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NUMERO
26FEBRERO, 1996
NACIONAL ! PREVENCION DE DESASTRES
CUADERNOSDE
INVESTIGACION
ESCJRR V E \TOS E\I ROSY 110E VE \ESDEI \DAC O\ POR DESBORDAV \TO
Oscar Arturo Fuentes Monies
Marco Antonio Solas Salinas
Martín Jiménez Espinosa
Maria Teresa Vázquez Conde
Fermín García Jiménez
la. edición, Febrero 1996
SECRETARIA DE GOBERNACION
CENTRO NACIONAL DE PREVENCION DE DESASTRESAV. DELFIN MADRIGAL Nit. 665, COL. PEDREGAL SANTODOMINGO, DELEGACION COYOACAN. C.P. 04360, MEXICO, D.F.
TELÉFONOS: 606 98 37, 606 97 39, 606 99 82, FAX: 606 16 08
Autores: Oscar Arturo Fuentes Mariles, Marco Antonio SalasSalinas, Martín Jiménez Espinosa, María Teresa Vázquez Condey Fermín García Jiménez.
Impresión a cargo de: Lic. Ricardo Cícero Betancourt y VioletaRamos Radilla
Derechos reservados conforme a la ley
IMPRESO EN MEXICO, PRINTED IN MEXICO
Distribución Nacional e Internacional: Centro Nacional dePrevención de Desastres
EL CONTENIDO DE ESTE DOCUMENTO ESEXCLUSIVA RESPONSABILIDAD DE LOS AUTORES
SECRETARIA DE GOBERNACION
Lic. Emilio Chuayffet Chemor
Secretario de Gobernación
Lic. Juan Ramiro Robledo Ruiz
Subsecretario de Protección Civil y de Prevencióny Readaptación Social
CENTRO NACIONAL DE PREVENCION DE DESASTRES
Dr. Robe rt o Mcli
Director General
Ing. Shigeharu Morishita
Director del Equipo Asesor Japonés
Dr. Mario Ordaz
Coordinador de Investigación
M. en I. Roberto Quaas
Coordinador de Instrumentación
Lic. Ricardo Cícero Betancourt
Coordinador de Difusión
SISTEMA NACIONAL DE PROTECCION CIVIL
SISTEMA NACIONAL DE PROTECCION CIVILCENTRO NACIONAL DE PREVENCION DE DESASTRES
ESCURRIMIENITOS EN RIOS Y VOLUMENESDE INUNDACION POR DESBORDAMIENTO
Oscar Arturo Fuentes Marfiles
Marco Antonio Salas Salinas
Martín Jiménez Espinosa
María Teresa Vázquez Conde
Fermín García Jiménez
COORDINACION DE INVESTIGACIONAREA DE RIESGOS HIDROMETEOROLOGICOS
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CUADERNOS DE INVESTIGACION
PRESENTACION
La Coordinación de Investigación del Centro Nacional de Prevención de Desastres realiza
estudios sobre las características de los fenómenos naturales y de las actividades humanas que son
fuentes potenciales de desastres, así como sobre las técnicas y medidas que conducen a la reducciónde las consecuencias de dichos fenómenos.
Las actividades enfocan la problemática de los Riesgos Geológicos (Sismos y Volcanes), de
los Riesgos Hidrometeorológicos (Inundaciones, Huracanes, Sequías, Erosión) y de los RiesgosQuímicos (Incendios, Explosiones, Contaminación por Desechos Industriales).
Los resultados de los estudios se publican en Informes Técnicos que se distribuyen a las
instituciones y los especialistas relacionados con cada tema específico.
En adición a dichos informes técnicos de carácter muy especializado, el CENAPRED ha
emprendido la publicación de esta serie, llamada CUADERNOS DE INVESTIGACION, con el fin
de dar a conocer a un público más amplio aquellos estudios que se consideran de interés más general
o que contienen información que conviene quede publicada en una edición más formal que la de losInformes Técnicos.
Los Catálogos de Informes Técnicos y de Cuadernos de Investigación, así como laspublicaciones específicas pueden obtenerse solicitándolos por escrito a la Coordinación de
Investigación del CENAPRED, o pueden consultarse directamente en su Unidad de Información.
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN 7
CAPÍTULO 1
HIDROGRAMA ASOCIADO A UN PERÍODO
DE RETORNO 11
1.1 SÍNTESIS DE GASTOS MEDIOS 12
1.2 EXTRAPOLACIÓN ESTADÍSTICA DE
LAS AVENIDAS MÁXIMAS 14
1.3 DESAGREGACIÓN DE LOS GASTOS MEDIOS 15
CAPÍTULO 2
GASTO MÁXIMO DE CONDUCCIÓN DEL RÍO 18
2.1 MÉTODO PARA CALCULAR EL GASTO MÁXIMO
QUE CONDUCE EL RÍO 19
2.2 DETERMINACIÓN DEL GASTO MÁXIMO
POR CONDUCIR 24
CAPÍTULO 3
GASTOS EN EL RÍO DEBIDOS A UNA AVENIDA 25
3.1 ECUACIONES BÁSICAS PARA EL TRÁNSITO DE AVENIDAS 27
3.2 MÉTODOS PARA EL TRÁNSITO DE AVENIDAS 29
3.3 MÉTODOS HIDROLÓGICOS PARA EL TRÁNSITO DE AVENIDAS 34
3.4 MÉTODOS HIDRÁULICOS PARA EL TRÁNSITO DE AVENIDAS 39
3.5 ALGORITMO DEL MÉTODO DE SIMULACIÓN DE FLUJO 46
CAPÍTULO 4
VOLÚMEN DE INUNDACIÓN POR DESBORDAMIENTO DEL RÍO 48
4.1 ESTIMACIÓN DE VOLÚMENES DE INUNDACIÓN 48
4.2 COSTO TOTAL DE LA OBRA DE MODIFICACIÓN AL CAUCE 50
CAPÍTULO 5
EJEMPLOS DE APLICACIÓN 54
5.1 AVENIDA MÁXIMA ASOCIADA A UN PERIODO DE RETORNO 55
5.2 CAPACIDAD MÁXIMA DE CONDUCCIÓN DEL CAUCE 57
5.3 VOLÚMENES DE INUNDACIÓN 58
5.4 VOLUMEN DE INUNDACIÓN ANUAL 60
CAPÍTULO 6
CONCLUSIONES 61
BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS 62
APÉNDICE A
MÉTODO HIDRÁULICO PARA EL TRÁNSITO DE AVENIDAS 64
INTRODUCCIÓN
Desde el inicio de la civilización el hombre ha tenido que enfrentarse a desastres causados por
inundaciones. Las poblaciones entendían la naturaleza de las inundaciones como parte del medio
ambiente. En la actualidad, para las ciudades y zonas de producción ubicadas cerca de los ríos,
persiste el riesgo de sufrir el desbordamiento de estos.
Si bien, los ríos se pueden aprovechar como medio de transporte y fuente de abastecimiento de
agua para su consumo o cultivo de las fértiles llanuras próximas a ellos. También han dado
lugar a obras (presas, cauces de alivio, bordos,...) para protegerse de ellos cuando fluyen
gastos que pueden exceder su capacidad de conducción.
Durante y después de una tormenta se puede desarrollar un flujo sobre el terreno, que al llegar
a ondanadas del mismo forma arroyos pequeños. Estos, al unirse con otros dan lugar a arroyos
más grandes. Si este proceso continúa, se establece una corriente en cauce bien definido,
constituyéndose un río. Por ello, los ríos son parte del sistema de drenaje del flujo superficial
de las cuencas.
El escurrimiento dentro del cauce del río se deriva de las lluvias sobre la cuenca hidrológica
tributaria. Está influido principalmente por:
La intensidad, duración y distribución de la precipitación
El tamaño, forma, cubierta y topografía del área de la cuenca.
La naturaleza y condiciones del suelo
Se debe tener en cuenta que la respuesta de la cuenca a una lluvia no es inmediata, ya que
7
transcurre cierto lapso desde el momento en que se precipita el agua hasta el instante en que
se produce el escurrimiento debido a esa lluvia.
Cuando las lluvias son intensas, los ríos pueden ser insuficientes para conducir el agua,
presentándose el desbordamiento sobre sus márgenes, lo que da lugar a las denominadas
inundaciones fluviales (Domínguez et al,1994). En varios de los ríos más caudalosos de
México se presentan inundaciones de este tipo casi todos los anos.
En la parte baja de las cuencas, los ríos tienen pendientes suaves por lo que suelen ser anchos
y tener bordos bajos; por lo que en respuesta a gastos grandes se da un aumento de la elevación
de la superficie libre del agua. Al exceder esta elevación a la de sus bordos se generan
inundaciones.
Para reducir las inundaciones se pueden llevar a cabo distintos trabajos y obras de protección.
Estas deben ser estudiadas en forma integral, ensayando diversas opciones dentro de la zona
de influencia del río para no proponer medidas que sólo eviten inundaciones cerca de la zona
de interés y, las provoquen en otros sitios donde no existían. En estudios de este tipo se
requiere simular el flujo y cuantificar el volumen de agua que se desborda e inunda las llanuras
cercanas al río. De esta manera es posible evaluar las consecuencias de construir bordos,
formar cauces de alivio, dragar el río, hacer rectificaciones, etc..
Los modelos hidráulicos físicos son dispositivos útiles para llevar a cabo estos estudios
integrales, pero tienen el inconveniente de ser costosos, sea por su tamaño, tiempo de
construcción o duración de las pruebas y problemas de escala. Los modelos matemáticos de
simulación de flujo también pueden ser empleados en los estudios integrales de inundación;
disminuyen en gran parte algunas de las dificultades de los modelos físicos y permiten analizar
8
una variedad de soluciones en un plazo corto, por lo que son un buena opción de análisis, pese
a que requieran de tareas de ajuste y calibración.
Para mitigar los daños causados por las avenidas, se llevan a cabo análisis hidrológicos, entre
los que está el pronóstico de crecientes. Consiste en la estimación de la magnitud y del tiempo
de ocurrencia de una avenida en un sitio determinado. La principal herramienta para llevar a
cabo lo anterior es el tránsito de avenidas, cuyo objetivo es pronosticar la evolución de la
creciente.
La obtención de esta evolución es muy útil para establecer medidas de alerta o evacuación en
alguna zona específica. Ello se fundamenta en la estimación del gasto máximo de la avenida que
puede provocar el desbordamiento del agua por sobre las márgenes de los ríos.
Este trabajo tiene como objetivo determinar el riesgo de que se presenten inudaciones de tipo
pluvial, desde un punto de vista cuantitativo, con base en la capacidad de los ríos para conducir
gastos. Para que de esa forma, se establezcan las medidas estructurales necesarias para evitar
o disminuir desastres o bien, se lleven a cabo las acciones preventivas o de alerta que procedan.
Este documento se considera compuesto por tres partes principales a saber, la determinación
de un hidrograma con cierto periodo de retomo, la simulación del flujo en el cauce y la
cuantificación del posible volumen de agua que desborda a las márgenes del río.
En el capítulo 1 se describe el procedimiento para obtener hidrogramas asociados a un período
de retomo de interés. Con ello se logra relacionar el posible volumen de inundación con una
probabilidad de ocurrencia.
9
En el capítulo 2 se describe un método para estimar la capacidad del río para conducir un gasto
constante. Con ello se establece un valor de mucha utilidad para conocer el riesgo de que
ocurra una inundación en función de los gastos posibles que escurrirían en el cauce.
El capítulo 3 se dedica a la presentación de métodos para pronosticar la evolución de una
creciente. Se describe el modelo matemático para calcular el flujo no permanente a superficie
libre en un cauce natural.
En el capítulo 4 se explica el cálculo del volumen de inundación que se espera cada ano.
También incluye un criterio sencillo para tener una evaluación de costos de inundación y de las
posibles obras para aumentar la capacidad de conducción del cauce.
En el capítulo 5 se presentan dos ejemplos de aplicación y el análisis de sus resultados.
Por último en el capítulo 6 se exponen conclusiones y recomendaciones.
Se adjunta un apéndice que contiene la deducción del modelo matemático de simulación.
10
CAPÍTULO 1
HIDROGRAMA ASOCIADO A UN PERIODO DE RETORNO
La determinación de los gastos de entrada a un tramo de río es fundamental para calcular la
variación en el tiempo a lo largo de él, de las elevaciones de la superficie libre y velocidades
del agua. Los gastos de entrada están incluidos en el hidrograma de la avenida que se incorpora
al río en una cierta zona.
En los análisis estadísticos convencionales de Hidrología, se plantea el cálculo del gasto de pico
del hidrograma asociado a un periodo de retorno. Este gasto se encuentra a partir de la función
de distribución de probabilidad que mejor se ajuste a un conjunto de gastos máximos anuales.
Para realizar estudios de diseño, simular la operación de presas o transitar e integrar los
escurrimientos de varias corrientes; no basta con el gasto de pico, sino que se requiere conocer
todo el hidrograma correspondiente a un periodo de retorno.
El cálculo de este hidrograma, no ha sido tratado suficientemente en la Hidrología. Existen
métodos que se basan en la mayoración de la avenida máxima registrada para que tenga un
gasto de pico igual al obtenido para un cierto periodo de retorno, en una distridución de proba-
bilidad conjunta entre gastos de pico y volúmenes de escurrimiento directo, así como en análisis
de varios gastos medios del hidrograma. En este capítulo se describe un método del último tipo
ya que los dos primeros son los más limitados. En el cuaderno de investigación "Avenidas de
diseño" se tratan con detalle esta clase de métodos.
Se denominan métodos estadísticos a aquellos procedimientos de probabilidad y estadística que
permiten obtener una variable hidrológica (gastos máximos, intensidades de precipitación,
11
volúmenes mensuales, ...) para un periodo de retorno. Ello se llevó a cabo a partir de un
ajuste de una función de probabilidad. Continuando con la idea de estos métodos, se incorpora
al cálculo de los gastos de pico, la determinación del volumen y forma del hidrograma del
escurrimiento directo.
El método requiere de los gastos medios registrados en un sitio de interés. Consta de tres
actividades básicas a saber
• Síntesis de gastos medios
• Extrapolación estadística
• Desagregación de gastos medios
1.1 SÍNTESIS DE GASTOS MEDIOS
Consiste en obtener los máximos gastos medios en distintos lapsos asociados a un periodo de
retorno. Los lapsos tienen una duración igual a ld, 2d,..., md; donde d puede ser igual a 6
horas, 12 horas, un día, etc.
La información hidrométrica incluye para cada tiempo el gasto que se presentó. Este gasto
corresponde a su valor promedio dentro de un lapso d.
De acuerdo con el uso que se le vaya a dar al hidrograma asociado a un período de retorno,
se definen duraciones ld, 2d, 3d, ..., md; con d tan pequeña y m tan grande como se requiera.
Generalmente, d es igual a un día y para ella, m está entre 4 y 10. Para facilitar la descripción
del método se tomará d igual a un día.
12
Los valores medios diarios se designan como Qk.J , para el día k=1, 2, 3, ..., 365 ó 366 días
y para el año j.
Para calcular los máximos gastos medios en m días de un ano j cualquiera, se lleva a cabo lo
siguiente:
a) Se encuentra el gasto medio máximo anual de la duración m=1 , del registro se escoge el
valor más grande de los gastos diarios del ano j, resultando
G1 = máz {Q } (1.1)
b) Para obtener el gasto medio en un lapso igual a 2d, se busca en todo el registro de ese ano
el gasto medio máximo anual que resulte de la combinación de dos días adyacentes (m=2),
siendo la ecuación a utilizar con k=1, 2, ..., 364 si el ano es de 365 días.
G2 "/
21 m[lX {Q Qk+1,^}
c) Para el gasto medio máximo anual de la duración md, se escogen m valores consecutivos
del registro de ese ano que proporcionen al gasto medio más grande. La ecuación para
cualquier duración m es con k=1, 2, ..., 365 - m.
Gmj = m
máx {Qksi + Qk+1 ,j + ... + Qk+m-1,j}
Lo anterior permita establecer la secuencia
G1j,GZi,...,Gm,i
para el ano j. Los cálculos anteriores se repiten para todos lo anos consignados en el registro
histórico.
(1.2)
(1.3)
13
Las secuencias obtenidas se incluyen en la Tabla 1.1.
Tabla 1.1 Gastos medios máximos anuales (Procedimiento de síntesis)
Año Duración (en unidades de tiempo)
j 1 2 3 ... m-1 m
1 G1,1 G2,1 G3,1 ... Gm_,,, Gm,1
2 . . . ... . .
3 . . . ... . .
n- 1 GI ,n-1 G201-1 G3,,,,_1 ... Gm-lm- 1 Gm n_1
n Gin G2,. G3,n ... Gm_1,n Gm,n
1.2 EXTRAPOLACIÓN ESTADÍSTICA DE LAS AVENIDAS MÁXIMAS
Los gastos medios máximos anuales de una duración (una columna de valores de la Tabla 1.1)
G m,l, G m,2 , ..., Gm,n permiten llevar a cabo estimaciones de probabilidad de ocurrencia de los
eventos de interés.
Se ajustan varias funciones de distribución de probabilidad y se obtiene para cada una de ellas
el error medio cuadrático del ajuste; posteriormente se escoge la función que tenga el error
menor.
14
Una vez definida la función de distribución de probabilidad correspondiente a la duración m,
se encuentra el valor del gasto medio máximo Q m(T) asociado a un período de retorno T. Esto
se realiza para todos los valores de T de interés. Los resultados encontrados permiten escribir
una columna de valores de la Tabla 1.2. Al aplicar el proceso para todas las duraciones de
interés, se completa la Tabla 1.2.
Tabla 1.2 Gastos medios máximos (Extrapolación estadística)
Duración (en unidades de tiempo)
T 1 ... m-1 m
2 Q1(2) 2/Q212) Qm-1(2) Qm(2)
R Q1(R) Q2(R) ••• Q.-1(R) Qm(R)
1000 Q1(1000) Q2(1000) ... Qm- 1(1000) Qm(1000)
1.3 DESAGREGACIÓN DE LOS GASTOS MEDIOS
Se comienza por establecer una secuencia de valores medios de duración d máximos
g1(T),Q2(T),...,gm(T) que cumpla con el requisito de que Q m(T) sea igual a
q1(T)+q2(T)+...+qm(T) para cualquiera de los valores de m considerados.
El primer valor máximo (m=1) de la secuencia está dado como q1(T)=Q1(T). El segundo
valor máximo (m=2) de duración d se obtiene a apartir del valor medio de duración d en dos
lapsos 2Q2(T) al restarle el valor medio en un lapso d (Q 1 (T)), es decir q2(T)=2Q2(T)-Q1(T).
El tercer valor máximo (m=3) de duración d se encuentra con el valor medio de duración d
15
en tres lapsos 3Q3(T) al restarle el valor medio en dos lapsos (Q2T)), o sea g3(T)=3Q3(T)-
Q2(T). Así, el gasto máximo que está en el lugar m y tiene una duración d se calcula con el
valor medio de duración md, m . Qm (T) al restarle el valor medio en m-1 lapsos (Q m_ 1 (T)), por
lo cual qm(T)=mQm(T)-Qm-i(T)•
El proceso de cálculo se apoya en la Tabla 1.3.
Tabla 1.3 Cálculo de valores medios en lapsos de duración d
Duración d Qd(T) qk = qd
1 Qi (T) qi = Qt (T)
2 Q2 (T) 92 = 2 Q2 (T) - Qi (T)
3 Q3 (T) q3 = 3 Q3 (T) - 2 Q (T)
m-1 Qm-1 (T) gm-t = (m-1) Qm-t (T) - (m-2) Qm-2 (T)
m Qm (T) qm = m Qm-1 (T) - (m-1) Qm-1 (T)
Los elementos de la secuencia gl(T),g2(T),...,qm(T) se pueden arreglar de modos distintos.
Aquí se empleará un procedimiento basado en la presentación de los gastos (medios en la
duración d) de una avenida histórica seleccionada con base su volumen y gasto.
Se comienza por formar la secuencia G,,G2,...,Gm de gastos medios de duración d de la avenida
histórica.
Por ejemplo, para d=1 día y m=8, entre el 11 y 18 de abril de 1993 se tienen los siguientes
gastos medios diarios (m3/s): G1 =30, G2 = 50, G3 = 80, G, =100, G5 = 90, G6 =70, G, = 60, G8
16
=40. El índice corresponde al día en que se presentaron cronológicamente, 1 el primer día (11
de abril), 2 el segundo día (12 de abril), 3 el tercer día (13 de abril), ... , 8 el octavo día (18
de abril).
Los m gastos medios de duración d de la avenida histórica se ordenan del valor mayor al
menor. Luego, se les asigna un número según el lugar en que aparecen en la secuencia
ordenada, 1 sí es el mayor, 2 sí aparece en segundo lugar, k sí existen k-1 valores mayores o
iguales al analizado.
Se establece el lugar en que aparece el primer valor de la secuencia histórica, h l ; el lugar en
que está el segundo valor de la secuencia histórica, h 2 ; así, el lugar del m-ésimo valor de la
secuencia histórica, es hm.
Para los datos del ejemplo, se tendría que al dato del primer día le corresponde el lugar 8, al
del segundo día el lugar 6, al del tercer día el lugar 3, al del cuarto día el lugar 1, al del quinto
día el lugar 2, al del sexto día el lugar 4, al del septimo día el lugar 5 y al del octavo día el
lugar 7. La secuencia de lugares sería 8,6,3,1,2,4,5,7 (h 1 =8, h2 =6, h3 =3, h4 =1, h5=2,
h6 =4, h,=5, h 8 =7).
Los gastos medios q l(T), q2(T), ... , q,,,(T) se acomodan según el lugar de la avenida histórica,
qhl(T)> gh2(T), ... , gnm(T) •
Para el ejemplo la secuencia que define al hidrograma asociado a un periodo de retorno T es
q8(T), q6(T), q3(T), ql(T), 92(T), q4(T), 9,(T), q,(T)•
17
CAPÍTULO 2
GASTO MÁXIMO DE CONDUCCIÓN DEL RÍO
La determinación de los tirantes y velocidades a lo largo del río es necesaria para evaluar la
capacidad del cauce para conducir los escurrimientos que llegan a él.
El gasto más grande que puede fluir en el río corresponde a aquel que origina elevaciones del
agua iguales a la altura de los bordos. Un gasto mayor provocaría la salida de agua del cauce
y daría lugar a una inundación fluvial.
Cuando el gasto que fluye en una corriente natural se mantiene constante durante un periodo
de tiempo (de cuando menos 3 horas) y las condiciones de nivel de agua en los extremos un
tramo de ella no cambian, en el cauce de la corriente natural se establece un flujo que no varía
en el tiempo, aunque sí se presentan distintos tirantes y velocidades a lo largo de él. Si ellos
no se modifican bruscamente a lo largo de una distancia, en dirección de la corriente, del orden
de 10 m; se tiene el caso de un flujo permanente gradualmente variado. Este tipo de flujo
ocurre sólo en algunos tramos de los ríos.
El cálculo de los tirantes y velocidades para flujo permanente gradualmente variado es menos
complicado que el tipo no permanente que se trata en el capítulo 3. Si bien es más limitado,
su aplicación es factible en múltiples casos, por lo que es conveniente describir como se puede
llevar a cabo.
Además, para aquellas ocasiones en que no se cuente con la información necesaria para realizar
los tránsitos de la avenida a lo largo del cauce. El gasto máximo que puede fluir por el cauce
18
devolumendel
permite estimar, de forma aproximada, el volumen del hidrograma de escurrimiaito que al no
poder ser conducido por el río, produce la inundación de la región cercana a él.
Los gastos del hidrograma asociado a un
periodo de retomo que excedan al gasto
máximo que puede fluir por el cauce de la
corriente dan lugar al volumen de inundación
correspondiente a ese periodo de retorno. En
la Figura 2.1 está marcada al área del
hidrograma donde se tienen gastos mayores al
gasto máximo, ella representa al volumen de
inundación. Esta estimación no es muy precisa
pero da una idea del volumen de inundación.
Figura 2.1 Cuantificacióninundación de una avenida
2.1 MÉTODO PARA CALCULAR EL GASTO MÁXIMO QUE CONDUCE EL RÍO
El tratamiento del escurrimiento a superficie libre es más difícil e insatisfactorio que el que se
ocurre en tuberías que funcionan a presión debido a la amplia variación de las condiciones que
presenta; principalmente, en cuanto a la forma de las secciones transversales y las rugosidades
del cauce.
Como los cauces naturales, la forma de las secciones transversales es irregular y no es sencillo
establecer la pendiente del fondo, es preferible manejar en vez del tirante a la elevación del
agua (incluye la cota del fondo y al tirante).
Las expresiones matemáticas para el cálculo del flujo permanente gradualmente variado son la
19
ecuación de continuidad y la de conservación de la energía; que planteadas en función de la
elevación del agua se presentan de la manera siguiente:
d(AV) _ 0
dx
^(y+2g) + Sf = O
donde Q es el gasto (m3/s), y la elevación de la superficie libre del agua (m), v la velocidad
del flujo (m/s), Sf la pendiente de la línea de energía y x representa a las distancias a lo largo
del cauce. La ecuación 2.2 es válida para inclinaciones del fondo respecto a la horizontal
menores a 10°.
La pendiente Sf se estima con una ecuación de flujo uniforme, para el caso de la fórmula de
Manning, se tiene que
n 2 IvIvsf —
a
r3
siendo n el coeficiente de rugosidad según Manning (m113/s) y r el radio hidráulico.
Como de estas ecuaciones no se puede obtener una expresión matemática para y y y que
cumplan con ellas, se recurre a métodos numéricos de solución de ecuaciones diferenciales
ordinarias.
Para encontrar un solución suficientemente aproximada, se propone escribir las ecuaciones 2.1
a 2.3 en diferencias finitas de la manera siguiente:
(2.1)
(2.2)
(2.3)
20
A iVi = Ai+t Vi+t = Q
2 a/yt + vi _ 1 s
ft (xt + 1 -x i) = yt+t + vi+1 + 1 sftrl(xi + t -xi)
2g 2 l l 2g 2
En ellas el subíndice i señala la sección transversal considerada (ubicada a una distancia x;).
Figura 2.2 Representación simplificada de la ecuación de la energía para flujo permanente
En la figura 2.2 se representa en forma simplificada la ecuación de diferencias finitas 2.5. Se
ha considerado que la pendiente de pérdida de energía por la rugosidad del fondo es igual a su
promedio en el tramo de longitud x; + ,-x,, es decir que
s1 Ox = 2(s f+^ +s f) (xi+1 -xi)
ni I vi Iv.Sf = 4/3
ri
En las ecuaciones 2.4 y 2.5 aparecen dos incógnitas, la elevación del agua ( a partir de ella se
obtienen el área, perímetro mojado y radio hidráulico que aparecen con cierto subíndice) y la
(2.4)
(2.5)
donde
(2.6)
(2.7)
21
velocidad del flujo. Para flujo subcrítico corresponden a la de subíndice i mientras que para
régimen supercrítico se refiere al índice i+ 1.
La ecuación 2.5 también puede escribirse así
Ei +D i = Ei+ 1 +Gi+1
v?Ei = yi +
2g
Di = 2Sf
1Gi + 1 2Sf.t(xi+1—xi)
Al considerar en forma implícita a la ecuación de continuidad en la ecuación 2.5 se obtiene una
función no lineal con una incógnita. De acuerdo con el tipo de flujo se define esta función. Se
da por entendido que el gasto Q es un dato.
a) Flujo subcrítico
Son conocidos los valores de y; + ,, v;+, , n; +1 y x;+1 . Se considera que v;=Q/A; .
Como A; y r; están relacionadas con y;, la función tiene como incógnita y; ,es decir
fly.) = E.-D-Hi + 1 (2.12)
donde H;+, está dada como
H+1 = E +1 +Gi+1
(2.8)
(2.9)
(2.10)
(2.11)
(2.13)
22
=(Y -rYa) /2
-041113.SI
La raíz es Ym
NO
fm (Ym)
SI
Y,.Y,.E
f a =f(YS)f , ° f(Y, )
SI Cambiar valoresY,. Ya
b) Flujo supercrítico
Son conocidos los valores de y;, v; , n; y x,.
Se considera que v;+, =Q/A;+,, además, como A;+, y r;+, dependen de y;+, , para encontrar el
valor de y; + , se requiere resolver la función
fV'i+1) = Ei+ 1 +Gi+1—Ji
siendo J; + , igual a
J = Ei +Di
(2.14)
(2.15)
Para obtener el valor de la
incógnita (raíz) de la función f
se emplea un método numérico
para resolver ecuaciones no
lineales en una variable; se ha
escogido el método de bisección
(Nakamura, 1992).
El método de bisección se
emplea a partir de un intervalo
de valores de la incógnita y
dentro del cual existe al menos
una raíz de la función, de
acuerdo con el diagrama de
bloques de la figura 2.3.Figura 2.3 Diagrama de bloques para el método debisección
23
En esta figura y, y ys corresponden a los límites del intervalo mencionado ye es un valor
pequeño (del orden de 0.001 m).
2.2 DETERMINACIÓN DEL GASTO MÁXIMO POR CONDUCIR
El gasto máximo que puede fluir por el cauce sin desbordar sus márgenes se obtiene por
aproximaciones sucesivas.
Se plantean las elevaciones máximas admisibles por el agua a lo largo del tramo de río en
estudio. Pueden coincidir con la elevación de los bordos o ser un poco menores a ella para
tomar en cuenta errores en su estimación, en los valores de coeficientes o cambios en superficie
libre por efecto del viento.
Se propone un valor del gasto y se aplica el método de cálculo de las elevaciones y velocidades
del agua.
Se revisa que las elevaciones del agua no excedan la elevación máxima admisible.
Aquel gasto para el cual se iguala la elevación del agua con la elevación máxima admisible
corresponde al gasto buscado.
24
CAPÍTULO 3
GASTOS EN EL RÍO DEBIDOS A UNA AVENIDA
Cuando una avenida viaja por un cauce, su duración aumenta y la magnitud de su gasto máximo
disminuye (figura 3.1). El pronóstico de crecientes consiste en la determinación de la forma de
una avenida en cualquier parte del río. Sirve para obtener los niveles y gastos en secciones
transversales a lo largo del cauce en cualquier tiempo.
Figura 3.1
Cambios en la forma de una avenida
La anticipación con la que se estimen las características de la avenida en un sitio en particular,
resulta de gran interés para establecer las medidas estructurales (como es la construcción de
obras de protección) o las no estructurales (acciones preventivas de alerta o desplazamiento de
personas a zonas seguras) para evitar desastres. También es útil para integrar los escurrimientos
de varias corrientes (figura 3.2) en algún punto de interés como son, por ejemplo, sitios de
proyecto, embalses existentes e inicio de tramos de cauce con áreas urbanas; o bien, para
definir áreas homogéneas o de propiedades hidrológicas similares.
25
.^... .,_ Y .,. . ...,. ,... .. ^
CENTRO EA-C'OttirL D ^.7AS^RES
Para algunos propósitos es adecuado hacer un cálculo del gasto máximo de la avenida en la
cuenca; para otros, lo es la determinación del tiempo en que ocurrirá dicho gasto. La mayoría
de las veces se requiere la estimación del hidrograma de dicha avenida.
Figura 3.2
Discretización de una cuenca
Conocido el hidrograma de la avenida en una sección del cauce, el estudio de su propagación
consiste en determinar las características que tendrá dicha creciente en otra sección transversal
situada aguas abajo. Generalmente, interesa obtener el nivel máximo que puede alcanzar el agua
en el cauce y el tiempo que tardará en presentarse. Ello es útil para evaluar el riesgo de
desbordamiento.
Por todo lo anterior, se deduce que el escurrimiento en los cauces es una de las etapas más
importantes del ciclo hidrológico. La relevancia de este fenómeno, pese a lo difícil de su
representación, ha motivado que exista una buena cantidad de métodos para su cálculo, que van
desde aquéllos con una concepción muy simple, de los que resultan gruesas aproximaciones;
hasta los más completos, cuyos resultados son bastante parecidos a los observados en la
realidad.
26
3.1 ECUACIONES BÁSICAS PARA EL TRÁNSITO DE AVENIDAS
El flujo de agua en los cauces naturales, generalmente se lleva a cabo con tirantes pequeños y
pendientes suaves, es similar al movimiento de una onda larga; el componente vertical de la
velocidad del agua es mucho menor que el componente horizontal, por lo cual el movimiento
del agua en el cauce puede ser tratado como unidimensional.
Las ecuaciones de movimiento del flujo no permanente a superficie libre para cauces no
prismáticos (ecuaciones de Saint Venant) son:
ó(Av) +B ah
=q
ah +1, av + 1 av
+S - so = 44.g (V-V)
ax g áx g ót f x
donde A es el área hidráulica (m2), v la velocidad media (m/s), B el ancho de superficie libre
(m), h es el tirante (m), g la aceleración de la gravedad (m/s2), So pendiente del fondo (m/m),
Sf la pendiente de la línea de energía (m/m), q gasto lateral por unidad de longitud (m3/s/m),
Vx componente en la dirección x de la velocidad del gasto lateral; además, x representa la
distancia (m) y t el tiempo (s).
En la ecuación 3.2, el segundo y tercer término corresponden a la aceleración local y
convectiva (comúnmente llamados términos de inercia).
La ecuación de continuidad es utilizada en todos los métodos para el tránsito de avenidas; no
así la ecuación dinámica. Debido a esto último, es posible distinguir varios tipos de métodos,
(3.1)
(3.2)
27
Condición de flujopara valuar la
pendiente de fric-ción
Perfil de la superficie libredel agua
Onda dinámica completa >::
Analogía de ::difusiónOnda cinemática.
Muskingum = Cunge.
no permanentepermanentepermanentepermanente
no uniforme:no uniforme
uniformeuniforme.:
según los términos de la ecuación dinámica que sean considerados en el cálculo.
Si se acepta que en la ecuación dinámica el gasto lateral es nulo (q=0) la expresión resultante
puede escribirse como:
ah y ay 1 aysf = so — ax g óx g át
flujo uniforme permanenteflujo no uniforme permanenteflujo no uniforme no permanente
Cuadro I Hipótesis utilizadas para calcular la pendiente de fricción (de acuerdo con la ecuación 3.3)
En la ecuación 3.3 y el cuadro I se observa el tipo de condición y flujo que resultan al
considerar algunos términos de la ecuación dinámica.
Por otra parte, la pendiente de fricción se calcula con las ecuaciones de flujo uniforme. Las
fórmulas de fricción, del tipo de la de Manning o Chezy, permiten plantear el cálculo del gasto
normal Q,, de la manera siguiente
Qn =K • A • R x so
(3.3)
(3.4)
28
Para el caso en el que el flujo es no permanente, Q podría escribirse como
Q =K•A•RX sf
Al sustituir la ecuación 3.3 en la 3.5, y después de tomar en cuenta la ecuación 3.4, se obtiene:
sonda cinemáticaQ=Q1 _ 1 v av _ 1 7v
so óx g so ax g so at
analogía de difusiónonda dinámica completa
La ecuación anterior define la curva de aforo (figura 3.4) en cualquier sección del cauce.
Figura 3.3
Curva de aforo (ecuación 3.6)
3.2 MÉTODOS PARA EL TRÁNSITO DE AVENIDAS
Para obtener la propagación de una avenida se requiere integrar las ecuaciones de continuidad
y la dinámica. Para los problemas prácticos, el cálculo analítico de esta integración es casi
imposible; sin embargo, para obtener soluciones aproximadas de dichas ecuaciones se han
propuesto métodos numéricos.
(3.5)
(3.6)
29
3.2.1 Clasificación conceptual
De acuerdo con la información disponible se han escogido las ecuaciones a resolver para definir
la creciente. En general las técnicas para el tránsito de avenidas se clasifican en dos categorías:
• Métodos hidrológicos o de almacenamiento
• Métodos hidráulicos o de proceso
a) Métodos hidrológicos
Estos métodos son los más numerosos y, en general, más simples. Se basan en el concepto de
almacenamiento del agua y no incluyen los efectos de la resistencia del flujo. Se toma al río
como una caja negra en la que su almacenamiento depende de los gastos de entrada y salida.
Dicho almacenamiento se plantea en términos de algunos parámetros cuyos valores son
particulares del río en estudio. Uno de los caminos para calibrar dichos parámetros consiste en
simular el flujo, con ayuda de una computadora. Sus valores se cambian hasta obtener la mejor
aproximación entre un hidrograma calculado y uno medido.
Los métodos hidrológicos se basan en la ecuación de continuidad y en una relación entre el
almacenamiento en el cauce y los gastos de entrada y salida. Además requieren de conocer los
hidrogramas correspondientes a una avenida en dos secciones transversales distintas.
Algunas de sus desventajas son:
- No consideran efectos locales de cambios en el perfil de la superficie libre del agua
(por ejemplo, los remansos y el efecto de la marea).
30
Suponen la existencia de una relación gastos - tirantes única a lo largo de un tramo
dado, lo cual no corresponde con las observaciones realizadas; en ellas se observa que
para un determinado nivel de la superficie libre del agua el gasto es mayor cuando el
flujo se incrementa que cuando decrece (figura 3.3).
b) Métodos hidráulicos
Los métodos hidráulicos utilizan las ecuaciones de continuidad y de conservación de cantidad
de movimiento para describir el flujo de agua en un cauce, tanto en el espacio como en el
tiempo. El empleo de este tipo de métodos es cada vez más frecuente debido al mejoramiento
de las técnicas numéricas; sin embargo, las demandas de la cantidad y calidad de la información
restringe su aplicación práctica.
Dos desventajas son:
La necesidad de una gran cantidad de información referente a las características del
cauce, gastos, aportaciones laterales, etc.
Requiere de un procedimiento de cálculo más extenso y detallado que los métodos
hidrológicos.
3.2.2 Clasificación cualitativa
Por otra parte, debido a que el empleo de la ecuación de conservación de cantidad de
movimiento es complicado, en ocasiones se utiliza una simplificación de la misma.
Con base en la ecuación 3.2, al suprimir los diferentes términos que la componen, la
31
clasificación resultante se muestra en el cuadro II.
Cuadro II Clasificación de algunos modelos para el tránsito de avenidas
SIMPLIFICACIÓN MÉTODO DESOLUCIÓN
ninguna Onda dinámica completa(ecuaciones 3.1 y 3.2)
considerando que los términos de inercia Analogía de difusiónson muy :pequeñtis (ecuación 3.7)
Ecuaciones de despreciando los términos de inercia Onda cinemáticaSaint-V:énant (aceleración eonvectiva y local) y el de
presión:(ecuación 3.8)
sustituyendo la ec dinámica con una Muskingum - Cungeexpresión lineal para el almacenamiento (ecuación 3:15)
De acuerdo con Viessman (1977), los cuatro métodos de solución difieren no sólo por los
términos de la ecuación 3.2 que incluyen, sino también con respecto a las hipótesis del flujo
para el cálculo de la pendiente de fricción, ecuación 3.3 (cuadro I).
A grandes rasgos, las principales características de los esquemas que se muestran en el cuadro
II son:
• Modelo hidráulico
Es el esquema más completo, ya que proporciona mejores resultados; sin embargo, es también
el más complicado de aplicar.
Para este caso, se ha escogido un esquema numérico para flujo no permanente que es
relativamente sencillo y tiene un requerimiento aceptable de información.
32
• Modelo de la analogía de difusión
Considera que debido a que los términos de inercia son tan pequeños, es posible despreciarlos
y la ecuación dinámica queda de la forma siguiente:
s0 =
ayx +
Sf
Al combinar la ecuación de continuidad con la simplificación correspondiente de la ecuación
dinámica, se obtiene la conocida ecuación convectiva-difusiva:
aQ
-W
aQ
at axµ
a2Q (3.7)ax2
donde
=
I dQ J = T l dy
(3.8)
x x
_ (3.9)2 T s0
• Modelo cinemático
Este modelo considera que los términos de inercia y de presión pueden ser despreciados, lo que
equivale a suponer una relación biunívoca entre gastos y tirantes. La ecuación dinámica se
reduce a:
sf = s0
y las ecuaciones de Saint Venant se reducen a una sola expresión conocida como la ecuación
de la onda cinemática:
33
1 aQ +aQ_qc ót ax
Este método describe satisfactoriamente el cambio de forma de la avenida pero no la atenuación
de su gasto máximo.
• Método de Muskingum-Cunge
Se basa en el método hidrológico de Muskingum. Supone la existencia de una relación lineal
entre los gastos de entrada y salida con el volumen de agua en un tramo del río. A diferencia
del método de Muskingum, en aquél no es necesario el registro simultáneo de hidrogramas tanto
a la entrada como a la salida del tramo de río en estudio. Los parámetros propios del método
(para cuya calibración eran indispensable los hidrogramas) dependen únicamente de datos del
cauce, con lo que se transforma en un método hidráulico; pasa a ser un método híbrido.
3.3 MÉTODOS HIDROLÓGICOS PARA EL TRÁNSITO DE AVENIDAS
El tránsito de avenidas con un método hidrológico, se basa en la ecuación de continuidad, que
en forma de diferenciales y ya discretizada es':
Qr + Qr+l
Qr +
Qr+t S' _
S r^ j ^ +1 j+1 _
2 2 At
Este tipo de métodos requieren una segunda relación algebraica, entre los gastos de entrada y
salida, que permita encontrar una solución para el flujo de salida cuando se conoce el flujo de
El subíndice "j" representa la sección involucrada en el cálculo, mientras que "j + 1" se refiere a la sección inmediata aguas abajo.Por su parte, el superíndice "t" referencia el intervalo de tiempo actual y "t+ 1" indica un intervalo de tiempo posterior.
(3.10)
(3.11)
34
(3.13)
(3.14)
(3.15)
entrada. Uno de los métodos mejor conocidos es el de Muskingum, que se basa en la suposición
de una relación lineal entre los gastos a la entrada, Qj, a la salida, Qj+,, y el almacenamiento,
S, de la forma:
S =K[eQj + (1 - e)Qj+1]
donde K y E son los parámetros del método y son determinados mediante una calibración,
utilizando hidrogramas medidos a la entrada y salida del tramo en estudio.
Muchos investigadores han estudiado el método y discutido las implicaciones que conlleva su
utilización. Cunge lo transforma de un método hidrológico a uno basado en principios
hidráulicos.
Al derivar la ecuación 3.12 respecto al tiempo, se obtiene:
ds = 717, K[E Qj + (1 -E) Qj+ 11
que en forma discretizada se expresa como:
Sr + t - S r K [e (mi- + 1 - Qjr) 4. - e) w
it: 11 - Qj` + 1)1At 0t
al sustituir esta expresión en la ecuación 3.11 se llega a la expresión
¡^ r+1 r t+1 rnj + 1 = Cl nj + C2 nj + C3 Qj + 1
(3.12)
35
cl=
c2=
donde
Ke + 1 At2
K -Ke + 1 At2
-Ke + 1Ot2
K - Ke + 1 Ot2
K -Ke - 1 AtC = 2
3
Es importante aclarar que la determinación de los parámetros del método depende de su
interpretación; así al relacionarlos con el modelo de convección-difusión (ecuación 3.7), se
puede demostrar que la ecuación 3.14 es una aproximación de este último, siempre y cuando
se cumplan las expresiones siguientes:
K =
(3.19)w
e= 2 w- (O < -<e
Al mismo tiempo, los parámetros se pueden expresar en términos de las características
hidráulicas y morfológicas del río. En ella /I es un coeficiente de difusión que refleja la
atenuación de la onda de la avenida que se calcula por medio de la ecuación 3.9 y w un
coeficiente de traslación que depende de la forma de la sección transversal. Este último está
defmido por la ecuación 3.8 y también puede plantearse como una función de la velocidad
media del flujo de acuerdo con la expresión siguiente:
w = P • Vm(3.21)
K - Ke + 1 0t2
(3.16)
(3.17)
(3.18)
(3.20)
36
Forma de la seccióntransversal
Parabólica
Valor;del coeficientep
5/3
4/3
11/9
siendo Vm la velocidad media del flujo en el cauce (m/s), P es un parámetro en función de la
forma de la sección transversal del cauce. En el cuadro III se definen algunos de sus valores.
Cuadro III Valores del coeficiente "P" para diferentes seccionestransversales
De acuerdo con la ecuación 3.15, es factible simular la avenida de dos diferentes maneras:
Para cada Ot "barrer" todo el río, esto es, de la primera a la última sección (y avanzar
de Ox en Ox) e ir determinando el comportamiento de la avenida en cualquier sección
del cauce, al mismo tiempo.
b) Para cada Ox "barrer" en el tiempo cada una de las secciones (y avanzar de Ot en Ot).
En este caso se determinaría por completo el comportamiento de la avenida en cada
sección.
Por otra parte, al añadir un término de gasto lateral q (en m3/s/m), el hidrograma a la salida
del tramo en análisis se determina con esta expresión:
Qj+1 = Cl njt + CZ !1t +1 + C3 .
Qj+1 + . C4(3.22)
37
C4 =
CURVA PARA VERIFICACON DE LOS PARAMETROSMETODO DE MUSKINGUM-CUNGE
1
0.9
0.8
0.7
ñ 0.8
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0 0
LIMITE DE
ESTADIUDAD
70NA OUE"GAAANTI7A LfaE$TABIiJDAR DE .METODO
0.1 0.2 0.3
C 0.4
05
donde
q AtAx
K (1- E)+ Z At
Para obtener resultados con suficiente aproximación Cunge propone seleccionar
convenientemente los intervalos Ax (longitud de los tramos en que se subdivide el cauce) y At
(lapso entre los cálculos). Para ello se define el parámetro siguiente
X = A x
CO O t(3.24)
Con este parámetro se define un punto (e, A) en la figura 3.5 que debe localizarse debajo
de la curva mostrada en dicha figura. En caso contrario, el valor para At debe reducirse hasta
ubicarlo en la zona de estabilidad.
Figura 3.4 Relación para la estabilidad del método
(3.23)
38
3.4 MÉTODOS HIDRÁULICOS PARA EL TRÁNSITO DE AVENIDAS
Ante la dificultad de estimar la pendiente del fondo o la cota de fondo (z) en los cauces
naturales, en lugar de emplear la profundidad hidráulica (h) se ha preferido manejar en las
ecuaciones 3.1 y 3.2 a la elevación de la superficie libre del agua (y = h + z) respecto a un
plano horizontal de referencia.
Para la escritura en diferencias finitas de las ecuaciones 3.1 y 3.2 se toman en cuenta los
volúmenes de control mostrados en la figura 3.6. Se emplea un criterio Lagrangiano, ésto es,
como los volúmenes de control son constantes en el espacio solamente se modifica la
profundidad hidráulica. Se establece que las elevaciones del agua en la sección i y en la i+1
son respectivamente ni y Y. Además, en la sección i la velocidad de ingreso a ella es V1,
y la de salida Ud y se supone que en la misma puede entrar al cauce o salir de él un gasto G„
(es positivo cuando es gasto de entrada y negativo si es gasto de salida). Las variables del flujo
de agua están referidas al instante t = jOt a una distancia x = i /.x.
Donde At es el intervalo de tiempo y Ax es la longitud entre las secciones i e i+1.
Figura 3.5 Secciones a lo largo del cauce
39
En el Apéndice A se demuestra que las velocidades de entrada y salida de la sección i están
planteadas como
U =r,¡^1 Pr¡ Yr.l,i+l + Ql,i Y,;.1 + Rri
V ^i Y .1^^1 + Ta Y^+1 + W 3
En estas expresiones P. 1 , Q, R., Sf i , T y W; i son coeficientes cuyo valor es
conocido. Ellos dependen de la elevación del agua, velocidad del flujo, área hidráulica, ancho
de superficie libre, radio hidráulico de la etapa de cálculo del tiempo t . También incluyen al
coeficiente de rugosidad de la fórmula de Manning, aceleración de la gravedad, intervalos de
tiempo y longitud; están definidos por las ecuaciones A.16 a A.21.
La ecuación de continuidad aplicada en la sección i permite escribir
(3.25)
(3.26)
`4 1,i V,í+l Ui ,i + 1 + (BGt,i + ( 1 e) j) (3.27)
donde B es un factor de peso (0 <_ B <_ 1) .
Al tomar en cuenta las ecuaciones 3.25 y 3.26 se obtiene
Ti- 1,i Y-1,i 1 + (Q±, - S; - 1 ,i ) Yf,i +1 +Pj,i Y'+1,i+1
=W1 l.i-R i,] Al i (OG1,1+1 +(1- 8)G,,i)
En la expresión anterior aparecen tres incógnitas, la elevación de la superficie libre del agua
en las secciones i-1, i e i+1 para la etapa de cálculo j +1.
(3.28)
40
3.4.1 Condiciones de frontera
De acuerdo con el método de características, para el cálculo del flujo no permanente a
superficie libre, cuando se tiene régimen subcrítico se requiere de una condición de frontera
aguas arriba y otra aguas abajo. En este trabajo sólo se considera flujo subcrítico.
3.4.1.1 Condición de frontera aguas arriba
En la primera sección (i = 1) se propone como condición que el gasto de ingreso sea conocido.
De modo que el gasto (G 1) promedio es igual al de salida A,1 U11+1 , esto es
6Gl,i+1 + ( 1 -0)G,1 = /11,./
que al tomar en cuenta a la ecuación 3.25 para i =1 resulta
Q 1,1 Y1,1+1 + Pl,i Y1 i -- R 1,i +1 , ^ BG,,i + 1 + ( 1 -O) ,jA 1
3.4.1.2 Condición de frontera aguas abajo
Se considera como condición de frontera una elevación de la superficie libre conocida, sea YF.
Las velocidades de flujo del último tramo son
U -M-1,i+1 PM-1,i YF.
+ QM- 1 ,i YM- 1 ,i + RM -1,1
(3.29)
(3.30)
41
(3.31)VM - 1 ,1 + 1 - SM - 2,i YM-1,i+1 - TM - 2,1 YM - 2 ,i + 1 + WM-2,1
Al proponer la ecuación de continuidad en la penúltima sección (i = M - 1) da lugar a
3TM-2,i YM -2 ,1 +1 + (QM - 1,j — SM - 2 ,Í) YM-1,i+1
WM-Z,i - RM-I,i A 1
(O M- 1 ,1 + 1 + ( 1-6 ) GM-I ,.l l - PM - 1 ,1 YF
M-1
Para asegurarse que la descarga de esta sección sea con una elevación del agua mayor o igual
a la mínima (la asociada al tirante crítico hci para el instante j) se emplea la siguiente ecuación
donde Aco es el área correspondiente al tirante critico (m2), Be el ancho de superficie
correspondiente al tirante critico (m) y VM la velocidad de entrada (m/s) en la sección M para
el instante j.
De este modo, Y está definido de la siguiente manera
hF + ZF sí hF > hd,i
YF
1h+ZciF sí hF < hc,i
donde ZF es la elevación del fondo de la sección i = M (m) y hF el tirante (m) conocido en tal
sección.
(3.32)
Ac, i8c,1
(3.33)
(3.34)
42
3.4.2 Método de cálculo
Para obtener las elevaciones del agua en la etapa de cálculo se forma un sistema de ecuaciones
de la manera siguiente:
a) Sección de aguas arriba del tramo en estudio (i = 1)
Se utiliza la ecuación asociada a la condición de frontera de aguas arriba; en este caso la
ecuación 3.29.
b) Secciones intermedias (i = 2, 3, ... , L - 1)
Se emplea la ecuación 3.28.
c) Sección de aguas abajo del tramo en estudio (i + 1 = L)
Se toma en cuenta a la condición de frontera de aguas abajo, se considera la ecuación 3.32.
De este modo, las ecuaciones de los incisos a, b y c forman un sistema de M-1 ecuaciones
lineales tridiagonal que tiene como incógnitas a las elevaciones Yid+ , (para i = 1, 2 , ... , M -
1). En la tabla 3.2 se muestra la matriz ampliada de este sistema.
Una vez resuelto el sistema, las velocidades de llegada (V10+1) y las de partida (U, J+ , son
obtenidas a partir de las elevaciones Y; 0+1 por medio de las ecuaciones 3.25 y 3.26.
43
Tabla 3.2 Matriz ampliada del sistema de ecuaciones tridiagonal
( M-1 renglones con M columnas )
Q7r P7 J 0 0 O O O -R . IW A-J ( 80W.7 `(1-e)G,J)
71,1 (Q7J -S13) 1)74 0 O O O R 1W7J W 4 Á (B62,/.i'(1-0)G„)
W
o r:J (Q7J -s74) P74O O WW - RW .
Al (BGW,7.(1-B)G7J)
7J
0 0 0 0
0 0 0 0
ry-7J (Qtl-2-S77-7J) Py-74 w.x-7J-Rr-W' (6Gr.W.i'(1-9)Gyy)
AW
-
1O ry 7u (Qy_7j Sy7J1
Wy-W R.v-W ^ AN
W(BGv-W,7*(1-9)Gtl-W) P11-WpP
3.4.3 Gastos sobre los bordos del río
Cuando la elevación del agua excede la altura de los bordos se tiene un gasto de salida del río.
Este gasto se calcula con base en la ecuación de un vertedor de cresta ancha.
El gasto sobre el bordo del río puede corresponder a una descarga libre o a una ahogada de
acuerdo con las elevaciones del agua en el río y en la llanura cercana a él.
Sean ZR , Zc , ZL las elevaciones del agua en el río, del bordo y del nivel del agua en la llanura,
respectivamente (figuras 3.6 y 3.7).
44
En este caso
3 (ZR - Zc > ZL — Z^
el gasto se obtiene por medio de la expresión
G = ^L (ZR — Zc)1.5
donde
= b V " 6
(3.35)
(3.36)
(3.37)
3.4.3.1 Descarga libre
Figura 3.6 Descarga libre sobre , el bordodel río
siendo b la longitud de bordo (m) donde existe vertido, g la aceleración de la gravedad (m/s2)
y µL un coeficiente de descarga (aproximadamente igual a 0.54).
3.4.3.2 Descarga ahogada
Para este caso
3 (ZR -Zc ) < ZL -Zc
el gasto se calcula con esta ecuación
G = ^q ( ZL - Z^ ) J ZR - ZL
donde
= µA b g
siendo µ,, un coeficiente de descarga para el caso
cuando Figura 3.7 Descarga ahogada sobreel bordo del río
3 ( ZR — Zc ) = ZL — Zc
(3.38)
(3.39)
(3.40)
(3.41)
45
Las ecuaciones 3.36 y 3.39 deben dar el mismo gasto. Para que ello ocurra se requiere cumplir
que
(ZR - Zc)1.5 =
`YA(ZL - Z, ) 1 ZR -
considerar 3.41 y después de simplificar se llega a
^LA
A I 3 1 (3 1 ^
o sea
= 0.3849 oA (3.42)
De modo que manteniendo la relación 3.42 entre los coeficientes de descarga libre y ahogada
se tiene congruencia en ambas ecuaciones de gasto.
Al considerar el tiempo que persisten los gastos sobre los bordos, se obtiene el volumen de
inundación de la avenida transitada por el cauce.
Los gastos de desbordamiento aparecen descritos como G; en el método de simulación
(ecuación 3.27).
3.5 ALGORITMO DEL MÉTODO DE SIMULACIÓN DE FLUJO
De acuerdo con las ideas expuestas, el método propuesto consiste en los pasos siguientes:
1. Leer datos de las secciones transversales de fondo, coeficientes de rugosidad, distancia
entre secciones, etc.
46
2. Hacer j = 1
3. Leer valores iniciales de elevaciones de agua y velocidades
Y=, i , Ui,i Vi +i,i
4. Leer hidrograma de entrada en la primera sección (i = 1)
G1,1 , G1,2 , G1 3 , ...
5. Determinar YF con la ecuación 3.34. Se considera
YM>1+ 1 = YF
6. Desde i = 1 hasta M - 1 calcular, con las expresiones A.16 a A.21, los coeficientes
P.,1' (20 , Ri>i' S41' T=,i y w,i
7. Definir los coeficientes y términos independientes del sistema de ecuaciones lineales
(Tabla 3.1). Se usan las ecuaciones 3.29, 3.28 y 3.32.
8. Al resolver el sistema de ecuaciones lineales tridiagonal se dispone de las elevaciones
9. Calcular con las expresiones 3.25 y 3.26 las velocidades
U,1 + 1 Y ^,1 + 1
10. Calcular los gastos de desbordamiento
11. Considerar que j es igual a j+1
12. Si j no excede el número de etapas de cálculo de interés ir al paso 5, de otro modo,
concluye el método.
47
CAPÍTULO 4
VOLUMEN DE INUNDACIÓN POR DESBORDAMIENTO DEL RÍO
El cálculo del volumen de inundación esperado en un ano de un río se basa en las siguientes
consideraciones:
a) El volumen de inundación se presenta cuando es insuficiente el cauce para conducir los
gastos del hidrograma de entrada con período de retorno T.
b) El volumen de inundación se obtiene por medio del modelo de simulación de flujo no
permanente cuando la elevación de la superficie libre del agua que fluye por el cauce del río
excede la elevación de los bordos.
4.1 ESTIMACIÓN DE VOLÚMENES DE INUNDACIÓN
Los volúmenes de inundación que suceden en el río cuando presenta una avenida de período
de retorno T se acumulan durante el tránsito de la avenida calculado con el modelo de
simulación mencionado.
La probabilidad de excedencia Pe en cualquier año de un gasto con período de retorno Tr esta
dada como
y la de no excedencia será
P = 1 — 1T
(4.1)
48
El volumen de inundación depende de los gastos de las avenidas que se presentan en el río,
como cada avenida está asociada a la probabilidad P, resulta entonces que este volumen también
está relacionado con esta probabilidad P. Así se puede dibujar una gráfica de volumen de
inundación contra la probabilidad P como se muestra en la figura 4.1.
Figura 4.1 Determinación del volumen esperado deinundación
Por otra parte, si p(x) es la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria x (en
este caso el volumen de inundación), entonces
P(x) = f p (x) dx
corresponde a la función de distribución acumulada de p(x). Por el Teorema Fundamental del
Cálculo Integral
dP(x) = p(x) dx
multiplicando ambos miembros de esta última ecuación por x resulta
49
CHITO NAe :. NAi DE DESAIIRES -^ VeN14.1.11.101111..0.1WS
(4.2)
(4.3)
x dP(x) = x p(x) dx
integrando
fo 1 x dP(x) = f
^ x p(x) dx = E(x)
Este resultado muestra que el área bajo la curva de la figura 4.1 es la esperanza o valor
esperado de la variable aleatoria x.
4.2 COSTO TOTAL DE LA OBRA DE MODIFICACIÓN AL CAUCE
Se considera que para juzgar la bondad de un proyecto de una obra diseñada con base en el
periodo de retorno T con vida útil de L anos, con la finalidad de evitar o disminuir los daños
por inundación; se debe comparar la suma de costos de inversión de la obra, de mantenimiento
de la misma y de los daños por inundación que persistieran después de construida la obra, con
respecto al costo de los daños que existen antes de la construcción de la obra (CTR ,,n). Si la
suma de costos es menor, la obra se justifica por razones puramente económicas. Desde luego,
en caso de que la inundación provocase la pérdida de vidas humanas y la obra redujera la
probabilidad de que se presentara esta pérdida, debe prevalecer el criterio de que la obra tiene
razón de ejecutarse independientemente de su costo.
La elección del periodo de retorno se fundamenta en que la suma de costos antes mencionada
sea lo más pequeña posible. Para obtenerla se plantea como referencia de comparación, que
su cálculo se establezca al final de la vida útil de la obra (se considera igual para todos los
diseños de la obra).
(4.4)
(4.5)
50
4.2.1 Costo de inversión
Si el costo de la obra es C° y el interés bancario es i, el capital que se tendría al final de L años
de vida útil de la obra sería igual a
Cm = Co(1+ i)L
4.2.2 Costo de daños por inundación
Por otra parte, al hacer la obra para la avenida de periodo de retorno T el costo anual por
inundaciones es
CR = Cd V (4.7)
donde b' es el volumen de inundación esperado en cada año y Cd es el costo del daño por
cada m3 de volumen de inundación. Además este costo es diferido a lo largo de los L anos, de
modo que lo pagado al final del primer ano correspondería a CR (1 +i)°. Al terminar el segundo
ano lo pagado sería CR (1 +i)° + CR (1 +i)' . Al final del tercer ano se tendrá un gasto de
CR (1 +i)° + C,(1+0 1 + C,(1+02 y, así al final del año L resultará que
L- 1
CTR = CR E (1 +i)nrt =0
De este modo, C,R es el costo al final del ano L por concepto de los danos ocasionados por las
inundaciones.
(4.6)
(4.8)
51
Al tomar en cuenta el valor de la suma incluida en la ecuación 4.8 se tiene que
CTR = CR E (1+i)n = CR (0+01.-1)
n =0
4.2.3 Costo de mantenimiento
De manera similar a lo planteado para el costo de los daños, si Cm es el costo anual de
mantenimiento de la obra de protección al final de L años, el costo total de mantenimiento será
=—
( (l +i)L_l 1CTM Cm
J
Como la suma de los costos relativos a la construcción, mantenimiento y de reparación de los
daños depende del periodo de retorno escogido para el diseño de la obra, se requiere de obtener
el periodo de retorno óptimo, que será aquél para el cual la suma de costos relativos es
mínima.
Así para que se justifique económicamente la ejecución de la obra, la suma de los costos
relativos mínima debe ser la menor a la de los daños sin obra.
Esto es, conviene seleccionar la obra para la cual
CT = Co (1 + i)L + Cm [(l+ i )L_ l] + Cd
(4.9)
(4.10)
52
es mínima, sea, CT min = CT.
Si CTR sin es el costo de daños antes de construir la obra, para que sea factible la construcción
de la obra por motivos económicos es necesario que C T min sea menor que CTR sin.
53
CAPÍTULO 5
EJEMPLOS DE APLICACIÓN
El río Papaloapan tiene como principales afluentes a los ríos Santo Domingo, Tonto, Valle
Nacional, Obispo, Tesechoacán, San Juan y Tecomate (Figura 5.1). Los dos primeros
contribuyen aproximadamente con el 30 % del total que recibía el río Papaloapan antes de la
construcción en ellos de las presas Miguel de la Madrid y Miguel Alemán. Aunque estas presas
pueden almacenar los escurrimientos de estos dos ríos, no evitan la ocurrencia de inundaciones
en extensas zonas de la parte baja de la cuenca del río Papaloapan, incluyendo los poblados de
Cosamaloapan y Tlacotalpan. Ésto se debe a los gastos grandes de los restantes ríos.
Laguna deAlvarado
Río Sto. Río Ríos Blanco
PresaDomingo Tordopresa y Acula
Miguel de la Madrid* ±
Miguel Alemán (Estación Cuichapa)
=0 =0 124 133 241 263 293 RíRío Valle
1MAR
Nacional 1(Est. Jacatepec)
Rio Obispo I Río I I(Est. Obispo) Tesechoacán Río Río
(Estación Azueta) San Juan TecomateEstaciones (Lauchapan
y Cuatotolapan)
Figura 5.1 Croquis de localización de los afluentes del río Papaloapan
Se presenta el cálculo de los volúmenes de inundación de la parte del río Papaloapan
comprendida entre los afluentes Tesechoacán y San Juan. En estos ejemplos, se consideraron
108 secciones transversales (definidas con diez puntos contenidos en un plano vertical) con una
separación máxima de 600 m en promedio, cubriendo una longitud de 45.8 km.
54
5.1 AVENIDA MÁXIMA ASOCIADA A UN PERIODO DE RETORNO
Con base en la información de gastos medios diarios de la estación hidrométrica Azueta se
formó un arreglo día-gasto donde a partir de la fecha del gasto máximo se tomaron los valores
de los gastos de siete días antes y siete días después. De los conjuntos de 14 gastos máximos
de cada ano, se calcularon los gastos medios en un día, en dos días, , 14 días. Los gastos
medios anuales en m días permitieron escoger las funciones de distribución de probabilidad de
mejor ajuste a sus valores; ésto se hizo para m = 1 día, 2 días, ... , 14 días. La función de
distribución de probabilidad que dió mejor ajuste fue la Gamma.
Para obtener la forma del hidrograma, se condideró en el registro histórico a los gastos medios
diarios de tres días consecutivos, que incluían al máximo anual. Se definió como 1 al máximo
anual, como 2 al gasto del día anterior o posterior al máximo que fuese mayor y, como 3 al
menor de los gastos de los tres días consecutivos. Se observó la frecuencia con que se
presentaron los ordenamientos 123, 312, 213, 321; como el ordenamiento 312 resultó con la
mayor frecuencia fue el selecionado. Con base en este ordenamiento, se acomodaron los tres
mayores gastos medios diarios estimados. Los gastos medios para los once días restantes se
colocaron en los extremos derecho e izquierdo del ordenamiento de los tres mayores gastos,
evitando que el acomodo diera lugar a una forma con ascensos y descensos en los valores.
Este mismo proceso se aplicó para las estaciones Jacatepec (sobre el río Valle Nacional) y
Obispo (sobre el río Obispo).
En la figura 5.2 y tabla 5.1 se muestran los hidrogramas obtenidos para los distintos periodos
de retorno en una estación hidrométrica Azueta.
55
7-2 = 2 3 4 5 7 Ztl 15 día ? QCrel.3is] á QCm3Js) ^ Q(xr3Js) Q(xx^3lsJ ^ QCxr^3+s) QCzn31s) ^ Q(rr^3ls)
O 304.0 ; 304.0 € 304.01 304.0 € 3 04.0 :304.q € 304.0
1 4s1.O6 s26.96 554.6! 574.46 602.1 1 629.s6 658.7
2 657.9 ; 749.7 ; 805.2 _^ 844.76 900.2 1 955.0 6 1013.3
3 683.4 € 776.7 ^ 833.1 ; 873.36 929.6 1 985.1 6 1044.2
4 835.4^ 93B_8; 1084.0; 1051.66 1119.6; 1188.1^ 1262.5S 864.4 6 979_2979.21 1 054 .11 1 109.71 1 190 .6 1 1273.3 € 1364.3
6 929.5 1 1090.5 1 1231 .611412 1236.51 .7 ; 1544.7 ^ 1692.2
7 895.7 6 1026.7 1 1 114 .81 1 181 .21 1279.0 1 1380.16 1492.58 799.1 € 897.4
872.1 6
958.81 10013.3; 1056.81 1130.41 1 199 .29 775.6 € 930.1; 971.41 [email protected]! 1085.91 1146.210 729.51 826.5 1 887.41 931.71 995.0! 1053.6= 1127.611 712.6 ! 807.31 864.51 9 05.1 1 962.1 1 1018.71 1077.7
13 3D4.06 304.06 304.01 304.01 304.01
33= 1 20 25 30 35 40día 1 Q(re131s) s Q(xcL34) 1 QCxr^3rs7 QCrr^3+s) s QC^3fs7O 304.0 1 304:0 6 304.01 304.01 304.011 678.4 6 693.21 705.01 714.8: 723.312 1 ns7 _7 6 1082.3 1 1 106.0; 1125 .61 1142 .5 ;3 1 084 .1 1 1 114.1 1 1 138 .0 ; 1 157.91 1 174 .9 ;4 1313.5: 13sa.2 € 1383.3; 1409.3€ 1431 .715 1 427 .21 1475.2 1 1514 .0 ; 1546 .31 1574.2 ;
6 1795.2 18,3.8 1 1937 .5 ; 1 990 .11 2035.6 1 7 15"10.8 6 1 630.56 1678 .6; 1719.06 1753.7; 8 1246 .36 1281 .9 ^ 1 310 .51 1334 .4 € 1 354 .9 ;
9 - 1186.96 1217.4: 1241.7; 1262.01 1279.3;10 1 174 .86 1 210.7 6 1 239 .51 1 263 .51 1284 .1 ;11 1118A6 114s.2 6 1 17'2.4; 1192.46 1209.5;12 711.0 6 726.1 i 738.2 ; 748.2 € 756.8 ;13 , 304.0 304.0 4_` 300 ; 304.0: 304.0 ;
304.D 6 304.045 50
QCm3,^s) b Q(zet3ls)3 04.0 B 304.0730.5 € 737.0
1 157.01 1 170.01 189.71 1202.91 451 .11 1468.51598.ó 1 .1660.12075.41 2110.21783.81 1810.71372.71 1388.81294_36 13J7.71302 .1 ^ 1318 .21224.4 1^3J.6
^764.2 6 770.8304.0 6 304.0
12 1 508.3 1 555.7 1 584.31 604.61 633.1 ; 661.4 € 690.9
- Tr = 2 años
Tr = 3 años
▪ Tr = 4 años
- Tr = 5 apios
- Tr = 7 años
- Tr - 10 años
- Tr = 15 años
Tr = 20 años
fi Tr - 25 años
-*` Tr - 30 años
Tr - 35 años
-4` Tr - 40 años
Tr = 45 años
Tr = 60 años
Figura 5.2 Hidrogramas estimados para diferentes periodos de retorno (Estación Azueta)
Tabla 5.1 Hidrogramas asociados a diferentes períodos de retorno (Estación Azueta)
56
Bordo derecho
Bordo Izquierda
_ ......Elevación del agua peraQ = 1600 Hila
Elevrolñn Val agua paraQ — 1660 m'/e
Elwaa 6n del agua paraQ + 2200 m'h
0 5 1 0 15 20 25 30 35 40 45Distancia [km]
30
28
26
24
22
20
18
5.2 CAPACIDAD MÁXIMA DE CONDUCCIÓN DEL CAUCE
Para considerar el remanso del flujo del río desde su desembocadura en la laguna de Alvarado
(cuando tiene el nivel más alto por marea debido a su cercanía al mar), se supuso que en el
extremo de aguas abajo del tramo en estudio (donde confluye el río San Juan) se tiene una
elevación del agua de 1 m sobre el nivel medio del mar.
Para las condiciones de flujo permanente en el tramo en estudio del río Papaloapan. Se estimó
la capacidad de conducción de gastos del cauce. En la figura 5.3 se muestran las elevaciones
máximas del agua obtenidas con el método descrito en el capítulo 2 junto con las de los bordos
del río.
Figura 5.3 Elevaciones máximas alcanzadas por el nivel del agua, para varias avenidas con
diferente periodo de retorno
Se encontró que la capacidad del río Papaloapan entre los afluentes Tesechoacán y San Juan,
cuando la elevación del agua es de 1 m sobre el nivel del mar en su sección final, corresponde
a 1850 m3/s.
57
5.3 VOLÚMENES DE INUDACIÓN
Se consideró que el remanso en el río desde su desembocadura a la Laguna de Alvarado
provocaba una elevación del agua de 1 m sobre el nivel medio del mar en el sitio donde ingresa
el río San Juan y que era nula la descarga de las presas Miguel Alemán y Miguel de la Madrid.
Además, se estimó que los ríos Valle Nacional y Obispo aportan un gasto constante igual a las
2/3 partes de la suma de sus escurrimientos máximos de estos ríos (tabla 5.2).
Tabla 5.2 Gastos Máximos de los ríos Valle Nacional Y Obispo
Periodo deretorno(años)
ValleNacional
(m3/s)
Obispo(m3/s)
Valle Nacionaly Obispo
(m3/s)
2/3 ValleNacional y
Obispo (m3 /s)
2 1017.9 152.1 1170.0 929.5
5 1379.2 205.0 1584.2 1286.5
7 1494.4 221.0 1715.4 1412.7
10 1610.9 236.0 1847.8 1544.7
15 1738.1 253.9 1992.0 1692.2
20 1825.4 265.5 2080.9 1795.2
25 1891.9 274.2 2116.1 1873.8
30 1945.5 281.0 2226.7 1937.5
40 2028.4 292.0 2320.4 2035.8
50 2091.9 300.2 2392.1 2110.2
Se aplicó el modelo matemático de flujo no permanente descrito en el capítulo 3. Esto se hizo
para los hidrogramas de la figura 5.2. De este modo, se obtuvo el volumen de inundación por
desbordamiento del río que podría generar cada uno de los hidrogramas. En la figura 5.4 se
muestran los hidrogramas en los extremos del río y en la tabla 5.3 se consignan los volúmenes
de inudación obtenidos.
58
Se aprecia que para un periodo de
retorno de 5 años se presenta un
volumen de inundación del orden de
8.6 millones de m3 por lo cual
existirán volúmenes de inundación
superiores a él con una probabilidad
menor a 0.2 cada año (tabla 5.3).
1
4
E 3
m-oa
É 2
mo
o0
r
Hldrogramaentrada
de
salida.Hldrograma de
50 100 150 200 250 300 350
Tiempo [hr]
Figura 54 Flidragramas a la entrada y a la salida detramo de estudio, para un periodo de retorno de 50años
Tabla 5.3 Volúmenes de inundación asociados a distintos periodos de retorno
Periodo deretorno T (años)
Probabilidad deexcedencia (1-1/T)
Volúmenes deinundación m3x106
2 0.50 0.0
5 0.80 8.6
7 0.85 49.0
10 0.90 129.4
15 0.93 256.0
20 0.95 350.2
25 0.96 436.0
30 0.968 503.9
40 0.975 613.5
50 0.98 701.8
59
0 ----_0 5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95
Probabilidad de no excedencia (P)
5.4 VOLUMEN DE INUNDACIÓN ANUAL
Con base en los volúmenes de
inudación calculados para diferentes
periodos de retorno (tabla 5.3) se
obtuvo la figura 5.5. El área bajo
curva mostrada en esta figura
permitió definir el volumen
esperado de inundación.
Figura 5.5 Volumen anual esperado de inundación
Así el volumen de inundación promedio que ocurre en cualquier año resultó ser igual a 33.3
m3 . Este resultado verifica que la presencia de las presas Miguel Alemán y Miguel de la Madrid
no evitan las inundaciones por desbordamiento en la parte baja del río Papaloapan, ya que la
capacidad para conducir gastos en esta zona del río es pequeña en comparación con los gastos
máximos anuales.
Para aumentar la capacidad de conducción de gastos en el río es necesario construir obras o
bien realizar cambios en las secciones transversales del río. Estas últimas consisten en el
dragado para ampliar el área hidráulica, aumentar la elevación de los bordos marginales o
rectificar el río.
60
CAPÍTULO 6
CONCLUSIONES
El conocimiento del gasto máximo, volumen y forma de la avenida asociada a un periodo de
retomo permite llevar a cabo distintos análisis hidráulicos. En los estudios de obras hidráulicas
contribuye a evaluar su diseño u operación. También hace posible establecer los gastos que
entran al cauce de un río y con base en ello, estimar el volumen de inundación por
desbordamiento del agua sobre sus márgenes.
El cálculo de el gasto máximo que puede escurrir por el cauce de un río permite conocer la
posibilidad de que existan inundaciones por desbordamiento del agua sobre las márgenes del
río.
Simular el flujo en un cauce natural es útil para evaluar las consecuencias de construir obras
en el río o llevar a cabo modificaciones del mismo.
Los métodos de tipo hidrológico para el tránsito de avenidas en cauces constituyen una
herramienta valiosa para conocer la evolución de las avenidas a lo largo de los ríos. Mediante
el cálculo del hidrograma en cierta sección de interés y el gasto máximo de conducción es
posible mejorar el cálculo del volumen de inundación.
Con la aplicación del modelo matemático para simular el flujo no permanente se obtiene una
adecuada estimación del volumen de inundación y los sitios por donde se presenta el
desbordamiento del agua. Es preferible su aplicación a la de los otros métodos, aunque requiere
mayor cantidad de información y de apoyo de cómputo.
61
BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS
1) Bedient, Philip B; Huber, Wayne C; "Hydrology and Floodplain Analysis"; Addison-
Wesley Publishing Company; USA, 1989.
2) Comisión del Papaloapan, SARH; "Boletín Hidrométrico de la cuenca del río
Papaloapan "; 1954-1977, México.
3) Camargo H, Jaime; Villa Z, Raúl; "Río Papaloapan, Ver. Estudios realizados en
modelo hidráulico (1970-1974) "; Comisión Nacional del Agua, Laboratorio de modelos
fluviales de Ingeniería experimental; Mayo, 1992.
4) Cunge J. A., "Simulation des ecoulements non permanents dans les rivieres et
canaux", Instit National Polytechnique de Grenoble, Fr ance, 1984.
5) Chaudry M. H., "Applied Hydraulic Transients", V an Nostrand Reinhold Co.,
Vancouver, Canadá, 1979.
6) Domínguez M, Ramón; Jiménez E, Martín; García J, Fermín; Salas S, Marco A,
"Reflexiones sobre las inundaciones en México "; Centro Nacional de Prevención de
Desastres (CENAPRED), Cuaderno de Investigación No. 4, México 1994
7) Fuentes M, Oscar A; Domínguez M, Ramón; Fuentes M, Guadalupe E; Osnaya R,
Javier; Franco H, Luis E; Val S, Rafael, "Estudio hidráulico del río Papaloapan desde
las presas Miguel Alemán y Miguel de la Madrid hasta su desenbocadura al mar";
Instituto de Ingeniería, UNAM; México, 1994.
62
8) Henderson F. M., "Open Channel Flow", Mc Millan, New York, 1966.
9) Mahmood, K; Yevjevich, V; "Unsteady flow in open channels "; Water Resources
Publications; USA, 1975.
10) Sánchez B, José L; Fuentes M, Oscar A; "Método alternativo para la evaluación de
efectos transitorios en canales "; Comisión Federal de Electricidad; México, 1986.
63
APÉNDICE A
MÉTODO HIDRÁULICO PARA EL TRÁNSITO DE AVENIDAS
El movimiento del agua en el cauce natural se considera como flujo unidimensional. El cálculo
se basa en esquema numérico propuesto por Sánchez y Fuentes (1986). Se limita al flujo en
cauces y a volúmenes de control constantes en el espacio en los que solamente se modifica la
profundidad hidráulica. El modelo matemático resuelve las ecuaciones de flujo no permanente
a superficie libre en un cauce natural.
Las ecuaciones de flujo no permanente a superficie libre para cauces no prismáticos se
consideran en la forma siguiente
a(Av) =B
ay (A.1)ax at
ay = v av 1av+ _ +Sf (A.2)óx g ax g at
En estas ecuaciones y representa a la elevación (m) de la superficie libre del agua respecto a
un plano horizontal de referencia (corresponde a la suma del tirante más la elevación del
fondo), A es el área hidráulica (m 2), v la velocidad media (m/s), B el ancho de superficie libre
(m), g la aceleración de la gravedad (m/s 2), Sf la pendiente de la línea de energía (m/m);
además, x representa a la distancia (m) y t al tiempo (s).
64
1 G ^,J
1
Flujo 1,11,4J-- y — —► V ,l
iJ
__`_'Y,
U^.i V^. Ji+^,- --.
Y..i ,1 Y+1.1
Tramo i-1
óam
cpTramo i +
Cu) co S
Ot
ái PHC
-,
Figura A.1 Secciones en el río
Para la escritura en diferencias finitas dé las ecuaciones A.1 y A.2 se toma en cuenta a los
volúmenes de control mostrados en la figura A.1.
Como las elevaciones y las velocidades varían con el tiempo y la distancia, los distintos
términos de las ecuaciones A.1 y A.2 se pueden escribir en diferencias finitas de la manera
siguiente:
ax OX. l .+1,i+1 -Y ) + AX;
^ Y+1,i - Y,i )^
V ay v+1 ,i+1 + U,i+ 1 ( v. — U. )g óx ° 2g OX,
\ + 1,i i
1 av 1 l
g at 2g At ^( U,1+1 + + ,i + 1 ) -( U,i + V +l ,i ) J
z
Sf - 4 isis ^ U.,i + V +1,i I ( + 1 + V + 1,i+1)j
(A.3)
(A.4)
(A.5)
(A.6)
65
ax
Y
a A v _ A,+i,;V+i,;+i -A^,i U ,i+ 1
OX;
B ay =
Bt+i i+ Bt i f(y +y
o+1)
at 4 ^tL‘
(A.8)
donde O es un factor de peso que sirve para calcular promedios ponderados en el tiempo con
la finalidad de mejorar la aproximación de las derivadas temporales.
Sustituyendo las ecuaciones A.7 y A.8 en la ecuación A.1 y las ecuaciones A.3 a A.8 en la A.2
se obtiene
(A.7)
(A.8)
(A.9)
(A.10)
..U.. -Ar+i,i V+ i ;+ i =F;; (Y Y -+t,;+i + Y. i+i - i Y. i)
C.,i U. + C; ^;+ i;+i = Y +i,i +i - Y,i+i +D.,i
F.i = Q`t (B. +l i
+ B.i)
C.. = UiV+li - `IXt - t1`Y
n2
.U + v.2g0 2g0 At 4 0 ^3 ^ ^
OX.D. 1 0( Y+ii-Yi) - 2g0Ot(Ui +
V+ii )
donde
(A.11)
(A.12)
(A.13)
Las ecuaciones A.9 y A.10 forman un sistema lineal no homogéneo en U +, y V++1,;+, , su
solución puede ser escrita como
66
En estas expresiones
U, 1 = Pi i Y+11+1 + Qt,i Y,¡+1 +
Rt,i
1i,¡. i = Sr,l Y+i 3+i + T,i Y3+t + W i
P. = F. + At+1,i
JAt,i +At.i,i Ct i (A
t,i + t+i,i
(A.14)
(A.15)
(A.16)
Q = Fi _t,i A . +A.
i+l,i
At+1,i (A.17)
Cti (Ati +At)
= ¡¡t,i At+i,iRoCt,ilAt,i+At+1,i)
_ Ft+i(Y.+1,i+Yt,i)
A ti +At+i,i
(A.18)
A.S. . =
¡^,^
^ Ct,i lA t,i + At +i,i^
F. .(A.19)
Ati +At+1,1
T. = At,i + Ft,l
' C. .^A. . +A. ) At,i +A t+i,1^,r ^,^ ^+^,i
(A.20)
=
D . 1 A 1,1 + Ft,i lY+i,i + Yt,i^ (A.21)C. .^A. . +A. At +A1 ,11^,^ ^,^ +l,i
Cuando la ecuación de continuidad se establece en la sección i (Figura A.1), se obtiene
A t,i Uti + 1 + B Gt,i.^ +(1 -0) Gti = 4 t ,i Vt,i +1(A.22)
sustituyendo las ecuaciones A.14 y A.15 en la A.22 se llega a
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yt,i+1 +P, i Y+I,i.1
(A.23)
= Wr_, - Ri + 1 +, + (1 - B) Gi,i)
A ^i
Esta expresión se plantea en las secciones intermedias. Cuando el flujo es subcrítico, se
requiere una ecuación adicional en cada uno de los extremos del río.
Las ecuaciones A.23 junto con las de las secciones correspondientes a sus extremos, forman
un sistema de ecuaciones lineales tridiagonal, cuyas incógnitas son las elevaciones Y, en la etapa
de cálculo j +1. Una vez obtenidas las elevaciones, las velocidades de llegada (V; ,, + ,) y de
partida (U;,,+1) son calculadas con las ecuaciones A.14 y A.15.
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TITULOS PUBLICADOS
Cuaderno de Investigación No. 1, Bases de Datos para la Estimación del Riesgo Sísmico en la Ciudad de México; Mario Ordaz,Roberto Meli, Carlos Montoya Dulché, Lorenzo Sánchez y L. E. Pérez Rocha.
Cuaderno de Investigación No. 2, Transporte, Destino y Toxicidad de Constituyentes que hacen peligro a un residuo; MaríaEsther Arcos Serrano, Josefina Becerril Albarrán, Margarita Espíndola Zepeda, Georgina Fernández Villagómez y María EugeniaNavarrete Rodríguez.
Cuaderno de Investigación No. 3, Procesos Físicoquímicos para Estabilización de Residuos Peligrosos; Margarita YolandaEspíndola Zepeda y Georgina Fernández Villagómez.
Cuaderno de Investigación No. 4, Reflexiones sobre las Inundaciones en México; Ramón Domínguez Mora, Martín JiménezEspinosa, Fermín García Jiménez y Marco Antonio Salas Salinas.
Cuaderno de Investigación No. 5, Modelo Lluvia -Escurrimiento; Ramón Domínguez Mora, Martin Jiménez Espinosa, FermínGarcía Jiménez y Marco Antonio Salas Salinas.
Cuaderno de Investigación No. 6, Comentarios sobre las Normas Industriales Japonesas de la Calidad del Concreto; Prácticade Diseño y Construcción en el Japón; Editados por: Motoji Saito y Hideaki Kitajima; Traducidos por: Keiko Sizuki y Revisadospor: Sergio M. Alcocer.
Cuaderno de Investigación No. 7, Comentarios sobre las Normas Industriales Japonesas de la Calidad de Agregados paraConcreto; Editados por: Motoji Saito y Hideaki Kitajima; Traducidos por: Keiko Sizuki y Revisados por: Sergio M. Alcocer.
Cuaderno de Investigación No. 8, Report on January 17, 1994 Northrigde Earthquake Seismological and Engineering Aspects;Estudio de Campo; Takeshi Mikumo, Carlos Gutiérrez, Kenji Kikuchi, Sergio M. Alcocer y Tomás A. Sánchez.
Cuaderno de Investigación No. 9, Application of FEM (Finite Element Method) to RC (Reinforced Concrete) Structures;Investigaciones sobre Sismología e Ingeniería Sísmica en el Japón; Hiroshi Noguchi.
Cuaderno de Investigación No. 10, Japanese Press Design Guidelines for Reinforced Concrete Buildings; Práctica de Diseñoy Construcción en el Japón; Shunsuke Otani.
Cuaderno de Investigación No. 11, Development of Advanced Reinforced Concrete Buildings Using High-Strength Concreteand Reinforcement -New Construction Technology in Japan-; Investigaciones sobre Sismología e Ingeniería Sísmica en el Japón;Shunsuke Otani.
Cuaderno de Investigación No. 12, Red de Observación Sísmica del CENAPRED Registros Acelerográficos obtenidos durante1993; Bertha López Najera, Roberto Quaas Weppen, Salvador Medina Morán, Enrique Guevara Ortiz y Ricardo GonzálezFragoso.
Cuaderno de Investigación No. 13, Normas de Diseño para Estructuras de Mampostería del Instituto de Arquitectura del Japón;Práctica de Diseño y Construcción en el Japón; Traducción: Koji Yoshimura, Kenji Kikuchi y Tomás A. Sánchez.
Cuaderno de Investigación No. 14, Informe del Estado Actual de las Edificaciones dañadas durante el sismo de Michoacán de1985 en la zona epicentral (revisión de los métodos de reparación y refuerzo empleados) - Informe sobre las ciudades de LázaroCárdenas e Ixtapa/Zihuatanejo-; Estudios de Campo; Shunsuke Otani, Kenji Kikuchi, Sergio M. Alcocer y Oscar López B.
Cuaderno de Investigación No. 15, A study Nonlinear finite element analysis of confined masonry walls; Kasuhiko Ishibashiy Hideo Kastumata.
Cuaderno de Investigación No. 16, Deterministic inverse approaches for near-source high-frecuency strong motion; MasahiroIida.
Cuaderno de Investigación No. 17, Seguridad Sísmica de la Vivienda Económica; R. Meli, S. M. Alcocer, L. A. Díaz Infante,T. A. Sánchez, L. E. Flores, R. Vázquez del Mercado y R. R. Díaz.
Cuaderno de Investigación No. 18, Sismicidad y movimientos fuertes en México: Una visión actual; Shri K. Singh y MarioOrdaz.
Cuaderno de Investigación No. 19, Red de Observación Sísmica del CENAPRED Registros Acelerográficos obtenidos durante1990; Bertha López Najera, Roberto Quaas Weppen, Salvador Medina Morán, Enrique Guevara Ortiz y Ricardo GonzálezFragoso.
Cuaderno de Investigación No. 20, Red de Observación Sísmica del CENAPRED Registros Obtenidos durante 1991; BerthaLópez Najera, Roberto Quaas Weppen, Salvador Medina Morán, Enrique Guevara Ortiz y Ricardo González Fragoso.
Cuaderno de Investigación No. 21, Red de Observación Sísmica del CENAPRED Registros Obtenidos durante 1992; BerthaLópez Najera, Roberto Quaas Weppen, Salvador Medina Morán, Enrique Guevara Ortiz y Ricardo González Fragoso.
Cuaderno de Investigación No. 22, Development of New Reinforced Concrete Structures; Hiroyuki Aoyama.
Cuaderno de Investigación No. 23, Respuesta Sísmica de Edificios de Mampostería desplantados en suelo blando; Roberto DuránHernández y Eduardo Miranda Mijares.
Cuaderno de Investigación No. 24, Erosión de Laderas; Fermín García Jiménez, Oscar Fuentes Mariles y Jesús Gracia Sánchez.
Cuaderno de Investigación No. 25, Espectros de Diseño Sísmico para limitar el daño estructural; M. Ordaz y E. Faccioli.
Cuaderno de Investigación No. 26, Escurrimientos en ríos y volúmenes de inundación por desbordamiento; Oscar ArturoFuentes Mariles, Marco Antonio Salas Salinas, Martín Jiménez Espinosa, María Teresa Vázquez Conde y Fermín García Jiménez.
Cuaderno de Investigación No. 27, Muestreo y caracterización de Residuos Peligrosos; María Eugenia Navarrete Rodríguezy Josefina Becerril Albarrán.
Cuaderno de Investigación No. 28, Avenidas de diseño para presas de gran capacidad; María Teresa Vázquez Conde, MartínJiménez Espinosa, Ramón Domínguez Mora y Oscar Fuentes Mariles.
Cuaderno de Investigación No. 29, Tecnologías de Tratamiento para la descontaminación de suelos; Carlos Manuel IbarraranDíaz, María Esther Arcos Serrano, Cecilia Izcapa Treviño y Georgina Fernández Villagómez.
Cuaderno de Investigación No. 30, Red de Observación Sísmica del CENAPRED, Registros Acelerográficos obtenidos durante1994; López B., Quaas R., Medina S., Guevara E. y González R.
001%44.)
Cuaderno de Investigación M 26 'Escurrimienlos en ríos y vohiinenes de inundación por desbordamiento",se terminó de imprimir en Febrero de 1996 en los Talleres Gráficos de México,
Av. Canal del Norte N" 80, Col. Felipe Pescador, México, U.F. La edición en papel bond de 44 Kg. en interiores y portada encartulina couclié de grs. consta de 400 ejemplares más sobrantes para reposición y estuvo al cuidado del Lic. Ricardo Cícero
Betancourt y Violeta Ramos Radilla.
IMSECRETARIA DE GOBERNACION
SUBSECRETARIA DE PROTECCION CIVIL Y DE PREVENCIONY READAPTACION SOCIAL
CENTRO NACIONAL DE PREVENCION DE DESASTRES
