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CONDUCTIVIDAD VARIABLE

Considérese un muro compuesto por dos capas cuyas características son las

siguientes:

Capa 1:

Espesor 0.4 m, conductividad: k1 = 0.9(1+0.006T)[W/m·K]

Capa 2:

Espesor 0.05 m, conductividad: k2 = 0.04 W / m·K

Y sometido a un flujo solar en la cara exterior de 300 W/m 2, esta cara se encuentra en contacto con aire a 40°C (Coeficiente convectivo exterior 10 W/m²K). La cara interior se encuentra en contacto con aire a 20°C (Coeficiente convectivo interior 5 W/m ²K) Calcular:

a. Flujo de calor por unidad de área que atraviesa el muro.b. Temperatura en las dos superficies extremas y en la interface entre las dos capas

Solución:

Datos:

- Capa 1: e1= 0.4m

K1= 0.9(1+0.006T)[W /m·K]

- Capa 2: e2= 0.05 m K2 = 0.04 W/m·K

Condición de contorno exterior: qsol=300 W/m²; T ext = 40°C; hext = 10 W/m²K - Condición de contorno interior:T∫¿¿ = 20*C; h∫¿¿ = 5 W/m²K

Incógnitas:

a. Flujo de calor por unidad de área que atraviesa el muro: q”

b. Temperatura de las superficies: T1, T2, T 3

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Esquema:

Desarrol lo:

a. Flujo de calor por unidad de área que atraviesa el muro:

La ecuación diferencial en la capa 1 será la siguiente:

El flujo de calor por unidad de área debe ser constante. La conductividad es variables con la temperatura siguiendo una ley lineal del tipo: k(T)= k0(1+ β T).

Si integramos la ecuación anterior para toda la capa 1:

Ahora impondremos las dos condiciones de contorno:

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Esta condición de contorno podemos expresarla como si fuera una condición de contorno puramente convectiva contra una temperatura equivalente (Temperatura sol-aire) de 70°C

En el otro contorno la condición será:

Tenemos pues 3 ecuaciones con 3 incógnitas (T 1,T2, q” ):ª ¸ § +

Igualando la ecuación (2) con la (3) e introduciendo la (2) en la (1) tenemos 2 ecuaciones con 2 incógnitas:

Si despejamos en la primera T2 y lo introducimos en la segunda tendremos una ecuación cuadrática en T1:

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Finalmente podemos calcular la temperatura en la superficie 3:

Si pintamos la distribución de temperaturas será la siguiente: