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ESCUELA POLITECNICA NACIONALFACULTAD DE INGENIERIA MECANICA
LABORATORIO DE AUTOMATIZACION INDUSTRIALDE PROCESOS
MECANICOS
LABORATORIO DE DINAMICA DE SISTEMASINFORME 4
INTEGRANTES:
Maigua Barreno Christian Andres
Darwin Santiago Velastegui Masapuncho
HORARIO: 14 - 16
GRUPO: 6
1. TEMA
SISTEMAS DE PRIMER Y SEGUNDO ORDEN
2. OBJETIVOS
Entender el concepto de sistemas de primer orden.Entender el
concepto de sistemas de segundo orden.Implementar y simular
ejemplos en Matlab y VENSIM de sistemas de primer y
segundoorden.Simular los sistemas propuestos en Matlab mediante el
metodo de Euler y compararlo conel metodo utilizado en VENSIM.
3. Cuestionario
En que se diferencia un sistema de primer orden con uno de
segundo orden?
La diferencia recae sobre la funcion de transferencia para cada
sistema; ya que para un sis-tema de primer orden la funcion de
transferencia que se tiene es: F (s) = 1s+a y su respuestay(t)
es:
Y (s) = F (s)U(s) = 1s+ a
1s
y(t) = 1a
(1 eat)u(t)
Mientras que para un sistema de segundo orden la funcion de
transferencia es:
F (s) = ns2 + 2ns+ (n)2
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Que representa la ganancia de un sistema?La ganancia de un
sistema representa la constante que aparece al momento de
transfor-mar la Ecuacion Diferencial Ordinaria en una Ecuacion de
Laplace, siendo la gananciael numerador de dicha ecuacion. La
ganancia producira un incremento en la funcion deltiempo.Que
representa la constante de tiempo en un sistema de primer
orden?Representa el sistema cuando este ha alcanzado un determinado
porcentaje de la respuestatotal, debido a que el tiempo de
respuesta es igual a la constante de tiempo.Cuando alcanza el
sistema su valor final?El sistema alcanza su valor final en el
momento que alcanza un tiempo de 4 y el valorfinal de y(t) se
encuentra en un rango de amplitud entre un 2 % y 5 %.
Matematicamenteel sistema alcanza su valor final en el infinito.Que
respuesta es inestable en un sistema de segundo orden? Justifique
su respuesta.Una respuesta oscilante debido a que el valor de es
igual a 0, lo cual provoca que larespuesta de la ecuacion
equivalente de Laplace sea una funcion seno y por tanto que
estafuncion no se estabilice.
Ejercicios
Realizar la simulacion de cada ejercicio en los software VENSIM
y Matlab, para cada uno delos metodos numericos, Euler y Runge
Kutta, adjuntar las graficas necesarias para describirel fenomeno
objeto de analisis, adicionalmente realizar una sntesis del
comportamiento delsistema, como funciona, que modelos matematicos
se aplican, etc. Para los sistemas de primerorden, calcular la
constante de tiempo, para los sistemas de segundo orden, calcular
la constantede amortiguamiento del sistema y variar la misma a
valores: 1, 1,1 y comparar los resultadosobtenidos con la
teora.
a) En una poblacion de 5000 habitantes, diez de ellos tienen una
enfermedad contagiosa.La velocidad a que se propaga la enfermedad
es proporcional al producto de personascontagiadas por las no
contagiadas todava, con una constante de proporcionalidad de
0.2.Escribe y resuelve la ecuacion diferencial correspondiente.
Simular en el software VENSIMy realizar analisis de resultados que
se obtengan.Desarrollo
Ecuaciones diferenciales, y condiciones iniciales, que describen
el fenomeno.Modelo matematico
dP (t)dt
= 0, 2P (t)(5000 P (t))P (0) = 10
Donde:P (t), es la poblacion en el tiempo t.Solucion de la
ecuacion diferencial de primer orden
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P (t) = 5000 e1000t
e1000t + 499(1)
Resultados VENSIM
ANEXO 1Resultados Matlab
ANEXO 2SntesisSe puede ver por las graficas que no divergen de
gran manera, que la poblacion se infectade una manera exponencial,
debidoa a que crece el numero de contagiados de una
maneraexorvitante.b) Un paracaidista cuyo peso es de 60[kg], se
deja caer de un helicoptero que se mantie-ne a 6000[m] de altura.
Suponemos que cae bajo la influencia de una fuerza
gravitacionalconstante y que la resistencia del aire es
proporcional a la velocidad del paracaidista. Laconstante de
proporcionalidad es de 12[kg/s] cuando el paracadas esta cerrado y
80[kg/s]cuando el paracadas esta abierto. Si el paracadas se abre
1[min] despues de que el para-caidista abandona el helicoptero, al
cabo de cuanto tiempo llegara a la superficie?DesarrolloEcuaciones
diferenciales, y condiciones iniciales, que describen el
fenomeno.Para los primeros 60 segundos, paracaidas cerrado:Modelo
matematico
md2y(t)dt2
= mg 12dy(t)dt
dy(0)dt
= 0
Luego de los 60 segundos, paracaidas abierto.Modelo
matematico
md2y(t)dt2
= mg 80dy(t)dt
dy(60)dt
= 48,9997
Diagrama de Forrester para el sistemaResultados VENSIMANEXO
3Resultados Matlab
ANEXO 4
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Sntesis
Los resultados de tiempo de caida para este ejercicio es de
436.78 segundos, en VENSIM y445 segundos en Matlab, de lo cual no
hay demasiado error en los dos metodos utilizados.Para la velocidad
de este fenomeno existen dos partes del mismo que son: En
cerradolos primeros 60 segundos donde la velocidad de la persona se
incrementa de una maneraexponencial es decir crece demasiado
rapido, y cuando el paracaidas se abre que es cuandola velocidad de
la persona disminuye de manera exponencial, Las posiciones en las
dospartes aumentan es decir disminuye la distancia de la persona y
el piso donde aterrizaradisminuye al inicio muy violentamente, para
luego de manera lenta alcance los 6000 metrosa unos 7,4 minutos.c)
Un fluido hidraulico es almacenado en un contenedor esferico de
1[ft] de diametro interno.El contenedor y el fluido estan
inicialmente a 70[F] y posteriormente es llevado por los airesen un
avion que vuela a una altitud de 16500 [ft], en donde la
temperatura del aire es 0[F].El espesor de las paredes del
contenedor es de 0.1[pulg]. Considerando que el fluido esta
bienmezclado, debido al movimiento del aeroplano. Ingeniese un
modelo de masas concentradaspara simular el comportamiento de las
temperaturas del sistema fluido hidraulico y paredesdel tanque. Las
propiedades del fluido permanecen constantes. De la primera
ley:Modelos matematicos:
Diagrama de Forrester para el sistemaANEXO 5
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Resultados VENSIM
ANEXO 6Sntesis
Se puede apreciar por las graficas que el coeficiente de
transferencia de calor por conveccion eneste sistema decrece de una
manera exponencial, asi como su temperatura, en el transcurso
deltiempo de simulacion. Estos metodos permiten visualizar de buena
manera el comportamientode estos fluidos en la forma mas real
posible.
4. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
Conclusiones (Christian Maigua)
Para os sistemas de primer orden hay que tener en cuenta que no
todos estos son aplicablesde antemanoa a la transformada de La
Place que es para sistemas con ecuaciones diferen-ciales lineales,
en este caso, es decir el literal a se tiene un sistema no lineal
el cual parasu realizacion se debe aplicar la teoria de
linealizacion para posteriormente aplica La Place.El hecho de que
una ecuacion diferencial se a de primero o segundo orden erradica
en elnumero de niveles que demostrara un sistema dependiendo a que
tipo de fenomeno se estetratando.Para los sistemas simulados tanto
VENSIM como Matlab son muy versatiles, pero en lorespectante a
facilidad VENSIM es la mejor opcion, no as con Matlab pero tiene la
ventajade que en este desarrollador se puede cambiar las variables
de manera libre. En Matlablo relativamente sencillo son los
sistemas que se representan con ecuciones diferenciales
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de primer orden, para los sistemas de segundo orden esta
dificultad aumenta, no asi conVENSIM, que se presta con mas
facilidad para la resolucion de este tipo de sistemas.
Recomendaciones (Christian Maigua)
Para el desarrollo y comprension plena del fenomeno del
ejercicio c es decir el de la esferasera bueno conocer mediante la
transferencia de calor que es lo que por su parte
estasucediendo.Para los sistemas de primer orden si hay que
linealizarlo, revisar la teoria respectiva.fijarse que el problema
c) esta compuesto de dos partes muy diferentes.
Conclusiones (Santiago Velastegui)
En el modelamiento de sistemas de primer orden se tienen
comportamientos sin oscilacionesy tiempos de estabilizacion
menores, ademas estos sistemas en s son faciles de resolver.La
manipulacion del coeficiente de amortiguamiento permite alcanzar la
estabilidad de unsistema de diferentes maneras, por lo que se puede
concluir, que el uso de este dependera delproceso que se desee
estudiar o el fenomeno que se desee simular.Para el caso de la
velocidad de cada del paracaidista (ejercicio b) se observa que el
sistemapresenta una respuesta sobreamortiguada, debido a que el
sistema logra alcanzar la estabi-lizacion durante un tiempo mas
prolongado, esto resulta favorable ya que su variacion noes
agresiva, por tanto cuanto mayor sea el coeficiente de
amortiguamiento, la estabilizacionse alcanzara mas
paulatinamente.
Recomendaciones (Santiago Velastegui)
Sera recomendable realizar el analisis de una misma grafica
donde se puedan visualizar los4 tipos de respuestas que se
consiguen con coeficientes de amortiguamiento diferentes paraun
determinado sistema de segundo orden.Sera de gran utilidad realizar
el estudio de sistemas mecanicos de segundo orden donde sepueda
observar el comportamiento de los mismos a la vez que se va
variando el factor ocoeficiente de amortiguamiento.
5. BIBLIOGRAFIAEscuela Politecnica Nacional, Laboratorio de
Automatizacion Industrial de Procesos Mecani-cos,(2015 - A), Guia
de practicas.
Garcia, J. M. (2003). Teora y Ejercicios Practicos de Dinamica
de Sistemas (Primera ed.),Barcelona.ANEXOSGraficas:
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Figura 1: ANEXO 1. Diagrama de Forrester del sistema de
poblacion
Figura 2: ANEXO 1. Comportamiento de la poblacion
Figura 3: ANEXO 2. Comportamiento de la poblacion
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Figura 4: ANEXO 3. Diagrama de Forrester sistema de
paracaidas
Figura 5: ANEXO 3. Tabla de posiciones de caida (cerrado)y
(abierto)
Figura 6: ANEXO 3. Tabla de velocidades de caida (cerrado)y
(abierto)
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Figura 7: ANEXO 3. Velocidad de caida (cerrado)y (abierto)
Figura 8: ANEXO 3. Posicion de caida (cerrado)y (abierto)
Figura 9: ANEXO 4. Posicion de caida Matlab (cerrado)y
(abierto)
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Figura 10: ANEXO 4. Pseudocodigo y tabla de
resultados(Matlab)
Figura 11: ANEXO 5. Diagrama de Forrester para la esfera
Figura 12: ANEXO 6. Temperatura, y coeficiente de transferencia
de calor por conveccion vs tiempo
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