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Universidad Tecnica Federico Santa MaraDepartamento de MatematicaCasa Central - Valparaso
Pauta Control #2 Mat-0242do Semestre 2014 - Lunes 3 de Noviembre
1. Considere la curva C interseccion de las superficies
S1 : z x2 4y2 = 0 S2 : z = 2x+ 3, x 1.
Determine la masa de la curva C si la densidad en cada punto esta dada por
(x, y, z) = (x 1)|y|
Solucion: Al interceptar las superficies z = x2 + 4y2 y z = 2x+ 3 se obtiene que (x 1)2 + 4y2 = 4, de esta formala parametrizacion de la curva C es:
~r(t) = (1 + 2 cos t, sin t, 5 + 4 cos t), pi2 t pi
2.
cuyo vector velocidad es
~v(t) = (2 sin t, cos t,4 sin t), pi2 t pi
2.
y su norma viene dada por ~v(t) =
cos2 t+ 20 sin2 t =
1 + 19 sin2 t, usando lo anterior se tiene que la masade la curva viene dada por
MasaC =
C
ds =
pi/2pi/2
(~r(t)) ~v(t)dt
= 0pi/2
2 cos t sin t
1 + 19 sin2 tdt+
pi/20
2 cos t sin t
1 + 19 sin2 tdt
= 257
(1 + 19 sin2 t
)3/2 0pi/2
+2
57
(1 + 19 sin2 t
)3/2 pi/20
=4
57
(203/2 1
)
1
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2. Para R considere el campo vectorial ~F (x, y) =( y
(x 1)2 + y2 ,x 1
(x 1)2 + y2 + x)
y sea C una curva cerrada
simple la cual posee las siguientes propiedades:
Para cualquier punto P de la curva C la distancia al origen es mayor que 4.
La curva C encierra al origen.
El area de la region R2 cerrada y acotada cuyo borde es la curva C esta dada por A.
(a) Determine el trabajo del campo ~F sobre C para todo los valores de , si existen, tal que ~F es irrotacional.
(b) Determine el trabajo del campo ~F sobre C para todo los valores de , si existen, tal que ~F es rotacional.
Solucion: Primero definiremos los campos escalares M(x, y) =y
(x 1)2 + y2 y N(x, y) =x 1
(x 1)2 + y2 + x, deesta forma:
xN yM = y2 (x 1)2
((x 1)2 + y2)2 + y2 (x 1)2
((x 1)2 + y2)2 = ,
posteriormente denotaremos por C a la curva que permite encerrar a la singularidad (1,0), tal curva sera descritapor (x1)2+y2 = 2 con > 0 lo suficientemente pequeno de modo que la curva C este completamente contenida enC. Consideraremos la parametrizacion anti horario de la curva C como: x = 1 + cos t e y = sin t con 0 t 2pi,as el trabajo del campo ~F a lo largo de esta curva es:
C
Mdx+Ndy =
2pi0
M(1 + cos t, sin t)( sin t) +N(1 + cos t, sin t)( cos t)dy
=
2pi0
(1 + 2 cos2 t+ cos t) = 2pi + pi2.
Posteriormente sea la region cerrada y acotada cuyo borde es la curva C.
(a) El campo es irrotacional si = 0, en este caso para hallar el trabajo ocupamos el Teorema de GreenC
Mdx+Ndy C
Mdx+Ndy =
(xN yM) dA = 0,
de esta forma tenemos que C
Mdx+Ndy =
C
Mdx+Ndy = 2pi
(b) El campo es rotacional si 6= 0, en este caso para hallar el trabajo ocupamos el Teorema de GreenC
Mdx+Ndy C
Mdx+Ndy =
(xN yM) dA = (A pi2),
de esta forma tenemos queC
Mdx+Ndy = (A pi2) + (2pi + pi2) = A+ 2pi
2
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3. Sea ~F el campo vectorial definido como
~F (x, y, z) =(
2xz x, y + 5, x2 + y2 z2 9),
y considere las superficies S1, S2 y S3 descritas mediante
S1 : x2 + z2 = 4, 5 y 8 2z; S2 : x2 + y2 = 4, 3 z 3; S3 : x2 + z2 4, y = 5.
Determine el flujo de ~F a traves de la superficie S = S1 S2 S3 orientada segun la normal exterior.Solucion: La superficie S no es cerrada, de esta forma es que procedemos a cerrarla para aplicar el Teorema deGauss. As se definen las superficies:
S4 : x2 + y2 4, z = 3; S5 : x2 + y2 4, z = 3; S6 : x2 + z2 4, y = 8 2z;
de esta forma S = S S4 S5 S6 es una superficie cerrada, luego definimos como el solido encerrado por lasuperficie S, de esta forma el Teorema de Gauss queda escrito como:
S
~F nSd =
S
~F nSd +6k=4
Sk
~F nSkd =
~F dV,
notamos tambien que ~F = 0, luego
~F dV = 0, as
S
~F nSd = 6k=4
Sk
~F nSkd
La superficie S4 es parametrizada mediante S4(x, y) = (x, y,3) con D ={
(x, y) R2 / x2 + y2 4}
y vector
normal S4 = (0, 0,1), asi:S4
~F nS4d =
D
(x2 + y2 18)dA = 2pi
0
20
r(r2 18)drd = 64pi
La superficie S5 es parametrizada mediante S5(x, y) = (x, y, 3) con D ={
(x, y) R2 / x2 + y2 4}
y vector
normal S4 = (0, 0, 1), asi:S5
~F nS5d =
D
(x2 + y2 18)dA = 2pi
0
20
r(r2 18)drd = 64pi
La superficie S6 es parametrizada mediante S6(x, z) = (x, 8 2z, z) con W ={
(x, z) R2 / x2 + z2 4}
y
vector normal S6 = (0, 1, 2), as:
S6
~F nS6d =15
S6
((13 2z) + 2(x2 + (8 2z)2 z2 9)
)d
=
W
(6z2 + 2x2 66z + 123)dA
=
2pi0
20
r(
6r2 sin2 + 2r2 cos2 66r sin + 123)drd
=123r2
2+
2r3pi
3+ 2r3pi
20
= 246 +16pi
3+ 16pi = 246 +
64pi
3
luego S
~F nSd = 246 64pi3
3
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4. Sea ~F (x, y, z) =(f1(x, y, z), f2(x, y, z), f3(x, y, z)
)un campo vectorial diferenciable en todo R3 tal que ~F = 0.
(a) Verifique que el campo vectorial ~G(x, y, z) =(M(x, y, z), N(x, y, z), P (x, y, z)
)donde
M(x, y, z) = zz0
f2(x, y, u)du
N(x, y, z) = xx0
f3(u, y, z0)du zz0
f1(x, y, u)du
P (x, y, z) = 0para x0 y z0 arbitrarios cumple que
~G = ~F(b) Sea S una superficie regular orientada segun la normal unitaria n cuyo borde es un curva cerrada simple C
parametrizada por ~r(t) =(cos2 t, sin2 t+ cos t, sin t
)con t [0, 2pi]. Determine el flujo del campo vectorial
~F (x, y, z) = (y, y + x, y z) a traves de la superficie S.Importante: Recuerde que d representa el diferencial de area de superficie que tambien es denotado como dA obien, como dS.
Solucion:
(a) Procederemos calculando el rotacional del campo ~G(x, y, z) =(M(x, y, z), N(x, y, z), P (x, y, z)
), as:
~G =(yP zN,xP + zM,xN yM
)=
(f1(x, y, z), f2(x, y, z), xN yM
)pero xN = f3(x, y, z0)
zz0
xf1(x, y, u)du y yM =
zz0
yf2(x, y, u)du y como ~F = 0 se tiene quexf1(x, y, z) + 2f2(x, y, z) + zf3(x, y, z) = 0, as se tiene que:
xNyM = f3(x, y, z0) zz0
xf1(x, y, u)du zz0
yf2(x, y, u)du = f3(x, y, z0)+
zz0
uf3(x, y, u)du = f3(x, y, z),
lo cual permite concluir que
~G =(f1(x, y, z), f2(x, y, z), f3(x, y, z)
)= ~F
(b) En este punto se solicita
S
~F nd. Pues es difcil obtener la superficie S cuyo borde es la curva entregadaocuparemos el Teorema de Stokes, para esto verificamos que el campo ~F cumple las hipotesis del apartado(a) de modo de lograr construir un campo ~G tal que ~G = ~F . Observamos que la divergencia del campo~F (x, y, z) = (y, y+x, yz) es nula y ademas tal campo es diferenciable, luego es aplicable el resultado obtenidoen (a). Para esto tomamos x0 y z0 arbitrarios (los mas sencillos), es decir, x0 = z0 = 0, as:
M(x, y, z) = z
0
(x+ y)du = zx+ zy
N(x, y, z) = x
0
ydu z
0
ydu = xy zy P (x, y, z) = 0
as tenemos el campo ~G(x, y, z) =(zx+ zy, xy zy, 0
), luego
S
~F nd =
S
~G nd =C
~G d~r = 2pi
0
~G (~r(t)) ~v(t)dt
=
2pi0
~G(cos2 t, sin2 t+ cos t, sin t
) ( 2 cos t sin t, 2 sin t cos t sin t, cos t)dtsimplificando al maximo el argumento de la integral solo es necesario calcular:
S
~F nd = 2pi
0
(sin4 t 4 sin2 t cos2 t)dt = pi4
4