LENGUAJE ALGEBRAICO

ÁLGEBRA 2011

1. Lenguaje Algebraico

a. Concepto de Variable.

b. Expresión Algebraica.

c. Clasificación de Expresiones Algebraicas.

d. Términos Semejantes.

e. Evaluar Expresiones Algebraicas.

f. Calculo de Áreas y Volúmenes.

NOMBRE:__________________

CURSO:____________________

FECHA:_____/_____/_____

Lenguaje algebraico

Aprendizaje esperado asociado:

El Álgebra se caracteriza por el uso de letras y expresiones literales sobre las que se hacen

operaciones. La posibilidad de representar con una sola letra una infinidad de valores y el hecho

de poder operar con ellas de forma natural y sencilla es lo que la hace ser de gran utilidad.

OOrrggaanniizzaannddoo iiddeeaass......

EEnnttoonncceess,, ¿¿qquuéé ssee nneecceessiittaa ppaarraa ddeecciirr qquuee uunnaa ddeetteerrmmiinnaaddaa eexxpprreessiióónn ppeerrtteenneeccee aa

uunn lleenngguuaajjee aallggeebbrraaiiccoo??

Condiciones Necesarias y suficiente

Ser una combinación de elementos literales y numéricos

En el mundo hay una amplia variedad de idiomas, tales como el castellano, ingles y portugués.

También hay lenguajes propios de los oficios que se realizan; por ejemplo, una pauta de música

para un músico.

El lenguaje algebraico es el lenguaje del álgebra y esta es una rama de la matemática que estudia

el concepto de cantidad considerándolo del modo más general posible

El concepto de cantidad en álgebra es mucho más amplio que en el aritmética, ya que en esta las

cantidades se representan por números, los que expresan valores determinados, mientras que en

el álgebra las cantidades se representan por medios de letras, lo que permite lograr una

generalización.

Se define lenguaje algebraico como el empleo de la combinación de

términos literales y numéricos para generalizar cálculos matemáticos

AAnnaallooggííaass yy ddiiffeerreenncciiaass eennttrree eell lleenngguuaajjee aallggeebbrraaiiccoo yy llaa aarriittmmééttiiccaa

Al ser el algebraico un lenguaje, tiene unas reglas particulares que hay que aprender. Así,

por ejemplo, es probable que te hayas encontrado con la expresión "8m" y la hayas

traducido por "ocho metros” en el lenguaje algebraico su significado será "ocho por m" o

lo que es lo mismo "ocho veces m".

Cuando manejamos solamente números (Aritmética), los signos de operaciones indican

una acción cuyo resultado es siempre un número (7 + 6 = 13), sin embargo, cuando

tratamos además con letras(Álgebra) estas operaciones no tienen siempre por qué

realizarse sino que se dejan indicadas (3 + x).

Cuando se manejan solamente números se llega a un resultado único, sin embargo,

cuando se trabaja en un lenguaje algebraico se expresan todos los resultados posibles,

según el valor que se designe a la variable.

Analizando algunas situaciones

Entrando al comercio de la locomoción colectiva

Un empresario está comenzando en el rubro de la locomoción colectiva. Para esto tiene pensado

lo siguientes gastos:

Petróleo, mantención de la maquina, sueldo del chofer y un 50% de ganancia de los gastos. Si en

petróleo gasta $100.000 aproximadamente, en mantención $40.000 y el sueldo del chofer es de

$310.000. Si en promedio suben 3600 personas mensuales en promedio a la maquina. Entonces

las siguientes expresiones reflejarán el precio del pasaje:

=

3600

21 SMPSMP

= 3600

333 SMP

Dónde P es el precio de Petróleo, M es el valor de la mantención y S es el sueldo del chofer.

Podemos observar que si varían los precios del petróleo, el valor de la manutención y el sueldo

del chofer también variarán el precio de los pasajes.

Ahora la expresión que representa el pasaje de la locomoción colectiva:

Claramente sí ya que la expresión es una combinación de elementos literales, es decir,

cumple con la condición necesaria y suficiente.

Ampliando la visión del concepto

1. Los matemáticos y aficionados de los números han buscado a través del tiempo fórmulas y

expresiones algebraicas para descubrir números con ciertas características.

Por ejemplo:

a) 1,3,5,7,… son números de la forma 2n -1; n pertenece a naturales

b) 22 +3

2 +4

2 +… son números de la forma (n + 1)

2 ; n e naturales.

2. ¿Qué sucesión representa 5x – 10 para x = -5, ... 5? ¿Cuál es el mayor número? ¿Cuál es el

menor?

La sucesión que representa a 5x – 10 es:

-35,-30,-25,-20,-15,-10,-5,0,5,10,15

El mayor número es 15 y el menor número es -35

3. ¿Cómo resuelvo problemas de la vida cotidiana?

Para resolver un problema a través de una ecuación lo primero que hay que hacer, es encontrar la

ecuación apropiada. Ahora veremos cómo construir ecuaciones para algunas situaciones. Antes

de trabajar con problemas veremos cómo expresar con números y letras algunas relaciones

numéricas sencillas.

Debo saber:

Usamos letras cuando queremos referirnos a un número que desconocemos o a un número

cualquiera y además que en un mismo problema se debe usar la misma letra cada vez que nos

referimos al mismo número.

Veamos cómo traducir a lenguaje matemático las siguientes expresiones:

a) A un número le sumo 3

Aquí se habla de la suma de dos números, uno que no conocemos y otro que es 3; para

escribir esta expresión de modo matemático le asignamos una letra, por ejemplo a, al

número desconocido y escribimos a + 3.

b) Un número menos 5 da 8

Nuevamente tenemos una operación entre dos números, uno que no conocemos y otro que es 5,

pero ahora se trata de una resta y sabemos que el resultado es 8, entonces, si llamamos b al

número desconocido, podemos escribir b - 5 = 8.

c) El doble de un número

Se sabe que el doble de un número se obtiene sumando dos veces ese número o multiplicándolo

por 2, como no conocemos el número, usaremos una letra para referirnos a él. Podemos escribir

entonces c + c ó 2 * c. Como antes se mencionó que cuando se trabaja con letras el signote

multiplicación se omite entonces escribiremos que significa dos veces c.

d) El triple de un número, más 7

Recordando los ejemplos anteriores podemos pensar en escribir 3d + 7

4. Ahora ¿Puedo resolver problemas?

Claramente si y para la resolución de un problema algebraico conviene observar la siguiente

disposición:

a) Se indica la incógnita, fijándose en la pregunta del problema.

b) Se plantea la ecuación, fijándose en el enunciado del problema, es decir, expresar en la

ecuación las relaciones entre los datos y la incógnita del problema.

c) Se resuelve la ecuación.

d) Ve si el resultado corresponde al problema y examinar los distintos casos que se puedan

presentar.

Ejemplo:

Si el precio de un metro de género se aumenta en $55, se obtiene el mismo valor que restando el

precio de 5575 ¿Cuánto vale el meteoro de género?

a) Sea x el precio del metro de género

b) Según el enunciado del problema, resulta la siguiente ecuación:

x + 55 = 5575 – x

c) Sumando x a ambos lados (para mantener la igualdad), restando 55 a ambos lados y

dividiendo por dos a ambos lados también obtenemos lo siguiente:

x + 55 = 5575 – x ; Sumamos x a ambos lados

x + 55 + x = 5575 – x + x

2x + 55 = 5575 ; Restamos 55 a ambos lados

2x +55 – 55 = 5575 – 55

2x = 5520 ; Dividimos en dos a ambos lados

x = 2760

d) Ahora comprobaremos si el precio del metro ($2500) es deacuerdo a lo que plantea el

problema.

i. El precio de un metro de género se aumenta en $55, es decir.

2760 + 55 = 2815

ii. Se obtiene el mismo valor que restando el precio de 5575

5575 – 2760 = 2815

Los datos arrojados por la ecuación concuerdan con los datos del problema

1. Utilizando el lenguaje algebraico expresar lo siguiente “la suma del doble de un número

más 6”

a) 2 + m + 6

b) m2 + 6

c) m + 6

d) m + 2*6

e) 2m + 6

2. Utilizando el lenguaje algebraico resolver el siguiente problema “si a cierto numero se le

agrega 30, resulta el triple de ese número” ¿Cuál es el número?

a) 15

b) 1

c) 20

d) 7,5

e) 32

3. Utilizando el lenguaje algebraico resolver el siguiente problema “Un hombre tiene 30

años más que su hijo y 31 menos que su padre, la suma de las edades de estas tres

personas es igual a100 años” ¿Cuál es la edad de cada una?

a) 2 34 64

b) 3 33 64

c) 5 30 65

d) 3 32 65

e) 4 32 64

Hijo padre abuelo