CONTRASTES DE HIPÓTESIS NO PARAMÉTRICOS

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CONTRASTES DE

HIPÓTESIS NO

PARAMÉTRICOS

2

¿POR QUÉ SE LLAMAN

CONTRASTES NO

PARAMÉTRICOS?

A diferencia de lo que ocurría en la inferencia

paramétrica, ahora, el desconocimiento de la

población que vamos a estudiar no se reduce al valor

de un parámetro poblacional, sino que es mucho más

amplio.

Las hipótesis que contrastaremos no hacen

referencia a parámetros poblacionales.

Contrastes de hipótesis no paramétricos

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TESTS c2

Su nombre se debe a que el estadístico que se usará para

realizar el contraste tendrá, aproximadamente, una

distribución c2 de Pearson.

1. Bondad del ajuste (Caso I y Caso II)

2. Test de Homogeneidad

3. Test de Independencia

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CONTRASTE DE BONDAD

DEL AJUSTE (I)


H0: X sigue la distribución F0

Ha: X no sigue la distribución F0

Distribución teórica

SITUACIÓN: X es una variable aleatoria

poblacional con distribución desconocida.

Extraemos una m.a.s. de la población (X1,…,Xn).

A la vista de la muestra, ¿es razonable admitir que X

sigue la distribución F0?

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PASOS A SEGUIR:


PASO 1: Hacer una partición (arbitraria) del espacio

muestral (posibles valores de X) en k clases A1,…,Ak.

PASO 2: Calcular las siguientes frecuencias absolutas

para i=1,…,k.

Oi = frecuencia observada en Ai = número de

elementos de la m.a.s (x1,…,xn) que se han situado en la

clase Ai

ei= frecuencia esperada en Ai si H0 es cierta = nP(Ai)

ei es la esperanza

de una B(n,P(Ai))

A1 ….. Ak

Oi

(ei)

O1

(e1)

Ok

(ek)n

6


PASO 3: Utilizar el estadístico l de Pearson

Mide la discrepancia entre las frecuencias

observadas y las esperadas, si se supone cierta H0

si n es grande

y H0 es cierta

Observación: Si H0 es cierta, es de esperar que las

frecuencias observadas y las esperadas sean parecidas,

por lo que si efectivamente H0 es cierta, el estadístico l

debería de tomar valores próximos a cero.

nº de clases

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Consecuencia: Rechazaremos la hipótesis nula cuando

los valores del estadístico l de Pearson sean “grandes”,

y la aceptaremos cuando sean “pequeños”.

La separación entre valores “grandes” y “pequeños”

viene dada por la elección de un nivel de significación a.

Región crítica: C = {l>c2k-1,a}

Nota: Por comodidad, normalmente se usa la

siguiente expresión, equivalente a la ya dada, para

calcular el valor de l:

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EJEMPLO 1: Para comprobar si un dado está o no

cargado, se lanzó 600 veces, con los siguientes

resultados:

1 2 3 4 5 6 Total

Oi 103 98 89 109 100 101 600

A la vista de estos datos, ¿podemos afirmar si el dado

está cargado o no?

H0: El dado no está cargado

Ha: El dado está cargado

Ai={i}, i=1,…,6

P(Ai)=1/6

9


1 2 3 4 5 6 Total

Oi

(ei)

103

(100)

98

(100)

89

(100)

109

(100)

100

(100)

101

(100)600

Aceptamos H0 con un nivel de significación 0.05, es decir, a la vista

de estos datos, no podemos afirmar que el dado esté cargado.

nP(Ai)n

Tomamos a = 0.05

Confirma la decisión

de aceptar H0

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EJEMPLO 2: Se quiere averiguar si el número de hijos

por matrimonio, X, en cierta población sigue una

distribución binomial de parámetros 3 y 0.5. Para ello se

encuestó a 100 matrimonios obteniéndose los siguientes

resultados:

¿Qué podemos afirmar a la vista de estos datos?

H0: X sigue una B(3,0.5)

Ha: X no sigue una B(3,0.5)

Ai={i-1}, i=1,…,4

X 0 1 2 3

Oi 22 42 28 8 100

P(X=0)=0.125

P(X=1)=0.375

P(X=2)=0.375

P(X=3)= 0.125

11

X 0 1 2 3

Oi

(ei)

22

(12.5)

42

(37.5)

28

(37.5)

8

(12.5)100


Rechazamos que X siga una binomial de parámetros 3 y 0.05

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BONDAD DEL AJUSTE:CASO 2


En ocasiones queremos averiguar si los datos se ajustan a

un determinado tipo de distribución pero sin precisar los

valores de los parámetros que la caracterizan.

Así por ejemplo, para realizar muchos de los contrastes

del tema anterior, necesitamos saber si la variable

poblacional sigue una distribución normal. Por lo tanto,

debemos contrastar la normalidad de los datos, pero sin

precisar la media y la varianza poblacionales.

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Trabajamos con los estimadores de máxima

verosimilitud. Calculamos las frecuencias esperadas si

los estimadores fueran los autenticos

CUIDADO: Si usamos los mismos datos muestrales

para estimar r parámetros poblacionales desconocidos y

para realizar el contraste de bondad del ajuste, el

estadístico l de Pearson se aproxima a una c2k-1-r en

lugar de a una c2k-1.

DOS DIFERENCIAS

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EJEMPLO 3: Al digitalizar 300 imágenes se ha

obtenido la siguiente distribución de frecuencias

absolutas del tamaño en Kb del fichero correspondiente:

¿Podemos afirmar, a la vista de estos datos, que X sigue

una distribución normal?

X 36-38 38-40 40-42 42-44 44-46 46-48 48-50 50-52 52-54 54-56

Oi 6 9 33 48 54 57 45 30 12 6 300

H0: X sigue una N

Ha: X no sigue una Nˆ 3.88

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X <38 38-40 40-42 42-44 44-46 46-48 48-50 50-52 52-54 54

Oi

(ei)

6

(5.9)

9

(12.3)

33

(27.3)

48

(45)

54

(59.5)

57

(59.5)

45

(45)

30

(27.3)

12

(12.3)

6

(5.9)300

P(X<38)=P(Z<(38-46)/3.88)=P(Z<-2.06)=0.0197 e1=0.0197*300=5.9

Aceptamos al nivel 0.01


10-1-2=7

2

7,0.01 12.017c

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CONSIDERACIONES ADICIONALES

- Para que l se aproxime a una c2, además de que el

tamaño muestral sea grande, las frecuencias esperadas no

pueden ser muy pequeñas.

- Por norma se requiere que ei 5 para el 20% de las

clases i=1,…,k

PRIMERA:

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-Cuando ni la estructura del problema, ni la agrupación

de las observaciones muestrales, nos sugieran las clases

A1,…,Ak más adecuadas para dividir el espacio muestral,

lo más conveniente es elegirlas de forma que

P(Ai)=1/k para i=1,…,k, con k<n/5.

SEGUNDA:

- De esta forma conseguimos una mejor aproximación

de la distribución del estadístico l a una distribución c2 , y que las frecuencias esperadas no sean pequeñas.

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CONTRASTE DE HOMOGENEIDAD

DE POBLACIONES


H0: Las poblaciones son homogéneas

Ha: Las poblaciones no son homogéneas

SITUACIÓN: X es una característica común a r

poblaciones independientes.

Extraemos m.a.s. de cada población

con

A la vista de las muestras, ¿es razonable admitir que

las poblaciones son homogéneas, es decir, que todas

ellas siguen la misma distribución?

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PASOS A SEGUIR:



muestral (que es común a todas las poblaciones) en k

clases A1,…,Ak.


para i=1,…,k y j=1,…,r .

Oij = frecuencia observada en Ai con la muestra j-

ésima= número de elementos de la muestra j-ésima que

se han situado en la clase Ai

eij= frecuencia esperada en Ai con la muestra j-ésima

si H0 es cierta = njP(Ai)eij es la esperanza

de una B(nj,P(Ai))

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Muestra 1 ... Muestra j ... Muestra r mj

A1

O11

(e11)

...

...

O1j

(e1j)

...

...

O1r

(e1r)m1

... ... ... ... ... ... ...

Ai

Oi1

(ei1)

...

...

Oij

(eij)

...

...

Oir

(eir)mi

... ... ... ... ... ... ...

Ak

Ok1

(ek1)

...

...

Okj

(eki)

...

...

Okr

(ekr)mk

ni n1 ... nj ... nr n

Tamaños muestrales

Frecu

encias m

argin

ales

Desconocido

Suponiendo cierta H0

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nº de muestras

nº de clases

si n es grande

y H0 es cierta

Demostración: Para la muestra j-ésima,

Sumando los r estadísticos que tenemos,como las poblaciones son

independientes, tenemos que

Pero como no conocemos la distribución que siguen las poblaciones,

hemos tenido que estimar k-1 probabilidades para estimar los eij, por lo

tanto

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Región crítica: C = {l>c2(k-1) (r-1),a}

23


EJEMPLO 5: Un estudio sobre tabaquismo en las

comunidades de Galicia, Madrid y Cataluña

proporcionó los siguientes resultados:

Comunidad Fumadores No fumadores Total

Galicia 13 87 100

Madrid 17 83 100

Cataluña 18 82 100

¿Pueden considerarse homogéneas las tres poblaciones

en cuanto a sus hábitos fumadores?

H0: Las poblaciones son homogéneas

Ha: Las poblaciones no son homogéneas

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Comunidad Fumadores No fumadores Total

Galicia13

(16)

87

(84)100

Madrid17

(16)

83

(84)100

Cataluña18

(16)

82

(84)100

48 252 300


Muestras

ClasesT

amañ

os m

uestrales

k=2

r=3Frecuencias marginales

Aceptamos que las poblaciones

son homogéneas

2

2,0.1 4,605c

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CONTRASTE DE INDEPENDENCIA DE

CARACTERES


H0: Las características son independientes

Ha: Las características no son independientes

SITUACIÓN: X e Y son dos características de una

misma población.

Extraemos una m.a.s. de la población

((X1, Y1),…, ((Xn, Yn) ).

A la vista de la muestra, ¿es razonable admitir que las

características son independientes?

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PASOS A SEGUIR:



muestral (posibles valores de X e Y) en k x r clases

A1 x B1,…, Ai x Bj ,...,Ak x Br.


para i=1,…,k y j=1,…,r .

Oij = frecuencia observada en Ai x Bj = número de

elementos de la muestra j-ésima que se han situado en

la clase Ai x Bj

eij= frecuencia esperada en Aix Bj si H0 es cierta =

n P(Ai) P(Bj) eij es la esperanza de

una B(n,P(Ai)P(Bj))

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B1 ... Bj ... Br ni.

A1

O11

(e11)

...

...

O1j

(e1j)

...

...

O1r

(e1r)n1.

... ... ... ... ... ... ...

Ai

Oi1

(ei1)

...

...

Oij

(eij)

...

...

Oir

(eir)ni.

... ... ... ... ... ... ...

Ak

Ok1

(ek1)

...

...

Okj

(eki)

...

...

Okr

(ekr)nk.

n.j n.1 ... n.j ... n.r n

Frecu

encias m

argin

ales

Desconocido

Tabla de contingencias k x r

Frecuencias marginales

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si n es grande

y H0 es cierta

Demostración: Como el número de clases es rk,

Pero como no conocemos las distribuciones que siguen las dos variables

poblacionales, hemos tenido que estimar k-1+r-1 probabilidades para

estimar los eij, por lo tanto

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Región crítica: C = {l>c2(k-1) (r-1),a}

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EJEMPLO 6: Para averiguar si existe relación entre el

peso y la altura de los segovianos, se extrajo una m.a.s.

con los siguientes resultados:

¿Qué conclusión podemos extraer de estos datos?

H0: El peso y la altura son independientes

Ha: El peso y la altura no son independientes

1.55-1.65 1.65-1.75 1.75-1.85 1.85-1.95

50-60 10 8 2 1

60-70 6 14 6 2

70-80 2 8 18 5

80-90 0 4 6 8

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Altura

Peso1.55-1.65 1.65-1.75 1.75-1.85 1.85-1.95

50-6010

(3.78)

8

(7.14)

2

(6.72)

1

(3.36)21

60-706

(5.04)

14

(9.52)

6

(8.96)

2

(4.48)28

70-802

(5.94)

8

(11.22)

18

(10.56)

5

(5.28)33

80-900

(3.24)

4

(6.12)

6

(5.76)

8

(2.88)18

18 34 32 16 100


3.78=28*18/10039,459l

K=3=r2

3*3,0.1 21,66c

¡Rechazo

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