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DISCONTINUIDADES MATEMÁTICAS Y DIDÁCTICAS
ENTRE
LA ENSEÑANZA SECUNDARIA Y LA ENSEÑANZA
UNIVERSITARIA
Cecilio Fonseca Bon
Esta Tesis Doctoral fue defendida el día 27 de Febrero de 2004, en la Escuela
Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial de Vigo, obteniendo la calificación de
SOBRESALIENTE CUM LAUDE, ante el Tribunal compuesto por :
Presidente :
Dr. D. Ives Chevallard, Catedrático de Universidad, Institut Universitaire
de Formation des Maitres D´Aix_Marselle .
Vocales :
Dr. D. Salvador Llinares , Catedrático de Universidad del Departamento de
Innovación y Formación Didáctica de la Universidad de Alicante.
Dra. Dña. Carmen Batanero Bernabeu, Profesora titular de Universidad del
Departamento de Didáctica de las Matemáticas de la Universidad de
Granada.
Dr. D. José María Cordeiro Alonso, Catedrático de Escuela Universitaria
del Departamento de Matemática Aplicada I de la Universidad de Vigo.
Secretario :
Dr. D. José Manuel Casas Mirás, Profesor titular de Universidad del
Departamento de Matemática Aplicada I de la Universidad de Vigo.
Universidad de Vigo
Departamento de Matemática Aplicada I
DISCONTINUIDADES MATEMÁTICAS Y DIDÁCTICAS
ENTRE
LA ENSEÑANZA SECUNDARIA Y LA ENSEÑANZA
UNIVERSITARIA
Cecilio Fonseca Bon
Memoria presentada para optar al grado de Doctor en Ciencias Matemáticas,
realizada bajo la dirección de la Dra. Dña Marianna Bosch Casabò y del Dr. D.
Josep Gascòn Pérez
Trabajo realizado en el marco del proyecto BS02000-0049 de la DGIYT (MCT)
Al recuerdo vivo de mi madre.
A la presencia ejemplar de mi padre
A Nieves, mi mujer, por acompañarme siempre, y a Pablo, Cesar, Xavi, y Marga nuestros hijos
con amor
AGRADECIMIENTOS
A los directores de la Memoria, Dra Marianna Bosch y Dr Josep Gascòn . Mi más sincero
agradecimiento y reconocimiento por esa permanente ayuda científica, que ha ido acompañada
de una extraordinaria calidad humana . Sin esa ayuda sería muy difícil haber elaborado esta
Memoria.
A mi director de Departamento, Dr. Eusebio Corbacho, por su constante apoyo en la realización
de este trabajo.
A mis compañeros del Departamento de Matemática Aplicada I de la Universidad de Vigo, por
las aportaciones recibidas.
A todos los compañeros del SIIMD, en particular al grupo Bahujama, que me animaron y
apoyaron en todo momento en la realización de esta memoria , especialmente a Esther Rodríguez.
A todos los profesores de Instituto y Universidad que con sus criticas han colaborado en la
realización de esta Memoria, especialmente al profesor D. Luis López Grille, al Instituto
ROSAIS II. Igualmente a la Dra. Dña Pilar Orus y demás profesores del Departamento de
Matemáticas de la Universidad de Castellón, que han puesto a mi disposición la información de
la que disponían.
A los alumnos de los cursos 1999-2000, 2000-2001, 2001-2002 de las Universidades de
Barcelona, Castellón y Vigo por su participación en el estudio empírico de este trabajo.
Finalmente quiero agradecer a toda mi familia y amigos todo el cariño, ayuda y comprensión que
tuvieron conmigo, especialmente a María Fonseca y Eligio Garrido.
i
INTRODUCCIÓN
1. Interpretación social del estado actual de la enseñanza de las matemáticas ........... 3
2. Un enfoque unitario para abordar el problema de la Educación Matemática .......... 8
3. La responsabilidad de la comunidad matemática ...................................................... 10
CAPÍTULO I
El paso de Secundaria a la Universidad: formulación didáctica de un problema
docente 15
1.1. Un problema docente como punto de partida .................................................. 17
1.1.1. Problemas docentes y problemas de investigación didáctica ........................................... 18
1.1.2. Amplitud del ámbito en el que se sitúa un problema didáctico ........................................ 21
1.2. Formulación del problema en el Programa Cognitivo ............................................ 25
1.2.1. Estructura cognitiva asociada a un concepto .................................................................... 28
1.2.2. Pensamiento matemático flexible: estructura dual de los objetos ................................... 30
1.3. Formulación del problema en el Programa Epistemológico ............................. 32
1.3.1. Estructura y dinámica de las organizaciones matemáticas ............................................... 35
1.3.2. Complejidad creciente de las organizaciones matemáticas .............................................. 39
1.4. Características de las organizaciones matemáticas que se estudian en Secundaria y
discontinuidades en el paso a la Universidad .................................................................. 42
1.4.1. Conjetura general: incompletitud de las praxeologías escolares ....................................... 42
1.4.2. Aspectos de la rigidez de las matemáticas que se estudian en Secundaria ........................ 45 1.4.3. Discontinuidades entre las matemáticas “mostrativas” de Secundaria y las matemáticas
“demostrativas” de la Universidad .............................................................................................. 48
ÍNDICE
ii
CAPÍTULO II
Primer estudio exploratorio: la prueba inicial ................................................... 53
2.1. Presentación general del estudio exploratorio ......................................................... 55
2.2. Descripción del primer cuestionario y análisis de resultados ................................... 57
2.2.1. Descripción de la prueba P1 .............................................................................................. 57
2.2.2. Relación entre el cuestionario y las conjeturas .................................................................. 62
2.2.3. Descripción de la muestra de estudiantes ........................................................................... 66
2.3. Resultados obtenidos ................................................................................. 67
2.3.1. Análisis a priori y resultados del primer bloque de conjeturas ....................................... 67
2.3.2. Análisis a priori y resultados del segundo bloque de conjeturas .................................... 77
2.4. Conclusiones: evaluación y limitaciones del primer cuestionario ......................... 88
2.4.1. Evaluación del primer cuestionario ................................................................................ 88
2.4.2. Limitaciones del primer cuestionario ............................................................................. 91
CAPÍTULO III
Segundo estudio exploratorio: aspectos de la rigidez de las organizaciones
matemáticas en Secundaria............................................................................. 93
3.1. Descripción del segundo cuestionario .......................................................... 95
3.1.1. Elaboración de la prueba ................................................................................................. 95
3.1.2. Correspondencia entre los ítems del cuestionario, los bloques temáticos y las conjeturas.. 100
3.2. Resultados del segundo cuestionario ............................................................................ 107
3.2.1. Descripción de la muestra de estudiantes ....................................................................... 107
3.2.2. Análisis a priori y resultados obtenidos por conjeturas .................................................. 109
3.2.3. Otros análisis estadísticos complementarios ................................................................... 145
3.2.3.1. Nivel de significación de los bloques para cada conjetura ........................ 145
3.2.3.2. Fiabilidad de la prueba ...................................................................... 147
iii
3.2.3.3. Análisis estadístico por submuestras .................................................... 147
3.3. Estudio experimental con los libros de texto ......................................................... 154
3.4. Conclusiones ........................................................................................................ 161
CAPÍTULO IV
La reconstrucción escolar de organizaciones matemáticas locales..................... 169
4.1. Retorno al problema de las discontinuidades matemáticas y didácticas entre la
Secundaria y la Universidad .......................................................................................... 171
4.2. Organizaciones matemáticas locales relativamente completas ............................ 178 4.2.1. El proceso de construcción de una praxeología local relativamente .completa ............... 178
4.2.2. Indicadores de la completitud de una praxeología local ................................................. 181
4.3. Necesidad de un desarrollo suficiente y dirigido del trabajo de la técnica.............. 184
4.3.1. La derivación de funciones de una variable real en Secundaria ...................................... 185
4.3.1.1. Completación relativa de una organización matemática puntual ................................ 189 4.3.1.2. Desarrollo de la organización matemática construida en torno a la derivación del
producto de funciones .................................................................................................................. 193
4.3.1.3. Integración de nuevos tipos de tareas y de nuevas técnicas ........................................... 196 4.3.1.4 Grado de completitud de la organización matemática en torno a la derivación de
funciones potenciales .................................................................................................................... 199
4.3.2. La regla de Ruffini en el paso de Secundaria a la Universidad ........................................ 202
4.3.2.1. Calcular las soluciones enteras de la ecuación x3 – 61x2 – 50x + 135 = 0 ................. 204
4.3.2.2. Desarrollo de la regla de Ruffini .................................................................................... 208
.4.4 Construcción de organizaciones matemáticas locales como respuesta a una
cuestión: la diagonalización de matrices en la Universidad..................................... 217
4.4.1. La organización matemática que se quiere construir......................................................... 218
4.4.2. Primera organización matemática: un problema de movilidad de recursos humanos....... 219
4.4.2.1. Momento del primer encuentro con la cuestión inicial ................................................ 220
iv
4.4.2.2. Momento exploratorio con Excel: características de la trayectoria............................. 221
4.4.2.3. Problema tecnológico y generación de un nuevo problema......................................... 225
4.4.2.4. Momento de la evaluación............................................................................................ 226
4.4.3. La segunda organización matemática: cálculo de las potencias de una matriz................ 227
4.4.3.1. El caso de las matrices diagonalizables ...................................................................... 228
4.4.3.2. Alcance de la organización matemática local construida........................................... 231
CAPÍTULO V
Conclusiones y Problemas Abiertos ........................................................... 233
5.1. Restricciones que limitan el estudio escolar de organizaciones matemáticas
locales relativamente completas ...................................................................... 235 5.1.1. Incidencia del autismo temático sobre la posibilidad de reconstruir organizaciones
matemáticas locales relativamente completas ....................................................................... 235
5.1.2. Restricciones originadas en los niveles superiores de la jerarquía ............................... 238
5.1.2.1. Nivel Pedagógico ....................................................................................................... 238
5.1.2.2. Nivel Disciplinar ........................................................................................................ 241
5.2. Síntesis de las aportaciones mas importantes de la Memoria............................... 245
5.3. Problemas abiertos ................................................................................................ 247
5.3.1. Las organizaciones matemáticas locales como “articuladoras” del currículum ....... 247
5.3.2. Necesidad de diseñar nuevos dispositivos didácticos .................................................. 248
5.3.3. Funciones didácticas de las nuevas tecnologías en la articulación del currículum ...... 250 5.3.4. Las estrategias de resolución de problemas y la construcción de organizaciones
matemáticas integradoras. ...................................................................................................... 251
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS .................................................... 253
INTRODUCCIÓN
3
El trabajo que presentamos en esta memoria tiene su origen en un problema docente
que, inicialmente, puede formularse como el problema del paso de estudiar
matemáticas en Secundaria a estudiar matemáticas en la Universidad. Se trata,
obviamente, de un problema relativo a la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas
y, por lo tanto, de un problema que atañe al Sistema de Enseñanza de las Matemáticas
en su conjunto. Pero, sin embargo, tiende a ser considerado principalmente como un
“problema del profesor” en la Enseñanza Secundaria y como un “problema del
estudiante” en la Enseñanza Universitaria.
En esta introducción pretendemos, en primer lugar, situar el problema docente citado en
el ámbito de una problemática mucho más amplia que no depende esencialmente de los
sujetos de las instituciones escolares (sean éstos alumnos o profesores) y mostraremos
que la percepción social de la problemática en torno a la enseñanza y el aprendizaje de
las matemáticas está evolucionando y agudizándose muy rápidamente. En segundo
lugar queremos subrayar la necesidad ineludible de plantear y abordar dicha
problemática en el seno de un proyecto de investigación que pueda tomar en
consideración el problema de la Educación Matemática mediante un enfoque unitario.
Por último, y en coherencia con nuestro punto de vista, pondremos de manifiesto la
responsabilidad científica ineludible de la comunidad matemática nuclear, esto es, la
comunidad de los investigadores en matemáticas, en lo que hace referencia al problema
de la Educación Matemática.
1. Interpretación social del estado actual de la enseñanza de las matemáticas No es exagerado afirmar que, en estos últimos años, ha ido creciendo la convicción
social de que “algo va mal” en la enseñanza escolar de las ciencias y, en particular, en la
enseñanza de las matemáticas. Esta convicción se ha manifestado de múltiples formas y
se ha apoyado en un conjunto de datos provenientes de informaciones más o menos
contrastadas. En relación al problema docente que abordamos en esta memoria, se habla
de una deficiente formación matemática de los alumnos que comienzan la enseñanza
universitaria y se esgrime, como prueba, que en las carreras científicas y técnicas el
fracaso en el estudio de las matemáticas ha aumentado fuertemente en los últimos diez
4
años. Además, este fracaso ha ido acompañado de la disminución drástica de los
estudiantes que optan por carreras con fuerte contenido matemático (y, muy
especialmente, por la licenciatura de Matemáticas). Los pocos estudiantes que optan por
dichos estudios tardan en licenciarse (por término medio) entre dos y tres años más de
lo previsto por los planes de estudio y muchos estudiantes abandonan antes de
acabarlos.
Se está abriendo camino la convicción –respaldada, como veremos, por múltiples
declaraciones de prestigiosos matemáticos– de que tanto en la enseñanza secundaria
como en la mayoría de estudios universitarios se están bajando, de manera más o menos
consciente, los niveles de exigencia matemática. Este hecho junto con la extensión de la
enseñanza secundaria obligatoria hasta los 16 años provoca una diversidad enorme en la
extensión y la profundidad de los conocimientos matemáticos de los alumnos que
empiezan sus estudios universitarios.
Para paliar este problema, algunas universidades españolas proponen un “curso cero” o
“curso puente” entre la enseñanza secundaria y la enseñanza universitaria. Uno de los
pioneros en la organización de dichos cursos, el profesor Miguel de Guzmán, declaraba
en el año 2001 en “El País”, sobre la necesidad de la “creación y generalización de un
curso cero en las universidades españolas”:
Se te cae el alma a los pies cuando comparas cómo llegan ahora a cómo llegaban los
estudiantes hace 10 años. Parece otro país. Antes, muchas cosas se daban por sabidas;
ahora, te das cuenta de que las más elementales no las saben y los primeros meses no se
enteran de nada1.
De hecho, entre el propio profesorado de matemáticas existe una sensación de fracaso y
desconcierto bastante generalizada que se inició, hace ya algunos años, en el
profesorado de Secundaria y ha alcanzado ya plenamente a los profesores universitarios,
como muestran las conclusiones de las sucesivas reuniones de Decanos y Directores de
Matemáticas que se han celebrado estos últimos años. En estas reuniones, así como en
múltiples artículos que han ido apareciendo paralelamente en los medios de
1 En “Los científicos proponen un acceso a la universidad por áreas de conocimiento” (El País, 24 de septiembre de 2001).
5
comunicación, los máximos responsables de la enseñanza universitaria de las
matemáticas muestran una gran preocupación por el estado actual y, sobre todo, por las
previsiones del futuro de dicha enseñanza. Por primera vez, la comunidad matemática
universitaria, como tal comunidad, relaciona directamente la problemática de la
enseñanza universitaria de las matemáticas con la formación del profesorado de
Secundaria y con la coordinación entre los planes de estudio de Secundaria y de la
Universidad.
Resumiremos a continuación, algunas de las conclusiones de dichas reuniones a fin de
mostrar cómo, en el ámbito de la enseñanza universitaria, se está tomando conciencia de
la situación en la que se encuentra la enseñanza de las matemáticas.
La articulación de los estudios universitarios de Matemáticas (tanto en nuestra licenciatura
como en otras titulaciones) con la enseñanza secundaria es mala. Los nuevos planes de
estudios [de las licenciaturas universitarias] y la reforma de los estudios de Bachillerato
se han llevado a cabo sin la necesaria coordinación.
El nivel de conocimientos de los alumnos que acceden a las Facultades no es el que se
supone en los planes de estudios de las Universidades.
[Es necesario] adaptar los planes de estudios de la Licenciatura de Matemáticas a los
conocimientos de los alumnos2.
[La comunidad matemática debe intervenir] en la formación del profesorado de enseñanza
secundaria, ya que se trata de un tema fundamental y de incidencia directa sobre el bagaje
del alumnado de nuevo ingreso3.
Sensibilización por la necesidad de estímulo y reconocimiento profesional de la calidad de
la docencia de las matemáticas.
Promover la investigación I+D en Matemáticas. Fomentar la configuración de grupos de
investigación de los que formen parte tanto especialistas en investigaciones básicas, como
en investigaciones aplicadas, como en la innovación.
[Se constata una] preocupación máxima e interés por intervenir directamente en el proceso
de proporcionar una formación adecuada y de calidad al profesorado de Matemáticas de
Educación Secundaria4.
2 Santiago de Compostela, 18 y 19 de Febrero de 2000. 3 Barcelona, 28 y 29 de noviembre de 2000. 4 Valladolid , 18 y 19 de septiembre de 2001.
6
Asimismo en el documento La situación de la enseñanza de las Matemáticas: Un
documento inicial publicado por la Comisión de Educación de la Real Sociedad
Matemática Española5 se denuncia “el predominio casi asfixiante del contenido
psicopedagógico en la formación de profesores de primaria” (p. 5); se propone “el
establecimiento de una coordinación formal y de doble vía, entre los contenidos
matemáticos en la enseñanza secundaria y la Universidad” (p. 10); se reclama
explícitamente que “La RSME también debe velar, no sólo por una adecuada formación
continua del profesorado en ejercicio, sino también por una formación inicial del
profesorado de Matemáticas de la educación secundaria” (p. 11). Y, en este punto, el
documento recomienda “la inclusión, seria y rigurosa, de contenidos de carácter
didáctico en las materias de las Licenciaturas de Matemáticas para aquellos alumnos
que deseen formarse como futuros profesores” (p. 11).
La preocupación social por la deficiente formación científica de los alumnos que llegan
a la Universidad ha provocado que, a través de las Sociedades Españolas de
Matemáticas, Física y Química, se crease una ponencia en el Senado español para
estudiar sus causas. Algunas de las conclusiones de esta ponencia son las siguientes:
Se precisa mejorar la formación de los profesores. Los métodos actuales no son los
mejores. Ha habido una profunda brecha entre las universidades y la secundaria, brecha
que las sociedades científicas intentamos cerrar. Se precisa una continua realimentación
para que este profesorado esté al día.6
El mundo educativo permanece muchas veces al margen entre lo que se enseña y lo que se
aprende. Se deben modificar los contenidos del Bachillerato, remitiendo parte de los
mismos al nivel universitario (álgebra lineal; límites, derivación e integración; geometría
analítica tridimensional; inferencia estadística); algo que, de todas formas, ya se está
asumiendo en la Universidad de manera no reglada.7
En líneas generales, el profesorado en activo en estos momentos tiene una vida profesional
larga que le ha permitido conocer alguna de las reformas realizadas y, posiblemente,
5 Integrada por los profesores R. Crespo, S. González, S. Guerrero, M. de León, T. Recio, M. Socas y E. Zuazua. 6 Comparecencia del Vicepresidente de la Real Sociedad Matemática Española, D. Manuel de León Rodríguez, ante la Ponencia sobre la situación de las enseñanzas científicas en la educación secundaria, constituida en el seno de la Comisión de Educación, Cultura y Deporte, para que informe en relación con la materia objeto de estudio de la Ponencia (10 de octubre de 2002). 7 Comparecencia del Director del Departamento de Matemáticas Estadística y Computación de la Universidad de Cantabria, D. Tomás Recio Muñiz, ante la citada Ponencia (21 de febrero de 2002).
7
llegará a conocer nuevas reformas. Desde esta perspectiva hay que contemplar la
posibilidad de una actualización continua que permita a los profesores ir incorporando a
su bagaje de conocimientos profesionales todos aquellos generados en la investigación
sobre los procesos de enseñanza – aprendizaje de las matemáticas8.
La Universidad, como empresa pública, no puede ser ajena a la problemática del fracaso
escolar en matemáticas, que está teniendo un enorme coste social. No debemos perder
de vista algo que es muy evidente y obvio, la fuerte dependencia que tiene la enseñanza
universitaria de la enseñanza secundaria. Desde el mundo de las matemáticas, se deben
potenciar, aún más de lo que se hace, líneas de investigación que ayuden a diagnosticar
y aportar soluciones en la mejora de las matemáticas en todos los niveles educativos.
Creemos que esta es una forma importante de hacer visibles las matemáticas en la
sociedad, además de revalorizar la propia función docente. Muchas voces autorizadas
empiezan a exigir que la Universidad, como institución, asuma su parte de
responsabilidad en aras a modificar este estado de cosas.
[...].Es muy necesario, por lo que a la sociedad le va en ello, que se formen en nuestras
universidades buenos equipos de investigación en Educación Matemática que ayuden a
resolver los muchos problemas que se presentan en el camino para una enseñanza
matemática más eficaz9.
Al mismo tiempo, se denuncia la poca implicación que ha tenido tradicionalmente la
comunidad matemática universitaria y, en general, el conjunto de la comunidad
universitaria, en la formación de los profesores de matemáticas:
[...] la formación de los profesores de matemáticas de Secundaria en España es deficiente
o nula en lo que atañe a “profesor” y pretenciosa en lo que atañe a “de matemáticas”. Y
que lo contrario, se debe predicar de la formación de profesores de primaria.
Desgraciadamente, la proximidad en el tiempo de la reforma de los planes de estudio
universitarios muestra que este problema no es coyuntural ni transitorio. [...] no hay
ningún síntoma de que la Universidad (española), que tiene asignada la tarea de formar los
profesores de matemáticas de todos los niveles, tenga (como colectivo) la más mínima
8 Comparecencia del Catedrático de Didáctica de las Matemáticas de la Universidad de Sevilla, experto en educación matemática, D. Salvador Llinares Ciscar, ante la citada Ponencia (14 de marzo de 2002). 9 De Guzmán, Tendencias innovadoras en Educación Matemática, en D. Gil y M. de Guzmán (Edit.), Enseñanza de las Ciencias y de las Matemáticas. Tendencias e innovaciones (Ibercima, Madrid, 1993).
8
sensibilidad por los problemas de la enseñanza (ya sea de las matemáticas o del dibujo
lineal, pongamos por caso). Otras instituciones –privadas, por ejemplo- vendrán a suplir
esta lamentable dejación de funciones10.
2. Un enfoque unitario para abordar el problema de la Educación
Matemática
Muchas de las voces citadas, como reflejo de una convicción que va ganando terreno
día a día, consideran que el único camino para responder a los actuales problemas de la
enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en todos los niveles educativos empieza
por constituir en nuestras universidades buenos equipos de investigación en Educación
Matemática, promover la investigación I+D en dicha especialidad e incorporar
paulatinamente al bagaje de los profesores de matemáticas los conocimientos
profesionales generados en dicha investigación. Se trata de un proyecto a medio y largo
plazo que no proporciona soluciones inmediatas a los problemas actuales.
Lo que todavía se echa en falta es la propuesta de un enfoque unitario para abordar la
problemática de la Educación Matemática en su conjunto. En este sentido, si
denominamos “problema de la Educación Matemática” al problema global que
constituye el objeto de estudio de la Didáctica de las Matemáticas, podemos describirlo
inicialmente como sigue:
Si la actividad matemática es una actividad humana, como el lenguaje, ¿por qué la
inmensa mayoría de los estudiantes son ajenos a dicha actividad? ¿Por qué es tan difícil
que los estudiantes entren en la disciplina matemática11 a lo largo de toda la Enseñanza
Obligatoria (y más allá)? ¿Por qué los estudiantes no piensan por sí mismos los problemas
matemáticos? ¿Por qué no plantean preguntas que vayan más allá de lo que se va a pedir
en los exámenes? ¿Por qué no utilizan las matemáticas para resolver problemas que ellos
mismos plantean? ¿Cómo puede explicarse, en definitiva, el fenómeno relativamente
universal de la alienación matemática?12
10 Tomás Recio. Participación en la mesa redonda La Educación Matemática, El Escorial, agosto de 2000. 11 Acceder a una obra significa “entrar” en ella. En la escuela esta entrada se realiza a través del estudio. “Estudiar una obra” supone reconocer la disciplina propia de la obra y someterse a ella. [...] la escuela impone cierto tipo de exigencias totalmente externas a las matemáticas, recubriéndolas de elementos que les son ajenos y que pueden obstaculizar el descubrimiento de la verdadera disciplina matemática. (Chevallard, Bosch y Gascón, 1997, p. 118). 12 Gascón (2002b, p. 677).
9
Postulamos que muchas otras cuestiones, aparentemente desligadas entre sí,
constituyen aspectos parciales de ese mismo problema. Entre dichas cuestiones se
pueden citar las siguientes:
(a) ¿Cuáles son las causas y las consecuencias previsibles de la progresiva disminución de
las matemáticas de los currículos de Secundaria, de los planes de estudio de las diferentes
especialidades de los maestros en las universidades españolas, y de determinadas carreras
científicas y tecnológicas? ¿Qué relación tiene este fenómeno con la invisibilidad cultural
de las matemáticas?
(b) ¿Cuál es la naturaleza y el origen de las crecientes dificultades para pasar de estudiar
matemáticas en Secundaria a estudiar matemáticas en la Universidad?
(c) ¿Cómo podemos saber si una forma de instrucción es más efectiva que otra? ¿Existen
técnicas didácticas, esto es, maneras sistemáticas y compartidas de diseñar y gestionar el
proceso de estudio de las matemáticas, cuya eficacia esté probada y justificada? ¿Cómo
puede “medirse” la calidad de la enseñanza de las matemáticas?
(d) ¿Por qué los profesores de matemáticas, de todos los niveles educativos, se ven
abocados a llevar a cabo una atomización de la matemática enseñada y a proponer en los
exámenes ejercicios cada vez más rutinarios?13
A pesar de la complejidad del problema de la Educación Matemática, postulamos que
para resolverlo se requerirá un enfoque unitario, esto es, unos principios básicos que
permitan reformular y abordar todos los aspectos del problema. El enfoque unitario en
el que nos situaremos en esta memoria es el que proporciona el Programa
Epistemológico de Investigación en didáctica de las matemáticas y, más
específicamente, la Teoría Antropológica de lo Didáctico (Chevallard, 1992, 1997,
1999, 2002a y 2002b).
En coherencia con este enfoque, asumimos los presupuestos básicos del Programa
Epistemológico y, en particular, el postulado de la despersonalización del problema de
la Educación Matemática. En consecuencia, consideramos que la alienación matemática
de los alumnos (y, en general, de los ciudadanos) es el resultado de un complejo
conjunto de fenómenos que se reflejan, en primer lugar, en las características de las
organizaciones matemáticas y didácticas escolares, pero que transcienden a las
instituciones docentes. Dichas características, en la medida en que dificultan que los
estudiantes “entren” en la disciplina matemática y en la medida en que impiden 13 Ibid.(p.677-678)
10
desarrollar funcionalmente todas las dimensiones de la actividad matemática, pueden
ser consideradas como las “causas próximas” de los fenómenos relativos a la enseñanza
y el aprendizaje escolar de las matemáticas.14
El trabajo que presentamos en esta memoria pretende contribuir a desarrollar el citado
enfoque unitario enlazando dos proyectos de investigación que se están desarrollando
dentro del ámbito de la Teoría Antropológica de lo Didáctico: por una parte puede
considerarse como la culminación del proyecto “Discontinuidades matemáticas y
didácticas entre la Secundaria y la Universidad” (BS02000-0049) y, por otra, como el
punto de arranque del proyecto recientemente inaugurado: “Diseño de organizaciones
didácticas para articular el curriculum de matemáticas entre la ESO, el Bachillerato y
el primer ciclo universitario: los ‘Talleres de Prácticas Matemáticas`” (BSO2003-
0400).
Como culminación del primero de los proyectos citados, esta memoria estudia la relación entre los
fenómenos que surgen en el proceso de algebrización de las organizaciones matemáticas (Bolea, 2002) y
las disfunciones que aparecen en la enseñanza de las matemáticas en el primer ciclo universitario. En
particular, este trabajo permite interpretar el grado de algebrización de una organización matemática
local como uno de los componentes esenciales del grado de completitud de la misma. Como punto de
partida del segundo de los proyectos citados, empezamos a analizar algunas áreas del currículum de
matemáticas (aquí nos restringiremos a ciertos temas de Cálculo y Álgebra Lineal que se estudian a
caballo entre el Bachillerato y el primer curso de enseñanza universitaria) para poner de manifiesto cómo
las limitaciones e insuficiencias de los contenidos de cada etapa educativa (en nuestro caso la enseñanza
secundaria) deberían motivar y dan sentido a los contenidos de la siguiente. Mostraremos, sin embargo,
que en el paso del Bachillerato a la enseñanza universitaria (y, de nuevo, consideramos que el análisis de
este eslabón de la articulación del currículum presenta un carácter paradigmático) se pone de manifiesto
la ausencia de una actividad matemática que retome las organizaciones matemáticas que se estudian en
Secundaria, las desarrolle adecuadamente, las articule entre sí y las integre en organizaciones más
amplias y completas.
3. La responsabilidad de la comunidad matemática
La necesidad de que la comunidad matemática nuclear tome parte activa y considere
como propio el estudio del problema de la Educación Matemática ha sido reclamada
14 (Gascón 2002b, p.693)
11
desde diferentes ámbitos. Así, por ejemplo, Miguel de Guzmán propone explícitamente
que los matemáticos participen en los siguientes aspectos de dicho problema:
(a) En la elaboración de nuevos diseños de aprendizaje matemático a nivel primario,
secundario y terciario, subrayando que en el nivel universitario es tanto o más
urgente que en los niveles primarios y secundarios, por cuanto que ha sido el más
descuidado tradicionalmente.
(b) Dado que la mayor inercia en la utilización de las nuevas herramientas informáticas
se presenta actualmente a nivel universitario, es importante que los matemáticos
intervengan muy activamente en el análisis de los beneficios y los inconvenientes
que se pueden derivar del uso masivo de dichas herramientas15.
(c) Uno de los aspectos o, si se prefiere, un síntoma de algunos de los aspectos del
problema de la Educación Matemática, lo constituye la invisibilidad social de la
actividad matemática. Los investigadores en matemáticas deben colaborar
activamente en la necesaria tarea de hacer la matemática más claramente visible
en la sociedad actual.
Guy Brousseau,16 en una conferencia que impartió en Washington en 1994 ante la
comunidad matemática, planteó claramente el punto de vista del enfoque
epistemológico en lo que respecta a las relaciones entre la comunidad matemática
nuclear, esto es, la comunidad de investigadores en matemáticas, y el problema de la
Educación Matemática. Su análisis contiene un conjunto de constataciones junto a
cuatro tesis que describiremos brevemente a continuación:
(1) El interés de los matemáticos por la enseñanza de las matemáticas no ha ido más
allá, muchas veces, que lo que se puede considerar como pequeñas “obras de
caridad”.
(2) Hoy día se constata una necesidad social y profesional de un “control” científico de
la enseñanza de las matemáticas.
(3) Las disciplinas clásicas, tales como la psicología, la lingüística, la sociología, etc., se
han mostrado claramente insuficientes para tomar bajo su responsabilidad el
problema de la Educación Matemática. 15 Guzmán, M. (1996): El papel del matemático en la educación matemática Actas del 8º Congreso Internacional de Educación Matemática, Sevilla , pp. 47-63. 16 Problèmes et résultats de Didactique des Mathématiques, ICMI Study 94.
12
(4) En la enseñanza de las matemáticas existen actividades irreductiblemente
matemáticas tales como la construcción y la elección de los problemas matemáticos
que se utilizarán en la enseñanza o la reorganización de una exposición para facilitar
la comunicación, la comprensión o el uso de una teoría matemática. Esta es la
primera tesis de Guy Brousseau.
(5) Es indispensable disponer de un enfoque científico que permita analizar las
actividades propiamente matemáticas involucradas en la enseñanza de las
matemáticas. Dicho enfoque debe ser, además, accesible a los matemáticos en un
tiempo razonable (sin necesidad de que éstos se transformen sucesivamente en
lingüistas, psicólogos, etc.) y debe resolver el problema del control de la difusión de
los conocimientos matemáticos. La segunda tesis de Guy Brousseau afirma que esta
teorización científica es posible.
(6) Brousseau define la Didáctica de las Matemáticas como la ciencia que estudia las
condiciones específicas de difusión (impuesta) de los saberes matemáticos útiles a
los miembros y a las instituciones de la humanidad. En otros términos, la Didáctica
de las Matemáticas estudia las situaciones en las que se manifiesta la transmisión de
conocimientos y de saberes matemáticos, así como sus efectos sobre los
protagonistas y sus producciones.
(7) A propósito de la enseñanza, la didáctica estudia objetos, funcionamientos y
fenómenos muy parecidos a los que constituyen una parte importante de la actividad
de los matemáticos. En particular la didáctica de las matemáticas intenta reproducir
las condiciones que hacen posible la producción de conjeturas, de teoremas y de
pruebas. Surge así la tercera tesis de Guy Brousseau: el estudio científico de la parte
irreductiblemente matemática de la enseñanza es o será cosa de los matemáticos.
(8) Basándose en un artículo de William P. Thurston, Brousseau postula que para
ampliar y mejorar su tarea, los matemáticos deberán interesarse por aquella parte de
su actividad relativa a cómo las matemáticas se comprenden, se comunican y se
prueban. Partiendo de esta nueva concepción de las matemáticas (que incluye como
actividades genuinamente matemáticas las relativas a la comprensión y a la
comunicación), Brousseau formula su cuarta y última tesis: en esta nueva
concepción de las matemáticas, la didáctica de las matemáticas será entonces
plenamente parte de las “matemáticas”.
13
Compartiendo completamente los análisis de Guy Brousseau, consideramos que el
problema de la Educación Matemática ha evolucionando hasta cambiar de naturaleza:
(a) Empezó siendo considerado como un problema pedagógico.
(b) Con la emergencia de la Didáctica de las Matemáticas se convirtió inicialmente en
un problema cognitivo-matemático.
(c) Y ha acabado siendo un problema con un componente irreductiblemente
matemático. Lo matemático se ha hecho denso en lo didáctico.
En estos momentos es evidente la necesidad de fundamentar matemáticamente el
tratamiento de los problemas relativos a la enseñanza y el aprendizaje de las
matemáticas, en lugar de juzgarlos únicamente mediante opiniones y argumentos
extramatemáticos basados en el “sentido común”. Así, por ejemplo, sería
extraordinariamente valioso para el desarrollo del conocimiento matemático disponer de
criterios matemáticamente fundados: para analizar las organizaciones matemáticas que
viven en las diferentes instituciones, relacionando el proceso de construcción de las
mismas (no necesariamente histórico) con la estructura en la que han cristalizado; para
reconstruirlas a partir de diferentes cuestiones problemáticas y en función del tipo de
práctica social que tenga que llevarse a cabo con ellas; para reformularlas de manera
que faciliten el acceso a nuevas conjeturas y a nuevos problemas matemáticos; para
integrarlas en organizaciones matemáticas más amplias y complejas; y para estudiar
los cambios que se producen en ellas cuando son transportadas desde una a otra
institución, ya sea para ser estudiadas, para posibilitar su difusión o para ser utilizadas.
Esta “matematización” de la problemática didáctica responde, por tanto, a necesidades
intramatemáticas y constituye una condición necesaria para que la comunidad
matemática nuclear (de los investigadores en matemáticas) empiece a tomar en
consideración los problemas “didácticos” como problemas científicos no triviales. Sólo
asumiendo esta responsabilidad, la comunidad matemática podrá cumplir plenamente la
función científica y social que se le ha encomendado17.
17 Gascón (2002).
14
Describiremos a continuación, muy brevemente, cada uno de los capítulos que forman
parte de la Memoria:
En el capítulo I se formula el problema de investigación en el marco del Programa
Epistemológico y más concretamente de la Teoría Antropológica de lo Didáctico
(TAD). Se formula una conjetura general, en forma de hipótesis con tres partes que se
refieren, respectivamente, a la Enseñanza Secundaria, a la Enseñanza Universitaria y al
tránsito de Secundaria a la Universidad. Para contrastar ciertos aspectos de esta
conjetura general formulamos 11 conjeturas especificas. Las cinco primeras pretenden
poner de manifiesto que las Organizaciones Matemáticas (en adelante, OM) que se
estudian en Secundaria son rígidas, aisladas y puntuales. Las seis últimas conjeturas
específicas se refieren a algunas de las contradicciones y cambios bruscos que se
producen en el contrato didáctico institucional al pasar de la Enseñanza Secundaria a la
Enseñanza Universitaria.
En el capítulo II aparece la primera fase del estudio empírico. Se elabora la primera
versión de la prueba inicial en forma de cuestionario con las once conjeturas
anteriores, se analizan las respuestas de los estudiantes y se proponen unas primeras
conclusiones provisionales.
El capítulo III es el principal trabajo empírico de la investigación. Es una segunda
versión de la prueba inicial y se refiere únicamente a las cinco primeras conjeturas. En
este segundo estudio se amplía la base empírica tomando en consideración, además de
las respuestas de los estudiantes, los datos que proporciona el análisis de los libros de
texto de Secundaria y que constituyen otro indicador de las OM que se estudian en S.
El capítulo IV es la respuesta de la memoria al problema didáctico planteado: la
creación de una Organización Matemática Local Relativamente Completa (OMLRC). El
proceso de estudio de las OMLRC se organiza a partir de seis momentos o dimensiones
y las características del producto resultante vienen dadas en función de siete
indicadores.
En el capítulo V figuran las conclusiones y los problemas abiertos.
CAPITULO I
El paso de Secundaria a la Universidad: formulación didáctica de un problema docente
El paso de Secundaria a la Universidad formulación didáctica de un problema docente
17
1.1. Un problema docente como punto de partida
Las cuestiones que constituyen el punto de partida del problema didáctico que queremos
abordar en esta memoria podrían describirse como sigue en la terminología de la
problemática docente:18
¿Cómo suavizar o disminuir las enormes dificultades que encuentran los alumnos para
pasar de estudiar matemáticas en Secundaria a estudiar matemáticas en la Universidad?
Y, complementariamente, ¿cómo podrían superarse las crecientes dificultades con las que
tropiezan los profesores de matemáticas del primer ciclo universitario para llevar a cabo
su trabajo?
Estas dificultades se materializan, entre otras cosas, en un fracaso escolar que, en el
primer curso de algunos estudios universitarios, supera el 80% del total de los créditos
de matemáticas cursados por los estudiantes.
En la introducción hemos visto que existen muchos indicios que ponen de manifiesto
que se trata efectivamente de un problema docente, esto es, de una situación que es
vivida como un “problema” en las instituciones escolares actuales. Uno de estos
indicios es especialmente elocuente porque ha introducido un nuevo dispositivo
didáctico nuevo: nos referimos al hecho de que en muchas de las universidades que
imparten carreras científico-técnicas se ha introducido un curso propedeútico de
Matemáticas como complemento de la formación matemática de los estudiantes que
acaban el Bachillerato.
El problema del paso de Secundaria a la Universidad19 está planteado, como todos los
problemas docentes, utilizando las nociones existentes en las instituciones escolares y
asumiendo de manera más o menos explícita las “ideas dominantes” en las mismas. Así,
es habitual que se hagan diagnósticos de las causas del problema en términos de:
“disminución del nivel” de los conocimientos matemáticos de los alumnos que acceden
por primera vez a la Universidad; poca “capacidad de abstracción”; falta de “hábitos
18 Sobre la diferencia entre la problemática docente y la problemática didáctica, ver Gascón (1999b). 19 Las primeras ideas relacionadas con esta cuestión fueron presentadas por Fonseca y Gascón (2000a) en el marco de las XIV JORNADAS DEL SI-IDM, celebradas en Cangas do Morrazo (Pontevedra) en el año 2000. En Fonseca y Gascón (2002) se presentaron los primeros resultados experimentales.
Capítulo I
18
adecuados y método de trabajo”; incapacidad de los alumnos para “entender una
demostración”, junto al poco “interés” y la falta de “motivación”. Además, y en
concordancia con la cultura escolar, se considera que el profesor es el principal
responsable de dar respuesta a los problemas docentes y, en particular, al problema del
paso de Secundaria a la Universidad. De hecho, se tiende a considerar que los
problemas docentes, esto es, los problemas de la enseñanza escolar de las matemáticas,
son, en primer lugar, problemas del profesor de matemáticas. A medida que avanza el
nivel educativo, el peso de la responsabilidad se va decantando hacia el alumno. En
cualquier caso, la cultura escolar tiende a considerar los problemas relativos a la
enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas como problemas de los sujetos de la
institución escolar, más que como problemas del Sistema de Enseñanza de las
Matemáticas que, como tal, es bastante transparente.
Otro aspecto que suele quedar implícito en la formulación escolar de los problemas de
enseñanza es la naturaleza de las propias matemáticas que entran en juego. Se suele
aceptar (sin pararse a discutirlo) que existe una forma universal e incuestionable de
describir “las matemáticas” y que lo único problemático es la manera de organizar su
enseñanza y los mecanismos de aprendizaje.
La clarificación de éstos y otras cuestiones implícitas que subyacen en la formulación
escolar de los problemas docentes requerirá un análisis crítico y, probablemente, una
profunda reformulación de los mismos.
1.1.1. Problemas docentes y problemas de investigación didáctica
Por lo dicho hasta aquí, es claro que los problemas docentes no pueden transformarse
automáticamente en problemas de investigación abordables por parte de la didáctica de
las matemáticas. No podemos suponer que el problema docente del paso de Secundaria
a la Universidad pueda ser considerado, tal como está formulado en las instituciones
escolares, como un problema de investigación para la didáctica de las matemáticas. Al
igual que pasa con muchas otras disciplinas experimentales, los problemas planteables
con las nociones culturales pueden ser –y muchas veces son– el punto de partida de
problemas científicos pero, en todo caso, es la propia disciplina la que debe
El paso de Secundaria a la Universidad formulación didáctica de un problema docente
19
reformularlos con precisión para convertirlos en problemas de investigación. Digamos,
para resumir, que la didáctica de las matemáticas es una disciplina cientifico-
experimental y, como tal, construye sus propios problemas. La naturaleza de dichos
problemas dependerá de las nociones de que disponga la didáctica de las matemáticas
en cada momento histórico.
Esta afirmación hace referencia a la necesidad que tiene toda disciplina de utilizar sus
nociones teóricas a fin de interpretar los hechos, describir los fenómenos, proponer
leyes y formular sus propios problemas de investigación. Así, por ejemplo, antes de
disponer de las nociones de “contrato didáctico”, “praxeología”, “esquema” o
“procept”, no era posible ni siquiera observar fenómenos didácticos que, ahora,
podemos prever, describir y hasta interpretar (aunque sea parcialmente).
Gracias a éstas y a otras nociones, las diversas teorías didácticas pueden construir
problemas relativos, por ejemplo: a los cambios que sufre el contrato didáctico en el
paso de la Enseñanza Secundaria a la Universitaria; a la dinámica escolar de las
praxeologías matemáticas y didácticas; a la estructura dual, “proceptual”, de las
nociones básicas del cálculo o al necesario desarrollo de los esquemas de los estudiantes
para la comprensión de ciertos conceptos matemáticos.
Pero las nociones no viven aisladas en las disciplinas científicas. De hecho, no tiene
mucho sentido hablar del “contrato didáctico”, de “praxeología”, de “procept” o de
“esquema”, sin situarlo en el marco de una teoría, sea ésta la teoría de las situaciones
didácticas, la teoría APOS u otra cualquiera. Lo anterior apunta la idea de que la
construcción científica de problemas no está asociada a nociones teóricas aisladas sino
que depende de organizaciones teóricas más amplias y complejas.
Aparece aquí una segunda idea, más fuerte que la primera, y que hace referencia a la
relación entre las disciplinas científicas y los problemas que éstas construyen. El
mecanismo mediante el cual una disciplina (en nuestro caso, la didáctica de las
matemáticas) construye sus campos de problemas de investigación, constituye uno de
los principales rasgos definitorios de la misma y otorga a los problemas construidos su
naturaleza específica.
Capítulo I
20
En la actualidad conviven diferentes enfoques de la didáctica e incluso diferentes
perspectivas teóricas dentro de cada enfoque, lo que da origen a una gran cantidad de
problemas didácticos de naturaleza muy diversa. Además, en la mayoría de los casos,
no se explicitan las asunciones teóricas básicas ni el “mecanismo” mediante el cual se
construyen los problemas didácticos en cuestión a partir del modelo cognitivo o
epistemológico que constituye el “núcleo firme” sobre el que descansa cada una de las
perspectivas teóricas (Gascón, 1999b). Esta “ocultación” contribuye a desdibujar la
naturaleza de los problemas didácticos y es la causa de no pocos malentendidos que han
provocado múltiples “pseudoproblemas”.
Un ejemplo muy conocido de pseudoproblema didáctico, al menos en los términos que
solía plantearse, es la discusión entre los partidarios de la geometría sintética y los de la
geometría analítica como opciones contrapuestas para introducir la Geometría en la
Enseñanza Secundaria (Piaget, Choquet, Dieudonné, Thom y otros, 1980). Se trata de
un importante problema docente muy discutido a lo largo de los años 60 y 70 que, por
razones que no podemos abordar aquí, no fue reformulado adecuadamente como un
verdadero problema didáctico (Gascón, 2002).
Aunque lo anterior parece sugerir que las diferentes perspectivas teóricas en didáctica
de las matemáticas construyen problemas de investigación que no siempre son
comparables directamente entre sí, postulamos que, a medio y largo plazo, será posible
comparar la relevancia, el interés y la fecundidad de dos reformulaciones didácticas
diferentes de un mismo problema docente. Al menos a través de la evolución que
inevitablemente sufrirán las reformulaciones de dicho problema en cada una de las
teorías didácticas y del destino que acaben teniendo cada una de ellas. Puesto que, al
igual que sucede en las restantes disciplinas experimentales, los tipos de problemas que
construye la didáctica de las matemáticas, lejos de ser eternos e inmutables, evolucionan
conjuntamente con la evolución de la didáctica de las matemáticas como disciplina
científica.
Así, por ejemplo, en el caso del problema docente del paso de la Secundaria a la
Universidad, y para comparar la progresividad (o fecundidad) de dos reformulaciones
diferentes, se deberían responder, entre otras, a las siguientes cuestiones: ¿Qué nuevos
problemas, más profundos, han generado cada una de las reformulaciones didácticas?
El paso de Secundaria a la Universidad formulación didáctica de un problema docente
21
¿Qué fenómenos nuevos se han detectado en cada caso? ¿Qué predicciones o
anticipaciones de hechos empíricos ha generado cada una de ellas? ¿Qué desarrollo del
marco teórico ha sido preciso para responder a los nuevos problemas planteados?
Por todo lo anterior, no debería sorprendernos que, a medida que “evoluciona” la
didáctica de las matemáticas, los diferentes tipos de problemas que van apareciendo
puedan separarse, aparentemente, de la problemática docente inicial. De hecho, esto es
lo que ha sucedido y sigue sucediendo en todas las disciplinas científicas desde la física,
la química, la biología, la psicología y la economía, hasta las propias matemáticas.
Tenemos, en resumen, que el aparente alejamiento que pueden sufrir algunos problemas
didácticos respecto de la problemática docente inicial no debería interpretarse como un
olvido de ésta, sino como una reformulación que puede ser muy profunda e inesperada y
que está propiciada por la elaboración de nuevos instrumentos teóricos y técnicos
imprescindibles para responder a los problemas docentes.
1.1.2. Amplitud del ámbito en el que se sitúa un problema didáctico
Todo problema didáctico debe ser referido a un ámbito (matemático y didáctico)
respecto al cual se hacen todas las interpretaciones. Este ámbito de referencia depende
del problema concreto pero, sobre todo, depende de la teoría didáctica que permite
formular el problema y que proporciona las herramientas para abordarlo. De hecho, toda
disciplina experimental toma, de manera más o menos explícita, una unidad mínima de
análisis que es, a la vez, el constructo teórico básico y el ámbito elemental en el que se
analizarán todos los datos empíricos. Como constructo teórico fundamental, la unidad
mínima de análisis (su estructura y su dinámica interna) deben poder describirse
claramente utilizando los términos “primitivos” de la teoría; y como ámbito elemental
de la contingencia debe remitir a un conjunto de indicadores empíricos. La unidad
mínima de análisis elegida ocupará, por lo tanto, un lugar central y privilegiado en la
relación entre la teoría y los datos empíricos y constituirá así uno de los rasgos
esenciales para caracterizar a la disciplina en cuestión.
Capítulo I
22
Cuando se elige una unidad de análisis particular, se están tomando decisiones sobre el
tipo de datos que se van a tener en cuenta (y, por tanto, sobre los datos que se van a
ignorar); sobre las formas posibles de interpretar dichos datos; sobre el tipo de
relaciones que se van a priorizar en el análisis y que serán, en última instancia,
relaciones entre elementos constitutivos de la unidad elegida; y, en definitiva, sobre el
tipo de problemas que la disciplina va a considerar.
De acuerdo con lo anterior, cada teoría didáctica realiza, de manera más o menos
explícita, la elección de su unidad mínima de análisis y en función de ella sitúa los
problemas que propone en un ámbito que, como mínimo, engloba una de dichas
unidades. Claro que, muchas veces, esta lógica se invierte y es la constatación del tipo
de problemas que una teoría didáctica plantea y la amplitud del ámbito en que los sitúa
lo que determina, de hecho, la unidad mínima de análisis característica de la teoría en
cuestión.
En el caso del problema docente que estamos considerando, esto es, del problema del
paso de estudiar matemáticas en Secundaria a estudiar matemáticas en la Universidad,
¿en qué nivel puede (o debe) situarse? ¿Cúal es la amplitud del ámbito en el que debe
formularse dicho problema? Antes de intentar responder a esta cuestión con un mínimo
de rigor será preciso ponerse de acuerdo respecto a cuáles son los diferentes niveles que
consideramos. Utilizaremos para ello la jerarquía de niveles de codeterminación que
propone Yves Chevallard entre las formas de estructurar las cuestiones matemáticas a
estudiar y las maneras de organizar el estudio de las mismas en la escuela:
El principio fundador de las didácticas, al menos en el sentido brousseauniano de la
palabra, es que no sólo lo transmitido depende de la herramienta con la que se pretende
conseguir su transmisión, sino que también (recíprocamente) las organizaciones
“transmisoras”, es decir didácticas, se configuran de manera estrechamente vinculada a la
estructura dada de lo que hay que transmitir. En otros términos, las organizaciones
didácticas, las OD como diré en adelante, dependen fuertemente de las organizaciones
por enseñar - las OM, si se trata de organizaciones matemáticas (Chevallard, 2001).
Podemos esquematizar dicha jerarquía mediante una sucesión de niveles de
estructuración de las citadas organizaciones matemáticas (en adelante, OM) y
El paso de Secundaria a la Universidad formulación didáctica de un problema docente
23
organizaciones didácticas (en adelante, OD) que van desde el más genérico, la sociedad,
al más específico, una cuestión matemática concreta que se propone para ser estudiada.
Sociedad → Escuela → Pedagogía → Disciplina → Área → Sector → Tema → Cuestión
Se postula que en cada uno de estos niveles se introducen restricciones particulares que
ponen de manifiesto la determinación recíproca entre las OM y las OD: la
estructuración de las OM en cada nivel de la jerarquía condiciona las formas posibles de
organizar su estudio y, recíprocamente, la naturaleza y las funciones de los dispositivos
didácticos existentes en cada nivel determinan, en gran parte, el tipo de las OM que será
posible reconstruir (estudiar) en dicha institución escolar.
Por ejemplo, la cuestión “¿Cuáles son las simetrías de un rectángulo no cuadrado?” se
considera hoy en día, en la mayoría de los sistemas escolares en los que se estudia esta
cuestión, como perteneciendo al tema de las “Simetrías de polígonos”, que se incluye en
el sector de las “Transformaciones del plano” que se incluye dentro del área de la
Geometría, que pertenece a la disciplina Matemáticas.
Puede ser que la jerarquía observada sea más o menos compleja. Pero lo que importa
subrayar es que, si no se construye esta jerarquía, entonces la probabilidad de que se
estudie esta cuestión en la escuela y en el aula es casi nula –lo que puede llegar a ser un
problema serio de instrucción pública, como sucede por ejemplo con cuestiones como
¿puede el hachís crear dependencia fácilmente?, ¿el uso del preservativo protege bien del
SIDA y de embarazos no deseados?, etc. (Chevallard, 2001).
Esta sucesión de niveles de organización es relativa no sólo a la cuestión o grupo de
cuestiones consideradas, sino también al periodo histórico y a la institución escolar en la
que nos situemos. Así, dada una cuestión matemática particular como, por ejemplo:
“¿Cómo resolver una ecuación polinómica?”, la cadena de niveles de organización que
permite el acceso al estudio de dicha cuestión en la Enseñanza Secundaria actual es muy
diferente a la que posibilita su estudio en la Enseñanza Universitaria y ambas difieren
profundamente de las que existían en dichas instituciones a mediados del siglo XX.
Capítulo I
24
Volviendo al problema del paso de estudiar matemáticas en Secundaria a estudiar
matemáticas en la Universidad, podemos ahora responder respecto de los posibles
niveles en los que este problema puede ubicarse:
(1) En el nivel de las cuestiones matemáticas concretas, la investigación podría girar,
por ejemplo, en torno al cambio, al pasar de Secundaria a la Universidad, de lo que
significa la completitud de los números reales.
(2) En el nivel temático podría analizarse cómo cambia la estructura y la finalidad del
tema de los límites de funciones al pasar de Secundaria a la Universidad.
(3) En el nivel sectorial se puede plantear el problema de la generalización en el análisis
universitario de la integral de Riemann que se estudia en secundaria.
(4) En el nivel de las áreas tenemos, por ejemplo, el problema del paso del cálculo de
Secundaria al análisis que se estudia en la Universidad.
(5) En el nivel disciplinar, por fin, reaparece la cuestión inicial del paso de estudiar
matemáticas en Secundaria a estudiar matemáticas en la Universidad. Pero, una vez
descritos los niveles inferiores, queda claro que el nivel disciplinar estructura los
niveles inferiores y, por tanto, situar el problema en el nivel disciplinar implicará
tomar en consideración las diferentes áreas y, para cada área, los diferentes
sectores, etc.. ¿Es esto posible? ¿Significa que si planteamos el problema en el nivel
disciplinar deberíamos tomar en consideración “todos” los temas y, en cada tema,
“todas” las cuestiones matemáticas?
(6) ¿Tiene sentido plantearse un problema didáctico cualquiera y, en particular, el
problema del paso de estudiar matemáticas en Secundaria a estudiar matemáticas en
la Universidad, en los niveles superiores al nivel disciplinar? Así, por ejemplo, qué
significaría plantear un problema didáctico en el nivel pedagógico? En nuestro caso,
significaría plantearse el problema del paso de estudiar matemáticas de Secundaria a
estudiar matemáticas en la universidad al lado, entre otros, del problema del paso de
estudiar historia en secundaria a estudiar historia en la Universidad. Sería tomar en
El paso de Secundaria a la Universidad formulación didáctica de un problema docente
25
consideración, además de las restricciones del contrato didáctico, las restricciones
que provienen del contrato pedagógico. Para plantear un problema didáctico a nivel
escolar hay que tomar en cuenta, además, las restricciones del contrato escolar
(Chevallard, Bosch y Gascón, pp. 203-206,1997).
Muchos “movimientos innovadores” intentan sobre todo modificar el contrato
pedagógico o el contrato escolar, en vistas a hacer viables determinados contratos
didácticos. Pero sabemos que el disponer de un ordenador más potente o con un sistema
operativo mejor deja aún abierto el problema de la construcción de programas eficaces
para llevar a cabo determinados tipos de tareas. Sin olvidar la interdependencia entre los
tres niveles (lo escolar, lo pedagógico y lo didáctico), cabe recordar que el contrato
didáctico es la piedra de toque de toda organización escolar. (Ibid., p. 206)
Podemos resumir las dos secciones anteriores como sigue:
(1) El problema del paso de estudiar matemáticas en Secundaria a estudiar matemáticas
en la Universidad, formulado como problema docente, no puede ser abordado por la
didáctica de las matemáticas. Debe ser reformulado en el ámbito de un Programa de
Investigación y, más concretamente, en los términos de una teoría didáctica.
(2) La reformulación didáctica de este problema docente comportará, en particular,
elegir la amplitud del ámbito (matemático y didáctico) en el que dicho problema se
plantea. Este ámbito deberá abarcar, como mínimo, lo que es considerado como
unidad de análisis por la teoría didáctica en cuestión.
1.2. Formulación del problema en el Programa Cognitivo
El Programa Cognitivo20 de Investigación en Didáctica de las Matemáticas acepta como
hipótesis básica, esto es, como hipótesis provisionalmente no cuestionable por decisión
metodológica, que los fenómenos relativos a la enseñanza y el aprendizaje de las
matemáticas –y, en particular, los fenómenos indeseables relativos al denominado
20 Seguimos aquí la reconstrucción racional de la evolución de la didáctica de las matemáticas que se describe en Gascón (1998 y 1999c) y que distingue, esencialmente, dos Programas de Investigación en Didáctica de las Matemáticas: el Programa Cognitivo y el Programa Epistemológico.
Capítulo I
26
“fracaso escolar”– pueden ser explicados a partir de las características individuales de
los sujetos (actitudinales, cognitivas, motivacionales, psicológicas, lingüísticas, etc.) y
que éstas constituyen la principal puerta de entrada para actuar sobre ellos. La forma
particular de integrar “lo pedagógico” y “lo matemático” –que constituye el rasgo
común a todas las teorías didácticas después de la ruptura con la Pedagogía– se lleva a
cabo en el Programa Cognitivo tomando como objeto primario de estudio el aprendizaje
(y el conocimiento) matemático del alumno.
El Programa Cognitivo ha tenido un gran desarrollo desde las primitivas perspectivas
conceptualistas hasta los últimos avances de la Teoría APOS. Fueron precisamente las
limitaciones de las citadas perspectivas conceptualistas las que provocaron la necesidad
de incluir el lenguaje y de contar con un modelo del concepto y de los procesos
cognitivos que intervienen en su construcción que fuese más fino y operativo que el que
proporcionaban los antiguos mapas conceptuales.
Aquí nos centraremos en las perspectivas que, por girar alrededor de las relaciones entre
“procesos” y “conceptos”, se han denominado “proceptualistas”. Históricamente
(Artigue M. 1995) su aparición se retrotrae a 1985 cuando un Working Group del
Psychology of Mathematics Education, se interesa por lo que llaman “Advanced
Mathematical Thinking”.
Para reformular adecuadamente los problemas que surgen en el tránsito de estudiar
matemáticas en Secundaria a estudiar matemáticas en la Universidad y para poder llevar
a cabo un estudio científico de los mismos, el Programa Cognitivo necesitó elaborar una
teoría de la estructura y la dinámica del pensamiento matemático que le sirva de base y
que, de hecho, constituirá su “núcleo firme”. Es por esta razón que en el ámbito de
dicho Programa de Investigación se empezó elaborando un primer modelo de la
estructura cognitiva asociada a un concepto (Tall y Vinner, 1981; Vinner, 1983 y
1991); posteriormente se propuso una teoría general del desarrollo del pensamiento
matemático (Tall, 1994) y, más recientemente, por parte de Dubinsky y sus
colaboradores, se está desarrollando una teoría de la estructura y de la dinámica interna
de los esquemas, que servirá de base a la construcción de una teoría del desarrollo
El paso de Secundaria a la Universidad formulación didáctica de un problema docente
27
cognitivo de los sujetos. Dicha teoría se integra actualmente en la denominada APOS
Theory (Asiala y otros, 1996; Dubinsky, 1996 y 2000)21.
En el ámbito de las perspectivas proceptualistas que representan las líneas de
investigación más desarrolladas del Programa Cognitivo, se reformula el problema del
paso de Secundaria a la Universidad en términos del paso del Pensamiento Matemático
Elemental (EMT) al Pensamiento Matemático Avanzado (AMT). Dentro de estas
perspectivas se construyen modelos que comportan una ampliación de “lo cognitivo”
con componentes matemáticos y, aunque explícitamente se presentan como modelos de
la estructura cognitiva asociada a un concepto matemático, constituyen un reflejo
bastante fiel de determinados modelos epistemológicos de los correspondientes
conceptos matemáticos. Son siempre, sin embargo, modelos que podemos denominar
locales por hacer referencia a algún ámbito conceptual particular de la matemática (por
ejemplo, del concepto de “función”, de “variable” o de “grupo cociente”) y que dejan
completamente implícito el modelo epistemológico general de las matemáticas en el
que deberían integrarse los citados modelos locales.
La formulación del problema del paso del EMT al AMT está dispersa en la bibliografía,
pero puede rastrearse, por ejemplo, en Schwarzenberger y Tall (1978); Tall y Vinner
(1981); Tall (1991, 1994 y 1996) y Vinner (1983 y 1991). A continuación describiremos
muy esquemáticamente la evolución de dicho problema en el ámbito de las citadas
perspectivas proceptualistas.
Podemos situar el origen de la nueva problemática en la constatación de la gran
dificultad con que se encuentran los profesores para enseñar (y los alumnos para
aprender) los conceptos básicos del cálculo como, por ejemplo, los de “límite” y
“función”, en el marco de la enseñanza secundaria y primer año de la enseñanza
universitaria (Schwarzenberger y Tall, 1978). Rápidamente la problemática se amplió
para abarcar el análisis de las dificultades, contradicciones, confusiones, obstáculos
cognitivos, etc. y, en general, fenómenos (cognitivos) que aparecen en la transición del
Elementary Mathematical Thinking (EMT) al Advanced Mathematical Thinking (AMT).
21 En Gascón (1999c) se describe la forma como se ha abordado, con ayuda de estas teorías cognitivas, el problema del paso del Pensamiento Matemático Elemental (EMT) al Pensamiento Matemático Avanzado (AMT).
Capítulo I
28
Según David Tall, que puede ser considerado el autor principal dentro de estas
perspectivas, muchas de las actividades que se utilizan en el AMT también se utilizan
en el EMT; la distinción radica esencialmente en la posibilidad de llevar a cabo
definiciones formales y deducciones en el AMT (Tall, 1991, p. 3). Con más precisión,
Tall caracteriza las diferencias entre ambos niveles de pensamiento matemático, como
sigue:
The move from elementary to advanced mathematical thinking involves a significant
transition: that from describing to defining, from convincing to proving in a logical
manner based on those definitions. This transition requires a cognitive reconstruction
which is seen during the university students’ initial struggle with formal abstractions as
they tackle the first year of university.” (Ibid, p.20).
1.2.1. Estructura cognitiva asociada a un concepto
Para explorar esta transición (en lo que se refiere, al menos, al diferente papel que
juegan las definiciones en ambos niveles del pensamiento matemático) se utilizó
inicialmente un primer modelo de la estructura cognitiva asociada a un concepto (Tall
y Vinner, 1981; Vinner, 1983, Vinner, 1991). En este modelo se asume la existencia de
dos “celdas” diferentes en dicha estructura. Una celda está ocupada por la definición del
concepto (“concept definition”) y la segunda por las imágenes mentales asociadas al
concepto (“concept image”) entre las que figuran, naturalmente, representaciones
parciales y hasta erróneas del concepto en cuestión. En general, se postula que en el
aprendizaje informal de conceptos (que es el más habitual) se utiliza el “concept image”
y no el “concept definition” e, incluso, que en el caso de haber construido el “concept
definition” (a partir de los términos de las definiciones, si éstas han sido introducidas),
éste tenderá a permanecer inactivo en la mente de la persona e incluso se llegará a
olvidar.
En el caso del aprendizaje de conceptos matemáticos, y antes de que el alumno se
enfrente a la definición formal del concepto, puede darse el caso que la estructura
cognitiva asociada a dicho concepto tenga inicialmente las dos “celdas” vacías o bien
que la persona haya construido previamente un “concept image” asociado al concepto
El paso de Secundaria a la Universidad formulación didáctica de un problema docente
29
en cuestión. En el momento en que el profesor introduce la definición formal del
concepto, pueden darse las situaciones siguientes (Espinoza, 1998):
(1) Interacción: Que el “concept image”, si ya existía, se amplíe incluyendo las
representaciones mentales derivadas de la nueva definición o, si no existía, se vaya
formando a medida que se van presentando objetos matemáticos que satisfagan
(ejemplos) y que no satisfagan (contraejemplos) la nueva definición. Tanto la
ampliación (si ya existía) como la formación (si no existía) del “concept image” no tiene
por qué estar en perfecta concordancia con la definición del concepto.
(2) Independencia: Que el “concept image”, si ya existía, permanezca intacto después de
aparecer la definición del concepto dada por el profesor o, si no existía, no llegue nunca
a formarse. En este caso ambas estructuras se desarrollen de forma independiente. Si se
pregunta a la persona directamente sobre el concepto, ésta responderá con la definición
almacenada en el “concept definition”, pero si se le propone que realice una tarea
concreta que involucra dicho concepto, entonces echará mano a su “concept image”
para llevarla a cabo.
Queda clara la preeminencia del “concept image” a la hora de actuar o resolver un
problema concreto. Surge así una primera hipótesis explicativa de algunos fenómenos
(cognitivos) que aparecen en la transición del EMT al AMT, al menos en lo que se
refiere a la construcción de los conceptos matemáticos.
H1(PC). En el paso del EMT al AMT aparecen multitud de conceptos matemáticos
“nuevos” (“función”, “límite”, “derivada”, “continuidad”, etc.), extraordinariamente
complejos (todos ellos involucran, al menos, las múltiples estructuras de los números
reales) e interrelacionados entre sí de manera particularmente intrincada. Es por esta
razón que cualquier intento de simplificarlos para posibilitar su aprendizaje no hará más
que generar “concept image” inadecuados que, al producir “concepciones erróneas”
(misconceptions) en los estudiantes, originarán mayores dificultades y obstáculos
cognitivos que dificultarán el aprendizaje formal del concepto y, por tanto, constituirán
una nueva fuente de contradicciones y confusiones en la realización de tareas que
involucren dicho concepto.
Capítulo I
30
1.2.2. Pensamiento matemático flexible: estructura dual de los objetos
Esta primera hipótesis de las perspectivas proceptualistas sugiere que la transición del
EMT al AMT no puede ser explicada únicamente a nivel de dificultades en el
aprendizaje formal de conceptos matemáticos, sino que habrá que poner especial énfasis
en el nuevo tipo de razonamiento matemático asociado. Tommy Dreyfus constata que
los alumnos de Primaria y Secundaria aprenden, en los cursos de matemáticas, un gran
número de procedimientos estandarizados y una gran cantidad de conocimientos, pero
casi nada de la metodología de trabajo de los matemáticos. En particular, no aprenden a
usar sus conocimientos matemáticos de una manera flexible para resolver problemas de
un tipo desconocido para ellos (Dreyfus, 1991).
La noción de “pensamiento matemático flexible” puede describirse a partir de nociones
más primitivas que Tall toma originariamente de Piaget (1972) y de trabajos que
interpretan la obra de éste, como son los de Dubinsky (1991), Sfard (1989 y 1991),
Harel y Kaput (1991). Dichas nociones son las de “procesos” mentales (o sistemas de
acciones interiorizados) y “conceptos” producidos por la “encapsulación” de procesos.
Los conceptos así obtenidos son objetos sobre los que puede aplicarse, a su vez, un
sistema de acciones que puede ser de nuevo interiorizado y dar lugar a un proceso
mental de nivel superior susceptible de ser, de nuevo, encapsulado en un concepto de
orden superior y así sucesivamente. Gray y Tall (1994) denominan “procept” a la
combinación de proceso y concepto producido por el proceso, los cuales son
representados conjuntamente por un mismo símbolo matemático, poniendo así de
manifiesto la naturaleza dual de los objetos matemáticos y el papel que juega el
simbolismo matemático en la “encapsulación” (de procesos en objetos) (Tall, 1996).
Surge así una segunda hipótesis de las perspectivas proceptualistas para dar cuenta de
las dificultades en el tránsito del EMT al AMT.
H2(PC). Las tres nociones básicas del cálculo: “función”, “derivada” e “integral” (así
como la noción fundamental de “límite”) son ejemplos de “procepts” (Tall, 1996). El
estudio del cálculo elemental requerirá por tanto, desde el principio, la suficiente
flexibilidad para manipular un mismo símbolo ya sea como representante de un proceso
que actúa sobre determinados objetos, o de una entidad singular a la que se le pueden
El paso de Secundaria a la Universidad formulación didáctica de un problema docente
31
aplicar otros procesos para obtener nuevos objetos. La potencia del AMT radica,
precisamente, en la utilización flexible de la estructura dual de los citados objetos
matemáticos (y de los que se construyen a partir de ellos) posibilitada, en parte, por la
ambigüedad de la notación que se utiliza. La rigidez de los procedimientos
estandarizados que caracterizan el EMT constituye, por tanto, un obstáculo cognitivo
muy importante y explica muchos de los errores conceptuales extravagantes (Dreyfus,
1991) que presentan la inmensa mayoría de estudiantes en su primer encuentro con el
cálculo.
A fin de proponer una teoría general del desarrollo del pensamiento matemático que
abarque las etapas anteriores a la introducción del cálculo elemental y, también, las
posteriores (en especial el análisis matemático), Tall (1994) propone, inspirándose en
algunos trabajos de Bruner, un modelo de tres sistemas de representación matemática:
enactivo, icónico y simbólico muy ligados a tres niveles de conocimiento del cálculo o,
más en general, a tres niveles de desarrollo del pensamiento matemático, que se
diferencian entre sí, no sólo por el sistema de representación específico de cada uno de
ellos, sino también por la manera de tratar los objetos matemáticos y por tener sus
formas propias de prueba (Artigue 1995 y 1998).
El primer nivel es el propio del sistema enactivo, esto es, de las representaciones viso-
espaciales y de las experiencias ligadas a la acción que constituyen una primera base
intuitiva del Cálculo. En este nivel las “pruebas” se realizan mediante experiencias
físicas sobre los objetos del “mundo real”. El segundo nivel es el propio de las
representaciones icónicas (numéricas, simbólicas y gráficas). Corresponde al
tratamiento proceptual de los objetos matemáticos propios del Cálculo Elemental. Las
pruebas se basan en dichas estructuras proceptuales. El tercer nivel es el propio de las
representaciones simbólicas. En él se trabaja con definiciones formales y no con
descripciones y las pruebas se llevan a cabo siguiendo las leyes lógicas. Corresponde,
según Tall, al Análisis Matemático.
Surgen así una nueva ampliación de la problemática didáctico-cognitiva relativa a las
dificultades del transito del pensamiento “proceptual” al “formal”. Tall señala, a este
respecto, la insuficiencia de las encapsulaciones del nivel proceptual para asegurar la
transición al nivel formal y subraya el abismo entre ambos:
Capítulo I
32
“At the formal end of the spectrum there is a wide conceptual gulf between practical
calculations or symbol manipulations in calculus and the theoretical proof of existence
theorems in analysis. I conjecture that this is so wide that it causes a severe schism in
courses (particularly in “college calculus”) which attempt to bridge the gap between
calculus and analysis during de first encounter with the subject” (Tall, 1996, p. 296).
1.3. Formulación del problema en el Programa Epistemológico
En el Programa Epistemológico de Investigación en Didáctica de las Matemáticas se
asume como hipótesis básica22 una despersonalización y matematización de la
problemática didáctica que comporta plantearla en términos de la “actividad
matemática institucionalizada”. Se postula, en contra del punto de vista
psicopedagógico dominante, que el problema del paso de Secundaria a la Universidad
puede ser explicado a partir del análisis de las prácticas matemáticas que se llevan a
cabo en las instituciones docentes. Más aún se considera que la ignorancia de las causas
de origen matemático-didáctico imposibilita un tratamiento matemático de la
problemática y perpetúa las discontinuidades y contradicciones entre las prácticas que
se llevan a cabo en las diferentes organizaciones matemáticas escolares afectadas. Los
primeros estudios dentro de este enfoque sobre el paso de Secundaria a la Universidad
han sido realizados por Bloch (2000) y Praslon (2000).
La forma particular de integrar “lo pedagógico” y “lo matemático” –que, como hemos
dicho, constituye el rasgo común a todas las teorías didácticas después de la ruptura con
la Pedagogía– se lleva a cabo en el Programa Epistemológico tomando la propia
actividad matemática como objeto primario de estudio y como puerta de entrada al
análisis didáctico. Aunque asumimos que “lo matemático” (el objeto de estudio) y “lo
didáctico” (la organización del estudio) constituyen dos dimensiones de la realidad
fuertemente interdependientes y que se determinan mutuamente –puesto que las
organizaciones matemáticas son, a la vez, el objeto y el producto de la actividad de
estudio–, parece razonable, por cuestiones metodológicas, empezar analizando las
22 El Programa Epistemológico, al igual que el Programa Cognitivo y como cualquier otro Programa de Investigación Científica, utiliza hipótesis que, provisionalmente y por decisión metodológica, protegen de toda crítica. Dichas hipótesis constituyen el “núcleo firme” del Programa, lo que no significa que sean “intocables”. La acumulación de “anomalías”, problemas sin resolver y contradicciones internas, puede provocar la emergencia de un Programa de Investigación que puede llegar a reemplazar al antiguo.
El paso de Secundaria a la Universidad formulación didáctica de un problema docente
33
organizaciones matemáticas tal como han cristalizado en un momento histórico concreto
en el seno de cada una de las instituciones, haciendo abstracción de su génesis y de su
proceso de constitución que es, de hecho, un proceso de estudio (Bolea, Bosch y
Gascón, 1998a y 1998b). Es por esta razón que dejaremos para una etapa posterior el
análisis de la manera como se organiza y se lleva a cabo el proceso de estudio en las
diferentes instituciones docentes, esto es, el análisis de las correspondientes
organizaciones didácticas, y nos concentraremos aquí en las organizaciones
matemáticas.
Para precisar mejor nuestro punto de partida y clarificar los presupuestos que asumimos
provisionalmente, explicitaremos a continuación una hipótesis básica del Programa
Epistemológico de Investigación en Didáctica de las Matemáticas. Pero como en la
formulación de dicha hipótesis juega un papel importante la noción de “contrato
didáctico”, describiremos brevemente el alcance de esta noción: el contrato didáctico
institucional esta formado por un conjunto de cláusulas que distribuyen las
responsabilidades recíprocas en el juego que se establece en cada institución docente
entre los estudiantes, el conocimiento matemático y el profesor, como director del
proceso de estudio. Las cláusulas del contrato tienen un carácter marcadamente
implícito (el contrato siempre está presente, pero en la mayoría de las ocasiones no se
puede explicitar) y no rigen todos los aspectos de la relación que se establece entre los
estudiantes y el profesor, sino únicamente los que hacen referencia al conocimiento
matemático a estudiar23.
Utilizando esta noción formulamos a continuación una hipótesis que se desprende del
núcleo firme del Programa Epistemológico:
H(PE): Muchos de los fenómenos didácticos –esto es, relativos al estudio de las
matemáticas– que aparecen en el tránsito de Secundaria a la Universidad –incluyendo
los más “visibles” asociados al “fracaso escolar”–, pueden ser explicados en términos de
contradicciones y discontinuidades o cambios bruscos entre los contratos didácticos
institucionales vigentes en ambas instituciones. Dichos contratos rigen las
23 La noción de “contrato didáctico” adquiere un sentido más preciso en el marco de la teoría de las situaciones didácticas. En Brousseau (1998) puede encontrarse una recopilación de los trabajos fundadores de dicha teoría, publicados entre 1970 y 1990.
Capítulo I
34
organizaciones matemáticas y didácticas respectivas, esto es, el tipo de prácticas
matemáticas que pueden desarrollarse y la forma como dichas prácticas pueden llevarse
a cabo en cada institución. Postulamos que el estudio comparado de las organizaciones24
que están presentes en Secundaria y en la Universidad nos permitirá explicar mejor las
discontinuidades entre ambas instituciones docentes y los obstáculos que dificultan el
tránsito entre ellas.
Es muy probable que, en algunos casos, nuestro análisis nos lleve a reconocer las
dificultades –e incluso la imposibilidad– de actuar en una dirección determinada y desde
una institución concreta o, más en particular, desde un determinado nivel de una
institución particular. Así, por ejemplo, es probable que dicho análisis nos lleve a
concluir que el profesor, como tal, no puede asumir el papel y las funciones que se
asignan a las demostraciones matemáticas en una institución escolar determinada. Este
tipo de resultados, aparentemente negativos, puede servir para fijar el nivel (aula,
departamento de matemáticas, facultad universitaria, universidad, instituto de enseñanza
secundaria, comunidad matemática, etc.) desde el cual puede ser tratado cada problema
y para empezar a delimitar las responsabilidades personales y, sobre todo, las
responsabilidades institucionales.
Para reformular adecuadamente los problemas que surgen en el tránsito de estudiar
matemáticas en Secundaria a estudiar matemáticas en la Universidad, el Programa
Cognitivo necesitó elaborar, como hemos dicho, una teoría de la estructura y la
dinámica del pensamiento matemático.
Análogamente, dentro del Programa Epistemológico será preciso tomar como base del
análisis didáctico de cualquier fenómeno un modelo de la estructura y la dinámica
interna de las organizaciones matemáticas25 escolares. Es por esta razón que, en esta
sección y en la próxima, esquematizaremos muy brevemente dicho modelo tal como se
24 En este trabajo nos restringiremos al estudio de las Organizaciones Matemáticas. 25 Tal como ya hemos dicho, también se requiere un modelo de las organizaciones didácticas escolares, esto es, de la forma de organizar el estudio de las organizaciones matemáticas en las diferentes instituciones escolares. La codeterminación entre ambos tipos de organizaciones constituye otra de las hipótesis básicas del Programa Epistemológico.
El paso de Secundaria a la Universidad formulación didáctica de un problema docente
35
propone actualmente en la Teoría Antropológica de lo Didáctico (en adelante, TAD26)
en la que explícitamente nos situamos.
De hecho, uno de los prototipos de los problemas de investigación didáctica que se
construyen en la TAD puede expresarse en los siguientes términos (Gascón, 1999b):
Analizar los componentes y la dinámica interna de las praxeologías matemáticas que
son propuestas para ser estudiadas en la escuela y de las que son efectivamente
construidas en el aula. Analizar las praxeologías didácticas del profesor y de los
alumnos (en términos de momentos). Describir la ecología, o condiciones de existencia
institucional, de dichas praxeologías.
1.3.1. Estructura y dinámica de las organizaciones matemáticas
Empezaremos describiendo de una manera muy simplificada la estructura de las
organizaciones (o praxeologías) matemáticas indicando cuáles son sus componentes e
ilustrándola con algunos ejemplos sencillos. Esta descripción estructural debe
completarse con los rasgos principales de las relaciones que se establecen
necesariamente entre dichos componentes, esto es, con un primer análisis de lo que
denominaremos dinámica interna de las organizaciones matemáticas y que aquí sólo
insinuaremos utilizando la citada noción de “praxeología matemática”. Existe un
segundo nivel de análisis de la dinámica de las organizaciones matemáticas que
abordaremos en la última parte de esta memoria: el análisis de la dinámica institucional,
que hace referencia a las condiciones de la génesis y desarrollo de una organización
matemática en una institución dada. Este estudio puede considerarse como el estudio de
la ecología institucional de las organizaciones matemáticas y está muy relacionado con
los fenómenos de transposición institucional del saber matemático (Chevallard, 1991).
No diremos lo que “es” una organización (o praxeología) matemática, sólo daremos un
esbozo de su estructura y de su dinámica interna. La primera noción primitiva que
utilizaremos para describir las organizaciones matemáticas es la de tipo de tareas 26 Una introducción a la TAD se encuentra en Chevallard, Bosch y Gascón (1997). Los desarrollos más recientes de dicha teoría se encuentran en Chevallard (1992, 1997, 1999, 2002a y 2002b).
Capítulo I
36
matemáticas, T. Es ésta una noción muy general, que incluye cualquier tipo de tareas
que sean consideradas “matemáticas” en la institución de referencia. Son ejemplos de
tipos de tareas matemáticas en la institución docente universitaria: resolver una
ecuación diferencial; buscar una base de un espacio vectorial; descomponer un
polinomio en factores primos sobre un cuerpo dado; calcular, con cierto grado de
aproximación, las soluciones de una ecuación; decidir si un objeto matemático cumple o
no cumple las hipótesis de un teorema dado; modelizar un sistema físico o biológico
mediante un modelo matemático y axiomatizar una teoría matemática, entre otras
muchas.
Postulamos que la realización de cualquier tipo de tareas, T, requiere poner en
funcionamiento una técnica, τ, esto es, una “manera de hacer sistemática y compartida”
que depende obviamente de T y de la institución en que nos situemos27. Tenemos así un
bloque práctico-técnico que denotaremos mediante el símbolo [T/τ] y que está formado
por un tipo de tareas, T, y una técnica, τ, que la institución considera pertinente para
llevar a cabo las tareas de este tipo. Es importante subrayar que, normalmente, cada
técnica concreta sólo permite realizar un pequeño subconjunto de las tareas del tipo T a
la cual es relativa, fracasando en la realización de las restantes tareas de ese tipo.
Todos los tipos de tareas matemáticas citados anteriormente ponen de manifiesto de
forma muy clara esta limitación de las técnicas matemáticas habituales. Así, por
ejemplo, las técnicas para descomponer un polinomio en factores primos tienen un
ámbito de validez muy restringido y las técnicas que permiten buscar una base en el
caso de espacios vectoriales de dimensión finita, no siempre son aplicables al caso de
espacios vectoriales de dimensión infinita. Estos mismos ejemplos muestran que una
técnica matemática τ no es, excepto rarísimas excepciones, ni algorítmica ni casi-
algorítmica28. Entre las citadas, las que sirven para modelizar matemáticamente un
sistema o para axiomatizar una teoría, son prototipos de técnicas no algorítmicas.
27 Esto no significa que, dados un tipo de tareas T y una institución de referencia, exista una única técnica τ que viva en dicha institución y que permita realizar (algunas de) las tareas de ese tipo. 28 Diremos que una técnica matemática es “algorítmica” (o, mejor, algoritmizable) si su puesta en funcionamiento no presenta ningún tipo de indeterminación. De una manera más precisa, las técnicas algoritmizables son aquéllas que pueden ser completamente computarizadas (dentro de un ámbito de validez que siempre es limitado).
El paso de Secundaria a la Universidad formulación didáctica de un problema docente
37
Las descripciones anteriores no pretenden tener el rango de “definiciones”. De hecho,
las nociones de “tarea” y “técnica” son primitivas (no definibles mediante nociones más
elementales) en el estado actual de desarrollo de la TAD. Lo mismo hay que decir de las
nociones de “tecnología” y “teoría” que describiremos a continuación29.
El bloque práctico-técnico [T/τ] no puede vivir aisladamente en una institución.
Requiere la existencia de un “discurso racional” (logos) que justifique la técnica
(tekhnè) y muestre su pertinencia para llevar a cabo el tipo de tareas T. Llamaremos
tecnología de τ a este discurso, que es un discurso matemático, y lo designaremos con el
símbolo θ. Así, por ejemplo, el teorema de Bolzano puede hacer el papel de elemento
tecnológico (esto es, componente de la tecnología) de una de las técnicas que se utilizan
inicialmente para aproximar las soluciones de una ecuación.
Otras funciones de la tecnología son: explicar y hacer inteligible el funcionamiento de
la técnica30, relacionarla con otras técnicas y, lo que es más importante, producir
nuevas técnicas. En este punto queremos remarcar un fenómeno importante: la sub-
explotación de las tecnologías matemáticas disponibles en las instituciones docentes,
tanto desde el punto de vista de la justificación como de la explicación y, sobre todo, de
la producción de nuevas técnicas. Es muy habitual que cada institución reconozca
únicamente un pequeño número de técnicas y excluya otras técnicas alternativas que
pueden existir en otras instituciones (Chevallard, 1999).
El discurso tecnológico contiene siempre afirmaciones más o menos explícitas que, a su
vez, pueden requerir justificación en una institución determinada. Se pasa entonces del
nivel de justificación-explicación-producción de la técnica (que es el nivel de la
tecnología) al nivel de justificación-explicación-producción de la tecnología, que
denominamos el nivel de la teoría de θ, y que designaremos mediante el símbolo Θ. La
teoría juega, respecto a la tecnología, el mismo papel que ésta jugaba respecto a la
técnica. Así, por ejemplo, el teorema de Bolzano, considerado como un elemento
29 Es previsible que en los futuros desarrollos de la TAD estas nociones dejen de ser “primitivas” y puedan ser descritas mediante nociones más elementales. Los trabajos de Juan D. Godino y sus colaboradores pretenden, entre otras cosas, desarrollar la teoría en esa dirección (Godino y Batanero, 1994 y 1998; Godino, 1999). 30 Por ejemplo, explicar porqué y en qué condiciones la regla de Ruffini (en Secundaria) o la técnica para buscar una base de Jordan (en la Universidad) funcionan como funcionan.
Capítulo I
38
tecnológico, puede ser justificado, a su vez, en una teoría axiomática de los números
reales que contenga el axioma del supremo.
Resumiremos lo anterior diciendo que, junto al bloque práctico-técnico [T/τ] tenemos,
dentro de las organizaciones matemáticas institucionalizadas, un segundo bloque, el
tecnológico-teórico [θ/Θ]. El sistema formado por los cuatro componentes constituye
una praxeología (u organización) matemática que consideramos como la unidad
mínima en que puede describirse la actividad matemática y que designaremos mediante
OM = [T/ τ; θ/ Θ].
Las nociones de “tarea”, “técnica”, “tecnología” y “teoría” son doblemente relativas. En
primer lugar son relativas a la institución de referencia. Esto significa que lo que es
considerado como una tarea (o técnica, o tecnología o teoría) matemática en una
institución I no tiene por qué serlo en otra institución I’. De hecho, en una institución
dada únicamente pueden considerarse como “tipos de tareas”, T, aquéllas para las que
se dispone de algún tipo de técnica, τ, con su entorno tecnológico-teórico, [θ/ Θ], más o
menos explícito. Así, por ejemplo, en Secundaria la descomposición en factores primos
de números “pequeños” es una tarea, pero la de números “grandes” no lo es. Por
simetría, podría decirse que las técnicas siempre responden a algún tipo de tareas
planteables en I (Chevallard, Bosch y Gascón, 1997).
En segundo lugar, las nociones citadas son relativas a la función que desempeña cada
objeto matemático en una actividad matemática determinada. Así, fijada una institución
I (por ejemplo la Universidad), un mismo objeto matemático (por ejemplo el teorema de
Bolzano) puede desempeñar funciones diversas (como técnica, como elemento
tecnológico o teórico o, incluso, como parte de una tarea) según la actividad matemática
en la que dicho objeto matemático esté inmerso.
Subrayemos, para acabar esta apretada síntesis, que la suposición que hacemos de que
esta descripción de las organizaciones matemáticas en los niveles (práctico-
técnico/tecnológico/teórico) es suficiente (inicialmente) para modelizar la actividad
matemática institucional, es un postulado de la TAD que, como los restantes postulados,
deberá ser contrastado empíricamente.
El paso de Secundaria a la Universidad formulación didáctica de un problema docente
39
1.3.2. Complejidad creciente de las organizaciones matemáticas
Hemos visto que la TAD postula que toda actividad matemática institucional puede
modelizarse mediante la noción de praxeología (u organización) matemática. Este
postulado debe ser completado con otro que se resume afirmando que toda actividad
matemática institucional puede analizarse en términos de praxeologías matemáticas de
complejidad creciente. Explicaremos brevemente a continuación lo que se entiende por
“complejidad creciente” de las OM (Chevallard, 1999).
(a) Diremos que una organización (o praxeología) matemática es puntual (en adelante,
OMP) en una institución si está generada por lo que se considera en la institución como
un único tipo de tareas T. Resulta, por tanto, que la noción de OMP es relativa a la
institución considerada y está definida, en principio, a partir del bloque práctico-técnico
[T/τ].
Podemos citar muchos ejemplos de OMP concretas que viven en Secundaria, tantos
como tipos de tareas: descomponer en factores un polinomio con raíces enteras; resolver
sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas; determinar la ecuación de una
recta dada por un punto y un vector director; etc. Pero para describir adecuadamente
cada una de las OMP citadas, deberíamos detallar con cierta precisión el tipo exacto de
tareas que estamos considerando y las pequeñas variaciones de la técnica que se
consideran en la institución de referencia como una “misma técnica”. Incluso sería
preciso especificar en qué punto una determinada variación de una técnica concreta ya
no puede ser considerada por la institución de referencia como la “misma” técnica y,
por tanto, cuáles son las nuevas OMP que aparecen y cuál es su relación con la OMP
inicial. También habría que describir los elementos tecnológicos que permitirían
describir e interpretar dicha actividad matemática (aunque queden implícitos) y hasta la
teoría que constituye el horizonte en el que podría situarse.
(b) Diremos que una organización (o praxeología) matemática es local (en adelante,
OML) en una institución si se obtiene como resultado de la integración de diversas
praxeologías puntuales. Cada OML está caracterizada por una tecnología, θ, que sirve
para justificar, explicar, relacionar entre sí y producir las técnicas de todas las OMP que
la integran. En general las OMP se integran en OML para poder dar respuesta
satisfactoria a un conjunto de cuestiones problemáticas que no se podían resolver
Capítulo I
40
completamente en ninguna de las OMP de partida. A lo largo del proceso de estudio,
que es a la vez un proceso de (re)construcción de una OML en la institución de
referencia, se va desarrollando un discurso tecnológico común que permite describir,
interpretar, justificar, explicar y relacionar entre sí a las antiguas técnicas matemáticas,
así como producir técnicas “nuevas”. De hecho, en el paso de un conjunto de OMP a
una única OML, se pone en funcionamiento y toma protagonismo el discurso
tecnológico θ que caracteriza la OML en cuestión.
Ya hemos dicho que una OML permite plantear y resolver problemas (o, al menos,
responder ante ellos) que en las OMP iniciales no podían formularse con toda
propiedad. Resulta, por tanto, que estas nuevas cuestiones problemáticas deberían
constituir la “razón de ser” que dan sentido a la OML. Pero, paradójicamente, en
determinadas instituciones matemáticas se produce el siguiente fenómeno: a medida que
las OMP se integran para constituir organizaciones más complejas (locales, regionales y
globales31), la relación entre la cuestión y la respuesta tiende a invertirse hasta el punto
que las razones de ser de la OM (o conjunto de cuestiones problemáticas que le dan
sentido porque son las cuestiones a las que ésta responde) tienen tendencia a
desaparecer (Chevallard, 1999). Entre los múltiples ejemplos de este fenómeno
podemos citar el caso de la geometría en la enseñanza secundaria española. En efecto,
aunque la problemática de la geometría sintética que se estudia en la enseñanza
secundaria obligatoria en España (de 12 a 16 años) podría dar sentido a la geometría
analítica que se estudia en el Bachillerato (de 16 a 18 años) –puesto que las técnicas
analíticas permiten resolver muchas de las cuestiones geométricas que no podían
abordarse con las técnicas sintéticas– lo cierto es que la geometría analítica se presenta
de una forma completamente desconectada de la problemática de la geometría sintética
que, en el Bachillerato, ya ha desaparecido completamente (Gascón, 2002).
Una característica muy marcada del discurso tecnológico θ asociado a una OML es la
preponderancia de la función justificativa (que asegura que cada técnica sirve para lo
que ha de servir y da el resultado que debe dar) por encima de la función explicativa
(que debería aclarar por qué la técnica es correcta, pertinente y eficaz). Este fenómeno
31 En Chevallard (1999) se mencionan, además de las OM puntuales, locales y regionales, las OM globales como aquellas que se constituyen mediante la integración de OM regionales. En este trabajo hablaremos únicamente de OM puntuales, locales y, sólo tangencialmente, de regionales.
El paso de Secundaria a la Universidad formulación didáctica de un problema docente
41
tiene relación con el hecho de que en cada institución, para cada tipo de tareas, se tiende
a privilegiar una única técnica que es considerada en dicha institución como “la manera
evidente e incuestionable de resolver las tareas del tipo en cuestión”. Esta técnica
privilegiada por la institución, al ser incuestionable y carecer de una técnica rival, puede
llegar a asumir un carácter autotecnológico32 dificultando así su desarrollo (porque se
ignoran sus limitaciones) y su integración en praxeologías más amplias. Tenemos aquí
un primer rasgo de la dificultad institucional para integrar varias OMP en una OML.
(c) Diremos, por fin, que una organización matemática (o praxeología) es regional (en
adelante, OMR) en una institución si se obtiene mediante la coordinación, articulación y
posterior integración, alrededor de una teoría matemática común Θ, de diversas OML.
La reconstrucción institucional de una teoría matemática requiere elaborar un lenguaje
común que permita describir, interpretar, relacionar, justificar y producir las diferentes
tecnologías de las OML que integran la OMR.
De la misma forma que era fácil citar ejemplos de etiquetas que aluden a OMP
concretas, también es relativamente sencillo citar mediante etiquetas ejemplos de OMR
específicas. En efecto, para hacer referencia a una OMR bastará citar la teoría
matemática común Θ que sirve, en cada caso, para unificarla. En la actual enseñanza
universitaria, por ejemplo, podemos encontrar etiquetas que, aunque con diferente grado
de generalidad, hacen referencia a teorías matemáticas que proporcionan un lenguaje
común para determinadas OMR. Entre éstas podemos citar: la teoría de Galois; la teoría
de ecuaciones diferenciales lineales; el álgebra lineal; la teoría de la medida; la teoría de
funciones analíticas y la teoría de los grupos de Lie, entre otras muchas. Pero, de nuevo,
hay que reconocer que para describir adecuadamente una OMR sería preciso describir,
además de la teoría unificadora, las OML que la integran, las relaciones que se
establecen entre dichas OML constituyentes y las nuevas cuestiones problemáticas que
pueden abordarse en la OMR final y que no podían abordarse en ninguna de las OMLj
iniciales.
32 Son técnicas que se “justifican a sí mismas” o, en otros términos, de técnicas tan naturalizadas y transparentes en la institución que no parecen “necesitar” ninguna justificación externa a ellas mismas.
Capítulo I
42
1.4. Características de las organizaciones matemáticas que se estudian en
Secundaria y discontinuidades en el paso a la Universidad
En lo que sigue denominaremos “S” y “U” a las organizaciones matemáticas escolares
construidas, respectivamente, en la enseñanza secundaria y en la enseñanza
universitaria33 de las Matemáticas. En lo que se refiere a la discontinuidad entre ambas
o, en otros términos, a las contradicciones entre los correspondientes contratos
didácticos institucionales, formularemos una conjetura general provisional haciendo
uso de las nociones básicas del modelo de la actividad matemática elaborado por la
TAD y que hemos descrito brevemente más arriba. Esta conjetura servirá de base para
reformular el problema docente inicial como un verdadero problema didáctico en el
ámbito del Programa Epistemológico de Investigación en Didáctica de las Matemáticas.
1.4.1. Conjetura general: incompletitud de las praxeologías locales escolares
Con ayuda de la noción de “praxeología matemática” (puntual, local y regional),
podemos expresar ahora la anunciada conjetura general, en forma de una hipótesis con
tres partes que se refieren, respectivamente, a S, a U y al tránsito de S a U:
H(S): En S el estudio de las praxeologías matemáticas se centra en el bloque técnico-
práctico [T/τ], siendo muy escasa la incidencia del bloque tecnológico-teórico [θ/Θ]
sobre la actividad matemática que se realiza efectivamente. Esta separación funcional
entre ambos bloques se pone de manifiesto, en particular, en la ausencia de todo tipo de
cuestionamiento tecnológico de los tipos de tareas y las técnicas matemáticas de S. Así,
por ejemplo, no se cuestiona hasta qué punto están justificadas las técnicas que se
utilizan, ni la interpretación de los resultados que proporcionan dichas técnicas, ni su
alcance o dominio de validez, ni su pertinencia para llevar a cabo una tarea determinada,
ni su eficacia, ni su economía, ni sus relaciones con otras técnicas, ni sus limitaciones,
ni las posibles modificaciones que podrían sufrir dichas técnicas para aumentar su
eficacia en la realización de ciertas tareas. En resumen, la actividad matemática que se
lleva a cabo en S es esencialmente práctico-técnica y raramente alcanza el nivel
33 Dada la gran variedad de estudios universitarios en los que aparecen las organizaciones matemáticas, nos parece prudente restringir nuestro análisis a un pequeño grupo de licenciaturas y carreras técnicas de grado superior cuyo prototipo estaría representado por la propia licenciatura de matemáticas.
El paso de Secundaria a la Universidad formulación didáctica de un problema docente
43
tecnológico. Por todo ello las OM que se estudian en S son puntuales, muy rígidas34 y
aisladas (o poco coordinadas entre sí), lo que dificulta, e incluso impide, que en dicha
institución se reconstruyan efectivamente OML relativamente completas.
H(U): En U se propone, desde un principio, el estudio de OMR cuya presentación suele
concentrarse, por cuestiones de economía, en una teoría, Θ, en la que la OMR ha
acabado cristalizando. Dado que el teoricismo es el modelo docente35 predominante en
U, se tiende a identificar “enseñar y aprender matemáticas” con “enseñar y aprender
teorías”, por lo que el proceso didáctico empieza, y prácticamente acaba, en el momento
en que el profesor “enseña” (en el sentido de “muestra”) estas teorías a los alumnos. En
esta situación el bloque práctico-técnico [T/τ] queda, de nuevo, completamente
desconectado del bloque tecnológico-teórico, [θ/Θ], aunque aquí la causa es otra. En U,
el trabajo práctico-técnico es considerado como una actividad secundaria dentro del
proceso didáctico global y, en todo caso, juega un papel auxiliar en el aprendizaje de
las teorías. Los elementos tecnológicos que aparecen lo hacen para ejemplificar algún
aspecto particular de la teoría matemática, pero nunca para integrar las diferentes OMP
en una OML relativamente completa. Las OML que se evocan en U, se las supone
reconstruidas con un grado suficiente de completitud, pero no se reconstruyen
efectivamente en U. A su vez, los problemas y las técnicas que se manipulan se
conectan con aspectos específicos de la teoría a través de determinados elementos
tecnológicos desconectados entre sí. Muy raramente existen conexiones “horizontales”
entre componentes del mismo nivel, ni entre los diferentes tipos de problemas
matemáticos, ni entre las diferentes técnicas. Estas conexiones podrían generar una
“construcción desde abajo”, desde el bloque práctico-técnico, de la OMR.
Esta separación funcional entre ambos bloques –y la consiguiente dificultad para
conectar el bloque práctico-técnico de la actividad con la teoría cristalizada que se
muestra a los estudiantes– se pone de manifiesto, por ejemplo, en la ausencia de las
cuestiones problemáticas que constituyen la “razón de ser” de la OMR (esto es, de las
34 En la siguiente sección describiremos mediante cinco conjeturas específicas algunas de las características principales de esta rigidez que postulamos. Posteriormente contrastaremos empíricamente dichas conjeturas específicas. 35 Las primeras descripciones de los modelos docentes (llamados inicialmente “paradigmas”) fueron publicadas en Gascón (1992 y 1994). Ver también Bosch y Gascón (2002).
Capítulo I
44
cuestiones a las que la OMR responde) en el caso en que dichas cuestiones hayan
surgido en el bloque práctico-técnico.
En resumen, la actividad matemática que se lleva a cabo en U está muy centrada en los
componentes teóricos de las OMR que se proponen para ser estudiadas. Se da por
supuesto que las OML que integran las citadas OMR han sido construidas como OML
relativamente completas por lo que no se siente la necesidad de “descender” a los
detalles. Y cuando el proceso de estudio que se lleva a cabo en U abandona
momentáneamente la “cúspide” de la teoría cristalizada, para recorrer una parte del
“cuerpo” de la OMR, choca con restricciones institucionales muy fuertes36 que sólo
permiten “bajar” desde el nivel teórico hasta el nivel práctico-técnico por canales
tecnológicos aislados.
H(S–U): El tránsito de S a U es un momento especialmente delicado del proceso global
de estudio de las matemáticas y, por lo tanto, constituye un aspecto importante y
posiblemente prototípico del problema de la articulación del currículum de
matemáticas. Hemos postulado que las OM que se estudian en S son puntuales, muy
rígidas y aisladas lo que dificulta enormemente que en dicha institución se reconstruyan
efectivamente OML relativamente completas. En U, sin embargo, se da por supuesto
que las OML que integran las OMR (propuestas para ser estudiadas en U) cumplen en
un grado relativamente alto las condiciones de completitud. Este malentendido entre
ambas instituciones perpetúa la ausencia institucional de los procesos de reconstrucción
de OML relativamente completas y constituye un importante obstáculo de origen
didáctico que provoca graves disfunciones en el comienzo del estudio de las
matemáticas en la Universidad. Este obstáculo es especialmente importante debido a
que el tipo de actividad matemática que se requiere para reconstruir una OML es,
imprescindible para poner en marcha, de manera integrada, todas las dimensiones de la
actividad matemática (Chevallard, Bosch y Gascón, 1997; Chevallard, 1999).
36 Como, por ejemplo, las necesidades de economía didáctica, la ignorancia de la función del trabajo técnico en la génesis y el desarrollo de los conocimientos matemáticos y la ausencia de instrumentos para describir adecuadamente la actividad matemática, entre otras.
El paso de Secundaria a la Universidad formulación didáctica de un problema docente
45
1.4.2. Aspectos de la rigidez de las matemáticas que se estudian en Secundaria
El objetivo principal de este trabajo es el de analizar las disfunciones que aparecen
cuando se inician los estudios de matemáticas en U, a fin de obtener criterios fundados
para actuar sobre ellas. Para empezar, formularemos algunas conjeturas específicas que
permitan empezar a contrastar empíricamente ciertos aspectos de la conjetura general
enunciada. Nos centraremos, concretamente, en aquellos aspectos que se refieren al
tránsito entre ambas instituciones y que se ponen de manifiesto al comienzo de la
enseñanza universitaria.
Las conjeturas específicas que formularemos a continuación deben interpretarse, por lo
tanto, a partir de la conjetura general enunciada anteriormente. Las cinco conjeturas (C1
a C5) explicitan algunos aspectos de la rigidez de las OMP que se estudian en S y son
las que empezaremos a contrastar empíricamente a un nivel exploratorio. El enunciado
de estas cinco conjeturas se desprende directamente (por negación) de las características
que, con ayuda de las nociones de la TAD, hemos postulado que deberían poseer las
OMP para poder integrarse en una OML relativamente completa (ver sección 4.2. del
capitulo 4)
C1. Dependencia de la nomenclatura asociada a una técnica
En U se considera que la “nomenclatura” es irrelevante y que un simple cambio de los
símbolos que se utilizan para poner en marcha una técnica no puede representar una
modificación importante de la actividad matemática. Pero en S la rigidez de las OMP
puede llevar a identificar y hasta confundir la técnica con los objetos semióticos (ya
sean símbolos, gráficos o palabras escritas u orales) que constituyen su soporte material
(Bosch, 1994). Entre los múltiples ejemplos de esta dependencia podemos citar: el
desarrollo del cuadrado de un binomio; la fórmula para resolver las ecuaciones de
segundo grado y las reglas de derivación de funciones.
Capítulo I
46
C2. La aplicación de una técnica en S no incluye la interpretación del resultado
Debido a la escasa incidencia del bloque tecnológico-teórico en las praxeologías
matemáticas que se estudian (reconstruyen), en S no se exige interpretar adecuadamente
el resultado de aplicar una técnica para considerar que dicha técnica ha estado
“correctamente” utilizada. Así, por ejemplo, el uso escolar de las técnicas para calcular
límites de funciones y la forma habitual de utilizar muchas de las técnicas para resolver
ecuaciones (por ejemplo, ecuaciones irracionales) no incluye ninguna “interpretación”
de los resultados obtenidos.
Lo anterior no significa que un profesor concreto (o determinados libros de texto) no
interprete los resultados que se obtienen al aplicar las técnicas matemáticas y hasta la
manera concreta de aplicarlas. Significa que ésta no es una de las responsabilidades que
el contrato didáctico institucional asigna a los alumnos en S. Así, el contrato no
permite evaluar negativamente a un alumno de S que habiendo aplicado correctamente
las técnicas haya “olvidado” interpretar los resultados que dicha aplicación ha
proporcionado37.
C3. Inexistencia de dos técnicas diferentes para realizar una misma tarea
En U se necesita que determinadas OMP no sean problemáticas para los estudiantes –se
precisa que formen parte de lo que denominamos su “medio matemático”38– para que
puedan utilizarse de manera flexible a lo largo del proceso de estudio universitario. En
particular, cuando existen dos técnicas matemáticas “equivalentes en U” para un cierto
subtipo de tareas39 (como, por ejemplo, dos reglas de derivación para una misma
función), se requiere que la elección más adecuada o la utilización indistinta, no
provoque ningún tipo de problemas a los estudiantes que inician sus estudios en U.
37 Naturalmente que un profesor aislado puede evaluar negativamente a los alumnos que no interpretan o no interpretan correctamente el resultado de aplicar las técnicas matemáticas, pero este profesor, sujeto de la institución S, no podrá mantener por mucho tiempo este criterio a riesgo de alienarse de S. 38 Entendemos por “medio matemático” de una comunidad de estudio –por ejemplo, de una clase de alumnos en una institución docente– “[...] el conjunto de objetos con los que los alumnos tienen una familiaridad matemática tal que pueden manipularlos con toda seguridad y cuyas propiedades les parecen incuestionables” (Chevallard, Bosch y Gascón, 1997, p. 217). 39 Esto es, técnicas que proporcionan, en U, resultados equivalentes (para las tareas de dicho subtipo).
El paso de Secundaria a la Universidad formulación didáctica de un problema docente
47
Pero, como ya hemos dicho, en S se utilizan técnicas aisladas y muy rígidas hasta el
punto de que, aunque “existan” –en la práctica docente del profesor y en los libros de
texto– dos técnicas diferentes para un mismo tipo de tareas, no forma parte de la
responsabilidad matemática del alumno –en el contrato didáctico– decidir para cada
tarea concreta cuál de las dos técnicas es la más pertinente. Suele suceder, además, que
una de las dos técnicas se acaba imponiendo de tal manera que se convierte en la
manera de resolver ese tipo de problemas en S, adquiriendo un carácter autotecnológico
y provocando la práctica desaparición de la técnica rival. Podemos citar, como ejemplos
de técnicas autotecnológicas, la “regla de tres”, la regla de derivación de funciones
polinómicas y la “regla de Ruffini”.
C4. No reversión de las técnicas para realizar la tarea “inversa” de una tarea dada
Uno de los aspectos más importantes de la rigidez de las OMP que se estudian en S se
manifiesta en la no reversión de las técnicas matemáticas correspondientes. En términos
del contrato didáctico podemos decir que, en S, no forma parte de la responsabilidad
matemática del alumno invertir una técnica para llevar a cabo la tarea inversa. Podría
decirse, más en general, que el contrato didáctico en S no asigna al alumno la
responsabilidad de modificar una técnica “conocida” de manera adecuada para llevar a
cabo una tarea un poco diferente a la tarea inicial. Esta conjetura implica, en particular,
que cuando existen dos tareas “inversas” entre sí (esto es, tareas con los datos y las
incógnitas intercambiados) las correspondientes técnicas suelen tratarse como si fueran
“independientes”. Así, por ejemplo, el paso de las ecuaciones cartesianas de una
variedad lineal a la ecuación vectorial de ésta (esto es, la resolución de un sistema de
ecuaciones lineales) y recíprocamente, el paso de la ecuación vectorial a las ecuaciones
cartesianas, son tareas inversas en el sentido citado pero en S son consideradas como
tareas independientes que se realizan con técnicas no relacionadas entre sí. En otros
casos la tarea inversa está ausente como, por ejemplo, la tarea de pasar de la gráfica de
una función elemental a la expresión analítica de ésta.
C5. Ausencia de situaciones abiertas que requieren un trabajo de modelización
Los problemas escolares se presentan, tanto en S como en U, con enunciados muy
cerrados en los que figuran como “datos” todos los que se necesitan (exactamente) para
Capítulo I
48
resolver el problema sin que falte ni sobre ninguno. Raramente se presenta una situación
abierta donde el estudiante deba decidir cuáles son los datos que se necesitan para
formular correctamente un problema matemático. Pocas veces se problematiza el propio
enunciado de los problemas como punto de partida para plantear nuevos problemas. La
ausencia de técnicas explícitas de modelización comporta que, en ambas instituciones,
la modelización matemática constituya una de las actividades más problemáticas y
menos reguladas. Al aceptarse implícitamente (sobre todo en U, donde domina el
modelo docente “teoricista”) que no existen técnicas de modelización matemática, se
tiende a considerar que las modelizaciones matemáticas que se realizan en S son
simples “cambios de lenguaje” o “cambios de nomenclatura” triviales que no tienen la
categoría de “verdaderas” técnicas matemáticas. Así, por ejemplo, los problemas de
combinatoria y de probabilidad (pero también los de optimización, entre otros) se tratan
como si las relaciones entre el sistema a modelizar y el modelo matemático de dicho
sistema fueran transparentes y no problemáticas40.
1.4.3. Discontinuidades entre las matemáticas “mostrativas” de Secundaria y las
matemáticas “demostrativas” de la Universidad
Las últimas seis conjeturas que presentamos aquí hacen referencia a los cambios que
sufren las matemáticas en la transición entre S y U. De manera muy esquemática, se
podrían formular todas ellas como diferentes aspectos del cambio que ocurre cuando, se
parte de una actividad muy centrada en “lo puntual” y en la dimensión práctico-técnica
de resolución de tareas aisladas, en la que el alumno no es prácticamente nunca
responsable de llevar a cabo un trabajo tecnológico de interrelación de tareas o técnicas,
de descripción de procedimiento y de validación de resultados, y se pasa a una actividad
cuyo principal objetivo parece ser la construcción efectiva de OM regionales en las que
prima el fundamento teórico de la actividad y en las que el estudiante debe aprender a
40 Así, por ejemplo, se considera que transformar el enunciado de un problema como el siguiente: “¿De cuántas maneras diferentes puede haberse modificado el resultado de un partido de fútbol desde el 0-0 inicial hasta el 3-2 final?” en otro enunciado en el que se hable de “grupos de símbolos” y de restricciones que deben satisfacer dichos grupos, tal como: “¿Cuántos grupos de 5 símbolos pueden construirse con las letras L (de “Local”) y V (de “Visitante”) de tal forma que cumplan las siguientes condiciones: (a) cada grupo debe contener exactamente tres “L” y dos “V”; (b) para considerar que dos grupos son diferentes deben diferir en la posición de algún símbolo?” no requiere utilizar ninguna técnica matemática, es un simple “cambio de lenguaje” trivial.
El paso de Secundaria a la Universidad formulación didáctica de un problema docente
49
realizar pequeños desarrollos tecnológicos a partir de un trabajo práctico supuestamente
previo.
C6. Cambio en el papel de las definiciones: de “descriptivo” a “constructivo”
El papel y las funciones que se asigna a las definiciones cambia radicalmente al pasar de
S a U. Mientras que en S las definiciones hacen un papel esencialmente descriptivo con
la finalidad de precisar ciertas características de objetos supuestamente conocidos, en U
las definiciones sirven para construir objetos nuevos (incluso en el caso que se defina un
objeto ya “conocido” por el alumno). En S es muy difícil que una definición formal
incida efectivamente sobre la práctica matemática. Dado que, según el contrato
didáctico vigente en S, los conceptos matemáticos se construyen de la misma manera
que los “conceptos espontáneos”, las definiciones son bastante innecesarias y, por tanto,
se tiende a prescindir de ellas en la práctica. Así, por ejemplo, la definición de “rombo”
como “cuadrilátero equilátero” no cambia, de hecho, el estatuto institucional del
cuadrado en S, que continúa sin ser considerado como un “rombo”. Análogamente la
definición de “función continua en un punto” tampoco sirve para construir en S un
nuevo objeto matemático, sólo sirve para describir a posteriori el comportamiento de
una función de la que “ya se sabe” si es discontinua o continua en un punto, según que
su gráfica “se rompa” o “no se rompa” en dicho punto.
C7. De la argumentación “ostensiva” a la demostración “deductiva”
El papel y las funciones que se asignan a las demostraciones también cambia
radicalmente al pasar de S a U. Mientras que en S las demostraciones hacen un papel
meramente “decorativo”, ya que las propiedades y los resultados se muestran, en U se
descalifica la argumentación “ostensiva”: la figura, el esquema o el ejemplo particular
que “muestran” una propiedad, dejan de tener valor “demostrativo” (Gascón, 1997).
En U aparecen, bruscamente, tipos absolutamente nuevos de problemas que determinan
la nueva actividad matemática y en los que considera importante que quede explícito:
(a) qué es lo que está definido y lo que no lo está; (b) cuáles son los términos exactos de
cada definición; (c) cuáles son las hipótesis necesarias y cuáles son superfluas para
demostrar una propiedad; (d) qué conocimientos podemos utilizar (independientemente
Capítulo I
50
de su “evidencia”) para hacer una demostración determinada. En definitiva, la
matemática universitaria tiene carácter “demostrativo” como se pone de manifiesto, por
ejemplo, al constatar que las tareas de “demostrar que 1 > 0” o “demostrar el teorema de
Bolzano” son consideradas como tareas matemáticas (problemáticas) en U, mientras
que en S eran “verdades evidentes” que no requerían ninguna justificación especial.
C8. De los problemas “por resolver” a los problemas “por demostrar”
En el lenguaje de Polya (1954 y 1957), puede decirse que se pasa de una gran
preponderancia de los “problemas por resolver” (en los que se debe construir el “objeto
incógnita”) en S, a una presencia mayoritaria de los “problemas por demostrar” (donde
se deben conectar lógicamente dos proposiciones) en U. Correlativamente aparecen
otros objetivos de la actividad de resolución de problemas, diferentes al de “construir el
objeto incógnita” (ya sea éste un número, una función, una matriz, un conjunto o una
gráfica). Entre estos nuevos objetivos podemos citar: (a) demostrar la validez del
resultado obtenido; (b) justificar la técnica utilizada; (c) determinar su dominio de
validez; (d) describir las condiciones que ha de satisfacer un problema para tener
solución; (e) explicitar la estructura del conjunto de las soluciones de un tipo de
problemas.
C9. La geometría escolar es “intrafigural” y trabaja con nociones “absolutas”
En S, en coherencia con el estadio “intra-figural” de la geometría (Piaget y García,
1982, pp. 106 y ss.), se estudian relaciones “internas” entre los diferentes elementos de
figuras geométricas concretas (como, por ejemplo, las relaciones entre los elementos
característicos de una elipse o las relaciones entre la generatriz, la altura y el radio de la
base de un cono recto). En U, por el contrario, plenamente inmersos en el estadio “inter-
figural” de la geometría, aparecen nuevos objetos de estudio: el espacio mismo, las
transformaciones de este espacio y las relaciones entre diferentes clases de figuras
(como, por ejemplo, el estudio de las relaciones entre las clasificaciones proyectiva, afín
y métrica de las cónicas). Más en general, podemos decir que las nociones “absolutas”
en S (como, por ejemplo, la métrica, la unidad de superficie y el sistema de referencia)
pasan a ser “relativas” en U (utilización de distintas métricas y comparación entre ellas,
elección de distintas unidades o sistemas de referencia, etc.).
El paso de Secundaria a la Universidad formulación didáctica de un problema docente
51
C10. La matemática escolar presenta un fuerte carácter prealgebraico en S y sufre una
abrupta algebrización al inicio de la enseñanza universitaria
En S las ecuaciones y las fórmulas se utilizan principalmente como algoritmos de
cálculo, esto es, para calcular la incógnita de una ecuación o el valor numérico de una
fórmula, para valores prefijados de las variables. Lo anterior es propio del estadio
“intra-operacional” del álgebra (Ibid, pp. 135 y ss.). En U, por el contrario, no se hace
una distinción radical entre fórmulas y ecuaciones paramétricas; unas y otras se utilizan
como modelos algebraicos (Gascón, 1999a). En U, en el estudio del álgebra, se pasa
muy rápidamente a los estadios “inter-operacional” (estudio de tipos de ecuaciones,
condiciones de compatibilidad, relaciones entre diferentes tipos de ecuaciones,
estructura de las soluciones) y “trans-operacional” (estudio de las estructuras
algebraicas).
Al mismo tiempo, en S el lenguaje funcional está completamente separado del lenguaje
algebraico (no hay ningún rastro de las funciones de varias variables), mientras que en
U las fórmulas algebraicas se interpretan a menudo como funciones de varias variables.
C11. El cálculo en S no estudia familias de funciones ni integra las técnicas
El estudio de las propiedades de funciones aisladas (o de parejas de funciones
relacionadas de una manera muy especial como, por ejemplo: seno-coseno y
exponencial-logarítmica) propio de S y del estadio “intra”, da paso al estudio de tipos y
familias de funciones, sucesiones de funciones y de relaciones generales entre funciones
en U (propio del estadio “inter”). Más adelante se llega hasta el estadio “trans” (estudio
de espacios de funciones)41.
Tanto en el caso del álgebra como, todavía más claramente, en el caso del cálculo, el
paso de S a U comporta una fuerte integración de las técnicas de las diferentes áreas
matemáticas (aritmética, geometría, álgebra y cálculo) que en S estaban muy separadas
y en U tienden a utilizarse conjuntamente de una manera muy “naturalizada”, aunque no
41 Aunque Piaget y García (1982) no hacen un estudio de la psicogénesis de las estructuras asociadas al Cálculo, la analogía de los correspondientes estadios “intra”, “inter”, “trans” con el caso de la geometría y del álgebra parece obvia.
Capítulo I
52
se presenten articuladas explícitamente. Ejemplo: utilización simultánea de técnicas
algebraicas, diferenciales y gráficas en la resolución de ecuaciones en U.
El estudio empírico de nuestra investigación, que presentamos en los capítulos 2 y 3 de
esta memoria, se centra en empezar a contrastar experimentalmente los cinco aspectos
de la rigidez de las OM que se estudian en Secundaria y que hemos caracterizado
mediante las conjeturas C1-C5. Hemos elegido para ello dos tipos de datos empíricos
como indicadores de las características de las OM que se reconstruyen en la institución
de la enseñanza secundaria española: las respuestas de una amplia muestra de
estudiantes a un conjunto de tareas matemáticas propuestas en un cuestionario y una
recopilación de los tipos de tareas que proponen una muestra de manuales aprobados
oficialmente por las autoridades educativas españolas para su uso en la enseñanza
secundaria. La experimentación constó de tres fases. La primera – que presentamos en
el Capítulo 2- consistió en la realización de un primer cuestionario sobre una muestra
inicial de estudiantes. A pesar de confirmar las conjeturas arriba mencionadas, este
cuestionario presentaba importantes limitaciones que se detectaron posteriormente y que
nos condujeron a la elaboración de un segundo cuestionario, a la vez más escueto y
coherente. Como veremos en el Capítulo 3, este cuestionario se pasó a una segunda
muestra de alumnos similar a la muestra inicial. Dado el carácter exploratorio que se
asignaba a la realización de los cuestionarios, y dado que el objeto del estudio no eran
los alumnos ni sus conocimientos, sino las OM que se estudian actualmente en la
enseñanza secundaria española, se completó esta segunda fase con el análisis de los
manuales, lo que nos permitió acabar de especificar y de confirmar las conjeturas
avanzadas.
CAPITULO II
Primer estudio exploratorio:
la prueba inicial
Primer estudio exploratorio: la prueba inicial
55
2.1. Presentación general del estudio exploratorio
El estudio experimental que presentamos en este capítulo consta de la elaboración y
análisis de las respuestas a la primera versión, P1, de un cuestionario que
denominaremos inicial porque se pasó a estudiantes que empiezan a estudiar
matemáticas en la Universidad, pero que también podríamos haber denominado “prueba
final” porque con ella queremos constatar algunas de las características de las
organizaciones matemáticas de Secundaria cuyo estudio ya ha sido finalizado por los
estudiantes en cuestión. Dicha prueba fue pasada a finales de octubre del 1999, cuando
los estudiantes sólo habían tenido unas pocas semanas de clase en la Universidad. En
octubre del año 2000 se pasó una segunda versión de esta prueba, P2, que constituye el
principal trabajo experimental de esta investigación y que presentamos con todo detalle
en el capítulo 3 de esta memoria. Durante el curso 2001/2002 se pasó una versión
revisada de este cuestionario a una muestra de 366 estudiantes de diferentes Facultades
de la Universitat Jaume I de Castellón, versión que no analizaremos en este trabajo. En
Fonseca, Gascón y Orús (2002) se hace una descripción completa de los resultados y de
su interpretación.
A continuación indicaremos el objetivo principal de estas pruebas, intentando
distinguirlos cuidadosamente de otros propósitos, quizá más habituales en la
investigación educativa, pero que nosotros no perseguimos aquí. En efecto, con estas
pruebas no se pretendía cuantificar los conocimientos matemáticos de los estudiantes, ni
individualmente ni colectivamente. Tampoco nos interesaba saber cuáles eran sus
principales dificultades o conocimientos más débiles. De hecho, para nuestro estudio,
una muestra “ideal” de sujetos estaría formada por “los buenos alumnos de Secundaria”
en el sentido de alumnos bien adaptados a dicha institución, con un buen expediente
académico. El propósito del trabajo experimental no era hacer un test de conocimientos
previos para estudiar el “nivel de conocimientos” de los estudiantes y ver si
correspondía o no a un supuesto “nivel mínimo imprescindible” para empezar a estudiar
matemáticas en la Universidad. Nuestro propósito era detectar, a través de las respuestas
de los estudiantes, qué ingredientes de las organizaciones matemáticas escolares eran
capaces de manejar con soltura, postulando que su dominio constituye un buen
Capítulo II
56
indicador de las prácticas matemáticas que se enseñan en la institución considerada que,
en este caso, es la educación secundaria española.
Dicho en otras palabras, nuestro propósito era estudiar la relación institucional de los
alumnos de Secundaria a un determinado conjunto de tareas matemáticas. Por ello los
cuestionarios no debían dejar mucho espacio para la creación personal de los
individuos. Por ejemplo, al preguntar a los alumnos si conocen más de una técnica para
resolver un ítem determinado, no queríamos analizar la capacidad de estos alumnos para
generar espontáneamente una técnica adecuada, labor para la cual se necesita bastante
tiempo y tranquilidad. Lo que queríamos era saber si habían aprendido en algún curso
anterior alguna técnica alternativa y si eran capaces de utilizarla en el caso propuesto.
Para caracterizar algunos aspectos importantes de esta relación institucional a las
organizaciones matemáticas que se estudian en Secundaria, hemos avanzado en el
Capítulo 1 una serie de conjeturas sobre la rigidez, atomización y débil integración de
dichas organizaciones. El objetivo principal de los cuestionarios que aquí presentamos
era explorar dichas conjeturas. Para ello elegimos, para cada conjetura, una muestra de
temas curriculares en las que éstas pueden especificarse, dando lugar a sub-conjeturas
relativas a cada uno de dichos temas. Cada sub-conjetura se formula en términos de los
componentes de las organizaciones matemáticas que se estudian en Secundaria. Los
cuestionarios se elaboraron en base a estas sub-conjeturas, concretándose en una lista de
ejercicios o problemas matemáticos que se pedía a los alumnos que resolvieran en un
tiempo limitado.
Esta primera prueba intentó recoger un máximo de conjeturas y temas curriculares. Por
ello, la longitud resultó ser uno de sus principales defectos, lo que nos condujo a limitar
los ámbitos matemáticos en los que se especificaban las conjeturas y a limitar el estudio
a la exploración de las 5 primeras. Presentaremos en el Capítulo 3 de esta memoria la
segunda y principal fase de esta investigación que consistió en repetir el proceso con un
nuevo cuestionario que intentaba superar las limitaciones encontradas en la primera
fase.
Primer estudio exploratorio: la prueba inicial
57
2.2. Descripción del primer cuestionario y análisis de resultados
2.2.1. Descripción de la prueba P1
En la elección de los ítems, partimos de una limitación evidente debido a que no había
material de investigación que avalase su posible elección. Tanto en la primera elección
de los ítems, como en la elección definitiva de la primera prueba inicial, se tuvieron en
cuenta:
– La opinión de un grupo numeroso de profesores universitarios y de enseñanza
secundaria coordinado por nosotros.
– El estudio de una muestra significativa de libros de texto de Bachillerato.
– Exámenes propuestos de selectividad.
– Apuntes de alumnos de ocho institutos de enseñanza secundaria.
– El tipo de tareas propuestas debían ser representativas de las organizaciones
matemáticas que se estudian en Secundaria.
– El diseño curricular marcado por las autoridades educativas.
Empezamos recopilando un conjunto de posibles problemas muy amplio (123) que
fueron analizados uno a uno para estudiar su idoneidad para la prueba propuesta.
Después de sucesivas versiones la prueba final es un cuestionario formado por 11
bloques. En cada uno de ellos hay un número de ítems que oscilan entre dos y seis,
figurando un total de cuarenta ítems que recubren el conjunto de las 11 conjeturas
presentadas en el Capítulo 1 de esta memoria y a las que nos hemos referido
anteriormente. Se trata evidentemente de una prueba exploratoria con la que
pretendíamos empezar a contrastar empíricamente nuestras once conjeturas iniciales y
obtener indicios de cómo éstas podían ser ampliadas o modificadas. Se acordó que los
ítems propuestos para esta primera prueba, debían recorrer una muestra amplia y
representativa de los tipos de tareas y técnicas, de las organizaciones matemáticas de
Secundaria, con las que suponemos a los alumnos más familiarizados:
• Ecuaciones.
• Inecuaciones.
Capítulo II
58
• Geometría métrica.
• Geometría plana.
• Limites.
• Derivadas.
El universo de tareas y técnicas que esta primera prueba inicial se propone explorar es
potencialmente muy amplio, pero aún aceptando este hecho, creemos que los ítems que
finalmente proponemos son suficientemente representativos de las organizaciones
matemáticas de Secundaria y constituyen por lo tanto un buen acercamiento a nuestro
problema de investigación.
De acuerdo con esos criterios, a finales de Septiembre de 1999 se pasó una prueba
piloto a un grupo pequeño de estudiantes (18) que habían aprobado la selectividad en
junio de ese mismo año, que permitió detectar defectos de forma, imprecisiones en la
formulación de los enunciados de algunas preguntas, grado de dificultad excesivo en
otras, duración total inadecuada de la prueba, etc. La prueba sufrió de esta forma
importantes modificaciones no sólo en la forma, sino también en el contenido de
algunas preguntas y en su extensión, y pudimos estructurar ya un modelo definitivo de
prueba inicial.
Esta primera prueba inicial que denominamos “cuestionario P1” consta de 40 ítems y se
estructura de la siguiente manera:
CUESTIONARIO P1
1.1. Resolver la ecuación x2a2 + 2xa + 1 = 0, donde a es la incógnita y x es un número real conocido
(distinto de cero).
1.2. Derivar las funciones siguientes:
(a) f(a) = xa (respecto a la variable a).
(b) g(y) = yx+2 (respecto a la variable y).
(c) h(x) = 3x (respecto a la variable x).
Primer estudio exploratorio: la prueba inicial
59
2.1. Consideremos la siguiente resolución de la ecuación 3x – 8 = 4 – x:
( 3x – 8)2 = (4 – x)2
3x – 8 = 16 – 8 x + x
8 x = 24 – 2x
4 x = 12 – x
16x = 144 – 24x + x2
x2 – 40x + 144 = 0
Obtenemos como soluciones de esta última ecuación x = 4 y x = 36.
(a) ¿Son soluciones de la ecuación irracional?
(b) Interpreta el resultado obtenido en el apartado anterior.
2.2. (a) En la resolución de una ecuación llegamos a la expresión 0·x = 8 ¿cómo interpretas este
resultado?
(b) En la resolución de una ecuación, llegas a la conclusión que es equivalente a 0·x = 0. ¿Cómo
interpretas este resultado?
2.3. Las funciones f(x) = 3x4 + x y g(x) = x3 – 100 x2 tienden a cero cuando x tiende a cero y tienden a
infinito cuando x tiende a infinito.
(a) Calcula el límite de la función cociente : f(x)/g(x) cuando x tiende a cero y cuando x tiende a infinito.
(b) ¿Cuál de las dos funciones crees que tiende más rápidamente a infinito cuando x tiende a infinito?
¿Cuál de las dos tiende más rápidamente a cero cuando x tiende a cero? Justifica tu respuesta.
3.1. Resuelve la inecuación
(x-1)2 – 4 < 0
(a) Utilizando las propiedades de las desigualdades, sin utilizar ninguna gráfica.
(b) Utilizando la gráfica de la función asociada.
3.2. Escribe la ecuación de la mediatriz del segmento AB, con A = (3, -8) y B = (-1, 2):
(a) Como lugar geométrico de los puntos que equidistan de A y B.
(b) Como recta perpendicular al segmento AB por el punto medio.
4.1. Escribe un polinomio de grado dos en la variable x que se anule para x = 1 y para x = 2
4.2. Construye un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas que tengan el punto (-5,4) como
única solución. Explica cómo lo haces.
5.1. Compara las siguientes ofertas de trabajo para repartir propaganda electoral:
(a) Pagamos una cantidad fija de 50.000 pesetas más 10 pesetas por cada papeleta depositada en un
buzón.
Capítulo II
60
(b) Pagamos 30.000 pesetas fijas más 15 pesetas por papeleta.
5.2. En unos grandes almacenes hacen el 10% de descuento en todos los artículos y cargan el 16% de IVA
(a) Calcular el coste final de un articulo que inicialmente vale x pesetas.
(b) ¿Puedes calcular el coste final de un artículo aplicando a x una única operación?
6.1.a ¿Existe algún rectángulo que sea rombo? Justifica tu respuesta.
6.1.b ¿Existe algún rectángulo que sea cuadrado?
6.2. Recuerda que una sucesión es divergente hacia más infinito si satisface la siguiente condición: dado
un número real K cualquiera, existe un termino de la sucesión a partir del cual todos los términos de
la sucesión son más grandes que K. Di si las siguientes sucesiones son o no son divergentes a más
infinito. Explícalo.
(a) 1, 10, 2, 100, 3, 1000, 4, 10000, 5, 100000, 6,...
(b) 1, 10, 1/2, 100, 1/3, 1000, 1/4, 10000, 1/5, 100000, 1/6,...
6.3. Llamaremos distancia vertical entre dos puntos del plano al valor absoluto de la diferencia entre sus
segundas coordenadas: d((a, b), (c, d)) = b - d.
(a) Pon ejemplos de puntos diferentes que están a distancia vertical igual a cero.
(b) ¿Qué punto está más próximo al origen (respecto a la distancia vertical): el (4;0.5), el (1;1) o el punto
(-2;-1)? Justifica tu respuesta.
7.1. En un examen figura la siguiente pregunta:
¿Hay algún número real x que satisface simultáneamente: x3 + 2 x = 5 y x3 - 2x = -3?
Un compañero tuyo da la siguiente respuesta:
“Restando las dos ecuaciones encontramos que x satisface 4x = 8 y
por lo tanto, resulta x = 2”.
(a) Justifica la validez de este argumento.
(b) Di si es válida la solución encontrada.
7.2. Tenemos tres números a, b y c que satisfacen las desigualdades: 5 < a, 5 < b y b < c. ¿Podemos
deducir que a < c?
8.1. a Escribe 3 soluciones enteras de la ecuación 12·x = 18 y.
8.1.b ¿Cómo podemos describir todos los pares de enteros que son soluciones de esa ecuación?
8.2. Si un sistema de ecuaciones lineales tiene más incógnitas que ecuaciones.
(a) ¿Podemos asegurar que no tiene solución? Justifica tu respuesta.
(b) ¿Podemos asegurar que tiene infinitas soluciones? Justifica tu respuesta.
Primer estudio exploratorio: la prueba inicial
61
9.1. Si dos cuadriláteros diferentes tienen los ángulos respectivamente iguales, ¿son necesariamente
semejantes? Explícalo y pon ejemplos.
9.2. Tomamos como unidad de superficie el área de un triángulo equilátero de lado una unidad de
longitud. ¿Cuál es el área de un triángulo equilátero de lado dos unidades?
10.1.a ¿Existen inecuaciones polinómicas de primer grado con una incógnita, ax + b ≤ 0, que no tienen
ninguna solución? Pon un ejemplo en el caso de que existan inecuaciones de primer grado sin
solución.
10.1.b ¿Y de segundo grado: ax2 + bx + c ≤ 0 ? Pon un ejemplo, en los casos en que existiesen
inecuaciones de segundo grado sin ninguna solución.
10.2. El área total S de un cono recto de generatriz g y de radio de la base R, viene dada por la formula:
S = πR (g + R)
(a) Escribe la función g = f(R) que relaciona la generatriz g con el radio de la base R, cuando el área total
del cono es igual a 1.
(b) ¿Cual es la derivada de esta función?
11.1. ¿Cuál es la relación entre las gráficas de les funciones siguientes: y = x2 ; y = (x + 3)2 ; y = x2 – 5?
11.2. La ecuación 4x3 - x4 = 30 no tiene solución.
Justifícalo usando el máximo de la función: f(x) = 4x3 – x4.
Capítulo II
62
2.2.2. Relación entre el cuestionario y las conjeturas
La correspondencia entre los ítems de la prueba P1 y las once conjeturas presentadas en
el Capítulo 1 queda resumida en :
C1. Dependencia de la nomenclatura asociada a una técnica
Ítems correspondientes :
1. Resolver la ecuación x2a2 + 2xa + 1 = 0, donde a es la incógnita y x es un número real conocido
(distinto de cero)
1.2. Derivar las funciones siguientes:
(a) f(a) = xa (respecto a la variable a)
(b) g(y) = yx+2 (respecto a la variable y)
(c) h(x) = 3x (respecto a la variable x)
C2. La aplicación de una técnica en S no incluye la interpretación del resultado
Ítems correspondientes :
2.1. Considera la siguiente resolución de la ecuación: xx −=− 483
22 )4()83( xx −=−
3x – 8 = 16 – 8 x + x
…
x2 – 40x + 144 = 0
Obtenemos como soluciones de esta última ecuación x = 4 y x = 36.
(a) ¿Son soluciones de la ecuación irracional?
(b) Interpreta el resultado obtenido en el apartado anterior.
2.2. (a) En la resolución de una ecuación llegamos a la expresión 0·x = 8 ¿cómo interpretas este
resultado?
(b) En la resolución de una ecuación, llegas a la conclusión que es equivalente a 0·x = 0.
¿Cómo interpretas este resultado?
2.3. Las funciones f(x) = 3x4 + x i g(x) = x3 – 100 x2 tienden a cero cuando x tiende a cero y tienden a
infinito cuando x tiende a infinito?
(a) Calcula el límite de la función cociente: f(x)/g(x) cuando x tiende a cero y cuando x tiende a
infinito.
(b) ¿Cuál de las dos funciones crees que tiende más rápidamente a infinito cuando x tiende a
infinito? ¿Cuál de las dos tiende más rápidamente a cero cuando x tiende a cero? Justifica tu
respuesta.
Primer estudio exploratorio: la prueba inicial
63
C3. Inexistencia de dos técnicas diferentes para realizar una misma tarea
Ítems correspondientes : 3.1. Resuelve la inecuación (x-1)2 – 4 < 0.
(a) Usando las propiedades de las desigualdades, sin utilizar ninguna gráfica.
(b) Utilizando la gráfica de la función asociada.
3.2. Escribe la ecuación de la mediatriz del segmento AB, con A = (3, -8) y B = (-1, 2):
(a) Como lugar geométrico de los puntos que equidistan de A y B.
(b) Como recta perpendicular al segmento AB por el punto medio.
C4. No reversión de las técnicas para realizar la tarea inversa
Ítems correspondientes : 4. 1 Escribe un polinomio de grado dos en la variable x que se anule para x = 1 y para x = 2.
4.2 Construye un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas que tengan el punto (-5,4) como
única solución. Explica cómo lo haces.
C5. Ausencia de situaciones abiertas que requieren un trabajo de modelización
Ítems correspondientes
5.1. Compara las siguientes ofertas de trabajo para repartir propaganda electoral: (a) Pagamos una
cantidad fija de 50000 pesetas más 10 pesetas por cada papeleta depositada en un buzón (b)
Pagamos 30000 pesetas fijas más 15 pesetas por papeleta.
5.2. En unos grandes almacenes hacen el 10% de descuento en todos los artículos y cargan el 16% de IVA
(a) Calcula el coste final de un artículo que inicialmente vale x pesetas.
¿Puedes calcular el coste final de un artículo aplicando a x una única operación?
C6.Cambio en el papel de las definiciones: de “descriptivo” a “constructivo
Ítems correspondientes : 6.1.a ¿Existe algún rectángulo que sea rombo? Justifica tu respuesta.
6.1.b ¿Existe algún rectángulo que sea cuadrado?
6.2. Recuerda que una sucesión es divergente hacia más infinito si satisface la siguiente condición: dado
un número real K cualquiera, existe un termino de la sucesión a partir del cual todos los términos de
la sucesión son más grandes que K. Di si las siguientes sucesiones son o no son divergentes a más
infinito. Explícalo.
(a) 1, 10, 2, 100, 3, 1000, 4, 10000, 5, 100000, 6,...
(b) 1, 10, 1/2, 100, 1/3, 1000, 1/4, 10000, 1/5, 100000, 1/6,...
6.3. Llamaremos distancia vertical entre dos puntos del plano al valor absoluto de la diferencia entre sus
segundas coordenadas: d((a, b), (c, d)) = b - d.
(a)Pon ejemplos de puntos diferentes que están a distancia vertical igual a cero.
(b) Que punto está más próximo al origen (respecto a la distancia vertical): el (4;0.5), el (1;1) o el punto
(-2;-1)? Justifica tu respuesta.
Capítulo II
64
C7. De la argumentación “ostensiva” a la demostración “deductiva”
Ítems correspondientes : 7.1. En un examen figura la siguiente pregunta:
¿Hay algún número real x que satisfaga simultáneamente: x3 + 2 x = 5 y x3 - 2x = -3?
Un compañero tuyo da la siguiente respuesta: “ Restando las dos ecuaciones encontramos que x
satisface 4x = 8 y por lo tanto resulta x = 2”.
(a) Justifica la validez de este argumento.
(b) Di si es válida la solución encontrada.
7.2. Tenemos tres números a, b y c que satisfacen las desigualdades: 5 < a, 5 < b y b < c. ¿Podemos
deducir que a < c?
C8. De los problemas “por resolver” a los problemas “por demostrar”
Ítems correspondientes : 8.1.a. Escribe 3 soluciones enteras de la ecuación 12·x = 18 y.
8.1.b. ¿Cómo podemos describir todos los pares de enteros que son soluciones de esa ecuación?
8.2. Si un sistema de ecuaciones lineales tiene más incógnitas que ecuaciones.
(a) ¿Podemos asegurar que no tiene solución? Justifica tu respuesta.
(b) ¿Podemos asegurar que tiene infinitas soluciones? Justifica tu respuesta.
C9. La geometría escolar es “intrafigural” y trabaja con nociones “absolutas”
Ítems correspondientes: 9.1. Si dos cuadriláteros diferentes tienen los ángulos respectivamente iguales, ¿son necesariamente
semejantes? Explícalo y pon ejemplos.
9.2. Tomamos como unidad de superficie el área de un triángulo equilátero de lado una unidad de
longitud. ¿Cuál es el área de un triángulo equilátero de lado dos unidades?
C10. La matemática escolar presenta un fuerte carácter prealgebraico en Secundaria y
una abrupta algebrización al inicio de la enseñanza universitaria
Ítems correspondientes : 10.1.a. Existen inecuaciones polinómicas de primer grado con una incógnita, ax + b ≤ 0, que no tienen
ninguna solución? Pon un ejemplo en el caso de que existiesen inecuaciones de primer grado sin
solución.
10.1.b. I de segundo grado: ax2 + bx + c ≤ 0? Pon un ejemplo, en los casos en que existiesen inecuaciones
de segundo grado sin ninguna solución.
10.2. El área total S de un cono recto de generatriz g y de radio de la base R, viene dada por la formula:
S = πR (g + R)
(a) Escribe la función g = f(R) que relaciona la generatriz g con el radio de la base R, cuando el área total del
cono es igual a 1.
(b) ¿Cuál es la derivada de esta función?
C11. En S no se estudian familias de funciones ni se utiliza el estudio de una función para
resolver problemas.
Ítems correspondientes : 11.1. ¿Cuál es la relación entre las gráficas de las funciones siguientes: y = x2; y = (x + 3)2 ; y = x2 – 5 ?
11.2.La ecuación 4x3 - x4 = 30 no tiene solución. Justifícalo utilizando el máximo de la función: f(x) = 4x3 – x4.
Capítulo II
66
2.2.3. Descripción de la muestra de estudiantes
La población que nos interesa son los alumnos de las Facultades de Ciencias y de
Escuelas Técnicas que comienzan los estudios universitarios y en los que las
matemáticas tiene un papel destacado. La muestra se compuso de aquellos grupos de
estudiantes que tuvimos al alcance (facilidad de horario, fácil acceso con el profesor que
debía “sacrificar” por la prueba dos horas de clase, etc.) y, por lo tanto, no podemos
atribuirle ninguna representatividad mayor.
Los estudiantes que realizaron la prueba P1 estaban matriculados en la Universidad
Autónoma de Barcelona y en la Universidad de Vigo. De la primera, elegimos alumnos
de primer curso de la Diplomatura de Estadística (EST) y de la Licenciatura de
Matemáticas (MAT) y, de la segunda Universidad, alumnos de la Escuela Universitaria
de Ingeniería Técnica Industrial (EUITI) y de la Escuela Técnica Superior de Ingeniería
Industrial (ETSII). En cada una de las Facultades se explicó a los estudiantes el objetivo
de la investigación y la forma en que debía ser contestada la prueba, respondiendo
inicialmente a cuantas preguntas fueron suscitadas al respecto.
La primera prueba inicial fue realizada por 283 alumnos, distribuidos de la siguiente
forma:
29 alumnos de la Diplomatura de Estadística (EST)
71 alumnos de la Licenciatura de Matemáticas (MAT)
119 alumnos de la Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial (EUITI)
64 alumnos de la Escuela Técnica Superior de Ingeniería Industrial (ETSII)
Los datos característicos más importantes de los alumnos que participaron en la
investigación según la nota de selectividad figuran en la tabla siguiente:
Nota de Selectividad
Máximo Mínimo Media Mediana Desviación típ. Percentil 25 Percentil 50 Percentil 75
9,01 5,01 6,33 6,26 0,74 5,77 6,26 6,77
Primer estudio exploratorio: la prueba inicial
67
2.3. Resultados obtenidos
2.3.1. Análisis a priori y resultados del primer bloque de conjeturas (C1 a C5)
Presentamos el análisis del cuestionario organizado por conjeturas. Dividiremos los
ítems de cada conjetura en bloques de preguntas con características comunes y
analizaremos cada conjetura en función de las respuestas obtenidas en cada uno de los
bloques que la forman. En cada conjetura figurarán:
• Los enunciados de los ítems correspondientes.
• La respuesta correcta esperada para cada ítem (usando alguna de las técnicas
“oficiales” en Secundaria).
• Un pequeño análisis a priori del bloque de ítems y un comentario sobre la
información que pretendemos que nos aporte en relación con la conjetura en
cuestión.
• La codificación de las respuestas a cada ítem se hizo de acuerdo a tres
categorías: correcta, incorrecta y en blanco.
• Una tabla con los porcentajes obtenidos en cada ítem de acuerdo con la
codificación de los ítems.
• Un gráfico de columnas con el porcentaje de aciertos para cada uno de los ítems
de la conjetura.
• Una breve descripción de las respuestas obtenidas y una valoración que recoge
aquellos aspectos de las respuestas que consideramos interesantes en relación
con la conjetura correspondiente.
Conjetura 1. Dependencia de la nomenclatura asociada a una técnica
Ítems 1.1, 1.2a, 1.2b y 1.2c.
ENUNCIADOS 1.1 Resolver la ecuación x2a2 + 2xa + 1 = 0, donde a es la incógnita y x es un
número real conocido (distinto de cero).
1.2 Derivar las funciones siguientes:
1.2a f(a) = xa (respecto a la variable a).
1.2b g(y) = yx+2 (respecto a la variable y).
Capítulo II
68
1.2c h(x) = 3x (respecto a la variable x).
SOLUCIONES
1.1 a = -2x ± 4x2 - 4x2
2x2 = -1x .
1.2a f ’(a) = xalnx.
1.2b g’(x) = (x+2)yx+1.
1.2c h’(x) = 3xln3.
COMENTARIOS
El objetivo de este primer bloque de ítems es observar la capacidad de los alumnos de
adaptar una técnica conocida a un cambio de notación, como por ejemplo el que se
produce cuando las variables de una ecuación o función vienen designadas con símbolos
no habituales. Hemos elegido dos tipos de tareas institucionales muy corrientes: resolver
una ecuación de segundo grado y calcular derivadas de funciones exponenciales (con
una fuerte presencia en el mundo económico y en el de la biología) y potenciales.
RESULTADOS
VALORACIÓN
Los resultados del ítem 1.1 reflejan, por el alto porcentaje de respuestas correctas, que la
resolución de una ecuación de segundo grado es una tarea muy familiar para los
estudiantes de la muestra. En el análisis cualitativo de sus respuestas, observamos que
casi todos los alumnos manejan con bastante soltura la formula de la resolución de la
ecuación de segundo grado y que la mayor parte de las respuestas incorrectas (18,37%)
están originadas en el error de tomar como incógnita la variable x.
PORCENTAJES
ítems en blancoincorrectascorrectas
1.1 4,95 18,37 76,68
1.2a 13,43 75,27 11,31
1.2b 19,08 34,63 46,29
1.2c 20,14 53,00 26,86
76,68
11,31
46,29
26,86
0
20
40
60
80
100
Porc
enta
jes
1.1 1.2a 1.2b 1.2c
Items
Respuestas correctas
Primer estudio exploratorio: la prueba inicial
69
El ítem 1.2b también puede ser considerado inicialmente como una tarea “rutinaria” en
Secundaria (derivar una función potencial). Sin embargo, el porcentaje de respuestas
correctas (46,29%) refleja que presenta una clara dificultad. De nuevo, el análisis
cualitativo de las respuestas de los alumnos nos permitió ver que los errores estaban
asociados a la variable x. Una parte de los alumnos intenta derivar como si fuese una
función exponencial, mientras que las respuestas de la gran mayoría dan como
resultados : yx+1, (x+2)yx+2, (x+2)y, y(x+2)-1, que ponen de manifiesto el tipo de dificultad
del ítem.
Los ítems 1.2a y 1.2c muestran una caída importante en el número de respuestas
correctas. Corresponden ambos a la tarea de derivar una función exponencial. El
porcentaje de respuestas correctas en el ítem 1.2c (derivar respecto de la variable x) es
del 26,86% y este porcentaje se reduce a menos de la mitad 11,31% para el ítem 1.2a
(derivar respecto de la variable a).1
Los datos de esta primera conjetura confirman que los errores de los alumnos están
relacionados con la no elección de la variable adecuada, a pesar de que en cada uno de
los ítems figura de una forma clara cuál es la variable respecto de la cual se debe
derivar. Podemos afirmar que las técnicas que aparecen en los ítems que estamos
analizando plantean dificultades para aceptar distintas representaciones ostensivas.
Conjetura 2. Aplicar una técnica en S no incluye la interpretación del resultado
Ítems 2.1a, 2.1b, 2.2 a, 2.2b, 2.3a y 2.3b.
ENUNCIADOS
2.1 Considera la siguiente resolución de la ecuación 3x – 8 = 4 – x:
( 3x – 8)2 = (4 – x)2
3x – 8 = 16 – 8 x + x
8 x = 24 – 2x
4 x = 12 – x
1 En la prueba P2 se complicará más este ítem porque la variable x aparecerá como parámetro y la a como variable.
Capítulo II
70
16x = 144 – 24x + x2
x2 – 40x + 144 = 0.
Obtenemos como soluciones de esta última ecuación x = 4 y x = 36.
(a) ¿Son soluciones de la ecuación irracional?
(b) Interpreta el resultado obtenido en el apartado anterior.
2.2a En la resolución de una ecuación llegamos a la expresión 0·x = 8. ¿Cómo interpretas
este resultado?
2.2b En la resolución de una ecuación, llegas a la conclusión que es equivalente a 0·x = 0.
¿Cómo interpretas este resultado?
2.3. Las funciones f(x) = 3x4 + x y g(x)= x3 – 100x2 tienden a cero cuando x tiende a cero y
tienden a infinito cuando x tiende a infinito.
(a) Calcula el límite de la función cociente : f(x)/g(x) cuando x tiende a cero y cuando x
tiende a infinito.
(b) ¿Cuál de las dos funciones crees que tiende más rápidamente a infinito cuando x tiende
a infinito? ¿Cuál de las dos tiende más rápidamente a cero cuando x tiende a cero? Justifica
tu respuesta.
SOLUCIONES
2.1a x = 4 es solución de la ecuación, pero x = 36 no lo es porque 100 ≠ 4 - 36.
2.1b Al elevar al cuadrado aparecen “soluciones extrañas”.
2.2a No tiene solución real.
2.2b Todos los reales son solución de la ecuación.
2.3a limx → 0
3x4 + x x3 - 100x2 = lim
x → 0
3x3 + 1 x2 - 100x = ∞ y lim
x → +∞
3x4 + x x3 - 100x2 = + ∞.
2.3b El primer resultado indica que la función que tiende más rápidamente a cero
cuando x tiende a cero es la del denominador; el segundo que la función que
tiende más rápidamente a infinito cuando x tiende a infinito es la del numerador.
COMENTARIOS
Las técnicas de resolución de ecuaciones y de cálculo de límites necesarias para resolver
los ítems de este segundo bloque son técnicas supuestamente trabajadas y que aparecen
en cualquier manual de Secundaria. El objetivo de estos ítems era doble: ver
primeramente si conocían la técnica y, después, si sabían interpretarla. Recordemos que
en Secundaria el saber interpretar una técnica conocida no figura como una tarea
institucional.
Primer estudio exploratorio: la prueba inicial
71
RESULTADOS
VALORACIONES
Observamos que mientras que el 38,87% de los estudiantes utilizan correctamente la
primera técnica (ítem 2.1a), tan sólo el 7,07% del total la interpretan correctamente
(ítem 2.1b). Los errores cometidos mayoritariamente son aceptar como respuestas x = 4
y x = 36, soluciones de la ecuación de segundo grado que figuraba en el ítem (2.1).
Otros resuelven de nuevo la ecuación de segundo grado, esperando encontrar un error2.
Las preguntas 2.2a y 2.2b son ambas interpretaciones de resultados que obtiene
habitualmente el alumno (desde primero de ESO en adelante) cuando resuelve
determinadas ecuaciones elementales (por ejemplo, de primer grado). Partiendo de la
hipótesis que todos ellos saben manipular ese tipo de ecuaciones hasta llegar a una
ecuación de la forma ax = b, nos encontramos con que únicamente la mitad pueden
interpretar correcta y simultáneamente expresiones del tipo 0·x = 8 o bien 0·x = 0. En el
análisis cualitativo de las respuestas nos ha sorprendido el que una parte importante de
los alumnos contesten lo contrario de lo que se le pregunta. En el ítem 2.2a muchos
estudiantes afirman que “0·x = 8 es un sistema compatible indeterminado porque
obtienen “x = 8/0 = ∞” e interpretan además que ese resultado equivale a infinitas
soluciones, mientras que en el ítem 2.2b afirman que 0·x = 0 es un sistema incompatible
porque obtienen como solución “x= 0/0 indeterminado” e interpretan que ese resultado
2 El alumno está acostumbrado desde los primeros cursos de Secundaria a tipos de tareas de resolución de ecuaciones en las que después de diversas transformaciones obtiene un resultado que es la solución de la ecuación y sus respuestas recogen esta falta de cuestionamiento tecnológico.
38,87
7,07
68,9
48,06
24,03
6,36
0
20
40
60
80
100
Porc
enta
jes
2.1a 2.1b 2.2a 2.2b 2.3a 2.3b
Items
Respuestas correctas
PORCENTAJES
en blanco incorrectas Correctas
2.1a 6,36 54,77 38,87
2.1b 41,34 51,59 7,07
2.2a 7,77 23,32 68,90
2.2b 9,89 42,05 48,06
2.3a 9,19 66,78 24,03
2.3b 28,27 65,37 6,36
Capítulo II
72
indica que no existe solución. Sus respuestas parecen sugerir que en una ecuación
debemos despejar siempre la incógnita y que, además, aquella siempre tiene solución.La
tabla muestra que sólo un 24,03% de los alumnos utilizan bien las dos técnicas
propuestas en el ítem 2.3a, porcentaje que baja considerablemente cuando se pide la
interpretación de los límites (6,36%). Para muchos estudiantes la interpretación del
resultado de aplicar la técnica se reduce a dar el resultado comparando los grados de los
polinomios.
Los resultados precedentes nos dicen que en la institución el conocimiento de una
técnica no va acompañado de resultados paralelos en su interpretación. Tareas
pertenecientes a organizaciones matemáticas con las que el alumno está muy
familiarizado, como son, las generadas por sistemas de ecuaciones y limites, arrojan una
distancia importante entre la utilización de la técnica y la interpretación del resultado
obtenido.
Conjetura 3. Inexistencia de dos técnicas diferentes para una misma tarea
Ítems 3.1a, 3.1b, 3.2a y 3.2b.
ENUNCIADOS
3.1 Resuelve la inecuación (x-1)2 – 4 < 0 .
(a) Utilizando las propiedades de las desigualdades, sin utilizar ninguna gráfica.
(b) Utilizando la gráfica de la función asociada.
3.2. Escribe la ecuación de la mediatriz del segmento AB, con A = (3, -8) y B = (-1, 2):
(a) Como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de A y B.
(b) Como la recta perpendicular al segmento AB por su punto medio.
SOLUCIONES 3.1.a (x - 1)2 – 4 < 0
Solución de la ecuación (x - 1)2 = 4 ⇒ x - 1 = ±2 ⇒ x = 1 ± 2.
La solución de la inecuación es x ∈ (-1,3).
3.1.b Solución x ∈ (-1,3) o equivalente
Primer estudio exploratorio: la prueba inicial
73
.
3.2a d((-3,-8),(x,y)) = d((x,y),(-1,2)) ⇒
(x + 3)2 + (y + 8)2 = (x + 1)2 + (y - 2)2 ⇒ x+5y -17 = 0.
3.2b Punto medio M(-2,-3) ; 0 17-5yx 2)x(5-13y =+⇒+=+ .
COMENTARIOS
La conjetura corresponde a la posibilidad de resolver dos problemas, uno algebraico y
otro geométrico (tarea que necesitarán en la disciplina de “Dibujo Técnico”), utilizando
más de una técnica. Como la técnica algebraica es la dominante en Secundaria,
esperamos en el caso de la inecuación, obtener mejores resultados con la técnica
algebraica que con la gráfica. En el caso de la mediatriz esperamos mejores resultados
con el cálculo de la perpendicular por el punto medio.
RESULTADOS OBTENIDOS
VALORACIONES
Si analizamos el bloque 3.1a-3.1b, observamos que utilizar la técnica algebraica (3.1a)
da un porcentaje de aciertos del 25,09%, mientras que el porcentaje de aciertos 17,67%
baja al utilizar la gráfica de la función asociada (3.1b). Si analizamos la respuestas en
blanco, comprobamos que los alumnos se atreven a contestar la pregunta 3.1a, que
-6
-4
-2
0
2
4
6
-4 -2 0 2 4 6
25,09 17,678,13
12,72
0
20
40
60
80
100
Porc
enta
jes
3.1a 3.1b 3.2a 3.2b
Items
Respuestas correctas
PORCENTAJES
en blanco incorrectas Correctas
3.1a 17,67 57,24 25,09
3.1b 56,89 25,44 17,67 3.2a 52,65 39,22 8,13
3.2b 55,83 31,45 12,72
Capítulo II
74
presenta un porcentaje importante de respuestas incorrectas, 57,24%, cosa que no hacen
con la 3.1b, donde destacan las respuestas en blanco con un 56,89%. Creemos que
puede ser debido a que en la 3.1a se propone la técnica del manejo de las desigualdades,
que es la que se presenta en Secundaria como la técnica “oficial” para resolver
inecuaciones, mientras que la técnica que requiere utilizar la gráfica de la función
asociada (3.1b) es una técnica con la que el alumno no parecen estar familiarizados. Un
porcentaje importante de respuestas correctas del ítem 3.1b se explica porque lo que
hacen los alumnos, sin justificación alguna, es utilizar las respuestas correctas del ítem
3.1a, para contestar el ítem 3.1b. Los errores mayoritariamente en el ítem 3.1a
provienen de que los estudiantes se limitan a resolver solamente la ecuación de segundo
grado y no hacer nada más.
El alto porcentaje de respuestas en blanco que presentan los ítems 3.2.a (52,65%) y
3.2.b (55,83%) pone de manifiesto que la tarea de buscar la mediatriz de un segmento es
poco conocida. Los resultados también reflejan que los alumnos conocen un poco mejor
la técnica oficial (12,72%) que la técnica del lugar geométrico (8,13%). La respuesta
mayoritaria considerada como incorrecta se reduce en ambos ítems a calcular el punto
medio del segmento y no hacer nada más. Podemos decir que los resultados parecen
confirmar el predominio de la técnica institucional para cada tarea concreta. La
tendencia apuntada en esta conjetura se confirmará de una forma más nítida con el
análisis de las respuestas al segundo cuestionario que llevaremos a cabo en el capítulo 3.
Conjetura 4. No reversión de las técnicas para realizar la tarea inversa
Ítems 4.1 y 4.2
ENUNCIADOS
4.1. Escribe un polinomio de grado dos en la variable x que se anule para x = 1 y x = 2.
4.2. Construye un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas que tengan el
punto (-5,4) como única solución. Explica cómo lo haces.
Primer estudio exploratorio: la prueba inicial
75
SOLUCIONES 4.1. (x - 1) (x - 2) o bien x2 - 3x + 2.
4.2. Basta escribir las ecuaciones de dos rectas no paralelas cualesquiera y exigir que ambas
pasen por el punto dado: por ejemplo, x + y = -1; x – y = -9.
COMENTARIOS
Elegimos dos organizaciones matemáticas muy familiares para los alumnos: una relativa
a los polinomios y otra relativa a los sistemas de ecuaciones lineales. Dentro de estas
organizaciones matemáticas las tareas elegidas son muy comunes: calcular las raíces de
un polinomio y calcular las soluciones de un sistema de dos ecuaciones lineales. La
dificultad estriba en que se plantean las tareas inversas.
RESULTADOS
VALORACIONES
Los resultados de la tabla referidos a los ítems 4.1 y 4.2 ponen de manifiesto la poca
flexibilidad de las técnicas que figuran en los ítems de la conjetura. Muestran que el
porcentaje de alumnos que puede invertir correctamente cada una de las dos técnicas es
bajo, un 50,53% en el caso de una tarea tan simple como es escribir un polinomio de
segundo grado que tiene dos raíces dadas y extraordinariamente bajo 9,19% en el caso
del sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas si conocemos una solución.
50,53
9,19
0
20
40
60
80
100
Porc
enta
jes
4.1 4.2
Items
Respuestas correctas
PORCENTAJES
Ítem en blanco incorrectas correctas
4.1 28,27 21,20 50,53
4.2 59,01 31,80 9,19
Capítulo II
76
Ítems 5.1, 5.2a y 5.2b
ENUNCIADOS
5.1. Compara las siguientes ofertas de trabajo para repartir propaganda electoral: (a) si pagamos una
cantidad fija de 50.000 pesetas más 10 pesetas por cada papeleta depositada en un buzón (b) Si pagamos
30.000 pesetas fijas más 15 pesetas por papeleta.
5.2. En unos grandes almacenes hacen el 10% de descuento en todos los artículos y cargan el 16% de IVA
(a) Calcular el coste final de un articulo que inicialmente vale x pesetas.
(b) ¿Puedes calcular el coste final de un articulo aplicando a x una única operación?
SOLUCIONES 5.1. 50000+10x > 30000 + 15x ⇒ x < 4000. A partir de 4000 es más rentable la segunda
5.2a Precio con descuento: x – 10x100 = a. Precio final: a +
16a100.
5.2b x – 10x100 + (x –
10x100)
16100 = 1.044x.
COMENTARIOS
Nos pareció oportuno que el cuestionario recogiese problemas de la vida cotidiana y de
acuerdo con este criterio propusimos dos tareas de modelización, referidas al entorno
económico, cada vez con mayor protagonismo matemático. Planteamos al alumno dos
tareas de modelización muy sencillas, en las que tenía que construir el modelo. Lo
situamos además como protagonista, buscando un cierto compromiso en las respuestas.
En una de ellas se pedía la posibilidad de elegir entre dos ofertas de trabajo y en la otra
se trataba de calcular un porcentaje de una cantidad determinada, tarea muy
institucionalizada en el mundo del consumo.
RESULTADOS
36,0426,86
15,19
0
20
40
60
80
100
Porc
enta
jes
5.1 5.2a 5.2b
Items
Respuestas correctas
PORCENTAJES
en blanco incorrectascorrectas
5.1 31,45 32,51 36,04
5.2a 12,37 60,78 26,86
5.2b 30,04 54,77 15,19
Conjetura 5. Ausencia de situaciones abiertas que requieren un trabajo de modelización
Primer estudio exploratorio: la prueba inicial
77
VALORACIONES
El análisis de las respuestas a los ítems 5.1, 5.2a y 5.2b refleja la dificultad que tienen
los alumnos para crear un modelo matemático muy simple de una situación
escolarmente familiar, en particular en el ítem 5.2b. La situación que se propone en 5.1.
se modeliza mediante dos funciones afines. La mayoría de las respuestas o bien no
llegan a construir el modelo matemático, o bien no lo utilizan de manera pertinente. La
tarea que se propone en los ítems 5.2.a y 5.2.b combina un descuento y un impuesto.
Los datos muestran claramente que los estudiantes no manejan con soltura la
modelización de estas situaciones elementales.
2.3.2. Análisis a priori y resultados del segundo bloque de conjeturas (C6 a C11)
Las cinco primeras conjeturas que acabamos de considerar ponen de manifiesto algunos
aspectos de la rigidez de las prácticas matemáticas que se realizan en Secundaria. La
segunda parte del cuestionario P1 corresponde a preguntas que pretendían poner de
manifiesto otra de las conjeturas iniciales de nuestra investigación que hacen referencia
a ciertos aspectos de la ruptura entre los contratos didácticos institucionales imperantes
en Secundaria y los que prevalecen en la enseñanza universitaria.
Conjetura 6. Cambio en el papel de las definiciones de “descriptivo” a “constructivo”
Ítems 6.1a, 6.1b, 6.2a, 6.2b, 6.3a y 6.3b
ENUNCIADOS
6.1.a ¿Existe algún rectángulo que sea rombo? Justifica tu respuesta.
6.1.b ¿Existe algún rectángulo que sea cuadrado?
6.2. Recuerda que una sucesión es divergente hacia más infinito si satisface la siguiente
condición: dado un número real K cualquiera, existe un termino de la sucesión a partir del
cual todos los términos de la sucesión son más grandes que K. Di si las siguientes
sucesiones son o no son divergentes a más infinito. Explícalo.
(a) 1, 10, 2, 100, 3, 1000, 4, 10000, 5, 100000, 6,...
(b) 1, 10, 1/2, 100, 1/3, 1000, 1/4, 10000, 1/5, 100000, 1/6,...
Capítulo II
78
6.3. Llamaremos distancia vertical entre dos puntos del plano al valor absoluto de la
diferencia entre sus segundas coordenadas: d((a, b), (c, d)) = b – d.
(a) Pon ejemplos de puntos diferentes que están a distancia vertical igual a cero.
(b) ¿Qué punto está más próximo al origen (respecto a la distancia vertical): el (4;0.5), el
(1;1) o el (-2;-1)? Justifica tu respuesta.
SOLUCIONES 6.1a Un cuadrado es un caso particular de rectángulo y es un rombo (cuatro lados
iguales).
6.1b Sí. El cuadrado.
6.2a Sí, porque dado cualquier número real K, siempre es posible encontrar un termino
de la sucesión a partir del cual todos los términos de la sucesión son más grandes que K.
6.2b No existe ningún número K que verifique esa condición, porque siempre habrá un
número real menor que el anterior. Bastaría poner también un contraejemplo.
6.3a Puntos (a,b), (c,d) ∈ R2 / b = d. Bastaría poner tres ejemplos que verifiquen esa
condición.
6.3b Como d((0,0), (c,d))= 0 – d= d, entonces cuanto menor sea la segunda
coordenada en valor absoluto, más cerca está del origen. En este caso sería el punto
siguiente (4;0,5).
COMENTARIOS
Los ítems propuestos deberían permitirnos comprobar que las definiciones formales en
Secundaria tienen poca incidencia en la práctica matemática de los estudiantes.
RESULTADOS
11,31
44,88
16,96 14,84
79,1568,55
0
20
40
60
80
100
Porc
enta
jes
6.1a 6.1b 6.2a 6.2b 6.3a 6.3b
Items
Respuestas correctas
PORCENTAJES
en blanco incorrectascorrectas
6.1a 16,25 72,44 11,31
6.1b 10,95 44,17 44,88
6.2a 28,98 54,06 16,96
6.2b 30,74 54,42 14,84
6.3a 9,89 10,95 79,15
6.3b 10,95 20,49 68,55
Primer estudio exploratorio: la prueba inicial
79
VALORACIONES
Los porcentajes correspondientes a los ítems 6.1a y 6.1b muestran que únicamente el
11,31% y el 44,88% respectivamente de los estudiantes utilizan efectivamente una
definición correcta de rectángulo. La mayoría de las respuestas incorrectas ponen de
manifiesto que los alumnos utilizan una “imagen” de la forma del “rectángulo” como
(pseudo)definición: “ningún rectángulo puede ser un rombo porque el rectángulo tiene
4 ángulos rectos y el rombo tiene dos ángulos obtusos”.
En los ítems 6.2a y 6.2.b se debía utilizar la definición de sucesión divergente y los
resultados son muy parecidos. Los porcentajes de respuestas correctas son muy bajos; la
mayoría de las respuestas incorrectas están basadas en la idea intuitiva de “divergir
hacia infinito” y en respuestas que no parten de la definición. En el ítem 6.2a muchas
de las respuestas incorrectas identifican el crecimiento con la divergencia. En el ítem
6.2b el alumno construye su propia definición personal “no, porque los términos
impares se acercan a cero y los impares a infinito”, y esto a pesar de que el alumno no
tenía que recordar la definición de sucesión divergente, porque ya aparecía en el ítem.
El alto número de respuestas “en blanco” refleja que este tipo de tareas no son tareas
institucionales en Secundaria.
Los ítems 6.3a y 6.3b ofrecen un mayor porcentaje de respuestas correctas debido,
probablemente, al fuerte predominio del aspecto “descriptivo” de la definición de
distancia vertical entre dos puntos.
Las respuestas a este grupo de ítems apuntan a que, en Secundaria, el alumno tiene
menos dificultades cuando a las definiciones se les asigna un carácter descriptivo que
cuando asumen la función de “construir” el objeto definido. En el análisis cualitativo de
sus respuestas observamos que las definiciones formales no tienen gran incidencia sobre
la actividad matemática y que el alumno termina por crear su propia definición personal.
Capítulo II
80
Conjetura 7. De las matemáticas “mostrativas” a las matemáticas”demostrativas”
Ítems 7.1, 7.1a, 7.1b y 7.2
ENUNCIADOS
7.1. En un examen figura la siguiente pregunta:
¿Hay algún número real x que satisface simultáneamente : x3 + 2 x = 5 y x3 - 2x = -3?
Un compañero tuyo da la siguiente respuesta: “Restando las dos ecuaciones encontramos
que x satisface 4x = 8 y por tanto, resulta x = 2”.
7.1a. Justifica la validez de este argumento.
7.1b. Di si es válida la solución encontrada.
7.2. Tenemos tres números a, b y c que satisfacen las desigualdades: 5 < a, 5 < b y b < c.
¿Podemos deducir que a < c?
SOLUCIONES 7.1a Este argumento no es cierto si las ecuaciones no son lineales.
7.1b No es solución porque no satisface las ecuaciones.
7.2 No, porque podemos encontrar un contraejemplo que no verifique eso. Basta tomar
b = 10, c = 11, a = 12 que verifica las hipótesis y, sin embargo, a no es menor que c.
COMENTARIOS
Queremos poner de manifiesto en los ítems elegidos que las demostraciones en
Secundaria tienen un papel “ostensivo” en el que únicamente se muestran las
propiedades y los resultados, en contraposición al carácter “demostrativo” de la
matemática universitaria
RESULTADOS OBTENIDOS
4,95
59,72
36,04
020406080
100
Porc
enta
jes
7.1a 7.1b 7.2
Items
Respuestas correctas
PORCENTAJES
en blanco incorrectascorrectas
7.1a 27,21 67,84 4,95
7.1b 19,79 20,49 59,72
7.2 13,78 50,18 36,04
Primer estudio exploratorio: la prueba inicial
81
VALORACIONES
El ítem 7.1a (que pedía una justificación de la validez de un argumento) tiene un nivel
de respuestas correctas muy bajo (4,95%), mientras que el ítem el 7.1b (que sólo
requería comprobar si el resultado de la aplicación de dicho argumento era válido)
presenta un porcentaje considerablemente mayor (59,72%) de respuestas correctas. Un
número importante de alumnos muestra en sus respuestas que no diferencian las tareas
propuestas en los ítems 7.1a y 7.1b afirmando que “el argumento no es valido porque
x = 2 no es solución de las ecuaciones”.
En la pregunta 7.2 la gran mayoría de alumnos muestran graves dificultades para llevar
a cabo un razonamiento hipotético (decidir si tres desigualdades implican o no una
cuarta desigualdad). La mayoría de las respuestas no son ni siquiera pertinentes
(independientemente de que sean incorrectas).
Parece, en resumen, que la demanda de “justificar la validez de un argumento” es una
tarea que los estudiantes no identifican como susceptible de estar bajo su
responsabilidad.
Conjetura 8. De los problemas por resolver a los problemas por demostrar
Ítems 8.1a, 8.1b, 8.2a y 8.2b
ENUNCIADOS
8.1.a Escribe 3 soluciones enteras de la ecuación 12·x = 18·y
8.1.b ¿Cómo podemos describir todos los pares de enteros que son soluciones de esa
ecuación?
8.2. Si un sistema de ecuaciones lineales tiene más incógnitas que ecuaciones.
(a) ¿Podemos asegurar que no tiene solución? Justifica tu respuesta.
(b) ¿Podemos asegurar que tiene infinitas soluciones? Justifica tu respuesta.
Capítulo II
82
SOLUCIONES 8.1a (3,2),(6,4), (9,6)
8.1b
∈ 3)
32,( &xxx
8.2a El sistema de 2 ecuaciones con 3 incógnitas siguiente
=++=++
DkkCzykBxkADCzyBxA (A, B ≠ 0) es un
sistema compatible indeterminado porque el rango de la matriz del sistema y el de la matriz ampliada es
1, mientras que el número de incógnitas es 3.
8.2b No, por ejemplo el sistema de 2 ecuaciones con 3 incógnitas
≠=++=++
)( DEECzByAxDCzByAx es un
sistema incompatible porque el rango de la matriz de coeficientes es 1 y el de la matriz ampliada es 2.
COMENTARIOS
Para contrastar esta conjetura hemos elegido tareas relacionadas con las ecuaciones
lineales. En la primera parte del bloque se requiere la utilización de una técnica para
obtener unas pocas o todas las soluciones de una ecuación diofántica elemental. En la
segunda parte del bloque, por el contrario, la tarea requiere demostrar que los sistemas
de ecuaciones de un tipo determinado tienen soluciones con ciertas características
generales.
RESULTADOS
74,2
21,91 20,49 7,77
020406080
100
Porc
enta
jes
8.1a 8.1b 8.2a 8.2b
Items
Respuestas correctas
PORCENTAJES
en blanco incorrectascorrectas
8.1a 6,36 19,43 74,20
8.1b 19,79 58,30 21,91
8.2a 21,20 58,30 20,49
8.2b 25,44 66,78 7,77
Primer estudio exploratorio: la prueba inicial
83
VALORACIONES
El paso de la tarea que consiste en escribir tres soluciones concretas de una ecuación
(ítem 8.1.a), a describir el conjunto de todas las soluciones (ítem 8.1.b), presenta una
caída muy significativa del porcentaje de respuestas correctas (del 74,20% al 21,91%).
La respuesta incorrecta mayoritaria es del tipo (3y/2, y). Aparece aquí otro aspecto de la
rigidez de las técnicas y que tiene relación con la dificultad de delimitar el ámbito de
aplicabilidad de una técnica.
Con los ítems 8.2.a y 8.2.b la dificultad aumenta todavía más debido a que se pasa de un
“problema por resolver” a un “problema por demostrar”. La mayoría de respuestas
incorrectas ponen de manifiesto que el alumno no responde de manera pertinente a la
demanda de “justificar la respuesta”. En el ítem 8.2a aparecen respuestas del tipo: “ no
porque hay incógnitas expresadas en función de otras”, “sí, porque el rango de la matriz
que forma el sistema es más pequeño que el número de incógnitas”, “sí, tiene infinitas”.
En el ítem 8.2b aparecen respuestas del tipo “sí, porque se puede poner alguna incógnita
en función de otra”, “no, porque soluciones infinitas sólo se dan cuando el número de
incógnitas es igual al número de ecuaciones”, “sí, porque cada solución queda en
función de alguna incógnita”, etc.
Conjetura 9. La geometría escolar es “intrafigural” y trabaja con nociones “absolutas”
Ítems 9.1 y 9.2
ENUNCIADOS
9.1. Si dos cuadriláteros diferentes tienen los ángulos respectivamente iguales, ¿son
necesariamente semejantes? Explícalo y pon ejemplos.
9.2. Tomamos como unidad de superficie el área de un triángulo equilátero de lado una
unidad de longitud. ¿Cuál es el área de un triángulo equilátero de lado dos unidades?
SOLUCIONES 9.1. No, por ejemplo el cuadrado y cualquier rectángulo que no sea cuadrado tienen los ángulos
iguales y los lados no son proporcionales.
9.2. Cuatro unidades de superficie.
Capítulo II
84
COMENTARIOS
El ítem 9.1 pretende contrastar la hipótesis de que en Secundaria no se estudian las
relaciones entre figuras y el 9.2 que en Secundaria se utiliza la noción absoluta de
unidad de superficie identificándola con un cuadrado de lado unidad.
RESULTADOS
PORCENTAJES
en blanco incorrectascorrectas
9.1 30,39 49,47 20,14
9.2 18,37 62,19 19,43
VALORACIONES
La mayoría de respuestas incorrectas al ítem 9.1 afirman que si dos figuras tienen
ángulos respectivamente iguales, son semejantes (no ponen ejemplos). El ítem 9.2
aporta un resultado de respuestas correctas ligeramente menor. Los alumnos presentan
graves dificultades para utilizar el triángulo equilátero como unidad de superficie,
debido sin duda a la poca familiaridad con el tipo de tarea planteado y a la uniformidad
de las unidades de medida que se utilizan en Secundaria.
Conjetura 10. La matemática escolar presenta un fuerte carácter prealgebraico en
Secundaria y sufre una abrupta algebrización al inicio de la enseñanza universitaria.
Ítems 10.1a, 10.1b, 10.2 a y 10.2b
ENUNCIADOS
10.1.a ¿Existen inecuaciones polinómicas de primer grado con una incógnita, ax + b ≤ 0, que no tienen
ninguna solución? Pon un ejemplo en el caso de que existan inecuaciones de primer grado sin solución
10.1.b ¿Y de segundo grado: ax2 + bx + c ≤ 0? Pon un ejemplo en el caso en que existan inecuaciones
de segundo grado sin ninguna solución.
20,14 19,43
020406080
100
Porc
enta
jes
9.1 9.2
Items
Respuestas correctas
Primer estudio exploratorio: la prueba inicial
85
10.2. El área total S de un cono recto de generatriz g y de radio de la base R, viene dada por la formula:
S = πR (g + R)
(a) Escribe la función g = f(R) que relaciona la generatriz g con el radio de la base R, cuando el área total
del cono es igual a 1.
(b) ¿Cuál es la derivada de esta función?
SOLUCIONES 10.1a Si a ≠ 0, no existen: cualquier recta de ecuación y = ax + b corta el eje de las x. Si podemos
considerar a = 0, entonces sí: la inecuación x + 6 ≤ x – 10 no tiene ninguna solución.
10.1b Sí, por ejemplo x2 + 4 ≤ 0 no tiene ninguna solución.
10.2a 2RπgRπ1 += ⇒ )(12
2
RfR
Rg =−
=ππ .
10.2b 2
11)('R
Rfπ−
−−= .
COMENTARIOS
Las cuatro tareas propuestas, dos de resolución de inecuaciones y dos de modelización
funcional, tienen en común que tratan situaciones generales mediante el uso de
simbolismo algebraico que incluye variables y parámetros. En principio suponemos que
son tareas poco estudiadas en Secundaria, a pesar que las familias de funciones
involucradas sí sean conocidas por los alumnos.
RESULTADOS
VALORACIONES
Los datos relativos a los ítems 10.1a y 10.1b, reflejan la ausencia en Secundaria de
tareas que involucren a todo un tipo de ecuaciones (o inecuaciones).
en blanco incorrectas correctas
10.1a 56,89 28,27 14,84
10.1b 60,07 18,02 21,91
10.2a 51,24 17,31 31,45
10.2b 57,24 29,68 13,08
14,8421,91 31,45
13,08
020406080
100
Porc
enta
jes
10.1a 10.1b 10.2a 10.2b
Items
Respuestas correctas
Capítulo II
86
Con los ítems 10.2.a y 10.2.b pretendemos contrastar la hipótesis de la ausencia de la
actividad matemática que utiliza las funciones como modelos matemáticos dinámicos,
flexibles y manipulables. La primera parte de la tarea (ítem10.2a) comporta únicamente
escribir la fórmula de la generatriz del cono en función del radio (nivel estático) y ha
resultado relativamente más sencilla. La segunda parte de la tarea (ítem 10.2b) requiere
considerarla como una función y manipularla como tal (derivarla). El porcentaje de
respuestas correctas (13,08%) muestra el aumento de la dificultad.
Conjetura 11. En Secundaria no se estudian familias de funciones y la tarea dominante
es la representación gráfica de funciones como objetivo en sí mismo.
Ítems 11.1 y 11.2
ENUNCIADOS
11.1. ¿Cuál es la relación entre las gráficas de les funciones siguientes:
y = x2; y = (x + 3)2 ; y = x2 – 5?
11.2. La ecuación 4x3 - x4 = 30 no tiene solución. Justifícalo utilizando el máximo de la
función: f(x) = 4x3 – x4.
SOLUCIONES 11.1. y = (x + 3)2 es una traslación de y = x2 tres unidades a la izquierda e y = x2 – 5 es
una traslación de cinco unidades hacia abajo.
11.2. f ‘(x) = 12x2 - 4x3 = 4x2 (3 - x) = 0 ⇒ Los puntos críticos son x = 0 y x = 3. Es
fácil demostrar que f(3) = 27 < 30 es el máximo valor de la función.
COMENTARIOS
El ítem 11.1 pretende mostrar que en Secundaria un conjunto de funciones con
propiedades comunes muy remarcables (por ejemplo, tres funciones cuadráticas cuyas
gráficas son parábolas obtenidas por traslación) no se asocian a una familia de
funciones. El ítem 11.2 propone utilizar una técnica de “estudio de funciones” (cálculo
de un máximo) para una finalidad distinta de la habitual (resolución de una ecuación).
Primer estudio exploratorio: la prueba inicial
87
RESULTADOS
VALORACIONES
La mayoría de las respuestas incorrectas al ítem 11.1 se producen porque los estudiantes
representan las parábolas sin relacionarlas entre sí, sin considerarlas como una familia
de funciones. Un dato importante que observamos en el estudio cualitativo de las
respuestas, es que una parte muy importante de los alumnos, utiliza como técnica una
tabla de valores (poco rigurosa si la estructura de la parábola se complica un poco) para
representar las parábolas.
Las respuestas al ítem 11.2. ponen claramente de manifiesto la poca integración de la
técnica gráfica con la analítica y la algebraica. La mayor parte de las respuestas
incorrectas de los alumnos se pueden agrupar en dos clases: por un lado, aquellos que se
limitan a calcular el máximo de la función y no hacen nada más, y por otro, los que
intentan comprobar que la ecuación 4x - x4 = 4 no tiene solución (emplean la regla de
Ruffini).
12,37 11,31
020406080
100
Porc
enta
jes
11.1 11.2
Items
Respuestas correctas
PORCENTAJES
en blancoIncorrectas correctas
11.1 20,49 67,14 12,37
11.2 43,11 45,58 11,31
Capítulo II
88
2.4. Conclusiones: evaluación y limitaciones del primer cuestionario
Los resultados obtenidos en la realización y análisis de las respuestas al cuestionario P1
nos permiten sacar dos tipos de conclusiones generales. El primer tipo está relacionado
con la información que se obtiene de los conocimientos matemáticos que los alumnos
de la muestra son capaces de movilizar. En este sentido, podemos afirmar que los datos
obtenidos apuntan hacia la confirmación de nuestras conjeturas sobre la incompletitud
de las OM que se estudian en Secundaria. El segundo tipo de conclusión versa sobre las
limitaciones del propio cuestionario P1 en cuanto herramienta de descripción de estas
conjeturas y, como veremos ahora, plantea la necesidad de crear una segunda prueba
que confirme los resultados obtenidos en P1 y permita a la vez dar mayor generalidad al
estudio.
2.4.1. Evaluación del primer cuestionario
Los resultados de los ítems relativos a las cinco primeras conjeturas estaban destinados
a poner en evidencia aspectos de la rigidez y del aislamiento en la actividad matemática
que se realiza en Secundaria. Destacaremos, de acuerdo con los datos empíricos
obtenidos esas cinco primeras conjeturas, las características más importantes
observadas.
• Conjetura 1:
De los resultados obtenidos podemos observar la dificultad que tienen los
alumnos para la utilización de diversas representaciones ostensivas para realizar
un mismo cálculo.
• Conjetura 2:
Los datos son indicativos del discurso tecnológico imperante en Secundaria:
parece que las técnicas matemáticas tienen como único dominio de validez el
cálculo algorítmico y que, una vez obtenido el resultado, no hay ninguna
necesidad de interpretarlo, porque esto no forma parte de la responsabilidad que
contracto didáctico de Secundaria asigna al alumno.
Primer estudio exploratorio: la prueba inicial
89
• Conjetura 3:
Los resultados obtenidos muestran la débil presencia, siempre en manos de los
alumnos, del cuestionamiento tecnológico alrededor de una técnica. Las tareas
aparecen siempre asociadas a una sola técnica, que tienen un carácter
autotecnológico y raras veces se plantea la posibilidad de buscar otra técnica
distinta, aunque ésta pueda resultar no sólo más económica, sino también más
rigurosa.
• Conjetura 4:
Los resultados de la conjetura ponen de manifiesto la poca flexibilidad de las
técnicas que existen en Secundaria. Herramientas que los alumnos manejan
desde los primeros cursos de Secundaria y que, por ello, deberían formar parte
de su medio matemático, como las relativas a ecuaciones de segundo grado (3º
de ESO), a los sistemas de 2 ecuaciones lineales con dos incógnitas (3º de ESO),
ampliadas después a sistemas de 3 ecuaciones lineales con tres incógnitas (1º de
BACHILLERATO, y ampliadas todavía más a sistemas de m ecuaciones lineales
con n incógnitas (2º de BACHILLERATO), plantean todavía una enorme
dificultad cuando la tarea demanda no es la habitual sino la inversa de ésta.
• Conjetura 5:
En Secundaria, pocas veces se plantea una situación inicialmente problemática
que podamos considerar como extramatemática y que, a través de sucesivas
manipulaciones, vaya provocando nuevas situaciones problemáticas, que
obliguen a la búsqueda de modelos matemáticos que den respuesta a la situación
inicial y a aquellas otras que se van generando. Los resultados de la Conjetura 5
confirman que aún en los casos más simples, en tareas extraordinariamente
rutinarias, como las que aparecen con frecuencia en la matemática comercial,
ítem 5.2 (construir un modelo matemático a partir de un porcentaje), los alumnos
tienen muchas dificultades para construir un modelo matemático sencillo. Es la
conjetura que refiere al carácter más utilitario de las matemáticas y por tanto el
más visible para la sociedad.
Capítulo II
90
Las 6 últimas conjeturas se refieren a algunas de las contradicciones y cambios bruscos
que se producen en el contrato didáctico institucional al pasar de la enseñanza
Secundaria a la enseñanza universitaria. Este grupo de conjeturas se sitúa por lo tanto en
el nivel disciplinar, esto es, a nivel de las matemáticas escolares consideradas como un
todo.
• Conjetura 6:
Hay un cambio tecnológico en las definiciones al pasar de la definición descriptiva,
determinante en Secundaria, a las definiciones constructivas de la Universidad. Los
datos de la conjetura sobre la definición de sucesión divergente apuntan de una
forma clara en esta dirección. En la Universidad, ese cambio en la tecnología se
manifiesta al comienzo de la enseñanza, por ejemplo en las dificultades que
experimentan los alumnos en la construcción de las estructuras algebraicas.
• Conjetura 7:
El papel que desempeñan las demostraciones es otro de los cambios tecnológicos
que se producen al pasar de la enseñanza de Secundaria a la enseñanza
Universitaria. Debido al tecnicismo reinante en S no existe discurso tecnológico
donde se pida la justificación de un argumento, la respuesta es siempre mostrativa, a
diferencia de la Universidad, donde el discurso aporta nuevas tareas que tienen un
carácter demostrativo. Los resultados de los ítems de la conjetura, especialmente el
7.1a, sólo dan la respuesta correcta 14 de los 283 alumnos, así lo ponen de
manifiesto.
• Conjetura 8:
El paso de los problemas por resolver a los problemas por demostrar, es otra de las
contradicciones y cambios bruscos en el paso de Secundaria a la Universidad. Los
resultados de los ítems, 8.2a, 8.2b de la conjetura, relativos a una organización
matemática que forma parte desde los primeros cursos de Secundaria (sistemas de
ecuaciones) de su medio matemático, con porcentajes muy altos de respuestas “en
blanco”, refleja claramente que la justificación de las respuestas no es una tarea que
forma parte de la actividad matemática de Secundaria
Primer estudio exploratorio: la prueba inicial
91
• Conjetura 9:
Otra de las discontinuidades del paso Secundaria a la Universidad puede formularse
en términos de “nociones absolutas” en Secundaria que pasan a ser “relativas” en la
Universidad. El alto número de respuestas “en blanco” del ítem 9.2 apuntan lo que
afirmábamos en el capítulo 1 sobre esta conjetura: la utilización de una unidad de
superficie distinta de la habitual resulta muy problemática a los alumnos.
• Conjetura 10:
Otro de los cambios brusco se produce en el paso del carácter prealgebraico de las
organizaciones matemáticas que se estudian en Secundaria al carácter bruscamente
algebraico de la matemática universitaria. Los resultados obtenidos apuntan a que la
utilización de una fórmula, propia de la Secundaria, está a considerable distancia de
su manipulación, sea ésta en forma de tipos de inecuaciones o de un modelo
matemático ya creado.
• Conjetura 11:
En Secundaria el estudio de las propiedades de una función real de variable real es
una tarea muy estereotipada que no relaciona distintas técnicas matemáticas de
diferentes áreas (por ejemplo de álgebra, geometría y análisis). En la Universidad,
generalmente se da por sentado que el alumno conoce las principales familias de
funciones y que las diversas técnicas se utilicen al mismo tiempo sin que originen
conflictos. Los resultados de la conjetura, referidos a la representación gráfica de
una familia de funciones y la conexión entre una técnica gráfica y otra analítica,
ponen de manifiesto este conflicto.
2.4.2. Limitaciones del primer cuestionario
El análisis de los resultados de la primera prueba inicial nos condujo a reunir otra
vez más al grupo de profesores que participamos en su elaboración y plantear las
limitaciones de la misma. Los resultados de las 11 conjeturas apuntaban, como
manifiestan los resultados precedentes, en la dirección que nosotros esperábamos.
Pero consideramos que el intentar mantener las once conjeturas y, a la vez, la
exigencia de que la prueba no rebasase las dos horas de duración, produjo una
Capítulo II
92
limitación importante, el número de tareas y de técnicas matemáticas involucradas
era pequeño para cada una de las conjeturas y eso podía restar generalidad a la
prueba.
• En la conjetura 4 se estudia la no inversión de las técnicas y las dos únicas
tareas que se proponen son tareas inversas. Igualmente ocurre con algunos de los
ítems de la conjetura 1 (por ejemplo el derivar una función potencial con y como
variable independiente que no permite comparar con la de derivar una función
potencial que tenga la misma estructura pero con x como variable
independiente).
• Debíamos haber evitado ítems en los que la respuesta correcta de uno (3.1a) se
utilizase para dar la respuesta correcta de otro (3.1b)
• Las tareas de modelización propuestas en la conjetura cinco nos parecieron muy
restrictivas, respondían a la misma estructura, la creación de un modelo
matemático y ninguna donde el modelo estuviese ya creado y hubiese que
manipularlo.
Estas limitaciones nos plantearon la conveniencia de elaborar una segunda prueba que
confirmase los resultados de la primera, y que nos permitiese obtener una mayor
generalización en los resultados. Por ello, y para poder profundizar en el análisis y la
posible modificación de las cinco primeras conjeturas (que se refieren a cinco aspectos
concretos de la rigidez de las organizaciones matemáticas que se estudian en
Secundaria), se propuso una segunda prueba (el cuestionario P2) centrado únicamente
en estas cinco conjeturas. La reducción del número de conjeturas nos permitió agregar
nuevas tareas, aumentar el número de ítems de cada conjetura y variar los bloques
temáticos en los que éstas se pueden especificar. El resultado debería permitir a la vez
completar los resultados obtenidos en el cuestionario P1 y ampliar la base empírica del
estudio.
CAPÍTULO III
Segundo estudio exploratorio: aspectos de la rigidez de las
organizaciones matemáticas en Secundaria
Segundo estudio exploratorio : aspectos de la rigidez de las matemáticas en Secundaria
95
3.1. Descripción del segundo cuestionario
3.1.1.Elaboración de la prueba
Recordemos brevemente que, como hemos indicado al final del capítulo 2, el análisis de
los resultados del cuestionario P1 nos condujo a la elaboración de una segunda prueba
centrada en el contraste del primer bloque de conjeturas y que superara las limitaciones
constatadas en P1. De este modo, se llegó a la conclusión que el nuevo cuestionario
debía responder a las características siguientes:
• Reducción del número de conjeturas a las cinco primeras:
C1: Dependencia de la nomenclatura asociada a una técnica.
C2: La aplicación de una técnica en S no incluye la interpretación del resultado.
C3: Inexistencia de dos técnicas diferentes para realizar una misma tarea.
C4: No reversión de las técnicas para realizar la tarea “inversa” de una tarea dada.
C5: Ausencia de situaciones abiertas que requieren un trabajo de modelización.
• Aumento del número de tareas y de técnicas matemáticas seleccionadas para
contrastar cada una de las conjeturas, lo que implica tanto un incremento del
número de ítems utilizado para cada conjetura como de los bloques temáticos
curriculares contemplados.
• Simplificación de las tareas para evitar que la dificultad de éstas no permita
contrastar las conjeturas
• Evitar los ítems relacionados en los que se pueda utilizar la respuesta correcta de
uno de ellos para responder al otro. En particular, eliminar la organización de los
ítems en bloques por conjeturas y presentarlos de manera intercalada.
• Añadir ítems que permitan comprobar que las tareas rutinarias lo son
efectivamente y poder así poner de manifiesto la rigidez de su uso.
• Añadir ítems que completen algunas carencias de P1. Por ejemplo en la
conjetura 5 de P1 se plantearon tareas en las que habría que crear el modelo
matemático y ninguna donde hubiera que manipular un modelo dado de
antemano. Era interesante comprobar si, dado el modelo, se mantenían las
dificultades o, por el contrario disminuían.
• Equilibrar el número de ítems de cada conjetura.
Capítulo III
96
Como resultados de todas estas modificaciones elaboramos un nuevo cuestionario, el
cuestionario P2 formado por 44 ítems44.
CUESTIONARIO P2
1. Calcula la integral definida: ⌡⌠1
32xdx .
2. Si una función es par, es decir, f(– x) = f(x) [como, por ejemplo, f(x) = x4].
(a) ¿Qué relación hay entre f’(– a) i f’(a)? [por ejemplo, entre f’(–1) y f’(1)].
(b) ¿Cómo interpretarías geométricamente esta relación? Haz una gráfica e interprétala.
3. Calcula el mínimo común múltiplo de 280 y 350 sin descomponer los números en factores primos
(puedes utilizar el hecho de que el máximo común divisor es 70). Explica como lo haces.
4. Busca una función polinómica de grado tres que corte al eje de les x en los puntos siguientes: (1, 0),
(– 2, 0) i (3, 0).
5. Una maquinaria industrial, que tiene una antigüedad de x años, genera unos ingresos (en dólares por
año) de I(x) = 5000 – 20 x2 y unos costos de C(x) = 2000 + 10 x2 :
(a) ¿Durante cuantos años es rentable esta maquinaria?
(b) ¿Qué harías para calcular las ganancias netas generadas por la maquinaria durante el periodo en que es
rentable? Deja indicada la operación que crees se debe hacer para calcular dichas ganancias.
6. Representa gráficamente la función: t(p) = 4 p – p2.
7. Las funciones f(x) = 3x4 + x y g(x) = x3 – 100 x2 tienden a cero cuando x tiende a cero.
(a) Calcula el límite de la función cociente: f(x) / g(x) cuando x tiende a cero.
(b) ¿Cuál de las dos funciones crees que tiende mas rápidamente a cero cuando x tiende a cero? Justifica
tu respuesta.
8. ¿Por qué número has de multiplicar una cantidad para disminuirla en un 18%? Pon un ejemplo.
9. Busca dos soluciones del sistema de ecuaciones:
=−+−=+−
082y4x04y2x
10. Un estudio de la eficacia del turno matinal (de 8 h. a 15 h.) de una fábrica demuestra que el número,
44 Una síntesis de lo que se presenta en este capitulo va a ser publicado en la Recherches en Didactique des Mathématiques (Bosch, Fonseca y Gascón., en prensa).
Segundo estudio exploratorio : aspectos de la rigidez de las matemáticas en Secundaria
97
Q(t), de unidades producidas (en un período de t horas) por un trabajador que llega a la fabrica a las
8:00 horas, es de Q(t) = -t3
3 + 2t2 + 12t unidades (en promedio).
(a) ¿En qué momento de la mañana la eficacia es máxima?
(b) ¿En qué momento el ritmo de crecimiento de la producción deja de aumentar y comienza a disminuir?
11. Calcula les derivadas de les siguientes funciones:
(a) f(x) = 8sx (b) k(x) = 3sx , s ∈ R
12. Si la velocidad v (en m/s) de un móvil y el tiempo t (en segundos) transcurrido desde que comienza el
movimiento están relacionados mediante la ecuación siguiente: v = 2 k⋅ t,
(a) Calcula la integral ⌡⌠t = 0
t = 32ktdt
(b) Interpreta el resultado anterior en términos del movimiento.
13. Resuelve la inecuación (x – 1) (x + 3) ≥ 0 estudiando los cambios de signo de la función asociada (sin
hacer ninguna gráfica).
14. Escribe la ecuación de la recta adjunta, justificando los cálculos.
15. El volumen C(t) (agua acumulada hasta el instante t) de agua que mana de un grifo (en litros) viene
dada por una función afín respecto del tiempo t (en segundos). Si en el primer segundo el agua recogida
es de 3 litros, en el segundo es de 5 litros y en el tercer segundo es de 7 litros,
(a) ¿Cuál es el volumen de agua recogido en un instante cualquiera t?
(b) ¿Cuál es el volumen de agua recogido en una hora?
(c) ¿Cuando arroja más agua por segundo el grifo a los 10 segundos o a los 12 segundos?
16. Racionaliza los denominadores de las fracciones siguientes: a.
3735 b.
7412 − 312
17. Las ventas V(t) (en miles de unidades) de un producto, t años después de ser lanzado al mercado son:
Capítulo III
98
(a) Calcula el límite de V(t) cuando t tiende a infinito.
(b) Interpreta el resultado anterior en términos de ventas del producto en cuestión.
18. Dada la función: f(x) = 5
(3x - 2)2
(a) Calcula su derivada.
(b) ¿Sabrías calcular esta misma derivada utilizando una técnica diferente a la que has utilizado en el
apartado anterior?
19. Expresa en lenguaje algebraico el enunciado siguiente: “El producto de tres números pares
consecutivos es igual a 1680”.
20. En una autopista la velocidad máxima permitida es de 120 km/h. Un coche circula por esta autopista
en el intervalo de tiempo comprendido entre t = 0 h. y t = 6 h. Si su posición s(t) en cada instante del
intervalo viene dada por la ecuación: s(t) = -t3
3 - 5t2 + 155t.
(a) ¿Excede en algún momento el límite máximo de 120 km/h.?
(b) ¿En qué momento su velocidad es máxima?
21. Calcula la integral definida daax22
13∫ .
22. Utilizando la descomposición en factores primos de 450 y 270, calcula el mínimo común múltiplo de
estos dos números.
23. ¿En qué puntos la gráfica de la función f(x) = (x – 1) (x + 1) (x + 3) corta al eje de las x?
24. Representa gráficamente la función f(x) = x2 – 4x.
25. Compras una camisa que marca un precio de 4000 ptas. y te hacen un descuento del 15%. Calcula
cuánto te cuesta la camisa.
26. Escribe un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas que acepte como soluciones los
puntos (– 1, 3) y (5, 6).
27. Calcula les derivadas de les siguientes funciones:
(a) g(s) = 3xs , (x∈ R).
(b) h(s) = x2s (x∈ R).
tetV8,1
30)(−
⋅=
Segundo estudio exploratorio : aspectos de la rigidez de las matemáticas en Secundaria
99
28. Resuelve la inecuación (x + 4) (x – 2) ≥ 0 dibujando la gráfica de la función asociada.
29. Escribe la ecuación de la parábola adjunta, justificando tus cálculos.
30. Racionaliza los denominadores de las fracciones siguientes:
(a) 5
4 83
(b) 2
5- 7
31. Expresa en lenguaje natural la siguiente igualdad 2x + (2x -1) + (2x + 1) = 240, x∈ N
Capítulo III
100
3.1.2. Correspondencia entre los ítems del cuestionario, los bloques temáticos y las
conjeturas
La correspondencia entre los ítems de la prueba P2 y las cinco conjeturas presentadas en
el Capítulo 1 queda resumida en las tablas siguientes:
Conjetura BLOQUE Ítems correspondientes
1.1.
Integración
1. Integral definida con x como variable de integración.
12a. Integral definida con t como variable de integración.
21. Integral definida con a como variable y x como parámetro.
1.2.
Racionaliza-
ción
30. Racionalizar los denominadores de fracciones con los números
irracionales expresados con radicales.
16. Racionalizar los denominadores de fracciones con los números
irracionales expresados como nr, con r ∈ Q.
1.3.
Derivación
11. Derivar una función respecto a la variable x con un parámetro s.
27. Derivar una función respecto a la variable s con un parámetro x.
C1.
Dependencia
de la
nomenclatura
asociada a
una técnica
1.4.
Gráficas de
funciones
24. Representar gráficamente una función cuadrática f(x).
6. Representar gráficamente una función cuadrática t(p) función de p.
Segundo estudio exploratorio : aspectos de la rigidez de las matemáticas en Secundaria
101
Conjetura BLOQUE Ítems correspondientes
2.1.
Interpretación
geométrica de
la derivada
2. Si una función es par, es decir f(– x) = f(x).
(a) Que relación hay entre f’(– a) i f’(a)?
(b) ¿Cómo interpretarías geométricamente esta relación ? Haz una
gráfica e interprétala.
2.2.
Límites de
funciones
7. Las funciones f(x) = 3x4 + x y g(x) = x3 – 100 x2 tienden a cero cuando
x tiende a cero.
(a) Calcula el límite de la función f(x)/g(x) cuando x tiende a cero.
(b) ¿Cuál de les dos funciones crees que tiende mas rápidamente a cero
cuando x tiende a cero? Justifica tu respuesta.
2.3.
Integrar y
modelización
12. Si la velocidad (en m/s) de un móvil y el tiempo t (en segundos)
transcurrido desde que comienza el movimiento están relacionados
mediante la ecuación siguiente v = 2 k⋅ t.
(a) Calcula la integral. ∫=
=
3t
0t
dt2kt .
(b) Interpreta el resultado anterior en términos del movimiento.
2.4.
Derivar y
modelización
15. El volumen C(t) (agua acumulada hasta el instante t) de agua que
emana de un grifo (en litros) viene dada por una función afín respecto del
tiempo t (en segundos). Si en el primer segundo el agua recogida es de 3
litros, en el segundo es de 5 litros y en el tercer segundo es de 7 litros.
(a) ¿Cuál es el volumen de agua recogido en un instante cualquiera t?
(c) ¿Cuándo arroja más agua por segundo el grifo, a los 10 segundos o a
los 12 segundos?
C2. La
aplicación una
técnica en S no
incluye la
interpretación
del resultado
2.5.
Límites y
modelización
17. Las ventas V(t) (en miles de unidades) de un producto, t años después
de ser lanzado al mercado, son: tetV8,1
30)(−
=
(a) Calcula el límite de V(t) cuando t tiende a infinito.
(b) Interpreta el resultado anterior en términos de ventas del producto en
cuestión.
Capítulo III
102
Conjetura BLOQUE Ítems correspondientes
3.1.
Divisibilidad
en Z
3. Calcula el mínimo común múltiplo de 280 y 350 sin descomponer en
factores primos (puedes utilizar el hecho de que el máximo común
divisor es 70). Explica cómo lo haces.
22. Utilizando la descomposición en factores primos de 450 y 270,
calcula el mínimo común múltiplo de estos dos números.
3.2.
Porcentajes
25. Compras una camisa que marca 4000 ptas. y te hacen un descuento
del 15%. Calcula cuánto te cuesta la camisa.
8. ¿Por qué número has de multiplicar una cantidad para disminuirla en
un 18%? Pon un ejemplo.
3.3.
Derivación
18. Dada la función: f(x) = 5
(3x - 2)2 .
(a) Calcula su derivada.
(b) ¿Sabrías calcular esta misma derivada utilizando una técnica diferente
a la que has utilizado en el apartado anterior?
C3.
Inexistencia
de dos
técnicas
diferentes
para realizar
una misma
tarea
3.4.
Inecuaciones
y funciones
cuadráticas
13. Resuelve la inecuación (x – 1) (x + 3) ≥ 0 estudiando los cambios de
signo de la función asociada (sin hacer ninguna gráfica).
28. Resuelve la inecuación (x + 4) (x – 2) ≥ 0 dibujando la gráfica de la
función asociada.
Segundo estudio exploratorio : aspectos de la rigidez de las matemáticas en Secundaria
103
Conjetura BLOQUE Ítems correspondientes
4.1.
Funciones
polinómicas
4. Busca una función polinómica de grado tres que corte al eje de les x en
los puntos siguientes (1, 0), (– 2, 0) y (3, 0).
23. ¿En qué puntos la gráfica de f(x) = (x – 1)(x + 1) (x + 3) corta al eje
OX?
4.2.
Sistemas de
ec. lineales
9. Buscar dos soluciones de un sistema de 2 ecuaciones lineales en x e y :
2x-y+4=0 ; -4x+2y-8= 0
26. Escribe un sistema de ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos
incógnitas que acepte como soluciones los puntos (– 1, 3) y (5, 6).
4.3.
Sistemas de
ecuaciones
lineales y
geometría
analítica
14. Escribe la ecuación de la recta adjunta, justificando los cálculos
x
26. Escribe un sistema de ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos
incógnitas que acepte como soluciones los puntos (– 1, 3) y (5, 6).
4.4.
Álgebra
elemental
19. Expresa en lenguaje algebraico el enunciado siguiente: “el producto
de tres números pares consecutivos es igual a 1680”.
31. Expresa en lenguaje natural la siguiente igualdad
2x + (2x – 1) + (2x + 1) = 240, x∈ N.
C4. No
reversión de
las técnicas
para realizar
la tarea
inversa
4.5.
Funciones
cuadráticas
24. Representa gráficamente la función: f(x) = x2 – 4x
29. Escribe la ecuación de la parábola adjunta, justificando tus cálculos.
Capítulo III
104
Conjetura BLOQUE Ítems correspondientes
5.1.
Funciones
cuadráticas y
modelización
5. Una maquinaria industrial que tiene una antigüedad de x años genera
unos ingresos de I(x) = 5000 – 20 x2 dólares por año y unos costes de
C(x) = 2000 + 10 x2 dólares por año.
(a) ¿Cuántos años es rentable esta maquinaria?
(b) ¿Qué harías para calcular las ganancias netas generadas por la
maquinaria durante el periodo anterior?
5.2.
Funciones,
derivadas y
modelización
10. Un estudio de la eficacia del turno matinal de una fábrica demuestra
que el número, Q(t), de unidades producidas (en un período de t horas)
por un trabajador que llega a la fabrica a las 8 horas, es de
Q(t) = -t3
3 + 2t2 + 12t unidades (en promedio).
(a) ¿En qué momento de la mañana la eficacia es máxima?
(b) ¿En qué momento el ritmo de crecimiento de la producción deja de
aumentar y comienza a disminuir?
5.3.
Derivadas y
modelización
15. El volumen C(t) (agua acumulada hasta el instante t) de agua que
mana de un grifo (en litros) viene dado por una función afín respecto del
tiempo t (en segundos). Si en el primer segundo el agua recogida es de 3
litros, en el segundo es de 5 litros y en el tercer segundo es de 7 litros,
(a) ¿Cuál es el volumen de agua recogido en un instante cualquiera t?
(b) ¿Cuál es el volumen de agua recogido en una hora?
(c) ¿Cuándo arroja más agua por segundo el grifo: a los 10 segundos o a
los 12 segundos?
C5. Ausencia
de situaciones
abiertas que
requieren un
trabajo de
modelización
5.4.
Derivadas y
modelización
20. En una autopista la velocidad máxima permitida es de 120 km/h. Un
coche circula por aquella autopista en el intervalo de tiempo
comprendido entre t = 0 h. y t = 6 h. Si su posición s(t) en cada instante
del intervalo viene dada por la ecuación: s(t) = -t3
3 - 5t2 + 155t.
(a) ¿Excede en algún momento el límite máximo de 120 km/h.?
(b) ¿En qué momento su velocidad es máxima?
Segundo estudio exploratorio : aspectos de la rigidez de las matemáticas en Secundaria
105
Presentamos a continuación una tabla que agrupa los ítems de la prueba en función del tipo
de tareas matemáticas al que corresponden y describe la característica del ejemplar elegido
dentro del tipo de tareas.
Tipo de tarea Nº Ejemplares / Variaciones Conjeturas
Cálculo de una integral definida.
1.
12a.
21.
Variable de integración = x
Variable de integración = t
Variable de integración = a, presencia
de un parámetro x
C1
Representación gráfica de una
función cuadrática.
6.
24.
Función de la variable x
Función de la variable p C1
Determinación de la expresión de una
función elemental dada su gráfica.
14.
29.
Función lineal
Función cuadrática C4
Resolución de una inecuación de
segundo grado.
13.
28.
Técnica gráfica
Técnica algebraica C3
Racionalización de una fracción con
denominador irracional.
16.
30.
Escritura con radicales
Escritura con potencias de exponente
fraccionario
C1
Cálculo de la derivada de una función
elemental.
11.
27.
18.
Función de la variable x con un
parámetro s
Función de la variable s con un
parámetro x.
Función racional de la variable x (regla
producto, regla cociente).
C1, C3
Relación e interpretación geométrica
de propiedades de funciones
elementales de una variable.
2. Interpretación gráfica de la paridad de
una función. C2
Cálculo del límite de una función e
interpretación en términos de
velocidad de convergencia,
comportamiento asintótico, etc.
7. Cociente de polinomios con la variable
tendiendo a cero o a infinito. C2
Cálculo del mínimo común múltiplo
de dos enteros.
3.
22.
Mediante descomposición en factores
primos.
Sin descomposición en factores primos
(utilizando la relación entre MDC y
MCM)
C3
Capítulo III
106
Problema de porcentajes.
25.
8.
Descuento a partir de un precio dado.
Disminución de un 18% mediante un
único producto.
C3, C4, C5
Determinar una función polinómica
dadas sus raíces.
Hallar los puntos de corte de una
función y = f(x) con el eje Ox.
4.
23.
Función polinómica de grado 3 con 3
raíces enteras. C4
Resolver un sistema de 2 ecuaciones
lineales con 2 incógnitas .
Escribir una sistema de 2 ecuaciones
lineales con 2 incógnitas dadas dos
soluciones.
9.
26.
Sistema compatible indeterminado.
2 soluciones numéricas concretas.
C4
Expresar en lenguaje algebraico de
una propiedad numérica enunciada en
lenguaje natural.
Expresar en lenguaje natural de una
expresión algebraica (ecuación).
31.
19.
Valor de la suma de tres números
consecutivos.
El producto de 3 números pares
consecutivos.
C4
Problemas de modelización con una
función cuadrática o cúbica.
5a.
10a.
20b.
Rentabilidad de una maquinaria.
Producción de un trabajador.
Velocidad máxima en una autopista.
C5
Problemas de modelización con una
integral definida.
5b.
12.
15 b.
Ganancias generadas por una
maquinaria.
Espacio recorrido por un móvil.
Volumen de agua que mana de un grifo
en una hora.
C1, C2, C5
Problemas de modelización con
derivadas
15c.
20b.
Comparar la cantidad de agua por
segundo en 2 instantes determinados.
Instante en que se produce la velocidad
máxima.
C2, C5
Problemas de modelización con
límites 17.
Estudiar las ventas de un producto
cuando aumenta el número de años. C2, C5
Segundo estudio exploratorio : aspectos de la rigidez de las matemáticas en Secundaria
107
3.2. Resultados del segundo cuestionario
3.2.1. Descripción de la muestra de estudiantes
Elegimos para nuestro estudio las dos universidades que ya figuran en la primera prueba,
sumándose también la Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agroalimentaria
(EUITA) de la Universidad de Vigo. En el cuestionario se incluyeron de nuevo
preguntas iniciales para obtener algunos datos personales de los estudiantes: procedencia
de Secundaria (LOGSE, COU, FP); nota de Selectividad; Facultad en la que el
estudiante estaba matriculado y otros. La distribución por Facultades de los 205
estudiantes que realizaron la prueba es la siguiente:
15 alumnos de la Diplomatura de Estadística (EST).
37 alumnos de la Licenciatura de Matemáticas (MAT) .
75 alumnos de la Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial (EUITI).
58 alumnos de la Escuela Técnica Superior de Ingeniería Industrial (ETSII).
20 alumnos de la Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agroalimentaria (EUITA).
Los datos característicos más importantes de la nota de selectividad de los alumnos que
participaron en la investigación figuran en las tablas siguientes (distinguimos inicialmente,
entre los alumnos que provienen de COU y los que provienen de Bachillerato LOGSE) :
FACULTADES
EST EUITA ETSII EUITI MAT Total grupo
Recuento 6 19 54 69 1 149
% tabla 2,93 9,27 26,34 33,66 0,49 72,68
Media 6,52 5,85 6,72 6,16 6,27 6,34
Desviación típ. 0,58 0,47 0,68 0,56 . 0,67
Máximo 7,37 7,00 8,31 8,05 6,27 8,31
Mínimo 5,68 5,30 5,21 5,46 6,27 5,21
Percentil 25 6,06 5,51 6,23 5,79 6,27 5,86
Percentil 50 6,48 5,69 6,54 6,00 6,27 6,20
CO
U
Percentil 75 7,03 6,06 7,28 6,40 6,27 6,73
Capítulo III
108
FACULTADES
EST EUITA ETSII EUITI MAT Total grupo
Recuento 9 1 4 6 36 56
% tabla 4,39 0,49 1,95 2,93 17,56 27,32
Media 6,33 6,93 6,95 6,35 6,71 6,64
Desviación típ. 1,01 0,49 0,97 0,60 1,21 1,10
Máximo 8,22 6,93 7,90 7,48 9,60 9,60
Mínimo 5,01 6,93 5,71 5,81 5,00 5,00
Percentil 25 5,55 6,93 5,96 5,95 5,70 5,73
Percentil 50 6,45 6,93 7,10 6,17 6,65 6,52
LOG
SE
Percentil 75 6,99 6,93 7,80 6,75 7,60 7,40
CLASIFICACIÓN DE ALUMNOS POR NOTA DE SELECTIVIDAD
COU LOGSE TOTAL
Recuento % del total Recuento % del total Recuento % del total
Nota <7 124 60,49 37 18,05 161 78,54
Nota >= 7 25 12,20 19 9,27 44 21,46
TOTAL 149 72,68 56 27,32 205 100
EST EUITA ETSII EUITI MAT Total grupo Recuento 15 20 58 75 37 205 % tabla 7,32 9,76 28,29 36,59 18,05 100,00 Media 6,41 5,91 6,74 6,18 6,70 6,42 Desviación típ. 0,85 0,52 0,69 0,56 1,20 0,82 Máximo 8,22 7,00 8,31 8,05 9,60 9,60 Mínimo 5,01 5,30 5,21 5,46 5,00 5,00 Percentil 25 5,68 5,53 6,23 5,80 5,72 5,80 Percentil 50 6,45 5,80 6,60 6,00 6,60 6,27 TO
TAL
DEL
GR
UPO
Percentil 75 6,92 6,17 7,39 6,40 7,53 6,89
Segundo estudio exploratorio : aspectos de la rigidez de las matemáticas en Secundaria
109
3.2.2. Análisis a priori y resultados obtenidos por conjeturas
Analizaremos a continuación los resultados obtenidos, interpretándolos en función de las
conjeturas que pretendemos contrastar. Por esta razón agruparemos los ítems relativos a
cada una de las conjeturas. Para evitar confusiones indicaremos, debajo de la etiqueta con la
que describimos cada conjetura, las lista completa de los ítems asociados a dicha conjetura.
Para el análisis de las conjeturas seguiremos una metodología similar a la del primer
cuestionario, es decir, en el análisis de cada conjetura figurarán los enunciados de los ítems
correspondientes, un comentario sobre la información que pretendemos que el ítem nos
aporte en relación a la conjetura en cuestión, la respuesta correcta esperada para cada ítem
(usando alguna de las técnicas “oficiales” en Secundaria), un comentario o pequeño análisis
a priori del bloque de ítems, una tabla de frecuencias para cada uno de los bloques (de
acuerdo con la codificación, las variables serán en blanco, incorrectas y correctas), un
grafico de columnas con el porcentaje de aciertos para cada uno de los items de la
conjetura, una breve descripción de las respuestas obtenidas y una valoración final que
recoge aquellos aspectos de las respuestas obtenidas que consideramos interesantes en
relación con la conjetura correspondiente.
Porcentaje por modalidades
72,68
27,32
COULOGSE
Porcentajes de notas de selectividad
21,46
78,54
Nota >= 7Nota <= 7
Capítulo III
110
Conjetura 1. Dependencia de la nomenclatura asociada a una técnica
Ítems: 1, 6, 11a, 11b, 12a, 16a, 16b, 21, 24, 27a, 27b, 30a y 30b.
Queremos investigar qué ocurre en Secundaria cuando trabajamos con variables designadas
con símbolos no habituales para el alumno. Normalmente en Secundaria se plantean las
tareas matemáticas utilizando las variables que figuran en los ítems 1, 24, 11a, 11b, 30a y
30b. Para contrastar esta conjetura debemos analizar cómo cambia la dificultad de los ítems
cuando, para la misma tarea matemática, se cambian los símbolos habituales de las
variables por otros símbolos.
BLOQUE C1.1: Ítems 1, 12a y 21 – Cambio de nomenclatura en integración
ENUNCIADOS Y SOLUCIONES ESPERADAS
1. Calcula la integral definida: ⌡⌠1
32xdx .
SOLUCIÓN: ⌡⌠1
32xdx =
3
1[x2] = 9 – 1 = 8.
12a. Calcula la integral: ⌡⌠0
32ktdt
SOLUCIÓN: ⌡⌠0
32ktdt =
3
0k[t2] = 9k.
21. Calcula la integral definida: ⌡⌠1
23x2ada (x es una constante).
SOLUCIÓN: ⌡⌠1
23x2ada =
2
13x2[a2/2] = 9x2/2.
Segundo estudio exploratorio : aspectos de la rigidez de las matemáticas en Secundaria
111
COMENTARIOS
Los ítems propuestos corresponden a integrales definidas de funciones muy sencillas
(lineales). La dificultad de estos ítems no está pues en las funciones a integrar, sino en las
distintas variables que aparece en cada uno de ellas. Esperamos que en el caso de la técnica
de integración inmediata de una función lineal, el número de aciertos no será equivalente
según si la variable de integración es la x, la t o la a.
RESULTADOS
VALORACIÓN
Los datos reflejan claramente que el porcentaje de respuestas correctas en los ítems 1
(variable x), 12a (variable t) y 21 (variable a y x como ruido) baja de una forma muy
importante al pasar de la variable x a la variable t y disminuye todavía más cuando aparece
la x como ruido y la a como variable de integración. Se confirma así nuestra previsión en
cuanto al aumento gradual de la dificultad de los ítems.
BLOQUE C1.2: Ítems 11a y 27a – Cambio de nomenclatura en derivación
ENUNCIADOS Y SOLUCIONES
11a. Calcula la derivada de la función f(x)= 8sx.
SOLUCIÓN: f’(x) = 8sx lns.
81,9564,88
57,56
0
20
40
60
80
100
Porc
enta
jes
1 12a 21
Items
Respuestas correctas
Porcentajes
Ítems en blanco incorrectas correctas
1 5,37 12,68 81,95
12a 17,56 17,56 64,88
21 21,46 20,98 57,56
Capítulo III
112
27a. Calcula la derivada de la función g(s) = 3xs.
SOLUCIÓN: g’(s) = 3xs lnx.
COMENTARIOS
Se proponen como tareas las derivadas de funciones exponenciales utilizando variables
distintas y queremos analizar el comportamiento de los alumnos al cambiar el nombre de
las variables. Esperamos que el número de aciertos no será equivalente si la variable de
derivación es la x (con una s como “ruido”) o si la variable es la s (la x como “ruido “)
RESULTADOS
VALORACIÓN
Es el bloque que presenta para los alumnos la mayor dificultad de todo el cuestionario. Una
posible explicación de esta dificultad podría estar en la poca frecuencia con que se utiliza la
técnica algorítmica de la derivada de una función exponencial (comparando por ejemplo,
con la frecuencia con que se utilizan otras técnicas, también puramente algorítmicas como,
por ejemplo, la derivación de una función racional). Los porcentajes de respuestas
correctas, reflejan como consecuencia de esa dificultad, que no son ítems adecuados para
contrastar la conjetura.
10,73 11,22
020406080
100
Porc
enta
jes
11a 27a
Items
Respuestas correctas
Porcentajes
Ítems en blanco incorrectas correctas
11ª 20,00 69,27 10,73
27ª 34,63 54,15 11,22
Segundo estudio exploratorio : aspectos de la rigidez de las matemáticas en Secundaria
113
BLOQUE C1.3: Ítems 11b y 27b – Cambio de nomenclatura en derivación
ENUNCIADOS Y SOLUCIONES ESPERADAS
11.b Calcula la derivada de la función k(x) = 3sx ( s ∈ R).
SOLUCIÓN: k’(x) = - 3sx2 .
27b Calcula la derivada de la función h(s) = x2s (x∈ R).
SOLUCIÓN: h’(x) = - x
2s2 .
COMENTARIOS
Las tareas que se proponen en el cálculo de derivadas son más sencillas que las anteriores
(funciones racionales). Esperamos que la dificultad sea mayor cuando designamos la
variable con una letra diferente a la habitual.
RESULTADOS
VALORACION
En el caso de la derivación de una función racional se observa una diferencia significativa
en el porcentaje de aciertos al pasar de la variable x (ítem 11b) a la variable s (ítem 27b).
Los datos de la tabla nos dicen que los alumnos manejan bastante mejor la derivación de
una función racional que la de una función exponencial, aunque el porcentaje baja de una
forma significativa al pasar de la variable x (50,73) a la variable s (41,95). Además en el
estudio cualitativo de sus respuestas, observamos que los errores cometidos por los
alumnos confirman la tendencia apuntada ya en bloques anteriores: esos errores aumentan
50,7341,95
020406080
100
Porc
enta
jes
11b 27b
Items
Respuestas correctas
Porcentajes
Ítems en blanco incorrectas correctas
11b 18,54 30,73 50,73
27b 28,29 29,76 41,95
Capítulo III
114
cuando aparece una variable distinta de la x y todavía más cuando x aparece como ruido.
BLOQUE C1.4: Ítems 6 y 24 – Cambio de nomenclatura en la representación gráfica
ENUNCIADOS Y SOLUCIONES
6. Representar gráficamente la función: t(p) = 4p – p2
24. Representa gráficamente la función: f(x) = x2 – 4x
SOLUCIÓN: Esperamos que los alumnos para representar la función cuadrática, utilicen como una posible
técnica, la siguiente:
• Cálculo del vértice (utilizando la derivada)
• Determinación de puntos de corte con los ejes ( si existen en el caso del eje x)
• Intervalos de monotonía (por ejemplo a partir del coeficiente del término de segundo grado)
• Determinación de algunos valores particulares (por ejemplo un par de valores simétricos respecto al
eje de la parábola)
COMENTARIOS
En secundaria es muy frecuente el tipo de tareas “Representación gráfica de funciones” y,
en ellas, la variable dominante es siempre la x. Suponemos que en el caso de la
representación de funciones cuadráticas el número de aciertos no será comparable si la
variable de la función es la x o si es otra distinta (p). Esperamos que los alumnos tengan
menos dificultades para representar f(x) que t(p) y que la mayoría de los estudiantes que
representan bien la función cuadrática t(p) también representarán bien f(x).
69,27 69,76
0
20
40
60
80
100
Porc
enta
jes
24 6
Items
Respuestas correctas
Porcentajes
Ítems en blanco incorrectas correctas
24 14,63 16,10 69,27
6 5,85 24,39 69,76
RESULTADOS
Segundo estudio exploratorio : aspectos de la rigidez de las matemáticas en Secundaria
115
VALORACIÓN
Es el bloque que presenta porcentajes de aciertos más altos y, además, el porcentaje de
respuestas correctas es independiente de la variable en este caso. Estos resultados en
principios sorprendentes, se explican cuando analizamos las respuestas, observando que la
técnica utilizada por la inmensa mayoría de estudiantes es una tabla de valores. De esta
forma la dificultad de los ítems pasaba a ser independiente de las variables respectivas y
sólo dependía de cálculos algorítmicos.
BLOQUE C1.5: Ítems 16a y 30a; 16b y 30b – Cambio nom. en expresiones numéricas
ENUNCIADOS Y SOLUCIONES
16a Racionaliza el denominador de la fracción siguiente 5/37
3
SOLUCIÓN: 77·3
7·7
7·37
3 52
52
53
52
5/3 ==
30a Racionaliza el denominador de la fracción siguiente 4 38
5
SOLUCIÓN: 8
8·5
8·8
8·5
8
5 4
44 3
4
4 3==
16b Racionaliza el denominador de la fracción siguiente 1/21/2 347−
SOLUCIÓN: )327(3)2()3(2
)37(2
347
347
1/21/2+=
+−
+=
−=
−
30b Racionaliza el denominador de la fracción siguiente 75
2−
Capítulo III
116
SOLUCIÓN: )75()75()75(
)752(75
2+−=
+−
+=
−
COMENTARIOS
Les proponemos dos problemas de racionalización muy sencillos. En Secundaria las tareas
propuestas de racionalización tienen en el denominador siempre radicales. Esperamos un
mejor rendimiento cuando los denominadores están expresados como radicales (tarea
oficial) que cuando aparecen como potencias de exponente racional.
RESULTADOS
VALORACIÓN
La racionalización de los denominadores cuando éstos están expresados como potencias de
exponente racional (ítems 16a y 16b) presenta una dificultad mayor que cuando los
denominadores están expresados como radicales (30a y 30b). El análisis de las respuestas
muestra, además, que casi todos alumnos que realizan la tarea empiezan transformando la
expresión con exponentes racionales a la nomenclatura de radicales que les resulta más
familiar. El porcentaje de respuestas correctas del ítem 30b hubiese sido mayor si un
número importante de alumnos no se saltase en el resultado final del ítem el signo menos
que aparecía en el denominador. El resultado de la tabla es indicativo, por lo menos, del
poco uso escolar de los exponentes fraccionarios.
33,17 27,3245,37 40,49
0
20
40
60
80
100
Porc
enta
jes
30a 16a 30b 16b
Items
Respuestas correctas
Porcentajes
Ítems en blanco incorrectas correctas
30a 40,98 25,85 33,17
16a 20,49 52,20 27,32
30b 40,00 14,63 45,37
16b 22,93 36,59 40,49
Segundo estudio exploratorio : aspectos de la rigidez de las matemáticas en Secundaria
117
Conjetura 2. Aplicar una técnica no incluye la interpretación del resultado
Ítems 2a, 2b, 7a, 7b, 17a, 17b, 12a, 12c, 15a, 15c
El objetivo que perseguimos en la conjetura es el de cuantificar en qué medida el utilizar
correctamente una técnica comporta interpretar correctamente el resultado obtenido (o el
procedimiento utilizado). Las tareas que se proponen para contrastar esta conjetura no
deberían ser problemáticas para los alumnos que han acabado la enseñanza secundaria, esto
es, son tareas que forman parte del medio matemático del alumno.
BLOQUE C2.1: Ítems 2a y 2b – Interpretación geométrica de la derivada
ENUNCIADOS Y SOLUCIONES
2. Si una función es par, es decir, f(– x) = f(x) [como, por ejemplo, f(x) = x4],
(a) ¿Qué relación hay entre f’(– a) i f’(a)? [por ejemplo, entre f’(–1) y f’(1)].
(b) ¿Como interpretarías geométricamente esta relación? Haz una gráfica e interprétala.
SOLUCIÓN
2a. Signo opuesto f ‘(-a) = - f ‘(a).
2b. La pendiente de la recta tangente en x = –a tiene signo opuesto a la pendiente de la tangente en x = a.
COMENTARIOS
Los alumnos están familiarizados con la técnica del cálculo de la recta tangente. Se les pide
en primer lugar que relacionen la derivada en puntos opuestos y después que interpreten
geométricamente ese resultado. Esperamos resultados distintos entre el conocimiento de la
propiedad algebraica y su interpretación geométrica.
Capítulo III
118
RESULTADOS
VALORACIÓN
Los datos de la tabla reflejan que los alumnos tienen dificultades para pasar de una
propiedad analítica de las derivadas (ítem 2a) a la interpretación geométrica del resultado
(ítem 2b). Para la resolución del ítem 2.a, los alumnos de bachillerato estudiaron como
propiedad (kf)’(x) = k·f’(x), pensada como un elemento instrumental para utilizar en el
cálculo de derivadas. Esperábamos que aplicasen esta propiedad tomando k = -1. Sin
embargo lo que hacen mayoritariamente es resolver primero el caso particular y después
aplicarlo al caso general. En Secundaria no aparecen como tareas institucionales el cálculo
de derivadas con perturbaciones en la imagen: f’(2x), f’(-5x), etc.
BLOQUE C2.2: Ítems 7a y 7b – Interpretación del límite de un cociente
ENUNCIADOS Y SOLUCIONES
7. Las funciones f(x) = 3x4 + x y g(x) = x3 – 100 x2 tienden a cero cuando x tiende a cero.
(a) Calcula el límite de la función cociente : f(x) / g(x) cuando x tiende a cero.
(b) ¿Cuál de las dos funciones crees que tiende más rápidamente a cero cuando x tiende a
cero? Justifica tu respuesta.
48,29
16,10
0
20
40
60
80
100
Porc
enta
jes
2a 2b
Items
Respuestas correctas
PORCENTAJES
En blanco Incorrectas Correctas
2a 17,07 34,63 48,29
2b 40,00 43,90 16,10
Segundo estudio exploratorio : aspectos de la rigidez de las matemáticas en Secundaria
119
SOLUCIÓN
7a. La indeterminación de la forma 0/0 se trata habitualmente mediante la técnica de descomposición en
factores o bien con la regla de L’Hôpital (cociente de derivadas), lo que da como resultado
∞+=→ )(
)(lim
0 xgxf
x.
7b. El resultado se puede interpretar en términos de comparación de la velocidad de convergencia del
numerador y denominador: g(x) tiende más rápidamente a 0 que f(x).
COMENTARIOS
El cálculo de limites es una tarea que se estudia de una forma extensa en Secundaria. El
ítem 7a que proponemos es familiar para los alumnos. Pretendemos saber si, además de
conocer la técnica, sabrían interpretar el resultado. Esperamos poca relación entre el
conocimiento de la técnica y su interpretación, teniendo en cuenta que este tipo de tareas no
figuran en los manuales de Secundaria.
RESULTADOS
VALORACION
Los datos de la tabla recogen la caída en el porcentaje de aciertos entre los alumnos que
conocen la técnica y los que saben interpretarla. Lo natural en Secundaria es desarrollar las
técnicas del cálculo de limites (momento del trabajo de la técnica) de una forma
algorítmica sin interpretar los resultados obtenidos. Así cuando se les pide su interpretación
nos encontramos como respuesta mayoritaria: “f(x) tiende más rápidamente a cero porque
Porcentajes
Ítems en blanco incorrectas correctas
7a 15,61 53,66 30,73
7b 42,93 46,34 10,73
30,73
10,73
0
20
40
60
80
100
Porc
enta
jes
7a 7b
Items
Respuestas correctas
Capítulo III
120
es de mayor grado que g(x)” (asumida también por un alumno de la licenciatura de
Matemáticas con nota de Selectividad 9).
BLOQUE C2.3: Ítems 12a y 12b – Interpretar una integral en una tarea de modelización
ENUNCIADOS Y SOLUCIONES
12. Si la velocidad (en m/s.) de un móvil y el tiempo t (en segundos) transcurrido desde que
comienza el movimiento están relacionados mediante la ecuación: v = 2k⋅ t.
(a) Calcula la integral ⌡⌠t = 0
t = 32ktdt .
(b) Interpreta el resultado anterior en términos del movimiento.
SOLUCIÓN:
12a. 9k (Calculada en la bloque 1.1) .
12b. La integral de la velocidad respecto al tiempo es el espacio recorrido por el móvil desde el tiempo t = 0
hasta t = 3.
COMENTARIOS
El cálculo de integrales definidas es una tarea que forma parte del medio matemático del
alumno. También las tareas relacionadas con la cinemática son tareas frecuentes en
Secundaria tanto en Matemáticas como en Física (que forma parte del diseño curricular de
los alumnos que respondieron al cuestionario). En la conjetura uno, estudiamos cuántos
alumnos conocían la técnica (12a). Ahora queremos saber cuántos de estos alumnos sabrían
interpretar ese resultado en términos cinemáticos. Como consecuencia del trato institucional
que se le da a ambas tareas, esperamos un mejor resultado en el ítem 12a (conocimiento de
la técnica) que en el 12b (interpretación de la técnica).
Segundo estudio exploratorio : aspectos de la rigidez de las matemáticas en Secundaria
121
RESULTADOS
VALORACIÓN
Los resultados globales vuelven a reflejar la dificultad que tienen los alumnos para
interpretar una técnica que ya conocen, como es la integral definida Hay una distancia
importante entre el porcentaje de respuestas del ítem 12a (conocimiento de la técnica del
cálculo de una integral definida) y el porcentaje de alumnos que interpretan correctamente
el resultado de aplicar dicha técnica (ítem 12b). Se le pedía simplemente que hiciera una
interpretación de la técnica utilizada en 12a en términos físicos, ya que son alumnos que
están familiarizados con el estudio de la cinemática en la ESO (en la que manejan nociones
estáticas de la velocidad) y en el bachillerato (donde las tareas a estudiar son dinámicas).
Un porcentaje importante de alumnos interpretan el ítem 12b como una aceleración.
BLOQUE C2.4: Ítems 15a y 15c – Interpretar el valor de una derivada en un punto
ENUNCIADOS Y SOLUCIONES
15. El volumen C(t) (agua acumulada hasta el instante t) de agua que mana de un grifo (en
litros) viene dada por una función afín respecto del tiempo t (en segundos). Si en el primer
segundo el agua recogida es de 3 litros, en el segundo es de 5 litros y en el tercer segundo
es de 7 litros,
(a) ¿Cuál es el volumen de agua recogido en un instante cualquiera t ?
(c) ¿Cuándo arroja más agua por segundo el grifo: a los 10 segundos o a los 12 segundos?
64,88
21,95
020406080
100
Porc
enta
jes
12a 12b
Items
Respuestas correctas
PORCENTAJES
En blanco Incorrectas Correctas
12a 17,56 17,56 64,88
12b 44,88 33,17 21,95
Capítulo III
122
SOLUCION:
15a C(t) = 2t +1.
15c C’(t) = 2. El grifo siempre arroja 2 litros por segundo.
COMENTARIOS
En Secundaria la tarea dominante, es dada una función, consiste en calcular imágenes en
puntos concretos (comportamiento estático). Existen pocas tareas del tipo: dada una tabla
de valores, calcula una posible función que pase por ellos. Tampoco figura como tarea
natural en Secundaria la interpretación en términos de variación (de y respecto de x) de la
derivada en puntos determinados. Como consecuencia de ello esperamos mejores
resultados en la construcción de la función afín que en la interpretación de su derivada.
RESULTADOS
VALORACIÓN
Después de construir una función afín (ítem 15a) con un porcentaje de respuestas correctas
de un 60,49 %, las respuestas al ítem 15c muestran claramente que la inmensa mayoría de
los estudiantes tienen dificultades para interpretar la derivada de dicha función. Una gran
mayoría de alumnos confunde el comportamiento estático de la función con el
comportamiento dinámico, limitándose a calcular los valores de f en x = 10 y en x = 12,
mientras que un número más pequeño afirma: “a los 12 segundos porque es una función
creciente, cuanto más tiempo, más agua se recoge”. Se pone de manifiesto en este tipo de
60,49
32,20
0
20
40
60
80
100
Porc
enta
jes
15a 15c
Items
Respuestas correctas
Porcentajes
Ítems En blanco Incorrectas Correctas
15a 26,34 13,17 60,49
15c 42,93 24,88 32,20
Segundo estudio exploratorio : aspectos de la rigidez de las matemáticas en Secundaria
123
respuestas algo que aparece con mucha frecuencia en bachillerato, el débil cuestionamiento
tecnológico que existe alrededor de las técnicas de derivación.
BLOQUE C2.5: Ítems 17a y 17b – Interpretar un limite en una tarea de modelización
ENUNCIADOS Y SOLUCIONES
17. Las ventas V(t) (en miles de unidades) de un producto t años después de ser lanzado al
mercado son:
(a) Calcula el límite de V(t) cuando t tiende a infinito.
(b) Interpreta el resultado anterior en términos de ventas del producto en cuestión.
SOLUCION
17.a 30e30e30lim 01,8/t
t==−
∞→.
17.b Con el paso del tiempo las ventas se estabilizan alrededor de las 30 mil unidades.
COMENTARIOS
Con el ítem 17a queremos ver si los alumnos dominan la técnica. para calcular el limite
Con el ítem 17b queremos además ver si son capaces de interpretar el resultado en un
contexto económico. Esperamos confirmar los resultados de los ítems 7a y 7b, referidos en
este caso a una situación de modelización.
tetV8,1
30)(−
⋅=
Capítulo III
124
RESULTADOS
VALORACIÓN
De nuevo los resultados de la tabla precedente confirman lo apuntado en el bloque 7a-7b,
el conocimiento de la técnica (el cálculo del límite de una función exponencial) no incluye
sistemáticamente el conocimiento de la interpretación del resultado que se obtiene al aplicar
dicha técnica.
Conjetura 3. Inexistencia de dos técnicas diferentes para una misma tarea
Ítems 3, 22, 8, 25, 13, 28, 18a, 18b
Para comprobar el porcentaje de alumnos que conocen dos técnicas diferentes para una
misma tarea, proponemos tareas algorítmicas muy elementales con las que forzosamente el
alumno debe estar familiarizado: cálculo de un porcentaje, cálculo del máximo común
divisor, resolución de una inecuación de segundo grado y cálculo de una derivada muy
sencilla.
BLOQUE C3.1: Ítems 3 y 22 – Cálculo del mínimo común múltiplo de dos enteros
ENUNCIADOS Y SOLUCIONES
3. Calcula el mínimo común múltiplo de 280 y 350 sin descomponer en factores primos
(puedes utilizar el hecho de que el máximo común divisor es 70). Explica como lo haces. SOLUCION: MCM(280,350) = (280 · 350) / 70
51,2231,22
020406080
100
Porc
enta
jes
17a 17b
Items
Respuestas correctas
PORCENTAJES
Ítems En blanco Incorrectas Correctas
17a 31,22 17,56 51,22
17b 55,12 13,66 31,22
Segundo estudio exploratorio : aspectos de la rigidez de las matemáticas en Secundaria
125
22. Utilizando la descomposición en factores primos de 450 y 270, calcula el mínimo
común múltiplo de estos dos números.
SOLUCION
280 = 23· 5 · 7
350 = 2· 52.7
MCM(280,350) = 14000
COMENTARIOS
La técnica del mínimo común múltiplo (MCM) es una técnica muy sencilla que maneja el
alumno desde los primeros cursos de Secundaria. Queremos saber si además de conocer esa
técnica, sabrían utilizar otra (como por ejemplo la que se sugiere de una forma clara en el
ítem 3 propuesto). El conocimiento de la técnica de descomposición en factores primos es
la dominante en Secundaria, por lo tanto cabe esperar en los resultados, un mayor
porcentaje de aciertos en el ítem 22 que en el ítem 3.
RESULTADOS
VALORACIÓN
Los datos de la tabla nos dicen que para calcular el mínimo común múltiplo de dos
números, los alumnos están mucho más familiarizados con la técnica de descomposición en
factores primos (ítem 22) que con la utilización del máximo común divisor, propuesta en el
ítem 3. El análisis cualitativo de sus respuestas reflejan, que no tienen claro el conocimiento
de la técnica del MCM y que no diferencian entre múltiplo y divisor, confundiendo el MCD
PORCENTAJES
Ítems En blanco Incorrectas Correctas
22 18,54 37,07 44,39
3 39,51 30,73 29,76
44,3929,76
020406080
100
Porc
enta
jes
22 3
Items
Respuestas correctas
Capítulo III
126
con el MCM. Una parte significativa de los alumnos admiten como respuesta: “el MCM es
2 porque ambos números son divisibles por 2”. En este caso es interesante observar que
mientras el 18,54 % dejan en blanco el ítem 22, el porcentaje de los que dejan en blanco el
ítem 3 se eleva al 39,51 %.
BLOQUE C3.2: Ítems 25 y 8 – Cálculo de porcentajes
ENUNCIADOS Y SOLUCIONES
25. Compras una camisa que marca 4000 ptas y te hacen un descuento del 15%.
Calcula cuánto te cuesta la camisa.
SOLUCION: 4000-0.15*4000 = 1400
8. Por que número has de multiplicar una cantidad para disminuirla en un 18%?
SOLUCION: xxxx 82,0)18'01(10018
=−=−
COMENTARIOS
En Secundaria predomina la técnica “aditiva” que consiste en añadir o quitar un porcentaje
r de un número x mediante la fórmula: y = x + r·x. No existe una técnica alternativa, por
ejemplo la técnica “multiplicativa”. Por lo tanto cabe esperar en los resultados un nº de
aciertos mayor en el ítem 25 que en el ítem 8.
Segundo estudio exploratorio : aspectos de la rigidez de las matemáticas en Secundaria
127
RESULTADOS
VALORACIÓN
Para calcular el precio final después de aplicar un descuento, los alumnos prefieren la
técnica aditiva (ítem 25) a la multiplicativa (ítem 8) y, además, el análisis cualitativo de las
respuestas muestra que la técnica multiplicativa no es utilizada espontáneamente sino que
es construida a partir de la técnica aditiva. Hay que tener en cuenta que, en este caso, ambas
técnicas son muy próximas (se pasa de la aditiva a la multiplicativa y = (1+r) · x
simplemente sacando factor común)
BLOQUE C3.3: Ítems 18a y 18b – Cálculo de una derivada
ENUNCIADOS Y SOLUCIONES
18 Dada la función ( )223
5)(−
=x
xf .
(a) Calcula su derivada.
(b) ¿ Sabrías calcular esta misma derivada utilizando una técnica diferente a la que
has utilizado en el apartado anterior ?
SOLUCION
18a. Tenía plena libertada para elegir la técnica.
18b. Había que elegir una técnica distinta a la anterior sin necesidad de calcular de nuevo la derivada.
84,88
63,90
0
20
40
60
80
100
Porc
enta
jes
25 8
Items
Respuestas correctas
PORCENTAJES
Ítems En blanco Incorrectas Correctas
25 8,78 6,34 84,88
8 7,80 28,29 63,90
Capítulo III
128
COMENTARIOS
En bachillerato lo natural es dar una técnica especifica para obtener la derivada de cada tipo
de función. No hay un cuestionamiento tecnológico que permita preguntar si existe otra
técnica alternativa que, siendo igual de rigurosa, pueda ser más útil y más económica. Esperamos, de acuerdo con la actividad matemática desarrollada en Secundaria (en la que
los alumnos utilizan para una función racional la derivada de un cociente), una mejor
respuesta en el ítem 18a que en el 18b.
RESULTADOS
VALORACIÓN
Los resultados del ítem 18a muestran que más de la mitad de los alumnos dominan una
técnica (la que utilizaron de forma mayoritaria fue la derivada de un cociente de
funciones), mientras que los que conocen otra técnica distinta se reduce a la cuarta parte
(ítem 18b). La rigidez de la utilización de una sola técnica se puede ver también en el
porcentaje importante de respuestas en blanco que aparece en el ítem 18b (63,41) en
comparación a los que dejan en blanco el item 18a (13,17). Los alumnos proponen como
segunda técnica la derivada de un producto (en este caso con un coste menor que la
derivada de un cociente) y utilizar la definición de derivada.
PORCENTAJES
Ítems En blanco Incorrectas Correctas
18a 13,17 29,27 57,56
18b 63,41 14,63 21,95
57,56
21,95
0
20
40
60
80
100
Porc
enta
jes
18a 18b
Items
Respuestas correctas
Segundo estudio exploratorio : aspectos de la rigidez de las matemáticas en Secundaria
129
BLOQUE C3.4: Ítems 13 y 28 – Interpretar un limite en una tarea de modelización
ENUNCIADOS Y SOLUCIONES
13. Resuelve la inecuación (x – 1) (x + 3) ≥ 0 estudiando los cambios de signo de la
función asociada (sin hacer ninguna grafica).
SOLUCIÓN: (-∞ , -3]∪ [1, +∞)
28.Resuelve la inecuación (x + 4) (x – 2) ≥ 0 dibujando la gráfica de la función
asociada.
SOLUCIÓN: (-∞ , -4] ∪ [2, +∞)
COMENTARIOS
En Secundaria la resolución de inecuaciones tiene como técnica dominante la técnica
algebraica (basada en la resolución de la ecuación asociada), mientras que la técnica de
resolver una inecuación cuadrática a partir de su gráfica es una técnica poco utilizada.
Esperamos pues, un porcentaje de aciertos mayor con la técnica algebraica que con la
técnica grafica.
-6 -4 -2 2 4
-5
5
10
15
Capítulo III
130
RESULTADOS
VALORACIÓN
El porcentaje bajo de aciertos en la resolución de una inecuación como la del ítem 13
viene a confirmar los resultados obtenidos en el ítem 3a de la primera prueba inicial, los
alumnos tienen conflictos para resolver inecuaciones de segundo grado. Los resultados de la
tabla nos dicen además que los alumnos tienen como técnica dominante la técnica
algebraica. De nuevo es interesante observar que el porcentaje de respuestas en blanco pasa
del 20,49 (resolución algebraica) al 44,88 ( resolución gráfica)
Conjetura 4. No reversión de las técnicas para realizar la tarea inversa
Ítems 4, 23, 9, 26, 19, 31, 6, 29, 24 y 29
Para estudiar esta conjetura proponemos, de nuevo, tareas que en la enseñanza secundaria
son rutinarias como, por ejemplo, buscar las raíces de un polinomio de tercer grado (cuando
son enteras o pueden calcularse fácilmente), representar una función polinómica de grado 2
y resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
36,1
23,41
0
20
40
60
80
100
Porc
enta
jes
13 28
Items
Respuestas correctas
PORCENTAJES
Ítems En blanco Incorrectas Correctas
13 20,49 43,41 36,10
28 44,88 31,71 23,41
Segundo estudio exploratorio : aspectos de la rigidez de las matemáticas en Secundaria
131
BLOQUE C4.1: Ítems 4 y 23 – Raíces de una función polinómica
ENUNCIADOS Y SOLUCIONES
4. Busca una función polinómica de grado tres que corte al eje de les x en los puntos
siguientes (1, 0), (– 2, 0) i (3, 0).
SOLUCION: (x - 1)(x + 2)(x - 3) o bien x3 - 2x2 - 5x + 6.
23. Que puntos de la grafica de la función f(x) = (x – 1) (x+1) (x + 3) cortan al eje de las x? SOLUCION: (1,0) , (-3,0), (-1, 0).
COMENTARIOS
En el caso de una función polinómica, esperamos que el número de aciertos en la tarea
correspondiente al cálculo de los puntos de corte con el eje x (tarea directa) sea mayor que
en la tarea: “dados los puntos de corte, calcular la función polinómica que pasa por ellos”
(tarea inversa).
RESULTADOS
VALORACIÓN
Los resultados globales de la tabla reflejan de una forma muy nítida, que lo que los
alumnos del cuestionario hacen bien es el ítem 23 (tarea oficial), pero que las dificultades
aumentan de una forma muy importante cuando se le propone el ítem 4 (tarea inversa). En
70,24
25,37
020406080
100
Porc
enta
jes
23 4
Items
Respuestas correctas
PORCENTAJES
Ítems En blanco Incorrectas Correctas
23 14,63 15,12 70,24
4 36,10 38,54 25,37
Capítulo III
132
el análisis de las respuestas de los alumnos observamos que en las respuestas correctas del
ítem 4 aparece el polinomio, desarrollado y que muchos alumnos para responder al ítem 23
lo que hacen es primero multiplican y después aplican Ruffini. Esta manera de proceder
puede ser debida a que la tarea oficial en secundaria es: dado un polinomio desarrollado,
calcula sus raíces.
BLOQUE C4.2: Ítems 9 y 26 – Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
ENUNCIADOS Y SOLUCIONES 9. Busca dos soluciones del sistema de ecuaciones.
SOLUCIÓN: Como el sistema es compatible indeterminado se admite como respuesta valida cualquier par de
soluciones que verifique las dos ecuaciones.
26. Escribe un sistema de ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas que
acepte como soluciones los puntos (– 1, 3) y (5, 6).
SOLUCIÓN: Calcular el sistema a partir de la ecuación y = mx + n (haciéndola pasar por los dos puntos).
COMENTARIOS
La tarea dominante en la ESO y que después se repite en el Bachillerato es “dado un
sistema de ecuaciones lineales, resolverlo” (tarea directa). El alumno está muy
familiarizado con este tipo de tareas porque en la organización matemática correspondiente
a “sistemas de ecuaciones” el momento del trabajo de la técnica es el dominante. No
aparece en ningún momento como tarea la posibilidad de invertir la tarea anterior.
Esperamos que el número de aciertos de la tarea correspondiente al cálculo de las
soluciones (tarea directa) sea muy superior al número de aciertos de la tarea: “dada la
solución, calcular el sistema” (tarea inversa).
=−+−=+−
0824042
yxyx
Segundo estudio exploratorio : aspectos de la rigidez de las matemáticas en Secundaria
133
RESULTADOS
VALORACIÓN
Es el bloque que presenta mayor distancia entre los ítems. La tarea directa es resuelta por
más de la mitad de los alumnos, sin embargo la tarea inversa es resuelta sólo por un 7,8 %
de los alumnos. Refleja claramente que la tarea directa forma parte del medio matemático
de los alumnos y que no ocurre lo mismo con la tarea inversa (que, además, es dejada en
blanco por un 66,83 % de los alumnos).
BLOQUE C4.3:Ítems 9 y 26– Sistemas de dos ecuaciones lineales y geometría analítica
ENUNCIADOS Y SOLUCIONES
14. Escribe la ecuación de la recta adjunta, justificando los
cálculos.
SOLUCIÓN: 022y-bien x o12
=++=xy .
26. Escribe un sistema de ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas que
acepte como soluciones los puntos (– 1, 3) y (5, 6).
55,12
7,80
0
20
40
60
80
100
Porc
enta
jes
9 26
Items
Respuestas correctas
PORCENTAJES
Ítems En blancoIncorrectas Correctas
9 4,39 40,49 55,12
26 66,83 25,37 7,80
Capítulo III
134
SOLUCIÓN:
=+=+
014-4y2x-072y-x
COMENTARIOS
En Secundaria la tarea “natural” consiste en dados dos puntos, pedir que el alumno calcule
la ecuación general de la recta que pasa por ellos (tarea directa). Sin embargo en la
actividad matemática de Secundaria no se plantea una tarea que podíamos considerar como
inversa, partir de la ecuación de una recta y considerarla como el conjunto de puntos que
son solución de un sistema de ecuaciones lineales compatible indeterminado. Esperamos
obtener como consecuencia de lo anterior mejores resultados en el ítem 14 (tarea directa)
que en el ítem 26 (tarea inversa).
RESULTADOS
VALORACIÓN
Cuando se estudia la OM de la geometría afín, todas las tareas de cálculo de ecuaciones de
rectas van en un solo sentido: dados dos puntos, calcula la ecuación de la recta que pasa por
ellos. Aunque las tareas propuestas son casi todas tareas bastantes formales de
nomenclatura (forma vectorial, paramétrica, continua), la tarea dominante es escribir la
ecuación de la recta en forma general, y esto se manifiesta de una forma clara en la
respuesta de los alumnos. El ítem 14 (tarea directa) tiene un nivel de respuestas afirmativas
muy superior al ítem 26 (tarea inversa). Los datos reflejan claramente las dificultades que
49,76
7,80
020406080
100
Porc
enta
jes
14 26
Items
Respuestas correctas
PORCENTAJES
Ítems En blanco Incorrectas Correctas
14 28,29 21,95 49,76
26 66,83 25,37 7,80
Segundo estudio exploratorio : aspectos de la rigidez de las matemáticas en Secundaria
135
tienen los alumnos para asociar la recta que pasa por dos puntos concretos con un sistema
de dos ecuaciones con dos incógnitas que contenga como soluciones a esos dos puntos.
BLOQUE C4.4: Ítems 24 y 29 – Álgebra elemental
ENUNCIADOS Y SOLUCIONES
19. Expresa en lenguaje algebraico el enunciado siguiente: “el producto de tres números
pares consecutivos es igual a 1680”.
SOLUCION: (2x - 2) 2x (2x + 2) = 1680.
31. Expresa en lenguaje natural la siguiente igualdad 2x + (2x – 1) + (2x + 1) = 240,
( Nx∈ ).
SOLUCION: La suma de tres números consecutivos dos impares y uno par, es igual a 240.
COMENTARIOS
En la enseñanza secundaria cuando se estudia la organización matemática correspondiente
a sistemas de ecuaciones se proponen tareas en las que el registro dominante es el
algebraico. No aparecen en los libros de texto tareas dadas en el lenguaje algebraico y que
haya que pasar al lenguaje verbal. Esperamos entonces resultados distintos en los ítems a
analizar, mejor porcentaje de aciertos en el ítem 19 que en el ítem 31 .
Capítulo III
136
RESULTADOS OBTENIDOS
VALORACIÓN
La Tabla anterior confirma una vez mas que el porcentaje de aciertos en la tarea directa
(ítem 19) es mayor que la tarea inversa (ítem 31). Mayoritariamente los alumnos confunden
la tarea inversa propuesta por la de resolver la ecuación (seguramente porque esta tarea les
resulta más familiar).
BLOQUE C4.5:Ítems 24 y 29 – Funciones cuadráticas
ENUNCIADOS Y SOLUCIONES 24. Representa gráficamente la función: f(x) = x2 – 4x.
SOLUCIÓN: Figura en el Bloque C1.4 (ítem 24).
29. Escribe la ecuación de la parábola adjunta, justificando tus cálculos.
35,6120,00
020406080
100
Porc
enta
jes
19 31Items
Respuestas correctas
PORCENTAJES
Ítems En blanco Incorrectas Correctas
19 24,88 39,51 35,61
31 56,10 23,90 20,00
Segundo estudio exploratorio : aspectos de la rigidez de las matemáticas en Secundaria
137
SOLUCIÓN
Para calcular la ecuación de la parábola que aparece en el dibujo basta tener en cuenta
• el vértice (1,1).
• los puntos de corte (0,0) y (2,0).
y = f(x) = x2 – 2x.
COMENTARIOS
En Secundaria cuando se estudia la representación gráfica de funciones, la tarea
dominante, que es considerada muy importante por la institución es la siguiente : “dada la
función expresada algebraicamente, estudiar su representación gráfica”. La institución
aparca la tarea que nosotros consideramos como una posible tarea inversa: dada la grafica
de una función, escribir su expresión analítica. La gráfica permite ver rápidamente lo que
pasa, pero la obtención de su ecuación a partir de la gráfica nos permitirá tratar con rigor
todas sus propiedades. Esperamos pues que el número de aciertos de la tarea
correspondiente a su representación gráfica (tarea directa) sea muy superior al de la tarea:
“dada la gráfica calcular la función asociada” (tarea inversa).
RESULTADOS
VALORACIÓN
Los resultados en los porcentajes de aciertos dejan muy claro que los alumnos contestan
bien el ítem 24 (tarea directa) y bajan de una forma extraordinaria cuando se les propone el
ítem 29 (tarea inversa). El porcentaje de respuestas en blanco (70,73) pone de manifiesto
69,27
16,10
020406080
100
Porc
enta
jes
24 29
Items
Respuestas correctas
PORCENTAJES
En blanco Incorrectas Correctas
24 14,63 16,10 69,27
29 70,73 13,17 16,10
Capítulo III
138
que la tarea inversa no es una tarea que forme parte del medio matemático del alumno, es
una tarea extraña para los alumnos.
Conjetura 5. Ausencia de situaciones abiertas que requieren un trabajo de
modelización
Ítems 5a, 5b, 10a, 10b,15a, 15b, 20a y 20b
En la primera prueba inicial y en relación a la conjetura 5 se propusieron tareas de
modelización en las que había que construir el modelo matemático. En este segundo
cuestionario para complementar la información, proponemos únicamente tareas
matemáticas en las que se trata principalmente de manipular un modelo matemático dado
en el enunciado. Hemos renunciado a proponer tareas de modelización matemática de una
situación en la cual el estudiante tuviese que decidir cuáles eran los datos y las incógnitas
pertinentes para elaborar el modelo en cuestión. Queríamos averiguar si las enormes
dificultades de los alumnos para realizar una tarea de modelización (puestas de manifiesto
en el primer cuestionario) persisten incluso cuando el enunciado de la tarea contiene el
modelo matemático ya elaborado.
BLOQUE C5.1: Ítems 5a y 5b – Funciones cuadráticas y modelización
ENUNCIADOS Y SOLUCIONES
5. Una maquinaria industrial que tiene una antigüedad de x años genera unos ingresos de
I(x) = 5000 – 20 x2 dólares por año y unos costos de C(x) = 2000 + 10 x2 dólares por año.
(a) ¿ Cuantos años es rentable esta maquinaria?
(b) ¿Que harías para calcular las ganancias netas generadas por la maquinaria durante el
periodo anterior ? (deja indicada la operación que crees se debe hacer).
Segundo estudio exploratorio : aspectos de la rigidez de las matemáticas en Secundaria
139
SOLUCION
5a. 5000 -20 x2 ≥ 2000 + 10 x2 ⇒ x ≤ 10 años. ( es rentable durante 10 años).
5b. dxx∫ −10
0)303000( ,∑ −
10
1
)303000( x (si consideramos la x como variable continua o como variable
discreta).
COMENTARIOS
Los alumnos tienen dificultades para asociar la técnicas matemáticas a problemas
económicos no estereotipados. Les proponemos a los alumnos una tarea económica, con
dos ítems, en el primero deben utilizar una inecuación, mientras que en el segundo deben
dejarla indicada como una integral (si consideramos x como variable continua) o como una
suma de diez términos (si la variable x se toma como discreta)
RESULTADOS
VALORACIÓN
La tarea propuesta en el ítem 5a, la realizan correctamente más de la mitad de los alumnos
que realizaron el cuestionario, sin embargo el porcentaje se reduce de una forma importante
en el ítem 5b. Los alumnos no tienen claro cuál es la técnica a utilizar en este caso. En
Bachillerato el predominio del “tecnicismo” no permite que una organización matemática
como la generada por la integral tenga un momento Tecnológico – Teórico importante que
permita ver a que tipo de tareas matemáticas es conveniente asociar la técnica de
integración.
54,63
23,90
0
20
40
60
80
100
Porc
enta
jes
5a 5b
Items
Respuestas correctas
Porcentajes
Ítems En blanco Incorrectas Correctas
5a 29,27 16,10 54,63
5b 44,39 31,71 23,90
Capítulo III
140
BLOQUE C5.2: Ítems 10a y 10b – Funciones derivadas y modelización
ENUNCIADOS Y SOLUCIONES
10. Un estudio de la eficacia del turno matinal de una fábrica demuestra que el número,
Q(t), de unidades producidas (en un período de t horas) por un trabajador que llega a la
fabrica a les 8:00 horas, es de tt 1223t- Q(t) 2
3++= unidades (en promedio).
(a) ¿En qué momento de la mañana la eficacia es máxima?
(b) ¿En qué momento el ritmo de crecimiento de la producción deja de aumentar y
comienza a disminuir?
SOLUCIÓN
10a. 6 (extremos relativo) → a las 14:00 horas
10b. 2 (calcular el punto de inflexión) → a las 10:00 horas
COMENTARIOS
Se propone otra tarea de modelización de una situación económica en la que el alumno
debe utilizar la primera y segunda derivada para resolverla. En Bachillerato la primera
derivada es una técnica que se utiliza como herramienta para resolver tareas de
modelización de situaciones económicas, físicas, biológicas... todas ellas relacionadas con
el cálculo de extremos relativos. No ocurre lo mismo con la segunda derivada, está pensada
en bachillerato como una técnica algorítmica para delimitar los puntos de inflexión o para
representar graficas de funciones. Pero tecnológicamente hay una riqueza mayor si
pensamos que a su vez la primera derivada también es una función (los alumnos no tienen
claro que lo sea) y, que la segunda derivada como técnica nos permite estudiar la
monotonía de la función derivada, es decir, saber si el crecimiento de la función es rápido o
lento (situaciones que se dan con frecuencia también en las tareas de modelización, aunque
en la actividad matemática de bachillerato, tengan un carácter casi marginal). En el mundo
económico no solo interesa saber si los ingresos aumentan sino a que velocidad lo hacen.
Segundo estudio exploratorio : aspectos de la rigidez de las matemáticas en Secundaria
141
Esperamos, teniendo en cuenta lo anterior, porcentajes de aciertos distintos, un mejor
comportamiento en el ítem 10a que en el ítem 10b.
RESULTADOS
VALORACIÓN
Los resultados de la tabla confirman que los alumnos tienen menor dificultad en asociar la
técnica de la primera derivada a la tarea de modelización propuesta que la técnica de la
segunda derivada. Además la pregunta relativa a la variación del ritmo de crecimiento les
resulta mas extraña, como se puede ver por el alto porcentaje (58,05) de respuesta en
blanco del ítem 10b.
BLOQUE C5.3: Ítems 15a, 15b y 15c – Funciones derivadas y modelización
ENUNCIADOS Y SOLUCIONES
15. El volumen C(t) (agua acumulada hasta el instante t) de agua que mana de un grifo (en
litros) viene dada por una función afín respecto del tiempo t (en segundos). Si en el primer
segundo el agua recogida es de 3 litros, en el segundo es de 5 litros y en el tercer segundo
es de 7 litros,
a) ¿Cuál es el volumen de agua recogido en un instante cualquiera t ?
b) ¿Cuál es el volumen de agua recogido en una hora?
c) ¿Cuándo arroja mas agua por segundo el grifo a los 10 segundos o a los 12
segundos ?
29,27
7,32
0
20
40
60
80
100
Porc
enta
jes
10a 10b
Items
Respuestas correctas
PORCENTAJES
Ítems En blanco incorrectas correctas
10a 37,07 33,66 29,27
10b 58,05 34,63 7,32
Capítulo III
142
SOLUCIÓN
15a. C(t) = 2t+1
15b. 7201 litros
15c. la misma
COMENTARIOS
Se propone a los alumnos una tarea de modelización que podemos situar en el campo de la
ingeniería. Primeramente se propone en el ítem 15a que modelicen una tabla numérica
mediante una función afín, después que estudien el comportamiento estático en un punto
determinado y finalmente que estudien el comportamiento dinámico en dos puntos
concretos. Esperamos que una vez construida la función afín los resultados bajen de una
forma importante cuando se pase de estudiar el comportamiento estático (ítem 15b) al
comportamiento dinámico (15c) en el que tienen que interpretar la derivada de la función
afín.
RESULTADOS
VALORACIÓN
El porcentaje de respuestas del ítem 15a nos dice que hay un 40 % de los alumnos que
tienen dificultades para modelizar una función (afín) tan sencilla a partir de los datos de una
tabla. El porcentaje de respuestas correctas baja en el comportamiento estático y vuelve a
caer cuando se trata de interpretar el comportamiento dinámico en dos instantes concretos.
PORCENTAJES
Ítems En blanco Incorrectas Correctas
15a 26,34 13,17 60,49
15b 32,68 20,49 46,83
15c 42,93 24,88 32,20
60,4946,83
32,20
0
20
40
60
80
100
Porc
enta
jes
15a 15b 15c
Items
Respuestas correctas
143
BLOQUE C5.3: Ítems 20a y 20b – Funciones derivadas y modelización
ENUNCIADOS Y SOLUCIONES
20.En una autopista la velocidad máxima permitida es de 120 km/h. Un coche circula por
aquella autopista en el intervalo de tiempo comprendido entre t = 0 h. y t = 6 h. Si su
posición s(t) en cada instante del intervalo viene dada por la ecuación:
s(t) = -t3
3 - 5t2 + 155t.
(a) ¿Excede en algún momento el límite máximo de 120 km/h.?
(b) ¿En qué momento su velocidad es máxima?
SOLUCION
20a. [ 0, 2’7459] (Resolver la inecuación s’(t) ≥ 120).
20b. t = 0 Basta calcular s’(t) = 155 - 10t – t2 y buscar el máximo de la función derivada en el intervalo [0,6] .
COMENTARIOS
Se trata de realizar una tarea de modelización que podemos situar en el campo de la Física,
y en particular en la cinemática, combinando la técnica de inecuaciones y la de la derivada.
Esperamos que aparezcan dificultades en los dos ítems, porque la realización de la tarea
está muy condicionada a que el alumno sepa interpretar el resultado de aplicar las técnicas.
RESULTADOS
20,0011,22
0
20
40
60
80
100
Porc
enta
jes
20a 20b
Items
Respuestas correctas
PORCENTAJES
Ítems En blanco Incorrectas Correctas
20a 32,20 47,80 20,00
20b 50,73 38,05 11,22
Capítulo III
144
VALORACIÓN
El porcentaje de respuestas correctas es muy bajo en el ítem 20a. Dos técnicas tan
familiares para nuestros alumnos como la derivada y las inecuaciones no son capaces de
adaptarlas al contexto planteado. Después de estudiar las respuestas de los alumnos,
comprobamos que para los dos ítems dan la misma respuesta, calculan el máximo de la
función s(t). Estos alumnos responden mecánicamente a la tarea oficial desempeñada en
Secundaria, donde lo natural es que el término “velocidad máxima” vaya asociado al
cálculo de extremos relativos.
Segundo estudio exploratorio : aspectos de la rigidez de las matemáticas en Secundaria
145
3.2.3. Otros análisis estadísticos complementarios
3.2.3.1. Nivel de significación45 de los bloques para cada conjetura
Items % de aciertos dif de % Significación del %
1 81,95 12a 64,88 17,07
0,000
1 81,95 21 57,56 24,39
0,000
12a 64,88 21 57,56 7,32
0,047
11a 10,73 27a 11,22 -0,49
0,828
11b 50,73 27b 41,95 8,78
0,016
30a 33,17 16a 27,32 5,85
0,000
30b 45,37 16b 40,49 4,88
0,012
6 69,76
CO
NJE
TUR
A 1
24 69,27 -0,49 0,887
Items % de aciertos dif de % Significación del %2a 48,29 2b 16,10 32,20
.000
7a 30,73 7b 10,73 20,00
.000
12a 64,88 12b 21,95 42,93
.000
15a 60,49 15c 32,20 28,29
.000
17a 51,22
CO
NJE
TUR
A 2
17b 31,22 20,00 .000
Items % de aciertos dif de % Significación del %22 44,39 3 29,76 14,63
0.000
25 84,88 8 63,90 20,98
0.000
18a 57,56 18b 21,95 35,61
0.000
13 36,10
CO
NJE
TUR
A 3
28 23,41 12,68 0.000
45 Las diferencias entre los ítems del bloque se consideran significativas ( Significación del %) si son menores que 0,05
Capítulo III
146
Items % de aciertos dif de % Significación del %23 70,24 4 25,37 44,88
0.000
9 55,12 26 7,80 47,32
0.000
14 49,76 26 7,80 41,95
0.000
19 35,61 31 20,00 15,61
0.000
24 69,27
CO
NJE
TUR
A 4
29 16,10 53,17 0.000
Items % de aciertos dif de % Significación del %5a 54,63 5b 23,90 30,73 0,000 10a 29,27 10b 7,32 21,95 0,000 15b 46,83 15c 32,20 14,63 0,000 20a 20,00
CO
NJE
TUR
A 5
20b 11,22 8,78 0,000
Los niveles críticos tan bajos que arrojan los datos de los bloques de cada conjetura (salvo
los bloques 11a-27a y 6-24) nos permiten afirmar que las diferencias entre los ítems de los
bloques se consideran significativas.
Segundo estudio exploratorio : aspectos de la rigidez de las matemáticas en Secundaria
147
3.2.3.2. Fiabilidad de la prueba
Para estudiar la fiabilidad de nuestro cuestionario utilizamos como medida el coeficiente
alfa de Cronbach.46 Para la primera prueba inicial, hemos obtenido como valor de α =
0,7636, que es un valor elevado para una prueba tan heterogénea como P1. El segundo
cuestionario (que es el analizado en esta capítulo) arroja un índice aún mayor, α = 0,8816.
Este porcentaje tan elevado nos permite afirmar que se puede generalizar los resultados del
cuestionario a alumnos con características similares a los que lo realizaron.
3.2.3.3. Análisis estadísticos por submuestras
Para completar el análisis de la rigidez en la actividad matemática de Secundaria,
consideramos las tres submuestras siguientes :
(1) Alumnos que proceden del antiguo bachillerato (BUP Y COU).
(2) Alumnos que proceden del nuevo bachillerato (LOGSE).
(3) Alumnos que la institución presenta como “buenos alumnos”
(consideramos aquellos con nota de selectividad igual o mayor que 7).
Queremos saber cual es el comportamiento de estos tres grupos de alumnos en el
cuestionario P2
46 En este estudio de la fiabilidad del cuestionario, hemos seguido de cerca el trabajo de investigación de Tauber (2001).
Capítulo III
148
CONJETURA 1 : Dependencia de la nomenclatura asociada a una técnica
28,8622,15
44,6441,07
64,4455,56
0,00
20,00
40,00
60,00
80,00
100,00
Porc
enta
jes
COU LOSE NOTA >=7
Submuestras
Respuestas correctasBLOQUE 1.2 : Racionalización
30a16a
49,6642,95
53,57
39,29
62,22 60,00
0,00
20,00
40,00
60,00
80,00
100,00Po
rcen
taje
s
COU LOGSE NOTA>=7
Submuestras
Respuestas correctasBLOQUE 1.3 : Derivación
.11b
.27b
40,2734,90
58,93 55,36
80 75,56
0,0020,0040,0060,0080,00
100,00
Porc
enta
jes
COU LOGSE Nota>=7
Submuestras
Respuestas correctasBloque 1.2: Racionalización
.30b
.16b
83,89
63,7658,39
76,7967,86
55,36
95,5686,67
75,56
0,00
20,00
40,00
60,00
80,00
100,00
Porc
enta
jes
COU LOGSE Nota>=7
Submuestras
Respuestas correctasBLOQUE 1.1: Integración
.1
.12a
.21
Segundo estudio exploratorio : aspectos de la rigidez de las matemáticas en Secundaria
149
VALORACIÓN
Los gráficos reflejan de nuevo, que las dificultades originadas por el cambio de
nomenclatura en las tareas de derivación e intengración, son relativamente independiente de
la procedencia de bachillerato (COU- LOGSE) . Aunque el resultado mejora ligeramente en
los "buenos" alumnos, el cambio de variable también hace disminuir su rendimiento. En el
caso de las tareas de racionalización se refleja una tendencia similar. Los resultados de las
diversas muestras permiten afirmar, en definitiva, que las técnicas se identifican en cierto
grado con los objetos ostensivos que se utilizan para describirlas y ponerlas en práctica.
63,7663,09
85,71 85,7180,00 82,22
0,00
20,00
40,00
60,00
80,00
100,00
Porc
enta
jes
COU LOGSE NOTA ≥ 7
Submuestras
Porcentajes de aciertosBLOQUE 1.4 : Gráfica de funciones
624
9,40 8,0516,07 17,86
31,11 22,22
0,00
20,00
40,00
60,00
80,00
100,00
Porc
enta
jes
COU LOGSE Nota>=7
Submuestras
Respuestas correctasBloque 1.2: Racionalización
.27a
.11a
Capítulo III
150
CONJETURA 2 : La aplicación de una técnica en la enseñanza secundaria no incluye la
interpretación del resultado
30,87
11,41
30,36
8,93
42,22
15,56
0
20
40
60
80
100
Porc
enta
jes
COU LOGSE NOTA>=7
Submuestras
Respuestas correctasBLOQUE 2.2 : Limites de funciones
7a
7b
63,76
21,48
67,86
23,21
86,67
40
0
20
40
60
80
100
Porc
enta
jes
COU LOGSE NOTA>=7
Submuestras
Respuestas correctasBLOQUE 2.3 : Integrar y modelización
12a
12b
60,40
32,21
60,71
32,14
68,89
46,67
0,00
20,00
40,00
60,00
80,00
100,00
Porc
enta
jes
COU LOGSE NOTA>=7
Submuestras
Respuestas correctasBLOQUE 2.4 : Derivar y modelización
.15a
.15c
48,9929,53
57,14
35,71
71,1148,89
0,0020,0040,0060,0080,00
100,00
Porc
enta
jes
COU LOGSE NOTA>=7
Submuestras
Respuestas correctasBLOQUE 2.5 :Limites y modelización .17a
.17b
48,99
15,44
46,43
17,86
66,67
31,11
0,0020,0040,0060,0080,00
100,00
Porc
enta
jes
COU LOGSE Nota>=7
Submuestras
Respuestas correctasBLOQUE 2.1: Interpretación geométrica
derivada
.2a
.2b
VALORACIÓN
Los gráficos relativos a la conjetura dos ponen de
manifiesto con extraordinaria claridad, un escaso
cuestionamiento tecnológico en la actividad
matemática de secundaria a la hora de interpretar
una técnica, independientemente de que los
alumnos provengan de BUP y COU, de la LOGSE
o, incluso, que se trate de los considerados como
“buenos alumnos” por la institución.
Segundo estudio exploratorio : aspectos de la rigidez de las matemáticas en Secundaria
151
CONJETURA 3: Inexistencia de dos técnicas diferentes para realizar una misma tarea
VALORACIÓN
Las tareas propuestas en la conjetura tres eran tareas algorítmicas muy elementales, sin
embargo los datos de los gráficos relativos a esta conjetura ponen de manifiesto una vez
mas que el Trabajo de la Técnica en secundaria es muy rudimentario, y que esto es
independiente de las submuestras que estamos analizando. Los gráficos son un indicador de
la incompletitud de las diversas organizaciones matemáticas en las que están sumergidas las
tareas analizadas en la conjetura.
83,8963,76
87,5064,29
91,1171,11
0,0020,0040,0060,0080,00
100,00Po
rcen
taje
s
COU LOGSE NOTA>=7
Submuestras
Respuestas correctasBLOQUE 3.2 : Porcentajes
.25
.8
57,05
22,82
58,93
19,64
68,89
33,33
0,0020,0040,0060,0080,00
100,00
Porc
enta
jes
COU LOGSE NOTA>=7
Submuestras
Respuestas correctasBLOQUE 3.3 : Derivación
.18a
.18b
40,2722,82
55,3648,21
66,6746,67
0,00
20,00
40,00
60,00
80,00
100,00
Porc
enta
jes
COU LOGSE NOTA>=7
S ubmue st r a s
Respuestas correctasBLOQUE 3.1: Divisibilidad en Z
.22
.3
31,5420,81
48,2130,36
57,7842,22
0,00
20,00
40,00
60,00
80,00
100,00
Porc
enta
jes
COU LOGSE NOTA>=7
Submuestras
Respuestas correctasBLOQUE 3.4: Inecuaciones
y funciones cuadráticas
.13
.28
Capítulo III
152
CONJERURA 4 : No reversión de las técnicas para realizar la Tarea inversa
.
67,11
22,15
78,57
33,93
84,44
42,22
0,0020,0040,0060,0080,00
100,00
Porc
enta
jes
COU LOGSE NOTA>=7
Submuestras
Respuestas correctasBLO Q UE 4.1 : Funciones polinómicas .23
.4
47,65
3,36
75,00
19,64
71,11
17,78
0,00
20,00
40,00
60,00
80,00
100,00
COU LOGSE NOTA>=7
Submuestras
Respuestas correctasBLO Q UE 4.2 : Sistemas de ecuaciones
l ineales .9
.26
44,30
3,36
64,29
19,64
66,67
17,78
0,00
20,00
40,00
60,00
80,00
100,00
Porc
enta
jes
COU LOGSE NOTA>=7
Submuestras
Respuestas correctasBLO Q UE 4.3 : Sistemas de
ecuacioneslinealesy geometriía analítica
.14
.26
63,09
12,75
85,71
25,00
82,22
28,89
0,0020,0040,0060,0080,00
100,00
Porc
enta
jes
COU LOGSE NOTA>=7
Submuestras
Respuestas correctasBLOQUE 4.5 : Funciones cuadráticas
.24
.29
36,24
15,44
33,9332,14
53,33
35,56
0,00
20,00
40,00
60,00
80,00
100,00
Porc
enta
jes
COU LOGSE NOTA>=7
Submuestras
Respuestas correctasBLO Q UE 4.4 : Algebra elemental
.19
.31
VALORACIÓN
Los datos de los gráficos de la conjetura cuatro recogen una
caída muy importante en el porcentaje de aciertos entre los
alumnos que conocen la técnica y los que saben invertirla.
El porcentaje de aciertos baja de una forma extraordinaria
en cualquiera de las submuestras. Otra vez los datos ponen
de manifiesto la poca flexibilidad de las técnicas de
Secundaria así como la relativa independencia de la
procedencia de la submuestra elegida, reflejando que no
forman parte de las tareas institucionales el poder revertir
una técnica para realizar la tarea inversa.
Segundo estudio exploratorio : aspectos de la rigidez de las matemáticas en Secundaria
153
CONJETURA 5 : Ausencia de situaciones abiertas que requieren un trabajo de
modelización
VALORACION
Los gráficos son una buena muestra de que las tareas de modelización matemática, en
particular, todas las que tienen que ver con la tecnología de la derivada, son muy
problemática para los alumnos, inclusive para los que la institución considera como
“buenos alumnos”. Los datos sugieren de nuevo, que se trata de una ausencia institucional y
no de diferencias de los alumnos.
54,36
22,15
55,36
28,57
71,11
37,78
0,0020,0040,0060,0080,00
100,00
Porc
enta
jes
COU LOGSE NOTA>=7
Submuestras
Respuestas correctasBLOQUE 5.1 : Funciones cuadráticas y
modelización
.5a
.5b
26,17
8,05
37,50
5,36
51,11
13,33
0,00
20,00
40,00
60,00
80,00
100,00
Porc
enta
jes
COU LOGSE NOTA>=7
Submuestras
Respuestas correctasBLOQUE 5.2 : Funciones cúbicas y
modelización
.10a
.10b
60,4047,65
32,21
60,7144,64
32,14
68,8953,33
46,67
0,0010,0020,0030,0040,0050,0060,0070,0080,0090,00
100,00
Porc
enta
jes
COU LOGSE NOTA >=7
Submuestras
Respuestas correctasBLOQUE 5.3 : Derivadas y modelización .15a
.15b
.15c
22,82
11,4112,50
10,71
28,89
24,44
0,0010,0020,0030,0040,0050,0060,0070,0080,0090,00
100,00
Porc
enta
jes
COU LOGSE NOTA>=7
Submuestras
Respuestas correctasBLOQUE 5.4 : Derivadas y
modelización
.20a
.20b
Capítulo III
154
A fin de confirmar esta hipótesis que sitúa el origen del problema en la estructura de las
organizaciones matemáticas escolares, llevaremos a cabo en lo que sigue nuevos análisis
estadísticos de éstos datos y, también, de los datos proporcionados por los libros de texto.
3.3. Estudio experimental con los libros de texto
Para aumentar la base empírica de las conjeturas C1-C5, hemos utilizado un segundo tipo
de datos que, al igual que las respuestas de los estudiantes al cuestionario, consideramos
como indicadores de las características de las OM que viven en la enseñanza secundaria. Se
trata de los datos obtenidos del análisis de una muestra de libros de texto47 que desarrollan
el currículum oficial de la enseñanza secundaria obligatoria (ESO, 12-16 años) y del
Bachillerato (16-18 años). Estos datos pueden considerarse, como ya hemos dicho, la
“respuesta de los libros de texto” al citado cuestionario.
La elección de los manuales se ha hecho teniendo en cuenta su amplia difusión en todo el
estado español y, en particular, en las comunidades autónomas que participan en nuestra
investigación.
Editorial Cursos Año de publicación
ANAYA 1º a 4º de ESO 2002
ANAYA 1º y 2º Bachillerato 2000 y 2001
SANTILLANA 1º a 4º de ESO 2002
SANTILLANA 1º y 2º Bachillerato 2002
McGRAW-HILL 1º a 4º de ESO 2002
McGRAW-HILL 1º y 2º Bachillerato 2002
SM 1º a 4º de ESO 2002
SM 1º y 2º Bachillerato 2002
47 En el caso del Bachillerato hemos tomado los textos correspondientes a la modalidad de Ciencias de la Naturaleza y de la Salud y Tecnología.
Segundo estudio exploratorio : aspectos de la rigidez de las matemáticas en Secundaria
155
Para llevar acabo este estudio hemos considerado, para cada conjetura, el tema del
currículum que incluye los ítems del cuestionario relativos a dicha conjetura y, a
continuación, hemos formulado una conjetura específica para cada uno de dichos temas.
C1: Dependencia de la nomenclatura asociada a una técnica
El cuestionario proponía la exploración de esta conjetura especificando en cuatro temas
concretos: derivación, integración definida, representación gráfica de funciones elementales
y racionalización de fracciones numéricas. Proponemos para cada uno de estos temas una
especificación de la conjetura C1. Se obtienen así las cuatro Conjeturas Específicas
siguientes:
C1A: En el cálculo de integrales definidas (e indefinidas) predomina la letra x como designación de la
variable real independiente (generada por los ítems 1, 12a y 21).
C1B: En el cálculo de derivadas predomina la letra x como designación de la variable real independiente
(generada por los ítems 11a, 27a, 11b y 27b).
C1C: En la representación gráfica de funciones predomina la letra x como designación de la variable real
independiente (generada por los ítems 24 y 6).
C1D: En el trabajo de racionalización de los denominadores de fracciones numéricas, predomina la
designación de los números irracionales con radicales frente a la designación con potencias de exponente
fraccionario (generada por los ítems 30a, 30b, 16a y16b).
Los resultados que arroja el análisis de los libros de texto en relación este grupo de
conjeturas específicas son los siguientes:
Número de ejercicios
Tipo de tareas Variable x Variable distinta de x
C1A Cálculo de integrales Indefinidas 1217 2
C1A Cálculo de integrales definidas 131 0
C1B Cálculo de derivadas 952 5
C1C Gráfica de funciones 492 2
Radicales Exponente fraccionario C1D Racionalización
57 0
Capítulo III
156
Esta tabla se refiere al numero total de las tareas de cada tipo que aparecen en el conjunto
de los manuales analizados. Así, por ejemplo, en el conjunto de todos los libros de
Bachillerato analizados aparecen 1217 tareas relativas al cálculo de integrales indefinidas
con la variable x y únicamente 2 tareas de ese tipo utilizan una variable distinta de x. El
resto de los datos presentan una contundencia similar.
C2. La aplicación de una técnica en la enseñanza secundaria no incluye la interpretación
del resultado
Teniendo en cuenta los temas en los que se sitúan los ítems del cuestionario que hacen
referencia a esta conjetura, aparecen las siguientes conjeturas específicas48:
C2A: El cálculo del límite de una función (dada por su expresión analítica) ya sea en un punto o en el infinito,
no incluye la interpretación del resultado (generada por los ítems 7a, 7b, 17a y 17b).
C2B: El cálculo de la derivada de una función (expresada analíticamente) en un punto, no incluye la
interpretación del resultado (generada por los ítems 15a y 15b).
C2C. El cálculo de la integral definida de una función entre dos valores dados, no incluye la interpretación
del resultado (generada por los ítems 12a y 12b).
Los resultados que arroja el análisis de los libros de texto en relación este grupo de
conjeturas específicas son los siguientes:
Tipo de tareas
Ejercicios de realización
(sin interpretación)
Ejercicios con interpretación
de la técnica o resultado
C2A Cálculo de límites 698 5
C2B Cálculo de derivadas en un punto 78 3
C2C Cálculo de integrales definidas 121 8
48 Las dificultades para encontrar un tema del currículum de matemáticas en el que situar los ítems 2a y 2b, nos ha llevado a no formular ninguna conjetura específica generada por dichos ítems.
Segundo estudio exploratorio : aspectos de la rigidez de las matemáticas en Secundaria
157
La tabla refleja claramente la distancia que existe en los libros de texto consultados, entre la
gran cantidad de ejercicios que se proponen para resolver mecánicamente y la casi ausencia
absoluta de ejercicios en los que se requiera la interpretación del resultado. Destacamos
que, de los tres ejercicios en que se pide la interpretación de la derivada de una función en
un punto, sólo uno de ellos corresponde a la interpretación numérica (variación unitaria de
la función) mientras que los otros dos corresponden a la interpretación geométrica
(pendiente de la recta tangente).
C3. Inexistencia de dos técnicas diferentes para realizar una misma tarea
Teniendo en cuenta los temas del diseño curricular en los que se sitúan los ítems del
cuestionario que hacen referencia a esta conjetura, aparecen las siguientes conjeturas
específicas:
C3A: En el cálculo del mínimo común múltiplo (mcm) predomina la técnica de descomposición en factores
primos frente a la técnica que se basa en la relación entre el mcm y el máximo común divisor de dos números
enteros (generada por los ítems 3 y 22).
C3B: En el cálculo del valor final obtenido disminuyendo o aumentando un cierto porcentaje del valor inicial,
predomina la técnica “aditiva” (y = x + r·x) frente a la técnica “multiplicativa”: y = (1 + r)·x (generada por los
ítems 8 y 25).
C3C: En el cálculo de la función derivada de una función dada analíticamente predomina una técnica
específica para cada tipo de función, por ejemplo la regla del cociente para funciones racionales (generada por
los ítems 18a y 18b).
C3D: En la resolución de inecuaciones predomina la técnica algebraica (resolución de la ecuación asociada y
estudio algebraico del cambio de signo) frente a la técnica que se apoya en el estudio de la gráfica de la
función asociada (generada por los ítems 13 y 28).
Los resultados que arroja el análisis de los libros de texto en relación este grupo de
conjeturas específicas son los siguientes:
Capítulo III
158
Tipo de tareas
Ejercicios de realización
con una sola técnica
Ejercicios de realización
con más de una técnica
C3A Cálculo del mcm 82 1
C3B Cálculo porcentajes 43 37
C3C Cálculo de derivadas 952 8
C3D Algebraicamente Gráficamente
Resolución de una
inecuación cuadrática 25 4
La tabla anterior refleja que para llevar a cabo determinadas tareas (el cálculo del mcm, el
cálculo de derivadas y la resolución de inecuaciones cuadráticas) los libros de texto
oficiales proponen exclusivamente una única técnica. En el caso del cálculo de porcentajes
las dos técnicas que se proponían (aditiva y multiplicativa) eran en realidad dos versiones
muy próximas entre sí de una misma técnica. Podríamos decir que cada una de ellas se
obtiene mediante una muy pequeña variación de la otra. Esta casi equivalencia entre ambas
técnicas permite explicar los resultados obtenidos en relación con la conjetura C3B.
C4. No reversión de las técnicas para realizar la tarea “inversa” de una tarea dada
Teniendo en cuenta los temas en los que se sitúan los ítems del cuestionario que hacen
referencia a esta conjetura, aparecen las siguientes conjeturas específicas:
C4A: En la representación gráfica de funciones (nos limitaremos a las afines y cuadráticas) predomina la
tarea que parte de la expresión analítica de la función y no se realiza la tarea “inversa” cuyo objetivo sea
obtener dicha expresión analítica a partir de la gráfica (generada por los ítems 24 y 29).
C4B: En el estudio de funciones polinómicas elementales, los libros de texto proponen buscar los puntos de
corte de la gráfica de la función con el eje de las x (siempre que las raíces sean enteras o fácilmente
calculables), pero no suelen proponer la tarea “inversa” que consistiría en buscar una función polinómica
dadas sus raíces (generada por los ítems 4 y 23).
C4C: En el estudio de sistemas de ecuaciones, predomina la técnica de resolución de sistemas (tarea directa)
y no se realiza la tarea inversa de buscar sistemas de ecuaciones que tengan unas soluciones dadas de
antemano (generada por los ítems 9 y 26)49.
49 Hemos contabilizado como tareas directas las siguientes: resolución algebraica o geométrica, discutir, clasificar y resolver un sistema según los valores que tomen ciertos parámetros.
Segundo estudio exploratorio : aspectos de la rigidez de las matemáticas en Secundaria
159
C4D: En el trabajo con el lenguaje algebraico, predomina la traducción del lenguaje natural al algebraico
(tarea directa), frente a la traducción inversa de una expresión algebraica al lenguaje verbal (generada por los
ítems 19 y 31)50.
En relación a este conjunto de conjeturas especificas , los datos que aportan los libros de
texto son los siguientes :
TAREA DIRECTA TAREA INVERSA
Representar la gráfica a partir de la
expresión analítica
Expresar analíticamente una función
a partir de la gráfica
C4A 156 35
Resolver una ecuación polinómica
Determinar una ecuación polinómica
dadas las raíces
C4B 237 29
Resolver un sistema
de ecuaciones lineales
Determinar un sistema de ecuaciones
lineales a partir de sus soluciones
C4C 516 1
Traducción del lenguaje natural al
lenguaje algebraico
Traducción del lenguaje algebraico
al lenguaje natural
C4D 145 40
La tabla recoge de una forma clara que en los libros de texto consultados y en lo que se
refiere a los cuatro tipos de tareas considerados, podemos afirmar que las tareas inversas
sólo aparecen de forma anecdótica. En consecuencia, las técnicas que serían pertinentes
para realizar dichas tareas inversas están completamente ausentes de los manuales.
Destacamos, en particular, que en el caso de la resolución de un sistema de ecuaciones
lineales (incluso en el caso más sencillo, de dos ecuaciones con dos incógnitas) que es una
tarea que forma parte del “entorno familiar del alumno”, los libros de texto no plantean en
ningún momento la posibilidad de invertir el proceso. Ni que decir tiene que, cuando se
trata de funciones más complejas que las polinómicas de primer o de segundo grado, la
tarea de escribir la expresión analítica de la función a partir de una gráfica dada está
completamente ausente de los libros de texto de la enseñanza secundaria.
50 En esta conjetura específica, C4D, hemos utilizado únicamente los libros de texto de la ESO.
Capítulo III
160
C5. Ausencia de situaciones abiertas que requieren un trabajo de modelización
Teniendo en cuenta los temas en los que se sitúan los ítems del cuestionario que hacen
referencia a esta conjetura, aparecen las siguientes conjeturas específicas:
C5A: Existen muy pocas situaciones “abiertas” que requieran un trabajo de modelización utilizando
inecuaciones (generada por el ítem 5a).
C5B: Existen muy pocas situaciones “abiertas” que requieran un trabajo de modelización utilizando
derivadas (generada por los ítems 10a, 10b, 15c, 20a y 20b).
C5C: Existen muy pocas situaciones “abiertas” que requieran un trabajo de modelización utilizando
integrales (generada por los ítems 5b).
Tipos de tareas
Total
Incluyen alguna etapa de
la modelización
C5A Problemas de inecuaciones 152 22
C5B Problemas de derivadas 1957 176
C5C Problemas de integrales 1887 132
Los datos obtenidos del análisis de los manuales muestran muy claramente que en el
conjunto de las tareas de los tipos considerados, las tareas que incluyen algún aspecto de la
modelización son excepcionales. En los pocos casos en los que aparece alguna de las etapas
de la modelización matemáticas ésta suele reducirse a la manipulación de un modelo dado
en el enunciado de la tarea. Entre las casi 4000 tareas analizadas (todas las que hacen
referencia a inecuaciones, derivadas e integrales) no hemos encontrado ninguna en la que el
alumno tuviera que elegir por sí mismo cuáles eran las variables más adecuadas para
modelizar un sistema (matemático o extramatemático) dado.
Segundo estudio exploratorio : aspectos de la rigidez de las matemáticas en Secundaria
161
3.4. Conclusiones
En esta última sección interpretaremos conjuntamente los dos tipos de datos empíricos que
hemos obtenido (los que provienen de las respuestas del cuestionario y los que hemos
extraído del análisis de los libros de texto) para sacar conclusiones respecto de las
relaciones entre: los diferentes aspectos de la rigidez de las OM que se estudian en
Secundaria, la incompletitud relativa de las OML que se reconstruyen en dicha institución,
las restricciones institucionales que pesan sobre la actividad matemática escolar y las
discontinuidades entre la Secundaria y la Universidad.
(a) Los datos empíricos obtenidos en relación a la conjetura C1 (especialmente los
extraídos de los manuales) muestran bien a las claras que en la enseñanza secundaria las
técnicas matemáticas se tienden a identificar en cierto grado con los objetos ostensivos
(símbolos, palabras y gráficos) que se utilizan para describirlas y para aplicarlas. Este
aspecto de la rigidez se atenúa (aunque no llega a desaparecer) a medida que los estudiantes
dominan de una manera muy robusta una técnica matemática concreta (como, por ejemplo,
la fórmula para resolver una ecuación de segundo grado en el caso de los estudiantes de
primer curso universitario).
Esta dependencia de los medios materiales imprescindibles para realizar la
actividad matemática puede ser considerada como restricción que imponen las instituciones
docentes que presentan por primera vez una técnica a los estudiantes. Se trata de una
restricción que pesa, por lo tanto, sobre la actividad matemática especialmente cuando ésta
se encuentra en su primera fase de desarrollo. En el caso en que, por la razones que sea, el
desarrollo de la actividad matemática no supere esta restricción inicial, aparecerán
conflictos en las etapas posteriores de la educación matemática. En nuestro caso, estos
conflictos se manifestarán principalmente en la enseñanza universitaria de las matemáticas
debido al fuerte carácter algebraico de las OM que se estudian en la Universidad y que
comporta el uso constante y sistemático de técnicas matemáticas independientes de la
nomenclatura.
Capítulo III
162
(b) Los datos extraídos del cuestionario en su conjunto muestran dificultades especialmente
graves en aquellas tareas en las que interviene el bloque tecnológico-teórico; es decir, en
las que interviene la dimensión del estudio que hace referencia a la necesidad de interpretar
y justificar la actividad matemática que se está realizando. Estos datos apoyan la hipótesis
H(S) según la cual la actividad matemática que se lleva a cabo en Secundaria es
esencialmente práctico-técnica y raramente alcanza el nivel tecnológico. En particular, los
datos que nos proporcionan los libros de texto en relación con la conjetura C2 confirman
que en Secundaria no existen, prácticamente, tareas institucionalizadas que tengan por
objetivo interpretar el funcionamiento o el resultado de una técnica.
Es de suponer que esta restricción institucional que concentra la actividad en el
bloque práctico-técnico generará una matemática de carácter “mostrativo”, esto es, una
actividad matemática en la que las demostraciones hacen un papel meramente “decorativo”,
y donde las propiedades y los resultados se muestran mediante una figura, un esquema o un
ejemplo particular (Gascón, 1997). Es previsible, por lo tanto, que el fuerte carácter
“demostrativo” de las OM que se estudian en la Universidad obstaculice el tránsito al
estudio universitario de las matemáticas y tenga un coste didáctico importante, tanto para la
institución universitaria como para los propios estudiantes.
(c) Una de las consecuencias de la escasa incidencia del bloque tecnológico-teórico sobre la
práctica matemática escolar que se lleva a cabo en Secundaria lo constituye el hecho de que
muchas de las técnicas matemáticas que se utilizan tengan un carácter “naturalizado” y
“auto-tecnológico”. Esto es, para muchas de las tareas matemáticas que se proponen en
Secundaria existe en dicha institución una única manera (o, al menos, una manera
privilegiada frente a las otras maneras posibles) transparente e incuestionable, de
abordarlas. Este aspecto de la rigidez está enunciado en la conjetura C3. Los datos
empíricos extraídos de los libros de texto, correspondientes a dicha conjetura, permiten
explicar porqué los alumnos no comparan nunca el coste de dos técnicas diferentes para
decidir cuál es la más adecuada en cada caso. Se trata de una actividad completamente
ausente de los libros de texto.
Segundo estudio exploratorio : aspectos de la rigidez de las matemáticas en Secundaria
163
Este aspecto de la rigidez conlleva forzosamente que los diferentes tipos de tareas
estén muy atomizados (poco articulados entre sí), porque de esta forma se puede asociar
institucionalmente a cada tipo de tareas la técnica que le corresponde. Éste es uno de los
rasgos “tecnicistas” de la organización didáctica en Secundaria. Esta restricción
institucional comporta que en el tipo de actividad matemática que se lleva a cabo en
Secundaria muy raramente (o casi nunca) se parta de un tipo de tareas matemáticas para ir
ampliándolo sucesivamente a medida que la técnica correspondiente va desarrollándose en
manos del alumno.
Aunque este trabajo tampoco se lleva a cabo en la Universidad, el contrato
institucional vigente en dicha institución supone implícitamente que, dado un amplio tipo
de problemas, puede dejarse al estudiante la responsabilidad de decidir cuál es la técnica
más adecuada para abordar cada subtipo de problemas. Fruto de este malentendido aparece
un nuevo obstáculo que dificulta el paso de Secundaria a la Universidad y que presiona
cada vez con más fuerza a la institución universitaria para que ésta compartimente, a su
vez, cada tipo de problemas en subtipos bien identificables para evitar así que el “fracaso
escolar” (especialmente en el primer curso universitario) siga aumentando.
(d) Otra de las consecuencias de la ausencia del cuestionamiento tecnológico en secundaria
y del consiguiente empobrecimiento del trabajo de la técnica, lo constituye la no reversión
de las técnicas para realizar la tarea inversa de una tarea matemática dada. Los datos
relativos a la conjetura C4 sugieren que las OM que se estudian en Secundaria abordan las
tareas matemáticas en una sola dirección y muy raramente consideran las correspondientes
tareas inversas. De nuevo los datos empíricos extraídos de los libros de texto permiten dar
cuenta del porqué los alumnos no invierten una técnica matemática (aunque la dominen)
cuando se les propone la tarea inversa.
En general se puede afirmar que el contrato didáctico en Secundaria no asigna al
alumno la responsabilidad de modificar una técnica “conocida” de manera adecuada para
llevar a cabo una tarea un poco diferente a la tarea inicial. Incluso cuando existen dos tareas
“inversas” entre sí, suelen tratarse como si fueran “independientes”. En el proceso de
Capítulo III
164
construcción de las OM que se estudian en Secundaria no se institucionaliza la tarea
matemática de invertir una tarea (ni, en general, de modificarla) ni, por consiguiente, la
tarea matemática de invertir una técnica para realizar la tarea “inversa”.
Esta restricción institucional sobre la actividad matemática que es posible llevar a
cabo en Secundaria provoca disfunciones en la propia enseñanza secundaria de las
matemáticas. Así, por ejemplo, el paso de las técnicas aritméticas a las algebraicas se ve
dificultado en la Enseñanza Secundaria Obligatoria (12-16 años) por la ausencia de la
institucionalización de la tarea matemática de invertir las tareas. En el paso de la ESO al
Bachillerato (16-18 años) y, sobre todo, en el tránsito a la enseñanza universitaria este
obstáculo se acrecienta debido al carácter plenamente algebrizado (Bolea, Bosch y Gascón,
2001) de las organizaciones matemáticas que se proponen para ser estudiadas en la
Universidad ( lo que comporta la reversibilidad de las tareas y de las técnicas matemáticas)
(e) Uno de los principales indicadores del grado de completitud de una OML lo constituye
la existencia de tareas matemáticas “abiertas”. Su importancia como indicador de la
completitud proviene del hecho que la existencia de tareas abiertas presupone cierto grado
de flexibilidad de las técnicas y, además, presupone que las organizaciones matemáticas
puntuales que constituyen la OML en cuestión han alcanzado cierto grado de articulación.
En términos de la actividad matemática que es posible llevar a cabo en la institución
docente, la realización de tareas “abiertas” requiere como condición previa el dominio de
las técnicas “simples” que forman parte de las diferentes OMP y, lo que no es inmediato, la
construcción de técnicas complejas (o “estrategias”) que el estudiante debe construir
componiendo en un orden determinado las citadas técnicas simples (Bosch y Gascón,
2003).
Los datos extraídos de los libros de texto y relativos a la conjetura C5 muestran que
las pocas tareas “abiertas” que aparecen en las OM que se estudian en Secundaria se
reducen a la manipulación de un modelo matemático dado previamente en el enunciado de
la tarea y que la actividad de modelización matemática (que incluye la elección de las
variables pertinentes y la construcción del modelo matemático de una situación dada) está
Segundo estudio exploratorio : aspectos de la rigidez de las matemáticas en Secundaria
165
totalmente ausente. En consecuencia, los manuales nunca proponen “estrategias” útiles para
modelizar un sistema. Estos datos son perfectamente coherentes con las enormes
dificultades que muestran los alumnos para responder a las tareas del cuestionario relativas
a esta conjetura. Podemos afirmar, en resumen, que las OML analizadas satisfacen muy
débilmente uno de los indicadores de completitud.
Si, en un sentido estricto, identificáramos toda actividad matemática con una
actividad de modelización (Chevallard, Bosch y Gascón, 1997, pp. 48-57), deberíamos
considerar estos datos como un indicio del fracaso del sistema de enseñanza secundaria de
las matemáticas. Pero si, de una forma más matizada, aceptamos la necesidad de que la
actividad matemática escolar proponga tareas introductorias encaminadas a preparar
progresivamente la actividad de modelización matemática, entonces deberemos reconocer
que la enseñanza secundaria de las matemáticas no está cumpliendo esta función (al menos
explícitamente), si bien muchas de las tareas matemáticas escolares podrían reorientarse en
esa dirección. Postulamos que, en la medida en que la actividad matemática universitaria se
plantee por parte de la institución universitaria en cuestión como una actividad de
modelización matemática51 (de sistemas matemáticos o extramatemáticos), aparecerá un
nuevo obstáculo que vendrá a aumentar las dificultades en el tránsito de la Secundaria a la
Universidad.
(f) Podemos concluir, en resumen, que la comparación entre los dos tipos de datos
empíricos obtenidos (los que provienen de las respuestas del segundo cuestionario y los que
hemos extraído del análisis de los libros de texto) permite afirmar que la relación personal
de los alumnos a las OM que se estudian en Secundaria está esencialmente determinada
por la relación institucional a dichas OM. Ésta es una de las hipótesis básicas del
Programa Epistemológico y, en particular, de la TAD. En efecto, el análisis de los tipos de
tareas propuestos en los manuales pone en evidencia que, tal como suponíamos, las
respuestas al cuestionario no reflejan características personales de los estudiantes sino más
51 En cuanto al grado de identificación de la actividad matemática universitaria con una actividad de modelización matemática hay que distinguir entre los diferentes tipos de estudios universitarios en los que se lleva a cabo una actividad matemática. Pero, en términos generales, esta identificación es todavía bastante débil.
Capítulo III
166
bien la práctica institucionalizada que han llevado a cabo durante los años escolares
anteriores. En el caso de la noción de función, ésta fue precisamente una de las
conclusiones del trabajo de la tesis de Luisa Ruiz (Ruiz, 1994)
Otro dato que apoya esta conclusión es el hecho de que la nota de acceso a la
Universidad no correlaciona significativamente con el rendimiento en ninguno de los
bloques de ítems. Este dato hace suponer provisionalmente que la rigidez de la actividad
matemática que muestran los estudiantes a través de sus respuestas al cuestionario no es
explicable únicamente a partir de la capacidad individual de los estudiantes. Parece así
confirmarse una de las hipótesis básicas de esta investigación: que las dificultades en el
paso de estudiar matemáticas en Secundaria a estudiar matemáticas en la Universidad
provienen principalmente del choque entre las OM de las dos instituciones que reflejan
contradicciones y cambios bruscos entre los respectivos contratos didácticos. Esta misma
hipótesis relativa al carácter institucional del fenómeno didáctico que estamos estudiando
viene también reforzada por el hecho de que el comportamiento de los estudiantes ante la
prueba es prácticamente idéntico entre los alumnos que provienen del antiguo COU52 y los
que provienen del actual Bachillerato de la LOGSE.
(g) El hecho de que la actividad matemática de los alumnos esté esencialmente determinada
por el tipo de actividad que puede desarrollarse en la institución escolar de referencia
implica, en particular, que si en una institución (como, por ejemplo, la enseñanza
secundaria española) no se reconstruyen OML relativamente completas, no podemos
esperar que los alumnos, sujetos de dicha institución, las reconstruyan espontáneamente
por su cuenta. Es por esta razón que, una de las principales conclusiones prácticas de este
trabajo apunta a la necesidad ineludible de que sean las propias instituciones docentes las
que reconstruyan OML relativamente completas53 que permitan flexibilizar e integrar las
OM que se estudian en Secundaria.
En este punto surgen cuestiones para las que no tenemos una respuesta concluyente:
¿qué características específicas debería poseer una organización didáctica (o proceso de 52 El COU es el antiguo “Curso de Orientación Universitaria”, equivalente al actual segundo curso de bachillerato. 53 Como ya hemos apuntado, los trabajos Fonseca y Gascón (2000b y 2001) y Gascón (2001) van en esa dirección.
Segundo estudio exploratorio : aspectos de la rigidez de las matemáticas en Secundaria
167
estudio) escolar que permita reconstruir una OML relativamente completa? ¿De qué
técnicas didácticas dispone el profesor para diseñar y gestionar un tal proceso de estudio?
En el capítulo siguiente se pretenden empezar a responder a la primera de estas preguntas.
Para acabar describiremos el punto de partida de tres tipos de técnicas didácticas que
pueden ayudar a diseñar y gestionar un proceso de estudio capaz de reconstruir una OML
relativamente completa.
(a) Partiendo de una cuestión problemática cuya respuesta sea forzosamente una OML
relativamente completa.
(b) Partiendo de la actividad matemática que se lleva a cabo dentro de una OMP y
desarrollando suficientemente y en una dirección adecuada el trabajo de la técnica54.
(c) Partir de una OMP y, mediante sucesivos procesos de modelización matemática ir
ampliándola progresivamente hasta obtener una OML relativamente completa55.
Estas tres técnicas didácticas descriptas brevemente las vamos a utilizar en el
capítulo 4, en el caso de tres organizaciones matemáticas locales, generadas
respectivamente por : las reglas de derivación de funciones, la Regla de Ruffini y la
diagonalización de matrices.
54 Ver sección 4.3 del capítulo 4 55 Ésta es precisamente, en el ámbito de la medida de magnitudes, una de las líneas actuales de investigación de nuestro grupo (Bolea, Bosch, García, Gascón, Ruiz y Sierra, 1999, 2000 y 2001).
CAPÍTULO IV.
La reconstrucción escolar de organizaciones matemáticas locales
La reconstrucción escolar de organizaciones matemáticas locales
171
4.1. Retorno al problema de las discontinuidades matemáticas y didácticas
entre la Secundaria y la Universidad
Hasta aquí hemos utilizado de forma intuitiva y poco precisa la noción de “completitud
relativa” de una organización matemática local. En este capítulo intentaremos precisar
el alcance de esta noción. Describiremos las condiciones que debe cumplir el proceso de
construcción de una organización matemática local relativamente completa e
introduciremos algunos indicadores del grado de completitud de la misma.
Después de precisar la noción de “completitud relativa”, la utilizaremos en primer lugar
para analizar con cierto detalle un ejemplo concreto de organización matemática local
empírica: la que se construye en la enseñanza secundaria actual en torno a la
“derivación de funciones de una variable real”. Aunque, como hemos constatado en
nuestro estudio experimental, en la realidad de las aulas dicha organización acostumbra
a estar formada por un conjunto de organizaciones matemáticas puntuales, rígidas y
bastante aisladas entre sí, veremos que mediante un adecuado cuestionamiento
tecnológico (que seguramente podría llevarse a cabo en la propia enseñanza secundaria)
sería posible desarrollar y flexibilizar las técnicas de derivación, articular las citadas
organizaciones puntuales y reconstruir el germen de una organización matemática local
mucho más “completa” que la que vive actualmente en la enseñanza secundaria.
Queremos subrayar que hemos elegido una organización matemática generada por
técnicas casi algorítmicas porque, pese a su sencillez, esta organización permite mostrar
claramente un fenómeno bastante general: el de la subexplotación de las tecnologías
disponibles en una institución, en lo que se refiere a sus principales funciones dentro del
proceso de estudio (Chevallard, 1999, p. 227). En efecto, los elementos tecnológicos
necesarios para llevar a cabo el cuestionamiento de las técnicas de derivación de
funciones están disponibles en la enseñanza secundaria, pero no se utilizan ni para
cuestionar el alcance de las técnicas de derivación, ni para evaluar su eficacia, ni para
modificarlas, ni para producir nuevas técnicas que estén mejor adaptadas a
determinados tipos de tareas.
Capítulo IV
172
Hasta aquí la mayor parte de nuestros análisis se han centrado esencialmente en las
organizaciones matemáticas que se reconstruyen en la enseñanza secundaria. En los
capítulos anteriores hemos descrito algunos de los aspectos de la rigidez de las
organizaciones matemáticas que se estudian en dicha institución escolar. Hemos
postulado que esta rigidez está relacionada con la incompletitud de las organizaciones
matemáticas locales que viven en la enseñanza secundaria y hemos considerado que
dicha incompletitud está en la base de muchas de las discontinuidades entre las
matemáticas de la enseñanza secundaria y las matemáticas de la enseñanza universitaria.
Esto no debería interpretarse, de ninguna manera, como una aceptación implícita de que
la causa o la explicación última de dichas discontinuidades deba buscarse en una sola
de las instituciones involucradas. Esta interpretación, completamente unilateral, sería
falsa por cuanto que dichas discontinuidades deben interpretarse como el resultado de
las complejas interrelaciones, contradicciones y rupturas entre la actividad matemática
que es posible llevar a cabo actualmente en la enseñanza secundaria –actividad que ha
estado parcialmente caracterizada en los capítulos anteriores– y la actividad matemática
que es posible realizar actualmente en la enseñanza universitaria, que ha sido mucho
menos analizada en esta memoria.
En contra de una interpretación simplista que pretendiera explicar las discontinuidades
matemáticas y didácticas entre Secundaria y la Universidad a partir, únicamente, de la
rigidez y la atomización de las organizaciones matemáticas que se estudian en
Secundaria, describiremos a continuación dos fenómenos didácticos directamente
relacionados con las citadas discontinuidades y que hacen referencia a (y dependen de)
la actividad matemática que se lleva a cabo en la enseñanza universitaria. En la segunda
parte de este capítulo ejemplificaremos ambos fenómenos que formulamos y
comentamos a continuación.
(1) La rigidez de las técnicas matemáticas “elementales” que se utilizan por
primera vez en la enseñanza secundaria no disminuye cuando éstas se utilizan en la
enseñanza universitaria, aunque se disponga de los elementos tecnológicos que
podrían cuestionarlas, flexibilizarlas y desarrollarlas.
La reconstrucción escolar de organizaciones matemáticas locales
173
Hemos dicho que muchas de las organizaciones matemáticas locales que se consideran
disponibles en la enseñanza universitaria –porque se requiere que formen parte del
medio matemático de los estudiantes universitarios, esto es, que no sean problemáticas
para ellos– se suponen previamente construidas en la enseñanza secundaria con un
grado suficiente de completitud tal que no se ve la necesidad de reconstruirlas
efectivamente en la Universidad, porque se supone que no es necesario “descender a los
detalles” en el caso de tareas y técnicas matemáticas “elementales”. Este malentendido
entre ambas instituciones perpetúa la ausencia institucional de los procesos de
reconstrucción de organizaciones matemáticas locales relativamente completas y
constituye un importante obstáculo de origen didáctico que provoca graves
disfunciones en el comienzo del estudio de las matemáticas en la Universidad.
En general se da la paradoja siguiente: cuando en el proceso didáctico se recupera una
técnica aprendida anteriormente para utilizarla en una actividad matemática nueva
(como, por ejemplo, para utilizarla como subtécnica de una nueva técnica), se suele
recuperar una versión rígida y estereotipada de la técnica “antigua” a pesar de que,
presuntamente, ésta ya no es problemática para los estudiantes. Esto sucede tanto si se
trata de la recuperación de una técnica que forma parte del mismo tema, como si trata de
la recuperación de una técnica que se aprendió en temas anteriores del mismo curso o,
incluso, en cursos anteriores.
Este fenómeno pone muy claramente de manifiesto la escasa articulación del actual
currículum de matemáticas y puede interpretarse, en primera instancia, como la
respuesta defensiva del sistema ante la ausencia de técnicas didácticas que permitan
retomar las organizaciones matemáticas estudiadas anteriormente para cuestionarlas,
ampliarlas e integrarlas de manera funcional en nuevas organizaciones cada vez más
amplias y completas. En efecto, al no ser posible esta articulación, muchas de las
organizaciones matemáticas que se proponen para ser estudiadas en cada uno de los
niveles educativos –por ejemplo, en el primer curso universitario– lo son como si éstas
fueran creadas de la nada, como si fueran completamente independientes de las
estudiadas en los niveles anteriores. Pero como una articulación mínima resulta siempre
imprescindible (un estudiante de matemáticas en un primer curso universitario debe, por
ejemplo, calcular las raíces enteras de un polinomio y derivar una función polinómica
de forma rutinaria), el sistema se ve llevado a “reconocer” aquellas maneras de hacer
Capítulo IV
174
que no son problemáticas para la mayoría de los estudiantes. Estas maneras de hacer
comunes suelen coincidir con las versiones más rígidas y estereotipadas de ciertas
técnicas matemáticas.
Postulamos que este fenómeno se acentúa cuando la recuperación se hace en una
institución diferente a la institución en la que el estudiante utilizó dicha técnica por
primera vez como, por ejemplo, cuando en la enseñanza universitaria se recupera una
técnica matemática que los estudiantes aprendieron en Secundaria. Además, en este
último caso, no sólo es cierto que en la enseñanza universitaria se utilizan rígidamente
muchas de las técnicas que se recuperan de la enseñanza secundaria sino que, y éste es
el punto que nos interesa resaltar aquí, aunque se disponga (o se pueda disponer) en la
enseñanza universitaria de los elementos tecnológicos necesarios para flexibilizar el uso
de una técnica introducida en la enseñanza secundaria, no siempre se utilizan
efectivamente para desarrollar la técnica en cuestión, esto es, para ampliar su dominio
de validez, articularla con otras técnicas y hacerla más económica y más fiable.
Ejemplificaremos este fenómeno en el caso de la regla de Ruffini, no a modo de
proposición didáctica sino como ejemplo de posibilidad de desarrollo de una técnica
elemental enseñada en Secundaria hacia problemas y contenidos matemáticos tratados
en la enseñanza superior.
Lo anterior sugiere que la explicación de algunas de las discontinuidades entre la
Secundaria y la Universidad habría que buscarla no tanto en la rigidez de las
organizaciones matemáticas que viven en la enseñanza secundaria, sino más bien en la
ausencia de una actividad matemática universitaria que retome las organizaciones
matemáticas que se estudian en Secundaria, las desarrolle adecuadamente, las articule
entre sí y las integre en otras organizaciones más amplias y completas. En efecto, en
algunas ocasiones la rigidez de las organizaciones matemáticas puntuales que se
estudian en la enseñanza secundaria, y la consiguiente “incompletitud” relativa de las
correspondientes organizaciones matemáticas locales, podrían considerarse inevitables
en una primera etapa del aprendizaje, como si estuvieran a la espera del cuestionamiento
tecnológico y la consiguiente flexibilización y completación que se debería producir al
inicio de la enseñanza universitaria, en el momento en el que se construyen o presentan
los elementos tecnológicos necesarios para llevar a cabo dicho cuestionamiento. Pero si
en realidad la matemática que se estudia en la Universidad es completamente ajena a
La reconstrucción escolar de organizaciones matemáticas locales
175
esta necesidad de flexibilización y completación, entonces es cuando se produce una
ruptura entre las matemáticas que se estudian en ambas instituciones y las
discontinuidades matemáticas y didácticas parecen insalvables.
(2) En la enseñanza universitaria de las matemáticas no siempre está presente la
“razón de ser” de las organizaciones matemáticas que se estudian y, en particular,
es muy difícil que se dé sentido a las organizaciones matemáticas cuyo estudio se
inició en la enseñanza secundaria y que se retoman en la Universidad.
Hemos dicho que el teoricismo dominante en la enseñanza universitaria de las
matemáticas provoca una desconexión creciente entre el bloque práctico-técnico [T/τ] y
el bloque tecnológico-teórico [θ/Θ] a medida que va avanzando la actividad
matemática. Muy raramente los elementos tecnológico-teóricos vienen a responder a
cuestiones o a necesidades que han surgido en el desarrollo del trabajo de la técnica.
Normalmente la “relación” que se establece entre ambos bloques es bastante artificiosa
y muy unilateral por cuanto que el bloque práctico-técnico sirve únicamente para
aplicar, ejemplificar o consolidar los conceptos teóricos o para motivarlos,
introducirlos o justificarlos pero, en ningún caso, el desarrollo del trabajo práctico-
técnico provoca la emergencia de nuevos elementos tecnológico-teóricos ni modifica los
ya existentes. La relación entre ambos bloques es muy asimétrica: mientras el bloque
tecnológico-teórico dicta los contenidos, auxiliares, del bloque práctico-técnico, éste
tiene una incidencia casi nula en la constitución, desarrollo y estructura del bloque
tecnológico-teórico.
Esta separación funcional entre ambos bloques (al menos en la dirección que va del
bloque práctico-técnico a la teoría cristalizada que se muestra a los estudiantes), se pone
de manifiesto en la ausencia de muchas de las cuestiones problemáticas que
constituyen la “razón de ser” de las organizaciones matemáticas que se estudian en la
enseñanza universitaria, especialmente si dichas cuestiones han surgido de las
necesidades del bloque práctico-técnico.
Lo anterior sugiere que, en el caso de las organización matemáticas que se estudian en
el Bachillerato y que se vuelven a estudiar en los primeros cursos universitarios (como,
Capítulo IV
176
por ejemplo, las que se constituyen, respectivamente, en torno a la “geometría
analítica”, al “cálculo diferencial”, a la “estadística inferencial” o al “álgebra lineal”)
será muy difícil que en la enseñanza universitaria se dé sentido al trabajo práctico-
técnico que ocupó, en todos los casos, la mayor parte del proceso didáctico que tuvo
lugar en su momento en la enseñanza secundaria.
Así, por ejemplo, la organización matemática que se constituye en Secundaria en torno
a la geometría analítica responde a cuestiones problemáticas que surgen más allá, no
sólo del tema en que se la sitúa en el currículum de Secundaria, sino incluso más allá
del área y hasta del sector en que dicha organización se sitúa dentro del diseño
curricular. En efecto, las cuestiones problemáticas a las que responde en última
instancia la geometría analítica no son precisamente las que se proponen en Secundaria
(intersección de dos rectas, intersección de una parábola y una recta o de dos parábolas,
cambio de sistemas de referencia, cálculo del punto medio de dos puntos dados,
perpendicularidad y paralelismo de rectas, etc.). Como se muestra en Gascón (2002a)
las verdaderas “razones de ser”, esto es, las cuestiones a las que responde la geometría
analítica, son cuestiones umbilicales de la geometría elemental relativas a la
determinación y construcción, con ciertas restricciones, de figuras geométricas. Dichas
cuestiones están relacionadas con limitaciones de las técnicas de la geometría sintética
y, en particular, con limitaciones de las técnicas de construcción geométrica con regla y
compás. Estas cuestiones sólo aparecen tímidamente en la Enseñanza Secundaria
Obligatoria (12-16 años) pero desaparecen precisamente en el Bachillerato (16-18 años)
y no vuelven a aparecer en la geometría que se estudia en la enseñanza universitaria.
Resulta, en resumen, que en el Bachillerato ha desaparecido completamente la “razón de
ser” de la geometría analítica que se estudia. Dado que el estudio de la geometría
sintética o, con más precisión, la utilización de las técnicas de construcción geométrica
con regla y compás, se inicia en la E.S.O., podríamos hablar aquí de una importante
discontinuidad entre la Enseñanza Secundaria Obligatoria y el Bachillerato. Pero, de
nuevo, cuando en la Universidad se retoma el estudio de la geometría analítica, también
se desaprovecha la oportunidad de dar sentido a la geometría analítica que se ha
estudiado en el Bachillerato. Éste sería un buen punto de partida para mostrar el
desarrollo de la problemática de la geometría analítica y enfatizar la emergencia de
nuevas cuestiones y nuevas “razones de ser” de la geometría.
La reconstrucción escolar de organizaciones matemáticas locales
177
El caso del álgebra lineal es un poco distinto. En el Bachillerato el álgebra lineal se
introduce para responder a dos tipos de cuestiones: por una parte está la resolución de
problemas lineales (esto es, problemas cuya resolución exige el planteamiento de un
sistema de ecuaciones lineales) y de problemas de programación lineal (que involucra la
resolución de sistemas sencillos de inecuaciones lineales) y, por otra, la resolución de
problemas de geometría lineal (esencialmente relativos a posiciones relativas de
variedades lineales en el espacio) que puede considerarse como la “interpretación
geométrica” de la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
Pero en la enseñanza secundaria también aparece, en el ámbito del álgebra lineal, el
cálculo matricial y, en particular, el producto de matrices. Así en el Bachillerato se lleva
a cabo un trabajo práctico-técnico (multiplicar matrices, elevar una matriz a una
potencia determinada, expresar matricialmente un sistema de ecuaciones lineales,
resolver ecuaciones matriciales en las que intervenga el producto de matrices, etc.) cuya
“razón de ser” es muy difícil que esté presente en la enseñanza secundaria. En efecto, el
producto de matrices responde a la expresión en coordenadas de la composición de
aplicaciones lineales y el tratamiento de las aplicaciones lineales ha desaparecido
completamente de la enseñanza secundaria.
Surge aquí la siguiente pregunta: ¿De qué forma podría darse sentido, cuando en la
enseñanza universitaria se retoma el estudio del álgebra lineal, al trabajo práctico-
técnico que se lleva a cabo en el Bachillerato con el cálculo matricial? ¿Qué cuestiones
problemáticas podrían ser planteadas al iniciarse el estudio universitario del álgebra
lineal (en una licenciatura o diplomatura concreta) de tal forma que la respuesta a dicha
cuestiones generase, al menos, una organización matemática local relativamente
completa? Al final de este capítulo trataremos de contestar parcialmente a esta pregunta
en el caso del primer curso de la licenciatura de Ciencias Económicas y Empresariales.
Capítulo IV
178
4.2. Organizaciones matemáticas locales relativamente completas
Es difícil describir, sobre todo si pretendemos hacerlo mediante una simple etiqueta, un
ejemplo de praxeología matemática local que viva en una institución escolar. Esta
dificultad se debe a que las praxeologías locales u organizaciones matemáticas locales
(en adelante OML) que aparecen explícitamente en las instituciones escolares se han
constituido a partir de una integración incompleta o una coordinación demasiado débil
de ciertas organizaciones matemáticas puntuales y, como consecuencia, dichas OML
empíricas presentan múltiples incompletitudes (ésta es una de las tesis centrales de este
trabajo). Por lo tanto, sólo podremos mostrar sus características y experimentar la
posibilidad de llevar a cabo un proceso de estudio de las mismas si, previamente,
realizamos un trabajo de ingeniería matemática que permita reconstruir OML
relativamente completas. En Gascón (2001) figura una descripción detallada del proceso
de reconstrucción escolar de una OML relativamente completa en torno a la
divisibilidad en la enseñanza secundaria española.
Más adelante esbozaremos dos técnicas didácticas para construir, en determinadas
condiciones, una OML relativamente completa y esquematizaremos un ejemplo para
cada una de ellas. Para ello debemos precisar lo que entendemos por “grado de
completitud” de una OML a partir de las propiedades de su proceso de reconstrucción
escolar, en términos de la dinámica interna de los momentos o dimensiones del proceso
de estudio y, dualmente, a partir de las propiedades de su estructura, en términos de la
completitud relativa de sus componentes. Postulamos que es precisamente a partir del
análisis conjunto e inseparable de la dinámica interna y de la estructura de una OML
como podemos determinar el grado de completitud de la misma.
4.2.1. El proceso de construcción de una praxeología local relativamente completa
Aunque los procesos de construcción (o de reconstrucción escolar) de las OML pueden
diferir mucho entre sí, todos ellos están regidos por una dinámica interna que puede
describirse en términos de los momentos de la actividad matemática. Hay que subrayar
en este punto que los momentos que estructuran el proceso de estudio no tienen un
La reconstrucción escolar de organizaciones matemáticas locales
179
carácter “temporal”, sino que son más bien factores o dimensiones de dicho proceso. De
hecho, a lo largo de un mismo proceso de estudio, los diferentes momentos pueden
aparecer en varias ocasiones y sin estar sujetos a un orden prefijado. El grado de
completitud de una OML dependerá de la medida en que, a lo largo de su proceso de
construcción, se cumplan las siguientes condiciones56.
OD1. Debe haber un primer encuentro con un tipo de tareas matemáticas Tq asociado a
una cuestión matemática q “con sentido”, esto es, que provenga de los niveles
superiores de determinación didáctica y que conduzca a alguna parte (que no sea una
cuestión “muerta” en el sentido de Chevallard (2002b). Esto significa que la OML
responde a ciertas cuestiones que surgen en una situación matemática o extramatemática
y que son cuestiones que no pueden ser respondidas por las organizaciones matemáticas
puntuales que acabarán integrándose en la OML en cuestión.
OD2. El proceso de reconstrucción de una OML debe contener momentos exploratorios
en los que la comunidad de estudio tenga la oportunidad de construir y empezar a
utilizar una técnica inicial τ0 potencialmente útil para realizar las tareas del tipo Tq.
Dicha exploración debe permitir comparar las variaciones de τ0 que aparecen al abordar
las diferentes tareas del tipo Tq.
OD3. La exploración de una OML debe desembocar en un verdadero trabajo de la
técnica que se inicia rutinizando τ0 hasta provocar un desarrollo progresivo de dicha
técnica. Este desarrollo debe generar técnicas relativamente “nuevas” para la
comunidad de estudio. El trabajo de la técnica debe proseguir hasta que los estudiantes
alcancen un dominio robusto del conjunto de las técnicas, lo que provocará la
ampliación progresiva del primer tipo de tareas matemáticas abordadas, Tq = T0, y la
aparición de nuevos tipos de tareas.
OD4. En la reconstrucción de una OML deben aparecer nuevas cuestiones matemáticas
relativas a las técnicas que se utilizan, esto es, cuestiones relativas a la interpretación, la
justificación, y el alcance de dichas técnicas, así como a las relaciones que se establecen
56 El orden en que aparecen a continuación las condiciones OD1-OD6, no hace referencia al desarrollo
cronológico del proceso de estudio
Capítulo IV
180
entre ellas (denominamos “cuestionamiento tecnológico” al conjunto de estas
cuestiones). La respuesta a estas cuestiones requerirá la realización de nuevas tareas
matemáticas que también pasarán a integrarse en la OML en construcción. Para llevar a
cabo todo este conjunto de tareas matemáticas será necesario utilizar un marco
tecnológico-teórico que es el que permitirá construir (además de justificar, interpretar y
relacionar) todas las técnicas necesarias. Es por esta razón que, abreviadamente, cuando
no se hace ninguna referencia al proceso de construcción se dice simplemente que una
OML está caracterizada por una tecnología, θ, que engloba a todas las organizaciones
matemáticas puntuales que la integran.
OD5. En el proceso de reconstrucción de una OML es necesario ir institucionalizando
progresivamente (no de una vez por todas) aquellos elementos que deben ser
considerados como “matemáticos” por la comunidad de estudio, para distinguirlos de
los que han hecho, a lo largo del proceso, el papel de meros instrumentos auxiliares de
la construcción. Pero esta institucionalización no debe referirse únicamente a elementos
praxeológicos aislados. La institucionalización de cualquier componente de una OML
debe hacer referencia (más o menos explícita) a la OML en su conjunto, por lo que
podríamos decir que el sujeto de toda institucionalización es siempre, al menos, una
OML, aunque sea virtualmente.
OD6. Ligado a la institucionalización, también es preciso evaluar la calidad de los
componentes de la OML construida: los tipos de tareas (¿están bien identificados?,
¿existen especímenes suficientemente variados de cada tipo?, ¿a qué cuestiones están
asociados?, ¿están relacionados con el resto de la actividad de los estudiantes o bien
están aislados?); las técnicas (¿están suficientemente trabajadas?, ¿son fiables?, ¿son
económicas?, ¿son las más pertinentes para realizar las tareas presentadas?); y el
discurso tecnológico (¿es suficientemente explícito?, ¿ayuda efectivamente a interpretar
y justificar las técnicas?, ¿permite variar las técnicas en la dirección adecuada para
construir nuevas técnicas?).
Hay que hacer constar, por último, que las OML, por completas que éstas sean,
presentarán siempre múltiples insuficiencias que se ponen de manifiesto, por ejemplo,
en la existencia de nuevas cuestiones problemáticas que no pueden abordarse en su
seno. Será, por lo tanto, imprescindible evaluar la OML en conjunto. Esta evaluación
La reconstrucción escolar de organizaciones matemáticas locales
181
será la que acabará mostrando la necesidad de articularla con otras OML, alrededor de
una teoría matemática común Θ, para constituir una organización matemática regional.
4.2.2. Indicadores del grado de completitud de una praxeología local
Consideramos que el producto resultante de un proceso de construcción que cumpla
OD1-OD6 es una OML relativamente completa. Mostraremos que un proceso de ese
tipo lleva necesariamente a construir un producto con determinadas características.
Proceso y producto constituyen una unidad indivisible, una totalidad organizada cuyos
componentes se implican mutuamente. En efecto, veremos que las características de los
componentes de una OML relativamente completa –y, en consecuencia, la estructura
resultante– son un fruto necesario del proceso de construcción y que éste, a su vez, se
sirve de dichos componentes (a medida que van siendo producidos) como instrumentos
imprescindibles de la actividad. Enumeraremos a continuación siete indicadores del
grado de completitud de una OML en términos de las características de los
componentes de la OML y de las relaciones entre ellos.
OML1. Integración de los tipos de tareas y existencia de tareas relativas al
cuestionamiento tecnológico
En una OML convivirán necesariamente varios tipos de tareas problemáticas
relacionadas entre sí mediante sucesivos desarrollos de las técnicas. El grado de
completitud dependerá entonces del grado de integración de todos los tipos de tareas.
Entre éstos deben aparecer tipos de tareas asociados al “cuestionamiento tecnológico”
de las técnicas de la OML esto es, tareas que hagan referencia a la interpretación, la
justificación, la fiabilidad, la economía y el alcance de las técnicas, así como a la
comparación entre ellas. Una OML será menos completa cuantos más tipos de tareas
aisladas (esto es, realizables mediante técnicas que no estén relacionadas entre sí por
ningún elemento tecnológico) existan en OML.
OML2. Diferentes técnicas para cada tipo de tareas y criterios para elegir entre ellas
Una OML será más completa en la medida que, dado un tipo concreto de tareas Tq de
OML, existan dos o más técnicas (que pueden ser variaciones de una misma técnica)
Capítulo IV
182
que permitan realizar algunas de las tareas concretas de ese tipo. Este indicador de la
completitud comporta que en la OML existan, además, los elementos tecnológicos que
permiten discernir, para cada tarea concreta, cuál es la técnica más fiable y económica
para llevar a cabo dicha tarea.
OML3. Independencia de los objetos ostensivos que sirven para representar las
técnicas
La flexibilidad de las técnicas de una OML comporta, en particular, que éstas no se
identifiquen rígidamente con los objetos ostensivos (en el sentido definido en Bosch,
1994) que las componen sino que, por el contrario, acepten diferentes representaciones
ostensivas dependiendo de la actividad matemática en la que están inmersas y hasta de
la tarea específica abordada dentro de un tipo de tareas. Esta independencia presupone,
para comportar efectivamente una mayor eficacia de las técnicas, que en la OML
existen criterios (más o menos explícitos) que permiten elegir adecuadamente la
presentación ostensiva más adecuada de cada técnica para realizar cada tarea.
OML4. Existencia de tareas y de técnicas “inversas”
Otro indicador de la flexibilidad de las técnicas y, por lo tanto, del grado de completitud
de la OML lo proporciona el hecho que existan en la OML técnicas inversas de algunas
de las técnicas, es decir técnicas (no necesariamente únicas) que permiten realizar las
tareas también “inversas”, por ejemplo aquellas definidas intercambiando los datos y las
incógnitas de la tarea inicial.
OML5. Interpretación del funcionamiento y del resultado de aplicar las técnicas
En la medida que una OML sea más completa, se cumplirá que, para cada técnica τ de
OML, existirá en OML el tipo de tareas consistente en interpretar el funcionamiento y
el resultado de aplicar τ para realizar una tarea o un tipo de tareas de OML. Este aspecto
de la completitud implica, de nuevo, que en OML existen los elementos tecnológicos
necesarios para llevar a cabo esta tarea de interpretación. De hecho esta “interpretación”
deberá hacerse en referencia a la OML en su conjunto, en términos de los componentes
de la OML y, especialmente, usando la tecnología que la caracteriza. Cuando la citada
interpretación no es una tarea que forma parte de OML (lo que significa que no existen
técnicas matemáticas en OML para llevar a cabo dicha tarea), entonces la interpretación
La reconstrucción escolar de organizaciones matemáticas locales
183
en cuestión se deja bajo la responsabilidad exclusiva del estudiante y, naturalmente,
acaba desapareciendo del contrato didáctico.
OML6. Existencia de tareas matemáticas “abiertas”
Una OML será más completa en la medida que existan tipos de tareas matemáticas
“abiertas”, esto es, tipos de tareas matemáticas en los que los datos y las incógnitas no
están prefijados completamente de antemano. En un primer nivel, las tareas abiertas son
aquellas en las que los datos son valores conocidos que se tratan como si fuesen
desconocidos (parámetros) y las incógnitas no son objetos matemáticos concretos
(como, por ejemplo, valores numéricos) sino las relaciones que se establecen entre ellos
en determinadas condiciones explicitadas en el enunciado de la tarea. Existe un segundo
nivel de “tareas matemáticas abiertas” en las que el estudiante ha de decidir, ante una
situación matemática o extramatemática determinada, qué datos debe utilizar y cuáles
son las incógnitas más pertinentes. En este segundo nivel se incluyen las tareas de
modelización matemática.
OML7. Integración de los elementos tecnológicos e incidencia sobre la práctica
Cada OML viene caracterizada por una tecnología, θ. El grado de completitud de OML
dependerá también del grado de integración interna de los elementos tecnológicos
(componentes de θ) y de la incidencia efectiva de θ sobre la práctica matemática que se
lleva a cabo con las tareas y las técnicas de OML. En particular un indicador importante
del grado de completitud de OML lo constituye la medida en que θ permita construir
técnicas nuevas (para la comunidad de estudio) capaces de ampliar los tipos de tareas de
OML.
Hay que subrayar, de nuevo, que la noción de “completitud” es relativa. No tiene
sentido hablar de OML “completas” ni de OML “incompletas”. Se trata, en todos los
casos, de una cuestión de grado: existen OML más o menos “completas” que otras en
función del grado en que sus componentes cumplen las condiciones descritas por los
indicadores OML1-OML7. Dualmente, el grado de completitud de una OML depende
de la medida en que, a lo largo de su proceso de construcción, se cumplan OD1-OD6.
Hay que subrayar, por último, que los diferentes indicadores no son independientes
entre sí y que algunos indicadores de la completitud (como por ejemplo, OML5, OML6
Capítulo IV
184
y OML7) hacen referencia a aspectos globales de la organización matemática en
cuestión, mientras que los restantes se refieren a aspectos más específicos.
4.3. Necesidad de un desarrollo suficiente y dirigido del trabajo de la
técnica
Una vez puesto en claro que las discontinuidades matemáticas y didácticas entre la
Secundaria y la Universidad deben interpretarse como el resultado de las complejas
interrelaciones, contradicciones y rupturas entre la actividad matemática que es posible
llevar en ambas instituciones, siguen quedando pendientes preguntas tales como:
¿Es posible reconstruir (esto es, estudiar) organizaciones matemáticas locales
relativamente completas en la actual enseñanza secundaria española? ¿Qué técnicas
didácticas (esto es, de ayuda al estudio) deberían utilizarse para llevar a cabo esta
reconstrucción? ¿Tienen cabida ese tipo de técnicas didácticas en las actuales
organizaciones didácticas escolares?
Las anteriores son preguntas de largo alcance que no pretendemos contestar aquí en
toda su amplitud. Únicamente destacaremos y ejemplificaremos dos condiciones que se
deben cumplir necesariamente para que sea posible, en una institución docente
determinada, reconstruir OML relativamente completas.
(1) En primer lugar es necesario que la OML en cuestión contenga un cuestionamiento
tecnológico (OML1) pertinente, esto es, un conjunto de tareas matemáticas que hagan
referencia a la interpretación, la justificación, la fiabilidad, la economía y el alcance de
las técnicas y, además, que dicho cuestionamiento incida de tal forma sobre la práctica
matemática (OML7) que provoque el desarrollo de las técnicas en una dirección
adecuada. Ejemplificaremos esta condición en dos de los tres casos presentados:
(a) la derivación de funciones de una variable real en Secundaria,
(b) el caso de la regla de Ruffini en el paso de la Secundaria a la Universidad.
En el tercer caso relativo al álgebra lineal y la diagonalización de matrices, veremos en
qué sentido el recurso a un programa informático como la hoja de cálculo Excel permite
La reconstrucción escolar de organizaciones matemáticas locales
185
atribuir al trabajo de la técnica un carácter experimental imprescindible para que surja el
cuestionamiento tecnológico necesario en el proceso de construcción de la OML.
(2) En segundo lugar se requiere que el tipo de tareas que generan la OML esté asociado
a una cuestión matemática “con sentido”, esto es, que provenga de los niveles
superiores de determinación didáctica y conduzca a alguna parte, que no se trate de una
cuestión “muerta” (OD1). Ejemplificaremos esta condición en el caso de la
diagonalización de matrices en la Universidad.
Estas dos condiciones57, que hemos destacado por su importancia, no son suficientes
para que en una institución docente se reconstruyan (estudien) efectivamente OML
relativamente completas. Pero, en cualquier caso, incluso si se las considera
aisladamente, constatamos que se cumplen muy raramente en las instituciones escolares
actuales. Este hecho plantea el problema de la naturaleza de las restricciones que
impiden o dificultan que dichas condiciones se cumplan. Responderemos brevemente a
esta cuestión en las conclusiones de esta memoria que figuran en el Capítulo 5.
4.3.1. La derivación de funciones de una variable real en secundaria
La OM empírica en torno a la derivación de funciones, tal como se lleva a cabo en la
enseñanza secundaria española actual, y que designaremos mediante OM(D), no puede
ser considerada como una organización matemática puntual porque contiene diversos
tipos de técnicas y de tareas aunque éstas puedan describirse mediante un enunciado
formalmente común:
Calcular la derivada de una función f dada mediante su expresión analítica.
En efecto, en la enseñanza secundaria, para derivar funciones se apela, de forma más o
menos explícita, a técnicas diferentes (esto es, consideradas diferentes en dicha
institución). Entre estas técnicas podemos citar:
57 Se trata de dos condiciones que, naturalmente, se desprenden de nuestra caracterización de las organizaciones matemáticas locales relativamente completas.
Capítulo IV
186
(a) La definición (que comporta calcular el límite del cociente incremental);
(b) Las técnicas que se obtienen del álgebra de derivadas (regla de la suma, del
producto, del cociente y de las funciones potenciales de exponente natural);
(c) La regla de la cadena (para derivar funciones compuestas);
(d) La técnica de derivación logarítmica para derivar funciones potenciales-
exponenciales.
Por otra parte, la citada OM(D) tampoco puede considerarse como una OML
relativamente completa porque las diferentes tareas que contiene no están integradas en
la práctica matemática que se lleva a cabo efectivamente, las técnicas se presentan
bastante independientes entre sí y, sobre todo, no existe un discurso tecnológico
unificador que tenga una incidencia efectiva sobre el desarrollo de la práctica
matemática. Podríamos decir que OM(D) es una amalgama de OMP rígidas, poco
integradas y poco desarrolladas, más que una OML relativamente completa. Dicho en
otras palabras, el proceso de construcción de OM(D) no cumple suficientemente las
condiciones OD1-OD6 y su estructura, esto es el producto resultante de dicho proceso,
tampoco satisface adecuadamente OML1-OML7.
Cada una de las organizaciones matemáticas puntuales que constituyen OM(D) presenta
las características que hemos descrito en los capítulos anteriores y que pueden resumirse
en un conjunto de características que hacen referencia a los cinco aspectos de su rigidez.
C1. Se observa una fuerte invarianza de la nomenclatura (x siempre es la variable
independiente e y la variable dependiente) lo que hace presuponer que las técnicas de
derivación dependerán de esta nomenclatura. Dado que no se suelen plantear tareas
tales como la de derivar la función
( )5
32
22+
++=
ptptats
respecto de la variable t (ni, mucho menos, la tarea de comparar la derivada respecto de
t con la derivada respecto de p), surgen dificultades cuando las variables no son x e y,
especialmente en problemas de modelización.
La reconstrucción escolar de organizaciones matemáticas locales
187
C2. El “dominio” de las diversas técnicas de derivación, en el contrato didáctico vigente
actualmente en la enseñanza secundaria, no incluye la interpretación del resultado ni,
mucho menos, la interpretación del proceso. Aparece únicamente una interpretación
local muy estereotipada, limitada a la pendiente de la recta tangente; muy raramente se
interpreta la derivada como la variación de la variable dependiente respecto de
variable independiente.
C3. Dadas funciones concretas escritas formalmente como un cociente como, por
ejemplo:
7)(5)( 2
xxgyx
xf == ,
en la enseñanza secundaria se suelen derivar como un cociente de funciones en lugar de
derivar la primera como una potencia (5x-2) y la segunda como el producto de una
constante por una función (kx). En los capítulos anteriores hemos mostrado la ausencia
de dos o más técnicas diferentes para derivar cada una de estas funciones. Hemos
supuesto que esta ausencia es una de las consecuencias de la ausencia de un
cuestionamiento tecnológico imprescindible para comparar la eficacia, la pertinencia y
el coste de las técnicas potencialmente útiles para llevar a cabo una tarea matemática
concreta y hemos propuesto que en las OML relativamente completas este
cuestionamiento tecnológico debe materializarse en la existencia de tareas matemáticas
y de técnicas adecuadas para realizar dichas tareas.
C4. En la enseñanza secundaria se separan escrupulosamente (incluso en “temas”
diferentes) las técnicas de derivación de las técnicas de integración. En el momento que
aparecen las técnicas para calcular primitivas de ciertos tipos de funciones se supone
que las técnicas de derivación ya han sido anteriormente flexibilizadas y que ya son
dominadas por los alumnos (Labraña, 2000) . Raramente se trabajan conjuntamente
ambos tipos de técnicas. No se tiene en cuenta que la inversión de las técnicas
constituye un aspecto esencial de su flexibilización.
C5. Faltan situaciones abiertas que requieran un trabajo de modelización utilizando el
cálculo de derivadas. En particular, no se trabaja sistemáticamente la interpretación de
la derivada como límite de la Tasa de Variación Media en situaciones mucho más
generales que la clásica del paso de la velocidad media a la velocidad instantánea. La
Capítulo IV
188
ausencia curricular de este tipo de situaciones abiertas ha sido ampliamente demostrada
en los capítulos anteriores.
Ante todo hemos de preguntarnos si es posible construir una OML que contenga todas
las tareas y todas las técnicas de derivación de funciones que existen en OM(D). Se trata
de una cuestión abierta que sólo podremos responder de manera constructiva. Para ello
vamos a esbozar la estructura y la dinámica interna de una OM que, conteniendo las
tareas y las técnicas que aparecen en la OM(D), permita llevar a cabo una actividad
matemática no sujeta a las restricciones que provocan los diferentes aspectos de la
rigidez de las organizaciones matemáticas puntuales. Lo más razonable es pensar,
además, que no existe una única OML relativamente completa generada en la enseñanza
secundaria por las técnicas de derivación de funciones: pueden existir diferentes OML
que, junto a los componentes de OM(D), contenga otras tareas, técnicas y elementos
tecnológicos que no aparecen en secundaria aunque podrían aparecer.
Ésta es una de las razones por las que no es posible poner ejemplos “conocidos” de
OML mediante etiquetas. Las OML deben ser “reconstruidas” explícitamente con toda
su complejidad, porque no suelen aparecer completas en las instituciones escolares y, en
cualquier caso, no son fácilmente visibles (delimitables) puesto que nunca han sido
utilizadas en los documentos oficiales, ni en los libros de texto para describir los
conocimientos matemáticos. Se trata de la situación contraria a la que se encuentran los
“teoremas” y las “definiciones de conceptos” matemáticos que, al haber sido utilizados
tradicionalmente por la epistemología euclidiana todavía dominante en la cultura
matemática y en la cultura escolar, parecen poseer (aunque sea una apariencia
engañosa) una realidad objetiva, independiente de la forma de interpretar y describir el
conocimiento matemático.
Es muy importante subrayar que, aunque la OML que vamos a esquematizar podría
vivir –hipotéticamente– en la enseñanza secundaria, en este trabajo vamos a diseñar
únicamente la OM, pero no la Organización Didáctica asociada. Esto quiere decir que,
por el momento, no pretendemos describir el proceso de estudio en Secundaria de la
OML que vamos a esbozar. Al final del capítulo analizaremos esquemáticamente
algunas de las restricciones que impiden o dificultan que un proceso de este tipo pueda
llevarse a cabo en las instituciones docentes actuales.
La reconstrucción escolar de organizaciones matemáticas locales
189
4.3.1.1. Completación relativa de una organización matemática puntual
Para describir el germen de una posible OML relativamente completa en torno a la
derivación de funciones partiremos de una organización matemática puntual que vive en
la enseñanza secundaria: la generada por el cálculo de la derivada de una función
polinómica de primer grado (en un punto concreto), mediante la técnica del cálculo del
límite de la tasa media de variación de la función en un intervalo, cuando la longitud de
éste tiende a cero. Llamaremos τ1 a esta primera técnica.
¿Qué otras clases de funciones pueden ser derivadas utilizando dicha técnica con un
“coste” razonable? Esto es, ¿cuáles son los problemas de derivación que forman parte
de esta organización matemática puntual en la enseñanza secundaria? Esta pregunta
requiere, en primera instancia, una respuesta fundamentada en los datos empíricos. Una
revisión de los libros de texto más utilizados en dicha institución (ver los capítulos
anteriores) muestra que sólo unas pocas clases de funciones son derivadas utilizando τ1.
Dichas clases son, además de las funciones polinómicas de primer grado, las siguientes:
(a) Las polinómicas de segundo grado y algunas de tercer grado como, por ejemplo:
h(x) = x2 – 6x + 8 y i(x) = x3 – 5
(b) Algunas funciones racionales sencillas como, por ejemplo:
325)(+
=x
xj
(c) Y, por último, algunas funciones irracionales sencillas como, por ejemplo:
2)( += xxk
A fin de flexibilizar la técnica τ1, lo que debería permitir desarrollarla y relacionarla con
otras técnicas (cosa que raramente se realiza en la enseñanza secundaria), planteamos en
este momento cuestiones tecnológicas relativas a τ1:
(a) ¿Para qué tipo de funciones la aplicación de la técnica τ1 resulta demasiado costosa
en términos de esfuerzo, tiempo y posibilidad de cometer errores?
(b) ¿Cuál es, en definitiva, el alcance y las limitaciones de τ1?
Capítulo IV
190
(c) ¿Es posible modificar ligeramente τ1 de manera que se amplíe el campo de
problemas al que es aplicable?
(d) ¿Qué modificaciones son necesarias?
El trabajo técnico con τ1 para obtener la derivada de distintas funciones en varios puntos
concretos, hace emerger la siguiente cuestión tecnológica:
¿Es posible calcular con τ1, de una vez por todas, la derivada de una función en un
punto cualquiera?
Tecnológicamente aparece la noción de función derivada; técnicamente se trata de un
cambio de nomenclatura: allí donde antes poníamos un punto concreto x = 2 ó x = –1,
ahora pondremos x = a ó, simplemente, “x”.
A partir de este momento surge la técnica τ11, obtenida variando τ1 en la forma indicada,
obteniéndose una técnica que permite calcular la función derivada de determinadas
funciones concretas. A medida que se continua trabajando τ11 aparece una segunda
cuestión tecnológica:
¿Es posible calcular con τ11, de una vez por todas, la función derivada de todas las
funciones de una clase como, por ejemplo, las funciones lineales (o cuadráticas)?
Tecnológicamente aparecerán las primeras fórmulas de derivación; técnicamente se
trata, de nuevo, de eliminar otro aspecto de la dependencia de la nomenclatura: allí
donde antes poníamos una función concreta l(x) = x2 – 6x + 8 ó m(x) = x3 – 5, ahora
pondremos una función cualquiera o, mejor, un modelo algebraico de las funciones de
esa clase:
n(x) = ax2 + bx + c ó p(x) = ax3 + b.
Así, el trabajo de la técnica (Bosch y Gascón, 1991, 1992 y 1994) se manifiesta una vez
más como un trabajo “creativo”, esto es, productor de nuevas técnicas y hasta de
técnicas que permiten resolver cuestiones planteadas a nivel tecnológico respecto de la
La reconstrucción escolar de organizaciones matemáticas locales
191
técnica inicial. En concreto, aplicando la τ11 modificada se obtienen las fórmulas
siguientes, donde D designa la derivada y tiene como argumento la función a derivar:
D(a) = 0
D(ax+ b) = a
D(ax2 + bx + c) = 2ax+ b
D(ax3) = 3ax2
2)(1
baxa
baxD
+−
=
+
( )baxa
abaxD+
=+
Denominaremos τ12 a la técnica que consiste en aplicar estas fórmulas para obtener, sin
necesidad de calcular un límite en cada caso, la función derivada de funciones
pertenecientes a determinadas clases. Si ahora intentamos responder una de las
cuestiones anteriores:
¿Cuál es el alcance (o dominio de validez) y las limitaciones de τ1, incluyendo sus
variaciones τ11 y τ12?
nos encontramos con que τ11 resulta demasiado costosa para derivar, por ejemplo, la
función:
xxxxxf +−+= 675)( 23
pero τ12 permitiría resolver el problema con un coste razonable si pudiésemos relacionar
la derivada de la suma de dos o más funciones con las derivadas de las funciones
sumandos. Aparece así la posibilidad de que la técnica τ1 aumente extraordinariamente
su alcance y surge, de manera natural, una tercera cuestión tecnológica:
¿La técnica τ11 permite relacionar la derivada de la función suma con las derivadas de
las funciones sumandos?
La respuesta es positiva obteniéndose un resultado “tecnológico” (en el sentido que será
utilizado para producir nuevas técnicas) que se puede formular como sigue:
Capítulo IV
192
D(f + g) = D(f) + D(g).
En efecto, combinando este resultado tecnológico y la técnica τ12, obtenemos una nueva
técnica, τ13, que permite resolver la tarea conflictiva anterior. Por lo tanto el campo de
problemas continúa ampliándose.
El “coste” de la técnica τ11 aumenta muy rápidamente cuando se trata de derivar
funciones que son producto de otras funciones como, por ejemplo: g(x) = (x2 – 4x) 2;
h(x) = (x4 + 2x+ 7)(2x + x5), o incluso j(x) = x9. Necesitamos por lo tanto técnicas más
potentes y eficaces para disminuir dicho coste. En principio tenemos dos caminos
posibles para generar las técnicas que precisamos. El primer camino consiste en utilizar
τ11 para obtener una relación entre la derivada de la función producto y las derivadas de
las funciones factores. Se obtiene así la regla del producto:
D(f ⋅ g) = f ⋅ D(g) + g ⋅ D(f)
que, de manera análoga a como sucedía con la regla de la suma, generará una nueva
técnica τ14 que aumentará la potencia de la técnica τ1 (porque permitirá calcular las
derivadas de productos de funciones) sólo si disponemos de fórmulas para derivar las
funciones que juegan el papel de factores:
D((x2 – 4x)(x2 – 4x)) = 2(x2 – 4x)(2x – 4)
D((x4 + 2x+ 7)(2x + x5)) = (x4 + 2x + 7)(2 + 5 x4) + (4 x3 + 2)(2x + x5)
D(x9) = xD(x8) + x8 = x2 D(x7) + 2x8 = ... = x8 D(x) + 8x8 = 9x8
24)75()24()75())24)(75(( 232323 +⋅−++⋅−=+− xxxDxDxxxxxD
−+−+
+⋅+−=
−+−
531)52(
531)52()
531)52(( 737373
xxxxD
xDxxx
xxxxD
Podemos decir, en resumen, que el tipo de funciones tales que el cálculo de su derivada
es una tarea que forma parte de la organización matemática puntual generada por la
La reconstrucción escolar de organizaciones matemáticas locales
193
técnica τ1 contiene, como mínimo, todas las funciones que pueden obtenerse como suma
o producto de un número limitado de funciones polinómicas de grado “pequeño” (no
mayor que 3) y funciones racionales e irracionales “sencillas” tales como las descritas
anteriormente.
Las técnicas obtenidas en la enseñanza secundaria como variaciones limitadas de τ1 y
que, por lo tanto, consideramos que forman parte de la citada organización matemática
puntual, < τ1 >, continúan presentando graves limitaciones (esto es, un coste excesivo)
incluso para derivar funciones polinómicas tales como:
k(x) = (x3 + x + 5)10
y todavía más graves para realizar la tarea de derivar funciones potenciales de
exponente no natural como, por ejemplo:
( )54 9
6)(+
=x
xl o 3 8)2()( −= xxm .
4.3.1.2. Desarrollo de la OM en torno a la derivación del producto de funciones
Las técnicas que forman parte de la organización matemática puntual < τ1 > generada
por τ1, únicamente son “eficaces”, esto es, verdaderamente económicas y fiables, para
derivar el producto de unas pocas funciones que, además, han de ser elementales. Existe
una dirección de desarrollo de la técnica que provoca un cambio mucho más traumático
pero tiene mucho mayor alcance. Dicho desarrollo parte de la constatación de la
asimetría entre la regla para derivar una suma de funciones y la regla para derivar un
producto. Para eliminar la dificultad del producto de funciones, podemos convertirlo en
una suma tomando logaritmos neperianos antes de intentar calcular la función
derivada:58
58 Para simplificar el cálculo de derivadas, o para justificar ciertas reglas de derivación, algunos libros de texto de Secundaria utilizan esta técnica de tomar logaritmos neperianos antes de derivar (De Guzman y otros, 1988, p. 239). Pero no se plantean la cuestión tecnológica de cómo resolver el problema del signo de las funciones a las que se les aplica el logaritmo: ¿En qué casos se puede resolver dicho problema cambiando L(f) por L(|f|)? ¿Qué sucede en los puntos x en los que f(x) = 0?
Capítulo IV
194
L(g(x)) = 2 L(x2 – 4x) ⇒ L’(g(x)) = 2 L’(x2 – 4x)
L (h(x)) = L(x4+2x+ 7) + L (2x + x5) ⇒ L’(h(x)) = L’(x4 + 2x+ 7) + L’(2x + x5)
L (j(x)) = 9 L(x) ⇒ L’(j(x)) = 9L’(x)
De esta forma, no sólo disminuye el coste de derivar un producto de funciones, sino
también el de derivar cualquier función potencial (a condición de que sepamos calcular
la derivada del logaritmo neperiano de una función). Por ejemplo:
)9('50)((')9(5)6())9(6()(( 4454 +−=⇒+−=+== − xLxlLxLLxLxlL
( ) )2('38))((')2(
382))(( 3
8−=⇒−=
−= xLxmLxLxLxmL
La nueva dificultad está relacionada con el cálculo de la derivada del logaritmo
neperiano de una función y abarca tres niveles de generalidad:
(i) ¿Cómo se relaciona la derivada de una función compuesta f(x) = v(u(x)) con
las derivadas de las funciones componentes v(y) y u(x)?
(ii) ¿Cómo calcular la derivada del logaritmo neperiano L(f(x)) de una función
f(x) cualquiera?
(iii) Y, en particular, ¿cuál es la función derivada de la función L(x)?
La respuesta a la pregunta (i) la proporciona la regla de la cadena, que llamaremos τ2:
f(x) = v(u(x)) ⇒ f ’(x) = v’(u(x)) ⋅ u’(x)
Esta regla puede utilizarse directamente como técnica o bien puede jugar un papel
tecnológico (en el sentido de productor de nuevas técnicas). Así, una vez hemos
obtenido, aplicando la técnica τ11, la función derivada de la función f(x) = L(x):
xxLxLD 1)('))(( == ,
y después de haber respondido a la pregunta (iii), podemos utilizar “tecnológicamente”
la regla de la cadena para obtener la regla de derivación del logaritmo neperiano de una
función derivable cualquiera, con lo que responderemos la pregunta (ii):
La reconstrucción escolar de organizaciones matemáticas locales
195
)()(')('
)(1))(('))(())(()(
xuxuxu
xuxuLxfDxuLxf =⋅==⇒=
Denominaremos τ3 a esta nueva técnica cuyo dominio de validez es enorme (incluye
todas las funciones potenciales –no sólo las de exponente entero– y, como veremos,
puede extenderse a las exponenciales). Su eficacia para calcular la derivada de
funciones potenciales continúa siendo, sin embargo, limitada. Dada, por ejemplo, la
función potencial:
f(x) = (x4 + 2x + 2)8
cuya derivación mediante la regla del producto presenta un coste excesivo, resulta que la
nueva técnica τ3 simplifica ligeramente los cálculos (aunque el coste no es mínimo):
f(x) = (x4 + 2x + 2)8 ⇒ L(f(x)) = 8L(x4 + 2x + 2) ⇒ L’(f(x)) = 8L’(x4 + 2x + 2) ⇒
⇒22
24)22(8)('22
248)()('
4
384
4
3
+++
⋅++⋅=⇒++
+⋅=
xxxxxxf
xxx
xfxf .
Análogamente, la técnica τ3 permite calcular las funciones derivadas de las funciones
potenciales siguientes, aunque con un coste que tampoco es mínimo:
( )54 9
6)(+
=x
xl ; ( )3 82)( −= xxm .
Tenemos, en resumen, una nueva organización matemática < τ1, τ2, τ3 >, generada por
las tres técnicas construidas, que contiene ampliamente la organización matemática
puntual inicial generada por τ1 que sólo incluía las tareas de derivación de sumas y
productos de funciones elementales:
< τ1 > ⊂ < τ1, τ2, τ3 >
Capítulo IV
196
4.3.1.3. Integración de nuevos tipos de tareas y de nuevas técnicas
Hemos visto que la regla de la cadena, τ2, utilizada directamente como técnica, permite
calcular la derivada de las funciones potenciales de exponente entero (porque pueden
ser interpretadas como funciones compuestas) y también las de exponente real no
entero. Pero la complejidad de los cálculos y, sobre todo, la necesaria identificación de
las funciones componentes hace aumentar excesivamente el “coste” de los cálculos:
f(x) = v(u(x)) = (x4 + 2x + 2)8
u(x) = x4 + 2x + 2 = y ⇒ u’(x) = 4x3 + 2
v(y) = y8 ⇒ v’(y) = 8 y7
f’’(x) = v’(u(x)) u’(x) = 8(x4 + 2x + 2)7 (4x3 + 2).
Cuando el exponente de la función potencial no es un número natural, la técnica τ3
permite calcular la función derivada, pero su coste no es mínimo:
La rutinización de τ3 con funciones potenciales (de exponente real cualquiera) sugiere
una fórmula de derivación, que llamaremos τ31, mucho más directa y sencilla para
derivar esa clase de funciones.
f(x) = (u(x))r ⇒ f ’(x) = r(u(x)) r-1 u'(x)
En este punto se empieza a poner de manifiesto la potencia tecnológica de τ3 como
generadora y justificadora de nuevas técnicas de derivación de funciones. Así, por
ejemplo, τ3 permite justificar de manera muy sencilla las reglas de derivación del
producto y del cociente de funciones:
D(L(f ⋅ g)) = D(L(f)) + D(L(g)) ⇒
3 8)2()( −= xxh
( ) 138
238)('
21
38
)()(')2(
38))(( −−⋅=⇒
−⋅=⇒−⋅= xxh
xxhxhxLxhL
)()()()()()( gDfgfDgfDggD
ffD
gfgfD
⋅+⋅=⋅⇒+=⋅⋅
( )2
)()()()())(())(()(g
gDffDggfD
ggD
ffD
gf
DgLDfLD
gfLD g
f⋅−⋅
=
⇒−=⇒−=
La reconstrucción escolar de organizaciones matemáticas locales
197
Y, además, permite generar nuevas técnicas útiles para derivar nuevas clases de
funciones como, por ejemplo, la clase de funciones que se expresan como producto de
tres o más funciones derivables:
En efecto, tomando logaritmos neperianos y derivando en los dos miembros se obtiene
la fórmula:
que consideraremos como la técnica τ32. Esta técnica puede ser muy útil para derivar
funciones del tipo:
y puede generalizarse si aparecen factores en el denominador de la función que se
quiere derivar:
sin más que añadir algunos términos a la fórmula anterior:
Llegados a este punto en el desarrollo de la organización matemática se plantea una
cuestión tecnológica crucial:
¿El dominio de la técnica τ3 se circunscribe a las funciones potenciales, esto es, a
funciones derivables elevadas a un exponente real cualquiera? ¿es posible utilizar una
variante de τ3 para derivar funciones exponenciales?
)(...)()()( 21 xfxfxfxf n⋅⋅⋅=
+++⋅=
)()('
...)()('
)()('
)()('2
2
1
1
xfxf
xfxf
xfxfxfxf
n
n
3 3624524 12)63(75)( −+−⋅+−+⋅−= xxxxxxxxxxf
)(...)()()(...)()(
)(21
21
xgxgxgxfxfxf
xfm
n
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
=
−−−−+++⋅=
)()('
...)()('
)()('
)()('
...)()('
)()('
)()('2
2
1
1
2
2
1
1
xgxg
xgxg
xgxg
xfxf
xfxf
xfxfxfxf
m
m
n
n
Capítulo IV
198
Dado que la técnica τ3 se ha obtenido a partir de la regla de la cadena y de la derivada
de la función f(x) = L(x), y dado que la función exponencial más “elemental”:
es la inversa de dicha función, parece lógico pensar que τ3 será útil para derivar
funciones exponenciales y, en efecto, aplicando τ3 se obtiene:
Surge, de esta forma, una nueva variación de la técnica τ3 aplicable a las funciones
exponenciales que tengan por exponente una función g(x) derivable:
que podemos considerar como la técnica τ33. Esta variante de la técnica τ3 permite
derivar funciones tales como:
ya sea aplicando directamente la fórmula o bien aplicando, paso a paso, la técnica τ33
El desarrollo de esta técnica nos lleva, de manera natural, a las funciones exponenciales-
potenciales, esto es, aquellas funciones definidas mediante una potencia cuya base y
cuyo exponente son, a su vez, funciones derivables cualesquiera:
xexf =)(
xxx
xx eeD
eeDxDeLDxfLD =⇒=⇒=== )(1)(1)())(()))(((
)()( xgbxf =
)(')()('))(()())()(())((( )( xgbLbxfxgDbLbLxgDxfLD xg ⋅⋅=⇒⋅=⋅=
753)( += xxf
753)( += xxf
7525)3())3(75())(((
+⋅=⋅+=
xLLxDxfLD
75253)3()3( 7575
+⋅⋅= ++
xLD xx
)()()( xgxhxf = ))(()())(( xhLxgxfL ⋅=
))(()(')()(')(
)()(' xhLxg
xhxhxg
xfxf
⋅+⋅=
La reconstrucción escolar de organizaciones matemáticas locales
199
Esta técnica, que denominaremos τ34, se llama, a veces, “método de derivación
logorítmica”. Nosotros no la llamaremos así puesto que las restantes variaciones de τ3
(τ31, τ32 y τ33) también son “técnicas de derivación logarítmica”. Permite derivar
directamente funciones como, por ejemplo:
pero, además, puede integrarse en una técnica más compleja para derivar funciones
como, por ejemplo:
Tenemos, en resumen, el germen de una organización matemática local que ha sido
construida en torno a la “derivación de las funciones potenciales-exponenciales” y que
está generada por las técnicas τ1, τ2 y τ3 o, si se quiere, por los tipos de tareas que dichas
técnicas permiten abordar. Aunque a lo largo del desarrollo de las técnicas hemos ido
describiendo las variaciones de las técnicas que han ido apareciendo, τ11, τ12, τ13, τ31,
τ32, τ33 y τ34, así como algunos de los elementos tecnológicos que permiten interpretar,
justificar y hasta producir algunas de dichas técnicas, en rigor sería necesario explicitar
con todo detalle la tecnología θ que caracteriza la OML que hemos esbozado.
4.3.1.4. Grado de completitud de la organización matemática en torno a la derivación
de funciones potenciales-exponenciales
En este apartado utilizaremos los indicadores del grado de completitud de una OML,
OML1-OML7, a fin de mostrar en qué medida la OML que hemos esbozado a partir de
un determinado desarrollo de las técnicas puede ser considerada una OML
relativamente completa.
⋅+⋅⋅= ))(()('
)()(')()()(' )( xhLxg
xhxhxgxhxf xg
xxxxf 274 3
)53()( +−=
( ) )(293 5)(
xLxx xexf
+− +⋅=
Capítulo IV
200
OML1. En la OML construida han ido apareciendo diversos tipos de tareas relativas al
cuestionamiento tecnológico de las técnicas de derivación. En especial han aparecido
cuestiones relativas al coste de las diferentes técnicas, a su alcance (o domino de
validez), a su justificación y a la posibilidad de componer dos o más técnicas para
construir una nueva técnica. Además, en la OML construida, se ha producido una gran
ampliación de los tipos de tareas pero, a la vez, una apreciable integración de los
mismos. Esta integración no depende del hecho, puramente formal, de que los diferentes
tipos de tareas que la integran puedan describirse de una manera uniforme (“calcular la
derivada de una función f(x), dada la expresión analítica de la misma”) sino de la
relación que existe entre las diferentes técnicas que integran la OML en cuestión.
OML2. Dada una tarea de la OML esbozada, existen en OML, no sólo diferentes tareas
para abordarla, sino también criterios tecnológicos para elegir entre ellas. El estudio del
“coste” de una técnica de derivación es, de hecho, uno de los “motores” del estudio.
Así, por ejemplo, un tipo de tareas que tiene cabida en la OML esbozada consiste en
proponer la tarea de derivar una función mediante dos (o más) técnicas diferentes y, a
continuación, comparar (con determinados criterios) ambos procesos y ambos
resultados. Así, por ejemplo, se puede proponer la tarea de derivar la inversa de la
función:
5412)(
+−
=xxxf
mediante dos técnicas diferentes, ya sea calculando previamente la función inversa y
después derivándola, o bien utilizando (más o menos implícitamente) el teorema de la
función inversa. Esto nos llevaría a plantear cuestiones tecnológicas relativas al alcance
y las limitaciones de esta técnica (¿para qué tipos de funciones podemos aplicar esta
técnica?, ¿por qué no se puede utilizar en algunos casos?) y a relacionar las técnicas de
derivación con otras técnicas tales como la que permite obtener la inversa local, la que
sirve para caracterizar las funciones inyectivas, la que relaciona las gráficas de una
función y con la de su inversa, la que relaciona la gráfica de una función con la gráfica
de la función derivada, etc.
OML3. Una forma posible de empezar a “independizar” las técnicas de derivación de
la nomenclatura habitual sería ampliando adecuadamente los tipos de tareas que forman
La reconstrucción escolar de organizaciones matemáticas locales
201
parte de la OML esbozada. Así, por ejemplo, se podría interpretar una parábola como el
conjunto de puntos del plano sobre los que se anula una función real de dos variables y,
más en general, considerar las gráficas de las funciones reales de variable real
(elementales) como el conjunto de ceros de ciertas funciones reales de dos variables.
Podría introducirse aquí la técnica de la derivación implícita, como variación de las
técnicas que forman parte de OML, e interpretar las derivadas parciales en un punto
respecto a cada una de las dos variables.
OML4. De nuevo nos encontramos con un indicador que, aunque no es satisfecho
directamente por la OML esbozada, podría satisfacerse a condición de ampliar el
cuestionamiento tecnológico: ¿En qué casos una técnica de derivación es invertible
directamente para obtener una técnica útil para calcular primitivas? ¿Cómo se pueden
caracterizar, por ejemplo, la clase de funciones que tienen como derivada una función
racional? ¿Y las funciones racionales que son la derivada de una función “elemental”?
¿Cómo podríamos utilizar esta caracterización como técnica para calcular primitivas de
cierto tipo de funciones?
OML5 y OML6. A fin de empezar a tomar en consideración la interpretación del
resultado obtenido al aplicar una técnica de derivación como un aspecto importante del
dominio de dicha técnica, es imprescindible considerar las expresiones analíticas de las
funciones como modelos matemáticos de situaciones que pueden ser
“extramatemáticas” (económicas, físicas, biológicas, de ingeniería, químicas, ...) pero
que también pueden ser situaciones “intramatemáticas” (aritméticas, geométricas,
probabilísticas, ...). Postulamos que la organización matemática en torno al estudio de la
variación de funciones, dentro de la cual se integrará la OML en torno al cálculo de
derivadas que hemos esbozado aquí, es el ámbito en el que podrá plantearse como tarea
matemática la interpretación del resultado de aplicar las técnicas de derivación. Es
también en el contexto de dicha organización matemática en la que aparecerán tareas
matemáticas “abiertas” en las que se deberán modelizar situaciones definidas por la
variación de una variable respecto de otra.
OML7. Ya hemos visto que los elementos tecnológicos de la OML esbozada han tenido
una fuerte incidencia sobre la práctica matemática puesto que han permitido construir
técnicas “nuevas” capaces de ir ampliando sucesivamente los tipos de tareas abordables.
Capítulo IV
202
Ha quedado pendiente la descripción conjunta de los diferentes elementos tecnológicos
que han ido apareciendo a lo largo del desarrollo de las técnicas. Esta descripción
permitiría evaluar el grado de integración mutua de dichos elementos y, en definitiva, la
coherencia y unidad de la tecnología asociada a la OML en cuestión.
4.3.2. La regla de Ruffini en el paso de Secundaria a la Universidad
La ausencia de un auténtico cuestionamiento tecnológico de las técnicas matemáticas
que se utilizan en la enseñanza secundaria comporta que, en dicha institución, sea muy
difícil preguntarse sobre la utilidad, el coste, la justificación y el alcance (o dominio de
validez) de dichas técnicas. De hecho, problematizar las técnicas no forma parte de las
responsabilidades matemáticas que el contrato didáctico asigna a los alumnos de la
enseñanza secundaria. Incluso podemos afirmar que esta responsabilidad matemática
tampoco está asignada al profesor de enseñanza secundaria como tal profesor. Todo está
preparado para que las técnicas “funcionen” siempre que se las requiera y para que no
exista ningún conflicto entre las técnicas de que se dispone y las tareas matemáticas que
se proponen.
Partiendo de la actividad matemática que aparece en los libros de texto de Bachillerato59
en torno al cálculo de raíces enteras de ecuaciones polinómicas, nos proponemos
mostrar que, con ayuda de un adecuado cuestionamiento tecnológico, es posible
desarrollar el trabajo de la técnica en una dirección tal que provoque la ampliación de
los tipos de ecuaciones que pueden abordarse y, al mismo tiempo, comporte la
necesidad de llevar a cabo una actividad matemática flexible en el sentido de que esté
relativamente libre de los cinco aspectos de la rigidez que hemos descrito en los capítulo
anteriores.
Todo ello comportará, como veremos, que la propia actividad matemática, a medida que
se vaya desarrollando, deberá justificar las razones de ser de las tareas nuevas que van
apareciendo y deberá conseguir además crear una técnica cada vez más resistente y
59 De nuevo utilizaremos los libros de texto de Bachillerato que hemos utilizado en el Capítulo 3 y que, como hemos dicho, corresponden a las últimas ediciones de las editoriales SM, Anaya, Santillana y McGrawHill. También aquí hemos elegido los de la modalidad de Ciencias de la Naturaleza y Tecnología.
La reconstrucción escolar de organizaciones matemáticas locales
203
suficientemente potente para abarcar las sucesivas ampliaciones del campo de
problemas. Tendremos, en definitiva, el germen de una OML relativamente completa.
La diferencia principal entre este caso y el de la derivación de funciones consiste en lo
siguiente: mientras que los elementos tecnológicos que permiten flexibilizar y
desarrollar las técnicas de derivación de funciones forman parte, como hemos mostrado,
del currículum de Bachillerato (aunque, en realidad aparezcan de manera dispersa y
jueguen un papel bastante “decorativo”), resulta que la tecnología que se requiere para
flexibilizar la regla de Ruffini –y desarrollar de forma sustancial y significativa la
organización matemática que se construye en la enseñanza secundaria en torno a dicha
técnica– no está presente, ni siquiera nominalmente, en el currículum de la enseñanza
secundaria. Pero, en los estudios universitarios, en lugar de retomar la regla de Ruffini,
mostrar sus limitaciones, desarrollarla con los nuevos elementos tecnológicos que
aporta el análisis matemático que se estudia desde el primer curso universitario e
integrarla en una organización matemática más completa en torno a la resolución de
ecuaciones, se ignora completamente esta articulación y se proponen métodos de
resolución de ecuaciones completamente independientes de los construidos en la
enseñanza secundaria. Además, en caso de necesitar de manera incidental de la regla de
Ruffini (por ejemplo en la determinación de los valores propios de una aplicación
lineal), entonces se utiliza la versión más rígida y estereotipada de ésta.
Resulta, en definitiva, que la regla de Ruffini constituye un buen ejemplo del primero de
los fenómenos citados y que volvemos a enunciar aquí:
La rigidez de las técnicas matemáticas “elementales” que se utilizan por
primera vez en la enseñanza secundaria no disminuye cuando éstas se
utilizan en la enseñanza universitaria, aunque se disponga de los elementos
tecnológicos que podrían cuestionarlas, flexibilizarlas y desarrollarlas.
Capítulo IV
204
4.3.2.1. Calcular las soluciones enteras de la ecuación x3 – 61x2 – 50x + 135 = 0
Si hacemos un recorrido por los distintos manuales de Bachillerato, observamos que las
funciones elegidas para llevar a cabo la tarea de representar gráficamente funciones
polinómicas, son como las siguientes:
f(x) = x3 – 3x
f(x) = x3 + x
f(x) = x4 – 2x2
f(x) = 2x3– 8x +1
f(x) = x3– 2x2 + x – 1
f(x) = x3 – 3x2 + 4
f(x) = – 3x4 + 4x3
f(x) = x3 – 3x + 2
f(x) = x3 – 9x2 + 24x – 20
f(x) = 3x4 + 4x3 – 36x2 + 100
f(x) = x4 – 8x2 + 2
f(x) = x4 – 4x3+3
f(x) = x4 – 4x3
f(x) = x3– 3x
f(x) = x4 – 6x2
Una de las subtareas que se le proponen al alumno para representar gráficamente estas
funciones polinómicas es la de calcular los puntos de corte de la gráfica de la función
con el eje de las “x”, lo que equivale a resolver la ecuación asociada f(x) = 0.
Si analizamos las ecuaciones asociadas a las funciones polinómicas citadas, observamos
que la mayoría están preparadas para que admitan como raíces algunos de los números:
0, ±1 ó ± 2. Además, el término independiente siempre tiene muy pocos divisores, por
lo que el número de posibles raíces enteras es muy pequeño en cada caso. De esta
manera se consigue que la técnica dominante (la regla de Ruffini) “funcione” de manera
muy económica y eficaz en todos los casos, evitando así todos los conflictos entre la
tarea y la técnica, lo que hace completamente innecesario cualquier tipo de
cuestionamiento tecnológico de la regla de Ruffini.
La reconstrucción escolar de organizaciones matemáticas locales
205
En este punto es interesante observar que, si bien en el momento de introducir la regla
de Ruffini por primera vez (ya sea en el cuarto curso de la Enseñanza Secundaria
Obligatoria o bien en el primer curso de Bachillerato) se proponen tareas variadas y
aparecen bastantes tipos diferentes de ecuaciones polinómicas, cuando posteriormente
(por ejemplo, en el segundo curso de Bachillerato) la regla de Ruffini se utiliza como
técnica auxiliar en el desempeño de otra tarea matemática más compleja (como, por
ejemplo, cuando se emplea para buscar los puntos de corte de la gráfica de una función
polinómica con el eje de las “x” como subtarea de la tarea de estudiar el
comportamiento global de dicha función) entonces, paradójicamente, las funciones
polinómicas están preparadas para que pueda utilizarse la versión más rígida y
estereotipara de la regla de Ruffini.
En definitiva, la regla de Ruffini acaba teniendo en la enseñanza secundaria un carácter
auto-tecnológico, como si fuese transparente y no necesitase de ningún tipo de
justificación más allá de la comprobación empírica de que, efectivamente, “funciona”.
Como no se proponen tareas que provoquen ningún tipo de conflicto con la utilización
estereotipada de la regla de Ruffini, nunca aparece la necesidad, en el trabajo
matemático que se realiza efectivamente, de flexibilizar dicha técnica, de modificarla
ligeramente para aplicarla a un caso especial ni, mucho menos, de analizar y cuestionar
su coste, su alcance ni su justificación. Esta ausencia de cuestionamiento tecnológico de
la regla de Ruffini se manifiesta incluso en el impulso de los sujetos de la institución a
comenzar a calcular las raíces enteras de un polinomio sin tener en cuenta la posibilidad
de su no-existencia.
Una de las consecuencias prácticas de estos hechos es que se expulsan fuera de la
enseñanza secundaria algunos tipos de tareas matemáticas, como la representación
gráfica de funciones polinómicas sencillas cuyo término independiente tiene bastantes
divisores o cuyas raíces no son enteras (tanto si son racionales como si son irracionales).
Se produce de esta forma un empobrecimiento en cadena de las organizaciones
matemáticas que se estudian. Éste es un fenómeno de largo alcance del cual la regla de
Ruffini constituye únicamente un ejemplo: el hecho de no poder utilizar versiones
flexibles de las técnicas elementales para construir técnicas más complejas implica que
las construcciones sucesivas de organizaciones matemáticas estarán siempre centradas
en tipos de tareas relativamente estereotipadas.
Capítulo IV
206
Podemos resumir lo anterior diciendo que el tipo de tareas matemáticas que aparecen en
la enseñanza secundaria en torno al cálculo de las raíces de un polinomio, al menos
cuando ésta deja de ser la tarea principal para convertirse en auxiliar de otras tareas más
complejas, genera una organización matemática puntual y rígida en todos los aspectos
descritos en los capítulos anteriores. Esto se pone de manifiesto en el hecho de que la
técnica dominante en la enseñanza secundaria para realizar dicha tarea, la regla de
Ruffini, se aplica en la mayor parte de los casos de una forma completamente
estereotipada, sin ninguna variación, sin sufrir ningún tipo de desarrollo y, en definitiva
sin que se plantee ningún cuestionamiento tecnológico de la misma. El tipo de tareas
que aparecen en los libros de texto es, en consonancia, muy cerrado y preparado para
que no plantee ningún problema a la técnica.60
A fin de comprobar, de manera meramente exploratoria, que esta rigidez no disminuye
cuando la regla de Ruffini se utiliza en la enseñanza universitaria, propusimos durante el
curso 1999-2000 a una muestra de 128 alumnos de la Escuela Universitaria de
Ingeniería Técnica Industrial y de la Escuela Superior de Ingeniería Industrial de la
Universidad de Vigo, la siguiente tarea:
Calcular las soluciones enteras de la ecuación x3 – 61x2 – 50x +135 = 0
Comprobamos que 79 alumnos (el 61,71 %) intentaron calcular las raíces utilizando la
Regla de Ruffini; 26 alumnos (el 20,31 %) empezaron calculando el valor numérico del
polinomio para cada uno de los divisores del término independiente y los 23 alumnos
restantes (el 17,96%) dejaron en blanco el ejercicio. De entre los 105 alumnos (que
representan el 82% del total) que intentaron resolver la ecuación, ninguno de ellos se
planteó la posibilidad de la no existencia de soluciones enteras.
60 Este fenómeno depende sin duda del aislamiento de este otro “gran” tipo de tareas en Secundaria que es la representación gráfica de una función y de la rigidez de la técnica utilizada mayoritariamente para resolverlo: la derivación de la función y la búsqueda de los ceros de la derivada (usando Ruffini). Pero no consideraremos aquí esta compleja cuestión.
La reconstrucción escolar de organizaciones matemáticas locales
207
Creemos que las respuestas de estos alumnos reflejan el escaso cuestionamiento
tecnológico que existe en relación a las técnicas de resolución de ecuaciones
polinómicas y, en particular, alrededor de la regla de Ruffini. La uniformidad y casi
unanimidad de las respuestas obtenidas pone de manifiesto que la actividad dominante
ante la tarea propuesta consiste en empezar calculando los divisores del término
independiente (que, en este caso, son ±1, ±3, ±5, ±9, ±15, ±27, ±45 y ±135) y, a
continuación, comprobar para cada uno de ellos si es o no es una raíz del polinomio, ya
sea utilizando la regla de Ruffini o bien calculando el valor numérico del polinomio
para dicho valor de x.
En ningún caso se intenta comprobar la posibilidad de la no existencia de raíces enteras,
posiblemente porque se carece de técnicas para hacer dicha comprobación. Esta falta de
cuestionamiento tecnológico provoca, entre otros efectos indeseables, que cuando se
dispone de una técnica se use, prescindiendo completamente del coste que comporta
dicho uso. La explicación es sencilla: en la enseñanza secundaria la única actividad que
los alumnos aprenden a realizar con una técnica es aplicarla para realizar una tarea
concreta. En nuestro ejemplo, el coste de utilizar la técnica de que se dispone es
excesivo porque, al no existir raíces enteras, la técnica estereotipada que se utiliza
requiere de una gran cantidad de cálculos pesados y, en definitiva, bastante inútiles.
Si los alumnos hubiesen dispuesto de un resultado tecnológico sencillo tal como el
siguiente:
θ1: Si f(x) es una función polinómica con coeficientes enteros y f(0) y f(1) son números
impares, entonces la ecuación polinómica f(x) = 0 no tiene soluciones enteras.
no hubiesen tenido ninguna necesidad de calcular los divisores de 135 ni de llevar a
cabo el resto de cálculos inútiles, puesto que en este caso f(0) = 135 y f(1) = 25 son
impares y, por lo tanto, podemos asegurar que el polinomio x3 – 61x2 – 50x +135 no
tiene raíces enteras.
Pero disponer de un resultado tecnológico que no parezca, como el anterior, salido de un
sombrero de mago, supone un trabajo matemático desarrollado que requiere, como
Capítulo IV
208
condición de partida, el planteamiento y verdadero estudio de una cuestión matemática
inicial: en este caso la consideración del problema de determinar si una ecuación
polinómica tiene o no soluciones enteras. ¿En qué consistiría, en el caso considerado,
“tomarse en serio” este problema? ¿Dónde nos conduciría el desarrollo del trabajo de
una técnica inicial como es la factorización de polinomios mediante la regla de Ruffini?
4.3.2.2. Desarrollo de la regla de Ruffini
Mostraremos que, con ayuda de un adecuado cuestionamiento tecnológico, es posible
desarrollar el trabajo de la técnica “regla de Ruffini” en una dirección tal que provoque
la ampliación de los tipos de ecuaciones que pueden abordarse. Partimos de un tipo de
tareas, que designaremos por T1, y que está presente en la enseñanza la secundaria.
T1: Calcular las soluciones de ecuaciones polinómicas con coeficientes enteros y que
tengan todas las soluciones enteras.
Un espécimen de este tipo de tareas es el siguiente:
Resolver la ecuación x3 – 4x2 + x + 6 = 0
Dado que f(0) = 6 y f(1) = 4, es posible que exista alguna raíz entera y, en ese caso, debe
ser forzosamente un divisor del término independiente que es 6. Las posibles raíces
enteras son ±1, ±2 y ±3.
1 – 4 1 6
–1 –1 5 – 6
1 –5 6 0
2 2 – 6
1 – 3 0
Las soluciones son x = –1, 2 y 3, por lo que tenemos la descomposición factorial:
x3 – 4x2 + x + 6 = (x + 1) (x – 2) (x – 3)
La reconstrucción escolar de organizaciones matemáticas locales
209
Para “rutinizar” esta técnica y “experimentarla” con un material empírico
suficientemente rico, se pueden considerar ecuaciones similares a al anterior, como, por
ejemplo:
x3 – 9x2 + 23x – 15 = 0. Raíces: x = 1, 3 y 5
x3 + 3x2 – 9x + 5 = 0. Raíces x = 1 (doble) y x = – 5
Llamaremos τ1 a esta primera técnica. Es una técnica ligada a un tipo de tareas concretas
y, desde este punto de vista, aparece en los manuales de la enseñanza secundaria como
una técnica natural o canónica. No es cuestionable en dicha institución porque es
considerada como “la manera de calcular las raíces (enteras) de las ecuaciones
polinómicas (preparadas)”.
A fin de flexibilizar la técnica τ1, lo que permitirá desarrollarla y relacionarla con otras
técnicas (cosa que raramente se realiza en la enseñanza secundaria), planteamos en este
momento cuestiones tecnológicas relativas a τ1:
¿Cuál es el alcance o dominio de validez de τ1? ¿Para qué tipo de ecuaciones
polinómicas no será aplicable? ¿Existen, para esos casos, técnicas alternativas? ¿Es
posible modificar ligeramente τ1 de manera que se amplíe el campo de problemas al que
es aplicable? ¿Qué modificaciones son necesarias?
A fin de poner a prueba la resistencia de la técnica creada proponemos un segundo tipo
de tareas.
T2: Calcular las raíces de ecuaciones polinómicas de grado n ≥ 3 con coeficientes
enteros.
Un ejemplar de este segundo tipo de tareas es el siguiente:
Resolver la ecuación x3 – 2x2 – 3x + 6 = 0
Aparece la primera situación relativamente conflictiva porque después de calcular todos
los divisores de 6 y comprobar que sólo x = 2 es solución, nos encontramos con el
Capítulo IV
210
problema de que el resto de raíces reales, si existen, no se pueden calcular utilizando la
técnica anterior τ1 porque no son enteras.
¿Como calcular las otras dos raíces si existen? ¿Es posible modificar ligeramente τ1 de
manera que se amplíe el campo de problemas al que es aplicable? En la enseñanza
secundaria aparece, de hecho, una pequeña modificación de la regla de Ruffini que
permite resolver la ecuación anterior: después de obtener una raíz entera, si el polinomio
inicial era de grado 3, basta factorizar el polinomio inicial y resolver una ecuación de
segundo grado para calcular las otras dos raíces (o bien para asegurarse de que éstas no
existen). Llamaremos a esta variación de la técnica inicial τ11. En nuestro ejemplo, se
obtienen –1,73205 y 1,73205.
Pero en la enseñanza secundaria dicha variación de la regla de Ruffini no se considera
como tal y, lo que es más importante, no se utiliza para poner de manifiesto que, si la
ecuación polinómica fuese de grado mayor que 3 y sólo tuviese una raíz entera,
entonces no podría aplicarse τ11. Tampoco se utiliza sistemáticamente para resolver
ecuaciones de grado n > 3 con coeficientes enteros que tengan, como mínimo, n – 2
soluciones enteras.
Forman parte de este segundo tipo, tareas tales como :
6x3 – 13x2 + 9x – 2 = 0. Raíces x = 1, 1/2, 2/3.
12x3 + 13x2 – 20x + 4 = 0. Raíces x = -2, 1/4, 2/3.
El dominio de validez de τ11 es mayor que el de τ1 puesto que es aplicable a todas las
ecuaciones polinómicas de grado n siempre que tengan, como mínimo, n – 2 raíces
enteras. A medida que se continúa rutinizando τ11 aparece una segunda cuestión
tecnológica:
¿Es posible calcular con τ11, de una manera razonablemente económica, todas las raíces
de cualquier ecuación polinómica de grado tres que tenga, como mínimo, una raíz
entera? Y, en general, ¿es posible calcular con un coste razonable todas las raíces de
cualquier ecuación polinómica de grado n que tenga, al menos, n – 2 raíces enteras?
La reconstrucción escolar de organizaciones matemáticas locales
211
La respuesta tecnológica provocará las primeras formulas de acotación del valor
absoluto de las raíces. Técnicamente se trata de economizar el funcionamiento de τ11
limitando el número de posibles candidatos a raíces de la ecuación porque el “coste” de
la técnica τ11 aumenta muy rápidamente cuando se trata de resolver ecuaciones
polinómicas cuyo término independiente tiene un número grande de divisores.
Consideremos, por ejemplo, el siguiente problema:
Resolver la ecuación x3 – 70x2 + 1400x – 8000 = 0
Dado que 8000 tiene 56 divisores:
el coste de utilización de la técnica τ11 para realizar esta tarea es considerable en
términos de esfuerzo, precisión y posibilidad de cometer errores. Cabe entonces hacer
un segundo cuestionamiento tecnológico de la técnica con el objetivo de disminuir, si es
posible, dicho coste.
¿Es necesario probar, en todos los casos, todos los divisores del término independiente?
¿Hay alguna posibilidad de acotar ese proceso?
Una buena tecnología debería disminuir el coste de τ11 e intentar resolver esa tarea con
un coste mínimo. Si la fórmula de Cardano-Vieta formara parte del entorno tecnológico
de la regla de Ruffini:
1 2 4 8 16 32 64 -1 -2 -4 -8 -16 -32 -64 5 10 20 40 80 160 320 -5 -10 -20 -40 -80 -160 -320
25 50 100 200 400 800 1600 -25 -50 -100 -200 -400 -800 -1600125 250 500 1000 2000 4000 8000 -125 -250 -500 -1000 -2000 -4000 -8000
Capítulo IV
212
θ2: Si todas las raíces de la ecuación f(x) = anxn+an-1xn-1+....+a1x+a0 = 0 son reales,
entonces
−
≤ −−
nn
nn
aa
aa
M 22
1 2 siendo xi∈ [– M, M] para toda raíz xi de la
ecuación f(x) = 0.
entonces la técnica τ11 sería mucho más económica y, mucho más fiable.
En nuestro caso particular este resultado tecnológico limita las posibles raíces al
intervalo [– 46, 46] y nos permite reducir considerablemente el número de candidatos a
raíces enteras:
1 2 4 8 16 32 -1 -2 -4 -8 -16 -32
5 10 20 40 -5 -10 -20 -40
25 -25
La tecnología incide así directamente sobre la práctica matemática produciendo una
disminución del coste de la técnica. De los 56 candidatos iniciales pasamos a
únicamente 22. Pero el coste de τ11 aún sigue siendo grande. ¿Que posibilidades hay de
disminuir todavía más la posibilidad de cometer errores y, en consecuencia, el coste ?
La respuesta a esta cuestión viene dada por un nuevo resultado tecnológico.
θ3: (Regla de Descartes) Si n es el número de cambios de signo de los coeficientes de un
polinomio f(x) y m su número de raíces positivas, entonces m ≤ n y n - m es par. El
número de raíces negativas se obtiene repitiendo el proceso anterior para f(-x).
De acuerdo con este resultado tecnológico toda ecuación polinómica de grado 3 cuyos
coeficientes tengan signos alternados como, por ejemplo: x3– ax2 + bx – c = 0 (donde a,
b y c > 0), en el supuesto de que tenga raíces reales, entonces todas serán positivas.
Mientras que toda ecuación polinómica de grado 3 de la forma x3 + ax2 + bx + c = 0
(donde a, b y c > 0), caso de tener raíces reales, todas serán negativas.
La reconstrucción escolar de organizaciones matemáticas locales
213
Esto nos permite, en nuestro ejemplo, restringir todavía más el número de candidatos
pasando de 22 a 11 y quedarnos sólo con los candidatos positivos.
1 2 4 8 16 32
5 10 20 40
25
Pero todavía podemos disminuir más el coste de la técnica τ11. Para ello podemos
utilizar otro resultado tecnológico:
θ4: Si f(x) es un polinomio con coeficientes enteros y a es una raíz entera de f(x),
entonces a –1 es un divisor de f(1) y a +1 es un divisor de f(-1).
Al aplicarlo a nuestro ejemplo particular resulta que 1)1(
−af da división entera únicamente
con los divisores siguientes:
2 4
10 20 40
Pero como que 1)1(
+−
af sólo da división entera con:
10 20 40
Resulta que las únicas posibles raíces enteras de la ecuación
x3 – 70x2 + 1400x – 8000 = 0
son 10, 20 y 40.
Las técnicas τ1 y τ11, que aparecen como incuestionables en la enseñanza secundaria,
tienen un alcance muy limitado debido a que el coste aumenta muy rápidamente con el
simple aumento del número de divisores del término independiente de la ecuación.
Capítulo IV
214
Llamaremos τ2 a la técnica que se obtiene de disminuir el coste de τ11 mediante la
utilización de los elementos tecnológicos θ1, θ2, θ3 y θ4. Esta técnica τ2 surge como
consecuencia del desarrollo de las técnicas τ1 y τ11 y tiene un coste mucho menor.
A continuación se proponen nuevas tareas de rutinización, para dominar la técnica τ2:
x3 – 53x2 + 532x – 480 = 0. Raíces: x = 1, 12 y 40
x3 – 88x2 + 1620x + 3600 = 0. Raíces: x = – 2, 30 y 60
El trabajo técnico rutinizado con τ2 para obtener las soluciones de una ecuación
polinómica hace emerger de manera natural la siguiente cuestión tecnológica:
¿Cuál es el alcance y cuáles son las limitaciones de la técnica τ2? ¿Cómo hay que
modificar τ2 para resolver una ecuación polinómica de grado tres que tenga al menos
una solución racional pero ninguna solución entera?
A fin de poner a prueba la resistencia o robustez de la técnica τ2 proponemos un tercer
tipo de tareas.
T3: Calcular las raíces de ecuaciones polinómicas de grado 3 con coeficientes enteros
que tengan, como mínimo, una solución racional (no entera).
Un espécimen de este segundo tipo de tareas es el siguiente:
Resolver la ecuación 60x3 – 274x2 + 340x – 96 = 0
La utilización de la técnica τ2 nos permite afirmar que la ecuación propuesta no tiene
raíces enteras, pero no nos permite calcular las posibles raíces reales no enteras de dicha
ecuación. Se trata, por lo tanto, de una tarea que muestra las limitaciones de τ2 por lo
que se requiere explorar nuevas técnicas o mejorar las técnicas anteriores.
La reconstrucción escolar de organizaciones matemáticas locales
215
¿Es posible modificar τ2 para ampliar su dominio de validez de manera que abarque el
cálculo de raíces racionales? La respuesta depende de un elemento tecnológico que,
como tal, forma parte del currículum de la enseñanza secundaria (y es “demostrable” en
esta institución), aunque su incidencia en la práctica matemática que se realiza
efectivamente en el aula es muy pequeña:
θ5: Si x = m/n (con m y n primos entre sí) es una solución racional de una ecuación
polinómica con coeficientes enteros, entonces m debe ser divisor del término
independiente y n debe ser divisor del coeficiente de grado máximo.
Por lo tanto, todas las raíces racionales pueden escribirse como una fracción cuyo
denominador coincide con el coeficiente de grado máximo de la ecuación polinómica.
En nuestro ejemplo, y en el supuesto de que la ecuación dada tenga raíces racionales,
haciendo el cambio de variable x = z/60 obtendremos una ecuación en z con soluciones
enteras. Resulta, en efecto, que aplicando a dicha ecuación la técnica anterior τ2 se
obtienen las soluciones siguientes: z = 24, 90 y 160. Deshaciendo el cambio de variable
obtenemos tres soluciones racionales para la ecuación inicial: x = 2/3, 3/2 y 8/3.
A esta nueva técnica, que consiste en componer el citado cambio de variable con la
técnica τ2, podemos denominarla τ3. Es una técnica útil para calcular las raíces
racionales de una ecuación polinómica y, evidentemente, vuelve a ampliar el campo de
problemas. Su dominio se extiende, en principio, a todas las ecuaciones polinómicas
con coeficientes racionales de grado n siempre que tenga, como mínimo, n – 2
soluciones racionales.
Está claro que también τ3 sigue presentando importantes limitaciones si lo que se
pretende es calcular las soluciones de una ecuación polinómica cualquiera. Basta con
que los coeficientes no sean todos racionales o bien la ecuación en cuestión no tenga
suficientes soluciones racionales. El trabajo de la técnica podría así continuar con
nuevas variaciones de τ3, aparecerían nuevas necesidades tecnológicas y nuevas
ampliaciones del campo de problemas.
Capítulo IV
216
Así, el trabajo de la técnica se manifiesta una vez más como un trabajo “creativo”, esto
es, productor de nuevas tareas, de nuevas necesidades tecnológicas y de nuevas
técnicas. El desarrollo del trabajo de la técnica ha producido, incluso, técnicas que
permiten resolver cuestiones planteadas a nivel tecnológico respecto de la técnica
inicial. Desde este punto de vista, la técnica inicial τ1 (junto a τ11) que aparecían como la
manera de resolver las ecuaciones polinómicas (de grado mayor que 2) en la enseñanza
secundaria, es una técnica muy rudimentaria, con un alcance muy pequeño y solo
aplicable a un tipo muy restringido de tareas61.
Hemos visto de qué forma el cuestionamiento tecnológico de las técnicas ha dirigido el
desarrollo de la actividad matemática transformándola en una actividad más flexible,
capaz de realizar las tareas propuestas de manera más económica (con un coste menor).
Además la actividad así transformada tiene un alcance mayor porque las nuevas técnicas
tienen un dominio de validez más amplio en cuanto a los tipos de tareas que permiten
realizar.
El hecho de que la enseñanza universitaria no retome la organización matemática que se
construye en Secundaria en torno a la regla de Ruffini, no la desarrolle adecuadamente
utilizando los elementos tecnológicos que proporciona el análisis matemático desde el
primer curso universitario y no la articule con las organizaciones matemáticas que se
construyen en torno a la resolución de ecuaciones (por ejemplo para mostrar sus
limitaciones y delimitar mejor su ámbito de aplicación), produce una ruptura entre las
matemáticas que se estudian en ambas instituciones.
61 Para un análisis de las funciones del momento del trabajo de la técnica dentro del proceso de estudio de una organización matemática, ver Bosch y Gascón (1991, 1992 y 1994) y, también, Chevallard, Bosch y Gascón (1997, pp. 286-290).
La reconstrucción escolar de organizaciones matemáticas locales
217
4.4. Construcción de organizaciones matemáticas locales como respuesta a
una cuestión: la diagonalización de matrices en la universidad
El ejemplo anterior sobre el desarrollo de la técnica de Ruffini para la factorización de
polinomios sugería que la posibilidad de construir una OM local mínimamente completa
a partir del desarrollo e integración de OM puntuales previas requiere “tomarse
suficientemente en serio” el cuestionamiento de partida que guía el proceso de
construcción: ¿qué problemas se pueden resolver y cuáles no? ¿qué técnica es mejor?
¿cuál elegir? ¿cómo modificar o adaptar una técnica a nuevas situaciones? etc. Parece
entonces que, si el punto de partida es demasiado limitado, el proceso de estudio queda
rápidamente abortado y el tipo de producto que se obtiene no va más allá de una OM
puntual. Más allá pues del carácter “motivador” que puedan tener las cuestiones que se
estudian en la enseñanza de las matemáticas (y del hecho que se deban poder conectar,
en cierto sentido, con las problemáticas reales de la sociedad y de los alumnos), éstas
deben también presentar unas características generativas apropiadas para que su estudio
dé lugar a un proceso productor de nuevas técnicas, nuevas necesidades explicativas y
nuevas cuestiones problemáticas.
En esta sección presentamos un ejemplo de cuestionamiento inicial que podría motivar
el estudio universitario del álgebra lineal (el bloque práctico-técnico se convierte,
contrariamente a lo que se hace en la Universidad, en el motor del bloque tecnológico-
teórico), de tal forma que la respuesta a dichas cuestiones permita generar, al menos,
una organización matemática local relativamente completa.. A pesar de que la “materia”
que presentaremos haya sido experimentada durante dos cursos con alumnos reales de
primer curso de diplomatura y licenciatura en ciencias económicas y empresariales, nos
limitaremos aquí a esbozar una proceso de construcción idealizado, guiado únicamente
por la “lógica del desarrollo matemático”, y no por las condiciones concretas que rigen
el trabajo con estudiantes reales en el aula.
Capítulo IV
218
4.4.1. La organización matemática que se quiere construir
Nos situamos en un curso trimestral de Álgebra Lineal para la asignatura de
Matemáticas de primer curso de Ciencias Económicas y Empresariales. El contenido del
curso trimestral es el siguiente:
TEMARIO:
1. Cálculo matricial y sistemas de ecuaciones
2. Espacios vectoriales. Bases y dimensión
3. Aplicaciones lineales y expresión en distintas bases
4. Diagonalización de matrices
El problema docente que nos planteamos es el de construir una OM que incorpore los
elementos básicos del álgebra lineal indicado en el temario. Presentamos aquí una OM
local que permite estructurar el tema de la diagonalización de matrices en torno a un
único tipo de problemas que aparecerá por ello como la “razón de ser” de la
organización, esto es, la cuestión a la que responde en sentido fuerte la OM construida.
Supondremos que los tres temas anteriores ya han dado lugar al estudio de las
respectivas OM locales -cuya descripción omitiremos aquí- y que formarán parte del
material matemático necesario -y que consideraremos disponible- para nuestra
construcción.
A la anterior condición necesaria para la construcción de la OM local considerada
añadiremos las siguientes restricciones didácticas:
Los tipos de problemas que componen la OM deben estar vinculados de manera
realista al mundo empresarial y retomar necesidades prácticas que allí aparecen.
La construcción de la OM surgirá de un problema de los del tipo anterior, en
particular que se pueda formular inicialmente en términos no matemáticos.
La introducción de las principales técnicas que componen la OM se hará de manera
motivada, es decir como respuesta a problemas que hayan surgido previamente en el
proceso de construcción.
La reconstrucción escolar de organizaciones matemáticas locales
219
El proceso de construcción de la OM local considerada, así como las principales
técnicas matemáticas que la compongan, necesitará recurrir de manera no forzada al
programa informático Excel para realizar los cálculos de manera eficaz y permitir
así un trabajo experimental más rico que en el entorno lápiz-papel-calculadora.
La OM que presentamos surge como respuesta a un tipo de problemas que sirve tanto de
punto de partida como de objetivo final de toda la construcción. Uno de los objetivos a
largo plazo de nuestro trabajo es el de relacionar este tipo de problemas –y la
construcción a la que da lugar– con la noción de una situación fundamental. Las
relaciones iniciales que observamos son las siguientes:
El tipo de cuestión inicial que da origen a la construcción se puede formular
fuera de la OM local que se quiere construir y se puede empezar a resolver
partiendo de conocimientos matemáticos elementales que se suponen
disponibles en los estudiantes.62
El propio estudio de la cuestión aporta elementos que permiten determinar si
se ha resuelto o no el problema (carácter experimental del proceso y
existencia de una "respuesta del medio").
Es previsible que la dirección del proceso de estudio global se puede
vincular a la manipulación de determinadas variables didácticas.
Creemos además que el proceso de construcción que presentamos nos permitirá
profundizar en el estudio de los mecanismos que rigen la dinámica interna de los
momentos del estudio: desarrollo de las técnicas (por inversión, articulación,
ampliación), cuestionamiento tecnológico, ampliación del tipo de tareas, etc.
4.4.2. Primera organización matemática: un problema de movilidad de recursos
humanos
El punto de partida de la construcción es la OM puntual OMP1 que surge a partir de la
cuestión siguiente:
62 Estas dos primeras características son relativamente excepcionales y hacen especialmente interesante el caso que presentamos. Lo normal sin embargo es que la situación fundamental se pueda formular en términos de las OM locales construidas anteriormente y, por lo tanto, que tenga una "carga matemática" considerable.
Capítulo IV
220
OM1. Un problema de movilidad de recursos humanos en la empresa
Una empresa tiene tres sedes A, B y C. El director de recursos humanos ha adoptado una
política de movilidad del personal senior que consiste en cambiar cada año algunos
trabajadores de sucursal, con la posibilidad de volver a la sucursal de origen en los años
posteriores. En el año 2000 se aplicó la política siguiente:
Origen →
Destino ↓
A
B
C
A 100 0 150
B 80 90 30
C 20 10 120
TOTAL 200 100 300
Si se aplica durante unos años seguidos la misma política, ¿cómo evolucionará la
distribución de trabajadores seniors en cada sucursal?
¿Qué política se debe aplicar si quiere que, a la larga, haya una determinada proporción p1-
p2-p3 de trabajadores seniors en cada sucursal?
4.4.2.1. Momento del primer encuentro con la cuestión inicial
La matriz anterior depende de la composición anual de trabajadores en cada sucursal
(200 en A, 100 en B, 300 en C). Por lo tanto varía de un año a otro. Para estudiar la
política de movilidad de personal, hay que considerar que permanece constante la
matriz de transición que indica el porcentaje de profesionales seniors de A, B y C que
se mueven a A, B y C. En el caso anterior, la matriz de transición es la siguiente:
Origen →
Destino ↓
A
B
C
A 0,50 0 0,50
B 0,40 0,90 0,10
C 0,10 0,10 0,40
La reconstrucción escolar de organizaciones matemáticas locales
221
Si partimos de una distribución inicial del 200 trabajadores en A, 100 en B y 300 en C,
obtenemos la distribución de trabajadores al año siguiente mediante el producto
matricial:
=
⋅
150200250
300100200
40,010,010,010,090,040,050,0050,0
Así, habrá 250 trabajadores seniors en A (0,50·200 provenientes de A, ninguno de B y
0,50·300 de C), 200 en B y 150 en C. Si llamamos M a esta matriz y X2000 al vector que
representa el total de trabajadores en cada sucursal en el año 2000 (X2000 =
(200;100;300)), tenemos que X2001 = M·X2000 ; X2002 = M·X2001 = M2·X2000, etc. Por lo
tanto, el problema inicial se reduce al estudio de la distribución de los vectores:
X2000+n = Mn·X2000.
T1 : Primer tipo de tareas
Dada una matriz de transición M de dimensión 3x3 y una distribución inicial X2000 en
R3, estudiar la evolución de la trayectoria:
X2000+n = Mn·X2000.
4.4.2.2. Momento exploratorio con Excel: características de la trayectoria
La exploración de T1 puede realizarse de manera efectiva recurriendo a un programa
informático como, por ejemplo, la hoja de cálculo Excel. Se consiguen de este modo
realizar un trabajo experimental suficientemente rico (probando una cantidad de casos
concretos diversos) para poder formular hipótesis respecto a la trayectoria que se quiere
estudiar.
τ1. Calcular en una hoja de Excel los productos sucesivos Mn·X2000 para distintos valores
de X2000 y distintas matrices M.
Presentamos a continuación las tres hojas de cálculo con los resultados de los tres casos
siguientes:
Capítulo IV
222
Caso 1. Empresas con 100 trabajadores repartidos en las 3 sucursales
Caso 2. Empresas con otras cantidades de trabajadores repartidos en las 3 sucursales
Caso 3. Empresas con 100 trabajadores y con distintas políticas de movilidad
CASO 1. EMPRESA CON 100 TRABAJADORES
Distribución de los trabajadores en el periodo 2001-2010
OrigenDestino A B C
A 0,5 0 0,5 1 0 0B 0,4 0,9 0,1 0 1 0C 0,1 0,1 0,4 0 0 1
ITERADOS DE (40,30,30)
AÑO 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 201040 35 27 21 18 16 15 15 15 14 1430 46 57 64 68 69 70 71 71 71 7130 19 16 15 14 14 14 14 14 14 14
ITERADOS DE (50,30,20)
AÑO 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 201050 35 26 20 17 16 15 15 14 14 1430 49 60 65 68 70 71 71 71 71 7120 16 15 14 14 14 14 14 14 14 14
ITERADOS DE (100,0,0)
AÑO 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010100 50 30 22 18 16 15 15 14 14 14
0 40 57 65 68 70 71 71 71 71 710 10 13 14 14 14 14 14 14 14 14
ITERADOS DE (0,100,0)
AÑO 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 20100 0 5 9 11 13 14 14 14 14 14
100 90 82 77 74 73 72 72 72 72 710 10 13 14 14 14 14 14 14 14 14
ITERADOS DE (0,0,100)
AÑO 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 20100 50 45 34 25 20 17 16 15 15 140 10 33 50 60 65 68 70 71 71 71
100 40 22 17 15 14 14 14 14 14 14
ITERADOS DE (10,30,60)
AÑO 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 201010 35 32 25 20 17 16 15 15 14 1430 37 50 60 65 68 70 71 71 71 7160 28 18 16 15 14 14 14 14 14 14
La reconstrucción escolar de organizaciones matemáticas locales
223
CASO 2. EMPRESA CON DIFERENTES NÚMEROS DE TRABAJADORES
Distribución de los trabajadores en el periodo 2001-2010
OrigenDestino A B C
A 0,5 0 0,5 1 0 0B 0,4 0,9 0,1 0 1 0C 0,1 0,1 0,4 0 0 1
ITERADOS DE (80,50,70)
AÑO 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 201080 75 58 45 37 33 31 30 29 29 2950 84 110 125 134 138 140 142 142 143 14370 41 32 30 29 29 29 29 29 29 29
ITERADOS DE (25,0,25)
AÑO 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 201025 25 19 14 11 9 8 8 7 7 70 13 23 29 32 34 35 35 35 36 36
25 13 9 8 7 7 7 7 7 7 7
ITERADOS DE (100,20,30)
AÑO 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010100 65 45 33 28 25 23 22 22 22 2220 61 83 95 101 104 106 106 107 107 10730 24 22 22 21 21 21 21 21 21 21
ITERADOS DE (100,100,100)
AÑO 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010100 100 80 64 54 49 46 44 44 43 43100 140 172 192 202 208 211 213 214 214 214100 60 48 44 43 43 43 43 43 43 43
ITERADOS DE (1000,0,0)
AÑO 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 20101000 500 300 215 177 159 151 147 145 144 143
0 400 570 646 681 698 706 710 712 713 7140 100 130 139 142 143 143 143 143 143 143
ITERADOS DE (10,30,60)
AÑO 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 201010 35 32 25 20 17 16 15 15 14 1430 37 50 60 65 68 70 71 71 71 7160 28 18 16 15 14 14 14 14 14 14
Capítulo IV
224
CASO 3. EMPRESA CON 100 TRABAJADORES Y DIFERENTES POLÍTICAS DE MOVILIDAD
Distribución de los trabajadores en el periodo 2001-2010 Consideramos siempre la misma distribució inicial (40,30,30)
POLÍTICA 1A B C
A 0,5 0 0,5B 0,4 0,9 0,1C 0,1 0,1 0,4
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 201540 35 27 21 18 16 15 15 15 14 14 14 14 14 14 1430 46 57 64 68 69 70 71 71 71 71 71 71 71 71 7130 19 16 15 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14
POLÍTICA 2A B C
A 0,5 0,1 0,5B 0,5 0,8 0,1C 0 0,1 0,4
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 201540 38 31 27 25 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 2430 47 58 63 65 65 65 65 65 65 65 65 65 65 65 6530 15 11 10 10 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11
POLÍTICA 3A B C
A 0,5 0 0B 0 0,9 0,6C 0,5 0,1 0,4
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 201540 20 10 5 3 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 030 45 62 72 79 82 84 85 85 85 86 86 86 86 86 8630 35 29 23 19 17 15 15 15 14 14 14 14 14 14 14
POLÍTICA 4A B C
A 0,5 0 1B 0,4 0,9 0C 0,1 0,1 0
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 201540 50 32 25 22 20 19 19 18 18 18 18 18 18 18 1830 43 59 66 69 71 72 72 73 73 73 73 73 73 73 7330 7 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
La reconstrucción escolar de organizaciones matemáticas locales
225
4.4.2.3. Problema tecnológico y generación de un nuevo problema
La exploración de Τ1 sugiere que, para cada distribución inicial X2000 y cada política M,
la distribución tiende siempre a una distribución fija X, aunque se necesiten según los
casos distinto número de iterados. La distribución fija X no depende de la distribución
inicial X2000 cuando fijamos el total de trabajadores de la empresa, pero sí de la matriz
M. Surge así el siguiente problema T2:
Τ2. ¿Cómo calcular directamente la distribución fija X a la que parece tender la
trayectoria X2000+n sin necesidad de aplicar muchas veces la matriz M?
τ2. Resolver con Excel ecuaciones matriciales concretas del tipo M·X = X reduciéndolas
al estudio del sistema homogéneo asociado: (M - I)·X = 0.
Determinación del punto fijoMATRIZ M MATRIZ I MATRIZ M - I
A B CA 0,5 0 0,5 1 0 0 -0,5 0 0,5B 0,4 0,9 0,1 0 1 0 0,4 -0,1 0,1C 0,1 0,1 0,4 0 0 1 0,1 0,1 -0,6
Det(M - I) = 0 (M - I)·X = 0 es un Sistema Compatible Indeterminado
Sistema equivalente:Menor singular: -0,5 0 -0,5 0 · x = -0,5 z
0,4 -0,1 0,4 -0,1 y -0,1 z
Solución : x = 1 zSolución: x 1 y 5 z
y = 5 zz 1
Comprovación:0,5 0 0,5 1 10,4 0,9 0,1 5 = 50,1 0,1 0,4 1 1
Capítulo IV
226
Se observa que todas las ecuaciones matriciales resueltas conducen a un sistema
compatible indeterminado. La generalización, explicación y justificación de este
resultado queda resumido en la siguiente proposición:
θ1. Como las columnas de M suman 1 (matriz de transición), las columnas de M - I
suman 0 y det(M - I) = 0.
Por lo tanto el sistema lineal (M - I)·X = 0 siempre es compatible indeterminado con
una infinidad de soluciones, además de la solución trivial X = 0.
Luego toda trayectoria X2000+n tiene una infinidad de puntos fijos posibles.
4.4.2.4. Momento de la evaluación
El estudio exploratorio nos ha permitido formular la conjetura siguiente: para cada M y
para cada distribución inicial X2000, la trayectoria tiende X2000+n a un punto fijo X. Hemos
visto también que la infinidad de puntos fijos solución de X = M·X depende sólo de M, y
no de X2000. Pero el hecho de que una trayectoria concreta tienda a un punto fijo
concreto sí podría depender de la distribución inicial X2000. Sin embargo el trabajo
exploratorio mostraba que el punto fijo no dependía de X2000 sino de la suma de
componentes de X2000 (número total de trabajadores de la empresa). Llegamos así al
cuestionamiento siguiente:
¿Cómo es la dependencia entre el punto fijo X, M y X2000?
¿Nos permitirá determinar el punto fijo X, si existe, a partir de M y de X2000?
¿Nos permitirá determinar la política M a aplicar a una distribución inicial X2000 para
conseguir que, a la larga, se obtenga una distribución estable deseada X?
Una manera de intentar superar la dependencia que tiene X con M y X2000 consiste en
estudiar la sucesión {Mn}, “neutralizando” la variable X2000. Esto nos conduce a una
nueva OM puntual en torno al estudio de la sucesión {Mn}.
La reconstrucción escolar de organizaciones matemáticas locales
227
4.4.3. La segunda organización matemática: cálculo de las potencias de una matriz
Describiremos ahora con mayor brevedad las etapas siguientes del proceso.
OM2 : Estudio de la sucesión {Mn}
T1. Dada una matriz de transición M de dimensión 3x3,
(1) ¿Cómo determinar la expresión general de los términos de {Mn}?
(2) ¿Cuándo converge {Mn}?
(3) ¿Se puede predecir el posible límite de {Mn}?
τ2. Cálculo con Excel de las potencias sucesivas de una matriz.
Potencias de M
Cálculo de las potencias sucesivas de una matriz M
0,5 0 0,5 0,5 0,1 0,5 0,5 0 0 0,5 0,4 0,1 0,5 0,4 0,1 1 0 0M = 0,4 0,9 0,1 0,4 0,7 0,1 0 0,7 0 0 0,5 0,5 0 0 1 0 0,9 0,1
0,1 0,1 0,4 0,1 0,2 0,4 0 0 0,4 0 0 1 0,2 0,6 0,4 0 0 1
0,3 0,05 0,45 0,34 0,22 0,46 0,25 0 0 0,25 0,4 0,35 0,27 0,26 0,49 1 0 0M2 = 0,57 0,82 0,33 0,49 0,55 0,31 0 0,49 0 0 0,25 0,75 0,2 0,6 0,4 0 0,81 0,19
0,13 0,13 0,22 0,17 0,23 0,23 0 0 0,16 0 0 1 0,18 0,32 0,78 0 0 1
0,22 0,09 0,34 0,3 0,28 0,38 0,13 0 0 0,13 0,3 0,58 0,23 0,4 0,48 1 0 0M3 = 0,65 0,77 0,5 0,5 0,5 0,42 0 0,34 0 0 0,13 0,88 0,18 0,32 0,78 0 0,73 0,27
0,14 0,14 0,17 0,2 0,22 0,2 0 0 0,06 0 0 1 0,25 0,54 0,65 0 0 1
0,18 0,11 0,25 0,3 0,3 0,33 0,06 0 0 0,06 0,2 0,74 0,21 0,38 0,62 1 0 0M4 = 0,68 0,74 0,6 0,49 0,48 0,47 0 0,24 0 0 0,06 0,94 0,25 0,54 0,65 0 0,66 0,34
0,14 0,14 0,15 0,21 0,22 0,2 0 0 0,03 0 0 1 0,25 0,49 0,82 0 0 1
0,16 0,13 0,2 0,3 0,31 0,31 0,03 0 0 0,03 0,13 0,84 0,23 0,46 0,65 1 0 0M5 = 0,7 0,73 0,65 0,48 0,48 0,48 0 0,17 0 0 0,03 0,97 0,25 0,49 0,82 0 0,59 0,41
0,14 0,14 0,14 0,21 0,21 0,21 0 0 0,01 0 0 1 0,29 0,6 0,84 0 0 1
0,15 0,14 0,17 0,31 0,31 0,31 0,02 0 0 0,02 0,08 0,91 0,25 0,48 0,74 1 0 0M6 = 0,71 0,72 0,68 0,48 0,48 0,48 0 0,12 0 0 0,02 0,98 0,29 0,6 0,84 0 0,53 0,47
0,14 0,14 0,14 0,21 0,21 0,21 0 0 0 0 0 1 0,31 0,62 0,96 0 0 1
0,15 0,14 0,16 0,31 0,31 0,31 0,01 0 0 0,01 0,04 0,95 0,27 0,54 0,8 1 0 0M7 = 0,71 0,72 0,7 0,48 0,48 0,48 0 0,08 0 0 0,01 0,99 0,31 0,62 0,96 0 0,48 0,52
0,14 0,14 0,14 0,21 0,21 0,21 0 0 0 0 0 1 0,35 0,7 1,04 0 0 1
0,14 0,14 0,15 0,31 0,31 0,31 0 0 0 0 0,03 0,97 0,3 0,59 0,89 1 0 0M8 = 0,71 0,72 0,71 0,48 0,48 0,48 0 0,06 0 0 0 1 0,35 0,7 1,04 0 0,43 0,57
0,14 0,14 0,14 0,21 0,21 0,21 0 0 0 0 0 1 0,38 0,76 1,15 0 0 1
0,14 0,14 0,15 0,31 0,31 0,31 0 0 0 0 0,01 0,98 0,33 0,65 0,98 1 0 0M9 = 0,71 0,72 0,71 0,48 0,48 0,48 0 0,04 0 0 0 1 0,38 0,76 1,15 0 0,39 0,61
0,14 0,14 0,14 0,21 0,21 0,21 0 0 0 0 0 1 0,42 0,85 1,26 0 0 1
0,14 0,14 0,14 0,31 0,31 0,31 0 0 0 0 0,01 0,99 0,36 0,72 1,08 1 0 0M10 = 0,71 0,71 0,71 0,48 0,48 0,48 0 0,03 0 0 0 1 0,42 0,85 1,26 0 0,35 0,65
0,14 0,14 0,14 0,21 0,21 0,21 0 0 0 0 0 1 0,46 0,93 1,39 0 0 1
Capítulo IV
228
4.4.3.1. El caso de las matrices diagonalizables
Aunque sólo mostramos aquí el cálculo de las potencias sucesivas de una matriz de
transición, el caso general de una matriz M cualquiera muestra que hay una expresión
simple para calcular directamente Mn si M es diagonal.63
θ1. Si D es una matriz diagonal, entonces Dn es la matriz diagonal que se obtienen
elevando a n los valores de la diagonal de D.
La utilización de este resultado tecnológico requiere la movilización de una OM más
amplia sobre la diagonalización de matrices. Una vez motivada esta OM, su
construcción o retoma dependerá, evidentemente, del trabajo realizado previamente en
la OM regional del álgebra lineal en la que nos situamos: espacios vectoriales, cambios
de base, aplicaciones lineales, etc. Se pueden haber visto, por ejemplo, algunos casos de
cambios de base en los que la matriz resultante es diagonal y haber analizado qué
propiedades cumplen los vectores de la nueva base (vectores propios). De este modo se
puede obtener un segundo resultado tecnológico que ya es “productor” de una nueva
técnica:
θ2. Si M es una matriz diagonalizable, entonces Mn = K·Dn·K donde D es la matriz
diagonal asociada y K la matriz cambio de base de la base de vectores propios.
El problema del cálculo de la potencia de una matriz puede ahora ser resuelto en el caso
general:
τ'2. Determinar la matriz diagonal D tal que M = K·D·K-1 y hallar Mn = K·Dn·K.
63 Por razones de simplicidad, omitiremos aquí el caso de las matrices triangulares. Nos reduciremos por lo tanto a las matrices M diagonalizables. El estudio se debería extender posteriormente a matrices cualesquiera considerando la matriz de Jordan asociada a M en lugar de la matriz diagonal.
La reconstrucción escolar de organizaciones matemáticas locales
229
Diagonalización y cálculo de M^n
Dada una matriz M cualquiera, calcularemos la expresión general de M^n previa diagonalizaciónSólo consideraremos el caso en que M diagonalice
0,5 0 0,5 1 0 0M = 0,4 0,9 0,1 I = 0 1 0
0,1 0,1 0,4 0 0 1
1. Determinación de los valores propios
0,5 - λ 0 0,5det 0,4 0,9 - λ 0,1 = -λ3 + 1,8λ2 - 0,95λ + 0,15 = 0
0,1 0,1 0,4 - λ
Resolemos la ecuación y hallamos: λ1 = 1 λ2 = 0,5 λ3 = 0,3
2. Determinación de los vectores propios
λ1 = 1 M·X Matriz del sistema Rango = 2 Solución:
1 1 -0,5 0 0,5 -2 0 -0,5 1 xv1 = 5 5 0,4 -0,1 0,1 -8 -10 -0,1 5 y
1 1 0,1 0,1 -0,6
λ2 = 0,5
1 0,5 0 0 0,5 -0,5 2,5 0 -1 yv2 = -1 -0,5 0,4 0,4 0,1 2 0 -0,4 0 z
0 0,0 0,1 0,1 -0,1
λ3 = 0,3
-5 -1,5 0,2 0 0,5 5 0 -0,5 -2,5 xv3 = 3 0,9 0,4 0,6 0,1 -3,33 1,67 -0,1 1,5 y
2 0,6 0,1 0,1 0,1
3. Matriz cambio de base y matriz diagonal
1 1 -5 1 0 0K = 5 -1 3 D = 0 0,5 0
1 0 2 0 0 0,3
Comprovamos: K*D*K-1 = M
1 1 -5 1 0 0 0,143 0,14 0,14 0,5 0 0,55 -1 3 * 0 0,5 0 * 0,5 -0,5 2 = 0,4 0,9 0,11 0 2 0 0 0,3 -0,07 -0,07 0,43 0,1 0,1 0,4
Capítulo IV
230
Finalmente, cabe retomar el problema inicial para demostrar la existencia del punto fijo
en el caso particular de las matrices de transición:
θ3. (a) Si M es una matriz de transición, entonces siempre tiene un vector propio de
valor propio 1 (vector fijo).
(b) Los demás valores propios de M tendrán necesariamente parte real < 1.
(c) Si M diagonaliza, entonces para valores grandes de n se tiene que:
≈
000000001
nD
(d) Por lo tanto,
== −
333
222
1111
kkkkkkkkk
KKDM nn
con (k1,k2,k3) primer vector de la base de vectores propios (punto fijo de M).
4. Cálculo de M^nTenemos Mn=(K*D*K-1)n=K*Dn*K-1
n
1 1 -5 1 0 0 0,143 0,14 0,14Mn = 5 -1 3 * 0 0,5 0 * 0,5 -0,5 2
1 0 2 0 0 0,3 -0,07 -0,07 0,43
1 1 -5 1 0 0 0,143 0,14 0,14= 5 -1 3 * 0 0,5n 0 * 0,5 -0,5 2
1 0 2 0 0 0,3n -0,07 -0,07 0,43
5. Cálculo de M^n para valores grandes de n
1 1 -5 1 0 0 0,143 0,14 0,14 0,14 0,14 0,14Mn = 5 -1 3 * 0 0 0 * 0,5 -0,5 2 = 0,71 0,71 0,71
1 0 2 0 0 0 -0,07 -0,07 0,43 0,14 0,14 0,14
Valor exacto:2 2 2
Mn = 1/14 · 10 10 102 2 2
La reconstrucción escolar de organizaciones matemáticas locales
231
4.4.3.2. Alcance de la organización matemática local construida
La técnica es aplicable a cualquier situación modelizable por una matriz input-output,
en la que se produzcan intercambios entre distintas entidades: transportes entre
ciudades, intercambios de productos (matrices de Leontief), etc. El intercambio también
puede ser temporal, por ejemplo entre distintos estados de los individuos de una
población: jóvenes, adultos y viejos o puede interpretarse como el contagio, incubación,
manifestación de una enfermedad, si nos mantenemos en R3, o a alzas y bajas de valores
en bolsa en el caso de R2.
Síntesis del discurso tecnológico-teórico
Dada una matriz de transición M de dimensión n × n (matriz cuyas columnas suman 1), la trayectoria f n
de la aplicación lineal asociada f tiende a un punto fijo v:
∀x ∈ Rn, ∃v ∈ Rn tal que f n(x) = v = f(v) para n suficientemente grande.
Solución:
Para predecir la evolución de la trayectoria f n, diagonalizamos la matriz M.
Como las columnas de M suman 1, la suma de las columnas de M - I es cero, luego det(M - I) = 0 y,
por lo tanto M siempre tiene el valor propio 1.
Como los componentes de M son todos menores que 1, det(M) < 1 y los demás valores propios tienen
todos parte real menor que 1.
Si M diagonaliza (único caso que consideramos aquí) y D es la forma diagonal de M en la base
{v1,v2,..., vn}, tenemos, para n suficientemente grande:
Dn ≈ ( ) 1 0 ...,0 0 ...,... .
Sea {v1,v2,..., vn} la nueva base con v1 de valor propio 1 y sea K la matriz cambio de base cuyas
columnas son las coordenadas de v1,v2,..., vn. Entonces:
Mn =K·Dn·K-1 y Mnx = K·Dn·K-1x.
Si x = (x1, x2,..., xn)C en la base canónica, observemos que:
- K-1x son las coordenadas de x en la base nueva: x = (α1, α2,..., αn)N
- Dn·K-1x es el vector (α1,0,…,0)N, donde α1 es la coordenada de v1.
- K·Dn·K-1x son las coordenadas del vector (α1,0,…,0)N en la base canónica, es decir, x1·v1 o la
proyección de x al subespacio <v1>.
Capítulo IV
232
Si mantenemos fija la suma de las coordenadas de x (es decir si consideramos la imagen por f n de la
variedad x1 + x2 + ... + xn = C), vemos que, para valores de n suficientemente grandes, la trayectoria
de f n(x) acaba en la intersección de esta variedad con el subespacio <v1>. Resulta entonces:
x = k·v1 con k = C/(v1 + v2 + ... + vn).
CAPÍTULO V
Conclusiones y Problemas Abiertos
Conclusiones y problemas abiertos
235
5.1. Restricciones didácticas que limitan el estudio de organizaciones
matemáticas locales relativamente completas
En esta sección nos basaremos en un trabajo reciente de Lorena Espinoza, Marianna
Bosch y Josep Gascón en el que ponen de manifiesto que existe un conjunto de
restricciones didácticas, desde las más específicas (que surgen en el nivel de los temas
que se estudian en las instituciones escolares), hasta las más genéricas (originadas en el
nivel de las matemáticas escolares globalmente consideradas y más allá), que inciden
sobre las características de las organizaciones didácticas que son posibles en una
institución escolar determinada (Bosch, Espinoza y Gascón, 2003). En ese mismo
trabajo se muestra que dichas restricciones determinan los componentes (práctico-
técnicos y tecnológico-teóricos) que acabarán formando parte de las organizaciones
didácticas espontáneas que el profesor puede utilizar para enseñar matemáticas y que,
en última instancia, dichas restricciones condicionan fuertemente la naturaleza de las
organizaciones matemáticas efectivamente enseñadas.
5.1.1. Incidencia del autismo temático sobre la posibilidad de reconstruir
organizaciones matemáticas locales relativamente completas
Ya hemos explicado en esta misma memoria (sección 1.2. del capítulo 1) que la Teoría
Antropológica de lo Didáctico propone una jerarquía de niveles de codeterminación
entre las OM escolares y las correspondientes organizaciones didácticas (OD), esto es,
entre las formas de estructurar las cuestiones matemáticas a estudiar y las maneras de
organizar el estudio de las mismas en la escuela (Chevallard 2001 y 2002b). Dicha
jerarquía se estructura mediante una sucesión de niveles de las citadas OM y OD, que
van desde el más genérico, la Sociedad, al más específico, una cuestión matemática
concreta que se propone para ser estudiada:
Sociedad → Escuela → Pedagogía → Disciplina → Área → Sector → Tema → Cuestión
Se postula que en cada uno de estos niveles se introducen restricciones particulares que
ponen de manifiesto la determinación recíproca entre las OM y las OD: la
Capítulo V
236
estructuración de las OM en cada nivel de la jerarquía condiciona las formas posibles de
organizar su estudio y, recíprocamente, la naturaleza y las funciones de los dispositivos
didácticos existentes en cada nivel determinan, en gran parte, el tipo de las OM que será
posible reconstruir (estudiar) en dicha institución escolar. Consideremos, por ejemplo,
la cuestión matemática antes citada:
Resolver la ecuación x3 – 70x2 + 1400x – 8000 = 0
Esta cuestión (nivel inferior de la jerarquía) debe cumplir ciertas condiciones para ser
“estudiable” en una institución docente determinada. Una de estas condiciones es que la
cuestión provenga de alguna cuestión primaria planteada en los niveles superiores de la
jerarquía (más allá incluso del nivel disciplinar) y “conduzca a alguna parte”, esto es,
que no se trate de una cuestión “cerrada en sí misma” y, por lo tanto, “muerta”.
¿Sobre qué institución recae la responsabilidad de que las cuestiones (por ejemplo,
matemáticas) que se proponen para ser estudiadas en la escuela cumplan estas
condiciones? ¿Qué parte de dicha responsabilidad recae sobre el profesor? ¿Hasta qué
punto puede el profesor, como tal, asumir dicha responsabilidad?
En términos generales podemos afirmar que este problema está fuera del alcance del
profesor. Según Chevallard (2001), se observa un “abandono”, por parte del profesor,
de los niveles superiores de la jerarquía, desde el de la Sociedad y la Escuela, hasta
incluso el nivel de los sectores, lo que provoca un retraimiento de su acción sobre el
nivel de los temas (en nuestro caso, el tema de la resolución de ecuaciones polinómicas
con “suficientes” raíces enteras). Este “encierro en los temas” constituye un fenómeno
didáctico que Chevallard denomina el “autismo temático” del profesor y que se
relaciona con el estatuto del oficio de profesor y su consideración cultural como oficio
de “bajo nivel”.64 Si bien el abandono de los niveles superiores no es absoluto, ya que el
profesor de matemáticas mantiene ciertas preocupaciones por las cuestiones que se
refieren al nivel disciplinar e, incluso, a los niveles escolar y social, resulta que, como
64 Los fenómenos didácticos, al igual que los fenómenos sociales, económicos o lingüísticos, son independientes de la voluntad, de la formación y de la capacidad de los sujetos de la institución. Por lo tanto, postular el autismo temático como tal fenómeno didáctico, es postular un fenómeno al que el profesor está sujeto, que no crea voluntariamente y sobre el que sólo puede incidir localmente y en un grado relativamente insignificante
Conclusiones y problemas abiertos
237
tal profesor, sólo puede expresar estas preocupaciones como meras “opiniones”
personales o, a lo sumo, como una reivindicación política o sindical.
En resumen, todo ocurre como si el profesor estuviera abocado, en su oficio de
profesor, a no ir mucho más allá del nivel temático, y esto acarrea importantes
consecuencias didácticas. En particular, la consecuencia más visible de este aislamiento
del profesor en la jerarquía de los niveles de determinación didáctica se encuentra en la
desaparición de las razones de ser de las organizaciones matemáticas enseñadas en el
nivel temático (Chevallard 2001 y Gascon 2003).
¿De que forma incide el autismo temático sobre la posibilidad de que en el estudio
escolar de las matemáticas se reconstruyan efectivamente OML relativamente
completas? De lo anterior se desprende que la inmensa mayoría de las cuestiones
matemáticas que se proponen para ser estudiadas en la escuela nacen y mueren
únicamente en el nivel temático y, que sólo se conectan nominalmente a los niveles
superiores de organización (sectores, áreas y disciplina), niveles considerados en la
enseñanza secundaria como transparentes e incuestionables. El profesor, como
responsable de diseñar y gestionar el proceso de estudio de un conjunto de temas
matemáticos, sólo tiene la posibilidad de elegir, dentro de cada tema, las cuestiones
matemáticas que van a ser estudiadas por los alumnos y, aunque puede agrupar dichas
cuestiones en ciertos temas, no puede incidir de manera relevante en los niveles
superiores de la jerarquía. Aparece así una profunda escisión entre temas y cuestiones
por un lado (ámbito de “actuación del profesor”) y disciplina, áreas y sectores (ámbito
de “lo matemático”), por otro:
Sociedad → Escuela → Pedagogía → Disciplina → Área → Sector → Tema → Cuestión
Ámbito de “lo matemático” Ámbito de actuación
del profesor
Es evidente que esta escisión afecta a la enseñanza de todas las áreas de la matemática
escolar y, por lo tanto, a la enseñanza escolar de las matemáticas en su conjunto. El
encierro en el nivel temático hace que el profesor no tenga ni los medios ni la
legitimidad para reestructurar los temas de un sector del currículum y, mucho menos,
los sectores de un área. Resulta, en definitiva, que es muy difícil que las tareas
Capítulo V
238
matemáticas escolares estén asociadas a cuestiones con “sentido”, esto es, a cuestiones
que provengan de los niveles superiores de la jerarquía (sector, área, disciplina y más
allá) y que no sean cuestiones cerradas en sí mismas. Dado que ésta es, como hemos
dicho, una condición necesaria en la génesis y desarrollo escolar de OML relativamente
completas, debemos concluir que el autismo temático limita fuertemente las
posibilidades de que en la enseñanza secundaria se estudien OML de ese tipo.
5.1.2. Restricciones originadas en los niveles superiores de la jerarquía
En el trabajo citado se muestra que las restricciones que sufre el estudio escolar de las
matemáticas no se inician en los niveles inmediatamente superiores al nivel temático,
sino que la cadena de niveles de co-determinación, necesaria para permitir el acceso al
estudio de una cuestión matemática concreta, se inicia en los niveles más genéricos de
la jerarquía (Escuela y Sociedad). En estos niveles aparecen restricciones, relacionadas
con el papel que la sociedad adjudica a la escuela como institución, que inciden sobre
el tipo de OM que es posible estudiar (Bosch, Espinoza y Gascón, 2003). Utilizaremos
el marco propuesto por dichos autores en relación al conjunto de restricciones que
inciden sobre el estudio escolar de las matemáticas para describir algunas de las
restricciones que se originan en los niveles pedagógico y disciplinar y que inciden sobre
el estudio escolar de OML relativamente completas.
5.1.2.1. Nivel pedagógico
En el nivel pedagógico se originan restricciones al estudio escolar de las matemáticas
como consecuencia de la aceptación, por parte de la cultura escolar, de determinados
mitos o prejuicios pedagógicos. El principal de ellos es el que da por supuesto que
existe un ámbito de lo “pedagógico” independiente de lo “matemático” (Chevallard
2001). Una consecuencia muy importante de este mito es la de reforzar y justificar el
autismo temático: dado que los niveles superiores [Disciplina → Área → Sector] son
considerados de naturaleza “matemática”, mientras que los inferiores [Tema →
Cuestión] se consideran parte del ámbito docente de actuación del profesor, se sigue (de
acuerdo con el citado mito) que la estructura de los primeros no tiene ninguna
Conclusiones y problemas abiertos
239
incidencia sobre la actividad matemática que el profesor y los alumnos llevarán a cabo
conjuntamente en el aula. Se supone, por tanto, que la actividad matemática escolar
puede describirse y explicarse por completo en términos de las cuestiones matemáticas
concretas que se estudian y de los temas en los que se agrupan dichas cuestiones.
Existe además una serie de prejuicios pedagógicos que, en cierta forma, derivan del
mito de la independencia entre el ámbito de “lo matemático” y el ámbito de “lo
pedagógico”, entendido como el ámbito de actuación del profesor. Estos prejuicios son
ideas dominantes dentro de la cultura escolar que toman la forma de eslóganes
transparentes e incuestionables y que, como tales, ejercen una importante influencia
sobre el tipo de organizaciones matemáticas que pueden estudiarse. Nos fijaremos aquí
en un prejuicio muy consolidado en la cultura escolar y que al restringir fuertemente la
presencia escolar del trabajo de la técnica, tiene una gran incidencia negativa sobre la
posibilidad de llevar a cabo el estudio de OML relativamente completas. El prejuicio en
cuestión puede formularse en forma de eslogan, como sigue:
“El trabajo de la técnica es un trabajo meramente mecánico y repetitivo y se
contrapone a la actividad matemática creativa, no reglada, libre y espontánea”.
Una de las consecuencias más importantes de este prejuicio sobre la estructura de las
organizaciones didácticas escolares y, en definitiva, sobre el tipo de organizaciones
matemáticas que pueden ser estudiadas en éstas, es la ausencia escolar del trabajo de la
técnica. En efecto, entre las actividades docentes “públicas”, esto es, aquellas que se
llevan a cabo en el aula dentro del horario lectivo, es muy difícil que en los actuales
sistemas de enseñanza de las matemáticas la actividad de estudio se lleve más allá del
nivel exploratorio. No hay ningún dispositivo didáctico institucionalizado (como son la
clase de teoría o la clase de problemas en la enseñanza universitaria de las matemáticas)
que fomente el trabajo técnico y permita al estudiante pasar de la simple exploración de
un tipo de tareas matemáticas al desarrollo suficiente de las técnicas involucradas en
una dirección adecuada.
Como dicen Bosch y Gascón (1994), lo anterior no significa que el sistema de
enseñanza de las matemáticas ignore completamente el trabajo de la técnica, pero lo que
sí es cierto es que éste no tiene la visibilidad, la oficialidad ni, desde luego, el prestigio
Capítulo V
240
que pueden tener el momento exploratorio y, sobre todo en la enseñanza universitaria, el
momento tecnológico-teórico. Además en los niveles preuniversitarios, el trabajo de la
técnica es visto como una amenaza para la exploración “libre” y “creativa” de
problemas. En ningún caso se ha llegado a materializar, mediante un dispositivo
didáctico oficial, la conexión entre los diversos momentos del estudio; más bien se
contrapone el dominio robusto de las técnicas y el desarrollo sistemático de éstas a la
actividad matemática creativa, como si fuesen dos aspectos incompatibles entre sí.
Los autores citados argumentan que la citada ausencia escolar del trabajo de la técnica
proviene del hecho de que la cultura tiende a considerar peyorativamente el trabajo de la
técnica, trabajo considerado como meramente “mecánico y repetitivo”. Pero añaden que
una observación más atenta debería hacer patente que esta “represión” de todo lo que
pueda parecer rutinario en la enseñanza de las matemáticas proviene de la necesidad del
sistema de enseñanza de las matemáticas de dar la impresión (tanto al observador
exterior como a sus propios actores) de que el trabajo matemático que se realiza es un
trabajo “creativo” en el sentido ingenuo de “no rutinario”. En nuestra cultura se
confunde “actividad creativa” con “actividad no rutinaria”, cuando en realidad ésta
posee únicamente cierta apariencia de creatividad (op. cit., p. 319).
¿Cuáles son las consecuencias de esta necesidad cultural de creatividad aparente que,
asumida por el punto de vista pedagógico dominante en la cultura escolar, se ha
convertido en una necesidad oficialmente exigida a la Escuela? El trabajo citado
muestra que esta necesidad deja al alumno en una situación de incertidumbre
permanente, puesto que se le enfrenta constantemente con nuevos tipos de tareas
matemáticas que le exigen la utilización de técnicas matemáticas nuevas. En esta
situación el alumno sólo puede alcanzar un dominio muy débil de las técnicas que se le
presentan lo que, paradójicamente, le incapacita para llevar a cabo una actividad
matemática auténticamente “creativa”, esto es, capaz de producir técnicas matemáticas
relativamente nuevas a partir del desarrollo sistemático del trabajo de la técnica, y capaz
de sintetizar los diferentes aspectos del conocimiento matemático desarrollado para
configurar una cierta visión global del mismo (Ibid., p. 318-319).
En definitiva, la ausencia escolar del trabajo de la técnica, sustentada por el prejuicio
pedagógico citado, provoca importantes contradicciones y disfunciones dentro del
sistema de enseñanza de las matemáticas. Si aceptamos que, tal como hemos mostrado y
Conclusiones y problemas abiertos
241
ejemplificado anteriormente, el desarrollo suficiente del trabajo de la técnica, guiado
por un cuestionamiento tecnológico adecuado, es una de las condiciones necesarias para
que en una institución docente puedan reconstruirse OML relativamente completas,
hemos de concluir que, en particular, la ausencia escolar del trabajo de la técnica
dificulta enormemente el estudio escolar de OML de ese tipo.
5.1.2.2.Nivel disciplinar
En el nivel disciplinar, en nuestro caso las matemáticas, también surgen restricciones
que afectan a la forma de estudiar matemáticas en cada institución docente. Estas
restricciones dependen de la manera cómo se interpretan las matemáticas, esto es, del
modelo epistemológico dominante en dicha institución, puesto que éste tiene una
incidencia importante sobre las OD que pueden utilizarse65 y, por lo tanto, sobre la
naturaleza de las OM que será posible estudiar.
En la enseñanza secundaria el modelo epistemológico de las matemáticas es bastante
ecléctico: por una parte algunos de sus rasgos definitorios coinciden con los modelos
epistemológicos casi-empíricos que identifican el saber matemático con la actividad
exploratoria de tipos de problemas. Pero, por otra parte, la manera de interpretar las
matemáticas en la enseñanza secundaria toma también elementos de las epistemologías
constructivistas que postulan que los objetos matemáticos se extraen de las acciones y
operaciones de los sujetos (Gascón, 2001).
Este eclecticismo explica que en la enseñanza secundaria convivan tendencias y
discursos sobre la naturaleza de las matemáticas que no son muy coherentes entre sí.
Existe una fuerte tendencia, más marcada en los niveles educativos preuniversitarios, a
centrar el proceso didáctico en el momento exploratorio, dando así una importancia
crucial a la exploración de tipos problemas no triviales de forma libre y creativa –
estrategia que se corresponde plenamente con las tendencias “modernistas” que
consideran el aprendizaje de las matemáticas como un proceso de descubrimiento
inductivo y autónomo–. Pero, al mismo tiempo, y de una forma bastante independiente,
65 Para un análisis de los diferentes modelos docentes ideales así como de la manera cómo dependen del modelo epistemológico dominante en la institución docente en cuestión, ver Gascón (1994 y 2001b) y Bosch y Gascón (2002).
Capítulo V
242
el discurso escolar enfatiza la importancia de que los alumnos “comprendan” o
“construyan” los conceptos.
Resulta, en definitiva, que este modelo epistemológico dominante en la enseñanza
secundaria refuerza la ausencia escolar del trabajo de la técnica puesto que las
organizaciones didácticas que se sustentan en dicho modelo (que son los que hemos
denominado “modernistas” y “constructivistas”, en el sentido del constructivismo
psicológico) no toman en consideración el momento del trabajo de la técnica (Bosch y
Gascón, 2002). Nos encontramos, por lo tanto, con una fuerte restricción, a nivel
disciplinar, que refuerza las dificultades que existen en la enseñanza secundaria para
llevar a cabo el estudio de OML relativamente completas.
Digamos, para acabar, que el tipo de organizaciones matemáticas que será posible
estudiar en una institución escolar determinada sufrirá, además, restricciones que tienen
su origen en el área y en el sector en los que el currículum sitúa los temas
correspondientes a dichas organizaciones. Citaremos dos ejemplos de esta incidencia
del modelo epistemológico específico de un ámbito concreto (más amplio que un tema)
sobre la naturaleza de las OM que pueden estudiarse en la enseñanza secundaria.
(a) El álgebra escolar en la Enseñanza Secundaria Obligatoria
En el caso del álgebra escolar, el trabajo de tesis de Pilar Bolea66 muestra que el modelo
epistemológico específico del álgebra escolar dominante en la ESO, que consiste en
considerar el “álgebra” como una especie de “aritmética generalizada”, tiende a
identificar el álgebra escolar con el “simbolismo algebraico” que se opone, al tiempo
que amplía y generaliza, un supuesto “lenguaje aritmético”. Pilar Bolea muestra que
esta “aritmetización del álgebra escolar” está relacionada con la “ausencia escolar de
determinados aspectos de la disciplina matemática” que, a su vez, está en el origen de la
“atomización del proceso de estudio de las matemáticas en las instituciones escolares”.
Este último fenómeno consiste en la tendencia a diluir la enseñanza de las matemáticas
en un conjunto de anécdotas desconectadas entre sí y es cada vez más visible en los
libros de texto y en los documentos curriculares oficiales. Es evidente que la
66 Para ver mas detalles ver Bolea ( 2002) y, también Bolea,Bosch y Gascón (2001)
Conclusiones y problemas abiertos
243
atomización del proceso de estudio es completamente incompatible con el estudio de
OML relativamente completas tal como han sido definidas aquí.
Una de las principales conclusiones del trabajo de tesis de Pilar Bolea podría enunciarse
diciendo que las organizaciones matemáticas que se estudian en la enseñanza secundaria
actual están muy débilmente algebrizadas (en el sentido que allí se define) y que las
modificaciones de dicha organización encaminadas a hacer vivir una organización
matemática relativamente algebrizada en la actual Enseñanza Secundaria Obligatoria
serán muy inestables y tenderán a desaparecer a corto plazo. Cualquier intento de
integrar en la ESO un proceso de estudio de una OM algebrizada provocaría la aparición
de restricciones ecológicas de origen didáctico-matemático, además de las restricciones
de origen cultural provenientes de la peyoración cultural del álgebra (Bolea, p. 409).
Dado que una OML relativamente completa debe cumplir en una medida no
despreciable los cuatro indicadores del grado de algebrización de una OM, resulta que
las OM relativamente completas son, en particular, relativamente algebrizadas y, por lo
tanto, las restricciones ecológicas que dificultan el desarrollo del proceso de
algebrización de las OM que se estudian en la ESO dificultan, también, la posibilidad de
que se lleve a cabo el estudio de OML relativamente completas.
(b) Los límites de funciones en el Bachillerato
En su trabajo de tesis, Lorena Espinoza67 muestra que, en el caso de la OM en torno a
los límites de funciones en el Bachillerato, existen fuertes restricciones provenientes del
modelo epistemológico específico de dicho ámbito (esto es, de la manera como la
institución interpreta los “límites de funciones”) y que estas restricciones impiden
construir una OM local relativamente “completa” que permita integrar y articular el
bloque práctico-técnico del cálculo de límites con los elementos tecnológico-teóricos
pertinentes y legítimos para describir y justificar esta práctica.
Dichas restricciones están relacionadas con el fenómeno de la “bicefalia de la OM
escolar en torno a los límites de funciones” que consiste en que en el diseño curricular y
en los libros de texto oficiales el tema “límites de funciones” aparece como la unión
67 Para ver más detalles, ver Espinoza(1998) y Bosch, Espinoza y Gascón (2003)
Capítulo V
244
disjunta de las trazas de dos OM completamente desconectadas entre sí. Este fenómeno
se materializa en el hecho, bien conocido, de que en el diseño curricular de la enseñanza
secundaria española no se construye un discurso tecnológico adecuado a la práctica de
cálculo de límites de funciones que puede desarrollarse (y que se desarrolla
efectivamente) en dicha institución; tampoco se propone una práctica adecuada a la
teoría matemática de los límites de funciones que se sugiere levemente y que, se supone,
legitima en última instancia la actividad (Bosch, Espinoza y Gascón, p. 102).
Estas restricciones impiden que, en el proceso de estudio correspondiente, puedan
aparecer los diferentes momentos didácticos, puesto que su desarrollo pondría de
manifiesto las insuficiencias matemáticas detectadas y conduciría al profesor a
situaciones didácticas imposibles de gestionar.
Resulta, en definitiva, que el modelo epistemológico específico de los límites de
funciones en el Bachillerato, fuertemente condicionado por el fenómeno de la bicefalia
y por la presión del discurso matemático “sabio” que en ciertos temas de la matemática
de Secundaria exige un rigor y un formalismo que no exige en otros, es imposible
articular la actividad matemática efectivamente realizada –el bloque práctico-técnico–
con los elementos que justifican, interpretan y producen las técnicas que se utilizan en
dicha práctica –el bloque tecnológico-teórico– y, por lo tanto, es muy difícil construir en
el Bachillerato una OML relativamente completa en torno al límite de funciones.
El problema didáctico de determinar las condiciones de posibilidad para la
reconstrucción efectiva de OML relativamente completas en las instituciones docentes
actuales, pasa necesariamente por el análisis y la superación de estas restricciones que
surgen en los diferentes niveles de determinación didáctica. Es muy posible que este
análisis nos conduzca a una revisión completa no sólo de los fundamentos del
currículum de matemáticas de las distintas etapas educativas (qué matemáticas hay que
estudiar y por qué) sino a un cuestionamiento real del propio papel de la Escuela en la
Sociedad y, más específicamente, del papel del estudio en la formación de los futuros
ciudadanos.
Conclusiones y problemas abiertos
245
5.2 Síntesis de las aportaciones mas importantes de la memoria
1. Formulación del problema docente del paso de Secundaria a la Universidad
como un problema de investigación didáctica en términos de la Teoría Antropológica de
lo Didáctico (TAD).
2. Contrastación empírica de las conjeturas relativas a los diferentes aspectos de la
rigidez de las OM que se estudian en Secundaria.
3. La comparación entre los dos tipos de indicadores empíricos muestra que la relación
personal de los alumnos a las OM que se estudian en Secundaria está esencialmente
determinada por la relación institucional a dichas OM. El origen del fenómeno es
institucional.
4. La naturaleza “institucional” del fenómeno analizado queda reforzada al comparar el
comportamiento de las diferentes submuestras de estudiantes (provenientes del antiguo
COU, provenientes del actual Bachillerato de la LOGSE y estudiantes con nota ≥ 7).
6. A fin de empezar a proponer una respuesta al problema planteado, hemos
caracterizado las OM locales relativamente completas tanto en lo que se refiere a su
proceso de reconstrucción escolar como al grado de completitud de sus componentes
(indicadores).
7. Hemos mostrado que existen dos condiciones necesarias para que sea posible
reconstruir dichas OM locales relativamente completas en las instituciones docentes: el
desarrollo suficiente y dirigido del trabajo de la técnica y la existencia de una cuestión
(“razón de ser”) suficientemente rica a la que la OM responda.
8. Hemos ejemplificado el desarrollo del trabajo de la técnica en el caso de la OM en
torno a la derivación de funciones. Se trata de una OM que podría “completarse
relativamente” a partir de un cuestionamiento tecnológico disponible en la Enseñanza
Secundaria, pero que no se realiza.
Capítulo V
246
9. Hemos ejemplificado con la regla de Ruffini el papel que podría jugar (pero no
juega) la Enseñanza Universitaria retomando las técnicas que se utilizan en la
Enseñanza Secundaria, mostrando sus limitaciones, desarrollándolas con ayuda de los
nuevos elementos tecnológicos que aporta la matemática universitaria e integrándolas
en OM más amplias y completas
10. Hemos ejemplificado lo que podría ser una cuestión inicial capaz de constituir la
“razón de ser” de una OM local relativamente completa. Partiendo de una cuestión
económica, hemos mostrado que el desarrollo del bloque práctico-técnico puede ser el
motor que genere necesidades tecnológico-teóricas suficientemente ricas como para
construir una OM local relativamente completa en torno a la diagonalización de
matrices. Hemos esbozado el proceso de estudio de dicha OM que constituye la
respuesta a la cuestión inicial.
11. Si en una institución escolar no se reconstruyen OM locales relativamente
completas, no podemos esperar que los alumnos, sujetos de dicha institución, las
reconstruyan espontáneamente por su cuenta. Es por esta razón que, una de las
principales conclusiones prácticas de este trabajo apunta a la necesidad ineludible de
que sean las propias instituciones docentes las que reconstruyan OML relativamente
completas que permitan flexibilizar e integrar las OM que se estudian en Secundaria.
12. Los resultados de la memoria muestran, la imperiosa necesidad
de poner en marcha un trabajo didáctico-matemático serio para empezar a coordinar las
organizaciones matemáticas de Secundaria y de la Universidad. Es previsible que estas
investigaciones muestren la necesidad de efectuar cambios importantes en los actuales
contratos didácticos institucionales.
Conclusiones y problemas abiertos
247
5.3. Problemas abiertos Los problemas que surgen a partir de la investigación que hemos presentado en esta
memoria constituyen el eje director del proyecto de investigación BSO2003-04000
titulado: Diseño de organizaciones didácticas para articular el currículum de
matemáticas entre la ESO, el Bachillerato y el Primer Ciclo Universitario: los “talleres
de prácticas matemáticas”. Por ello, no son únicamente el punto final de este trabajo,
sino que constituyen, realmente, el punto de partida de un conjunto de trabajos que está
llevando a cabo actualmente nuestro equipo de investigación.
5.3.1. Las organizaciones matemáticas locales como “articuladoras” del
currículum
En esta memoria se aportan precisiones sobre la naturaleza de las dificultades de los
alumnos bachilleres que ingresan en la Universidad y, muy especialmente, concreta en
qué sentido estas dificultades están relacionadas con la desarticulación que se observa
entre los principales contenidos matemáticos del Bachillerato. En efecto, la
experimentación empírica realizada confirma en muchos aspectos la hipótesis de la
ausencia, en Secundaria, de organizaciones matemáticas locales relativamente
completas que se caracterizan por integrar funcionalmente diversas organizaciones
matemáticas puntuales y que, en este sentido, funcionarían como “mecanismo de
articulación” de los contenidos curriculares.
También hemos puesto en evidencia las dificultades para que, en una etapa educativa, se
retomen los contenidos estudiados anteriormente con el objetivo de cuestionarlos,
mostrar sus limitaciones, y reestructurarlos o integrarlos en organizaciones cada vez
más amplias y complejas. Dichas dificultades están estrechamente relacionadas con el
fenómeno de la atomización de los contenidos matemáticos dentro del currículum de
cada etapa y con los problemas didácticos derivados de la falta de articulación entre
etapas.
Surge así inevitablemente el problema de cómo hacer didácticamente viable el estudio
de ese tipo de organizaciones matemáticas en el paso de la Enseñanza Secundaria a la
Capítulo V
248
Enseñanza Universitaria, problema que puede concretarse en las dos cuestiones
siguientes:
1. ¿Cómo afectaría a la totalidad del currículum y, en especial, a su articulación entre
las diferentes etapas educativas, la inclusión de organizaciones matemáticas locales
relativamente completas para ser estudiadas al final de Secundaria o al principio de
la Universidad?
2. ¿Qué dispositivos didácticos nuevos serían necesarios para llevar a cabo este tipo de
estudio en las actuales instituciones escolares, tanto en Secundaria como en la
Universidad?
Las cuestiones anteriores no se restringen al ámbito que se ha estudiado en esta
memoria. Presumiblemente la ausencia de OM relativamente completas está relacionada
con el problema de la atomización del currículum a todos los niveles educativos, y no
sólo en la transición Secundaria – Universidad. Podemos por lo tanto generalizar las
cuestiones anteriores a la problemática siguiente:
3. ¿Qué fenómenos relacionados con la atomización del currículum y las
discontinuidades matemáticas y didácticas se originan en el paso entre la ESO y el
Bachillerato? En particular, ¿cómo articular las principales organizaciones
matemáticas que conforman el currículum de Secundaria y que están a caballo entre
las dos etapas educativas como, por ejemplo: la proporcionalidad de magnitudes y la
modelización funcional; los sistemas de numeración; las fracciones y los números
decimales; la medida de magnitudes; la geometría sintética y geometría analítica?
4. ¿Qué dispositivos didácticos nuevos serían necesarios para llevar a cabo este tipo de
estudio en las actuales instituciones escolares?
5.3.2. Necesidad de diseñar nuevos dispositivos didácticos
Otra de las conclusiones que se desprenden de la investigación realizada es que los
actuales sistemas de enseñanza no permiten dar cabida a las distintas dimensiones de la
actividad matemática o “momentos del proceso de estudio”: en Secundaria por un
predominio excesivo de la exploración de problemas nuevos; en la Universidad por una
Conclusiones y problemas abiertos
249
desconexión entre el trabajo teórico de descripción, producción y justificación de
conocimientos –considerada como la dimensión principal de la actividad matemática– y
la práctica de resolución de problemas –que queda reducida muchas veces a una simple
“aplicación de teoremas o definiciones”–.
Los trabajos de investigación didáctica realizados por Bosch y Gascón (1993, 1994,
1995) en el ámbito de la enseñanza universitaria muestran la necesidad y la pertinencia
de enriquecer los dispositivos didácticos tradicionales (clases de teoría y de problemas)
con lo que se denominó los “talleres de prácticas matemáticas”. Su función principal
consiste en permitir realizar en clase el estudio en profundidad de un tipo de problemas,
en contraposición a la simple exploración de problemas nuevos con técnicas nuevas. De
esta forma se consigue que el alumno experimente tanto las limitaciones de las técnicas
utilizadas, como la necesidad de variarlas para resolver problemas nuevos, trabajo que
provoca generalmente la aparición de nuevas cuestiones teóricas y nuevos objetos
matemáticos. La dinámica propia de los talleres de prácticas matemáticas provoca el
paso del estudio de una organización matemática puntual al de una organización
matemática local. Esta dinámica está ausente en la enseñanza tradicional que otorga una
importancia desmedida a la exploración de problemas nuevos y parece perseguir el
cambio constante de actividad, sin salir nunca del nivel puntual. La experiencia de los
talleres de prácticas matemáticas llevada a cabo con estudiantes de primer ciclo de la
Facultad de Ciencias de la Universidad Autónoma de Barcelona pone en evidencia que,
contrariamente a lo que pueda parecer, “pararse” en un ámbito reducido de la actividad,
para profundizar más allá de su primera exploración, permite “conectar la práctica con
la teoría” y tiene por lo tanto una función integradora indiscutible de los conocimientos
matemáticos que se estudian.
Se plantean por lo tanto nuevos problemas didácticos que podemos presentar en los
términos siguientes:
5. ¿Cómo diseñar, experimentar y evaluar organizaciones didácticas que permitan, vía
la inclusión de los Talleres de Prácticas correspondientes, la reconstrucción de
organizaciones matemáticas locales –o incluso regionales– relativas a ámbitos
centrales dentro del Bachillerato como los sistemas de ecuaciones lineales y el
Capítulo V
250
álgebra matricial; la modelización con funciones de una variable real y la
modelización con funciones de varias variables reales?
5.3.3. Funciones didácticas de las nuevas tecnologías en la articulación del
currículum
Es previsible que la puesta en marcha de los Talleres de Prácticas Matemáticas
requieran la disponibilidad de las nuevas tecnologías, en particular el uso de Excel y de
Cabri Geómetra como herramientas de experimentación de casos y la Calculadora
Simbólica WIRIS (disponible en la red en la dirección http://calculadora.edu365.com)
que la Generalitat de Catalunya ha puesto a disposición de la Comunidad Educativa.
Surge entonces un último objetivo de nuestro proyecto relacionado con todos los
anteriores.
6. ¿Cuáles son las funciones didácticas que pueden desempeñar estos instrumentos
tecnológicos en los distintos momentos del proceso de estudio que se vivirán en un
Taller de Prácticas: exploración de problemas, rutinización de las técnicas,
actividades de argumentación, evaluación y formulación de nuevos problemas?
7. ¿Qué modificaciones son necesarias en la estructura y funcionamiento de una
calculadora simbólica para hacerla compatible con las nuevas propuestas didácticas?
En particular, ¿qué tipo de trabajo conjunto puede ser necesario entre los técnicos
informáticos y los investigadores en didáctica de las matemáticas con el objetivo de
implementar en la calculadora algún sistema de variación controlada de los datos de
los problemas matemáticos que ésta permite resolver? Por ejemplo, sería interesante
que, además de hacer cálculos numéricos y simbólicos relativos a un problema
aislado, la propia calculadora pueda también guiar y orientar al alumno en el estudio
sistemático de campos de problemas, lo que constituye la actividad nuclear de
nuestros Talleres de Prácticas.
Conclusiones y problemas abiertos
251
5.3.4. Las estrategias de resolución de problemas y la construcción de
organizaciones matemáticas integradoras
Los resultados obtenidos en esta memoria nos permiten afirmar que una de las
consecuencias principales de la atomización del currículum se materializa en las
grandes dificultades de los estudiantes para resolver problemas "no rutinarios" y,
especialmente, cuando éstos son problemas complejos que involucran algunos aspectos
de la modelización matemática. Postulamos que los resultados obtenidos en esta
memoria permitirán reformular la descripción y la explicación de las dificultades de los
alumnos en la resolución de problemas complejos tomando en consideración la
estructura y la dinámica de las organizaciones matemáticas escolares en las que dichos
problemas se sitúan o podrían situarse. Postulamos asimismo que dichas dificultades
están fuertemente relacionadas con el fenómeno que podríamos denominar
“transparencia de la actividad de modelización matemática” en el currículum escolar.
El trabajo experimental que sería necesario llevar a cabo para confirmar y profundizar
en el conocimiento de este fenómeno puede formularse como un nuevo problema
abierto:
8. ¿Hasta qué punto y de qué manera el trabajo matemático que es posible llevar a
cabo en un Taller de Prácticas Matemáticas permite mejorar significativamente la
capacidad de los alumnos para elaborar estrategias complejas de resolución de
problemas? Hay que tener en cuenta que dichas estrategias se sitúan,
previsiblemente, en un nivel de organización matemática superior al de las
“cuestiones” e, incluso, más allá del nivel “temático”.
Se trata, en resumen, de una serie de problemas didácticos, que no son únicamente el
punto final de esta memoria sino que constituyen, realmente, el punto de partida de un
conjunto de trabajos de tesis que está llevando a cabo actualmente nuestro equipo de
investigación.
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