DECISIONES GERENCIALES II Bibliografa Bsica

Cuantitativos para los Negocios. Barry Render y Otros (libro texto) Mtodos Cuantitativos para Administracin. Frederick Hiller y otros. Investigacin de Operaciones en la Ciencia Administrativa. F. J. Gould y otros. Investigacin de Operaciones. Wayne Winston. Investigacin de Operaciones. Handy Taha. Programacin Lineal: Elementos Bsicos y Problemas Resueltos. Marisela Hernndez.

Mtodos

LA GESTIN DE TOMA DE DECISIONES Estrategia de Evaluacin

Se realizarn cuatro (4) pruebas presnciales que aportarn el 80% de la calificacin total de cada estudiante. Igualmente los estudiantes entregarn un informe escrito con el anlisis de las interpretaciones de casos propuestos, artculos, o cualquier otro material que el profesor crea conveniente, el cual ser expuesto y aportar el 20% para completar la nota total individual de los estudiantes. La asistencia a clases es estrictamente obligatoria, sobre todo a las exposiciones, la cuales se desarrollan en el transcurso del semestre. La ausencia sin justificacin a cada exposicin ser motivo suficiente para restar cinco (5) puntos sobre la exposicin inherente a cada estudiante. No hay recuperativo, solo diferido debidamente justificado y comprobado con certificacin de CAMIULA si fuese el caso.

LA GESTIN DE TOMA DE DECISIONES

Un administrador puede incrementar la toma de decisiones aprendiendo ms sobre metodologa cuantitativa y comprendiendo mejor su contribucin al proceso de toma de decisiones. Aquel administrador que se familiarice con los procedimientos cuantitativos de toma de decisiones estar en mucha mejor posicin para comparar y evaluar las fuentes cualitativas y cuantitativas, y finalmente de combinar ambas, a fin de tomar la mejor decisin posible.

LA GESTIN DE TOMA DE DECISIONESLa revolucin de la Administracin Cientfica que inici Frederick W. Taylor, a principios del siglo pasado, puso las bases para el uso del los mtodos cuantitativos en la administracin, pero se considera que el uso de los mtodos cuantitativos se origin a mediados de los cuarenta, cuando se formaron grupos para resolver problemas mediante mtodos cientficos. Aos ms tarde, gran parte de estos equipos multidisciplinarios continuaron investigando procedimientos cuantitativos par la TOMA DE DECISIONES. Tres hechos llevaron al desarrollo y uso de los mtodos cuantitativos: Descubrimiento por parte de George Dantzing en 1947 del mtodo simplex para la resolucin de problemas de programacin lineal. Publicacin del primer libro sobre Investigacin de Operaciones en el ao 1957 por parte de Churchman, Ackoff, y Arnoff. Desarrollo del procesador electrnico.

ROL DEL ANLISIS CUALITATIVO Y CUANTITATIVO

Estructuracin del Problema

Anlisis del Problema

Definir el problema

Identificar alternativas

Determinar los criterios

Anlisis Cualitativo Resumen y Evaluacin Anlisis Cuantitativo

Toma de Decisin

LA GESTIN DE TOMA DE DECISIONES El anlisis cualitativo se basa principalmente en el juicio del administrador; incluye la intuicin del administrador en relacin con el problema. Si el administrador ha tenido experiencia en problemas similares, o si el problema es relativamente simple, se puede poner mucho nfasis en el anlisis cualitativo. Sin embargo, si el administrador ha tenido poco experiencia en problemas similares, o si el problema es lo suficientemente complejo, entonces un anlisis cuantitativo puede resultar de especial importancia en la decisin final del administrador. Las habilidades en el procedimiento cuantitativo slo pueden aprenderse mediante el estudio y el uso de los mtodos cuantitativos. El analista se concentra en los hechos o los datos cuantitativos asociados con el problema y desarrollar expresiones matemticas que describan los objetivos, los lmites y otras relaciones que existen dentro del problema, para as recomendar un curso de accin

LA GESTIN DE TOMA DE DECISIONES Mtodos ms utilizados

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Programacin Lineal Programacin Lineal Entera Gerencia de Proyectos (PERT-CPM) Modelos de Inventarios Modelos de Lneas de Espera (colas) Simulacin por Computadora Anlisis de Decisiones Pronsticos Teora de Juegos

TEMA I PROGRAMACIN CON ENTEROS (PE)

En una solucin ptima para programacin lineal a veces las variables de decisin tendrn un valor entero, esto es un nmero entero (0, 1, 2, ). Sin embargo, algunas veces tendran un valor fraccionario (por ejemplo, 2 o 4,11353). Ninguna de las rectricciones de un modelo de programacin lineal prohibe valores fraccionarios. En algunas aplicaciones, las variables de decisin tendrn sentido si y slo si tienen valores enteros. Por ejemplo, puede ser necesario asignar personas, mquinas, o vehculos a actividades en cantidades enteras. Este es el tipo de situacin que estudia la programacin entera. Tipos de problemas de programacin entera Programacin entera pura Pueden ser con variables binarias (valores de 0 o 1) Programacin entera mixta

PROGRAMACIN CON ENTEROS (PE) Ejemplo-problemaTBA Airlines es una compaa regional pequea que se especializa en vuelos cortos en aviones pequeos. La compaa ha tenido un buen desempeo y la administracin decidi ampliar sus operaciones. El asunto bsico que ahora enfrenta la administracin es si comprar ms aviones pequeos para agregar algunos vuelos o comenzar a desplazarse al mercado nacional, comprando algunos aviones grandes para nuevos vuelos a travs de todo EEUU (o ambos). Entraran muchos factores en la decisin final de la administracin, pero el ms importante es cual estrategia es probable que sea ms redituable. La informacin pertinente se encuentra en la siguiente tabla: Avin pequeo Ingreso neto anual por avin Costo de compra por avin Nmero mximo de compra $1 milln $5 millones 2 Avin grande $5 millones $50 millones Sin mximo 100 millones Capital disponible

Cuntos aviones de cada tipo se deben comprar para maximizar la ganancia anual neta total?

PROGRAMACIN CON ENTEROS PL vs. PE Suposiciones Bsicas de un PL

Suposicin de divisibilidad de Programacin Lineal (PL): las variables de decisin en un modelo de programacin lineal pueden tomar cualquier valor, incluso valores fraccionarios, que satisfagan las restricciones funcionales y de no negatividad. As, estas variables no estn restringidas a slo valores enteros. Como cada variable de decisin representa el nivel de alguna actividad, se puede suponer que las actividades pueden realizarse a niveles fraccionarios. Si se viola esta suposicin porque el problema real requiere que las variables de decisin tengan valores enteros, entonces, debe emplearse la Programacin Entera (PE) en lugar de la Programacin Lineal (PL). Para el problema de TBA Airlines, las actividades son las compras de aviones de tipos diferentes, de modo que el nivel de cada actividad es el nmero de aviones de ese tipo comprados. Dado que el nmero comprado tiene que tener un valor entero, es necesario violar el supuesto de divisibilidad.

PROGRAMACIN CON ENTEROS Solucin de TBA Airlines por PE La formulacin de Programacin Entera de este problema es exactamente la misma que la de Programacin Lineal, salvo por una diferencia crucial: se agregan restricciones que requieren que las variables de decisin tengan valores enteros. Por lo tanto, la forma algebraica del modelo de programacin entera es: F. O. Max. U = x + 5y S. S. R. 1) 5x + 50y 100 2) x 2 3) x, y 0 X, y son enteros Las nicas soluciones factibles para este problema entero son las soluciones enteras que se encuentran en la regin sombreada, es decir (0,0), (1,0), (2,0), (0,1), (1, 1), (2, 1) y (0,2).

PROGRAMACIN CON ENTEROS Solucin de TBA Airlines por PE Mtodo de RAMIFICAR Y ACOTAR

En la prctica, la mayora de los problemas de Programacin Entera se resuelven mediante el uso de la tcnica de ramificar y acotar. Los mtodos de ramificar y acotar encuentran la solucin ptima para una PE mediante la enumeracin eficiente de los puntos en la regin factible de un subproblema. Antes de explicar como funciona la ramificacin y el acotamiento es necesario hacer la siguiente observacin elemental, pero importante: si resuelve la relajacin PL de una PE pura y obtiene una solucin en la cual las variables son nmeros enteros, entonces la solucin ptima de la relajacin PL ser tambin la solucin ptima del PE.

PROGRAMACIN CON ENTEROS Solucin de TBA Airlines por PE Mtodo de RAMIFICAR Y ACOTAR Pasos: * La solucin ptima para el problema relajado es: z = 11, x = 2, y y = 1.8. Esto significa que el valor ptimo de z para el PE no puede ser mayor que 11. * Luego procedemos a dividir la regin factible del problema relajado en un intento de buscar ms informacin que me ayude a optimizar el problema. Para ello escogemos arbitrariamente cualquier variable fraccionaria de los valores que nos haya otorgado la funcin objetivo, en este caso seleccionamos y (adems es la nica variable fraccionada). Ahora obsrvese que cada punto en la regin factible para el PE tiene que ser y 1, o bien y 2. (Por qu no puede tener una solucin factible para PE, 1 < y < 2). Con esto en mente, ramificamos respecto a la variable y y creamos los siguientes dos subproblemas: Subproblema 2: Subproblema 1 + la Restriccin y 2 Subproblema 3: Subproblema 1 + la Restriccin y 1

PROGRAMACIN CON ENTEROS Solucin de TBA Airlines por PE Mtodo de RAMIFICAR Y ACOTAR

Obsrvese que ni el subproblema 2, ni el subproblema 3 incluyen puntos con y = 1.8. Esto significa que la solucin ptima para la relajacin PL no puede volver a aparecer cuando resolvamos el subproblema 2 o el subproblema 3. Procedemos entonces a acotar el problema. * En este problema relativamente sencillo resulta que la solucin al PE se obtuvo al desarrollar el subproblema 2. Encontramos la solucin final en el Mtodo de Ramificar y Acotar, cuando los subproblemas otorguen resultados enteros y en donde se optimice z. * Si los resultados de los subproblemas fuesen fraccionados, se continua ramificando y acotando hasta encontrar una solucin final.

PROGRAMACIN CON ENTEROS Tipos de problemas de PELos problemas de Programacin Lineal Pura son aquellos donde todas las variables de decisin tienen que ser enteros. Los problemas de Programacin Entera Mixta slo requieren que algunas variables tengan valores enteros (de modo que el supuesto de divisibilidad se cumple para el resto). Muchas aplicaciones de Programacin Entera (ya sea pura o mixta) restringen aun ms las variables enteras a slo dos valores, 0 o 1. Las variables binarias son variables cuyos nicos valores posibles son 0 y 1. Los problemas de Programacin Entera Binaria son aquellos donde las variables de decisin restringidas a valores enteros, estn adems restringidas a ser variables binarias. Tambin estos problemas pueden ser puros y mixtos. Importarte: de manera anloga al algoritmo simplex, se podra esperar resolver un PE mediante un algoritmo que pasara una solucin entera factible a una solucin entera mejor. Por desgracia no se conoce tal algoritmo. Normalmente en ms difcil resolver un PE que resolver la relajacin PL de un PE.

PROGRAMACIN CON ENTEROSProblema resuelto en clase

La carpintera de Juanita fabrica mesas y sillas. Una mesa requiere 1 hora de trabajo y 9 pies de tabla de madera; una silla requiere e 1 hora de trabajo y 5 pies de tabla de madera. Actualmente se dispone de 6 horas de trabajo y 45 pies de madera. Cada tabla contribuye con 8 dlares a la utilidad, y cada silla contribuye con 5 dlares a la utilidad. Formule y resuelva por PE a fin de maximizar la utilidad por el mtodo de ramificar y acotar.

PROGRAMACIN CON ENTEROS Programacin Entera BinariaEjemplo-problema

Cierta empresa considera cuatro inversiones. La inversin 1 proporcionar un valor actual neto (VAN) de 16000 dlares; la inversin 2 un VAN de 22000 dlares; la inversin 3 un VAN de 12000 dlares; y la inversin 4 un VAN de 8000 dlares. Cada inversin requiere cierto flujo de caja en el momento actual: la inversin 1, 5000 dlares; la inversin 2, 7000 dlares; la inversin 3, 4000 dlares; y la inversin 4, 3000 dlares respectivamente. Se dispone de 14000 dlares para la inversin. Formule un PE cuya solucin dir a esta empresa como maximizar el VAN global obtenido de las inversiones 1-4.

PROGRAMACIN CON ENTEROS Programacin Entera BinariaSolucin al PEB

Como en las formulaciones de los PL, empezamos con la definicin de una variable para cada decisin que esta empresa debe tomar. Esto conduce a definir una variable 0-1; 1 si se realiza la inversin j xj ( j = 1, 2, 3, 4 ) = 0 de otra manera Por ejemplo, x2 = 1 si se realiza la inversin 2, y x2 = 0 si no se realiza. Planteamiento formal: Max = 16x1 + 22x2 + 12x3 + 8x4 s.s.r. 5x1 + 7x2 + 4x3 + 3x4 14 xj = 0 o 1 (j = 1, 2, 3, 4)

PROGRAMACIN CON ENTEROS Programacin Entera BinariaSolucin al PEB Continuacin Cualquier PE, tal como el ejemplo anterior, que tiene solamente una restriccin, se llama problema de la mochila. Max z = c1x1 + c2x2 + + cnxn S.S.R. a1x1 + a2x2 + + anxn b Xi = 0 o 1 (i = 1, 2, , n) Cuando se resuelven problemas de mochila mediante el mtodo de ramificar y acotar, se simplifican enormemente dos aspectos del enfoque de ramificar y acotar. Ya que cada variable debe ser igual a 0 y 1, la ramificacin con respecto xi, proporcionar una rama xi = 0, y otra rama con xi = 1. Tambin se puede resolver la relajacin PL (y otros subproblemas) mediante inspeccin. Para darse cuenta de ello, observe que se puede interpretar ci /ai como el beneficio que obtiene el artculo i por cada unidad del recurso que usa el artculo i. As, los mejores artculos tienen mayores valores ci /ai y los peores artculos tienen valores mas pequeos de ci /ai. Para resolver cualquier subproblema que se presenta en un problema de mochila, calcule todas las razones ci /ai. Luego

PROGRAMACIN CON ENTEROS Programacin Entera BinariaSolucin al PEB Continuacin coloque el mejor artculo en la mochila. Despus coloque el artculo que quedo en el segundo lugar en la mochila. Siga as de esta manera hasta que el mejor artculo que quede rebose la mochila. Entonces llene la mochila con la mayor cantidad posible de este artculo. Ramifique y acote de acuerdo a los artculos ms rentables hasta obtener la solucin candidato aceptable. Ejercicio: Max = 40x1 + 80x2 + 10x3 + 10x4 + 4x5 + 20x6 + 60x7 s.s.r. 40x1 + 50x2 + 30x3 + 10x4 + 10x5 + 40x6 + 30x7 100 xj = 0 o 1 (j = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)

PROGRAMACIN CON ENTEROS Programacin Entera Binaria Mtodo de Enumeracin Implcita

El mtodo de la enumeracin implcita se usa frecuentemente para resolver PE 0-1. En la enumeracin implcita se aplica el hecho de que cada variable debe ser igual a 0 o 1 para simplificar las componentes de ramificar y de acotar a fin de determinar eficazmente cundo un nodo no es factible. El rbol que se utiliza en la enumeracin implcita es similar a los rboles que se utilizaron para resolver problemas 0-1 tipo mochila. Cada rama de rbol se especificar, para alguna variable xi, tal que xi = 0 o xi = 1. De tal manera que para llegar a cada nodo, se deben especificar algunas de las variables. En la medida en que se va ramificando el rbol, en esa misma medida se van descartando variables por ser tomadas en cuenta en el desarrollo de dicha ramificacin, a estas variables se les llama variables fijas, y las restantes que queden por fijar se les denomina variables libres.

PROGRAMACIN CON ENTEROS Programacin Entera Binaria Mtodo de Enumeracin ImplcitaLa idea de este mtodo en general, es la verificacin de si un nodo tiene una integracin factible (para cualquier nodo, una especificacin o asignacin de valores 0 o 1 de todas las variables libres se denomina integracin) al observar cada restriccin y al asignar el mejor valor a variable libre. Para la asignacin de estos valores (0-1) resulta de gran utilidad a la siguiente tabla:TIPO DE RESTRICCIN SIGNO DEL COEFICIENTE DE LA VARIABLE LIBRE EN LA RESTRICCIN VALOR ASIGNADO A LA VARIABLE LIBRE EN LA VERIFICACIN DE FACTIBILIDAD

+ + -

0 1 1 0

Si la asignacin de una determinada integracin a un nodo no satisface alguna restriccin, sabemos que el nodo no tiene un completamiento factible. En este caso, el nodo no puede proporcionar la solucin ptima para la PE original.

PROGRAMACIN CON ENTEROS Programacin Entera Binaria Mtodo de Enumeracin ImplcitaEjemplo: Utilice la enumeracin implcita para resolver el siguiente PE 0-1: Max z = -7x1 3x2 2x3 4x4 2x5 SSR: 1) -4x1 2x2 + x3 2x4 x5 -3 2) -4x1 2x2 + 4x3 + x4 2x5 -7 3) xi = 0 o 1 (i = 1, 2, 3, 4, 5) Pasos para la solucin: a) Al inicio (el nodo 1), todas las variables son libres. Primero verificamos si la mejor integracin del nodo 1 es factible. La mejor integracin del nodo 1 es x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 0, x5 = 0, que no es una solucin factible (viola ambas restricciones). b) Ahora verificamos si el nodo 1 tiene una integracin factible, aplicando y verificando los valores de las variables libres de acuerdo a la tabla suministrada anteriormente en cada restriccin.

PROGRAMACIN CON ENTEROS Programacin Entera Binaria Mtodo de Enumeracin Implcitac) Si en realidad el nodo 1 tiene una integracin factible, procedemos a ramificar con respecto a una variable libre: seleccionamos cualquiera arbitrariamente. d) Se sigue el mismo procedimiento para cada nodo restante. e) Importante: en la ramificacin y resolucin de los nodos se le debe dar prioridad a la resolucin del ltimo nodo graficado (esto tambin es aplicable a los mtodos de ramificacin explicados anteriormente). La regla LIFO (del ingls last-in-first-out) seala esta conveniencia, que luego sealar de manera prctica. Nota: estimados estudiantes, al pasar el problema al pizarrn se presentaron errores de trascripcin. Es decir el problema que deben resolver es el que se encuentra en la diapositiva anterior (comprenla con la que tienen en el cuaderno). De todas maneras esta clase se repetir (18/04/06), ya que no asistieron todos por motivos de las entrevistas programadas. La respuesta final es x1 = x3 = 1, x2= 4x4 = 2x5, Ver solucin grfica en la web.

DECISIONES GERENCIALES II Tema II TEORA DE COLAS2.1 Introduccin. 2.2 Estructura del sistema. 2.3 Modelo de colas con un servicio nico. 2.4 Modelo de colas con servicio mltiple. Introduccin: Las colas (lneas de espera) son parte de nuestra vida cotidiana. Todos esperamos en colas para comprar un boleto para el cine, efectuar un depsito bancario, pagar vveres, enviar un paquete por correo, obtener comida en la cafetera, comenzar un recorrido en un parque de diversiones, etctera. Nos hemos acostumbrado a cantidades notables de espera, pero an nos molestamos con las esperas prolongadas. Sin embargo, tener que esperar no es slo una pequea molestia personal. La cantidad de tiempo que la poblacin de un pas desperdicia esperando en las colas es un factor primordial tanto de la calidad de vida como de la eficiencia de un pas.

DECISIONES GERENCIALES II Tema II TEORA DE COLASEstructura del sistema: a) Insumo. Son dos los elementos que constituyen los insumos del sistema: la poblacin y la tasa de llegadas. La poblacin que deber atenderse puede venir de una porcin de la poblacin indefinida, por ejemplo la poblacin de una regin dada, o de una porcin de una poblacin determinada, por ejemplo el conjunto de camiones que debern cargarse en una empresa. La tasa de llegada del insumo puede ser constante (las piezas que se desplazan por una lnea de montaje) o variable (la llegada de pacientes a una clnica de emergencias). Por tanto, el nmero de llegadas puede definirse por una distribucin aleatoria. b) Sistema de servicio. En ste se distinguen dos zonas: la zona de espera y la zona de servicio. Los dos elementos que definen la zona de espera son la estructura de la lnea y la regla de prioridad. La lnea de espera o cola se caracteriza por la longitud (infinita o limitada) y por su nmero (una sola lnea o varias). La regla de prioridad puede ser: la primera llegada es la que se atiende primero; las llegadas anteriores ceden su lugar a los casos de urgencia; los pedidos de duracin ms corta son los primeros en atenderse, etc.

DECISIONES GERENCIALES II Tema II TEORA DE COLASc) Producto. En cuanto al producto se distinguen dos categoras: la que volver al sistema y reconstituir as parte de la poblacin que deber atenderse (clientes de sucursales bancarias, de salas de emergencia y de estaciones de servicio, etc.), y la que no volver (productos terminados no defectuosos). Modelos de lneas de espera.

a) Lnea nica y canal nico de servicio

c) Varias lneas y canales mltiples de servicios

b) Lnea nica y canales mltiples de servicios

d) Lnea nica y canal nico con etapas mltiples

TEORA DE COLAS Elementos de un sistema de colasLos actores principales en una lnea de espera o cola son el cliente y el servidor. Los clientes se generan en una fuente. Al llegar a la instalacin pueden recibir servicio de inmediato, o esperar en una cola, si la instalacin est ocupada. Cuando en una instalacin se termina un servicio, en forma automtica se atrae a un cliente en espera, si lo hay, de la cola. Si la cola est vaca, la instalacin se vuelve inactiva hasta la llegada de un nuevo cliente. Desde el punto de vista del anlisis de las colas, el proceso de llegada se representa con el tiempo entre llegadas, de los clientes sucesivos, y el servicio se describe con el tiempo de servicio por cada cliente. Por lo general, los tiempos entre llegadas y servicio pueden ser probabilsticos, como el funcionamiento de una oficina de correos, o determinsticos, como en la llegada de solicitudes a las entrevistas de trabajo. El tamao de la cola desempea un papel en el anlisis de las colas, y puede ser finito, como en el rea de reserva entre dos mquinas consecutivas, o puede se infinito, como en las instalaciones de pedidos por correo.

TEORA DE COLAS Elementos de un sistema de colasLa disciplina de la cola, que representa el orden en el que se seleccionan los clientes de una cola, es un factor importante en el anlisis de los modelos de colas. La disciplina ms comn es la de primero en llegar, primero en servirse. Entre otras disciplinas estn ltimo en llegar, primero en servirse, y de dar servicio en orden aleatorio. Tambin, los clientes se pueden seleccionar en la cola con base en cierto orden de prioridad. Por ejemplo, los trabajos urgentes en un taller se procesan antes que los trabajos normales. El comportamiento de los clientes en espera juegan un papel en el anlisis de las lneas de espera. Los clientes humanos se pueden saltar de una cola a otra, tratando de reducir la espera. Tambin pueden rehusar totalmente a la cola por haber esperado demasiado. La fuente en donde se generan los clientes puede ser finita o infinita. Una fuente finita limita a los clientes que lleguen al servicio (por ejemplo, las mquinas que piden el servicio de mantenimiento). Tambin, una fuente infinita es abundante por siempre (por ejemplo, las llamadas que llegan a una central telefnica).

TEORA DE COLAS Modelo Generalizado de Cola de PoissonLa siguiente teora y frmulas se derivan del modelo general de cola en donde se combinan llegadas y salidas, basndose en la hiptesis de Poisson: los tiempos entre llegadas y de servicio tienen una distribucin exponencial. El modelo es la base para deducir modelos especializado de Poisson que se vern ms adelante. El desarrollo de este modelo generalizado se basa en el comportamiento a largo plazo, o de estado estable, de la cola, que se alcanza despus de que el sistema ha funcionado durante un tiempo suficientemente largo. Esta clase de anlisis contrasta con el comportamiento transitorio (de calentamiento) que prevalece durante el inicio del funcionamiento del sistema. Una razn para no describir el comportamiento transitorio en esta parte del programa es su complejidad analtica. Otra es que el estudio de la mayor parte de los casos de lneas de espera sucede bajo condiciones de estado estable. El modelo generalizado supone que las frecuencias tanto de llegadas como de salidas dependen del estado, y eso quiere decir que dependen de la cantidad de clientes en la instalacin de servicio.

TEORA DE COLAS Colas especializadas de Poisson Definicin de las medidas de desempeo1. Cuntos clientes suelen esperar en el sistema de colas? 2. Cunto suelen esperar estos clientes? Estas dos medidas expresadas en forma de interrogantes, por lo comn se expresan en trminos de sus valores esperados (en el sentido estadstico). Para hacer esto, es necesario aclarar si slo se estn contando con clientes mientras esperan en la cola (previo al iniciar el servicio) o mientras se encuentran en cualquier punto en el sistema de colas (ya sea en la cola o en servicio). Estas dos formas de definir los dos tipos de medidas proporcionan cuatro medidas de desempeo. Se presentan estas cuatro medidas y su smbolos.L = nmero esperado de clientes en el sistema, incluye a quienes estn en el servicio (el smbolo L proviene de longitud) Lq = nmero esperado de clientes en la cola, que excluye a los clientes que estn en el servicio. W = tiempo de espera esperado en el sistema (incluye el tiempo de servicio) para un cliente individual (el smbolo W proviene de tiempo de espera) Wq = tiempo de espera esperado en la cola (excluye el tiempo de servicio) para un cliente individual.

TEORA DE COLAS Colas especializadas de Poisson Relaciones entre L, W, Lq y WqLa nica diferencia entre W y Wq es que W incluye el tiempo esperado de servicio y Wq no. As 1/ es el smbolo de tiempo esperado de servicio, donde W = Wq + 1/ , = tasa media de servicio. Quiz la frmula ms importante en la teora de las colas proporciona una relacin directa entre L y W. Esta frmula es L = W, donde = tasa media de llegadas para los clientes que entran al sistema de colas. La frmula anterior (L = W), tambin se aplica a la relacin entre Lq y Wq. Por lo tanto, otra versin de esta frmula es: Lq = Wq Al combinar las relaciones anteriores tambin se obtiene la siguiente relacin L = W = (Wq + 1/ ) directa entre L y Lq, = Lq + /

TEORA DE COLAS Colas especializadas de PoissonLas notaciones normales o estndar para representar las distribuciones de llegadas y de salidas son: M = Distribucin de Markov (o de Poisson) de las llegadas o de las salidas (o lo que es igual, distribucin exponencial del tiempo entre llegadas o tiempo de servicio) D = Tiempo constante (determinstico) Ek = Distribucin Erlang o gamma de tiempo (o bien, la suma de distribuciones exponenciales independientes) GI = Distribucin general del tiempo entre llegadas G = Distribucin general del tiempo de servicio Entre la notacin de disciplinas de cola estn: PLPS = Primero en llegar, primero en ser servido ULPS = ltimo en llegar, primero en ser servido SEOA = Servicio de orden aleatorio DG = Disciplina en general (es decir, cualquier tipo de disciplina)

TEORA DE COLAS Colas especializadas de Poisson Uso de las probabilidades como medidas de desempeoCon frecuencia los gerentes se interesan en ms de lo que ocurre en promedio en un sistema de colas. Aparte de querer que L, W, Lq y Wq no excedan valores meta, tambin les preocupan los peores escenarios. Cul ser el mximo de clientes en el sistema (o en la cola) que slo ser excedido una pequea fraccin de tiempo (esto es, con una pequea probabilidad)? Cul ser el mximo tiempo de espera de los clientes en el sistema (o en la cola) que slo ser excedido una fraccin de tiempo? Un gerente podra especificar que el sistema de colas debe estar diseado de forma tal que esos nmeros mximos no exceden ciertos valores. El alcance de ese objetivo requiere del uso de la distribucin de probabilidad del estado estable de estas cantidades (el nmero de los clientes y el tiempo de espera). Por ejemplo, suponga que la meta es no tener ms de tres clientes en el sistema al menos 95% del tiempo. Usando la notacin: Pn = probabilidad de estado estable de tener exactamente n clientes en el sistema (para n = 0, 1, 2, ) Para cumplir con esta meta se requiere que P0 + P1 + P2 + P3 0.95

TEORA DE COLAS Colas especializadas de Poisson Uso de las probabilidades como medidas de desempeoDel mismo modo, suponga que otra meta es que el tiempo de espera en el sistema no exceda a dos horas al menos para el 95% de los clientes. Sea la variable aleatoria W el tiempo de espera en el sistema para un cliente individual mientras el sistema est en una condicin de estado estable. (As, W es el valor esperado de esta variable aleatoria.) Usando la distribucin de probabilidad para esta variable aleatoria, alcanzar la meta requiere que P(W 2 horas) 0.95 Si por otro lado el objetivo est planteado en trminos del tiempo de espera en la cola, entonces se usara del mismo modo otra variable aleatoria W q que representa este tiempo de espera. Se dispone de frmulas para calcular al menos algunas de esta probabilidades para varios modelos de colas considerados ms adelante.

TEORA DE COLAS Modelos con un servidor

En esta seccin se presentan dos modelos para el caso en que hay un solo servidor (c = 1). En el primer modelo no se establece lmite para la cantidad mxima en el sistema, y en el segundo se supone un lmite finito del sistema. Ambos modelos suponen una fuente de capacidad infinita. Las llegadas suceden con frecuencia de clientes por unidad de tiempo, y la tasa de servicio es clientes por unidad de tiempo. Modelo (M/M/1) : (DG//) El modelo M/M/1 es el modelo de un servidor que supone que ambos tiempos entre llegadas y servicios tienen distribucin exponencial. DG//, significa que el modelo obedece a una disciplina general (ver teora), y que no hay lmite para la cantidad mxima del sistema y tambin supone una fuente de capacidad infinita.

TEORA DE COLAS Modelos con un servidorEsta seccin se centra en los sistemas de colas bsicos que tiene un solo servidor. Se usarn los smbolos claves introducidos anteriormente: = tasa media de llegadas para los clientes que entran al sistema de colas, o nmero esperado de llegadas por unidad de tiempo. = tasa media de servicio (para un servidor normalmente ocupado), o nmero esperado de terminaciones de servicio por unidad de tiempo. Entonces podemos decir que 1/ es el tiempo esperado entre llegadas (el tiempo promedio entre la llegada del clientes consecutivos) y 1/ es el tiempo esperado de servicio para cada cliente. Un nuevo smbolo para esta seccin es =/ donde es la letra griega ro. A esta cantidad se llama factor de utilizacin, y representa la fraccin de tiempo promedio que utiliza el servidor para atender a los clientes.

Modelos con un servidor M/M/1 (DG//) Suposiciones1.- Los tiempos entre llegadas tienen una distribucin exponencial con media 1/. 2.- Los tiempos de servicio tienen una distribucin exponencial con media 1/. 3.- El sistema de colas tiene un servidor. Dos frmulas equivalentes del nmero esperado de clientes en el sistema son L = /(1 - ) = /( ) Debido a la frmula L = W, el tiempo de espera previsto en el sistema es W = L / = /[ (1 - )] = 1/[ (1 - )] = 1/( ) Por lo tanto el tiempo esperado de espera en la cola (incluye el tiempo de servicio) es Wq = W 1/ = 1/( ) - 1/ = [ ( )]/ [ ( )] Entonces Wq = /[ ( )] Al aplicar la otra versin de Lq = Wq, el nmero esperado de clientes en la cola (excluye clientes en servicio) es Lq = Wq = 2/[ ( )] = 2/(1 - )

Modelos con un servidor M/M/1 (DG//) Ejemplo 1A un cajero automtico slo llega un promedio de 10 vehculos por hora. Suponga que el tiempo promedio de servicio para cada cliente es de 4 minutos, y que los tiempos entre llegadas y los de servicio son exponenciales. Conteste las preguntas siguientes: 1.- Cul es el nmero promedio de automviles que esperan en la cola su turno? Se considera que un vehculo que est ocupado en el cajero automtico, no est esperando en la cola. 2.- Cul es el tiempo promedio que un cliente pasa en el estacionamiento del banco, incluyendo el tiempo de servicio? 3.- En promedio, cuntos clientes por hora sern atendidos por el cajero automtico? 4.- Cul es la probabilidad de que el cajero automtico se encuentre vaco?

Modelos con un servidor M/M/1 (DG//) Ejemplo 1Para responder la interrogante anterior es necesario plantear el siguiente modelo de probabilidad para el sistema de colas con un servidor: Pn = probabilidad de estado estable de tener exactamente n clientes en el sistema (para n = 0, 1, 2, ) Si = / , la ecuacin de Pn en el modelo generalizado de colas con un servidor se reduce a: Pn = n P0 Para determinar el valor de P0 se usa la siguiente identidad: P0 (1 + + 2 + ) = 1 Suponiendo que < 1, la serie geomtrica tiene la suma finita (1/(1- )), y entonces P0 = 1- , siendo que < 1. La frmula general de Pn es entonces la de la siguiente distribucin geomtrica: Pn = (1 ) n, n = 1, 2, ( N Para determinar el valor de P0 se usa la siguiente identidad: P0 (1 + + 2 + + N ) = 1 o sea P0 = 1 /(N + 1), As, Pn = 1 /(N + 1), =1 [(1 ) n] / (1 N + 1), 1 , n = 0, 1, , N =1 (1 ) / (1 N + 1), 1

Modelos con un servidor M/M/1 (DG/N/) La cantidad esperada de clientes en el sistema se calcula como sigue: L = n Pnn=0 N

L = [(1 ) / (1

N + 1)]

n=0

nn

N

Desarrollando esta expresin, nos queda [1 (N + 1)N + NN + 1] L= (1 )(1 N + 1) ,1

Deduccin de , ef, y perdido en M/M/1 (DG/N/) ef perdido

La tasa efectiva de llegadas ef, se puede calcular si se observa el esquema anterior, donde los clientes llegan desde la fuente con la frecuencia . Por ejemplo un auto que llega puede entrar al estacionamiento o irse al otro lado, con las frecuencias respectivas ef o perdido. Lo que significa que = ef + perdido. Un auto no podr entrar al estacionamiento si ya hay N autos en l. Eso quiere decir que la proporcin de vehculos que no pueden entrar al lote es PN. El valor de = / no necesita ser menor que 1 en este modelo, porque las llegadas al sistema estn controladas por el lmite N del mismo. Esto quiere decir que la rapidez que importa en este caso es ef y no . Como los clientes se pierden cuando hay N en el sistema, entonces, perdido = PN ef = - perdido = (1 PN)este modelo, porque las

Modelos con un servidor M/M/1 (DG/N/)Cuando = 1, L = N / 2 (por favor comprubelo!). A partir de esta frmula se pueden obtener W, Wq y Lq usando ef. Por lo tanto: Lq = L - ( ef / ), W = L / ef, y Wq = W (1 / )

Problema: En una peluquera hay un peluquero y un total de 10 asientos. Los tiempos de llegada tienen una distribucin exponencial, y llega en promedio de 20 clientes posibles por hora. Los que llegan cuando la peluquera est llena no entran. El peluquero tarda en promedio 12 minutos en atender cada cliente. Los tiempos de corte de pelo tienen una distribucin exponencial. 1.- En promedio, cuntos cortes de pelo por hora har el peluquero? 2.- En promedio, cunto tiempo pasar un cliente en la peluquera, cuando entra?

Modelos con varios servidoresEn esta seccin se estudiarn dos modelos de colas con varios servidores en paralelo. Dichos modelos son las versiones de los dos modelos vistos anteriormente para un solo servidor. M/M/c (DG//) En este modelo hay c servidores en paralelo. La frecuencia de llegadas es y la rapidez de servicio es por servidor. Como no hay lmite de cantidad en el sistema, = ef. El efecto de usar c servidores en paralelo es un aumento en la tasa de servicio de la instalacin proporcional a c. Frmulas asociadas a este modelo:

lo que resulta en P0

Modelos con varios servidoresPara Pn se presenta la siguiente frmula:

Pn =

Nota importante: tener muy en cuenta los valores de c y n para el clculo de los diferentes items de un determinado problema. Lq =

Como en este modelo ef = , entonces L = Lq + . Los valores de W y Wq se pueden determinar dividiendo L y Lq entre .

Modelos con varios servidoresProblema 1: Hay dos empresas de taxis que dan servicio a una poblacin. Cada empresa es duea de dos taxis, y se sabe que las dos empresas comparten partes iguales del mercado. Esto se ve porque llegan ocho llamadas por hora a la oficina de cada empresa. El tiempo promedio en el viaje es de 12 minutos. La llamadas llegan siguiendo una distribucin de Poisson, y el tiempo de viaje es exponencial. Hace poco tiempo, un inversionista compr las dos empresas, y le interesa consolidarlas en una solo oficina para dar un mejor servicio a los clientes. Analice la propuesta del nuevo dueo. Problema 2: El centro de computo de la Hechicera tiene cuatro computadoras principales idnticas. La cantidad de usuarios en cualquier momento es de 25. Cada usuario puede solicitar trabajo por una terminal, cada 15 minutos en promedio, pero el tiempo real solicitudes es exponencial. Los trabajos que llegan pasan en forma automtica a la primera computadora disponible. El tiempo de ejecucin por solicitud es exponencial, con un promedio de 2 minutos. Calcule lo siguiente: a) La probabilidad de que un trabajo no se ejecute en inmediato al solicitarlo. b) El tiempo promedio en que el usuario obtiene resultados. c) La cantidad promedio de trabajos que esperan su procesamiento. d) El porcentaje del tiempo durante el cual el centro de cmputo est inactivo. e) La cantidad promedio de computadoras ociosas.

Modelos con varios servidoresM/M/c (DG/N/), c N. Este modelo difiere del M/M/c (DG//) en que el lmite del sistema es finito, igual a N. Eso quiere decir que el tamao mximo de la cola es N-c. Las tasas de llegada y de servicio son y . La frecuencia efectiva de llegada ef es menor que , a causa del lmite N del sistema. Frmulas asociadas a este modelo:

Modelos con varios servidoresA continuacin se calcula Lq para el caso en que como sigue:

Lq

Se puede demostrar que

Lq se reduce a

Lq

Para determinar Wq, y en consecuencia W y L, se calcula el valor de ef , como sigue: perdido = PN ef = - perdido = (1 PN)

Modelos con varios servidoresPor lo tanto: L = Lq + ( ef / ), W = L / ef, y Wq = W (1 / )

Nota importante 1: tener muy en cuenta los valores de , c, N, y n para el clculo de los diferentes items de un determinado problema. Nota importante 2: tener muy en cuenta el manejo de memorias normales y acumulativas de una buena calculadora para el clculo de los diferentes items de un determinado problema. Problema 1: En el problema de los taxis consolidados desarrollado anteriormente, suponga que no se pueden conseguir ms fondos para comprar nuevos automviles. Un amigo aconsej al dueo que una forma de reducir el tiempo de espera es que la oficina despachadora informe a los clientes nuevos de las demoras excesivas potenciales, una vez que la lista de espera llegue a 6 clientes. Se tiene la seguridad que con esta medida los clientes nuevos buscarn servicio en otra parte, pero se reducir el tiempo de espera para los que hay en la lista de espera. Investigar la plausibilidad del consejo del amigo.

TEORA DE JUEGOS Tema IIILa Teora de Juegos maneja situaciones de decisin en las que hay dos oponentes inteligentes que tienen objetivos contrarios. Entre los ejemplos caractersticos estn lanzamientos de campaas de publicidad para productos que compiten, y la planeacin de estrategias blicas en los ejrcitos contrarios. En un conflicto de juego hay dos oponentes, llamados jugadores, y cada uno tiene una cantidad (finita o infinita) de alternativas o estrategias. Asociada con cada par de estrategia hay una recompensa que paga el jugador al otro. A esos juegos se les llama juegos entre dos jugadores con suma cero, porque la ganancia de un jugador es igual a la prdida del otro. Si se presentan dos jugadores con A y B, con m y n estrategias, respectivamente, el juego se suele representar con la matrz de recompensa para el jugador A, es la siguiente:B1 A1 A2. .

B2 a12 a22. .

.. .. ... .

Bn a1m a2m. .

a11 a21. .

Am

am1

am2

..

amn

La representacin indica que si A usa la estrategia i y B usa la estrategia j, la recompensa para A es aij, y entonces la recompensa par B es -aij

TEORA DE JUEGOSJUEGOS DE DOS PERSONAS CON SUMA CERO Y SUMA CONSTANTE: PUNTOS SILLA A) Caractersticas de los juegos de dos personas con suma cero 1.- Hay dos jugadores: el jugador de filas y el jugador de columnas. 2.- El jugador de filas debe escoger una de m estrategias. En forma simultanea, el jugador de columnas debe escoger una de n estrategias. 3.- Si el jugador de filas escoge su -sima estrategia y el de columnas su j-sima estrategia, el de filas recibe una recompensa aij y el de columnas pierde una cantidad aij. As, podemos pensar que la recompensa aij del jugador de filas proviene del jugador de columnas. Un juego de dos personas con suma cero tiene la propiedad que para cualquier eleccin de estrategias, es cero la suma de la recompensas a los jugadores. En n juego de suma cero, cada bolvar que gana un jugador proviene del bolsillo del otro. Por eso los jugadores tienen intereses totalmente opuestos. Por lo mismo, no puede haber cooperacin entre los dos jugadores.

TEORA DE JUEGOSEl caso de la teora de juegos que acabamos de analizar tiene la propiedad de satisfacer la condicin de punto silla: max (mnimo de filas)=min(mximo de columnas) Cualquier juego entre dos personas con suma cero que cumpla con la relacin anterior se dice que tiene un punto silla. Si un juego de dos personas con suma cero tiene punto silla, el jugador de filas debe escoger cualquier estrategia (fila) que alance el mximo del primer miembro de la relacin. Uno se podra imaginar tambin que un punto silla es un punto de equilibrio en el que ninguno de los jugadores puede beneficiarse a partir del cambio unilateral de estrategia. As, un punto silla es estable porque ninguno de los jugadores tiene incentivo alguno de alejarse de l.

TEORA DE JUEGOSB) Caractersticas de los juegos de dos personas con suma constante An si un juego de dos personas no tiene suma cero, las dos pueden estar todava en conflicto total. Para ejemplarizar esto, veremos ahora juegos de dos personas con suma constante. Un juego con suma constante es aquel en que, para cualquier seleccin de estrategias de ambos jugadores, la recompensa del jugador de filas y la de jugador de columnas se suman para dar un valor constante c. Desde luego que un juego de dos personas con suma cero es tan slo uno de dos personas con suma constante en donde c=0. Un juego de dos personas con suma constante mantiene caractersticas que el jugador de filas y el de columnas estn en contraposicin total, porque un aumento unitario en la recompensa del jugador de filas siempre ocasionar una disminucin unitaria en la recompensa del jugador de columnas. En general, las estrategias ptimas y el valor mismo para un juego de dos personas con suma constante se pueden calcular con los mismos mtodos que se utilizaron para determinar las estrategias ptimas y el valor para un juego de dos personas con suma cero.

TEORA DE JUEGOSEjemplo de juego de dos personas con suma constante En el horario de 8 a 9 p.m., dos cadenas televisivas compiten por la audiencia de 100 millones se espectadores. La cadenas deben anunciar en forma simultanea el espectculo que emitirn en ese horario. Las elecciones posibles de cada cadena y el nmero de televidentes de la cadena 1, en millones aparecen en la siguiente tabla. Tiene el juego punto silla? Cul es el valor del juego para la cadena? Cadena1 Pel. oestePelcula del oeste

Cadena 2Telenovela

Comedia 60 50 70 70

Mnimo fila 15 45 14

35 45 38 45

15 58 14 58

Telenovela Comedia Mximo columna

SIMULACIN Tema IVLa simulacin es una tcnica muy poderosa y ampliamente usada en las ciencias administrativas, para analizar y estudiar sistemas complejos. Se puede definir la simulacin como la tcnica que imita el funcionamiento de un sistema del mundo real cuando evoluciona en el tiempo. Esto se hace , por lo general, al crear un modelo de simulacin. Pero es importante destacar que la simulacin no es una tcnica de optimizacin. Terminologa Bsica Sistema: Un sistema en un conjunto de entidades que actan e interactan para la realizacin de un fin lgico. Estado: El estado de un sistema es un conjunto de variables necesarias para describir la condicin del sistema en un momento determinado. Sistema Discreto: Es aquel en el cual las variables de estado cambian slo en puntos discretos o contables en el tiempo

SIMULACINSistema Continuo: Es aquel en el que las variables de estado cambian en forma continua a travs del tiempo. Modelo Esttico de Simulacin: Es una representacin de un sistema en determinado punto del tiempo. Modelo Dinmico de Simulacin: Es una representacin de cmo evoluciona Un sistema a travs del tiempo. Si bien la palabra simulacin tiene distintos significados, dependiendo de su uso, en el terreno de los negocios normalmente se refiere a emplear una computadora para hacer experimentos con un modelo de un sistema real. Algunos ejemplos de otros tipos de simulacin son los simuladores de vuelos de aviones, video juegos y la animacin con realidad virtual. Adems, la simulacin es til para ensear a los administradores y a los trabajadores cmo opera el sistema real, les demuestra los efectos de los cambios en las variable y del sistema, cmo controlar el tiempo real y cmo desarrollar ideas nuevas para manejar un negocio.

SIMULACINCuando usamos un modelo de computadora, reducimos el sistema que estudiando a una representacin simblica que corremos en ella. Si bien no corresponde a este curso detallar los aspectos tcnicos de los modelos por computadora, algunos que repercuten directamente en las simulaciones son: Escoger el lenguaje de la computadora. Hacer grficas de flujo. Codificar. Generar datos. Hacer informes de resultados. Validad.

As mismo, podemos clasificar los programas de simulacin como de propsito general y de propsito especial. Los softwere de propsito general es realmente lenguajes que permiten a los programadores crear sus propios modelos. Alguno ejemplos son SLAM II, SIMSCRIPT II, SIMAN, GPSS/H y RESQ.

SIMULACINLos programas de softwere de simulacin para propsitos especiales son creados para simular aplicaciones especficas; por ejemplo, MAP/1 y SIMFACTORY. VENTAJAS DE LA SIMULACIN Crear el modelo de un sistema nos permite, generalmente, entender mejor el sistema real. En una simulacin podemos comprimir el tiempo; es decir, podemos comprimir los muchos aos de experiencia del sistema real a unos cuantos segundos o minutos. La simulacin no interrumpe las actividades que estn desarrollando en el sistema real. La simulacin es mucho ms real que los modelos matemticos y la podemos usar cuando las condiciones no son idneas para un anlisis matemtico estndar. Podemos usar la simulacin como un juego que brinda una experiencia para la capacitacin. La simulacin ofrece una rplica ms realista de un sistema que un anlisis matemtico.

SIMULACIN Podemos usar la simulacin para analizar condiciones transitorias, mientras que las tcnicas matemticas normalmente no permite hacerlo. En el mercado existen muchos paquetes estndar de modelos que abarcan una amplia gama de temas.

DEVENJAS Si bien podemos invertir mucho tiempo y esfuerzo para crear un modelo para la simulacin, no existe garanta alguna de que ste, de hecho, ofrezca buenas respuestas. No hay manera de demostrar que el desempeo del modelo de simulacin es fiable por completo. La simulacin entraa numerosas repeticiones de secuencias, que estn basadas en ocurrencias generadas en forma aleatoria. Un sistema aparentemente estable, dada la combinacin correcta de hechos (aun cuando sea poco probable), puede explotar. De acuerdo con el sistema que simularemos, la creacin de un modelo simulado puede tomar desde una hora hasta 100 aos-hombre. Los sistemas complicados pueden ser complicados y tomar mucho tiempo. Tal vez se necesite mucho tiempo de computadora para correr modelos complejos.