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Universidad Tecnica Federico Santa MaraDepartamento de MatematicaCasa Central - Valparaso

Pauta Control #2 Mat-0242do Semestre 2014 - Lunes 3 de Noviembre

1. Considere la curva C interseccion de las superficies

S1 : z x2 4y2 = 0 S2 : z = 2x+ 3, x 1.

Determine la masa de la curva C si la densidad en cada punto esta dada por

(x, y, z) = (x 1)|y|

Solucion: Al interceptar las superficies z = x2 + 4y2 y z = 2x+ 3 se obtiene que (x 1)2 + 4y2 = 4, de esta formala parametrizacion de la curva C es:

~r(t) = (1 + 2 cos t, sin t, 5 + 4 cos t), pi2 t pi

2.

cuyo vector velocidad es

~v(t) = (2 sin t, cos t,4 sin t), pi2 t pi

2.

y su norma viene dada por ~v(t) =

cos2 t+ 20 sin2 t =

1 + 19 sin2 t, usando lo anterior se tiene que la masade la curva viene dada por

MasaC =

C

ds =

pi/2pi/2

(~r(t)) ~v(t)dt

= 0pi/2

2 cos t sin t

1 + 19 sin2 tdt+

pi/20

2 cos t sin t

1 + 19 sin2 tdt

= 257

(1 + 19 sin2 t

)3/2 0pi/2

+2

57

(1 + 19 sin2 t

)3/2 pi/20

=4

57

(203/2 1

)

1


2. Para R considere el campo vectorial ~F (x, y) =( y

(x 1)2 + y2 ,x 1

(x 1)2 + y2 + x)

y sea C una curva cerrada

simple la cual posee las siguientes propiedades:

Para cualquier punto P de la curva C la distancia al origen es mayor que 4.

La curva C encierra al origen.

El area de la region R2 cerrada y acotada cuyo borde es la curva C esta dada por A.

(a) Determine el trabajo del campo ~F sobre C para todo los valores de , si existen, tal que ~F es irrotacional.

(b) Determine el trabajo del campo ~F sobre C para todo los valores de , si existen, tal que ~F es rotacional.

Solucion: Primero definiremos los campos escalares M(x, y) =y

(x 1)2 + y2 y N(x, y) =x 1

(x 1)2 + y2 + x, deesta forma:

xN yM = y2 (x 1)2

((x 1)2 + y2)2 + y2 (x 1)2

((x 1)2 + y2)2 = ,

posteriormente denotaremos por C a la curva que permite encerrar a la singularidad (1,0), tal curva sera descritapor (x1)2+y2 = 2 con > 0 lo suficientemente pequeno de modo que la curva C este completamente contenida enC. Consideraremos la parametrizacion anti horario de la curva C como: x = 1 + cos t e y = sin t con 0 t 2pi,as el trabajo del campo ~F a lo largo de esta curva es:

C

Mdx+Ndy =

2pi0

M(1 + cos t, sin t)( sin t) +N(1 + cos t, sin t)( cos t)dy

=

2pi0

(1 + 2 cos2 t+ cos t) = 2pi + pi2.

Posteriormente sea la region cerrada y acotada cuyo borde es la curva C.

(a) El campo es irrotacional si = 0, en este caso para hallar el trabajo ocupamos el Teorema de GreenC

Mdx+Ndy C

Mdx+Ndy =

(xN yM) dA = 0,

de esta forma tenemos que C

Mdx+Ndy =

C

Mdx+Ndy = 2pi

(b) El campo es rotacional si 6= 0, en este caso para hallar el trabajo ocupamos el Teorema de GreenC

Mdx+Ndy C

Mdx+Ndy =

(xN yM) dA = (A pi2),

de esta forma tenemos queC

Mdx+Ndy = (A pi2) + (2pi + pi2) = A+ 2pi

2


3. Sea ~F el campo vectorial definido como

~F (x, y, z) =(

2xz x, y + 5, x2 + y2 z2 9),

y considere las superficies S1, S2 y S3 descritas mediante

S1 : x2 + z2 = 4, 5 y 8 2z; S2 : x2 + y2 = 4, 3 z 3; S3 : x2 + z2 4, y = 5.

Determine el flujo de ~F a traves de la superficie S = S1 S2 S3 orientada segun la normal exterior.Solucion: La superficie S no es cerrada, de esta forma es que procedemos a cerrarla para aplicar el Teorema deGauss. As se definen las superficies:

S4 : x2 + y2 4, z = 3; S5 : x2 + y2 4, z = 3; S6 : x2 + z2 4, y = 8 2z;

de esta forma S = S S4 S5 S6 es una superficie cerrada, luego definimos como el solido encerrado por lasuperficie S, de esta forma el Teorema de Gauss queda escrito como:

S

~F nSd =

S

~F nSd +6k=4

Sk

~F nSkd =

~F dV,

notamos tambien que ~F = 0, luego

~F dV = 0, as

S

~F nSd = 6k=4

Sk

~F nSkd

La superficie S4 es parametrizada mediante S4(x, y) = (x, y,3) con D ={

(x, y) R2 / x2 + y2 4}

y vector

normal S4 = (0, 0,1), asi:S4

~F nS4d =

D

(x2 + y2 18)dA = 2pi

0

20

r(r2 18)drd = 64pi

La superficie S5 es parametrizada mediante S5(x, y) = (x, y, 3) con D ={

(x, y) R2 / x2 + y2 4}

y vector

normal S4 = (0, 0, 1), asi:S5

~F nS5d =

D

(x2 + y2 18)dA = 2pi

0

20

r(r2 18)drd = 64pi

La superficie S6 es parametrizada mediante S6(x, z) = (x, 8 2z, z) con W ={

(x, z) R2 / x2 + z2 4}

y

vector normal S6 = (0, 1, 2), as:

S6

~F nS6d =15

S6

((13 2z) + 2(x2 + (8 2z)2 z2 9)

)d

=

W

(6z2 + 2x2 66z + 123)dA

=

2pi0

20

r(

6r2 sin2 + 2r2 cos2 66r sin + 123)drd

=123r2

2+

2r3pi

3+ 2r3pi

20

= 246 +16pi

3+ 16pi = 246 +

64pi

3

luego S

~F nSd = 246 64pi3

3


4. Sea ~F (x, y, z) =(f1(x, y, z), f2(x, y, z), f3(x, y, z)

)un campo vectorial diferenciable en todo R3 tal que ~F = 0.

(a) Verifique que el campo vectorial ~G(x, y, z) =(M(x, y, z), N(x, y, z), P (x, y, z)

)donde

M(x, y, z) = zz0

f2(x, y, u)du

N(x, y, z) = xx0

f3(u, y, z0)du zz0

f1(x, y, u)du

P (x, y, z) = 0para x0 y z0 arbitrarios cumple que

~G = ~F(b) Sea S una superficie regular orientada segun la normal unitaria n cuyo borde es un curva cerrada simple C

parametrizada por ~r(t) =(cos2 t, sin2 t+ cos t, sin t

)con t [0, 2pi]. Determine el flujo del campo vectorial

~F (x, y, z) = (y, y + x, y z) a traves de la superficie S.Importante: Recuerde que d representa el diferencial de area de superficie que tambien es denotado como dA obien, como dS.

Solucion:

(a) Procederemos calculando el rotacional del campo ~G(x, y, z) =(M(x, y, z), N(x, y, z), P (x, y, z)

), as:

~G =(yP zN,xP + zM,xN yM

)=

(f1(x, y, z), f2(x, y, z), xN yM

)pero xN = f3(x, y, z0)

zz0

xf1(x, y, u)du y yM =

zz0

yf2(x, y, u)du y como ~F = 0 se tiene quexf1(x, y, z) + 2f2(x, y, z) + zf3(x, y, z) = 0, as se tiene que:

xNyM = f3(x, y, z0) zz0

xf1(x, y, u)du zz0

yf2(x, y, u)du = f3(x, y, z0)+

zz0

uf3(x, y, u)du = f3(x, y, z),

lo cual permite concluir que

~G =(f1(x, y, z), f2(x, y, z), f3(x, y, z)

)= ~F

(b) En este punto se solicita

S

~F nd. Pues es difcil obtener la superficie S cuyo borde es la curva entregadaocuparemos el Teorema de Stokes, para esto verificamos que el campo ~F cumple las hipotesis del apartado(a) de modo de lograr construir un campo ~G tal que ~G = ~F . Observamos que la divergencia del campo~F (x, y, z) = (y, y+x, yz) es nula y ademas tal campo es diferenciable, luego es aplicable el resultado obtenidoen (a). Para esto tomamos x0 y z0 arbitrarios (los mas sencillos), es decir, x0 = z0 = 0, as:

M(x, y, z) = z

0

(x+ y)du = zx+ zy

N(x, y, z) = x

0

ydu z

0

ydu = xy zy P (x, y, z) = 0

as tenemos el campo ~G(x, y, z) =(zx+ zy, xy zy, 0

), luego

S

~F nd =

S

~G nd =C

~G d~r = 2pi

0

~G (~r(t)) ~v(t)dt

=

2pi0

~G(cos2 t, sin2 t+ cos t, sin t

) ( 2 cos t sin t, 2 sin t cos t sin t, cos t)dtsimplificando al maximo el argumento de la integral solo es necesario calcular:

S

~F nd = 2pi

0

(sin4 t 4 sin2 t cos2 t)dt = pi4

4