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Delta de Dirac y Producto de Convolución

Ingeniero Carlos Fernando Gozzi

Resumen

La función generalizada �Delta de Dirac�, es utilizada para el análisis y síntesis de sistemas lineales e

invariantes en el tiempo. En el presente trabajo se de�ne dicha función de distribución y se demuestran

algunas de sus propiedades, las cuales son útiles para el análisis matemático de dichos sistemas.

El producto de convolución es la operación que permite calcular la respuesta de un sistema lineal e

invariante en el tiempo, frente a una señal entrante. Se demuestran algunas propiedades de esta operación,

las cuales son útiles para el análisis matemático de los sistemas lineales e invariantes en el tiempo.

Dada la utilidad de la transformada de Laplace en el análisis de sistemas lineales e invariantes en el

tiempo, se muestra como se relacionan ambos temas con la transformada de Laplace.

1. Alcance

El presente trabajo pretende introducir al lector en el tema de la �Delta de Dirac�. Por lo tanto, elanálisis de dicha función de distribución que se realiza aquí, no es exhaustivo. Ya que únicamente se enumerany demuestran algunas de sus propiedades, las cuales son utilizadas para realizar modelos matemáticos desistemas lineales e invariantes en el tiempo.

La función de distribución �Delta de Dirac�, se de�ne en este trabajo utilizando el tiempo como variableindependiente. Aunque desde el punto de vista matemático y para todas las demostraciones aquí realizadas,basta con que la variable independiente sea real, pudiendo representar a cualquier otra magnitud.

No se exhibe el uso de las propiedades demostradas, ya que esto forma parte del análisis y diseño desistemas. Tema que se tratará en otro documento.

Se ha incluido el tema del producto de convolución, herramienta fundamental en el análisis de sistemaslineales e invariantes en el tiempo. Dado que, conociendo la función �transferencia� que caracteriza a unsistema, el producto de convolución nos permite calcular su respuesta frente a cualquier señal entrante.

Se supone que el lector posee conocimientos de análisis matemático, que incluyen los siguientes temas:funciones de variable real, límites, derivadas e integrales simples, como así también la de�nición de la trans-formada de Laplace.

El presente trabajo está orientado a los alumnos de las materias �Cálculo Avanzado� y �Análisis Numéricoy Cálculo Avanzado�, las cuales son asignaturas de grado para las carreras de Ingeniería Mecánica e IngenieríaIndustrial, respectivamente. Dichas materias son dictadas por el autor, en la Facultad de Ingeniería de laUniversidad Tecnológica Nacional, regional Haedo. Constituyendo el presente trabajo un apunte de cátedra.

2. Introducción

La delta de Dirac, debe su nombre a quien la ideó; el ingeniero electricista, matemático y físico inglés,Paul Audrien Maurice Dirac (1902-1984). Quien en 1930, la utilizó en su libro �Principios de la MecánicaCuántica�, donde la denominó como función delta, aceptando que no era rigurosamente una función.

Dirac, compartió el premio Nobel de física en 1933 con el físico austríaco Erwin Schrödinger (1887-1961).

La delta de Dirac pertenece estrictamente al conjunto de funciones generalizadas o �distribuciones deSchwartz�1, también denominadas �funciones de distribución�. En ingeniería se la utilizaba como una función,antes de que Schwartz de�niera las distribuciones (o funciones de distribución), siempre haciendo la salvedad deque, escrupulosamente, no es una función. No vamos a profundizar aquí el concepto de funciones generalizadas,

1Laurent Schwartz (1915-2002), matemático francés. Recibió la medalla Fields en 1950, este premio es considerado como elequivalente al Nobel en matemáticas, ya que no hay premio Nobel de matemáticas.

1

2 Cálculo Avanzado. Ing. Gozzi

baste decir que puede no estar de�nido el valor de una función generalizada en un intervalo, pero se conocensus valores integrales para cualquier intervalo de integración.

Si bien no está documentado, se presume que Schwartz emprendió el estudio de las �funciones generaliza-das� con el objeto de justi�car teóricamente el uso de la delta de Dirac.

La mayoría de los sistemas utilizados en ingeniería son sistemas lineales e invariantes en el tiempo. Loscuales son denominados como sistemas LTI por sus sigla en inglés (LTI por Linear Time-Invarant). Para elanálisis y síntesis de sistemas LTI, se los caracteriza mediante su función �transferencia�, la cual permitecalcular la respuesta del sistema ante cualquier señal de entrada.

Para comprender la importancia de los temas tratados en este apunte, debemos considerar dos premisascruciales2:

♠ La función �transferencia�, que caracteriza a un sistema LTI, es su respuesta a la delta de Dirac.

♠ La respuesta de un sistema LTI ante cualquier señal entrante, es el producto de convolución de la señalde entrada con la función �transferencia� del sistema.

3. De�nición de Delta de Dirac

Denotaremos a la delta de Dirac mediante la letra griega delta minúscula y dado que es función de lavariable real tiempo, la escribiremos como δ(t).

Dado que la delta de Dirac es una función de distribución, debe ser de�nida mediante sus valores integrales.Hay varias maneras de de�nirla, utilizaremos aquí la de�nición que considero más operativa. Diremos que valecero para todo t distinto de cero, no tiene valor de�nido en t igual a cero, y su integral desde menos in�nitohasta más in�nito debe valer uno. Poniendo en símbolos esta de�nición:

(1) δ(t)

{δ(t) = 0 ∀ t 6= 0∫ +∞−∞ δ(t) · dt = 1

Dado que es nula para t 6= 0 y no tiene un valor de�nido para t = 0 , no puede ser dibujada. Sin embargo,se adopta como grá�ca de la función a una �echa en el momento que su valor no es cero3. La altura de la�echa es una unidad. La �gura 1 muestra la grá�ca de la delta de Dirac. Esta forma de representarla, pone en

Figura 1: Grá�ca de la función delta de Dirac

evidencia que en t = 0 la delta de Dirac debe tender a +∞ para que la integral valga uno. La delta de Diracpuede ocurrir en otro momento, por ejemplo δ(t− t1) tiene un valor distinto de cero en t1.

Si se multiplica a la delta de Dirac por una constante, su integral adopta el valor de la constante y en surepresentación grá�ca, la �echa adquiere la altura correspondiente al valor de dicha constante.

No hay ninguna función capaz de cumplir con la de�nición (1). Se pueden plantear conjuntos de funcionescuyo límite sea la δ(t). Como una aproximación, partiremos de una función con la forma de la letra griegadelta mayúscula, a la que denominaremos D(t), cuya grá�ca se muestra en la �gura 2.

2Hay apunte de cátedra sobre este tema, que demuestra matemáticamente los postulados enunciados3Ese instante también es denominado como el momento en que la delta de Dirac �ocurre�

Cálculo Avanzado. Ing. Gozzi 3

D(t) vale cero fuera del intervalo [−β ; +β ] y su integral desde menos in�nito hasta más in�nito vale uno,independientemente del valor de β. Ya que corresponde a la super�cie de un triangulo de base (2 · β) y de

altura(

1β

).

Figura 2: Función D(t)

De�niendo a D(t) por tramos:

D(t) =

0 ⇔ |t| > β

1β + t

β2 ⇔ −β ≤ t ≤ 01β −

tβ2 ⇔ 0 ≤ t ≤ +β

Variando el valor de β se obtiene una �familia� de funciones (una función para cada valor de β) a la cualpertenece la delta de Dirac, como límite.

Dentro de esta familia de funciones podemos hacer las siguientes consideraciones:

♣ Si se hace tender β a cero; D(t) vale cero excepto en un entorno de t = 0 in�nitamente pequeño. En ellímite de β tendiendo a cero, D(t) vale cero para todo t 6= 0.

♣ Si se hace tender a cero a β, la base de D(t) tiende a cero y su altura tiende a in�nito, pero su integraldesde (−∞) hasta(+∞) sigue valiendo uno (no depende de β).

Podemos concluir, entonces, que la función D(t) límite cuando β tiende a cero, cumple con la de�nición (1) dela delta de Dirac. Quiere decir, que la delta de Dirac es el límite de D(t) cuando β tiende a cero. En símbolos:

δ(t) = lımβ→0

D(t)

3.1. Propiedades de la delta de Dirac

Las siguientes propiedades son útiles para el análisis de sistemas LTI, derivan de la de�nición dada y serándemostradas.

Valor de la integral de la Delta de Dirac en cualquier intervalo.

Valor de la integral de la multiplicación de la Delta de Dirac con una función continua.

3.1.1. Integral de la delta en cualquier intervalo:

La integral de la delta de Dirac en cualquier intervalo, tiene dos resultados posibles; cero o uno. Si elintervalo de integración contiene el momento en que la delta de Dirac no vale cero3, dicha integral vale uno.Caso contrario su resultado es cero. Demostraremos esta a�rmación.

Partiendo de la de�nición de la delta de Dirac, (1), podemos escribir:

(2) 1 =∫ +∞

−∞δ(t) · dt


Considerando una constante arbitraria ε, a la ecuación (2) podemos reescribirla partiendo el intervalo deintegración en tres, quedando:

(3) 1 =∫ +∞

−∞δ(t) · dt =

∫ −ε−∞

δ(t) · dt︸︷︷︸0

+∫ +ε

−εδ(t) · dt+

∫ +∞

+ε

δ(t) · dt︸︷︷︸0

En el miembro derecho de la ecuación (3), la primera integral vale cero, debido a que, desde (−∞) hasta(−ε), la δ(t) vale cero. Y como también, en el intervalo desde +ε hasta (+∞), la δ(t) vale cero, la terceraintegral es asimismo, nula. Quedándonos:

(4) 1 =∫ +∞

−∞δ(t) · dt =

∫ +ε

−εδ(t) · dt

Resultado que con�rma la a�rmación hecha.Es importante notar que ε es arbitrario, pudiendo ser tan pequeños como se desee. Por lo tanto, puedo

aplicarle a ambos miembros de la ecuación (4) el límite cuando ε tiende a cero y dado que el límite de unaconstante es la misma constante, podemos escribir:

(5) 1 = lımε→0

∫ +ε

−εδ(t) · dt

Para considerar el caso más general, cuando la delta de Dirac ocurre en instante distinto de cero, porejemplo que ocurre en t = t0, se pueden tomar varios caminos. Uno sería, realizar el mismo proceso anteriorcon δ(t− t0) en lugar de δ(t) y separar en tres integrales, con intervalos de integración centrados en t0, en vezde cero como se ha hecho en el proceso precedente.

Otro camino, el que vamos a desarrollar, es tomar el resultado de la ecuación (5) que es válido paracualquier variable real, no necesariamente el tiempo. Por lo tanto, puedo considerar una variable real α y seráigualmente válido escribir:

(6) 1 = lımε→0

∫ +ε

−εδ(α) dα

Puedo ahora renombrar las variables, de�niendo4 α = t − t0, donde t0 es una constante. Con lo cual, seobtiene lo siguiente:

α = t− t0 ⇒

t = t0 + α

α = −ε ⇒ t = t0 − εα = +ε ⇒ t = t0 + ε

dα = dt

Aplicando estas consideraciones a la ecuación (6) nos queda

(7) 1 = lımε→0

∫ t0+ε

t0−εδ(t− t0) · dt

3.1.2. Integral de la multiplicación de la delta de Dirac con otra función:

Esta es la propiedad fundamental de la delta de Dirac. Desde el punto de vista matemático formal, es laecuación que la de�ne.

(8)

∫ +∞

−∞δ(t− t0) · f(t) · dt = f(t)|t=t0 = f(t0)

Siendo un caso particular, cuando t0 = 0:

(9)

∫ +∞

−∞δ(t) · f(t) · dt = f(t)|t=0 = f(0)

4Lo único que se hace es correr el origen de abscisas a t0


Es decir, que el valor de la integral del producto de la delta de Dirac con otra función, es igual al valorde la función en el instante que la delta de Dirac no vale cero. Siempre y cuando, dicho instante se encuentredentro del intervalo de integración, caso contrario la integral vale cero.

Demostraré la validez de la forma más general expresada en la ecuación (8). Para lo cual, desarrollaréel miembro de la izquierda. Para esto utilizaré un valor arbitrario ε y descompondré a la integral en tresintegrales:

(10)

∫ +∞

−∞δ(t− t0) · f(t) · dt =

∫ t0−ε

−∞δ(t− t0) · f(t) · dt+

∫ t0+ε

t0−εδ(t− t0) · f(t) · dt+

∫ +∞

t0+ε

δ(t− t0) · f(t) · dt

Desde (−∞) hasta (t0 − ε), la δ(t− t0) vale cero, valor constante que puedo sacar fuera de la integral:

(11)

∫ t0−ε

−∞δ(t− t0) · f(t) · dt = 0 ·

∫ t0−ε

−∞f(t) · dt = 0

Análogamente, desde (t0 + ε) hasta +∞, la δ(t− t0) vale cero, por lo tanto:

(12)

∫ +∞

t0+ε

δ(t− t0) · f(t) · dt = 0 ·∫ +∞

t0+ε

f(t) · dt. = 0

Reemplazando los valores de las ecuaciones (11) y (12) en la ecuación (10), nos queda:

(13)

∫ +∞

−∞δ(t− t0) · f(t) · dt =

∫ t0+ε

t0−εδ(t− t0) · f(t) · dt

El valor ε es arbitrario, pudiendo tomar un valor tan pequeño como se quiera. Puedo por lo tanto tomar ellímite cuando ε tiende a cero. Aplicando el límite cuando ε tiende a cero a la ecuación (13) nos queda:

(14) lımε→0

∫ +∞

−∞δ(t− t0) · f(t) · dt = lım

ε→0

∫ t0+ε

t0−εδ(t− t0) · f(t) · dt

Desarrollaré separadamente ambos miembros de la ecuación (14). Tomando primeramente el miembro de laizquierda, y dado que la integral no depende de ε, directamente nos queda:

(15) lımε→0

∫ +∞

−∞δ(t− t0) · f(t) · dt =

∫ +∞

−∞δ(t− t0) · f(t) · dt

Trabajando ahora el miembro de la derecha de la ecuación (14). Se ve que haciendo tender a cero a ε, se llegaráa un valor de ε en que el intervalo de integración será tan pequeño que si f(t) es continua, puedo considerarque f(t) no varía dentro de dicho intervalo5, sino que es una constante: f(t0). Si es un valor constante puedosacarlo fuera de la integral. Quedando la siguiente ecuación:

lımε→0

∫ t0+ε

t0−εδ(t− t0) · f(t) · dt = lım

ε→0

(f(t0) ·

∫ t0+ε


)Dado que el límite de un producto es el producto de los límites y que el límite de una constante es la mismaconstante, puedo sacar f(t0) fuera del límite. Quedando:

lımε→0

(f(t0) ·

∫ t0+ε


)= lımε→0

f(t0) · lımε→0

∫ t0+ε

t0−εδ(t− t0) · dt = f(t0) · lım

ε→0

∫ t0+ε


Concatenando las dos ecuaciones anteriores podemos escribir:

lımε→0

∫ t0+ε

t0−εδ(t− t0) · f(t) · dt = f(t0) · lım

ε→0

∫ t0+ε


5En el límite el intervalo es el punto t0


Según se demostró en el párrafo 3.1.1. (ecuación (7)), uno es el valor de la integral de la delta de Dirac, encualquier intervalo que contenga el momento en que la delta no es cero. Por lo tanto nos queda:

(16) lımε→0

∫ t0+ε

t0−εδ(t− t0) · f(t) · dt = f(t0) · lım

ε→0

∫ t0+ε

t0−εδ(t− t0) · dt = f(t0) · 1 = f(t0)

Aplicando los resultados de las ecuaciones (15) y (16) en la ecuación (14), nos queda:∫ +∞

−∞δ(t− t0) · f(t) · dt = f(t0)

Que es lo que queríamos demostrar.

4. Producto de Convolución

El producto de convolución de dos funciones de variable real, es otra función de la misma variable real.Esta operación tiene múltiples propiedades. Si embargo, aquí mencionaremos y demostraremos unas pocas. Enparticular tres que son de tipo �Aritmético�; la conmutativa, la distributiva y la asociativa, como así también,consideraremos la transformada de Laplace de esta operación, dado que es fundamental para su utilizaciónen sistemas lineales e invariantes en el tiempo.

4.1. De�nición y notación

Dadas dos funciones de variable real; f(t) y g(t) se de�ne como su producto de convolución a la funciónp(t), resultante del siguiente cálculo integral:

(17) p(t) =∫ +∞

−∞f(τ) · g(t− τ) · dτ = f(t) ∗ g(t)

Denotaremos con asterisco al producto de convolución. La variable � τ � (tau) es la variable de integración,por lo tanto no aparece en el resultado de una integral de�nida. En consecuencia, el resultado de la integralde la ecuación (17) es una función de � t � únicamente.

Se utiliza habitualmente la transformada de Laplace en su versión unilateral. Lo cual requiere que lasfunciones consideradas sean nulas para valores negativos del tiempo (es decir de su argumento) y que seconozcan las condiciones iniciales6. Esto permite alterar los límites de integración del producto de convolución,de�nido en la ecuación (17). En el intervalo desde (−∞) hasta cero, f(τ) es nula, haciendo nula a la integral.Por otra parte para valores de τ mayores que t, g(t − τ) es nula, ya que su argumento es negativo, lo cualtambién hace nula a la integral. Es decir:

f(t) ∗ g(t) =∫ +∞

−∞f(τ) · g(t− τ) · dτ ∧ f(t) = 0 ∀t < 0⇒ f(t) ∗ g(t) =

∫ +∞

0

f(τ) · g(t− τ) · dτ

f(t) ∗ g(t) =∫ +∞

0

f(τ) · g(t− τ) · dτ ∧ g(t) = 0 ∀t < 0⇒

f(t) ∗ g(t) =∫ t

0

f(τ) · g(t− τ) · dτ(18)

La ecuación (18) es más operativa y pone en evidencia que la variable � t � se considera constante para el cálculode la integral. Esta expresión es muchas veces presentada como la de�nición del producto de convolución en loslibros de ingeniería, cuando se lo utiliza conjuntamente con la transformada de Laplace. La ecuación (18) esválida, siempre que las funciones sean nulas para tiempos negativos. Para no perder generalidad, utilizaremosla de�nición (17) en las demostraciones de las propiedades.

6Condiciones iniciales son; el valor de la función y de sus derivadas para t = 0.


4.2. Propiedades

El producto de convolución goza de las siguientes propiedades que demostraré:

1. Conmutativa: f(t) ∗ g(t) = g(t) ∗ f(t)

2. Distributiva respecto de la suma: f(t) ∗ [g(t) + r(t)] = [f(t) ∗ g(t)] + [f(t) ∗ r(t)]

3. Asociativa: f(t) ∗ [g(t) ∗ r(t)] = [f(t) ∗ g(t)] ∗ r(t)

4. La transformada de Laplace del producto convolución, corresponde a la multiplicación:

L[f(t) ∗ g(t)] = F (s) ·G(s)-siendo F (s) y G(s) las transformadas de Laplace de f(t) y g(t) respectivamente.-

4.2.1. Propiedad Conmutativa

Tomando la ecuación (17) podemos plantear que:

p(t) = f(t) ∗ g(t) =∫ +∞

−∞f(τ) · g(t− τ) · dτ

q(t) = g(t) ∗ f(t) =∫ +∞

−∞g(τ) · f(t− τ) · dτ(19)

De�niré una variable gamma, tal que γ = t − τ . Considerando la ecuación (19) y que t no es la variable deintegración, pudiendo por lo tanto ser considerada constante dentro de la integral, puedo plantear:

γ = t− τ

τ = t− γτ → −∞ ⇒ γ → +∞τ → +∞ ⇒ γ → −∞dτ = −dγ

Reemplazando las expresiones anteriores en la ecuación (19) obtengo:

q(t) = g(t) ∗ f(t) =∫ +∞

−∞g(τ) · f(t− τ) · dτ ⇒ q(t) =

∫ −∞+∞

g(t− γ) · f(γ) · (−dγ) =

=∫ +∞

−∞g(t− γ) · f(γ) · dγ =

∫ +∞

−∞f(γ) · g(t− γ) · dγ = f(t) ∗ g(t)⇒(20)

⇒ g(t) ∗ f(t) = f(t) ∗ g(t)

Ya que el penúltimo miembro de la ecuación (20) es la convolución de f(t) con g(t), tal como está expresadaen la ecuación (17). Excepto que la variable de integración se llama � γ � en lugar de � τ �, asunto éste queno altera el valor de una integral de�nida, debido a que la variable de integración no aparece en el resultadode una integral de�nida.

4.2.2. Propiedad Distributiva

Conforme a la de�nición de producto de convolución, ecuación (17), podemos plantear:

f(t) ∗ [g(t) + r(t)] =∫ +∞

−∞f(τ) · [g(t− τ) + r(t− τ)] · dτ

Aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma nos queda:

f(t) ∗ [g(t) + r(t)] =∫ +∞

−∞f(τ) · [g(t− τ) + r(t− τ)] · dτ =

∫ +∞

−∞[f(τ) · g(t− τ)] + [f(τ) · r(t− τ)] · dτ


Como la integral de la suma es la suma de las integrales:

f(t)∗[g(t)+r(t)] =∫ +∞

−∞[f(τ) · g(t− τ)] + [f(τ · r(t− τ)] · dτ =

∫ +∞

−∞f(τ) · g(t− τ)·dτ+

∫ +∞

−∞f(τ) · r(t− τ)·dτ

Tomando los miembros primero y último, podemos escribir:

(21) f(t) ∗ [g(t) + r(t)] =∫ +∞

−∞f(τ) · g(t− τ) · dτ +

∫ +∞

−∞f(τ) · r(t− τ) · dτ = [f(t) ∗ g(t)] + [f(t) ∗ r(t)]

La igualdad entre los miembros primero y el último de la ecuación (21), es lo que se quería demostrar. Elúltimo miembro de la ecuación (21) se justi�ca, comparando el miembro anterior con la de�nición del productode convolución -ecuación (17)-.

4.2.3. Propiedad Asociativa

Para demostrar la propiedad asociativa utilizaremos la propiedad conmutativa ya demostrada. De�niremoslas funciones W (t) y V (t) de la siguiente manera:

V (t) = f(t) ∗ g(t) =∫ +∞

−∞f(τ) · g(t− τ) · dτ(22)

W (t) = g(t) ∗ r(t) = r(t) ∗ g(t) =∫ +∞

−∞r(β) · g(t− β) · dβ(23)

Considerando las de�niciones de V (t) y W (t), podemos plantear que:

[f(t) ∗ g(t)] ∗ r(t) = V (t) ∗ r(t) = r(t) ∗ V (t) =∫ +∞

−∞r(β) · V (t− β) · dβ(24)

f(t) ∗ [g(t) ∗ r(t)] = f(t) ∗W (t) =∫ +∞

−∞f(τ) ·W (t− τ) · dτ(25)

De la ecuación (22) sale que:

(26) V (t− β) =∫ +∞

−∞f(τ) · g(t− τ − β) · dτ

Análogamente de la ecuación (23) se obtiene:

(27) W (t− τ) =∫ +∞

−∞r(β) · g(t− τ − β) · dβ

Reemplazando la ecuación (26) en la ecuación (24), obtengo:

(28) [f(t) ∗ g(t)] ∗ r(t) =∫ +∞

−∞r(β) ·

∫ +∞

−∞f(τ) · g(t− τ − β) · dτ · dβ

Como r(β) no depende de τ , puedo ponerlo dentro de la integral en la ecuación (28), quedando:

(29) [f(t) ∗ g(t)] ∗ r(t) =∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞r(β) · f(τ) · g(t− τ − β) · dτ · dβ

Tomando ahora la ecuación (27) y reemplazándola en la ecuación (25), se obtiene:

(30) f(t) ∗ [g(t) ∗ r(t)] = f(t) ∗W (t) =∫ +∞

−∞f(τ) ·

∫ +∞

−∞r(β) · g(t− τ − β) · dβ · dτ

Como f(τ) no depende de β, puedo ingresarlo en la integral y quedando.

(31) f(t) ∗ [g(t) ∗ r(t)] = f(t) ∗W (t) =∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞f(τ) · r(β) · g(t− τ − β) · dβ · dτ


Invirtiendo ahora el orden de integración se obtiene:

(32) f(t) ∗ [g(t) ∗ r(t)] = f(t) ∗W (t) =∫ +∞

−∞

∫ +∞

−∞f(τ) · r(β) · g(t− τ − β) · dτ · dβ

Observando las ecuaciones (29) y (32), se ve que sus miembros derechos son iguales. Pudiendo, entonces,igualarse sus miembros izquierdos, quedándonos:

[f(t) ∗ g(t)] ∗ r(t) = f(t) ∗ [g(t) ∗ r(t)]

Que es lo que se quería demostrar.

4.2.4. Transformada de Laplace del producto de convolución

Se supone que se dispone de dos funciones de variable real; f(t) y g(t), como así también, que existensus transformadas de Laplace, las cuales son F (s) y G(s), respectivamente. Conforme a la de�nición detransformada de Laplace la relación que une a estas funciones es:

L[f(t)] = F (s) =∫ +∞

0

f(t) · e−st · dt(33)

L[g(t)] = G(s) =∫ +∞

0

g(t) · e−st · dt

Por lo tanto, la transformada de Laplace del producto de convolución, se calcula como:

(34) L[f(t) ∗ g(t)] = P (s) =∫ +∞

0

[f(t) ∗ g(t)] · e−st · dt =∫ +∞

0

∫ +∞

−∞f(τ) · g(t− τ) · dτ · e−st · dt

Dado que f(τ) es nula para valores negativos de su argumento7, la integral que tiene a τ como variable deintegración puede realizarse desde cero a (+∞), sin alterar su valor. Ya que desde (−∞) hasta cero f(τ) valecero, lo que hace nula a la integral en ese intervalo. Aplicando esta consideración a la ecuación (34), podemosescribir:

L[f(t) ∗ g(t)] = P (s) =∫ +∞

0

∫ +∞

0

f(τ) · g(t− τ) · dτ · e−st · dt

Invirtiendo el orden de integración, lo cual es válido, ya que tanto para f(t) como para g(t) la transformadade Laplace existe y considerando además que e−st no es función de τ , pudiendo ingresarlo en la integraciónrespecto de τ , nos queda:

P (s) =∫ +∞

0

∫ +∞

0

f(τ) · g(t− τ) · e−st · dt · dτ

Como f(τ) no es función de t, puedo sacarlo fuera de la integral interna quedando:

(35) P (s) =∫ +∞

0

∫ +∞

0

g(t− τ) · e−st · dt · f(τ) · dτ

En la integral interna, que tiene como variable de integración a t, puedo considerar a τ como constante(luego integraré respecto de τ). Realizaré un cambio de nombre de las variables en la integral interna de laecuación (35), creando la variable φ = t− τ . Siendo ciertas las siguientes expresiones:

φ = t− τ

{t = φ+ τ

dt = dφ(36)

Volcando en la ecuación (35) las consideraciones (36) y considerando que elevar un número a una suma esigual a la multiplicación de los valores que resultan de elevar ese numero a cada sumando, nos queda:

P (s) =∫ +∞

0

∫ +∞

0

g(φ) · e−s(φ+τ) · dφ · f(τ) · dτ =∫ +∞

0

∫ +∞

0

g(φ) · e−sφ · e−sτ · dφ · f(τ) · dτ

7Es condición para la transformada unilateral de Laplace, que se está utilizando, que f(t) = 0 ∀t < 0


Debido a que e−sτ no depende de φ, puedo sacarlo fuera de la integral interna.

P (s) =∫ +∞

0

∫ +∞

0

g(φ) · e−sφ · dφ · e−sτ · f(τ) · dτ

Ahora bien, en la integral interna no hay nada que dependa de τ , puedo por lo tanto sacarla fuera comoconstante quedando:

L[f(t) ∗ g(t)] = P (s) =∫ +∞

0

g(φ) · e−sφ · dφ ·∫ +∞

0

e−sτ · f(τ) · dτ(37)

L[f(t) ∗ g(t)] =∫ +∞

0

g(t) · e−st · dt ·∫ +∞

0

e−st · f(t) · dt = G(s) · F (s) = F (s) ·G(s)(38)

Para pasar de la ecuación (37) a la ecuación (38), basta con hacer un cambio de nombre en la primeraintegral llamando t a φ y otro cambio de nombre en la segunda integral llamando t a τ . Esto es válido, dado queen ambas integrales la variable de integración no aparece en el resultado de la integral, ya que asume valoresal realizarse la integral de�nida. Una vez realizados estos cambios de nombre, las integrales resultan ser lastransformadas de Laplace de las funciones g(t) y f(t), conforme a las ecuaciones (33). Podemos por lo tantoconcluir que, la transformada de Laplace del producto de convolución de dos funciones es la multiplicación desus trasformadas.

La propiedad de la transformada de Laplace que acabamos de demostrar, nos permite calcular el productode convolución sin problemas. Siempre que podamos calcular la transformada de Laplace de las funcionesinvolucradas. El proceso es simple; se obtienen las transformadas de Laplace de las funciones, se las multiplicaobteniéndose una nueva función. Se calcula luego la antitransformada de Laplace de esta función. El resultadode la antitransformación de Laplace, es el producto de convolución de las funciones dadas.

El proceso es análogo al cálculo de una multiplicación usando logaritmos, donde se hallan los logaritmosde los números y se los suma. Para luego hallar el antilogaritmo que es el resultado de la multiplicación.

5. Producto de convolución con la delta de Dirac

El producto de convolución de dos funciones8 da como resultado a otra función C(t) y se de�ne como:

C(t) =∫ +∞

−∞f(τ) · g(t− τ) · dτ = f(t) ∗ g(t)

Se utiliza el asterisco como símbolo de este producto, el cual entre otras propiedades es conmutativo. Consi-derando ahora, que una de estas funciones es la delta de Dirac, podemos escribir:

C(t) = f(t) ∗ δ(t) =∫ +∞

−∞f(τ) · δ(t− τ) · dτ = f(τ)|τ=t = f(t)

Ya que el resultado de la integral de la multiplicación de la delta con otra función, es el valor de la funcióncuando ocurre la delta (τ = t), según se demostró en el apartado 3.1.2, página 6. - ecuación (8) -

Dado que el producto de convolución es conmutativo, podemos obtener el mismo resultado de otra forma.Escribiendo:

C(t) = f(t) ∗ δ(t) = δ(t) ∗ f(t) =∫ +∞

−∞δ(τ) · f(t− τ) · dτ = f(t− τ)|τ=0 = f(t)

Ya que el resultado de la integral de la multiplicación de la delta con otra función, es el valor de la funcióncuando ocurre la delta (τ = 0), según se demostró en el apartado 3.1.2. Véase ecuación (9).

Esto signi�ca que, la delta de Dirac es el elemento neutro del producto de convolución.

8Si las funciones consideradas son nulas para valores negativos del tiempo, se obtiene el mismo valor integrando desde cerohasta t, en lugar de desde (−∞) hasta (+∞). Ver ecuación (18), página 8.


6. Transformada de Laplace de la delta de Dirac:

Se de�ne como la transformada de Laplace de la función de variable real f(t), a la función de variablecompleja F (s) (donde s = σ + jω ; siendo j =

√−1 ) que se obtiene de la siguiente integral:

(39) L[f(t)] = F (s) =∫ +∞

0

f(t) · e−st · dt

A la transformada de Laplace de la delta de Dirac, la denominaremos ∆(s). Y aplicando la de�nición dela transformada de Laplace - ecuación (39) -, nos queda:

∆(s) = L[δ(t)] =∫ +∞

0

δ(t) · e−st · dt

Ahora bien, considerando que el intervalo de integración contiene el instante en que la delta de Dirac no valecero y aplicando la propiedad de la integral del producto de la delta de Dirac con otra función. Propiedaddemostrada en el apartado 3.1.2 - página 6 -, véase la ecuación (9), podemos escribir:

∆(s) = L[δ(t)] =∫ +∞

0

δ(t) · e−st · dt = e−st∣∣t=0

= e0 = 1

Es decir que, la transformada de Laplace de la delta de Dirac es la constante uno.Dado que la transformada de Laplace del producto de convolución de dos funciones, es la multiplicación de

las transformadas de dichas funciones, siendo la delta de Dirac el elemento neutro del producto de convolución,su transformada es el neutro de la multiplicación.

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Convolución y delta Dirac.pdf