru tura. Se denominan regio-nes libres de la estru tura, aun uando no son en rigor libres realmente, pues sumovimiento debe a ompañar al del resto de la estru tura. Pero no sufren oa - iones externas a la estru tura misma. Tiene además regiones en las que, porel ontrario, se ono e el movimiento ini ial de la estru tura U s, movimiento1La determina ión de la posi ión de un ierto punto material tras la arga puede ha ersetanto referen iando su posi ión antes de la arga, omo después de ella. En edi a ión esusual referirse a la posi ión original, usándose F = F (X0, t) es de ir, se identi a la argaapli ada en el instante t al punto de oordenadas ini iales X0. Esto fa ilita la identi a ióndel punto material onsiderado, pero puede originar onfusiones uando los desplazamientosdel mismo no son despre iables, pues en di ho aso la arga a túa físi amente en Xt.

CAPÍTULO 2. BASES DEL ANÁLISIS 15que puede onsiderarse nulo, por estar oa ionado por elementos ajenos a laestru tura misma, mientras que se des ono en las fuerzas de rea ión que entranen juego ne esariamente para restringir para anular di ho movimiento.Hay que señalar que desde la perspe tiva geométri a, tanto el movimientoUX omo la a ión F X que orresponde a ada punto X está representado poruna magnitud ve torial de tres dimensiones, longitudes una, fuerzas la otra denidas en su aso omo densidad de fuerza por unidad de super ie (presión)o de volumen, de modo que puede onsiderarse on propiedad el produ toes alar de una magnitud por la otra omo un trabajo densidad de trabajo porunidad de super ie o de volumen en su aso. Veremos más adelante que di hoprodu to, di ho trabajo, está argado de sentido. En resumen, en todo puntohay dos magnitudes ve toriales, una ono ida y otra des ono ida antes depro eder al análisis, ambas tienen igual número de omponentes, y su produ toes un trabajo.A menudo los modelos estru turales responden a simpli a iones de lo des- rito anteriormente, mediante el sen illo re urso de generar agregados, o sumas:por ejemplo un soporte verti al ilíndri o, ma izo, y de área A, sometido a pre-sión uniforme τ en la se ión orrespondiente a su úspide, y sustentado en subase, es un elemento de tres dimensiones que puede redu irse a una línea seelige la que une los entros de gravedad de las se iones, o dire triz de la piezasometida a una arga en su punto superior F =

∫

A τdA = τA, y sustentada en supunto inferior. Esto redu e la dimensión del problema el onjunto de puntosa onsiderar en el análisis.En este aso el agregado se realiza mediante los on epto de se ión y reba-nada, siendo la se ión la super ie que agrupa a todos los puntos de un orterealizado perpendi ularmente a la dire triz, y rebanada el volumen situado entredos se iones innitamente próximas. La arga sobre el modelo simpli ado seobtiene a umulando todas las ejer idas sobre la se ión extrema argada en elmodelo original. Mejor que a umulando debiera de irse identi ando, es de ir,sustituyendo el onjunto de las argas ejer idas sobre la se ión original poruna resultante equivalente a todas ellas, y situada en el punto sele ionado. Seeligen para lo alizar las rebanadas los puntos que se sitúan en la dire triz. Engeneral aso de ser las argas ex éntri as, por ejemplo el equilibrio exigeque el agregado o resultante de las argas in luya momentos, dado que un sis-tema de fuerzas trasladado a un punto requerirá ser representado en él por tres omponentes de fuerza y tres de momento.El movimiento de la rebanada será el que represente el de su onjunto, de-nido por el movimiento de sus se iones que se supone mantienen su geometríapero no su posi ión. De este modo, la parte de movimiento rígido de la rebanadaex luida la deforma ión, que será la diferen ia de movimiento de las se ionesque la denen estará ompuesto de un desplazamientotres omponentes yuna rota ión nuevamente tres omponentes2. De este modo, nuevamente lasa iones F , que ahora in luyen tres omponentes de fuerza y tres de momentoen el aso general, y los movimientos U , on tres omponentes de desplaza-miento y tres de rota ión, mantienen la orrela ión en sus sentidos físi os, demodo que otra vez puede obtenerse un trabajo omo produ to es alar de unaspor otros, y, puesto que onstruimos di ho agregado omo simpli a ión de la2Es importante que la ele ión del punto de referen ia elegido sea inequívo a para ualquierdesarrollo posterior. Por ello se emplea de forma sistemáti a el entro de gravedad de la se ión,que está siempre unívo amente determinado.

CAPÍTULO 2. BASES DEL ANÁLISIS 16estru tura, y no omo altera ión de ésta puesto que tanto las fuerzas omo losmovimientos en ambos modelos no son más que representa iones alternativas delo mismo el trabajo a umulado obtenido en ambos será idénti o. Volveremossobre esta uestión más adelante. Baste ahora on onsiderar a F y U omorepresenta iones generalizadas de las a iones y los movimientos en ualquiermodelo estru tural, re ordando la rela ión existente entre las omponentes delas unas y de los otros3.Los ve tores F y U agrupan la totalidad de las a iones y desplazamientosrelevantes del modelo estru tural, manteniendo la orresponden ia en las posi- iones de unas y otros. El índi e que los re orre señala, en la misma posi iónen ada uno de los dos ve tores, a la misma omponente de fuerza o de despla-zamiento, y orrespondiendo al mismo punto, de modo que el produ to es alarU · F tiene sentido. Por ejemplo, en estru turas en las que la arga se hubieseapli ado en su totalidad en la posi ión ini ial de la estru tura, di ha magnitudmediría el trabajo realizado hasta la posi ión de equilibrio nal, es de ir, mediríala pérdida de energía poten ial de la arga apli ada, al moverse la estru tura.Esfuerzos y deforma iones internasComo resultado de las a iones y de los movimientos a que la estru tura seve sometida, la geometría de ésta se deforma, y sus distintas regiones se vensometidas a esfuerzos internos. Denotaremos por f a los esfuerzos internos, ypor u a las deforma iones internas4. Si el modelo estru tural es un volumentridimensional, di hos esfuerzos internos y deforma iones orresponden respe -tivamente a los tensores de tensiones σ y deforma iones ε que estudia la teoría3Tanto fuerzas omo movimientos están des ritos sobre el onjunto de puntos que represen-ta la estru tura. Si este onjunto es innito, se tratará de un modelo ontinuo, y la deni iónde la arga estará he ha omo densidad salvo en aso de argas puntuales omo límite de argas distribuidas uando la región en que se distribuyen tiende a una dimensión nula porlo que emplearemos omo unidades omponentes de fuerza (o de momento) por unidad delongitud, o de super ie, o de volumen. Si el onjunto de puntos es nito, se tratará de unmodelo dis reto, y la arga será siempre de ará ter puntual sobre di hos puntos, on uni-dades de fuerza o de momento. Por ahora onsideramos indistintamente ambos asos, aun uando, en rigor, podríamos denotar las fun iones de arga o desplazamiento en los asos ontinuos on símbolos diferen iados. En aso de ne esidad emplearemos τ para las fun ionesque representan las argas y υ para las que representan los desplazamientos4Nuevamente podrá darse el aso de que queramos distinguir entre una des rip ión res-tringida a un onjunto nito de valores, aso iados al orrespondiente onjunto de puntos, ouna des rip ión generalizada a un onjunto innito de puntos a través de las orrespondientesfun iones. Usaremos f y σ para los esfuerzos y u y ǫ para las deforma iones, reservandolas letras griegas para la des rip ión distribuida mediante fun iones o familias de fun iones,aunque seguiremos on letras latinas si no hay ne esidad de pre isar.

CAPÍTULO 2. BASES DEL ANÁLISIS 17de la elasti idad5 siendo, en los asos de pequeñas deforma iones,σ = σij =

σx τxy τxz

τyx σy τyz

τzx τzy σz

; ε = εij =

εx bxy bxz

byx εy byz

bzx bzy εz

; (2.1)donde (x, y, z) no son más que las tres oordenadas artesianas onsideradasantes, las tensiones normales y tangen iales se representan omo es usual enelasti idad, mediante las omponentes de presión sobre las tres aras de un uboelemental que rodea al punto, y las deforma iones in luyen los alargamientos εiy las omponentes de distorsión bij = 12γij .Para nuestra representa ión podemos suponer representado el onjunto deesfuerzos f omo un ve tor uyas omponentes son las del tensor onsiderado6:

f = (σx, τxy, τxz, τyx, σy , τyz, τzx, τzy, σz), y análogamente para las deforma io-nes u = (εx, bxy, bxz, byx, εy, byz, bzx, bzy, εz). Alternativamente podríamos on-siderar la simetría de ambos tensores y representar f = (σx, σy, σz , τxy, τyz, τzx);u = (εx, εy, εz, γxy, γyz, γzx)7, en un formato muy usual.

Figura 2.1: Tensiones y deforma iones del punto5Consúltese alguno de los texto lási os de esta teoría, omo [Timoshenko, 1934 o[Gar ía de Arangoá, 1964. Del autor es [Cervera, 1987. Versiones más a tuales y extensasde la teoría de la elasti idad usadas en ursos avanzados, omo [Valiente Can ho, 2000, sue-len abordar desde el ini io la teoría ne esaria para problemas grandes deforma iones, derivandode éstas las propiedades de la elasti idad para pequeñas deforma iones. Aunque rigurosos y deextrema utilidad para el ono imiento en detalle de materiales o problemas me áni os a tuales omo los aso iados a la biome áni a resultan sin embargo inne esariamente omplejos paraabordar los problemas habituales en las estru turas de edi a ión. Para éstas, sin embargo,los on eptos lási os que soportan la teoría en pequeñas deforma iones, y entre éstos losaso iados a la omprensión de las propiedades de las magnitudes de ará ter tensorial fren-te a los ambios del sistema de referen ia, junto on el manejo de los instrumentos lási osdesarrollados para di ha omprensión el Cír ulo de Mohr resultan de gran utilidad.6Una representa ión lási a alternativa a la propuesta y de mayor poten ial expresivo,aunque de mayor di ultad de manejo, es la tensorial, que tiene grandes ventajas para larepresenta ión ompa ta de objetos omplejos, pero en ella las rela iones de rigidez materialse formulan on objetos de uatro dimensiones. La estrategia adoptada aquí permite quelas rela iones de rigidez empleadas resulten siempre expresadas mediante matri es de dosdimensiones.7representa ión en la que hemos a umulado las medias distorsiones bij + bji = γij , bij =

bji = 1

2γij , de modo que la densidad de trabajo de deforma ión obtenida en ualquiera delas representa iones a partir del produ to es alar de deforma iones por tensiones se mantengainvariable.

CAPÍTULO 2. BASES DEL ANÁLISIS 18En modelos agregados, por ejemplo en estru turas lineales de barras, losesfuerzos orresponden a las resultantes en una rebanada ompleta, a umulandotodas las tensiones obtenidas en una de las dos aras de la rebanada, resultandousualmente en los asos de estru turas lineales planas argadas en su plano los ono idos esfuerzos normal, momento y ortante f = (N,M, T ), mientras quelas deforma iones orresponden a las de di ha rebanada a saber, alargamiento, ambio de urvatura8 y distorsión u = (ε, c, γ), o más su intamente, en modelosque suponen que la rebanada se mantiene plana y que dedu en dire tamenteel ortante de la varia ión en la ley de momentos, los esfuerzos representadosserán f = (N,M) y las deforma iones u = (ε, c).Esfuerzos f y deforma iones u se estable en de modo que se respeta la orres-ponden ia de omponentes ya apuntada al hablar de fuerzas y desplazamientos:en el estudio teóri o de la región elemental onsiderada se eligen y ordenan las omponentes de ambas magnitudes de forma que el produ to es alar u ·f tienesentido físi o de trabajo.Hay que re al ar la diferen ia on eptual bási a que existe entre las fuerzas,a ión o rea ión, y los esfuerzos o soli ita iones internos: si onsideramos unabarra orta, re ta, y omprimida en sus dos extremos, el esfuerzo interno detoda rebanada interior de la barra es idénti o desde el punto de vista físi o ygeométri o, mientras que las fuerzas ejer idas en ambos extremos de la barrason, aunque iguales, de sentido opuesto. La diferen ia estriba en que toda a - ión sobre la estru tura tiene un sentido úni o, al que se opone una respuesta ontraria desde la estru tura, lo que no su ede en el aso del esfuerzo interno.Todo esfuerzo interno se determina usualmente extrayendo una región elementalde la estru tura, y observando todas las fuerzas en equilibrio que a túansobre ella: en el aso tridimensional de la teoría de la elasti idad, un ubo ele-mental, y en el aso de las barras, la rebanada. En di ha región existen arasopuestas sobre las que se ejer en fuerzas iguales y de sentido opuesto. Medimosel esfuerzo por el valor de las fuerzas sobre una de las aras de la pareja, elegida onven ionalmente, pero este he ho no debe o ultar el sentido físi o del esfuerzomismo, muy diferente del de la fuerza que se apli a a di ha ara. Podemos de irque la rebanada está omprimida porque las fuerzas tratan de a er ar ambas aras. La versión española tan en boga del término on que se denomina a latensión en el mundo anglosajón, stress, es bien expresiva: la rebanada quedaestresada a lo largo de toda su longitud por razón de las fuerzas de signo on-trario ejer idas sobre sus aras. En general siempre podemos observar ese doblesigno de la soli ita ión que da origen al estrés o esfuerzo interno si onsidera-mos alternativamente las fuerzas ejer idas por el resto de la estru tura sobre laregión analizada, o las ejer idas por di ha región sobre el resto de la estru tura.Podemos re ordar que el término tensión es equivalente en sentido al anterior,y distinto del de presión, para mantener la denomina ión tradi ional.En regiones extensas el esfuerzo interno tiene ará ter análogo al de la ten-sión en un punto, pero es ahora una magnitud resultante un agregado. Porunidad de lenguaje, en este texto denominamos en lo su esivo esfuerzo interno adi ho estrés interno, mientras que usaremos el término soli ita ión para referir-nos a alguna de las a iones de la estru tura sobre la región objeto de análisis,una de las dos partes del esfuerzo en juego, usando para ellos el símbolo f sino hay posibilidad de onfusión, o los símbolos f y S respe tivamente en aso8o sen illamente urvatura en tramos ini ialmente re tos

CAPÍTULO 2. BASES DEL ANÁLISIS 19 ontrario.El doble ará ter del esfuerzo y de la soli ita ión puede observarse tambiénen uanto onsideramos las deforma iones, que pueden verse bien internamente omo efe to del estrés, del esfuerzo interno, o bien omo movimientos de unaspartes de la región respe to de otras: el ejemplo de la rebanada es signi ati-vo: sometida a momento, la deforma ión interna es la urvatura, que impli aque ada ara de la rebanada presenta un giro relativo respe to de la otra. La urvatura es una propiedad de punto, de unidades inversas a las de longitud,mientras que los giros se miden en unidades angulares adimensionales. Eneste aso es más evidente aún la diferen ia: la urvatura se predi a de todos y ada uno de los puntos de la longitud de la rebanada, mientras que los giros delas aras se reeren sólo a éstas. Ambos términos se igualan numéri amente si se onsideran tramos de longitud unidad: el alargamiento unitario en uno de talestramos oin ide on el alejamiento relativo de una ara respe to de la otra.Hemos señalado que, al igual que en el aso de las a iones y las rea iones,a menudo los esfuerzos internos se des riben en forma agregada: un ejemplo ya itado es el de los alargamientos y urvatura de las rebanadas, que resultan dela onsidera ión onjunta de todos los alargamientos diferentes de las distintasbras que la omponen. Al onstruir di hos agregados se asegura que el trabajorepresentado por las sumas extendidas a ualquier región de la estru tura delprodu to es alar u · f se mantenga en las distintas representa iones.Pueden imaginarse y de he ho se emplean on profusión agregados demayor alado, omo son las barras individuales en una estru tura, y en este asose expresa la totalidad de sus esfuerzos o deforma iones a partir de unos po osparámetros, omo son sus fuerzas de extremo y los movimientos relativos de susextremos, pudiendo llegarse a la situa ión en que los ve tores de esfuerzos fy de deforma iones u que serán ahora más laramente ve tores que agrupansoli ita iones de extremo y movimientos relativos entre extremos ontenganen sus omponentes elementos su ientes para representar la totalidad de losesfuerzos internos de la estru tura ompleta. Más adelante veremos varios ejem-plos orrespondientes a uno de los modos de formular el análisis matri ial deestru turas de barras. En ese aso, el produ to es alar de ambos ve tores u y fmide, a salvo del fa tor 1/2 si el omportamiento es elásti olineal, la energíade deforma ión total de la estru tura.Hasta aquí hemos denido las ara terísti as geométri as, posi iones, et ., yme áni as, fuerzas y movimientos, de una estru tura genéri a.En los apartados siguientes estable eremos las ondi iones que ha en quedi has ualidades respondan a las requeridas en una estru tura, a saber, el tri-ple onjunto onstituído por las ondi iones de admisibilidad: el equilibrio, la ompatibilidad, y las llamadas e ua iones de onstitu ión de los materiales es-tru turales o ondi iones de admisibilidad material. Di has ondi iones permitenformular las e ua iones que determinan la solu ión al problema estru tural, y uya formula ión y solu ión es el objeto del análisis.2.2. Equilibrio o admisibilidad estáti aLas ondi iones de equilibrio son sen illas de formular verbalmente: si se onsidera una región arbitraria ualquiera de una estru tura, región que puedeal anzar a la estru tura ompleta, el onjunto de fuerzas apli adas a di ha re-

CAPÍTULO 2. BASES DEL ANÁLISIS 20gión, in luyendo las externas apli adas a la propia región, y las apli adas omosoli ita iones por el resto de la estru tura a la misma a través de la super ie omún, deben tener resultante nula.9Las ondi iones de equilibrio se apli an a la región deformada, onsidera-da omo si fuese un sólido (ya) indeformable sometido al onjunto de fuerzasenun iado, y onsisten en las ono idas seis e ua iones del equilibrio en sólidostridimensionales, a saber, las tres de equilibrio de fuerzas en las tres dire ionesdel espa io, y las tres de equilibrio de momentos en torno a tres ejes ortogonalesentre sí, y situados en un punto arbitrario y elegido previamente.Es usual en estas e ua iones onsiderar separadamente las a iones externasF de las soli ita iones ejer idas sobre la región que se aísla para el análisis, S,soli ita iones que en las super ies de sustenta ión orresponden a las rea ionesejer idas por la sustenta ión sobre la estru tura. En este aso las e ua ionesgenéri as de suma de fuerzas nula, y suma de momentos nulo suele es ribirse enel formato F + S = 0, equivalente a F = −S que expresa que la resultante delas fuerzas apli adas, y la resultante de las soli ita iones apli adas a la regióndeben ser iguales y ontrarias para que exista el equilibrio.En el análisis del equilibrio es usual onsiderar efe tos resultantes de se - iones on retas, de partes de la estru tura, o de la estru tura ompleta y,puesto que se trata de e ua iones sobre regiones onsideradas a estos efe tos omo sólidos rígidos, di has resultantes tendrán en general seis omponentesfuerzas y momentos si la región es de tamaño nito en alguna de sus di-mensiones. Sólo en el aso de que la región analizada sea de tamaño puntual se onsiderarán en el equilibrio sólo las tres omponentes de fuerza o de densidadde fuerza apli adas pre isamente en di ho punto10.Resultantes. Representa iónEs útil onsiderar maneras alternativas de representar las seis omponentesde fuerza y momento. Considerémoslas referidas a un punto dado. Las tres omponentes de fuerza se sitúan sobre di ho punto, y las tres de momento sobreejes ortogonales situados en él11.

FX0= (F ,M)X0

= (Fx, Fy, Fz ,Mx,My,Mz)X0El origen y ejes de referen ia se sitúan en X0 = (x0, y0, z0)12.Si trasladamos el punto de referen ia a otra posi ión, X = (x, y, z), asegu-rar la equivalen ia de la nueva representa ión de la fuerza y la representa iónoriginal exigirá que se umplan las e ua iones de equilibrio ne esarias para que9En el aso de estru turas en movimiento, deben in luirse entre di has a iones las fuerzasde iner ia.10Aunque pueden on ebirse modelos teóri os en los que el momento se apli a de formapuntual, por ejemplo para representar fenómenos de polaridad mole ular, no se emplean talesmodelos en el análisis lási o de estru turas.11Para asegurar la onsisten ia en los signos, onsideramos siempre signos positivos para lossentidos orrespondientes a los valores re ientes en los ejes: la ara positiva de una rebanadaserá la de oordenada mayor, y la tra ión en di ha ara es, por tanto, de signo positivo. Losmomentos positivos en torno al eje X llevan el Y sobre el Z, los positivos en torno al eje Yllevan el Z sobre el X, y los positivos en torno al eje Z llevan el eje X sobre el Y .12Esta representa ión no supone, por supuesto, que di has fuerzas se ejerzan materialmentesobre di ho punto, sólo estable e la equivalen ia entre las fuerzas onsideradas on la resultanteque las representa en di ha referen ia.

CAPÍTULO 2. BASES DEL ANÁLISIS 21

Figura 2.2: Trasla ión del punto de referen iaFX0

= FX1, es de ir, para que ambas sean representa iones de un mismo obje-to. Lógi amente las omponentes en di has representa iones son numéri amentedistintas; por ejemplo, en el aso de ejes paralelos en los dos puntos, las ompo-nentes denidas en el segundo punto se obtienen on las ono idas expresionesde la trasla ión

Fx1= Fx0

Fy1= Fy0

Fz1= Fz0

Mx1= Mx0

+ Fy0(z1 − z0)− Fz0

(y1 − y0)My1

= My0+ Fz0

(x1 − x0)− Fx0(z1 − z0)

Mz1= Mz0

+ Fx0(y1 − y0)− Fy0

(x1 − x0)e ua iones que, di ho sea de paso, pueden formularse mediante la expresiónmatri ial

Fx1

Fy1

Fz1

Mx1

My1

Mz1

=

1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 z1 − z0 −(y1 − y0) 1 0 0

−(z1 − z0) 0 x1 − x0 0 1 0y1 − y0 −(x1 − x0) 0 0 0 1

Fx0

Fy0

Fz0

Mx0

My0

Mz0

(2.2)Si en vez de trasladar el punto de referen ia, lo que ha emos es rotar los ejesde referen ia, lo que tenemos es la ono ida e ua ión:

Fx1

Fy1

Fz1

Mx1

My1

Mz1

=

αxx αxy αxz 0 0 0αyx αyy αyz 0 0 0αzx αzy αzz 0 0 00 0 0 αxx αxy αxz

0 0 0 αyx αyy αyz

0 0 0 αxx αzy αzz

Fx0

Fy0

Fz0

Mx0

My0

Mz0

(2.3)en la que es fá il omprobar que las omponentes de momento se proye tan deforma análoga a las omponentes de fuerza, siendo los αij los osenos dire -tores orrespondientes a proye tar las omponentes en i sobre las j ejes de

CAPÍTULO 2. BASES DEL ANÁLISIS 22la representa ión original y la transformada respe tivamente. Debido a di haanalogía es usual representar grá amente los momentos omo ve tores de dospuntas, en los que la dire ión del ve tor representa el eje en torno al que seejer e el momento, y su magnitud, la del momento ejer ido, pudiendo operar-se on ellos analíti a o grá amente omo on las fuerzas, siempre que no seproduz a desplazamiento del punto de referen ia.Se ve en expresiones anteriores que las omponentes de fuerza no dependende las de momento, lo que no es re ípro o: las omponentes de momento varían on la posi ión si las omponentes de fuerza no son nulas. De este modo unaestrategia de representa ión que se emplea on ierta fre uen ia onsiste en bus- ar omo punto de referen ia alguno para el que se anulen una o varias de las omponentes de momento. Supongamos por ejemplo que el plano XY es el planohorizontal en que se sitúa la imenta ión de un ierto elemento estru tural: esútil representar la arga de di ho elemento sobre la imenta ión en el punto dedi ho plano para el que se anulan los momentos Mx,My. Éste sería el punto deapli a ión de la resultante de la arga sobre la imenta ión, y las distan ias ala dire triz del elemento estru tural, las ex entri idades de la arga. De estemodo, las omponentes de fuerza, que no ambian, y las ex entri idades, esta-rían representando parte de la resultante: las omponentes de fuerza, y su puntode paso por el plano. Nótese que para que esto sea posible, es ne esario ysu iente que la omponente Fz ortogonal al plano sea no nula, pues de lo ontrario la fuerza sería paralela al plano. Di ha estrategia de representa iónse emplea también en elementos omprimidos on exiones aso iadas pilares,ar os, et . y, en este aso, el plano al que se reere la resultante es el planoque representa una se ión en estudio: en este aso la existen ia de ompre-sión, ortogonal al plano, asegura la ondi ión ne esaria para poder emplear larepresenta ión planteada.Es fá il omprender que la representa ión denida es aún insu iente paradar uenta de las seis omponentes de la resultante del sistema de fuerzas,pues sólo ontamos on tres omponentes de fuerza y dos ex entri idades orrespondientes a los momentos e tores uando hablamos de los esfuerzos deuna se ión por lo que falta aún la omponente ne esaria para expresar elmomento torsor en torno al eje ortogonal al plano y situado en el punto de pasode la resultante. Aunque en estru turas de edi a ión di ha omponente detorsión suele ser po o o nada relevante13, no puede ignorarse y si, por ejemplo,se pretende elaborar un sen illo programa para dibujar en tres dimensiones lasresultantes de un ál ulo omo forma de resumir grá amente los resultadosobtenidos, deberá ser tenida en uenta.Hay mu hos formatos posibles para representar di ha sexta omponente.El modo anóni o onsiste en imaginarla omo un momento torsor apli ado entorno al eje denido por la dire ión y posi ión de la resultante (tal omo resultadada por sus otras in o omponentes, las tres de fuerza y las dos de posi ión).De este modo la resultante puede imaginarse desplazándose sobre su eje, sinaltera ión en di ha omponente. La resultante será enton es equivalente a unve tor deslizante más el torsor en torno a él. Di ho eje se denomina en algunostexto lási os eje entral del sistema y orresponde al lugar geométri o de los13Veremos que el omportamiento en torsión es el menos e az de todos los disponiblespara equilibrar argas, de modo que si la estru tura dispone de me anismos alternativos, lastorsiones desarrolladas son de pequeña magnitud. Sólo apare erán torsiones apre iables uandosean impres indibles para el equilibrio, a osta de asumir e a ias estru turales redu idas.

CAPÍTULO 2. BASES DEL ANÁLISIS 23puntos para los que el momento resultante es mínimo pues en efe to en ual-quier otro punto el momento resultante estará ompuesto por di ho torsor másel momento que ejer e en di ho punto la resultante situada en el eje entralVamos a repasar esta representa ión, en la que la resultante tendrá omo omponentes Fx, Fy, Fz on ex entri idades en el plano XY de valores ex =x1 − x0, ey = y1 − y0 respe to de un punto de referen ia en di ho plano queprobablemente represente la interse ión de la dire triz de la pieza onsiderada on di ho plano. Tendremos z1 = z0, puesto que se trata de dos puntos enun mismo plano. A di ha fuerza y posi ión se añadirá el torsor en torno a ella.El torsor en torno al eje denido por la resultante tendrá tres omponentes quedeberán ser propor ionales a las Fx, Fy , Fz dado que el eje de rota ión es eleje de a ión de di ha fuerza resultante. Por ello representaremos al torsor, demagnitud t mediante el fa tor de propor ionalidad τ , denido de modo que sus omponentes, paralelas al ve tor unitario ( Fx

|F | ,Fy

|F | ,Fz

|F |

) sean ( tFx

|F | ,tFy

|F | ,tFz

|F |

)

=

(τFx, τFy , τFz). Hay que señalar que puede interpretarse τ omo una espe iede ex entri idad, sin más que suponer sustituido el torsor por un par de fuerzasde módulo igual al de la resultante, situadas en un plano perpendi ular a ésta,y separadas por el brazo τ14.De este modo la resultante queda denida por sus omponentes de fuerza,el eje de a ión de ésta, que queda denido por su interse ión por un plano ualquiera por dos oordenadas en di ho plano y por la ex entri idad entorsión. La resultante denida antes porFX0

= (F ,M)X0= (Fx, Fy, Fz ,Mx,My,Mz)X0

(2.4)14Es fá il determinar su valor. Puesto que las omponentes de fuerza son invariables, on-sideramos sólo las de momento, siendo el problema el de determinar las ex entri idades y eltorsor a partir de las omponentes de la resultante, que se suponen ono idas y referidas alpunto X0.Tenemos pues, según la e ua ión 2.2Mx1

= τFx = Mx0− Fzey

My1= τFy = My0

+ Fzex

Mz1= τFz = Mz0

+ Fxey − Fyexque puede es ribirse también en la formaMx0

= Fzey + τFx

My0= −Fzex + τFy

Mz0= +Fyex − Fxey + τFzo, en formato matri ial

2

4

Mx0

My0

Mz0

3

5 =

2

4

0 Fz Fx

−Fz 0 Fy

Fy −Fx Fz

3

5

2

4

ex

ey

τ

3

5sistema de e ua iones a partir del que pueden determinarse las ex entri idades bus adas.Para resolver el sistema basta invertir la matriz uadrada, uyo determinante vale ∆ =F 2

xFz + F 2y Fz + F 3

z = |F |2Fz , y premultipli ar on ella al ve tor de omponentes de losmomentos referidos al punto ini ial, resultando2

4

ex

ey

τ

3

5 =1

|F |2Fz

2

4

FxFy −F 2x − F 2

z FyFz

F 2y + F 2

z −FxFy −FxFz

FxFz FyFz F 2z

3

5

2

4

Mx0

My0

Mz0

3

5La expresión permite determinar unívo amente las ex entri idades bus adas siempre que la omponente ortogonal al plano sea no nula, omo se ha estable ido más arriba y omo resultaevidente de la propia expresión.

CAPÍTULO 2. BASES DEL ANÁLISIS 24

Figura 2.3: Resultante de un sistema de fuerzas en un planose representa ahora porFX0

= (F , e)X0= (Fx, Fy, Fz , ex, ey, τ)X0

(2.5)El origen y los ejes de referen ia se sitúan en X0 = (x0, y0, z0) lo alizando lainterse ión de la resultante en el plano z = 0.Una representa ión alternativa que permite dar uenta igualmente de las seis omponentes, y que resulta de gran utilidad en trazados grá os, onsiste enlo alizar la omponente verti al de dire ión z en una posi ión, y la horizontal,de omponentes x, y en otra diferente. De este modo la fuerza y los momentosse resuelven ahora en dos fuerzas separadas, una de omponentes (0, 0, Fz),que ruza el plano z = 0 en un punto de oordenadas determinadas por lasex entri idades e′x, e′y, respe to del punto onsiderado, y la segunda, de valor Fhy omponentes (Fx, Fy , 0), desplazada perpendi ularmente respe to del eje z enla distan ia τ ′, de modo que ahora el equilibrio impli aMx0

= Fze′y

My0= −Fze

′x

Mz0= τ ′FhLas dos representa iones son onsistentes y útiles, oin idiendo sólo en el aso de que Mz0

= 0.Equilibrio a ionessoli ita iones.En ualquier aso la ondi ión de equilibrio exige que la resultante de latotalidad de las fuerzas ejer idas sobre una estru tura o sobre ualquier re-gión estru tural arbitraria sea nula. Esta ondi ión se representa usualmenteseparando en dos partes las fuerzas y soli ita iones que se ejer en sobre laestru tura o región onsiderada y estable iendo la oposi ión entre las resultantesde las dos partes, sea a iones frente a rea iones, o a iones y rea iones que seejer en sobre una región frente a las soli ita iones que el resto de la estru turaejer e sobre la región aislada.

CAPÍTULO 2. BASES DEL ANÁLISIS 25

Figura 2.4: Representa ión diédri a de la resultante de un sistema de fuerzasE ua ión de equilibrio generalizadaEn todos los asos que estudiaremos en posteriores apítulos veremos queresulta omo expresión del equilibrio una e ua ión matri ial, en la formaF = Hf (2.6)Se trata de una forma que rela iona las a iones F on las soli ita iones fmediante un operador o matriz H que es ara terísti o y se determina a partirde las ondi iones de equilibrio de la estru tura.Pues efe tivamente, si las soli ita iones y las a iones están en equilibrioserá porque sus representa iones o resultantes generales estable idas para el onjunto de regiones aisladas que ara teri en la estru tura serán iguales yopuestas. Como hemos visto que podemos representar resultantes de fuerzaso de soli ita iones en puntos arbitrarios mediante expresiones que son li-neales, las e ua iones de equilibrio resultarán ser lineales para la hipótesis depequeños desplazamientos, en las que onsideramos el equilibrio en la geometríaoriginal15.Hay que ha er notar que las ondi iones de equilibrio deben, en puridad,analizarse en la geometría deformada de la estru tura. Es de ir, tanto las ar-gas omo las soli ita iones deben onsiderarse apli adas en las posi iones queal anza la estru tura una vez deformada uando al anza efe tivamente elequilibrio Ahora bien uando puede asegurarse que el efe to de la deforma iónde la estru tura en la situa ión de equilibrio y en los esfuerzos es su ientementepequeño suele despre iarse di ho efe to, simpli ando el problema, y onsiderar omo geometría de equilibrio la de la estru tura sin deformar, geometría quees ono ida a priori. A esta simpli a ión orresponden los análisis en primerorden. Las e ua iones de equilibrio son lineales en este aso, omo hemos visto,y podrán representarse en la forma matri ial des rita16.15En el aso en que estemos trabajando on des rip iones distribuidas de las fuerzas τ ylos esfuerzos internos σ, las e ua iones de equilibrio rela ionan las orrespondientes fun ionesmediante un operador lineal, de modo que podemos es ribir τ = H(σ)16Los problemas tendrán representa iones no lineales uando la geometría de referen ia no oin ida on la del equilibrio real, situa ión habitual uando se des ono e a priori la situa ión

CAPÍTULO 2. BASES DEL ANÁLISIS 26En general las e ua iones de equilibrio se estable en de forma análoga a lades rita a ontinua ión para el aso de estru turas de barras: para ada movi-miento posible de los puntos libres de la estru tura los nudos en que onuyenlas barras se igualan las fuerzas las argas orrespondientes a la dire iónde di ho movimiento on las fuerzas de extremo de igual sentido que apare enen las barras aso iadas al punto o nudo que puede moverse las de las regionesaso iadas al mismo.Se onsideran en este análisis por un lado las fuerzas ejer idas omo ar-gas en las dire iones de di hos movimientos posibles fuerzas que pueden sernulas y entendiendo aquí el término en su sentido generalizado, de fuerzas omomentos y por otro lado las omponentes en di hos puntos y dire iones delas fuerzas de extremo de las barras o de ualesquiera omponentes en quese haya des ompuesto la estru tura onsiderando las fuerzas de extremo que orrespondan a deforma iones relevantes para su modo de trabajo se trataráde fuerzas axiales uando son relevantes los ambios de longitud de las barras,de momentos si los son los ambios de urvatura por exión.Si la representa ión de la geometría del equilibrio es su ientemente pre isa,la ondi ión de equilibrio es apli able independientemente del estado al anzadopor la estru tura, tanto si ontinúa en régimen elásti o o ha al anzado régimenplásti o en iertas regiones. Y puede representar la situa ión inmediatamenteanterior al olapso generalizado de la estru tura si el grado de plasti a iónal anzado la ha transformado en me anismo, o si está en fase de ini ia ión unpro eso de olapso frágil.En problemas de estabilidad aso iados a la existen ia de ompresiones debeanalizarse, sin embargo, la pertinen ia de la simpli a ión en la des rip ión dela geometría, es de ir, la suposi ión habitual de que ésta es análoga o idénti aa la original, supuesto que deja de ser a eptable si los movimientos son rele-vantes. En ese aso el análisis se debe realizar estable iendo el equilibrio en laforma nal, deformada, y por lo tanto in luyendo en la formula ión del equi-librio los movimientos in ógnita. Resultan enton es sistemas de e ua iones nolineales que, muy a menudo, se resuelven por métodos paso a paso. Volveremosmás adelante sobre la uestión para la que será pre iso onsiderar herramientasadi ionales.Puntos libres y puntos de sustenta iónEs usual ordenar las e ua iones de equilibrio de modo que se establez ansu esivamente a iones y rea iones, de modo que la e ua ión F = Hf sees ribe del modo[

F l

F s

]

=

[

H l

Hs

]

[

f]expresión en la que, al ini io del análisis, son ono idas sólo las a iones sobrelos puntos libres, F l.Puede observarse que las e ua iones son independientes y, en mu hos tiposde análisis, se pres inde ini ialmente de las orrespondientes a las rea ionesempleando sólo las orrespondientes a los puntos libres, F l = H lf .deformada y ésta resulta relevante en los efe tos de las argas, sea por razón de su posi ión,o in luso de su magnitud.

CAPÍTULO 2. BASES DEL ANÁLISIS 272.3. Compatibilidad o admisibilidad inemáti aLas ondi iones de ompatibilidad onstituyen el segundo gran grupo dee ua iones disponibles en el análisis estru tural.La ondi ión estable e, en suma, que los movimientos de la estru tura hande ser dibujables, mateniendo la ontinuidad de ésta pues, si la estru tura no haroto, los desplazamientos de todas sus partes deben resultar a ompasados. Lase ua iones de ompatibilidad pueden formularse de mu has formas, pero debenestable er en todo aso la ontinuidad geométri a de los movimientos de unas yotras partes de la estru tura.Pueden formularse en términos paralelos a las ondi iones de equilibrio, a sa-ber, que para ualquier región onsiderada de la estru tura que puede onsistiren la estru tura ompleta los movimientos relativos de sus puntos o se ionesdeben poder dedu irse de la integra ión o a umula ión de las deforma iones dedi ha región, o inversamente, las deforma iones han de poder dedu irse de losdesplazamientos relativos de los puntos o se iones de la región.Para formular di has ondi iones se estable en por una parte los movimientosde la estru tura mediante el ve tor U que representa los desplazamientos de suspuntos libres, y por otra las deforma iones del volumen estru tural, medianteel ve tor u, que odi a éstas. Las ondi iones de ompatibilidad se formulan omo las e ua iones que permiten dedu ir u a partir de U .En la hipótesis de pequeños desplazamientos, las rela iones entre ambasmagnitudes orresponden al primer término, lineal, del posible desarrollo en seriede las fun iones que las ligan, de modo que la representa ión de las ondi ionesde ompatibilidad lleva a obtener un onjunto de rela iones lineales en la formau = BU (2.7)Veremos que las rela iones tienen la propiedad general de que H = BT ,es de ir, que la matriz de equilibrio H es la traspuesta de la matriz de ompa-tibilidad B. Demostraremos di ha propiedad en forma general en el apartado2.7Puntos libres y puntos de sustenta iónSi ordenamos los movimientos de los puntos de la estru tura agrupandoseparadamente los libres de los de sustenta ión la e ua ión u = BU queda enla forma

[

u]

=[

Bl Bs

]

[

U l

U s

]expresión en la que al prin ipio del análisis se ono en las Us, usualmente nulas, on lo que las e ua iones pueden simpli arse. En los asos en que U s 6= 0 seexige habitualmente pres ribir valores a di hos movimientos y onsiderar, por elprin ipio de superposi ión, los movimientos generalizados ex luyendo el efe toderivado de tales movimientos impuestos en la sustenta iónu−BsU s = BlU lEs usual, por tanto, onsiderar aisladamente las e ua iones u = BlU l, yañadir si es el aso el efe to de los movimientos impuestos posteriormente.

CAPÍTULO 2. BASES DEL ANÁLISIS 282.4. Constitu ión material, o admisibilidad ma-terial. Rela iones de rigidezEn los apartados anteriores hemos ara terizado el estado de una regiónde la estru tura mediante las magnitudes que expresan las soli ita iones olos esfuerzos internos de la estru tura y las que expresan sus deforma ionesinternas. Hemos visto, por ejemplo que el estado de una región puntual puededes ribirse mediante la pareja de magnitudes f = (σx, σy , σz, τxy, τyz, τzx) yu = (εx, εy, εz, γxy, γyz, γzx); sabemos análogamente que puede expresarse elestado de una rebanada de una barra en una estru tura plana on argas en suplano mediante la pareja17 f = (N,M), esfuerzo normal y momento e tor, yu = (ǫ, c), alargamiento unitario y urvatura.Ahora bien, puede estable erse experimentalmente una rela ión entre losesfuerzos y las deforma iones. La más sen illa de di has rela iones es la ley deHooke, que ha e propor ionales los alargamientos a los esfuerzos de extensión,mediante la ono ida fórmula de ut tensio si vis, o en su a tual formula ión,más pre isa, de ǫ = σ

E . Las rela iones entre esfuerzos y deforma iones en lasprimeras fases de la deforma ión mantienen la propor ionalidad, de modo quepueden representarse mediante e ua iones lineales. El formato más generalizadode las e ua iones que expresan esta rela ión para ada material onsiderado e ua iones de onstitu ión del material, o e ua iones onstitutivas esf = ku (2.8)Podemos presentar varios ejemplos lási os para di ha e ua ión, ejemplosque veremos más en detalle en el apítulo 3.Punto elásti o:

σx

σy

σz

τxy

τyz

τzx

=

E

(1 + ν)

(1− 2ν)

1− ν ν ν 0 0 0ν 1− ν ν 0 0 0ν ν 1− ν 0 0 00 0 0 1−2ν

2 0 00 0 0 0 1−2ν

2 00 0 0 0 0 1−2ν

2

εx

εy

εz

γxy

γyz

γzx

Rebanada de barra en un problema plano:[

NM

]

=

[

EA 00 EI

] [

ǫc

]Rebanada de barra de estru tura tridimensional:

NMx

My

Mz

=

EA 0 0 00 GIT 0 00 0 EIy 00 0 0 EIz

ǫηT

cycz

17Considerando el ortante T omo un esfuerzo dedu ible por equilibrio a partir de la leyde momentos a lo largo de la barra.

CAPÍTULO 2. BASES DEL ANÁLISIS 29Las expresiones anteriores son del mismo tipo uando se onsideran agrega-dos de mayor importan ia, omo es el aso de las barras aisladas, sometidas asoli ita iones en sus extremos, y onsiderando los movimientos relativos entredi hos extremos. Las rela iones de rigidez en di hos agregados se representanmediante las expresiones empleadas en el ál ulo matri ial de estru turas debarras18:Barra re ta sometida a tra ión axial:[

N]

=[

EAl

] [

u]Barra re ta sometida a exión plana:

[

M1

M2

]

=EI

l

[

4 22 4

] [

θ1θ2

]Barra re ta sometida a exo ompresión plana19:

NM1

M2

=E

l

A 0 00 4I 2I0 2I 4I

uθ1θ2

Los ejemplos pueden ontinuar en buen número. Hay que señalar aquí que en lase ua iones anteriores se observan asos en que los diferentes grupos de variablesson independientes por ejemplo, en el aso de las anteriores expresiones debarras, la rela ión entre esfuerzos normales y alargamientos está desligada de lasrela iones entre los momentos y los giros de extremo mientras que otras estána opladas las rela iones entre los momentos de extremos y los giros en los dosextremos de una barra lo que puede observarse on fa ilidad en la formula ión18Cambiar de expresiones ontinuas a expresiones referidas a puntos aislados es una ope-ra ión de agrega ión realizada on mu ha fre uen ia, uya generaliza ión está en la base delmétodo de análisis de los elementos nitos, y que onsideraremos al tratar di ho método. Enel apítulo 3 onstruiremos la matriz de rigidez de una barra on di has té ni as.19Si se observa en la expresión adoptada que la iner ia I puede expresarse en fun ión del áreade la se ión A y su radio de giro i, la expresión matri ial lási a también podría es ribirseen la forma siguiente, que tiene la ventaja de ser dimensionalmente onsistente, lo que endeterminados problemas puede aportar una visión más intuitiva de las rela iones impli adas,y la ventaja añadida de ser idénti a para barras distintas salvo en el fa tor EA/l lo quepermite simpli ar opera iones realizadas a mano on al uladoras matri iales:2

4

NM1/iM2/i

3

5 =EA

l

2

4

1 0 00 4 20 2 4

3

5

2

4

uθ1iθ2i

3

5

CAPÍTULO 2. BASES DEL ANÁLISIS 30matri ial, si el orden de variables ha e ontiguas las variables ligadas20:

N· · ·M1

M2

=E

l

A... 0 0

· · · · · · · · · · · ·0

... 4I 2I

0... 2I 4I

u· · ·θ1θ2

Si onsideramos que en una estru tura los movimientos de extremo de barrason los úni os requeridos para dar uenta de los esfuerzos de extremo de ésta,resulta que la rela ión generalizada entre esfuerzos y movimientos, onsiderandotodas las barras, puede estable erse de la misma manera desa oplada, de modoque la expresión f = ku puede denirse on fa ilidad para el onjunto de todaslas barras de la estru tura apilando las rela iones orrespondientes a ada unade di has barras en torno a la diagonal prin ipal, in luyendo todas las barras dela estru tura. Obsérvese que la ordena ión adoptada des ribirá, barra a barra, ada uno de los movimientos individualizados y los orrelativos esfuerzos deextremo

f1

f2...fn

=

k1 0 · · · 0

0 k2 · · · 0... ... . . . ...0 0 · · · kn

u1

u2...un

El onjunto de rela iones entre esfuerzos y deforma iones para todas las regionesde la estru tura, en general en la forma f = ku, onstituye el ter er grupode e ua iones o rela iones disponibles en el análisis, que son las e ua iones derigidez. Se di e que la estru tura posee un estado materialmente admisible silos esfuerzos y deforma iones orrespondientes a di ho estado satisfa en di hase ua iones, también denominadas e ua iones de onstitu ión, o onstitutivaspara el aso del punto material.2.5. Trabajo y energíaHemos denido en apartados anteriores los on eptos bási os en la formula- ión de los problemas del análisis estru tural, a saber, fuerzas y soli ita iones(F ,f), movimientos y deforma iones(U ,u), y sus rela iones respe tivas de ad-misibilidad, estáti a (F = Hf), inemáti a (u = BU), y material (f = ku).Considerábamos omo términos que representan el omportamiento de la es-tru tura las fuerzas externas y los movimientos de puntos representativos deésta, mientras que representábamos el omportamiento de regiones redu idasde la estru tura puntos, rebanadas, o barras sen illas mediante los on ep-tos de soli ita ión y deforma ión. Tenemos, por tanto, dos perspe tivas on la20Un ejer i io interesante a este respe to es diagonalizar las rela iones des ritas por unamatriz no diagonal: en el aso de la matriz de rigidez de una barra di ho ejer i io lleva ala des omposi ión del movimiento de exión en dos partes no a opladas, a saber, la partesimétri a más la antimétri a, resultando

2

4

NMs

Mh

3

5 =E

l

2

4

A 0 00 2I 00 0 6I

3

5

2

4

uθs

θh

3

5

CAPÍTULO 2. BASES DEL ANÁLISIS 31que onsiderar la estru tura: globalmente omo onjunto, o en sus partes o om-ponentes, y a su vez dos grupos de variables para expresar su omportamiento,me áni o uno fuerzas . . . y inemáti o el otro.A lo largo de di hos apartados hemos he ha reiteradamente alusión a unprin ipio ordenador permanente: el trabajo. Cada pareja de grupos de variables onsiderada se ordena de modo que el produ to es alar del ve tor que representalas variables ma áni as por el que representa las variables inemáti as ya seadesde la perspe tiva global, ya desde la lo al, representa trabajo me áni o.Desde la perspe tiva del análisis estru tural di ho trabajo puede emplearse omo medio alternativo al estudio del equilibrio y la ompatibilidad, tal omoveremos en la se ión siguiente, mediante el prin ipio denominado de los trabajosvirtuales. Se trata de la forma más extendida de empleo del on epto, siendo deapli a ión general en medios ontinuos o dis retos, en omportamiento lineal ono lineal, . . .Los on eptos de trabajo y energía se emplean asimismo en aproxima ionesenergéti as a determinados problemas, tanto en los asos elásti os, onservati-vos aunque no ne esariamente lineales a través de los on eptos de energíapoten ial y energía poten ial de deforma ión, omo en los asos plásti os, disi-pativos, a través de los on eptos de energía o poten ia disipada plásti amente.

Figura 2.5: TrabajoEn la gura se representan grá amente las regiones orrespondientes a losprodu tos de fuerzasdesplazamientos, o esfuerzosdeforma ión que pueden aso- iarse on los distintos términos, tanto en los asos onservativos, omo en losdisipativos.2.6. Prin ipio de superposi iónEn la medida en que se onsidere un omportamiento no disipativo de la es-tru tura y sus materiales onstituyentes, resultará que el estado al anzado trasun pro eso de arga no dependerá del pro eso mismo, sino sólo de la ongu-ra ión nal de las argas apli adas a la estru tura. Esto es así en los modeloselásti os lineales, por razones obvias, pues un modelo lineal puede siempre des- omponerse en sumas, que pueden agruparse omo modelos separados y reorde-narse, dada la onmutatividad de la suma, pero es ierto igualmente por razonestermodinámi as en ualesquiera otras situa iones que no admitan la disipa ión

CAPÍTULO 2. BASES DEL ANÁLISIS 32de energía. Por ello en tales asos puede onsiderarse para el análisis de un ier-to estado su des omposi ión en estados separados más simples, obteniendo elestado omplejo mediante la superposi ión de aquellos.2.7. Prin ipio de los trabajos virtualesEl prin ipio de los trabajos virtuales ha tenido históri amente dos formula- iones alternativas, de los desplazamientos virtuales, o de las fuerzas virtuales.Sin embargo su denomina ión omo trabajos virtuales re oge ambas perspe ti-vas, por lo que es el a tualmente empleado.El prin ipio de los trabajos virtuales estable e que si se onsideran en unamisma estru tura dos estados diferentes y usualmente independientes, el prime-ro de esfuerzos y argas en equilibrio, (f ,F ), y el segundo de deforma ionesy movimientos ompatibles, (u,U), el trabajo realizado por las fuerzas (y es-fuerzos) del primer estado en los movimientos (y deforma iones) del segundo esnulo, o lo que es análogo, que el trabajo externo argas por desplazamientosiguala al trabajo interno esfuerzos por deforma ionesEstable e que di ha igualdad entre trabajo interno y externo se produ e si,pero sólo si, se umplen las ondi iones de equilibrio y de ompatibilidad de losestados onsiderados, sin ne esidad en todo aso de que se traten de estadosreales o virtuales de la estru tura, si es que tales ali ativos pueden teneralgún tipo de sentido: los estados onsiderados no tienen por qué tener rela iónalguna entre sí; sólo debe ser equilibrado el estado me áni o, y ompatible el inemáti o.La primera demostra ión del prin ipio, debida a John Bernouilli21 es muysen illa: si onsideramos un sistema de puntos materiales sometidos a fuerzasmutuas, y en equilibrio, y lo deformamos desplazando arbitrariamente unos res-pe to de otros, el trabajo total produ ido en esa deforma ión es nulo, puestoque al tratarse de fuerzas equilibradas aportan resultante nula en ada pun-to, resultante que por tanto produ e trabajo nulo. Si en ese sistema de puntosaislamos una región interna, onsiderando internas las fuerzas mutuas entrelos puntos de di ha región que estará en equilibrio on el resto de fuerzasexternas y la deformamos, debido al anterior razonamiento, el trabajo totaldebe ser nulo, y por lo tanto el trabajo desarrollado por las fuerzas externasdebe ser igual y ontrario al desarrollado por las fuerzas internas. Si onsidera-mos ahora un sistema en el que la arma ión anterior es ierta el trabajo esnulo para ualquier deforma ión arbitraria que supongamos el sistema debeestar en equilibrio, pues basta suponer que la deforma ión es su esivamente elmovimiento aislado de ada punto, que, por desarrollar trabajo nulo, debe estarsometido a fuerzas de resultante nula, y por ende, en equilibrio.La anterior demostra ión puede ser ontestada en el ámbito de los medios ontinuos, en el que no abe identi ar puntos materiales en número nito, y enel que, por tanto, el razonamiento no sería apli able al no poder re orrerse entiempo nito un onjunto innumerable.Vamos a dedu ir por tanto el prin ipio en la forma innitesimal lási a em-pleada en los textos de elasti idad, a partir de un estado equilibrado en el ontinuo de la estru tura, al que sometemos a un movimiento arbitrario, a lolargo del que suponemos se mantiene el estado equilibrado original.21En arta a Varignon de 1717 y que éste ita en [Varignon, 1725

CAPÍTULO 2. BASES DEL ANÁLISIS 33Se denomina prin ipio, pues tanto podemos dedu ir éste a partir de las on-di iones de equilibrio y de ompatibilidad, omo al revés, es de ir, dedu ir lo queson el equilibrio o la ompatibilidad a partir del umplimiento de los enun iadosde di ho prin ipio. O di ho on más pre isión, se treta de una rela ión triangu-lar: equilibrio y ompatibilidad permiten dedu ir el enun iado del prin ipio, y la on urren ia del prin ipio on el equilibrio o on la ompatibilidad en unode los estados permite dedu ir la ompatibilidad o el equilibrio en el otro.En la formula ión de métodos de análisis aproximado es usual esta segunda pers-pe tiva, estable iendo las ondi iones de equilibrio a través del umplimiento delos enun iados del prin ipio de los trabajos virtuales.En 2.1 representábamos las tensiones y deforma iones en un punto en dosformatos lási os: el tensorial σ = σij , ǫ = ǫij , y en la forma apropiada parasu tratamiento usando matri es de no más de dos dimensiones, usando porello fT = (σx, σy , σz, τxy, τyz, τzx), uT = (ǫx, ǫy, ǫz, γxy, γyz, γzx). Frente a lasanteriores, las argas apli adas F pueden ser argas de masa, apli adas de formadistribuida sobre el volumen Ω de la estru tura (F TΩ = (px, py, pz)), o argas desuper ie, apli adas en su ontorno Γ (F T

Γ = (τnx, τny, τnz)).Los desplazamientos U se representan mediante ve tores aso iados al puntoque se desplaza: UT = (υx, υy, υz).En los textos lási os de elasti idad se analiza el equilibrio del ubo elemen-tal sometido a las tensiones en sus aras y a las argas apli adas al volumenobteniéndose las expresiones siguientes,px +

∂σx

∂x+∂τyx

∂y+∂τzx

∂z= 0

py +∂τxy

∂x+∂σy

∂y+∂τzy

∂z= 0

pz +∂τxz

∂x+∂τyz

∂y+∂σz

∂z= 0,fá iles de veri ar observando el ubo innitesimal de lado unidad.Si desplazamos ese ubo unidad en ada punto de la estru tura mediante unmovimiento generalizado U movimiento arbitrario pero ompatible y del quepuede obtenerse una deforma ión ompatible por diferen ia entre movimientosde puntos próximos el trabajo realizado por todo el onjunto de fuerzas esnulo, al serlo en ada ubo elemental: el trabajo en ada dire ión y para adaelemento de volumen no es más que el produ to del primer término de la e ua iónpor el desplazamiento orrespondiente, por el elemento de volumen, que, porigualdad on el segundo término, resulta nulo:

∫

Ω

uxpx dv +

∫

Ω

ux∂σx

∂xdv +

∫

Ω

ux∂τyx

∂ydv +

∫

Ω

ux∂τzx

∂zdv+

∫

Ω

uypy dv +

∫

Ω

uy∂τxy

∂xdv +

∫

Ω

uy∂σy

∂ydv +

∫

Ω

uy∂τzy

∂zdv+

∫

Ω

uzpz dv +

∫

Ω

uz∂τxz

∂xdv +

∫

Ω

uz∂τyz

∂ydv +

∫

Ω

uz∂σz

∂zdv = 0.Si en la e ua ión anterior usamos la nota ión ya estable ida para F T

Ω y si,en segundo lugar, integramos por partes los términos que ontienen derivadas

CAPÍTULO 2. BASES DEL ANÁLISIS 34par iales realizamos la integral de GreenGauss resulta∫

Ω

UT F Ω dv +

∫

Γ

uxσnx dS +

∫

Γ

uyσny dS +

∫

Γ

uzσnz dS+

−∫

Ω

∂ux

∂xσx dv −

∫

Ω

∂ux

∂yτyx dv −

∫

Ω

∂ux

∂zτzx dv+

−∫

Ω

∂uy

∂xτxy dv −

∫

Ω

∂uy

∂yσy dv −

∫

Ω

∂uy

∂zτzy dv+

−∫

Ω

∂uz

∂xτxz dv −

∫

Ω

∂uz

∂yτyz dv −

∫

Ω

∂uz

∂zσz dv = 0.Puede observarse que el primer término de volumen es el trabajo realizadopor las fuerzas de masa, y que los términos de super ie son iguales al traba-jo realizado por las fuerzas de super ie en el desplazamiento. Ambos gruposde términos suman el trabajo externo ejer ido por las fuerzas apli adas a laestru tura:

We =

∫

Ω

UT F Ω dv +

∫

Γ

UT F Γ dS. (2.9)Por otro lado los términos negativos, que son términos de volumen, on-tienen derivadas par iales de los movimientos, que no son otra osa que lasdeforma iones que se derivan del ampo de movimientos pres ritos, es de ir, lasdeforma iones ompatibles on el movimiento pres rito:∂ui

∂i= ǫi, i ∈ (x, y, z);

∂ui

∂j= bij , i, j ∈ (x, y, z);por lo que los términos negativos expresan, en negativo, el trabajo interno dedeforma ión de la estru tura

Wi =

∫

Ω

uT f dv (2.10)resultando que el sistema ini ial en equilibrio (f ,F ) , sometido al desplazamien-to ompatible (u,U) desarrolla trabajo nulo :We −Wi =

∫

Ω

UT F Ω dv +

∫

Γ

UT F Γ dS −∫

Ω

uT f dv = 0. (2.11)Una manera alternativa lási a de abordar la demostra ión es partir de unanálisis de la energía movilizada en la masa de la estru tura a partir de un mo-vimiento generalizado ompatible δUT = (δυx, δυy, δυz). Si en este movimientoestudiamos el trabajo desarrollado por las fuerzas de masa F TΩ = (px, py, pz)tendremos la medida

δWm =

∫

Ω

δUT F Ω dv (2.12)Si tomamos el segundo término y lo igualamos a su integral por partes realizadaen la forma ya ono ida, usando las e ua iones de equilibrio para rela ionar F Ωy σ sus derivadas así omo las e ua iones de ompatibilidad para rela ionarδU sus derivadas on δǫ, tendremos que en di ha integra ión apare e el tér-mino de ontorno (en Γ) deniendo el trabajo de las fuerzas exteriores, más lostérminos en el interior del uerpo (en Ω) deniendo el trabajo de deforma ión.

CAPÍTULO 2. BASES DEL ANÁLISIS 35Los términos de ontorno pueden pasarse al primer miembro de la igualdad,resultando así la identidad entre el trabajo de las fuerzas exteriores de masa yde ontorno en el desplazamiento on el trabajo de los esfuerzos interiores enla deforma ión. Nótese que en esta demostra ión el re urso al símbolo δ es mera-mente nota ional, para distinguir el ampo de desplazamientosdeforma ionesusado, aun uando en la literatura es habitual hablar de desplazamientos peque-ños si, omo es usual, se los onsidera parte de los reales de la estru tura. Sehabla en esa literatura de prin ipio de los desplazamientos virtuales. Pero nadaen la demostra ión requiere que haya rela ión alguna entre di ho ampo y el de argasesfuerzos: sólo se emplean las e ua iones de ompatibilidad en el primeroy las de equilibrio en el segundo, para la misma geometría. Podríamos haberusado el símbolo δ para denotar el ampo equilibrado y estaríamos hablando delprin ipio de las fuerzas virtuales. Se trata obviamente de dos formas de ver unúni o prin ipio, hoy ono ido omo de los trabajos virtuales. Es sustan ial en elrazonamiento que tanto el equilibrio omo la ompatibilidad puedan expresarseen sus respe tivos ampos en la forma diferen ial apuntada, omo que la geo-metría de referen ia para ambos ampos sea idénti a. Pero no se ha empleadorequisito alguno de admisibilidad material, dado que no se exige ningún tipo deligadura entre ambos ampos. Puede verse además, repasando los razonamien-tos utilizados, que la demostra ión no emplea más que el re urso a lo que puedeverse omo un ambio de sistema de referen ia aunque omplejo para medirdesde dos perspe tivas distintas una magnitud on reta preelegida.De los razonamientos anteriores se dedu e efe tivamente que trabajo externoo trabajo interno no son más que dos modos alternativos de ara terizar el traba-jo desarrollado por las fuerzas equilibradas de la estru tura en el desplazamiento ompatible, y que, por tanto, si se respeta el equilibrio de fuerzas y soli ita ionesy la ompatibilidad de movimientos y deforma iones, lo que se ha e al pasar deuna perspe tiva a la otra es sólo un ambio legítimo de referen ia, por lo queambos trabajos externo e interno son idénti os, y su diferen ia nula.Si observamos el mismo asunto desde la perspe tiva energéti a, y onside-ramos por ejemplo, omo sistema ompatible, un ampo de desplazamientos enel que las argas pierden energía poten ial, resultará que el trabajo interno dela estru tura orresponderá a una ganan ia de energía poten ial elásti a. Deeste modo el trabajo realizado, nulo, es la suma de una pérdida de energía y deuna ganan ia de energía simultáneas, y la varia ión en el onjunto de la energíapoten ial, igual y ontraria al trabajo realizado, resulta igualmente nula:∆Ue + ∆Ui = −(We −Wi) = 0. (2.13)En esta última interpreta ión no debemos olvidar la independen ia postuladaentre ambos ampos de fuerzasesfuerzos y movimientosdeforma iones, y suidentidad a lo largo del movimiento, lo que ha e algo sui géneris el on epto deenergía poten ial elásti a a umulado, que habitualmente se reere a la adquiridaen estados de deforma ión al anzados en pro esos de arga que re e lentamentey manteniendo en todo momento la admisibilidad material, de la que aquí no sehabla.Si onsideramos ahora el estado de una estru tura sometida a argas, alas que equilibra, y deformada en virtud de éstas, y onsideramos pequeñosmovimientos en torno a di ho estado, omo la anterior ondi ión se produ epara ualquier movimiento arbitrario que quepa on ebir, resulta de ello que si

CAPÍTULO 2. BASES DEL ANÁLISIS 36se onsidera la energía poten ial total del sistema argasestru tura deformada,y se dene omo fun ión de la deforma ión, la energía poten ial total está en unpunto ríti o máximo o mínimo o lo que es lo mismo, el estado de equilibrioal anzado por la estru tura debe orresponder a un punto esta ionario de laenergía poten ial total. Desde la perspe tiva termodinámi a, y en virtud delsegundo prin ipio, la energía útil o exergía es mínima en el equilibrio y, enlas estru turas entendidas omo sistemas aislados, esta energía útil es la energíapoten ial total que, por tanto, debe ser mínima.En general el prin ipio se apli ará onsiderando dos estados independientes,uno equilibrado (f, F ) y otro ompatible (u, U), y estable iendo la identidadentre el trabajo realizado por las variables internas trabajo interno on elrealizado por las variables externas trabajo externo, expresión que, para el aso en que di has variables sean dis retas, tendrá la sen illa forma siguiente:uT f = UT F (2.14)2.7.1. Dualidad me áni o inemáti aA abamos de ver que el produ to en una estru tura dada de todo movimiento ompatible por todo estado de argas equilibrado debe produ ir igual trabajointerno que externo.Consideremos ahora dos estados de una estru tura representados por u, U ,y por f , F . Sea el primero un estado ompatible, y el segundo uno equilibrado.Pueden, por lo tanto es ribirse las rela iones 2.6, 2.7 y 2.14 parti ularizadaspara di hos estados, a saber

F = Hf

u = BU

uT f = UTF .Si en la ter era de las e ua iones sustituimos las dos pre edentes, resulta

UTBT f = U

THf .Nótese que, omo esta igualdad debe darse en todo aso, para ualesquiera U ,f ,debe resultar que

BT = H. (2.15)Esta propiedad resulta extremadamente útil, pues bastará en ada problema onsiderar la formula ión que resulte más ómoda, la del equilibrio, o la de la ompatibilidad, obteniendo la orrespondiente dual de forma puramente auto-máti a. Dado que en el análisis de la respuesta estru tural frente a un sistemade argas dado ha de reexionarse sobre el estado de deforma ión que es a-paz de poner en juego esfuerzos que equilibren las argas, desde mi parti ularpunto de vista suelo en ontrar más sen illo formular la ompatibilidad aunquehay, evidentemente, partidarios del enfoque opuesto. En todo aso, al estable- er el modelo on el que se trata de representar una estru tura, una razonableestrategia de omproba ión del modelo, una espe ie de prueba del nueve de laidoneidad del modelo, onsiste en representar por separado las dos ondi iones,y veri ar después que se da la igualdad 2.15.

CAPÍTULO 2. BASES DEL ANÁLISIS 372.8. Análisis lineal y no lineal. Primer orden. Se-gundo orden, . . .Hemos visto en la explora ión de las magnitudes que forman parte de lades rip ión del problema estru tural que, por un lado, tenemos magnitudes quepodríamos denominar externas, omo son las F y las U , argas y desplazamien-tos, y por el otro tenemos las que podríamos denominar internas, que son las delas f y las u, esfuerzos y deforma iones. Respe to de las primeras sabemos queen algunos puntos libres ono emos las argas pero des ono emos los desplaza-mientos, mientras que en el resto de los puntos de sustenta ión, des ono emoslas argas, que ahora son las rea iones, mientras que ono emos los desplaza-mientos, al estar oa ionados. Sea D el número de términos de ualquiera delas dos magnitudes F o U : ono emos D en total, y des ono emos otras tantas.Hemos visto también que siempre podemos redu ir el problema eliminandode las e ua iones los términos orrespondientes a la sustenta ión, por lo quees usual onsiderar sólo los puntos libres. En todo aso onsideraremos que Dexpresa el número de in ógnitas onsideradas.En rela ión on las magnitudes f y u, antes del análisis des ono emos tantounas omo otras. Sea d el número de términos de ualquiera de estas últimasmagnitudes. Vemos que tenemos in ógnitas en un número a umulado de D+2d.Por otro lado, al onsiderar las rela iones entre magnitudes hemos visto quepodemos estable er las D e ua iones de equilibrio F = Hf .En el aso de que D = d tenemos on las e ua iones de equilibrio tantase ua iones omo in ógnitas: el número de términos en los datos F oindide onel número de las in ógnitas f y el problema es isostáti o y por lo tanto puederesolverse sin ne esidad de re urrir a ondi iones de deforma ión: las argasdeterminan los esfuerzos, éstos determinan las deforma iones, y de éstas puedendedu irse los desplazamientos empleando el resto de las e ua iones obtenidas enapartados anteriores.En el aso de de que D > d, tenemos más e ua iones que in ógnitas. Esimposible por tanto obtener solu iones salvo para ondi iones parti ulares dela arga, por lo que existen asos de arga para las que no hay equilibrio. Elsistema es un me anismo. Se trata de un sistema hipostáti o. Podríamos de irque no hay posibilidades de deforma ión22 para algunas de las dire iones de la arga. Esto puede verse on mayor laridad si se observa que la e ua ión dual,de ompatibilidad u = BU , o lo que es lo mismo, u = HT U es un sistemade d e ua iones que ligan los d modos de deforma ión on los D desplazamien-tos. Al ser mayor el número de desplazamientos libres, resulta posible onseguir ombina iones no nulas de éstos para los que las deforma iones son nulas, ypor lo tanto no existe respuesta estru tural apaz de oponerse a di ho desplaza-miento. Di has ombina iones orresponden a los modos de desplazamiento delme anismo.En el aso de de que D < d, tenemos menos e ua iones que in ógnitas.Esto signif a que el equilibrio para ualquier ondi ión de arga es siempreposible, pero además, que pueden darse mu has solu iones alternativas a las ondi iones de equilibrio, para distintas ombina iones de esfuerzo. El problemases hiperéstáti o, y no queda su ientemente determinado on sólo las e ua iones22Debe entenderse aquí el término deforma ión en su sentido pleno de respuesta estru tural,respuesta que se materializa por a umula ión interna de energía de deforma ión.

CAPÍTULO 2. BASES DEL ANÁLISIS 38de equilibrio.En este aso bastará onsiderar los tres grupos de ondi iones, es de ir, lasde admisibilidad estáti a, inemáti a, y material, que aportan ada una de ellasun número de D, d y d e ua iones respe tivamente, su ientes para determinarlas D + 2d in ógnitas del problema.De este modo, en general, las e ua iones de equilibrio, ompatibilidad y de onstitu ión material son las e ua iones ne esarias y su ientes para resolver deforma ompleta ualquier problema estru tural, si bien, en los asos isostáti os,bastaría on las primeras para determinar los esfuerzos sin ne esidad de re urrira onsidera iones inemáti as o de onstitu ión material, que sí se pre isan sise desea determinar deforma iones y movimientos. En el aso general de que laestru tura sea hiperestáti a es ne esario onsiderar onjuntamente la totalidadde los aspe tos del problema para obtener solu ión a ualquiera de ellos.2.8.1. Análisis lineal y no linealHemos obtenido las rela iones de equilibrio: F = Hf ; de ompatibilidad:u = BU ; y de onstitu ión: f = ku. Cuando son rela iones lineales pequeñosmovimientos, material propor ional se trata de expresiones de multipli a iónde matri es, en las que las matri es H = BT y k son matri es de oe ientesnuméri os uya determina ión es posible si es ono ida la estru tura.

Figura 2.6: No linealidad geométri aEn el aso de que los movimientos no sean despre iables en la des rip ióndel omportamiento de la estru tura, es fá il ver que las matri es H y BT sonrealmente matri es de fun iones que dependen de la posi ión de la estru tura, omo queda ilustrado on el ejemplo del pilar esbelto: empleando el riterio derepresentar los esfuerzos de extremo de barras en ejes alineados on la re taque liga sus dos extremos, resulta que la e ua ión de equilibrio depende deldesplazamiento en abeza:F = N cos

δ

h+ T sin

δ

hLa expresión es dependiente de los desplazamientos. Problemas de estabilidad deeste tipo, o los denominados de grandes desplazamientos, responden a situa ionesen los que el análisis del equilibrio debe realizarse en la situa ión deformada,y resultan en ellos rela iones no lineales entre las variables, in luso aunque losmateriales presenten omportamiento perfe tamente lineal en todas las fasesde la deforma ión. Se trata de problemas on no linealidad geométri a, en los

CAPÍTULO 2. BASES DEL ANÁLISIS 39que F = H(U)f , donde puede veri arse la no linealidad en los produ tos devariables pro edentes de U(f) y f . Problemas lási os de este tipo son los deinestabilidad, o pandeo, los del omportamiento de los ables, o de estru turasatirantadas esbeltas, et .En este tipo de problemas puede onsiderarse que el omportamiento repre-sentado por las e ua iones puede des ribirse on grados re ientes de aproxi-ma ión si imaginamos desarrolladas en series polinómi as las expresiones mate-máti as que las representan. Pues en efe to, si se expresan todas las e ua ionesen términos de los movimientos pequeños, resultan expresiones on térmi-nos lineales primer orden uadráti os segundo orden y su esivos . . . ,términos en los que el orden mayor impli a menor inuen ia en el omporta-miento observado. Es relativamente usual denominar análisis de segundo ordenal empleado para obtener la primera aproxima ión no lineal en problemas de nolinealidad geométri a, mientras que el análisis de primer orden sería el análisispuramente lineal.De manera totalmente independiente puede resultar que, aun uando losmovimientos sean despre iables y por tanto lineales las rela iones geométri asentre fuerzas y esfuerzos, o entre deforma iones y movimientos no lo seansin embargo las rela iones entre esfuerzos y deforma iones por depender delestado de la deforma ión: si el material no es elásti o, su rigidez varía on ladeforma ión, de modo que las e ua iones de onstitu ión material resultan de laforma f = k(u), nuevamente no lineal. Se trata de problemas de no linealidadmaterial. Son problemas lási os de este tipo todos los que tratan de aprove harlas fases últimas del omportamiento de los materiales, tanto en los dú tiles aprove hando la plasti a ión en el a ero y en las se iones su iente armadasen hormigón armado omo en los frágiles asumiendo la apari ión ontroladade suras en hormigones o fábri as, et ...Por supuesto que pueden ombinarse ambos orígenes, omo podría ejempli- ar una estru tura de ables realizada on materiales ompuestos, de ompor-tamiento altamente no lineal.Análisis límite o análisis últimoEn el extremo opuesto al análisis elásti o23 se sitúan los análisis en roturao análisis límite. En este aso, y a n de obtener aproxima iones relativamentesen illas al omportamiento último, suele adoptarse la simpli a ión de suponerhorizontal la rama de la grá a que rela iona la tensión on la deforma ión, olo que es lo mismo, suponer posibles deforma iones sin ambio de tensión24. Eneste aso se habla de ini io del movimiento de olapso, de modo que lase ua iones que hemos onsiderado deben rees ribirse para di ha situa ión.En tal situa ión, el modelo de pensamiento apli ado supone que las defor-ma iones elásti as ya se han produ ido, y no se alteran en el pro eso de ini iodel olapso, por lo que el movimiento de las regiones on omportamiento pu-ramente elásti o puede asimilarse a un movimiento sin deforma ión. Se analizapor tanto ex lusivamente el omportamiento de las regiones que plasti an, ylos esfuerzos y movimientos aso iados a di ha plasti a ión.23Si onsideramos el aspe to de la grá a tensión deforma ión típi a de un material dú til ualquiera, el origen de la grá a orresponde al ini io de la fase elásti a, mientras que larama nal de la grá a, el extremo opuesto, esquematiza la ondi ión de rotura.24Veremos en el apítulo 5 una des rip ión más pre isa de este tipo de situa iones.

CAPÍTULO 2. BASES DEL ANÁLISIS 40Las e ua iones de equilibrio deben matenerse, dado que se analiza el equi-librio que pre ede al olapso, por lo que no tienen di ultad alguna, si bien serepresentan sólo las pertinentes en este análisis, es de ir, las aso iadas a las re-giones que plasti an, onsideradas omo sólidos indeformables que se one tanentre sí mediante los esfuerzos de plasti a ión. Los modelos serán estáti amenteadmisibles si respetan el equilibrio.Las e ua iones de ompatibilidad serán ahora e ua iones que ligan los movi-mientos generales de la estru tura on las deforma iones plásti as de las regio-nes apropiadas. Los modelos serán inemáti amente admisibles si orrespondena geometrías de olapso posibles, que respeten la one tividad de la estru tura.Es usual ahora onsiderar omo geometría del olapso la que representa los am-bios entre posi iones su esivas de la estru tura en el pro eso de ini io de olapso,hablándose, por tanto, de velo idad de deforma ión, o de desplazamiento.Las e ua iones de onstitu ión material las de rigidez en el aso del aná-lisis elásti o deben representar ahora la ondi ión de plasti a ión, es de ir,la postula ión de deforma ión plásti a si, y sólo si, los esfuerzos se orrespon-den on los que dan origen a la plasti a ión para los materiales y se ionesempleados. La admisibilidad material se dará si plasti a iones y esfuerzos se orresponden entre sí de a uerdo on las ualidades materiales empleadas: es de- ir, si no hay plasti a iones en se iones on menor esfuerzo de los de rotura,ni hay esfuerzos mayores a los de rotura en ninguna se ión de la estru tura.Veremos más adelante que, en estas ondi iones, el onjunto de rela ionesdes ritas permite, nuevamente, formular los problemas de forma ompleta y ob-teniéndose solu iones úni as sólo si se respetan el onjunto de las tres ondi ionesde admisibilidad reseñadas.2.9. La solu ión elásti a del problema estru turalHasta aquí hemos visto que podemos onstruir para todo modelo estru turallas ondi iones de equilibrio o admisibilidad estáti a F = BT f ,las ondi iones de ompatibilidad o admisibilidad inemáti a u = BU ,las ondi iones de rigidez o admisibilidad material f = ku.Hemos visto además que el problema queda usualmente formulado en términosde obtener los desplazamientos U que orresponden a unas iertas argas F , ypara las ondi iones en que se umplen las tres ondi iones de admisibilidad. Enefe to, ono idos los desplazamientos generales, la e ua ión de ompatibilidadpermite obtener las deforma iones, y la de rigidez los esfuerzos, de modo que elestado ompleto de la estru tura queda determinado.En general habremos onstruido un modelo en el que tanto U omo F repre-sentan valores en los puntos libres de la estru tura, aunque puede haber asosen que sea de mayor omodidad in luir tanto los puntos libres omo los de lasustenta ión, aso que onsideraremos posteriormente.Puesto que el estado bus ado es equilibrado y ompatible debe umplirse elprin ipio de los trabajos virtuales, tanto onsiderando desplazamientos ompati-bles respe to de la situa ión bus ada, omo onsiderando varia iones tensionalesequilibradas. Supondremos, por tanto que u = BU representa uno de di hos

CAPÍTULO 2. BASES DEL ANÁLISIS 41estados elegido arbitrariamente. Planteando la equivalen ia de trabajo internoy externo, y sustituyendouT f = U

TF

UTBT ku = U

TF

UTBT kBU = U

TF .La última expresión debe ser ierta para ualquier U arbitrario, por lo queresulta de inmediato que

F = KU siendo K = BT kB. (2.16)De este modo puede onstruirse la matriz K que expresa las rela iones entrelas argas y los desplazamientos de la estru tura onstituyendo un sistema dee ua iones uya solu ión determina los movimientos U .2.9.1. Sustenta ionesEn el aso en que el modelo onstruido in luya los puntos de sustenta ión,resultaría que para movimientos rígidos del modelo no habría deforma ión. Lamatriz sería singular, siendo el trabajo interno nulo, e igualmente el externo,al ser iguales y ontrarios los trabajos desarrollados por argas y rea iones endi ho movimiento, por lo que el sistema no puede ser resuelto planteado de estamanera.En ese aso, y tal omo se ha planteado en el apartado sobre a iones yrea iones, bastará ordenar los parámetros de U y F agrupando separadamentemovimientos libres y sustenta iones, de modo que pueda expresarse la e ua iónque los liga en la forma[

F l

F s

]

=

[

K ll K ls

Ksl Kss

] [

U l

U s

]De este modo pueden obtenerse separadamente los dos sistemas de e ua ionesF l −KlsU s = K llU l

F s = KslU l + KssU s.En el primero de ellos, los movimientos de la sustenta ión, usualmente nulos,estarán pres ritos pudiendo ser onsiderados omo argas equivalentes en asode no serlo, de a uerdo a la expresión. El segundo permitiría determinar lasrea iones una vez resuelto el primero en la forma habitual.2.9.2. Subestru turas: ondensa ión estáti aUn aso próximo aunque inverso al anterior, en el que hemos eliminado delproblema los puntos de la sustenta ión, lo onstituye el problema de las sub-estru turas. Las subestru turas serían regiones amplias de la estru tura que seaíslan para el análisis de aquélla. En este aso existe un onjunto de puntos,internos a la subestru tura, que no tienen onta to on el resto de la estru tu-ra, mientras que otro onjunto orresponderá a las onexiones on el onjuntoestru tural restante.

CAPÍTULO 2. BASES DEL ANÁLISIS 42Ahora bien, el resto de la estru tura no ejer e a ión dire ta ninguna sobre lospuntos internos. Para éstos podemos imaginar que el habitual pro eso de argadesdoblado en dos fases a saber, una primera fase de empotramiento perfe tosin desplazamientos, para las argas apli adas a la subestru tura, y una segundafase de desplazamiento sin arga, se resuelve ahora en tres fases, dos internas yuna onjunta de la estru tura, que serán, su esivamente:empotramiento perfe to sin desplazamientos de las barras o regiones in-ternas de la subestru tura,desplazamiento de los puntos internos de la subestru tura sin desplaza-miento de los puntos de onexión, para las argas que anulan las rea ionesde empotramiento perfe to del análisis anterior, ydesplazamiento generalizado de la estru tura para las argas que anulanlas rea iones en los puntos de onexión.Los dos primeros estados onsisten en el análisis de la subestru tura omouna estru tura aislada, en el que las argas se resuelven en a iones sobre lospuntos de onexión on el resto de la estru tura, resultando el interior de lasubestru tura en equilibrio. El ter er estado analizado onsiste en un estadode desplazamiento generalizado de la estru tura en virtud de las a iones noequilibradas en las onexiones entre sus distintos elementos.Podemos ha er on la subestru tura la misma opera ión que en el anterior aso: agrupar las e ua iones separando unos puntos de otros. Los puntos internosson los puntos libres de la subestru tura, y las onexiones son las sustenta ionesen el segundo análisis de la lista pre edente. Para ada subestru tura resultanlas rela iones[

F i

F c

]

=

[

Kii Kic

Kci Kcc

] [

U i

U c

]En la primera y segunda fases, ada subestru tura queda sometida a las argasinternas, y resulta equilibrada por las rea iones que el resto de la estru turaejer e sobre los puntos de onexión F c2. El análisis de las subestru turas permiteobtener di has fuerzas. Para el análisis general a realizar en la ter era fase,las fuerzas −F c2 serán las argas a apli ar pro edentes de ada una de lassubestru turas.Ahora bien, en la ter era de las fases del análisis planteado, resultará quelas argas internas a onsiderar son nulas han quedado equilibradas en lasdos primeras fases en las que se ha des ompuesto el problema en apli a ión delprin ipio de superposi ión por lo que la e ua ión desde la perspe tiva de adasubestru tura es[

0

F c3

]

=

[

Kii Kic

Kci Kcc

] [

U i3

U c3

]de donde y eliminando el subíndi e 3 por sen illezKiiU i + KicU c = 0

U i = −K−1ii KicU c

F c = KciU i + KccU c

F c =(

−KciK−1ii Kic + Kcc

)

U c

CAPÍTULO 2. BASES DEL ANÁLISIS 43que onstituye una expresión que rela iona esfuerzos y movimientos en los pun-tos de onexión, y que por lo tanto onstituye una expresión ompleta de rigidezpara la in orpora ión de la subestru tura en la estru tura ompleta, en la formaf = ku on k = −KciK

−1ii Kic + Kcc, para los movimientos y esfuerzos de las onexiones U c, F c.Las argas sobre las onexiones obtenida en la segunda fase de análisis serán argas sobre la estru tura en la ter era. Obtenidos los movimientos generalizadosde las onexiones Uc en la ter era fase de análisis, pueden determinarse los delos puntos internos de la subestru tura U i, y por tanto pueden determinarsetodos los esfuerzos internos.2.10. Las teorías de estru turas: esquema on ep-tual general.Con los on eptos que hemos visto hasta aquí podemos presentar un es-quema que rela iona los on eptos generales del análisis. En efe to, el esquemasiguiente es apropiado para ualquiera de las aproxima iones que abordaremosen lo su esivo :Internoexterno: Cualquier modelo ha e empleo de una doble perspe tivaen la reexión, la que orresponde al estudio del omportamiento internode regiones limitadas de la estru tura, sometida a esfuerzos f en sus on-ta tos on el resto de la estru tura y a argas lo ales en equilibrio onla ley de varia ión de éstos aunque usualmente se simpli a el proble-ma onsiderando nulas tales argas, que se atribuyen a la estru tura ya deforma iones u aso iadas a di hos esfuerzos, y la que orresponde al omportamiento externo o onjunto de la estru tura, representado por elde un onjunto a otado de puntos en los que se pres riben las argas F lo los desplazamientos U s, y uyos movimientos U l, en el primer asoy rea iones F s en el segundo representan los de la estru tura en su onjunto.Equilibrio: Se pres ribe la ondi ión de equilibrio de toda la estru tura yla de ualquier región aislada de ésta, equilibrio que se expresa en generalpor el onjunto de e ua iones F = Hf entre las fuerzas vistas desde laperspe tiva externa o global las argas y rea iones y vistas desdela perspe tiva interna los esfuerzos interno o fuerzas de extremo de loselementos que omponen la estru tura.Compatibilidad: Se pres ribe igualmente la ondi ión de ompatibilidad ode ongruen ia entre las deforma iones y los movimientos generales de laestru tura, que se expresa por el onjunto de e ua iones u = BU . Dadoel ará ter dual de las formula iones resulta ser H = BT .Constitu ión o rigidez material: Las propiedades de los materiales utiliza-dos impli an rela iones que deben umplirse entre los esfurzos internos ylas deforma iones internas, rela iones que se expresan en la forma f = ku.Solu ión: Las anteriores e ua iones permiten dedu ir el uadro de rela io-nes entre argas y desplazamientos generales de la estru tura, en la forma

CAPÍTULO 2. BASES DEL ANÁLISIS 44F = KU . Puede observarse que di ho uadro de rela iones resulta de ob-tener K = HkB, o lo que es lo mismo, K = BT kB, pudiendo resolverselos movimientos U a partir de las argas F para ualquier ondi ión de arga, si la matriz K puede invertirse.Prin ipio del trabajo virtual: Estable e que el trabajo interno realizadopor un sistema esfuerzos internos f en una deforma ión dada u es igualal trabajo externo realizado por las argas F en el movimiento U siempreque el sistema estáti o f , F esté equilibrado y el sistema inemáti ou, U sea ompatible.Cambio de representa ión: A la vista del anterior onjunto de ondi io-nes resulta que las itadas e ua iones F = BT f , u = BU y K = BT kBpueden interpretarse sen illamente omo un sistema de e ua iones de am-bio de ejes oordenados o un ambio de representa ión, que transforma lainforma ión sobre el omportamiento de la estru tura entre dos sistemasalternativos, el interno y el externo.Di ho onjunto de rela iones puede esquematizarse en la forma siguiente:

u ←− COMPATIBILIDAD(B) ←− U

ց l ւMATERIAL ↓ k Trabajo interno = Trabajo externo ↓K

ր l տf −→ EQUILIBRIO(BT ) −→ F

(2.17)En di ho esquema puede observarse que puede usarse la ompatibilidad y laigualdad entre trabajo interno y externo para probar el equilibrio y vi eversa, elequilibrio y di ha igualdad para probar la ompatibilidad, de la misma maneraque equilibrio y ompatibilidad aseguran di ha igualdad entre ambas formas demedir el trabajo.Di ho esquema se parti ulariza de forma diferente en ada aso mediantela onstru ión on reta de las matri es B y k que, omo veremos en ejem-plos más adelante, resultan de extremada sen illez una vez adoptado el modelode la estru tura. En ésta, los omponentes elementales barras usualmentedenen k, mientras que los modos de deforma ión admitidos, que ligan losmovimientos a las deforma iones denen B, dedu iéndose de éstas el resto derela iones pre isas para dedu ir los desplazamientos orrespondientes al estadode argas onsiderado.Los apítulos siguientes apli an el anterior aparato al análisis de estru turastípi as de edi a ión, y a la reexión sobre las mismas.

Parte IIAnálisis

45

Capítulo 3Elementos en Estru turas deedi iosEn este apítulo se analizan los elementos típi os que onstituyen las estru -turas de edi a ión. Es sabido que la mayor di ultad en la omprensión del omportamiento estru tural radi a en la atribu ión de un modelo teóri o a una onstru ión real: una vez estable ido el modelo, su análisis es laro. La disper-sión de resultados sobre el análisis de un modelo dado es muy redu ida, si es queexiste, mientras que la dispersión en la asigna ión de modelos a onstru ionesreales es a menudo importante, de tal modo que mu hos de los desa uerdosentre espe ialistas están en su mayoría en la ele ión del modelo a apli ar. Porello en este apartado se ara terizan los elementos bási os que forman parte delmodelo estru tural en edi a ión.3.1. Punto, rebanada, pieza, y estru turaHemos visto en el apítulo anterior que todo análisis de una estru tura om-porta onfrontar la visión sobre ésta desde dos perspe tivas, interna y externa.Di ho ambio de perspe tiva no supone más que una formula ión de la mis-mas rela iones en un formato diferente, debiendo mantenerse en el ambio las ondi iones estable idas, tanto materiales, omo de equilibrio y ompatibilidad.En la mayor parte de los tipos estru turales en edi a ión, di ho ambiopuede ha erse onsiderando niveles progresivos de generaliza ión, a través delo que en el apítulo anterior hemos llamado agregados, y que ahora podemosdes ribir on más pre isión. Todos ellos responden al on epto de parti ión oregión de la estru tura, región que, en el aso de máxima amplitud, puede llegara abar ar toda la estru tura.La rela ión entre magnitudes en regiones ada vez más amplias se dedu e apartir de las de regiones más redu idas, y simpre en base a los mismos re ursos:se estudian las magnitudes agregadas de deforma ión y soli ita ión que denenel estado en el ontorno de la región mayor, y se determinan sus rela iones apartir de las ya estable idas en su interior. Se trata en mu hos asos de redu - iones de las expresiones de volumen a las del ontorno de onexión de la regiónestudiada. En el apítulo anterior hemos empleado omo ejemplos mu has dedi has rela iones, que ahora revisamos en forma más sisteméti a.46

CAPÍTULO 3. ELEMENTOS EN ESTRUCTURAS DE EDIFICIOS 473.1.1. Estado de tensión en un puntoEste análisis es el propio de ualquier introdu ión a la teoría de la elasti- idad: debe formularse lo que se entiende por deforma ión y soli ita ión en unpunto. La ele ión lási a sigue la vía abierta por Cau hy: las tensiones se de-nen mediante el tensor de tensiones de Cau hy, des rito en la e ua ión 2.1, y lasdeforma iones mediante el orrespondiente tensor de deforma iones. El primerode los on eptos des ribe las soli ita iones sobre el punto mediante las tensionesque se ejer en en un ubo paralelo a los ejes oordenados y de tamaño inni-tesimal en torno al punto, mientras que el segundo des ribe las deforma ionesde la esfera de radio unidad que envuelve al punto, a través del desplazamientoque experimentan los tres puntos de di ha esfera situados en la rama re ientede los ejes.Las rela iones analizadas en di has magnitudes in luyen las pre isas para el ambio de ejes de referen ia, y las rela iones mutuas de esfuerzodeforma iónson objeto de las teorías de la elasti idad y de la plasti idad.En este análisis se expresan en forma de fun ión las variables de tensión ydeforma ión des ritas. Se expresan igualmente las rela iones entre di has fun- iones requeridas para que exista el equilibrio y la ompatibilidad rela ionesdiferen iales, en tanto que el equilibrio se dará entre las diferen ias de tensiónentre aras opuestas del ubo y las argas apli adas a éste, o entre diferen iasde movimientos de puntos próximos y la deforma ión del punto onsideradoSe añaden las rela iones orrespondientes a la onstitu ión material elegida,así omo las ondi iones en el ontorno de la estru tura argas y oa ióna los desplazamientos y la solu ión, si existe, del orrespondiente sistema dee ua iones diferen iales resuelve el problema.A menudo la formula ión de equilibrio y ompatibilidad se realiza aprove- hando las propiedades del prin ipio del trabajo virtual, onsiderando los estadosde deforma ión o esfuerzo bus ados, y sus varia iones que, en tanto mantenganel equilibrio y la ompatibilidad, deben produ ir trabajo total nulo al restartrabajo externo y trabajo interno dando lugar a métodos de orte varia ional,que son los empleados sistemáti amente en los llamados métodos aproximados, omo es el de los elementos nitos.Se remite a los textos de teoría de la elasti idad para su análisis detallado.Aquí interesa el omportamiento del punto omo peldaño ini ial para el análisisde la pieza.Se onsideran por tanto, ahora, los aspe tos aso iados a las estru turas debarras. En éstas, la dimensión longitudinal es grande en rela ión a las dimen-siones transversales, por lo que es e iente simpli ar el omportamiento tridi-mensional de la barra al omportamiento a lo largo de su dire triz la líneaque une los su esivos puntos en que se sitúa el entro de gravedad de las se - iones planas ortogonales a la longitud de la barra, en puridad, ortogonales a ladire triz misma. En las barras los estados de tensión responden bási amente alas apli adas sobre tales se iones, despre iándose el efe to lo al de las tensio-nes apli adas omo argas a las aras laterales de la barra, omo veremos en elsiguiente apartado.

CAPÍTULO 3. ELEMENTOS EN ESTRUCTURAS DE EDIFICIOS 483.1.2. Estado de soli ita ión en una rebanadaEn las estru turas de barras, la región de referen ia bási a para el análisis esla rebanada, región delimitada por dos se iones o ortes su esivos y próximos enla barra, y ortogonales a su dire triz. La pequeña región delimitada materializael equilibrio entre esfuerzos opuestos en las dos se iones, o aras, y puede estarsometida a arga, que equilibra mediante leves diferen ias entre los esfuerzos enambas aras. Di ha región onstituye un agregado de puntos materiales, uyoanálisis onjunto podríamos llamarle ole tivo simpli a el estudio de lasbarras de forma muy apre iable.Se denomina bra a toda región innitesimal paralela a la dire triz entreambas aras de la rebanada.Figura 3.1: Se ión y soli ita ionesLas resultantes de fuerza posibles sobre una de las aras determinan losesfuerzos posibles, que son las 6 resultantes posibles de fuerzas en el espa io:normal, fuerzas tangentes o ortantes, momento torsor, y momentos e tores

(Nx, Ty, Tz,Mx,My,Mz). A di has resultantes de fuerza deben a ompañar, se-gún los riterios estable idos en el apítulo anterior, seis omponentes de defor-ma ión que orrespondan en términos energéti os a las anteriores omponentesde esfuerzo, y que serán el alargamiento, y las distorsiones para los términos defuerza, que suponen desplazamientos relativos de las aras onsideradas, y lasrota iones relativas entre di has aras, a saber, la torsional, y las de exión ambios de urvatura que se orresponden ada una de ellas on los términosde momento (ǫ, γy, γz, ηx, cy, cz). Para asegurar medidas onsistentes se onside-ran movimientos relativos entre aras, en ejes referidos a sus entros de gravedad,y en aras distantes en la unidad, por lo que los términos de deforma ión sontérminos unitarios, y por tanto adimensionales para las fuerzas: alargamientounitario, o distorsiones angulares, pero tienen dimensiones inversas a las longi-tudes para los términos orrespondientes a los momentos: urvatura, o rota iónpor unidad de longitud. De este modo, al obtener el produ to entre esfuerzoy deforma ión el trabajo por unidad de longitud para la rebanada detamaño unidad deben resultar magnitudes que dimensionalmente son fuerzastanto en los desplazamientos omo en las rota iones, para que al integrarlas alo largo de las longitudes reales resulten trabajos.Si onsideramos el estado de tensiones posibles de un punto situado en una ara de la rebanada, observamos que apare en tres de las seis omponentes deltensor de tensiones: f = (σx, τxy, τxz), mientras que las otras tres, (σy, σz , τyz),resultan indenidas en el orte. Las tres omponentes que no apare en en el orte

CAPÍTULO 3. ELEMENTOS EN ESTRUCTURAS DE EDIFICIOS 49pueden dedu irse una vez estable idas las tensiones que sí quedan representadasen él, a través del equilibrio y onsiderando la forma en que se apli an las argasal ontorno de la rebanada, pero usualmente son de valores tan pequeños enrela ión on las otras tres que pueden despre iarse, suponiéndolas nulas.El equilibrio exige que las fuerzas representadas en una ara de la rebanadasean pre isamente resultantes de las tensiones existentes, por lo que onsideran-do la ara positiva resulta inmediato que1Nx =

∫

σx dA; Ty =

∫

τxy dA; Tz =

∫

τxz dA;

Mx =

∫

yτxz dA−∫

zτxy dA; My =

∫

zσx dA; Mz = −∫

yσx dA

(3.1)Dado que en las barras reales, esbeltas, las deforma iones a umuladas omodistorsiones la energía de deforma ión a umulada en las distorsiones sonpequeñas en rela ión on las demás, suele pres indirse en el modelo de rebana-da de las distorsiones, lo que obliga en ontrapartida a no emplear los ortantes omo variables, y por lo tanto, a dedu ir los ortantes ex lusivamente del equi-librio on el resto de esfuerzos en parti ular, si la barra es re ta, del equilibriode momentos de la rebanada, por el que el ortante es dire tamente la derivadade los momentos De este modo los esfuerzos bási os que representan el om-portamiento de la rebanada son F = (Nx,Mx,My,Mz) que se orresponden on las deforma iones U = (ǫ, ηx, cy, cz).Puede observarse que, en las deforma iones onsideradas relevantes, las detorsión responden a movimientosesfuerzos tangen iales en las bras, mientrasque los alargamientos y los ambios de urvatura se derivan de movimientos lon-gitudinales en las bras. Di ha diferen ia sugiere dos aproxima iones separadasal omportamiento: torsiones por una parte, y esfuerzos normales y exionespor la otra2.Torsión uniforme en una se ión hue a delgadaSólo se analizan aquí someramente las se iones hue as de pequeño espe-sor, por su fa ilidad, dejándose el estudio riguroso de la torsión para textosespe ializados.En la gura se representa una se ión hue a delgada genéri a sometida atorsión uniforme a lo largo de la longitud unidad. Las tensiones en la rebanada1Las rela iones que siguen pueden estable erse re urriendo al prin ipio de los trabajosvirtuales, multipli ando dire tamente las fuerzasesfuerzos por un estado arbitrario de defor-ma ión que por ejemplo, en el aso de esfuerzos aso iados a las tensiones normales, podemosdenir por el desplazamiento y rota ión de una ara respe to de la otra en ejes y, z denidosen el entro de gravedad de la se ión, por elonga ión de la barra, y su urvado: (ε, cy , cz).Igualando trabajos externo e interno:εNx + cyMy + czMz =

ZZ

(ε + cyz − czy)σ dy dz.Como las rela iones deben ser válidas para ualquier deforma ión arbitraria, basta anularsu esivamente todas las omponentes de deforma ión supuestas menos una para obtener lasexpresiones bus adas.2Se trata del enfoque apropiado para la llamada torsión uniforme, de Saint Vénant, otorsión sin alabeo, representativa del omportamiento de las piezas hue as o ma izas, aunqueinsu iente para des ribir el omportamiento en torsión de las se iones delgadas abiertas.

CAPÍTULO 3. ELEMENTOS EN ESTRUCTURAS DE EDIFICIOS 50son sólo tangen iales τ que deben ser paralelas por equilibrio a la tangente altubo, y que suponemos onstantes en el espesor, aunque puedan variar para adaposi ión sobre la se ión del tubo. Un orte longitudinal en el tubo permite verla tensión rasante orrelativa de la que apare e en la se ión, y el equilibriolongitudinal de un trozo de tubo obtenido on dos de di hos ortes permite verque el produ to τe es onstante (para ualesquiera posi iones, τe = τ ′e′).Figura 3.2: Torsión uniforme en se ión hue aDe este modo, si estable emos el equilibrio, el momento torsor deberá igua-larse al produ ido por las tensiones tangen iales des ritas, por lo que

Mx =

∮

τer ds =

∮

τe 2 dAy puesto que τe es onstanteMx = 2τe

∮

dA = 2τeAede donde resulta la ono ida rela ión que determina la tensión en ada puntoτ =

Mx

2eAe(3.2)donde Ae representa el área en errada por la línea media del espesor del tubo.Si queremos obtener ahora la rela ión entre el momento torsor y la rota iónpor unidad de longitud de la barra, bastará igualar, para el modelo que elijamospara el omportamiento del material, la energía de deforma ión vista desde elinterior de la barra, on la energía de deforma ión vista desde los esfuerzos enlas aras de la rebanada, debiendo ser ambas iguales. En el aso de materialesde omportamiento regido por la ley de Hooke tenemos:

1

2Mxηx =

1

2

∫∫∫

uT f dv

Mxηx =

∫∫

τγe ds dlPuesto que se trata de la longitud unidad debe ser l = 1, y empleandoγ = τ/G resulta

Mxηx =

∮

τ2e

Gds

Mxηx =

∮

M2xe

4e2A2eG

ds

ηx =Mx

4A2eG

∮

ds

e

CAPÍTULO 3. ELEMENTOS EN ESTRUCTURAS DE EDIFICIOS 51de modo que la rela ión momento a giro unitario es sen illamenteMx

ηx=

4A2eG

∮

dse

= GIT (3.3)Deforma iones de una rebanada re ta debidas a tensión normalSupondremos en la rebanada un omportamiento deforma ional que respon-da a la hipótesis de Navier, a saber, que la se ión plana permane e plana trasla deforma ión.

Figura 3.3: Tensión normal y deforma ión de la rebanadaEstable emos omo movimientos relativos de la ara positiva, referidos a su entro de gravedad3, el desplazamiento por elonga ión de la rebanada y las dosrota iones debidas a la urvatura que adquiere ésta: (ε, cy, cz), en orrespon-den ia on los esfuerzos de tra ión axial y momentos N,Mz,My onsideradosal analizar las resultantes de soli ita ión al prin ipio de este apartado. Se ob-tienen a ontinua ión las orrespondientes rela iones esfuerzodeforma ión pararela iones tensióndeforma ión lineales en ualquier punto material. En tales ir unstan ias tenemos:N =

∫

σx dA =

∫

ǫxE dAsiendo en ada punto ǫx = ε+ zcy − ycz on lo queN = EAε3Puede ha erse notar que el he ho de haber elegido el entro de gravedad de la se ión omo punto de referen ia para situar los esfuerzos y las deforma iones es una ele ión posible,alternativa a otras. Podríamos haber sele ionado un punto en la bra inferior, y habríamosobtenido otras rela iones, válidas omo alternativa. En éstas, la rota ión supondría simultánea-mente elonga iones y ambios de urvatura, y, por lo tanto, las rela iones entre elonga ionesy rota iones on normales y momentos resultarían a opladas, no pudiendo aislarse unos pa-rámetros de otros. Es de he ho una ele ión que se realiza en o asiones, omo en el análisisde ar os on resisten ia nula en tra ión y resiten ia innita en ompresión, porque en ese aso el extremo de la junta se omporta omo una rótula, resultando igualados y anulados losefe tos del normal por la elonga ión más el momento por la rota ión. La ventaja de la ele iónrealizada para el aso general radi a en que, siendo el omportamiento elásti o, la rela iónentre alargamiento y esfuerzo normal resulta independiente de la existente entre el ambio de urvatura y el momento.

CAPÍTULO 3. ELEMENTOS EN ESTRUCTURAS DE EDIFICIOS 52al estar referidos los ejes al entro de gravedad y resultar por tanto nulos losdos últimos sumandos de la integral por serlo sendos momentos estáti os. Paralas rota iones de las aras de la rebanada derivadas de las urvaturas en ambossentidos tendremos:My =

∫

zσx dA =

∫

zǫxE dA =

∫

z(ε+ zcy − ycz)E dA =

∫

z2cyE dA

My = EIycy

Mz =

∫

(−y)σx dA =

∫

(−y)ǫxE dA =

∫

(−y)(ε+ zcy − ycz)E dA =

∫

y2czE dA

Mz = EIzczdado que las integrales de los términos lineales en y o en z deben anularse porigual motivo que antes y siendo igualmente nulo el término en yz si los ejes sonlos prin ipales de iner ia4.Agrupando las rela iones obtenidas en estos dos últimos apartados resultanlas que vimos re ogidas en la se ión referida a la rebanada en el apartado 2.4sobre onstitu ión material.3.1.3. Estado de esfuerzos y deforma iones en una barrare taEl análisis de una barra ompleta omo un agregado úni o de todas las reba-nadas que la omponen permitirá posteriormente analizar on mu ha fa ilidadla estru tura omo un agregado de barras.Se trata de un aso parti ular de un problema de la mayor importan ia, que onsiste en redu ir la formula ión de un problema en términos ontinuos, esde ir, representando sus propiedades mediante fun iones de punto que re orrende forma ontinua el dominio de interés y que por tanto se apli an a un onjunto innito de puntos ideales, a su formula ión en términos dis retos,es de ir, representando sus propiedades mediante un onjunto nito de valoresdis retos a partir de los que pueden expresarse los del resto del ontinuo.Di ho análisis maniesta un problema parti ular de ierta relevan ia, en lamedida en que las barras son agregados de gran tamaño, frente a los asosanteriores en los que una dimensión, al menos, era innitesimal. El problemaestá en la gran variabilidad en las argas que pueden ser apli adas a la barra,que no existía en los asos pre edentes. Por ello estudiamos en primer lugar la4La magnitud I

I =

»

Ixx Ixy

Iyx Iyy

–

=

Z »

x2 xyyx y2

–

dAse omporta ante ambios de ejes omo un tensor omo es fá il ver onsiderando ómo seríanlos ambios de referen ia del objeto »

x2 xyyx y2

–

=

»

xy

–

ˆ

x y˜, re ordando el formato que teníaen la e ua ión 2.3 la proye ión de un ve tor sobre ejes rotados respe to a los ini iales.Por ello las expresiones resultan orre tas sólo en los ejes prin ipales de iner ia para las queel término ruzado es nulo.

CAPÍTULO 3. ELEMENTOS EN ESTRUCTURAS DE EDIFICIOS 53barra en la forma lási a para introdu ir posteriormente la misma sistemáti aque en los asos anteriores.En la gura se representan todas las magnitudes en juego en un problemade exión debido a argas perpendi ulares a la barra, a saber, la deformadaformada por los des ensos z llamada elásti a en la resisten ia de materiales lási a los giros θ de las se iones respe to de sus posi iones ini iales verti ales,derivados de la in lina ión de la deformada, y la diferen ia entre des ensos depuntos su esivos, las urvaturas c = 1/R indu idas por la diferen ia entre girosde se iones próximas, y rela ionada dire tamente on los momentos e toresapli ados a la se ión M , los esfuerzos ortantes T , aso iados a la existen iade varia iones en los momentos, y las argas q, responsables de la varia ión de ortantes en la rebanada.

Figura 3.4: Fun iones de movimiento y esfuerzos en vigasDe la gura, y suponiendo los movimientos pequeños, pueden dedu irse las

CAPÍTULO 3. ELEMENTOS EN ESTRUCTURAS DE EDIFICIOS 54 ono idas rela iones5θ =

∂z

∂x= z′

c = − ∂θ∂x

= −θ′ = −z′′

T =∂M

∂x= M ′

q = −∂T∂x

= −T ′ = −M ′′.

(3.4)Las dos primeras son las rela iones de ompatibilidad, y las dos últimas lasde equilibrio. A ellas puede añadirse la rela ión de onstitu ión material, que eneste aso será la rela ión momento urvatura. Hemos visto que en materialeslineales di ha rela ión se representa porM = EIc. (3.5)La estrategia adoptada en resisten ia de materiales lási a para determinarel estado de la barra onsiste en integrar la e ua ión diferen ial resultante deagrupar las anteriores e ua iones. La expresión lási a en la literatura, orres-pondiente a la ondi ión EI = onstante es6:q = EIzIV . (3.6)En di ha integra ión apare erán uatro onstantes de integra ión. Si se on-sidera la barra aislada, di has onstantes se determinan en base a las ondi ionesde ontorno en los dos extremos, ya sea geométri as des enso nulo si hay apo-yo, giro nulo si hay empotramiento o me áni as ortante nulo si es extremolibre, momento nulo si el extremo es apoyado o libre. Puesto que en todoextremo hay uatro magnitudes, dos me áni as y dos inemáti as, de las ualesne esariamente se ono en dos y se ignoran las otras dos las ondi iones de ontorno son su ientes para resolver el problema planteado.5Si se onsideran movimientos pequeños, la urvatura c, uya expresión exa ta según lagura es

c =z′′

(1 + z′2)3

2puede simpli arse empleando la aproxima ión que orresponde a una deformada asi hori-zontalc = z′′

6Si EI es variable resulta, naturalmente q = EIzIV + 2(EI)′z′′′ + (EI)′′z′′

CAPÍTULO 3. ELEMENTOS EN ESTRUCTURAS DE EDIFICIOS 55En general, la barra formará parte de un entramado más omplejo, por loque la anterior solu ión no es posible de apli ar sin ono er previamente lossu ientes movimientos o esfuerzos de extremo.En estru turas de omportamiento elásti olineal puede analizarse ese pro-blema más omplejo apli ando el prin ipio de superposi ión que permite obtenerel estado nal omo superposi ión de dos estados diferentes uyas ongura io-nes estáti as y inemáti as sumadas aportan la solu ión.Para ello se onsideran los dos sistemas formados, el primero por la barra argada y oa ionada en sus extremos de forma que éstos ni giran ni se des-plazan empotramiento perfe to En este sistema las rea iones oa ionanlos extremos en fun ión de la ley de argas existente, adoptando la barra la leyde esfuerzos y la deformada requeridas para umplir las e ua iones 3.4 y 3.5.El segundo sistema onsiste en el análisis del entramado formado por todas lasbarras sometido a las a iones de fuerzas ontrarias a las rea iones del (de los)sistemas pre edentes de empotramiento perfe to En este segundo sistemaya no hay argas distribuidas a lo largo de las barras, por lo que el análisis deéstas es más sen illo. Es, por otro lado, evidente que la superposi ión de ambossistemas es equivalente al problema original, dado queLas argas, suma de las estable idas sobre las barras más las rea iones ysus ontrarias, que se anulan, suman las argas originalesLos esfuerzos internos están en equilibrio al pro eder de la suma de dosestados equilibradosLas deforma iones son ompatibles y respetan las ondi iones de susten-ta ión, pues ambos estados separados lo ha en,Se umplen las ondi iones de rigidez, por razón del prin ipio de superpo-si ión, onsiderado se ión a se iónEstas reexiones permiten plantear nuevamente el problema de la barra queforma parte de un entramado mayor, dejando apartadas las uestiones de ar-ga apli ada sobre la misma: di has argas pueden siempre onsiderarse en elproblema separado de empotramiento perfe to7Tenemos, por tanto, la barra sometida a movimientos en sus extremos y portanto a esfuerzos en sus extremos, pero on arga nula sobre ella misma, demodo que la e ua ión a umplir es laEIzIV = 0. (3.7)Es fá il omprender que la integra ión de la anterior e ua ión, para unabarra de se ión onstante, propor iona un polinomio de ter er grado uyos oe ientes deben determinarse en fun ión de las ondi iones impuestas en losextremos.7En términos matemáti os más abstra tos, la solu ión para arga distribuida nula seríala solu ión de la e ua ión diferen ial homogénea, y la solu ión de empotramiento perfe to nosería más que una solu ión parti ular de la e ua ión diferen ial del problema original, de modoque la solu ión general, suma de la de la homogénea más la parti ular daría el abani o desolu iones para todas las ondi iones de extremo posibles. En di ho abani o, onsiderando la ompatibilidad en las onexiones on otras barras o la sustenta ión, podría determinarse lasolu ión al problema.

CAPÍTULO 3. ELEMENTOS EN ESTRUCTURAS DE EDIFICIOS 56Volvemos por tanto a plantear la uestión de rela ionar los movimientos deextremo de la barra on el estado de deforma ión existente sin argas a lo largode la barra.Consideraremos en primer lugar los esfuerzos normales. Hemos apli ado lasreexiones pre edentes al aso de argas y movimientos transversales a la barra,pero es laro que pueden apli arse igualmente al de las longitudinales. Éstasse aso ian a movimientos longitudinales. No existiendo argas longitudinales, elmovimiento de extremo relevante es el que orresponde a la elonga ión de labarra u, aso iado al esfuerzo normal en el extremo de ésta, N . La rela ión essobradamente ono ida, y evidente a partir de la de la rebanada, al ser ǫ = u/l:N =

EA

luEn el aso de las deforma iones transversales onsideraremos separadamentelos movimientos transversales en ambos planos de exión.

Figura 3.5: Viga deformada por movimientos de sus extremosPara ualquiera de di hos planos hemos despre iado, en el aso de la rebana-da, las deforma iones por ortante, de idiendo determinar los ortantes a partirde la ley de momentos. Podemos aquí mantener la misma estrategia, lo que su-pone que los ortantes de extremo deberán dedu irse a partir de los momentosde extremo lo que es fá il pero la impli a ión de lo anterior es que no po-demos emplear omo movimientos de extremo los desplazamientos transversalesrelativos, sino sólo los giros relativos de extremo. De tal modo que las referen iasade uadas a onsiderar en la barra son los giros de extremo en rela ión on lalínea que los une: la barra tiene así un movimiento rígido que traslada los ex-tremos de posi ión, movimiento que no produ e deforma ión, y no se onsidera,más una elonga ión si existen esfuerzos normales más una rota ión en adauno de sus dos extremos, rota ión aso iada a momentos en ambos extremos.La deformada elásti a es, en estas ondi iones, un polinomio de ter er grado uyos oe ientes deben determinarse para las ondi iones de desplazamientotransversal nulo en ambos extremos, izquierdo y dere ho, y las rota iones pres- ritas en ellos. Considerando ejes en el entro de la barra,z = ax3 + bx2 + cx+ d;

z−l/2 = 0

zl/2 = 0

z′−l/2 = θi

z′l/2 = θd

CAPÍTULO 3. ELEMENTOS EN ESTRUCTURAS DE EDIFICIOS 57Como z′ = 3ax2 + 2bx+ c, las ondi iones de extremo exigen que−al

3

8+ b

l2

4− c l

2+ d = 0

al3

8+ b

l2

4+ c

l

2+ d = 0

3al2

4− 2b

l

2+ c = θi

3al2

4+ 2b

l

2+ c = θdes de ir

− l3

8l2

4 − l2 1

l3

8l2

4l2 1

3l2

4 −l 1 03l2

4 l 1 0

abcd

=

00θi

θd

que puede resolverse invirtiendo la matriz uadrada y multipli ando

abcd

=

2l3 − 2

l31l2

1l2

0 0 − 12l − 1

2l− 3

2l32l − 1

4 − 14

12

12

l8 − l

8

00θi

θd

=

θi + θd

− θi

2 + θd

2

− θi

4 − θd

4θi

8 − θd

8

.De este modo la deformada se expresa omoz = (θi + θd)

x3

l2+ (−θi + θd)

x2

2l+ (−θi − θd)

x

4+ (θi − θd)

l

8.expresión que ahora podemos emplear para analizar la rela ión entre el om-portamiento interno de la barra y su omportamiento externo, referido a losmovimientos y esfuerzos de sus extremos, que son on los que la barra one ta on la estru tura.Una ex elente forma de ha erlo orresponde a la té ni a empleada en elmétodo de los elementos nitos (MEF) del que hablaremos en el apartado 4.2en el que nos referiremos a este ejemplo, y que es la forma que vamos a emplear.Si, a partir de la expresión anterior, des ribimos las deformadas orrespon-dientes a un giro unidad en uno de los extremos y giro nulo en el otro obtendre-mos, para ada uno de los extremos, las expresiones

ni(x) =x3

l2− x2

2l− x

4+l

8

nd(x) =x3

l2+x2

2l− x

4− l

8

(3.8)y podremos es ribirz = θini(x) + θdnd(x).o, en formato matri ial,z =

[

ni(x) nd(x)]

[

θi

θd

] (3.9)

CAPÍTULO 3. ELEMENTOS EN ESTRUCTURAS DE EDIFICIOS 58e ua ión que puede representarse de forma general mediante la expresión másabstra ta z = Na, en la que las fun iones z representan el ampo de despla-zamientos des rito para el ontinuo analizado al tratarse de la barra, di hosdesplazamientos son la deformada, on una sola omponente las fun iones Nson fun iones que interpolan el ampo de desplazamientos partiendo en adauna de ellas de un solo movimiento unidad de entre los de un onjunto, que seelige para representar el movimiento ompleto, y los valores a son los movimien-tos efe tivos de di hos puntos prejados, de tal modo que la ombina ión linealrepresentada por Na des ribe el desplazamiento ompleto z.Las deformadas elegidas orrespondientes a los giros unidad aislados se lla-man, en la té ni a del MEF, fun iones de forma, y no son otra osa que unabase que permite representar, mediante sus ombina iones lineales, todas lasdeformadas posibles de la barra por rota ión de sus extremos, empleando omo oe ientes de la ombina ión lineal los propios giros de extremo8.Ahora podemos tratar de des ribir el omportamiento de la barra sin ar-gas mediante los parámetros orrespondientes a los movimientos y esfuerzos deextremo θi, θd, mi, md.La barra estará equilibrada en di ha ondi ión on una deforma ión z om-patible denida por la e ua ión 3.9, deforma ión que además responde a lo largode toda la barra a la ondi ión de rigidez adoptada para sus rebanadas.Si suponemos movimientos en ambos extremo sean por ejemplo los giro[

θi θd

] y adoptamos una deformada ompatible on di hos movimientos (de-notada por z, a la que orresponde la urvatura c = z′′), podremos emplear elprin ipio de los trabajos virtuales para igualar el trabajo externo, el realizadopor los momentos de extremo mi, md en el movimiento, on el trabajo interno,es de ir, el desarrollado por los esfuerzos internos en la deforma ión adoptada.We = Wi

[

θi θd

]

[

mi

md

]

=

∫ l/2

−l/2

cM dx =

∫ l/2

−l/2

z′′M dx.Como los esfuerzos de la barra dependen de su deformada, también puedees ribirse la expresión anterior en la forma[

θi θd

]

[

mi

md

]

=

∫ l/2

−l/2

z′′EI z′′ dx.Una forma ade uada de representar la deformada ompatible z es expresarlamediante la e ua ión 3.9, para los movimientos de extremo a =[

θi θd

]T ,siendo θd = 0 en el aso que onsideramos, de manera quez′′ =

∂2

∂x2

([

ni(x) nd(x)])

[

θi

θd

]8Como las fun iones que estamos empleando se han obtenido representando de forma exa talas ondi iones internas de equilibrio, ompatibilidad y rigidez, el análisis aportará rela ionesexa tas entre el omportamiento externo y el interno de la barra. Cuando el problema geomé-tri o es de mayor di ultad, lo que es usual en problemas super iales o volumétri os, puedenusarse omo fun iones de forma aproxima iones que relajan algunas de di has ondi iones,resultando solu iones sólo aproximadas, uyo análisis de validez es una de las uestiones quedebe abordar el MEF.

CAPÍTULO 3. ELEMENTOS EN ESTRUCTURAS DE EDIFICIOS 59que podemos es ribir trasponiendo el produ to matri ial9z′′ =

[

θi θd

] ∂2

∂x2

([

ni(x)nd(x)

])

=[

θi θd

]

[

∂2ni(x)∂x2

∂2nd(x)∂x2

]

=[

θi θd

]

[

n′′i (x)n′′

d(x)

]y por lo tanto la e ua ión que iguala los trabajos es, empleando la e ua ión 3.9para denir la deformada real[

θi θd

]

[

mi

md

]

=

∫ l/2

−l/2

[

θi θd

]

[

n′′i (x)n′′

d(x)

]

EI[

n′′i (x) n′′

d(x)]

[

θi

θd

]

dxexpresión que, una vez desarrollada resulta, para módulo de elasti idad ons-tante, en la[

θi θd

]

[

mi

md

]

=[

θi θd

]

EI0

[∫

II0n′′

i (x)n′′i (x) dx

∫

II0n′′

d(x)n′′i (x) dx

∫

II0n′′

i (x)n′′d(x) dx

∫

II0n′′

d(x)n′′d(x) dx

] [

θi

θd

]en la que n′′i (x) = 6x

l − 1l , n′′

d(x) = 6xl + 1

l , y en la que pueden, por tanto, ob-tenerse on fa ilidad las integrales denidas, que en el aso de iner ia onstanteson del tipo ∫ l/2

−l/2

(

6xl ∓ 1

l

) (

6xl ∓ 1

l

)

dx dando lugar a la expresión[

θi θd

]

[

mi

md

]

=[

θi θd

] EI

l

[

4 22 4

] [

θi

θd

]

.Como la ondi ión expresada por la anterior e ua ión debe umplirse para ualquier movimientodeforma ión denido por parámetros [θi θd

] arbitrarios,resulta que debe umplirse[

mi

md

]

=EI

l

[

4 22 4

] [

θi

θd

] (3.10)que es la e ua ión de rigidez de la barra que tratábamos de obtener.La estrategia empleada resulta ompletamente general y permite abordarproblemas muy variados de dis retiza ión omo veremos someramente en elapartado destinado al método de los elementos nitos.Esfuerzos de empotramiento perfe toHemos visto que una uestión entral en el paso de des rip iones ontinuasa dis retas, omo es el aso de las barras que ahora analizamos, está en on-siderar las ondi iones de arga lo al apli ada en la barra en el elementode dimensiones nitas onsiderada. Hemos de onsiderar, en efe to, el esta-do de deforma ión de ésta sometida a las argas apli adas lo almente, parala ondi ión de inexisten ia de movimiento en sus extremos empotramientoperfe to, estado en el que se ejer en sobre la barra esfuerzos de extremo, deempotramiento perfe to, además de las deforma iones lo ales ne esarias para9En general estamos usando, por onsisten ia, el produ to es alar de desplazamientos pormovimientos o deforma iones por esfuerzos en el orden uT f . En el aso que nos o upa la ur-vatura se multipli ará por los esfuerzos, pero en un problema que tuviese varias omponentesde deforma ión, se emplearía la expresión traspuesta de las omponentes de deforma ión paramultipli ar por los esfuerzos.

CAPÍTULO 3. ELEMENTOS EN ESTRUCTURAS DE EDIFICIOS 60equilibrar las argas. De ara al análisis debemos ser apa es de re onstruir,tanto los esfuerzos de extremo, omo la deformada de la barra en la situa iónde empotramiento. Puesto que, ono idos los esfuerzos de extremo, dedu ir losesfuerzos y por ende las deforma iones lo ales de las rebanadas su esivases un ejer i io sen illo los esfuerzos se obtienen por simple equilibrio, y lasdeforma iones a partir de las urvaturas, que se obtienen dire tamente de la leyde momentos, el problema se redu e a determinar los esfuerzos de extremo orrespondientes a la ondi ión de empotramiento perfe to.La manera más sen illa de obtener di hos esfuerzos onsiste en apli ar elprin ipio de los trabajos virtuales onsiderando omo sistemas los siguientes:el sistema equilibrado será el de las argas lo ales on los esfuerzos deextremo des ono idos que las equilibran omo sistema de deforma iones ompatibles empleamos los denidos porlas fun iones de forma z = Na empleadas en el apartado anteriorde modo que en el produ to entre ambos sistemas, el trabajo de las argas ∫ zq dxdeberá ser igual al realizado en las rota iones por los esfuerzos de extremo,resultando[

Mi Md

]

[

θi

θd

]

=

∫

zq dx =

∫

q[

ni(x) nd(x)]

[

θi

θd

]

dx

[

Mi Md

]

[

θi

θd

]

=[∫

qni(x) dx∫

qnd(x) dx]

[

θi

θd

]que, omo debe ser válida para ualesquiera giros de extremo, exige que losmomentos de extremo sean[

Mi Md

]

=[∫

qni(x) dx∫

qnd(x) dx]

. (3.11)Si onsideramos el aso de arga uniformemente repartida q onstante, ten-dremos que[

Mi Md

]

=[

q∫ l/2

−l/2x3

l2 − x2

2l − x4 + l

8 dx q∫ l/2

−l/2x3

l2 + x2

2l − x4 − l

8 dx]

[

Mi Md

]

=[

ql2

12 − ql2

12

]

.3.1.4. Estado de una estru tura sometida a argasHemos visto hasta aquí ómo representar los estados de esfuerzo y deforma- ión de elementos genéri os de una estru tura, si bien nos hemos entrado enlos que onstituyen las estru turas de barras. El problema ahora es onstruir larepresenta ión de los estados de esfuerzo y deforma ión de la estru tura om-pleta, que supondremos onstituida por barras, y sometida a argas apli adas,bien a las barras mismas, bien a los puntos de unión entre éstas: los nudos.Al igual que las barras se representan mediante la línea de su dire triz trazada por los entros de gravedad de las se iones, se representan los nudosmediante puntos orrespondientes a la interse ión de las dire tri es de las ba-rras. Tal representa ión es lási a, pero resulta equívo a en mu hos asos, omomuestra la gura 3.6.

CAPÍTULO 3. ELEMENTOS EN ESTRUCTURAS DE EDIFICIOS 61

Figura 3.6: Nudo extensoEn efe to, puede representarse el nudo por un punto, pero a menudo lasbarras no on urren en uno sólo, tanto en estru turas de barras sometidas sóloa esfuerzos axiales, omo en estru turas sometidas a esfuerzos de exión. Debe onsiderarse la posibilidad de lo que se ha dado en llamar nudo extenso (ver[Cervera, 1995).Para ello se elige omo base de representa ión del nudo un punto arbitrario,y unos ejes de referen ia en él. El punto elegido es usualmente el extremo de unade las barras, aunque puede ser ualquier otro, omo podría ser uno relevanteen el replanteo de la estru tura. Los ejes de referen ia pueden ser los generalesde la estru tura o ualesquiera otros.Al nudo se aso ian todos los movimientos que pueden suponer deforma ionesen las barras, de modo que, en estru turas arti uladas en las que los extremos delas barras oin iden en los nudos, los movimientos posibles de ada uno de éstosson sólo desplazamientos. Sin embargo, si los extremos de barras no oin iden,las rota iones del nudo pueden suponer varia iones en los esfuerzos de las barras, omo puede verse en el ejemplo 2 de la gura 3.6, por lo que di ho nudo deberíarepresentarse por sus desplazamientos y su rota ión.Si estamos onsiderando estru turas de barras e tadas, en general se onsi-derarán aso iados a los nudos tanto desplazamientos omo rota iones (sólo unasi el modelo es plano). Las barras que a ometen al nudo tienen sus extremos enpuntos que no tienen por qué oin idir on el que representa al nudo, pero se onsideran rígidamente unidas al mismo, o lo que es lo mismo, los movimientosdel nudo indu en movimientos de los extremo de las barras, que a ompañan aaquél rígidamente. De este modo, si el nudo se desplaza, los extremos de barrase desplazan en la misma magnitud, y si el nudo rota, los extremos de las barrasrotan salvo si la unión es arti ulada y si no oin iden en posi ión extemo debarra y nudo, la rota ión del nudo impli a además desplazamiento del extremode la barra.De he ho, en los párrafos anteriores no hemos he ho más que des ribir ver-

CAPÍTULO 3. ELEMENTOS EN ESTRUCTURAS DE EDIFICIOS 62balmente las ondi iones de ompatibilidad entre los movimientos de los nudosque representarán el movimiento U de la estru tura y los movimientos deextremo de las barras, que representan las deforma iones u de las partes que omponen di ha estru tura.Esto nos permite estable er que la representa ión de la estru tura se redu ea la des rip ión de los movimientos y fuerzas on ellos rela ionadas a que estánsometidos los nudos que la des riben, siendo sus esfuerzos y deforma iones los orrespondientes a los extremos de las barras que a ometen a di hos nudos.De este modo, hemos de onsiderar omo argas sobre la estru tura ua-lesquiera de las duales energéti as de los movimientos que suponemos posiblesen los nudos, y sólo éstas. Cuando las argas se apli an dire tamente a los nu-dos, nos bastará representarlas mediante la resultante que orresponde al puntoelegido para representar el nudo.Cuando las argas se ejer en sobre las barras, lo que es bastante usual,hemos de re urrir a desdoblar el análisis en dos fases, omo ya hemos he ho enel apartado anterior.En la primera fase supondremos que los nudos no se desplazan de ningúnmodo es la fase de empotramiento perfe to y las barras se deforman someti-das a las argas apli adas a ellas mismas más los esfuerzos de empotramiento ensus extremos que impiden el movimiento esfuerzos que podemos denominar re-a iones de empotramiento perfe to pues son las que se ejer en sobre el extremoen di ha ondi ión.En la segunda fase, y onsiderando ahora la estru tura ompleta sin argassobre las barras, se apli an a los nudos las resultantes de la totalidad de losesfuerzos opuestos a los de empotramiento que oa ionaban a las barras, situa-dos en los extremos de éstas esfuerzos que podemos denominar a iones deempotramiento perfe to por ser opuestas a las orrespondientes rea iones y serla a iones que las barras van a ejer er sobre los nudos, esfuerzos que deberánser desplazados onvenientemente para ser representados en los puntos elegidospara representar el nudo si éste no oin ide on el extremo de la barra. De estemodo puede analizarse la estru tura onsiderando omo se ha di ho más arribalos movimientos de los nudos, para un estado de argas apli adas a los mismosnudos, y la posterior superposi ión de ambos análisis empotramiento perfe to,y movimientos de la estru tura resuelve el problema, pues ha e que, nalmen-te, en los extremos de las barras que a ometen a los nudos no se aplique argaexterna alguna, al sumarse los esfuerzos de empotramiento y sus ontrarios.Un modo muy prá ti o de estable er las argas apli adas orrespondientes a ada movimiento libre estable ido a ada grado de libertad de la estru tura onsiste en estimar el trabajo que produ en las argas en el movimiento aisladoque se onsidera, dando a éste valor unidad. Dado que las argas distribuidassobre las barras resultan ser, a los efe tos del omportamiento general de laestru tura, equivalentes a las a iones de empotramiento perfe to, para la esti-ma ión apuntada es indiferente onsiderar el efe to de ada movimiento unidaden las barras a lo largo de su longitud y obtener el trabajo de las argas apli adasa éstas, que estimar el efe to del movimiento unidad del nudo en los movimien-tos de extremo de las barras y obtener el trabajo realizado por las a iones deempotramiento perfe to. Di ho pro edimiento permite obtener sin di ultad las argas equivalentes en los asos en que se redu en los grados de libertad de laestru tura agrupando varios movimientos en uno sólo, sea por ondi iones desimetría, de inextensibilidad, u otras.

CAPÍTULO 3. ELEMENTOS EN ESTRUCTURAS DE EDIFICIOS 63De este modo la estru tura queda representada por movimientos U , y argasF sobre los nudos, que responden a las deforma iones u, y esfuerzos f orrespon-dientes a los extremos de las barras, que permiten des ribir el omportamientode éstas, mediante las e ua iones de rigidez f = ku.Bastará, por tanto estable er las e ua iones de ompatibilidad entre u y U ,a saber u = BU , o las de equilibrio F = BT f , para poder resolver el problemade la estru tura por el pro edimiento usual estable ido en el apartado 2.9.Como se ve, por tanto, estable er el modelo de la estru tura exige: onsiderar el tipo de deforma ión y esfuerzo al que va a estar sometida ada una de las barras de la estru tura, y estable er su orrespondienterela ión de rigidez f = ku;estable er los movimientos posibles de los nudos que one tan las distin-tas barras, y que son ompatibles on las deforma iones de éstas. Di hosmovimientos U llamados grados de libertad de la estru tura impli anlas argas a que puede suponerse está sometida la estru tura, que deberánser las que produz an trabajo en ada uno de di hos movimientos;estable er las argas F omo argas sobre los nudos mismos, si es pre isopartiendo de las argas apli adas por las barras omo a iones de empotra-miento perfe to. El término de arga aso iado a ada movimiento aisladoserá igual al trabajo de las argas en el movimiento onsiderado on valorunidad;estable er sea las e ua iones de ompatibilidad u = BU , que expresan losmovimientos de extremo de barra en fun ión de los de los nudos, sea lase ua iones de equilibrio F = BT f , que determinan las a iones sobre losnudos a partir de las a iones de extremo de las barras.Las anteriores opera iones son las ne esarias y su ientes para denir unmodelo de la estru tura: a partir de aquí la determina ión del omportamientode ésta será puramente omputa ional.3.2. Barras. Realidad y abstra ión. Tipos y mo-delosHemos visto que para estable er un modelo de estru tura es requisito previodenir modelos para las barras de que ésta se ompone, así omo para las unionesentre las mismas. Trataremos en esta se ión de los modelos de barra, parareferirnos a los modelos de nudos en la se ión siguiente, aun uando la de isiónsobre el tipo de barra a onsiderar exige tener presente el tipo de unión on elque van a one tarse.En el apartado 3.1.3 hemos visto los asos teóri os típi os de esfuerzos enbarras, que podemos resumir ahora, para barras re tas de se ión onstanteEsfuerzos normales, on N = EA

l υxEsfuerzos de torsión, on Mx = GIt

l θx

CAPÍTULO 3. ELEMENTOS EN ESTRUCTURAS DE EDIFICIOS 64Esfuerzos de exión, on[

Myi

Myd

]

=EIyl

[

4 22 4

] [

θyi

θyd

] , o[

Mzi

Mzd

]

=EIzl

[

4 22 4

] [

θzi

θzd

]

,según sea el sentido de la exión a onsiderar. Los ortantes se obtienena partir de la varia ión de los momentos, por lo que no se onsideranseparadamentePara los dos esfuerzos axiales,N yMx se onsideran omo movimiento el despla-zamiento, o rota ión, relativo de un extremo respe to del otro. Para los esfuerzosde exión, se onsideran las rota iones de los extremos de la tangente a la ba-rra en éstos en rela ión a la línea que une ambos extremos, y en el plano deexión onsiderado. Di has deforma iones serán las responsables de equilibrarla arga según el tipo estru tural onsiderado, de modo que bastará in luir enel modelo ex lusivamente las rela iones pre isas, que ahora repasamos.En el aso de er has, de estru turas trianguladas, las uniones se onsideranarti ula iones pese a que usualmente se realizan de forma que pueden transmi-tirse momentos entre barras ontiguas. Ahora bien, siempre que las argas seapliquen a los nudos, y salvo en el aso de que los ejes de las distintas barras no on urran en el mismo punto en los nudos, en uyo aso se generan momentosse undarios por las ex entri idades de los esfuerzos axiales, o en el aso de quela triangula ión sea in ompleta en algún tramo en uyo aso la estru tura pu-ramente arti ulada sería un me anismo los momentos no son ne esarios parael equilibrio, y los análisis que los tienen en uenta revelan usualmente su muyes aso valor, que sólo dará lugar a plasti a iones lo ales er a de los nudos sinpor ello redu ir la arga de olapso. De este modo no se tienen en uenta lasexiones en el análisis de este tipo de estru tura in luyendo en el modelo sólola elonga ión y el esfuerzo normal de la barra.En el aso de que los esfuerzos ortantes o e tores sean ne esarios para elequilibrio, es impres indible onsiderar las rela iones entre momentos y giros deexión en el plano orrespondiente de la barra, que, usualmente es uno sólo delos planos de exión de ésta: la exión que impli a movimientos verti ales dela barra. No es usual requerir de la apa idad de exión lateral de las barras,pues normalmente di ho movimiento lateral está oa ionado por elementos demu ha mayor rigidez, omo son usualmente las losas de forjado que apoyan endi has barras: en edi a ión sólo es pre iso onsiderar el movimiento lateralen problemas de estabilidad de pandeo en estru tura metáli a, uando elarriostramiento lateral dispuesto es es aso, y a los efe tos de asegurar la es-tabilidad lateral lo al de la barra, o de alguno de sus ordones (en solu ionesmetáli as, el ordón inferior en zonas próximas a apoyos on ontinuidad, puesen ese aso el ordón inferior está omprimido y no queda arriostrado su iente-mente por la losa o la siguiente familia de vigas que apoya en el ordón superior).Cuando la rigidez lateral de una viga que no está aislada es ne esaria para laestabilidad de la estru tura, suele ser útil y e onómi o onsiderar ambios enel diseño de la misma que resuelvan el problema planteado sin re urrir a di harigidez.Finalmente la rigidez en torsión es sólo ne esaria en asos muy espe iales,a menudo patológi os: efe tivamente, la e a ia estru tural en torsión es muy

CAPÍTULO 3. ELEMENTOS EN ESTRUCTURAS DE EDIFICIOS 65baja, omo se verá más adelante, y la rigidez en torsión resulta por ende bajaen rela ión on el resto, de modo que uando existen medios alternativos ala torsión para equilibrar las argas, las mayores rigide es para estos mediosmovilizan fra iones muy superiores a las que movilizan los me anismos querequieren de torsiones, que sólo son impres indibles uando no existen mediosalternativos para materializar el equilibrio. Una estru tura tridimensional puedein luir en su modelo la rigidez en torsión de las barras, pero si las torsiones queapare en en ellas son importantes, resultará siempre, bien de un error en elmodelo usual en los modelos tridimensionales que generan los programas de ál ulo que parten de dibujos de estru turas, uando la ontinuidad entre barrasno queda bien des rita en el modelo bien de un error en la on ep ión de laestru tura. Por ello no es usual onsiderar las rigide es en torsión en la mayorparte de las estru turas de edi a ión usuales.En rela ión on los términos de rigidez que apare en en las expresiones teó-ri as, su sentido en solu iones metáli as es inequívo o, pero no es así en el asode las solu iones de hormigón armado: en éstas es habitual realizar el análisis onsiderando las se iones brutas de hormigón, sin ontabilizar las armaduras,aunque luego se estiman las deforma iones onsiderando las se iones suradas,lo que onstituye un enorme ontrasentido: los esfuerzos obtenidos orrespondena un modelo que no es onsistente on el utilizado después para armar, y paradeterminar las deforma iones. Sin embargo los teoremas del análisis plásti o queveremos en el apítulo 5 permiten asegurar que los armados obtenidos de estemodo oneren a la estru tura la seguridad ne esaria, y por otro lado, en rela- ión on las deforma iones, la in ertidumbre en los límites aso iados a los dañosdebidos a deforma ión ex esiva es mayor que la in onsisten ia apuntada para elmodelo de análisis, por lo que es prá ti a habitual y re ogida en la normativaa eptar la in onsisten ia apuntada.Un modelo que representaría on mayor onsisten ia la realidad en hormigónarmado sería mantener en pilares la rigidez bruta onsiderada puesto que alestar bási amente omprimidos tendrán es asa sura ión, de modo que la rigidezdel hormigón es una buena aproxima ión a la rigidez del pilar pero onsideraren vigas la rigidez surada omo aproxima ión mejor a ésta, dado que en vigasse espera que el a ero trabaje en tra ión en niveles de tensión que no son ompatibles on la no sura ión del hormigón. Una muy buena aproxima ión ala rigidez K = EI de las se iones de una viga es la expresión K = 0, 7EsAsd2siendo Es, As el módulo de rigidez y el área de a ero y d el anto útil de la se iónde referen ia para la pieza onsiderada el empotramiento en voladizos, y el entro del vano en todos los demás asosEsta última estrategia impli a mayores momentos en los nudos, o mejordi ho, impli a que una parte mayor de los momentos de extremo de la vigadebe equilibrarse on momentos de extremo en los pilares, y por lo tanto onimportante ambio de posi ión en la resultante de ompresión a través del nudo,e in luso, uando llega a apare er una ara tra ionada en el pilar, tra iónque estará en aras opuestas a ambos lados del nudo, será ne esario el ambiode sentido en las fuerzas del orrespondiente par. Esto sólo será posible si elnudo es de dimensiones apropiadas, y si el armado en el nudo está denidoade uadamente en fun ión de las fuerzas que onforman di ho equilibrio. Porello, aun uando la estrategia de emplear rigide es brutas en pilares y suradasen vigas puede resultar más onsistente desde la perspe tiva de las barras, puedeno serlo tanto desde la perspe tiva de los nudos, y de he ho es una estrategia

CAPÍTULO 3. ELEMENTOS EN ESTRUCTURAS DE EDIFICIOS 66de la que sólo onoz o asos de empleo en problemas de investiga ión, ningunoen obras usuales de edi a ión.3.3. Uniones. Tipos. Modelos.Hemos visto que las barras quedan denidas por las rela iones entre mo-vimientos y esfuerzos de extremo, de modo que la deni ión de los nudos sehará en general en rela ión on las oa iones que son apa es de imponer alas barras, o di ho on mayor pre isión, en rela ión on los movimientos de lasdistintas barras uya ompatibilidad pueden imponer.Como en ualquier otro elemento estru tural, la dis usión sobre las propie-dades de la unión deberá versar sobre sus movimientos, sus esfuerzos internos,y la resisten ia y rigidez que opone.En el enfoque lási o adoptado para modelar las estru turas, las dimensionesnitas, y las onsiguientes deforma iones de la unión, han sido ignoradas, atri-buyéndose éstas a las barras que on urren en ella: el modelo de unión puntualexige barras uyas longitudes son mayores que la luz libre, al ser la distan iaentre nudos, denidos por los ejes o dire tri es de las barras. En modelos mássosti ados, omo el del nudo extenso, las dimensiones de las barras siguen sien-do mayores que la luz libre al ser la luz libre más, en ada extremo, al menosmedio anto, o la distan ia al eje de las barras que on urren al nudo, eligiendola menor de di has dimensiones.De este modo podía despre iarse la deforma ión material interna al nudofísi amente nito, u analizar la unión onsiderando ex lusivamente si la oa iónaportada por la unión existe o no.3.3.1. Uniones simplesConsiderando las oa iones que impone la unión, y estable iendo que la oa ión se produ e ompletamente, o por el ontrario que no se produ e oa - ión en absoluto, podemos plantear la lasi a ión tradi ional en tres tiposgenerales de unión o más bien de ondi ión de extremo de barra, a saberlibre, uando no hay oa ión de ningún tipoarti ulado, uando sólo se impone la ompatibilidad en los desplazamientosempotrado, uando se impone la ompatibilidad en desplazamientos y engiros.La anterior lasi a ión que puede on fa ilidad ari aturizarse omparán-dola a la lasi a ión de los animales del emperador según Borges presuponetanto que la rigidez opuesta al movimiento que se oa iona es innita, omoque la resisten ia aportada frente a los esfuerzos desarrollados es su iente, noprodu iéndose fenómenos lo ales de plasti a ión. Pero aun a eptando di hossupuestos, puesto que los movimientos posibles del sólido indeformable y portanto los de un extremo de barra en rela ión al otro al que le one ta la uniónson seis, tres desplazamientos y tres rota iones, la realidad es algo más omplejaque la des rita por la anterior lasi a ión pudiendo también hablarse deapoyo en dilata ión, (sólo se oa iona el desplazamiento verti al)

CAPÍTULO 3. ELEMENTOS EN ESTRUCTURAS DE EDIFICIOS 67arti ula ión esféri a (se liberan los tres giros)arti ula ión ilíndri a (se libera sólo el giro en torno al eje del ilindro. . .y puede verse que el onjunto de ombina iones posibles es muy elevado (entérminos estri tamente teóri os el número de op iones posibles sería de 26 = 64).En el uadro siguiente se indi an movimientos y nombres a los que orrespondendistintas ondi iones usuales de oa ión denotadas por 1 o no oa ión denotadas por 0υx υy υz θx θy θzextremo libre 0 0 0 0 0 0apoyo 0 0 1 0 0 0rótula esféri a 1 1 1 0 0 0rótula ilíndri a 1 1 1 1 1 0empotramiento 1 1 1 1 1 1Hay que tener presente que la deni ión de la unión responde siempre a la oa ión apli ada. Una oa ión ompleta impli a una ondi ión de ompatibi-lidad ono ida para una ondi ión des ono ida de esfuerzo interno a la unión,o de extremo de barra rea ión si la unión es de sustenta ión. La oa iónimpli a un movimiento relativo nulo entre las piezas que a ometen al nudo. Porel ontrario la libertad de movimiento o falta total de oa ión impli a el des- ono imiento del movimiento produ ido o del movimiento relativo entre losextremos de las barras onsideradas a ambio de ono erse el esfuerzo de in-tera ión orrespondiente, o esfuerzo interno a la unión que será nulo. Es de irque para el onjunto de uniones denidas, de los dos términos de la intera - ión entre los dos elementos unidos el movimiento relativo y el esfuerzo deintera ión se des ono e uno de ellos mientras que se puede asegurar el valornulo del otro.3.3.2. Uniones intermedias. El modelo de resorte. Unionesin ompletasLas uniones reales son de una omplejidad bastante mayor aún que los mo-delos simples planteados que son, sin embargo, los más sen illos de modelar yen los que se basan los modelos lási os empleados en estru turas.Pues, efe tivamente, pueden darse uniones on movimientos par ialmente oa ionados, omo son las deslizantes on rozamiento. En este aso existe mo-vimiento en la unión, pero no anula la fuerza opuesta a di ho movimiento, fuerzaque depende de otra de las que onforman la intera ión. Pueden igualmenteestable erse formas que liguen unos movimientos on otros, omo en el tornilloen el que el desplazamiento impli a rota ión simultánea. Pueden obtenerse enla unión ondi iones de rigidez in ompleta, por la que se oa iona sólo par ial-mente el movimiento, on esfuerzos de intera ión menores que los que exigiríala oa ión ompleta.En este aso son des ono idos los dos términos de la intera ión. Por ellopara denir su ientemente el problema estru tural es pre iso introdu ir una ondi ión adi ional que ligue,

CAPÍTULO 3. ELEMENTOS EN ESTRUCTURAS DE EDIFICIOS 68esfuerzos entre sí en el rozamiento la rela ión entre la arga normal alapoyo y la tangen ial al mismo,movimientos entre sí mediante ondi iones de ompatibilidad parti u-lares a la geometría de la unión,esfuerzos on movimientos, mediante ondi iones que representen la rigi-dez del nudo.Para el ter ero de los asos pueden estable erse ondi iones más omplejasde unión mediante la onsidera ión de los nudos omo resortes, o barras atípi as on ondi iones de rigidez uya determina ión requiere un ono imiento experi-mental previo sobre la unión, uestión en la que se está trabajando en el aso delas estru turas metáli as, pero sobre la que hay po o ono imiento estabilizado.Di hos resortes estarán one tados on oa ión ompleta a los extremos de lasbarras que one tan, y el modelo de la estru tura se realizará en forma análogasin más que onsiderar estas barras o elementos adi ionales y emplear omomovimientos libres de la estru tura los distintos a ada lado de la unión.En la se ión 3.3.3 se desarrolla a modo de ejemplo una doble estrategiapara a ometer el análisis on nudos de rigidez in ompleta semirrígidos enla nomen latura generalizada por el Euro ódigo 3 mostrando ómo puedenin luirse las rigide es de los nudos en la formula ión de la rigidez general de labarra, onsiderando el onjunto nudobarranudo omo una barra alterada denuevo tipo uya rigidez onjunta puede determinarse on las té ni as de análisisde las subestru turas, y que se in orpora de la forma habitual al modelo de laestru tura.Para el segundo de los asos presentados al prin ipio de este apartado sueleser su iente plantear ade uadamente las orrespondientes ondi iones de om-patibilidad B y por onsiguiente las de equilibrio BT estable iendo omomovimiento libre de la estru tura pre isamente ese movimiento ombinado.Para el primero de los asos, lo que se obtiene omo ondi ión adi ional a lase ua iones de ompatibilidad u = BU , equilibrio F = BT f y rigidez f = kues una e ua ión que liga las omponentes sea de F , sea de f , sea de unas onotras. Esto exige un tratamiento algo diferente que no abordamos aquí en formageneral.Un problema diferente se presenta en el aso en que la unión puede suponersesu ientemente rígida omo para asegurar la oa ión exigida entre los extremosde barra que one ta, por ser de omportamiento rígido en los primeros es alonesde la arga, pero resulta in apaz de desarrollar resisten ia su iente para losesfuerzos de intera ión resultantes en el análisis.En este aso pueden emplearse las estrategias del análisis elásti o re hazarla unión y rediseñarla, reha iendo el orrespondiente análisis o del análisisplásti o admitir plasti a ión par ial sin rotura de la unión lo que exigereha er el análisis desde el enfoque plásti o para obtener esfuerzos equilibradosque no superen los de plasti a ión, omprobando la existen ia de du tilidadsu iente en las se iones y uniones en las que se produ e di ha plasti a ión.Puede en este aso atribuirse la plasti a ión, en vez de a la unión misma, alextremo de una o varias de las barras impli adas en la unión, empleando laestrategia lási a. Un ejemplo de este enfoque es el empleado en sus le ionespor el profesor D. José Luis de Miguel en el análisis de uniones a los pilares la-terales de pórti os de hormigón armado, en los que el análisis del nudo revela la

CAPÍTULO 3. ELEMENTOS EN ESTRUCTURAS DE EDIFICIOS 69imposibilidad de desarrollar en él los esfuerzos de exión y ortadura que exigenlos momentos de extremo de viga obtenidos usualmente en el análisis lási os deestos pórti os. Di ha imposibilidad viene dada por la rápida varia ión de ten-siones en armaduras que se exigirían, imposibles de justi ar on los modelosde rozamiento y de adheren ia admitidos por las normas de hormigón. Su estra-tegia onsiste en proponer omo modelos de resisten ia para el pilar diagramasde intera ión momentonormal modi ados respe to de los usuales, diagramasen los que las regiones de mu ho momento on po a arga quedan denidas porlas ondi iones que abe obtener en nudos, en extremos de los pilares, en lugarde denirlas a partir de las ondi iones orrespondientes a se iones aisladas delpilar.La biela es posible sólo on pequeñas ex entri idades. En aso ontrario exige ontinuidad ruzada dela armadura de tra ión.Figura 3.7: Biela en nudo de hormigón3.3.3. Nudos semirrígidos en estru turas metáli asPara errar este apartado, vamos a onsiderar el aso de uniones de rigidezredu ida. El Euro ódigo 3 se reere a una unión semirrígida omo aquella queno umple los requisitos de una unión rígida o una arti ula ión, dados en losapartados orrespondientes en los que, de forma harto vaga en sus versionesini iales denía las uniones arti uladas omo aquellas que no desarrollan mo-mentos relevantes, y omo rígidas aquellas en las que la exibilidad de los nudosno supone pérdidas de resisten ia en la estru tura que superen el 5% de la mis-ma. Di ha deni ión se ha pre isado más posteriormente, estable iendo iertoslímites en rela ión a la rigidez de la barra que se une, límites que dejan a unaparte sustan ial de las uniones habituales dentro del ampo semirrígido.El mismo Euro ódigo analiza la rigidez de iertos nudos, estable iendo mé-todos de estima ión para ésta, que os ilará entre ero arti ula ión e innitounión rígidaLa propuesta de emplear explí itamente las rigide es de los nudos sugiere onsiderar omo elemento de barra al onjunto formado por un modelo de re-sorte en ada uno de los nudos, más la barra situada entre ellos, y, empleandoté ni as de ondensa ión estáti a al modo utilizado para tratar on subestru tu-ras, ontruir un modelo de barra modi ado que in luya las anteriores rigide es.Realizamos omo ejer i io el desarrollo de ese tipo de ondensa ión. Esta-ble emos para ello en primer lugar los parámetros relevantes para di ha formu-

CAPÍTULO 3. ELEMENTOS EN ESTRUCTURAS DE EDIFICIOS 70

Figura 3.8: Modelo de viga on nudos semirrígidosla ión:u =

θni

θnd

θib

θdb

; f =

mni

mnd

mib

mdb

; U =

θi

θd

θib

θdb

; F =

Mi

Md

Mib

Mdb

La ompatibilidad u = BU , y las rigide es de la rela ión f = ku resultan, sinmás que observar la gura 3.8, en:B =

1 0 −1 00 1 0 −10 0 1 00 0 0 1

; k =

kni 0 0 00 knd 0 00 0 4EI

l2EI

l

0 0 2EIl

4EIl

.Por sen illez de nota ión usaremos para los nudos la siguiente10:kni = κi

EI

l; knd = κd

EI

l. (3.12)De este modo la rigidez onjunta resulta ser, tras operar,

K = BT kB =EI

l

κi 0 −κi 00 κd 0 −κd

−κi 0 κi + 4 20 −κd 2 κd + 4

Ahora bien, omo el momento de un mismo nudo es úni o, resulta que vistodesde el exterior, el momento de extremo de barra y el del nudo en onta to onésta se equilibran entre sí, de modo que

Mi

Md

00

=EI

l

κi 0 −κi 00 κd 0 −κd

−κi 0 κi + 4 20 −κd 2 κd + 4

θi

θd

θib

θdb

10En las versiones más re ientes del Euro ódigo y otras normas derivadas de éste omo elCTE DBSEA o la EAE, el rango de los nudos semirrígidos orresponde a los valores de κ omprendidos entre 0,5 y 8 para estru turas arriostradas, y entre 0,5 y 25 para el aso de lasno arriostradas.

CAPÍTULO 3. ELEMENTOS EN ESTRUCTURAS DE EDIFICIOS 71e ua ión que permite determinar los giros de extremo de las barras en fun iónde los de los nudos;[

00

]

=

[

−κi 00 −κd

] [

θi

θd

]

+

[

κi + 4 22 κd + 4

] [

θib

θdb

]

[

θib

θdb

]

=

[

κi + 4 22 κd + 4

]−1 [κi 00 κd

] [

θi

θd

]y por lo tanto obtener la rela ión de rigidez del onjunto nudosbarra:[

Mi

Md

]

=EI

l

(

[

κi 00 κd

]

+

[

−κi 00 −κd

] [

κi + 4 22 κd + 4

]−1 [κi 00 κd

]

)

[

θi

θd

]de donde resulta[

Mi

Md

]

=EI

l

1

(12 + 4κi + 4κd + κiκd)

[

4κi(3 + κd) 2κiκd

2κiκd 4κd(3 + κi)

] [

θi

θd

] (3.13)que tiende a los ono idos límites para barras on nudos innitamente rígidos,empotrados, o innitamente exibles, arti ulados.Puede, mediante la misma estrategia, obtenerse asimismo los equivalentes alos momentos de empotramiento perfe to, es de ir, los esfuerzos on que ini iarel análisis en el supuesto de no existen ia de giro en el nudo, aunque los extremosde la barra sí girarán por efe to de la relaja ión que supone el nudo elásti o.Para este análisis suponemos apli ados por los extremos de la barra, y omo arga orrespondiente a la fase de empotramiento perfe to, los momentos deempotramiento de barra −Mei,Med, de modo que

Mi

Md

−Mei

Med

=EI

l

κi 0 −κi 00 κd 0 −κd

−κi 0 κi + 4 20 −κd 2 κd + 4

00θib

θdb

on lo que[

θib

θdb

]

=l

EI

[

κi + 4 22 κd + 4

]−1 [−Mei

Med

]por lo que el resorte del nudo rotará redu iendo momentos, que se equilibra-rán en los valores de empotramiento semirrígido, que podemos obtener al seropuestos a las rea iones Mi y Md en la misma expresión:[

Msi

Msd

]

= −[

Mi

Md

]

= −[

−κi 00 −κd

] [

κi + 4 22 κd + 4

]−1 [−Mei

Med

]

[

Msi

Msd

]

=1

12 + 4κi + 4κd + κiκd

[

κi(4 + κd) −2κi

−2κd κd(4 + κi)

] [

−Mei

Med

] (3.14)expresión que tiende a mantener los valores de los momentos de empotramientopara rigide es innitas, a anularlos para valores nulos, o a aumentar el momentoen un nudo rígido en el valor de la mitad del momento del nudo que se relaja

CAPÍTULO 3. ELEMENTOS EN ESTRUCTURAS DE EDIFICIOS 72hasta apare er omo arti ula ión, omo se observa sin más que obtener los lími-tes orrespondientes. Por ejemplo ha iendo tender a innito la rigidez del nudodere ho tenemoslım

κd→∞

(

1

12 + 4κi + 4κd + κiκd

[

κi(4 + κd) −2κi

−2κd κd(4 + κi)

])

=

[ κi

κi+4 0−2

κi+4 1

]Podemos plantear las rela iones de rigidez anteriores de forma más intuitivasi, en lugar de hablar de la rigidez del nudo, hablamos de grado de empotramientode la barra, que se hará igual a uno si el nudo es innitamente rígido, y seanulará para nudos arti ulados. Se trata de un on epto relativo más sen illode manejar, aun uando su formula ión rigurosa requerirá referirlo a rela ionesentre la rigidez del nudo y la de la barra11.Para estable er de forma rigurosa este on epto podemos denirlo omoel o iente entre el momento de empotramiento de la barra unida a un nudosemirrígido, siendo rígido el otro nudo, y el momento de empotramiento perfe tode la barra, para el aso de ser ambos nudos rígidos, es de irgi =

Msi

Mei uando κd →∞de modo que,

gi =κi

κi + 4; gd =

κd

κd + 4

κi =4gi

1− gi; κd =

4gd

1− gdresultando que las rela iones de rigidez en fun ión de los valores del grado deempotramiento propuesto, sonf = ku on k =

EI

l

1

3 + gi + gd − gigd

[

4gi(3 + gd) 8gigd

8gigd 4gd(3 + gi)

] (3.15)Podemos estable er una pequeña tabla omparativa de valores para los oe- ientes de la matriz de rigidez:kl/EI gi = 0 1/2 1

gd = 0

[

0 00 0

] [

12/7 00 0

] [

3 00 0

]

1/2

[

0 00 12/7

] [

25/15 8/158/15 25/15

] [

7/2 11 2

]

1

[

0 00 3

] [

2 11 7/2

] [

4 22 4

]Fnalmente, las rela iones ke que determinan los momentos de empotramientosemirrígido en fun ión de los momentos de empotramiento perfe to son, por elmismo pro edimiento que antes:[

Msi

Msd

]

=1

3 + gi + gd − gigd

[

4gi 2gigd − 2gi

2gigd − 2gd 4gd

] [

Mei

Med

] (3.16)11Una a ep ión para el término que ha sido usual en la normativa lási a, empleada en esti-ma iones de rigide es apli ables en pandeo de pilares en pórti os de nudos rígidos, y apli ada,por tanto a la oa ión que el onjunto de barras que on urren en un nudo ejer e sobre unabarra dada, ha sido la rela ión que se obtiene dividiendo el o iente entre iner ia y luz de labarra por la suma de o ientes de iner ia a luz a umulada en el nudo.

CAPÍTULO 3. ELEMENTOS EN ESTRUCTURAS DE EDIFICIOS 73Podemos igualmente aportar una tabla resumen de los fa tores que determi-nan el momento de empotramiento semirrígido en ambos nudos en propor iónal valor del de empotramiento perfe to para arga simétri a, y en fun ión de losvalores, sean simétri os o no, de los grados de empotramiento en ambos nudos:ke

[

1−1

]

gi = 0 1/2 1

gd = 0

[

00

] [

6/70

] [

3/20

]

1/2

[

0−6/7

] [

2/3−2/3

] [

5/4−1/2

]

1

[

0−3/2

] [

1/2−5/4

] [

1−1

]En ualquier aso, la apli a ión de éste u otro enfoque al problema requierede la existen ia de amplia informa ión experimental o analíti a basada enmodelos rigurosos realizados por elementos nitos aún por elaborar y difundir.3.4. Elementos super iales típi os.Al igual que pueden estable erse las rela iones de equilibrio, ompatibilidady de rigidez de los elementos lineales, puede ha erse para elementos super ia-les, on la di ultad de que el onjunto de variables a onsiderar aumenta, altener que emplearse dos familias de ortes para aislar trozos elementales, porun lado, y al resultar más ompleja la deni ión de los elementos de tamañonito, que ahora no quedan limitados por dos puntos y denidos por una línea,sino que aumentan en una dimensión, debiendo delimitarse por líneas erradas ydes ribirse mediante super ies. Los tipos más evidentes, uyo análisis dejamospara textos espe ializados, sonLajas. Elementos planos sometidos a argas y esfuerzos ontenidos en su plano, omo las vigaspared.Losas. Elementos planos sometidos a argas y esfuerzos de exión trans-versales a su plano.Membranas. Elementos urvos sometidos a argas transversales a la super ie,pero que son equilibrados mediante esfuerzos ex lusivamente ontenidosen ella.Láminas. Elementos urvos sometidos a argas transversales equilibrados me-diante esfuerzos que ombinan los de membrana, y los de exión de losasEl omportamiento super ial será relevante uando se distinga de un on-junto paralelo de omportamientos lineales. En el aso de las losas, por ejemplo,esto sólo se da si las distan ias a los apoyos son omparables en dos dire ionesortogonales, pues, en aso ontrario, la losa se omporta omo una familia devigas en paralelo, adoptando una deformada ilíndri a que en nada se distinguede las de las vigas originales12.12En puridad hay una distin ión de pequeña importan ia en materiales on módulo dePoisson no nulo, pues las vigas estarían sometidas a un estado de tensión plana, mientras quelas losas lo estarían a uno de deforma ión plana. Sin embargo di ha distin ión, relevante enelasti idad, es irrelevante en la vida diaria.

Capítulo 4Análisis basados en elequilibrio elásti oEn el presente apítulo desarrollamos el análisis de estru turas de barras ualesquiera empleando las formula iones obtenidas en los anteriores. Los ejem-plos que se desarrollan permiten ha erse una lara idea de los métodos, que sedesarrollan en un formato lo más sen illo posible, al objeto de poderse apli ar on medios ele tróni os bási os, a saber, on al uladoras manuales dotadas derutinas de opera ión on matri es, o on programas de hoja de ál ulo, que, enlas versiones más a tuales in orporan fun iones que permiten igualmente operar on matri es. El formato empleado permite además mantener la laridad en eltratamiento del onjunto de ondi iones requeridas para resolver los problemasabordados equilibrio, ompatibilidad y rigidez.4.1. Métodos de análisis matri ial4.1.1. Introdu iónHemos visto que las e ua iones lineales que ligan esfuerzos on argas deequilibrio deforma iones on movimientos de deforma ión y esfuerzos ondeforma iones de rigidez o onstitutivas onstituyen un onjunto su ientepara resolver los problemas elásti os. A lo largo de la historia, el pro eso dedepura ión en la formula ión de di has e ua iones en el formato adoptadopara plantearlas y resolverlas ha llevado a mu has versiones.En el aso de los problemas isostáti os, las formula iones resultan de extre-mada sen illez, dado que bastan las e ua iones de equilibrio. En estos problemas,los métodos grá os han sido una herramienta entral de análisis durante mu hotiempo, que fue dejada de lado on la progresión en la pre isión de los métodosnuméri os, pero que vuelven a resultar de plena a tualidad e idoneidad al al an-zarse análoga pre isión en los dibujos realizados on auxilio de los ordenadoresy las herramientas de CAD. Donde la solu ión puede obtenerse grá amente, elpro eso resulta en general más rápido y omprensible.Sin embargo, en los problemas hiperestáti os, la ne esidad de trabajar onlos tres grupos de e ua iones, y la inexisten ia de onstru iones grá as ade ua-das y generales, ha supuesto a lo largo de la historia que la tarea de explora ión74

CAPÍTULO 4. ANÁLISIS BASADOS EN EL EQUILIBRIO ELÁSTICO 75de vías alternativas para la formula ión de la solu ión haya sido extensa, dandolugar a solu iones diversas adaptadas mejor o peor a lases dadas de proble-mas. Las alternativas de onsiderar omo variables des riptoras del problema,sea las fuerzas hiperestáti as internas en la estru tura las fuerzas redundan-tes que ex eden las determinables por equilibrio sea los desplazamientos dela estru tura, y rees ribir todas las e ua iones en base a éstas, resolviéndo pos-teriormente los sistemas resultantes, ha dado lugar a versiones diversas de losllamados métodos de las fuerzas, o de los desplazamientos.En el primero de ellos se des one ta la estru tura de las ondi iones redun-dantes, sustituyéndolas por las orrespondientes fuerzas in ógnita, y se estable- en los movimientos aso iados a las argas y a ada fuerza (redundante) unidadexibilidades de la estru tura empleando para ello las e ua iones de equi-librio (lo que es posible al onsiderarse sólo una de las fuerzas redundantes porvez) y de rigidez. Dada la linealidad, los movimientos de las fuerzas redundantesreales serán propor ionales a los obtenidos para la fuerza unidad. El problema seresuelve estable iendo las ondi iones de ompatibilidad que aseguren la one-xión de la estru tura: puede estable erse una e ua ión de ompatibilidad por ada onexión, e ua ión que puede aso iarse a la orrespondiente fuerza in óg-nita, obteniéndose tantas e ua iones omo in ógnitas. Este método, al tratar on el mínimo número de e ua iones simultáneas, ha sido el preferido en épo asen las que las herramientas de ál ulo numéri o se redu ían a la regla de ál ulo.En el segundo enfoque, se estable en omo in ógnitas todos los desplaza-mientos libres de la estru tura, y se determinan las fuerzas en ésta aso iadasa ada desplazamiento unidad onsiderado aisladamente, empleando las e ua- iones de ompatibilidad y rigidez. Los desplazamientos distintos de la unidaddarán fuerzas propor ionales a los primeros, y asimismo, las ombina iones dedesplazamientos darán lugar a esfuerzos fruto de la ombina ión lineal de los delos desplazamientos aislados impli ados. El problema se resuelve estable iendoel equilibrio orrespondiente a las argas y los esfuerzos derivados de los despla-zamientos in ógnita, habiendo tantas e ua iones omo desplazamientos libres.Dada su generalidad y abstra ión éste es el enfoque preferido desde la apari iónde los instrumentos ele tróni os de ál ulo.Vamos a onsiderar una versión parti ular de este método general, de ex-tremada utilidad si se dispone de medios que permitan realizar opera iones onmatri es. La razón es sen illa: las formula iones matri iales permiten empaque-tar onjuntos de e ua iones en objetos de ierto tamaño, on el mismo gradode abtra ión para todos los problemas, de modo que estable ida una iertame áni a operativa, ualquier problema puede resolverse. Si el problema es depequeño tamaño número de desplazamientos independientes puede resol-verse manualmente on al uladora on mu ha sen illez.Vamos por tanto a presentar, mediante ejemplos, la forma de operar enproblemas típi os hiperestáti os, on re urso a pequeñas al uladoras apa esde trasponer, multipli ar, e invertir matri es.Para ello onsideraremos su esivamente las e ua iones de equilibrio, las de ompatibilidad que veremos en detalle ómo se orresponden on las de equi-librio en virtud de la dualidad estable ida en el apartado 2.7.1, nalmente lasde rigidez, resolviendo posteriormente los sistemas resultantes.

CAPÍTULO 4. ANÁLISIS BASADOS EN EL EQUILIBRIO ELÁSTICO 764.1.2. Equilibrio a ionessoli ita iones.Vamos a estudiar en primer lugar varios asos lási os del equilibrio entre a - iones F y soli ita iones f , que onstituye la forma más extendida de onsiderarlos requisitos de equilibrio, y que in luye, de he ho, al equilibrio entre a ionesy rea iones sin más que onsiderar que las rea iones pueden representarse apartir de las soli ita iones de extremo de las piezas de sustenta ión.En el apartado 4.1.3 analizaremos las ondi iones de ompatibilidad en di- hos asos, resolviendo los orrespondientes problemas en 4.1.5 siguiendo lasdire tri es estable idas en el apartado 2.9.Viga ontinuaSea en primer lugar la viga ontinua de tres tramos y uatro apoyos de lagura 4.1, página 77. Suponemos argados los nudos on momentos. El equilibrioexige que las soli ita iones de extremo de las barras equilibren los momentosejer idos sobre los nudos.Para asegurar en el futuro riterios onsistentes en los signos, elegiremossignos positivos para sentidos prejados de fuerzas y momentos. En generallos sentidos positivos de las fuerzas son los de los ejes re ientes, y los de losmomentos las rota iones de sentido antihorario o, en tres dimensiones las queen torno al eje Z llevan el X al Y o en torno al eje X rotan el Y al Z, o entorno al Y llevan el Z al X. Además emplearemos omo representa ión delas soli ita iones sobre una región de la estru tura las fuerzas que el resto de laestru tura ejer e sobre la misma1.Puesto que en el problema que estamos onsiderando los equilibrios se pro-du en por rota ión de los nudos sobre los apoyos, los equilibrios a onsiderarson los que orresponden a di hos movimientos, y por tanto analizaremos elequilibrio de momentos en los nudos que están sobre di hos apoyos.Representamos los momentos a ión sobre los nudos mediante el ve torF =

M1

M2

M3

M4

y representamos igualmente las soli ita iones tal omo las hemos denido, esde ir los momentos sobre los extremos de las vigas que omponen ada tramo de1Una interesante alternativa sugerida por Mariano Vázquez en sus notas a mi borrador onsiste en usar para las variables internas los esfuerzos internos existentes en los extremosy no las fuerzas de extremo, por lo que los signos positivos orresponderían a los momentos on tra iones en la ara inferior (o dere ha) de la viga, siendo por ello de igual signo ambosmomentos de extremo de una barra sometida a exión uniforme y on momentos opuestossobre ambos extremos y en equilibrio. Esto ha e que, por onsisten ia, los giros de extremopositivos orrespondan a los que llevan la región ontigua de la viga ha ia abajo (o a ladere ha) y por tanto a rota iones opuestas en ambos extremos, lo que exige una matriz derigidez modi adak =

EI

l

»

4 −2−2 4

–. Otra alternativa tal vez mejor aún, puestos a ambiar el formato de esta última matriz, seríades omponer los valores de extremo entre las omponentes simétri a y antimétri a tal omose sugiere en nota al pie de la página 30.

CAPÍTULO 4. ANÁLISIS BASADOS EN EL EQUILIBRIO ELÁSTICO 77la viga ontinua mediante uno ualquiera de los dos ve tores olumna siguientes:f =

m11

m12

m22

m23

m33

m34

; f =

m11

m12

m21

m22

m31

m32

.Nótese que en las listas anteriores las a iones ontienen un subíndi e quedesigna el nudo orrespondiente, mientras que las soli ita iones ontienen dossubíndi es: el primero designa el tramo o la barra que se onsidera, y el segundoel nudo a que orresponde el extremo onsiderado. En la primera de las listasanteriores se ha designado el nudo on idénti a denomina ión que para las a io-nes el número de nudo según la numera ión general de nudos en la estru turaanalizada aunque lo usual es más bien numerar los nudos de ada barra desdela perspe tiva de la barra misma, omo en la segunda de las listas, resultandopor tanto un ve tor olumna en el que el segundo subídi e designa el extremoizquierdo o dere ho inferior o superior, et . de ada tramo, y estable er la orresponden ia entre ambas numera iones la propia de la barra, y la de laestru tura en el momento en que sea pre iso en el análisis.

Figura 4.1: Equilibrio en viga ontinuaAsí las osas, las e ua iones de equilibrio que pueden formularse orrespon-diendo a ada movimiento des ono ido de la estru tura seránM1 −m11 = 0

M2 − (m12 +m21) = 0

M3 − (m22 +m31) = 0

M4 −m32 = 0o lo que es lo mismoM1 = m11

M2 = m12 +m21

M3 = m22 +m31

M4 = m32

CAPÍTULO 4. ANÁLISIS BASADOS EN EL EQUILIBRIO ELÁSTICO 78si bien una expresión equivalente on más interés desde nuestro punto de vistaes la siguiente, en formato matri ial

M1

M2

M3

M4

=

1 0 0 0 0 00 1 1 0 0 00 0 0 1 1 00 0 0 0 0 1

m11

m12

m21

m22

m31

m32

La anterior expresión resulta trivial de onstruir en la forma matri ial queresponde al ya ono ido formato F = Hf a partir de las onsidera iones delequilibrio de los nudos. Efe tivamente, interpretando las reglas de la multipli a- ión matri ial, podemos ver que ada la de la matriz orresponde a ada unade las e ua iones de equilibrio que pueden estable erse en la estru tura, mien-tras que ada olumna aporta el fa tor on el que ada soli ita ión de extremoparti ipa en el equilibrio en di has e ua iones.Estru tura de ablesPodemos onsiderar ahora el equilibrio de la estru tura de ables de la -gura 4.2. Pueden plantearse las ondi iones de equilibrio en el nudo libre nosustentado resultando[

Fx

Fz

]

=

[

α1x α2x α3x

α1z α2z α3z

]

f1f2f3

e ua iones en las que αni representa el oseno del ángulo que la barra n orientada desde su extremo libre ha ia el otro forma on la dire ión i.

Figura 4.2: Equilibrio en estru tura de ablesPórti o simpleVeamos nalmente un pórti o simple sometido a arga horizontal, omo elde la gura, en el que numeramos los pilares izquierdo y dere ho y el tablerosu esivamente . . .Para el análisis de di ho pórti o onsideramos los equilibrios orrespondien-tes a ada movimiento posible.

CAPÍTULO 4. ANÁLISIS BASADOS EN EL EQUILIBRIO ELÁSTICO 79Supondremos, omo es usual a menudo, que los alargamientos o a ortamien-tos son despre iables en magnitud frente a los movimientos por exión. De estemodo los movimientos posibles son el desplazamiento del tablero superior, y losgiros de los dos nudos del pórti o.Figura 4.3: Pórti o simpleEstable eremos, pues, el equilibrio orrespondiente a di hos movimientos. Eldesplazamiento del tablero está aso iado al equilibrio de fuerzas horizontales, asaber, la arga sobre el pórti o y los ortantes de los pilares

Fx = T1 + T2Ahora bien, en estru turas de barras en exión es imperativo determinar los ortantes a partir del equilibrio de momentos de las barras, salvo que se onsiderela deforma ión de la barra por distorsión angular, que no es lo habitual, por loque T1 = (m11 +m12)/h; T2 = (m21 +m22)/h. De modo queFx = (m11 +m12)/h+ (m21 +m22)/hPor otro lado los equilibrios de momento en los nudos pueden estable erse on fa ilidad de igual forma que en el aso de la viga ontinua onsideradaanteriormente, siendo iguales a la suma de los momentos de extremo de lasbarras que a omenten al nudo. De este modo

Fx

M1

M2

=

1h

1h

1h

1h 0 0

0 1 0 0 1 00 0 0 1 0 1

m11

m12

m21

m22

m31

m32

4.1.3. Compatibilidad movimientos-deforma ionesVamos a estable er ahora, para los mismos asos que en el anterior apartado,las ondi iones de ompatibilidad entre los desplazamientos U de la estru tura onsiderada en su onjunto, y las deforma iones internas u de las barras dedi has estru turas, des ritas en términos de los movimientos de sus estremos.Compatibilidad en una viga ontinuaRetomando el primer ejemplo del apartado 2.2, estable emos omo movi-mientos representativos de la estru tura los giros de ada uno de los nudos

CAPÍTULO 4. ANÁLISIS BASADOS EN EL EQUILIBRIO ELÁSTICO 80libres de ésta, a saberU =

θ1θ2θ3θ4

onsiderando signos positivos para desplazamientos y giros los orrespondientesa riterios idénti os a los ya empleados para fuerzas y momentos.

Figura 4.4: Compatibilidad en viga ontinuaPara representar las deforma iones emplearemos los movimientos de extremode las barras que onforman la viga ontinua, movimientos a partir de los ualeses posible re onstruir la deformada de la barra ompleta. Puesto que estamos onsiderando una estru tura uya forma ara terísti a de trabajo es la exión,los movimientos de extremo relevantes serán los giros de los nudos relativos a laposi ión de la barra, denida por la línea que une sus dos extremos, de modo queel onjunto de deforma iones de las piezas de la estru tura queda representadopor el onjunto de rota iones de extremo de las barras que forman la viga.Usando los mismos riterios que hemos empleado on los esfuerzos internospara estable er los subíndi es,u =

θ11θ12θ21θ22θ31θ32

La ompatibilidad exige en este aso identi ar los giros de ada extremode ada barra on los giros de los nudos onexos a ellas. Usando el formatomatri ial para las e ua iones resultantes tenemos

θ11θ12θ21θ22θ31θ32

=

1 0 0 00 1 0 00 1 0 00 0 1 00 0 1 00 0 0 1

θ1θ2θ3θ4

CAPÍTULO 4. ANÁLISIS BASADOS EN EL EQUILIBRIO ELÁSTICO 81e ua ión que puede representarse en la forma u = BU . En di ha e ua ión, laslas de la matriz de ompatibilidad B representan la inuen ia de los movimien-tos de la estru tura en ada uno de los movimientos de extremo de sus barras.Cada una de las olumnas representa el efe to individualizado de ada uno delos movimientos de la estru tura, onsiderado aisladamente.Hay que señalar nuevamente que en esta representa ión hemos empleadola estrategia des rita de onsiderar omo desplazamientos de la estru tura losmovimientos que onstituyen el dual energéti o de las a iones sobre la estru -tura onsideradas en el apartado 2.2, y que los hemos ordenado de la mismaforma para asegurar sentido físi o a la expresión del produ to es alar. Hemos onsiderado, igualmente, omo movimientos de extremo representativos de lasdeforma iones los duales energéti os de los esfuerzos de extremo de di ho apar-tado. En estas ondi iones podemos observar ahora que las matri es H y Bson ada una la traspuesta de la otra. En el apartado 2.7 vimos que ésta esuna ondi ión general en ualquier formula ión onsistente de las e ua iones deequilibrio y de ompatibilidad.Estru tura de ablesEl segundo ejemplo del apartado 2.2 puede formularse on análoga estrategia:las e ua iones de ompatibilidad se formulan determinando los alargamientosde las barras provo ados por ada movimiento aislado de los nudos libres de laestru tura.

Figura 4.5: Compatibilidad en estru tura de ablesAl igual que en el aso anterior, suponemos omo signos positivos para losdesplazamientos de nudos de la estru tura los que fueron así onsiderados paralas fuerzas. Para los esfuerzos internos, si la de tra ión era positiva, ahora loserá el alargamiento.De este modo, tal omo se ve en la gura, podemos estable er

u1

u2

u3

=

α1x α1z

α2x α2z

α3x α3z

[

Ux

Uz

]

,e ua ión que nuevamente puede representarse en el formato u = BU .

CAPÍTULO 4. ANÁLISIS BASADOS EN EL EQUILIBRIO ELÁSTICO 82Pórti o simpleApli ando los mismos riterios que en los ejemplos anteriores, debemos, enéste, estable er omo movimientos de la estru tura el desplazamiento horizontaldel tablero, y los giros de los nudos superiores. Asimismo, los movimientos deextremo de barras a onsiderar no son otros que los giros de extremo en éstas,medidos en rela ión a la línea que une ambos extremos.Figura 4.6: Compatibilidad en pórti o simplePara onsiderar las e ua iones de ompatibilidad bastará onsiderar uno poruno ada movimiento libre, y anotar el movimiento de extremo de barra queéste provo a en ada pieza. En el aso del desplazamiento horizontal del tableroes fá il ver que, al desplazarse los nudos superiores de los pilares, la dire trizse in lina un ángulo θ = 1

hUx y, al onsiderar este desplazamiento omo úni omovimiento, sin, por lo tanto, rota iones de los nudos, la orienta ión de losextremos de los pilares on respe to a la dire triz ambia en el mismo ángulo. Deeste modo, y añadiendo al efe to del desplazamiento los de ada una de las dosrota iones de los nudos de la estru tura, resulta la e ua ión de ompatibilidad

θ11θ12θ21θ22θ31θ32

=

1h 0 01h 1 01h 0 01h 0 10 1 00 0 1

Ux

θ1θ2

Vemos por tanto que la e ua ión obtenida, que responde al formato u = BU ,mantiene la propiedad general de que H = BT , es de ir, que la matriz deequilibrio H es la traspuesta de la matriz de ompatibilidad B. Esta propiedadpermite elegir omo medio para plantear las e ua iones relevantes del problema,bien las del equilibrio, bien las de la ompatibilidad, generando automáti amentelas duales o, mejor aún, veri ar la ongruen ia del modelo de análisis planteadomediante la veri a ión de la propiedad, omo ya se apuntaba en el apartado2.7.4.1.4. E ua iones de rigidez esfuerzos-deforma ionesPlanteamos ahora las ondi iones de admisibilidad material que, en la fasede omportamiento elásti o de la estru tura se plantean en forma de rela ionesentre las deforma iones u y los esfuerzos internos f .

CAPÍTULO 4. ANÁLISIS BASADOS EN EL EQUILIBRIO ELÁSTICO 83Viga ontinuaLa rigidez de las barras de la estru tura se apila en la forma des rita en elapartado 2.4 , de modo que f = ku se obtiene ahora onk =

4EI1l1

2EI1l1

0 0 0 02EI1

l14EI1

l10 0 0 0

0 0 4EI2l2

2EI2l2

0 0

0 0 2EI2l2

4EI2l2

0 0

0 0 0 0 4EI3l3

2EI3l3

0 0 0 0 2EI3l3

4EI3l3

Estru tura de ablesAnálogamente al aso pre edente, basta apilar las matri es de todas las ba-rras que forman la estru tura, de modo quek =

EA1

l10 0

0 EA2

l20

0 0 EA3

l3

Pórti o simpleLa té ni a es siempre la mismak =

4EI1l1

2EI1l1

0 0 0 02EI1

l14EI1

l10 0 0 0

0 0 4EI2l2

2EI2l2

0 0

0 0 2EI2l2

4EI2l2

0 0

0 0 0 0 4EI3l3

2EI3l3

0 0 0 0 2EI3l3

4EI3l3

4.1.5. Solu ión de los problemas elásti osLa solu ión a los problemas planteados es ahora inmediata: en todos elloshemos onstruido los tres grupos de e ua iones a los que nos estamos reriendorepetidamenteequilibrio F = BT f ompatibilidad u = BUrigidez f = kue ua iones en las que los oe ientes B, k son ono idos, en las que las argas Ftambién lo son, y en las que se des ono e el resto de variables: los movimientosU , las deforma iones o movimientos de extremo u, y los esfuerzos de extremode las barras, f .Ahora bien, las e ua iones obtenidas permiten realizar la se uen ia de ope-ra iones estable idas en el apartado 2.9 que permiten resolver el problema, puesuna vez presentado el problema en el formato

F = KU , siendo K = BT kB (4.1)

CAPÍTULO 4. ANÁLISIS BASADOS EN EL EQUILIBRIO ELÁSTICO 84la se uen ia siguiente permite determinar su esivamente todas las in ógnitas delproblemaU = K−1F =

(

BT kB)−1

F

u = BU = B(

BT kB)−1

F

f = ku = kB(

BT kB)−1

F

(4.2)El pro edimiento resulta a todas lu es abordable on herramientas de ál u-lo ade uadas, propor ionando de este modo un método ompletamente generalpara la solu ión de los problemas elásti os. Si los parámetros del problema estándenidos en términos algebrai os (l, EI, et .) las herramientas pre isas seránprogramas de ordenador on apa idad para álgebra simbóli a, omo Mathema-ti a, Maple o MuPAD, . . .mientras que si los parámetros están jados numé-ri amente (l = 5 m, EI = 25000 m2KN, . . . ) las herramientas ade uadas sóloexigen la opera ión on matri es de números por lo que bastarán al uladorasmatri iales, hojas de ál ulo, o herramientas análogas.Se deja omo ejer i io al le tor la solu ión de los problemas presentados enlos apartados anteriores. Las solu iones a di hos problemas están al nal de estetexto, para los datos siguientes:viga ontinua: l1 = 5 m, l2 = 5 m, l3 = 6 m; arga repartida q = 30 kN/my se ión onstante.estru tura de ables: ables de igual se ión, on ángulos on la verti alde 30, 0 y −40.pórti o de altura h = 3 m, luz l = 5 m, perles de doble iner ia en vigasque en pilares, arga horizontal F = 10 kN y arga repartida sobre la vigaq = 10 kN/m.4.2. Introdu ión al método de los elementos -nitosLos problemas ontinuos dieren de los onsiderados previamente en este apítulo en el sentido de que los onjuntos de e ua iones de que disponemos pa-ra su formula ión son e ua iones que ligan fun iones de punto, y no e ua ionesque ligan valores de variables. Hasta aquí hemos expresado sistemáti amente lase ua iones on idénti o simbolismo, si bien sólo hemos pro edido a la solu iónde problemas on retos en los asos de estru turas de barras en los que, pre-viamente, habíamos redu ido el problema del ontinuo en la barra al problemadis reto de los esfuerzos y movimientos de extremo de di ha barra.Antes de seguir se impone una pre isión terminológi a que fa ilite la om-prensión de las expresiones abreviadas que vamos a emplear en lo su esivo. Lasimbología a emplear uando establez amos expresiones de tipo genéri o será lasiguienteUtilizaremos sistemáti amente la negrita omo hemos venido ha iendohasta ahora para designar objetos on varias omponentes ve tores omatri es, omo en el aso de las oordenadas de un punto, o las rela iones

CAPÍTULO 4. ANÁLISIS BASADOS EN EL EQUILIBRIO ELÁSTICO 85de rigidez y mantendremos la tipografía normal para objetos de unasola omponente, omo es el aso del des enso de un punto genéri o de laelásti a.Emplearemos letras romanas para designar valores dis retos omo son losmomentos de extremo de una viga. Las más repetidas son las ya utilizadasu y U para designar deforma iones y movimientos, f y F para designaresfuerzos y argas, y k y K para designar las rigide es, barra a barra,o ombinada de la estru tura. Puede verse que las minús ulas se reerena los elementos, barras,. . . mientras que las mayús ulas se reeren a laestru tura ompleta.Utilizaremos letras griegas para designar las fun iones que des riben va-lores ontinuos a lo largo de un ierto dominio. Nuevamente, y ordenando on el mismo riterio que en el punto anterior, utilizaremos de forma siste-máti a ǫ y υ para expresar deforma iones y desplazamientos, σ y τ paradesignar esfuerzos y argas, y κ para designar las fun iones que denen lasrela iones lo ales y distribuidas de rigidez entre deforma iones y esfuer-zos las llamadas e ua iones onstitutivas si el modelo onsiderado es elde la deforma ión elásti a del punto material Nótese que al ontrarioque on las fun iones de argasesfuerzos y movimientosdeforma ionesahora no abe emplear una expresión fun ional para la rigidez ompletaexterna de la estru tura sino sólo de las ondi iones onstitutivas lo- ales internas. Todas las fun iones denidas son usualmentes de varias omponentes, y de ahí su es ritura en negrita.Volviendo al tema presentado, al tratar de expresar rela iones útiles en lasbarras estable íamos por un lado los movimientos relevantes de la dire trizde la pieza de ada punto situado en la dire triz denidos por la fun ión

υ ≡ z, a los que aso iábamos las argas o a iones apli adas sobre la viga,identi adas on argas verti ales distribuidas denidas por la fun ión τ ≡ q;deníamos igualmente las deforma iones provo adas por di ho movimientoque eran relevantes para estable er el omportamiento de la viga, que identi- ábamos por la urvatura, denida a lo largo de la viga por la fun ión ǫ ≡ c,y estable íamos los esfuerzos orrelativos a di has deforma iones, a saber, losmomentos e tores, denidos por la fun ión σ ≡M .Abordando otros modelos de omportamiento estru tural, si pensamos enel punto material de una estru tura elásti a ualquiera tendríamos ahora queυ y τ , es de ir los movimientos y las argas, son las tres omponentes deldesplazamiento del punto y las tres omponentes de la arga sobre éste seansobre los puntos de la masa interior, sean sobre los puntos de la super ie que ierra la estru tura, mientras que ǫ y σ estarían formados on las omponentesde los respe tivos tensores de deforma ión y de tensión orrespondientes a di hopunto.Si pensamos en ualquier otro tipo de sistema ontinuo apaz de des ribirun omportamiento estru tural un plano y una ley de espesores de éste paradenir una losa sometida a arga transversal y esfuerzos de exión, una super- ie delgada des rita por su super ie media y su ley de espesores para deniruna membrana o una lámina siempre dispondremos de grupos análogos defun iones para des ribir los parámetros relevantes de su omportamiento:

CAPÍTULO 4. ANÁLISIS BASADOS EN EL EQUILIBRIO ELÁSTICO 86desplazamientos υ argas τdeforma iones ǫesfuerzos σAdemás de las anteriores deni iones disponíamos en el análisis de la vigade varias expresiones para rela ionar las fun iones denidas.En primer lugar ontamos on una expresión para representar la rela iónentre deforma iones y esfuerzos, denida por σ = κǫ ≡ M = EI c. Para elpunto material, la rela ión entre tensiones y deforma iones queda denida porla e ua ión onstitutiva del material empleado: σ = κǫ es pre isamente la de-nida en el apartado 2.4, expresión que puede generalizarse para otros tiposestru turales.En segundo lugar, en el problema de la viga, a las anteriores rela iones derigidez podíamos añadir las e ua iones de ompatibilidad, en la forma ǫ = ∂υ ≡c = z′′ = ∂2z

∂x2 . Hay que ha er notar aquí que en la expresión el término ∂ aludea un operador diferen ial lineal que en la viga es la derivada segunda quetambién en ontramos, aunque en formas diferentes, en otros tipos estru turales.Por ejemplo, en el aso del movimiento del uerpo elásti o, el operador ∂ obtienelas deforma iones a partir de derivadas de los desplazamientos, mediante las ono idas e ua iones de la elasti idadǫx =

∂u

∂x

ǫy =∂v

∂y

ǫz =∂w

∂z

γxy =∂u

∂y+∂v

∂x

γyz =∂v

∂z+∂w

∂y

γzx =∂w

∂x+∂u

∂zque pueden expresarse en la formaǫ = ∂υ ≡

ǫxǫyǫzγxy

γyz

γzx

=

∂∂x 0 00 ∂

∂y 0

0 0 ∂∂z

∂∂y

∂∂x 0

0 ∂∂z

∂∂y

∂∂z 0 ∂

∂x

uvw

Finalmente, además de las e ua iones de ompatibilidad, podíamos estable- er las de equilibrio, que eran de la forma τ = ∂T ǫ ≡ q = ∂2M/∂x2. Hay queha er notar aquí que en la expresión el término ∂T alude nuevamente a un ope-rador diferen ial lineal que en la viga es la derivada segunda y que tambiénen ontramos on distinto formato en otros tipos estru turales. Por seguir on losejemplos ya ini iados, en el aso del movimiento del uerpo elásti o el operador∂T obtiene las argas a partir de las derivadas de las tensiones en el punto en

CAPÍTULO 4. ANÁLISIS BASADOS EN EL EQUILIBRIO ELÁSTICO 87la forma expresada por las ono idas e ua ionespx +

∂σx

∂x+∂τyx

∂y+∂τzx

∂z= 0

py +∂τxy

∂x+∂σy

∂y+∂τzyu

∂z= 0

pz +∂τxz

∂x+∂τyz

∂y+∂σz

∂z= 0que pueden expresarse en la forma

τ = −∂T σ ≡

px

py

pz

= −

∂∂x 0 0 ∂

∂y 0 ∂∂z

0 ∂∂y 0 ∂

∂x∂∂z 0

0 0 ∂∂z 0 ∂

∂y∂∂x

σx

σy

σz

τxy

τyz

τzx

Hay que ha er onstar aquí que, al igual que hi imos en el apartado 2.7.1para formula iones dis retas de los problemas, obteniendo la rela ión entre lase ua iones de equilibrio y las ompatibilidad, puede demostrarse la rela ión queexiste entre los operadores que des riben el equilibrio y la ompatibilidad enlas formula iones ontinuas, y que expresamos empleando los símbolos ∂ y ∂T ,traspuesto el uno del otro se trata de operadores autoadjuntos en lenguajematemáti o más abstra to La demostra ión general ahora, que sigue la lí-nea allí empleada, requeriría algo más de aparato, que sin embargo preferimosreservar ahora para el asunto que nos traemos entre manos.Tenemos, por tanto, que los uatro grupos de fun iones están rela ionadospor las e ua iones deequilibrio: τ = ∂T σ ompatibilidad: ǫ = ∂υrigidez: σ = κǫDe las fun iones anteriores, son ono idas las argas en las regiones libres,y los desplazamientos en las regiones sustentadas. Los métodos lási os de laelasti idad onsistirían en enlazar las e ua iones obtenidas y pro eder a su inte-gra ión apli ando omo ondi iones de ontorno las anteriormente itadas, peroes una estrategia que no puede obtener resultados generales salvo en unos po os asos anóni os.Como alternativa a di ha estrategia el desarrollo de los métodos varia ionalesha llevado a on ebir primero, y a desarrollar de forma extensísima después,métodos alternativos entre los que desta a el de los elementos nitos.La estrategia onsiste en bus ar no ya solu iones exa tas desde la perspe tivamatemáti a, sino sólo aproxima iones a las fun iones que expresan los desplaza-mientos de la estru tura, y a partir de tales aproxima iones, determinar el restode las fun iones que ara terizan el problema.Pues en efe to, si pueden obtenerse fun iones υ su ientemente aproximadasa las υ que resuelven el problema, es de ir, siυ ≈ υ

CAPÍTULO 4. ANÁLISIS BASADOS EN EL EQUILIBRIO ELÁSTICO 88enton es podrán obtenerse su esivamenteǫ ≈ ǫ = ∂υ

σ ≈ σ = κǫHay que ha er notar aquí que, dado que las deforma iones se obtienen omoderivadas de los movimientos omo diferen ias en regiones innitesimaleslos errores obtenidos en deforma iones y esfuerzos son inevitablemente mayoresque los obtenidos en la expresión de los movimientos.En ualquier aso, la estrategia ade uada para resolver las fun iones de des-plazamiento bus adas onsiste en estable er éstas omo ombina ión lineal deun onjunto nito de fun iones estable idas a priori, y apa es de satisfa er las ondi iones de ontorno geométri as del problema.Es de ir, se formula que los desplazamientos υ se obtengan mediante la ombina ión linealυ = Na.En esta expresión, las N son las fun iones estable idas a priori, y pueden ser onsideradas omo una base del espa io de desplazamientos que la aproxima iónes apaz de representar, que puede in luir o no el desplazamiento teóri o de laestru tura que se bus a. A su vez los parámetros a, ini ialmente des ono idos,serán los valores a determinar bus ando la máxima aproxima ión posible entrelos desplazamientos aproximados obtenidos y los bus ados. Pueden onsiderarsea di hos parámetros omo las oordenadas que lo alizan el desplazamiento apro-ximado en el espa io de todas las formas de desplazamiento que la aproxima iónes apaz de representar. Hemos visto un ejemplo en la forma que hemos emplea-do para determinar la matriz de rigidez en exión de una viga en el apartado3.1.3, en el que el desplazamiento verti al z se obtenía mediante el produ to deun onjunto de fun iones N que llamábamos fun iones de forma por losparámetros que en ese problema se tradu ían en los giros de extremo. En di hoproblema, puesto que la ele ión de las fun iones de forma se hizo asegurandoel umplimiento de la e ua ión de la deformada elásti a 3.7 el espa io de des-plazamientos que las fun iones pueden representar in luye todas las deformadaselásti as posibles sin arga, y la aproxima ión produ irá resultados exa tos. Peropodríamos haber es ogido para las fun iones de desplazamiento otras aproxima-das y, apli ando la misma té ni a, habríamos obtenido expresiones aproximadaspara las rela iones bus adas.Efe tivamente eso es lo que haremos en el aso general: elegiremos omofun iones de forma fun iones que satisfagan las ondi iones geométri as y que,al menos en los límites que orresponden a los asos de deforma ión onstante,satisfagan las ondi iones del problema elásti o planteado.Con di has fun iones postularemos la existen ia de la aproxima iónυ = Na on valores de parámetros a a determinar, y por lo tanto existirán las aproxi-ma iones

ǫ = ∂υ = ∂(Na)

σ = κǫ = κ∂υ = κ∂(Na).Ahora bien, omo los a representan valores de parámetros numéri os, que orresponden a las oordenadas jas del desplazamiento bus ado entre todos

CAPÍTULO 4. ANÁLISIS BASADOS EN EL EQUILIBRIO ELÁSTICO 89los representables, las opera iones de diferen ia ión que estable e ∂ puedenapli arse separadamente a las fun iones N , ono idas, de modo que la e ua iónque aproxima las deforma iones resultará serǫ = (∂N)a = Ba,en la que pueden ser obtenidas las fun iones B, omo vimos en el ejemplo de laviga.De este modo resultaráσ = κǫ = κBa,expresión que in orpora las e ua iones de ompatibilidad y de rigidez orres-pondientes a la aproxima ión.Para resolver el problema se tratará ahora de in orporar la e ua ión deequilibrio, pero la estrategia ahora no onsiste en emplear la formula ión di-feren ial de di ha e ua ión: se re urre ahora a formular el equilibrio mediantela apli a ión del prin ipio de los trabajos virtuales, por el ual el produ to deun desplazamiento ompatible por un estado equilibrado debe produ ir trabajonulo o trabajo interno igual al trabajo externo, salvo signosTenemos pues el estado de equilibrio aproximado denido por las argas τy los esfuerzos σ, y ualquier estado de desplazamientos ompatible denidopor los deplazamientos υ y las orrespondientes deforma iones ǫ, por lo quepodemos pro eder a postular el equilibrio, obteniendo

∫

Γ

υT τ dΓ =

∫

Ω

ǫT σ dΩSi ahora sustituimos on expresiones ade uadas a la aproxima ión, repre-sentando los desplazamientos ompatibles onsiderados de forma similar a losaproximados que bus amos, tendremos∫

Γ

(Na)T τ dΓ =

∫

Ω

(Ba)T κBa dΩ

∫

Γ

aT NT τ dΓ =

∫

Ω

aT BT κBa dΩ

aT

∫

Γ

NT τ dΓ = aT

∫

Ω

BT κBa dΩAhora bien, la última expresión debe ser ierta para ualesquiera valores delos parámetros a que representan todos asos de desplazamiento ompatible onlas ondi iones geométri as planteadas. Como además, nuevamente, los paráme-tros a son valores numéri os, no fun iones, pueden extraerse de la integral, quepodrá eje utarse resultando por tanto∫

Γ

NT τ dΓ =

(∫

Ω

BT κB dΩ

)

a

F = Ka onF =

∫

Γ

NT τ dΓ, K =

∫

Ω

BT κB dΩ.Puede volverse al ejemplo de la viga, en el que obtuvimos pre isamente onesta té ni a tanto los momentos de empotramiento perfe to las argas F a

CAPÍTULO 4. ANÁLISIS BASADOS EN EL EQUILIBRIO ELÁSTICO 90apli ar a un modelo en el que la viga sea una omponente omo las rela ionesde rigidez entre momentos de extremo y movimientos de extremo, es de ir, lamatriz k.En estru turas genéri as la estrategia planteada exigiría produ ir fun iones apa es de representar movimientos generales umpliendo las ondi iones de ontorno de sustenta ión, de adapta ión a la geometría real, et . Comoesto es muy difí il es habitual denir las fun iones por regiones, por elementos omo la barra del ejemplo, o en regiones poligonales sen illas en los asossuper iales de modo que ada grupo de fun iones está aso iado a un elementoha iéndose nulas en el resto. De este modo la anterior integral puede realizarseelemento por elemento∑

e

∫

Γe

NT τ dΓe =∑

e

(∫

Ωe

BT κB dΩe

)

a.Esta té ni a, de paso, redu e enormemente el problema de dimensiones de laintegral pues los parámetros aso iados a fun iones que no re orren el elementono ne esitan ser onsiderados en éste.Para asegurar la fa ilidad de interpreta ión de la formula ión y las solu ionesobtenidas, es también usual, aunque no ne esario, estable er omo parámetroslos movimientos de iertos puntos signi ativos del elemento, que se empleanigualmente en los elementos en onta to on él de modo que los movimientos dela región en onta to queden denidos por los de los puntos de onta to paraasegurar que las fun iones elegidas umplen on las ondi iones de ontinuidady de ligadura de las e ua iones que rigen el problema al menos en regiones dedeforma ión onstante, lo que asegura que redu iendo progresivamente el tama-ño de los elementos nos estemos aproximando a di ha situa ión, y por tanto al umplimiento estri to de las ondi iones del problema, asegurando la onver-gen ia de la solu ión. A esta última reexión se la denomina en la literaturaespe ializada riterio de la par ela.Consideremos más despa io la última de isión apuntada, es de ir la de esta-ble er omo parámetros los movimientos U = a de iertos puntos privilegiadosnodos. Puesto que el produ to de esos parámetros por los términos quehemos simpli ado on el símbolo F es un trabajo, y puesto que hemos esta-ble ido el equilibrio mediante el prin ipio de trabajo nulo, di hos términos noserán otra osa que las fuerzas equivalentes orrrespondientes a di hos gradosde libertad, de modo que la expresión resulta ser nalmente la de una e ua iónde rigidez para la estru tura ompletaF = KU ,que permitirá resolver el problema en la forma usual

U = K−1F ,dedu iéndose los desplazamientos mediante las expresiones ya estable idas parala aproxima ión, y permitiendo determinar, a partir de éstos, el resto de lasfun iones que representan el estado de la estru tura.

Capítulo 5Análisis basados en ladisipa ión plásti aComo alternativa a los métodos de análisis elásti o, que responden a laspropiedades en el origen de la grá a tensión deforma ión, se presentan en este apítulo los métodos de análisis que tratan de representar por el ontrario lasfases nales de di ha grá a, métodos uyos modelos más sen illos están basadosen el análisis de la disipa ión de energía plásti a en el pro eso de olapso1.Se presentan en primer lugar modelos sen illos de rotura lo al para, en fasesposteriores, extraer onse uen ias de las propiedades de di hos modelos. Entreéstas deben desta ar, por su generalidad y poten ial predi tivo, los teoremasdel análisis límite que, por derivarse de on eptos energéti os, presentan unaformula ión dual que ya hemos apre iado en métodos anteriores.5.1. Métodos en rotura. Teoremas del análisis lí-mite.5.1.1. Modelos de roturaSi analizamos el pro eso de rotura de un material dú til para estados de arga uniaxiales, obtenemos usualmente grá as que rela ionan esfuerzos o ten-siones similares a la de la gura 5.1, en la que se apre ia una importante ramahorizontal o asi horizontal, en la que la deforma ión aumenta indenidamentesin que, sin embargo, se pierda apa idad resistente, hasta que la deforma ión seha e muy grande, en términos relativos a las pequeñas deforma iones elásti asde la fase ini ial de la grá a. La plasti a ión queda de maniesto en el pro esode des arga, en el que la deforma ión se ha e permanente pese a que se eliminetotalmente la arga: la rama de des arga llega a ser paralela a la de arga, perodesplazada en el valor de la deforma ión plásti a remanente.Los pro esos de arga í li a en que se superan las tensiones de plasti a iónprovo an estados que pueden ara terizarse por las urvas de histéresis sobre1Para una introdu ión más extensa y general a las bases del omportamiento plásti- o de los materiales y a las diversas teorías que tratan de modelarlo puede onsultarse[Sán hez Gálvez, 1999. 91

CAPÍTULO 5. ANÁLISIS BASADOS EN LA DISIPACIÓN PLÁSTICA 92la grá a de tensión deforma ión. El área en errada por éstas mide la energíadisipada plásti amente.Si la grá a no es horizontal, el material presenta un endure imiento quepuede apre iarse en ada estado de arga en el que se supere el límite de tensionesal anzado en alguna fase pre edente: el límite elásti o aparente se al anza en ada fase on tensiones superiores.Aunque la plasti a ión no apare e brus amente omo un vérti e en la grá- a, salvo en materiales metáli os y en el aso de problemas muy sen illos, es po-sible denir de forma onven ional un punto en el que la deforma ión remanenteal anza un límite prejado. Ha sido ésta la té ni a empleada en denir el límiteelásti o onven ional en los a eros estirados en frío, pero puede generalizarse.Di ha generaliza ión puede in luso extenderse a situa iones de plasti a ión de-pendientes de un parámetro un esfuerzo agregado que involu ren regionesamplias de una pieza, omo puede ser el aso de la exión por momento en unapieza, en el que la grá a de momento urvatura en la región más soli itadatiene propiedades que se aproximan a las anteriores, aunque la plasti a ióninvolu ra de he ho regiones amplias de la pieza en torno a la se ión de máxi-mo momento; in luso la grá a argadesplazamiento en estru turas sen illassu ientemente dú tiles presenta propiedades semejantes.Si el material está sometido a estados de tensión que no pueden denirse porun solo parámetro, las grá as pueden realizarse para ada pareja o onjuntode parámetros. En este aso es usual tratar de ara terizar las ondi iones deplasti a ión en los valores ombinados de tensión orrespondientes a los estadosplanos o triples en los que la deforma ión remanente supera un límite dado.

Figura 5.1: Grá as tensión deforma ión, y super ie de uen iaEn el aso de las estru turas de edi a ión, en el que la mayor parte de losestados ombinados de tensión más omplejos suelen ser planos, bastará usual-mente la representa ión plana de las tensiones prin ipales orrespondientes alos distintos estados en que se produ e la plasti a ión. Di ha ombina ión deestados delimita una urva que ara teriza la plasti a ión, denominada super- ie límite, super ie de uen ia, o riterio de plasti a ión y se representapor la fun ión que la dene, f(σ) = 0. Modelos lási os de esta urva son los orrespondientes a los riterios de Von Mises la rotura se produ e al superarseun límite en la densidad de energía de distorsión y de Tres a la rotura seprodu e al superarse un límite en la tensión tangen ial para el plano en el queésta es máxima. El mismo on epto de super ie límite puede generalizarse,y apli arse a la representa ión de los estados límite o de rotura denidos en

CAPÍTULO 5. ANÁLISIS BASADOS EN LA DISIPACIÓN PLÁSTICA 93términos de ombina iones de esfuerzos agregados.Un ejemplo típi o de esa fun ión límite es el de la gura 5.2, que representalas ondi iones de rotura de una rebanada de una pieza sometida a exo om-presión en un material sin resisten ia a tra ión omo puede ser el hormigón olos materiales de fábri a.

Figura 5.2: Super ie de uen ia en rebanada de material sin tra ionesUna propiedad bási a de di ha lase de guras en la mayoría de las ondi- iones es su onvexidad.El endure imiento del material, si existe, puede representarse en estos asosmediante una familia de fun iones límite. Su empleo requerirá denir un pa-rámetro de endure imiento que permita sele ionar la fun ión orrespondienteal valor del endure imiento al anzado. Un parámetro lási o es la densidad deenergía disipada en el punto onsiderado.En lo que sigue supondremos horizontal la rama plásti a, ignorando el rema-nente de resisten ia que puede aportar el fenómeno del endure imiento. Comopodrá entenderse fá ilmente, este planteamiento permite el análisis del ompor-tamiento de la estru tura en sus estadios nales, en oposi ión al resultado delenfoque elásti o que, en puridad, responde muy ade uadamente a su omporta-miento en los estadios ini iales.Al no onsiderarse endure imiento y suponer horizontal la rama plásti a,estamos adoptando un modelo de omportamiento elasto-plásti o, y la super ielímite que representa los posibles estados de rotura será úni a. Un punto en elinterior de di ha super ie, on f(σ) < 0, es un punto uyo estado es posible,siendo el omportamiento elásti o para el estado de esfuerzos representado.Un punto de di ha super ie representa un posible estado de plasti a ión,un estado en el que se produ e movimiento de olapso generalizado, on di-sipa ión de energía a través de los pro esos de ujo plásti o on deforma iónplásti a irreversible e importante disipa ión de alor, y los puntos exteriores adi ha super ie, on f(σ) > 0, representan estados imposibles de al anzar.5.1.2. Regla de ujoSi analizamos la super ie de uen ia del ejemplo en exo ompresión delapartado anterior, y exploramos algunas de sus propiedades en las proximidadesdel origen, nos en ontramos on las propiedades aproximadas de la teoría lási ade rotura en ar os: el material tiene resisten ia sobreabundante, innita en el

CAPÍTULO 5. ANÁLISIS BASADOS EN LA DISIPACIÓN PLÁSTICA 94límite, para esfuerzos normales entrados, pero rompe uando la ex entri idadde la arga supera un límite, que, si las tensiones de trabajo son bajas, puede onven ionalmente situarse en el límite de la se ión, omo si la resisten ia atensión normal de ompresión fuese innita siendo nula la resisten ia a tensiónnormal de tra ión.

Figura 5.3: Ortogonalidad de deforma iones plásti as a esfuerzosEstudiando el estado de esfuerzos, y la forma de rota ión de la junta endi ha ondi ión límite en ontramos una interesante propiedad que se reprodu een otros asos de rotura plásti a: el ve tor que representa el movimiento derotura que, referido al entro de gravedad omo es usual, impli a una dilata iónde la junta y una rota ión entre sus aras, es ortogonal al ve tor que representala varia ión del estado de esfuerzos (normal y momento) en la situa ión deplasti a ión que orresponde a la rotura.Dado que una vez ini iada la rotura, ésta ontinúa si se ha al anzado el olapso estru tural, resulta sensato y sen illo representar la diferen ia de de-forma ión entre dos instantes su esivos, por lo que el ve tor de deforma ionesno es tan útil omo el que representa las velo idades de deforma ión y permitedes ribir por tanto la geometría del pro eso de olapso.Di has velo idades se dedu en de la regla de ujo que, en plasti idad aso iadase deriva de la super ie de uen ia mediante la expresiónǫi = λ

∂f

∂σiEsta expresión, denominada usualmente regla de ujo de von Mises, mani-esta la ortogonalidad entre el ve tor de velo idad de deforma ión, y el querepresenta las varia iones de estado de tensión, que deben mantenerse dentrode la super ie de uen ia mientras se mantenga el estado de plasti a ión delpunto onsiderado.ǫ ⊥ σP =⇒ ǫT σP = 0 =⇒

∫

Ω

ǫT σP dV = 0La ortogonalidad no se produ e en los asos de plasti idad no aso iada, enlos que las velo idades de deforma ión se derivan de expresiones poten iales no oin identes on la fun ión que representa la super ie de uen ia, aso usual en

CAPÍTULO 5. ANÁLISIS BASADOS EN LA DISIPACIÓN PLÁSTICA 95la representa ión de suelos, o en los asos en que la rotura se aso ia a fenómenosde deslizamientoǫi = λ

∂g

∂σi, f 6= g.Para los asos de plasti idad aso iada la ortogonalidad es la base de losteoremas fundamentales del análisis plásti o, que se verán más adelante.Di ha ondi ión de ortogonalidad puede argumentarse onsiderando, siguien-do en ello a [Save, 1983, que la disipa ión en una estru tura perfe tamente plás-ti a orrespondiente al estado de ujo plásti o denido por las velo idades dedeforma ión u2 es una fun ión homogénea de di has velo idades D(u), es de ir,que D(cu) = cD(u). Para esta estru tura, la ondi ión de admisibilidad plásti ade un estado de esfuerzos internos f es que la energía disipada en el movimientode olapso por tales esfuerzos sea menor o igual que la denida por la fun ión dedisipa ión: f · u ≤ D(u), representando la ondi ión de igualdad la situa ión deplasti a ión. En di has ondi iones, la anterior e ua ión expresa que los puntosque denen ualquiera de los estados de esfuerzos internos f orrespondientes auna plasti a ión para la forma de olapso denida por u des riben un hiper-plano perpendi ular a di ho ve tor u, y puesto que la super ie límite no seríamás que la interse ión de todos los hiperplanos orrespondientes a todas lasposibles geometrías del olapso, siempre tendríamos di ha ortogonalidad. En el aso de puntos angulosos en la super ie límite, el ve tor u estará in luído enel ono denido por las normales a los planos que onuyen en la singularidad.Lo anterior es equivalente a armar que los esfuerzos plásti os en el estadode olapso, para una inemáti a de olapso dada, son aquellos que maximizanla disipa ión en la estru tura, hipótesis ya formulada por von Mises en 1928,tal y omo reseña [Nielsen, 1998. Por tanto, si la disipa ión puede medirse on

D = f · u siendo máxima para las varia iones de f resultará que3∂D = u · ∂f = 0Como además ualquier estado de esfuerzos debe permane er permanente-mente en la super ie límite, tendremos igualmente que

f(f) = f(f + ∂f) = 0y por tanto∂f

∂f· ∂f = 0. Comparando di has expresiones resulta que

u = λ∂f

∂fy tendremos que para que la disipa ión sea máxima (esta ionaria) la defoma iónde olapso debe ser ortogonal a la super ie de uen ia.2Usamos aquí el riterio de representar la deforma ión plásti a y los esfuerzos en los orres-pondientes puntos o se iones mediante un onjunto nito de valores más que omo un ontinuo des rito mediante fun iones de punto. Por lo tanto, ahora f representa el onjuntode esfuerzos de olapso y u el onjunto de velo idades de deforma ión de la geometría del olapso.3Resulta igual expresión si onsideramos el prin ipio de los trabajos virtuales apli ado a los ampos de esfuerzos equilibrados denidos por ∂f y de movimientos ompatibles estable idospor u

CAPÍTULO 5. ANÁLISIS BASADOS EN LA DISIPACIÓN PLÁSTICA 965.1.3. Modelos de seguridadAntes de abordar los teoremas fundamentales del análisis plásti o mere ela pena, por venir al aso, ha er una pequeña digresión sobre los modelos deseguridad al uso. Si observamos la representa ión de los estados de esfuerzoque supone la super ie de uen ia, obtener seguridad frente a rotura suponeasegurar que los estados de esfuerzos derivados de las diversas ondi iones de arga a que la estrutura va a estar sometida se sitúen su ientemente alejadosde di ha super ie, para asegurar que se evita al anzar alguno de los asos derotura (gura 5.4).El pro edimiento más lási o, aso iado a los llamados oe ientes de seguri-dad, estable e las situa iones de rotura, y trata de alejarse de ellas redu iendo lasresisten ias que representan el omportamiento del material, así omo las argasrespe to de las que provo an la rotura en ese material redu ido, mediante unfa tor que se apli a a todas ellas: la rotura se on ibe sólo para situa iones de arga mayorada mediante un oe iente de seguridad que podemos denominarme áni o. La omproba ión, en el formato de las normas tradi ionales era deltipo σd ≤ fγ , y a éste formato pueden redu irse, en los asos lineales, las om-proba iones pres ritas en la a tual normativa σd(Qγf ) ≤ f

γ m. El pro edimientoes inseguro en situa iones en las que, omo en el equilibrio de los ar os, la segu-ridad es más bien un problema geométri o. En el aso de los ar os sin resisten iaa tra ión se trata de que la resultante de las presiones orrespondiente a losestados de arga previstos esté su ientemente dentro de la se ión, omo paraasegurar que no se produ e la rótula aso iada al pro eso de olapso. No se tratade un problema de resisten ia: el olapso podría produ irse aun on materialde resisten ia innita si la se ión resulta insu iente. En este aso lo que seestá ha iendo es ongurar un oe iente de seguridad geométri o que operaen el sentido de redu ir la geometría de la se ión disponible. La omproba iónahora es que la geometría onsiderada para el ál ulo permita el equilibrio, on

gd ≤ gγ . Pero di ha estrategia no es su ientemente segura en el problema rese-ñado en los asos de argas de pequeña magnitud si no se ombina este modelode seguridad ade uadamente on la previsión de hipótesis alternativas de arga,hipótesis en las que se tenga en uenta la in ertidumbre sobre su magnitud yposi ión real.Los asos itados orresponden a situa iones en las que el origen de la grá ade esfuerzos o de argas está próximo a una de las posibles situa iones de olapso. En asos en los que el origen se sitúa relativamente entrado respe -to de las situa iones de olapso, las estrategias anteriores pueden onsiderarseinter ambiables.Una estrategia alternativa apaz de dar ade uada uenta de la seguridaden todas las situa iones apuntadas onsiste en estable er la seguridad medianteuna redu ión de la región o upada por la super ie límite obtenida, no porla vía de la redu ión de los esfuerzos máximos, o de la geometría disponible,sino por la vía de la redu ión del poten ial representado por la fun ión f(σ),adoptando por tanto omo super ie límite para el ál ulo la redu ida f(σ)−γ =

0. Esta estrategia impli a, en el aso que hemos itado del equilibrio de un ar osin resisten ia a tra ión, que obtener la seguridad requerida va a exigir laexisten ia en ualquier aso de un nivel de arga mínimo, sin el que la seguridades inal anzable. En la gura 5.5 podemos observar on laridad la muy diferenteforma on que se aborda la orre ión de una situa ión límite partiendo de ada

CAPÍTULO 5. ANÁLISIS BASADOS EN LA DISIPACIÓN PLÁSTICA 97

Figura 5.4: Super ie límite y riterios de seguridad en una junta de ar o sinresisten ia a tra iónuna de las tres estrategias de seguridad reseñadas.

Figura 5.5: Corre ión de una situa ión insegura dependiente del riterio em-pleado.Un modelo robusto de medir el margen de seguridadPor lo visto en las anteriores guras, si el punto de esfuerzo nulo oin ide on el entro de la super ie de rotura, el oe iente de seguridad no es másque un fa tor entre dos guras homólogas, la de rotura, y la de rotura empleadapara el ál ulo, versión redu ida en tamaño de aquella, siendo di ho entro elde la redu ión. Si di ho punto de esfuerzo nulo no es el entro de la super iede rotura, debemos orregir el riterio de omproba ión de seguridad; las líneassiguientes aportan una línea sen illa para ha erlo.Sea σ un estado de esfuerzo o de arga seguro, y sea f(σ) ≤ 0 la super- ie de rotura orrespondiente a las variantes posibles para di ho estado uyo entro o posi ión de máximo alejamiento a di ha super ie esté lo aliza-do en σ0. El estado σ orrepondería a un estado de rotura en el aso de unaredu ión de la super ie a una homóloga menor, y la rela ión entre las dimen-siones lineales de di has super ies puede dar la medida del margen de seguridad orrespondiente al estado σ.El gradiente a la fun ión que dene la super ie en el punto de rotura máspróximo al punto onsiderado dene un ve tor g ortogonal al plano tangente

CAPÍTULO 5. ANÁLISIS BASADOS EN LA DISIPACIÓN PLÁSTICA 98a ésta en di ha posi ión de rotura. Viendo la gura 5.6, podemos onsiderar omo margen de seguridad, análogo al oe iente de seguridad habitual paralas argas, al o iente entre las proye iones sobre di ha dire ión g del ve torque representa al de esfuerzos medido desde el punto de máximo alejamiento ala super ie de rotura, más su distan ia hasta el punto de rotura, y del ve torde esfuerzos mismo, es de ir, el o iente entre los segmentos AC y AB de lagura.

Figura 5.6: Criterio robusto para medir el margen de seguridad.Nótese que si en la gura 5.6 se onsideran puntos arbitrarios, por ejemploporque el pro edimiento de análisis empleado ompara el estado de esfuerzos on todos los planos que aproximan la super ie, tendremos que según se alejael punto B que representa la proye ión de los esfuerzos onsiderados del querepresenta la proye ión de los esfuerzos de rotura C, el margen de seguridad re erá hasta ha erse innito uando B oin ida on A, e in luso ambiará designo si pasa a estar situado en la proye ión más allá de A, es de ir, si el entrode la gura queda más er a del plano de rotura onsiderado que el punto quese omprueba.La distan ia entre el estado seguro y el de rotura próximo se puede denir on el ve tor αg, por ser propor ional al gradiente señalado, y el margen deseguridad puede medirse, por tanto onγ =

g · (σ − σ0 + αg)

g · (σ − σ0)Ahora bien, si onsideramos el plano tangente omo una aproxima ión dela super ie de rotura en el entorno onsiderado, la omproba ión tendrá omoforma general la expresión g ·σ−d ≤ 0 en la que si g fuese unitario representaríael versor del plano, y la omproba ión diría que la proye ión del ve tor querepresenta el estado sobre di ho versor debe ser menor que la distan ia delorigen de arga a di ho plano. Para este plano, el punto de rotura más próximoal del estado analizado se representa on (σ +αg) y para di ho punto de roturase daría la igualdadg · (σ + αg)− d = 0expresión en la que podemos determinar α fá ilmente:

α =d− g · σ

g · g

CAPÍTULO 5. ANÁLISIS BASADOS EN LA DISIPACIÓN PLÁSTICA 99Resultará quesi α > 0, el estado es interior a la super ie, y por tanto seguro ongrado de seguridad a determinarsi α = 0, el estado es de roturasi α < 0, el estado es exterior a la super ie de rotura y por tanto imposiblede al anzar.El magen de seguridad para el primero de los asos anteriores, siguiendo lae ua ión des rita más arriba seráγ =

g · (σ + αg)− g · σ0

g · (σ − σ0)=

d− g · σ0

g · (σ − σ0)De este modo, si podemos determinar los gradientes a la super ie losplanos tangentes a ésta en las regiones de interés y las distan ias de los planostangentes más er anos a los estados a omprobar, la determina ión del gradode seguridad es sen illa, no presenta los in onvenientes derivados de la mayor omenor proximidad del punto de arga nula a la super ie límite, y la expresiónpropuesta es onsistente on los modelos al uso en los asos en que el punto de arga nula y el entro de la super ie límite oin iden4.5.1.4. Teoremas fundamentalesVamos a onsiderar a ontinua ión el enun iado de los teoremas fundamen-tales del análisis límite tras demostrar la siguiente arma ión bási a en estemodelo:Teorema 1 En el olapso sólo varía la deforma ión plásti a.En el pro eso de arga podemos des omponer, en un modelo relativamentesen illo las deforma iones a umuladas en dos partes, la parte elásti a, aso iadaa la pendiente en el origen de la grá a tensión deforma ión, y que no da origena deforma iones permanentes, y la parte plásti a, aso iada a la parte horizontalde la grá a. A lo largo del ini io del pro eso de olapso debe mantenerseel equilibrio entre las argas y los esfuerzos internos, y por lo tanto el equili-brio entre la varia ión de arga para dos estados su esivos on la varia ión deesfuerzos entre di hos estados, por lo que igualando los respe tivos trabajos dedeforma ión por unidad de tiempo para las deforma iones ompatibles aso iadasal olapso tenemos∫

Γ

υT τ dS −∫

Ω

ǫT σ dV = 0Ahora bien, en el pro eso de olapso las argas no varían, por lo que τ =0. Además, des omponiendo las deforma iones en sus omponentes elásti a yplásti a, ǫ = ǫe + ǫp tendremos que

∫

Ω

(ǫe + ǫp)Tσ dV = 04Efe tivamente, si se da di ha oin iden ia, σ0 será el ve tor nulo, de modo que el oe- iente resultante, γ = d/g · σ, o iente entre proye iones sobre la ortogonal al plano, oin idepor Tales on el oe iente de seguridad me áni o habitual, o iente entre los módulos de losdos ve tores olineales que representan uno, la llegada al plano de rotura, y otro, el estado deesfuerzos onsiderado.

CAPÍTULO 5. ANÁLISIS BASADOS EN LA DISIPACIÓN PLÁSTICA 100lo que impli a que∫

Ω

ǫeT σ dV +

∫

Ω

ǫpT σ dV = 0Pero en la ultima expresión el segundo sumando es nulo si estamos en un asode plasti idad aso iada, por lo que el primero debe serlo igualmente y, puestoque las tensiones pueden estar variando, serán las omponentes de deforma iónelásti a las que se mantienen estables para asegurar que di ho primer términode la suma también permane e nulo, lo que demuestra que en el olapso sólovaría la deforma ión plásti a, manteniéndose estables las partes elásti as de ladeforma ión al anzadas antes del olapso mismo.Esto permitirá analizar el pro eso del olapso ignorando la deforma ión elás-ti a que le pre ede que, si omo es usual orresponde a estados de pequeñasdeforma iones, puede suponerse nula, suponiendo invariable la geometría de lasregiones no plasti adas de la estru tura, y adoptando, por tanto, para ellasformas de movimiento omo sólido rígido.Teorema 2 (Teorema estáti o o del límite inferior) Si en una estru tu-ra, para un sistema de argas dadas τpuede estable erse un estado de tensiones o esfuerzos internos σ en equi-librio, ypara di hos esfuerzos no se al anza la ondi ión de plasti a iónenton es la estru tura no olapsa para di has argas, o lo que es lo mismo, las argas dadas suponen un límite inferior a la arga de rotura de la estru tura.Lo demostraremos por redu ión al absurdo, suponiendo que se umplen las ondi iones estable idas, pero que pese a todo se produ e el olapso bajo las argas.Resultará que, por un lado existe un onjunto de esfuerzos σ en equilibrioentre sí y on las argas τ , pero dándose el olapso deberá existir una inemáti a on velo idades de deforma ión ǫ ompatibles on las velo idades de desplaza-miento υ. Las deforma iones deberán estar aso iadas a unos esfuerzos internosde plasti a ión que, puesto que se ha ini iado el olapso, debe ser apa es deequilibrar omo máximo un onjunto de argas γτ , on γ ≤ 1.En estas ondi iones tendremos que, por el prin ipio de los trabajos virtuales,e igualando trabajo interno y externo en el produ to del estado inemáti o ompatible por ada uno de los dos estados equilibrados∫

Γ

υT τ dS =

∫

Ω

ǫT σ dV

∫

Γ

υTγτ dS =

∫

Ω

ǫT σP dVpor lo que debe resultar0 =

∫

Ω

ǫT(

σP − γσ)

dVlo que es imposible dado que, omo se ve en la gura 5.7, la diferen ia de esfuer-zos no puede ser ortogonal a la velo idad de deforma ión, dada la onvexidad de

CAPÍTULO 5. ANÁLISIS BASADOS EN LA DISIPACIÓN PLÁSTICA 101

Figura 5.7: Diferen ia de esfuerzos no ortogonal a deforma iones plásti asla super ie de uen ia. Esto invalida la suposi ión de que se produ e el olapsobajo las argas, demostrando el teoremaPara que el teorema sea de apli a ión, no deben produ irse fenómenos deinestabilidad (pandeo), y las se iones que plasti an deben presentar du tilidadsu iente para que se produz an deforma iones plásti as apre iables sin rotura.Una onse uen ia extremadamente importante del teorema es que basta es-table er un sistema equilibrado on las argas, y asegurar resisten ia su ientepara el mismo, para asegurar que la arga de rotura no es al anzada, siempreque haya su iente du tilidad. De he ho es esta on lusión del teorema la que,paradóji amente, ha e válidas las solu iones del análisis elásti o. Pues efe tiva-mente, los requisitos de la informa ión ne esaria para asegurar la validez de losmodelos de rigidez empleados en el análisis elásti o no siempre pueden um-plirse: por ejemplo, en las estru turas de hormigón armado es usual realizar elanálisis on las rigide es brutas de la se ión del hormigón, aunque luego se ar-marán di has se iones de forma variada, resultando rigide es variables en muyamplia medida, máxime onsiderando la sura ión del hormigón. De he ho larigidez de las piezas en exión que se emplea para la determina ión de defor-ma iones es la surada, aun uando se emplea on los resultados obtenidos delanálisis realizado on se iones brutas no suradas. . . Tanta ontradi ión seríaina eptable de no ser porque el teorema estáti o asegura que el estado equilibra-do obtenido por el método elásti o, junto on la su iente resisten ia en todaslas se iones adoptada a partir del mismo onstituyen ondi ión su iente paraasegurar que la arga on que rompe la estru tura es mayor que la onsideradaen el análisis.Teorema 3 (Teorema inemáti o, o del límite superior) Es el dual delanterior: si para un esquema de olapso ompatible υ, ǫ arbitrariamente es-table ido se al ulan las argas τ que pierden en di ho olapso tanta energía omo la que se disipa en la deforma ión plásti a, puede asegurarse que la es-tru tura olapsará bajo di has argas, o lo que es lo mismo, que las argas τ onstituyen un límite superior para la arga de rotura de la estru tura.La demostra ión se ha e nuevamente por redu ión al absurdo, suponien-do que no existe tal olapso, por lo que existiría un estado de esfuerzos σ enequilibrio on las argas, para el que no se ha al anzado la super ie límite deuen ia.

CAPÍTULO 5. ANÁLISIS BASADOS EN LA DISIPACIÓN PLÁSTICA 102En estas ondi iones podemos plantear, por un lado la e ua ión mediante laque se determinan las argas por igualdad entre la energía plásti a disipada yla energía perdida por las argas:∫

Γ

υT τ dS =

∫

Ω

ǫT σP dVy por otro lado, en virtud del prin ipio de los trabajos virtuales, la e ua ión deigualdad entre los trabajos externo e interno en el produ to de la deforma iónde olapso ompatible onsiderada, por el estado equilibrado que existirá asode no haber tal olapso:∫

Γ

υT τ dS =

∫

Ω

ǫT σ dVRestando ambas e ua iones resulta0 =

∫

Ω

ǫT(

σP − σ)

dVque resulta ser nuevamente imposible por razones idénti as a las del aso ante-rior.Esto demuestra el teorema.Una apli a ión inmediata del teorema onsiste en la estima ión de argas derotura por el sen illo método de suponer una geometría de olapso, y determinarlas argas que pierden tanta energía omo la disipada plásti amente. Desgra ia-damente se trata de una estima ión que está en el lado de la inseguridad: la arga de rotura es igual o menor que la estimada, por lo que el pro eso deberíarepetirse on geometrías alternativas eligiendo la menor arga de las obteni-das. Salvo que se pueda asegurar que se han onsiderado todas las geometríasposibles, el resultado será siempre inseguro.Sin embargo, siempre se puede volver a usar las propiedades del teoremaanterior, y, a partir de los valores estimados que lo serán en sólo algunos de lospuntos de la estru tura, re onstruir el equilibrio ompleto en todas sus parteslo que será posible mediante las e ua iones de equilibrio, puesto que ya se hanempleado las de ompatibilidad para determinar los esfuerzos plásti os, elimi-nando así la indetermina ión hiperestáti a y asegurar resisten ia su iente entodas las se iones para los esfuerzos así obtenidos: en este pro eso obtendremosusualmente posi iones diferentes para las regiones que plasti an, on mayoresesfuerzos de los obtenidos en el análisis de la inemáti a del olapso que había-mos elegido arbitrariamente, y que no orresponderá al del olapso real. Bastaráha er más resistentes las orrespondientes se iones para que sea de apli a iónel teorema estáti o.Como en el aso del análisis elásti o, los dos teoremas pre edentes supo-nen una visión dual del problema, uya on urren ia determina una solu ión ompleta del problema, hiperestáti o en general.Teorema 4 (Teorema de uni idad) En el aso de que se umplan las on-di iones de los dos teoremas pre edentes, a saber,que exista un estado equilibrado de esfuerzos on las argas a tuantes.que los esfuerzos sean en ualquier región de la estru tura iguales o me-nores a los que provo an la plasti a ión de di ha región

CAPÍTULO 5. ANÁLISIS BASADOS EN LA DISIPACIÓN PLÁSTICA 103que exista un estado de olapso inemáti amente ompatible uyas rótulaso regiones en ujo plásti o se orrespondan on las posi iones en lasque el esfuerzo es igual al de plasti a iónpuede asegurarse que la arga onsiderada es la arga de rotura de la estru tura,pues efe tivamente,por darse las ondi iones del teorema estáti o la arga de rotura debe serigual o mayor que la onsiderada la arga empleada en el análisis es unlímite inferior para la arga de roturapor darse las ondi iones del teorema inemáti o, la arga de rotura esigual o menor que la arga onsiderada la arga empleada en el análisises un límite superior para la arga que produ e la rotura-.Puesto que oin iden en un mismo valor el límite superior y el límite inferior,di ho valor es la arga de rotura.Hay que ha er notar que las ondi iones del teorema de uni idad reprodu enen el análisis plásti o las tres ondi iones que usábamos en análisis elásti o paradeterminar las solu iones, a saberla admisibilidad estáti a, representada por el estado de esfuerzos equili-brado on las argasla admisibilidad inemáti a, representada por la geometría ompatible dela inemáti a de olapso, yla admisibilidad material, representada por que los esfuerzos son los queprovo an la plasti a ión en las regiones en que se postula di ho estado,y menores a aquéllos en el resto de la estru tura.De este modo, la solu ión úni a al problema planteado se obtiene uando onuyen las tres ondi iones de admisibilidad.5.2. Apli a ionesAunque una apli a ión esen ial de los anteriores teoremas en parti ulardel teorema del límite inferior, o estáti o onsiste omo ya se ha di ho envalidar los resultados de los análisis elásti os habituales pese a la inexa titude in ongruen ia de algunos de los datos empleados, o a la no onsidera ión delos estados de tensión ini iales parásitos5 previos a la arga, pueden en ontrarsemu hos ejemplos en los que su sen illez justi a sobradamente su apli a ión.Vamos a re orrer los ejemplos ya usados en el anterior apítulo destinado alanálisis por métodos elásti os.5.2.1. Estru turas de barrasViga ontinuaSon habituales los análisis en rotura de vigas ontinuas, basados en el teo-rema estáti o. Para ello basta determinar leyes de momentos en equilibrio a5Por ejemplo las tensiones residuales de lamina ión en los perles laminados.

CAPÍTULO 5. ANÁLISIS BASADOS EN LA DISIPACIÓN PLÁSTICA 104menudo igualando momentos positivos y negativos en tramos interiores peroasegurando, obviamente, la ontinuidad del diagrama en los vanos ontiguosy asegurar resisten ia su iente para todas las se iones. Cabe señalar que endi ho enfoque resulta arbitraria la ele ión de los momentos sobre los apoyosdel diagrama que se equilibra y para el que se asegura resisten ia su ienteen todas las se iones y por lo tanto, en vigas de igual resisten ia en positivosy negativos omo las realizadas on perles laminados de a ero, es apropiadoestable er la igualdad en los momentos negativos y positivos para los vanos demayor luz. Sin embargo en vigas diseñadas a medida, omo son las de hormigónarmado, pueden estable erse otros diagramas arbitrarios, siempre que supon-gan el equilibrio on las argas, en la medida en que fa iliten reglas de armadomás razonables que las generadas mediante los diagramas obtenidos por análi-sis elásti o, máxime si pequeñas irregularidades en la trama resistente ondu e,apli ando rigurosamente los métodos elásti os, a irregularidades en la distribu- ión resistente que se revelen inne esarias en base a los riterios que aporta elteorema estáti o.Para que lo anterior sea válido en estru turas reales debe asegurarse que nose superen las ondi iones de du tilidad que aseguran el estadio plásti o antesde la rotura, lo que exige respetar límites en ada tipología estru tural denidosen los textos espe ializados6.Podemos estable er las e ua iones de equilibrio entre argas y esfuerzos e -tores onsiderando los de extremo de las barras junto on los esfuerzos en algúnpunto del vano, por ejemplo en el entro, er a de donde se suponen los má-ximos valores en momentos positivos, generando de este modo un onjunto dee ua iones de equilibrio uyo formalismo es similar al habitual: F = Hf . A di- has e ua iones se añaden las adi ionales e ua iones que identiquen lasresisten ias on los momentos soli ita ión en igual número omo rótulas seanpre isas para obtener un me anismo, pre isamente las orrespondientes a di hasrótulas. Di has e ua iones o las no son más que e ua iones equivalentes a las onstitutivas o de admisibilidad material onsideradas al estudiar los métodoselásti os de análisis, pues ligan las soli ita iones on las resisten ias posibles.Las ondi iones de ompatibilidad están in luidas implí itamente al estable erel me anismo que se supone para el olapso, y si todas las ele iones fuesen orre tas, el triple grupo de ondi iones aportaría la solu ión úni a al proble-ma. Puesto que las resisten ias bus adas para la piezas son in ógnitas, las lasque representan las ondi iones de admisibilidad material tendrán eros en eltérmino independiente de argas, y valores de más y menos uno en los términosque igualen resisten ia on soli ita ión. Si todas las resisten ias bus adas se ex-presan a partir de una referen ia úni a todas iguales, o todas en propor iónprejada a la de una se ión denida que se usa de base resultará que el nú-mero de rótulas es el que transforma la estru tura en isostáti a más una, porlo que el número de e ua iones resultante es el que elimina las ondi iones dehiperestatismo, más una, que añade la ondi ión ne esaria para la in ógnita deresisten ia adi ional, por lo que el nuevo sistema, representado por F ′ = H ′f ′76En a ero deben emplearse perles realizados on se iones de lase 1 de a uerdo a la lasi a ión del Euro ódigo 3, y en hormigón las esbelte es de las vigas no deben superarvalores onven ionales de ??? de a uerdo al Euro ódigo 2.7Las las adi ionales en F ′ son eros, el término adi ional de f′ es la in ógnita de refe-ren ia para las resisten ias, las nuevas las de H′ serán las que identi an resisten ias onsoli ita iones, y su olumna nal tendrá eros en las las orrespondientes a las soli ita iones

CAPÍTULO 5. ANÁLISIS BASADOS EN LA DISIPACIÓN PLÁSTICA 105es resoluble salvo singularidad en la forma, que haría H ′ singularConsideremos el ejemplo del apítulo anterior, para el que supondremos queel tramo entral es el primero en romper, en sus se iones extremas y próximaal entro del vano. Formulamos las e ua iones de equilibrio entre arga y mo-mentos, es de ir, las obtenidas a partir de la ne esidad de soportar el isostáti o,que determina el momento del entro del vano a partir de los de extremo:[

ql22

8

]

=[

12

12 1

]

m21

m22

m2v

Añadiendo las ondi iones de resisten ia las e ua iones quedan

ql22

8000

=

12

12 1 0

1 0 0 −10 1 0 −10 0 1 −1

m21

m22

m2v

Mp

de donde se dedu e la expresión ono ida para piezas on ontinuidad en ambosextremos Mp = ql2

16 que iguala momentos negativos y positivos si éstas son deigual resisten ia ante ambos signos de la soli ita ión.A partir de los momentos que se han obtenido para las posi iones prede-terminadas elegidas extremos y entro de vano, que preguran las posiblesposi iones de las rótulas plásti as debe trazarse la grá a ompleta, y el re-sultado será válido si las demás regiones de la viga tienen momentos menoresa la resisten ia obtenida. Si las rótulas que orresponderían al olapso de esaestru tura on la arga prevista no están situadas en alguna de las posi ionespredeterminadas alguna región tendrá momento mayor al obtenido para di hasposi iones: di ha región sufriría plasti a ión on anterioridad a alguna de lasrótulas supuestas, y de he ho no se estaría umpliendo en di ha región la ad-misibilidad material si se dimensionase on los valores determinados para lasposi iones atribuídas a las rótulas. Sin embargo, en aso de dimensionar estasregiones on di ha mayor soli ita ión, se ubrirían las ondi iones del teoremaestáti o y el dimensionado pasaría a ser seguro. En aso de querer disminuirel dimensionado, habrá que reestudiar la estru tura sustituyendo alguna de lasposi iones en las que se han situado las rótulas ini ialmente por la obtenida on mayor soli ita ión, reiterando el pro eso hasta lograr oin iden ia entre losmáximos esfuerzos y las posi iones elegidas para las rótulas.Si no se hi iese el trazado señalado en el párrafo anterior, lo que se estaráha iendo realmente no orresponde a un análisis basado en el teorema estáti o,sino que se están empleando las e ua iones de equilibrio en el mar o del enfoquealternativo que parte del empleo del teorema inemáti o.En este segundo enfoque se pretende determinar el menor valor para la re-sisten ia de las se iones que permitirá sostener la arga en el límite de olapso, onsiderando éste. Para ello se presupone una ongura ión de rotura, inemá-ti amente admisible, basada en la forma ión de rótulas plásti as en posi ionesprejadas que transformen a la estru tura en un me anismo. Pero la manera deestable er las e ua iones de equilibrio que hemos visto ha e un momento, puedeha erse también indire tamente on el empleo de los on eptos de trabajo yde las distintas barras.

CAPÍTULO 5. ANÁLISIS BASADOS EN LA DISIPACIÓN PLÁSTICA 106energía, sin más que igualar el trabajo de las argas en el movimiento de olap-so on la energía que disipan las rótulas en di ho movimiento, o onsiderando,por el prin ipio de los trabajos virtuales, que en ese movimiento ompatible de olapso el trabajo de las argas se iguala al trabajo interno movilizado en lasrótulas.En el aso del ejemplo anterior tendríamos omo e ua ionesWe =

[

ql2

l4

ql2

l4

]

[

θ21θ22

]

Wi =[

m21 +m2v m22 +m2v

]

[

θ21θ22

]e ua iones en las que se han ignorado los signos para los omponentes de los pro-du tos de momentos y giros, que son de igual sentido, o se han supuesto posi-tivos los sentidos de rota ión prejados en el me anismo de olapso imaginadoal onsiderar positivas las energías disipadas. Por ompatibilidad, si la rótulade vano está en el entro θ21 = θ22 y si se añaden las ondi iones de resisten- ia, m21 = m22 = m2v = Mp, lo que nos lleva a la solu ión ya ono ida. Si lasuposi ión de rótulas fue in orre ta el valor de resisten ia obtenido es menorque el estri tamente ne esario para soportar la arga, y en alguna región de laestru tura los esfuerzos requeridos para asegurar el equilibrio son, por tanto,mayores.Estru tura de ablesEn este problema la e ua ión de equilibrio estable ida en el apartado 4.1.2era[

Fx

Fz

]

=

[

α1x α2x α3x

α1z α2z α3z

]

f1f2f3

El problema podría estudiarse analizando el pro eso de olapso paso a paso,a partir de la plasti a ión su esiva de las barras, añadiendo a los parámetroselásti os los plásti os orrespondientes a la plasti a ión su esiva de ada barra,a saber, la deforma ión plásti a de la barra, y la resisten ia límite de ésta, lo quepuede ha erse siguiendo el método ejempli ado en [Ortiz and Hernando, 2002;es fá il ver sin embargo que la plasti a ión de la primera barra no es su ientepara el olapso: pasa a ser una fuerza ja en el nudo que, junto on la arga,dará una resultante que puede ser equilibrada por las dos barras restantes,requiriéndose la plasti a ión de una barra adi ional para llegar al olapso porfalta de ondi iones para el equilibrio. El análisis puede plantearse omo labúsqueda de las menores resisten ias apa es de asegurar que se soporta la arga,lo que podemos ha er al igual que en el ejemplo anterior en términos de valoresrelativos a uno prejado, omo por ejemplo, suponiendo todos los ables deigual se ión y bus ando la menor se ión que permite soportar las argas. Estoha e que se requiera introdu ir una in ógnita adi ional, y por lo tanto tantase ua iones omo las pre isas para lograr eliminar el grado de hiperestatismouno en este aso más la ne esaria para jar la nueva in ógnita otra más,lo que suma las dos requeridas en el ejemploLas e ua iones añadidas son las de resisten ia, o de admisibilidad material,estando la ompatibilidad implí ita en la one tividad atribuída al nudo.

CAPÍTULO 5. ANÁLISIS BASADOS EN LA DISIPACIÓN PLÁSTICA 107La e ua ión nal puede ser, por tanto, bien

Fx

Fz

00

=

α1x α2x α3x 0α1z α2z α3z 00 1 0 −11 0 0 −1

f1f2f3fp

o bien

Fx

Fz

00

=

α1x α2x α3x 0α1z α2z α3z 00 1 0 −10 0 1 −1

f1f2f3fp

dependiendo de ual sea la segunda barra en plasti ar.Si la solu ión fuese la representada por el segundo sistema de e ua iones,resultará que el empleo del primero derivaría en un valor para f3 mayor queel de la resisten ia obtenida fp por lo que di ha barra no umpliría las ondi- iones pres ritas y sería laro que debe apli arse la e ua ión de resisten ia a lamisma. Esto permite imaginar que el pro edimiento a apli ar en una situa iónde estru tura de barras hiperestáti a en la que quisiésemos ontar on la reser-va plásti a onsista en añadir las orrespondientes a e ua iones de resisten iapara eliminar el hipertestatismo junto on la in ógnita añadida, las en las quelas barras elegidas para estable er el riterio de resisten ia de plasti a iónse eligen arbitrariamente, e ir sustituyendo su esivamente di has las, eligiendosiempre la barra más soli itada de entre las que no umplen el riterio de resis-ten ia y eliminando de la ondi ión de resisten ia alguna de las barras elegidasarbitrariamente, lo que deberá que ir ha iendo re er la resisten ia requerida8,hasta que se al anza la situa ión de que todas las barras tienen soli ita ionesiguales o menores a la resisten ia obtenida.Sin embargo en este tipo de estru turas pasa a ser ríti o el problema de ase-gurar la su iente du tilidad, de forma que pueda veri arse que no se superanlas elonga iones que dan origen a la rotura nal: estamos por tanto presentandoun pro edimiento teóri o uya apli a ión a estru turas reales resulta insegura:para poder asegurar el difí il umplimiento de di ho requisito es pre iso un aná-lisis paso a paso, midiendo en ada paso los alargamientos plásti os a umuladosne esarios hasta que se al anza la elonga ión de rotura. Dado el fenómeno deestri ión, por el que la elonga ión plásti a se on entra en una región peque-ña, di ho margen es muy pequeño, y no resulta por ello prudente ontar on lareserva plásti a en este tipo de estru turas.Pórti o simpleEl ter er ejemplo que analizábamos en apli a ión de los métodos elásti os orresponde a un pórti o sometido a arga horizontal.Para este pórti o, las e ua iones de equilibrio se es ribían en 4.1.2 de la8En aso de que la resisten ia requerida disminuyese, se debería restable er la e ua ión deresisten ia para la última barra eliminada y elegir otra.

CAPÍTULO 5. ANÁLISIS BASADOS EN LA DISIPACIÓN PLÁSTICA 108forma siguiente, de a uerdo a los riterios de la gura 4.3

Fx

M1

M2

=

1h

1h

1h

1h 0 0

0 1 0 0 1 00 0 0 1 0 1

m11

m12

m21

m22

m31

m32

En aso de haber voladizos on arga, las e ua iones serían las mismas, sinmás que estable er M1 y M2 on los valores orrespondientes a la a ión dedi hos voladizos.Como se ve, el grado de hiperestatismo es tres, de modo que para al anzarel olapso ha en falta uatro rótulas, o lo que es lo mismo, si bus amos la resis-ten ia mínima requerida para sostener las argas en el límite antes del olapsotenemos uatro in ógnitas más que e ua iones, que se ompletarán por tanto on las uatro e ua iones de resisten ia orrespondientes a las se iones en lasque supongamos que se produ en las rótulas.Suponiendo un me anismo de olapso por desplazamiento del tablero y rótu-las en abeza y base de los pilares, el sistema ompleto sería, siguiendo el mismopro edimiento que en asos anteriores:

Fx

M1

M2

0000

=

1h

1h

1h

1h 0 0 0

0 1 0 0 1 0 00 0 0 1 0 1 01 0 0 0 0 0 −10 1 0 0 0 0 −10 0 1 0 0 0 −10 0 0 1 0 0 −1

m11

m12

m21

m22

m31

m32

Mp

e ua iones en las que es fá il ver que pueden redu irse por sustitu ión a Fx =4hMp, on Mp = Fxh

4 .En el aso de que el tablero estuviese sometido a arga verti al, para elanálisis del equilibrio habría que haber introdu ido un punto adi ional en di hotablero a n de expresar el que se produ e entre argas y momentos en formasimilar a la empleada en el aso de la viga ontinua. Una alternativa a la formade rotura onsiderada en el párrafo anterior sería aquella en la que se formauna rótula a momentos positivos en el tablero en sustitu ión de la situada en la abeza del pilar a sotavento. Todas las onsidera iones señaladas en el ejemplode la viga ontinua sobre las onse uen ias del a ierto o desa ierto al jar laposi ión de la rótula del vano serían igualmente válidas en este aso. Cabeañadir a este problema una onsidera ión adi ional: dado que en piezas en queintera ionan esfuerzos N y M el momento último depende del esfuerzo axial,el sen illo estado de olapso obtenido sin onsidera ión de di ha intera iónaportará valores de momento tal vez inal anzables en las rótulas omprimidas,e in luso el estado obtenido puede no orresponder al estado de olapso real.

Parte IIIProye to

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Capítulo 6Teoría de proye to6.1. Introdu iónEn el apítulo de introdu ión de este texto se estable ían los objetivos deuna teoría del proye to de estru turas. Se de ía allí que se trata de lasi ar y uali ar el omportamiento de di has lases de estru turas a partir del menory más potente número de parámetros posibles, de modo que la predi ión de suforma de trabajo, de su idoneidad y e a ia pueda realizarse desde pronto, apartir de los parámetros en juego en las fases ini iales del diseño, y sin ne esidadde llegar a la deni ión detallada ni al análisis de la estru tura nal.En la medida en que en di has fases ini iales los parámetros empleados paravalidar los esquemas que se proye tan desde perspe tivas variadas uso, om-patibilidad y entronque on el entorno, . . . son bási amente geométri os, deforma, se trata de poder validar la idoneidad de la estru tura y sus requisitosbási os para resolver e azmente el problema planteado desde la forma misma.Se tratará de estable er on lusiones a partir de las ualidades más generales dela forma adoptada para la estru tura.En di ha introdu ión se avanzaba la ne esidad de ontar en la evalua ión deformas alternativas no sólo on el umplimiento de los requisitos estru turales,sino además on algún tipo de medida sobre la e ien ia on que se al anzandi hos requisitos. Toda estru tura que resuelve un mismo problema deberá sa-tisfa er idénti amente los niveles de seguridad y de rigidez estable idos frente alas argas a que estará sometida, y por ello la medida de ompara ión no puedenser di ha seguridad o rigidez. El término de ompara ión ade uado será el inver-so del esfuerzo humano, en uso de re ursos, en huella ambiental, que suponga elempleo de una u otra alternativa. Serán preferibles, en igualdad de ualesquieraotras ondi iones, las estru turas que menor esfuerzo o oste requieran. Estoexige por un lado estable er la forma de estima ión de di ho esfuerzo, a travésde alguna magnitud pre isa que permita medirlo de forma inequívo a, y quepueda determinarse a partir de las ualidades de la propia solu ión estru tural.Y esto exige igualmente onsiderar las formas mediante las que pueda re orrer-se la evolu ión de di ha magnitud a partir de varia iones en los parámetros deforma onsiderados, lo que remite a los problemas de optimiza ión.En este apítulo, tras analizar alternativas a di hos problemas, se opta porel empleo de una magnitud pre isa para la medida del esfuerzo ne esario para110

CAPÍTULO 6. TEORÍA DE PROYECTO 111la materializa ión de la estru tura, denominada antidad de estru tura, uyadetermina ión y ualidades se exploran, estable iendo varios importantes teo-remas generales de apli a ión a di ha magnitud en amplias lases de solu ionesestru turales.6.2. El proye to de estru turasTodo objeto real, a lo largo de su existen ia se ve sometido a agresiones físi- as, de entre las que un ierto grupo son identi ables omo a iones me áni as:fuerzas externas, de masa o de iner ia. Otras provo an ambios dimensionalesen aquél: temperatura, tiempo, asientos. Las propiedades que le permiten so-brevivir on éxito frente a las mismas durante un ierto tiempo se denominan ualidades estru turales, y el onjunto de espe i a iones de tales ualidadesque permite denir objetos on di ha apa idad de superviven ia se denomina onjunto de requisitos estru turales.El objeto del diseño estru tural onsiste, según los asos, ya sea en denir laspropiedades geométri as y materiales generales del objeto o de partes pre isasde éste, ya sea en omprobarlas y modi arlas, en o asiones mediante el diseñode omponentes espe í os del propio objeto, on el n de que se umplan losrequisitos estru turales. Para un edi io tales requisitos pueden resumirse enlograr un objeto que, on abilidad su ienteSea estable en onjunto y en ada una de sus partes.(Estabilidad).Disponga de seguridad su iente frente a rotura. (Resisten ia).Presente deforma iones ompatibles on el uso. (Rigidez).No presente altera iones lo ales que puedan variar la seguridad en el tran- urso de la vida útil prevista (Durabilidad), ylogre todo ello a un oste, o de forma más general, on un impa to am-biental1 razonablemente bajo, on un buen aprove hamiento de los re ur-sos requeridos (e onomía, y sostenibilidad).De entre todos los requisitos, son los de estabilidad, resisten ia y rigidez losmás fá iles de estable er de a uerdo a las razones de la me áni a.Hemos hablado de las agresiones de tipo físi o ligadas a fuerzas o a am-bios dimensionales al estable er las ualidades estru turales. Estas agresiones sedenominan a iones y tienen naturaleza y origen variados.Existen a iones aso iadas a sistemas de fuerzas vivas, o de iner ia gravi-tatorias, eóli as, sísmi as, impa tos, vibra iones,. . ., a iones ligadas a am-bios dimensionales térmi as, reológi as, a iones que, además, modi an las ualidades estru turales de los materiales, fuego, altera iones quími as,. . .1Como muestra la regla del notario de Antonio Valero y José Manuel Naredo (ver[Naredo, 1994, Valero, 1994), no podemos onar sólo en las expresiones del oste, dado queno existe una rela ión lineal entre el oste y el ontenido físi o de materia o energía agregado aprodu tos o servi ios: más bien la rela ión supone mayores in rementos de pre io en las fasesnales y de menor ontenido físi o de la genera ión de valor. Pero no es sólo esto: en tanto nose ontabili en también en los ostes reales el equivalente a la reposi ión a su estado primitivode las fuentes naturales de materiales o energía, la ontabilidad sobre el impa to ambiental yfísi o de nuestras a tividades no podrá estar aso iada al mero oste monetario de éstas.

CAPÍTULO 6. TEORÍA DE PROYECTO 112Esta variedad de a iones, que para el análisis signi a sólo in rementar eltiempo o el oste del mismo, amén, tal vez de su omplejidad, requiere ara aldiseño dis ernir uáles van a ser en ada aso las dominantes en el pro eso dedar la forma denitiva al objeto.6.2.1. Normaliza iónEl uso impli a generalmente que una parte de las a iones reales van a serimprevisibles, por lo que se sustituyen de algún modo por a iones normalizadas onven ionalmente, y ello obliga a su vez a onsiderar en el diseño las posiblesdiferen ias que pueden produ irse en el omportamiento de la estru tura res-pe to del previsto mediante di has a iones onven ionales, y ello puede ser ono importante según la de isión de que se trate2.Las a iones normativas no son en general más que valores onven ionalesque tienden a produ ir en determinados tipos de estru turas efe tos igua-les o superiores que los derivados de las a iones reales, asi siempre de muy ompleja deni ión. Hay, por ello que tener siempre muy presente las diferen iasdes ritas en la gura 6.1 entreesfuerzos derivados de las a iones, que son los que determina un análisis on reto,envolventes para di hos esfuerzos. Se trata ahora de los extremos en losvalores que pueden ser al anzados en ada punto en ualesquiera de lashipótesis de arga analizadas sea por obliga ión normativa, sea por de- isión del proye tista y que pretenden a otar los rangos de resisten iarequeridos para di hos esfuerzos. En la forma más sen illa, es de ir, ensitua iones en las que la resisten ia se determina por un sólo parámetro, omo podría ser el aso de la ley de momentos en vigas, tendremos para ada punto los valores máximo y mínimo obtenidos3, y a lo largo de ladire triz a las dos leyes orrespondientes que podrían interpretarse omolas leyes extremo que delimitan las regiones que denen los valores de es-fuerzo a soportar. En situa iones omplejas, sin embargo, las regiones deesfuerzo delimitadas deben atribuyen valores de esfuerzos aso iados o quea túan onjuntamente on omitantes omo es el aso de los estados demomentonormal en soportes. En este aso una delimita ión pre isa de laregión límite envolvente onsistiría en una super ie denida en una grá- a de tres dimensiones que representen la dire triz del pilar, y la pareja2Por ejemplo, en la normativa se miden los efe tos del uso en una planta mediante unaintensidad de arga que se des ribe on una sobre arga uniforme, lo que es perfe tamenteade uado uando se resuelve el problema estru tural mediante una losa plana sometida aexión. Si pres indimos de la realidad de la forma de las a iones y onsideramos sólo la arga uniforme onven ional, podríamos vernos tentados a dar omo solu ión estru tural unabóveda de dire triz parabóli a, buena estru tura para una arga realmente uniforme, peroes asamente ade uada para una sobre arga real de uso. Para evitar este tipo de problemas, lanormativa, mediante el uso de hipótesis alternativas, impli a el uso extenso de envolventes deesfuerzos3 on pre isión habría que de ir el máximo absoluto para ada signo posible del esfuerzo seaéste positivo o negativo, on su signo propio. Es de ir el mayor valor positivo y el menor valornegativo, y por ende el máximo y mínimo, on la salvedad de que si ambos valores son de igualsigno, el mínimo sería el ero si tal aso de esfuerzo es posible en alguna de las situa iones de arga posibles para la estru tura.

CAPÍTULO 6. TEORÍA DE PROYECTO 113momentonormal a que las se iones de éste están sometidos en las hipó-tesis onsideradas y sus posibles ombina iones, resultando una super ietubular que envuelve los esfuerzos posibles apa idad resistente de la pieza onsiderada, que onsiste nuevamente enuna super ie envolvente determinada por las ara terísti as propias deresisten ia de la pieza, y que lógi amente deberá ontener íntegramente alas envolventes de esfuerzos determinadas mediante las hipótesis de ar-ga onven ionales analizadas, pero que deberá ser onfrontada frente aalternativas reales posibles a di has hipótesis.

Figura 6.1: Esfuerzo, envolvente, apa idad6.2.2. Las buenas solu ionesSi onsideramos no sólo la inuen ia de la estru tura en la existen ia y formade las a iones, sino la propia indetermina ión inherente a buena parte de éstasy la innita variabilidad de ombina iones en que pueden presentarse, pare e im-posible el planteamiento dire to de la búsqueda de solu iones estru turales. Noobtante existe una herramienta teóri a que parte de los Teorema de Maxwelly Mi hell, de 1890, 1904, . . . que permite lari ar la obten ión de estru turasmínimas para sistemas de fuerzas ono idos a priori, y ello sirve al menos parajar ideas fundamentales que deben estar presentes en el pro eso de diseño, aun uando sólo puedan apli arse dire tamente en raras o asiones.Finalmente, no debe olvidarse que, en general, las ondi iones de uso sonabsolutamente prioritarias, y que en o asiones determinan la forma hasta talpunto que no es posible estable er un pro eso de optimiza ión propio o aislado delos elementos estru turales. O visto de otro modo, las restri iones impuestas porel uso pueden a otar ampliamente el ampo de explora ión de solu iones, a ve esin luso simpli ando de forma muy importante la obten ión de un óptimo querespete tales restri iones, que no será en puridad óptimo estru tural. Pese a ello,y pese a que la alidad de un diseño estru tural no puede alibrarse mediante unúni o riterio de medida, puede armarse sin duda que la onsidera ión del oste omparado de solu iones alternativas a un mismo problema va a propor ionar

CAPÍTULO 6. TEORÍA DE PROYECTO 114en general un importante apoyo a la explora ión teóri a sobre el propio diseño,al permitir uni ar gran número de aspe tos del problema.6.2.3. Comproba ión o proye toHemos hablado más arriba del umplimiento de los requisitos estru tura-les y de los modos onven ionales de estable erlos vía normativa. Ahora bien,para satisfa er di hos requisitos no es pre isa la existen ia de una estru turadiferen iada: sin salirnos del ampo de la edi a ión, mu hos de los elementos onstru tivos utilizados en la deni ión espa ial de re intos tienen ualidadesde resisten ia y rigidez su ientes omo para asegurar que se umplen ade ua-damente tales requisitos estru turales. Por el ontrario, y en el extremo opuestodesde la perspe tiva de la espe ializa ión de los omponentes onstru tivos, pue-de onvenir organizar un onjunto de elementos diferen iados uya fun ión seasólo la estru tural.Cabe pues una grada ión en el nivel de interven ión en el diseño estru turalpre iso para la deni ión última del objeto, grada ión aso iada a la e a iaque abe al anzar en el problema onsiderado on un grado de espe ializa ión re iente para los elementos que omponen el objeto:La sola omproba ión de que los elementos de deni ión espa ial permitenque se umplan los requisitos estru turales.La determina ión de dimensiones, propiedades o pe uliaridades de los ele-mentos de deni ión espa ial, de forma que se umplan di hos requisitos.El diseño de elementos espe í os que puedan dar lugar a una parte dife-ren iada, in luso en el pro eso de deni ión y onstru ión: la estru tura.En el primer aso no nos en ontramos ante un problema de diseño estru turalo de proye to de estru tura, sino de simple análisis. En los otros dos asos, apartedel análisis, y anterior a él será pre iso manejar ono imientos su ientes dediseño o proye to, bien para proponer las modi a iones, bien para adoptar lasde isiones que lleven a una propuesta orre ta de estru tura resistente.Para a otar el problema de obtener ono imientos apli ables en fase de pro-ye to pese a la extremada variabilidad implí ita aprove haremos omo herra-mientas bási as la normaliza ión y el análisis. Pues aun uando la valida iónnal de toda estru tura se realiza por vía experimental una vez onstruida, he-mos visto por una parte que el interés públi o en evitar dentro de lo posible losdaños a personas u objetos, y en lograrlo de una forma relativamente uniforme,ha e que los requisitos estru turales estén normalizados en bastante medida,y por otra que el análisis estru tural, desarrollado y fa ilitado en importantemedida on la ayuda de los ordenadores, permite veri ar y justi ar a prioriel umplimiento de éstos on un grado de abilidad razonable, anti ipando portanto los resultados de di ha experimenta ión inevitable.Análisis y Cál uloConviene re ordar aquí la naturaleza real del pro eso de análisis, que a me-nudo queda enmas arada por la palabra ál ulo: una parte entral de los datosdel problema es la propia realidad físi a del objeto del análisis. Salvo ontadas

CAPÍTULO 6. TEORÍA DE PROYECTO 115ex ep iones no abe on ebir un pro eso que tenga omo resultado la deni iónde una estru tura sin que previamente haya sido tomado un número onsidera-ble de de isiones sobre la misma, por lo que no se trata prá ti amente nun ade un problema de ál ulo, sino del análisis de un objeto que debe ser denidoplenamente on anterioridad. En este sentido puede de irse que el análisis no esmás que una herramienta para la ríti a de un objeto estru tural previamentedenido, aunque verdaderamente se trata de una muy poderosa herramienta,sobre la que existe un amplio onsenso avalado por sus posibilidades de predi - ión. Solamente en algunos asos se a omete realmente un pro eso de ál ulode parte de los omponentes de la estru tura, omo es el aso del ál ulo delas armaduras en las estru turas de hormigón armado, que es posible en tantose atribuyan las ara terísti as de omportamiento de una pieza a la geometríade la envolvente de hormigón. Sin embargo en este mismo aso hay una tomaprevia de de isión sobre esta envolvente, en la que la simpli a ión de suponerque el armado no inuye sustan ialmente en la rigidez ha e ometer importan-tes errores en la estima ión de la situa ión tensional de la estru tura, aunque, om ya hemos visto, sin onse uen ias importantes sobre el grado de seguridada rotura de la misma.Podríamos de ir, pues, que pueden on ebirse dos vías diferentes para pro-du ir solu iones estru turales:Denir un objeto en detalle y omprobar mediante experimenta ión oanálisis que umple los requisitos espe i ados, oDeterminar el objeto mediante algún tipo de algoritmo que permita sudeni ión mediante opera iones que empleen omo base de partida losrequisitos mismos.En el primer aso estamos en un pro eso de análisis y omproba ión, ysólo en el segundo en un verdadero pro eso de ál ulo se al ula la forma,la solu ión al problema, mediante opera iones de las que se deriva tal forma omo resultado. Ahora bien, omo ya se ha di ho, sólo algunas fases lo alesdel pro eso de diseño ompleto pueden ser formalizadas a tal punto, e in lusopara ello han de denirse on pre isión diversos riterios aparte de los referidos aasegurar el estri to umplimiento de los requisitos estru turales. Entre éstos, laminimiza ión del oste o esfuerzo ne esario para la implanta ión de la estru turaaporta una vía de uni ar aspe tos muy diversos de ada problema y, en asoslimitados, de aportar la solu ión. En la mayor parte de los problemas no esposible un pro eso tan dire to, y es pre iso produ ir propuestas de objetosmás o menos ompletas, para pro eder a su evalua ión, mediante el análisis desu omportamiento futuro, y la omproba ión de que umplirá los requisitospres ritos.Con herramientas de análisis ade uadas y mediante un sistema de prueba yerror puede llegar a en ontrarse una estru tura su ientemente estable, segura,rígida, y ompatible on otros requisitos de uso, e in luso que se sitúe en un osterazonable, siempre que se destinen a ello los medios y el tiempo ne esarios.Los uatro primeros requisitos son obviamente ineludibles, pero para evaluarel último debe onsiderarse también el propio oste del pro eso de diseño. Enfun ión de los medios a emplear puede llegarse a un punto en que el ahorro demateriales sea menor que el aumento de oste del pro eso de diseño, punto quedepende del número de objetos iguales que hayan de produ irse. En todo aso el

CAPÍTULO 6. TEORÍA DE PROYECTO 116método empleado no ha de ser iego si ha de asegurarse una ierta e a ia en la onvergen ia ha ia una solu ión. Las modi a iones pueden orientarse a menudopor los resultados de la evalua ión, si bien no siempre es orre ta la dire iónque señala la le tura simple de tales resultados: un ejemplo puede ser el aso depórti os on vigas de relativamente baja rigidez, en los que fallan los soportespor exo ompresión bajo la on urren ia de arga verti al y horizontal: en este aso la dire ión ade uada para orregir la forma es muy a menudo aumentarlas dimensiones de las vigas, no las de los soportes.La experien ia del proye tista puede a ortar el amino de prueba y errorpermitiéndole produ ir rápidamente diseños válidos y razonables en uanto a oste, pero por el ontrario limita la búsqueda de solu iones alternativas.La teoría del proye to estru tural trata de ra ionalizar el pro eso de diseñoestable iendo, mediante el análisis de solu iones genéri as, reglas que permitanllegar en el menor tiempo y al menor oste posibles a solu iones razonables,sin perjui io de las ne esarias etapas de omproba ión nal que no hayan sido ubiertas por reglas generales. Para ello trata de determinar las variables demayor poten ia y menor pre isión posible, y referir a éstas las propiedades dela estru tura. Cuando hablamos de teoría del proye to estru tural nos referimosal proye to general de la estru tura; al nal del pro eso será pre isa una etapade proye to espe í o en la que se produz a la do umenta ión ne esaria para laeje u ión de la estru tura.6.3. Teoría de proye to y optimiza ión6.3.1. Problemas de minimiza iónAun uando el objeto de este texto no es estable er métodos para obtenersolu iones estru turales óptimas4 a un problema dado, sino estable er herra-mientas de proye to que permitan evaluar la bondad de los diseños desde lasprimeras fases de éstos, es evidente que en determinadas o asiones las solu ionespodrán formularse omo problemas de optimiza ión, y los métodos apli ablesa los mismos pueden por ello onstituir una herramienta auxiliar de indudableinterés. En esta se ión se presentan por ello de forma somera diversos métodosque pueden apli arse a los problemas de minimiza ión, tanto de fun iones deuna o varias variables en número nito, omo de fun ionales dependientesde una o varias fun iones uya expresión minimizadora se bus a. El objeto dela des rip ión será onsiderar la posibilidad de apli a ión de alguno o varios delos métodos revisados en la evalua ión de diseños que nos interesa formalizar de ara a la onstru ión de una teoría de proye to de estru turas.En [Farkas, 1984 pgs.(2950) puede verse una su inta exposi ión de granparte de los métodos itados. Una ex elente obra para el estudio teóri o y prá -4Se impone aquí una breve reexión sobre los términos empleados. El sentido que la RealA ademia asigna a la palabra minimizar : disminuir el valor de una osa, o frivolizarla, noa onsejaría emplear este neologismo en el sentido matemáti o de ha er mínima una expresión.Y puesto que la raíz presenta analogías on la del término último, para el que existe ultimar omo verbo que expresa la orrespondiente a ión, pare ería orre to emplear minimar yminima ión en las expresiones utilizadas para hablar de la a ión de estable er un mínimo,y de la misma manera las expresiones optimar y optima ión para referirse a las de estable erun óptimo. Habría una ierta proximidad on los términos aproximar y aproxima ión, estimary estima ión. . . . Dado que la literatura re iente no ha a eptado estos términos mantengo losmás usuales pese a su mayor fealdad

CAPÍTULO 6. TEORÍA DE PROYECTO 117ti o de buena parte de los métodos de optimiza ión en problemas lineales y nolineales, ex eptuando los que explotan analogías de naturaleza esto ásti a, es[Nash and Sofer, 1996.En ualquier problema de minimiza ión o de optimiza ión, se dispone deun objeto denido ini ialmente, que debe poder modi arse de alguna manera,y se trata de bus ar la modi a ión que produz a un mínimo en un ierto valorsigni ativo. De este modo existiránuna des rip ión paramétri a del objeto a investigar, que onsiste, bien endes ribir el objeto en fun ión de un onjunto nito de parámetros quepueden variarse (por ejemplo, un pórti o de longitud total dada y númerode vanos ono ido podría des ribirse en fun ión de los valores arbitrarioso variables de las lu es de los vanos), bien, en asos más generales, através de un onjunto de fun iones de ampo que des riben sus ara te-rísti as (por ejemplo, la lámina de hormigón que ubre un re into planodado ontenido en el plano horizontal OXY podría des ribirse a través dedos fun iones z(x, y) y e(x, y) que asignarían a ada punto de oordena-das (x, y) del re into la posi ión z y el espesor e de la lámina sobre di hopunto).Figura 6.2: Des rip ión paramétri a de solu ionesun método a ve es muy omplejo para des ribir el ampo de validez delas solu iones que pueden admitirse para el objeto en el primer ejemplo,las lu es han de sumar la longitud total, y en el segundo, los esfuerzos ombinados en la lámina han de ser menores a un ierto valor admisibleun método para obtener un valor un es alar que representa en unsolo número alguna ualidad importante del objeto la energía de defor-ma ión, el oste, el onsumo de re ursos no renovables, . . . Es evidenteque debe poder obtenerse tal valor en ualquiera de las solu iones admi-sibles omo fun ión de los valores que se asignen a los parámetros quedenen el objeto, fun ión de tantas variables omo parámetros. Enel aso de que los objetos se hallen des ritos no por parámetros variables,sino por fun iones arbitrarias, di ho valor será fun ión de las fun ionesestable idas, y por lo tanto estaremos hablando de un fun ional.Es on di hos elementos on los que se formula el problema de minimiza ión,que onsistirá en obtener el valor de las variables o de las expresiones paralas fun iones que des riben el objeto para el que se al anza el mínimo valoren el es alar elegido.

CAPÍTULO 6. TEORÍA DE PROYECTO 118En su forma más general un problema de minimiza ión puede plantearserigurosamente de la siguiente manera (gura entre paréntesis la deni ión apli- able a la minimiza ión de fun ionales): Se trata de hallar el onjunto de valores(de expresiones) que han de adoptar una serie de variables (de fun iones) x paraminimizar una ierta fun ión (un ierto fun ional) de di has variables (fun io-nes) f(x). Las variables (fun iones) deben satisfa er un onjunto de restri ioneso ligaduras des ritas por e ua iones h(x) = 0 o por ine ua iones g(x) ≥ 0.Se trata pues de hallar las x tales que

mınxf(x) x = (x1, . . . , xn), on

gj(x) ≥ 0 j = 1, . . . ,mhj(x) = 0 j = m+ 1, . . . , p(en el aso de fun ionales las ligaduras de las fun iones pueden estar restringidasa puntos o subdominios denidos).Las n variables (fun iones) in ógnita han de minimizar la fun ión objetivo(el fun ional objetivo) f sometidas a las p ligaduras g y h. Según sea n pequeñoo grande, y dependiendo de ual sea la omplejidad de las expresiones de f , gy h y sus derivadas, pueden ser de apli a ión métodos bastante diversos.Podemos suponer que ada solu ión posible puede representarse omo unpunto en un ierto espa io (véase la gura 6.3). En ese aso el problema impli arála búsqueda de un punto en el espa io de las solu iones, que en el aso deminimizar fun iones orresponde al espa io ndimensional de las variables, yen el aso de minimizar fun ionales orresponderá al espa io de dimensionesinnitas que englobe a la lase de fun iones a las que sea apli able el fun ional,restringiendo di ha búsqueda a la región de las solu iones a eptables es de ir,a la región del itado espa io delimitado por las restri iones g, bus ándose elpunto que, umpliendo las h, minimi e el objetivo f .

Una solu ión x = (x, y, z) para un problema de tres parámetros puede serrepresentada por un punto.Figura 6.3: Espa io de las solu ionesLos métodos apli ables pueden ser analíti os, numéri os, o pueden ombinarambos aspe tos. En este último aso el método numéri o se apli a a la resolu iónde una versión del problema original transformada por métodos analíti os.Los métodos analíti os permiten en algunos asos obtener solu iones ge-nerales para problemas sen illos, solu iones que, por su forma, des riben on laridad los aspe tos impli ados en la onse u ión del mínimo, al estable er latotalidad de las rela iones entre las diversas magnitudes en juego. Se trata delas solu iones preferibles en el aso de ser posibles.

CAPÍTULO 6. TEORÍA DE PROYECTO 119Los métodos numéri os permiten obtener solu iones parti ulares para pro-blemas on retos, si bien en la mayoría de los asos tales solu iones no permitenla extrapola ión de on lusiones a problemas nuevos o próximos al original. Lassolu iones numéri as tienen siempre un ierto grado de os uridad, tanto mayor uanto mayor es la omplejidad de las fun iones impli adas.En los asos en que pueden aunarse desarrollos analíti os on métodos nu-méri os, que son mu hos, se ombina el planteamiento analíti o de iertas ondi- iones abordando por esta vía el tratamiento de algunas de las planteadas en elproblema, on el re urso a métodos numéri os para la obten ión de una solu iónal onjunto de ondi iones. Los llamados riterios de optimidad5 orrespondena situa iones de este tipo, pues ombinan el desarrollo de las ondi iones que a-ra terizan al óptimo los riterios de optimidad, onstruidos usualmente pormétodos varia ionales, multipli adores de Lagrange, et ., on métodos numéri- os de aproxima ión métodos de olo a ión omo los de mínimos uadrados,et .. En todo aso di hos métodos exigen nalmente el empleo de pro edi-mientos numéri os para resolver los oe ientes que denen la aproxima ión.6.3.2. Métodos apli ables a problemas de minimiza ión defun ionesMétodo analíti oSe trata evidentemente del ál ulo diferen ial. El planteamiento es sobra-damente ono ido: aso de existir diferen iabilidad su iente, se ara teriza elóptimo el mínimo de la fun ión por orresponder a un punto de derivada(derivadas par iales) nula y derivada(s) segunda(s) re iente(s). Si pueden resol-verse las e ua iones resultantes de tales ondi iones satisfa iendo las ligadurasal mismo tiempo, la solu ión analíti a está onseguida.Se trata de una situa ión deseable, pero po o usual: no es habitual poderredu ir un problema omplejo real a esta situa ión, salvo mediando importan-tes simpli a iones, tanto por la omplejidad de las expresiones que permitenapuntar estima iones de la fun ión objetivo, omo por las importantes fuentesde singularidad matemáti a que suponen las restri iones en la mayor parte delos asos reales.Métodos numéri osConsideraremos sólo los métodos numéri os multivariables, pues minimizarproblemas de una sola variable es relativamente trivial, in luso en asos deimportantes irregularidades. Son métodos muy diversos, dependiendo de las re-la iones implí itas en la expresión denitiva de f .1. El aso más sen illo6 orresponde a la lase de problemas en que las fun io-nes f, g,h son fun iones lineales, de modo que la región de las solu iones5Optimality riteria.6En términos des riptivos aunque no ne esariamente en términos operativos omo muestrala larga historia trans urrida hasta nuestros días desde las primeras ideas de Kantorovi h(1930) y V. Neumann (1944) que permitieron a G. B. Dantzig la primera formula ión delmétodo simplex en programa ión lineal en 1947, uyas versiones a tuales siguen batiendo ene a ia en problemas reales a métodos más re ientes y teóri amente más e ientes omo eldel los elipsoides de L.G. Kha hiyan de 1979.

CAPÍTULO 6. TEORÍA DE PROYECTO 120a eptables queda delimitada por hiperplanos en el espa io de las solu io-nes, en el que dene un poliedro ndimensional. En esta región poliédri ael mínimo orresponde, bien a un vérti e de di ho poliedro si la solu iónes úni a, bien a una arista, una ara . . . si la solu ión es múltiple. Talesproblemas se tratan on los métodos de programa ión lineal, de los quetratan numerosos textos. Por enun iar en forma somera la familia de mé-todos más difundida, el método simplex, diremos que se trata de métodosque bus an la forma más ertera de avanzar por los vérti es del polie-dro partiendo de un ierto vérti e ini ial, de forma que en ada paso seproduz a una disminu ión en la fun ión objetivo. En efe to, Cuando son

Búsqueda del punto (x, y, z) que ha e f mínimo.Figura 6.4: Fun ión y restri iones linealeslineales, las ondi iones hj determinan (hiper)planos en el espa io de lassolu iones; las ondi iones gj determinan en éstos semiplanos, uya inter-se ión genera los polígonos (hiperpoliedros) que ontienen la región delas solu iones a eptables. Finalmente, la fun ión f genera líneas de nivelre tas (hiperplanos) y paralelas, por lo que el mínimo oin ide en general on un vérti e, omo se observa en la gura 6.42. En segundo lugar de di ultad estarían aquellos problemas que puedenredu irse a una forma ara terizada por las ondi iones siguientes: 1) noexisten las restri iones g, h, en general por haberse in luido en la fun- ión a minimizar y, 2) la fun ión objetivo resultante f es una forma uadráti a de las variables del problema redu ido. En tal aso la obten- ión del mínimo es inmediata. Para ello se obtiene el desarrollo en seriede Taylor de la fun ión f hasta su segundo término, y por tratarse de unaforma uadráti a, el desarrollo dará el valor exa to de la fun ión, de modoquef(x) = f(x0)+∇T f(x)|x=x0

(x−x0)+1

2(x−x0)

T∇∇T f(x)|x=x0(x−x0)

CAPÍTULO 6. TEORÍA DE PROYECTO 121dondexT = (x1, x2, . . . , xn),

∇T f(x) = (∂f

∂x1,∂f

∂x2, . . . ,

∂f

∂xn),

∇∇T f(x) =

∂2f∂x2

1

∂2f∂x1∂x2

. . . ∂2f∂x1∂xn

∂2f∂x2∂x1

∂2f∂x2

2

. . . ∂2f∂x2∂xn... ... . . . ...

∂2f∂xn∂x1

∂2f∂xn∂x2

. . . ∂2f∂x2

n

Obtener el mímimo exigirá que la derivada par ial de la fun ión respe tode ada variable sea nula, de modo que∇f(x) = ∇f(x)|x=x0

+∇∇T f(x)|x=x0(x− x0) = 0e ua ión que puede es ribirse en la forma

−∇f(x)|x=x0= ∇∇T f(x)|x=x0

(x− x0)que no es más que un sistema lineal de n e ua iones on n in ógnitas queresuelve el problema si se ono en en algún punto ini ial x0 los valores de∇f(x) gradiente de la fun ión f , también denominado ve tor de resi-duos7 y de ∇∇T f(x) matriz hessiana de f8. Nótese que tambiénpodría obtenerse el mínimo planteando omo ondi ión la anula ión delgradiente en el mínimo, ∇f(x) = 0, y resolviendo el sistema así obteni-do. Pero esto exige ono er el desarrollo de ∇f(x), mientras que para laapli a ión anterior basta ono er su valor en un punto ini ial, junto onel valor de ∇∇T f(x) en el mismo punto, que son problemas de solu iónusualmente más sen illa y sistemáti a.3. El siguiente grado de omplejidad orrespondería a los problemas de variasvariables sin ligaduras. Mu hos de los problemas on ligaduras pueden serredu idos a esta lase mediante el ade uado tratamiento de aquellas. Paraesta lase de problemas pueden usarse métodos que (1) exploren f dire -tamente métodos de búsqueda dire ta y métodos que (2) aprove henen la búsqueda el ono imiento de las derivadas de f .Entre los primeros tendríamos métodos que realizan la búsqueda on pro- edimientos basados en símiles de pro esos naturales de ará ter deter-minista, omo el método de NelderMead ono ido originalmente omosimplex, aunque reseñado en textos re ientes omo método de búsquedamultidire ional para evitar la onfusión on el método de igual nombreen problemas de programa ión lineal o de ará ter probabilista, omo7La denomina ión pro ede del ontexto de los métodos de análisis aproximado. En análisisde estru turas el fun ional es la energía poten ial total y los parámetros variables son losdesplazamientos de unos iertos nodos, de modo que para ada estado posible de la estru tura,la derivada de la energía respe to de di hos desplazamientos los residuos no es más que elve tor de arga no equilibrada, o residual en di ho estado, diferen ia entre las argas apli adasy la respuesta de la estru tura.8Matriz que en análisis de estru turas orresponde a la matriz de rigidez tangentepues en ada estado de desplazamiento de la estru tura, ontiene la derivada de las fuerzas dela estru tura sobre los nudos respe to de los movimientos, es de ir, la rigidez de la estru tura.

CAPÍTULO 6. TEORÍA DE PROYECTO 122son el re o ido simulado o los algoritmos genéti os. En el primero de ellosel símil es el de un objeto de tamaño variable rodando valle abajo en elespa io ndimensional del problema, y adoptando dimensiones grandes uando el des enso es rápido, lo que le permite salvar pequeños mínimoslo ales. Las dimensiones del objeto se redu en uando no se logran mejo-ras, para poder al anzar el fondo de fosos estre hos. El re o ido simulado9emula pro esos termodinámi os en los que se al anzan ongura iones demínima energía, omo en metales que solidi an, en los que a altas tempe-raturas las ongura iones mole ulares tienen bastante libertad y desordenpero en los que, a medida que disminuye la temperatura, si lo ha e lenta-mente, el sistema adopta las ongura iones ordenadas de menor energía,que son pre isamente las de mayor probabilidad. De este modo se onstru-yen pro esos esto ásti os que simulan la evolu ión en la probabilidad detransi ión de una ongura ión a otra según des iende la temperatura delsistema. Siempre se a eptan transi iones a situa iones de menor valor enla fun ión objetivo, pero a altas temperaturas la probabilidad de a eptaruna transi ión en la que la fun ión objetivo aumenta es relativamente al-ta, redu iéndose di ha probabilidad según des iende la temperatura. Estopermite al algoritmo explorar ini ialmente amplias regiones del espa io delas solu iones, adoptando por tanto situa iones globalmente más adapta-das para al anzar los mínimos globales uando la temperatura des iende.El algoritmo genéti o emula la evolu ión de genera iones su esivas de unapobla ión en la que la apa idad de superviven ia y reprodu ión de a-da individuo está aso iada a su mejor adapta ión al mejor valor dela fun ión obtenida on sus propiedades individuales y en las que las ualidades de distintos individuos se ruzan para la genera ión siguiente,obteniéndose de este modo grupos de pobla ión de ualidades semejantesagrupados en torno a propiedades omunes que orresponden a mínimosde la fun ión.Entre los segundos tendríamos los métodos de explora ión orientada porel gradiente de f línea de máxima pendiente, gradiente onjugado . . .y los orientados por las primeras y segundas derivadas de f . El método deNewton o de NewtonRaphson, en sus diferentes modi a iones apli a deforma iterativa e in remental en mu hos asos el segundo de los pro- edimientos numéri os itados en este apartado. Son métodos apli ablesen situa iones en los que la fun ión explorada varía de forma relativamentesuave.Los métodos uasi newtonianos apli an idénti o pro eso empleando apro-xima iones de la matriz Hessiana ∇∇T f , o de su inversa, aproxima io-nes que se obtienen en ada aso por pro edimientos re ursivos diversos.Un repaso a las diversas rela iones re ursivas utilizables puede verse en[Himmelblau, 1971.4. Los problemas más omplejos son aquellos dependientes de varias variables on ondi iones de ligadura. Estas son origen de una importante omple-jidad, parti ularmente en el aso de las representadas por desigualdades,que impli an dis ontinuidades.9Una magní a exposi ión de su fundamenta ión y sus ejemplos típi os de apli a ión,así omo una ex ep ional explora ión de sus posibilidades en la optimiza ión de estru turas puedeen ontrarse en [Vázquez, 1994.

CAPÍTULO 6. TEORÍA DE PROYECTO 123Los métodos apli ables son de muy diverso tipo. Cabe itar omo lási oslos que emplean riterios de optimidad, el método SUMT10, los derivadosde la teoría del ontrol [Carmi hael, 1981, o los métodos de explora ión ombinatoria on restri ión sobre el árbol de búsqueda, propios de laInteligen ia Arti ial.Por su interés des ribimos los dos primeros on más detalle.En el primero de los asos, para determinar los riterios de optimidad, elproblema ini ial

mınx f(x) x = (x1, . . . , xn)gj(x) ≤ 0 j = 1, . . . ,mhj(x) = 0 j = m+ 1, . . . , pse transforma utilizando variables de holgura Yj de modo que las ondi io-nes de ligadura ini ialmente denidas por desigualdades queden des ritassiempre en términos de igualdades

gj(x) + Y 2j = 0 j = 1, . . . ,mes ribiéndose enton es

L(x, λj , Yj) = f(x) +

p∑

j=1

λj [gj(x) + Y 2j ]donde λj son los multipli adores de Lagrange orrespondientes a ada unade las ligaduras del problema, y donde se identi a gj(x) ≡ hj(x), Yj ≡

0 para j = m+ 1, . . . p. Di hos multipli adores pueden interpretarse omogradientes de la fun ión objetivo en dire iones ortogonales a las barrerasestable idas por las restri iones denidas por las desigualdades, y en lasinterpreta iones duales que pueden estable erse en tales problemas apor-tan usualmente interesantes puntos de vista sobre éstos.Los riterios que determinan el mínimo lo al derivados del Cál uloDiferen ial son∂L

∂x= ∇f(x) +

p∑

j=1

λj∇gj(x) = 0 (i)∂L

∂λj= gj(x) + Y 2

j = 0

∂L

∂Yj= 2λiYj = 0De este modo, para un estado en que una ierta restri ión es a tiva, lavariable de holgura es en ese aso nula, y por lo tanto Yj = 0, gj = 0,debiendo ser en tal aso λj ≥ 0, puesto que al tratarse de un mínimodebe ser ∂2L

∂Y 2

j

= 2λi ≥ 0. En estados en que, por el ontrario, una iertarestri ión no es a tiva o es pasiva, Yj 6= 0, y λj = 0 de modo que lasdos últimas ondi iones pueden rees ribirse en la formaλj ≥ 0, λjgj = 0.10[Fia o and M Cormi k, 1968

CAPÍTULO 6. TEORÍA DE PROYECTO 124Estas e ua iones, junto on la (i), onstituyen los riterios de optimidadapli ables a los problemas abar ados por los teoremas de KarushKuhnTu ker (KKT). La primera ondi ión estable e que en el óptimo, el gra-diente de la fun ión objetivo se halla ontenido en el ono de las normalesa la super ie que delimita la región a eptable. Si todas las restri ionesson a tivas simultáneamente, se obtiene un sistema de n + p e ua iones, on las n+ p in ógnitas xi, λj , a saber∂L

∂x= ∇f(x) +

p∑

j=1

λj∇gj(x) = 0

gj = 0El segundo de los métodos reseñados, SUMTabreviatura de la expresiónSequential Un onstrained Minimization Te hnique onsiste en onvertirel problema original on ligaduras en una se uen ia de problemas sin li-gaduras, deniendo omo fun ión objetivo una fun ión P , generada en laforma siguiente existen versiones alternativas:P (x, rk) = f(x) + rk

m∑

j=1

1

gj(x)+ r

−1/2k

p∑

j=m+1

h2j(x)En di ha expresión los rk son oe ientes de penaliza ión que toman su e-sivamente valores de re ientes que tienden a 0, y los términos en que éstosintervienen se denominan fun iones de penaliza ión. Existen versiones pa-re idas, que utilizan otras expresiones para las fun iones de penaliza ión.En el texto itado arriba, y en [Rao, 1978 gura el análisis de la onver-gen ia del método.El método supone en ierto modo una té ni a de regulariza ión o de suavi-za ión de las dis ontinuidades derivadas de la existen ia de ine ua iones,y omo tal es de apli a ión posible en di has situa iones. Permite ade-más que en la búsqueda del óptimo se exploren regiones no a eptables onla ventaja de fa ilitar el a er amiento al óptimo global más rápidamente uando las restri iones lo sitúan en una región po o a esible del espa iode búsqueda.La des rip ión de los métodos de explora ión ombinatoria, y las diversasté ni as empleadas para limitar la explosión ombinatoria en tales méto-dos es tarea que desborda los objetivos de este apartado. Baste señalar quese trata de métodos próximos o que emplean sistemáti amente té ni as dela denominada Inteligen ia Arti ial. En estos métodos la explora ión serealiza avanzando paso a paso a partir de algún estado a eptable ini ial, ymodi ando su esivamente el estado los valores de las variables me-diante reglas de ambio de estado más o menos inteligentes, y manteniendoun registro de los pasos realizados así omo una medida de la bondad de ada estado al anzado, de modo que, si la explora ión lleva a un aminosin salida, se produ e un retro eso al mejor estado alternativo al que seutilizó para ini iar tal amino. La explora ión se reanuda a partir de di hoestado, y la búsqueda se termina uando se satisfa e un ierto riterio de onvergen ia.

CAPÍTULO 6. TEORÍA DE PROYECTO 1256.3.3. Métodos apli ables a problemas de minimiza ión defun ionalesMétodo analíti oDebe emplearse el aparato del ál ulo varia ional. La teoría demuestra que,si hay diferen iabilidad su iente, un mínimo en un fun ional impli a que el gra-diente del fun ional para la fun ión (fun iones) orrespondientes al mínimo hade ser nulo, o lo que es lo mismo, que el diferen ial del fun ional en el mínimo esnulo para varia iones en ualesquiera dire iones en que puedan ser modi adaslas fun iones que veri an di ho mínimo. Por lo tanto la varia ión del fun ionales nula para ualesquiera varia iones admisibles en tales fun iones. De este modoqueda ara terizado el mínimo, y pueden ser apli ables diversos métodos analí-ti os a la obten ión de la solu ión, siendo el más lási o el pro edimiento basadoen resolver las e ua iones diferen iales que expresan las ondi iones del mínimoen forma lo al las e ua iones de equilibrio para el aso de bus arse el mínimoen la energía poten ial de un sistema estru tural, por poner un ejemplo. Estasse denominan E ua iones de Euler del problema, y su integra ión, aso de serposible para las ligaduras del problema, lo resuelve. No es éste lamentablementeel aso de los problemas usuales.Métodos numéri osEn este aso se trata de obtener la representa ión numéri a aproximadade las fun iones bus adas. Para ello es pre iso previamente restringir el espa iode búsqueda que omprende en prin ipio la lase de todas las fun iones a quees apli able el fun ional a un subespa io del mismo en el que quepa suponerexista una fun ión su ientemente próxima a la solu ión que aproxima. Es útilel empleo de subespa ios ve toriales del espa io de búsqueda, subespa ios en losque todas las fun iones ontenidas puedan expresarse omo ombina ión linealde un número nito de ellas que onstituyen una base del mismo En este aso la búsqueda se apli ará a la determina ión de los oe ientes de la om-bina ión que orresponde a la mejor aproxima ión. De este modo el problema onsta de tres partes, a saber,1. sele ionar el subespa io de búsqueda o lo que es lo mismo, sele ionarlas fun iones que forman la base del mismo,2. formular las ondi iones que propor ionan la mejor aproxima ión a la so-lu ión en di ho subespa io, y3. determinar los oe ientes numéri os que orresponden a tales ondi io-nes.Aunque se omprende que los tres aspe tos se hallan fuertemente rela ionadosdependiendo del tipo de problema, es fá il ver que solventar los dos primeros sig-ni a transformar el problema original en un problema de minimiza ión de unafun ión de varias variables que serán los oe ientes numéri os bus ados,por lo que la última parte puede ser abordada por ualquiera de los pro edi-mientos des ritos en el apartado anterior.La sele ión de las fun iones base del subespa io de búsqueda, las fun ionesde forma, es el primero de los problemas. Estas pueden hallarse denidas de

CAPÍTULO 6. TEORÍA DE PROYECTO 126

z ≈∑ aifi, on fun iones f denidas en todo el dominio (1), o denidas porsubdominios (2).Figura 6.5: Fun iones de forma lo ales o globalesforma ompleta en todo el dominio del problema, o bien estar sólo denidas porsubdominios. Una vez elegidas, es usual plantear omo ondi iones de la mejoraproxima ión aquellas que ha en mínimo el error de la misma, es de ir, las queminimizan la distan ia entre el resultado aproximado y la solu ión. De este mo-do se llega on naturalidad a la idea de los residuos ponderados, que onsistenen integrar el error ometido en ada punto del dominio, ponderándolo mediantepro edimientos diversos: mínimos uadrados, mediante las mismas fun iones queforman la base del subespa io de búsqueda, olo a ión por puntos, et ., pro edi-mientos que desembo an, según los asos, en métodos omo el de los elementosnitos fun iones de forma denidas por subdominios que se emplean igual-mente para la pondera ión, las diferen ias nitas olo a ión por puntos,et . Un mayor grado de detalle requriría una extensión inapropiada para losobjetivos de inventario de este texto, por lo que no se desarrolla ulteriormenteesta exposi ión. Un mayor desarrollo puede en ontrarse en [Zienkiewi z, 1980.6.3.4. Métodos a utilizar en el desarrollo de una teoría deproye toExiste un gran número de herramientas apli ables a los problemas de optimi-za ión. Sin embargo mu has de ellas son totalmente inapli ables a los objetivosdes ritos: se trata aquí no sólo de determinar las mejores solu iones, sino ademásde medir la bondad de ésta según nos apartamos del óptimo, de modo que pue-dan onsiderarse las onse uen ias de de isiones que, aun alejando el diseño delos óptimos puramente estru turales, pueden ser bene iosas desde ualquierade los otros puntos de vista que ha de onsiderar el arquite to11. Pero además,tal y omo se planteó al presentar los objetivos de di ha teoría, las herramientaselegidas han de servir de base para la evalua ión de las estru turas onsideradasen la propia explora ión geométri a de las mismas.11Y ello no se resuelve tampo o probablemente mediante omplejos análisis de sensibilidad(sensitivity) en los entornos del óptimo.

CAPÍTULO 6. TEORÍA DE PROYECTO 127Desde esta perspe tiva, es laro que los métodos analíti os pueden aportarherramientas de reexión apropiadas a los objetivos propuestos, y que seránpor tanto los más apropiados a éstos, a ambio de simpli ar en buena medidalos problemas a abordar. Ahora bien, de entre los métodos numéri os des ritos,también el más trivial de todos ellos la explora ión numéri a de ampos devalores admisibles, mediante la realiza ión de tablas. . . puede aportar infor-ma ión apaz de ser interiorizada y empleada en la rea ión de reglas de diseño.En este texto se emplean bási amente los dos últimos métodos itados en lamedida en que puedan ser útiles, y de manejo sen illo, mientras que, al ontrario,no se ha e empleo de los métodos numéri os más generales. Pues si bien éstospueden ser utilizados más que prove hosamente en las tareas de investiga ión dela teoría, en la medida en que solu iones parti ulares a ole iones de problemaspueden aportar luz sobre uestiones más generales, son métodos que sin embargono pueden tener un papel relevante en ella dada su es asa apa idad expli ativa.De los métodos apli ables, el analíti o apli ado a la realiza ión de análisisgenéri os de estru turas orrespondientes a tipos predenidos es on mu ho el demayor apa idad expli ativa y, por tanto es el que onsideramos a ontinua ión.6.4. Análisis genéri o. Tipos, formas y paráme-tros6.4.1. El análisis omo herramienta de la teoría de pro-ye toEl empleo del análisis omo herramienta de la teoría del proye to ha sidopre edido por una larga historia, en la que ha desplazado a pro edimientos másintuitivos o experimentales.Si repasamos los métodos de proye to a lo largo de la historia, podemosre onstruir un pro eso que se ini ia en los pro edimientos de prueba y error em-pleados ole tivamente en la deni ión de tipos onven ionales de onstru ión.Tales tipos onven ionales darían paso a reglas geométri as de diseño, usual-mente de tipo propor ional, en las que se expresaba la experien ia a umulada.Cabe señalar que el éxito de las reglas de propor ión está basado en el omporta-miento verdaderamente propor ional de mu hos de los problemas más importan-tes de los onstru tores antiguos, omo es el de la estabilidad de las bóvedas. Laimportan ia re iente de problemas no propor ionales en torres o bar os, porejemplo, unida al ra ionalismo gestado en el Rena imiento, fueron las basesde la feroz ríti a al empleo de las reglas de propor ionalidad que ini ió Galileo[Galileo, 1638. Di ha ríti a no sería posteriormente ajena al desarrollo de nue-vas ramas de la Matemáti a, que, en detrimento de la Geometría, favore eríandes rip iones ada vez más abstra tas de los fenómenos del omportamientome áni o de las onstru iones. Y así, mientras el uso de los materiales tradi io-nales mantenía la prá ti a de formular y emplear reglas de propor ión, que semantuvieron pese al in ipiente desarrollo de la teoría de la resisten ia de mate-riales ini iado por Galileo, durante más de dos siglos después de su arranque, eldesarrollo del análisis matemáti o preparó la liquida ión de este pro eder, quese produjo violentamente on la apari ión y el desarrollo de los materiales dela revolu ión industrial. En efe to, a di hos materiales habrían de orresponder

CAPÍTULO 6. TEORÍA DE PROYECTO 128propor iones radi almente nuevas que, sin embargo, nun a serían exploradas,dado el des rédito teóri o a que Galileo las sometió.Sin embargo no puede despre iarse di ho enfoque, omo demuestran no sólola validez de las reglas antiguas de onstru ión, o en otros ampos de la físi aen los que las rela iones omplejas de propor ión que pueden dedu irse on lasté ni as del análisis dimensional han demostrado su utilidad. De he ho abede ir que ualquier teoría físi a debe basarse en algún sistema de medida, ytodo sistema de este tipo no puede basarse más que en propor iones entre lamagnitud efe tivamente medida y la empleada omo unidad. Una ade uadaele ión de la magnitudes a onsiderar, y de las unidades empleadas puede serextremadamente e iente en la presenta ión de di hos problemas en formatosque hagan fá ilmente per ibible la evolu ión geométri a de las solu iones, almodo que lo ha ían las reglas de propor ión para a otar las solu iones posibles.Di ho formato es tanto más fá il de estable er uanto más próximos se en- uentran los problemas tratados, por lo que puede omprenderse que el desa-rrollo del método propuesto, la apli a ión de las té ni as del análisis a modelosgenéri os para obtener on lusiones también generales, a onseja estable er una lasi a ión de tipos denidos por el uso.6.4.2. Tipos estru turales según el usoOptar por una lasi a ión de las estru turas en fun ión del uso a que sedestinan es mejor desde el punto de vista del proye to que otras en que eltipo se dene por sus ara terísti as geométri as o me áni as en la medida enque por un lado permite omparar estru turas dispares en ompeten ia y porotro resultan mu ho más laramente denidos los ondi ionantes externos a laestru tura. Otras lasi a iones tipológi as lási as, si bien menos ade uadas alplanteamiento propuesto quedan re ogidas en las guras ontiguas. Se tratan de lasi a iones estable idas on riterios de análisis estru tural que omo hemosvisto es una importante herramienta en el proye to, pero herramienta, para unaa tividad uyo propósito es otro más er ano a las presta iones requeridas desdeel uso que a los requisitos meramente analíti os.1: Lineales. 2: Super iales. 3: Masivas.Figura 6.6: Tipos según familias de ortes ne esarias para el análisisEn general vamos a manejar omo tipos diferen iados, de a uerdo a la gura6.8, los siguientes:1. Estru turas de pisos.

CAPÍTULO 6. TEORÍA DE PROYECTO 129Soporte Hilo Membrana LajaViga Ar o Lámina LosaPla aFigura 6.7: Tipos según omportamiento estru tural2. Estru turas de ubierta.3. Estru turas que unen dos puntos (Puentes).4. Estru turas que sitúan un punto (o un elemento) en el espa io.5. Estru turas de onten ión de materiales disgregados.

Figura 6.8: Tipos según usoEl primer tipo estru tural abar a la mayor parte de la produ ión usual, yestá fuertemente ondi ionado por tener que mantener super ies de planos rígi-dos paralelos y de relativamente pequeño espesor. Se trata de un ondi ionantemuy fuerte para una estru tura, ya que en la mayoría de los asos su geometríano vendrá di tada por requisitos puramente estru turales, sino por razones deluso o la estéti a del proye to. La ontrapartida a estas fuertes limita iones en elproye to es que pueden denirse estas estru turas on muy po os parámetros, yen onse uen ia pueden estable erse, omo veremos más adelante, riterios muypre isos sobre las rela iones existentes entre los valores de los parámetros quedenen la estru tura y el onsumo de material. Este tipo estru tural permite,en mayor medida que los otros, presentar el problema estru tural on indepen-den ia de la solu ión adoptada. Ello orresponde más a un problema lási o de ál ulo, y fa ilita la resolu ión del mismo.En orden re iente en los siguientes tres tipos, la solu ión adoptada inuyeen las a iones sobre la estru tura, produ iéndose una ierta polariza ión desolu iones que no son tan fá ilmente omparables entre sí. El último tipo, pesea su interés prá ti o que queda de maniesto en ser uno de los destinatarios devarias de las reglas lási as de propor ión, no tiene sin embargo ex esivo interésdesde la perspe tiva arquite tóni a.

CAPÍTULO 6. TEORÍA DE PROYECTO 130Pero es desde esta perspe tiva desde la que la segunda familia, la de lasestru turas de ubierta, al anza su máximo interés. Pues efe tivamente las u-biertas de los edi ios singulares in orporan en un sólo objeto, uyas ualidadesfísi as se determinan en buena medida en base a los requisitos estru turales, unbuen úmulo de roles arquite tóni os añadidos, entre los que el ará ter sim-bóli o del edi io o área que ubren juega un importante papel. Desde estaperspe tiva, la explora ión sobre la apa idad que la forma aporta al omporta-miento de la estru tura en las ubiertas es del máximo interés, no sólo para lateoría del proye to de estru turas sin también para la ríti a arquite tóni a másgeneral. Pues efe tivamente la forma no sólo estará en la base de la estabilidadde la estru tura sino que o upará un papel entral en la signi a ión del espa io ontruido, uno de uyos aspe tos bási os es su propia estabilidad estru tural, onviertiendo por ello a la estru tura no sólo en la responsable de la estabilidad,sino en signo explí ito de ésta, en instrumento privilegiado para ha er per ibirla rmitas al observador.Cono er, por tanto, las ualidades de la forma, relativamente libre, que seaso ian a las solu iones de ubierta se onvierte en un elemento de extremadointerés, al ser sus eptible de aportar mayor riqueza a la reexión arquite tóni aligada al proye to.6.5. La medida del onsumo en estru turaEn su deni ión más sen illa, una estru tura es el vehí ulo material quepermite estable er un sistema de fuerzas en equilibrio, que permite poner en omuni a ión entre sí di has fuerzas. Éstas serán las argas derivadas del uso,in luyendo las orrespondientes al peso propio de la estru tura, que deben equi-librarse on las rea iones del terreno.Las distintas alternativas que materiali en el equilibrio estable presentarándistintos onsumos de material. Podemos ini ialmente on ebir ongura ionesestru turales on ierta independen ia respe to del material a emplear, perosin embargo es evidente que la forma será determinante en su onsumo. Enel próximo apítulo se tratará de estable er las magnitudes que gobiernan el onsumo de material estru tural, así omo prin ipios que permitan minimizaréste.Es inevitable referirse aquí a la rela ión entre los diferentes objetivos de mi-nimiza ión que pueden onsiderarse: empleo de la menor antidad de material,o alternativamente onse u ión del oste mínimo, y mejor aún, onse u ión del onsumo mínimo en produ tos no renovables, onsumo mínimo en energía, et .medidas que no sólo no son equivalentes, sino que in luso no son onmensura-bles entre sí. El objetivo ra ional es estable er omo base de minimiza ión elmínimo onsumo de materiales y energías no renovables, y un oste propor io-nado en esfuerzo humano; pero omo paso par ial ha ia di ho objetivo puedeestable eerse omo inten ión ini ial del análisis la búsqueda de las ondi ionesque redu en los onsumos de material. Mejor aún, en la medida en que puedenestable erse las ara terísti as de la estru tura in luso de onsumo o de in-versión material ne esaria en ella on relativa independen ia de las ualidades on retas del material que en ella se emplee, o on más pre isión, aso iadassólo a parámetros genéri os de deni ión del material una parte sustan ial dela reexión deberá dedi arse a la búsqueda de las ondi iones que redu en la

CAPÍTULO 6. TEORÍA DE PROYECTO 131magnitud de la estru tura prevista, abstraída de las ara terísti as del material on reto a emplear en ella. Debiendo realizarse aparte, e independientemente,la reexión sobre las inversiones relativas requeridas por ada solu ión materialpara las solu iones estru turales estudiadas, y minimizadas si ha lugar.En general, si todos los puntos de un elemento estru tural se en uentrantrabajando a la misma máxima tensión, se obtiene una mayor e ien iaen el empleo del material. Siempre que estemos en ondi iones de organizaruna estru tura a base de elementos omprimidos o tra ionados, estaremos en ondi iones de a er arnos a un bajo onsumo de material. Por el ontrario,y aparte de las onsidera iones explí itas que realizaremos más adelante parala exión, ésta da lugar a tensiones variables en la se ión, y por lo tanto aaprove hamientos de ientes del material.En piezas de hormigón o a ero soli itadas en exión, las tensiones de tra ióny ompresión se en uentran muy on entradas, siendo fá ilmente sustituiblessin ometer gran error por resultantes situadas a una distan ia z, denominadabrazo (de palan a). En otros materiales madera puede ha erse algo pare ido:basta situar las resultantes en su posi ión en el bloque de tensiones el entro degravedad de éste, si bien en este aso no existe ni on entra ión ni uniformidadde tensiones.En la medida en que siempre podemos tradu ir el omportamiento de unaestru tura a una serie de re orridos de fuerzas según las dire tri es de los elemen-tos más adelante veremos on detalle ada aso, una ex elente magnitudapropiada para medir estru turas en los asos en que éstas están onstituidas porbarras sometidas a tra ión o ompresión será∑ |F |l, que mide simultáneamen-te fuerzas y re orridos. Se trata de una magnitud es alar a la que denominamos antidad de estru tura pues omo veremos existe una rela ión inmediata entretal magnitud y el volumen de material onsumido en la estru tura12.Figura 6.9: Consumo en estru tura

12El ejemplo de la gura 6.9 re uerda vivamente la deni ión que Des artes maneja de fuerza omo base de su on ep ión de la estáti a on epto equivalente a nuestro a tual on eptode trabajo en arta a Mersenne de 12 de Sept. de 1938, itada en [Duhem, 1905, en la quearma que la misma fuerza que puede levantar un peso, por ejemplo de 100 libras a unaaltura de dos pies puede también levantar uno de dos ientas libras a la altura de un pie.

Capítulo 7Cantidad de estru turaHemos estable ido en el apítulo anterior la ne esidad de medir la inversiónrealizada en estru tura omo modo de ara terizar y omparar la bondad deéstas, y hemos presentado una magnitud para ello que reúne magní as uali-dades. Las ualidades no son sólo estéti as se mide en términos de trabajo oenergía, que es una de las magnitudes de más poten ial teóri o ni prá ti asveremos que está íntimamente ligada a los volúmenes y pesos estru turalesSe trata de una magnitud uyas propiedades, y uya independen ia respe to delmaterial onsiderado, la ha en idónea para una explora ión abstra ta sobre laspropiedades estru turales ligadas a la forma.En este apítulo se analizan las propiedades fundamentales de di ha magni-tud.7.1. Deni iones y estima ión7.1.1. Deni iones bási asVamos a pre isar el lenguaje ne esario para estable er los prin ipios bási os.En primer lugar denominamos Problema de Maxwell al que onsiste endenir una estru tura apaz de poner en equilibrio entre sí a las fuerzas de unsistema en el que tanto la posi ión omo la magnitud de las mismas están de-nidas. En di ho problema es evidente que la resultante y el momento resultantede todas las fuerzas es nulo pues de otro modo el equilibrio no es posible. La fun- ión de la estru tura será one tar di has fuerzas entre sí, onstituir la ligazónfísi a que permita materializar tal equilibrio.Di ho sistema in luye, tal omo está formulado el problema, todas las fuerzasexternas del mismo, tanto a iones omo rea iones.Se trata de un problema teóri o en la medida en que la existen ia y la formade la estru tura tienen una inuen ia onsiderable en la magnitud y posi iónde tales fuerzas y ello sin onsiderar que mu has de ellas son imprevisibles,por más que existan formas onven ionales normadas de onsiderarlas. Sinembargo es posible en tipologías dadas de estru turas a otar las fuerzas a quese somete a la estru tura, por lo que puede en éstas plantearse uno o variosProblemas de Maxwell que ara teri en su omportamiento.Llamaremos Estru tura de Maxwell a la estru tura que resuelve un Pro-blema de Maxwell y que umple la ondi ión siguiente:132

CAPÍTULO 7. CANTIDAD DE ESTRUCTURA 133- Está onstituida por elementos que trabajan uniaxialmente, en tra ión o ompresión.Llamamos nalmente Estru tura estri ta a toda estru tura de Maxwelltal que:- En todo punto de la estru tura el dimensionado es estri to, es de ir, sila estru tura está realizada on un material dado, en todas las se iones de lamisma el material se halla sometido a la máxima tensión ompatible on laseguridad σ de servi io en todos los puntos1.Se trata nuevamente de estru turas teóri as, en la medida en que en la reali-dad no es usual umplir di hos requisitos: Los diseños no son estri tos tanto porrazones derivadas de la ne esidad de rigidez deforma iones limitadas, estabi-lidad,. . . omo por razones onstru tivas dimensionados mediante se ión onstante,. . ..Las piezas en exión no en ajan on fa ilidad en la des rip ión, pues man-tienen tensiones variables en la se ión, mu hos de uyos puntos se en uentransometidos a estados planos no uniaxiales,. . . Existen sin embargo estru turas enexión en que sí puede ha erse las estru turas trianguladas, y puede inten-tar modelarse la pieza ontinua mediante on eptos aso iados a alguna de di hasestru turas, on las salvedades que sean ne esarias, por ejemplo emulando losestados biaxiales de ortadura por una doble familia de estados de tra ión y ompresión.Existen estru turas y omponentes estru turales que basan su omporta-miento en estados bi o triaxiales. Sin embargo forman una familia que suponeun por entaje muy limitado del total de estru turas onstruidas, y a menudo eluso de materiales heterogéneos lleva a trabajar en ellas on estados uniaxialespese al global de la estru tura: piénsese en los armados en pla as o láminasde hormigón, que suponen un importante omponente estru tural sometido atra ión o ompresión en algunos asos uniaxial. Piénsese igualmente quelas mayor parte de las solu iones a tuales de estru turas on omportamien-to global super ial están de he ho onstruidas on mallas de barras aisladastriangulando super ies o tetraedrando volúmenes.En estas ondi iones podemos denir un importante on epto, aso iado engran medida al volumen y al oste de la estru tura:Cantidad de estru tura, W es la integral extendida a toda la estru turade los produ tos |N | ds siendoN el esfuerzo axial en la se ión y ds el elementolongitudinal de pieza en el punto onsiderado.W =

∫

|N | ds (7.1)Se entiende que han de onsiderarse valores absolutos para |N | de modo quese obtengan valores positivos tanto si se trata de tra ión omo si es ompresión. 1Una estru tura podría estar denida on tensión σ onstante, menor que la resisten ia delmaterial, σ < f , por ejemplo, por ne esidades de limita ión de la deforma ión,. . . , pero en tal aso no la onsideramos estru tura estri ta.

CAPÍTULO 7. CANTIDAD DE ESTRUCTURA 134

Figura 7.1: Cantidad de estru tura7.1.2. Rela ión on otras magnitudesCantidad de estru tura y volumenLa antidad de estru tura es una medida del volumen de la estru tura queno se halla aso iada al material utilizado, siendo propor ional al volumen enestru turas estri tas.En efe to, sea un material de omportamiento simétri o en tra ión y om-presión uya tensión de trabajo sea σ. Para una estru tura estri ta, en todase ión el área seráA =

|N |σy el elemento de volumen

dV = Ads,de modo que el volumen de la estru tura seráV =

∫

Ads =

∫ |N |σ

ds =W

σ(7.2)tanto si admitimos σ onstante, omo si onsideramos en la expresión su valormedio ponderado.Si se trata de una estru tura de barras la itada magnitud es la suma paratodas las barras del produ to esfuerzo por longitud de la barra. Se trata deuna magnitud on dimensiones de trabajo, y es una mejor medida teóri a dela antidad de estru tura que se invierte en resolver un problema dado que elvolumen, en la medida en que no depende del material empleado en la estru tura.De este modo en una Estru tura Estri ta el volumen de la estru tura esdire tamente la antidad de estru tura dividida por la Tensión deservi io.Si no es posible asegurar idénti a tensión en todos los puntos, el volumenserá mayor que di ho o iente, pero estará gobernado por la magnitud W .

V =

∫

dW

σ, σ variable. (7.3)Veremos más adelante que en el aso de una estru tura formada, bien pormateriales diferentes en ompresión o tra ión, bien por un material de ompor-tamiento no simétri o en ambos estados, siendo σt y σc las tensiones en servi io

CAPÍTULO 7. CANTIDAD DE ESTRUCTURA 135en tra ión y ompresión, el Volumen de la Estru tura V es una fun ión lineal re iente de W . En todo aso, basta aquí realizar las sumas por separado paratra ión y ompresión, y evaluar independientemente los volúmenes y ostos delas dos partes de la estru tura.Una expresión muy próxima a la anterior, y empleada a menudo es, omoseñala Vázquez en [Vázquez, 1994, la de volumen estru tural W . La inter-preta ión preferible para di ho término es la que la rela iona dire tamente onel produ to del volumen de la estru tura on la tensión de trabajo del mate-rial: W = σV = σ∫

dWσ ≥ W . La antidad de estru tura es, por tanto, una ota inferior al volumen estru tural que, omo aquella, no depende del materialempleado, sino sólo de la ley que en ada punto aso ia la tensión efe tivamen-te existente on la tensión de trabajo del material. El o iente entre ambasmagnitudes W/W es una medida de la e ien ia en el aprove hamiento de laresisten ia del material empleado. Di ha medida, sin embargo es po o o nadarepresentativa de las ualidades de e ien ia global de la solu ión.Cantidad de estru tura y peso propioSi denominamos ρ al peso espe í o del material empleado, podemos obtenerel peso de la estru tura a partir del volumen:

P = ρV = ρWσexpresión que es más usual es ribir en la forma

P =Wσ/ρ

(7.4)pues efe tivamente, la magnitud σ/ρ es una ualidad del material ru ial en lasolu ión de los problemas de peso propio, que tiene unidades de longitud. Estaúltima ualidad la ha e muy apropiada para ara terizar los materiales, omoveremos más adelante.Minimizar W signi a minimizar el onsumo de material, lo que no signi ane esariamente minimizar el oste, ya que no existe propor ionalidad dire taentre onsumo de material y oste, bien por la omplejidad de la estru tura,bien porque tra iones y ompresiones puedan realizarse on materiales de ostesdiferentes y de distinta forma de utiliza ión.7.1.3. Cantidad de estru tura tra ionada y omprimidaPueden llamarse N+ y N− a las soli ita iones de tra ión y ompresiónrespe tivamente en valores absolutos de modo que la antidad de estru turatotal in luirá ambas:W+ =

∫

|N+| ds, W− =

∫

|N−| ds,

W =

∫

|N | ds =

∫

+

N+ds+

∫

−|N−|, ds = W+ +W−La distin ión es importante no sólo por el evidente distinto omportamientode ambas partes de la estru tura, que permite empleo de materiales diferentes,

CAPÍTULO 7. CANTIDAD DE ESTRUCTURA 136o que impli a onsidera iones parti ulares para el aso de las ompresiones en uestiones de estabilidad: vamos a ver que la rela ión entre ambas magnitudespermite realizar arma iones muy generales sobre las estru turas que ompitenpara resolver el mismo problema.Número de MaxwellDenominamos número de Maxwell a la integralM =

∫

N ds.Obsérvese que ahora usamos el valor del esfuerzo on su signo (tra iones posi-tivas y ompresiones negativas). Si desglosamos la integral entre las dos partestendremosM

∫

N ds =

∫

N+ ds+

∫

N− ds =

∫

N+ ds−∫

|N−| ds

M = W+ −W−El número de Maxwell es, por tanto, la diferen ia entre la antidad de es-tru tura tra ionada y la antidad de estru tura omprimida.7.1.4. Cantidad de estru tura horizontal y verti alSi onsideramos la arga gravitatoria omo una de las de máxima relevan iaen buena parte de los problemas estru turales, tiene sentido onsiderar unanueva división en la antidad de estru tura, a saber, la que puede ontabilizarseen traslados horizontales de arga, y la ontenida en traslados verti ales de arga.Suponemos estru turas planas o tridimensionales, realizadas mediante barrassometidas a esfuerzos axiles, en las que las barras pueden tener orienta ionesvariadas en el espa io. La antidad de estru tura puede medirse onW =

∫

|N | dl =

∫

|N · dl| =∫

(|Nx dx+Ny dy +Nz dz|)

W =

∫

|Nx| dx+

∫

|Ny| dy +

∫

|Nz| dz.lo que es admisible dado que los esfuerzos N y las longitudes dl de las barrasestán alineadas, por lo que los signos de sus tres omponentes son simultánea-mente iguales si la barra está tra ionada, o simultáneamente opuestos si está omprimida.Llamamos antidad de estru tura verti al W ‖ a la parte verti al de di haexpresiónW ‖ =

∫

|Nz| dzy antidad de estru tura horizontal W= a la parte horizontal de la mismaW= =

∫

|Nx| dx+

∫

|Ny| dy

CAPÍTULO 7. CANTIDAD DE ESTRUCTURA 137Si la estru tura es de barras de dimensión nita, las expresiones serán sumas:W ‖ =

∑

|Niz|lizW= =

∑

|Nix|lix +∑

|Niy|liy7.2. Teoremas fundamentalesLos siguientes teoremas, que se basan en las magnitudes denidas en lase ión anterior, permiten una aproxima ión muy potente a la idoneidad deuna estru tura, denida en términos de menor onsumo y de mayor rigidezestru tural.El primero de ellos fué enun iado en [Maxwell, 1890 por primera vez, aunqueen términos relativamente os uros.7.2.1. Constan ia del número de MaxwellTeorema 5 (Teorema de Maxwell) Para toda Estru tura de Maxwell queresuelve un mismo problema de Maxwell, el número de Maxwell M =∫

N ds esfun ión de las fuerzas apli adas y de sus puntos de apli a ión, e independientede la forma de la estru tura, siendo el mismo para todas ellas.Nótese que la arma ión se ha e para toda estru tura de Maxwell, no ne e-sariamente de dimensionado estri to, que resuelve idénti o problema.Para demostrar di ho teorema basta apli ar el teorema de los trabajos vir-tuales a una de di has estru turas.Por este último, si sometemos a una estru tura en equilibrio a un movimien-to o deforma ión arbitrario, el trabajo total realizado por fuerzas externas einternas es nulo.Supongamos pues una deforma ión onsistente en expandir uniformementela estru tura en torno al origen de oordenadas que permane e jo, ampliandolas dimensiones lineales l en un fa tor (1 + e). Denotaremos por ei al ve tordesplazamiento de todo punto i en tales ir unstan ias. Tales ve tores formanuna radia ión de entro en el origen y de magnitud propor ional a la distan iade ada punto al mismo.En esta situa ión el trabajo realizado por las fuerzas exteriores será∑F iei,suma de los produ tos es alares fuerza por desplazamiento. Si desglosamos en omponentes:∑

F iei =∑

FxiXie+∑

FyiYie+∑

FziZiePor otro lado la deforma ión interior en ada omponente de la estru tura seráe, onstante en toda ella. El trabajo de deforma ión interno a la estru tura será:

U =

∫

σe dV = e

∫

σ dV = e

∫

NdV

A= e

∫

N dsy por lo tanto si el trabajo total debe ser nulo resultaM =

∫

N ds =∑

FxiXi +∑

FyiYi +∑

FziZi. (7.5)

CAPÍTULO 7. CANTIDAD DE ESTRUCTURA 138Nótese que σ puede ser variable sin que ello afe te al razonamiento.En las anteriores expresiones, suponiendo una estru tura dada a la que seapli a la expansión uniforme e, es evidente observar que U , y por lo tanto∑F ieino dependen del sistema de ejes de referen ia elegido. Como a su vez ∑F ieino depende de la estru tura elegida, resulta serM independiente de ésta, por loque es una onstante del problema, que no depende de su solu ión. A la antidadM la denominamos, omo hemos visto, número de Maxwell del problema.De di ho teorema se derivan importantes orolarios:1. Una estru tura de Maxwell que sea estri ta, sólo tra ionada o sólo ex-tendida es ya una estru tura mínima, y todas las diferentes estru turasque puedan proponerse en estas ondi iones para el problema de Maxwelldado son equivalentes. En este aso el número de Maxwell oin ide on la antidad de estru tura.Es fá il ver asimismo que, en estas ondi iones, y si admitimos pequeñosdesplazamientos en las fuerzas para a omodarse a la deforma ión, todas lasestru turas estri tas posibles tienen igual deforma ión, y por lo tanto noexisten siquiera problemas de ompatibilidad en solu iones hiperestáti as,en la medida en que sometiendo a todas las se iones a idénti a σ seasegura que estén sometidas a idénti a deforma ión ε, y por lo tanto todo elesquema estru tural experimenta una expansión ontra ión uniformey por lo tanto ompatible igual para todos los esquemas.En tales asos sen illos, las solu iones son obvias:Solu iones a la unión de dos puntos en el espa io omo en la gura7.2, donde representamos en grueso las barras omprimidas. Pue-den obtenerse las soli ita iones por semejanza de triángulos o ortes, omprobándose que la segunda solu ión ne esita más estru tura quela primera: la diferen ia es exa tamente el doble de la estru tura detra ión añadida:

Figura 7.2: Solu iones alternativas para una fuerza axial

CAPÍTULO 7. CANTIDAD DE ESTRUCTURA 1391 : W =

∫

|N | ds = Nh,

2 :

W− = 4N2 cos α

h2 cos α = Nh+ Na2

h ;

W+ = Na2

h- Solu iones estru turales a uatro fuerzas iguales y opuestas dos ados, on orígenes equidistantes de un punto entral: gura 7.3 Am-bas solu iones, on barras tra ionadas, requieren igual antidad deestru tura:1: W = 4lN

√2

2 ; 2: W = 2Nl√

2Figura 7.3: Solu iones equivalentes en tra iónFigura 7.4: Solu iones equivalentes frente a argas radiales- Solu iones estru turales a una fuerza uniforme onstante on puntosde origen sobre una ir unferen ia de radio a: gura 7.4 Las tressolu iones, on anillo tra ionado, mediante diámetros tra ionados,o mediante malla tra ionada pre isan igual antidad de estru tura.Lo mismo vale para otras ombina iones posibles de di hos tipos deestru tura, omo se sugiere en la uarta gura2.En estru turas omprimidas, en la prá ti a, tendrá menos penaliza- ión la solu ión on menor número de barras o barras más ortas, omo es el aso del anillo del ejemplo anterior. En las solu iones dela gura 7.3, por ejemplo, la estru tura 2 será preferible si el movi-miento perpendi ular al plano del dibujo está impedido, y la 1 en aso ontrario.2Hay que ha er notar que la equivalen ia estru tural expresada en la gura 7.4 onstituyeuna de las más poderosas reglas de transforma ión formal que pueda emplearse en la explora- ión de tipos estru turales, regla que emplearemos profusamente en la explora ión de formasde ubiertas.

CAPÍTULO 7. CANTIDAD DE ESTRUCTURA 1402. En un problema de Maxwell, la diferen ia entre la antidad de estru turautilizada en tra ión y ompresión permane e onstante, por lo que re-du ir la parte de estru tura que trabaja en ompresión impli a redu irsimultáneamente la parte en tra ión, y vi eversa.En efe to, desglosando la antidad de estru tura W en dos partes, unaW+ en tra ión y otra W− en ompresión resulta:

W = W+ +W−;

M = W+ −W− ( onstante);Redu ir uno de los términos en la segunda expresión exige redu ir el pri-mero al efe to de que se mantenga la diferen ia. Por ello:3. Si se minimiza una de las dos partes de ompresión o de tra ión de unaestru tura se minimiza la estru tura.En los asos en que no puede resolverse el problema on sólo tra iones o ompresiones, la búsqueda es más ompleja, si bien en ella ayuda ono erque la diferen ia entre parte tra ionada y omprimida es onstante. Másadelante veremos otras propiedades espe í as de las estru turas mínimasque ayudan igualmente a su lo aliza ión.Podemos ver ahora que en el aso de una estru tura dimensionada estri -tamente y formada, bien por materiales diferentes en ompresión o tra ión,bien por un material de omportamiento no simétri o en ambos estados, siendoσt y σc las tensiones máximas admisibles en tra ión y ompresión en valoresabsolutos, el Volumen de la Estru tura V es una sen illa fun ión lineal de W ,de modo que la estru tura de mínimo volumen es también la de menor antidadde estru tura.En efe to el volumen será

V =

∫ |N |σ

ds =

∫

dW

σy por lo tantoV =

1

σt

∫

t

dW +1

σc

∫

c

dW

V =W+

σt+W−

σc

Figura 7.5: Problemas de Tra iónCompresión, y problemas de FlexiónComoM = W+ −W−

CAPÍTULO 7. CANTIDAD DE ESTRUCTURA 141resulta(σt − σc)M = (σt − σc)W

+ − (σt − σc)W−y omo

2σtσcV = 2σcW+ + 2σtW

−resulta, sumando ambas expresiones2σtσcV + (σt − σc)M = (σt + σc)(W

+ +W−) = (σt + σc)Wy de este modoV =

σt + σc

2σtσcW − σt − σc

2σtσcM (7.6)Es fá il ver nalmente que, así omo en problemas de sólo tra ión o sólo om-presión W y M oin iden, salvo signos, en los problemas de sólo exión M esnulo (gura 7.5).Cuando se omparen solu iones hay que er iorarse que de he ho se estéresolviendo el mismo problema. El ejemplo de la gura 7.6 puede a larar estaadverten ia. En él aparentemente puede resolverse el problema on sólo om-presiones on múltiples valores para W = M .

Fb =F

2 cosα, s =

h

cosαpara ada barra

W− =Fh

cos2 α= Fa

(

a

h+h

a

)

= Fa

(

k +1

k

)

dW

dk= 0 =⇒ 1

k2= 1; k = ±1Figura 7.6: ¾Número de Maxwell variable?Aparentemente, habiendo distintas solu iones que ne esitan distinta anti-dad de estru tura, puede hallarse la óptima. Si llamamos λ = h/2a podemosexpresar W = W (λ) y optimizar, obteniendo λ dW/dλ = 0. Las solu iones son

0, 5 (ar o) y −0, 5 ( atenaria) para Wmínimo = 2Fa. Sin embargo, en la evalua- ión hemos olvidado onsiderar el empuje lateral, que supone diferente sistemade rea iones en ada uno de los problemas onsiderados.La introdu ión de un tirante que asuma di ho empuje impli a onsumode material, por lo que el problema ya no es igual al ini ial. Los sistemas defuerzas inherentes a ada aso son distintos en fun ión del empuje: no estábamosresolviendo el mismo Problema de Maxwell.

CAPÍTULO 7. CANTIDAD DE ESTRUCTURA 142Al agregar el tirante al ar o estamos ante un sistema de fuerzas jo, y a la antidad de estru tura omprimida W− se añade la antidad tra ionada W+.En este aso derivando nuevamente podemos obtener Wmínimo = 2√

2Fa paraλ = ±

√2/2.

H =F

2tanα =⇒ W+ = Fa tanα = Fa

a

h

W = W+ +W− = Fa

(

2k +1

k

)Figura 7.7: Nuevamente pare ería que M es no onstante.Aquí pare en ontrade irse nuevamente los prin ipios enun iados, ya que elvalor mínimo para el tirante , y por lo tanto la antidad mínima en tra ión, no orresponde a la altura dedu ida, sino para h =∞, en que su tra ión se haríanula. En este aso la longitud innita de los elementos en ompresión haríainnito su onsumo. La ontradi ión surge debido a que, aunque las fuerzasson ahora las mismas para ualquier solu ión, su posi ión en el espa io no loes, de modo que, nuevamente, estamos resolviendo problemas distintos. Apli arel teorema de Maxwell exige que el sistema de fuerzas exterior esté totalmentedeterminado en uanto módulo, dire ión, sentido y posi ión.Si el enun iado del problema in luye la posi ión de las fuerzas en el espa io, ualquier solu ión del tipo de 2 en la gura 7.8 tiene mayor tra ión en eltirante verti al, y por lo tanto mayor antidad de material. Planteado el pro-blema en esta forma, la diferen ia entre estru tura tra ionada o omprimidade ualquier solu ión será la misma.7.2.2. Cara teriza ión de solu iones óptimasAun uando no hay modo general de obten ión de solu iones óptimas paraun problema de Maxwell dado, puede sin embargo veri arse si una solu ióndada es o no óptima, a partir de las arma iones del siguiente teorema:Teorema 6 (Teorema de Mi hell) Una estru tura estri ta al anza el límitede e onomía es estru tura mínima si el espa io en el que está situada puedeser sometido a una deforma ión virtual tal que los alargamientos o a orta-mientos unitarios se in rementan igualmente en todas las piezas on el mismovalor, y en el signo de la deforma ión original, y en valor no menor que el ambio unitario de longitud de ualquier elemento del espa io onsiderado.

CAPÍTULO 7. CANTIDAD DE ESTRUCTURA 143

Figura 7.8: Solu iones alternativas para igual problema de Maxwell.Si el espa io onsiderado se extiende al innito en todas las dire iones, elvolumen de tal estru tura es mínimo on rela ión a todos los posibles diseños,y en aso ontrario mínimo en rela ión a los diseños que pueden onsiderarsein luidos en el mismo ontorno nito.El teorema, enun iado en [Mi hell, 1904, aun de difí il omprensión, se tornainteligible uando se re orre el pro eso de demostra ión, que es omo sigue:Considérese el espa io delimitado por un ontorno dado en errando todaslas estru turas estri tas interiores a ese ontorno que puedan on ebirse paraun ierto problema de Maxwell. Considérese di ho espa io sometido a una de-forma ión virtual arbitraria, y estable ida de forma tal que el valor absoluto delas deforma iones prin ipales virtuales en todo punto del espa io sean menoresque un ierto valor e dado. En toda dire ión del espa io el valor absolutodel alargamiento o a ortamiento unitario µ es: |µ| ≤ e. Por el prin ipio de lostrabajos virtuales, la varia ión en la energía de deforma ión de ada estru turaen di ha deforma ión es igual al trabajo realizado por las fuerzas exteriores δUy por lo tanto será igual para todas ellas. Podemos es ribir, puesδU =

∫

µσ dVmagnitud igual para todas las estru turas onsideradas.δU =

∫

µσAds ≤∫

|µ||N | ds ≤∫

e|N | ds,y de este modo para todas ellas seráδU ≤ e

∫

dW (7.7)De este modo los valores posibles para la antidad de estru turaW , in luyendo el orrespondiente a la estru tura mínima ontenida en el re into quedan a otadosinferiormente por δU/e .Ahora bien, si es posible en ontrar una estru tura uyas deforma iones sein rementen en la deforma ión virtual estable ida, 1: on el mismo valor (µ = e)en todos los puntos, y 2: en el mismo sentido que las deforma iones originales,resultará que en el desarrollo anterior los signos ≤ se modi an a =, por lo que

CAPÍTULO 7. CANTIDAD DE ESTRUCTURA 144di ha estru tura tiene omo antidad de estru tura la itada ota inferior, y espor lo tanto la estru tura mínima.De este modo la ara teriza ión de una estru tura omo mínima medianteel Teorema de Mi hell exige que una estru tura dada pueda onfrontarse onuna deforma ión test uyas dire iones prin ipales oin idan en todas partes on las deforma iones de las barras y on el signo de los esfuerzos de éstas, y uyos valores prin ipales sean onstantes en todo el ámbito de la estru tura,en valor absoluto, aunque no ne esariamente en orienta ión, y mayores oiguales a las deforma iones pri ipales del resto del espa io onsiderado.De la lase de estru turas que pueden ser sometidas on éxito a una defor-ma ión test del tipo itado, Mi hell presenta dos sub lases:1. Las estru turas sometidas a esfuerzos de igual signo en todos sus barras Para éstas la deforma ión test es una ontra ión o una dilata ión uniformedel espa io Tales estru turas se ara terizan ya omo mínimas on elteorema de Maxwell.2. Las estru turas formadas por barras en dire iones ortogonales antes ydespués de la deforma ión, para las que la deforma ión test es igual envalor, y de igual u opuesto signo en tales dire iones. Veremos más adelantealguno de los asos más importantes, para problemas de exión, de los queen la gura se in luyen algunos de los asos óptimos más típi os.

Figura 7.9: Trazados óptimos según el riterio de Mi hellEl teorema de Mi hell tiene gran importan ia, puesto que permite estable erun método de prueba para garantizar si una estru tura es o no óptima para unproblema dado. Pese a que no ofre e una guía denitiva en la búsqueda de so-lu iones óptimas, tiene, sin embargo, un gran valor heurísti o en la misma. Enefe to, puesto que en la solu ión óptima y estri ta, la deforma ión real y ladeforma ión test oin iden salvo un fa tor de es ala, los óptimos orrespon-derán a situa iones en las que las dire iones de las barras oin idan on aquellasen que se produ en las máximas deforma iones onsiderando la deforma iónde todo el espa io que a ompaña a la estru tura. De este modo existe unaguía para la modi a ión en posi ión de las barras. Por otro lado, dado queen estru turas planas el estado de deforma ión test o no del espa io on-siderado es en todos sus puntos un estado plano, es inmediato omprobar quelas dire iones de máxima tra ión y máxima ompresión orresponderán a las

CAPÍTULO 7. CANTIDAD DE ESTRUCTURA 145dire iones prin ipales de di ho estado en el punto onsiderado, y siendo éstasortogonales entre sí se dedu e que la situa ión óptima de en uentro entre barrassometidas a esfuerzo de distinto signo es la que se produ e on ángulos de 90.Esto impli a que en todos los puntos de apli a ión de argas la solu ión óptima ontendrá, bien una barra en la dire ión de la arga, bien dos barras que, obien ontienen la dire ión de la arga en el ángulo que forman entre sí y eneste aso la deforma ión test lo al debe ser uniforme en todas dire iones, detra ión o ompresión o si no es así deberán en ontrarse en di ho punto deapli a ión formando un ángulo re to, y trabajando on signos opuestos.7.2.3. Rela ión entre la e ien ia estru tural y la rigidezEn la medida en que los requisitos estru turales in luyen no sólo las ondi- iones de resisten ia, que fueron las onsideradas al revisar las razones en favorde la deni ión de antidad de estru tura, pare e pertinente analizar ahora larela ión que existe entre esta magnitud y la rigidez de la estru tura, lo quepermite apuntalar denitivamente la ele ión de di ha magnitud. El siguienteteorema aporta las razones denitivas3Teorema 7 (Teorema de la máxima rigidez) De entre todas las estru tu-ras estri tas que resuelven el mismo problema de Maxwell, todas aquellas quetienen igual antidad de estru tura tienen igual deforma ión; la deforma iónaumenta on la antidad de estru tura del esquema elegido, y, por lo tanto, laestru tura mínima la de menor antidad de estru tura es también la másrígida.La propiedad de la máxima rigidez de las estru turas mínimas pare e habersido señalada por [Chan, 1960, según referen ia in luida en [Parkes, 1965, enpubli a ión asi simultánea en el tiempo on [Cox, 1965, por lo que pare e su- ientemente ono ida en di hos años. Las dos últimas referen ias la in luyen enla dis usión del teorema de Mi hell, aunque éste no la in luye en su publi a iónde 1904. Apare e asimismo en la tesis do toral [de Miguel, 1974.Para demostrar el Teorema hemos de denir previamente ómo des ribirde una forma abstra ta y uniforme la deforma ión para esquemas estru tura-les que pueden ser muy diferentes. Se trata de usar una norma oherente deldesplazamiento, un es alar que permita la ompara ión y que sea a orde a ladeformabilidad que se asigna más o menos intuitivamente a ada estru tura.Es usual, en esquemas sen illos omo los de la gura 7.10 pórti o de unaaltura, viga de un vano usar omo medida de la deforma ión de la estru turaun desplazamiento de ésta, y en parti ular el desplazamiento en la posi ióny dire ión de la arga prin ipal bajo la arga prin ipal , y uando noes ése el aso, un valor que es propor ional a éste para tipos omparables deestru turas.Para problemas de Maxwell, los úni os parámetros jos son la posi ión ymagnitud de las argas, por lo que es apropiado usar los desplazamientos bajoéstas, debiendo ser ombinados en forma apropiada todos ellos en un úni oes alar. Una forma de ha erlo es sumarlos es alarmente asignando pesos a adauno, bien iguales, bien que denoten una ontribu ión diferente a la suma según3Ver [Cervera, 1989

CAPÍTULO 7. CANTIDAD DE ESTRUCTURA 146Figura 7.10: Medidas de la deforma iónsu importan ia respe tiva. Se trataría, pues de una medida del tipo:

δe =∑

αiδisiendo δe la medida de la deforma ión de la estru tura, αi el peso asignado a ada desplazamiento y δi ada uno de éstos. La forma más evidente de aso iar unpeso a ada desplazamiento es ha erlo mediante la magnitud de la arga apli adaen el punto orrespondiente: Se reprodu e así la idea intuitiva de que las argasmayores son las de mayor importan ia en la des rip ión del omportamientoglobal de la estru tura. De este modoδe =

∑

PiδiAhora bien es fá il ver que si se onsideran omo desplazamientos los situadosen la posi ión y dire ión de las argas, tal magnitud no es otra que la pérdidade energía poten ial de las fuerzas que onstituyen el problema debido a ladeforma ión de la estru tura4. El es alar orresponde, pues, a un on epto laro,ade uado en los asos sen illos itados más arriba, y utilizable en forma general.Adoptando pues omo deforma ión de la estru tura el valor de la pérdidade energía poten ial de las fuerzas que sobre ella a túan, bastará medir di hovalor y ompararlo en estru turas diferentes.Di ho valor, onsiderado desde el punto de vista de la deforma ión de laestru tura no es más que la integral extendida a todo su volumen del produ toTensiónDeforma ión suma de la energía de deforma ión y de la llamadaenergía omplementaria. Debe añadirse que, en estru turas elásti as, di hamagnitud es exa tamente el doble de la energía de deforma ión alma enada enla estru tura.δe = U =

∫

σε dV =

∫

σεdW

σ=

∫

ε dW (7.8)Tratándose de omparar diseños estri tos de idénti o material, omo los valoresde tensión y deforma ión son onstantes e iguales para todos los diseños onside-rados, y eso en todas y ada una de sus se iones, resulta de la expresión anteriorque la deforma ión de la estru tura es propor ional, en estru turas estri tas, ala antidad de estru tura de éstas.De ello se dedu e que estru turas de igual antidad de estru tura son igual-mente deformables, y que la estru tura mínima de menor antidad de estru -tura es asimismo la más rígida.4Complian e en la literatura inglesa

CAPÍTULO 7. CANTIDAD DE ESTRUCTURA 147D: Energía de deforma iónC: Energía ComplementariaFigura 7.11: Energía de deforma ión y omplementariaSi se usan materiales o tensiones diferentes en tra ión y ompresión, el pro- eso es algo más ompli ado, pero se llega a un resultado similar: la deforma iónes fun ión lineal de la antidad de estru tura de las estru turas onsideradas,de modo que la óptima es la más rígida.

Up =

∫

t

σtεt dV +

∫

c

σcεc dV = εtW+ + εcW

−;

2Up = 2εtW+ + 2εcW

−;

(εt − εc)M = (εt − εc)W+ − (εt − εc)W

−;

2Up − (εt − εc)M = (εt + εc)(W+ +W−) = (εt + εc)W

Up =εt + εc

2W +

εt − εc

2M (7.9)El teorema que se a aba de demostrar permite interpretar la ligazón en-tre menor oste y menor deforma ión que resulta en solu iones alternativas ennumerosos asos ono idos: vigas ontinuas frente a vigas apoyadas, er hastrianguladas o ar os de anto óptimo frente a las solu iones de menores an-tos, empleo de ángulos óptimos (90 omo sugiere el teorema de Mi hell) entriangula iones, et . . .Puede verse que las magnitudes W y M antidad de estru tura y númerode Maxwell revisten una importan ia ru ial en la des rip ión de las uali-dades de una estru tura, gobernando tanto su volumen omo su deforma ión.Cabe añadir además que W es mejor medida de la inversión en estru tura re-querida por una forma dada que V en la medida en que no depende del materialelegido para materializar di ha forma, siendo sus magnitudes ex lusivamentefuerzas y re orridos. Esto permite analizar solu iones en forma más genéri aque si onsideramos su materializa ión.Del teorema anterior pueden dedu irse importantes orolarios:1. Para minimizar la estru tura de un problema de Maxwell bastará obte-ner el esquema estru tural que minimi e la deforma ión de la misma siempre que se utili e el material en su máximo aprove hamiento. Porel ontrario, disminuir la rigidez implí ita a un esquema estru tural supo-ne aumentar su antidad de estru tura, y, en la medida en que el ostedepende de aquélla, aumentar el oste nal de la estru tura5.5Un ejemplo maniesto de esta arma ión es el Puente del Alamillo en Sevilla, uya es asísi-

CAPÍTULO 7. CANTIDAD DE ESTRUCTURA 1482. Si para un tipo estru tural dado, el límite en un pro eso de modi a- ión de su geometría en que tal tipo deja de ser utilizable por razonese onómi as en ompeten ia on otros tipos orresponde a un esque-ma en el que se umplen los requisitos de deforma ión sin ne esidad dedisminuir las tensiones en sus se iones, di hos requisitos de deforma iónse umplen igualmente en todos los esquemas utilizables de di ho tipo,pues orresponderán a estru turas de menor oste, por tanto, de menor antidad de estru tura, y por ende de menor deforma ión. Un ejemploinmediato de este orolario es la inutilidad de omprobar las e has enar os uando se emplean en ompeten ia ontra vigas, pues su ámbitode apli a ión orresponde a esbelte es para las que las deforma iones sonen apli a iones usuales totalmente ompatibles on los usos.3. Si una estru tura estri ta para un problema dado presenta una deforma- ión dada δ on un onsumo en volumen de material de V, y otraestru tura estri ta para el mismo problema presenta una deforma ión αδ,(α > 1), lograr on el segundo esquema la misma deforma ión que la orrespondiente a la primera supone un onsumo de material medido envolumen de α2V . Pues la antidad de estru tura del segundo esquemaes W2 = αW1, por hallarse los volúmenes en igual rela ión para igualestensiones de trabajo. Y puesto que el volumen es fun ión dire ta de la antidad de estru tura y fun ión inversa de la tensión de trabajo del ma-terial, disminuir α ve es la tensión de trabajo al objeto de disminuir ladeforma ión en la misma medida supone aumentar nuevamente α ve esel volumen.Una interesante apli a ión de este teorema es la demostra ión de que todaslos trazados de vigas apoyadas dire tamente en un úni o ontorno ir ular, aigualdad de anto, son inter ambiables6, omo se dedu e de la gura, y omose verá en el apartado 8.5.2. El mismo razonamiento permite estimar la ventajaobtenida al apoyar en los uatro lados de un ontorno uadrado, frente al apo-yo en sólo dos lados, omparando las medidas del volumen en errado entre ladeformada y la horizontal ini ial.Figura 7.12: Alternativas on apoyo en ontorno ir ular7.2.4. Cambios de anto y estru turas anes. Esbeltez óp-timaEn la explora ión de alternativas formales a problemas estru turales es sa-bido que una de las de isiones fundamentales está en la determina ión del antoma rigidez una viga olgada de una ménsula es la base de todos sus defe tos estru turales,pese a la indudable belleza que posee omo objeto uando se le ve a distan ia.6Esto amplía el ampo de apli a ión de las transforma iones formales legítimas a quealudíamos al hablar de las apli a iones del teorema de Maxwell.

CAPÍTULO 7. CANTIDAD DE ESTRUCTURA 149de la estru tura. Vamos por ello a analizar las transforma iones de forma mássen illas apropiadas a di ho objetivo, a saber, las transforma iones anes, yanalizar tanto las ondi iones de equilibrio omo de onsumo en antidad deestru tura derivadas de tales transforma iones. No vamos a ha erlo de formasistemáti a y total, dado que la transforma ión que tratamos de entender esen parti ular la derivada del ambio de anto de la estru tura manteniendo losdemás parámetros de forma inmutables. Respe to del problema general, basteaquí re ordar que ualquier transforma ión afín que modique simultáneamen-te fuerzas (a iones, esfuerzos axiales y rea iones) y longitudes apli ada a unaestru tura en equilibrio produ irá una nueva estru tura que estará igualmenteen equilibrio.Consideramos la transforma ión de las omponentes verti ales de fuerzas ylongitudes al afe tarlas por un fa tor α: si el fa tor es menor que 1 se trataráde una redu ión de anto, y si es mayor, de un aumento de anto. Para di ha lase de transforma iones podemos estable er el siguiente:Teorema 8 (Teorema del anto óptimo) Si a partir de una estru tura so-metida a argas y rea iones sólo verti ales onsideramos todas las formasque pueden obtenerse manteniendo la topología original y el punto de apli a iónde las argas relativo a di ha topología, y que alteren la geometría mediantetransforma iones anes que sólo afe ten al anto de la estru tura, la estru tu-ra óptima entre éstas será la que umpla la ondi ión de que las antidades deestru tura verti al y horizontal se igualan.Di ho teorema asegura que una ondi ión ne esaria, aunque no su iente,para el óptimo en las estru turas que resuelven problemas en los que las argasse sitúan y son perpendi ulares a un mismo plano es el que tengan igual antidadde estru tura verti al ortogonal a di ho plano que horizontal paralela alplano pues en aso ontrario podría estable erse una transforma ión de antoen el sentido de igualarlas que redu iría la antidad de estru tura en virtud delteorema. O lo que es lo mismo, toda estru tura óptima para esos problemas tieneigual antidad de estru tura verti al que horizontal, aunque no toda estru tura on di ha ualidad es óptima sólo es la mejor de entre las que se obtienen on ambios anes en el anto.Para demostrar el teorema es ribimos las e ua iones de equilibrio onside-rando las fuerzas que a túan sobre ualquier región de la estru tura, in luyendolas argas P y las omponentes ejer idas por los esfuerzos N sobre los ortesque aislan di ha región. Las omponentes horizontales de fuerzas y dimensionesse mantienen sin altera ión. El equilibrio de fuerzas horizontales de la estru tu-ra original se mantiene pues en la transformada. Las omponentes o distan iashorizontales no ambian, por lo que los equilibrios de momentos respe to a uneje verti al se mantienen igualmente. Las e ua iones siguientes valen por tantoigualmente para el equilibrio original, y para el transformado:∑

Pix +∑

Nix = 0∑

Piy +∑

Niy = 0∑

yiPix −∑

xiPiy +∑

yiNix −∑

xiNiy = 0En el aso de las fuerzas verti ales totales que a túan, in luyendo las ompo-nentes verti ales de los esfuerzos ejer idos en los ortes realizados, así omo en

CAPÍTULO 7. CANTIDAD DE ESTRUCTURA 150el de los momentos orrespondientes a equilibrios respe to de los ejes horizon-tales OX, OY, se alteran los equilibrios ini iales, on lo que las e ua iones querepresentan tanto el equilibrio original omo los nuevos equilibrios resultantesdel ambio afín son:∑

αPiz +∑

αNjz = 0∑

αziPix −∑

xiαPiz +∑

αziNix −∑

xiαNiz = 0∑

yiαPiz −∑

αziPiy +∑

yiαNiz −∑

αziNiy = 0en las que α representa el fa tor de ambio de anto adoptado por lo que, parael valor 1 representa la estru tura original. Ahora bien, en este ambio se haalterado el valor de las argas, al ambiar sus omponentes verti ales, por lo quela nueva estru tura no resuelve el mismo problema que la anterior.Debemos remediar la situa ión volviendo a restaurar a su valor ini ial a las omponentes verti ales de las argas, que ahora son αPiz , para lo que bastaríadividirlas por α. Sin embargo esto alteraría el equilibrio de fuerzas verti ales, ala vez que los equilibrios de momentos respe to de los ejes horizontales, por loque la altera ión requiere ajustes adi ionales.Para mantener el equilibrio de fuerzas verti ales se requerirá que las ompo-nentes verti ales de los esfuerzos se alteren en igual modo, restaurándolas a suvalor original:∑ αPiz

α+∑ αNjz

α= 0Esto exige además, para mantener la alinea ión de los esfuerzos on las barras,que las omponentes horizontales de tales esfuerzos se alteren en igual medida, aligual que las omponentes horizontales de las argas y las rea iones. De modoque la altera ión de las dimensiones verti ales al multipli arlas por un fa tor

α sin ambio en las omponentes verti ales de las fuerzas impli a, para quese mantenga el equilibrio, un ambio inverso en las omponentes horizontalesde fuerzas y esfuerzos (que se multipli arán por 1α ). En estas ondi iones lase ua iones de equilibrio vuelven a umplirse, omo omprobamos a ontinua iónen el equilibrio de fuerzas:

∑ Pix

α+∑ Nix

α= 0

∑ Piy

α+∑ Niy

α= 0

∑

Piz +∑

Niz = 0y de momentos:∑

yiPiz −∑

αziPiy

α+∑

yiNiz −∑

αziNiy

α= 0

∑

αziPix

α−∑

xiPiz +∑

αziNix

α−∑

xiNiz = 0

∑

yiPix

α−∑

xiPiy

α+∑

yiNix

α−∑

xiNiy

α= 0Por tanto una redu ión de anto impli a un aumento de las fuerzas y es-fuerzos horizontales en un fa tor inverso para que se mantenga el equilibrio on

CAPÍTULO 7. CANTIDAD DE ESTRUCTURA 151las argas verti ales del problema ini ial. Si onsideramos sólo argas gravita-torias verti ales el ajuste de esfuerzos y de rea iones en aso de tener omponentes horizontales, omo en el aso de los empujes de ar os supondráuna altera ión en la antidad de estru tura que ahora podemos analizar. Las antidades de estru tura ini iales, horizontal y verti al se alterarán de formafá ilmente prede ible a partir de los valores originales:W ‖

α =∑

|Niz|αliz = αW ‖

W=α =

∑

| 1αNix|lix +

∑

| 1αNiy|liy =

1

αW=Se observa que ambas omponentes se modi an de forma inversa, mientrasuna re e la otra de re e, de modo que podemos armar que su produ to semantiene onstante. Dado que la antidad de estru tura total es la suma deambas partes, el óptimo se obtendrá uando éstas sumen el valor mínimo. Ahorabien, el mínimo de la suma de dos antidades uyo produ to es onstante seprodu e uando ambas son iguales, omo puede omprenderse si se onsidera lasuma omo el semiperímetro de un re tángulo y el produ to omo el área delmismo. A igualdad de área el perímetro mínimo es el del uadrado7.De modo que los valores óptimos de la antidad de estru tura verti al yhorizontal son la media geométri a de las originales

W ‖o = W=

o =√

W ‖W=El orrespondiente fa tor de altera ión en las dimensiones verti ales resulta ser7Puede estable erse algebrai amente la ondi ión de mu hos modos. Como ilustra ión dealgunos de los métodos itados en 6.3.2 el problema de obtener a, b que ha enmın(f = a + b) on ab = k ( onstante)puede rees ribirse omo obtener las a, b que ha en mın φ siendo φ la fun ión obtenida em-pleando el multipli ador de lagrange λ para la ligadura estable ida:

φ = f + λ(ab − k) = a + b − λ(ab − k)

mın(φ) = mın(a + b − λ(ab − k)) ≡

8

>

<

>

:

∂φ∂a

= 0∂φ∂b

= 0∂φ∂λ

= 0que orresponde al sistema de e ua iones1 − λb = 0

1 − λa = 0

ab − k = 0de las que se dedu eb = a =

1

λ1

λ2= k

b = a =√

k.En parti ular la onstante puede obtenerse a partir de un aso ono ido ualquiera on lo queb = a =

p

a0b0

CAPÍTULO 7. CANTIDAD DE ESTRUCTURA 152igual al o iente entre la antidad de estru tura verti al óptima y la originalαo =

W‖o

W ‖El anto óptimo de la estru tura se alterará en propor ión a di ho valor, y porende la esbeltez óptima, que es igual al o iente entre el tamaño (invariable) yel anto óptimo, resultará de multipli ar la esbeltez original por el inverso dedi ho valor, resultandoλo = λ

W ‖√W ‖W=

= λ

√W ‖W=

W=Hay que ha er notar aquí que la ondi ión geométri a empleada para latransforma ión se umple en piezas trianguladas a osta de un ambio en losángulos de la triangula ión. Por la misma razón, las transforma iones de antode piezas de alma llena no pueden ser onsideradas en rigor in luidas entre éstas,dado que los ambios de anto no alteran la optimidad en los ángulos implí itosen el material del alma, que sigue trabajando omo dos familias tra ionada y omprimida a 45.Pero además puede asegurarse que en la transforma ión planteada se man-tienen las deforma iones unitarias de las barras, de modo que el terorema esapli able a estru turas hiperestáti as en las que se ambien las se iones pro-por ionalmente al ambio en esfuerzo apare ido. Pues efe tivamente si on el ambio de anto se mantiene la deforma ión unitaria preexistente, los desplaza-mientos verti ales re en on el aumento de anto, manteniéndose idénti os loshorizontales, on lo que la transforma ión afín es apli able tanto a la estru tu-ra original omo a la deformada, lo que asegura la ompatibilidad. Puesto quehemos demostrado la existen ia del equilibrio, sólo queda asegurar que defor-ma iones y esfuerzos respetan las rela iones de rigidez, lo que sólo exige usarel material en la estru tura transformada on idénti o nivel de tensión al quetenía en las barras originales, y modi ar las se iones en igual medida que losesfuerzos.Figura 7.13: Deforma ión de barra y transforma ión afínSe dedu e una interesante onse uen ia de la pre edente propiedad al anali-zar el problema de los ar os on péndolas, que estudiaremos on mayor detalleen el apartado 8.3.Veremos en di ho problema, que onsiste en un ar o trazado según el antifu-ni ular de las argas que uelgan de él mediante péndolas y on tirante entre losapoyos, que las solu iones óptimas se produ en uando la antidad de estru -tura en péndolas verti al tra ionada iguala la antidad de estru tura en

CAPÍTULO 7. CANTIDAD DE ESTRUCTURA 153tirante horizontal tra ionada y su suma iguala la antidad de estru turadel ar o que ontiene omponentes iguales en antidad de estru tura horizon-tal y verti al omprimidas, pues efe tivamente la ondi ión de óptimo para ambios de anto queda estable ida uando las antidades horizontal y verti alson iguales. Puesto que en este problema el número de Maxwell es nulo, debenser también iguales las antidades tra ionada y omprimida.En este aso, pues, la antidad de estru tura de la solu ión óptima para ambios de anto puede medirse por 4 ve es la de ualquiera de di has partes,que podemos emplear omo unidad. Si por ejemplo elegimos la tra ionadahorizontal, el tirante, tendremos 1 = W+=

W+‖ = W+= = W−‖ = W−= = 1

W = W+ +W− = W+‖ +W+= +W−‖ +W−= = 4

W ‖ = W= = 2Vamos a a ometer una nueva transforma ión de geometría en uno ualquiera dedi hos ar os on péndolas y tirante horizontal. Supongamos que desdoblamos laestru tura en dos partes idénti as de arga mitad en ada una de ellas medianteun orte plano verti al. Tendremos ahora o ho partes idénti as en la antidadde estru tura. Supongamos que invertimos una de las dos mitades: las péndolasy tirante en tra ión se onvertirán en di ha mitad en montantes y ordón omprimido, mientras que el ar o omprimido pasa a ser un hilo tra ionado. El anto total se dupli a, por lo que la esbeltez total pasa a ser la mitad (λt = λ2 ).Las aporta iones a las omponentes horizontal y verti al de la estru tura semantienen en todas las piezas tras la inversión propuesta.

Figura 7.14: Mejora por simetría verti alAhora bien, si unimos ahora ambas mitades, resultará que las dos piezashorizontales tirante del ar o más ordón omprimido del hilo dejan de serne esarias, puesto que en ada apoyo el empuje del ar o pasa a equilibrarse onla omponente horizontal del an laje del hilo. El tirante y ordón horizontal omprimido, al superponerse, se transforman en línea neutra sin esfuerzo. Deeste modo eliminamos la estru tura que antes orrespondía al tirante, es de ir,la mitad de la ( antidad de) estru tura horizontal, on lo que las antidadesde estru tura en la estru tura transformada pasan a ser W=t = 1, W ‖

t = 2,Wt = 3. Evidentemente no se trata de un óptimo aunque hemos disminuidola antidad original en un 25%. Por ello podemos determinar el ambio afínen el anto que optimiza la solu ión.

CAPÍTULO 7. CANTIDAD DE ESTRUCTURA 154Se logrará el óptimo onW

‖to = W=

to =

√

W‖t W

=t =

√2

Wto = 2√

2

αo =W

‖to

W‖t

=

√2

2=

1√2

λo = λtW ‖

√W ‖W=

= λt2√2

= λ1√2Es de ir que, aumentando el anto original en √2 (redu iendo la esbeltez en√

2) la antidad de estru tura total se redu e en el mismo fa tor. El he ho detener urvatura en ambos ordones, es de ir el he ho de poder apoyar argatransversal en ambos, mejora apre iablemente la e ien ia de la estru tura. Lasimetría respe to de la horizontal aumenta la e ien ia de la forma ini ial.7.3. Expresión genéri a para la antidad de es-tru turaLos anteriores resultados permiten ahora explorar de forma genéri a los pa-rámetros fundamentales de los que depende la antidad de estru tura.Para ello onsideraremos estru turas dispuestas para sostener argas orien-tadas en el mismo sentido las gravitatorias usualmente y onsideraremosen di has estru turas el valor a umulado de la resultante de las argas a ión,que llamaremos Q así omo una dimensión representativa del problema que laestru tura resuelve, que llamaremos l.Dada la deni ión que hemos empleado para la antidad de estru tura, esevidente que si se alteran todas las argas propor ionalmente, la antidad deestru tura se altera en igual medida: la antidad de estru tura es, por tanto,dire tamente propor ional a la arga total Q.En segundo lugar podemos onsiderar que la arga se apli a en puntos dis- retos, y suponer modi a iones de dimensión en la estru tura, manteniendola propor ionalidad respe to de la forma original, sin que di has modi a ionesafe tes a los valores de di has argas. En este aso todos los nudos mantendránlas fuerzas originales, por lo que las fuerzas en las barras se mantendrán. Noasí las longitudes, que ambiarán on la longitud empleada para denir el ta-maño. En este aso queda de maniesto que la antidad de estru tura resultapropor ional a di ho tamaño l.Si se onsideran juntamente las dos rela iones itadas, resultará que siendola antidad de estru tura propor ional a arga total y tamaño, puede denirsemediante una expresión del tipoW = ψQldonde ψ es un fa tor de forma a determinar en ada aso, y donde la expresiónre oge todos los asos de igual formatanto en la ongura ión de la estru tura,ex epto en su dimensión bási a, omo en la disposi ión de las argas. Puesefe tivamente, dado que la antidad de estru tura tiene dimensiones de trabajo,

CAPÍTULO 7. CANTIDAD DE ESTRUCTURA 155y dado que el produ to de la arga por el tamaño aporta di has dimensiones,debe resultar que el término ψ sea adimensional.Si queremos avanzar algo más, supondremos ahora que, para una arga dada,y para un tamaño dado, realizamos altera iones anes de anto, de las des ritasen el anterior apartado. En este aso sabemos que existirá un anto óptimo parael ual las partes verti al y horizontal de la antidad de estru tura oin iden.Vamos a usar di ho aso omo referen ia. En el óptimo,Wo = W=

o +W ‖o = ψoQl on W=

o = W ‖o .y podemos estable er una rela ión entre el tamaño de la estru tura l y su di-mensión transversal o anto, que llamamos esbeltez λ que adopta el valor λopara di ho anto óptimo. Para situa iones on otras dimensiones resultará quela esbeltez variará on un ierto fa tor αque por jar ideas podemos imaginarmayor que la unidad on lo que la esbeltez aumenta on α,

λ = αλode modo que el anto varía on 1α y la antidad de estru tura variará al variarlas omponentes verti al y horizontal en la forma vista en el apartado anterior:la antidad verti al variará disminuirá on 1

α mientras que la horizontal lohará aumentará on α. Así puesW = W= +W ‖ = αW=

o +1

αW ‖

o

W = W=o

(

α+1

α

)

W = W=o

(

λ

λo+λo

λ

)

W = W=o

λ

λo

(

1 +λ2

o

λ2

)

.Como habíamos estable ido el valor de la antidad de estru tura óptimaW=

o = 12Wo = 1

2ψoQl tendremosW =

1

2λoψoQlλ

(

1 +λ2

o

λ2

)

W = φQlλ

(

1 +λ2

o

λ2

)

.La importan ia de la expresión resulta ahora evidente: en la medida en que,para un esquema estru tural dado existe un valor óptimo del anto, para di hovalor el fa tor de forma puede estable erse de modo on reto, y el término de-nido omo esbeltez óptima en igual medida. Para di ha forma, en la que seadmiten ambios de tamaño, de arga, o de anto a eptando sólo ambiosanes en la geometría resultará que los oe ientes orrespondientes al ópti-mo serán al ulables, y jos, quedando sólo omo términos variables los Q, l yλ, resultando una sen illa y poderosa expresión para la antidad de estru tura.La forma elegida para representar W se debe a una onsidera ión adi ional. Enla mayoría de las estru turas, las esbelte es óptimas resultan ser valores muy

CAPÍTULO 7. CANTIDAD DE ESTRUCTURA 156bajos, de modo que las estru turas reales resultan on esbelte es apre iablemen-te mayores a éstas, pues en tales problemas deben optimizarse onjuntamenteotros parámetros del problema del proye to, omo la super ie envolvente quedebe errarse, o el volumen que debe a ondi ionarse, que mejoran apre iable-mente aumentando la esbeltez. De este modo el segundo término del sumando,que nun a al anzará la unidad, se ha e po o relevante en buena parte de lassitua iones reales, y la expresión es, por ello más ade uada a la omprensión delas variables en juego.La antidad de estru tura es, por tanto, dire tamente propor ional a la arga,el tamaño la luz en los asos de exión y la esbeltez utilizada, salvo unpequeño fa tor orre tor que tiene es asa inuen ia en esbelte es altas alejadasde la óptima teóri a.Veremos esto on más detalle en el próximo apítulo.7.4. Cantidad de estru tura y peso propioVimos que la antidad de estru tura podía ponerse en rela ión on el volumeny on el peso de la estru tura sin más que onsiderar las propiedades pertinentesdel material empleado:P =

ρ

σWAdemás hemos visto que la expresión para la antidad de estru tura es deltipo

W = γQlλ on γ onstante en algún aso espe ial por ejemplo si se onsideran sólo los or-dones de solu iones de anto onstante, omo veremos en el próximo apítulopero en general fun ión de λ, aunque dependiente sólo levemente de ella en los asos de esbeltez alta.Consideraremos ahora las rela iones posibles entre la arga total Q y el pesopropio P . El aso de referen ia más sen illo onsiste en suponer que la forma on que ambas argas se distribuyen es análoga, es de ir que en todo aso la arga total y el peso mantienen a lo largo de la luz de la estru tura la mismapropor ión, por lo que supondremos a partir de aquí que tal analogía de formaes aproximadamente ierta.7.4.1. Al an e o tamaño insuperable.Supongamos que tratamos de una solu ión teóri a en la que la totalidadde la arga es peso propio, y no se admite más arga, por lo que la estru tura estáen el límite de resisten ia sometida sólo a su peso propio. En este aso tendremosque la antidad de estru tura determina la arga totalmente. Supongamos parasimpli ar, además, que la estru tura es estri ta, es de ir, que todo el materialse emplea en su máxima tensión8. En este aso el peso de la estru tura, que es8Ignoramos en lo que sigue los efe tos lo ales omo pueden ser los de exión se undariade las barras que forman la estru tura, que supondremos sigue manteniendo omportamientolo al uniaxial.

CAPÍTULO 7. CANTIDAD DE ESTRUCTURA 157la arga total, es la antidad de estru tura por el peso espe í o y dividido porla tensión de servi io.W = γPLλ = γW

ρ

σLλpor lo que eliminando W y despejando la luz L a la que orresponde di hasitua ión tenemos

L =1

γλ

σ

ρCualidad importante de la expresión es que di ho tamaño es independientede las dimensiones de las se iones de la pieza: vale para ualquierW o ualquierP es independiente de W y de P, es independiente, por tanto del propiopeso de la estru tura onsiderada y por ende vale ualquiera que sea el áreabási a de la ley de dimensionado elegida. El primer resultado es que el al an ede la estru tura es independiente de su dimensionado.Es fá il omprender esto, ya que si suponemos que una ierta estru turadimensionada estri tamente on todas sus se iones sometidas a la máximatensión admisible está en su límite de resisten ia sólo on su peso, aumentartodas las se iones propor ionalmente manteniendo por tanto la misma leyde dimensionado ha e aumentar en la misma forma peso y resisten ia, porlo que la estru tura sigue estando en el límite de resisten ia. De este modo eltamaño máximo que puede al anzar no depende del dimensionado mismo.Puede omprenderse además que si ambiásemos la resisten ia del material,disminuyéndola por ejemplo a una fra ión χ de la ini ial, la luz al anzable seríasólo esa misma fra ión χ de la luz anterior L. Por la misma razón es fá il ver quela fra ión de la tensión que orresponderá al peso propio en una estru tura deluz l = χL es pre isamente σp = χσ, quedando el resto de la tensión disponiblepara resistir argas adi ionales.De este modo el problema del peso propio puede tratarse geométri amente omo un problema de tamaño. En di ho problema, al anzado un tamaño insu-perable, o al an e, la tensión del material se destina sólo a soportar el propiopeso, siendo inviable la estru tura para un tamaño mayor. Para tamaños meno-res al insuperable, o límite, la tensión empleada en sostener el propio peso es ala resisten ia total diponible omo el tamaño es al al an e.

χ =l

L=σp

σEs importante señalar aquí que en la expresión del al an e apare en omo pa-rámetros de la geometría de la estru tura los términos adimensionales γ y λ, yque la dimensión la longitud la aporta la longitud del material, su al an eσ/ρ.7.4.2. Carga y peso propio. Fa tor de amplia ión de argaSi la estru tura soporta la suma del peso propio más la arga externa adi- ional a éste Q = P +R podemos determinar en base al apartado anteriorqué parte de la tensión admisible del material se emplea para resistir su propiopeso, usándose el margen que queda disponible para soportar el resto de la ar-ga. Por ello, si las argas y los pesos son homólogos en distribu ión a lo largode la luz, la arga total será a la arga externa omo σ a σ − σp. Puede verse

CAPÍTULO 7. CANTIDAD DE ESTRUCTURA 158de inmediato que la rela ión entre la arga total y la arga apli ada ajena alpropio peso depende sólo del parámetro χ.Q

R=

σ

σ − σp=

1

1− σp

σ

Q

R=

1

1− χLa expresión puede interpretarse omo un fa tor de amplia ión de la arga exter-na ajena al propio peso, amplia ión ne esaria para in orporar di ho peso propio.Es un fa tor de amplia ión no lineal que depende de la propor ión existente en-tre el tamaño de la estru tura y el al an e de la solu ión empleada, propor iónque ha sido denominada talla en alguna o asión.Nótese por tanto que tanto el al an e de la estru tura L, omo la talla χ,son magní os andidatos para denir la e ien ia de la estru tura, en tantoque permiten prede ir, para ualesquiera tamaños del problema, la rela ión entre arga soportada y peso propio, rela ión que según vimos es una de las expresionesmás utilizadas para evaluar la e ien ia relativa de las solu iones estru turales.Pues en efe to, dado el tamaño pretendido para la estru tura, l, y el al an e L,su o iente χ (su talla) permite obtener di ha rela ión de e ien ia, siendo éstatanto mayor uanto mayor es el al an eR

P=Q− PP

=1− P

Q

PQ

R

P=

1− χχ

=1

χ− 1Sin embargo en la medida del al an e de una estru tura o su talla queda in luidauna dimensión pro edente del material, por lo que para independizar el paráme-tro de medida de e ien ia de la forma respe to de las ualidades del materialhabremos de onsiderar sólo los términos dependientes de la estru tura, a saber,

γ, derivado de las propiedades geométri as generales del tipo empleado, y λ, suesbeltez, siendo la e ien ia inversamente propor ional al produ to de ambos.La e ien ia de un tipo estru tural se mide, pues, por el inverso del produ tode los parámetros de forma de la estru tura que hemos denotado por γ y λ.7.5. Cualidades geométri as: parámetros estru -turales de la forma.Revisemos nuevamente la expresión:W = γQlλ.Consideremos esta expresión genéri a de la antidad de estru tura deslin-dando las uestiones derivadas del problema estru tural que debe ser resueltode las uestiones aso iadas a la e ien ia on que se resuelve. Podemos ver quedos de los términos, Q y l, orresponden esen ialmente a ara terísti as del pro-blema planteado, a saber, la luz a ubrir y la arga a soportar. Mientras que losotros dos, γ yλ responden a las de isiones tipológi as y geométri as adoptadas al

CAPÍTULO 7. CANTIDAD DE ESTRUCTURA 159denir la estru tura, y de las que depende la e ien ia de la estru tura adopta-da. Ambos denen realmente la ine ien ia estru tural, inversa a la e ien ia,tal omo la hemos onsiderado en el apartado anterior. Resulta alentador lasen illez obtenida, al onstatar que los resultados a los que llegamos permitenarmar on pre isión que la antidad de estru tura invertida es propor ionaltanto al tamaño del problema, omo a la arga apli ada, omo a la ine ien iaempleada en la solu ión, ine ien ia que nun a al anzará el valor ero en lasobras humanas.La antidad de estru tura depende por tanto dire tamente de los términos:Q La arga total a trasladar a los apoyos en el problema onsiderado. In luyela totalidad del peso apli ado a la estru tura, in luyendo el propio pesode la misma.l La dimensión o tamaño del problema de exión, entendida omo la luz entreapoyos.λ La esbeltez de la pieza.γ Término que en su forma más general es dependiente de la esbeltez del o iente entre esbeltez óptima y esbeltez real y que queda determinadofundamentalmente por la geometría general de la solu ión. Ésta in luye omo veremos más en detalle las ondi iones de forma de la arga y suproximidad relativa al apoyo, las ondi iones de la forma al llegar al apoyo,la geometría genéri a de la se ión, et ., ondi iones todas ellas a las quepodríamos englobar en la denomina ión esquema de la solu ión.De los términos anteriores el término de arga remite, en forma que no abe detallar más ahora, al on epto o idea de dimensionado o espesor de laestru tura. La razón de ello es sen illamente que, para igual problema, distintas argas supondrán distintos dimensionados, y que si el resto de las ondi iones soniguales, es de ir que, si esquema, tamaño y propor ión son iguales, la diferen iade arga entre dos solu iones sólo supondrá diferen ias entre los dimensionadosde las se iones que mantendrán igual rela ión de propor ionalidad entre síque la que mantengan las argas totales apli adas en las dos solu iones. Puede on ebirse, por tanto, que las se iones de las piezas dependen de una ley ofun ión denida para ada posi ión de la estru tura, ligada a esquema y esbeltezde la estru tura, y que puede estable erse para una ierta arga total dadadenida omo unidad, y que las se iones reales serán el resultado de multipli ardi ha fun ión por la arga total onsiderada.Vemos por lo tanto que pueden quedar des ritos ini ialmente omo paráme-tros esen iales de la forma estru tural los siguientes:Tamaño Dimensión, o luz del problema. La luz de referen ia de la estru tura.Se trata de la la menor distan ia entre las regiones de apoyo empleadas.Propor ión Esbeltez, rela ión luz- anto, propor ión del re uadro re tangularque ir uns ribe la geometría de la solu ión, vista en alzado.Esquema Cara terísti as geométri as, y asi topológi as del tipo de solu iónadoptado tipo estru tural: veremos más adelante que in orpora el tipo dese ión, la forma de la arga, las ondi iones de apoyo. Se ara teriza por

CAPÍTULO 7. CANTIDAD DE ESTRUCTURA 160un fa tor de forma que resulta espe ialmente sensible a las ondi ionesde ontinuidad de las piezas e tadas, omo veremos en el aso de lasvigas. Es igualmente sensible, aunque on menos variabilidad, a las on-di iones de apoyo disponibles bordes paralelos o ontorno de un re into errado y depende nalmente on sensibilidad menor aún de otros as-pe tos tipológi os, omo el trazado de la estru tura siempre que ésteresponda a formas estru turales globalmente orre tas, et .Dimensionado o espesor o grosor de la solu ión estru tural. Este término pue-de pre isarse más y de forma adimensional, aunque no lo hagamos ahorarigurosamente, omo la rela ión entre el espa io o upado por la estru turay el máximo disponible para olo arla, una vez jados los parámetros an-teriores. Este sería el aso por ejemplo de la rela ión entre el an ho de unaserie de vigas re tangulares paralelas que soportan un forjado dado, y lasepara ión entre las mismas. Deriva dire tamente, una vez jados los ante-riores parámetros de forma, del valor de la arga apli ada a la estru tura,y tiene una relevan ia nula en las uestiones aso iadas a la ompara iónde la e ien ia estru tural de tipos o solu iones alternativas.Los tres primeros términos, junto on el al an e del material empleado de-terminan el al an e o tamaño insuperable del tipo estru tural y la propor iónelegidas, siendo el o iente entre el tamaño real y el insuperable, la talla de laestru tura, la magnitud lave en la determina ión de la rela ión entre el pesopropio y arga útil que la estru tura es apaz de soportar.7.5.1. Tamaño y propor ión en las estru turasLos anteriores on eptos permiten una reformula ión del problema de larela ión entre la forma de la estru tura y su omportaiento.En la antigüedad lási a se on ebía el omportamiento de las estru turas omo un fenómeno prin ipalmente ligado a la forma, y de entre los aspe tos deésta, a la geometría, al tratarse de la ien ia matemáti a on mayor desarrollo.Tal on ep ión sugería el uso de reglas propor ionales en el diseño, de modo quemodelos probados en un tamaño se extrapolaban mediante reglas de propor ióna otros tamaños, omo ya hemos visto. Galileo demostró usando geometría quelas reglas propor ionales no eran apropiadas para ara terizar la resisten ia deestru turas soportando su propio peso, y su alegato tuvo una inuen ia impor-tante. Las razones aportadas por Galileo, y más tarde y espe ialmente poresta razón el desarrollo y uso del análisis matemáti o omo herramienta dereexión estru tural han eliminado asi por ompleto las reglas de propor iónde la teoría de las estru turas. Hay que salvar los asos puntuales en que las ex-presiones se plantean en forma adimensional. Ello podría verse omo una formaa tual de estable er reglas propor ionales desprovistas de la arga geométri avisual de la antigüedad. Hay que de ir que en el aso de en ontrarse re-glas propor ionales o geométri as válidas, éstas han de ser, omo se verá másadelante, una poderosa herramienta de diseño.Si se analiza el omportamiento de estru turas en fun ión del tipo de ar-ga que soportan, es fá il intuir que estru turas diseñadas para soportar argasque a túen sobre super ies, y uyos valores sean, por unidad de super ie,independientes del tamaño de la estru tura onsiderada, llevarán a solu iones

CAPÍTULO 7. CANTIDAD DE ESTRUCTURA 161propor ionales, en la medida en que aumentos paralelos de las áreas de arga yde se ión, para esquemas estru turales idénti os y formas y se iones propor- ionales mantendrán las tensiones en los materiales. Esta es la base de buena antidad de diseños propor ionales de uniones o detalles, y omo veremos,la base del omportamiento bási o de las estru turas adinteladas on ebidaspara los problemas de uso ligados al empleo de planos paralelos usuales en edi- a ión. Para argas dependientes de masas, en ambio, y en parti ular para lospesos propios de las estru turas, la propor ionalidad no es apli able, de modoque la geometría puede pare er inútil omo herramienta. Aquí hemos mostra-do ómo en este aso se trata igualmente de una herramienta de ex ep ionalvalor, pudiendo estable erse el problema del peso propio de estru turas uales-quiera en términos de su tamaño, y más pre isamente, de la rela ión entre sutamaño y el tamaño máximo de estru turas semejantes que sólo se soportan así mismas Tamaño Insuperable o Al an e. De este modo, in orporando lano ión de tamaño en la reexión, puede darse uenta también de las magnitudesdependientes del mismo, y deslindar su inuen ia del resto de los parámetrospertinentes en el diseño.

Capítulo 8Consumo en tiposestru turales bási osVamos a re orrer ahora algunas estima iones de las antidades de estru -tura en tipos estru turales bási os. Dada la deni ión aportada en el apítuloanterior para esta la magnitud, sólo se están onsiderando en la explora ión delos tipos estru turales orrespondientes las ne esidades derivadas del riterio deresisten ia. Es de ir que estaremos hablando de argas, leyes de momento o or-tante pre isas para el equilibrio, et ., sin onsidera ión aquí de las uestiones derigidez o estabilidad, aunque ya hemos visto la íntima rela ión entre la rigidezy la e ien ia medida por el inverso de la antidad de estru tura, rela ión quepodremos emplear en aso ne esario.8.1. Cantidad de estru tura de barras omprimi-das o tra ionadasDe la deni ión de la magnitud resulta evidente que ésta es, en barras om-primidas o tra ionadas, igual al valor absoluto del esfuerzo de tra ión o om-presión por la longitud de la barra a lo largo de la que el esfuerzo se mantiene onstante.W = |N |lLa sen illez de la expresión es válida sólo en la medida en que le orrespon-de una sen illez análoga en el diseño de la barra, de se ión onstante. No se onsideran aquí las ne esidades de rigidez en el aso de la ompresión, de ara a ombatir el pandeo, o las pe uliaridades de la realiza ión de los nudos on que seenlazan las piezas on otras, que pueden suponer restri iones adi ionales omo uando, en iertos asos de piezas tra ionadas, la unión tiene menor resisten iaque la se ión de base que enlaza.

162

CAPÍTULO 8. CONSUMO EN TIPOS ESTRUCTURALES BÁSICOS 1638.2. Cantidad de estru tura en vigasAl analizar la antidad de estru tura en vigas debe ha erse men ión al ri-terio elegido para denir éstas, entendiendo que, omo primera aproxima ión, onsideraremos bajo esta denomina ión sólo a las piezas de anto onstante.Aun on di ha restri ión, el riterio on el que se diseñe la se ión de laviga a lo largo de la dire triz es bási o en lo que sigue, existiendo en prin ipiotres riterios usuales diferen iados, a saber:Diseño espe ializado y separado de ordones y del alma que une éstos.Es el úni o aso en que pueden obtenerse solu iones estri tas de modogeneral, onstituyendo, por tanto, el aso paradigmáti o de la teoría dediseño. Correspondería al aso de piezas trianguladas o, en menor medida,al diseño de vigas armadas de hapa. Las de isiones de diseño sobre anto,espesor o se ión de las alas, y espesor del alma son independientes.Diseño simultáneo de las alas y el alma, mediante la ele ión de un tipobási o de se ión en el que las rela iones entre éstas son jas, aun uan-do puedan elegirse separadamente las dimensiones verti al y horizontal anto y an ho o espesor de la pieza. El aso paradigmáti o es el delas piezas realizadas on se iones homotéti as, omo las re tangulares, enlas que pueden, sin embargo, sele ionarse separadamente las dos dimen-siones del re tángulo. También orrespondería en alguna medida al diseño on perles laminados en a ero si se onsideran las posibilidades de elegirpiezas no sólo en una de las posibles gamas sino en todas ellas, unido ala posibilidad de adosar lateralmente varias de esas piezas on igual antopara obtener an huras variables. Las de isiones sobre anto y espesor sonindependientes, pero están ligadas las de isiones sobre espesor de las alasy del alma.Diseño regido por la sele ión de una se ión de entre una serie monóto-na de ellas, omo por ejemplo, al elegir entre se iones propor ionales de ualquier tipo, o en una de las series estandard de perles onsiderada ais-ladamente. En este aso la de isión sobre anto está ligada a las de isionessobre espesor de alas y espesor de alma.Aunque los tres asos son de interés, en lo que sigue se analiza sólo el primerode ellos, dado que un objetivo de este apartado es preparar herramientas paraal anzar en el próximo apítulo una visión ole tiva de las solu iones alternativasa formas de ubierta, en las que este primer aso es de espe ial relevan ia.8.2.1. Cantidad de estru tura en ordones de vigasDado que el esfuerzo de ada ordón no es más que el momento e tor parti-do por el brazo de palan a, la antidad de estru tura dispuesta en los ordonesde un elemento de viga será igual a dos ve es el valor del momento partido por elbrazo multipli ado por el elemento de longitud, o lo que es lo mismo, si el brazoes onstante, la antidad de estru tura en ordones será igual al doble del áreade la grá a de momentos resistida por la viga partido por el brazo. Debemosdistinguir entre momento soli ita ión y momento resistido. La antidad de es-tru tura estri ta estará aso iada a la grá a de momentos soli ita ión, mientras

CAPÍTULO 8. CONSUMO EN TIPOS ESTRUCTURALES BÁSICOS 164que el onsumo real de material de estru tura en la viga estará aso iada a lagrá a de momentos resistida efe tivamente por ada se ión de ésta. Podemosemplear en ambos asos el término de antidad de estru tura orrespondiente alas solu iones de se ión estri ta o la real, a n de no añadir omplejidad ter-minológi a. Pero evitaremos la onfusión entendiendo que el término se apli aen su a ep ión pura y rigurosa ex lusivamente a estru turas diseñadas de formaestri ta, mientras que en estru turas diseñadas on otros riterios el término seapli a de modo informal y sin mayor pretensión teóri a que el de dar una me-dida que mantenga en rela ión on la antidad de estru tura estri ta la mismapropor ión que la que mantiene el peso de la estru tura onsiderada on el pesode la orrespondiente estru tura estri ta de igual material. La antidad de es-tru tura aso iada de di ho modo informal a una estru tura real orresponderíaen puridad a la antidad de estru tura de aquella que se diseñase para resistirla ley de esfuerzos que resiste di ha estru tura efe tivamente. En todo aso solousaremos di ho modo informal de empleo del término en asos de ompara ión on solu iones estri tas, de modo que el ontexto evitará la onfusión.Por lo tanto la antidad de estru tura de ordones de vigas es:WM =

∫

|N | dl =

∫

2|M |z

dl = 2M

zdenotando on M al área de la grá a de momentos.Figura 8.1: Grá a de momentos y antidad de estru tura en ordones.Es fá il obtener informa ión relevante de esta magnitud, puesto que el áreade la grá a de momentos resistida por la viga es muy fá ilmente determinablea partir de la luz de la viga, del momento isostáti o para el que ésta se diseña, yde las ara terísti as de su diseño, omo son fundamentalmente las ondi ionesde extremo y el dimensionado, ya sea onstante o estri to, adoptado para sus ordones. Puede así estable erse el área en propor ión a la del re tángulo for-mado por el isostáti o y la luz, onsiderando en lo su esivo este área re tangular omo área de referen ia. Y por tanto puede evaluarse la antidad de estru turabasándose en el área de referen ia multipli ada por la fra ión que respe to dela misma supone la resistida por la viga de la solu ión onsiderada. Tenemos asíuna propor ión entre la antidad de estru tura de ualquier solu ión, y la de laviga isostáti a de ordones onstantes de igual momento isostáti o y anto, de-terminada dire tamente por la fra ión entre las respe tivas áreas de momentoresistidas por ambas solu iones.Algunos asos de di ha fra ión ψ para argas puntuales en el entro, uni-formemente repartidas, o doblemente triangulares on valor nulo en el entroy máximo en los apoyos se anotan en la tabla siguiente. Se in luyen en ellaigualmente los orrespondientes valores de momentos negativos de extremo enlos asos empotrados, en rela ión al isostáti o, M−

MI.

CAPÍTULO 8. CONSUMO EN TIPOS ESTRUCTURALES BÁSICOS 165Tipo de viga y arga puntual uniforme triangularFra ión ψ del re tángulo MI lViga onstante doblemente apoyada 1 1 1Viga estri ta doblemente apoyada 0,5 0,666 0,75Viga onstante doblemente empotrada 0,5 0,666 0,75Viga estri ta doblemente empotrada 0,25 0,25 0,21875Fra ión del momento negativo al isostáti oViga onstante doblemente empotrada 0,5 0,666 0,75Viga estri ta doblemente empotrada 0,5 0,75 0,875Cuadro 8.1: Rela iones de antidad de estru tura en ordones a MI lPuesto que el área re tangular de referen ia es el momento isostáti o por laluz, vemos que también puede evaluarse la antidad de estru tura en ordones omo dos ve es el produ to del momento isostáti o por la esbeltez de la pieza ypor la fra ión del área de referen ia que es efe tivamente resistida por la viga.WM = 2

M

z= 2ψ

MI l

z= 2ψMIλLa importan ia de esta expresión es que ofre e una posibilidad inmediatade interpreta ión en fun ión de ualidades del problema y del diseño adoptado, omo son el momento isostáti o, la esbeltez y las ondi iones de extremo y dediseño de los ordones.8.2.2. Cantidad de estru tura en el alma de vigasPuede mostrarse on fa ilidad que ésta es igual a dos ve es el área de or-tantes efe tivamente resistida por la viga en los asos de alma llena y triangu-la iones a 45, multipli ada por un fa tor de ine ien ia que es mayor que 1 entriangula iones on otros ángulos.

WT =

∫

T

sinα cosαdl =

∫

2T

sin 2αdl

WT > 2T

Figura 8.2: Cantidad de estru tura en triangula iónPodemos ver que el área de ortantes en solu iones simétri as es dos ve esel momento isostáti o. Pues en efe to la integral del ortante entre el punto de ortante nulo y el apoyo en tales solu iones es el momento isostáti o, al ser ladiferen ia de momentos entre vano y apoyo. Di ha integral es también la mitaddel área de ortantes, por lo que resultará queWT > 4MI

CAPÍTULO 8. CONSUMO EN TIPOS ESTRUCTURALES BÁSICOS 166El signo de desigualdad da uenta del fa tor de ine ien ia en tringula ionesdiferentes de 45 así omo del he ho de que el dimensionado puede no ser es-tri to. Algunos de estos fa tores de ine ien ia son fá iles de dedu ir, omo lossobre ostes derivados del empleo del dimensionado onstante frente al estri to,sin más que omparar las respe tivas áreas de ortante efe tivamente resistidas.En el aso de triangula iones no óptimas, o de ángulos diferentes según familiasde diagonales o montantes, basta ha er la suma de ada familia, resultando lossobre ostes de la tabla siguiente.Tipo de alma fa tor de sobre osteAlma ontinua o a 45 estri ta 1Alma onstante ( arga puntual) 1Alma onstante ( arga uniforme) 2Alma onstante ( arga bitriangular) 3Solu iones a 30 o 60 1,155Solu iones a 45 y 90 (viga pratt) 1,5Los sobre ostes por ine ien ia en el ángulo deben multipli arse por los deri-vados de sobredimensionar el alma respe to de la estri tamente ne esaria para laley de ortantes existente uando se dan simultáneamente ambas ir unstan ias.8.2.3. Cantidad de estru tura total en vigasSi sumamos las antidades de estru tura en ordones y triangula ión ten-dremos expresiones que agrupan las áreas de momentos y las de ortantes. Laexpresión denitiva es del tipoWv > 2ψMIλ+ 4MI

Wv > 2MIλψ

(

1 +2

ψλ

)Puede observarse que el término onstante dependiente del ortante puedeser de muy baja importan ia en los asos de esbelte es usuales en edi a ión.La antidad de estru tura puede es ribirse en términos de la arga total, y porejemplo, para arga uniforme, on MI = ql2/8 = Ql/8 = Q/2 · l/4, resulta dela formaWv > ψQ

l

4λ

(

1 +2

ψλ

)

.Para ualquier distribu ión simétri a resulta que el momento isostáti o puedeobtenerse omo produ to de la rea ión en un apoyo la mitad de la argapor la distan ia a la resultante de la arga de la viga que se equilibra sobre di hoapoyo, o lo que es lo mismo, la longitud que mide la distan ia media de la argaal apoyo, en la forma MI = Q/2φl por lo queWv > ψQφlλ

(

1 +2

ψλ

)

.Resulta φ igual a 12 para arga puntual en el entro, 1

4 par arga uniforme, y 16para arga triangular entre el entro y el apoyo, tal omo se representan en lagura 8.1.

CAPÍTULO 8. CONSUMO EN TIPOS ESTRUCTURALES BÁSICOS 1678.3. Cantidad de estru tura en ar os funi ularesPara poder omparar solu iones onsideramos ahora el aso de ar os en losque el empuje se resuelve atirantando, y en los que las argas se sitúan en lalínea horizontal denida por el tirante, olgándose del ar o mediante péndolasverti ales. Suponemos el trazado del ar o igual al antifuni ular de las argas, onapoyo en la misma ota verti al que éstas. En este aso la antidad de estru turaes la orrespondiente a la suma de las del tirante, las péndolas y el ar o. La deltirante no es más que el empuje por la luz del ar o. La de las péndolas no esmás que la ne esaria para olgar la arga del ar o. Puede demostrarse, y loveremos más adelante, que la antidad de estru tura del ar o es idénti a a lasuma de las anteriores, tirante más péndolas, por lo que su valor total sería fá ilde uanti ar.Figura 8.3: Produ to es alar fuerzalongitud.Vamos a omprobar de todos modos la antidad de estru tura que resultaen el ar o, onsiderando que el esfuerzo y el elemento de longitud son olineales:

Wa =

∫

N · ds =

∫

(H dx + T dz)Como la omponente horizontal H es onstante, puede integrarse el primersumando. Para el segundo empleamos la integra ión por partes, y el he ho deque la derivada de los ortantes globales son las argasWa = Hl−

∫

zdT

dxdx = Hl+

∫

pz dxEn la integra ión por partes se ha empleado el he ho de integrar entre dospuntos que tienen, bien ortante ero el eje de simetría de la estru tura;bien ota verti al ero los apoyos del ar o de modo que el resultado onrmala arma ión: la antidad de estru tura del ar o es igual a la del tirante Hl másla de las péndolas, que es la que resulta medida por el segundo sumando.Veamos pues el valor que resulta para el onjunto ompleto;WA = 2

(

Hl+

∫

pz dx

)

= 2

(

Hl+

∫

dT

dxz dx

)

= 2

(

Hl+

∫

Tdz

dxdx

)

WA = 2

(

Hl+

∫

TT

Hdx

)

= 2T0l

(

1

α+ α

∫ (

T

T0

)2dx

l

)siendo α el o iente T0/H , es de ir la tangente del ángulo del ar o en su arran-que. En la expresión puede observarse que la antidad de estru tura tiene uatropartes, dos omprimidas, pro edentes del ál ulo del ar o, y dos tra ionadas,

CAPÍTULO 8. CONSUMO EN TIPOS ESTRUCTURALES BÁSICOS 168pro edentes de tirante más péndolas. La antidad omprimida total iguala latra ionada total. Pero además, tanto la antidad omprimida omo la tra io-nada tienen otras dos partes, que pueden interpretarse omo antidad horizontalla aso iada a la omponente horizontal H del tirante en éste, o ejer iendo suempuje a lo largo del ar o y verti al la orrespondiente a subir las argasdesde la línea entre apoyos al ar o a través de las péndolas y volver a bajarlaa través del ar o. La solu ión de mínima antidad de estru tura, la óptima,es la que resulta uando se igualan las antidades de estru tura horizontal yverti al, quedando igualadas las uatro partes itadas.Si por ejemplo onsideramos el aso de arga uniformemente repartida, te-nemos T0l = 4MI , omo puede verse on fa ilidad en la gura 8.4, y α = 4/λ,siendo λ la esbeltez del ar o. Asimismo, el multipli ando entre paréntesis de ladere ha, expresado en fun ión de la esbeltez, resulta igual a λ(1/4 + 4/(3λ2)),de modo que para ese aso la antidad de estru tura total puede expresarse enla formaWAu = 2Miλ

(

1 +16

3λ2

)

Figura 8.4: Ar o parabóli o para arga uniforme.Un formato interesante para la anterior expresión se obtiene si se onsideraque la esbeltez óptima será aquella para la que se anule la derivada deW respe tode la esbeltez, lo que es trivial al ser MI independiente de ésta. Esto su ede eneste aso uando λo = 4√3, on lo que resultará la expresiónWA = 2MIλ

(

1 +λ2

o

λ2

)que puede demostrarse es de apli a ión ualquiera que sea la ley de argas onsiderada, y la orrespondiente forma del ar o trazado. Basta expresar la omponente horizontal y la ota z del ar o en fun ión de la ley de momentosM , el momento isostáti o MI , y el anto máximo del ar o h:

CAPÍTULO 8. CONSUMO EN TIPOS ESTRUCTURALES BÁSICOS 169WA =

∫

2M

zdx+

∫

2zp dx

WA =

∫

2MIz

zhdx+

∫

2hM

MIp dx

WA = 2MIλ+ 2

∫

lMp dx

MIλ

WA = 2MIλ

(

1 +

∫

lMp dx

M2I λ

2

) on óptimo paraλo =

√

∫

lMp dx

MIlo que prueba la expresión.El interés de ésta onsiste en que, omo hemos di ho antes, en situa iones desimetría, el momento isostáti o es igual a la rea ión la mitad de la argamultipli ada por la fra ión φ de la luz orrespondiente a la distan ia media dela arga al apoyo, distan ia que queda jada por el tipo de arga. De este modoMI = T0φl = Q/2φl, y resulta omo expresión para la antidad de la estru turala siguiente:

WA = φQlλ

(

1 +λ2

o

λ2

)expresión que tiene una altísima expresividad. Re ordemos que φ vale 1/2 on argas puntuales, 1/4 on arga uniforme, y 1/6 on arga bitriangular.8.4. Cantidad de estru tura en er has de antovariableUna vez analizados los asos de estru turas en exión de anto onstantevigas y de omponente horizontal onstante ar os podemos estimar la antidad de estru tura en er has, en las que no son onstantes ni el anto nila omponente horizontal existente en ordones. Ahora bien, en este momentono nos interesa tanto el detalle de su antidad de estru tura, omo su magnituden rela ión on las ya estimadas, por lo que vamos a ambiar la forma delrazonamiento, para a er arla a un formato más grá o, y por tanto más potenteen su apa idad des riptiva.Re ordamos que hemos obtenido expresiones tanto para vigas omo paraar os, de las que onsideraremos ahora las orrespondientes a estru turas di-mensionadas estri tamente.En el aso de las vigas la antidad de estru tura in luía dos partes. La prime-ra parte orresponde a los ordones, responsables de la resisten ia a momentos, on anto onstante y por tanto omponente horizontal variable propor ional adi ha ley. La segunda parte orresponde a las diagonales y montantes, respon-sables por tanto de la resisten ia frente a los ortantes.La expresión W = 2MI/z + 2T = 2M/z + 4MI puede representarse en unagura en la que se sombrea el área de la grá a de momentos, y el área de lade ortantes, que estarán entre sí en propor iones que pueden dedu irse on

CAPÍTULO 8. CONSUMO EN TIPOS ESTRUCTURALES BÁSICOS 170fa ilidad usando omo unidad de la grá a el área del re tángulo MI l: en lagura 8.5 orrespondiente a arga uniforme el fa tor de es ala en las grá as esα = 4/λ, fa tor que pro ede de igualar las razones entre las áreas sombreadas ylas antidades de estru tura:

α12

23

=4MI

2 Mz

α =4

3

4

2 2λ3

α =4

λEn el aso de la estru tura funi ular, el ar o, la antidad de estru tura puederepresentarse por las áreas sombreadas orrespondientes a la parte horizontal,que ahora es el re uadro re tangular ompleto MI l, a la misma es ala que el dela viga, que representa la antidad de estru tura horizontal, más el alzado delar o que representa la parte verti al, on fa tores de es ala que ahora sonα2

3

1=

163λ2

1

α =8

λ2Puede verse en las orrespondientes guras la antidad de estru tura aso iadaa la existen ia en ordones de la omponente horizontal, onstante en el ar o, yvariable en la viga.

Figura 8.5: Representa ión grá a de la antidad de estru turaCon estas ideas podemos ahora estimar la reper usión de de isiones formalesdiferentes, omo es la er ha orrespondiente al u hillo español, o el lási otriángulo en las solu iones de diente de sierra. En ambas puede onstatarse, enla posi ión del apoyo en el que on urren el ordón horizontal y el in linadoque, desde el punto de vista estru tural, orreponden a apoyos idénti os a losque representaría un ar o tangente a di hos ordones en el arranque. Dado quela arga es uniforme y el diagrama de momentos parabóli o, di ho ar o tiene anto mitad que el de referen ia en el entro del vano en el aso del u hilloespañol, y anto igual a un uarto de aquél en la forma triangular, antos quepasan a ser igual al de la viga de referen ia en el entro, y en el otro apoyo

CAPÍTULO 8. CONSUMO EN TIPOS ESTRUCTURALES BÁSICOS 171respe tivamente. En ambas posi iones, pues, la antidad de estru tura horizontalquedará reejada por un punto adi ional, similar al de la viga de referen iaen la misma se ión. Entre ambos puntos, la línea a trazar, que representa la omponente horizontal a lo largo del ordón inferior es fá il de determinar:dado que el produ to de la fuerza horizontal por el anto debe dar una leyparabóli a de momentos, y dado que el anto sigue una ley lineal, la fuerzahorizontal seguirá igualmente otra ley lineal. Esto ja inmediatamente la grá a orrespondiente a la omponente horizontal en ordones.

Figura 8.6: Cantidad de estru tura y ángulo de arranque en apoyoPara determinar la parte orrespondiente a la triangula ión, hay que teneren uenta que será nula en el apoyo en el que on urren dos ordones, omoen el ar o, y que la omponente verti al en los ordones, que en el apoyo esequivalente al ortante seguirá, desde di ho apoyo una evolu ión propor ionala la de la omponente horizontal, por lo que puede trazarse la diferen ia entre lagrá a de ortantes y la omponente verti al aportada por di ha omponente,obteniendo de este modo el área de fuerzas tangentes verti ales a resistir porla triangula ión, área que nos aportará una idea de la antidad de estru tura ontenida en di ha triangula ión que, omo se observa, opera en el sentido detrasladar las argas en dire ión ontraria a los apoyos próximos en las regionesen que se unen ambos ordones.Las grá as resultantes dan una magní a idea de la inade ua ión de lasformas elegidas, inade ua ión que se debe al es aso ángulo de arranque en éstas,y que puede orregirse on alguna de las alternativas presentadas en las gurassiguientes, on una importantísima mejora en la e ien ia al anzada.Este ejemplo permite mostrar on ierta laridad un aspe to adi ional enla forma a los ya planteados hasta aquí. No se trata ahora sólo del problemadel tamaño l de la forma, ni del de su esbeltez λ, determinantes en el onsumo

CAPÍTULO 8. CONSUMO EN TIPOS ESTRUCTURALES BÁSICOS 172

Figura 8.7: Formas mejoradas para er has.en estru tura en forma análoga a las argas que han de sostenerse, sino en elproblema de la esbeltez lo al implí ita por una importante lejanía de la solu iónadoptada respe to de la que sería óptima, y que omo hemos visto orrespon-dería a un ángulo en el arranque de 90, puesto que on urren dos barras, una omprimida y otra tra ionada, defe to que además se produ e en el punto don-de la arga es mayor, y donde por tanto las exigen ias de ajuste de la forma sonmayores, es de ir en el apoyo.De este modo una importante on lusión será la ne esidad de uidar ade- uadamente las ondi iones en el arranque de la estru tura que serán, junto onlas ualidades globales de la forma, determinantes en el onsumo nal.8.5. Cantidad de estru tura en otros tipos estru -turalesPuede ha erse un re orrido más extenso por otros tipos estru turales, enparti ular los que orresponden a solu iones super iales, omo pla as o lámi-nas. Para ello bastará estudiar, omo en los asos anteriores, las sumas de las antidades de estru tura de sus distintos elementos.De entre tales tipos son de interés los que tienen apoyo sobre el perímetro deun re into, omo las pla as o las familias de vigas ruzadas, o radiales, que frentea las vigas o ar os olo ados paralelamente suponen una solu ión diferente desdela perspe tiva de las ualidades del apoyo, y podrían igualmente ser onsideradasdiferentes en algunos asos desde la perspe tiva del omportamiento estru tural,al in luir asos de exión bidire ional frente a la exión unidire ional de lasvigas.

CAPÍTULO 8. CONSUMO EN TIPOS ESTRUCTURALES BÁSICOS 173A título de ejemplo onsideraremos sólo dos asos parti ulares, a saber, lasolu ión de vigas radiales de anto onstante para resolver la ubierta de unre into de ontorno ir ular, y la solu ión para el mismo problema mediante un onjunto de vigas radiales y ir unferen iales que puedan onsiderarse equiva-lentes a una solu ión de pla a de dimensionado estri to, ha ia donde apunta lasolu ión del velódromo de Berlín. Analizaremos ambos asos para arga unifor-me por unidad de super ie.8.5.1. Cantidad de estru tura de vigas o er has radialessobre apoyo ir unferen ial.Figura 8.8: Cer has radiales.En este tipo, la arga apli ada a ada er ha es la de se tores de ír ulo, demodo que se trata de argas triangulares de valor nulo en el entro, y máximo enel apoyo. De he ho las expresiones que hemos obtenido para las vigas en generalson de apli a ión si el anto es onstante sin más que onsiderar el aso de argaapropiado. Si suponemos dimensionado estri to y triangula ión óptima,

W = 2M

z+ 2T = 2ψMIλ+ 4MISi referimos el problema a la unidad de longitud en el ontorno, resulta que larea ión es la arga lineal unitaria máxima multipli ada por la luz y dividida por4; la resultante de la arga está olo ada a una distan ia del apoyo equivalente aun sexto de la luz, de modo que el máximo momento es ql2/24 frente al ql2/8de las vigas paralelas on ley de momentos de ter er grado. El fa tor ψ es, pues,

3/4. Por unidad de longitud del ontorno el ahorro del dimensionado estri tofrente al dimensionado onstante de los ordones es de 1/4. Para el dimensionadode la triangula ión la arga triangular supone una rea ión igual a la arga linealmáxima multipli ada por un uarto de la luz, y la ley de ortantes parabóli asupone un área estri ta igual al ter io de la orrespondiente al dimensionado onstante.Resultan pues, para dimensionado onstante, y llamando Q a la arga totalsobre ada er ha:WM = 2

ql2

24λ =

1

6Qlλ;

WT = 2ql

4l = QlLos ahorros sobre estas antidades orrespondientes al dimensionado estri toson de 1/4 en ordones y 2/3 en la triangula ión.

CAPÍTULO 8. CONSUMO EN TIPOS ESTRUCTURALES BÁSICOS 174Si onsideramos el onjunto de er has que ubren todo el re into, a umula-rán en total una arga que ahora es Q = πR2q que es la que podremos emplearen el ál ulo on las fórmulas pre edentes dado el ará ter aditivo de la magni-tud onsiderada y la igualdad en las expresiones para todas las er has de quese omponga la estru tura ompleta.8.5.2. Cantidad de estru tura de Pla a ir ularFigura 8.9: Dos formas de ver la Pla a triangulada.El aso de la pla a mere e aten ión, pues se trata de una alternativa bidire - ional a la red radial de er has. Consideraremos aquí omo pla a una solu iónbidire ional triangulada, no ne esariamente isótropa (por diferen ia de dimen-sionado en dire iones ortogonales). Dada la simetría axial, se trata más biende un emparrillado de vigas radiales y ir unferen iales, en el que, al oin idirlas dire iones prin ipales de rigidez on las dire iones prin ipales de esfuer-zos, el omportamiento es de pla a. Pero se trata de un problema que, desdela perspe tiva del análisis es hiperestáti o, lo que exige para éste un dimensio-nado detallado. Ahora bien, desde la perspe tiva del diseño los asos que sonhiperestáti os para el análisis no suponen por el ontrario mayor problema enninguna de las ir unstan ias en que usualmente se presentan. Pues en efe to, loque estable e la teoría es que en las estru turas hiperestáti as deben umplirsesimultáneamente las ondi iones de equilibrio, las de ompatibilidad, y las queexpresan las rela iones materiales, y esto puede estable erse dire tamente en lasrestri iones del diseño que se adopta.A tuamos, pues así. Para ello debemos estable er un sistema de esfuerzos enequilibrio entre sí y on las argas. Debe igualmente estable erse un dimensiona-do de la estru tura que, para este sistema de esfuerzos, haga que las deforma io-nes resultantes de las ondi iones que regulan las rela iones entre deforma ión yesfuerzo rela iones onstitutivas de los materiales sean dire tamente om-patibles.Usemos omo forma de referen ia la primera versión de las de la gura 8.9y elijamos omo sistema de esfuerzos equilibrados los que resultan de igualartodos los momentos e tores ir unferen iales es de ir, exa tamente el siste-ma de esfuerzos que el modelo de pla as en rotura atribuye a la pla a ir ularisótropa. Como rela iones onstitutivas emplearemos las que ligan momentos on urvaturas, ignorando las que ligan ortantes on distorsiones1. Elegimos1Podemos observar que los ortantes están sólo en las dire iones radiales y que la distor-sión que les orresponde no afe ta a las longitudes de los ordones de la versión de pla a onsiderada de entre las reejadas en la gura 8.9.

CAPÍTULO 8. CONSUMO EN TIPOS ESTRUCTURALES BÁSICOS 175nalmente omo deforma ión ompatible en ordones la que resulta de onside-rar las urvaturas de una deformada esféri a en toda la super ie, lo que para anto onstante y deforma iones pequeñas provo ará urvaturas onstantes entodo punto y dire ión, y por lo tanto momentos en las se iones en propor ióndire ta a las dimensiones estable idas en los ordones. Con estas ondi ionesresultará que basta elegir una ley de momentos equilibrada para ser resistidapor las se iones, y dimensionar estri tamente éstas, para asegurar el equilibrioy la ompatibilidad respetando las rela iones onstitutivas apli ables.Figura 8.10: Leyes de esfuerzos en losa.Resulta enton es que los ortantes son iguales a la arga del se tor esféri oque soportan y los momentos ir unferen iales son iguales en toda se ión radiala ql2/24. Los momentos radiales pueden determinarse a partir de éstos y de los ortantes, resultando una ley parabóli a on máximo en el entro, que, expresadaen fun ión del diámetro φ onsiderado, queda de la forma

Mr =ql2

24

(

1−(

φ

l

)2)

.Con todo ello podemos pro eder. Tendremos en primer lugar que la antidadde estru tura que resulta en montantes y diagonales en la solu ión estri ta serála misma que la ya obtenida en el aso anterior, al tratarse sólo de ortantesen la dire ión radial. En efe to, si el dimensionado es estri to, omo la ley de ortantes esTrθ =

θr2

2,

T =qr

2tendremos que el doble del volumen de ortantes en toda la pla a seráWT = 2

∫

qr

22πr dr = 2πq

R3

3=

1

3QlLa antidad de estru tura teóri a para dimensionado onstante uandola densidad de barras del alma es isótropa e igual en toda la super ie a larequerida junto a los apoyos sería:

WT = 2πR2Tm = QR =1

2QlLa antidad de estru tura en ordones resultará de la suma de la de los ordones radiales y la de los ir unferen iales. Si empleamos la expresión de dos

CAPÍTULO 8. CONSUMO EN TIPOS ESTRUCTURALES BÁSICOS 176ve es el área de momentos dividida por el anto, extendida a toda la super iede la pla a, tendremos omo antidad de estru tura el produ to de dos ve esel volumen de momentos dividido por el anto. La mejor manera de obteneréste es obtener el valor suponiendo que el momento fuese onstante paradimensionado onstante en ambas dire iones y restar la parte de volumenque orresponde a la parte variable del momento radial.El doble del volumen de ambos momentos dividido por z para dimensionado onstante es:WM = πR2 2

z

(

2ql2

24

)

= qπR2 l

z

l

6

WM =1

6Qlλ.El ahorro por dimensionado estri to para los momentos radiales es, en volumende momentos, y referido al momento máximo M

Mar = M

∫ R

0

(

φ

l

)2

2πr dr = MR2

∫ R

0

( r

R

)2

2πr

R

(

dr

R

)

= MπR2

2.Como puede verse equivale a la mitad del volumen orrespondiente a losmomentos radiales si se utilizase dimensionado onstante para M, y por tanto ala uarta parte del total del volumen de momentos. El ahorro total para dimen-sionado estri to respe to del volumen obtenido on dimensionado onstante espues de un uarto de la antidad de estru tura total en ordones.Puede verse que la solu ión estri ta es idénti a en antidad de estru tura ala de er has radiales, lo que tiene una fá il expli a ión en base a los on ep-tos ya obtenidos en la se ión 7.2: si dibujamos la deformada orrespondienteal dimensionado estri to, resulta en ambos asos una deformada esféri a porla parte de la deforma ión de ordones por momentos más una distorsiónanáloga dada la simetría radial para la deforma ión por ortante, que, por lotanto iguala ambas deformadas, pues en la medida en que la urvatura dependede la deforma ión unitaria del material y el anto, resultan urvaturas esféri asidénti as. En razón de di ha identidad, la pérdida de energía poten ial de las argas es idénti a y por lo tanto lo es la antidad de estru tura de ambas solu io-nes. La diferen ia total entre las solu iones de er has radiales de dimensionado onstante y la distribuida de pla a, también on dimensionado onstante, es eneste aso debida sólo a la diferen ia de dimensionado en las triangula iones. Loque su ede en éstas es que al tratar de mantener las dimensiones onstantesresultan sobredimensionados mayores en el aso radial que en el distribuido depla a, pues en la solu ión radial las mismas barras tienen separa iones ir un-feren iales que disminuyen según nos a er amos al entro.8.6. Resumen de valores de antidad de estru -tura.No vamos a seguir on más tipos, pues para omprender las ualidades de lassolu iones obtenidas es útil revisar ahora nuevamente algunas de las propiedadesfundamentales de la magnitud que estamos empleando, y las rela iones quemantiene on otras magnitudes en las estru turas para las que se ha e mínima,que serían las óptimas desde este punto de vista.

CAPÍTULO 8. CONSUMO EN TIPOS ESTRUCTURALES BÁSICOS 177Por otro lado, para enun iar las prin ipales rela iones entre esta magnitudy las ualidades de la forma nos basta por ahora on los asos anteriores, quehabrá todavía que analizar on más detalle desde on eptos propios de la formamisma.In luimos en ualquier aso aquí una pequeña tabla resumen de valores ob-tenidos hasta el momento, y apli ados ya a la ompara ión de solu iones es-tru turales. Por ello la tabla se apli a sólo a problemas de arga omparable: aproblemas de arga uniforme por unidad de super ie.En todos los asos uni amos el formato a expresiones dependientes de la arga total Q, la luz l, y la esbeltez λ.Tipo estru tural Dimensionado: estri to onstanteViga doblemente empotrada Ql(

λ12 + 1

2

)

Ql(

λ6 + 1

)Viga doblemente apoyada Ql(

λ6 + 1

2

)

Ql(

λ4 + 1

)Ar o parabóli o Ql(

λ4 + 4

3λ

)

−Ar o úbi o (ar os radiales) Ql(

λ6 + 6

5λ

)

−Cer has radiales Ql(

λ8 + 1

3

)

Ql(

λ6 + 1

)Pla a ir ular Ql(

λ8 + 1

3

)

Ql(

λ6 + 1

2

)8.7. Esbeltez óptima. Expresión general de la an-tidad de estru tura.Hemos visto en los apartados pre edentes que la antidad de estru turaresultaba ser el produ to de la arga total por la luz multipli ado por un términoque en mu hos asos es igual a la suma de una onstante on el produ to de laesbeltez por un número. En otros asos, la onstante que se suma está sustituidapor el produ to de un número on el inverso de la esbeltez.Pueden expresarse todos los asos vistos en el formatoW ≥ φQl

(

λ+α

λi

)siendo i ero o uno.Si analizamos la expresión desde la perspe tiva del óptimo, omprobamosque el aso de i = 0 es teóri amente insatisfa torio: la esbeltez óptima resultaríala menor posible o la estru tura óptima la de anto mayor posible tendiendoéste, por tanto al innito. Pero on ese anto es irrealizable la triangula ióna 45. Igualmente puede de irse que el alma de la viga de alma llena resultaríade espesor nulo. Para muy bajas esbelte es el anto debe resultar gravoso parala antidad de estru tura, y podemos onsiderar que el orrespondiente términosuponga ostes propor ionales al anto mismo para una luz dada por ejemplopor razón de la ne esidad de un espesor mínimo, y por lo tanto inversamentepropor ionales a la esbeltez, omo resulta en el aso de los ar os analizados.En este aso en la forma general debería ser i = 1. De ésta puede dedu irse lasiguiente expresiónW ≥ φQlλ

(

1 +α

λ2

)Ahora bien, es fá il ver que la última expresión puede ser es rita en fun ión dela esbeltez para la que resultaría óptima la estru tura para la que la antidad

CAPÍTULO 8. CONSUMO EN TIPOS ESTRUCTURALES BÁSICOS 178de estru tura al anzaría un mínimo, pues si en la antidad de estru turasuponemos arga y luz onstantes y se varía la esbeltez el mínimo se dará parael aso en que la derivada respe to de ésta se anule, lo que su ede uando α = λ2o.De este modo

W ≥ φQlλ(

1 +λ2

o

λ2

)

= γQlλ (8.1)La última forma de la expresión, idénti a a la dedu ida teóri amente en elapartado 7.3 es de apli a ión aun siendo γ fun ión de λ, si se onsidera que enlos asos más usuales la esbeltez real será alta en ompara ión on la óptima,y el término que disminuye on la esbeltez resultará pequeño despre iablein luso a ve es en ompara ión on el otro.Podría onsiderarse una forma algo más ompleja si se ompleta el polinomioentre paréntesis on el término del grado que falta, que por suponer onsumo onstante e independiente de la esbeltez no afe taría al óptimo para lo que abe proponer la forma más general, aunque menos expresiva que la anterior:W ≥ φQlλ

(

1 +α

λ+λ2

o

λ2

)

= γQlλAhora el oe iente α orresponde a un fa tor de propor ión el o ienteentre el término onstante de la antidad de estru tura y el produ to de la argapor su distan ia media al apoyo. En las vigas la primera de las magnitudes dedi ho o iente es el área de ortantes resistida por la solu ión de alma, magnitudque oin ide on la segunda de di ho o iente en los asos de dimensionadoestri to.

Capítulo 9Planos paralelos: solu ionesadinteladasAbordamos ahora el problema desde la perspe tiva de las solu iones de pro-blemas aso iados a usos denidos, empezando por el aso de los espa ios on-gurados mediante planos paralelos.Las posibilidades expli ativas que se dedu en de este problema son de granimportan ia, dado el es aso número de parámetros de que depende y el grannúmero de estru turas que responden a di ho modelo. Suponemos que se tratade solu iones de anto limitado, de ritmos regulares que se repiten de formaindenida. Analizamos el aso de solu iones onsistentes en familias de vigasparalelas. Para di ho problema se estable en las omproba iones en forma geo-métri a, demostrando que resultan en omproba iones de propor ión, si la argano in luye el peso propio, o de tamaño, si in luye éste. Se determinan, igualmen-te, los parámetros relevantes en el onsumo de material ne esario para asegurarel umplimiento de los requisitos estru turales.9.1. Resisten ia y rigidez de solu iones de vigasparalelasVamos a estable er en primer lugar las ondi iones de resisten ia y de defor-ma ión limitada en el aso de vigas de se ión onstante para arga uniforme ypeso propio, on el objetivo expreso de presentar tales ondi iones, sobradamen-te ono idas, mediante rela iones geométri as. El problema ejempli a buenaparte de las ualidades geométri as del omportamiento estru tural.En Cortante, Flexión y Deforma ión, las expresiones de omproba ión ono- idas son del tipo:T = α1

(qs+ bhρ)l

2≤ β1τbh;

M = α2(qs+ bhρ)l2

8≤ β2bh

2σ;

δ

l= α3

(qs+ bhρ)l4

384EIl≤ β3;

(9.1)Con 179

CAPÍTULO 9. PLANOS PARALELOS: SOLUCIONES ADINTELADAS 180

Figura 9.1: Geometría bási a de una super ie soportada por vigas.q : Carga útil por unidad de super iel : Luz de la vigas : separa ion entre vigas (o luz de arga)h : Canto de la vigab : An ho de la vigaρ : peso espe í o del materialσ : Resisten ia a tensión normal del material1τ : Resisten ia a tensión tangen ial del materialE : Módulo de elasti idad del materialI : Iner ia de la se ión. (bd3/12 en este diseño.)α1 : Fa tor por ondi ión de extremo en el ortante (1 en ondi iones simétri as)α2 : Fa tor por ondi ión de extremo en el momento (1 en vigas apoyadas, 0,666en empotradas elásti as, 0,5 en empotradas plásti as, . . . )α3 : Fa tor por ondi ión de extremo en deforma ion (5 en vigas apoyadas,3 en vigas on un extremo apoyado y el otro semiempotrado2, 2 en vi-gas on ambos extremos semiempotrados, o bien uno apoyado y el otroperfe tamente empotrado, 1 en vigas empotradas en ambos extremos. . . )β1 : Fa tor de resisten ia de la se ión en ortante (0,66 para las vigas re -tangulares de omportamiento elásti o, 0,9 para se iones de hormigón,. . . )1En general en este desarrollo no distinguimos al hablar de resisten ia entre σ tensión(máxima) existente en algún punto de una se ión dada y f resisten ia a la tensión normaldel material en di ho punto dado que usualmente tratamos de ondi iones de diseño paralas que haremos oin idir la máxima tensión on la resisten ia admisible en el material, y porello empleamos un símbolo úni o.2Por ejemplo uando el valor del momento no al anza al del empotramiento perfe to elás-ti o, pero al anza al menos el del momento negativo pasti o de solu iones de se ión simétri ay onstante.

CAPÍTULO 9. PLANOS PARALELOS: SOLUCIONES ADINTELADAS 181β2 : Fa tor de resisten ia de la se ión en exión (0,1666 para vigas re tangu-lares de omportamiento elásti o, 0,255 para se iones de hormigón on uantía me áni a 0,3, 0,353 si la uantía es de 0,45, . . . )β3 : límite de e ha admitido (1/400, . . . )Si ordenamos ade uadamente las expresiones anteriores, resulta

ls

hb≤ 2

β1

α1

τ

q

1(

1 + hρqs/b

)

l2s

h2b≤ 8

β2

α2

σ

q

1(

1 + hρqs/b

)

l3s

h3b≤ 384

β3

α3

E

q

1(

1 + hρqs/b

)Llamamos λb al o iente s/b, λh al o iente l/h; ha emos asimismo µ =(

1 + hρqs/b

); de este modo µq es la arga total, in luido el peso propio y µ valela unidad más el o iente entre el peso propio y la arga externa.De este modo resulta:λhλb ≤ K1

τ

µq;

λ2hλb ≤ K2

σ

µq;

λ3hλb ≤ K3

E

µq;

(9.2)Se trata de expresiones adimensionales en las que los o ientes del primermiembro son esbelte es propor iones, y los términos que intervienen enel segundo son en gran medida dependientes sólo del tipo de problema: Enefe to, en Ki se onsideran sólo términos del problema forma de las argas, ondi iones de apoyo, . . . no dependientes de las dimensiones de la solu ión.En µ se in luyen todos los términos dependientes de la rela ión entre arga y pesopropio, y puede onsiderarse omo un fa tor de amplia ión de la arga quemultipli aría a ésta para in orporar la inuen ia del peso propio3. Finalmentequedan los términos τ/q, σ/q, E/q, que denotan la rela ión entre las presionesque ara terizan la resisten ia y rigidez del material, y la que ara teriza laintensidad de la arga, que no dependen tampo o de las dimensiones de lasolu ión.9.1.1. Esbelte es base y límiteEntre las tres omproba iones existen unos valores límite que separan lospuntos de orte entre diseño por ortante, diseño por momento, o diseño pordeforma ión, que se obtienen sin más que onsiderar que, en tales ondi iones,la geometría umple dos de tales ondi iones simultáneamente, y ello dependesólo de la esbeltez en exión de la pieza: λh. Si se expresa di ha simultaneidad3El onsiderar la arga total arga externa más peso propio omo una amplia ión dela arga externa resultará extremadamente útil, omo se verá más adelante, y omo se intuyede lo expuesto en el apítulo 7.

CAPÍTULO 9. PLANOS PARALELOS: SOLUCIONES ADINTELADAS 182puede obtenerse el valor de la esbeltez λh que orresponde a di ha ondi iónpor elimina ión entre las dos e ua iones, por ejemplo por o iente entre éstas.Se observa de inmediato que tales esbelte es no dependen de las rela iones entre arga externa y peso propio que puedan existir.λt =

K2

K1

σ

τ; Esbeltez base, o esbeltez ríti a a ortante

λl =K3

K2

E

σ; Esbeltez límite (9.3)Hay que ha er onstar que los anteriores on eptos, aun estable idos paraun aso parti ular de proye to, a saber, se iones homogéneas y re tangularesde un material isótropo, pueden igualmente estable erse para otras situa ionesen las que, omo hemos di ho al prin ipio, puedan desligarse las de isiones sobreel anto de la estru tura de las de isiones sobre su an hura y espesor. Por ejem-plo, si onsideramos vigas de hormigón armado, y analizamos el ontrovertidoproblema de la e ha, tenemos los siguientes pasos en la omproba ión:Determina ión de la rigidez instantánea, que puede aproximarse on bastantepre isión mediante la expresión K = 0,7EsAsd

2 que la reere al área dea ero de las se iones que representan de forma media a la pieza ompleta(el vano en las que tienen dos apoyos, y el apoyo en los voladizos). Laexpresión da uenta de la rigidez surada de la se ión on mejor ajusteque si se reere a la rigidez bruta de hormigón.Determina ión de la e ha a tiva. La expresión re rigidez anterior o ulta elefe to de la e ha diferida derivada de la uen ia del hormigón, pero esusual onsiderar ésta aproximadamente omo una fra ión, dependientedel tiempo, de la e ha instantánea total, por lo que no debería presentarproblemas si la aproxima ión de la e ha instantánea es razonableComproba ión. Bastará estable er, on las expresiones de la me áni a, la e hao la rela ión e ha a luz.Si ha emos lo des rito en los anteriores párrafos, y estimamos la e ha a -tiva en un valor igual a la e ha instantánea para la arga total, que es unaaproxima ión bastante usual, resultaf

l=

1

l

α1

384

qsl4

K=α1

48

qsl2

8 l

0,7EsAsd2

f

l=α1

48

Mil

0,7Esα2Mi

0,85d d2donde α1 es un oe iente que vale 1, 2, 3, 5 en piezas empotradas en ambosextremos, semiempotradas en ambos extremos o empotradas en uno de ellos,semiempotradas en un extremo y apoyadas en el otro, o doblemente apoyadas,y siendo As = α2Mi

zfy≈ α2Mi

0,85dfysi se dimensiona la armadura de la se ión de refe-ren ia para la fra ión α2 del momento isostáti o, en fun ión de las ondi ionesde ontinuidad de la viga.

CAPÍTULO 9. PLANOS PARALELOS: SOLUCIONES ADINTELADAS 183Si denotamos ahora ld = λ′, resulta

f

l=α1

α2

λ′

40Es

fs

f

l=α1

α2

λ′

30000donde la ultima expresión es válida para a ero BS500, y donde se ompruebaque el requisito de e ha se al anza por riterios de esbeltez si se usa toda la apa idad de resisten ia del material. Esto muestra que la esbeltez límite puedeestable erse por ualquier riterio a eptable, y, ono ida la expresión ade uadapara dimensionar las se iones por exión expresión que puede estable ersepor pro edimientos análogos a los empleados para la se ión re tangular isótro-pa, pero apli ados a expresiones de la resisten ia de piezas armadas on uantíasprejadas puede derivarse de ella y de la esbeltez límite la orrespondienteexpresión para dimensionar por razones de limita ión de deforma ión, al obte-nerse K3 = λlK2σE = λlK2ǫ. De igual modo puede estable erse la ne esidad dese ión para asegurar la apa idad resistente a ortante mediante las expresionesque limitan la ompresión de las bielas en el hormigón, expresiones que imponenun límite mínimo a la se ión requerida por ortante, obteniendo expresionessemejantes y dimensionalmente onsistentes on las del aso isótropo. La on- lusión es que las omproba iones pueden formularse en formatos bási amentegeométri os.Veamos nalmente que para extraer en las expresiones de omproba iónobtenidas sea la inuen ia de las argas ajenas al peso propio, sea la de lospesos propios, podemos anular alternativamente el peso espe í o ρ o la argaexterna q, obteniendo on ello las ondi iones geométri as de diseño para vigassin peso propio, o para vigas sin arga en el límite de tamaño.9.1.2. Comproba iones, bien sin peso propio, bien on sóloésteEn el primer aso µ = 1 , y en el segundo µq = bhlρ/ls, es de ir 1/µq =

λs/hρ. De este modo, para estru turas sin peso propio las omproba iones son:λhλb ≤ K1

τ

q= Kτ ;

λ2hλb ≤ K2

σ

q= Kσ;

λ3hλb ≤ K3

E

q= Kδ;

(9.4)Como se ve se trata de estru turas en las que existe propor ionalidad entrelas solu iones, dado que las ondi iones de omproba ión determinan la forma anto, dimensionado en términos de propor iones.Para estru turas sin arga externa las expresiones pueden rees ribirse entérminos del tamaño de la estru tura. Consideremos por ejemplo el aso de la

CAPÍTULO 9. PLANOS PARALELOS: SOLUCIONES ADINTELADAS 184 omproba ión de exión:λ2

hλb ≤ K2σ

µq;

λ2hλb ≤ K2

σλb

hρ;

λ2hl ≤

l

h

K2

λh

σ

ρ;resultando

l ≤ K2

λh

σ

ρde modo que las expresiones pasan a ser las siguientes:l ≤ K1

τ

ρ; l ≤ K1

τ

ρ;

l ≤ K21

λh

σ

ρ; lλh ≤ K2

σ

ρ;

l ≤ K31

λ2h

E

ρ; lλ2

h ≤ K3E

ρ

(9.5)Resulta por lo tanto que l, la luz solu ión el tamaño máximo al anzablesólo depende de la esbeltez geométri a de la piezade su propor ión en alzadoy de otras ondi iones, todas ellas ajenas al dimensionado, omo se vio en el apítulo anterior.Re ordamos ahora el he ho fundamental de que, para dimensiones menoresa la máxima, la fra ión de la tensión empleada en soportar el peso propio esigual a la fra ión entre la luz real de la pieza y la que orresponde a su tamañomáximo. En efe to, para di ho máximo, la tensión es la máxima admisible delmaterial, y el tamaño al anzado es propor ional a di ha tensión. Redu ir latensión admisible a una ierta fra ión de aquélla impli a redu ir el tamañoposible a una fra ión idénti a. De este modo, la propor ión entre tamaños esigual a la que existe entre las tensiones requeridas para soportar el peso de laestru tura.Vemos reprodu ida la importantísima on lusión de que si ono emos el ta-maño que no puede ser superado teóri amente por una solu ión estru tural on reta, una estru tura propor ional de tamaño menor tendrá una reserva deresisten ia para resistir arga externa que podrá medirse por la propor ión entrela dimensión que le falta a la estru tura para al anzar di ho tamaño máximo yéste mismo.Es de ir, si llamamos L, Al an e, a di ho tamaño máximo, y l al tamaño dela estru tura onsiderada, y llamamos σ, σp, y σq respe tivamente a la tensiónde servi io del material, y a las partes de tensión empleadas en soportar elpeso propio y la arga externa, resulta que omo σ = σp + σq se veri an lasrela iones:l

L=σp

σ=

σp

σp + σq=

1

1 + σq/σp=

1

χConsideremos ahora que tanto τ/ρ, omo σ/ρ, o E/ρ son longitudes quedependen del material elegido, y que los demás términos en Ki dependen sólodel problema y del tipo de solu ión elegidos. Se omprenderá enton es el interésdel análisis realizado: podemos abordar las omproba iones de la viga, tantosi onsideramos sólo la arga ajena al propio peso omo si onsideramos sólo

CAPÍTULO 9. PLANOS PARALELOS: SOLUCIONES ADINTELADAS 185Figura 9.2: Rela iones entre tamaños y efe tos del propio peso.el peso propio, en términos geométri os, empleando por lo tanto términos deforma, a saber, esbeltez y tamaño.Puede alegarse que no es posible des ribir desde la geometría el ompor-tamiento de las estru turas que sólo resisten su propio peso y que han sidodiseñadas estri tamente para tal fun ión, al ontrario del aso abordado aquí,de se ión onstante, y que por lo tanto onstituye una restri ión a las solu io-nes estru turales posibles, resultando ine iente omo solu ión para problemasde peso propio, y que, por lo tanto, no tiene por qué representar ade uadamenteel problema de diseño para di ha lase, diferente, de problemas.Más rigurosamente, el análisis realizado presupone que la arga externa esde forma análoga a la arga derivada del peso propio se trata en este aso dedos asos de arga uniforme por unidad de longitud, de modo que para asosen que no existe tal identidad de forma, el tipo de análisis empleado no es, enrigor, de apli a ión. Sin embargo las on lusiones del análisis realizado puedengeneralizarse on fa ilidad, por lo que su importan ia no queda disminuida.Pueden verse más detalles en [Cervera, 1990.Podemos re ordar las expresiones que teníamos en el apartado 7.5, deslin-dando en éstas los uatro términos fundamentales de la forma: ESQUEMA,ESBELTEZ, TAMAÑO y DIMENSIONADO. A éstos términos se añaden enlas omproba iones de las solu iones reales los términos derivados del materialempleado, y de la rela ión entre sus ara terísti as y las de las argas externasapli adas.En efe to, al plantear las expresiones de omproba ión en términos geométri- os para las vigas de se ión re tangular obtuvimos las 9.2 para omproba ionespor ortante, momento, y deforma ión limitada, que representan omproba io-nes en ampos uyos límites de validez se sitúan en las esbelte es de la expresión9.3.Tales expresiones se apli an a piezas sin peso propio, sin más que ha er elfa tor µ igual a uno, y a piezas on peso propio onsiderando en µ el fa tor deamplia ión de arga derivado de las expresiones del tamaño relativo al al an eo tamaño insuperable. Para piezas sometidas a peso en el límite de tamañoobteníamos las e ua iones 9.5.Como resultado del análisis de los apartados anteriores somos ahora apa esde delimitar lo que suponen en tales expresiones ada uno de los omponentesde la forma des ritos, para lo que rees ribimos las itadas e ua iones onjunta-

CAPÍTULO 9. PLANOS PARALELOS: SOLUCIONES ADINTELADAS 186mente, observando los términos que en ella apare en.λhλb ≤ K1

τ

q= Kτ ; l ≤ K1

τ

ρ= Lτ

λ2hλb ≤ K2

σ

q= Kσ; l ≤ K2

1

λh

σ

ρ= Lσ

λ3hλb ≤ K3

E

q= Kδ; l ≤ K3

1

λ2h

E

ρ= LδEs evidente el signi ado del esquema, uya e ien ia viene representada enlas fórmulas por los oe ientes Ki, así omo el de tamaño que viene represen-tado por la luz l, o el de tamaño relativo, representado por el o iente l

L , siendoL el tamaño insuperable o al an e.De las propor iones ontenidas en λh y λb abe señalar que el al an e nodepende de esta última, y si onsideramos que el úni o término de la formadel que no depende el tamaño máximo es el dimensionado, puede armarseque λh expresa la esbeltez o propor ión bási a del diseño, la del re tánguloque ir uns ribe la solu ión, mientras que λb aporta una forma de expresar eldimensionado.Podemos es ribir las expresiones en forma diferente, de modo que se per- iba inmediatamente el he ho intuitivo de que, tanto una mayor rela ión deresisten ia a arga, omo un mayor dimensionado, omo una mayor e ien iaen el esquema elegido para omponer la solu ión, permiten al anzar piezas másesbeltas:

λh ≤ K11

λb

τ

µq

λ2h ≤ K2

1

λb

σ

µq;

λ3h ≤ K3

1

λb

E

µq;En tales expresiones, D =

1

λb=

b

ses el término que dene el dimensionado.Para omprender su signi ado geométri o onsideremos que, una vez denidoel anto h a partir de luz l y la esbeltez λh, la separa ión entre pórti os smultipli ada por h des ribe el área máxima que puede ser o upada por la viga.Puede enton es denirse el dimensionado D =

b

sque es igual a bh

sh omola fra ión de área posible para su o upa ión por la viga que es efe tivamenteutilizada por ésta.Para omprobar tal signi ado geométri o, onsideremos el problema de e-xión resuelto mediante una viga triangulada apoyada de ordones de se ión onstante y montantes y diagonales también de se ión onstante. Para simpli- ar la digresión no onsideraremos los efe tos del pandeo.

CAPÍTULO 9. PLANOS PARALELOS: SOLUCIONES ADINTELADAS 187

Figura 9.3: Dimensionado en viga de se ión re tangular.

Figura 9.4: Dimensionado en viga de elosía.Si analizamos la resisten ia de la viga en exión, resultará:(

qs+ (Ac + Am

cos α )ρ)

l2

8≤ Ac

2σz

l2 ≤ 8

2

Ac(

qs+ (Ac + Am

cos α )ρ)σh

l2 ≤ 4Ac

hs

σ

q(

1 + (Ac + Am

cos α ) ρqs

)h2

λ2h ≤ 4

Ac

hs

σ

µqexpresiones en las que se ha identi ado aproximadamante z brazo de palan aentre ordones on h anto.En la última expresión se re ono en de inmediato los términos ya des ritosde esbeltez, esquema, dimensionado, así omo la amplia ión de arga derivadadel tamaño relativo, resultando omo último término de la misma el o ienteσ/q o σ/µq si se onsidera el peso propio que expresa la rela ión entrelas intensidades de presión orrespondientes a la resisten ia del material y a la arga.Las anteriores onsidera iones estable en una interesante pre isión sobre elobjeto estru tural de la propiedad denida omo dimensionado, espesor, o gro-sos, que no es otra que aportar la apa idad para resistir las argas existentesaprove hando el margen de resisten ia que se deriva de usar tamaños menores

CAPÍTULO 9. PLANOS PARALELOS: SOLUCIONES ADINTELADAS 188que el insuperable. Si se evalúa di ha propiedad en el aso de la viga de se - ión re tangular onstante, obtenemos D = 1λs

= bs . Se trata de una magnitudderivada, de modo que una vez jado el tamaño l y la esbeltez en alzado λl,

D se determina por la propor ión del an ho disponible entre ejes de vigas quese utiliza efe tivamente para disponer la viga, on límite máximo en la uni-dad, es de ir, on el límite máximo en la solu ión de losa de que la vigao upe efe tivamente todo el espa io disponible. En otros tipos onstru tivospuede estable erse una expresión similar, de modo que siempre puede estable- erse un límite máximo para di ho dimensionado que, por lo tanto, fuerza unlímite máximo a la esbeltez que puede adoptar el tipo estru tural elegido, límiteque podemos llamar Esbeltez tope, y que en el aso analizado se determinaha iendo D = 1

λp ≤ 3

√

K3E

µq(9.6)De este modo tenemos tres regiones de omproba ión, dependientes de formadiferente de la esbeltez, y tres límites en ésta que suponen el límite de empleo de ada una de las regiones para determinar las dimensiones de la pieza, de modoque si la esbeltez supera di ho valor límite, deberá usarse para el dimensionadola región siguiente. El último de los límites resulta ser un valor de esbeltez queno puede ser superado de forma alguna en las ondi iones de diseño estable idas.9.2. Coste de las solu iones adinteladasUna explora ión ne esaria si pretendemos onsiderar la e ien ia relativa delas solu iones elegidas es la del oste o volumen material ne esario para resolverun problema estru tural dado.Si onsideramos que hemos de omparar solu iones de diferentes dimensio-nes, tanto en el módulo l× s soportado, omo en las dimensiones h× b estable- idas para resolverlo, resulta evidente que la medida de ompara ión deberá serla de oste o volumen unitario, es de ir, el volumen de material por unidad desuper ie y de arga soportado.Así pues

Vu =V

ls=lhb

ls=

l

λhλbDe este modo, para ada una de las regiones de diseño prejadas en el apar-tado anterior resultará un volumen unitario diferente, que depende de la luz,pero depende re ientemente de la esbeltez según aumenta ésta, hasta depender uadráti amente de la misma uando el dimensionado está regido por deforma- ión. ortante; λhλb ≤ K1τµq = Kτ ; Vu = l

Kτmomento; λ2hλb ≤ K2

σµq = Kσ; Vu = lλh

Kσdeforma ión; λ3hλb ≤ K3

Eµq = Kδ; Vu =

lλ2

h

Kδ.

(9.7)Cuando el dimensionado es por ortante, el oste no depende bási amente de laesbeltez, pero una vez superada la esbeltez base, que es baja, y por lo tanto unavez que el dimensionado se de ide por momento, el oste re e linealmente onla esbeltez, pasando a re er uadráti amente on ella tras superarse la esbeltezlímite, y sin que pueda de ninguna manera superarse la esbeltez tope.

Capítulo 10Cubiertas: solu iones urvas.10.1. Solu iones: transi iones entre formas alter-nativasLa enorme diversidad de tipos que puede usarse en ubiertas, en ontraste on la es asa diponibilidad en los problemas de estru turas de pisos paralelos de-riva de las propias ara terísti as del problema arquite tóni o a resolver: bastaasegurar que la proye ión de la forma ubre la planta, junto on algunos po- os requisitos más que no suponen grandes restri iones formales usualmente, omo son la posibilidad de eva ua ión de aguas, la ilumina ión del re into, et .Pero además, y omo hemos visto en los apartados anteriores e ilustraremos enlas guras que siguen, las distintas op iones formales, onsideradas y resueltasrigurosamente, no tienen por qué suponer muy distintas e ien ias en su om-portamiento, por lo que son bási amente inter ambiables entre sí. De este modolas ubiertas han dado origen a un extenso repertorio de solu iones, que puedenemplearse en sus múltiples variantes para materializar formas e imágenes muydiversas.Hay que onsiderar además que la in iden ia espa ial de las formas ne esa-rias para ubrir espa ios es propor ional al espa io ubierto. Más aún, si paraespa ios grandes se trata de limitar la inversión estru tural requerida, por sumayor peso en la inversión nal, se in rementa más aún la in iden ia espa ial alne esitarse limitar la esbeltez. De este modo el ontenido simbóli o aso iado alas distintas edi a iones utilizadas por el poder terrenal o elestial puedetransferirse de inmediato a la forma que lo ubre.La ubierta puede así ongurarse omo uno de los elementos simbóli osprivilegiados en la arquite tura. La op ión por una u otra ongura ión no essólo una op ión intrínse a que deriva de los requisitos internos de la propiaedi a ión y sus leyes físi as propias, sino que al ser las solu iones posiblesbastante inter ambiables, admite en sí la adi ión de elementos de signi a iónajenos a su propias ualidades portantes, ajenos por tanto a su propio valorsemánti o omo elemento arquite tóni o impli ado en el estable imiento de larmitas de la obra.Esta ualidad simbóli a de las grandes ubiertas ha sido una onstante de laarquite tura, aun uando la extrema diversidad de solu iones formales sea sólouna realidad re iente, puesto que requiere del uso de materiales e a es tanto189

CAPÍTULO 10. CUBIERTAS: SOLUCIONES CURVAS. 190en tra ión omo en ompresión para al anzar toda su virtualidad. En las edi- a iones del pasado di ha diversidad quedaba par ialmente limitada al quedarrestringida por las apa idades de los materiales ompresibles fábri as, o alas posibilidades de ensamblaje de la madera.Para ha er el re orrido formal onsideraremos omo referen ia uno de los dosproblemas lási os de resisten ia de materiales desde Galileo: el ru e de un vano on solu iones biapoyadas. (El otro es el voladizo). Se onsideran su esivamentediferentes versiones de la forma apoyada en dos extemos del re into, sus varian-tes uando el apoyo se lleva al ontorno ompleto del re into, y las alternativasque se dedu en de las reglas de transforma ión vistas en anteriores apartados,a saber la regla de identidad anillo-radios-malla que aporta ambios de geo-metría en planta o la transforma ión de viga en ar o on ambios en elalzado. Vimos en el apartado 7.2.1 que la primera, representada en la gura7.4, era un importantísimo orolario del teorema de Maxwell. Hemos podido omprobar también, en el apartado 8.4, que la segunda de estas transforma- iones no supone diferen ias muy importantes en la antidad de estru tura, aigualdad en las ondi iones de idoneidad en el apoyo y de ontinuidad, por loque ambas transforma iones son opera iones legítimas si pretendemos re orrerformas estru turales omparables en e ien ia. El re orrido que aquí presenta-mos es por ello esen ialmente ualitativo, basado en las ideas onstruidas en losanteriores apítulos.10.1.1. VigaLa solu ión de viga, en el aso de ubiertas, puede ser de se ión ma iza aso de la madera o aligerada, por triangula ión o refuerzo, y en dimensionespequeñas y medias es insustituible. La viga debe desdoblarse para redu ir ladimensión transversal, y las separa iones entre vigas tratan en general de mini-mizar los ostes de las siguientes familias, situándose en un rango difuso entre1/3 de la luz y 2 metros más 1/8 de la luz.

Figura 10.1: Problema de ubierta . . . resuelto on vigas . . .Las solu iones de viga pueden aprove har la ontinuidad, redu iendo el áreade momentos si es posible olo ar soportes en el interior, lo que debe ha ersesiempre que el uso lo permita.

CAPÍTULO 10. CUBIERTAS: SOLUCIONES CURVAS. 191

Figura 10.2: Vigas separadas . . . y triangulades10.1.2. EmparrilladoEl desdoblamiento de las vigas y su ambio de dire ión da lugar al emparri-llado que, a igualdad de otras ara terísti as, tiene un oste teóri o levementemenor dado que la proximidad de las argas al apoyo mejora. La redu iónse aso ia al fa tor de di ha mejora, que pasa a ser er ano aunque mayora 1/6, frente al 1/4 de la solu ión pre edente, a ambio de mayor ompleji-dad y di ultad onstru tiva, en parti ular en lo que se reere a la ne esaria ontinuidad de los ordones tra ionados.Hay ventaja adi ional en la redu ión del problema de pandeo del ordón omprimido, y las solu iones que resuelven el erramiento de la super ie me-diante elementos uadrados on uerdan razonablemente on el tipo, ade uadopor tanto para soportar paños de vidrio.

Figura 10.3: Desdoblando vigas . . . para obtener emparrillados.La solu ión triangulada es sin ex ep ión la malla estérea de pirámides ua-dradas al objeto de redu ir los tipos de nudos distintos del entramado.El omportamiento de emparrillado podría ha erse más omplejo: pasando ala malla de tetraedros tendríamos omportamiento de pla a, es de ir, on rigideza torsión. Sin embargo este ambio no aporta mejora prá ti a alguna frente alemparrillado, exigiendo a ambio una omplejidad en los nudos muy superior,por lo que no se trata de una solu ión usual.En todo aso, abe añadir que, tanto la viga omo el emparrillado se emplean on regularidad omo elementos estru turales de segundo nivel en mu has solu- iones que globalmente son de otro tipo, omo elementos de rigidiza ión (malla

CAPÍTULO 10. CUBIERTAS: SOLUCIONES CURVAS. 192

Figura 10.4: La sen illez sugiere triangular en mallas de pirámide uadrada.

Figura 10.5: Malla de tetraedros . . . on empleo de anillos para abrir hue osde pirámides uadradas para produ ir la doble apa en bóvedas y úpulas ovigas omo segunda o ter era familia estru tural en solu iones de todo tipo).10.1.3. Ar os paralelos. BóvedasLa alternativa de dar anto variable a las vigas nos traslada a las solu ionesen ar o, tras pasar por las piezas de anto variable pero de forma no funi ular,es de ir, las er has. En la medida en que la forma se a er a a la antifuni ularde las argas dominantes, las ne esidades de resistir exiones, bien en la formaglobal, bien mediante exión lo al en el ordón argado, se redu en.De todos modos, tanto las alternan ias de arga en el ordón argado, omolas ne esidades de rigidez en el ordón omprimido exigen rigidez, que puedeobtenerse on se iones aligeradas, o trianguladas.Las diferen ias entre los ostes globales de una y otra solu ión pueden en-tenderse onsiderando, al igual que en asos anteriores, que las mejoras quepueden produ irse siempre para esbelte es bajas, pues en aso de esbelte esaltas siempre serán más e a es las solu iones pre edentes exigen a ambiouna omplejidad onstru tiva mayor, si bien ahora la estru tura pasa a suponeruna obstru ión espa ial mu ho menor.Las solu iones de ar os paralelos sea uales sean las se iones on que éstosse resuelven, in luyendo a las bóvedas, orresponden a una misma familia, onlas solas diferen ias en las formas de se ión empleada y en las separa ionesentre ar os.Las solu iones de ar o, invertidas, dan lugar a las atenarias, on la di ul-

CAPÍTULO 10. CUBIERTAS: SOLUCIONES CURVAS. 193

Figura 10.6: Cer has . . . on ordón superior rigidizado si es pre iso.

Figura 10.7: Ar ostad de haber subido el punto de arranque de la estru tura y ne esitar estable erel ordón omprimido que soporta el empuje por en ima de la super ie arga-da, o, alternativamente, requiriendo disponer de elementos verti ales u obli uossometidos a fuertes argas horizontales.10.1.4. Ar os ruzados.El paso al omportamiento bidire ional, en la misma forma en que se lo-graba en vigas, puede a ometerse on anto variable, en ar os, pero ahora larestri ión de mantener los ordones a la misma ota en los puntos de ru eobliga a modi ar el ontorno del apoyo, pasando a formas poligonales o urvas,en las que la más sen illa será la ir unferen ia para ubrir super ies ir ulares.Ahora bien, a partir de esta solu ión, la malla de tirantes puede ser sustituidapor un anillo, que será en gran medida equivalente a la malla pre edente paralas argas predominantes, si bien deberá soportar las exiones derivadas, enlos asos de arga alternante, de las diferen ias de regularidad en los empujesradiales que resultan. Igualmente a los asos anteriores, la rigidez del ar o puedeexigir se iones que onvenga aligerar mediante una triangula ión lo al.Pero además ahora puede onsiderarse la posibilidad de invertir las dos fa-milias de ar os para rear una malla de ables argada ontra un anillo en ompresión, solu ión de es asa rigidez, o invertir sólo una de ellas y rear unafamilia de ar os ompartiendo arga on una familia de atenarias. Si además onsideramos el empleo de materiales de alta resisten ia en tra ión, la solu ión

CAPÍTULO 10. CUBIERTAS: SOLUCIONES CURVAS. 194

Figura 10.8: Ar os ruzados: la malla de tirantes se transforma en anillo.deriva rápidamente a otra en la que la familia de atenarias aquella en la quela ara onvexa es la inferior se responsabilizará de soportar toda la argagravitatoria, y la familia que ini ialmente era de ar os la onvexidad está enla ara superior se empleará para tensar a la anterior, sosteniendo adi ional-mente las argas invertidas, por su ión de viento, que pudiesen superar el efe tode las gravitatorias.En esta geometría, el anillo exterior se transforma en un ar o in linadosometido a argas en la dire ión de la super ie de erramiento, argas que sontransversales a la dire triz del ar o en la lave, y que se a er an progresivamentea la tangente a di ha dire triz en las otas inferiores. Este ar o, en general,tendrá puntos de apoyo o tirantes en su proye ión verti al, pero lleva la partebási a de su arga a sus puntos de apoyo, que se han solu ionado en los ejemplos onstruidos on variantes diversas, siempre on una importante menor e ien iageneral a la de las familias anteriores al haberse alejado seriamente las argasde los puntos nales de apoyo en la imenta ión.

Figura 10.9: Ar os ruzados10.1.5. Ar os radiales. Anillos y úpulas.En el apartado 7.2.1 hemos he ho men ión de las poderosas reglas de trans-forma ión formal que el teorema de Maxwell permite emplear, y que hemosapli ado en el apartado anterior para eliminar los tirantes ruzados y sustituir-los por un anillo. Si apli amos tales reglas al ordón omprimido de la estru turageneramos familias estru turales nuevas: basta pensar en sustituir los ar os ru-

CAPÍTULO 10. CUBIERTAS: SOLUCIONES CURVAS. 195zados por ar os radiales, para, on la misma e ien ia, obtener una solu ión que onstru tivamente es más regular, salvo en el punto singular en que se ruzantales ar os. Di hos ar os pueden requerir igualmente su rigidiza ión lo al, lo que ompli a aún más el en uentro en el punto úni o de ru e que ongura la lave.Di ho punto singular, de imposible fa tura, se resuelve sustituyendo lo al-mente los ar os onvergentes por un anillo de ompresión la solu ión lási aen las onstru iones históri as de piedra onsiste en un ma izo que fun iona omo dis o omprimido biaxialmentede modo que se resuelve el en uentro delos n medios ar os por n en uentros iguales al anillo entral, que puede ser delas dimensiones requeridas para fa ilitar la unión.

Figura 10.10: Ar os radiales.

Figura 10.11: Ar os radiales: transi ión a la úpulaPero ese anillo puede igualmente ser sustituido por una malla super ial, yuna vez ini iado ese amino, pro eder a extender la malla a toda la super ieque ubre la solu ión, dando origen a las úpulas.Las úpulas aportan ahora una variante de altísima importan ia, al añadiranillos a lo largo de toda la altura: ahora la forma puede ser rígida si lo es laforma del apoyo, de modo que se ne esitan dimensiones mayores para forzar elsalto de omplejidad que supondría desdoblar las barras individuales en piezas ompuestas, siendo usual que el siguiente salto en omplejidad venga denidopor la ne esidad de rigidez onjunta de regiones amplias de la super ie envol-vente, lo que exigirá pasar a solu iones de doble (en asos extremos de triple) apa. En este aso las dos apas son en la mayor parte de los asos las aras deuna solu ión que lo almente es análoga a los emparrillados o mallas de pirámide uadrada.

CAPÍTULO 10. CUBIERTAS: SOLUCIONES CURVAS. 19610.1.6. Cer has radiales. Solu iones híbridas.Al igual que hemos transformado las mallas de ar os en ar os radiales, po-demos tranformar las mallas de vigas, los emparrillados, en vigas radiales, queresolverán el problema del punto singular en el entro mediante un ilindro que ombina los anillos de ompresión y tra ión de los ordones sustituidos en di hopunto, más el alma que los one ta apaz de transferir arga en los asos de nosimetría de éstas. Cabe añadir que los ordones en ada anillo requieren rigideza exión en su plano para iertos asos de asimetría.

Figura 10.12: Vigas radiales.

Figura 10.13: Transforma iones posibles de las vigas radiales.Pueden sustituirse, sin pérdida de e ien ia, parte de los esfuerzos radialesde los ordones omprimido y tra ionado por esfuerzos en anillos intermedios,dando lugar a solu iones on mayor número de piezas y de e a ia análoga,pero más ade uadas por su mayor densidad a las situa iones que requierendimensionados mayores, apli ables por tanto a las solu iones on anto limitado.10.1.7. CatenariasLa otra alternativa de forma es ambiar la forma de los ordones. Puesto queya vimos el aso de los ordones omprimidos urvos, los ar os radiales, urvamosel ordón tra ionado y tenemos las solu iones de atenaria radial, en las quemuy a menudo el anillo entral interior es de gran tamaño, dejando abiertauna fra ión muy importante de la super ie ubierta. Si unimos, nalmente,ar os y atenarias, tendremos el origen de las solu iones lenti ulares, en las

CAPÍTULO 10. CUBIERTAS: SOLUCIONES CURVAS. 197

Figura 10.14: Catenarias radiales, . . . mejor on anillo.

Figura 10.15: Los anillos en ompresión se rigidizan.que, nuevamente, podríamos onsiderar que el empleo de materiales de altaresisten ia en tra ión permite trasladar la totalidad de la arga a las atenarias,transformando la familia de ar os en una estru tura destinada a tensar a laanterior, que por tanto invierte su sentido de trabajo y pasa a estar tambiéntra ionada a expensas de mayores esfuerzos en el anillo de ompresión. Ahorael elemento de onexión entre las dos familias puede ser un uido si se lograun espa io estan o entre ambas familias, on lo que llegamos a las solu ioneslenti ulares hin hadas.10.1.8. Con lusionesLos on eptos estable ido en el re orrido realizado, aun on las limita iones on que han sido apli ados aquí, han mostrado su interés, y su elevado poten ialpara fa ilitar la reexión en profundidad sobre las op iones diponibles a la horade proye tar.En di ho re orrido hemos omprobado además que las solu iones formalesde las estru turas de ubierta son muy variadas, on e ien ias omparablessiempre que pueda re urrirse a materiales resistentes tanto en tra ión omo en ompresión. Por ello la atribu ión de sentido estru tural a la forma no requiereya de un repertorio limitado de éstas omo su edía en el pasado. Sólo exigea otar en márgenes ( iertamente amplios) a un pequeño número de parámetrosabstra tos de la forma. Forma y e a ia resistente dejan, pues, de tener aso- ia iones per eptivas simples ha iendo inevitable la diso ia ión, en el terrenode la estabilidad, entre el papel semánti o y el simbóli o de las formas. Po-

CAPÍTULO 10. CUBIERTAS: SOLUCIONES CURVAS. 198drán ahora atribuirse referentes simbóli os ualesquiera a formas muy diversas.En tanto no se limiten las alternativas disponibles por requisitsos originadosen otros ampos a ondi ionamiento, industrializa ión los dis ursos basadosen la fragmenta ión, la diversidad, la autoría, et . estarán, pues, justi adosaunque sin legitimidad para operar arbitrariamente.

Figura 10.16: Solu iones alternativas al mismo problema

Capítulo 11Geometría y estru tura.Con lusionesEl re orrido realizado en este texto ha pretendidodes ribir los prin ipios bási os del análisis estru tural, ara terizar el modo de omportamiento de elementos estru turales bási- os, uanti ar el onsumo o inversión requeridos para resolver problemas es-tru turales omunes, omparar la e ien ia de solu iones estru turales alternativas,y todo ello nos ha permitido re orrer formas alternativas para resolver un mismoproblema on ono imiento y ontrol su iente sobre las reper usiones de lasaltera iones realizadas al pasar de unas solu iones a otras.En di ho re orrido se ha podido estable er un importante úmulo de in-forma ión relevante en los pro esos de proye to de la forma estru tural, quepodemos atalogar en varios apartados11.0.9. AnálisisLas ondi iones de equilibrio, ompatibilidad y rigidez son ne esarias ysu ientes para resolver ualquier problema estru tural que no sea es-tri tamente isostáti o, aun uando su formula ión resulta diferente en losenfoques elásti o o plásti o.El prin ipio de los trabajos virtuales propor iona una poderosa herramien-ta para la des rip ión y manipula ión de estados equilibrados o ompati-bles, apta en ualquier método de análisis.Los prin ipios del análisis plásti o garantizan la seguridad de las solu- iones aun uando las rela iones de rigidez empleadas sean impre isas oin orre tas, siempre que estén su ientemente garantizados el equilibrio,la estabilidad y la du tilidad 199

CAPÍTULO 11. GEOMETRÍA Y ESTRUCTURA. CONCLUSIONES 200Los problemas ontinuos pueden reformularse mediante las té ni as de dis- retiza ión empleadas por el MEF; di has té ni as son apli ables a lasesmás extensas de problemas que las del análisis elásti o: las hemos visto enel ontexto de problemas de optimiza ión, e igualmente pueden apli arsea la formula ión y resolu ión de problemas de análisis plásti o.Con las a tuales herramientas de ál ulo, los pro edimientos de análisiselásti o aseguran solu iones fá iles de obtener, equilibradas, ompatibles,y apropiadas a las rela iones de rigidez o tenso-deforma ionales elegidas.Son de desear y obtenibles a orto plazo instrumentos análogos basadosen el análisis plásti o.Con todo ello, las posibilidades que propor iona el análisis son de enverga-dura su iente para abordar asi ualquier problema on ebible, aunque el oste del análisis puede ser de ierta importan ia, por lo que ya es relevan-te estable er una fase previa al análisis que reexione sobre la pertinen iay utilidad del análisis mismo.11.0.10. Proye toLa forma estru tural tiene relevan ia fundamental en el omportamientode la estru tura, onsiderando omo parte de di ha forma tanto la dispo-si ión de los elementos de la estru tura omo la disposi ión de las argas.Es posible ara terizar los parámetros de la forma de mayor relevan iapara asegurar la idoneidad de las estru turas.Los parámetros bási os son independientes de la forma adoptada por laestru tura, en el sentido de que importantes ambios en la forma estru tu-ral que no alteren estos parámetros, y siempre que no se in urra en erroresapre iables para la forma elegida, no suponen ambios apre iables en lae ien ia o la idoneidad estru tural.La forma puede suponer esen ialmente un fa tor de sobre oste o de ine- ien ia importante en la medida en que adopte ongura iones alejadasde las estable idas omo buenas para los parámetros bási osHemos visto que los parámetros bási os del oste, que se dedu en de lasexpresiones de la antidad de estru tura y de las que ara terizan el tamañomáximo de una estru tura eranTamaño Dimensión, o luz del problema. La luz de referen ia de la estru tura.Se trata de la menor distan ia entre las regiones de apoyo empleadas. El oste es dire tamente propor ional a la luz, y, en problemas en los queel tamaño es relevante, una magnitud bási a resulta ser la rela ión entredi ho tamaño y el máximo al anzable por la estru tura sometida a su peso,para ada material onsiderado, rela ión que se identi a on la fra iónde resisten ia onsumida inevitablemente para sostener di ho peso.Propor ión Esbeltez, rela ión luz- anto, propor ión del re uadro re tangularque ir uns ribe la geometría de la solu ión, vista en alzado. El osteestru tural depende íntimamente de di ha magnitud, siendo asi dire ta-mente propor ional a ella uado su valor es alto.

Esquema Cara terísti as geométri as, del tipo de solu ión adoptado, del tipoestru tural. Contiene omo omponentes esen ialesLa forma de la arga, ara terizada por su distan ia media al apoyo,de modo que el oste es propor ional a la fra ión de di ha distan iaa la luz.La forma general de la estru tura, ara terizada por la existen ia ono de traslado de arga transversal por uno o los dos sistemas de or-dones que equilibran el par global de exión, de modo que el empleode dos ordones supone una ventaja respe to al empleo de uno solo uanti able en la magnitud √2 uando se uenta on simetría res-pe to de la horizontal, y traslado de arga mediante ambos ordones.La forma del apoyo, ara terizado por el ángulo que forman entre sílos elementos tra ionados on los omprimidos, en las proximidadesde éste, de modo que los ángulos de 90º ara terizan los óptimos, onsobre ostes importantes para ángulos menores, que pueden estimar-se mediante las esbelte es implí itas en tipos de análogo ángulo dearranque.Las ondi iones de ontinuidad de la pieza, que permiten alternarglobalmente regiones on momentos globales positivos y negativos,y que pueden uanti arse mediante la ompara ión de las áreas demomentos de solu iones en ompeten ia.Dimensionado o espesor o grosor de la solu ión estru tural, requerido parasoportar las argas adi ionales al propio peso de la estru tura. No tienerelevan ia para el estable imiento del tamaño de la estru tura insuperable,pero resulta bási o para soportar las argas ne esarias, siendo propor io-nal para ada tamaño a las argas que se añaden a las del propio pesoestru tural.Con todo lo anterior queda mostrado el interés y viabilidad de mu hos delos objetivos formulados en la introdu ión a este texto, y las posibilidades quesu más extensa explora ión pueden aportar en el futuro para iluminar la labordel proye to de estru turas.

201

Apéndi e ASolu iones a los problemasLas solu iones anun iadas en el apartado 4.1.5 son las siguientes.Para la viga ontinua se muestran los valores de la solu ión para valoresunitarios de la iner ia y del módulo de elasti idad, obtenida mediante la hojade ál ulo de Openo e, en su antigua versión 1.1.1, en la que se sombrean lasdiferentes matri es. Algunas de las opera iones, omo la obten ión de los despla-zamientos, orresponden a varias opera iones matri iales: en ésta por ejemplo ala multipli a ión de la matriz de argas F por la inversa de la matriz de rigidezK.

Figura A.1: Solu ión numéri a on auxilio de una hoja de ál uloPara la estru tura de ables, las matri es de equilibrio, rigidez de barras y202

de estru tura ompleta, y de rela ión entre esfuerzos y argas son las siguientes:H =

[

−0, 5 0 0, 64280, 866 1 0, 766

]

, k =EA

l2

0, 866 0 01 0 00 0 0, 766

K =EA

l2

[

0, 53300 0, 00218870, 0021887 2, 09892

]

,

f1f2f3

=

−0, 8138 0, 358−0, 00196 0, 4760, 9226 0, 278

[

Fx

Fz

]

.Para el pórti o, el diagrama de momentos de equilibrio es el de la gura.

Figura A.2: Momentos e tores del pórti o

203

Apéndi e BComproba ión plásti a deperlesUna apli a ión prá ti a de los riterios del análisis plásti o onsiste en de-terminar las resisten ias últimas de los perles laminados. Son ono idas lasresisten ias plásti as en aplastamiento axial que viene ara terizadas por elárea A, y en exión, tanto para el eje de mayor iner ia ara terizada por elmódulo plásti o Wply omo para el de menor ara terizado por el móduloWplzSin embargo di has onstantes sólo determinan tres puntos de la super iede uen ia, orrespondientes a tres dire iones de esfuerzo independientes, y laforma habitual de ombinar esfuerzos orrespondientes a di has dire iones espuramente lineal, es de ir, limitando las resisten ias al plano que pasa por lostres puntos reseñados.La región de la super ie ompleta real para un ierto perl limitada por eltriedro oordenado orrespondiente a di has dire iones podría estar represen-tado por la super ie de trazos de la gura B.1. En ella se identi an regiones de ompresión dominante, A y C, o de exión dominante B y D, y puede intuirseel muy probable sobredimensionado que se produ irá en las situa iones en lasque no haya un predominio importante de alguno de los esfuerzos onsiderados.Una aproxima ión sen illa a la super ie de rotura real puede venir dada porsu trun amiento a los planos denidos por las líneas ontinuas de la gura itada,planos que quedan determinados por uatro puntos adi ionales para distintas ondi iones de ombina ión de esfuerzos. Podemos determinar las onstantesme áni as ne esarias para ara terizar di has ondi iones eligiendo las orres-pondientes situa iones de rotura, por ejemplo, tal omo se representan en lagura B.2. En ella se identi an las onstantes adi ionales requeridas para iden-ti ar las ondi iones de rotura plásti a a partir de la existen ia de máximos enlas tensiones, de signo opuesto, de a uerdo a los riterios de diferen ia de olorestable idos.Consideremos ahora para ualquier estado de arga a que se vea sometidoel perl el ve tor que representa el triplete de esfuerzos [NE MEy MEz

]. El oe iente de seguridad será el o iente entre la longitud del segmento que une elorigen on la posi ión de orte de la re ta que ontiene a di ho ve tor y la super- ie límite, entre la magnitud del ve tor, opera ión que resulta fá il de realizar204

Figura B.1: Aproxima ión a super ie límite en perles

Figura B.2: Roturas plásti as de referen ia en perles205

en un ontexto informáti o, sin más que re orrer los seis planos representadosque denen di ha super ie límite. La ventaja de realizar esta omproba iónpuede observarse omparando en las guras de B.3 la super ie límite frenteal resultado habitual de ombinar linealmente los efe tos para ada una de las omponentes del triplete de esfuerzos.Como ilustra ión prá ti a de las posibilidades que aporta el empleo de las herra-mientas genéri as de mayor utilidad disponibles en el ontexto de unix linux, sereseña el trazado de la primera de las guras de B.3. La gura se ha generado ongnuplot, aprove hando las posibilidades que brinda una base de datos de perles mante-nida mediante Postgresql, en la que se ha implementado una fun ión de omproba ión omo la sugerida arriba. La gura se obtuvo mediante la instru ión siguiente:splot [a=0:1[b=0:1[0:1 1-a-b t 'modelo lineal' lt 0 , \"< psql -t - \"sele t p.id, \a.a* omprob_plasti o_fq(p,p.a*a.a,p.wply*b.a,p.wplz*(1-a.a-b.a)), \b.a* omprob_plasti o_fq(p,p.a*a.a,p.wply*b.a,p.wplz*(1-a.a-b.a)), \(1-a.a-b.a)* omprob_plasti o_fq(p,p.a*a.a,p.wply*b.a,p.wplz*(1-a.a-b.a)) \from perfiles p, lista a, lista b \where p.id ~ 'HE100B' \order by a.a,b.a; \" \baseperfiles | awk '$5==0 print \"\";print $5!=0 print' " \using 3:5:7 title 'HEB 100 plásti o' with lines lt 1 , \"< psql -t - \"sele t p.id, \a.a* omprob_plasti o_fq(p,p.a*a.a,p.wply*b.a,p.wplz*(1-a.a-b.a)), \b.a* omprob_plasti o_fq(p,p.a*a.a,p.wply*b.a,p.wplz*(1-a.a-b.a)), \(1-a.a-b.a)* omprob_plasti o_fq(p,p.a*a.a,p.wply*b.a,p.wplz*(1-a.a-b.a)) \from perfiles p, lista a, lista b \where p.id ~ 'HE300B' \order by a.a,b.a; \" \baseperfiles " using 3:5:7 t 'HEB 300 plásti o'Se re ono e en el texto de la orden el trazado del plano lineal por la primera líneade la instru ión splot de gnuplot, la alimenta ión a éste vía < de los datos de lasuper ie límite a omparar, sele ionados mediante la láusula using del listadogenerado por el uso del liente de Postgresql psql. El liente determina, mediantela instru ión sele t, la mejora en el ve tor de arga derivada del modelo plásti ode omproba ión. Los valores se obtienen operando la base de datos baseperfilesque ontiene los de los laminados elegidos. Se observa nalmente, y para el aso delperl pequeño, el empleo del ltro de textos awk, que formatea la salida de psql ala requerida por gnuplot para trazar la malla que aproxima la super ie partiendode la matriz de puntos vertida por psql, matriz que se orresponde on las listas de oordenadas a y b denidas en la tabla lista, en dé imos entre 0 y 1. Para el perlgrande no se usa tal ambio de formato, por lo que el trazado resultante es sólo delos puntos elegidos los uadrados de la grá a. Puede verse igualmente que lafun ión omprob_plasti o_fq fa tor de arga en omproba ión plásti a emplea uatro parámetros, a saber, el perl p, y los valores de los esfuerzos salvo tensión de ompara ión, ˆ

NE/fy MEy/fy MEz/fy

˜. La fun ión devuelve el orrespondientefa tor de arga para tales esfuerzos. Los datos suministrados para generar la grá ason los de las oordenadas de ada aso límite para el supuesto lineal, y es di ho ve -tor, aumentado en el orrespondiente fa tor de arga, el que representa el punto de lasuper ie límite en el supuesto plásti o.Se adjuntan a ontinua ión tablas de propiedades me áni as de varias seriesde perles, in luyendo las propiedades identi adas en la gura B.2. Los valoresse aportan en las unidades habituales para este tipo de tablas.206

10,50 10,5010,50

Mz/fWplz

modelo linealHEB 100 plásti oHEB 300 plásti oN/fA

My/fWply

Mz/fWplz

10,50 10,5010,50

Mz/fWplz

modelo lineal2xUPN 100 plásti o2xUPN 300 plásti oN/fA

My/fWply

Mz/fWplz

Figura B.3: Super ie límite en se iones formadas por HEB o por perles UPNen ajón207

DUPN h b tw tf a avz wely welz wply wplz Iy Iz iy iz amy wnply amz wnplz wmplywmplz amm wnmply wnmplz80 80 90 6 8 22,04 9,8 53,2 47,05 64,6 67,88 212 211,74 3,1 3,1 7,64 51,8 12,44 40,3 51,8 40,3 11,02 32,3 33,94100 100 100 6 8,5 27 12,92 82,4 75,99 98 93,15 412 379,97 3,91 3,75 10 77,8 15 56,4 77,8 56,4 13,5 49 46,58120 120 110 7 9 34 17,6 121,4 109,73 145,2 132,6 728 603,54 4,62 4,21 14,2 109,9 17,2 86,5 109,9 86,5 17 72,6 66,3140 140 120 7 10 40,8 20,82 172,8 143,73 206 173,4 1210 862,35 5,45 4,6 16,8 156 21,2 110,7 156 110,7 20,4 103 86,7160 160 130 7,5 10,5 48 25,2 232 186,61 276 223,68 1850 1212,95 6,21 5,03 20,7 204,1 24 147 204,1 147 24 138 111,84180 180 140 8 11 56 30,18 300 239,02 358 284,48 2700 1673,16 6,95 5,47 25,2 260,3 27,2 190,1 260,3 190,1 28 179 142,24200 200 150 8,5 11,5 64,4 35,42 382 298,27 456 353,6 3820 2237,02 7,7 5,89 29,9 325 30,4 240,6 325 240,6 32,2 228 176,8220 220 160 9 12,5 74,8 41,24 490 370,3 584 438,3 5380 2962,6 8,48 6,29 34,8 415 35,2 299 415 299 37,4 292 219,15240 240 170 9,5 13 84,6 47,42 600 449,6 716 530,4 7200 3821,87 9,22 6,72 40,4 502 39 366 502 366 42,3 358 265,2260 260 180 10 14 96,6 54,24 742 543,7 884 641,4 9640 4893,06 9,99 7,12 46,2 620 44,6 442 620 442 48,3 442 320,7280 280 190 10 15 106,6 58,56 896 629,1 1064 743 12560 5976,72 10,9 7,49 49,6 755 50,6 504 755 504 53,3 532 371,5300 300 200 10 16 117,6 63,54 1070 725,7 1264 858,5 16060 7256,9 11,7 7,86 53,6 909 57,6 570 909 570 58,8 632 429,25320 320 200 14 17,5 151,6 94,22 1358 949,6 1652 1121,8 21740 9495,62 12,1 7,91 81,6 1059 62 833 1059 833 75,8 826 560,9350 350 200 14 16 154,6 101,68 1468 1007 1836 1175 25680 10069,7 12,9 8,07 90,6 1069 56,6 911 1069 911 77,3 918 587,5380 380 204 13,5 16 160,8 106,46 1658 1084,6 2028 1257,5 31520 11063,31 14 8,29 95,5 1188 58,2 977 1188 977 80,4 1014 628,75400 400 220 14 18 183 117,1 2040 1313,7 2480 1528,1 40700 14451,22 14,9 8,89 103,8 1513 71 1154 1513 1154 91,5 1240 764,05Cuadro B.1: Propiedades estáti as de doble perl UPN en ajón

208

IPE h b tw tf a avz wely welz wply wplz Iy Iz iy iz amy wnply amz wnplz wmply wmplz amm wnmply wnmplz80* 80 46 3,8 5,2 7,64 3,58 20,03 3,69 23,22 5,82 80,14 8,49 3,24 1,05 2,86 17,89 3,04 5,53 14,27 4,13 2,86 8,95 4,13100* 100 55 4,1 5,7 10,3 5,08 34,2 5,79 39,41 9,15 171 15,92 4,07 1,24 4,03 29,56 4,1 8,73 24,63 6,47 4,03 14,78 6,47120 120 64 4,4 6,3 13,2 6,31 52,96 8,65 60,73 13,58 317,8 27,67 4,9 1,45 5,14 45,8 5,28 13,01 37,81 9,68 5,14 22,92 9,68140 140 73 4,7 6,9 16,4 7,64 77,32 12,31 88,34 19,25 541,2 44,92 5,74 1,65 6,33 67 6,58 18,48 54,84 13,79 6,33 33,5 13,79160 160 82 5 7,4 20,1 9,66 108,7 16,66 123,9 26,1 869,3 68,31 6,58 1,84 7,96 92,6 8 25,12 77,6 18,66 7,96 46,3 18,66180 180 91 5,3 8 23,9 11,25 146,3 22,16 166,4 34,6 1317 100,9 7,42 2,05 9,34 125,2 9,54 33,4 103,8 24,84 9,34 62,6 24,84200 200 100 5,6 8,5 28,5 14 194,3 28,47 220,6 44,61 1943 142,4 8,26 2,24 11,5 162,8 11,2 43,1 139,2 31,9 11,5 81,4 31,9220 220 110 5,9 9,2 33,4 15,88 252 37,25 285,4 58,11 2772 204,9 9,11 2,48 13,16 213,3 12,98 56,2 178,7 41,7 13,16 106,7 41,7240 240 120 6,2 9,8 39,1 19,14 324,3 47,27 366,6 73,92 3892 283,6 9,97 2,69 15,58 270,7 14,88 71,7 231,2 52,9 15,58 135,4 52,9270 270 135 6,6 10,2 45,9 22,14 428,9 62,2 484 96,95 5790 419,9 11,23 3,02 18,36 358 17,82 94,1 305,1 69,7 18,36 178,9 69,7300 300 150 7,1 10,7 53,8 25,68 557,1 80,5 628,4 125,2 8356 603,8 12,46 3,35 21,7 464 21,3 121,5 396,2 90,3 21,7 232,2 90,3330 330 160 7,5 11,5 62,6 30,81 713,1 98,52 804,3 153,7 11770 788,1 13,71 3,55 25,8 586 24,75 149,2 511,3 110,4 25,8 293 110,4360 360 170 8 12,7 72,7 35,14 903,6 122,8 1019 191,1 16270 1043 14,95 3,79 29,52 750 28,8 185,5 644 137,6 29,52 375 137,6400 400 180 8,6 13,5 84,5 42,69 1156 146,4 1307 229 23130 1318 16,55 3,95 35,9 939 34,4 221,8 837 164 35,9 470 164450 450 190 9,4 14,6 98,8 50,85 1500 176,4 1702 276,4 33740 1676 18,48 4,12 43,3 1208 42,3 266,7 1098 197,6 43,3 604 197,6Cuadro B.2: Propiedades estáti as de perles IPE

209

HEB h b tw tf a avz wely welz wply wplz Iy Iz iy iz amy wnply amz wnplz wmplywmplz amm wnmplywnmplz100 100 100 6 10 26,04 9,04 89,91 33,45 104,2 51,42 449,5 167,3 4,16 2,53 6,04 90 6 50,6 59,2 37,5 6,04 45 37,5120 120 120 6,5 11 34,01 10,96 144,1 52,92 165,2 80,97 864,4 317,5 5,04 3,06 7,61 143,9 7,8 79,7 93,3 59,4 7,61 71,9 59,4140 140 140 7 12 42,96 13,08 215,6 78,52 245,4 119,8 1509 549,7 5,93 3,58 9,36 215 9,8 118,1 137,9 88,2 9,36 107,5 88,2160 160 160 8 13 54,25 17,59 311,5 111,2 354 170 2492 889,2 6,78 4,05 12,65 305,8 12,8 167,5 201,1 124,8 12,65 152,9 124,8180 180 180 8,5 14 65,25 20,24 425,7 151,4 481,4 231 3831 1363 7,66 4,57 14,85 418 15,3 227,8 272,2 170,1 14,85 209,2 170,1200 200 200 9 15 78,08 24,83 569,6 200,3 642,5 305,8 5696 2003 8,54 5,07 18,08 555 18 301,9 365 225 18,08 277,5 225220 220 220 9,5 16 91,04 27,92 735,5 258,5 827 393,9 8091 2843 9,43 5,59 20,64 718 20,9 389 468 290,4 20,64 359 290,4240 240 240 10 17 106 33,23 938,3 326,9 1053 498,4 11260 3923 10,31 6,08 24,4 910 24 493 598 367 24,4 455 367260 260 260 10 17,5 118,4 37,59 1148 395 1283 602,2 14920 5135 11,22 6,58 27,4 1103 26 596 731 444 27,4 552 444280 280 280 10,5 18 131,4 41,09 1376 471 1534 717,6 19270 6595 12,11 7,09 30,6 1320 29,4 710 874 529 30,6 660 529300 300 300 11 19 149,1 47,43 1678 570,9 1869 870,1 25170 8563 12,99 7,58 35,1 1602 33 862 1068 641 35,1 801 641320 320 300 11,5 20,5 161,3 51,77 1926 615,9 2149 939,1 30820 9239 13,82 7,57 38,3 1842 36,8 929 1228 692 38,3 921 692340 340 300 12 21,5 170,9 56,09 2156 646 2408 985,7 36660 9690 14,65 7,53 41,9 2054 40,8 974 1381 726 41,9 1027 726360 360 300 12,5 22,5 180,6 60,6 2400 676,1 2683 1032 43190 10140 15,46 7,49 45,6 2278 45 1019 1544 759 45,6 1139 759400 400 300 13,5 24 197,8 69,98 2884 721,3 3232 1104 57680 10820 17,08 7,4 53,8 2707 54 1086 1878 810 53,8 1354 810450 450 300 14 26 218 79,66 3551 781,4 3982 1198 79890 11720 19,14 7,33 62 3310 63 1176 2328 878 62 1654 878500 500 300 14,5 28 238,6 89,82 4287 841,6 4815 1292 107200 12620 21,19 7,27 70,6 3960 72,5 1266 2833 945 70,6 1982 945550 550 300 15 29 254,1 100,1 4971 871,8 5591 1341 136700 13080 23,2 7,17 80,1 4530 82,5 1311 3325 979 80,1 2266 979600 600 300 15,5 30 270 110,8 5701 902 6425 1391 171000 13530 25,17 7,08 90 5130 93 1355 3860 1013 90 2565 1013650 650 300 16 31 286,3 122 6480 932,3 7320 1441 210600 13980 27,12 6,99 100,3 5760 104 1400 4442 1046 100,3 2878 1046700 700 300 17 32 306,4 137,1 7340 962,7 8327 1495 256900 14440 28,96 6,87 114,4 6410 119 1445 5117 1080 114,4 3210 1080800 800 300 17,5 33 334,2 161,8 8977 993,6 10230 1553 359100 14900 32,78 6,68 136,2 7590 140 1493 6430 1114 136,2 3800 1114900 900 300 18,5 35 371,3 188,8 10980 1054 12580 1658 494100 15820 36,48 6,53 161,3 9080 166,5 1582 8040 1181 161,3 4540 11811000 1000 300 19 36 400 212,5 12890 1085 14860 1716 644700 16280 40,15 6,38 184 10410 190 1627 9650 1215 184 5210 1215Cuadro B.3: Propiedades estáti as de perles HE serie B

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GlosarioΓ Super ie exterior de la estru tura, o upa todos los puntos o regiones dela estru tura ontigüos a elementos o regiones exteriores a ella misma,página 13Ω Volumen o upado materialmente por la estru tura. O upa todos los pun-tos o regiones interiores a ésta, página 13F Ve tor que ontiene las omponentes de a ión sobre la estru tura en unpunto material o las de la resultante apli ada en la posi ión que resumeuna región de la estru tura que se onsidera argada onjuntamente. Enel grado máximo de generaliza ión se reere al ve tor que ontiene omo omponentes la totalidad de las argas que a túan sobre las posi ioneslibres de la estru tura o grados de libertad, página 14

X Ve tor que ontiene las oordenadas artesianas de un punto materialgenéri o de una estru tura. Puede tratarse de la posi ión ini ial, o dela o upada en un ierto instante posterior al ini io de la arga, quese denotan por X0 o Xt si hay posibilidad de onfusión entre ambas,página 13H Matriz que expresa las ondi iones de equilibrio: F = Hf , página 25U Ve tor que ontiene las omponentes de desplazamiento de un puntolibre de la estru tura, o el onjunto de las omponentes que des riben elmovimiento de una región de la estru tura onsiderada onjuntamente.En el máximo grado de generalidad ontiene todos los movimientos delas posi iones libres de la estru tura, página 14f Ve tor que re oge todas las omponentes de los esfuerzos internos de unpunto o una se ión de una estru tura. Se apli a igualmente al ve tor quere oge en sus omponentes todos los esfuerzos internos de una región ele-mental de la estru tura. En su máxima generalidad re oge los esfuerzosinternos de todas las regiones elementales en que puede des omponersela estru tura, página 18u Ve tor que re oge todas las omponentes de las deforma iones internasde un punto o se ión de la estru tura. Se apli a igualmente al ve torque re oge en sus omponentes todas las deforma iones de una regiónelemental de la estru tura. En su máxima generalidad re oge las de-forma iones internas de todas las regiones elementales en que puededes omponerse la estru tura, página 18211

a ión Fuerza o momento apli ado sobre un punto libre de la estru tura. Verrea ión, página 14análisis Pro eso de explora ión del modelo geométri o o numéri o de una es-tru tura para determinar los esfuerzos y movimientos que experimentesometido a un onjunto de argas, y sus ualidades de estabilidad, resis-ten ia, o rigidez frente a las mismas, página 9equilibrio Condi ión que reúnen la totalidad de las fuerzas apli adas a una re-gión arbitraria de toda estru tura, uando se onsideran tanto las a io-nes externas apli adas a di ha región, omo las soli ita iones internasque el resto de la estru tura ejer e sobre la región onsiderada a travésde la super ie de onta to, página 20grado de empotramiento o iente entre el momento de empotramiento de unabarra unida a un elemento inmóvil mediante un nudo no ompletamen-te rígido (semirrígido y el momento de empotramiento perfe to en esemismo extremo, para arga simétri a, y siendo rígido el nudo opuesto.,página 72poten ia Cualidad de una de isión de diseño equivalente al impa to de la de i-sión en el resultado del diseño nal, página 8pre isión Cualidad de una de isión de diseño aso iada al grado de renamiento,de detalle, que introdu e en el mismo, página 8rea ión Fuerza o momento apli ada sobre la estru tura sobre un punto de lasustenta ión de ésta, omo resultado de la oa ión que la sustenta iónimpone al movimiento de di ho punto. Ver a ión, página 14sustenta ión Región de la estru tura uyo movimiento está impedido por algúnelemento exterior a ella usualmente el terreno, página 14

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Índi e de guras2.1. Tensiones y deforma iones del punto . . . . . . . . . . . . . . . 172.2. Trasla ión del punto de referen ia . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3. Resultante de un sistema de fuerzas en un plano . . . . . . . . . 242.4. Representa ión diédri a de la resultante de un sistema de fuerzas 252.5. Trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.6. No linealidad geométri a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.1. Se ión y soli ita iones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.2. Torsión uniforme en se ión hue a . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.3. Tensión normal y deforma ión de la rebanada . . . . . . . . . . 513.4. Fun iones de movimiento y esfuerzos en vigas . . . . . . . . . . 533.5. Viga deformada por movimientos de sus extremos . . . . . . . . 563.6. Nudo extenso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.7. Biela en nudo de hormigón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.8. Modelo de viga on nudos semirrígidos . . . . . . . . . . . . . . 704.1. Equilibrio en viga ontinua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 774.2. Equilibrio en estru tura de ables . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.3. Pórti o simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.4. Compatibilidad en viga ontinua . . . . . . . . . . . . . . . . . 804.5. Compatibilidad en estru tura de ables . . . . . . . . . . . . . . 814.6. Compatibilidad en pórti o simple . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.1. Grá as tensión deforma ión, y super ie de uen ia . . . . . . 925.2. Super ie de uen ia en rebanada de material sin tra iones . . 935.3. Ortogonalidad de deforma iones plásti as a esfuerzos . . . . . . 945.4. Super ie límite y riterios de seguridad en una junta de ar osin resisten ia a tra ión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.5. Corre ión de una situa ión insegura dependiente del riterioempleado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.6. Criterio robusto para medir el margen de seguridad. . . . . . . 985.7. Diferen ia de esfuerzos no ortogonal a deforma iones plásti as . 1016.1. Esfuerzo, envolvente, apa idad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.2. Des rip ión paramétri a de solu iones . . . . . . . . . . . . . . 1176.3. Espa io de las solu iones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186.4. Fun ión y restri iones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1206.5. Fun iones de forma lo ales o globales . . . . . . . . . . . . . . . 1266.6. Tipos según familias de ortes ne esarias para el análisis . . . . 1286.7. Tipos según omportamiento estru tural . . . . . . . . . . . . . 129215

6.8. Tipos según uso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296.9. Consumo en estru tura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1317.1. Cantidad de estru tura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1347.2. Solu iones alternativas para una fuerza axial . . . . . . . . . . . 1387.3. Solu iones equivalentes en tra ión . . . . . . . . . . . . . . . . 1397.4. Solu iones equivalentes frente a argas radiales . . . . . . . . . . 1397.5. Problemas de Tra iónCompresión, y problemas de Flexión . . 1407.6. ¾Número de Maxwell variable? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1417.7. Nuevamente pare ería que M es no onstante. . . . . . . . . . . 1427.8. Solu iones alternativas para igual problema de Maxwell. . . . . 1437.9. Trazados óptimos según el riterio de Mi hell . . . . . . . . . . 1447.10. Medidas de la deforma ión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1467.11. Energía de deforma ión y omplementaria . . . . . . . . . . . . 1477.12. Alternativas on apoyo en ontorno ir ular . . . . . . . . . . . 1487.13. Deforma ión de barra y transforma ión afín . . . . . . . . . . . 1527.14. Mejora por simetría verti al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1538.1. Grá a de momentos y antidad de estru tura en ordones. . . 1648.2. Cantidad de estru tura en triangula ión . . . . . . . . . . . . . 1658.3. Produ to es alar fuerzalongitud. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1678.4. Ar o parabóli o para arga uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . 1688.5. Representa ión grá a de la antidad de estru tura . . . . . . . 1708.6. Cantidad de estru tura y ángulo de arranque en apoyo . . . . . 1718.7. Formas mejoradas para er has. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1728.8. Cer has radiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1738.9. Dos formas de ver la Pla a triangulada. . . . . . . . . . . . . . 1748.10. Leyes de esfuerzos en losa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1759.1. Geometría bási a de una super ie soportada por vigas. . . . . 1809.2. Rela iones entre tamaños y efe tos del propio peso. . . . . . . . 1859.3. Dimensionado en viga de se ión re tangular. . . . . . . . . . . 1879.4. Dimensionado en viga de elosía. . . . . . . . . . . . . . . . . . 18710.1. Problema de ubierta . . . resuelto on vigas . . . . . . . . . . . . . 19010.2. Vigas separadas . . . y triangulades . . . . . . . . . . . . . . . . . 19110.3. Desdoblando vigas . . . para obtener emparrillados. . . . . . . . . 19110.4. La sen illez sugiere triangular en mallas de pirámide uadrada. 19210.5. Malla de tetraedros . . . on empleo de anillos para abrir hue os . 19210.6. Cer has . . . on ordón superior rigidizado si es pre iso. . . . . . 19310.7. Ar os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19310.8. Ar os ruzados: la malla de tirantes se transforma en anillo. . . 19410.9. Ar os ruzados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19410.10. Ar os radiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19510.11. Ar os radiales: transi ión a la úpula . . . . . . . . . . . . . . . 19510.12. Vigas radiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19610.13. Transforma iones posibles de las vigas radiales. . . . . . . . . . 19610.14. Catenarias radiales, . . . mejor on anillo. . . . . . . . . . . . . . 19710.15. Los anillos en ompresión se rigidizan. . . . . . . . . . . . . . . 19710.16. Solu iones alternativas al mismo problema . . . . . . . . . . . . 198216

A.1. Solu ión numéri a on auxilio de una hoja de ál ulo . . . . . . 202A.2. Momentos e tores del pórti o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203B.1. Aproxima ión a super ie límite en perles . . . . . . . . . . . . 205B.2. Roturas plásti as de referen ia en perles . . . . . . . . . . . . . 205B.3. Super ie límite en se iones formadas por HEB o por perlesUPN en ajón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

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