MECÁNICA DEL CUERPO RÍGIDO

C A P Í T U L O IXMECANICA DEL CUERPO RIGIDO

Cinética de partículas:

Cuando un automóvil se desplaza sobre el tramo curvo de una pista de carreras, está sujeto a una componente de aceleración dirigida hacia el centro de la curvatura de su trayectoria. La fuerza de gravedad y las otras fuerzas externas ejercidas sobre el automóvil deben considerarse tanto como las componentes de aceleración. Este capítulo estudiaremos la relación entre la fuerza, la masa y la aceleración.

Lic. ANGEL CARRASCO PORRAS

MECANICA DEL CUERPO RIGIDO

SISTEMA DE REFERENCIA INERCIAL

En mecánica newtoniana, un sistema de referencia inercial es un sistema de referencia en el que las leyes del movimiento cumplen las leyes de Newton, y por tanto, la variación del momento lineal del sistema es igual a las fuerzas reales sobre el sistema. En un sistema no inercial en cambio sucede que:

Por lo que la descripción newtoniana de un sistema no-inercial requiere la introducción de fuerzas ficticias o inerciales.

El concepto de sistema de referencia inercial también es aplicable a teorías más generales que la mecánica newtoniana, así en la Teoría de la Relatividad Especial también se pueden introducir los sistemas inerciales. Aunque en relatividad especial la caracterización matemática no coincide con la que se da en mecánica newtoniana, debido a que la segunda ley de Newton tal como la formuló Newton no se cumple en relatividad.

Sistemas de referencia inercial y no inercial.-

Las leyes de Newton constituyeron un éxito intelectual notable, que podía explicar una amplia variedad de sistemas reales. En esos sistemas las fuerzas que se ejercían unas partículas a las otras, satisfacían dichas leyes. Sin embargo, existen sistemas acelerados o en rotación donde las leyes de Newton aplicadas a las fuerzas ejercidas por las partículas no se cumplen estrictamente. Los sistemas de referencia inerciales son aquellos en los que se cumplen las leyes de Newton usando sólo las fuerzas reales (no-ficticias) que se ejercen entre sí las partículas del sistema.

Los sistemas de referencia no inerciales pueden tratarse siguiendo dos posibilidades lógicas:

Introduciendo las llamadas fuerzas ficticias o inerciales, que no son realizadas concretamente por ninguna partícula y tiene que ver con la rotación o aceleración del origen del sistema de referencia.

Generalizando las leyes de Newton a una forma más general que pueda ser aplicable a cualquier sistema de referencia. Esta segunda posibilidad es precisamente el camino que siguieron formulaciones más generales de la


http://es.wikipedia.org/wiki/Fuerza_ficticia


http://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Newton


http://es.wikipedia.org/wiki/Leyes_de_Newton#Segunda_Ley_de_Newton_o_Ley_de_Fuerza

http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_Relatividad_Especial



http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_referencia

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_referencia

http://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_newtoniana


mecánica clásica como la mecánica lagrangiana y la mecánica hamiltoniana.

La existencia de esta segunda posibilidad lleva a buscar una caracterización más general de los sistemas de referencia inerciales, que sea lógicamente dependiente de las leyes de Newton. De hecho, en mecánica clásica y teoría de la relatividad especial, los sistemas inerciales pueden ser caracterizados de forma muy sencilla: un sistema inercial es aquel en el que los símbolos de Christoffel obtenidos a partir de la función lagrangiana se anulan.

En un sistema inercial no aparecen fuerzas ficticias para describir el movimiento de las partículas observadas, y toda variación de la trayectoria tiene que tener una fuerza real que la provoca.

CARACTERÍSTICAS DE LOS SISTEMAS INERCIALES.-

El punto de referencia es arbitrario, dado un sistema de referencia inercial, cualquier otro sistema desplazado respecto al primero a una distancia fija sigue siendo inercial.

La orientación de los ejes es arbitraria, dado un sistema de referencia inercial, cualquier otro sistema de referencia con otra orientación distinta del primero, sigue siendo inercial.

Desplazamiento a velocidad lineal constante, dado un sistema de referencia inercial, cualquier otro que se desplace con velocidad lineal y constante, sigue siendo inercial.

Por combinación de los tres casos anteriores, tenemos que cualquier sistema de referencia desplazado respecto a uno inercial, girado y que se mueva a velocidad lineal y constante, sigue siendo inercial.

SISTEMAS DE REFERENCIA NO INERCIALES

Dado un sistema de referencia inercial, cualquier otro que se mueva con aceleración lineal respecto al primero es no inercial.

Dado un sistema de referencia inercial, cualquier otro cuyos ejes roten, con velocidad de rotación constante o variable, respecto a los del primero, no es inercial.

En un sistema en rotación, o moviéndose con aceleración respecto a un sistema inercial da lugar a un sistema de referencia no inercial, y en él no se cumplen las leyes de Newton. En un sistema no-inercial para justificar el movimiento además de las fuerzas reales necesitamos introducir fuerzas ficticias que dependen del tipo de no inercialidad del sistema.



http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_referencia_no_inercial

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_referencia_no_inercial

http://es.wikipedia.org/wiki/Rotaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Aceleraci%C3%B3n


http://es.wikipedia.org/wiki/S%C3%ADmbolos_de_Christoffel

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_inercial

http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_relatividad_especial

http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_la_relatividad_especial

http://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_cl%C3%A1sica

http://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_hamiltoniana

http://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_hamiltoniana

http://es.wikipedia.org/wiki/Mec%C3%A1nica_lagrangiana


CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL DE UNA PARTÍCULA. RAZÓN DE CAMBIO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL

Si se reemplaza la aceleración a por la derivada dv/dt en la ecuación, se escribe:

∑ F=mdvdt

o, ya que la masa m de la partícula es constante,

∑ F= ddt

(mv)

El vector mv se denomina como la cantidad de movimiento lineal, o simplemente cantidad de movimiento de la partícula. Tiene la misma dirección que la velocidad de la partícula, y su magnitud es igual al producto de la masa m y la velocidad v de la partícula. La ecuación expresa que la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula es igual a la razón de cambio de la cantidad de movimiento lineal de la partícula. En esta forma fue que Newton enunció originalmente la segunda ley de movimiento. Al denotar por L la cantidad de movimiento lineal de la partícula:

L=mv

Y por L, su derivada con respecto a t, es posible escribir la ecuación en la forma alternativa:

∑ F=L


Puesto que las estrellas no están realmente fijas, una definición más rigurosa de sistema de referencia newtoniano (denominado también sistema inercial).


Debe notarse que la masa m de la partícula se supone constante. La ecuación no debe entonces usarse para resolver problemas que impliquen el movimiento de cuerpos, como cohetes, que ganan o pierden masa.

SISTEMAS DE UNIDADES

Al utilizar la ecuación fundamental F = m.a, las unidades de fuerza, masa, longitud y tiempo no pueden elegirse de manera arbitraria. Si eso ocurriera, la magnitud de la fuerza F que se requiere para proporcionar una aceleración a la masa m no sería numéricamente igual al producto m.a; sólo sería proporcional a este producto. En consecuencia, se pueden elegir tres o cuatro unidades de manera arbitraria, pero se debe escoger la cuarta unidad de manera que se satisfaga la ecuación F = m.a. Se dice entonces que las unidades forman un sistema de unidades cinéticas consistentes. Suelen utilizarse dos sistemas de unidades cinéticas consistentes: el Sistema Internacional de Unidades y unidades utilizadas comúnmente en Estados Unidos.

Sistema Internacional de Unidades (unidades del SI).-

En este sistema, las unidades básicas son las de longitud, masa y tiempo, y se denominan respectivamente, el metro (m), el kilogramo (kg) y el segundo (s). Las tres se definen en forma arbitraria. La unidad de fuerza es una unidad derivada. Se denomina Newton (N) y se define como la fuerza que produce una aceleración de 1 m/s2 a una masa de 1 kg (figura). De la ecuación se describe:

1 N = (1 kg)(1 m/s2) = 1 kg . m/s2

Se afirma que las unidades del SI forman un sistema absoluto de unidades. Lo anterior significa que las tres unidades básicas elegidas son independientes de la ubicación donde se efectúan las mediciones. El metro, el kilogramo y el segundo pueden ser utilizados en cualquier parte sobre la Tierra; incluso pueden ser usados en otro planeta. Y siempre tendrían el mismo significado.

El peso W de un cuerpo, o la fuerza de gravedad que se ejerce sobre ese cuerpo, al igual que otra fuerza, se expresará en newton. Puesto que un cuerpo sometido a su propio peso adquiere una aceleración igual a la aceleración de la gravedad g, se deduce de la segunda ley de Newton que la magnitud W del peso de un cuerpo de masa m es:

W=mg



Al recordar que g = 9.81 m/s2, se encuentra que el peso de un cuerpo de masa 1 kg (figura) es:

W = (1 kg)(9.81 m/s2) = 9.81 N

Los múltiplos y submúltiplos de las unidades de longitud, masa y fuerza se usan con frecuencia en la práctica de la ingeniería. Estos son, respectivamente, kilómetro (km) y el milímetro (mm); el Megagramo (Mg) y el gramo (g); y el kilo newton (kN). Por definición:

1 km = 1000 m 1 mm = 0.001 m1 Mg = 1000 kg 1 g = 0.001 kg

1 kN = 1000 NLa conversión de estas unidades a metros, kilogramos y newton, respectivamente, se efectúa simplemente desplazando el punto decimal tres lugares a la derecha o la izquierda. Otras unidades aparte de las de masa, longitud y tiempo pueden expresarse en términos de estas tres unidades básicas. Por ejemplo, la unidad de cantidad en movimiento lineal se obtiene al recordar su definición y al escribir:

mv = (kg)(m/s) = kg.m/s



ECUACIONES DE MOVIMIENTO

Considérese una partícula de masa m sobre la que actúan varias fuerzas. Se tiene de la sección 12.2 que la segunda ley de Newton puede expresarse mediante la ecuación:

F = m.a

Que relaciona las fuerzas que actúan sobre la partícula y el vector ma. Sin embargo, para resolver los problemas que implican el movimiento de una partícula se encontrará más conveniente sustituir la ecuación por ecuaciones equivalentes que incluyen cantidades escalares.

Componentes rectangulares.-

Al descomponer cada fuerza F y la aceleración a en componentes rectangulares, se escribe:

∑ (Fx i+Fy j+Fz k)=m(ax i+ay j+az k)

De lo que se deduce:

∑ F X=maX∑ FY=maY∑ F z=maZ

Al recordar de la sección 11.11 que las componentes de la aceleración son iguales a la segunda derivada de las coordenadas de la partícula, se tiene:

Fx = m¨x Fy = mÿ Fz = m¨z

Considérese, como un ejemplo, el movimiento de un proyectil. Si se ignora la resistencia del aire, la única fuerza que actúa sobre el proyectil después de que éste se ha lanzado es su peso W = Wj. En consecuencia las ecuaciones que definen el movimiento del proyectil son:

m¨x = 0 mÿ= -W m¨z = 0



Y las componentes de la aceleración del proyectil corresponden a:

¨x = 0 ÿ = -W/m = -g ¨z = 0

Donde g es 9.81 m/s2 o 32.2 ft/s2. Las ecuaciones que se obtienen se integran de manera independiente, como se muestra en la sección. Para obtener la velocidad y el desplazamiento del proyectil en cualquier instante.Cuando un problema implica dos o más cuerpos, las ecuaciones de movimiento deben escribirse para cada uno de ellos. Se recuerda que todas las aceleraciones deben medirse con respecto a un sistema de referencia newtoniano. En la mayoría de las aplicaciones de ingeniería, es posible determinar las aceleraciones con respecto a ejes unidos a la Tierra, aunque las aceleraciones relativas medidas con respecto a ejes móviles, como los ejes unidos al cuerpo acelerado, no pueden sustituirse en lugar de a en las ecuaciones de movimiento.

Componentes tangencial y normal.-

Al descomponer las fuerzas y la aceleración de la partícula en componentes a lo largo de la tangente a la trayectoria (en la dirección de movimiento) y la normal (hacia el interior

de la trayectoria) y sustituir a la ecuación, se obtienen las dos ecuaciones escalares:

∑ F t=mat∑ Fn=man

Al sustituir a, y a,, de las ecuaciones, se tiene:



∑ F t=mdvdt

∑ Fn=v2

ρ

Las ecuaciones que se obtienen pueden resolverse para dos incógnitas.

TRABAJO Y ENERGÍA CINÉTICA DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS

Consideremos un sistema compuesto de dos partículas de masas m1 y m2, sujetas a las fuerzas externas F1 y F2 y a las fuerzas internas F12 y F21. En un cierto instante las partículas ocupan las posiciones indicadas en la Figura, moviéndose con velocidades v1 y v2 a lo largo de las trayectorias C1 y C2.

(Figura)

La ecuación del movimiento de cada partícula es:

m1a1 = F1 + F12

m2a2 = F2 + F21



Multiplicando ambas ecuaciones por dri, ..., sumando dichas ecuaciones y recordando que F12 = -F21..., integrando a partir de un tiempo inicial t0 hasta un tiempo arbitrario t y designando por A y B la posición de ambas partículas en los tiempos t0 y t, obtenemos:

Ek - Ek,0 = Wext + Wint

Donde:

La primera expresión da el trabajo total Wext hecho por las fuerzas exteriores durante el mismo intervalo de tiempo, y la segunda expresión da el trabajo Wint

hecho por las fuerzas interiores.

La ecuación se puede expresar diciendo que:

Esta es la extensión natural de nuestro resultado previo para una partícula dado en la ecuación, y es válido para un sistema compuesto de cualquier número de partículas.

MOMENTO LINEAL E IMPULSO


El cambio de energía cinética de un sistema de partículas es igual al trabajo efectuado sobre el sistema por las fuerzas exteriores e interiores.


El momento lineal de una partícula de masa m que se mueve con una velocidad v se define como el producto de la masa por la velocidad

P = m.v

Se define el vector fuerza, como la derivada del momento lineal respecto del tiempo:

La segunda ley de Newton es un caso particular de la definición de fuerza, cuando la masa de la partícula es constante:

Despejando dp en la definición de fuerza e integrando:

A la izquierda, tenemos la variación de momento lineal y a la derecha, la integral que se denomina impulso de la fuerza F en el intervalo que va de ti a tf.

Para el movimiento en una dimensión, cuando una partícula se mueve bajo la acción de una fuerza F, la integral es el área sombreada bajo la curva fuerza-tiempo.



En muchas situaciones físicas se emplea la aproximación del impulso. En esta aproximación, se supone que una de las fuerzas que actúan sobre la partícula es muy grande pero de muy corta duración. Esta aproximación es de gran utilidad cuando se estudian los choques, por ejemplo, de una pelota con una raqueta o una pala. El tiempo de colisión es muy pequeño, del orden de centésimas o milésimas de segundo, y la fuerza promedio que ejerce la pala o la raqueta es de varios cientos o miles de newton. Esta fuerza es mucho mayor que la gravedad, por lo que se puede utilizar la aproximación del impulso. Cuando se utiliza esta aproximación es importante recordar que los momentos lineales inicial y final se refieren al instante antes y después de la colisión, respectivamente.

CHOQUES FRONTALES ELASTICOS

Consideremos una partícula de masa m1 que lleva una velocidad u1 y que choca elásticamente con una partícula de masa m2 que está inicialmente en reposo. La segunda partícula choca a su vez, con otra partícula de masa m3 que está inicialmente en reposo.

Fijadas las masas de la primera y la tercera partícula, m1 y m3, nuestra tarea va a ser la de encontrar la masa de la segunda partícula m2 que hace que la velocidad final v3 de la tercera partícula sea máxima. La segunda partícula actúa de agente que transfiere velocidad (energía) de la primera a la tercera partícula. Se tratará de investigar qué masa deberá tener esta partícula para que la transferencia de energía sea máxima.



CHOQUE ELÁSTICO DE DOS PARTÍCULAS

En la página titulada “choques frontales” estudiamos como caso particular, el choque elástico entre dos partículas. En este caso, la primera partícula lleva una velocidad u1 y la segunda está inicialmente en reposo u2 = 0.

Principio de conservación del momento lineal.

En un choque elástico, la energía cinética inicial es igual a la final.

Resolviendo este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, obtenemos las velocidades v1 y v2 después del choque:

Para un sistema de dos partículas, la máxima velocidad que alcanza la segunda partícula es 2u1 cuando la masa de la segunda partícula m2 es muy pequeña comparada con la masa de la primera partícula m1.


m1u1 = m1v1+ m2v2


Cuando m1 = m2, la velocidad de la primera partícula después del choque es cero v1 = 0, la primera partícula se detiene y la segunda partícula adquiere la velocidad (y la energía) de la primera partícula, v2 = u1. Pero esta no es la máxima velocidad que puede adquirir la segunda partícula después del choque.

CHOQUE ELÁSTICO CON UNA TERCERA PARTÍCULA

Consideremos ahora el caso del choque entre la segunda partícula de masa m2

que lleva una velocidad u2, y una tercera partícula de masa m3 inicialmente en reposo.

La velocidad inicial u2 de la segunda partícula es la final v2 que adquiere después del primer choque:

Principio de conservación del momento lineal.

En un choque elástico, la energía cinética inicial es igual a la final.


m2u2 =m2v2+m3v3


Resolviendo este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, obtenemos las velocidades v2 y v3 después del choque.

MÁXIMA TRANSFERENCIA DE VELOCIDAD

Fijados m1 y m3, vamos a determinar la masa de la segunda partícula m2 que hace que v3 sea máximo. Para ello, derivamos v3 respecto de m2 e igualamos a cero. Después de hacer algunas operaciones se llega al siguiente resultado

Se trata ahora de comprobar que es un máximo. Para ello, calculamos la derivada segunda de v3 respecto de m2 y comprobamos que es negativa cuando se cumple la condición de extremo.

Dados las masa de las tres partículas, m1, m2 y m3, el valor máximo de la velocidad v3 de la tercera partícula después del choque tiene el siguiente valor:



Hemos comprobado que una segunda partícula interpuesta entre la primera y la tercera, permite incrementar la transferencia de velocidad entre ambas, por medio de dos choques elásticos, entre la primera y segunda partícula, y entre la segunda y tercera partícula.

BALANCE ENERGÉTICO

La energía inicial de la primera partícula es:

Después del primer choque entre la primera y segunda partícula, la energía se reparte ente la primera F1 y segunda partícula E2, de modo que E1=F1+E2

Después del segundo choque entre la segunda y tercera partícula, la energía cinética E2 de la segunda partícula se reparte entre la segunda F2 y tercera partícula E3, de modo que E2=F2+E3

Al finalizar el segundo choque, se cumplirá que E1=F1+ F2+ E3, siendo E1 la energía inicial de la primera partícula y F1, F2, E3 las energía finales de las tres partículas.



Ejemplo 1 :

Sean las masas de las partículas

m1 = 25 kgm3 = 1 kg

Completamos sobre un papel una tabla de valores como la siguiente:

m2 (kg) v3 (m/s)

4 2.7595 2.7786 2.765

La velocidad máxima v3 de la tercera partícula se obtiene para el valor m2 = 5. Como podemos verificar a partir de la condición de extremo:

Ejemplo 2 :


m1 = 1000 kgm2 = 100 kgm3 = 1 kg

La masa de la segunda partícula m2 es tal que se cumple la condición de máximo de v3, Pero como m1 es muy grande comparado con m3 la velocidad v3 es muy cercana al valor de 4, que es la más alta velocidad que puede alcanzar la tercera partícula.

Ejemplo 3 :


m1 = 25 kgm2 = 5 kgm3 = 1 kg

La velocidad inicial de la primera partícula es u1=1.0, su energía cinética inicial es:



E1=12.5 J

DESPUÉS DEL PRIMER CHOQUE .-

La primera partícula lleva una velocidad:

V1 = 0.667 m/s,. Su energía cinética es:

F1 = 5.556 J

La segunda partícula lleva una velocidad:

V2 = 1.667 m/s. Su energía cinética es:

E2 = 6.944 J

La suma de ambas energías es la energía cinética inicial.

E1=F1+E2.

La segunda partícula tiene una velocidad inicial:

u2 = 1.667 m/s. Su energía cinética es:

E2 = 6.944 J

DESPUÉS DEL SEGUNDO CHOQUE .-

La segunda partícula lleva una velocidad:


F2 = 3.086 J

La tercera partícula lleva una velocidad:


E3 = 3.858 J

Como podemos comprobar: E2 = F2+E3



Y también: E1 = F1 + F2+ E3.

CHOQUE INELÁSTICO DE DURACIÓN FINITA

Vamos a considerar un sistema aislado formado por una bala y un bloque de forma rectangular. La bala se dispara horizontalmente contra una de las caras del bloque a lo largo de la línea que pasa por su centro de masas, penetra en el bloque una cierta distancia hasta que ambos adquieren la misma velocidad. La aplicación del principio de conservación del momento lineal no nos explica el mecanismo por el cual la bala disminuye su velocidad y aumenta la del bloque y tampoco la diferencia de energía cinética inicial y final.

En esta página, vamos a estudiar un modelo simple que nos describe el comportamiento de la bala y del bloque durante el transcurso del choque inelástico.

Choque inelástico

Si M es la masa del bloque inicialmente en reposo, m la masa de la bala. Aplicamos el principio de conservación del momento lineal, a este sistema aislado, para obtener la velocidad inmediatamente después del choque vf del conjunto bala-bloque en función de la velocidad v0 de la bala antes del choque.

A continuación, se efectúa el balance energético de la colisión. La variación de energía cinética es


mv0 = (m + M) vf

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/con_mlineal/dinamica/dinamica.htm#Conservaci%C3%B3n%20del%20momento%20lineal%20de%20un%20sistema%20de%20part%C3%ADculas


CHOQUE INELÁSTICO DE DURACIÓN FINITA

Mediante un modelo simple de interacción entre la bala y el bloque, vamos a explicar cómo la bala disminuye de velocidad, aumenta la del bloque hasta que ambas se igualan. También, explicaremos el origen de la diferencia de energía cinética.

A medida que la bala penetra en el bloque, la bala ejerce una fuerza F que supondremos constante sobre el bloque y su efecto será el de incrementar su velocidad.

A su vez, el bloque ejercerá una fuerza F igual y opuesta sobre la bala cuyo efecto será el de disminuir su velocidad. El choque se completará cuando la velocidad de la bala se iguale a la del bloque.

Tenemos que estudiar la dinámica de un sistema aislado formado por dos partículas que interaccionan entre sí. La interacción se describe en términos de una fuerza constante F.

Velocidades antes y después del choque.-

Cuando la bala penetra, la fuerza constante F que ejerce el bloque hace que disminuya su velocidad:



V=v0−F . tm

La fuerza F igual y de sentido contrario que ejerce la bala sobre el bloque hace que éste incremente su velocidad:

V= F . tm

Dado que el sistema formado por la bala y el bloque es aislado, el momento lineal

total o la velocidad de su centro de masas vcm permanece constante e igual a su velocidad inicial como podemos comprobar:

El choque finaliza cuando la velocidad v de la bala se iguala a la velocidad V del

bloque, es decir en el instante tc, medido desde el momento en el que la bala penetra en el bloque:

v0−f . tcm

=F .tM

Se despeja el tiempo tc :

La velocidad final del bloque Vf y de la bala vf en dicho instante es:


http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/con_mlineal/dinamica/dinamica.htm#El%20centro%20de%20masa.


Que es a su vez la velocidad del centro de masa del sistema aislado, y es independiente del valor de la fuerza F.

DESPLAZAMIENTOS DE LA BALA Y DEL BLOQUE

Si la bala y la cara anterior del bloque están en el origen en el momento en el que

la bala entra en contacto con el bloque, al cabo de un cierto tiempo t<tc, la posición de la bala x y la posición del bloque X serán, respectivamente

En el instante tc en el que finaliza el choque, la bala habrá penetrado una

distancia xc - Xc en el interior del bloque.



Trabajo de la fuerza interior y variación de energía cinética

El trabajo realizado por la fuerza F será :

El signo menos se debe a que la fuerza F sobre la bala es de sentido contrario a su desplazamiento. La fuerza interior F realiza un trabajo que modifica la energía cinética de las partículas del sistema.

NO SE COMPLETA EL CHOQUE

Si el bloque tiene una longitud L, y la fuerza F no es suficientemente intensa, puede ocurrir que la bala no quede empotrada en el bloque sino que salga por la cara opuesta con velocidad vf.

Si la distancia que penetra la bala xc - Xc en el bloque en el instante tc es mayor que su longitud L, la bala saldrá por la cara opuesta. Calculamos el tiempo t que

tarda la bala en penetrar la distancia L = x - X resolviendo la ecuación de segundo grado:



Para calcular la velocidad final de la bala vf empleamos la relación entre la velocidad final vf, la velocidad inicial v0 y el desplazamiento x de la partícula.

Una relación semejante empleamos para calcular la velocidad Vf del bloque cuando la bala sale por la cara opuesta.

La variación de energía cinética de las partículas es:

El trabajo realizado por la fuerza F será: W=-F·L

La fuerza interior F realiza un trabajo –FL que modifica la energía cinética de las partículas del sistema.


http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cinematica/rectilineo/rectilineo.htm#acelerado


EJERCICIOS

Ejemplo 1 :

masa de la bala : m = 0.4 kg

velocidad de la bala : v0 = 10 m/s

Fuerza de interacción : F = 20 N

La bala y el bloque alcanzan la misma velocidad en el instante tc

El desplazamiento de la bala y el bloque es:

La bala ha penetrado en el bloque una distancia:

D = xc - Xc = 0.72 m

La velocidad final del conjunto bala-bloque es:



Conocidas las velocidades iniciales y finales de las partículas calculamos la diferencia de energía cinética:

ΔE = -14.3 J

Que tiene el mismo valor que el trabajo realizado por la fuerza de interacción F:

ΔE = -F (xc - Xc) = -20 - 0.71 = -14.3 J

Ejemplo 2 :

masa de la bala ; m = 0.4 kg

velocidad de la bala ; v0 = 10 m/s

Fuerza de interacción : F = 14 N

Observamos que la bala penetra el bloque y sale por el extremo opuesto en el instante t que se calcula, resolviendo la ecuación de segundo grado

Una de las raíces es t = 0.175 s.

En dicho instante, la velocidad de la bala y la del bloque son respectivamente:



La posición del bloque será:

Y la de la bala será:

x = X + 1.0 = 1.21 m

Conocidas las velocidades iniciales y finales de las partículas calculamos la diferencia de energía cinética:

ΔE = -14. J

Que tiene el mismo valor que el trabajo realizado por la fuerza de interacción F:

ΔE = -FL = -14·1 = -14 J

COLISIONES

Se emplea el término de colisión para representar la situación en la que dos o más partículas interaccionan durante un tiempo muy corto. Se supone que las fuerzas impulsivas debidas a la colisión son mucho más grandes que cualquier otra fuerza externa presente.

El momento lineal total se conserva en las colisiones. Sin embargo, la energía cinética no se conserva debido a que parte de la energía cinética se transforma en energía térmica y en energía potencial elástica interna cuando los cuerpos se deforman durante la colisión.

Se define colisión inelástica como la colisión en la cual no se conserva la energía cinética. Cuando dos objetos que chocan se quedan juntos después del choque se dice que la colisión es perfectamente inelástica. Por ejemplo, un meteorito que choca con la Tierra.

En una colisión elástica la energía cinética se conserva. Por ejemplo, las colisiones entre bolas de billar son aproximadamente elásticas. A nivel atómico las colisiones pueden ser perfectamente elásticas.



La magnitud Q es la diferencia entre las energías cinéticas después y antes de la colisión. Q toma el valor de cero en las colisiones perfectamente elásticas, pero puede ser menor que cero si en el choque se pierde energía cinética como resultado de la deformación, o puede ser mayor que cero, si la energía cinética de las partículas después de la colisión es mayor que la inicial, por ejemplo, en la explosión de una granada o en la desintegración radiactiva, parte de la energía química o energía nuclear se convierte en energía cinética de los productos.

COEFICIENTE DE RESTITUCIÓN.-

Se ha encontrado experimentalmente que en una colisión frontal de dos esferas sólidas como las que experimentan las bolas de billar, las velocidades después del choque están relacionadas con las velocidades antes del choque, por la expresión:

Donde “e” es el coeficiente de restitución y tiene un valor entre 0 y 1. Esta relación fue propuesta por Newton y tiene validez solamente aproximada. El valor de uno es para un choque perfectamente elástico y el valor de cero para un choque perfectamente inelástico.

El coeficiente de restitución es la razón entre la velocidad relativa de alejamiento, y la velocidad relativa de acercamiento de las partículas.

FUERZAS CENTRALES

Fuerza de atracción entre los cuerpos.-


http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/con_mlineal/restitucion/restitucion.htm


La interacción entre dos cuerpos de masa M y m se describe en término de una fuerza atractiva, cuya dirección es la recta que pasa por el centro de los dos cuerpos y cuyo módulo viene dado por la expresión:

G es la constante de la gravitación universal G=6.67·10-11 Nm2/kg2, y r es la distancia entre los centros de los cuerpos

Aceleración de la gravedad

Se denomina intensidad del campo gravitatorio, o aceleración de la gravedad g en un punto P distante r del centro del planeta de masa M, a la fuerza sobre la unidad de masa situada en el punto P.

FUERZA CENTRAL

La fuerza de atracción entre un planeta y el Sol es central y conservativa. La fuerza de repulsión entre una partícula alfa y un núcleo es también central y conservativa.

Una fuerza es central, cuando el vector posición r es paralelo al vector fuerza F. El momento de la fuerza M = r.F = 0. De la relación entre el momento de las fuerzas que actúa sobre la partícula y el momento angular, (Teorema del momento angular) se concluye que:

El momento angular permanece constante en módulo, dirección y sentido.



El momento angular L de una partícula es el vector resultado del producto vectorial L = r.mv, cuya dirección es perpendicular al plano determinado por el vector posición r y el vector velocidad v.

Como el vector L permanece constante en dirección, r y v estarán en un plano perpendicular a la dirección fija de L. De aquí, se concluye que la trayectoria del móvil estará contenida en un plano perpendicular al vector momento angular L.

Cuando los vectores r y v son paralelos, es decir, la dirección del movimiento pasa por el origen, el momento angular L= 0. La partícula describe un movimiento rectilíneo, cuya aceleración no es constante.



EJEMPLO 01:

Se lanza un satélite en dirección paralela a la superficie de la Tierra con una velocidad de 18 820 mi/h desde una altura de 240 mi. Determine la velocidad del satélite cuando éste alcanza su altura máxima de 2 340 mi. Recuérdese que el radio de la Tierra es de 3 960 millas.

.

SOLUCIÓN

Puesto que el satélite se mueve bajo el efecto de una fuerza central dirigida hacia el centro 0 de la Tierra, su cantidad de movimiento angular HO es constante, se tiene:

rmv sin∅=HO=constante

que muestra que v es mínima en B, donde tanto r como senϕ son máximos.Al expresar la conservación de la cantidad de movimiento angular entre A y B.

rAmvA = rBmvB

V B=V A

RA

RB

=(18820 )( 3960+2403960+2340

)

V B=12550mi /h


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MECÁNICA DEL CUERPO RÍGIDO