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Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Miguel Valverde Morales Página 1

APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Con frecuencia se requiere describir el comportamiento de algún sistema o fenómeno real, ya sea físico, sociológico, o incluso económico, en términos matemáticos. La descripción matemática de un sistema o fenómeno se denomina modelo matemático, el cual se construye con ciertos objetivos en mente. Por ejemplo, es posible que deseemos comprender los mecanismos presentes detrás de cierto ecosistema aplicándonos al estudio del crecimiento de las poblaciones animales localizadas en dicho sistema, o fechar un fósil por medio del análisis de la degeneración de una sustancia radiactiva contenida en el fósil o en el estrato donde se descubrió. La construcción de un modelo matemático de un sistema inicia con la identificación de las variables responsables del cambio que se produzca en el sistema. Es posible que al principio decidamos no incorporar todas estas variables en el modelo. En este primer paso se especifica el nivel de resolución del modelo. A continuación, formulamos un conjunto de premisas razonables o hipótesis acerca del sistema que intentamos describir. Estos supuestos también incluirán cualquier ley empírica aplicable al sistema. Para ciertos propósitos es perfectamente razonable aceptar modelos de baja resolución. Por ejemplo, podemos estar conscientes de que para modelar el movimiento de un cuerpo en caída libre cerca de la superficie de la Tierra, la fuerza de desaceleración correspondiente a la fricción del aire ocasionalmente se ignora en los cursos básicos de física; sin embargo, para un científico cuya labor es predecir de forma precisa la trayectoria de vuelo de un proyectil de largo alcance, la resistencia del aire y otros factores como la curvatura de la Tierra tienen que ser tomados en cuenta. Ya que las suposiciones acerca de un sistema con frecuencia implican una tasa de cambio de una o más variables, la representación matemática de todas estas suposiciones puede implicar una o más ecuaciones que involucren derivadas. En otras palabras, el modelo matemático puede ser una ecuación diferencial o un sistema de ecuaciones diferenciales. Una vez formulado un modelo matemático equivalente a una ecuación diferencial o a un sistema de ecuaciones diferenciales, se enfrenta el no menos importante problema de intentar resolverlo. Si podemos resolverlo, entonces consideramos que el modelo será razonable cuando su solución sea consistente con datos experimentales o con hechos conocidos acerca del comportamiento del sistema.



1. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO EXPONENCIAL

Uno de los primeros intentos por modelar el crecimiento poblacional humano mediante las matemáticas fue realizado por el economista inglés Thomas Malthus, en 1798. Básicamente, la idea del modelo de Malthus representa la suposición de que el ritmo con que la población de un país crece en cierto tiempo es proporcional a la población total del país en ese tiempo. En otras palabras, mientras más personas existan en el tiempo t, más serán en el futuro. Todo problema de crecimiento y decrecimiento exponencial, tiene como ecuación diferencial

0 0, ( )dx

kx x t xdt

Donde x es la población por unidad de tiempo, t representa el tiempo y k es una constante de proporcionalidad, se emplea como modelo de distintos fenómenos en los que intervienen

crecimiento, decaimiento o desintegración y por último 0x es la población existente en cierto

instante inicial 0t .

Resolviendo mediante un método de variables separables, se tiene:

Ahora como se tiene unas condiciones iniciales tal que ( ) entonces:

Suponiendo, como en casi todos los problemas, que entonces se tiene la solución

general:

Cabe destacar que si k>0, el problema es de crecimiento, del mismo modo si k<0, el problema

será de decrecimiento, tal como lo muestra la siguiente figura:

𝑥 𝑒𝑘𝑡

x

y

k>0

k<0



Problema 1 Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta con una rapidez proporcional a la

cantidad de personas que tiene en cualquier momento t. Si la población se duplicó en 5 años

¿En cuánto tiempo se triplicará y cuadruplicará?

Solución:

La ecuación diferencial a utilizar es:

dx

K dtx

Cuya solución general ya sabemos que es:

0 ktx x e

De acuerdo al problema, se tiene como condiciones iniciales ( ) . Por consiguiente se

tiene:

5

0 0

5

2

2

2 5

12

5

K

K

e

x x e

Ln ln e

Ln k

Ln k

Con lo cual obtenemos la solución:

1ln 2

5

0( )t

x t x e

Ahora se determina en cuanto tiempo se triplicará la población, es decir:

03x t x

Entonces:

2

5

0 0

12

5

2

5

3

3

23

5

35 31 7.92

2 2

5

lnt

ln t

lnt

e

x x e

3 e

Ln ln e

lnLn t

ln

lnt

ln ln



Y para determinar en cuanto tiempo se cuadruplicará la población, es decir ( )

1( ln 2)5

0

ln 2( )

50 0

ln 2( )

5

( )

4

ln 4 ln

ln(2)ln 4

5

ln 45ln1 10

ln 2 ln 2

5

t

t

t

e

x t x e

x x e

e

t

t

Respuesta:

Por consiguiente se concluye que se necesitan 7,92 años para triplicar la población y 10 años

para cuadruplicarla.

Problema 2 Cuando se produce cierto alimento, se estima en N el número de organismos de una cierta

clase presente en el paquete. Al cabo de 60 días el numero N ha aumentado a 1000 N. Sin

embargo, el número 200 N es considerado como el límite saludable. A cuantos días, después

de elaborado, vence el alimento.

Solución:

Usamos el siguiente modelo

( ) ktN t ce

Al cabo de 60 días el número N aumento a 1000 N, es decir (60) 1000N N , además según el

modelo, tenemos:

60(60) kN Ne

Igualamos

60

60

1000

ln( ) ln(1000)

k

k

Ne N

e

ln10000.1151

60k

Luego el modelo queda



0.1151( ) tN t Ne

Sin embargo el número 200 N es considerado como el límite saludable, entonces

0.1151200 tN N e

ln(200)46.03

0.1151t

Respuesta:

Lo que deberías hacer como empleado de la secretaria de salud es proponer que los paquetes

de alimentos tengan una fecha límite de consumo o fecha de vencimiento de 46 días

aproximadamente después de su fabricación.

Problema 3 Se ha determinado que el 0.5 por ciento del radio desaparece en 12 años. Determine: ¿Qué

porcentaje desaparecerá en 1000 años? y ¿Cuál es la vida media del radio?

Solución:

La cantidad de sustancia al cabo de t años está dada por 0( ) ktM t M e

Además como (0)

0(0) 1kM M e 0 1M

Luego: ( ) ktM t e

Si 12 0.995t M (pues 0.5 por ciento del radio desaparece)

120.995

ln 0.995 12

ln 0.9950.0004177

12

ke

k

k

Luego el modelo quedaría:

0.0004177( ) tM t e

El porcentaje que queda de la sustancia radioactiva después de 1 000 años, es:

1000( 0.0004177)(1000)

(1000) 0.65856

M e

M

Este resultado indica que a los 1 000 años quedará el 65.856% de la sustancia radioactiva

original, es decir, desaparecerá 34.144% de dicha sustancia.



Para hallar la vida media usamos el valor de 1

( )2

M t . Sustituyendo y resolviendo en,

0.0004177( ) tM t e

0.00041771

2

te

1659.44 1660 .t años años

Problema 4 (CRECIMIENTO BACTERIANO)

La población de una comunidad de bacterias crece a razón proporcional a su población en

cualquier momento t. al cabo de 3 horas se observa que hay 400 individuos. Pasadas las 10

horas, 2000 bacterias. ¿Cuál era la cantidad inicial de las bacterias?

Solución:

La solución viene dada por:

( )

Sustituyendo las condiciones del problema en la solución, tenemos:

{

Dividiendo las ecuaciones, tenemos:

Resolviendo, para ello tome logaritmos a ambos lados:

Remplazamos k en una de las ecuaciones del sistema, obtenemos 0x .

( )



( )

Respuesta:

Por lo tanto se concluye que la población inicial de las bacterias era de 200.

Problema 5 (ANTIGÜEDAD DE UN FOSIL – CARBONO 14)

Luego de analizar un hueso fosilizado, se verificó que poseía la centésima parte de la cantidad

original de C-14. Determine le edad un fósil sabiendo que el periodo medio (tiempo en

desintegrarse la mitad del compuesto) del C 14 es aproximadamente 5600 años.

Solución:

Como se sabe la ecuación a utilizar para este tipo de problema es:

( )

De acuerdo a lo planeado 0(5600)2

xx , por lo tanto se tiene:

(

) ( ) ⟨ | | ⟩

Por consiguiente se obtiene la solución general:

( )

Ahora como actualmente se tiene una centésima parte de la cantidad inicial de C 14, entonces:

( )

(

) ( )

(

)



2. LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON

El nombre de Isaac newton (1641-1727) es ampliamente reconocido por sus numerosas

contribuciones a la ciencia. Probablemente se interesó por la temperatura, el calor y el punto

de fusión de los metales motivado por su responsabilidad de supervisar la calidad de la

acuñación mientras fue funcionario de la casa de la moneda de Inglaterra. Newton observó

que al calentar al rojo un bloque de hierro y tras retirarlo del fuego, el bloque se enfriaba más

rápidamente cuando estaba muy caliente, y más lentamente cuando su temperatura se

acercaba a la temperatura del aire. Sus observaciones dieron lugar a lo que hoy conocemos

con el nombre de ley de enfriamiento de newton.

La ley de enfriamiento de newton se escribe como:

Donde la derivada de la temperatura respecto al tiempo dT

dt representa la rapidez del

enfriamiento, T es la temperatura instantánea del cuerpo, k una constante que define el

ritmo de enfriamiento y mT es la temperatura ambiente, que es la temperatura que alcanza el

cuerpo luego de suficiente tiempo.

Este tipo de ecuación diferencial puede ser resuelta por la técnica de variables separables, con

lo cual se tiene:

Integrando esta ecuación con la condición inicial de que en el instante t=0, la temperatura del

cuerpo es T0.

∫

∫

( )

𝑑𝑇

𝑑𝑡 𝐾(𝑇 𝑇𝑚) 𝑐𝑜𝑛 𝑇( ) 𝑇



Problema 6

Una cabilla de acero es sacada de un horno a una temperatura de 1000 °C, y es llevada a un

espacio cuya temperatura ambiente es de 30°C. si luego de 1 hora la temperatura de la cabilla

es de 60°C. Determine, ¿Qué temperatura tendrá la cabilla luego de 30 minutos de haber

salido el horno? Y ¿en cuánto tiempo la temperatura de la cabilla será de 40°C?

Solución:

De acuerdo a los datos del problema se tiene que la temperatura del medio ambiente es de

30°C, con lo cual de acuerdo a la solución de todo problema de enfriamiento se tiene

( ) ( )

Además de acuerdo a las condiciones iniciales del problema T (0) = 1000°C, se tiene:

( )

Por lo tanto se obtiene:

( )

Ahora como luego de una hora la temperatura que experimenta la cabilla es de 60°C, entonces

T (1) = 60°C se tiene:

Entonces la solución general del problema es:

( )

Para determinar la temperatura de la cabilla luego de 30 minutos (0.5 horas) de haber salido

del horno se tiene:

( ) ( )

Por último el tiempo trascurrido para la cabilla este a 40°C, es:

(

)



Problema 7

Un cuerpo se calienta a 1100°C y se expone al aire libre a una temperatura de 100°C. Si al cabo

de una hora su temperatura es de 600°C. ¿Cuánto tiempo adicional debe transcurrir para que

se enfríe a 300°C?

Solución:

( )

1100 ( )

C= 1000

600 = 1100 +1000 ( )

( )

300°C = 1100 +1000 ( )( )

(

)

(

)

T= 2,3219

Problema 8

Un cuerpo a una temperatura desconocida que se pone en un refrigerador a una temperatura

constante de un 1 .Si después de 20 minutos la temperatura del cuerpo es de 40 y 40

minutos más tarde la temperatura del cuerpo es de 20 Determinar la temperatura inicial de

éste.

Solución:

El modelo que da solución al problema, es:

( )

Sustituyendo las condiciones del problema, tenemos:



40 ( )

20 ( )

Reescribiendo estas ecuaciones, se tiene:

39 ( )

19 ( )

Dividiendo estas ecuaciones para eliminar C , quedaría

4039

19

ke

ln(39 /19)

40k

0.0179k

Ahora sustituye este valor en cualquiera de las ecuaciones reducidas, por ejemplo en la

primera

39 ( )

Tendríamos

39 ( )

Despejando el valor de C , tenemos:

55.788C

Reemplazando el modelo del problema:

( )

Tendríamos:

( )

Nos piden la temperatura inicial, hacer 0t



3. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EN MEZCLAS

Una mezcla o solución es la unión de un soluto (gaseoso, líquido o sólido) con un solvente (líquido o gaseoso). La mezcla de dos soluciones salinas de distintas concentraciones da lugar a una ecuación diferencial de primer orden para la cantidad de sal contenida en la mezcla. Todo problema de mezclado viene dado por la ecuación diferencial:

e s

dAR R

dt

Donde:

dA

dt: Cantidad de soluto presente en la mezcla para cierto tiempo.

eR : Tasa de entrada de la mezcla.

sR : Tasa de salida de la mezcla.

Problema 9

Un tanque está lleno con 20 gal. de salmuera, en la cual están disueltas 10 lb. de sal por gal.

Entra al tanque a 2 gal/min de salmuera con una concentración de 4 lb. de sal por gal. Sale del

tanque una mezcla a la misma tasa que la que entra. Determinar, ¿Cuánta sal está presente en

el tanque luego de 12 min? Y ¿Cuánta sal está presente en el tanque luego de un tiempo largo?

Solución:

Determinación de la Tasa de Entrada:

2 / 4 /( ) ( )eR gal min lb gal

8 /eR lb min

Determinación de la Tasa de Salida:

2 / / 2( )(( ) 0

/ 1

( )

0

)

( ) ( )

s

s

R gal min Alb gal

R Alb min



Ecuación Diferencial:

/ 8 /10dA dt A

Método de Variables Separables:

/ 8 /10dA dt A

/ 80( /10)dA A dt

80( ) /10ln A t C

(( /10) )80 t CA e

( /10)80 .eC tA e

( /10)

180 teA C

( /10)

1A(t) 80 teC

Para hay 10 lb de sal:

(0) 10A

Entonces:

(0/10)

110 80 .eC

10 80 C

80 10C

70C

Solución General del Problema:

( /10)A(t) 80 70 te

Sal Presente en el Tanque después de 12 min:

( 12/10)A(12) 80 70e

12 80 7( ) 0 0.3011A

12 80 2( ) 1.08A

12 58.9( 2 )A lb

Sal Presente en el Tanque luego de mucho tiempo:



( /10)lim ( ) lim(80 70 )t

t tA t e

lim ( ) 80t

A t

Problema 10

Un tanque contiene 100 galones de salmuera; 3 galones de salmuera la cual contiene 2 libras

de sal/galón de salmuera entran al tanque cada minuto. La mezcla asumida uniforme sale a

una velocidad de 2 gal/min. Si la concentración es de 1,8 libras de sal/galón de salmuera al

cabo de una hora. Calcular las libras de sal que había inicialmente en el tanque.

Solución:

Determinación de la Tasa de Entrada:

(3 ) )/( 2/eR gal min lb gal

6 /eR lb min

Determinación de la Tasa de Salida:

( )(( ) (102 0 ))

( ) 0/ (5

/ /

)

s

s

R gal min Alb gal

R Alb min


/ 6 / 50dA dt A


/ 6 / 50dA dt A

(30/ 0 / 50)dA A dt

(30 )0 / 50ln A t C

(( /50) )300 t CA e

( /50)300 .eC tA e

( /50)

1300 teA C

( /50)

1A(t) 300 tC e

Determinando C:

(60) 1,8 / (160 )A lb gal gal

( 60/50)

1 1,8 / (1603 )00 e lb gC al gal



300 (0,3011) 288C

0,3011 12C

39.85C

Libras de Sal Inicial:

( 0/50)A(0) 300 39.85e

(0) 260.15A

Problema 11

Un tanque tiene inicialmente 100 galones de agua pura. Una salmuera que contiene 12 libras

de sal/galón de salmuera fluye al interior del tanque a una rapidez de 2 gal/min. y la mezcla

bien homogenizada sale del tanque con la misma velocidad. Después de 10 minutos el proceso

se detiene y se introduce al tanque agua pura con una rapidez de 2 gal/min. abandonando el

tanque a la misma velocidad. Determinar la cantidad de sal en el tanque cuando han pasado

un total de 20 minutos.

Solución:

Determinación de la Tasa de Entrada 1:

(2 )( / /12 )eR gal min lb gal

24 /eR lb min

Determinación de la Tasa de Salida 1:

( )(( ) (102 0 ))

( ) 0/ (5

/ /

)

s

s

R gal min Alb gal

R Alb min


/ 24 / 50dA dt A


/ 24 / 50dA dt A

/ 0(120 ) / 50dA A dt

(120 )0 / 50ln A t C

(( /50) )1200 t CA e

( /50)1200 .eC tA e



( /50)

11200 tA C e

( /50)

1A(t) 1200 tC e

Determinando C:

(0) 0A

(0/50)

11200 0eC

1200 (1) 0C

1200C

Libras de Sal tras 10 minutos:

( 10/50)A(10) 1200 1200 e

(10) 217,52A

Determinación de la Tasa de Entrada 2:

(2 ) )/( 0/eR gal min lb gal

0 /eR lb min

Determinación de la Tasa de Salida 2:

( )(( ) (102 0 ))

( ) 0/ (5

/ /

)

s

s

R gal min Alb gal

R Alb min


/ 0 / 50dA dt A


/ 0 / 50dA dt A

/ / 50dA A dt

( ) / 50ln A t C

(( /50) )t CA e

( /50).eC tA e

( /50)

1

teA C



R

C

( /50)

1A(t) teC

Determinando C:

(0) 217,52A

(0/50)

1 217,52C e

217,52C

Libras de Sal tras 20 minutos:

( 20/50)A(20) 217,52 e

(20) 145,8A

4. APLICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES EN CIRCUITOS

4.1. CIRCUITOS RC

Los circuitos RC son circuitos que están compuestos por una resistencia y un condensador. Se

caracteriza por que la corriente puede variar con el tiempo. Cuando el tiempo es igual a cero,

el condensador está descargado, en el momento que empieza a correr el tiempo, el

condensador comienza a cargarse ya que hay una corriente en el circuito. Debido al espacio

entre las placas del condensador, en el circuito no circula corriente, es por eso que se utiliza

una resistencia. Cuando el condensador se carga completamente, la corriente en el circuito es

igual a cero.

Es un circuito en serie que está conformado por un voltaje aplicado ( )E t , un resistor o

resistencia R y un capacitador C , tal como lo muestra la figura



Aplicando la segunda regla de Kirchoff y sabiendo que RV iR y c

qV

C ,

Donde q es la carga del capacitador, entonces se obtiene que:

( ) ( )c R

qE t V V E t i R

C

Ahora como dq

idt

, y además dividiendo toda la ecuación por R se obtiene:

1 ( )dq E tq

dt RC R

Problema 12

Una fuerza electromotriz ( ) , se conecta con una resistencia de 20

ohmios y un capacitor de 0.01 faradios. Determine la carga y la corriente en cualquier

tiempo. Calcule la carga máxima y determine cuando se obtiene.

Solución:

De acuerdo al problema se tiene la ecuación diferencial para un circuito RC:

( )

Datos:

( )

Reemplazamos:

( )( )

La cual se resuelve como una ecuación lineal de primer orden, por lo tanto primero se

obtiene el factor integrante:



( ) ∫ ( )

Por consiguiente, multiplicamos el factor integrante a ambos lados de la ecuación:

(

) = ( )

( )

Realizamos separación de variables:

∫ ∫

( ) ( )

Ahora con las condiciones iniciales: Al inicio el capacitor esta descargado.

t=0 ; ( )

Reemplazamos:

( ) ( ( ) ) ( )

La carga para cualquier tiempo es:

( ) ( )

Hallamos la corriente para cualquier instante de tiempo, teniendo en cuenta:



Derivamos ambos lados

Derivamos la ecuación de la carga para cualquier instante de tiempo

( ( )) (( ) )

( )

La corriente para cualquier instante de tiempo

( ) ( )

Hallamos la carga máxima y el instante en que ocurre.

( )

( )

( ) ( )

( ) s

Finalmente, reemplazamos:

( ) ( ) ( )

( )

Problema 13

Una resistencia R varia con respecto al tiempo de acuerdo a . Se conecta en

serie con un capacitor de 0.1 faradios y un generador con una fuerza electromotriz de 100

voltios. Si la carga inicial en el condensador es de 5 culombios. Determine la carga y la

corriente en función del tiempo y además la carga máxima del condensador.

Solución:

Datos:

C= 0.1 Faradios

E(t)=100 V



q(0)= 5 culombios

Hallamos la carga en función al tiempo.

Teniendo en cuenta la ecuación diferencial de un circuito RC, reemplazamos datos:

( )( )

( )

( )

( )

La solución general de la ecuación diferencial es:

( ) ( )

Empleando la condición inicial q(0)=5, encontremos C.

( )

La ecuación de la carga en función al tiempo es:

( ) ( )

Hallamos la corriente en función al tiempo.

Derivamos la ecuación de la carga:

( ( )) ( ( ) )

( )

La ecuación de la corriente en función del tiempo es:

( ) ( )

Hallamos la carga máxima del condensador.

La carga máxima del condensador es mayor que 0, por lo tanto es una función creciente. Se

aplica límites:

( ( ) )



4.2. Circuito RL.

Es un circuito en serie que está conformado por un voltaje aplicado ( )E t un resistor o

resistencia R y un inductor L , tal como lo muestra la figura.

Aplicando la segunda ley de Kirchhoff y sabiendo que RV i R y L

diV L

dt

se tiene:

( ) ( )L R

diE t V V E t L i R

dt

Con lo cual luego de dividir por L, se obtiene:

( )

Que es una ecuación diferencial lineal, la cual se debe resolver como tal, sin

embargo si el voltaje aplicado ( )E t es constante es posible resolver la ecuación

utilizando la técnica de variables separables.

Problema 14

Un generador con una fuerza electromagnética de 100 voltios se conecta en serie con una

resistencia de 10 ohmios y un inductor de 4 henrios. Determine una ecuación, la corriente que

circula por el circuito a los 2 s .

Solución:

Suponga que el circuito inicialmente se encuentra abierto.

De acuerdo a los datos del problema y a la ecuación diferencial que modela un circuito en serie

RL, se tiene:

Entonces resolviendo la ecuación obtenida como una lineal de primer orden, se determina

primero el factor integrante, el cual viene dado por:



Por consiguiente:

En conclusión se obtiene que la intensidad de corriente viene dada por:

Como el circuito inicialmente está abierto, entonces para un instante t = 0, no circula corriente

por el circuito, es decir i = 0, por lo tanto:

Por lo tanto se tiene la ecuación de la corriente en función del tiempo para este circuito:

Entonces la corriente que circula por el circuito a los 2 microsegundos es:

Problema 15

Un generador con una fuerza electromotriz de E t 10sen7t se conecta en serie con una

resistencia de 6 ohmios y un inductor de 2 henrios. Si para t 0 no circula corriente por el

circuito. Determine la corriente para cualquier instante de tiempo.

Solución:

Reemplazamos en la formula general, los datos propuestos en el ejercicio.

Hallamos el factor integrante.



∫

Multiplicamos ambos miembros por el factor integrante “u”.

(

) ( )

( )

Realizamos el cambio de variable.

( )

( )

Integramos a ambos lados.

( )

∫ ( ) ∫

∫

Para poder integrar ∫ , se necesita usar la siguiente fórmula:

∫ ( )

+ C

Aplicamos la fórmula:

∫ ( )

+c

∫ ( )

Reemplazamos en la ecuación:

∫

( ( )

)

( )

( )



Despejamos la “ ”

( )

(

( ) )

( )

( )

Asumimos que ( ) para hallar

( )

( ( ) ( )) ( )

( )

Reemplazamos en la ecuación ( ):

( )

( )

( )

( )

Rpta: ( )

( )

5. VARIABLES SEPARABLES APLICADA A LA ABSORCION DE DROGAS EN ORGANOS Y

CELULAS

Cuando hablamos de la absorción de drogas en el organismo, no nos referimos a nada más

sino al proceso de asimilación de los medicamentos en el cuerpo estos tienen ciertas

características y procesos que influyen tanto grupal como individualmente.

Es necesario resaltar el uso que podemos darla a esta aplicación: nuestro principal objetivo

será conseguir una ecuación que nos exprese la concentración del medicamento en un

determinado órgano después de cierto intervalo de aplicación. Dicha ecuación puede tener

diversos usos:

Para propósitos de análisis matemático en biología, a menudo es conveniente considerar un

organismo (tal como un humano, animal, o planta) como una colección de componentes

individuales llamados compartimientos. Un compartimiento puede ser un órgano (tal como el

estómago, el páncreas o hígado) o un grupo de células que actúan como una unidad. Un

problema importante consiste en determinar la absorción de químicos, tales como drogas, por

células u órganos. Esto tiene aplicación práctica en el campo de la medicina, puesto que puede



suceder que ciertas drogas fatales puedan acumularse en un órgano o en un grupo de células

llevando a su destrucción. El tipo de problema más simple trata solamente con un

compartimiento. Sin embargo, puede ser importante para ciertos propósitos tratar con

sistemas que involucran dos o más compartimientos los cuales interactúan entre sí. Como se

podría esperar, la dificultad del análisis matemático tiende a crecer con el número de

compartimientos.

Supongamos que un líquido transporta una droga dentro de un órgano de volumen V

cm3 a una tasa de a cm3/seg, y sale a una tasa de b cm 3 /seg, tal como lo muestra la figura

La concentración de la droga en el líquido es c g/cm. Entonces si x , representa la

concentración de la droga en el órgano (esto es el número de gramos de la droga por

cm), la cantidad de droga en el órgano en cualquier tiempo t está dado por xV . Además el

número de gramos por segundo que entran al órgano en un tiempo t , está dado por ac , y el

número de gramos por segundo que salen del órgano viene dado por bx .

Ahora, la tasa de cambio de la cantidad de droga en el órgano es igual a la tasa a la cual entra

la droga menos la tasa a la cual sale, así que podemos decir que:

( )d xVac bx

dt

La forma como se resolverá la ecuación diferencial dependerá de cuáles de los elementos que

intervienen en la ecuación son constantes y cuales variables. Asumiendo que , ,a b c y V son

constantes, entonces resolvemos utilizando la técnica de variables separables con la condición

inicial es 0(0)x x

0

bt

Vdx ac ac

V ac bx x x edt b b

En efecto



[

]

( )

( )

( )

( )

*

+

De acuerdo a los datos se nos pueden presentar dos casos:

CASO I

Cuando a es igual a b, tendríamos que la tasa de entrada es igual a la tasa de salida,

por lo tanto:

0

0

0

0

ln

1

1 1(ln( ) ln( )

ln

x

x

ac bx btac bx V

dxV dt

ac bx

dxdt

ac bx v

ac bx ac bx tb V

ac bx bt

ac bx V

e e

0

bt

Vac ac

x x eb b

0

bt

Vbc bc

x x eb b

0

bt

Vx c x c e



CASO II

Cuando a es igual a b y igual a 0

Problema 16

Un líquido transporta una droga dentro de un órgano de de volumen, a una tasa

de ⁄ y sale a la misma tasa. La concentración de la droga en el líquido es

de ⁄ . Asumiendo que inicialmente la droga no está en el órgano encuentre:

a) La concentración de la droga en el órgano después de 30 segundos.

b) ¿Cuánto tiempo demoraría para que la concentración de la droga en el órgano alcance

⁄ a los 30 segundos?

c) La concentración de la droga en el organismo a los 30 segundos, si la concentración inicial

es de ⁄ .

Solución:

a) La concentración de la droga en el órgano después de 30 segundos.

Datos:

Volumen (V) =

Tasa de entrada (a) = ⁄

Tasa de salida (b) = ⁄

Concentración (c) = ⁄

0

bt

Vac ac

x x eb b

0

bt

Vac ac

x x eb b

bt

Vbc bc

x o eb b

1b

tVx c e



Sustituimos los datos en la fórmula

Luego después de 30 segundos.

Respuesta: La concentración de la droga después 30s es 0,0361 ⁄ .

b) ¿Cuánto tiempo demoraría para que la concentración de la droga en el órgano alcance

⁄ a los 30 segundos.

Datos:

Concentración = ⁄

Tiempo = 30seg

Sustituir los datos:

Respuesta: El tiempo que demora para que la concentración de la droga en el órgano alcance

⁄ será 34,65s.

c) La concentración de la droga en el organismo a los 30 segundos, si la concentración inicial

es de ⁄ .

Datos:

Concentración Inicial

⁄

Tiempo = 30seg

10

500(10)(0,08) (10)(0,08)

(10) (10)

t

x o e

0,02( ) 0,08 0,08 tx t e

0,02(30)(30) 0,08 0,08

(30) 0,08 0,0439

(30) 0,0361

x e

x

x

0,02( ) 0,08 0,08 tx t e

0,02

0,02

0,02

0,02

0,04 0,08 0,08

0,08 0,04

0,08

0,5

ln 0,5 ln

ln 0,5 0,02

ln 0,5

0,02

34,65

t

t

t

t

e

e

e

e

t

t

t s

10

30500

0,6

(30) 0,08 0,20 0,08

(30) 0,08 (0,12)

(30) 0,08 0,066

(30) 0,146

x e

x e

x

x



Aplicamos la fórmula del caso I

Respuesta: La concentración de la droga en el organismo a los 30 seg cuando la concentración

inicial es de ⁄ es de 0,146.

Problema 17

Suponga que en el problema del texto la tasa (a) a la cual entra el líquido con concentración de

droga constante (C) al órgano es mayor que la tasa (b)a la cual sale. Como consecuencia,

suponga que el volumen del órgano se expande a una tasa constante (r) de modo que V= V0 +

mt si la concentración inicial de la droga en el órgano es X0, muestre que la concentración en

cualquier tiempo t>0 es :

00

0

b mmVac ac

x xb m b m V mt

Demostración:

Tasa de entrada= a

Tasa de salida= b

Concentración de droga en el líquido= c

Volumen del órgano V=V0+rt

Entonces se sustituye en la ecuación

0

dxV ac bx

dt

dx V rt ac bx

dt

Derivando el producto tenemos que:

0( )b

tVx t c x c e



0

11

0

0 0

0

0

0

00

0 0 0

0

00

ln ln

1 1ln ln ln ln

1 1ln ln

b m

x t

X

ac b m x V mt

ac b m X V

dxV mt xm ac bx

dt

dxV mt ac bx mx

dt

dx V mt ac b m x dt

dx dt

V mtac b m x

ac b m x ac b m X V mt Vb m m

ac b m x V mt

b m m Vac b m X

e e

1 1

0

00

1 1

0 0

0

m

b m m

b m m

ac b m x V mt

Vac b m X

ac b m X V mt

Vac b m x

1

0 0

0

0 0

0

0

00

00

0

0

0

b mb m

m

b m

b m

m

b m

m

b m

m

b m

m

b m

m

b m

m

ac b m X V mt

Vac b m x

ac b m X V mt

Vac b m x

ac b m x V

ac b m XV mt

Vac b m x ac b m X

V mt

Vb m x ac ac b

V mt

0

00

0

b m

m

m X

Vac acx X

b m V mt b m

Documents

DE ECUACIONES DIFERENCIALES.pdf