VII.- CONDUCCIÓN DE CALOR EN SÓLIDOS FINITOS

VII.1.- CONDUCCIÓN TRANSITORIA BIDIMENSIONAL Y TRIDIMENSIONAL

Los problemas de conducción transitoria estudiados se limitan a configuraciones especiales

como son la placa, el cilindro y esfera, con diversas situaciones de contorno. Estas formas se han

escogido para asegurarnos de que la temperatura del sólido depende sólo de una coordenada

espacial y del tiempo. En ciertas aplicaciones el hecho de despreciar el efecto de borde (que es a

lo que equivalen las simplificaciones anteriores de conducción unidimensional), puede afectar a

los resultados, por lo que en muchos casos prácticos no puede hacerse una simplificación de este

tipo y habrá que considerar la conducción transitoria en función de más de una dimensión espa-

cial.

Bajo ciertas condiciones, la solución de los problemas de conducción transitoria en dos o tres dimensio-

nes se puede obtener por superposición de las soluciones de problemas unidimensionales; aplicando este

método de superposición al problema de conducción transitoria en una barra larga rectangular,

cuya sección transversal tiene por dimensiones, A en la dirección de las x, B en la de las y y ser

indefinida en la dirección de las z, la conducción tendrá sólo lugar en las direcciones de las x y las

y, por lo que se ha reducido el problema a un caso bidimensional y transitorio.

Si se calienta la barra de forma que inicialmente la distribución de temperaturas es, T =

f(x,y), y en el instante, t = 0, la barra entra en contacto con un fluido convector, o con un foco tér-

mico, a una temperatura, TF = 0, (o a cualquier otra, constante), con un coeficiente de convección

hC constante en todas las superficies, la ecuación diferencial a resolver es:

∂2T∂x2

+ ∂2T∂y2

= 1 α ∂T

∂t

VII.-125

con las condiciones de contorno:

Para, t = 0; T = f(x,y)

Para, t > 0 , en, x = 0, y en, x = A ,

dTdx = ±

hC Tk

en, y = 0, y en, y = B , dTdy = ±

hC Tk

Se toma el signo (+) en x = 0 y en, y = 0, y el signo (-) en, x = A y en, y = B.

Si la función de distribución de temperatura inicial, T = f(x,y), es tal que se puede descompo-

ner en forma de producto de otras dos funciones, cada una de las cuales sólo depende de una de

las variables espaciales independientes, la condición inicial puede sustituirse por:

Para, t = 0 , T = f (x,y) = f1 (x) f2 (y)

y si ésto es posible, la solución de la ecuación:

∂2T∂x2

+ ∂2T∂y2

= 1 α ∂T

∂t

con las condiciones indicadas, se puede expresar como el producto de dos soluciones transitorias

unidimensionales.

Si representamos la solución que se busca, T(x,y,t), por el producto:

T = Tx (x,t) Ty (y ,t)

siendo Tx(x,t) función de x y del tiempo t, y Ty(y,t) función de y y de t.

Al sustituir la ecuación, T = Tx(x,t) Ty(y,t), en la ecuación diferencial de partida se obtie-

ne:

Ty

∂2Tx∂x2

+ Tx∂2Ty∂y 2

= 1

α (Ty

∂Tx∂t

+ Tx∂Ty∂t

)

Ty(

1

α

∂Tx∂t

- ∂2Tx∂x2

) + Tx ( 1

α

∂Ty∂t

- ∂2Ty∂x 2

) = 0

y las condiciones de contorno e inicial, se transforman en:

Para, t = 0 ; T = Tx Ty = f1(x) f2(y)

Para, t > 0 en, x = 0, y en, x = A , Ty

dTxdx = ±

hC Tx Tyk

en, y = 0, y en, y = B , Tx dTydy

= ±hC Tx Ty

k

El examen de las ecuaciones anteriores pone de manifiesto que se satisfacen, si Tx(x,t) y

Ty(y,t), son las soluciones de los dos problemas unidimensionales siguientes:

VII.-126

∂2Tx∂x2

= 1

α

∂Tx∂t

;

Para, t = 0 ; Tx = f1(x)

Para, t > 0 en, x = 0,

dTxdx

= h C Txk

en, y = A , dTxdx

= - hC Txk

∂2Ty∂x2

= 1

α

∂Ty∂t

;

Para, t = 0 ; Ty = f2(x)

Para, t > 0

en, y = 0, dTy

dy =

h C Tyk

en, y = B , dTy

dy = -

h C Ty

k

Se observa que la solución del problema de conducción transitoria bidimensional se puede

obtener como el producto de las soluciones de dos problemas unidimensionales, más sencillos, de

las ecuaciones anteriores, siempre que la distribución inicial de la temperatura sea susceptible

de expresarse en forma del producto:

T = f(x,y) = f1 (x) f2 (y) , para, t = 0

Estas ecuaciones para placa plana finita son idénticas a las que regulan la conducción transi-

toria de calor en la placa plana infinita. Por tanto, la solución al problema de conducción transi-

toria del calor en la barra rectangular se obtiene como el producto de las soluciones para dos pla-

cas infinitas cuya intersección forma la barra en cuestión.

En el caso de la barra rectangular calentada inicialmente a una temperatura uniforme, se

pueden utilizar directamente tanto las soluciones analíticas, como los resultados gráficos de

Heysler para placa plana, que se encuentre inicialmente a una temperatura uniforme. Los núme-

ros de Biot y de Fourier para cada una de las dos placas que forman la barra serán distintos, a

menos que dicha barra sea de sección transversal cuadrada.

El principio de superposición por producto que se acaba de exponer en la conducción transito-

ria bidimensional en una barra rectangular se puede hacer extensivo a otros tipos de configura-

ciones. Así, para un paralelepípedo de dimensiones finitas la solución se puede obtener como el

producto de las soluciones de tres placas infinitas, y para el cilindro circular como el producto de

las soluciones para una placa infinita y para un cilindro circular de longitud infinita.

Este principio de superposición es sólo aplicable a aquellos casos en los que la distribución de

temperatura inicial se pueda descomponer en producto de varias funciones, cada una de las cua-

les sólo depende de una de las variables espaciales independientes.

Los ejemplos que hemos abordado pueden aplicarse tanto a procesos con condición de con-

torno isotérmica, como de convección. El empleo de gráficos para determinar las soluciones de

problemas en régimen transitorio monodimensional, se puede ampliar a casos bi y tridimensio-

nales; el método consiste en la utilización de datos obtenidos para casos monodimensionales y

combinarlos adecuadamente en forma de productos.

Si, por ejemplo, se desea determinar la temperatura en el punto P del cilindro de longitud finita

que se muestra en la Fig VII.1, dicho punto vendrá localizado por dos coordenadas (x,r), siendo x

una coordenada axial medida desde el centro del cilindro y r su posición radial. La condición ini-

VII.-127

cial y las condiciones de contorno son las mismas que se aplican en el caso de gráficos monodi-

mensionales correspondientes a procesos transitorios.

Fig VII.1.- Cilindro de longitud finita

El cilindro se puede suponer se encuentra inicialmente, t = 0, a una temperatura uniforme T0;

en ese instante, toda la superficie se pone en contacto con un fluido, que es el medio exterior, el

cual se encuentra a una temperatura ambiental constante TF.

El coeficiente de transferencia de calor por convección entre la superficie del cilindro y el

fluido hC, se puede suponer de valor constante.

Por tratarse de un cilindro de longitud finita, la distribución de temperaturas en régimen

bidimensional se puede considerar como el producto de las soluciones unidimensionales corres-

pondientes a un cilindro infinito y a una placa infinita, siempre que la distribución inicial de

temperaturas se pueda descomponer en dos factores, cada uno de los cuales depende de una sola

coordenada espacial, es decir:

ΦΦ0

= Φp(r,x,t)

Φ0 = C(r) P(x) =

T(r ,x ,t) - TFT0 - TF

en la que los símbolos C(r) y P(x) son las temperaturas adimensionales que corresponden, respec-

tivamente, al cilindro infinito y a la placa infinita:

C(r) =

Φ(r,t)Φ0

cilindro ; P(x) = Φ(x,t)

Φ 0placa

La solución para C(r) se obtiene de los gráficos de temperaturas correspondientes al cilindro,

mientras que la solución de P(x) se obtiene de los gráficos de temperaturas correspondientes a la

placa plana infinita.

Mediante un procedimiento análogo al citado para el cilindro finito, se pueden obtener solu-

ciones para otras geometrías bi o tridimensionales, como el paralelepípedo representado en la

Fig VII.2, intersección de tres placas infinitas.

En las gráficas que se presentan en las Fig VII.3 y 4, se hace un resumen de las soluciones

mediante gráficos, en las que la simbología utilizada representa las soluciones siguientes:

S(x) =

Φ(x,t)Φ0

(sólido semi ∞) ; P(x) = Φ(x,t)

Φ0 (placa ∞) ; C(r) =

Φ(r,t)Φ0

(cilindro ∞)

VII.-128

La ampliación de los gráficos monodimensionales a pro-

blemas con geometrías bi y tridimensionales permite

resolver, en consecuencia, una diversidad sorprendente-

mente grande de problemas de transmisión de calor en

régimen transitorio.

Para hallar el calor total, se puede utilizar una expre-

sión debida a Langston, de la forma:

Q = Θ ρ c pV (T0 - TF)

en la que Θ es la fracción de energía disipada, Θ =

Q(t)Q0

, que se puede aplicar en la forma:

a) Intersección de placa infinita y cilindro infinito, (cilindro):

Θ = Θ placa + Θcilindro(1 - Θplaca ) = Θ placa + Θ cilindro - Θplaca Θcilindro

b) Intersección de 3 placas infinitas, (prisma):

Θ = Θ placa (1) + Θ placa (2)(1 - Θplaca (1) ) + Θ placa (3)(1 - Θ placa (1))(1 - Θplaca (2))

Estas soluciones no son válidas cuando la temperatura inicial del cuerpo no sea uniforme, o

cuando la temperatura TF del fluido no sea la misma en toda la superficie de contacto del cuerpo.

SISTEMAS BIDIMENSIONALES

a) PLACA SEMIINFINITA

Φp(x1,x2)

Φ0

= P(x1) S(x2)

b) BARRA RECTANGULAR INFINITA

Φp(x1,x2)

Φ0

= P(x1) P(x2)

c) UN CUARTO DE SÓLIDO INFINITO

Φp(x1,x2)

Φ0

= S(x1) S(x2)

d) CILINDRO SEMIINFINITO

Φp(x,r)

Φ0

= S(x) C(r)

e) CILINDRO FINITO

Φp(x,r)

Φ0

= P(x) C(r)

VII.-129

Fig VII.2.- Paralelepípedo finito

SISTEMAS TRIDIMENSIONALES

a) BARRA RECTANGULAR SEMIINFINITA

Φp(x1,x2,x3)

Φ0

= S(x1) P(x2) P(x3)

b) PARALELEPÍPEDO RECTANGULAR

Φp(x1,x2,x3)

Φ0

= P(x1) P(x2) P(x3)

c) UN CUARTO DE PLACA INFINITA

Φp(x1,x2,x3)

Φ0

= S(x1) S(x2) P(x3)

d) UN OCTAVO DE PLACA INFINITA

Φp(x1,x2,x3)

Φ0

= S(x1) S(x2) S(x3)

Fig VII.3.- Soluciones en forma de productos a los problemas de conducción en régimen transitorio,utilizando la información facilitada por los gráficos

VII.2.- CONDUCCIÓN TRANSITORIA EN DOS Y TRES DIMENSIONES, CON CONDI-

CIÓN DE CONTORNO ISOTÉRMICA.

a) Rectángulo con temperatura inicial uniforme T0 y condición de contorno isotérmica

t = 0 ; T = T0 ; 0 ≤ x ≤ a ; 0 ≤ y ≤ b

t > 0 ; T = 0 ; x = 0 ; x = a ; y = 0 ; y = b

Φ(x,y,t)Φ0

= 8

π 2 n=0

∞

∑m=0

∞

∑ e -σ 2 α t sen( λn x) sen(ηny)

(2n +1) (2m+1) = 8

n=0

∞

∑m=0

∞

∑ e -σ 2 α t sen( λ nx) sen( ηny)

(a λ n ) (b ηm )

σ2 = λn2 + ηm

2 ; λn = (2n + 1) π

a ; ηm = (2m + 1) π

b

VII.-130

b) Paralelepípedo con temperatura inicial uniforme T0 , y condición de contorno isotérmica

t = 0 ; T = T0 ; 0 ≤ x ≤a ; 0 ≤ y ≤ b ; 0 ≤ z ≤ c

t > 0 ; T = 0 ; x = 0 ; x = a ; y = 0 ; y = b ; z = 0 ; z = c

Φ(x,y,z,t)Φ 0

= 64 n=1

∞

∑m=1

∞

∑p=1

∞

∑ e -σ 2 α t sen( λn x) sen( ηny) sen(γ p z)

λ n ηm γ p

σ2 = λn2 + ηm

2 + γp2 ; λn =

(2n + 1) πa ; ηm =

(2m + 1) πb

; γp = (2p + 1) π

c

c) Cilindro finito con temperatura inicial uniforme T0 y condición de contorno isotérmica

t = 0 ; T = T0 ; 0 ≤ r ≤ R ; 0 ≤ z ≤ H

t > 0 ; T = 0 ; r = R ; z = 0 ; z = H

Φ(r,z,t)Φ0

= 8

π R

n=1

∞

∑ m=1

∞

∑ J0 (λ n r) sen ( 2m + 1

H π z) e - σ2 α t

λ n (2m + 1) J 1 (λ n R)

J0(λn R) = 0 ; σ2 = λn2 + {

(2m+1) π H

}2

VII.3.- CONDUCCIÓN TRANSITORIA EN DOS Y TRES DIMENSIONES, CON CONDI-

CIÓN DE CONTORNO DE CONVECCIÓN

a) Rectángulo con temperatura inicial uniforme T0 y condición de contorno de convección.

t = 0 ; Φ = Φ 0 = T 0 - TF ; 0 ≤ x ≤ a ; 0 ≤ y ≤ b

t > 0 ;

x = y = 0 ; ∂Φ∂x

= ∂Φ∂y

= 0

x = a ; ∂Φ∂x

= −A Φ

y = b ; ∂Φ∂y

= −B Φ

Φ(x,y,t)Φ0

= 4 A B n=1

∞

∑ m=1

∞

∑ cos (λ nx) cos (ηm y) e - σ2 α t

{a (λ n2 + A2 ) + A} {b ( η m

2 + B2 ) + B} cos (λ na) cos (ηm b)

con λn y µ m raices de, λ ntg( λn a) =

h Cx

k = A

µm tg(µ m b) = h Cy

k = B

; σ 2 = λ n2 + µm

2

VII.-131

b) Paralelepípedo con temperatura inicial uniforme T0 y condición de contorno de convección.

t = 0 ; Φ = Φ 0 = T 0 - TF ; 0 ≤ x ≤ a ; 0 ≤ y ≤ b ; 0 ≤ z ≤ c

t > 0 ; x = y = z = 0 ; ∂Φ∂x

= ∂Φ∂y

= ∂Φ∂z

= 0 ;

x = a ; ∂Φ∂x

= −A Φ

y = b ; ∂Φ∂y

= − B Φ

z = c ; ∂Φ∂z

= −C Φ

Φ(x,y,z,t)Φ 0

=

= 8 A B C n=1

∞

∑ m=1

∞

∑ p=1

∞

∑cos (λ nx) cos ( η m y) cos (γ pz) e - σ 2 α t

{a (λ n2 + A 2 ) + A} {b ( η m

2 + B2 ) + B} {c (γ p2 + C2 ) + C} cos ( λ n a) cos ( η m b) cos ( γ p c)

con λn , µ m y γ p raices de,

λ n tg( λna) = h Cx

k = A

µ m tg(µ m b) = hCy

k = B

γ p tg( γ pc) = h Cz

k = C

; σ2 = λn2 + µm

2 + γ p2

c) Cilindro finito con temperatura inicial uniforme T0 y condición de contorno de convección

t = 0 ; Φ = Φ 0 = T 0 - TF ; 0 ≤ r ≤ R ; 0 ≤ z ≤ H

t > 0 ;

r = R ; ∂Φ∂r

= −A Φ

z = 0 ; ∂Φ∂z

= 0

z = H ; ∂Φ∂z

= −B Φ

Φ(r,z,t)Φ0

= 4 A B

R

n=1

∞

∑ m=1

∞

∑ J0 (λ n r) cos (ηmz) e - σ 2 α t

( λ n2 + A 2 ) J 0 (λ n R) {H ( ηm

2 + B 2 ) + B} cos ( ηmH)

con λn y ηm raices de, A J 0 (λ nR) = λ n J 1 (λ n R)ηm tg (ηm H) = B

; σ 2 = λ n2 + ηm

2

d) Tubo finito con temperatura 0 en la base superior y en la base inferior, convección en la superficie late-ral interior y aislamiento térmico en la superficie lateral exterior.

t = 0 ; Φ = Φ 0 = T 0 - TF ; 0 ≤ z ≤ L ; Re ≤ r ≤ R i

t > 0 ; r = R i ;

∂Φ∂r

⟩ r = R i= a1 Φ =

h C

k Φ

r = R e ; ∂Φ∂r

⟩ r = Re= 0

Φ = 0 ; z = 0 ; z = L

VII.-132

Φ(r,z,t)Φ 0

= 2 n=1

∞

∑λ n

2 {λ n J 0' (λ n R i ) + a1 J 0 (λ nR i )}2 N0 ( λnr)

{λ n J0' (λn R i ) + a1 J 0 (λ n R i )}2 - ( λn

2 + a 12 ) J0

2 (λ nR e ) x

x m=0

∞

∑ sen ( η z)2m +1

e - σ 2α t R i

Re∫ r Φ0 {J0 (λ n r) Y0' ( λ nR e ) - J 0

' (λ nR e ) Y0 (λ n r)} dr

N 0 (λ n r) = J 0 ( λn r) Y0' (λ n R e ) - J 0

' (λ n Re ) Y0 (λn r)

con λn y η raices de,

η = (2m + 1) π

L

{λ nY0 (λ n R i ) + a 1Y0 (λ n R i )} J 0

' (λ nR e )

{λn J0 (λ nR i ) + a 1J 0 (λ n R i )} Y0' ( λn R e )}

= 1

; σ 2 = λ n2 + η2

e) Tubo finito con temperatura 0 en la base superior y en la base inferior, convección en la superficie late-

ral exterior y aislamiento térmico en la superficie lateral interior.

t = 0 ; Φ = Φ 0 = T 0 - TF ; 0 ≤ z ≤ L ; Re ≤ r ≤ R i

t > 0 ; r = R e ; ∂Φ

∂r⟩ r = Re

= a1 Φ = hC

k Φ

r = R i ; ∂Φ∂r

⟩ r = R i= 0

Φ = 0 ; z = 0 ; z = L

Φ(r,z,t)Φ0

= 2 π n=1

∞

∑λ n

2 {λ n J0' (λ n Re ) + a1 J0 (λ n Re )} 2 N 0 (λ n r)

{λ n J0' (λ nRe ) + a1 J0 (λn Re )} 2+ ( λ n

2 + a12 ) J0

2 ( λ nR e ) x

x m=0

∞

∑ sen ( η z)2m +1

e - σ 2α t R i

Re∫ r Φ0 {J0 (λ n r) Y0' ( λ nR e ) - J 0

' (λ nR e ) Y0 (λ n r)} dr

N 0 (λ n r) = J 0 ( λn r) Y0' (λ n R e ) - J 0

' (λ n Re ) Y0 (λn r)

con λn y η raices de,

η = (2m + 1) π

L

{λ nY0 (λ n R i ) + a 1Y0 (λ n R i )} J 0

' (λ nR e )

{λn J0 (λ nR i ) + a 1J 0 (λ n R i )} Y0' ( λn R e )}

= 1

; σ 2 = λ n2 + η2

f) Tubo finito con temperatura 0 en la base superior y en la base inferior, con convección en la superficielateral exterior y en la superficie lateral interior.

t = 0 ; Φ = Φ 0 = T 0 - TF ; 0 ≤ z ≤ L ; Re ≤ r ≤ R i

t > 0 ; r = R e ; ∂Φ

∂r⟩ r = Re

= a1 Φ = hCe

k Φ

r = R i ; ∂Φ∂r

⟩ r = R i= b1 Φ =

h C i

k Φ

Φ = 0 ; z = 0 ; z = L

VII.-133

Φ(r,z,t)Φ 0

= 2 π n=1

∞

∑λ n

2 {λ n J0' (λ n Re ) + b1 J 0 (λ n R e )}2 N 0 (λ n r)

( λ n2 + b1

2 ){λ n J 0' (λ nR 0 ) + b1 J 0 (λ nR 0 )}2 - ( λ n

2 + a 12 ) {λ n J 0

' (λ nR e ) + a1 J 0 (λ nRe)}2 x

x m=0

∞

∑ sen (η z)2m+1

e- σ 2α t Ri

Re∫ r Φ 0 [J 0 (λ nr) { λn Y0' (λn R0 ) - b 1 Y0 ( λ nR i )} − Y0 ( λ nr) {λ nJ 0

' (λ n R 0 ) - b1 J0 ( λ nR i )}] dr

N 0 (λ n r) = J 0 ( λn r) Y0' (λ n R e ) - J 0

' (λ n Re ) Y0 (λn r)

con λn y η raices de,

η = (2m + 1) π

L

{λ n Y0

' (λ n R i ) - b 1Y0 (λ n R i )} {λn J 0' (λ n R e ) + a 1J 0 (λ n Re )}

{λn Y0' (λn R e ) + a 1Y 0 (λ n R e )} {λ n J 0

' (λ n Ri ) - b 1J 0 (λ nR i )} = 1

; σ 2 = λ n2 + η 2

VII.4.- TRANSMISIÓN DE CALOR POR CONDUCCIÓN EN RÉGIMEN TRANSITORIO

CON GENERACIÓN DE CALOR E.

a) Rectángulo con generación de calor E; condición de contorno isotérmica.

t = 0 ; T = 0 ; {0 ≤ x ≤ a} ; {0 ≤ y ≤ b}

t > 0 ; x = 0 , T = 0 ; y = 0 , T = 0

x = a , T = 0 ; y = b , T = 0

t > 0 ; E = Cte

T(x,y,t) = 4 E π2 k

sen(λn x) sen(µm y)

n m σ2∑n=1

∞

∑m=1

∞ {1 - e-σ2 α t}

n = 1,3,5,7... ; m = 1,3,5,7... ; λn = π n a ; µm = π m

b ; σ2 = λn

2 + µm

2

b) Paralelepípedo con generación de calor E; condición de contorno isotérmica.

∂2T∂x2

+ ∂2T∂y2

+ ∂2T∂z2

= 1 α

∂T∂t - E

k

t = 0 ; T = 0 ; {0 ≤ x ≤ a} ; {0 ≤ y ≤ b} ; {0 ≤ z ≤ c}

t > 0 ; x = 0 , T = 0 ; y = 0 , T = 0 ; z = 0 , T = 0

x = a , T = 0 ; y = b , T = 0 ; z = c , T = 0

t > 0 ; E = Cte

T(x,y,z,t) = 8 E π3 k

sen(λn x) sen(µm y) sen(γp y)

n m p σ2∑n=1

∞

∑m=1

∞

∑p=1

∞ {1 - e-σ2 α t}

n = m = p = 1,3,5,7... ; λn = π n a ; µm = π m

b ; γp =

π p a ; σ2 = λn

2 + µm

2 + γp2

VII.-134

c) Cilindro finito con generación de calor E; condición de contorno isotérmica.

∂2T∂r2

+ 1 r ∂T∂r + ∂2T

∂z2 = 1

α ∂T

∂t - E

k

t = 0 ; T = 0 ; {0 ≤ r ≤ R} ; {0 ≤ z ≤ L}

t > 0 ; r = R ; T = 0

t > 0 ; z = 0 ; T = 0

t > 0 ; z = L ; T = 0

t > 0 ; E = Cte

T(r,z,t) = 4 E π R k

∑n=1

∞ J0(λn r) sen (µm z)

n λn σ2 ∑

m=1

∞ {1 - e-σ2 α t} ; n = 1,3,5,...

con λn raíces de: J0(λn R) = 0 , y µm de: µm = π m L

d) Esfera con generación de calor E; condición de contorno isotérmica.

Condiciones de contorno,

t = 0 ; Φ = Φ0 ; 0 ≤ r ≤ R

t > 0 r = R ; Φ 0 = 0E = Cte

Φ(r,t) = 2 Ek

n=1

∞

∑ sen (λn r)

λn3 r

(1 - e - λ n2 α t ) (-1) n ; λn =

π nR

e) Rectángulo con generación de calor E; condición de contorno de convección

∂2 Φ∂x 2 +

∂ 2 Φ∂y2 =

1α

∂Φ∂t

- Ek

t = 0 ; Φ = 0 ; 0 ≤ x ≤ a ; 0 ≤ y ≤ b

t > 0 ;

E = Cte

x = 0 ; y = 0 ; ∂Φ∂x

⟩ x = 0 = 0 ; ∂Φ∂y

⟩y = 0 = 0

x = a ; ∂Φ∂x

⟩x = a = - h Cx

k Φ ; y = b ; ∂Φ

∂y⟩ y = b = -

h Cy

k Φ

Φ(x,y,t) = 4 E

h Cx

k hCy

kk

n=1

∞

∑ m=1

∞

∑ cos (λ n x) cos (µm y) (1 - e - σ 2α t )

{a (λ n2 +

hCx2

k2) +

h Cxk

} {b (µ m2 +

h Cy2

k 2) +

hCy

k} cos (λ na) cos (µm b)

con λn y µ m raices de, λ ntg( λn a) =

h Cx

k

µm tg( µ m b) = h Cy

k

; σ2 = λ n2 + µm

2

VII.-135

f) Paralelepípedo con generación de calor E; condición de contorno de convección.

∂2 Φ∂x 2 +

∂ 2 Φ∂y2 +

∂2 Φ∂z2 =

1α

∂Φ∂t

- Ek

t = 0 ; Φ = 0 ; 0 ≤ x ≤ a ; 0 ≤ y ≤ b ; 0 ≤ z ≤ c

t > 0 ;

E = Cte

x = 0 ; y = 0 ; z = 0 ; ∂Φ∂x

⟩x = 0 = 0 ; ∂Φ∂y

⟩ y = 0 = 0 ; ∂Φ∂z

⟩z = 0 = 0

x = a ; ∂Φ∂x

⟩x = a = - h Cx

k Φ = - A Φ

y = b ; ∂Φ∂y

⟩ y = b = - h Cy

k Φ = - B Φ

z = c ; ∂Φ∂z

⟩z = c = - h Cz

k Φ = - C Φ

Φ(x,y,z,t) =

= 8 E0 A B Ck

x cos(λn x) cos(µm y) cos(γp z) {1 - e-σ2 α t}

{a( λn2 + A2) + A}{b ( µm

2 + B2) + B}{c ( γp2 + C2) + C} cos(λn a) cos(µm b) cos(γp z)

∑n=1

∞∑

m=1

∞∑p=1

∞

con λn , µ m y γ p raices de,

λn tg( λna) = h Cx

k

µm tg( µ m b) = h Cy

k

γ p tg(γ p c) = h Cz

k

; σ 2 = λ n2 + µ m

2 + γ p2 ; n = m = p = 1, 3, 5, ...

g) Cilindro finito con generación de calor E; condición de contorno de convección.

∂2 Φ∂r 2 +

1r

∂Φ∂r

+ ∂2 Φ∂z2 =

1α

∂Φ∂t

- Ek

t = 0 ; Φ = 0 ; 0 ≤ r ≤ R ; 0 ≤ z ≤ L

t > 0 ;

E = Cte

r = R ; ∂Φ∂r

= - hCk

Φ = - A Φ

z = 0 ; ∂Φ∂r

= 0

z = L ; ∂Φ∂r

= - h Cz

k Φ = - B Φ

Φ(r,z,t) = 4 E A B

k R n=1

∞

∑ m=1

∞

∑ J0 (λ nr) cos (µ mz)

{L (µ m2 + B2 ) + B} σ 2 (λn

2 + A2 ) J0 (λnR) cos (µ mL) (1 - e - λn2 α t )

con λn y µ m raices de, J 0 (λ nR)

J1 (λn R) =

λ nRBi

= λ nA

µm tg (µ m L) = B

VII.-136