Control1_Problemario_Resuelto.doc

7/25/2019 Control1_Problemario_Resuelto.doc

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Curso Sistemas de Control I - PS2322.Problemas

1. Curso Sistemas de Control I - PS2322. Problemasa. Problema 1: Respuesta temporal

b. Problema 2: Reduccin de diagramas de bloquec. Problema 3: Anlisis de sistemas realimentados en el mbito del tiempod. Problema !: "#aluacin del desempe$o del la%o.

i. &otas 'inales:

e. "#aluacin del desempe$o del (a%o

"n esta pgina iremos colocando problemas que los estudiantes del curso PS233 de la)ni#ersidad Simn *ol+#ar puedan resol#er #oluntariamente. Si )d. se decide aresol#er un problema por 'a#or escriba su nombre , 'eca en la que lo reali%. Si )d.consigue un error en un problema por 'a#or corr+galo , en una peque$a nota deba/o dela solucin describa la correccin reali%ada 0con palabras , de nue#o de/e su nombre, 'eca en la que lo reali%.

Problema 1: Respuesta temporal

"n las notas sobre lineali%acinse obtu#o una 'uncin de trans'erencia para el sistemalineali%ado 0sistema asaResorteAmortiguador suspendido de la 'orma:

, que desde el punto de #ista del sistema podemos imaginar como:
http://ps2322.pbwiki.com/#CursoSistemasdeControlIPS2322Problemashttp://ps2322.pbwiki.com/#Problema1Respuestatemporalhttp://ps2322.pbwiki.com/#Problema2Reducci%C3%B3ndediagramasdebloquehttp://ps2322.pbwiki.com/#Problema3An%C3%A1lisisdesistemasrealimentadosenel%C3%A1mbitodeltiempohttp://ps2322.pbwiki.com/#Problema4Evaluaci%C3%B3ndeldesempe%C3%B1odellazohttp://ps2322.pbwiki.com/#Notasfinaleshttp://ps2322.pbwiki.com/#Evaluaci%C3%B3ndeldesempe%C3%B1odelLazonbsphttp://prof.usb.ve/williamc/PS2315/linealizacion.pdfhttp://prof.usb.ve/williamc/PS2315/linealizacion.pdfhttp://ps2322.pbwiki.com/#CursoSistemasdeControlIPS2322Problemashttp://ps2322.pbwiki.com/#Problema1Respuestatemporalhttp://ps2322.pbwiki.com/#Problema2Reducci%C3%B3ndediagramasdebloquehttp://ps2322.pbwiki.com/#Problema3An%C3%A1lisisdesistemasrealimentadosenel%C3%A1mbitodeltiempohttp://ps2322.pbwiki.com/#Problema4Evaluaci%C3%B3ndeldesempe%C3%B1odellazohttp://ps2322.pbwiki.com/#Notasfinaleshttp://ps2322.pbwiki.com/#Evaluaci%C3%B3ndeldesempe%C3%B1odelLazonbsphttp://prof.usb.ve/williamc/PS2315/linealizacion.pdf


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condiciones. 9ra'ique sus respuestas. >?u@ puede decir de las sensibilidades 0a #ecestambi@n llamada robuste% de los la%os --abiertos , cerrados-- a los cambios en los

parmetros del sistema.

A continuacin el sistema se #e a'ectado por una perturbacin 0 tal como semuestra en la 'igura:

=etermine la respuesta 0 del sistema perturbado cuando la perturbacin es un

escaln unitario 0 . Suponga que la constante del resorte #ol#i a su #alornominal 751. >?ue puede decir de la sensibilidad de los la%os 0a #eces tambi@n

llamada reca%o a la perturbacin.

Repita los problemas pero esta #e% con los parmetros 516b5


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"n primer lugar obser#amos que el numerador &0s 5 1 no tiene raices 'initas por loque el sistema no presenta ceros. Por su parte el denominador se puede reescribir:

que tiene las siguientes raices

comple/as con/ugadas:

=iagrama de Polos , Ceros btenido con A(A*

Podemos obser#ar que el sistema presenta una ganancia =C 5 13. Ademas como lasraices son comple/as entonces eso signi'ica que presenta oscilaciones. Por ultimo el

tiempo en que le tomara al sistema estabili%arse sera un poco ma,or a !D02 5 Esporque la parte real de los dos polos es 12 5F tau 5 2s.


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i Calculemos la respuesta temporal del Sistema lineali%ado:

Aplicando la trans'romada in#ersa:

para t F 8

9ra'ica Respuesta emporal Sistema (ineali%ado

ii Por ultimo para allar la respuesta absoluta del sistema a una entrada G 5 u0t solotenemos que tener en cuenta que el H8H en la gra'ica anterior equi#ale al #alor loque esqui#ale en despla%ar la gra'ica en una unidad acia arriba.


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=amian P..C

Propuesta 1 Solucion Parte 2:

Para obtener el diagrama de polos , ceros primero necesitamos obtener la eGpresin dela 'uncin de trans'erencia. Sabemos que :

=onde se #e que %1 5 -1 , se puede obtener: p1 5 -8.2J3 p2 5 -8.3JK L /1K1J p3 5-8.3JK - /1K1J.

Al obser#ar el diagrama , considerar que este sistema sera eGitado con un escalon sepuede concluir que la respuesta sera estable porque todos sus polos estan en el


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semiplano i%quierdo. Ademas la parte real del polo dominante es -8.2J3 lo que quieredecir una constante de timepo tau 5 108.2J3 5 3.E es decir el sistema alcan%ara elKEM de su #alor 'inal alrededor de t5!Dtau51


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cuanto HtH es mu, grande. Ademas #emos que no eGisten sobrepicos sino mas bien queel sistema responde gradualmente asta alcan%ar su #alor 'inal

=amian P..C

Problema 2: Reduccin de diagramas de bloque

Para los diagramas de bloque que se muestra en las 'iguras aga la reduccin dediagrama de bloques 0por ason , calcule la 'uncin de trans'erencia entre todas las

entradas , las salidas que se muestren 0r d, y. =etermine la respuesta al escaln.

Suponga que las 'unciones de trans'erencia son:

6 6 6 ,

6 ,


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Propuesta para la reduccion de diagramas de bloque por ason


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(os caminos o tra,ectorias directas son

(a identi'icacin de los la%os es la siguiente:

Como no a, ningun la%o independiente la 'ormula del co'actor resultar:


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Aora para obtener la 'uncion de trans'erencia con la 'ormula:

Al quitar cada una de las tra,ectorias directas se obser#a que no queda ningun la%opor lo tanto los resultantes son 1. (a 'uncin de trans'erencia se escribe como:

Al sustituir en at(ab , simpli'icar resulta:

Para allar la respuesta al impulso utili%amos el comando step del at(ab , la gra'icaresultante es la siguiente:

Amanda a%%ei 8


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Para el segundo sistema el gra'o resultante por ason ser+a:

Para allar la 'uncion de trans'erencia

consideramos d0t58 usando superposicin.

"l ;nico camino o tra,ectoria directa es:

(a identi'icacin de los la%os es la siguiente:


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Como no a, ningun la%o independiente la 'ormula del co'actor resultar:

Aora para obtener la 'uncion de trans'erencia con la 'ormula:

Al quitar la tra,ectoria directa se obser#a que no queda ningun la%o por lo tanto elresultante es 1. (a 'uncin de trans'erencia se escribe como:

Al sustituir en at(ab , simpli'icar resulta:

Para allar la respuesta al impulso utili%amos el comando step del at(ab , la gra'icaresultante es la siguiente:


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AleGander 9amero 8


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Aora #emos que la ganancia de ra,ectoria =irecta dentro de ese la%o resulta 92.093L9! pero se puede continuar la reduccion inclu,endo al bloque 91 dentro del la%ode 42 de la 'orma siguiente

=e esta 'orma el la%o resulta alterado inclu,endo 91 en el la%o de 42 modi'icandocomo es e#idente la 'uncion de trans'erencia de la%o abierto por tener una ganancia dela%o a'ectada por 91. emos que la ganancia de ra,ectoria =irecta resulta 0como se

puede obser#ar desde un principio si se desea es 91.92.9< siendo 9


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Por ser 42 un la%o de retroalimentacion positi#a el signo del denominador de laganancia a (a%o cerrado resulta negati#o como se puede obser#ar ,a el sistema quedareducido a un bloque realimentado por 41 negati#amente 0no se obser#a en la 'igura

pero la realimentacion es negati#a 'inali%ando la reduccion con un sistema como elsiguiente:

"n este sistema 'inal se puede #er la ganancia de ra,ectoria =irecta , el e'ecto de lasretroalimentaciones dependiendo de los bloques incluidos en los la%os.

"spero esta 'orma sea de utilidad para los que no se a,an 'amiliari%ado aun con losgra'os este es el sistema reducido 'inal.

ictor . 4ernande%. 4ernande%. 8


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"n lugar de la identi'icacion de la%os propuesta deberia ser asi:

Por lo tanto la 'uncion de trans'erencia resultante deberia ser la siguiente:

=aniel Naspe 8


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parmetros del sistema BP= que aproGima el comportamiento temporal de 90s.9ra'ique en una misma #entana la respuesta del sistema real contra la del sistemaaproGimado.

*asndose en la aproGimacin obtenida calcule un controlador PI basado en las reglasde entonacin de Qiegler , &icols 0Q& PI , en las de entonacin que minimi%an laintegral del #alor absoluto del error multiplicado por el tiempo 0IA" PI. Puedeencontrar las tablas de a/uste en lapgina del pro'esor0en el material paraPI=s o ore/emplo en atlab Central ba/ando el arci#o , una #e% abierto ubicndolo en PI=uning , e IA" uning Rule.

Compare sobre la planta real los 3 controladores tanto siguiendo a la re'erencia comoreca%ando al control 0use un escaln en ambos casos. >?u@ puede decir de los

m@todos emp+ricos.

Solucin Primera Parte: Propuesta 1

"n primer lugar se tiene que para el sistema 90s =C 5 12< , la constante de tiempoes 18 seg ,a que el polo dominante es -81. Considerando los e'ectos transitorios

originados por el resto de los polos el tiempo de respuesta ser algo ma,or a !8 seg."stos #alores son obser#ables en el gr'ico de Respuesta del Sistema al "scaln)nitario:
http://prof.usb.ve/williamchttp://prof.usb.ve/williamc/PID/Pid.htmlhttp://prof.usb.ve/williamc/PID/Pid.htmlhttp://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/16661http://prof.usb.ve/williamchttp://prof.usb.ve/williamc/PID/Pid.htmlhttp://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/16661


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(a Respuesta a la rampa ser:


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(uego el sistema es colocado en un la%o realimentado , con un controladorproporcional con una ganancia O. Al reali%ar en A(A* el gr'ico del lugar de lasra+ces e indicar algunos puntos de inter@s se obtiene el siguiente gr'ico:


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s3 5 -332K

"n donde se debe seleccionar s 5 -8!


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Seleccionando O 5 18J se escriben las ! 'unciones de trans'erencia de la%o cerrado , segra'ican sus respuestas al escaln dando como resultado lo siguiente:


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Sensiti#idad:


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Perturbacin:


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Control:


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"n donde se puede obser#ar que el sistema logra seguir a la rampa pero con un errorque se #a incrementando con el tiempo. "n la 'igura la cur#a gris representa la rampa

de entrada , la a%ul representa la respuesta del sistema. "s posible acer que estesistema no presente errores mediante la implementacin de otro tipo de controlador


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rlando re/o 8


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2. emporales1. iempo de respuesta al estado estacionario2. Gimo pico3. Integral del #alor absoluto del error 0IA"!. ariacin total 0

"n el caso de los indicadores temporales debe calcularlos aplicando un escaln en lare'erencia 0con d(t)58 , en la perturbacin 0con r(t)58. Constru,a una matri% dedecisin 0tabla con los #alores obtenidos.

"n una segunda aproGimacin a la b;squeda de un me/or controlador. )d. decide

aproGimar al sistema 090s a uno de primero orden ms retardo 0BP= @sto es:

Calcule los parmetros 0 de la planta aproGimada , entone un controlador PIusando cualquiera de los m@todos que usan un sistema de BP= para entonar esoscontroladores 0por e/emplo use la tabla del enlace aPI=sdel pro'esor tabla 2 UParacontroladores PIU. Compare en los mismos t@rminos que us antes el controladorobtenido con el me/or de los dos anteriores.

>Puede proponer un controlador me/or que el me/or obtenido asta aora

'otas (inales:

1. Para calcular la IA" puede acer lo siguiente en A(A*

FF t58:8.1:tmaG6 V generamos un #ector escala de tiempo con salto 'i/o 08.1 ,tiempo su'iciente para obser#ar la respuesta temporal 0tmaG

FF s5t'0HsH

FF g510sL108.


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FF W5step0t V generamos la respuesta del la%o a un escaln en la escala de tiempo ,paso deseados

FF plot0tW V gra'icamos la respuesta al escaln del la%o

FF e51-W6 V generamos el error

FF plot0te V gra'icamos el error

FF IA"5 8.1Dsum0abs0e V generamos la integral 0aproGimada del #alor absoluto delerror 0recuerde que el paso es de 8.1

2. (a #ariacin total 0 es la suma de los #alores absolutos de las distancias entre un

mGimo , un m+nimo consecuti#os de la respuesta temporal del la%o 0#er libro deSOogestadpag. 31 , en atlab se calcula como 0usando la misma salida W anterior

FF 5 sum0abs0di''0W

Propuesta de Solucin por m)todos (recuenciales:

Se muestran las dos (unciones de trans(erencia para los la&os* una con elcontrolador PI + otra con el PI,:
http://www.nt.ntnu.no/users/skoge/book/ps/book1-3.pdfhttp://www.nt.ntnu.no/users/skoge/book/ps/book1-3.pdfhttp://www.nt.ntnu.no/users/skoge/book/ps/book1-3.pdfhttp://www.nt.ntnu.no/users/skoge/book/ps/book1-3.pdf


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A continuacin se muestran los diagramas de bode donde sedenotan los mrgenes de ganancia, en cada caso:

Con el controlador PI:


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Con el controlador PI,:


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bteniendo )stos resultados* $emos que ambos sistemas son estable puesto que losmargenes que presentan son positi$os. dem!s* nos se%alan que el segundosistema con el PI,/ proporciona un ma+or rango de estabilidad0 )sto es quepodemos multiplicar por ganancias m!s grandes recordar el diagrama de

'+quist/ + as mismo permite girarlo con ma+or libertad.

Podemos obser$ar aora un par!metro que nos de ma+or in(ormacin: el pico desensibilidad* que nos indica cu!n pr4imos estamos del -1. 5eamos las (uncionesde sensibilidad:


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s* para el controlador PI tenemos:


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Recordando que el $alor del pico de la (uncin de sensibilidad debe ser menor que2d6* podemos decir que el controlador PI no parece ser la mejor opcin* puestoque presenta ".73 d6* )stos son 1.89 en lineales. #n el diagrama de '+quistpodemos $er )ste punto* que corresponde a 1.3rad;s:

bser#emos aora el pico de la 'uncin de sensibilidad para el caso con el PI=:


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?ue en el diagrama de &,quist corresponde al punto:


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bser#emos que en este caso el pico de sensibilidad corresponde a 1.J


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Para una entrada escalon por la perturbacion:


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"l diagrama de bode de la 'uncion de trans'erencia complementaria 09C01L9Ccon los calculos de margen de ganancia , margen de 'ase es el siguiente:


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Para la 't de sensibilidad 0101L9C seria el siguiente:


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Por ultimo aneGo un cuadro con los parametros pedidos en el enunciado a 'in de sercomparados con el sistema con controlador PI=:


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=aniel Naspe 8


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Para completar los datos de la tabla slo 'alta obser#ar el pico de la 'uncincomplementaria para ello obser#emos el diagrama de *ode de magnitud:


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Aora se tienen todos los datos para completar la tabla correspondiente al controladorPI=:


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Podemos aora reali%ar comparaciones entre los dos controladores:

D(as mediciones de error reali%adas 0IA" , son comparables

D(os tiempos de establecimiento en el caso del PI= son un poco menores 0"l sistemaresponde ms rpido.

D"l PI= presenta menos sobrepico.

D"l margen de ganancia del PI es UpobreU respecto al del PI=. W si recordamos quebuscamos 9FJd* el PI= resulta mu, bueno.

DAnlogamente sucede con el margen de 'ase buscamos BF!


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Para entrada por la perturbacin:


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"ntonces se deben calcular los #alores nue#amente sin embargo creo que no #ariarmuco el anlisis.

*et%aida 9on%le%. 8J-!8

#$aluacin del desempe%o del Aa&o

Considere el (a%o de Control que se muestra en la 'igura.


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"n el la%o la 'uncin de trans'erencia de la planta es:

Para esa planta a )d. se le presentan dos opciones de control. (a primera un PI= conlimitacin de ganancias a altas 'recuencias:

, la segunda un PI:

Para cada uno de los controladores dibu/e el diagrama de &,quist , el de *ode calcule

'recuencia de cruce de la ganancia los mrgenes de 'ase , ganancia , la Integral del#alor Absoluto del "rror 0IA" , la #ariacin total 0 mGimo pico tiempo deestabilisacin , #acie los #alores obtenidos en una tabla de comparacin del

per'ormance de cada uno de los controladores. 4aga una preseleccin en 'uncin de los#alores obtenidos. Para la 'uncin de Sensibilidad , Complementaria del (a%o calculeel pico de magnitud como criterios adicionales.

Adicionalmente el sistema se #e sometido a una perturbacin d0t de ba/a 'recuencia 034% por la carga , a ruido 0Z0t de 'recuencia 1888 4% por el sensor. =etermine lose'ectos de esas perturbaciones en la salida del sistema , la salida del controlador. 4aga


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una seleccin de'initi#a de su controlador.

>Puede encontrar un controlador que supere al escogido por )d.

Solucin Primera Parte: Propuesta 1

btenemos el diagrama de &,quist , el diagrama de de *ode de agnitud -Base paracada uno de los controladores C1 0PI= , C2 0PI en donde se obtienen los siguientesresultados:

Para el controlador C1 PI,/ se obtienen los siguientes diagramas:

=iagrama de &,quist para C1:


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"l diagrama de *ode muestra el argen de agnitud , de Base para C1


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Para el controlador C2 PI/ se obtienen los siguientes diagramas:

=iagrama de &,quist para C2:


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"l diagrama de *ode muestra el argen de agnitud , de Base para C2


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"steban *acilio 8


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problema utili%ando el controlador C1

Aqui esta el argen de Base , argen de ganancia.

Aora aqui coloco el bode de la 'uncion de sensibilidad , marco el maGimo pico


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Aqui esta el &,quist que e#idencia la estabilidad del sistema asi como concuerda con elmargen de 9anancia mostrado en el *ode matematicamente tenemos un margen de

ganancia de 1K.E d* que son aproGimadamente K.TT cuando sacamos el in#ersoobtenemos el punto marcado en el &,quist que determina la estabilidad del sistema al#ariar la ganancia del mismo este punto es aproGimadamente 8.8KT.


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9abriela alera

8


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Se obser#a un mGimo pico en s1518.3d*53.2T

Por otra parte para el controlador C2 se obtiene la siguiente 'uncin de sensibilidad:


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"l mGimo pico en este caso es de: s251J.Ed*5J.K2

"n este aspecto resulta me/or el primer controlador 0C1 ,a que presenta una ma,ordistancia del punto de inestabilidad. 0"sta distancia est dada por el in#erso del mGimo

pico de la 'uncin de sensibilidad: =min158.38 , =min258.1!

9ra'icamos aora la 'uncin complementaria para C1:


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"l mGimo pico de la 'uncin complementaria para el controlador C1 coincide con elmGimo pico de la 'uncin de sensibilidad 0t1518.3d*

(uego para el controlador C2 se obtiene la siguiente gr'ica para la 'uncincomplementaria:


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Al igual que para C1 para C2 los picos de ambas 'unciones coinciden 0t251J.Ed*

"n conclusin a /u%gar por este indicador ser+a ms con#eniente utili%ar el controladorC1. 4ar+a 'alta anali%ar el resto de los indicadores para poder tomar una me/or decisin.

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