Dinámica de Rotación 2 - II

ÍNDICE

Introducción…………………………………………………………………Pág.3

Objetivos…………………………………………………………………….Pág.4

Instrumentos utilizados…………………………………………………….Pág.4

Procedimiento experimental………………………………………………Pág.5

Datos de medición experimental…………………………………………Pág.6

Cálculos……………………………………………………………………...Pág.7

Gráficos……………………………………………………………………...Pág.9

Observaciones………………………………………………………………Pág.17

Conclusiones………………………………………………………………...Pág.18

Recomendaciones…………………………………………………………..Pág.20

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INTRODUCCIÓN

La rotación se da en todos los niveles, desde el movimiento de los electrones

en los átomos hasta los movimientos de las galaxias enteras. Por ello es

inevitable realizar el estudio del tema de dinámica de rotación que a la vez

involucra a conceptos como cuerpo rígido, centro de gravedad, Momento de

inercia y Energía.

En el presente informe de física, referente al tema de Dinámica de rotación,

mostraremos los resultados que se obtienen luego de realizar la experiencia

con la rueda de Maxwell.

El contenido de nuestro trabajo está comprendido por dos partes.

La primera parte consiste en hacer las mediciones de las dimensiones de la

rueda de Maxwell para después calcular su masa por momento de inercia y

compararla con la masa obtenida en la balanza, adicionalmente se calculará el

error porcentual cometido en el cálculo de la masa y del momento de inercia.

La segunda parte estará basado en armar el dispositivo necesario para obtener

datos de tiempos, alturas, distancias y ángulos que serán necesarios para

poder estructurar tablas y gráficos de x vs t, momento de inercia del centro de

masa experimental, Epg, Ec traslacional, Ec rotacional, Ec total y Emecánica.

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OBJETIVOS:

Observar el movimiento de rodadura de una rueda de Maxwell (traslación y rotación).

Hallar la masa de cada componente de la rueda de Maxwell y también sus respectivos momentos de inercia respecto a sus ejes centroidal y del eje de la volante.

Verificar la ley de la conservación de la energía mecánica de un cuerpo rígido .

INSTRUMENTOS UTILIZADOS:

Un par de rieles paralelos (como plano inclinado) (fig.1) Una rueda de MAXWELL. (fig.2) Un cronómetro digital. (fig.3) Un pie de rey digital (vernier). (fig.4) Una regla milimetrada. (fig.1) Una balanza digital. (fig.5) Un nivel. (fig.6)

fig.1 fig.2

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Fig.3 fig.4 fig.5 fig.6

PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL:

Primera parte:

Pesaremos la rueda en la balanza y anotaremos el valor de su masa. Mediremos cuidadosamente y anotaremos todas las dimensiones de la

rueda, en especial a las siguientes partes: Llanta, cubo, alma, Eje de rotación y rayos.

Obtenidas las dimensiones calcularemos la masa de cada componente (llanta, cubo…) como también su respectivo momento de inercia respecto a los ejes centroidal y eje de la volante.

Luego de realizado los cálculos haremos una comparación de la masa teórica obtenida con la masa real, adicionalmente se hallará el error relativo porcentual cometido en el cálculo de la masa y del momento de inercia.

Segunda parte:

Nivelar el dispositivo que sirve de base, sobre el cual se instalará el riel de la rueda.

Se dividirán los rieles en seis partes iguales, indicando su longitud. Se medirá el tiempo que le toma a la rueda recorrer las distancias

escogidas para las alturas de 6,7y 8cm tomadas desde la base hasta el punto escogido más alto.

Se hará una tabla con los tiempos que se tomaron (en segundos) para cada inclinación de los rieles.

Graficaremos las curvas x vs t para cada inclinación. Calcular la rapidez de la rueda por ajuste para cada una de las

posiciones. Con cada rapidez obtenida por ajuste, calcular el Icm experimental para

cada una de las alturas de la rueda. Calcular el error relativo que se comete en el cálculo de vcm para cada

una de las alturas de trabajo. Calcular las energías (Epg,Ectraslación, Ecrotación, Ectotal y Emecánica ) de la rueda

(en mJ) para cada altura y hacer un cuadro de valores. Por último graficar en una sola hoja Epg,Ectraslación, Ecrotación, Ectotal y Emecánica

todas en función del tiempo.

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DATOS DE MEDICIÓN EXPERIMENTAL:

Masa de la rueda: 353,5 g.

Llanta: Diámetro exterior : (124.5 ± 0.02)mm

Espesor : (13,4 ± 0.02)mm

Ancho : (24,16 ± 0.02)mm

Cubo 1: Diámetro exterior : (20,90 ± 0.02)mm

Espesor : (9,0 ± 0.02)mm

Cubo 2: Diámetro exterior : (23.0 ± 0.02)mm

Espesor : (8,57 ± 0.02)mm

Alma: Diámetro exterior : (32.0 ± 0.02)mm

Espesor : (6,4 ± 0.02)mm

Eje de rotación: Diámetro : (6,33 ± 0.02)mm

Longitud : (147,52 ± 0.02mm

Rayos: Longitud : (33,9 ± 0.02)mm

Ancho : (9,99 ± 0.02)mm

Espesor : (6,4 ± 0.02)mm

Llanta Cubo

Alma Eje de rotación

Rayos

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CÁLCULOS:

Cálculo de volúmenes, masas y momentos de inercia teóricos

Llanta:

R=6,225cmV=π (R2−r2 )h

r=5,055cmV=100,171cm3

h=2,416cm

m=ρV=271,463g

I eje=12m (R2+r2 )=8728,031g . cm2

Cubo:

1

R=1,045cmV=π (R2−r2 )h

r=0,3165cmV=2,804cm3

h=0,9cm

m=ρV=7,599g

I eje=12m (R2+r2 )=4,530 g . cm2

2

R=1,150cmV=π (R2−r2 )h

r=0,3165cmV=3,291cm3

h=0,857cm

m=ρV=8,919g

I eje=12m (R2+r2 )=6,344 g . cm2

Alma

R=1,6cmV=π (R2−r2 )h

r=0,3165cmV=4,946 cm3

h=0,64cm

m=ρV=13,403g

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I eje=12m (R2+r2 )=17,827 g . cm2

Rayoa=3.39cmV=abc

b=0,999cmV=2,167cm3

c=0,64cm

m=ρV=5,874 g

I eje=I cm+md2= 1

12m (a2+b2 )+m( a

2+ralma)=69,888 g . cm2

Eje de rotación

r=0,3165cmV=π ( r2 )L

L=14,752cmV=4,642cm3

m=ρV=36,443g

I eje=12mr2=1,825 g . cm2

Finalmente

V total=V llanta+V cubo 1+V cubo 2+V alma+6×V rayo+V eje=128,856 cm3

mtotal=mllanta+mcubo1+mcubo 2+malma+6×mrayo+meje=373,069 g

∆ m=mfórmula−m pesada=19,569 g ; %errormasa=5,5331372

I ejetotal=I llanta+ I cubo 1+ I cubo2+ I alma+6× Irayo+ I eje=9177,885 g . cm2

TABLA Nª01:

Tramo h=7cmα=5.5

h=8cmα=6.58

h=9cmα=7.6

hCM(cm) 7,315 8,314 9,314Tiempo de segundo

0 - 1 6,643 6,250 5,3601 - 2 3,007 2,740 2,4572 - 3 2,287 2,153 1,893

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3- 4 1,913 1,723 1,6504 - 5 1,753 1,577 1,4005 - 6 1,513 1,400 1,247

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GRAFICAS DE LAS CURVAS X vs T

4 6 8 10 12 14 16 180

10

20

30

40

50

60

f(x) = 0.225014613061864 x² + 0.252871725459117 x + 0.22064261550738R² = 0.999956057762524

f(x) = 0.186633433791056 x² + 0.0444802354752825 x + 0.446643301529191R² = 0.999976458901351

f(x) = 0.152759836825563 x² + 0.186988591548062 x + 0.00504022597919021R² = 0.999976456841549

X vs T

X vs T (h=7cm)Polynomial (X vs T (h=7cm))X vs T (h=8cm)Polynomial (X vs T (h=8cm))X vs T (h=9cm)Polynomial (X vs T (h=9cm))

Tiempo (s)

Posic

ión

(cm

)

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DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE:

TABLA Nª02:

Altura h=7 cm h= 8cm h= 9cma(cm/s2) 0,1528 0,1866 0,225

fs(N) 0,3310 0,3304 0,3297

TABLAS DE VELOCIDADES PARA CADA ALTURA

h= 7cm VCM (cm/s)

Punto Por Ajuste

Por Formula 𝜺v(%)

1 2,217 2,405 8,4522 3,136 3,401 8,4363 3,835 4,165 8,6064 4,420 4,809 8,8165 4,955 5,377 8,5056 5,418 5,890 8,715

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h= 8cm VCM (cm/s)

Punto Por Ajuste


1 2,377 2,629 10,6122 3,400 3,718 9,3763 4,203 4,554 8,3464 4,846 5,258 8,5045 5,435 5,879 8,1776 5,957 6,440 8,109

h= 9cm VCM (cm/s)

Punto Por Ajuste


1 2,665 2,825 5,9942 3,770 3,995 5,9483 4,622 4,892 5,8424 5,365 5,649 5,3015 5,995 6,316 5,3586 6,556 6,919 5,538

TABLAS DE MOMETOS DE INERCIA PARA CADA ALTURA

h=7cm

Punto ΔhCM (cm) ICM(kg.cm2) 𝜺i(%)

1 0,766766 10801,0614

15,027934

2 1,533532 10798,0075

15,0039026

3 2,3002981 10831,9542

15,2702751

4 3,0670641 10873,9832

15,5977638

5 3,8338301 10811,7235

15,11173

6 4,6005961 10853,7765

15,4406301

h=8cm


1 0,91672313 11236,9705 18,3242052 1,83344626 10986,4917 16,462095

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3 2,75016938 10779,8459 14,86070314 3,66689251 10811,505 15,11001445 4,58361564 10746,223 14,59431846 5,50033877 10732,6192 14,4860652

h=9cm


1 1,05805112 10315,55 11,02864142 2,11610224 10306,4251 10,94986913 3,17415337 10285,7538 10,77090524 4,23220449 10180,5502 9,848831285 5,29025561 10191,5977 9,94655326 6,34830673 10226,5206 10,2540801

TABLAS DE LAS ENERGIAS PARA CADA ALTURA

h=7 cm ENERGIAS DE LA RUEDA (mJ)Punto Epg Ectras Ecrot Ectot Emec

1 227,08344 0,0869 22,5204 22,6073 249,69072 200,49326 0,1738 45,0535 45,2273 245,72063 173,90308 0,2599 67,3691 67,6291 241,53214 147,3129 0,3452 89,4794 89,8247 237,13765 120,72272 0,4340 112,4913 112,9253 233,64806 94,132535 0,5188 134,4682 134,9870 229,1196


1 256,5398 0,0999 25,8835 25,9834 282,52322 224,7493 0,2043 52,9435 53,1478 277,89713 192,9589 0,3123 80,9326 81,2449 274,20384 161,1684 0,4151 107,5952 108,0103 269,17885 129,3780 0,5221 135,3084 135,8304 265,20846 97,5875 0,6273 162,5752 163,2024 260,7900


1 286,2930 0,1255 32,5332 32,6587 318,95172 249,6015 0,2513 65,1238 65,3751 314,97663 212,9100 0,3777 97,8814 98,2591 311,16914 176,2186 0,5087 131,8525 132,3612 308,57985 139,5271 0,6352 164,6376 165,2728 304,7999

Página | 12

6 102,8356 0,7597 196,8928 197,6525 300,4881

Página | 13

GRÁFICOS:

Página | 14

7.000 9.000 11.000 13.000 15.000 17.000 19.0000

50

100

150

200

250

300

h=7cm E(mJ) vs T(s)

Epg vs TEctras vs TEcrot vs TEcTot vs TEmec vs T

T (s)

Ener

gia

(mJ)

Página | 15

6.000 8.000 10.000 12.000 14.000 16.000 18.0000.0000

50.0000

100.0000

150.0000

200.0000

250.0000

300.0000

h=8cm E(mJ) vs T(s)


T (s)

Ener

gia

(mJ)

Página | 16

6.000 7.000 8.000 9.000 10.000 11.000 12.000 13.000 14.000 15.0000.0000

50.0000

100.0000

150.0000

200.0000

250.0000

300.0000

350.0000

h=9cm E(mJ) vs T(s)


T (s)

Ener

gia

(mJ)

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OBSERVACIONES:

-La rueda no gira libremente debido a la presencia de una pequeña abolladura que le produce el eje de rotación a los rieles.

- Observamos que no estamos trabajando con cuerpo completamente rígidos ya que para evitar que la rueda deslice hemos colocado cinta masking tape que es fácilmente deformable.

- También notamos que la rueda no giraba en una línea paralela a los rieles sino que presentaba una cierta inclinación alterando ligeramente nuestras mediciones.

- Para calcular el volumen de los rayos de la rueda con el fin de facilitar los cálculos se tuvo que suponer que la superficie de los rayos de la rueda eran rectangulares.

- Se tuvo que suponer que el eje de rotación sea un cilindro macizo con radio de 3.165mm, ya que este poseía conicidades en los extremos.

- Además se tuvo que suponer que el alma era un aro de 6.4mm de espesor excluyendo pequeñas porciones de metal entre la unión del rayo con el alma.

-A medida que se va aumentando el ángulo entre los rieles y la superficie horizontal la rueda de Maxwell rueda más rápido.

- Supuestamente la energía mecánica se conserva a lo largo del movimiento de la rueda pero la variación de esta energía en la grafica demuestra que no.

- Se observa que cuando la rueda se encuentra en la parte inferior, la energía cinética de rotación es mucho mayor que la energía cinética de traslación.

- Se observa que la energía cinética de traslación es muy inferior a la energía cinética de rotación, pero no es igual a cero.

- Luego de hallar el momento de inercia de cada parte y compararlo con el total, se observa que el mayor porcentaje es aportado por la llanta, y el segundo mayor es el de los rayos(ver anexo), debido a que el eje es distante a su eje centroidal.

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CONCLUSIONES :

- Al analizar las gráficas obtenidas concluimos que la energía mecánica no se conserva.

- Se concluye que por más estrictos que seamos al momento de realizar el experimento con la rueda de Maxwell, siempre existirá perdida de energía a causa de la abolladura que se producen el eje de la rueda con los rieles.

- Se concluye que la inclinación de los rieles no influyen en el cálculo del momento de inercia del centro de masa.

- Tras hacer el análisis de los momentos de inercia de las partes de la rueda de Maxwell se concluye que al aumentar tanto la distancia como la masa del objeto respecto al eje de rotación, el momento de inercia aumenta considerablemente.

- También concluimos que la energía de rotación aumenta mientras que la energía potencial gravitatoria disminuye.

- De las gráficas de energía vs tiempo en cada altura, concluimos que la energía de rotación casi coincide con la energía cinética total, debido a que la energía de traslación es muy pequeña.

- Concluimos que el momento de inercia sólo depende de la masa, geometría

del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.

- Se logro comprobar de manera experimental que el momento de inercia es aditivo ya que al calcular la suma de los momentos de inercia de la rueda de Maxwell (por partes), y compararla con el resultado teórico, aunque con una

pequeña variación, se aproximan.

- Debido a que los rayos aportan un porcentaje considerable respecto a las demás partes de la rueda, al fabricar una de estas (como en una bicicleta) se pretende que los rayos tengan el momento de inercia más bajo posible, es decir que su masa sea despreciable.

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RECOMENDACIONES:

-Se recomienda hacer varias mediciones a la rueda y tomar un promedio para acercarnos más al volumen real de cada parte.

-En el cálculo de la masa de cada parte de la rueda de Maxwell utilizar la densidad respectiva de cada material que la conforma.

- Se recomienda que los rieles, al ser vistas de perfil, estén superpuestas y no se vean paralelas.

- Procurar que la rueda de Maxwell al ser soltad inicie desde el reposo.

- Procurar en lo posible, que exista rozamiento estático entre el eje de la rueda y el riel, pues de lo contrario el eje deslizaría.

- Se recomienda despreciar el anillo delgado que hay entre la rueda y los rayos, para compensar en cierta medida los agujeros que se le hicieron a la rueda para balancearla.

- Se recomienda revisar los cálculos una y otra vez para no caer en errores que nos puedan conllevar a conclusiones erróneas.

- Al momento de realizar los gráficos de las energías versus el tiempo, se recomienda expresar las energías en mili Joule, para poder apreciar bien las gráficas.

- Se recomienda que los rieles, de preferencia, una inclinación mucho menor a 45º, ya que la rueda podría deslizarse.

- Se recomienda no friccionar los rieles con el eje de la rueda, pues se estaría disminuyendo el rozamiento y posteriormente provocar que la rueda deslice.

ANEXO:

Grafica de porcentajes de momentos de inercia.

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0102030405060708090

100Llanta

Cubo 1 Cubo 2 AlmaRayos

Eje

% momento de inercia

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Dinámica de Rotación 2 - II