Matemàtiques Constructivistes.

Els Gatges (visual-manipulatiu) en la representació

de la realitat matemàtiques des d’una perpectiva

VygotsKiana.

Bernat Orellana López 2005-2011

Programa Informàtic Generador de Situacions Matemàtiques a partir de l’operació de contar. (COPYRIGHT 2011, Bernat Orellana López)

NO ESTA PERMES TREBALLAR AMB AQUEST PROGRAMA EN ACTIVITATS DE FORMACIÓ DEL PROFESSORAT SENSEL’AUTORITZACIÓ PER ESCRIT DE L’AUTOR.

Llicència respecte a aquesta presentació:

Una proposta per treballar les

matemàtiques d’una forma

reflexiva.

D'una manera natural l'alumne descobreix,

assenyala i descriu diferents realitats

matemàtiques com són les propietats

commutativa, associativa, l'ús de parèntesi, el

concepte d'igualtat, propietats elementals en el

càlcul amb més de dues operacions diferents.

D’una forma oberta i participativa ens fem

preguntes -amb respostes diverses– les

matemàtiques, en tant que llenguatge, admet

diferents possibilitats comunicatives.

Bernat Orellana López

L’OPERACIÓ DE CONTAR

CONTAR D’UN EN UN...

Presentem un grup de monedes sense cap tipus d’ordenació

espacial amb la consigna. “Conta les monedes amb la única

condició de que ni les pots tocar ni desplaçar”

L'única resposta per part dels alumnes va ser:

Una,dues,tres...set.

Al demanar que representessin l'operació amb números és va

arribar a la conclusió que l'única forma possible és la següent:

1+1+1+1+1+1+1=7.

CONTAR DE DOS EN DOS...

Al disposar les monedes en “un altre ordre espacial" i davant la mateixa

pregunta dos grups diferents d'alumnes de diferent nivell realitzen

l'operació de contar. Les respostes van ser:

• una,dues,tres,quatre ...vuit

• dues, quatre,sis,vuit

I les operacions associades a les dues solucions van ser:

1+1+1+1+1+1+1+1=8

2+2+2+2=8

POSADA EN COMUNA

Una forma de contar és més ràpida que l'altra.

Per a contar de dos en dos les monedes han d'estar

ordenades.

Contar de tres en tres resulta més complicat.

Contar és una operació.

Les operacions es realitzen amb nombres.

L'operació està acabada sempre que el signe igual

tingui una resposta.

ALTRES FORMES DE CONTAR:

Observem que existeixen "altres formes de contar” que es poden

representar mitjançant operacions: (i que totes elles tenen una

representació gràfica)

2+2+2+2+2+2=12.

3+3+3+3=12.

4+4+4=12.

6+6=12.

Lliurem un foli a4 segons model i demanem als

alumnes que escriguin diferents operacions que

representin el nombre d'unitats de la figura.

Els resultats obtinguts en el treball realitzats

d'una manera individual van ser aquests:

1+1+1+1+...= 9

3+3+3=9

1+2+3+2+1= 9 (un únic alumne)

3x3=9 (proposat per un grup important d'alumnes)

3^2 = 9 (proposta per alguns alumnes)

POSADA EN COMUNA Hi ha diferents operacions.

Les operacions recullen diferents formes de veurer la realitat

matemàtica.

1+1+1+1+...= 9

3+3+3=9

1+2+3+2+1= 9

En el diccionari es defineix a la multiplicació com "la suma de

conjunts iguals". Anem a analitzar les operacions que hem

realitzat i vam observar que:3+3+3 = 3 x 3.

Conjunts sumables i

"multiplicables"

3+3=6 ; 2x3=6.

Conjunts sumables i "no

multiplicables"

3+2=5 ;

Amb l'experiència anterior i amb la idea clara que "hi ha

diverses formes de contar" els alumnes donen diferents

respostes a aquesta nova situació:

1+1+1+1+...= 24 (proposta minoritària)

3+3+3+...= 24 (proposta majoritària)

8+8+8 = 24 (proposta molt minoritària)

La primera forma de contar resulta lenta.

1+1+...+1=24

La segona forma de contar no és tan lenta i resulta més fàcil, més operativa.

3+3+...+3 = 24

L'última forma de contar resulta més complicada. (menys visual)

8+8+8 = 24

•La primera forma de contar resulta lenta.

•L'última forma de contar resulta més complicada

•La segona forma de contar no és tan lenta i resulta més fàcil, més operativa.

3+3+3+...+3 = 24 (proposta majoritària)

POSADA EN COMÚ

Demanem als alumnes que observin la figura i que l'analitzin. Els comentaris

que es realitzen en el desenvolupament de la classe van ser molts i

interessants, com és pot comprovar a continuació:

La figura no “està completa”.

Presenta "una irregularitat" .

Si contem de dues en dues, al final sobra una unitat.

Sobra una unitat perquè és no es par.

Les propostes per a representar la figura són diferents i

determinen la capacitat de abstracció matemàtica dels diferents

alumnes del grup de classe.

1+1+1+1+...= 13 (només una alumne)

2+2+2+...+1 = 13 (proposta majoritària)

7+6 = 13 (només un alumne)

En la posada en comuna i com a conseqüència del treball

en grup obtenim respostes "més elaborades". Sorgeix la necessitat de

representar l'operació de contar amb operacions distintes a les de la

suma.

Preguntem als alumnes la possibilitat de presentar l'operació

mitjançant una resta i vam obtenir una resposta d'un alumne que va

explicar als seus companys la següent operació:

2+2+2+2+2+2+2-1=13.

A la pregunta: ¿Com agrupar els dosos en una sóla operació? Vam

trobar aquesta solució:

2x7=14; 14-1=13.

Que agrupada mitjançant dues operacions:

2x7-1=13.

Altra forma d'interpretar l'operació:

2x6 = 12 ; 12+1 = 13; 2x6+1= 13.

Es a dir:La forma de contar 2x6+1 i 2x7-1 es poden

expressar gràficament d’aquesta manera:

Demanem als alumnes que trobin

diverses formes de contar, de

representar mitjançant operacions

distintes aquestes situacions

gràfiques.

Resulta interessant realitzar diverses

preguntes de cara a formalitzar els

resultats i establir propietats:

Són iguals aquestes figures? -respecte a la seva forma-

Tenen una mateixa dimensió?

Són quadrats?

Presenten regularitat quant a la seva forma?

Tenen una mateixa base?

Tenen una mateixa altura?

POSADA EN COMUNA

Les dues figures tenen la mateixa dimensió.

Les dues figures són iguals .

Cada figura té una posició diferent.

El costat que guarda l'horitzontal és la base.

Cadascun dels costats pot ser la base.

La figura és un rectangle.

La figura és un cuadrilater.

2+2+2=6 representa una disposició espacial i 3+3=6 altre.

Després s'establix que 3+3=2+2+2 -igualtat-

2x3 = 3x2 = 6.

propietat commutativa

Es comença a complicar les figures geomètriques i amb això

les possibilitats de trobar solucions operatives a l'operació

de contar.

Demanem als alumnes que d'una manera individual trobin

totes les possibles solucions per a establir mitjançant

operacions el nombre d’unitats, encara que aquestes estiguin

molt reiteratives i repetides.

Escrivim totes les solucions oposades, les més fàcils

van ser proposades per tot el grup de classe i les més

complexes les van formular els alumnes amb un millor

nivell en l'àrea de matemàtiques.

Escrivim totes les solucions i en la posada en comuna

els alumnes expliquen cada operació sobre la base

d'unes dades, a una situació espacial, a una forma, etc.Els resultats van anar en alguns casos sorprenents:

Les formes més senzilles es realitzen amb

l'operació de sumar:

1+1+1+1...+1 = 12.

4+1+1+1+1+4 = 12.

4+2+2+4 = 12.

L'alumne que proposa aquestes solucions mostra

una gran capacitat de percepció de l'espai i

reconeix mitjançant les dues operacions dues

figures geomètriques.

Opera "el tot , opera amb "la part" i realitza la

resta...

4 x 4 = 16; 2 x 2 = 4; 16-4=12.

En aquest cas treballem amb les dues

operacions:

4x4-2x2 = 16-4 = 12

Observar la capacitat d’anàlisis

que expressa un alumne en

aquesta expressió matemàtica.

Junt conjumina bona capacitat

per a interpretar la realitat

espacial i demostra un bona

capacitat per al desenvolupament

de les matemàtiques

4^2 - 2^2 = 16-4 = 12.

1+1+1+1...+1 = 7

3+1+3 = 7

4+3 = 7

3+1+3 = 7

4x4-3x3 = 16 - 9 = 7

4^2 - 3^2 = 16 - 9 = 7

Algunes plantilles

del programa

informàtic específic

per a la PDI