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DINÁMICA DEL CUERPO
RÍGIDO
CENTRO DE MASA
El centro de masa es una
posición media ponderada
por la masa de las
partículas.
El centro de masa del
sistema se mueve como si
toda la masa del sistema
estuviera concentrada en
ese punto.
http://phet.colorado.edu/es/simulation/balancing-act
Definimos el centro de masa del sistema como el punto con coordenadas (xcm, ycm) dadas por:
El vector de posición 𝑟 𝑐𝑚del centro de masa se puede expresar en términos de los vectores de posición 𝑟 1, 𝑟 2. . . de las partículas como:
CENTRO DE MASA
Para un objeto extendido (sistema de un gran número de partículas), la separación de las partículas es muy pequeña por lo que puede considerarse que el objeto tiene una distribución de masa continua. Dividimos el objeto en elementos de masa Δ𝑚𝑖
CENTRO DE MASA
CENTRO DE MASA
CENTRO DE MASA
El centro de masa de
cualquier objeto simétrico se
ubica sobre un eje de simetría
y sobre cualquier plano de
simetría.
El centro de masa de un
objeto irregular se pude
determinar al suspender el
objeto primero de un punto y
luego de otro .
EJERCICIOS
1. La figura muestra un sistema de tres partículas localizadas en las esquinas de un triangulo recto. Encuentre el centro de masa del sistema.
2. Un objeto de masa M en la forma de un triángulo recto tiene las dimensiones que se indican en la grafica. Ubique las coordenadas del centro de masa, suponiendo que el objeto tiene una masa uniforme por unidad de área.
EJERCICIOS
CUERPO RÍGIDO Un cuerpo rígido es un caso particular de un sistema de muchas partículas en el cual se va a garantizar que el cuerpo no sufre algún tipo de deformación, es decir, se va a garantizar que la distancia entre pares de partículas del cuerpo siempre serán constante durante todo su movimiento.
En esta descripción la partícula i tiene una masa mi y la masa total es simplemente M = Σ mi .
En un cuerpo continuo ya no hay partículas con masa, sino
puntos con densidad de masa. Un punto de un cuerpo
continuo no tiene masa: tiene densidad de masa ρ, la cual es
la densidad macroscópica de un pequeño trozo de cuerpo,
llevada al límite matemático cuando el volumen tiende a
cero.
La masa total de un cuerpo continuo es
CUERPO RÍGIDO
CUERPO RÍGIDO
En el mundo físico, el movimiento más general que posee un
cuerpo rígido corresponde a una combinación de un
movimiento de traslación y un movimiento de rotación.
Cuando se va a describir las traslaciones, sabemos que todos
los puntos del cuerpo se comportan igual de tal manera que
es suficiente con analizar un punto del cuerpo, en este caso
vamos a analizar el centro de masa, pero cuando vamos a
analizar rotaciones, hay que tener presente lo siguiente:
CUERPO RÍGIDO
Cuando un cuerpo rígido rota respecto a un eje que pasa por
un punto del cuerpo (supongamos por ejemplo el centro de
masa), cada una de las partículas que componen el cuerpo
describen trayectorias circulares concéntricas como la misma
velocidad angular ~ω, pero el radio de cada una de las
partículas del cuerpo es diferente.
CUERPO RÍGIDO
A la hora de describir el movimiento combinado de rotación
más traslación de un cuerpo rígido el modelo de partícula no
funciona, cuando hay rotación más traslación, todas las
partículas que componen el cuerpo rígido se desplazan
distancias diferentes y por ende, el modelo de partícula no es
adecuado para realizar la descripción del movimiento del
cuerpo.
ENERGÍA CINETICA ASOCIADA A UN
CUERPO RÍGIDO
El movimiento mas general de un cuerpo rígido corresponde
a un movimiento de traslación del centro de masa, más un
movimiento de rotación alrededor de un eje que pasa a
través de su centro de masa. Es decir adicional a la
contribución energética proporcionada por la traslación, debe
existir una contribución energética de rotación alrededor de
dicho eje.
𝐸𝐾 = 𝐸𝐾𝑇 + 𝐸𝐾𝑅
Traslación Rotación
ENERGÍA CINETICA ASOCIADA A UN
CUERPO RÍGIDO
Cuando todas las fuerzas externas que actúan sobre el
cuerpo rígido, solo ejercen efectos de traslación pura la
energía cinética del cuerpo rígido es puramente traslacional
y esta dada por:
𝐸𝐾𝑇=1
2𝑀𝑣2
𝐶𝑀
ENERGÍA CINETICA ASOCIADA A UN
CUERPO RÍGIDO
Cuando todas las fuerzas externas que actúan sobre el
cuerpo rígido, solo ejercen efectos de rotación pura, la
energía cinética del cuerpo rígido es puramente rotacional.
Energía cinética rotacional 𝑣𝑖 = 𝜔𝑅𝑖
𝐸𝐾𝑅= 1
2 𝑚𝑖 𝑣
2𝑖 =
1
2 𝑚𝑖 𝑅
2𝑖 𝜔2
𝐸𝐾𝑅=1
2I𝜔2
Momento de inercia (I)
ENERGÍA CINETICA ASOCIADA A UN
CUERPO RÍGIDO
Cuando un cuerpo rígido posee un movimiento combinado de rotación y
traslación, las contribuciones energéticas asociadas a estos dos tipos
de movimiento deben considerarse separadamente.
Pero si el eje de rotación pasa a través del centro de masa y al mismo
tiempo el centro de masa posee un movimiento de traslación entonces
las contribuciones energéticas se sumarían.
𝐸𝐾 =1
2𝑀𝑣2
𝐶𝑀 +1
2I𝜔2
MOMENTO DE INERCIA DE UN CUERPO
RÍGIDO
El momento de inercia I es una cantidad física que
desempeña en rotaciones, el mismo papel que la masa de un
cuerpo en traslaciones. La diferencia fundamental entre
momento de inercia y masa es que la masa se ha
considerado como constante, mientras que el momento de
inercia depende de la distancia a la cual se encuentra el
cuerpo al eje de rotación.
MOMENTO DE INERCIA DE UN CUERPO RÍGIDO
El momento de inercia para una distribución discreta se define como:
I = 𝑚𝑖 𝑟2𝑖
𝑟𝑖 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑎𝑙 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑑𝑒 𝑟𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛
Un cuerpo rígido es un medio continuo, por lo tanto se considera una porción infinitesimal de masa del cuerpo 𝛥𝑚𝑖, donde el momento de inercia se transforma en:
I = ∆𝑚𝑖 𝑟2𝑖= lim
∆𝑚𝑖→0 ∆𝑚𝑖𝑖 𝑟2
𝑖= 𝑟2𝑑𝑚
Como dm=𝝆dV
I = 𝜌𝑟2 𝑑𝑉
Con esta ecuación se halla el momento de inercia de un cuerpo rígido como una distribución continua de masa.
MOMENTO DE INERCIA DE UN CUERPO RÍGIDO
EJEMPLOS
1. Calcule el momento de inercia de una barra rígida uniforme de longitud L y masa M en torno a un eje perpendicular a la barra (el eje y) y que pasa a través de su centro de masa.
2. Un cilindro sólido uniforme tiene un radio R, masa M y longitud L. Calcule su momento
de inercia en torno a su eje central.
EJEMPLOS TAREA
MOMENTO DE INERCIA El cálculo de momentos de inercia de un objeto en torno a un eje arbitrario puede ser complicado, incluso para un objeto considerablemente simétrico, por lo tanto utilizamos un teorema llamado teorema de ejes paralelos.
Establece que el momento de inercia alrededor de cualquier eje que es paralelo y que se encuentra a una distancia D del eje que pasa por el centro de masa es:
𝐼 = 𝐼𝐶𝑀 + 𝑀𝐷2
TORQUE DE UNA FUERZA RESPECTO A
UN PUNTO
En general, cuando una fuerza es aplicada a un cuerpo, esta
tiende a imprimirle tanto efectos de traslación como de rotación
alrededor de un eje fijo que pasa a través de un punto del cuerpo
rígido llamado centro de rotación o centros de torques.
Esta tendencia a que el cuerpo rígido rote alrededor de un eje que
pasa por un punto fijo, se puede describir a través de la cantidad
física llamada TORQUE 𝝉. que mide la cantidad de rotación que
una fuerza F tiende a imprimirle a un cuerpo rígido alrededor de un
eje fijo dirigido a lo largo del torque.
TORQUE DE UNA FUERZA RESPECTO A
UN PUNTO
Matemáticamente, el torque producido por la fuerza respecto al punto O se define:
𝝉 = 𝐫 x 𝐅
Se llama torque de una fuerza 𝐹 respecto a un punto O, al producto vectorial 𝑟 x 𝐹 escrito 𝝉.
El torque es un vector perpendicular al plano
determinado por 𝑟 y 𝐹 .
Sus dimensiones son las de una fuerza por una longitud. N.m
TORQUE DE UNA FUERZA RESPECTO A UN PUNTO
Dirección del torque El sentido está determinado por la
regla de la mano derecha. Se coloca la mano derecha
abierta paralela al vector posición y luego se curvan los
dedos en el sentido del ángulo menor formado por r y F, el pulgar da sentido del vector 𝝉.
TORQUE DE UNA FUERZA RESPECTO A UN
PUNTO
TORQUE
Magnitud del torque
La recta que se obtiene prolongando el vector 𝐹 se llama la
línea de acción de la fuerza 𝐹 .
Como 𝝉 =𝑟 𝑥 𝐹 la magnitud
recordando definición
geométrica de producto
vectorial es:
TORQUE
Brazo de la fuerza 𝑭 respecto al punto O: Es la medida
de la perpendicular que va desde O hasta la línea de
acción de 𝐹 . Llamada también brazo de palanca.
Donde b= rsenƟ, por lo tanto la magnitud del torque
respecto a O es simplemente:
𝝉=F*b
Practicas de laboratorio
http://www.usc.edu.co/laboratorios/index.php?option=com_content&task=view&id=27
EJERCICIO Sobre una varilla de longitud L se aplica una
fuerza 𝐹 la cual forma un ángulo 𝚹 con respecto a la vertical como se indica en la figura. La varilla esta articulada en el punto O. Determine el torque producido por la fuerza
𝐹 sobre la varilla respecto al punto O.
TORQUE DE UN PAR DE FUERZA O CUPLA
Dos fuerzas F1 y F2 que actúan simultáneamente sobre un
cuerpo rígido forman un par de fuerzas o cupla si
satisfacen simultáneamente las siguientes condiciones:
1. Las fuerzas poseen magnitudes iguales es decir:
F1=F2
2. Las líneas de acción de las dos fuerzas son paralelas y
no superpuestas.
3. Los sentidos de las fuerzas son opuestos es decir:
F1= -F2
TORQUE DE UN PAR DE FUERZA O CUPLA
A partir de la definición de un par de fuerza, se observa
que una cupla únicamente tiende a imprimir efectos de
rotación sobre el cuerpo rígido, ya que de acuerdo a la
segunda Ley de Newton, los efectos de traslación son
nulos, puesto que:
F1 + F2 = F1 + (-F2) = 0
El torque producido por una cupla es una cantidad que no
depende del centro de referencia O, es decir es un vector
libre.
RESULTANTE DE UN SISTEMA DE FUERZAS APLICADAS
SOBRE UN CUERPO RÍGIDO
No siempre es posible reducir un sistema de fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido por una fuerza única equivalente. Únicamente existen tres casos en los cuales es posible llevar a cabo esta reducción.
Cuando el conjunto de fuerzas que actúan sobre el cuerpo rígido son:
• Fuerzas concurrentes
• Fuerzas coplanares
• Fuerzas paralelas
SISTEMA DE FUERZAS CONCURRENTES
Son las que actúan simultáneamente en el mismo punto del cuerpo rígido.
CUERPO RÍGIDO
El torque de la fuerza resultante, respecto al centro de torques O esta dado por:
𝝉 = 𝑟 𝑥𝐹 La fuerza resultante es:
𝐹 =𝐹 1 + 𝐹 2+…= 𝐹 𝑖𝑖 Reemplazando en el torque tenemos:
𝜏 = 𝑟 x 𝐹 𝑖=𝑟 x (𝐹 1 + 𝐹 2+…)=𝑟 𝑥 𝐹 1+ 𝑟 𝑥 𝐹 2+… =𝑟 1 + 𝑟 2 + …= 𝜏 𝑖 El torque de una resultante de varias fuerzas concurrentes, es igual a la suma de los torques producidos por diferentes fuerzas aplicadas sobre el cuerpo respecto al mismo punto.
CUERPO RÍGIDO
SISTEMA DE FUERZAS COPLANARES
Consideremos un conjunto de fuerzas que se encuentran en el mismo plano sobre el cuerpo rígido.
CUERPO RÍGIDO
Cuando un sistema de fuerzas coplanares actúa sobre un cuerpo rígido, es posible reducir dicho sistema a una sola fuerza 𝐹 , ya que en este caso el torque neto es perpendicular a la fuerza resultante 𝐹 . La fuerza resultante debe estar aplicada en un punto cuyas coordenadas rectangulares son:
𝐹 = 𝐹 𝑋𝑖 + 𝐹 𝑦𝑗
𝑟 = x𝑖 + y𝑗 El torque generado esta dado por:
𝜏 = 𝑟 x 𝐹 =𝑖 𝑗 𝑘
𝑥 𝑦 0𝐹𝑥 𝐹𝑦 0
= (x𝐹𝑦 - y𝐹𝑥) 𝑘
CUERPO RÍGIDO
SISTEMA DE FUERZAS PARALELAS
En la grafica se puede observar un conjunto de fuerzas paralelas actuando simultáneamente sobre el cuerpo rígido.
Definimos un vector unitario 𝑢 // respecto al cual
las fuerzas aplicadas son paralelas.
CUERPO RÍGIDO
La fuerza resultante esta dada por:
𝐹 =𝐹 1 + 𝐹 2+…= 𝐹 𝑖𝑖 =( 𝐹 𝑖𝑖 ) 𝑢 //
El torque neto respecto al punto O, tenemos:
𝜏 = 𝑟 1x 𝐹 1 + 𝑟 2x 𝐹 2 + ⋯ = 𝑟 1𝑖 x 𝐹 𝑖 = 𝑟 1𝑖 𝐹 𝑖 𝑢 //
El vector torque neto es perpendicular al vector unitario 𝑢 //, dicho de otra forma el vector torque
neto es perpendicular al vector fuerza neta 𝐹 .
CUERPO RÍGIDO
MOMENTO ANGULAR
EJES PRINCIPALES DE INERCIA
Si El eje de rotación coincide con una de las direcciones, el
momento angular del cuerpo es paralelo al eje de rotación y
se satisface la relación:
L= 𝐼 𝜔
Estos ejes se denominan ejes principales de inercia y cuando
el cuerpo rígido posee simetrías, estos ejes coinciden con los
ejes de simetría del cuerpo.
CALCULOS DE MOMENTO DE INERCIA
ROTACIÓN DE UN CUERPO RIGIDO ECUACIÓN DE MOVIMIENTO
La ecuación esta dada por:
𝜏 =𝑑
𝑑𝑡𝐿 = 𝑟 𝑥 𝐹
El torque y el momento angular se deben evaluar respecto al mismo punto.
Esta ecuación es analizada para los siguientes casos:
MOVIMIENTO DEL CUERPO RIGIDO ALREDEDOR DE UN EJE PRINCIPAL DE INERCIA
Se considera que el origen del sistema de referencia se encuentra a lo largo del eje de rotación.
De la ecuación de rotación de un cuerpo rigido tenemos:
𝜏 =𝑑
𝑑𝑡𝐿 = 𝑟 𝑥 𝐹
Donde reemplazando el momento angular cuando es paralelo al eje de rotación L= 𝐼 𝜔, tenemos:
𝜏 =𝑑
𝑑𝑡𝐿 =
𝑑
𝑑𝑡(𝐼𝜔)
MOVIMIENTO DEL CUERPO RIGIDO ALREDEDOR DE UN EJE PRINCIPAL DE INERCIA
Si el eje esta fijo y el momento de inercia es constante :
𝜏 = I𝛼
Si el torque es nulo, el momento angular total del cuerpo rígido respecto a un eje que pasa por un punto fijo es constante.
Segunda ley de newton para rotaciones
MOVIMIENTO DEL CUERPO RIGIDO ALREDEDOR DE UN EJE PRINCIPAL DE INERCIA
En este utilizamos el vector momento angular total del cuerpo rígido.
𝐿𝑖 = ( 𝑚𝑖𝑅2𝑖)𝜔= 𝐼 𝜔
En este caso el momento angular total no es paralelo a la velocidad angular
𝜏𝑧 =𝑑
𝑑𝑡𝐿𝑧 =
𝑑
𝑑𝑡(𝐼𝜔)= 𝐼𝛼
MOVIMIENTO DEL CUERPO RIGIDO ALREDEDOR DE UN EJE NO PRINCIPAL DE INERCIA
