Página:1

Instituto Tecnológico

de Nuevo Laredo

Alumno: Juan Carlos Acuña Robles

No. Control: 11100138

Maestro: J. Cleofas Zapata Calzada

Materia: Ecuaciones diferenciales

Tema: Investigación:

-Ecuaciones diferenciales exactas

-Factor de integrante o factor de integración

Nuevo Laredo, Tam. 22 de Marzo del 2013

Página:2

INDICE

Tema Página

_________________________________________________

Objetivo------------------------------------------------------ 3

Ecuaciones diferenciales exactas----------------- 4

Ejercicios --------------------------------------------------- 6

Factor de integrante o factor de integración--- 10

Ejercicios ----------------------------------------------------- 11

Bibliografía-------------------------------------------------- 16

Página:3

OBJETIVO

El objetivo principal de la siguiente investigación es el explicar y definir

que es una ecuación diferencial exacta y como poder resolverla, al

igual , presentamos el tema de factor integrante , que gracias a él ,

podemos convertir una ecuación diferencial no exacta a exacta.

Página:4

Ecuaciones diferenciales exactas

Definición:

La condición necesaria para poder declarar a una ecuación diferencial como

exacta debemos:

1) Debemos identificar nuestra ecuación diferencial:

M(x,y) dx + N (x,y) dy = 0

2)Para ser exacta debemos derivar M con respecto a “y “ y N con respecto a “x” y

el resultado tendrá que ser el mismo:

A veces se ve que una ecuación es exacta después de una agrupación adecuada

de sus términos. La ecuación así ordenada se puede integrar término a término.

Por ejemplo: (

Y como podemos observar, tanto una derivada como otra nos da un resultado de

-1.

Página:5

Solución de una ecuación diferencial exacta:

Si la ecuación es exacta entonces podemos encontrar

tal que:

Es decir F(x,y)=K, K R

De esta forma, encontrada F(x,y) la solución de la ecuación es:

F(x,y) =K

Página:6

Ejemplo 1:

comprobaremos que es exacta.

Se tiene:

Entonces:

Primitiva es:

Página:7

EJEMPLO 2:

Comprobamos si es exacta:

Integramos

con respecto a t, obtenemos:

Ahora derivamos con respecto a y, e imponemos que

con lo que:

Y se sigue que (y)=1.Por lo tanto, (y)=y+c1, con c1 R. En consecuencia:

Página:8

EJEMPLO 3:

Comprobamos que es exacta:

Integramos

con respecto a t, obtenemos:

Ahora derivamos con respecto a y e imponemos que

oobtenemos:

Y se sigue que ’ y por lo que y c .

Y

Página:9

EJERCICIOS PROPUESTOS:

1.

primitiva es:

2.

Primitiva es:

3. (cos y + y cosx)dx+(senx-xseny)dy=0

Primitiva es:x cos y + y sen x=C

4.

Primitiva es:

5.

Primitiva es:

6.

Primitiva es:

7.

Primitiva es:

8. cuando : y(0)=2

Primitiva es:

9.

Primitiva es:

10.

Primitiva es:

Página:10

Factor de integrante o factor de integración

En ocasiones, una ecuación diferencial:

De primer orden que no es exacta, se puede convertir en una ecuación diferencial

exacta, si multiplicamos sus coeficiente por una función no cero =M(x.y),

seleccionada de manera que:

Si es exacta.

Definición: Dada una ecuación diferencial, se llama un factor integrante de esa

ecuación a una función μ(x,y), tal que la ecuación si es exacta.

Grupo de términos Factor integrante Diferencial exacta

x dy - y dx

x dy – ydx

x dy – ydx

Página:11

EJEMPLO 1:

Probar que es un factor integrante de la ecuación diferencial:

co co

Y encontrar su integral general.

Solución:

En este caso tenemos que:

y

Por lo tanto:

y

Puesto que estas dos derivadas parciales no son iguales se concluye que la

ecuación no es exacta.

Multipliquemos ahora la ecuación por µ, se obtiene:

Aquí tenemos

y

Como observamos, si son exactas, ahora encontraremos su integral general

Página:12

Derivando con respecto a y tenemos:

Página:13

EJEMPLO 2:

Encontrar un factor integrante para la ecuación:

Solución:

De modo que un factor integrante para la ecuación es:

Multiplicando la ecuación por este factor integrante tenemos:

Esta última ecuación es exacta y para resolverla buscamos F tal que:

Así:

l

Derivamos con respecto a y tenemos:

De esta manera, la solución de la ecuación viene dada por:

Página:14

EJEMPLO 3:

Encontrar el primer factor integrante:

Solución:

De modo que un factor integrante para la ecuación es:

Multiplicando la ecuación por el factor integrante obtenemos la ecuación

diferencial:

Es una ecuación diferencial exacta, y la solución general viene dada por:

Página:15

EJERCICIOS PROPUESTOS:

1.

Respuesta:

2.

Respuesta:

3.

Respuesta:

4.

Respuesta:

5.

Respuesta:

6.

Respuesta:

7.

Respuesta:

8.

Respuesta:

9.

Respuesta:

10.

Respuesta:

Página:16

Bibliografía:

Matemáticas avanzadas para ingeniería (Zill, Dennis)

ECUACIONES DIFERENCIALES 7/E CON PROBLEMAS CON

VALORES FRONT

By Dennis G. Zill, Michael Cullen (paginas: 66, 67, 68, 69)

Ecuaciones diferenciales (Frank Ayres, Jr.)

(Paginas: 24,25,26,27,28)

Ecuaciones diferenciales: como aprenderlas, como enseñarlas:

(Víctor Jiménez López)

Ecuaciones diferenciales ordinarias. Ejercicios y problemas

resueltos

(Alonso et. Al.)

Ecuaciones diferenciales: Teoría y problemas

(Acero, Ignacio-López,Mariló) (Pagina 41,42,43,44).