dos incógnitas 2 ecuación con dos P( -4 , -3 ) , Q( 0 , -1 ... · PDF filela posición relativa en el plano de dos rectas. CASO 1 COMPATIBLE Y DETERMINADO El sistema tiene una única

I.E.S. Huarte de San Juan . Linares Matemáticas Aplicadas a las CC.SS II . Sistemas de Ecuaciones Lineales

Soluciones mediante el método gráficoP ( -4 , - 3 ) , Q . ( 4,7 , 1,4 )

Ejemplo para introducir la idea de ecuación y el significado que tiene la resolución de unsistema de ecuaciones.

Ejemplo 1

La ecuación x-2y=2 es una ecuación con dos incógnitas.Tiene infinitas soluciones. Así, por ejemplo:

x = -4 , y = -3

es una de ellas porque (-4) - 2.(-3) = 2 . Otras solucionesson:

x = 0 , y = -1 x = 2 , y = 0x = 4 , y = 1 x = 6 , y = 2

Interpretando cada solución como un punto del plano decoordenadas (x,y) : P( -4 , -3 ) , Q( 0 , -1 ) , R( 2 , 0) , S( 4 , 1 ) , T( 6 , 2 ) .

Todas las soluciones de esta ecuación están situadas sobre unarecta.Por eso decimos que x-2y=2 es la ecuación de unarecta.

Ejemplo 2

La ecuación x2 + y2 = 25 es otra ecuación con dosincógnitas. También tiene infinitas soluciones. Unassoluciones son, por ejemplo:

x = 0 , y = 5 , x = 0 , y = -5 , x = 5 , y = 0x = 3 , y = 4 , x = 3 , y = -4 , x = 4 , y = -3

Interpretando cada solución como un punto del plano decoordenadas (x,y) :

P( 0 , 5 ) , Q ( 0 , -5 ) , R ( 5 , 0 )

S ( 3 , 4 ) , T ( 3 , -4 ) , U ( 4 , -3 )

Todas las soluciones de la ecuación están situadas sobre unacircunferencia de centro O y radio 5 unidades. Diremos que laecuación x2 + y2 = 25 es la ecuación de unacircunferencia

¿Qué siginificado tiene resolver un sistema de ecuaciones?

Considera el siguiente sistema de ecuaciones :

x - 2y = 2 x2 + y2 = 25

Los puntos que son soluciones de la primera ecuación están sobrela recta; los que son solución de la segunda ecuación estánsituados sobre la circunferencia. Así, los puntos que sonsolución del sistema, es decir, los que satisfacensimultáneamente la primera y segunda ecuación,son aquellos puntos que estén situados sobre larecta y la circunferencia. A la derecha, una vez dibujadaslas dos líneas correspondientes a cada ecuación, hallamos lasolución del sistema mediante un método gráfico.

Ejercicio Resuelve el sistema anterior y halla las soluciones exactas.

I.E.S. Huarte de San Juan . Linares Matemática Aplicada a las Ciencias Sociales II . Sistemas de Ecuaciones Lineales

Interpretación de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas: estudio dela posición relativa en el plano de dos rectas.

CASO 1COMPATIBLE Y DETERMINADO

El sistema tiene una única solución que podemos identificarcomo un punto P cuyas coordenadas son los valores obtenidosde x e y. Dicho punto pertenece a las dos rectas y es el únicocomún a ellas: las rectas son secantes.

EJEMPLO

CASO 2COMPATIBLE E INDETERMINADO

El sistema tiene infinitas soluciones. Cada una de ellas es unpunto del plano. Las dos rectas tienen infinitos puntos comunes:son idénticas.

EJEMPLO

CASO 3INCOMPATIBLE

El sistema no tiene solución : las tres rectas no tienen puntoscomunes y, por consiguiente, son paralelas.

EJEMPLO

I.E.S. Huarte de San Juan . Linares Matemáticas Aplicadas a las CC.SS II .Sistemas de Ecuaciones Lineales

Interpretación de una ecuación lineal con tres incógnitas. Ecuación de un plano en elespacio. Vector normal de un plano. Planos paralelos .

En la hoja anterior, cuando introducíamos el tema, vimos que la ecuación x-2y = 2 admitía infinitas soluciones. Cada solución laidentificábamos como un punto del plano de coordenadas P(x,y). También vimos que si representábamos todos estos puntos en elplano, estaban alineados. Por eso decíamos que la ecuación representaba una recta. Después vimos que toda expresión de la formaAx+By = C , es decir toda ecuación lineal con dos incógnitas, representaba la ecuación de una recta en elplano y que los coeficientes de las incógnitas nos daban la dirección de la recta:

Ax+By=C | recta en el plano | dirección ã(-B,A)

Ecuación del plano en el espacio

Vamos a partir de la ecuación lineal 2x+y-2z = 3 . Esta ecuación admite infinitas soluciones. Por ejemplo. x=3, y=5 , z=4 .Efectivamente es solución porque 2(3) + 5 - 2(4) = 3. Esta solución podemos interpretarla como un punto en el espacio, de coordenadasP(3,5,4). Podríamos seguir determinando soluciones e identificando cada una de ellas con un punto del espacio. Si representamos todosesos puntos podríamos comprobar que todos ellos están situados sobre un plano. Por eso diríamos que la ecuación 2x+y-2z = 3 es laecuación de un plano en el espacio tridimensional.

Toda ecuación lineal con tres incógnitas es la ecuación de un plano Y Ax + By + Cz = D | Ecuación de un plano

Vector normal de un plano

Cuando estudiamos la ecuación de una recta, como hemos recordado en la introducción de esta hoja, vimos que los coeficientes de lasincógnitas de la ecuación tenían una interpretación: daban las coordenadas de la dirección de la recta. Aquí ocurre algo parecido, perosería más complicado de explicarlo. Los coeficientes de la ecuación lineal con tres incógnitas nos proporcionanlas coordenadas de un vector cuya dirección es perpendicular a la dirección del plano. Lo llamaremosvector normal del plano.

Ax + By + Cz = D | Vector normal | ú(A,B,C)

Planos paralelos

Dados dos planos en el espacio, ¿qué condición deben cumplir sus ecuaciones lineales para que representen a dos planos paralelos?.

P1 : Ax + By + Cz = D | su vector normal : ú1 (A,B,C)P2 : Ex + Fy + Gz = H | su vector normal : ú2 (E,F,G)

P1 5 P2 ] dir ( N1 ) = dir ( N2 )

Los dos vectores normales deben ser linealmente dependientes y, por consiguiente,sus coordenadas deben ser proporcionales.


Algunos ejemplos de ecuaciones de rectas y planos en el espacio tridimensional.

RECTAS

EN

PLANOXY

Z = 0

RECTAS

EN

PLANOXZ

Y = 0

RECTAS

EN

PLANOYZ

X = 0


Sistemas Equivalentes . Criterios de equivalencia

Dos sistemas de ecuaciones se dice que son equivalentes si tienen las mismas soluciones; es decir, toda solución del primersistema lo es del segundo, y recíprocamente . S equivalente a S* | lo escribiremos | S ] S*

CRITERIO 1 Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación de un sistema por unnúmero distinto de cero, resulta otro sistema equivalente al dado.

Utilidad Dado un sistema, aplicando este criterio, podremos obtener un sistema equivalente en el que: a) todos suscoeficientes sean números enteros; b) podemos "simplificar" los coeficientes de una ecuación.

Ejemplo 1

E1 |

E2 |

CRITERIO 2 Si una ecuación del sistema la reemplazamos por una combinación lineal de ecuaciones,en la que aparezca la ecuación reemplazada con coeficiente distinto de cero, se obtieneun sistema equivalente.

Utilidad Aplicando este criterio, podemos obtener un nuevo sistema equivalente en el que los coeficientes dealgunas incógnitas, sean nulos.

Ejemplo 2

E1 |

E2 |

E3 |

CRITERIO 3 Si en un sistema de ecuaciones lineales una ecuación es combinación lineal de otrasecuaciones del sistema , dicha ecuación puede suprimirse, y el sistema resultante esequivalente al dado.

Utilidad Permite eliminar aquellas ecuaciones que, al ser combinación de otras ecuaciones, no ofrecen informaciónnueva.

Ejemplo 3

E1 |

E2 |

E3 |


2x + 3y = 5

5x - 2y = 0z = 3 Ejemplo 1 para aproximarnos al Método de Gauss

Sistema Compatible y Determinado

OBJETIVO:

Obtener un sistemaescalonado que seaequivalente al sistemadado.

PREGUNTAS ¿Se puede simplificar alguna ecuación?¿Vemos si alguna ecuación se puede eliminar porque sea combinación lineal de otras?¿Se observa alguna incompatibilidad entre sus ecuaciones?

SISTEMA EQUIVALENTE

|

TRANSFORMACIONES PARA LLEGAR A UN SISTEMA ESCALONADO

Reorganización de incógnitas: x, y, z ± y, x , z

E1 |

E2 |

E3 |

Reorganización de incógnitas: y, x, z ± y, z, x

E1 |

E2 |

E3 |

CLASIFICACIÓN Y SOLUCIÓN DEL SISTEMA SIGUE...


2x + 3y = 5


Sistema Compatible e Indeterminado


SISTEMA EQUIVALENTE

|


CLASIFICACIÓN Y SOLUCIÓN DEL SISTEMA SIGUE....


2x + 3y = 5


Sistema Incompatible


SISTEMA EQUIVALENTE

|


E1 |

E2 |

E3 |

E1 |

E2 |

E3 |

CLASIFICACIÓN DEL SISTEMA

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL SISTEMA


Método de Gauss para resolver un sistema de ecuaciones lineales.

EL MÉTODO DE GAUSS consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente que tenga forma escalonada.Para conseguirlo se efectúan, según convengan, cinco trasformaciones elementales:

| Multiplicar los dos miembros de una ecuación por un número distinto de cero.| Reemplazar una ecuación por una combinación lineal de ecuaciones en la que aparezca la

ecuación reemplazada con coeficiente distinto de cero.| Intercambiar ecuaciones.| Intercambiar incógnitas.| Prescindir de aquellas ecuaciones que sean combinación lineal de otras ecuaciones del

sistema.

Cada una de estas transformaciones da lugar a un sistema equivalente al anterior. Todas ellas pueden realizarse directamente sobrela matriz asociada al sistema. El sistema de ecuaciones, o su matriz asociada, adopta finalmente una de las formas siguientes:

CASO 1 )))))))))))))))))))) ))))))))))))))))))))

G : Número cualquiera , O : Número distinto de cero

Hay tantas ecuaciones válidas como incógnitas. De forma escalonada, vamos obteniendo un valor numérico para cada incógnita. Elsistema tiene solución única : SISTEMA COMPATIBLE Y DETERMINADO.

CASO 2 )))))))))))))))))))) ))))))))))))))))))))

Hay menos ecuaciones válidas que incógnitas. Las incógnitas que están de más se pasan al segundo miembro, con lo que las demásse obtendrán en función de ellas. El sistema admite infinitas soluciones : SISTEMA COMPATIBLE EINDETERMINADO.

CASO 3 )))))))))))))))))))) ))))))))))))))))))))

Si en una fila de la matriz asociada al sistema aparece una fila de ceros, excepto el último, distinto de cero, quiere decir que dicha línearepresenta a la ecuación:

0.x + 0.y + 0.z + ..... + 0.t = k … 0

La ecuación no admite solución. Por tanto tampoco habrá solución del sistema : SISTEMA INCOMPATIBLE.


Interpretación de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas: estudio dela posición relativa en el espacio de tres planos.

CASO 1COMPATIBLE Y DETERMINADO

El sistema admite una única solución que podemos identificarcomo un punto P cuyas coordenadas son los valores obtenidosde x , y , z . El punto pertenecerá a los tres planos y será elúnico punto común a ellos.

CASO 2COMPATIBLE E INDETERMINADO

El sistema tiene infinitas soluciones. Cada una de ellas es unpunto del plano. Los planos tienen infinitos puntos comunes.

| 1 Los tres planos son iguales.

| 2 No son iguales : se cortan en una recta.

Los tres planos tienen en común los infinitos puntos de unarecta llamada recta base del haz de planos.

CASO 3INCOMPATIBLE

El sistema no tiene solución : los tres planos no tienen ningúnpunto común.

| 1 No hay planos paralelos.

Los planos se cortan, dos a dos, según tres rectas paralelas.

| 2 Hay dos planos que son paralelos.

Supongamos que los dos planos que son paralelos son elsegundo y tercero: el primero y tercero se cortarán en la rectar ; el primero y el segundo se cortan en la recta s . Las rectasr y s son paralelas.

| 3 Los tres planos son paralelos.

ANÁLISIS DE LAS ECUACIONES

Sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas

SÍNO

P

s

t

r

s t

rs

t

r

SÍNO

se simplifican

SÍNO

se eliminan

ESTUDIO DEL PARALELISMOsuponiendo que sean tres rectas

Sistema incompatible

el sistema no tiene solución

las tres rectas no tienen puntos comunes

las tresdosninguna

SOLUCIÓNES

Compatible e indeterminado

el sistema tiene infinitas soluciones

las rectas tienen infinitos puntos comunes

iguales

SOLUCIÓN DEL SISTEMA : P(x,y)

Compatible y Determinado

el sistema tiene una solución

las rectas se cortan en un mismo punto

'

'

Cada ecuación tiene infinitas soluciones que identificaremos como puntos delplano. Si los representamos gráficamente observamos que están alineados.

Hallar la solución del sistema equivale, según lo anterior, a analizar laposición relativa de las rectas en el plano.

P(x,y)

Por eso

decimos que cada ecuación del sistema representa a una recta en el plano.

¿Están las ecuaciones simplificadas? ¿Depende alguna ecuación de otras? ¿Se observa alguna incompatibilidad?

MÉTODO DE GAUSS

Sistema equivalente

02

umen Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

Clasificación, solución e interpretaciónr

Sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas

SÍNO

Ps

t

r

r s

r

SÍNO

se simplifican

SÍNO

se eliminan

ESTUDIO DEL PARALELISMO

Sistema incompatible

el sistema no tiene solución

los planos no tienen puntos comunes

los tresdosninguno

SOLUCIONES

Compatible e indeterminado

el sistema tiene infinitas soluciones

los planos tienen infinitos puntos comunes

haziguales

SOLUCIÓN DEL SISTEMA : P(x,y,z)

Compatible y Determinado

el sistema tiene una solución

los tres planos tienen un único punto común

ANÁLISIS DE LAS ECUACIONES

'

'

Cada ecuación del sistema tiene infinitas soluciones que se puedeninterpretar como puntos del espacio que están situados sobre un plano.

.

Hallar la solución del sistema equivale, según lo anterior, a analizar laposición de los planos en el espacio.

P(x,y,z) Por

eso diremos que cada ecuación del sistema es un plano en el espacio

¿Están las ecuaciones simplificadas? ¿Depende alguna ecuación de otras? ¿Se observa alguna incompatibilidad?

MÉTODO DE GAUSS

Sistema equivalente

umen Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas

Clasificación, solución e interpretaciónr

suponiendo que sean tres planos

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