Concreto reforzado

44

3. MTODO DE LA RESISTENCIA LTIMA

Los problemas se pueden considerar de dos tipos:

1. De Anlisis: Se da la seccin, el refuerzo, esfuerzos en el concreto y acero, para calcular la resistencia y comparar con unos esfuerzos admisibles. 2. De Diseo: Se evalan las cargas, la luz o la geometra, para seleccionar la seccin y el refuerzo.

La ecuacin de diseo es:

MuMn

Donde: Mn: Resistencia nominal o momento nominal resistente. : Factor de reduccin de resistencia (C.9.3 del NSR-10) Mu: Momento producido por las cargas mayoradas.

El factor de reduccin de resistencia se basa de acuerdo al CR9.3 en:

Probabilidad de existencia de elementos con una resistencia baja debida a variaciones en la resistencia de los materiales y las dimensiones.

Inexactitudes en las ecuaciones de diseo. El grado de ductilidad y la confiabilidad bajo los efectos de la carga bajo consideracin Importancia del elemento en la estructura

El ACI 318 del 2005, los factores de reduccin de resistencia fueron ajustados para hacerlos compatibles con las combinaciones de carga del SEI/ASCE7, y que son los mismos del NSR-10.

3.1 TEORA DE LA FLEXIN.

Se hacen las siguientes suposiciones:

1. Las secciones transversales de la viga, perpendicular al plano de flexin, permanecen planas durante la flexin. (Ver Figuras 3.1).

2. La deformacin en el acero es igual a la del concreto en el mismo nivel.

3. Los esfuerzos en el concreto y en el acero, se calculan de la curva esfuerzo deformacin del concreto. La distribucin lineal de los esfuerzos, deja de ser vlida para vigas peraltadas y con una luz menor a 4 veces la altura del elemento.

4. Se supone que el concreto no resiste esfuerzos de tensin, ya que la resistencia a la tensin cf = 62.0fR para concretos de peso normal (C.9.5.2.3), es muy baja comparada con la del

acero, por lo tanto la capacidad del concreto para resistir esfuerzos de tensin puede ser despreciada.

45

5. Se asume que el concreto falla cuando alcanza el valor lmite. Esto ocurre cuando la pendiente en el diagrama Momento Curvatura dM /d es negativa, correspondiente a una formacin de una rotula y decremento de carga. (Ver Figuras 3.1)

Figura 3.1 Diagrama M . Fuente: Reinforced Concrete, MacGregor.

6. La deformacin mxima unitaria en la fibra extrema sometida a compresin del concreto reforzado, obtenida de ensayos de vigas es: 003.0=cu (C.10.2.3 del NSR-10) (Ver Figura 3.2)

Figura 3.2 Deformacin compresin lmite en el concreto. Fuente: Reinforced Concrete, MacGregor

46

7. La relacin esfuerzo deformacin, para el concreto se puede asumir rectangular, trapezoidal, parablica, etc.

3.1.1 Esfuerzos en el Concreto Reforzado Los esfuerzos en el concreto, son los esfuerzos de compresin y tensin. Los esfuerzos de compresin adoptan una forma geomtrica llamada el bloque de Whitney. Para facilidad de clculos se ha transformado esta figura en un cubo.

La forma del bloque de esfuerzos de los ensayos en una viga sometida al momento ltimo, se puede expresar en trminos de 3 constantes k1, k2 y k3

47

k3: Relacin entre el mximo esfuerzo fc de compresin de una viga en flexin y el esfuerzo de compresin fc en el cilindro de concreto.

cfcfk

3 =

k2: Relacin entre la distancia desde la fibra extrema en compresin, hasta la resultante de la fuerza de compresin y la distancia desde la fibra extrema en compresin hasta el eje neutro.

c

ak 2/2 = =

k1: Relacin del esfuerzo promedio en compresin y el mximo esfuerzo.

rectngulodelAreasombreadaAreak =1

Para una viga rectangular de ancho b, la fuerza resultante en compresin es:

Para simplificar, se puede usar un rectngulo equivalente como distribucin de esfuerzos en el concreto, conocido como el bloque de esfuerzos de Whitney.

CR10.2.7 Para el diseo, el Ttulo C del Reglamento NSR-10 permite el uso de una distribucin rectangular de esfuerzos de comprensin (bloque de esfuerzos) como reemplazo de distribuciones de esfuerzos ms exactas. En el bloque rectangular equivalente de esfuerzos, se utiliza un esfuerzo promedio de 0.85 fc con un rectngulo de altura a = 1c. Se ha determinado experimentalmente un valor 1 igual a 0.85 para concreto fc

48

En el suplemento de 1976 del ACI 318-71, se adopt un lmite inferior de 1 igual a 0.65 para resistencias delconcreto mayores de 55 MPa. Los datos obtenidos en ensayos con concreto de alta resistenciaC.10.1,C.10.2 respaldan el uso del bloque de esfuerzos rectangular equivalente para resistencias del concreto que excedan los 55 MPa, con un 1 igual a 0.65. El uso de la distribucin rectangular equivalente de esfuerzos especificada en el ACI 318-71 sin lmite inferior para 1 , tuvo como resultado diseos inconsistentes para concreto de alta resistencia en elementos sometidos a cargas axiales y de flexin combinadas.

El bloque rectangular de esfuerzos es descrito por dos constantes 1 y 1 (C.10.2.7.3), pero 1 no debe ser menor a 0.65

. Isomtricamente el bloque de esfuerzos queda:

Seccin transversal

Seccin transversal.

49

Vista lateral viga

La distribucin rectangular de esfuerzos tiene las siguientes caractersticas:

1. El esfuerzo uniforme de compresin 1*fc, se asume distribuido sobre una zona de compresin limitado por los bordes de la seccin y una lnea paralela al eje neutro, localizada a una distancia a = 1*c medida desde la fibra extrema en compresin.

2. La distancia c se mide desde la fibra extrema en compresin hasta el eje neutro

3. 1 se toma en el sistema ingls como:

3.1 1 = 0.85 para fc hasta 28 MPa o 4000 psi.

3.2 11000

05.005,1 cf = para 4000 < fc 8000 psi

3.3 1 = 0.65 para fc > 8000 psi

En el SI es:

1 = 0,85 para fc 28 MPa

1 = cf 008,009,1 para 28MPa < fc 56 MPa

1 = 0,65 para fc > 56 MPa

Ensayos para cargas sostenidas en vigas y columnas, han dado como resultado que 1 se puede tomar como 0.85. La resistencia a compresin debe ser mayor a fc > 17 MPa, segn C1.1.1 del NSR-10.

50

Fuente: Reinforced Concrete, MacGregor

En la figura anterior, la lnea del contorno inferior corresponde a 1=0.85 y 1, el cual se toma de la ecuacin anterior.

Se presenta una buena correlacin para 1 = 0.85 y 1 de la ecuacin anterior con k1, k2 y k3 en vigas. En columnas la correlacin es buena hasta fc 6000 psi y se puede usar:

1= 0,85 para fc 8000 psi

1 73,050000

800085,0 = cf para fc > 8000 psi

1 = 0,85 para fc 4000 psi

1 7,010000

400015,085,0

=

cf para fc > 4000 psi

51

3.1.2 Falla en el concreto Reforzado

Dependiendo de las propiedades geomtricas de la seccin, cantidad de acero y resistencia de los materiales, la falla puede ocurrir por:

Falla en tensin o subrefrozada: El refuerzo fluye antes que el concreto falle en compresin. La viga es subreforzada

Falla en compresin o sebrerefrozada: El concreto falla antes que el acero alcance la fluencia, la viga es sobre reforzada.

Falla balanceada: El concreto falla simultneamente cuando el acero alcanza la fluencia.

3.1.3 Ductilidad Este comportamiento se presenta cuando la relacin en el diagrama Momento Curvatura, Carga Deflexin, Torque Giro, etc. tiene una gran regin plstica. Una falla dctil avisa, ya que los ocupantes se dan cuenta por deflexiones excesivas y la aparicin de grietas. Para un sistema elastoplstico se tiene que la ductilidad al desplazamiento se define como:

UyUu

=

: Ductilidad solicitada o demanda de ductilidad. Corresponde a la mxima ductilidad que se le puede exigir al sistema.

Cuando el sistema no es elstoplstico, el lmite de fluencia no est definido y debe ser conservador, la ductilidad se denomina coeficiente de dao.

Segn el A.13.1 del NSR-10, se define la ductilidad y algunos tipos de ductilidad.

Ductilidad - Capacidad que tiene un material estructural de resistir, sin fallar, deformaciones que lleven al material estructural ms all del lmite elstico, o lmite donde las deformaciones son linealmente proporcionales al esfuerzo o fuerza aplicada.

Dependiendo del parmetro que describe las deformaciones, la ductilidad puede hacer referencia, entre otras, a:

(a) ductilidad de curvatura - cuando la ductilidad se mide con respecto a la curvatura de la seccin del elemento estructural. La curvatura se define como el cociente entre el momento flector aplicado y la rigidez de la seccin

52

(b) ductilidad de rotacin - cuando la ductilidad se mide con respecto a la rotacin que tiene un sector longitudinal del elemento estructural. La rotacin se define como la pendiente de la lnea elstica del elemento medida con respecto a la posicin original del eje longitudinal del elemento.

(c) ductilidad de desplazamiento - cuando la ductilidad se mide con respecto al desplazamiento o deflexin que tiene el elemento estructural. El desplazamiento se mide con respecto a la posicin original del eje longitudinal del elemento.

(d) ductilidad de deformacin - cuando la ductilidad se mide con respecto a la deformacin unitaria de una fibra paralela al eje neutro de la seccin.

3.1.4 Tenacidad Se define como el rea bajo la curva esfuerzo deformacin de un material que se lleva hasta la falla. Es una medida de la cantidad de energa por unidad de volumen que puede absorber o disipar un elemento hasta la falla.

3.1.5 Capacidad de disipacin de energa. Si se tiene un sistema elstico y uno plstico. El coeficiente de reduccin de resistencia se define como:

kRoFe

RoUeUy

RoFeFy

UyUe

FyFeRo

==

=

==

Uy: Desplazamiento en el nivel del fluencia Ue: Desplazamiento mximo del sistema elstico

kRoFe

RoUeUy

RoFeFy

UyUe

FyFeRo

==

=

==

Ro: Coeficiente de reduccin de resistencia para un sistema de un grado de libertad, indicado por el subndice o. La capacidad de disipacin de energa de un sistema inelstico de un grado de libertad, corresponde a la capacidad que tiene el sistema para reducir la fuerza elstica Fe producida por una carga externa, a una fuerza necesaria para producir fluencia Fy.

53

De acuerdo al NSR-10 Captulo A.13.1 Definiciones y nomenclatura del Ttulo A, se tiene:

CAP A.13.1 Capacidad de disipacin de energa Es la capacidad que tiene un sistema estructural, un elemento estructural, o una seccin de un elemento estructural, de trabajar dentro del rango inelstico de respuesta sin perder su resistencia.

Se cuantifica por medio de la energa de deformacin que el sistema, elemento o seccin es capaz de disipar en ciclos histerticos consecutivos. Cuando hace referencia al sistema de resistencia ssmica de la edificacin como un todo, se define por medio del coeficiente de capacidad de disipacin de energa bsico R0, el cual despus se afecta debido a irregularidades de la estructura y a ausencia de redundancia en el sistema de resistencia ssmica, para obtener el coeficiente de disipacin de energa R (R = a p r Ro). El grado de capacidad de disipacin de energa se clasifica como especial (DES), moderado (DMO) y mnimo (DMI).

Capacidad de rotacin de la seccin - Es la capacidad que tiene una seccin de un elemento estructural de admitir rotaciones en el rango inelstico sin perder su capacidad de resistir momentos flectores y fuerzas cortantes. Se mide en trminos de su capacidad de disipacin de energa a la rotacin

A continuacin se presentan 4 vigas con la misma seccin, pero con variacin en el refuerzo

56

Las vigas 3 y 4 desarrollan una falla en tensin y tiene un diagrama Momento - Curvatura dctil, mientras que en las Vigas 1 y 2 el concreto en la fibra extrema a compresin alcanza el agrietamiento ms rpido, aunque el acero fluye mucho despus, y el diagrama momento curvatura no tiene una respuesta dctil, aunque la resistencia es mucho mayor que en las vigas 3 y 4.

3.2 VIGAS RECTANGULARES CON REFUERZO EN TENSIN

Para satisfacer las condiciones de anlisis y diseo, se debe cumplir que los esfuerzos en cualquier punto deber ser siempre proporcionales a las deformaciones y debe existir equilibrio entre las fuerzas internas y externas. Para vigas cortas y peraltadas, lo anterior no se cumple.

La fuerza en compresin es:

C=0.85 fc* b*a donde a = 1 c

La fuerza en tensin es:

T = As fy

Del equilibrio:

T = C

As fy = 0.85 fc b a

cbfAsfy

a85.0

= Profundidad del rectngulo de esfuerzos equivalente en compresin

57

Se define bdAs

= como la cuanta o porcentaje de acero en la seccin efectiva. Reemplazando As = bd se obtiene:

cfdfy

cbfbdfy

a85.085.0

== (1)

El par interno en la seccin es:

TjdMn =

=

2adAsfyMn

El par interno en la seccin tambin es:

CjdMn =

=

285.0 adcbafMn

C.9.3.71-La resistencia de diseo proporcionada por un elemento, sus conexiones con otros elementos, as como sus secciones transversales, en trminos de flexin, carga axial, cortante y torsin, deben tomarse como la resistencia nominal calculada de acuerdo con los requisitos y suposiciones del Ttulo C del Reglamento.

C.9.3.2.1 Secciones controladas por traccin como se define en 10.3.4 ................................. 0.90

CR9.3.2.2 Con anterioridad a la edicin de 2002, el Reglamento ACI 318 especificaba la magnitud del factor para los casos de carga axial o de flexin, o ambos, en trminos del tipo de carga. Para estos casos, el factor queda ahora determinado por las condiciones de deformacin unitaria en las secciones transversales, en el estado de resistencia nominal.

Se usa un factor ms bajo para las secciones controladas por compresin que para las secciones controladas por traccin porque las secciones controladas por compresin tienen menor ductilidad, son ms sensibles a las variaciones en la resistencia del concreto y, en general, se presentan en elementos que soportan mayores reas cargadas que los elementos con secciones controladas por traccin. A los elementos con espirales se les asigna un ms alto que para las columnas con estribos ya que poseen mayor ductilidad o tenacidad.

Para secciones sometidas a carga axial con flexin, se determina las resistencias de diseo multiplicando tanto Pn como Mn por un nico valor apropiado de . Las secciones controladas por compresin y controladas por traccin se encuentran definidas en C.10.3.3 y C.10.3.4 como aquellas con deformacin unitaria neta de traccin en el acero extremo en traccin, en el estado de resistencia nominal, menor o igual al lmite de deformacin unitaria de secciones controladas por compresin, e igual o mayor a 0.005 respectivamente. Para las secciones con deformacin unitaria neta a traccin t en el acero extremo en traccin, en resistencia nominal, entre los lmites anteriores, el valor de puede ser determinado por

58

interpolacin lineal, como se aprecia en la figura CR9.3.2. El concepto de la deformacin unitaria neta de traccin en el acero extremo en traccin, t , se discute en CR10.3.3

Como en C.10.2.3 se supone la deformacin unitaria a la compresin del concreto, en el estado de resistencia nominal, igual a 0.003, los lmites de deformacin unitaria neta de traccin para los elementos controlados por compresin tambin pueden ser establecidos en trminos de la relacin c/dt , donde c es la distancia desde la fibra extrema en compresin al eje neutro cuando se llega a la resistencia nominal, y dt es la distancia desde la fibra extrema en compresin hasta la fibra extrema del acero en traccin. Los lmites de c/dt para las secciones controladas por compresin y controladas por traccin son 0.6 y 0.375 respectivamente. El lmite de 0.6 se aplica a las secciones reforzadas con acero Grado 420 y a las secciones preesforzadas. En la figura CR9.3.2 tambin se presentan las ecuaciones para como una funcin de c/dt .

CURVA DE VARIACION DE CR3.2.2

=

2adAsfyMn (2) Ecuacin bsica de capacidad en flexin de vigas

=

285.0 adcbafMn (3)

Reemplazo (1) en (3)

=

cfdfydbdfyMn )85.0(2

59

=

cffyfybdMn

59.012

Solucin:

22

2

*59.0**

*59.0*2

*59.0*2

fybdcfMu

fycf

fycf

=

Ecuacin de diseo para encontrar la cuanta en una seccin de concreto con refuerzo a tensin.

3.2.1 Diseo Balanceado

Se debe revisar que fs = fy. Se supone que el concreto falla cuando el acero empieza a fluir. Para la siguiente viga, la profundidad del eje neutro cb se define para falla balanceada.

C.10.3.2 La condicin de deformacin balanceada existe en una seccin transversal cuando el refuerzo en traccin alcanza la deformacin unitaria correspondiente a fy al mismo tiempo que el concreto en compresin alcanza su deformacin unitaria ltima supuesta de 0.003.

C.10.3.3 Las secciones se denominan controladas por compresin si la deformacin unitaria neta de traccin en el acero extremo en traccin, t , es igual o menor que el lmite de deformacin unitaria controlada por compresin cuando el concreto en compresin alcanza su lmite de deformacin supuesto de 0.003. El lmite de deformacin unitaria controlada por compresin es la deformacin unitaria neta de traccin del refuerzo en condiciones de deformacin unitaria balanceada. Para refuerzo Grado 420, y para todos los refuerzos preesforzados, se permite fijar el lmite de deformacin unitaria controlada por compresin en 0.002.

CR10.3.3 La resistencia nominal a la flexin de un elemento se alcanza cuando la deformacin unitaria en la fibra extrema en compresin alcanza el lmite de deformacin unitaria asumido de 0.003. La deformacin unitaria neta de traccin t es la deformacin unitaria de traccin en el refuerzo de acero extremo en traccin en el estado de resistencia nominal, sin considerar las deformaciones unitarias debidas al preesforzado, flujo plstico, retraccin y temperatura. La deformacin unitaria neta de traccin en el refuerzo de acero extremo en traccin se determina a partir de una distribucin de deformaciones unitarias

60

lineal en el estado de resistencia nominal, como se aprecia en la figura. CR10.3.3, usando tringulos semejantes.

Con anterioridad al desarrollo de estas disposiciones, el lmite de deformacin unitaria por traccin para los elementos sometidos a flexin no estaba establecido, pero se encontraba implcito en la cuanta mxima de refuerzo a traccin dada como una fraccin deb , que dependa de la resistencia a la fluencia del refuerzo. El lmite de deformacin unitaria neta de traccin de 0.005 para las secciones controladas por traccin se eligi de manera que fuera un valor nico para todos los tipos de refuerzo de acero (preesforzado y no preesforzado) permitidos por este Ttulo C del Reglamento NSR-10.

De la semejanza de tringulos

dy

c

cu

b

cu +=

003.0

003.0

+=

+=

ycuy

cub

dc

Multiplicando por Es = 200.000 MPa y se tiene que 003.0=cu (C.10.3.2 del NSR 10)

600600+

= fydcb

Si el eje neutro c cb, la deformacin en el acero excede y entonces se toma fs = fy. Donde fs es el esfuerzo en el acero.

Como a = 1 c, es la profundidad del bloque equivalente de esfuerzos, para diseo balanceado se tiene:

ba = 1 bc

1b

ba

c =

+=

600600

1 fydab

fy en MPa

Para disear se revisa que fs (esfuerzo en el acero) = fy (Esfuerzo de fluencia) y se debe cumplir que:

da

da b

ba = 1 *cb

61

NSR-10 C.10.3.3 Los elementos sometidos a flexin en general son controlados por traccin, mientras que los elementos en compresin en general son controlados por compresin. La resistencia nominal a la flexin de un elemento se alcanza cuando la deformacin unitaria en la fibra extrema en compresin alcanza el lmite de deformacin unitaria asumido de 0.003. Cuando la deformacin unitaria neta de traccin en el acero de refuerzo extremo en traccin es suficientemente grande (igual o mayor a 0.005), la seccin se define como controlada por traccin donde se puede esperar un claro aviso previo de falla con deflexin y agrietamiento excesivo. Cuando la deformacin unitaria neta en traccin en el refuerzo de acero extremo en traccin es pequea (menor o igual al lmite de deformacin unitaria controlada por compresin), se puede esperar una condicin de falla frgil, sin un claro aviso de una falla inminente.

Grficamente:

A continuacin se calcular la cuanta balanceada. Para diseo balanceado se tiene que fs = fy;

se puede usar dcb

, donde cb es la profundidad del eje neutro balanceado.

cfdfy

a bb85.0

= Para ab = cb 1

cfdfy

c bb85.01

=

cffy

dc bb

85.0 1

= Pero

cu

cub

ydc

+=

Igualamos las 2 expresiones

+

=

cuy

cub fy

cf

185.0

)200000(003.0

003.085.0 1 MPafycf

yb

+

=

62

+

=

60060085.0 1

fyfycf

b

Donde fc y fy en MPa.

b se compara con la cuanta de la ecuacin de diseo y se puede asumir b 75.0max = , segn NSR-98, pero para NSR-10 usar b 65.0max = .

Problema: Hallar el momento nominal resistente de una viga de concreto simplemente reforzado, con fc = 21 MPa, As = 37/8 y fy = 420 MPa.

1. Se asume que fs = fy en tensin

T = As f y

As = 3(3,87) = 11,61 cm2

fy = 420 MPa

kNT 6.48710*420*100

61.11 62 ==

Si el acero ha fluido, se soluciona normalmente, sino, es una solucin ms compleja.

2. Clculo del rea del bloque a compresin

El bloque de esfuerzos en compresin, consiste en una carga uniformemente distribuida de altura a = 1c y base 0.85 fc.

C = T = 487.6 kN

C = 0.85fc 1 c b

bcfC

c185.0

=

Para fc < 28 MPa 1 = 0.85

cmc 03.810*03.840.0*85.0*10*21*85.0

10*6.487 23

3

===

a = 1 c = 0.85 (8,03) = 6,83 cm

63

3. Revisin fs = fy. Por tringulos semejantes.

ctdcdctscu

=

=

22

2

10*38.1003.0*10*03.8

10*03.845.0

=

=

= cutc

ctd

Para un acero grado 60

0021.010*20010*420

9

6

==y

Por lo tanto 00210140.0 =S y fs = fy, es decir que el acero fluye

4. Clculo del Momento nominal resistente Mn

jdTMu =

jd: distancia entre la fuerza resultante a tensin y la fuerza resultante a compresin

cmadjd 59.41

283.645

2===

=

2adAsfyMn

: Coeficiente de reduccin de resistencia igual a 0,9 para flexin. (C.9.3 del NSR98)

Mn = 0,9 [487,6 *103 *0,4159]= 182,5 kN.m Momento nominal de diseo o resistente

Problema: Calcular el momento nominal resistente Mn para la siguiente Viga, fc=21 MPa y fy = 420 MPa

64

Calcular a

cbfAsfy

a85.0

= As= 3(5,10) = 15,3 cm2

ma 12.03.0*10*21*85.0

10*420*100/3.156

62

==

Revisar fs = fy

218.055.012.0

==

da

325.065.0*5.065.0*600

60085.065.0*600

60065.0* 1 ==

+=

+= fyfyd

ab

dab

da

Por lo tanto fs = fy

Calculo del momento nominal

=

2adAsfyMn

mKnMn .4.283)06.055.0)(10*420(100

3.159.0 62 =

=

3.2.2 Diseo de Vigas Rectangulares

65

La deflexin mxima en una viga es de la forma: EIwlK

MAX

41

= La Tabla C.9.5.2.del NSR-10, se especifican los espesores mnimos de losas y vigas en una direccin para que no haya necesidad de calcular deflexiones.

C.7.7 Recubrimientos: Se debe recubrir el acero de refuerzo con un espesor de concreto para:

1. Evitar que la carbonatacin (Electrolito) producida por el CO2 del medio ambiente sobre el concreto llegue al refuerzo y se produzca corrosin en el acero. El recubrimiento vara dependiendo del medio ambiente. 2. Que actu como un solo material. 3. Proteccin contra el fuego y prdida de resistencia de las barras de acero.

En el C.7.7 del NSR 10 se dan los recubrimientos mnimos para concreto vaciado en sitio. A continuacin se transcribe lo que dice el reglamento al respecto.

C.7.7 - RECUBRIMIENTO DEL REFUERZO

C.7.7.1 - CONCRETO VACIADO EN SITIO (NO PREESFORZADO) - Las barras del refuerzo deben tener los recubrimientos mnimos dados a continuacin. En ambientes agresivos deben utilizarse recubrimientos mayores que los mencionados, los cuales dependen de las condiciones de exposicin.

Recubrimiento mnimo (a) Concreto colocado directamente sobre el suelo y en contacto permanente con la tierra ....................................................................... 75 mm

(b) Concreto expuesto a la intemperie o en contacto con suelo de relleno: Barras N 6 (3/4") y 18M (18 mm) a

N 18 (2-1/4") y 55M (55 mm)..................................................................... 50 mm Barras N 5 (5/8") y 16M (16 mm) y menores............................................. 40 mm

(c) Concreto no expuesto a la intemperie, ni en contacto con la tierra:

Todos los tipos de refuerzo en losas, muros y viguetas: Barras N 14 (1-3/4"), 45M (45 mm),

66

N 18 (2-1/4") y 55M (55 mm)..............................................................40 mm Barras N 11 (1-3/8") y 32M (32 mm) y menores................................. 20 mm

En vigas y columnas: Refuerzo principal..................................................................................40 mm Estribos y espirales................................................................................ 30 mm

En cascarones y losas plegadas Barras N 6 (3/4") y 18M (18 mm) y mayores...................................... 20 mm Barras N 5 (5/8") y 16M (16 mm) y menores...................................... 15 mm

Para ver los recubrimientos de elementos prefabricados ver el numeral C.7.7.2 y para pre esforzado ver el C.7.7.3.

3.2.2.2 Refuerzo mnimo a Flexin: Si el momento de falla es excedido por el momento actuante en una viga, puede ocurrir una falla sbita y colapsar, por esto es necesario las normas sismo resistentes NSR 98, que limita la cantidad de refuerzo a tensin.

Segn el C.10.5 del NSR 98, el As suministrado para un elemento a flexin, no debe ser menor a:

dbwfydbwfycf

dbwAs 4.14minmin

== fc en M Pa

Para fy = 420 MPa 0033,04.1min == fy

Problema: Disear una viga de luz exterior que carga su propio peso, una carga muerta de 10 kN/m, una carga viva de 5 kN/m. fc =21 MPa y fy = 420 MPa, y la planta se presenta a continuacin.

1. Pre dimensionamiento

Se supone inicialmente b = 0,30 m b 0,25 m (C.21.3) m

lh 45.043.05.180.8

5.18=== , Usaremos 0.5m

Seccin de vigas: 40cm*50cm

67

Separacin Viguetas

Smax 2.5hlosa

Smax 2.5(0.5m)

Smax 1.25m

Smax 1.20m

8/1.2 = 6.67 vigas

8m/(7vigas) = 1.14m

Utilizaremos separacin de 1.14m de centro de vigueta a centro de vigueta

hloseta = Luz libre entre viguetas/20

hloseta= 1.14/20 0.05 h (Altura de viguetas )

h 5bw h 5(0.12) h 0.6 Para efectos prcticos se utilizara una altura igual a la losa.

68

Evaluacin de Cargas.

Viguetas..(24kN/m3)*0.12*(0.5-0.05)/(Separacin entre viguetas) 1.137 kN/m2 Muros. 3.5kN/ m2 Baldosa 1.0 kN/m2 Cielo raso. 0.3 kN/m2

Alistado.. (22 kN/m3)*0.05 = 1.1 kN/m2 Casetn. 0.3 kN/m2

--------------------

7.34 kN/m2

Carga muerta = 7.34*L aferente = 7.34*4 = 29.36 kN/m

Peso propio( 24 KN/m3)*0.4*0.5 =4.8 kN/m

Carga viva(vivienda ) : 1.8kN/m2 Peso carga viva ( 1.8 KN/m2 )*4 =7.2 kN/m

Se realiza el avalu de la carga ultima mediante 2 combinaciones, el primero es 1.4D (Carga Muerta) y la otra es 1.2D (Carga Muerta) + 1.6L(Carga viva), de estos 2 combos se deja el que arroje mayor carga. (NSR-10)

Combo #1 = 1.4( 29.36+4.8) = 47.83 kN/m

Combo #2 = 1.2( 29.36+4.8)+1.6(7.2 KN/m) = 52.52 kN/m

Utilizare Wu= 52.52 kN/m.

Utilizaremos fc = 28MPa.

01842.065.0*02833.0

02125.0600

60085.0

max

1

==

=

+

=

fyfycf

b

max (28mpa) = 0.01842

69

16

2wl= 210.08 kN-m

14

2wl= 240.1 kN-m

9

2wl= 373.48 kN-m

3. Calculo del refuerzo

3.1 Refuerzo positivo en centro de la luz

=

cffyfybdMn

59.012

22

2

*59.0**

*59.0*2

*59.0*2

fybdcfMu

fycf

fycf

=

Luz Larga L = 8,0 m, b = 0,40, d = 0,4

Mn= Mu(-) kN-m 210.1 373.5 Mn= Mu(+) kN-m 240.1 () 0.00754 0.0033 0.01478 (+) 0.0033 0.008744 0.0033 As (-) [cm 2] 13.572 26.61 As (+) [cm 2] 15.74 Refuerzo superior 2#8 + 1#7 3#6 4#8 + 1#7 Refuerzo inferior 3#6 2#8 + 2#7 3#6 Separacin 12.27cm 12.14cm 4.86 cm 12.14cm 9.4cm 12.14cm

Separacin = (Base de viga-2*(espacio entre cara lateral externa de viga y acero)-#Varillas*Dimetro correspondiente) / (Numero de espacios interiores formados por las varillas)

4. Refuerzo balanceado (C.8.5.12.2)

4.1 Cuanta

70

01478.001842.065.0*02833.0

02125.0600

60085.0

max

1

>==

=

+

=

fyfycf

b

4.2 Alternativamente se puede usar:

Borde con mayor refuerzo (Si cumple la fluencia para el extremo con mayor acero requerido, cumplir para el centro de la luz y el otro extremo de la viga ya que requieren menor acero lo que mantendr el diseo dctil )

cmcbf

Asfya 74.1111739.0

3.0*10*5.9*85.010*420*100

61.26

85.0 662

====

261.045.0

1174.0==

da

5.0600420

60085.01 =

+

=

+=

fyEd

a

Scu

cub

*0.65=0.325,

0.261

71

Para evitar localizar el centroide, se pueden asumir 2 vigas:

3.3.1.1 Viga 1: Las alas resisten la compresin. Un rea de compresin Asf, que corresponde al rea de las alas que resiste la compresin, bajo esfuerzos de 0.85f`c, y cuya resultante es Cf. El rea del acero que resiste la tensin es Asf.

Asf: rea de acero que resiste la tensin. Tf: Resultante fuerza en tensin. Cf: Resultante fuerza en compresin. Mnf: Momento resistente de la viga.

)2/()2/()(85,0

2/

)(85,0)(85,0

0

)(85,0

hfdfyAsMnhfdhfbwbcfMnf

hfdjdCjdTjdMnf

fyhfbwbcfAsf

hfbwbcffyAsfCfTfF

fyAsfTfhfbwbcfCf

f =

=

=

==

=

=

==

=

=

3.3.1.2 Viga 2: El alma resiste la compresin

72

Asw=As-Asf. Acero que resiste tensin correspondiente a compresin en el alma Tw: Fuerza en tensin. Cw: Fuerza en compresin.

)2/()2/(85,0

2/

0Pr

85,0

85,00

adfyAsMnwadacbfMnw

adjdCjdTjdMnw

Mcompresionrectnguloofundidad

cbwffyAsw

a

cabwffyAswCwTwF

w

w

=

=

=

==

=

=

=

==

El momento nominal resistente en la seccin es

)2/()2/()2/(85,0)2/()(85,0

9,0)(

adfyAshfdfyAsMnadcbwafhfdhfbwbcfMn

MnwMnfMn

wf +=

+=

=

+=

3.3.2 Diseo balanceado fs = fy

C.10.2.3 La mxima deformacin unitaria del concreto es 0.003.

+=

+=

+=

fyda

fydc

b

ycu

cub

600600

600600

1

3.3.3 Limite del refuerzo en vigas T.

73

Segn el C.10.5.1 C.10.5.2 del NSR-10, en todo elemento sometido a flexin el refuerzo no debe ser menor que el mnimo obtenido con:

dbfyAs

dbfycf

As

w

w

4.1min

25.0min

=

=

Para los elementos estticamente determinados con el ala en traccin, As min debe ser mayor que el valor dado por la ecuacin anterior usando 2bw o el ancho del ala, el que sea menor.

Para asegurar el comportamiento dctil, el NSR-10 en el C.10.3.3 determina que las secciones se definen controladas por tensin o compresin.

Las secciones se denominan controladas por compresin si la deformacin unitaria neta de traccin en el acero extremo en traccin, t, es igual o menor que el lmite de deformacin unitaria controlada por compresin cuando el concreto en compresin alcanza su lmite de deformacin supuesto de 0.003.

Cuando la deformacin unitaria neta de traccin en el acero de refuerzo extremo en traccin es suficientemente grande (igual o mayor a 0.005), la seccin se define como controlada por traccin donde se puede esperar un claro aviso previo de falla con deflexin y agrietamiento excesivo.

Para asegurar el comportamiento dctil el NSR-10 en el C.10.3.3 exige que b 75,0 , donde b es la cuanta balanceada para elementos sometidos a flexin sin fuerza axial. El NSR-10,

para que la seccin sea controlada pro traccin, se puede usar b 65.0 aproximadamente.

Se puede revisar de 3 maneras:

1. Si la zona de compresin es rectangular, fs = fy y si a/d

74

)( fbRbT bbw +=

bR : Cuanta balanceada para rectngulo en compresin donde b = bw y bwdAsf

f =

Problema: Analizar una viga T interior que tiene una luz libre de 6 m, fc=21MPa y fy = 420 MPa.

Corte transversal

1. El Clculo del ancho efectivo b de la losa debe cumplir con el C.8.12.2, y no debe exceder 1/4 de la luz de la viga, y el ancho sobresaliente efectivo del ala a cada lado del alma no debe exceder:-

(a) 8 veces el espesor de losa, y (b) la mitad de la distancia libre a la siguiente alma

Segn el C.8.12.3 en vigas que tengan losa a un solo lado, el ancho efectivo del ala debe ser menor a:

(a) 1/12 de la luz de la viga, (b) 6 veces el espesor de la losa, y (c) la mitad de la distancia libre a la siguiente alma., en el centro de la luz .Momento positivo.

1.1 mlb 5.141

1 = .

1.2 mbtbwb 85,180,010,0*882

== .

1.3 mblbwb 0.2875.0275.1

222 == .

Usar b = 1.50 m.

75

2. Clculo de a: Profundidad del rectngulo de esfuerzos en el centro de la luz (Momento Positivo).

mcbf

Asfya 036.0

50.1*10*21*85.010*420*100/87.3*6

85,0 662

===

,10,0036.0 maComo = La zona de compresin es rectangular.

3. Revisin de minAsAs

22 22.235.12150*25*420

4.14,1cmcmdbwfyAs

76

5. Anlisis del momento negativo. Calculo del ancho efectivo. b=25cm

6. Clculo de a:

mcbf

Asfya

w

106.025.0*10*21*85.010*420*100/84.2*4

85,0 662

===

7. Revisin

22 04.171.225*25*420

4.14,1cmcmdbwfyAs

77

1. Calculo profundidad efectiva d

cmd

cmY

70,513,860

3,810,5*5

35,11*10,5*227,6*10,5*3

==

=

+=

2. Clculo de la profundidad del bloque de esfuerzos (Se supone viga rectangular):

mx

x

cbfAsfy

a 13,045,0*1021*85,010420*100/10,5*5

85,0 662

===

Como 10,013,0 >=a el rectngulo de esfuerzos cae en el alma.

3. Se divide la viga en dos, Viga 1 y 2

3.1 Viga 1.

78

mkNMnfxMnf

hfdfyAsMnohfdhfbwbcfMnfcmmxAsf

xAsf

fyhfbwbcfAsf

f

.72,166)2/1,0517,0(1,0)25,045,0(1021*85,0

)2/()2/()('85,05,8108510420

10,0)25,045,0(1021*85,0

)('85,0

6

225

6

6

=

=

==

==

=

=

3.2 Viga 2:

mx

x

a

cmAsfAsAswcbwffyAsw

a

16,025,0*1021*85,0

10420*10017

175,85,25'85,0

6

62

2

==

===

=

mkNMn

xadfyAswMnmKNMn

xMn

adcbwafMn

w

w

w

w

w

.02,312

)2/16,0517,0(10420*100

7)2/(*

.02,312)2/16,0517,0(*16,0*1021*85,0

)2/(`85,0

62

6

=

==

=

=

=

4. Momento nominal resistente nM

mkNMMM nwnfn .9,43002,312*9,072,166*9,0 =+=+=

5. Revisar minmin oAsAs

22

22

5,2535,64

`

min

5,2505,72

`

min

cmcmdbffycf

As

cmcmdbwfycf

As

79

325.065.0*5.0329.07.51

17==

80

1.2 Placa maciza.

Espesor de la placa t = Ln / 28 = 3,70m / 28 = 0,13 Usar 0,15 m

Ln: Luz libre.

Ancho efectivo b. (C.9.5. NSR 10).

mbUsar

mbmlbwb

mbtbwb

mb

0.2

0,485,1270,3

223.1.1

7,220,182

2.1.1

50.24

10ln411.1.1

2

=

===

==

==

1.2 Calculo de profundidad efectiva d = 50-8,0 = 42cm suponiendo 2 filas de acero

2. Evaluacin de cargas sobre la viga usando el mtodo del rea aferente.

Carga Muerta (No hay muros divisorios) Peso propio de la viga 24*0,50*0,30= 3,6 kN/m

81

Peso propio de la losa 24*0,15*3,70= 13,07 kN/m Alistado superior e inferior 22*0,08*4,0= 7.04 kN/m Baldosa cemento 1,0kN/m2 *4,0 = 4,0 kN/m Total wcm = 28 kN/m

Carga Viva (vivienda) wcv = 1,80 kN/m2 * 4,0 m = 7,2 kN / m

Carga ltima wu = 1,2*27,5 + 1,6 * 7,2 = 45.1 kN /m

La Viga T es:

3. Calculo de As

=

cffyfybdMn

59.012

2

2

3

22

35.197#5:21.18

10*017.2

.7.28116

10*1.4516

ln*

cmUsarcmAs

mkNwuMu

=

=

=

===

4. Revisin Asmin

Asmin = (1,4 / fy )*dbw = 0.0033*200*42=27.97 cm2

Usar 26.308#6 cm=

Calculo de a (Se supone viga rectangular)

82

0.85

cmmx

xa 6.3036.0

0.2*1021*85,010420*100/6.30

6

62

===

Viga rectangular ya que 3.6cm

83

=

Viga I

Asw*fy= 0.85fc*2bw*a

1.7

=

cffyfybdMnw

59.012

( )

=

=

2**

2***7.1

adfyAsfAsMnw

adabwcfMnw

Viga II

0.85 2 Mnf =(Asf*fy (d-hf/2)

Mnf =0.85fcfy (b-2bw)

Mnw +Mnf =Mn

ISOMETRIA DE VIGA CANAL (CENTRO DE LA LUZ)

84

Se hace un corte transversal

PROBLEMA: Disear la viga canal que se muestra a continuacin

L 6m CM 25 kNm CV 5 kNm W 2.5 kNm

Peso propio 0 A

85

Peso propio 24 kNm 0 0.5m 0 0.35m 0.3m 0 0.3m Peso propio 2.04 kNm W4 1.2 0 CM 5 PP 5 1.6 0 CV 5 0.8 0 W

W4 1.2 0 625 kNm 5 2.04kNm 7 5 1.6 0 5

kNm 5 0.8 0 2.5

kNm

W4 42.45 kNm 89:;

?@@ A 89:; @BC. DB EF. 9 Corregir es sobre 10 ver C.13

MGHI W4 0 lK

14 A MGHI 109.16 kN. m

Refuerzo Negativo

AM 138.93 Nm 0 10

0.9 0 420 NmK 0 0.95 0 0.3m 1.3 0 10;mK 13cmK

Por tratarse de un refuerzo que debe ser colocado en las 2 aletas de la viga, el refuerzo tiene que colocarse en pares.

Usar 2#6+2#7 = 13.42 cmK

a 13.42 0 420 0 10P NmK

0.85 0 21 0 10P NmK 0 0.5 0.063m 6.3cm

AMQ 0.85 0 21 0 10P NmK 0 0.5m 2 0 0.1m 0 0.05m

420 6.4cmK

RMSQ 0.75 0 fU 0 b 2 0 bW 0 hQ 0 Yd [\K ] A RMS 64.97kN. m

(Este es el momento resistido por el hf sin contar el espesor de las aletas), Grficamente:

86

El resto de la compresin ser absorbida por el par de aletas. Grficamente:

AMW AM AMQ AMW 13.42cmK 6.4cmK

AMW 6.6cmK

a ^.^_`aab0cKd0d^

e_b

.f0K.0d^ e_b0d. 7.02cm

Como la profundidad es mayor que los 5 cm de alma. El comportamiento mecnico es de viga canal en los apoyos.

RMSW Asw*fy *(d-a/2)

RMSW 80.4 kN. m

RMghgijk RMSW 5 RMSQ

RMghgijk 80.388kN. m 5 64.97kN. m

RMghgijk 145.358 kN. m

Este momento nominal de 145.38KNm es mayor que el momento actuante de 138.93 KNm, lo que indica que la viga resistir la flexin sin problema.

Isomtricamente el diseo a flexin nos queda as: un par de varillas #7 en cada aleta

87

3.5 VIGAS CON REFUERZO A COMPRESIN

Caso I: Viga con refuerzo a tensin

Caso II: Viga con refuerzo a compresin

Consideraciones

1. a2 < a1 ya que cierta parte de la compresin la resiste el acero Cs, por lo tanto la fuerza de compresin en el concreto Cc es menor que en la viga con solo refuerzo en tensin.

2. j1d

Fuente: Reinforced Concrete, MacGregor.

3. Se reduce considerablemente la deflexin a largo plazo en la viga pora que el flujo plstico en el concreto

Fuente: Reinforced Concrete, MacGregor.

88

Fuente: Reinforced Concrete, MacGregor. Incremento del Momento Resistente debido al acero de compresin

3. Se reduce considerablemente la deflexin a largo plazo en la viga por cargas sostenidas, debido oncreto se reduce al bajar los esfuerzos.

Fuente: Reinforced Concrete, MacGregor. Incremento del Momento Resistente debido al acero de compresin

del Momento Resistente debido al acero de compresin

cargas sostenidas, debido

Incremento del Momento Resistente debido al acero de compresin

89

4. Se incrementa la ductilidad, ya que a decrece, aumentando la deformacin en el acero de tensin 2s . Esto es recomendable en caso de sismos, ya que la redundancia de la estructura con una buena ductilidad, permite la redistribucin de momentos.

3.5.1. Anlisis de vigas con refuerzo a tensin y compresin

Cs: Resultante de compresin en el acero Cc: Resultante de compresin en el concreto As: Acero de compresin As: Acero de tensin T: Resultante de tensin

Del diagrama de deformacin

003.0'1003.0'''

'

=

=

=

=

c

dc

dcc

dcdcc

cus

scu

Si ys ' , entonces fs el esfuerzo de compresin en el acero As, es igual a fy y se toma fs=fy.

=

=

a

d

ac

s

'1003,0' 11

En la fluencia ys ' = fy/Es, donde Es = 200 GPa.

90

=

=

60011'

600'1

1lim

1

fya

d

fya

d

Cuando

a

d 'es mayor que el valor anterior, el acero en compresin no ha alcanzado la fluencia

fs = fy cuando lim

''

a

ddd

Se divide la viga en dos:

Viga 1: T1 = Cs

Viga 2: Cc= T2

3.4.1.1 Caso I: El acero en compresin fluye

En la viga 1, se supone que As est bajo 0,85fc, el esfuerzo adicional para alcanzar la fluencia en la viga 1 es (fy-0,85fc)

T1 = Cs

91

)'('85,01'

'85,01'

)'85,0('

1

1

1

ddfyfycf

sAMn

fycf

sAAs

cffysAfyAs

=

=

=

Se puede simplificar, asumiendo que los esfuerzos de compresin en el acero son cero en Viga 1:

Cs = T1 As fy = As1 fy As = As1

El momento nominal es: Mn1 = As fy (d-d)

Para la viga 2

Cc = T2 As2 = As As1= As As

cbffyAsAs

a

fyAsAscbaffyAscbaf

TCc

'85,0)(

)('85,0'85,0

1

1

2

2

=

=

=

=

Momento nominal resistente.

)2

()( 12adfyAsAsMn =

El momento nominal resistente total para el caso simplificado ser:

+=

+=

2)()'(' 1

21

adfyAsAsddsfyAMn

MnMnMn

En momento nominal resistente total ser:

cbffy

cfsAAs

a

adfyAsAsddfyfycf

sAMn

'85,0

'85,01'

)2/()()'('85,01' 1

=

+

=

92

Otra forma es comparando las cuantas como se muestra a continuacin.

El acero superior ha fluido: S= , fs=fy.

max = 0.65b + cu

cn y

p

c = qr

qr;s p

Fh= 0

T = Cc + Cs

.b.d.fy = 0.85.fc.1.c.b+b.d.fy dividiendo por: b.d.fy

= 0.851t q ts q u+

La cuanta mnima de acero a traccin

min =0.851t q tsu u Y

qr;vu ]

cu= 0.003 y= fy/Es

Cuanta Lmite en el momento que el acero de compresin ha fluido. Si s>y. Es la cuanta mnima de acero a traccin correspondiente a la fluencia del acero en compresin:

min =0.851t q tsu u Y

PddPdd;Pddts] 5

Si el acero Superior ha fluido entonces = wxyu min

93

Si la cuanta de acero es menor a este lmite, el acero en compresin no ha fluido fs E y (AS fluye)

94

Para diseo balanceado fs=fy, se asume que el acero de compresin y tensin fluyen.

( )

( )

( ) balanceadaCuantiafyfycf

dbsAy

bdAs

emplazo

cdbffyAsAs

fy

cdbffyAsAs

da

fyda

b

b

+=

==

=

+

=

+=

600600'85,0

'

'

'Re

`85,0600600

`85,0

600600

1

11

1

1

3.5.1.2 Caso II: El acero de compresin no fluye, pero el de tensin si:

Momento nominal resistente (Para vigas que no fluye el acero a compresin)

Mn = [Cc( d-|K)+Cs(d-d)] Mn = [0.85fc ba(d- |K )+ 0.003EsAs( 1-

`u| )(d-d)

La fuerza en compresin es:

0''003,0)'003,0('85,0

003,0*'1''85,0

''''

12

1

=+

=

+

=+

==

dsEsAaAsfysEsAcbaf

Asfya

dsEsAcbaf

TCsCcequilibrioDel

sAEsssAfCs s

Resolviendo la ecuacin cuadrtica, se encuentra la profundidad del rectngulo de compresin.

( )

)'('1'003,02

'85,0

'

2

min'85,0

''003,0'85,0*2

)'003,0('85,0*2

)'003,0(

1

12

dda

dsEsAadcbafMn

ddCsadCcMn

resistentealnoMomentocbf

dsEsAcbfAsfysEsA

cbfAsfysEsA

a

+

=

+

=

+

=

95

Diseo Balanceado fs = fy

Para que esto ocurra se debe cumplir que el acero en tensin fluya.

.,,

'

'

'

'

600600'85,0'

'

'

'Re

'85,0)''(

600600

',

1

1

1

dosubreforzadiseotensionenaceroparafyfsfysf

fysfSi

fyfycf

fysfbalanceadaCuantia

bdsAy

bdAs

emplazo

cbdfssfAAsfy

da

fyda

fysfperoda

da

b

b

b

b

=

96

As2 = As As1 =6*5,10 2*3,87 = 22,86 cm2

Profundidad de a para la viga 2

mx

x

a 18,03,0*1021*85,0

10420*100

86,22

6

62

==

2. Revisin fs=fy

35,06004201

85,01

60011'

333,018,006,0'

1lim

=

=

=

==

fya

d

a

d

Como 35,0'33,0'lim

=

97

= 5.0*10;

CUMPLE OK

4. Revisar

2

2

2

6,306,556*30*

4204,1

min

58,456*30*420*421

min

min

cmAscmAs

cmAs

AsAs

=

==

==

5. Momento nominal resistente

mKNMn

xxMn

:4,552

)218,056,0(*10420*

10086,22

*9,0)06,056,0(*10420*100

87,3*2*9,0 62

62

=

+=

Problema: Calcule el momento nominal resistente (Caso II).

1. Profundidad rectngulo compresin. Se asume fs = fy y que fs = fy

As2 = As As1 = 3*5,1 = 15,3 cm2

98

mx

x

cbffyAsAs

a 12,03,0*1021*85,0

10420*100

3,15

'85,0)(

6

62

1==

=

3. Revisin si fs = fy

lim

lim

''

35,0'

5,012,006,0'

>

=

==

a

da

dComo

a

da

d

El acero fs no fluye

4. Recalcular a

cmma

xxxa

axax

dsEsAaAsfysEsAcbaf

4,13134,010743,8101755,1104286,3

046818102,3671053550''003,0)'003,0('85,0

332

3231

2

=

++=

=

=+

5. Revisar fs = fy

325.065.0*5,0065*24,056,0

134,0====

da

da b

5.1 Seccin controlada por tensin.

Bienda

da

ltlt

32,0375,023,000665,0

134,01 ==

=

=

5.2 Mtodo grafico (NSR -10)

99

d.ddI}~d.P =

d.ddd.fP

= 7.6*10; CUMPLE OK

Mn = 573.86 kN.m

Problema: Disear el refuerzo a flexin en la viga de luz interior con una luz de 8.0m, fc = 21Mpa, fy = 420mpa, CM = 7.16 KN/m2 (Incluye pesos propio de viga) , CV=2.0kn/m2 (Oficinas) , Longitud aferente de 6.0m . Usar seccin de 30*50cm

1) Carga Ultima

Wu = 1.2*6(7.16)+1.6*6(2) = 70.8Kn.m

2) Momentos actuantes (Vano interior)

3. Momento Nominal Resistente.

100

Mn=bd2fy (1-0.59 ts tq )

Calculamos el Mn, con el Max y si es menor que el M actuante, diseamos la viga como doblemente reforzada

Max = 0.65bal

014.065.0*02125.0

02125.0600

60085.0

)21max(

1

=

=

+

=

Mpa

b fyfycf

Mn2 = 0.9*0.014*0.3*0.422*420*106 (1-0.59* d.dccKdd^

Kd^ ) Mn2 =233.65Kn.m

4. Mn1 = Mu - Mn2

4.1 Bordes

Mn1 = Mu - Mn2

Mn1 = 411.93 233.65= 178.25

4.2 Centro de luz

Mn1 = 283.2 233.65 = 49.55

5 Refuerzo en tensin

As = Asmax+As1

As = Max*b*d + tsu;u

5.1 Borde As =0.014*30*42+ f.Kd d.cKdd^d.cK;d.d

As = 17.64 + 12.745cm2 = 30.385 cm2

Usar 6 #8 =30.6 cm2

101

5.2 Centro de la Luz

As =0.014*30*42+ c.d d.cKdd^d.cK;d.d

As = 17.64+ 3.12 = 20.76 Usar 7#6+1#5 = 21.87cm2

6. Refuerzo a compresin

fs= fy-0.85fc As =

txu;u

6.1 Borde

As = f.Kd

d.cKd;d.Kd^d.cK;d.d

As = 13.313 cm2

Usar 2#8 + 1#7 = 14.07 cm2


As = c.d

d.cKd;d.Kd^d.cK;d.d

As = 3.7 cm2

Usar 1#5+1#6= 4.83 cm2

GRAFICAMENTE EL REFUERZO DE LA VIGA SERIA ASI

102

7 Revision de cuantas

( )max= 0.65bal

+

=

60060085.0 1

fyfycf

b

bal(21mpa) = 0.02125 max (21mpa)= 0.02125*0.65 = 0.014

7.1 Bordes ( ) = d.P;c.dfdcK = 0.01312

7.2 Centro de luz

( ) = K.f;c.dcK = 0.01352

8 u| )Lim = ` (1- ts

Pdd ) =

d. (1- cKdPdd )

)Lim =0.3529

9. (Profundidad de compresin)

= wx;wxY ; a.

]tsd.tq y

103

9.1 Bordes

= d.P;c.df ; a.b`à^

baà^ cKdd^d.Kd^d. = 0.1343

9.1.1 {| = d.d

d.c =0.3723, como {| u| )Lim, El acero en compresin no fluye


= K.f;c. ; a.b`à^

baà^ cKdd^d.Kd^d. = 0.135257 = 13.526cm

9.2.1

{| =

d.dd.Kf = 0.36966 como

{| u| )Lim, El acero en compresin no fluye

Como el acero en compresin no fluyo, hay que recalcular a con la sgte ecuacin

0.85fcba2+(0.003EsAs-As.fy )a-0.003EsAs1d= o

Despus de recalcular a, hay que recalcular el Mn con la siguiente ecuacin

*Momento Nominal resistente

Mn = [Cc(d-|K)+Cs(d-d)] Mn = 0.85fc ba(d - |K)+ 0.003EsAs( 1-

ù| )(d-d)

Este momento nominal seria el Mn Con este momento se recalculara de nuevo la seccin y el refuerzo tanto en tensin como en compresin.

Nota: Mayor acero en compresin garantiza un diseo controlado por tensin

10

RECALCULR

10.1 Recalculando a (Borde)

= 0.1328

10.1.1 Chequeo mediante el mtodo grafico para saber si el diseo es controlado por traccin

104

d.ddI}~d.cK =

d.ddd.PK

Et= 0.005263 CUMPLE OK

10.2

Recalculando a (Centro de luz)

= 0.13451

10.2.1

d.ddI}~d.cK =

d.ddd.

Et= 0.005 CUMPLE OK

11Recalcular Mn

11.1 Recalculando Mn (Borde) Mn = 417.47 Kn.m

11.2 Recalculando Mn (centro de luz) Mn = 294.68 Kn.m

105

Conclusiones

1) El doble refuerzo mejoro significativamente el momento nominal resistente de la viga haciendo que el Mn sea ligeramente mayor que el momento actuante, tanto en los bordes, como en el centro de la luz.

2) Una opcin alternativa a realizar el diseo de una viga doblemente reforzada es aumentar las dimensiones de la viga y otra opcin es aumentar la resistencia al concreto fc., La decisin de cambiar el diseo de la viga por alguna de estas 2 alternativas mencionadas anteriormente, recae en evaluaciones tcnicas (Arquitectnicas) y econmicas.

3) Se puede apreciar que el diseo es controlado por traccin, ya que Et0.005 y que el acero en compresin no fluyo, esto da como resultado un aumento significativo del Momento nominal resistente. (Mayor acero en compresin mejora la resistencia a la flexin y garantiza con mayor seguridad un diseo controlado por traccin).

4) En vigas se trata de despiezar con barras de menor dimetro pero no menor que la #4, tratando de minimizar el tamao de las columnas, que de acuerdo al reglamento NSR-10 es proporcional al dimetro de la barra (20db), adems de reducir la fisuracin por retraccin de fraguado y flujo plstico, mientras que en columnas es al revs, se trata de usar barras de mayor dimetro, lo que de acuerdo al NSR-10 sera mejor, ya que la separacin de estribos depende del dimetro de la barra, so>16db.

Documents

Concreto reforzado