DEPARTAMENTO DE

Lic.Mat. PATRICIA ISABEL AGUILAR INCIO

LÓGICAPROPOSICIONAL

¿Qué es la lógica?La Lógica es la Ciencia que expone las leyes, modos y formas de raciocinio.-

Álgebra Moderna – Lógica Proposicional

¿Qué aporte le hace la Lógica a la Matemática?De acuerdo a la respuesta anterior, podemos asegurar que la simbología que usa la lógica, ayuda a la Matemática en todos sus razonamientos.-

¿Qué es una proposición?

Una proposición es toda oración de la cual se puede decir que es verdadera o falsa.

Por ejemplo:

Hoy es lunes

Toda proposición se la representa con letras minúsculas y preferentemente las últimas del abecedario, o sea:

p, q, r, s, t, u


V

F

LOS CONECTIVOS LÓGICOS

Ó -: NO

: “Y”

: “O” EN SENTIDO INCLUYENTE : ENTONCES O IMPLICA : SI Y SOLO SI : “O” EN SENTIDO EXCLUYENTE

Los conectivos lógicos son símbolos que sirven para formar proposiciones con otras proposiciones. Estos son:


PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS

Una proposición se dice que es simple o atómica, si no está afectada por conectivos lógicos. Caso contrario, se dice que la proposición es compuesta o molecular.

PROPOSICIÓN

SIMPLE: p

COMPUESTA: p q


TABLA DE VALORES DE VERDAD¿Qué es una tabla de valores de verdad?Una tabla de valores de verdad de una proposición, es una tabla que se arma con los posibles valores de verdad de las proposiciones simples que la componen, con la finalidad de obtener el valor de verdad de la proposición dada.-

¿Cuántos valores de verdad debe llevar una tabla?

O sea que, si el número de proposiciones simples que componen una proposición es 5, los valores de verdad serán:

3225 valoresnº

sproposionen

nesproposicionAvaloresn º2

º 2'º


Operaciones proposicionales

LA NEGACIÓN

La negación de la proposición p es ~p, cuya tabla de valores de verdad es la siguiente:

Como conclusión podemos decir que la negación es verdadera si la proposición simple es falsa y viceversa.

p ~ p

V

F

F

V


La disyunción o suma lógicaLa disyunción de las proposiciones p y q es la proposición pvq, donde p y q se llaman disyuntivos, y cuya tabla de valores de verdad es la siguiente:

Como conclusión podemos decir que la disyunción es verdadera si al menos uno de los disyuntivos también lo es.-

p q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

V

V

F


La conjunción o producto lógico

La conjunción de las proposiciones p y q es la proposición pq, donde p y q se llaman conjuntivos, y cuya tabla de valores de verdad es la siguiente:

Como conclusión podemos decir que la conjunción es verdadera si ambos conjuntivos también lo son.-

p q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

F


El condicional o la implicaciónEl condicional de las proposiciones p y q es la proposición pq, donde p se llama antecedente y q consecuente, cuya tabla de valores de verdad es la siguiente:

Como conclusión podemos decir que el condicional es falso si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso (2º línea de la tabla).-

p q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

V


Condiciones necesarias y suficientes

p condición SUFICIENTE para q (q si p)

q condición NECESARIA para p (p sólo si q)

p q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

V


El bicondicional de las proposiciones p y q es la proposición pq, cuya tabla de valores de verdad es la siguiente:

Como conclusión podemos decir que el bicondicional es verdadero si los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen son iguales.-

El bicondicional o la doble implicación

p q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

V


La diferencia simétricaLa diferencia simétrica de las proposiciones p y q es la proposición p v q, cuya tabla de valores de verdad es la siguiente:

Como conclusión podemos decir que la diferencia simétrica es verdadera si los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen son distintos.-

p q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

F

V

V

F


TautologíaDefinición

Se dice que una proposición es una tautología, si es verdadera independientemente de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen.-

Por ejemplo: p q (pq) [(pq) (q p)]

V V

V F

F V

F F

V

F

F

V

V

F

V

V

V

V

F

V

V

F

F

V

V

V

V

V

1 1 23


ContradicciónDefinición

Una proposición es una contradicción, si es falsa independientemente de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen

Por ejemplo: p q (p q) - [(p q) (q p)]

V V

V F

F V

F F

V

F

F

V

1

V

F

V

V

1

V

V

F

V

2

V

F

F

V

3

F

V

V

F

4

F

F

F

F


Contingencia

Definición

Una proposición es una contingencia si no es ni verdadera ni falsa independientemente de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componenPor ejemplo:

p q (p q) v [(p q) (q p)]

V V

V F

F V

F F

V

F

F

V

1

V

F

V

V

1

V

V

F

V

2

V

F

F

V

3

V

F

F

V


LEYES LÓGICAS

Una ley lógica es una proposición verdadera.-

1º) Involución

La negación de la negación de una proposición, es equivalente a la misma proposición

p -(-p) p

V

F

F

V

1

V

F

2

V

V


2º) Idempotencia de la conjunción

La conjunción de una misma proposición es equivalente a la misma proposición.-

p (p p) p

V

F

V

F

1

V

V


3º) Idempotencia de la disyunción

La disyunción de una misma proposición es equivalente a la misma proposición.-

p (p p) p

V

F

V

F

1

V

V


4º) Conmutatividad de la conjunción

La conjunción es conmutativa

p q (p q) (q p)

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

F

1

V

F

F

F

1

V

V

V

V


5º) Conmutatividad de la disyunción

La disyunción es conmutativa

p q (p q) (q p)

V

V

F

F

V

F

V

F

V

V

V

F

1

V

V

V

F

1

V

V

V

V


6º) Asociatividad de la conjunciónLa conjunción es asociativa

p q r (p q) r p (q r)

V

V

V

V

F

F

F

F

V

V

F

F

V

V

F

F

V

V

F

F

F

F

F

F

1

V

F

F

F

F

F

F

F

2

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

F

F

V

F

F

F

1

V

F

F

F

F

F

F

F

2

V

V

V

V

V

V

V

V


7º) Asociatividad de la disyunciónLa disyunción es asociativa

p q r (p q) r p (q r)

V

V

V

V

F

F

F

F

V

V

F

F

V

V

F

F

V

V

V

V

V

V

F

F

1

V

V

V

V

V

V

V

F

2

V

F

V

F

V

F

V

F

V

V

V

F

V

V

V

F

1

V

V

V

V

V

V

V

F

2

V

V

V

V

V

V

V

V


8º) Ley de De Morgan (de la conjunción)

La negación de una conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones.-

p q -(p q) -p -q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

F

1

F

V

V

V

3

V

V

V

V

F

V

V

V

2

F

F

V

V

1

F

V

F

V

2


9º) Ley de De Morgan (de la disyunción)

La negación de una disyunción es equivalente a la conjunción de las negaciones.-

p q -(p q) -p -q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

V

V

F

1

F

F

F

V

3

V

V

V

V

F

F

F

V

2

F

F

V

V

1

F

V

F

V

2


10º) Distributividad de la conjunción con respecto a la disyunciónLa conjunción es distributiva con respecto a la

disyunciónp q r (p q) r (p r) (q r)

V

V

V

V

F

F

F

F

V

V

F

F

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

V

V

V

V

V

F

F

1

V

F

V

F

V

F

F

F

2

V

F

V

F

F

F

F

F

1

V

F

F

F

V

F

F

F

2

V

F

V

F

V

F

F

F

3

V

V

V

V

V

V

V

V


11º) Distributividad de la disyunción con respecto a la conjunciónLa disyunción es distributiva con respecto a la

conjunciónp q r (p q) r (p r) (q r)

V

V

V

V

F

F

F

F

V

V

F

F

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

V

F

F

F

F

F

F

1

V

V

V

F

V

F

V

F

2

V

V

V

V

V

F

V

F

1

V

V

V

F

V

V

V

F

2

V

V

V

F

V

F

V

F

3

V

V

V

V

V

V

V

V


10º) Las implicaciones asociadas p q Directa q p Recíproca

-p -q Contraria -q -p Contra - recíproca

p q q pRecíprocas

-p -q -q -pRecíprocas

Con

trari

as

Con

trari

as

Contra

- re

cípro

casContra - recíprocas


Propiedad

Las implicaciones contrarecíprocas son equivalentes.O sea que:

p q p q -q -p

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

V

1

F

V

F

V

1

F

F

V

V

2

V

F

V

V

3

V

V

V

V


11º) Negación de una implicación

La siguiente proposición es una tautología, o sea:

p q (p q) -(p -q)

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

V

1

F

V

F

V

1

F

V

F

F

2

V

F

V

V

3

V

V

V

V

-(pq) -[-(p -q) -(-p q)

-(pq) -[-(p -q) p -q Ahora:

Pero:

(pq) -(p -q) -p qAhora:


12º) La doble implicación y la implicación

La doble implicación es equivalente a la conjunción de la implicación y su recíproca.

p q (p q) [(pq) (qp)

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

V

1

V

F

V

V

1

V

V

F

V

2

V

F

F

V

3

V

V

V

V


13º) La diferencia simétrica y la doble implicación

La diferencia simétrica es equivalente a la negación de la doble implicación.

p q (p q) - (p q)

V

V

F

F

V

F

V

F

F

V

V

F

1

V

F

F

V

1

F

V

V

F

2

V

V

V

V


CIRCUITOS LÓGICOS

p q


p

q

EN SERIE EN PARALELO

p q p q

Circuito en serie

p(V) q(V)

Vp(V) q(F)

Fp(F) q(V)

Fp(F) q(F)

F

p q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

F


Circuito en paralelo

p(V)

q(V) V

p(V)

q(F) V

p(F)

q(V) V

p(F)

q(F) F

p q p q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

V

V

F


¿Cómo se trabaja para hacer un circuito lógico de proposiciones que no son conjunciones, disyunciones o negaciones?

Por ejemplo, sea

p q -(p q) -[(pq) (qp)] -(pq) -(qp)

(p -q) (q -p)p -q

q -p


RAZONAMIENTO DEDUCTIVO

qpi ,

Un razonamiento es deductivo sí y sólo sí, las premisas son la evidencia de la verdad de la conclusión.-

ip Premisas

q Conclusión


(p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8 ... pn) q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

V


VERDADERASVERDADERA

(p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8 ... pn) q

VERDADERAUn razonamiento deductivo se

dice que es VÁLIDO, si no es posible que de premisas VERDADERAS se obtenga una conclusión FALSA


p1

p2

p3

p4

::::::q

V

V

Por ejemplo

p q

-r -q

-(-p -t)

t s

-r

s


Reglas de inferenciasLlamamos reglas de inferencias a todo esquema válido de razonamiento.

Algunas de ellas son:

Ley de Modus Ponensp (pq) q

p

pq

q

p q p (pq) q

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

V

V

F

F

F

V

V

V

V


Ley de Modus Tolens-q (pq) -p

-q

pq

-p

p q -q (pq) -p

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

V

F

V

F

V

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

V

V


Ley del silogismo hipotético (pq) (qr) (pr)

pq

qr

pr

p q r (pq) (q r) (p r)

V

V

V

V

F

F

F

F

V

V

F

F

V

V

F

F

V

V

F

F

V

V

V

V

V

F

F

F

V

F

V

V

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

V

V

V

V

F

V

V

V

F

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V


Ley del silogismo disyuntivo-q (pq) p

-q

p q

p

p q -q (p q) p

V

V

F

F

V

F

V

F

V

V

V

F

F

V

F

V

V

V

V

V

F

V

F

F


p q

-r -q

-(-p -t)

t s

-r

s

Por ejemplo:

1)

2)

3)

4)

5)

1) p q

2) q r de 2 ICR

3) p t de 3 LDM e INV

4) t s

5) -r

s

1) pr de 1)2) LSH

2) p t

3) ts

4) -r

s

1) -p de 1)4) LMT

2) p t

3) ts

s

1) t de 1)2) LSD

2) t s

s

t(V)

s(V)

(V)


LA FUNCIÓN PROPOSICIONAL

Una función proposicional en una variable x es toda oración en la que figura la variable como sujeto u objeto directo, la cual se convierte en proposición para cada especificación de x.-

Por ejemplo:

P(x): x es impar

P(-4): -4 es impar (F)

P(5): 5 es impar (V)


P(x,y):x es divisor de y

P(-2,6):-2 es divisor de 6 (V)

P(10,2):10 es divisor de 2 (F)

CUANTIFICADORES

UNIVERSAL: x:P(x)

EXISTENCIAL: x/P(x)


NEGACIÓN DE UN CUANTIFICADOR UNIVERSAL

Todos los números enteros son impares

x:x es imparNegando el cuatificador queda:

x:P(x)

-x:x es impar -x:P(x)

No Todos los números enteros son imparesExisten números enteros que no son imparesx/x no es impar x/-P(x)

-x:P(x)x/-P(x)


NEGACIÓN DE UN CUANTIFICADOR EXISTENCIAL

Existen números enteros que son impares

x/x es imparNegando el cuatificador queda:

x/P(x)

-x/x es impar -x/P(x)

No existen los números enteros que son imparesTodos los números enteros no son

imparesx:x no es impar x:-P(x)

-x/P(x)x:-P(x)


La negación de un cuantificador, es equivalente al otro cuantificador con la negación de la función proposicionalPor ejemplo:

Cualquiera que sea entero, existe otro que sumado a él de cero

P(x,y): x+y=0

x,y/x+y=0

Su negación es:

-x,y/x+y=0 x/y:x+y0

x/-(y/x+y=0) -x,y/x+y=0 x/y:x+y≠0


RAZONAMIENTO INDUCTIVO

Un razonamiento inductivo es aquel que partiendo de casos particulares, podemos generalizar, y demostrar de esta forma una propiedad.-

Por ejemplo, demostrar la propiedad conmutativa de la adición en los números naturales

1+5 = 5+17+10 = 10+7

100+32=32+100

Si a y b a+b=b+a


TEOREMA

En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es igual a dos rectos.

H) Sea cba

T) Rcba 2

a

b

c

A

D)

a’ c’

Rcba 2''

acA Cortadas por cbab

'aa

'cc Rcba 2

Un teorema es un esquema válido de razonamiento donde el conjunto de premisas se denomina HIPÓTESES y la conclusión TÉSIS


REDUCCIÓN AL ABSURDO

H T -T -H

En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es igual a dos rectos.

H) Sea cba

T) Rcba 2

a

b

c

A

D)

a’ c’

Rcba 2

acA Cortadas por cbab

'aa

'cc

Rcba 2''

¡ABSURSDO!

0180

cbacba


IDEA Y REALIZACIÓN

Lic. Mat. PATRICIA ISABEL AGUILAR INCIO

Departamento de Formación General

UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO

2013

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