Cuaderno de Trabajo Cálculo II Unidad i (1) (1)

7/23/2019 Cuaderno de Trabajo Clculo II Unidad i (1) (1)

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CUADERNO DE TRABAJOCLCULO II

UNIDAD I:

ECUACIONES DIFERENCIALESORDINARIAS


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NDICE DE LA UNIDAD I

Ecuaciones Diferenciales1.Integrales indefinidas, propiedades y reglas.

2.Ecuaciones Diferenciales.3.Ecuacin diferencial de variables separables de primer orden.4.Ecuacin diferencial de primer orden Lineal.5.Aplicaciones de la Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.6.Ecuacin diferencial lineal homognea de segundo orden con coeficientes

constantes.7.Ecuacin diferencial lineal no homognea de segundo orden con coeficientes

constantes.

EVALUACIONES

%

%

APRENDIZAJES ESPERADOS UNIDAD I

Calcula y resuelve problemas contextualizados utilizando integrales de funciones de unavariable.

Reconoce la definicin e identifica el grado y orden de una ecuacin diferencial. Reconoceecuaciones diferenciales de primer y segundo orden.

Verifica la solucin de una ecuacin diferencial. Resuelve ecuaciones diferenciales de variables separables, con y sin condicin inicial. Reconoce, plantea y resuelve ecuaciones diferenciales de primer orden lineal. Reconoce ecuaciones diferenciales de segundo orden lineales homogneas. Resuelve ecuaciones diferenciales de segundo orden lineales homogneas con

coeficientes constantes, con y sin condiciones iniciales.


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Recordar:

La integracin se

define como el

proceso inverso

de las derivadas.

CLASE 1 INTEGRALES INDEFINIDAS EN R FECHA:

APRENDIZAJE QUE SE ESPERA DE TI CHECK-LISTCalcula integrales de funciones de una variable.

Resuelve problemas contextualizados utilizando integrales

Objetivo:

Encontrar una funcin, dada su derivada, )(xf .

Definicin

Si )(xf es una funcin primitiva de )(xf . La expresinCxf +)( define a la integral indefinida y representa a todas las

funciones primitivas que fueron diferenciadas y dan como

resultado a )(xf . La cual se escribe como

Cxfdxxf += )()(

Donde Ces la constante de integracin.

Apuntes:Apuntes:Apuntes:Apuntes:

Recordar:

La funcin que fue

derivada y queremos

encontrar, se denomina,

funcin primitiva ofuncin origen


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Recordar:

1

xn=xn

Frmulas de integracin elementalesFrmula Ejemplo

Cxdxdx +== 1 Cxdx +=

Caxdxaadx +== Cxdx += 22

1,1

1

++

=

+

nconCnx

dxxn

n Cx

Cx

dxx +=++

=

+

413413

3

Cxdxxdxx

+==

ln1 1 Cxdx

x += )ln(

1

Caxax

dxdx

ax +=

= ln1

Cxdxx

++=+ 2ln21

Ca

adxa

xx

+= )ln( Cdxx

x+= )5ln(

55

Ca

edxe

axax

+= Ce

dxex

x+= 7

77

Propiedades de las integralesPropiedad Ejemplo

Si cxf =)( , entonces Ccxcdxdxxf +== )( Cxdx += 33

Si )()( xhcxf = , entonces

== dxxhcdxxhcdxxf )()()( CxC

xdxx +=+

+=

+

3

122

3

2

1222

Si )()()( xgxhxf = , entonces

[ ] == dxxgxhdxxf )()()( dxxgdxxh )()(

Cxx

x +++

+

+

)ln(412

23

12

Cxxx +++= )ln(43

23

3

Ejercicios en clase

1. ( ) + dxx x42

2

( ) CxxCxxdxxx

++=+++

=+

+

)ln(432

)ln(412

22 3

1242

( ) =++ dxx x42

23


5/63

Recordar:

b ab

a

xx =

2. ( ) + dxxe xx

2

2342

( ) ( )

Cx

xeCxxe

Cxx

edxxxedxxe

xx

xx

x

x

+++=+

+=

++

+

+=+=+

++

2

421

12

421

122

134

12222

44

144

12134234234

2

Ejercicios

1.

Determine

INTEGRAL DESARROLLO

a. ( ) ++ dxxx 2

3

b. dxx

x

+ 1

73

c. ( ) + dxxx 85

d. ( ) + dxex x2

3


6/63

2.Determine la anti derivada bajo la condicin dada

a. 52)( += xxf ; 2)0( =f

b. xxexf x 63)( 2 += ; 3)0( =f

c. 126)( = xxA ; 1040)20( =A

3.Una fbrica de parabrisas para automviles ha calculado que el ingreso marginal en pesos,

al fabricar x unidades est dado por la funcin IM(x)= 0,3x2 6x+15.000. Si el ingreso por

vender 30 parabrisas es de 600.000 pesos. Cul es el ingreso por vender 50 unidades?

(Indicacin:El ingreso marginal, IM, corresponde a la derivada de la funcin ingreso, I)


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4.Se ha determinado que dentro de t aos, la poblacin de cierta comunidad cambiar a razn

de tedt

dP =

75,0135 . Si la poblacin actual es de 33.680 habitantes. Cul ser la poblacin

dentro de 5 aos?

5.Un fabricante determina que el costo marginal corresponde la funcin 300406)( 2

+= qqqCM

en dlares cuando se producen q unidades. Si el costo total de produccin de las primeras 5unidades es 900 dlares. Cul es el costo total de produccin de las primeras 10 unidades?

(Indicacin:El costo marginal corresponde, CM, a la derivada de la funcin costo, C)


8/63

Soluciones

1.

a ( ) cxxxdxxx +++=++ 32

33

322 b ( ) cxx

xdx

x

xx ++=+ ln72

3173

22

c ( ) cxxxdxxx ++=+ 825

3

285

23

d ( ) ++=+ cexdxex xx 32

3

2.

a) 25)( 2

++= xxxf b) 23)( 23

++= xxexf x

c)80123)(

2+= xxxA

3.

El ingreso por vender 50 unidades es $905.000.4. Dentro de cinco aos la poblacin ser de 41.154 habitantes aproximadamente.

5. El costo total de produccin de las primeras 10 unidades es de 2.650 dlares


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)('' xfyDydx

dyx ===

CLASE 2ECUACIONES DIFERENCIALES,DEFINICIN Y CLASIFICACIN

FECHA:

APRENDIZAJE QUE SE ESPERA DE TI CHECK-LISTReconoce la definicin de una ecuacin diferencial.Identifica el grado de una ecuacin diferencial.

Identifica el orden de una ecuacin diferencial

Reconoce ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden.

ECUACIONES DIFERENCIALES

El concepto de ecuacinse asocia a una igualdad que slo se satisface cuando la variable essustituida por un valor numrico, llamado solucin de la ecuacin. Existen variadasecuaciones: de primer grado, de segundo grado, exponenciales, logartmicas, etc.

Utilizando el concepto de derivacinde una funcin es posible construir un tipo distinto deecuaciones. Por ejemplo la ecuacin y = y. Este tipo de ecuaciones se denominanecuaciones diferenciales y su solucin no es un nmero, sino una funcin, o una familiade funciones. En el ejemplo la solucin es la funcin xexfy == )( .

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO)

Definicin: una ecuacin diferencial es aquella que relaciona una funcin (o variabledependiente), su variable (o variables independientes) y sus derivadas.

EjemplosSon ecuaciones diferenciales

1.xexy

dx

dy=+ 5

2.06

2

2

=+ ydx

dy

dx

yd

Notar que la ecuacin diferencial determina claramente cul es la variable independiente y

cul la funcin (variable) incgnita.


10/63

Clasificacin

Las ecuaciones diferenciales tienen varias clasificaciones, segn su tipo, orden y linealidad.

Tipo:

Una ecuacin diferencial se dice ordinaria (EDO) cuando la funcin incgnita slodepende de una variable independiente.

En las ecuaciones en derivadas parciales (EDP) la funcin incgnita depende devarias variables independientes.

Orden

El orden de una ecuacin diferencial corresponde al orden de la mayor derivada que se

encuentran en la ecuacin.

Linealidad

Las ED son linealessi en cada trmino no aparecen multiplicaciones de la funcin solucin

consigo misma ni con sus derivadas; se llaman ED no linealesen caso contrario

Ejemplos

ED Lineal no lineal

Ordinaria orden 2: xx

yyeyx x ln'''2 =+ orden 1: 02 =+xy

dx

dyy

Parcial orden 3:xe

y

f

x

f=

+

3

3

orden 4: x

y

f

x

f2

4

4

4

=


11/63

Ecuacin diferencial ordinaria lineal

Una EDO lineal de orden nen general puede escribirse como:

)()()(...)()(011

1

1 xgyxa

dx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n =++++

Las funciones )(xai que multiplican a las derivadas se llaman coeficientes.

Ejemplo: La siguiente ecuacin, es una EDO lineal

0ln1

2

2

2=+ xy

xdx

dye

dx

ydx x

EjerciciosClasifique las siguientes ecuaciones

Ecuacin Tipo Orden Lineal

a) 24 = ydx

dy

b) 03

2

3=+

y

x

dx

dy

c) 034

3

2

2

=+

ydx

dy

dx

yd

d) uy

uy

x

ux =

+

e) xxyyeyx x =+ 4

d) ( ) 092 =++ xyyx


12/63

SOLUCIONES

Clasifique las siguientes ecuaciones

Ecuacin Tipo Orden Lineal

a) 24 = ydx

dy EDO Orden 1 Si

b) 03

2

3=+

y

x

dx

dy EDO Orden 1 No

c) 0343

2

2

=+

y

dx

dy

dx

yd EDO Orden 2 No

d) uy

uy

x

ux =

+

EDP Orden 1 Si

e) xxyyeyx x =+ 4 EDO Orden 3 Si

d) 092 =++ xyyx EDO Orden 1 Si


13/63

)()(

)(

xaedx

dy

eySi

xa

xa

=

=

CLASE 3 SOLUCIN DE UNA ECUACIN DIFERENCIAL FECHA:

APRENDIZAJE QUE SE ESPERA DE TI CHECK-LISTVerifica la solucin de una ecuacin diferencial.

Resuelve problemas verificando que una funcin es solucin de una EDO

Solucin de una ecuacin diferencial

Decimos que una funcin )(xfy = es solucin de una ecuacin diferencial, si al sustituirla enla ecuacin, se cumple la igualdad

Ejemplo

Comprobar si la funcin corresponde a una solucin de la EDO correspondiente

1)

;02 =+ yy 2/xey =

Desarrollo

Derivamos y 2/2

1 xey =

Reemplazamos en la ecuacin

( ) 022 2/2/2/2/2

1=+=+=+

xxxx eeeeyy

Entonces 2/xey = es solucin de la ecuacin 02 =+ yy

2) ;2 3xeydx

dy=

xx eey 23 10+=

Desarrollo

Derivamos y xxxx eeeedx

dy 23232031023 +=+=

Reemplazamos en la ecuacin

( ) xxxxxxxxx eeeeeeeeeydx

dy 3232323232022031022032 =+=++=

Entonces xx eey 23 10+= es solucin de la ecuacin xeydx

dy 32 =


14/63

3)Compruebe si la funcink

mgCetv t

m

k

+=

)( , corresponde a la

solucin de la ecuacin diferencial que modela la variacinde la velocidad de la cada de un cuerpo desde una cierta

altura, donde m es la masa del cuerpo, g es la aceleracin degravedad y k es la constante de proporcionalidad.

kvmgdt

dvm =

Desarrollo

Derivemosk

mgCetv t

m

k

+=

)(

tm

kt

m

kt

m

k

CekCem

km

dt

dvmCe

m

k

dt

dv =

=

=

Reemplazando en la EDO, se tiene

dt

dvmCekmgCekmg

k

mgCekmgkvmg

tm

kt

m

kt

m

k

===

+=

Se tiene quek

mgCev

tm

k

+=

es solucin de la EDO kvmgdt

dvm =


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Ejercicios

I. Comprobar si la funcin corresponde a una solucin de la EDO correspondiente

funcin ecuacin

a) xexf =)( 0=+ydx

dy

b) xx eexf 2)( += 02''' =+ yyy

c) f(x) =ln x1

x xyyx ln1' +=+

d)

xxf =)( 2

1' =yy

e)

82)( = xexf xy

y 2' =


16/63

II. Compruebe que la ecuacin diferencial adt

yd=

2

2

, donde y la distancia recorrida en un

movimiento rectilneo uniformemente acelerado (MRUA) con aceleracin de

2s

ma , se

satisface con la solucin 202

1)( attvyty o ++= .

III. Verificar que en un circuito RC la ecuacin diferencial del voltaje

RC

V

dt

dV = tiene como solucin RC

t

eVtV

= 0)(

Soluciones

I. a) Si b) Si c) Si d) Si e) SiII. Si

III. Si

Desarrollo

Desarrollo


17/63

CLASE 4 ECUACIN DE VARIABLES SEPARABLES FECHA:

APRENDIZAJE QUE SE ESPERA DE TI CHECK-LISTReconoce ecuaciones diferenciales de variables separables.

Resuelve ecuaciones diferenciales de variables separables.

Mtodos de Resolucin de EDO

Una ecuacin diferencial de primer orden, se puede expresar de diferentes formas, donde lasms comunes son:

yxfy ),(=

),( yxfdx

dy=

0),(),( =+ dyyxNdxyxM ,

Donde ),( yxf ),(),(, yxNyyxM son funciones que dependen de las variables yex .

Existen

diversos mtodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden que

dependen del tipo de ecuacin. A continuacin se presenta el tipo de ecuacin de variablesseparables.

Ecuacin de Variables Separables

Se dice que una EDO de primer orden de la forma )()( yfxgdx

dy=

es separableo de variables

separables si )(xges una funcin que slo depende de x y )(yf

una funcin que slo

depende de y .

Ejemplos de ecuaciones diferenciales de variables separables.

1.y

x

dx

dy= , ya que se puede escribir como

yx

dx

dy 1= , entonces xxg =)( y

yyf 1)( =

2. yxdx

dy 2= , ya que se puede escribir como yx

dx

dy=

2 , entonces 2)( xxg = y yyf =)(

3. xedx

dy= , ya que se puede escribir como xe

dx

dy=1 , entonces

xexg =)( y 1)( =yf

Identifique si las siguientes ecuaciones son de variables separables o no.

Ecuacin S o No? )(xg )(yf

ydx

dy 2=

xyedx

dy 3=

)ln(xydx

dy=


18/63

Cn

xdxx

nn

++

=

+

11

Recordar:C es una constante, por lo

que, al multiplicarla por

un nmero sigue siendo

contante, luego 2C=C

Mtodo de resolucin de ecuacin de variables separables.

Es posible solucionaruna EDO de variable separable )()( yfxgdx

dy=

El mtodo de resolucin consiste en separar las variables a ambos lados de la igualdad eintegrar cada miembro respecto de la variable correspondiente. Es decir,

Se ordena la ecuacin, separando por variable en cada lado de la igualdad

dxxgyf

dy)(

)(=

Posteriormente se integra en ambos lados de la igualdad, considerando unaconstante de integracinC

CxGyHdxxgyf

dy+== )()()()(

Finalmente se despeja )(xfy = , que es la solucin de la EDO.

Ejemplos

1. Resuelva la ecuaciny

x

dx

dy=

Desarrollo

La ecuacin es separable, ya que se puede escribir como )()( yfxgdx

dy= , es decir

yx

dxdy 1=

Separando por variable a cada lado, xdxydy =

Integrando a ambos lados = xdxydy

Cxy

+=22

22

Despejando y,

Cxy

Cxy

Cxy

+=

+=

+=

2

22

22

/2

2/

22

La solucin general de la EDO es Cxy += 2


19/63

Recordar:

+== Cxdxdx 1

2. Resuelva la ecuacin 03

=+ dyedx x

DesarrolloLa ecuacin es separable, ya que dyedxdyedx xx 33 0 ==+

dxedy

edxdy

x

x

3

3

=

=

Integrando a ambos lados = dxedy x3

Cey

Cey

x

x

+

=

+

=

3

3

3

1

3

1

La solucin general de la EDO queda Cey x += 33

1


20/63

Ejercicios

Resuelva las siguientes EDO utilizando el mtodo de variables separables.

a)y

e

dx

dy x

2= b) xydx

dy=

c) 55yxdx

dy=

d)

yxyxy = 2'

Soluciones

Resuelva las siguientes EDO utilizando el mtodo de variables separables.

Ecuacin Solucin

)

y

e

dx

dy x

2

= Cey x +=

) xydx

dy=

22xCey =

) 55yxdx

dy=

4 64 6

3

2

1

3

2

1

xCxCy

=

=

)yxyxy = 2'

23 23 xxCey =


21/63

Recordar:

baba eee =+

xe x =)ln( C constante, por lo

que, CeC =

CLASE 5ECUACIONES DE VARIABLES

SEPARABLES CON VALORES INICIALESFECHA:

APRENDIZAJE QUE SE ESPERA DE TI CHECK-LISTResuelve ecuaciones diferenciales de variables separables, concondicin inicial.

Problema de Valores InicialesSe denomina problema de valores iniciales (PVI), al problema

00)(

),(

yxy

yxfy

=

=

El objetivo es hallar una solucin de la ecuacin diferencial que verifique una determinada

condicin. Reemplazando en la solucin de la ecuacin, se puede obtener un valor para C.

Ejemplo

Resuelva la ecuacin 3)1(; ==+ yyxydx

dy

Desarrollo

Primero resolvemos la EDO de Variable Separable yxydx

dy=+

dxx

y

dyxy

dx

dyxy

dx

dyyxy

dx

dy)1()1()1( ==+=+=

Integrando a ambos lados

dy

y = (1 x)dx

ln(y)=xx2

2+C

22

22 xx

Cx

xCeyeey

==

La solucin de la EDO queda 2

2x

xCey

=

Como 31 == yx ; se tiene 3=Ce1

12

2 3=Ce1/2 C= 3e1/2

Luego y= 3e1/2ex

x2

2 y= 3ex

x2

21

2


22/63

EjerciciosResolver las siguientes EDO con valor inicial:

0)0(,.12

== yy

x

dx

dy

1)0(,.2 == yedx

dy y

10)0(,40.3 == yy

dx

dy

,6.4 26yx

dx

dy= ( ) 11 =y


23/63

Soluciones

Resolver las siguientes EDO con problema de valor inicial:

Solucin

0)0(,.12

== yy

x

dx

dy

3

2 3x

y=

1)0(,.2 == yedx

dy y

)ln( xey =

10)0(,40.3 == yydx

dy

xey 4010 =

,6.4 26yx

dx

dy= ( ) 11 =y 77 613

7

7

6

7

13

1

xxy

=

=


24/63

CLASE 6ECUACIONES DIFERENCIALESLINEALES DE PRIMER ORDEN

FECHA:

APRENDIZAJE QUE SE ESPERA DE TI CHECK-LISTReconoce ecuaciones diferenciales de primer orden lineal.

Resuelve problemas de ecuaciones diferenciales de primer orden lineal.

Una EDO lineal de primer orden es una ecuacin del tipo:

)()()( 01 xfyxadx

dyxa =+

donde )(),(),( 01 xfxaxa son funciones en la variable x.

Para resolver este tipo de ecuaciones, proseguimos de la siguiente forma:

- Dividir ambos lados de la ecuacin, por el coeficiente )(1 xa

)()()( 01 xfyxadx

dyxa =+

- Se obtiene una forma ms til, llamada Forma Estndar de la Ecuacin Lineal.

)()( xqyxpdx

dy=+

- La solucin queda expresada mediante la frmula:

( )

( ) ( )

( )

+=

dxxqeCexy

dxxpdxxp

Apuntes:


25/63

( ) )ln(ln xnx n =

Ejemplo

1. Resuelva la ecuacin xyxdx

dy=+

1

DesarrolloEs una EDO lineal de primer orden, con 1)(1 =xa .

Luego, se tiene quex

xp 1)( = e xxq =)(

Reemplazando en la solucin de un EDO lineal de primer orden, se tiene

( ) ( ) ( )

( )

( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )33

3

21

311

31

21

)ln(

)ln()ln(

11

1

xCxxy

xxCxxy

xCxxy

dxxCxxy

xdxxCexy

xdxeCexy

xdxeCexy

dxxqeCexy

x

xx

dxx

dxx

dxxpdxxp

+=+=

+=

+=

+=

+=

+

=

+

=

Luego la solucin de la ecuacin queda ( )3

2

1 xCxxy +=

Apuntes:


26/63

nmnm xxx =

2. Resuelva la ecuacin 1)1(;4 3 ==+ yxxyyx

DesarrolloEs una EDO lineal de primer orden, con xxa =)(1 , dividiremos la EDO por x

14

:/;4

2

3

=+

=+

xyxdx

dyxxxyyx

Luego, se tiene quex

xp 4)( = e 1)( 2 =xxq


( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

+=

+=

1

2

44

dxxeCexy

dxxqeCexy

dx

x

dx

x

dxxpdxxp

( ) ( )( ) += 12ln4ln4 dxxeCexy xx ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )

( ) ( )5757

1

1

1

34574

464

244

2ln)ln(

2ln4ln4

44

xxCxxyxxCxxy

dxxxCxxy

dxxxCxxy

dxxeCexy

dxxeCexy

xx

xx

+=

+=

+=

+=

+=

+=


34 xxCxxy +=

Como 11 == yx

Se tiene5

1

7

11

5

1

7

111

34

+=+= CC

35

37

5

1

7

11 =+= CC

Luego ( )5735

37 3

4 xxxxy +=


27/63

Ejercicios

I. Resuelva las siguientes EDO lineales de primer orden

a)

201 =+ yxdxdy b)

xeydxdy 3=+

c)

2

61042 xxydx

dy

x +=+ d) 9

3+=

xyxdx

dy


28/63

II. Resuelva las siguientes EDO lineales de primer orden con valor inicial

a)

1)1(,124 ==+ yydx

dy

b)

0)2(,21

==+ yyxdx

dy


29/63

c)

2)1(,91263

2=+=+ yxxy

dx

dyx

Soluciones

I.

Resuelva las siguientes EDO lineales de primer orden

Ecuacin Solucin

a)20

1=+

yxdx

dy

xx

C

xCxy 10101

+=+=

b)

xeydx

dy 3=+ xx Ceey += 3

4

1

c)

261042 xxy

dx

dyx +=+

4

3

3

5

4

3

3

5 2

2

22 xx

x

CxxCxy ++=++=

d)

93

+= xyxdx

dy xxCxy

2

923=

II. Resuelva las siguientes EDO lineales de primer orden con valor inicial

Ecuacin Solucin

a)

1)1(,124 ==+ yydxdy 32,109 4 += xey

b)

0)2(,21

==+ yyxdx

dy x

xy +

=

4

c)

2)1(,91263 2

=+=+ yxxydx

dyx 22

4

3

3

4

12

1xxxy ++=


30/63

CLASE 7 APLICACIONES DE E.D.O. DE PRIMER ORDEN FECHA:

APRENDIZAJE QUE SE ESPERA DE TI CHECK-LISTPlantea ecuaciones diferenciales lineales de primer orden en

problemas presentados en lenguaje natural.Resuelve ecuaciones diferenciales lineales de primer orden enproblemas presentados en lenguaje natural, con condicin inicial.

Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer orden.

Consideraremos algunas aplicaciones, que nos permitirn aplicar nuestros conocimientos deecuaciones diferenciales de primer orden.

Crecimiento o DecrecimientoAqu estudiaremos el modelo

kxdt

dx=

con k contante y la cantidad x puede ser, el tamao de la poblacin, cantidad de una

sustancia reactiva, inters compuesto, etc.

Este modelo corresponde a una EDO de primer Orden que conviene resolver con el mtodo deVariables Separables

Modelo de MalthusSi P(t) representa la poblacin en el tiempo t, un modelo que permite determinar estapoblacin en cualquier instante t, teniendo informacin de la poblacin en un tiempo t0 , es el

conocido como Modelo de Malthus:kP

dt

dP= , con 00 )( PtP =

Desintegracin RadiactivaSi una sustancia radiactiva cuya masa viene dada en funcin del tiempo, por P(t), lavelocidad de descomposicin o desintegracin viene dada por:

kPdt

dP= , con 00 )( PtP =

Si se supone que esta velocidad es directamente proporcional a la masa,.


31/63

Ejemplo1.En una cpsula de cultivo de ciertas bacterias se tena un nmero de

300 individuos. Despus de 40 minutos se observaron en la cpsula 900individuos. Determinar la funcin que describe el nmero de bacteriasen el minuto t, y el nmero de individuos en la cpsula despus de 3horas.

DesarrolloSi )(tP , denota la poblacin de bacterias en el instante t, sabemos que:

Inicialmente hay 300 bacterias, 300)0(0 == Pt

A los 40 minutos hay 900 bacterias, 900)40(40 == Pt

La razn de cambio de la poblacin de bacterias es proporcional a la cantidad de bacterias

presente, esto es: kPdt

dP= , siendo kla constante de proporcionalidad. Por variables separables,

se tiene

kt

P

dP

CetP

eCktP

kdt

kdtP

dP

=

+=

=

=

)(

/)ln(

/

Determinemos las constantes Cyk tenemos que:

300300300)0(0 00

===== CeCCePt k

03,00275,040

)3ln()3ln(40

/ln3300

900

900300

900)40(40

4040

40

40

====

==

=

===

kk

ee

e

CePt

kk

k

k

astetP 03,0300)( =

La cantidad de bacterias pasadas las 3 horas, es decir a los 180 minutos, se obtiene:

92486,421.66300)180( 18003,0

== eP

RESPUESTA: La cantidad de bacterias pasadas las 3 horas es de aproximadamente66.422 bacterias.


32/63

2. Inicialmente haba 100 miligramos de una sustancia radiactiva. Despus de 6horas su masa disminuy en un 3%. Si en un instante cualquiera la rapidez dedesintegracin es proporcional a la cantidad de sustancia presente, determinarla cantidad que queda despus de 24 horas.

DesarrolloSi P(t), denota la cantidad de sustancia radiactiva en el instante t, sabemos que:

Inicialmente hay 100 gr, grPt 100)0(0 ==

A las 6 horas quedan 97 gr, grPt 97)6(6 ==

La rapidez de desintegracin es proporcional a la cantidad de sustancia presente, esto es:

kPdt

dP= , siendo kla constante de proporcionalidad.

Por variables separables, se tiene

ktP

dP CetPeCktPkdtkdtPdP=+===

)(/)ln(/

Determinemos las constantes .Cyk tenemos que:

100100

100)0(0

0

0

==

===

CeC

CePt k

Apunte:

( )

005,06

)97,0ln()97,0ln(6

)97,0ln(ln

/ln97,0

10097

97100

97)6(6

6

6

6

6

6

===

=

=

=

=

===

kk

e

e

e

e

CePt

k

k

k

k

k

As, la funcin

tetP 005,0100)( =

La cantidad que queda pasada las 24 hrs,se obtiene:

69,88100)24( 24005,0

== eP

Respuesta: La cantidad que queda pasada las 24 hrs es de aproximadamente 87 gr.


33/63

Caxaxdx += )ln(

Ley de Newton del enfriamientoUna aplicacin sencilla y til, es aqulla que permite modelar el comportamiento del cambiode temperatura de un cuerpo, en interaccin con la temperatura de un medio dominante, alque llamaremos temperatura ambiente, la cual se considerar constante.

Si Tam es la temperatura ambiente y T es la temperatura de un cuerpo inmerso en estatemperatura ambiente, entonces la temperatura del cuerpo cambia, en el tiempo t, en formaproporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y la temperatura ambiente. As, elproblema queda modelado por la ecuacin

)( amTTkdt

dT=

El valor inicial 0)0( TT = determina la constante de integracin, mientras que otro valor

11 )( TtT = determina el valor de k.

Este modelo corresponde a una EDO de primer Orden que conviene resolver con el mtodo

de Variables Separables

EjemploUn termmetro est a una temperatura de 17C y se aplica a una personapara medir su temperatura de 37C. A los 15 segundos el termmetrotiene una lectura de 30C. Hallar la funcin de temperatura del termmetroy calcular a los cuntos segundos el termmetro slo tiene un error de 0,3C(36,7C).

DesarrolloTenemos, la temperatura ambiental de 37C, 37=amT

La temperatura inicial de 17C, es decir 17)0( =TLa temperatura pasados 15 segundos es de 30C, es decir 30)15( =T

La temperatura del cuerpo cambia, de forma proporcional a la diferencia de temperatura entreel cuerpo y la temperatura ambiente, esto es:

)( amTTkdt

dT= , siendo kla constante de proporcionalidad.

Por variables separables, se tiene

( ) amkt

Cktam

am

TT

dT

am

TCetT

eTT

eCktTT

kdt

TTkdt

dT

am

+=

=

+=

=

=

+

/)ln(

/)(


34/63

Determinemos las constantes .Cyk Luego:

201737

17)0(0

0

0

==+

=+==

CeC

TCePt amk

( )

07,0069988,015

)35,0ln()35,0ln(15

)35,0ln(ln

/ln35,0

20)3730(

303720

30)15(15

15

15

15

15

15

====

=

=

=

=+

=+==

kk

e

e

e

e

TCeTt

k

k

k

k

amk

as 3720)( 07,0 += tetT

Determinar en qu segundo el termmetro marca 36,7C, tenemos:

3720)( 07,0

+= tetT

6099578,5907,0

)015,0ln(

)015,0ln(07,0

/ln20

3,0

377,3620

37207,36

07,0

07,0

07,0

====

=

=

+=

tt

e

e

e

t

t

t

A los 60 segundos marca 36,7C.

Apuntes:


35/63

Circuito LR en SerieSi consideramos el siguiente circuito elctrico

Aplicando la segunda Ley de Kirchhoff a este circuito, la suma de las cadas de potencial a

travs del inductordt

diL y de la resistencia R i, es igual a la fuerza electromotriz (fem) o

voltaje )(tE aplicado al circuito y es as como se obtiene la siguiente ecuacin diferencial lineal

para la corriente )(ti

)(tEiRdt

diL =+

donde L y R son constantes conocidas como la inductancia y la resistencia respectivamentey la corriente es conocida como la respuesta del sistema.

EjemploUna batera de 12 Volts se conecta a un circuito

enrios

DesarrolloTenemos

ohmsR

henriosL

voltsE

10

5,0

12

=

=

=

Reemplazando en la ecuacin diferencial para la corriente,

12105,0

)(

=+

=+

idt

di

tEiRdt

diL

Es una EDO lineal de primer orden, con a1(x) = 0,5 , dividiremos la EDO por 0,5

2420

5,0/12105,0

=+

=+

idt

di

i

dt

di

Luego, se tiene que 20)( =xp e 24)( =xq


36/63


( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

+=

+=

24

2020dteCeti

dxxqeCexy

dtdt

dxxpdxxp

( ) ( )( )

( )

( ) ( )5

6

20

24

20

124

24

2020

2020

2020

+=+=

+=

+=

tt

tt

tt

CetiCeti

eCeti

dteCeti


620+=

tCeti

Como i 0( ) = 0 t= 0 e i= 0 Se tiene

( )5

6

5

60

5

60

0020===+= CeCCei

Luego ( )5

6

5

6 20+=

teti

Apuntes:


37/63

Ejercicios

1.Una poblacin de 750 microbios es sometida a la accin de un antibitico experimental.Cuando han transcurrido 2 horas se observan 500 microorganismos. Determinar la funcinpara el nmero de microbios en el tiempo y el momento en que el nmero de microbios es deun 10% de la poblacin inicial.

Desarrollo

2.Un reactor de cra convierte Uranio 238 relativamente estable en el istopo Plutonio 239.Despus de 15 aos, se ha determinado que 0,043% de la cantidad inicial 0A de plutonio se

ha desintegrado, es decir queda 99,957% de0

A . Determine la vida media, 2/)(0

AtA = , de ese

istopo, si la razn de desintegracin es proporcional a la cantidad que queda.

Desarrollo


38/63

3.La temperatura del aire es de 15 C y el aceite de un automvil se enfra de 180 C a 40 Cen 10 minutos. Obtenga la funcin de la temperatura en el tiempo y con ella calcule en queinstante la temperatura del aceite ser de 20 C y la temperatura a los 25 minutos.

Desarrollo

4.Una batera de 5 voltios se conecta a un circuito en serie en la que la inductancia es 0,4henrios y la resistencia es 100 ohmios. Determine la corriente i(t) si la corriente inicial escero.

Desarrollo


39/63

5.Cierto condensador pierde su voltaje a travs de cierta resistencia en una razn proporcionala su voltaje inicial de 100 voltios. Si a los 4 segundos el voltaje es de 39 volts, determine lafuncin voltaje del condensador en el tiempo V(t).

Desarrollo

6.Un fabricante de joyas retira un anillo de la llama de un soplete, a una temperatura es800C. Cinco minutos despus su temperatura es de 80C. Obtenga la funcin de latemperatura en el tiempo si la temperatura ambiente es de 20C.

Desarrollo


40/63

7.Si la tasa de inters i, ( )100

%ii = , es capitalizable continuamente y S(t) es el monto de dinero

ahorrado en un tiempo t, (monto inicial ms el inters acumulado), entonces se cumple que

)(tSidt

dS= . Si se depositan $550.000, a una tasa de inters del 1,2% mensual.

a. Hallar la funcin )(tS , del dinero en funcin de los meses.b. Determine el dinero ahorrado a los 12 meses.

Desarrollo

8.Un generador con una fem de 15 voltios se conecta, en t= 0 , en serie con una resistencia de40 ohmios y un inductor de 5 henrios. Determine la corriente para todo t.

Desarrollo


41/63

Soluciones

1. tetP = 2027,0750)( ; y 11,36 horas2.Aprox. 24.180 aos

3. 15165)( 189,0

+= t

etT ; 18,5 minutos; 14,83 C.4.

)1(05,0)( 250teti =

5. tetV = 235,0100)(

6. 20780)( 513,0 += tetT 7.

a.

tetS 012,0000.550)( = b.Tendr ahorrado $635.186 aproximadamente.

8. )1(375,0)( 8teti =


42/63

CLASE 8ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

DE SEGUNDO ORDEN HOMOGNEASFECHA:

APRENDIZAJE QUE SE ESPERA DE TI CHECK-LIST

Reconoce ecuaciones diferenciales lineales de segundo ordenlineales homogneas

Resuelve ecuaciones diferenciales de segundo orden linealeshomogneas con coeficientes constantes.

Resuelve ecuaciones diferenciales de segundo orden linealeshomogneas con coeficientes constantes, con condicin inicial

Ecuaciones Diferenciales Lineales de Segundo Orden

Recordamos que una EDO lineal de orden nen general puede escribirse como:

)()()(...)()( 011

1

1 xgyxadx

dyxa

dx

ydxa

dx

ydxa

n

n

nn

n

n =++++

donde las funciones )(xai son constantes.

Anteriormente estudiamos la ecuacin diferencial lineal de primer orden )()()( 01 xgyxayxa =+ ,

ahora estudiaremos para 2=n , llamada Ecuacin diferencial lineal de Segundo orden.

Ecuacin diferencial lineal de Segundo orden.Una ecuacin diferencial lineal de segundo orden, es una ecuacin de la forma

)()()()( 012 xgyxayxayxa =++

donde las funciones )(2 xa , )(1 xa y )(0 xa son constantes.

Si )(xg es la funcin nula, es decir 0)( =xg , se dice que la ecuacin anterior es una

ecuacin lineal Homognea, en caso contrario se dice que es No Homognea.

Ejemplo1. Ecuacin lineal Homognea 02 =++ yyy

2. Ecuacin lineal No Homognea 2'4''4 xeyyy =++


43/63

Mtodo para resolver una EDO lineal de segundo orden con coeficientes constantes.

Sea una EDO lineal homognea de segundo orden con coeficientes constantes,0=++ cyybya

Esta ecuacin diferencial tiene asociada una ecuacin de segundo grado, de la forma

02

=++ cbmamllamada Ecuacin Caractersticade la ecuacin diferencial.

Donde 1m y 2m son dos soluciones ( races) de la ecuacin diferencial, estas se determinancon

a

cabbm

=

2

42

Las races de la ecuacin caracterstica pueden ser- Dos races reales distintas, 21 mm

Sean 1m y 2m soluciones de la ecuacin, se tienexmxm eyey 21 21 , == son soluciones de la

ecuacin diferencial. Por lo tanto la solucin general de la ecuacin homognea quedaxmxm eCeCy 21

21 +=

- Dos races reales iguales,21

mm =

Sean m1 y m2 soluciones de la ecuacin, se tienexmxm xeyey 11 21 , == son soluciones de

la ecuacin diferencial. Por lo tanto la solucin general de la ecuacin homognea queda

-

xmxm xeCeCy 11 21 +=

- Races complejas conjugadasEsto ocurre cuando 04

2


44/63

100==

eea

Ejemplos

1. Resolver la siguiente ecuacin 023 =+ yyy

Se tiene una ecuacin diferencial de segundo orden, por lo que su ecuacin caracterstica

asociada es 0232

=+ mm . Para encontrar las soluciones, resolvemos utilizamos la formulacuadrtica con 23,1 === cyba

2

13

2

13

12

214)3()3(

2

4 22

=

=

=

=

a

cabbm

Se tiene que 21=m y 1

2=m . Es decir

21 mm . Por lo que la solucin general queda

xxxx eCeCeCeCy 2211221 +=+=

2. Resolver la siguiente ecuacin ;096 =+ yyy 1)0( =y ; 4)0(' =y

Desarrollo

Se tiene una ecuacin diferencial de segundo orden, por lo que su ecuacin caracterstica

asociada es 0962

=+ mm . Para encontrar las soluciones, resolvemos utilizamos la formulacuadrtica con 23,1 === cyba . Con esto, se tiene que 31 =m y 32 =m . Es decir 21 mm = .

Por lo que la solucin general queda

xx

xeCeCxy

3

2

3

1)( +=

Como 10 == yx

101

)0(

1

03

2

03

1

03

2

03

1

=+=

+=

CeCeC

xeCeCy

Como 40 == yx , (para esta condicin debemos derivar )(xy primero y luego reemplazar).Tenemos que

xxx xeCeCeCxy 323

2

3

1 33)( ++=

Luego usando el calor inicial se tiene

143

41343

033)0(

22

221

03

2

03

2

03

1

==+

=+=+

++=

CC

CCC eCeCeCy

Ya definidos 11 21 == CyC , la solucin general es:

xx

xx

xeexy

xeexy33

33

)(

11)(

+=

+=


45/63

Ejercicios

I. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales lineales homogneas desegundo orden con coeficientes constantes:

a)

06''' = yyy b) 0'2'' =+ yyy

c)

05'' = yy

d)

032'12'' =++ yyy


46/63

II. Resolver los siguientes problema con valores iniciales

a)

02''' = yyy ; 1)0( =y ; 4)0(' =y

b)

07'6'' =+ yyy ; 0)0( =y ; 4)0(' =y


47/63

c)

036'12'' =++ yyy ; 1)0( =y ; 8)0(' =y


48/63

III. En el aterrizaje de algunos aviones y en algunaspruebas automovilsticas se utiliza el frenado pormedio de paracadas horizontales. Sin considerarotro tipo de frenos (ni el roce), desde que sedespliega este dispositivo, el movimiento viene

descrito por la ecuacin diferencial 02

2

=+dtdz

mk

dtzd

Donde m es la masa total de vehculo, )(tz su desplazamiento horizontal en el instante t,

0=t es el instante en que se abre el paracadas y kla constante de amortiguamiento delparacadas.

Durante el aterrizaje de un avin de 1.000 kg de masa el paracadas horizontal se abre

cuando la velocidad es de sm50)0(' =z , en 0)0( =z y con un valor de 50=k . Determineuna funcin para el desplazamiento )(tz .

Desarrollo


49/63

IV.Movimiento amortiguado libreConsideremos un sistema mecnico que consiste de un resortecolgado de un soporte rgido con un cuerpo de masa ( gwm /= )

sujeto al extremo. La ecuacin diferencial asociada es:

02

2

=++ kxdtdxkdtxdm

Bajo la ley de Hooke, el resorte ejerce una fuerza de restitucinopuesta a la direccin del alargamiento de resorte, es decir,

xkw = donde w es el peso del cuerpo, k constante derestitucin y x la longitud de alargamiento hasta la posicin de equilibrio. Para la ley deNewton tener en cuenta que sobre la masa acta la fuerza de gravedad ( g ), la fuerza de

restitucin, la fuerza de amortiguacin que es proporcional a la velocidad de la masa y lasfuerzas externas.

Un cuerpo de 8 Ib de peso estira 2 ft un resorte. Si una fuerza de amortiguamiento

numricamente igual a 2 veces la velocidad instantnea acta sobre el contrapeso, deduzcala ecuacin del movimiento si la masa se suelta de la posicin de equilibrio con unavelocidad hacia arriba de 3 ft/s.

Desarrollo


50/63

V. El circuito de la figura se cierra en t=0 con condiciones iniciales 0)0( =i y

10)0(=

dt

di. La ecuacin que describe la corriente es 0

1

2

2

=++ iLCdt

di

L

R

dt

di.

Si R= 1.500, C= 0,001 y L = 500, encontrar la funcin i(t).

Desarrollo

Soluciones

I.

a.xx eCeCxy 22

3

1)( +=

b.xx xeCeCxy 21)( +=

c.xx eCeCxy 5

2

5

1)(

+=

d.xx eCeCxy 42

8

1)(

+=

II.

a)

xx eexy = 32

35)( 2

b)

xx eexy 721

21)( =

c)xx

xeexy 66

2)(

+=

III.

tetz 05,0000.1000.1)( =

IV. tt CeCti 221)(

+=


51/63

CLASE 9ECUACIN DIFERENCIAL ORDINARIA LINEAL

DE SEGUNDO ORDEN NO HOMOGNEAFECHA:


Reconoce ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden concoeficientes constantes

Resuelve ecuaciones diferenciales de segundo orden lineales nohomogneas utilizando el mtodo de variacin de parmetros.

Ecuacin Diferencial Ordinaria Lineal de Segundo Orden No Homognea

Una EDO lineal NO homognea de segundo orden con coeficientes constantes, es unaecuacin de la forma:

)(''' xgcybyay =++

Donde )(xg es una funcin no nula, es decir 0)( xg .

Para resolver este tipo de ecuacin, utilizaremos el mtodo de Variacin de Parmetros.

Variacin de ParmetrosSea la EDO lineal no homognea )(''' xgcybyay =++ , con 2211 yCyCy += solucin de laecuacin homognea 0''' =++ cybyay .

Escribimos la ecuacin )(''' xgcybyay =++ de forma estndar, para esto, dividiremos por ala

ecuacin, se obtiene ).(''' xhqypyy =++

Buscaremos una solucin particular de la forma, 2413)( yCyCxyp += .

Entonces la solucin general de la ecuacin no homognea ),(''' xhqypyy =++ ser:

24132211 yCyCyCyCy +++=

con21

CyC constantes reales, y donde 43 CyC se determinan de la siguiente manera

dxyyyy

yxhC

=

1221

2

3''

)( y dx

yyyy

yxhC

=

1221

1

4''

)(

Conviene calcular primero 1221 yyyy =

Ejemplo de Ecuaciones No Homogneas

1.x

eyyy

x

=++ 2

2. 2'4''4 xeyyy =++


52/63

Ejemplo1. Resolver la siguiente ecuacin 2'4''4 xeyyy =++

Desarrollo

Primero determinemos la solucin general de la ecuacin diferencial homognea. La ecuacincaracterstica asociada es

0144 2

=++ mm

Las soluciones de la ecuacin son 2/121 ==mm

Se tiene que 2/1xey = y 2/2

xxey =

Por lo que la solucin general queda2/

2

2/

1

xx xeCeCy +=

Luego como es una ecuacin diferencial NO homognea, por el mtodo de variacin deparmetros, determinemos

3C 4Cy .

Escribimos la ecuacin diferencial de la forma estndar, dividiendo por 4

22

4

1

4

1'''4:/'4''4

xx eyyyeyyy =++=++

Tenemos que2/

2

1

12/

1 xx eyey ==

2/

2

12/2

2/2

xx

xx eeyxey ==

Para integrar determinaremos primero 1221 yyyy = ( )( ) ( )( ) xxxxxxxxx exexeeexexeeeyyyy =+===

2

1

2

12/

2

12/2/

2

12/2/1221

Con4

)(

2xexh

= yxe= . Determinamos

824

1

4

1

4

14/

''

)( 222/2

1221

23

xxdxxdx

e

xedx

e

xeedx

yyyy

yxhC

x

x

x

xx

====

=

=

xdxdx

e

edx

e

eedx

yyyy

yxhC

x

x

x

xx

4

11

4

1

4

14/

''

)( 2/2

1221

14 ===

=

=

Luego la solucin queda

2/2

2/2

2/1

2/2

2/2

2/2

2/1

2/

4

2/

8

2/2

2/124132211

848

2

xxxxxxx

xxxxxx

ex

xeCeCex

ex

xeCeCy

xeexeCeCyCyCyCyCy

++=++=

+++=+++=


53/63

2. La cada de un paracaidista viene descrita por la ecuacin diferencial

wdt

dyk

dt

yd

g

w=+

2

2

Donde wes el peso del paracaidista ( mgw = ), yes su altura en elinstante t, g la aceleracin de la gravedad, y k la constante deamortiguamiento del paracadas.

Si un paracadas se abre a en 0)0( =y , y en ese instante la velocidad

ess

my 55)0(, = , para un paracaidista que de masa 80 kilogramos, y

8=k . Determine una funcin para la distancia recorrida y que

dependa de la variable t.

Desarrollo

Primero definamos la ecuacin a trabajar, reemplazando los datos, 80=w , 8=k y8,9=

g

8.98088.9

8.980

2

2

2

2

=+

=+dt

dy

dt

ydw

dt

dyk

dt

yd

g

w

Luego la ecuacin diferencial final ser 784880 =+ yy

Determinamos la solucin general de la ecuacin diferencial homognea.

La ecuacin caracterstica asociada es 0880 2 =+ mm

Las soluciones de la ecuacin son 1.00 21 == mm

Se tiene que 11

=y y tey 1.02

=

Por lo que la solucin general queda teCCy 1.021 1

+=

Luego como es una ecuacin diferencial NO homognea, por el mtodo de variacin deparmetros, determinemos

3C 4Cy .

Escribimos la ecuacin diferencial de la forma estndar, dividiendo por 808.91.0784880 =+=+ yyyy

Tenemos que

01 11 == yy tt eyey 1.02

1.02 1.0

==

Para integrar determinaremos primero 1221 yyyy = ( )( ) ( ) ( ) ttt eeeyyyy 01.1.001.1221 1.001.01 ===

Con 8.9)( =th yte 1.01.0 = .


54/63

Determinamos

tdtdte

edt

e

edt

yyyy

ythC

t

t

t

t

98198981.0

8.9

''

)(

1.0

1.0

1.0

1.0

1221

23 ===

=

=

ttxtt

eedxedte

dte

dtyyyy

ythC 1.01.01.0

1.01.01221

14 980

1.0

9898

198

1.0

18.9

''

)(=

===

=

=

Luego la solucin queda

980989801981 1.0

211.01.01.0

2124132211 +++=+++=+++=

teCCeeteCCyCyCyCyCy txtt

98098)( 1.021 +++= teCCty t

Bajo las condiciones iniciales

Con 0)0( =y , se tiene2121

01.0

21

9809800980098)0(

CCCCeCCy

+=++=+++=

Con 55)0(, =y , se tiene

Derivamos primero, 981.0)( 1.02 += teCty

As

4301.043

981.055

981.0)0(

22

2

01.02

==

+=

+=

CC

C

eCy

Por lo que 21980 CC +=

Tenemos 1410430980 11 =+= CC

Luego la solucin general de la EDO no Homognea es

tety

tety

teCCty

t

t

t

98430430)(

980984301410)(

98098)(

1.0

1.0

1.021

++=

+++=

+++=


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Ejercicios

I. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales de segundo orden lineales nohomogneas.

a)

42'3'' =++ yyy

b)

xexyyy 2244'' =++


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c)

xexyyy 2)1(44'' +=+

Soluciones

I.a. 2)( 221 ++=

xx eCeCxy

b. xxxx eexxeCeCxy 22222

1 )ln()(

+=

c. xxxx exx

exx

xeCeCxy 22

223

22

21

223)(

++

++=


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CLASE 10APLICACIONES DE EDO LINEALES DESEGUNDO ORDEN NO HOMOGNEA

FECHA:


Resuelve problemas de ecuaciones diferenciales de segundo ordenlineales no homogneas con coeficientes constantes.

I.

Circuito en serie LRCSi )(ti representa la corriente en el circuito elctrico en serie LRC.

De acuerdo a la segunda ley de Kirchhoff, la suma de las cadas devoltaje a travs del inductor L, resistor R y capacitor C, es igual alvoltaje )(tE aplicado al circuito. Como dtdqi /= relaciona la

corriente con la carga del capacitor, se obtiene la ecuacin

diferencial lineal de segundo orden

)(1

2

2

tEqCdt

dqR

dt

qdL =++

Un circuito LRC en serie tiene una fem dada por 200)( =tE voltios, un resistor de 15 ohmios,

un inductor 1.25 henrios y un capacitor de 0.025 faradios. Si la corriente inicial y la cargainicial son cero, determine la corriente del circuito para t>0


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II. La ecuacin diferencial de la altura, y, de una gota de agua lluvia est dada por

gdt

dy

m

k

dt

yd=+

2

2

donde mes la masa de la gota, kes su constante de frenado viscoso con el

aire y ges la aceleracin de gravedad.Obtenga la ecuacin diferencial, reemplazando los siguientes datos de unagota de agua con masa m= 0,00006 kg, k= 0,0003 y g= 9,8 (Unidades enel S.I.). Considere las condiciones iniciales 0)0( =y y 0)0( =y .


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III. Movimiento amortiguado ForzadaConsideremosun sistema mecnico que consiste de un resorte colgado de un soporte rgidocon un con un cuerpo de masa sujeto al extremo. La ecuacin diferencial asociada es:

)(2

2

tfkxdt

dxc

dt

xdm =++

Donde )(tf es una fuerza externa

A un sistema masa-resorte amortiguado cuyos parmetros son kgm 1= , msNc /4= y

mNk /3= se le aplica una fuerza externa dada por 5)( =tf . Determinar la ecuacin que

describe el movimiento del sistema suponiendo que 0)0( =x y 0)0( =x .

Soluciones

I. 25.6)( 824

1 ++= tt eCeCti

II. 392,096,1392,0)( 5 += tety t

III. ++= 3

5

6

5

2

5)(

3tt eetx


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CLASE 11 GUIA RESUMEN PRUEBA 1 FECHA:

APRENDIZAJE QUE SE ESPERA DE TI CHECK-LISTCalcula y resuelve problemas contextualizados utilizando integrales de

funciones de una variableReconoce la definicin e identifica el grado y orden de una ecuacindiferencial.

Reconoce ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden.Verifica la solucin de una ecuacin diferencial.

Resuelve ecuaciones diferenciales de variables separables, con y sincondicin inicial.

Reconoce, plantea y resuelve ecuaciones diferenciales de primer ordenlineal.

Reconoce ecuaciones diferenciales de segundo orden linealeshomogneas.

Resuelve ecuaciones diferenciales de segundo orden lineales homogneascon coeficientes constantes, con y sin condiciones iniciales.

EJERCICIOS1. Juan, Diego y Roberto, tres alumnos de Calculo II, estn estudiando para su prueba y deben

encontrar la solucin de la ecuacin diferencial

1

1

+

+=

t

y

dt

dy

Despus de un rato, comparan resultados. Juan dice que la solucin es tty =)( , Diego

12)( += tty y Roberto 2)( 2 = tty . Quin est en lo correcto?

2.Consideremos un estanque de 100 litros de capacidad, en donde seha disuelto sal. Si 5 min)/(lt de salmuera con una concentracin de

sal de 0,25 )/( ltgr , ingresan al estanque, y la mezcla sale del

estanque a una razn de 5 min)/(lt con una concentracin de sal

variable en el tiempo. La variacin de sal al interior del estanquerespecto al tiempo est dada por la ecuacin diferencial

)()( tstedt

dx= . Con la informacin anterior, obtenga:

a) La cantidad de sal que entra al estanque en el instante t, queda definida por:

min)(

grsalde

ionconcentrac

entraqueagua

decantidadte

=

b) La cantidad de sal que sale del estanque en el instante t , queda definida por:

mintan

tan)(

gr

queeleninicialagua

queeselensaldecantidad

salequeagua

decantidadts

=

c) Obtenga la ecuacin diferencial )()( tstedt

dx= , en min)/(gr , con los datos obtenidos.

d) Verifique si la funcintetx = 05.02525)( es una solucin de la ecuacin diferencial obtenida.


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3.Si el inters se capitaliza continuamente, en cualquier momento la cantidad de dinero

ahorrado )(tS , aumenta a una tasa proporcional a la cantidad presente, se tiene Sidt

dS= .

donde i

es la tasa de inters mensual, con i=i%

100

.

a) Encuentre la solucin )(tS .

b) Si se depositan $1.500.000 a un inters mensual compuesto del 1.1 %, hallar la funcin)(tS del dinero en funcin de los meses.

c) Determine el dinero acumulado luego de 2 aos.

4.Al extraer una barra de cobre desde un crisol est a 1.230C, y llega a una temperatura de750C cuando han transcurrido 10 minutos. Si el ambiente est a 30C. Obtenga la funcinde la temperatura en el tiempo y calcule la temperatura de la barra de cobre a los 45 minutos

. . .

. .

6.Al extraer un producto desde un horno que est a 110C, llega a una temperatura de 90Ccuando han transcurrido 2 minutos. Si el ambiente est a 22C, obtenga la funcin de latemperatura en el tiempo y calcule la temperatura a los 8 minutos.

7.Una batera de 12 voltios se conecta a un circuito en serie en la que la inductancia es 0,4

henrios y la resistencia es 100 ohmios. Determine la corriente i(t) si la corriente inicial escero.

8.La variacin de la velocidad, v, con que la que cae un cuerpo demasa m, debido a la fuerza de gravedad g, y a la resistenciadel aire, que es proporcional a la velocidad v. En virtud de laSegunda Ley de Newton, se obtiene la ecuacin:

kvmgdt

dvm =

Donde k es una constante de proporcionalidad que vincula laresistencia del aire con la velocidad de cada.

a. Ordene y determine la solucin general de la ecuacin.b.Considere las magnitudes de m = 4, k = 2 y g = 9,8 (todas en el S.I.) Obtenga la funcin

)(tv sabiendo que 0)0( =v .


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9. El circuito de la figura se cierra en t =0 con 0)0( =i y

12)( =ti . La ecuacin diferencial que describe la corriente

es 01

2

2

=++ iLCdt

di

L

R

dt

id. Si R = 700, C = 0,001 y L =

100.Escriba la ecuacin diferencial i(t), reemplazando los

valores numricos y resulvala.

10. En el aterrizaje de algunos aviones y en algunas pruebas automovilsticas se utiliza elfrenado por medio de paracadas horizontales. Sin considerar otro tipo de frenos (ni elroce), desde que se despliega este dispositivo, el movimiento viene descrito por la ecuacindiferencial

d2z

dt2+k

mdz

dt= 0

Donde m es la masa total de vehculo, z(t) su desplazamiento horizontal en el instante t,t= 0 es el instante en que se abre el paracadas y k la constante de amortiguamiento delparacadas.Durante el aterrizaje de un avin ligero Cessna 150 de 757 kg, el paracadas horizontal se

abre cuando la velocidad es de , en (0) = 0y con un valor de k= 46 .

Determine una funcin para el desplazamiento (t) y la distancia aproximada que recorrehasta detenerse.

11. La ecuacin diferencial de la altura de una gota de agua lluvia (Y) est dada por:

8,972

2

=+

dt

dy

dt

yd

Obtenga la solucin de la ecuacin diferencial homognea asociada

12. Un circuito LRC en serie tiene una fem dada por 320)( =tE voltios, un resistor de 12.5

ohmios, un inductor 1.25 henrios y un capacitor de 0.05 faradios. Determine la corriente delcircuito para t>0

z(0) = 40 m/s


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Soluciones

1.Juan y Diego estn en lo correcto2.

a. min/25.1 gr

b. min/05.0 gr

c. xdt

dx05.025.1 =

d. Si3.

a. tieCtS =)(

b. tetS = 011,0000.500.1)(

c. A los 2 aos habr acumulado $1.953.192

4.La temperatura de la barra es de 151C ( 30200.1)( 051,0 += tetT )

5.La poblacin en 1970 ser de 59.079 habitantes aproximadamente ( tetP 013,0000.40)( = )

6.La temperatura de la barra es de 53,1C ( 2288)( 13,0 += tetT )

7. teti 25012,012,0)( =

8.

a.k

mgCetv

tm

k

.)( +=

b.t

m

k

etv

= 6.196.19)(

9. tt eeti 52 44)( =

10. tetz 06,07,6667,666)( =

11. 4.14.1)( 7

21 ++=

xeCCty t

12. 16)( 82

21 ++=

tt eCeCti

Felicidades sir, ha

completado la primera

unidad

Documents

Cuaderno de Trabajo Cálculo II Unidad i (1) (1)