Dynamic Geometry

5/10/2018 Dynamic Geometry - slidepdf.com

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Geometrıa dinamica: energıa termica

Francisco Trevino 203304950

Resumen

Proponemos un estudio del enfoque geometrico de la termodinamica, con fundamento en la for-mulacion axiomatica desarrollada por Constantin Caratheodory, sobre las bases sentadas por Carnot,Clausius y Kelvin, y continuadas por Thomson, Gibbs y Maxwell, entre otros. Es objetivo principal,comprender y ligar esta teorıa con aplicaciones al estudio de fuentes de energıa renovables, el analisisde sistemas dinamicos asociados y un acercamiento hacia algunas l ıneas actuales de investigacion enel campo de la geometrıa diferencial, en particular de la geometrıa sub-Riemanniana de vastas apli-caciones cientıficas y tecnologicas. Este enfoque constituye una poderosa herramienta en el analisisde problemas basicos en la generacion de energıa de gran importancia en la ciencia y la ingenierıade las sociedades contemporaneas.



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Indice general

1. Panorama 5

2. Herramental 9

3. Territorio 15

3.1. Las leyes de la termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2. La primera ley de la termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4. Fundamentos geometricos para el enfoque de Caratheodory 23

4.1. Teorıa de ecuaciones diferenciales Pfaffianas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2. El rotacional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.3. Ecuaciones diferenciales totales en tres variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5. Teorema de Caratheodory 39

5.1. El teorema de Caratheodory en el lenguaje de formas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.2. Ecuaciones de Pfaff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.3. Geometrıa sub-Riemanniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.4. La segunda ley de la termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.5. El principio de aumento de entropıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.6. Equivalencia del principio de Kelvin y Caratheodory . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.7. La energıa libre y el potencial termodinamico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.8. Relaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.9. Algunas formulas termodinamicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6. Maquinas termicas solares 59

6.1. Sustento teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.1.1. Proceso de Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.1.2. Proceso de Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.1.3. Proceso de Ericsson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.2. Reflectores cilındricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

7. Conclusiones 71

8. Apendice 73

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4 INDICE GENERAL



Capıtulo 1

Panorama

The strength of mathematics multiplies, like the giant Antaeus, when it makes contact with reality, the ground upon which it was grown. Constantin Caratheodory.

En este trabajo estudiamos al enfoque geometrico de la termodinamica, con fundamento en laformulacion axiomatica desarrollada por Constantin Caratheodory, sobre las bases sentadas porCarnot, Clausius y Kelvin, y continuadas por Thomson, Gibbs y Maxwell, entre otros. El objetivoprincipal estriba en comprender y relacionar esta teorıa con aplicaciones al estudio de fuentes de

energıa renovables, el analisis de sistemas dinamicos asociados y un acercamiento hacia algunas lıneasactuales de investigacion en el campo de la geometrıa diferencial, en particular de la geometrıa sub-Riemanniana de vastas aplicaciones cientıficas y tecnologicas. Este enfoque constituye una poderosaherramienta en el analisis de problemas basicos en la generacion de energıa de gran importancia enla ciencia y la ingenierıa de las sociedades contemporaneas.

Luego de una recopilacion de los fundamentos de la termodinamica, en un lenguaje adecuadoen parte a la formulacion de Caratheodory, se analiza en cierto detalle los fundamentos geometricosde las ecuaciones de estado. Se presentan ejemplos analıticos y numericos para casos tridimensio-nales. En el capıtulo central de este traba jo, se demuestra al Teorema de Caratheodory y se danenunciados equivalentes en el lenguaje de las formas diferenciales y de las ecuaciones Pfaffianas.Ademas se muestra la equivalencia con los enunciados de la segunda ley de Clausius y de Kelvin.Se dara simultaneamente una introcuccion al herramental matematico basado en la teorıa de lasformas diferenciales y al concepto de integrabilidad de ecuaciones Pfaffianas. Por medio de ejemplosespecıficos, se mostrara el significado f ısico y geometrico de la segunda ley de la termodinamica. En elcapıtulo final, pero no de menor importancia, se muestra la relevancia del enfoque de Caratheodorya la comprension de ciclos y procesos termodinamicos, en particular de maquinas termicas de plantasde energıa solar actuales.

La segunda ley de la termodinamica es una de las leyes que representan el caracter axiomatico dela fısica teorica, a nivel macroscopico. Cualquier violacion a esta ley resolverıa las necesidades y, porende, los problemas energeticos mundiales de un solo ta jo.

Los acercamientos mas importantes a la segunda ley de la termodinamica difieren en aspectosmuy “sutiles”, ademas por tratarse de una ley empırica o fenomenologica, existen varias formas deestablecerla y son equivalentes:

Clausius: no hay proceso posible, cuyo unico resultado sea que se transfiera calor desde uncuerpo hacia otro mas caliente.

Kelvin (Planck): no hay proceso posible, cuyo unico resultado sea que un cuerpo se enfrıe yrealice trabajo.

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6 CAP ITULO 1. PANORAMA

Caratheodory: en un entorno arbitrariamente cercano a cualquier estado termodinamico, exis-ten estados que no pueden alcanzarse, a partir de un estado inicial, mediante procesos adiab ati-cos.

Aunque la segunda ley de la termodinamica sea una ley empırica, su formulacion sistematicamediante axiomas nos ayuda a entender y exhibir claramente, mediante la l ogica formal, los hechosbasicos que forman el tejido de su teorıa fısica. Hacia el final del siglo XIX algunos cientıficospensaban que la meta final de la fısica teorica era la axiomatizacion perfecta de las teorıas, estodebido en parte a la influencia del gran matem atico David Hilbert.

La termodinamica como teorıa f ısica era un buen candidato para tal axiomatizacion, donde elmodelo ideal era la geometrıa Euclideana. De hecho, la termodinamica es unica incluso en el terrenode la fısica clasica por su elevada construccion logica sobre unas cuantas leyes basicas: la abstraccionde nuestra experiencia asumida como axiomas. En su estructura simple, se asemeja a la geometrıa.Entre varios intentos de axiomatizacion a la termodinamica el mas exitoso se debe a ConstantinCaratheodory (1873-1950).

Podemos hacer una analogıa entre la forma en que Caratheodory trabaja en el terreno de la termodin´ amica y el trabajo de Albert Einstein en el campo gravitacional, dentro del mismo periodo1905 − 1917; una especie de geometrizacion de la fısica. Cabe destacar que el resultado de talesinvestigaciones no es una derivacion matematica de las leyes de la fısica, sino una formulacion

matematica, dado que las leyes de la fısica no pueden derivarse matematicamente [39]; de hecho,como veremos mas adelante, la base fısica de la segunda ley de la termodinamica es la imposibilidadde alcanzar fısicamente ciertos procesos.

El estudio geometrico de la termodinamica se inicio con la reformulacion de Gibbs a la teorıa enterminos de estados de equilibrio y no de procesos. La superficie generada,1 en tres dimensiones, porel conjunto de estados de equilibrio de cierto sistema fue el primer objeto de estudio geometrico deThomson (1871), Gibbs (1873) y Maxwell (1874), proyectando de esta manera, la moderna teorıa devariedades a traves de la geometrıa diferencial [41]. Caratheodory describe completamente a un sis-tema termodinamico mediante un espacio de estados, Γ, representado como un subconjunto de unavariedad n-dimensional dentro de la cual, las variables de estado sirven de coordenadas. Se asumeque Γ esta equipado con una topologıa Euclideana, aunque las propiedades metricas del espacio no

juegan un papel importante en la teorıa y no hay una preferencia por un sistema de coordenadas enparticular. Sin embargo, las coordenadas no son arbitrarias completamente, Caratheodory hace unadistincion entre coordenadas termicas y coordenadas de deformaci´ on . El estado del sistema termo-dinamico se define por ambos tipos de coordenadas, mientras que la forma 2 de un sistema quedadefinida solo por las coordenadas de deformacion. En general, las coordenadas de deformacion sonimportantes en la descripcion de un sistema fuera del equilibrio, mientras que las coordenadas termi-cas se definen unicamente para estados de equilibrio; se asume que mediante procesos adiabaticos sepuede obtener cualquier forma final deseada a partir de todo estado inicial.La idea general es desarrollar la teorıa de tal manera que la segunda ley de la termodinamica nosproporcione una estructura matematica caracterıstica al espacio de estados. De esta manera, Ca-ratheodory construye un espacio de estados abstracto tal que el enunciado empırico de la segundaley se convierte en una propiedad topologica local. Ası, el concepto de accesibilidad o equivalencia adiab´ atica analiza los procesos entre distintos estados de equilibrio [49].

Cuando el numero de propiedades termodinamicas, que definen un sistema excede a tres, larepresentacion geometrica del sistema presenta cierta dificultad, dado que requerimos un espacio demas de tres dimensiones. Aunque no es necesario representar tal espacio fısicamente, sı podemos

1“I have just finished a clay model of a fancy surface, showing the solid, liquid, and gaseous states, and the

continuity of liquid and gaseous states.”(Carta de Maxwell a Thomas Andrews, Noviembre, 1874), ver [33]2Gestalt



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E

T

©

E n e r g ´ ı a

Volumen E n t r o p ´ ı a

Figura 1.1: Un marco de referencia para estados de equilibrio.

analizarlo con las herramientas del lenguaje de la geometrıa como referencia [48]; conceptos ta-les como formas diferenciales, variedades, hipersuperficies, son herramientas que permiten estudiaranalıticamente tales condiciones de sistema.

La ciencia de la termodinamica proporciona relaciones entre propiedades de sistemas unica-

mente, no sus valores absolutos. Con el fin de obtener valores puntuales, es necesario adoptar modelosmicroscopicos como la teorıa cinetica de gases y la teorıa cuantica para realizar algunas correccionesa ese nivel. La termodinamica es una herramienta muy poderosa para indicar propiedades generalesde sistemas, incluso si no controlamos la fısica involucrada a nivel microscopico. Otro gran logro dela termodinamica es que logra cuantificar los enunciados de la segunda ley, mediante el recurso deuna cantidad mensurable: la entropıa . Nociones tales como “ruido” y entropıa pueden entenderse ysatisfacer los principios de conservacion de energıa, incluyendo la teorıa de motores brownianos, sison abordados desde la perspectiva de la mecanica estadıstica.

El lenguaje de formas diferenciales es muy flexible, permite combinar la primera y segundaleyes de la termodinamica en un solo enunciado de forma natural. Las formas diferenciales fuerondesarrolladas, por Pfaff y otros, entre otras razones, para dar sentido a las ideas de Gibbs sobretermodinamica [41].

Constantin Caratheodory construye la segunda ley de la termodinamica en terminos de propie-dades puramente locales de una relaci´ on de equivalencia . La desventaja de tal formulacion, pura-mente local, es la dificultad de derivar una funci´ on de entropıa c´ oncava definida globalmente, dadoque la entropıa de un sistema termodinamico es una funcion creciente o constante en el caso ideal.Para lograr esta concavidad primero es necesario que el espacio de estados Γ, sobre el cual se defi-ne la entropıa, S , sea un conjunto convexo, por lo tanto la eleccion del sistema de coordenadas esdeterminante.

Caratheodory introduce las nociones de temperatura y entropıa en terminos de soluciones desistemas de ecuaciones diferenciales de Pfaff. De hecho el remplazo las expresiones tradicionalesde la segunda ley mediante la aseveracion de su principio. La base del principio es un teorema

matematico que establece que una forma Pfaffiana dQ posee un factor integrante, τ, (esto es, uncampo escalar que al multiplicar τ dQ = dσ, donde dσ es una diferencial total o exacta y por lo tantointegrable) si y solo si existe en cualquier vecindad de un punto P al menos un punto P que nopuede alcanzarse desde P a lo largo de cualquier curva en la superficie determinada por la condiciondQ = 0. Si no existe un factor integrante τ para dQ el sistema se denomina no-holon´ omico [29]; porlo tanto si para un sistema existe al menos un punto accesible bajo la condici on dQ = 0, entoncesel sistema es holon´ omico, i.e. existe un factor integrante para dQ. Un proceso es irreversible en el



8 CAP ITULO 1. PANORAMA

sentido termodinamico, si y solo si la 1-forma dQ, no admite un factor integrante, i.e. el sistema esno-holonomico.

Cualquier cambio de estado de un sistema luego del cual el valor de la entropıa sufra una variaci´ on, es irreversible. Caratheodory.

Un proceso es irreversible si el estado inicial del proceso no puede alcanzarse a partir del estadofinal sin que sucedan otros cambios o se realice trabajo sobre el sistema; i.e. “sin compensacion”.Luego definiremos un tipo particular de procesos, “cuasi-estaticos”, su relacion con los procesos

irreversibles sera evidente.

Se pueden distinguir, en general, dos aproximaciones formales a la termodin amica. Por un ladoencontramos el acercamiento a la Caratheodory, basado en la integrabilidad de la forma Pfaffiana dQ,la cual representa el desarrollo de la lınea de pensamiento iniciada por Clausius y Kelvin (WilliamThomson). Por otro lado esta el acercamiento debido a Gibbs, en el cual la entropıa se postula comoun mapa o funci´ on c´ oncava extensiva de las propiedades extensivas del sistema [6].

El marco teorico desarrollado por Caratheodory, en su acercamiento a la termodinamica, ex-plica este resultado al postular la integrabilidad de la forma Pfaffiana dQ que representa el “calor”infinitesimal, que es una cantidad derivada de la primera ley de la termodin amica no una propiedad,intercambiado reversiblemente. La integrabilidad de dQ significa que existe un factor integrante τ yuna funcion σ, llamada entropıa empırica, tales que dQ = 1

τ

dσ, donde dσ es una diferencial total,integrable [5].

Recientemente se ha desarrollado el formalismo de la geometro-termodin´ amica 3 [40], con el finde incorporar otras herramientas matematicas, como el concepto de invariantes de Legendre, a ladescripcion geometrica de la termodinamica.

3GTD: Geometrothermodynamics



Capıtulo 2

Herramental

One geometry cannot be more true than another; it can only be more convenient. Poin-

care.

En este capıtulo se presentan algunas herramientas basicas de la termodinamica que seran deimportancia en este trabajo. Tomaremos un par de conceptos y definiciones del libro de ArnoldSommerfeld [46], en su tratamiento axiomatico de la termodinamica, que se ha constituido comouna base solida y fundamental en el estudio de la fısica a traves de sus ya clasicos libros.

Definicion 1. Existe una propiedad, parametro de estado: temperatura . La igualdad de temperaturaes una condicion necesaria para el equilibrio termico entre dos sistemas o entre dos partes de unsistema.

Debemos considerar el nuevo concepto de temperatura como una cuarta dimension, adicional-mente a las cantidades mecanicas de longitud, masa y tiempo.

Definicion 2. Sistema mec´ anico es una coleccion de puntos o cuerpos materiales que pueden descri-birse especificando geometricamente vınculos, enlaces o fuerzas que se pueden definir; para describirel estado de un sistema termodin´ amico es necesario especificar adicionalmente las temperaturas desus componentes y los detalles de la energıa transferida entre ellos.

En el analisis de sistemas termodinamicos encontraremos relaciones matematicas que involucranalgunas funciones y diferenciales de funciones. En terminos fısicos esto es, propiedades intensivasy extensivas respectivamente. Mas adelante, cuando definamos el trabajo mecanico, veremos uncriterio para decidir si una propiedad de un sistema termodinamico es intensiva o extensiva enterminos matematicos.

Para dar una definicion matematica del concepto de “propiedad termodinamica” o “funcion,parametro de estado” es necesario considerar su diferencial. Sea T una funcion continua y suave C 2,i.e. tiene derivadas parciales de segundo orden y ademas estas son continuas, de las variables indepen-dientes x,y, (dos propiedades medibles de un sistema tales como su presion, volumen, magnetizacion,etc.), entonces expresamos

dT = Xdx + Y dy; X =∂T

∂x, Y =

∂T

∂y. (2.1)

Luego tenemos∂X

∂y=

∂Y

∂x, (2.2)

que es la condicion necesaria y suficiente para que (2.1) sea una diferencial perfecta o total , es decirintegrable. Gracias a los teoremas de existencia y unicidad de soluciones de la teorıa de ecuaciones

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10 CAP ITULO 2. HERRAMENTAL

• • •

• •

• •

•

' '

•

•

• •

• •

K K

r r

Figura 2.1: Diagramas a la Maxwell; condiciones necesarias de integracion: los puntos representanlas variables independientes, las lıneas las condiciones necesarias de integracion.

diferenciales ordinarias, una ecuacion de la forma (2.1) siempre puede integrarse mediante un factorintegrante. Esta condicion es equivalente a establecer a T como una propiedad termodin´ amica . Lamisma condicion puede escribirse en forma integral:

dT = 0, (2.3)

para cualquier curva cerrada en el plano−xy, esto es, que la funcion T es independiente de latrayectoria de integracion.

En el caso general, para n dimensiones, las condiciones necesarias y suficientes para que unaexpresion

A · dr =k

yk(x1, x2, . . . , xn)dxk,

de n variables, con A = (y1, . . . , yn), sea la diferencial total df de una funcion f (x1, x2, . . . , xn) son

∂yk

∂xi=

∂yi

∂xk, (i, k = 1, 2, . . . , n). (2.4)

La expresion algebraica que nos da las condiciones necesarias de integracion, la anulaciondel rotacional, en terminos del numero de variables independientes n para una ecuacion diferencialparcial en la forma (2.4) es

n2

=

n (n − 1)

2, (2.5)

James Clerk Maxwell proponıa lo anterior geometricamente como se muestra en la figura 2.1. Estascondiciones son consecuencia de las relaciones

∂f

∂xk= yk,

∂yk

∂xi=

∂ 2f

∂xi∂xk=

∂ 2f

∂xk∂xi=

∂yi

∂xk. (2.6)

Teorema 1. Sea σ una superficie bilateral en un subespacio vectorial de R3, con una curva orientadas como su frontera, ambas suaves y continuas. Para cada elemento de superficie dσ, construyamos

un vector unitario normal n apuntando en la direccion que se forma al seguir la regla de la manoderecha con la orientacion de s, entonces la circulaci´ on de un campo vectorial A alrededor de s esigual al flujo del rotacional de A, × A, sobre σ,

s

A · dr =

σ

× A · ndσ. (2.7)

Esta ecuacion es el teorema de Stokes presentado y demostrado en libros de texto de calculo avanzado.



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En general la demostracion del teorema de Stokes se realiza mediante argumentos geometricos,por ejemplo [3], [26]. Un esbozo de la prueba mediante argumentos geometricos consiste en dividir lasuperficie σ que queremos analizar en elementos de area infinitesimales, luego tomamos la circulacion,i.e. la integral de lınea, de cada uno de los elementos de area que conforman la superficie total. Luegoa partir de la definicion de la suma o integral de Riemann, sumamos las contribuciones individualesde cada elemento infinitesimal. Por construccion geometrica podemos ver que las contribuciones seanulan unas con otras dado que los elementos infinitesimales comparten las aristas y por lo tantola integral sobre cada lınea frontera infinitesimal se cancela porque se toman en sentido contrario,excepto aquellas que conforman el borde, i.e. la curva frontera s de nuestra superficie total σ. Al

final del proceso las contribuciones que sobreviven son solo los bordes de las areas infinitesimalesque forman la curva orientada s. Este analisis geometrico y la definicion del rotacional en terminosintegrales implican la validez del teorema de Stokes.

Para ligar el teorema de Stokes con la funcion dT definida en (2.1) tomaremos este ejemplo.

Sea el campo vectorial A y un vector unitario n normal a una superficie σ

A = P dx + Qdy + Rdz, n = i cos α + ˆ j cos β + k cos γ, (2.8)

donde α, β, γ son los angulos directores, i.e. los angulos que el vector normal unitario n forma conlos ejes coordenados x,y,z respectivamente. El teorema de Stokes toma la forma

s

(P dx + Qdy + Rdz) = (2.9)

σ

∂R

∂y−

∂Q

∂z

cos α +

∂P

∂z−

∂R

∂x

cos β +

∂Q

∂x−

∂P

∂y

cos γ

dσ. (2.10)

Para darle la misma forma diferencial, 1 −forma, que (2.1) tomemos un area plana S en el plano−xy,por lo tanto dz = 0, cos α = cos β = 0, cos γ = 1, dσ = dxdy, lo que implica

s

(P dx + Qdy) =

S

∂Q

∂x−

∂P

∂y

dxdy, (2.11)

esta expresion tiene la misma forma que nuestra funcion (2.1).

En terminos de flujo de fluidos, el teorema de Stokes establece que, la circulacion alrededor de lacurva frontera C es igual al flujo del vector v´ ortice a traves de una superficie arbitraria σ subtendida

por la curva C [45].

La integral sobre la curva frontera se anula si la superficie integral en el teorema de Stokes serefiere a una superficie cerrada

× A · ndσ = 0

porque si la superficie es cerrada, esto es los puntos final e inicial en una trayectoria coinciden,podemos ir reduciendo la trayectoria de integracion, un curva cerrada, tanto como queramos hastallegar a un punto, donde la trayectoria se hace cero. Suponemos aquı que se trata de una superficiesimplemente conexa, sin huecos. En particular, si el campo vectorial A es el gradiente de una funcionescalar, digamos A = U, entonces la expresion diferencial

Asds = Axdx + Aydy + Azdz

es la diferencial total dU . En este caso Asds = 0

para cualquier curva frontera, dada la definicion del rotacional de un campo vectorial en formaintegral

n · × A = lımds→0

1

ds

dC

A · dr (2.12)




donde ds es un elemento pequeno de area perpendicular al vector unitario n, dC es la curva cerradaque forma la frontera de ds, dC y n estan orientados en el sentido de la regla de la mano derecha.

El primer miembro de (2.7) entonces debe anularse para cualquier superficie σ y cualquierdireccion normal n. En particular

× U = 0

siempre se cumple.

La ecuacion ×

A = 0, escrita en coordenadas rectangulares, es equivalente a las tres condi-ciones para que la expresion

A · dr = Axdx + Aydy + Azdz (2.13)

sea una diferencial total.

Como × A se anula debido a la ecuacion (2.2), concluimos que (2.3) es equivalente a laafirmacion de que T es una propiedad termodinamica. Cuando tenemos dos variables independientessiempre es posible transformar la expresion (2.1) en una diferencial total al dividirla por algundenominador τ (x, y), incluso si este no era un factor integrante originalmente [46].

Para ecuaciones con tres variables independientes, A · dr = Xdx + Y dy + Zdz, en general no esposible transformarlas en una diferencial perfecta mediante un factor integrante. Las condiciones

necesarias y suficientes de integrabilidad mediate un factor integrante para una ecuaci on de estetipo, expresadas en forma vectorial son

A · × A = 0. (2.14)

Esto es, que el vector debe ser normal a su rotacional. Para demostrarlo, supongamos que el campovectorial integrable A0, esto es, que satisface × A0 = 0, esta dado como el producto de un campoescalar λ y el campo vectorial A, no integrable,

A0 = λ A,

entonces × A0 toma la forma

× A0 = λ × A + λ × A (2.15)

ahora si multiplicamos por A, obtenemos

A · × A0 = A · (λ × A) + A · ( λ × A), (2.16)

llamemos al vector λ como B y apliquemos al segundo termino del lado derecho la identidadvectorial

A · ( B × C ) = B · ( C × A). (2.17)

tenemos A · × A0 = λ A · × A + λ · ( A × A). (2.18)

Y como el ultimo termino se anula, llegamos a

A ·

×

A0 = λ

A ·

×

A = 0, (2.19)

como λ es una funcion escalar arbitraria, tenemos

A · × A = 0. (2.20)

De esta manera, expresando al campo vectorial A0 como el producto λ A, la condicion × A0 = 0,es posible si y solo si (2.14) se cumple. Mostraremos algunos ejemplos m as adelante.



13

Ası concluimos que para que una variable T sea considerada como una propiedad, dT debe seruna diferencial perfecta, es decir,

dT = 0 en terminos integrales.

En general, las condiciones (2.2) no se satisfacen, serıa analogo a pedir que el campo vectorial

en cuestion fuera irrotacional, i.e. para un campo vectorial A, tendrıamos × A = 0; la condicion(2.2) es la componente z (en la direccion del vector unitario de base k) del rotacional en R3. En unsubespacio vectorial de R3, las condiciones siempre se cumplen si, en el lenguaje de analisis vectorial,podemos expresar a la funcion A como el gradiente de una funcion escalar, φ, o funci´ on potencial ,ası podemos concluir que si × A = 0 en cierta region, entonces A es el gradiente de una funcion

escalar φ en tal region. Dicha aseveracion en sentido contrario se cumple bajo la condicion de quela funcion potencial φ tenga segundas derivadas parciales continuas. Cuando una funcion potencialφ existe, entonces el campo A es conservativo, dado que la integral de lınea alrededor de cualquiertrayectoria cerrada se anula, [26], [8],

× A = 0, ⇔ A = φ,

⇒

A · dr = 0.

En termodinamica buscamos diferenciales totales. Cuando encontramos ecuaciones de la forma(2.1), el problema consiste en determinar si tales funciones dependen solamente de los puntos inicialy final, esto es, si dT es una diferencial exacta o que es independiente de la trayectoria; en tal caso

el requerimiento de T es exactamente analogo a la condicion irrotacional de T [3].

Para analizar el caso de un campo vectorial T en un subespacio vectorial R3, tomamos unaexpresion Pfaffiana en tres variables, esto es

dT = Xdx + Y dy + Zdz, X =∂T

∂x, Y =

∂T

∂y, Z =

∂T

∂z; (2.21)

de tal manera que tenemos las tres condiciones necesarias y suficientes para que dT sea una diferencialperfecta

∂X

∂y=

∂Y

∂x,

∂Y

∂z=

∂Z

∂y,

∂Z

∂x=

∂X

∂z. (2.22)






Capıtulo 3

Territorio

Nous devons donc conclure que les deux principes de l’augmentation de l’entropie et dela moindre action, entendu au ses Hamiltonien, sont inconciliables. Poincare.

En este capıtulo se presenta un breve resumen de conceptos basicos de la termodinamica desde elpunto de vista de Caratheodory. Constantin Caratheodory fue un poderoso analista que entendio laimportancia de la simplicidad y elegancia naturales de las matematicas. Su formulacion matematicade la termodinamica atrajo la atencion de fısicos muy importantes pero quedo de alguna forma fuera

de la corriente teorica principal. El estaba interesado en la manera tan ıntima en que la fısica serelaciona con las matematicas a nivel basico. Su estudio sobre los fundamentos axiomaticos de latermodinamica, fue el unico trabajo que resolvio mentalmente, de principio a fin, antes de plasmarloen papel [24]. El acercamiento a la segunda ley de la termodin amica, desarrollado de esta forma, esel “unico fısicamente correcto, ademas logra la maxima simplicidad logica, reduciendo al mınimo elnumero de variables indefinibles” [14].

Es posible derivar la teorıa termodin´ amica completa, sin asumir la existencia de “calor”1,i.e. de una cantidad fısica que difiere de las cantidades mec´ anicas habituales. Constan-

tin Caratheodory [24].

La termodinamica clasica se limita a estados de equilibrio de sistemas y a procesos que ocurrenmuy lentamente. No aparece ninguna cantidad con la dimensi on del tiempo; el tiempo entra enconsideracion, si acaso, via los conceptos de “antes y despues”. Por lo tanto, en el caso de procesosque ocurren rapidamente, solo se discuten los estados inicial y final del sistema. La termodinamicano considera la naturaleza del “calor”, este problema se trata en la teorıa cinetica de los gases [38].En nuestro analisis consideraremos sistemas adiabaticos, en lugar de procesos cıclicos, i.e. procesosen los cuales el sistema inicia y termina en el mismo estado termodinamico.

3.1. Las leyes de la termodinamica

Seguiremos puntualmente la presentacion realizada por Subrahmanyan Chandrasekhar [14] de laformulacion axiomatica de Constantin Caratheodory [10] porque, no solo es una de las pocas expo-siciones completas del trabajo de Caratheodory en relacion a la termodinamica, sino que desarrollarigurosamente el contenido matematico de la teorıa sin perder de vista nunca el significado fısico decada uno de los pasos apoyandose, ademas, en argumentos geometricos como otra herramienta quepermite pasar del analisis a la aplicacion logicamente.

Consideramos unicamente sistemas termodinamicos simples, i.e. gases y lıquidos sin interaccionquımica. Un fluido homogeneo es el ejemplo mas simple de sistema termodinamico, incluyendo el

1Warme

15



16 CAP ITULO 3. TERRITORIO

caso particular de gases y vapores.En la explicacion puramente mecanica de cuerpos en equilibrio, el estado interno de un sistema conmasa conocida se determina si conocemos su volumen especıfico, V. Pero en general esto no es cierto,dado que es posible cambiar la presion ejercida por un gas sin alterar su volumen especıfico.Un fluido posee un solo grado de libertad mecanico, su volumen, que es una propiedad extensiva, yun solo grado de libertad termico, su temperatura, que es una propiedad intensiva.

Definicion 3. Las variables termodinamicas son cantidades macroscopicas medibles que caracteri-zan a un sistema.

Para especificar completamente el estado interno de un sistema termodin amico, se introducen lapresion, p, y el volumen especıfico, V , como variables independientes; se les suele llamar, respecti-vamente, fuerza y desplazamiento generalizados.En general se considera a la presion como funcion de la temperatura y el volumen, a este tipo derelacion la llamaremos ecuacion de estado o ecuacion caracterıstica

p = f (T, V ). (3.1)

Asumimos que es posible aislar sistemas individuales de sus alrededores por medio de recipientes y

que un sistema puede dividirse internamente mediante algun tipo de pared que evita la mezcla desus componentes. Se consideran dos tipos de particion:

Paredes adiabaticas: si a un cuerpo en equilibrio se le confina en un recipiente adiab atico, enausencia de campos de fuerzas externas, entonces la unica manera de cambiar el estado internodel cuerpo es mediante desplazamientos de alguna parte de las paredes del recipiente. La unicamanera de cambiar el estado interno de un cuerpo contenido en un recipiente adiab atico esaplicandole una cantidad finita de trabajo externo.

Particiones diatermicas: si un recipiente adiabatico contiene dos cuerpos en equilibrio sepa-rados internamente por una pared diatermica, entonces existe una relacion definida entre losparametros p1, V 1, p2, V 2, que establecen el estado de cada uno de los cuerpos; esta relaci ondepende solo de la naturaleza de los cuerpos. En terminos funcionales

F ( p1, V 1, p2, V 2) = 0. (3.2)

Llamaremos a esta expresion de contacto termico la “condicion de equilibrio”; la pared entrelos cuerpos se introduce solamente para simbolizar la imposibilidad de intercambio material[7].

Condiciones para el equilibrio termico. Dos cuerpos estan en contacto termico si ambos seencuentran en el mismo contenedor adiabatico separados por una pared diatermica. La condicionpara el equilibrio termico se expresa como la ecuacion (3.2), la cual nos indica que existe una relaciondefinida entre las variables p1, V 1, p2, V 2; esto es, el equilibrio entre estas variables no se cumple paravalores arbitrarios de ellas.

Un gas ideal es el estado lımite o ideal al cual un gas real tiende cuando se expande indefinidamente,las leyes que aplican a los gases ideales son la ley de Boyle, la ley de Charles y la ley de Avogadro,las cuales establecen relaciones funcionales de estado, p = f (T, V ).La comprobacion empırica de la condicion de equilibrio para un par de gases ideales en contactotermico, es que siempre cumplen que:

p1V 1 − p2V 2 = 0.



3.1. LAS LEYES DE LA TERMODIN AMICA 17

Temperatura empırica. Si dos cuerpos se encuentran respectivamente en equilibrio termico conun tercero, entonces los dos cuerpos originales tambien estaran en equilibrio termico si se les poneen contacto (termico).Si ( p1, V 1), ( p2, V 2), (¯ p1, V 1), (¯ p2, V 2) definen dos estados distintos de dos sistemas diferentes, no nece-sariamente de dos cuerpos diferentes, y tanto ( p1, V 1) como ( p2, V 2) estan en equilibrio termico con(¯ p1, V 1), y si ademas ( p1, V 1) esta en equilibrio termico con ( ¯ p2, V 2), entonces siempre se cumple que( p2, V 2) estara en equilibrio termico con (¯ p2, V 2).Por la condicion de equilibrio (3.2), lo anterior puede expresarse matematicamente2:

F ( p1, V 1, ¯ p1, V 1) = 0, F ( p2, V 2, ¯ p1, V 1) = 0, F ( p1, V 1, ¯ p2, V 2) = 0, (3.3)

implican la validez deF ( p2, V 2, ¯ p2, V 2) = 0. (3.4)

Pero esto es posible si, y solo si, la relacion F ( p,V, ¯ p, V ) = 0 tiene la forma

t( p,V ) − t(¯ p, V ) = 0. (3.5)

En la ecuacion (3.5), t y t no son unicas; por la condicion de equilibrio (3.2), la ecuacion (3.5)

A

e

7 7

e / / a

B

e

? ?

e / / b

Figura 3.1: Diagrama a la Maxwell; A y B (a y b) denotan los estados inicial y final del sistema 1(2); el ındice e denota equilibrio termico.

tambien puede expresarse comoT [t( p,V )] = T [t(¯ p, V )], ((3.5)’)

donde T (x) puede ser una funcion arbitraria definida para x.

La condicion de equilibrio (3.2), puede tomar una multiplicidad de valores expresados de la

forma (3.5). Los valores t( p,V ) y t(¯ p, V ), definen en una escala arbitraria, la temperatura empırica de los dos cuerpos; si los dos cuerpos estan tanto en contacto termico como en equilibrio, entoncesla igualdad de las temperaturas empıricas siempre se cumple. Si

t = t( p,V ) t = t(¯ p, V ), (3.6)

entonces, en equilibriot = t. (3.7)

En terminos geometricos las ecuaciones (3.6) definen en los planos ( p,V ) y (¯ p, V ), respectivamente,una familia de curvas uni-parametricas llamadas “isotermas”, las curvas con un valor constante, θdigamos, son independientes de la escala de temperatura [7]. Las ecuaciones (3.6) son las llamadas“ecuaciones de estado”.

Si se define la escala de temperatura empırica, entonces siempre es posible escoger dos de lastres variables p, V , y t como las variables independientes que definen el estado de un sistema. De lamisma manera, dos funciones independientes de las variables p, V , y t son suficientes para especificarcompletamente el estado del sistema.

2Esta ley tiene un fuerte patron en comun con el primer axioma de la geometrıa Euclideana, esto es, “cosas igualesa la misma cosa son iguales entre ellas” [39].




3.2. La primera ley de la termodinamica

Introducimos el concepto de energıa axiomaticamente y sin referencia alguna a la mecanica, i.e.el espacio de trabajo natural cuando se trata con sistemas que involucran posiciones y velocidades[18], sin consideraciones a nivel microscopico que corresponden a la mecanica estadıstica:

Definicion 4. Todo sistema termodinamico posee una propiedad caracterıstica o parametro deestado, su energıa . En un sistema aislado, se conserva la cantidad de energıa total.

En terminos experimentales el trabajo sistematico de James Prescott Joule establece que a fin dellevar un cuerpo, o sistema de cuerpos, adiabaticamente desde un estado inicial prescrito hasta otroestado final prescrito, i.e. desde un estado de equilibrio a otro estado de equilibrio, se debe realizarla misma cantidad constante de trabajo mecanico o electrico, el cual es independiente de la maneraen que se efectue el cambio y solo depende de los estados inicial y final prescritos.

Especifiquemos el estado inicial del sistema con p0, V 0, . . . , y el estado final con p1, V 1, . . . ysea W el trabajo suministrado para llevar a cabo el cambio adiabaticamente. Entonces, de acuerdoa la primera ley, si mantenemos el estado inicial fijo, W solo depende del estado final

W = U − U 0,

donde U, el sımbolo de Clausius U para identificar la energıa interna del sistema, es una funcion de

los parametros que determinan el estado del sistema; p y V para un solo cuerpo.

Definicion 5. La unidad de “calor” es el trabajo mecanico necesario para cambiar la temperaturaempırica, t, de un volumen unitario, constante, de agua entre dos valores definidos, de esta maneraobtenemos el equivalente mecanico del “calor”.

Ası, la medicion de la cantidad de “calor” que se introduce a un sistema de alguna manera, sereduce al registro de la temperatura, no se mide la cantidad de “calor” contenida en el sistema.Se ha encontrado experimentalmente, gracias a Joule por ejemplo, que durante todos los procesosque involucran friccion la cantidad de trabajo utilizado, dW, involucra una proporcion definida ala cantidad de “calor” generado, dQ, independiente a las condiciones en las que se lleve a cabo elexperimento. Joule ha dado numerosas pruebas experimentales encontrando una relacion cuantitativa

bien definidadW = JdQ, (3.8)

donde J es el equivalente mecanico del “calor” con un valor numerico definido para cada sistemametrico en particular.

El trabajo mecanico aplicado a un sistema simple, por ejemplo un fluido en un contenedorcerrado con volumen V a presion p, al modificar el volumen inicial del sistema esta dado por

dW = − pdV, (3.9)

(3.10)

por lo tanto dW no es una diferencial perfecta, porque si lo fuese, entonces a partir de la definici on

funcional del trabajo mecanico W = W ( p,V ) para este caso en particular tendrıamos

dW =∂W

∂pdp +

∂W

∂V dV ; (3.11)

de aquı inferimos que∂W

∂p= 0,

∂W

∂V = − p (3.12)



3.2. LA PRIMERA LEY DE LA TERMODIN AMICA 19

pero esto implica necesariamente que

∂ 2W

∂p∂V =

∂ 2W

∂ V ∂ p, (3.13)

entonces concluimos que dW no es una diferencial perfecta. Si lo expresamos en terminos integrales dW = 0,

para un sistema sujeto a un ciclo, esto es, cuando el sistema se logra regresar al estado inicial despuesde recorrer cierta trayectoria arbitraria. Por lo tanto podemos afirmar que W no es una propiedad deestado. De la misma forma, si nos referimos a (3.8), podemos asegurar que no existe una propiedadQ, un contenido caracterıstico de “calor” que describa simplemente el estado instantaneo de unsistema.

Energıa interna de un sistema de cuerpos. Si en un proceso no adiabatico se registra uncambio, U − U 0, en la energıa interna del sistema y se ha realizado una cantidad de trabajo W enel sistema, entonces

Q = (U − U 0) − W. (3.14)

De esta manera la nocion de cantidad de “calor” no tiene significado independiente de la primera leyde la termodinamica. (U −U 0) es una cantidad fısica que puede medirse experimentalmente mediantemetodos mecanicos [7], mientras que Q es una nocion derivada de la relacion entre el trabajo y laenergıa interna. La ecuacion (3.14) es la definicion de “calor” en terminos de cantidades puramentemecanicas.

La energıa interna de un sistema de cuerpos es aditiva si los cuerpos estan aislados adiabati-camente uno de otro, esto es, la energıa del sistema es igual a la suma de las energıas de los cuerposindividuales:

U = U 1 + U 2 + · · · + U n.

Despues de este analisis, concluimos que la energıa interma de un sistema termodinamico, U n,es una funcion de estado, y de acuerdo con la primera ley, es una diferencial exacta.

En general, cuando dos o mas cuerpos se ponen en contacto, la energıa no es aditiva; sin

embargo, esta desviacion debe ser proporcional a la superficie de contacto o area comun a los cuerposque conforman al sistema, ası para grandes volumenes, la desviacion de la ley aditiva de la energıaes despreciable.Tenemos dos casos lımite o extremos: la superficie de contacto es nula o infinita. Esto es, un sistema decuerpos aislados entre sı en el cual no hay superficie de contacto o un sistema de cuerpos, subespaciosinfinitos, (es decir, suficientemente grandes en terminos de ingenierıa) entre los cuales la superficiede contacto comun es infinita; a partir de esta idea se deriva el concepto de horizonte, desarrolladopor Stephen Hawking que relaciona la segunda ley de la termodinamica con el area del sistema encuestion. En estos casos extremos, la energıa es aditiva.

Procesos. Al formular la primera ley asumimos que el trabajo realizado puede, en principio,medirse. En la practica esto nos limita a solo dos procedimientos esencialmente distintos para loscuales podemos medir el trabajo realizado.

Procesos estacionarios: Los experimentos de Joule son un ejemplo de este tipo de procesos,porque podemos calcular el trabajo suministrado al sistema, en particular como el productode la torca aplicada a unas aspas que revuelven agua dentro de un contenedor a velocidadconstante multiplicada por la tasa de trabajo de las aspas girando. Esto provoca un sistemaestacionario de corrientes en las cuales las aspas reciben una friccion constante del fluido detrabajo.




Procesos cuasi-estaticos: son procesos infinitamente lentos, ası el sistema se encuentra en estadode equilibrio en cualquier momento del proceso. El cambio de estado del sistema y sus pasosintermedios son reversibles. Por ejemplo la compresion infinitamente lenta de un gas, desdeun volumen V 0, hasta V 1, en un recipiente que a su vez esta inmerso dentro de un contenedorinfinitamente grande de tal forma que la temperatura permanece constante. No hay otro cambiomas que el trabajo que se aplica al sistema durante este proceso. El proceso puede ocurrirtambien en sentido contrario, desde V 1 hasta V 0, bajo una expansion infinitamente lenta delgas.

Se refiere a los procesos cuasi-estaticos como “reversibles”, porque en general es posible conducirlosen sentido contrario. Aunque de hecho, los procesos reversibles no son procesos en absoluto, masbien son secuencias de estados de equilibrio. Durante estos procesos, la capacidad del sistema pararealizar trabajo se utiliza completamente y no se disipa energıa alguna. El criterio para decidir siun proceso es reversible o no, es que si el proceso se deja correr y luego regresar al estado inicial,no debe registrarse ningun cambio duradero en los alrededores del sistema. Los cambios de estado,cuasi-estaticos adiabaticos, de un sistema simple son reversibles [10].

Cabe mencionar otros tipos de procesos. Si un proceso ocurre r apidamente, solo es posible con-trolarlo si es cerrado respecto a sus alrededores. Por ejemplo la expansi on libre de un gas en unrecipiente con una particion vacıa en principio, despues del proceso el gas ocupa todo el volumendel recipiente y el proceso no es reversible.Los cambios de estado isotermicos ocurren cuando durante un proceso la temperatura del sistema

permanece constante; dt = 0.Un proceso o cambio de estado isoenergetico es aquel durante el cual la energıa interna del sistemano cambia. Los cambios de estado de sistemas completamente aislados son isoenergeticos; dU = 0.

Cambios cuasi-estaticos adiabaticos infinitesimales. Si tenemos un cuerpo inmerso en un re-cipiente adiabatico y le aplicamos cuasi-estaticamente una cantidad infinitesimal de trabajo mecani-co, dW, entonces diremos que hemos realizado un “cambio adiabatico infinitesimal cuasi-estatico”.Si durante tal cambio el volumen del sistema cambia, dV, entonces tendremos

dW = − pdV, (3.15)

donde p es la presion de equilibrio. Entonces, de acuerdo a la primera ley de la termodin amica,

dQ = dU + pdV = 0. (3.16)

Tambien podemos expresar la primera ley estableciendo que la energıa interna U n del estado n esuna funcion de estado; en terminos matematicos U n es una funcion independiente de la trayectoriade integracion.

Existen otras definiciones de trabajo. Para un sistema homogeneo tenemos la definicion (3.15),si especificamos un sistema mediante su tension superficial σ y su superficie A, el trabajo realizadopor el sistema durante un cambio de estado es

dW = −σdA. (3.17)

Analogamente si el sistema se caracteriza mediante la magnetizacion M y la intensidad del campo

magnetico H, entonces el trabajo realizado por el sistema durante un cambio de estado es

dW = M · d H. (3.18)

La convencion de signos para la definicion de trabajo mecanico se considera positivo si eltrabajo realizado por el sistema ha producido un cambio de estado positivo, un cambio positivode las variables. Las cantidades p,σ, M son llamadas propiedades intensivas (yi) porque aparecen



3.2. LA PRIMERA LEY DE LA TERMODIN AMICA 21

como factores en las expresiones para el trabajo mecanico. A las cantidades V, A , H se les llamapropiedades extensivas (xi) porque aparecen como diferenciales. En general, el trabajo mecanicopuede entonces expresarse como

dW =i

yi(x) dxi.

Para un sistema de dos cuerpos contenidos en el mismo recipiente adiabatico y separados unodel otro por una pared diatermica, tenemos, dado que tanto Q como U son aditivas,

dQ = dQ1 + dQ2

= dU 1 + dU 2 + p1dV 1 + p2dV 2 = 0. (3.19)

Los cambios adiabaticos cuasi-estaticos finitos son secuencias continuas de estados en equilibrio ypor lo tanto se representan como curvas en el espacio fase que satisfacen en cada punto ecuacionesde la forma (3.16) o (3.19), estas ecuaciones reciben el nombre de “ecuaciones de las adiab aticas”.Para un sistema de un solo cuerpo, el espacio fase se representa por el plano p,V.

Es un hecho elemental la imposibilidad de recuperar completamente el trabajo aplicado a unsistema invirtiendo el proceso mediante el cual se transfiere al sistema de un estado de equilibrio aotro, incluso para estados de equilibrio arbitrariamente cercanos. Por lo tanto podemos decir queexisten estados inaccesibles adiabaticamente en la vecindad de un estado en particular [7].

Si consideramos U como funcion de V y t, su diferencial total es

dU =∂U

∂V dV +

∂U

∂tdt. (3.20)

Ahora (3.16) tomara la forma

dQ =

∂U

∂V + p

dV +

∂U

∂t

dt = 0. (3.21)

La ecuacion (3.19) tiene interes solo cuando los dos cuerpos estan en contacto termico. De dondeel sistema puede describirse por tres variables independientes, V 1, V 2 y t, la temperatura empıricacomun:

t( p1, V 1) = t( p2, V 2) = t. (3.22)Entonces podemos escribir la ecuacion (3.19) como

dQ =

∂U 1∂V 1

+ p1

dV 1 +

∂U 2∂V 2

+ p2

dV 2 +

∂U 1∂t

+∂U 2∂t

dt = 0. (3.23)

Las ecuaciones (3.21) y (3.23) son las ecuaciones de las adiabaticas. Este tipo de ecuaciones (3.21)y (3.23), se conocen como “ecuaciones diferenciales Pfaffianas”. En los capıtulos siguientes tratamosexpresiones diferenciales Pfaffianas que se pueden agrupar en dos clases, aquellas que aceptan factoresintegrantes y aquellas otras que no los aceptan, integrables y no integrables.






Capıtulo 4

Fundamentos geometricos para el

enfoque de Caratheodory

4.1. Teorıa de ecuaciones diferenciales Pfaffianas.

Las ecuaciones Pfaffianas son la expresion matematica de las experiencias termicas elementales,las leyes de la termodinamica estan conectadas con las propiedades de este tipo ecuaciones. Primeroconsideraremos expresiones Pfaffianas en dos variables x,y, que nos representan un fluido simple porejemplo con variables V, t [7]:

dQ = X (x, y)dx + Y (x, y)dy, (4.1)

la cual tiene la misma forma que la ecuacion (3.21). La integral de dQ entre dos puntos P 1 y P 2 en

general depende de la trayectoria de integracion. Por lo tanto 21

dQ en general no puede escribirsecomo Q(x2, y2) − Q(x1, y1), dicho de otra forma, dQ no es integrable. Esto implica que en generaldQ no es una diferencial total,

dQ =∂Q

∂x1dx1 + · · · +

∂Q

∂xndxn, (4.2)

de la funcion Q(x , . . . , xn). Si dQ fuera una diferencial perfecta, deberıamos tener dQ = dσ, donde σes una funcion de las variables x , . . . , xn; ası para el caso de dos variables independientes deberıamostener

dσ =∂σ

∂xdx +

∂σ

∂ydy. (4.3)

Al comparar (4.1) y (4.3), tenemos las igualdades (2.1) y (2.2), que son las condiciones necesarias ysuficientes para que dQ sea una diferencial perfecta. Las condiciones (2.2) entre los coeficientes decualquier expresion Pfaffiana no se cumplen necesariamente.

Gracias a la teorıa de ecuaciones diferenciales ordinarias, afirmamos que una ecuacion dife-rencial ordinaria en dos variables siempre puede resolverse. A partir de (4.1), la solucion de unaecuacion Pfaffiana en dos variables es

dQ = Xdx + Y dy = 0, (4.4)

de dondedy

dx= −

X

Y . (4.5)

El lado derecho de la ecuacion (4.5) es una funcion conocida de x y y, y por lo tanto la ecuacionPfaffiana (4.4) establece una direccion bien definida en cada punto del dominio de la funcion en el

23



24CAP ITULO 4. FUNDAMENTOS GEOM ETRICOS PARA EL ENFOQUE DE CARATH EODORY

plano (x, y). La solucion de la funcion consiste simplemente en dibujar un sistema de curvas en elplano (x, y) tal que en cada punto, la tangente a la curva en ese punto tenga la misma direcci on quela especificada por (4.4). Por lo tanto, la solucion de la ecuacion (4.4) define una familia de curvasuni-parametricas en el plano xy.

Una interpretacion fısica de esta propiedad geometrica de la ecuacion (4.5) es que dado uncampo de fuerzas en cierta region del espacio, podrıamos medir con un aparato la direccion e in-tensidad del campo de fuerzas en dicha region y a partir de tales mediciones construir el modelomatematico que luego nos permitirıa analizar el sistema completamente.

Entonces la solucion de (4.4) puede escribirse como σ(x, y) = c para alguna constante c. Luego

∂σ

dx+

∂σ

dy

dy

dx= 0. (4.6)

A partir de (4.5) y (4.6) encontramos una relacion de equivalencia basada en la logica de sistemasen equilibrio,

f = X ∂σ

∂y, f = Y

∂σ

∂x, (4.7)

⇔ f =XY

τ ; (4.8)

ahora lo aplicamos a (4.6)

Y ∂σ

∂x= X

∂σ

∂y=

XY

τ , (4.9)

donde τ (x, y) es un factor que depende de x y y. La ecuacion (4.9) puede escribirse tambien como

X = τ ∂σ

∂x; Y = τ

∂σ

∂y. (4.10)

Si insertamos (4.10) en (4.1), tenemos

dQ = τ

∂σ

∂xdx +

∂σ

∂ydy

= τdσ, (4.11)

reacomodando

dQ

τ = dσ; (4.12)

esto es, si dividimos la expresion Pfaffiana (4.1) entre τ , obtendremos una diferencial perfecta (4.3).Ası, a un factor τ, con esta propiedad se le llama factor o denominador integrante, 1

τ . Por lo tanto, unaexpresion diferencial Pfaffiana en dos variables, siempre admite un factor integrante. Dicho de otramanera, demostrar que la existencia de un denominador integrante para una expresi on Pfaffianaen dos variables es un caso particular trivial [7], tomando en cuenta los teoremas de existenciade soluciones para ecuaciones diferenciales ordinarias de los cuales tenemos varios, el teorema deexistencia de Caratheodory, el metodo iterativo de aproximaciones sucesivas de Picard, el teoremade Cauchy, el teorema de Peano. En fin, podemos decir que la existencia de soluciones es el teorema

fundamental de la teorıa de ecuaciones diferenciales ordinarias [16]. Este resultado es fundamentalen termodinamica para la formulacion matematica de la primera ley.

Cabe destacar aquı la belleza y elegancia del trabajo de Constantin Caratheodory, el ejemploaquı mostrado es brutal porque uno de sus logros mas importantes es haber demostrado como lafısica de los sistemas termodinamicos puede analizarse completamente mediante las herramientasmatematicas clasicas. Caratheodory demuestra como la existencia de la propiedad termodinamica



4.1. TEORIA DE ECUACIONES DIFERENCIALES PFAFFIANAS. 25

entropıa es una consecuencia logica de las propiedades de las ecuaciones Pfaffianas. En el caso dedos variables independientes, el teorema de existencia y unicidad de soluciones para ecuaciones dife-renciales ordinarias nos asegura la existencia de la solucion al problema, sin embargo, Caratheodorytambien demostro el teorema clasico de existencia y unicidad con condiciones aun mas “groseras”,menos rıgidas, para este problema en particular. Es decir, propone la solucion a un problema yademas demuestra aun mas facilmente su existencia.

Demostraremos la existencia de un factor integrante para cualquier ecuacion diferencial ordi-naria de dos y tres variables siguiendo a Wolfang Pauli [38]. Pfaff ha demostrado que una forma

diferencial k

ykdxk

puede transformarse a su forma normal

mν=1

X 2νdX 2ν−1 + kdX 2m+1,

donde 2m ≤ n para n par, o 2m + 1 ≤ n para n impar.

Ejemplo. Si tenemos una forma diferencial dh = y1dx1 + y2dx2 de dos variables, tenemos dosposibilidades

si dh es una diferencial exacta, entonces su forma normal es

dh = dX ;

si dh no es una diferencial exacta, entonces obtenemos al aplicarle su forma normal

dh = y1dx1 + y2dx2 = X 2dX 1 (4.13)

dh

X 2=

y1dx1 + y2dx2X 2

= dX 1. (4.14)

entonces dhX2

= dX 1 es una diferencial exacta, lo que significa que 1X2

es un factor integrante.Por lo tanto, para una ecuacion diferencial en dos variables, siempre existe un factor integrante.

Si remplazamos σ por otra funcion de σ, digamos S [σ(x, y)], entonces S = constante represen-tara de nuevo las soluciones de la ecuacion diferencial. En ese caso

dS =dS

dσdσ =

dS

dσ

dQ

τ , (4.15)

=1

T (x, y)dQ, (4.16)

T (x, y) = τ (x, y)dσ

dS . (4.17)

De lo anterior concluimos que T es tambien un factor integrante. Es ası que, si una expresion Pfaffianaadmite un factor integrante, debe admitir una infinidad de ellos. Este resultado aplica tambien paraexpresiones Pfaffianas en cualquier numero de variables.

Ahora consideraremos expresiones Pfaffianas en tres variables, la generalizacion a mas de tresvariables es inmediata. Consideremos la expresion Pfaffiana

dQ = Xdx + Y dy + Zdz, (4.18)

en la cual X,Y,Z, son funciones de las variables x,y,z. Nuestra ecuacion termodinamica (3.23) tieneesta forma. La razon dx : dy : dz define una direccion en un subespacio vectorial de R3, porque si




pensamos en un vector dr = dxı + dyˆ + dzk, entonces dr nos define una direccion en R3, por lotanto cualquier tupla de numeros reales (a,b,c), que satisfaga la misma razon que define a dr enR3, define tambien la misma direccion, aunque la magnitud del vector definido por la tupla (a,b,c)pueda ser diferente que |dr|. La ecuacion dQ = 0, correspondiente a (4.18), especifica que dx,dy,dzdeben satisfacer una ecuacion lineal en cada punto del espacio, y por ende determina cierto planotangencial en cada punto del espacio (x, y, z). De esta manera, cada derivada o cociente, dy

dx , dydz , dz

dx ,nos representa una pendiente del vector de direcciones, que para este caso es un vector de R3, ademasestamos considerando estados en equilibrio, ası que los cocientes existen, ademas son continuos ydefinidos. Una solucion de la ecuacion Pfaffiana, dQ = 0, que pasa por un punto dado (x, y, z), debe

residir en el plano tangencial correspondiente a dicho punto; pero su direcci on en el plano tangencialen arbitraria.

En general, dQ no sera una diferencial perfecta. En el caso de que lo fuera tendrıamos laigualdad, dQ = dσ, donde σ es alguna funcion de x,y,z, tal que

dQ = dσ(x, y, z) =∂σ

∂xdx +

∂σ

∂ydy +

∂σ

∂zdz. (4.19)

De tal forma, al comparar (4.19) con (4.18) tenemos las siguientes relaciones,

X =∂σ

∂x, Y =

∂σ

∂y, Z =

∂σ

∂z; (4.20)

∂Y ∂z

= ∂Z ∂y

, ∂Z ∂x

= ∂X ∂z

, ∂X ∂y

= ∂Y ∂x

. (4.21)

Las relaciones (4.21) nos son necesariamente validas para funciones arbitrarias X,Y,Z.

Podrıamos preguntar cuando una expresion Pfaffiana acepta factores integrantes, es decir, cuandoes posible determinar una funcion τ (x, y, z) tal que

dQ

τ (x, y, z)= dσ =

∂σ

∂xdx +

∂σ

∂ydy +

∂σ

∂zdz. (4.22)

Si pudieramos determinar un factor integrante τ (x, y, z), entonces toda solucion de la ecuaciondiferencial dQ = 0 serıa tambien solucion de dσ = 0; o la solucion podrıa escribirse en la forma

σ(x, y, z) = constante; esto es, las soluciones pueden ser cualquier curva arbitraria que resida encualquier superficie uni-parametrica de la familia σ(x, y, z) = constante. Es importante notar queen general no es posible encontrar factores o denominadores integrantes para expresiones Pfaffianasde mas de tres variables, e.g. dos fluidos en contacto termico [7], excepto bajo algunas circunstanciasmuy especiales; podemos verificarlo mediante algunos ejemplos. Es necesario apreciar esto, porqueprecisamente estas circunstancias especiales las encontramos en termodinamica.

La existencia de factores integrantes para expresiones Pfaffianas de m as de dos variables no esun caso trivial. Lo probaremos mediante el siguiente ejemplo, tomado del libro de Max Born [7].Consideremos la ecuacion

dQ = −ydx + xdy + kdz = 0, (4.23)

donde k es una constante. Si esta expresion Pfaffiana admitiera algun denominador integrante τ entonces

dQ

τ = −

y

τ dx +

x

τ dy +

k

τ dz = dσ (4.24)

es una diferencial perfecta. Por lo tanto deberıamos tener

∂σ

∂x= −

y

τ ;

∂σ

∂y=

x

τ ;

∂σ

∂z=

k

τ . (4.25)



4.2. EL ROTACIONAL. 27

Entonces tenemos∂

∂y

y

τ

= −

1

τ +

y

τ 2τ

y=

∂

∂x

x

τ

=

1

τ −

x

τ 2∂τ

∂x, (4.26)

podemos expresarlo

2τ = x∂τ

∂x+ y

∂τ

∂y. (4.27)

Continuamos el procedimiento para el siguiente par de variables

∂

∂z

−

y

τ

=

y

τ 2

∂τ

∂z =

∂

∂xk

τ

= −

k

τ = −

k

τ 2

∂τ

∂x , (4.28)

de esta expresion obtenemos∂τ

∂x= −

y

k

∂τ

∂z. (4.29)

De la misma manera para el ultimo par de variables

∂

∂y

k

τ

= −

k

τ 2∂τ

∂y=

∂

∂z

x

τ

= −

x

τ 2∂τ

∂z, (4.30)

de la misma manera tambien obtenemos

∂τ

∂y=

x

k

∂τ

∂z. (4.31)

A partir de las relaciones anteriores (4.27), (4.29) y (4.31) solo tenemos la unica posibilidad para elfactor integrante es τ ≡ 0 lo cual contradice nuestra hipotesis.

4.2. El rotacional.

Consideremos a una partıcula que se mueve a lo largo de una trayectoria curva C, a traves delespacio. Un vector de posicion para cada punto en el espacio r = xi + yˆ j + zk, y un elemento de arcodr entre los puntos P y Q como se muestra en la figura 4.2. Sea el operador vectorial diferencial ,

f f f f f f f f f f w

T I

C

r + drr

dr

0

P

Q

Figura 4.1: Pequena seccion de la curva C representada por el elemento de arco dr.

= i∂

∂x+ ˆ j

∂

∂y+ k

∂

∂z, (4.32)




en simbolismo formal, que tiene la ventaja de que nos permite generalizar a n dimensiones

=n

i=1

D1 · ei, (4.33)

donde D1 es un operador diferencial de primera derivada y ei es un vector unitario en la direccionde alguno de los ejes coordenados.

Definimos R3, como el conjunto de tuplas ordenadas (x, y, z) con x, y, z numeros reales. Lla-mamos a v vector de R3, a una tupla ordenada (x, y, z). El espacio tangente a R3 en p, es el conjuntode tuplas ( p,v), tales que tanto p como v pertenecen a R3 y se denota como R3

p. Si definimos unpar de operaciones con los elementos del espacio tangente

( p, v) + ( p, w) = ( p, v + w),

a · ( p, v) = ( p,av),

entonces el espacio tangente, R3 p, es un espacio vectorial.

De esta manera, A es un campo vectorial en R3, definido como una regla que asocia a cada punto otupla p, de R3, un vector que pertenece al espacio tangente.Sea A = (Ax, Ay, Az) un campo vectorial definido en R3, ahora utilizamos el operador y recor-

damos la definicion usual del rotacional de un campo vectorial A,

× A = i

∂Az

∂y−

∂Ay

∂z

+ ˆ j

∂Ax

∂z−

∂Az

∂x

+ k

∂Ay

∂x−

∂Ax

∂y

. (4.34)

Tambien podemos definir al rotacional en terminos integrales. Sea una lınea orientada a, es-cogida arbitrariamente, que pasa por un punto P ; ahora en el plano que contiene a P y es normala a dibujemos una curva cerrada C alrededor de P, denotemos el area encerrada por ∆σ. Sea Ar lacomponente de A en la direccion del elemento de arco dr tomado en el sentido de la regla de la manoderecha respecto al eje a, expresaremos Ar · dr, por simplicidad como Ardr. Ahora consideremos laintegral de lınea

Ardr, la circulaci´ on segun Lord Kelvin. El l ımite del cociente de la circulacion al

area ∆σ es

a · ( × A) = [ × A]a = lım∆σ→0

1∆σ

Ardr (4.35)

La definicion integral le da significado geometrico al operador rotacional definido formalmente conmedios analıticos. La ventaja de las definiciones geometricas es que mantienen su validez en sistemasde coordenadas generales y esto permite una transicion simple entre cualquier sistema de coordenadascurvilıneas [45].

4.3. Ecuaciones diferenciales totales en tres variables

En tres dimensiones, una ecuacion de Pfaff es del tipo:

P (x, y, z)dxds

+ Q (x,y,z)dyds

+ R (x, y, z)dzds

= 0 (4.36)

y existe una conexion entre una ecuacion Pfaffiana y el sistema de ecuaciones diferenciales de lasiguiente forma:

dx

P (x,y,z)=

dy

Q (x, y, z)=

dz

R (x, y, z). (4.37)



4.3. ECUACIONES DIFERENCIALES TOTALES EN TRES VARIABLES 29

Por ejemplo la ecuacion (4.36) es “exactamente integrable” cuando se cumplen las siguientes condi-ciones

∂P (x,y,z)

∂y−

∂Q (x,y,z)

∂x= 0,

∂Q (x, y, z)

∂z−

∂R (x,y,z)

∂y= 0,

∂R (x, y, z)

∂x−

∂P (x, y, z)

∂z= 0 (4.38)

y su integral general determina la familia de superficies en el espacio R3

V (x, y, z) = constante,

las cuales son ortogonales a las lıneas del campo vectorial

N = (P (x,y,z) , Q (x, y, z) , R (x, y, z)) . (4.39)

En el caso mas general

P (x, y, z)

∂Q (x, y, z)

∂z−

∂R (x, y, z)

∂y

+

Q (x, y, z)

∂R (x, y, z)∂x − ∂P (x, y, z)∂z

+

R (x, y, z)

∂R (x, y, z)

∂y−

∂Q (x, y, z)

∂x

= 0 (4.40)

la ecuacion (4.36)

µ (P (x, y, z) dx + Q (x,y,z) dy + R (x, y, z) dz) = dU (x, y, z) (4.41)

tambien es integrable mediante un “multiplicador o denominador integrante” µ que determina unafamilia de superficies U (x, y, z) = constante que pasan por cada punto del espacio y son ortogonalesal campo vectorial (4.39).El campo vectorial (4.39) en el espacio R3 con las condiciones

(A · × A) = 0 (4.42)

se denomina holon´ omico. Las aplicaciones fısicas clasicas se restringen a los casos donde la dimensionPfaffiana es menor o igual a 2, tales son los casos en los que se tiene un dominio de integrabilidad ´ unica .

Presentamos el “metodo de integracion” para ecuaciones diferenciales de tres variables expuestopor Forsyth [23] y Page [36]. Dada una ecuacion en tres variables,

F (x, y, z, c) = 0, (4.43)

podemos encontrar diferenciando

∂F

∂xdx +

∂F

∂ydy +

∂F

∂zdz = 0,

donde c se ha eliminado por el hecho de F = 0. Este resultado lo podemos expresar como unaecuaci´ on diferencial total:

P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz = 0. (4.44)




Si se resuelve (4.43) en terminos de c de la forma

Ω(x, y, z) = c, (4.45)

y la diferenciamos,

dΩ =∂ Ω

∂xdx +

∂ Ω

∂ydy +

∂ Ω

∂zdz = 0, (4.46)

Llamamos diferencial exacta a la ecuacion (4.46) y debe ser equivalente a (4.44), dado que Ω = ces equivalente a F = 0. Ası, dada una ecuacion de la forma (4.44), es posible reducirla a una forma

exacta (4.46) si y solo si se cumplen ciertas condiciones. Esto es, debe existir una funci on µ(x, y, z)tal que,

∂ Ω

∂x= µ(x,y,z)P,

∂ Ω

∂y= µ(x, y, z)Q,

∂ Ω

∂z= µ(x, y, z)R; (4.47)

y como se deben cumplir las siguientes igualdades,

∂ 2Ω

∂y∂x=

∂ 2Ω

∂x∂y,

∂ 2Ω

∂x∂z=

∂ 2Ω

∂z∂x,

∂ 2Ω

∂y∂z=

∂ 2Ω

∂z∂y,

en terminos del factor µ,

∂

∂y(µP ) =

∂

∂x(µQ),

∂

∂z(µP ) =

∂

∂x(µR),

∂

∂z(µQ) =

∂

∂y(µR),

podemos obtener de aquı,

µ

∂P

∂y−

∂Q

∂x

= Q

∂µ

∂x− P

∂µ

∂y,

µ

∂Q

∂z−

∂R

∂y

= R

∂µ

∂y− Q

∂µ

∂z,

µ

∂R

∂x−

∂P

∂z

= P

∂µ

∂z− R

∂µ

∂x,

si ahora multiplicamos estas ecuaciones por R, P, Q respectivamente y luego las sumamos, encon-traremos como primera condici´ on , que (4.44) deba tener una integral general de la forma (4.45),

calculando,P

∂Q

∂z−

∂R

∂y

+ Q

∂R

∂x−

∂P

∂z

+ R

∂P

∂y−

∂Q

∂x

= 0. (4.48)

En terminos geometricos, (4.48) nos define el plano tangente a (4.43), su vector normal es el

campo F = (P, Q, R), multiplicado por dr = (dx,dy,dz), que si las consideramos como diferenciasfinitas, esto es (x−x0, y −y0, z −z0) nos define precisamente la ecuacion “normal” del plano tangenteen un punto P 0(x0, y0, z0).

Expresado en el lenguaje del analisis vectorial, (4.48) es equivalente a las condiciones de inte-

grabilidad expresadas en una forma equivalente por Sommerfeld como F · × F = 0.

Ası al cumplirse estas condiciones, una ecuacion del tipo (4.44) puede obtenerse a partir de unaecuacion del tipo(4.45). Estas condiciones se satisfacen si las variables en (4.44) pueden separarse detal manera que P, Q y R contengan unicamente las variables x, y y z respectivamente; en tal caso laintegral general de (4.44) estara dada en la forma

P (x)dx +

Q(y)dy +

R(z)dz = constante.




En ocasiones la ecuacion (4.44) puede convertirse en una ecuacion exacta mediante un factorintegrante.

En el caso de que las variables en (4.44) no puedan separarse por inspecci on directa y tampocosea posible encontrar un factor integrante adecuado, el metodo para integrar una ecuacion del tipo(4.44) es como sigue:

Como la condicion (4.48) se satisface, existe la integral general de (4.44) de la forma (4.45), queal ser diferenciada totalmente, conduce a una ecuacion equivalente a (4.44). Ası, considerando a una

de las variables en (4.45), x digamos, temporalmente constante; entonces la ecuacion resultante aldiferenciar totalmente a (4.45) tendra la forma

Qdy + Rdz = 0 (4.49)

Ahora la integral general de la ecuacion diferencial ordinaria en dos variables (4.49) incluira la integralgeneral de (4.44), si en lugar de introducir una constante de integracion arbitraria, introducimosuna funcion de x arbitraria. Para determinar la forma de esta funcion de x, es necesario diferenciarla integral general de (4.49), considerando x tambien como variable y luego comparar la ecuaciondirerencial total resultante con (4.44). Esto nos conduce a una segunda ecuaci on diferencial ordinariaa partir de la cual es posible determinar la funcion arbitraria en x.La opcion de la variable a considerar como constante depende de la facilidad de integracion de (4.49),en ocasiones sera mas facil integrar alguna de las siguientes ecuaciones

P dx + Rdz = 0 P dx + Qdy = 0

que resultan de considerar a y, z respectivamente como constantes, que integrar (4.49).

Introduciremos algunos ejemplos para ver la parte operativa de lo arriba mencionado, para talefecto, integraremos las ecuaciones propuestas despues de verificar que las condiciones (4.48) sesatisfacen para cada ecuacion dada:

Ejemplo 1

xzdx + zydy = (x2 + y2)dz (4.50)

Primero verificamos las condiciones (4.48),

∂P ∂y

= 0, ∂P ∂z

= x,

∂Q

∂x= 0,

∂Q

∂z= y,

∂R

∂x= −2x,

∂R

∂y= −2y,

luego multiplicando cada diferencia de terminos por su correspondiente coeficiente de acuerdo a(4.48) tenemos

xz(y + 2y) + zy(−2x − x) + (0)(x2 + y2) = 0,

ası, las condiciones se satisfacen. Ahora suponemos z = constante, integramos (4.50), el terminocorrespondiente a dz se anula e introducimos una funcion arbitraria de z

xdx + ydy = 0

1

2x2 +

1

2y2 = φ(z) (4.51)

diferenciamos totalmente esta ecuacion

xdx + ydy =dφ(z)

dzdz




Figura 4.2: Ejemplo de superficie adiabatica, σ(x, y, z) = c, solucion de la Pfaffiana dQ ≡ 0.

que al compararla con (4.50) nos determina la igualdad

x2 + y2

z=

dφ(z)

dz

a partir de (4.51) tenemos2φ

z =dφ

dz

la cual puede separarse y resolverse como ecuacion diferencial ordinaria en dos variables

dφ

φ= 2

dz

z

integrandolaln φ(z) = 2ln z + C 1 ⇒ φ(z) = C 2z2

finalmente, sustituyendo en (4.51)1

2x2 +

1

2y2 = C 2z2

nos da la forma de la solucion general

x2 + y2z2

= C

Podemos ver que operativamente las condiciones (4.48) pueden ser expresadas en terminosvectoriales como

F · × F = 0, (4.52)

de donde tenemos que × F = 0 es una condicion suficiente, mas no necesaria para encontrar una forma integral del tipo (4.45). Podrıamos vernos tentados a aplicar una identidad vectorial tipo

a · b × c = b · c × a

sin embargo, es un operador diferencial, ası que no puede ser tratado formalmente como un vector,

por lo tanto la relacion (4.52) no es trivial.

Ejemplo 2

(x − 3y − z)dx + (2y − 3x)dy + (z − x)dz = 0 (4.53)

verificamos que se cumplan las condiciones (4.48)

∂P

∂y= −3,

∂P

∂z= −1,

∂Q

∂x= −3,

∂Q

∂z= 0,

∂R

∂x= −1,

∂R

∂y= 0,

(x − 3y − z)(0) + (2y − 3x)(−1 + 1) + (z − x)(−3 + 3) = 0,

tomamos x = constante, entonces integramos

(2y − 3x)dy + (z − x)dz = 0,

y2 − 3xy +1

2z2 − xz = φ(x),




Figura 4.3: Solamente los puntos que pertenecen a la superficie son adiab aticamente accesibles;algunos puntos crıticos.

diferenciamos totalmente

(2ydy − 3xdy) − (3ydx − zdx) + (z − x)dz =dφ

dxdx,

comparamos con la ecuacion original (4.53) y encontramos finalmente la forma integral

dφ

dx= −x, ⇒ φ(x) = −

1

2x2,

x2 + y2 − 6xy + z2 − 2xz = C.

(4.54)

Ejemplo 3

ay2z2dx + bx2z2dy + cx2y2dz = 0 (4.55)


∂P

∂y

= 2ayz2,∂P

∂z

= 2ay2z,

∂Q

∂x= 2bxz2,

∂Q

∂z= 2bx2z,

∂R

∂x= 2cxy2,

∂R

∂y= 2cx2y,

escogemos un factor integrante

µ =

1

x2y2z2

y lo multiplicamos a la ecuacion (4.55), ası tenemos la ecuacion equivalente integrable

a

dx

x2+ b

dy

y2+ c

dz

z2= 0

integrando esta ecuacion obtenemos finalmente la forma integral

a

x+

b

y+

d

z= C

Ejemplo 4

(y + a)2dx + zdy − (y + a)dz = 0 (4.56)


∂P

∂y= 2(y + a),

∂P

∂z= 0,

∂Q

∂x= 0,

∂Q

∂z= 1,

∂R

∂x= 0,

∂R

∂y= −1,

−(y + a)2(2) + z(0) + (y + a)(2(y + a)) = 0,




Figura 4.4: Representacion de una superficie adiabatica como solucion de una ecuacion Pfaffiana detres variables independientes.

tomamos y = constante, entonces integramos

dx −1

y + adz = 0, x −

z

y + a= φ(y),

diferenciamos totalmente y reducimos el factor comun

dx + z(y + a)2

dy − 1y + a

dz = dφdy

dy,

(y + a)2dx + zdy − (y + a)dz = (y + a)2dφ

dydy,

comparamos con la ecuacion original (4.56) y encontramos finalmente una solucion general y unagrafica de una solucion particular

(y + a)2dφ

dydy = 0,

dφ

dy= 0, ⇒ φ(y) = C,

comparamos la ultima ecuacion con (4.3)

x = C +z

y + a. (4.57)

Ejemplo 5

(y2 + yz)dx + (xz + z2)dy + (y2 − xy)dz = 0 (4.58)


∂P

∂y= 2y + z,

∂P

∂z= y,

∂Q∂x

= z, ∂Q∂z

= x + 2z,

∂R

∂x= −y,

∂R

∂y= −x + 2y,

(y2 + yz)(x + 2z + x − 2y) + (xz + z2)(−y − y) + (y2 − xy)(2y + z − z) = 0,

tomamos z = constante, entonces separamos variables e integramos mediante fracciones parciales dx

x + z+

zdy

y(y + z)dz = 0,

y(x + z)

y + z= φ(z),

diferenciamos totalmente, agrupamos terminos y reducimos el factor comun

y

y + zdx +

x

y + zdy −

xy

(y + z)2dy

+z

y + zdy −

yz

(y + z)2dy −

xy

(y + z)2dz

+y

y + zdz −

yz

(y + z)2dz =

dφ

dzdz,




Figura 4.5: Superficie adiabatica, con comportamiento particular sobre una l ınea determinada poruna ecuacion Pfaffiana.

Figura 4.6: Superficie adiabatica concava.

comparamos con la ecuacion original (4.58), encontramos finalmente una solucion general y unagrafica de una solucion particular

(y + z)2dφ

dzdz = 0,

dφ

dz= 0, ⇒ φ(z) = C,

y(x + z) = C (y + z)

Ejemplo 6

(y + z)dx + dy + dz = 0 (4.59)


∂P

∂y= 1,

∂P

∂z= 1,

∂Q

∂x= 0,

∂Q

∂z= 0,

∂R

∂x= 0,

∂R

∂y= 0,

(y + z)(0) + (−1) + (1) = 0,


dy + dz = 0,y + z = φ(x),

diferenciamos totalmente,

dy + dz =dφ

dxdx,

comparamos con la ecuacion original (4.59), encontramos finalmente una solucion general y unagrafica de una solucion particular

−dφ

dx

= y + z,

dφ

φ= −dx,

ln φ = −x + C ⇒ φ(x) = C exp −x,

(exp x)(y + z) = C.




Figura 4.7: Superficie adiabatica con comportamiento particular.

Ejemplo 7

yzdx = xzdy + y2dz (4.60)


∂P

∂y= z,

∂P

∂z= y,

∂Q

∂x= −z,

∂Q

∂z= −x,

∂R

∂x= 0,

∂R

∂y= −2y,

(yz)(−x + 2y) − (xz)(−y) − y2(2z) = 0,


xzdy + y2dz = 0,

ln z

x−

1

y= φ(x), (4.61)

diferenciamos totalmente y reducimos terminos,

dφ

dx+

1

xφ(x) = 0,

esta es una ecuacion diferencial lineal ordinaria que acepta un factor integrante

µ(x) = exp

1

xdx = x,

ası resolvemos para φ(x) y finalmente completamos la solucion al igualar este resultado con (4.61)

φ(x) =C

x,

x

y− ln z = C.

Ejemplo 8

(2x2 + 2xy + 2xz2 + 1)dx + dy + 2zdz = 0 (4.62)


∂P

∂y= 2x,

∂P

∂z= 4xz,

∂Q

∂x= 0,

∂Q

∂z= 0,

∂R∂x

= 0, ∂R∂y

= 0,

−4xz + 2z(2x) = 0,

tomamos y = constante, entonces tenemos

(2x2 + 2xy + 2xz2 + 1)dx + 2zdz = 0, (4.63)




Figura 4.8: Superficie adiabatica.

que al multiplicarla por el factor integrante exp(x2), se convierte en una ecuacion diferencial exactadel tipo1

M (x, z)dx + N (x, z)dz = 0

Integramos N (x, z) respecto a z y encontramos una ecuacion en dos variables con una funcionarbitraria de x,

f (x, z) = z2

exp(x2

) + φ(x), (4.64)diferenciamos parcialmente (4.64) respecto a x, comparamos con (4.63) y reducimos terminos seme-

jantes, ası tenemosdφ(x)

dx= exp(x2)(2x2 + 2xy + 1),

que integramos, primero por partes y por sustitucion despues, e introducimos una funcion arbitrariade y en lugar de una constante de integracion para sustituir este resultado en nuestra funcion (4.64)

φ(x) = x exp(x2) + y exp(x2) + φ(y),

f (x, z) = exp(x2)(x + y + z2) + φ(y), (4.65)

ahora nos resta diferenciar totalmente (4.65) y compararla con la ecuaci on original (4.62) para

determinar el valor de φ(y). Al comparar el resultado de diferenciar totalmente (4.65) con (4.62)obtenemosdφ(y)

dy= 0

por lo tanto la forma de integral de la ecuacion original (4.62) es

exp(x2)(x + y + z2) = C

1consideramos y constante






Capıtulo 5

Teorema de Caratheodory

Dada una ecuacion Pfaffiana en dos variables (x, y), por cada punto del plano (x, y) pasa solo unacurva de la familia σ(x, y) = c, i.e. una solucion de la ecuacion Pfaffiana por el teorema de existenciay unicidad de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias. Por lo tanto a partir de algun puntoP en el plano, no podemos conectar todos los puntos en la vecindad del punto P mediante curvasque satisfagan la ecuacion Pfaffiana. Es decir que no todos los puntos en la vecindad de un punto

dado son accesibles desde el punto en cuestion mediante trayectorias adiabaticas, dQ ≡ 0.

Consideremos una expresion Pfaffiana en n variables en Rn,

dQ =

ni=1

X idxi, (5.1)

en la cual X i, son funciones de las variables xi. Si admite un factor integrante, la situacion es la mismaque en el plano; todas las soluciones residen en una u otra familia de hipersuperficies σ(x) = c, (n−1)-dimensionales, con x = (x1, . . . , xn), ası que no podemos acceder a todos los puntos en la vecindad oentorno de un punto en particular mediante curvas adiabaticas. Solamente seran accesibles los puntosque residan en una hipersuperficie perteneciente a la familia σ(x) = c, que pase por el punto que seeste considerando. Para cada punto existe una hipersuperficie adiabatica y para cada hipersuperficie

adiabatica existe un conjunto convexo de puntos. Todo punto del subespacio analizado pertenece auna, y solamente una, superficie adiabatica.

El teorema de Caratheodory afirma que, si en el entorno arbitrariamente pequeno de un punto,existen puntos inaccesibles a este a lo largo de las curvas soluciones de la ecuaci on Pfaffiana, entoncesla expresion Pfaffiana admite un factor integrante.

Teorema 2. Si una expresion Pfaffiana

dQ =n

i=1

X idxi, (5.2)

tiene la propiedad de que en cualquier entorno arbitrariamente pequeno de un punto P, existenpuntos inaccesibles, esto es, puntos que no pueden conectarse a P mediante curvas que satisfagan laecuacion dQ = 0, entonces la expresion Pfaffiana debe admitir un denominador integrante.

Prueba. Supongamos [14] que las soluciones a la ecuacion Pfaffiana, son funciones razonablementebien comportadas, continuas y suaves. Entonces todos los puntos que son accesibles a un puntodado, P 0, a lo largo de curvas que sean soluciones de la ecuaci on Pfaffiana y que estan en suvecindad inmediata, deben formar, junto con P 0, un dominio continuo de puntos; por lo tanto

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40 CAP ITULO 5. TEOREMA DE CARATH EODORY

tenemos tres posibilidades: todos los puntos accesibles en la vecindad inmediata de P 0 o bien formanun hipervolumen , n -dimensional, que contiene a P 0, o un elemento superficial de co-dimension uno,que contiene a P 0, o un elemento superficial de co-dimension mayor a uno, que contiene a P 0. Laprimera posibilidad queda excluida porque todos los puntos en una vecindad suficientemente cercanaa P 0 serıan entonces accesibles a P 0; esto contradice nuestra hipotesis de que en la vecindad de unpunto, sin importar cuan cerca, siempre existen puntos inaccesibles a este. La ultima posibilidadtambien se excluye porque dQ =

i X idxi = 0, ya define un elemento superficial infinitesimal

de dimension n − 1 que contiene solamente puntos accesibles a P 0, de hecho, si consideramos dxi,como diferencias finitas (x1 − x1,0, . . . ), dQ nos representa la ecuacion “normal” de un hiperplano

Euclidiano de dimension n − 1, con vector normal N = (X 1, . . . ). Por lo tanto, los puntos accesiblesa P 0 y que se encuentran en su vecindad deben forman un elemento superficial, dF 0 de co-dimensionuno. Aplicando el mismo razonamiento a los puntos en la frontera de este elemento superficial,vamos construyendo una hipersuperficie continua en cierta region del espacio. Para un punto que noesta contenido en la hipersuperficie F 0, podemos construir otra hipersuperficie F 1 que sı lo contengay que una otro conjunto de puntos que puedan conectarse mediante las curvas definidas por laecuacion Pfaffiana (3.23), i.e. curvas adiabaticas. De esta manera podemos cubrir completamenteuna region del espacio mediante hipersuperficies adiabaticas que no se intersecan y satisfacen laecuacion Pfaffiana (3.23), de tal forma que solamente los puntos contenidos en cada hipersuperficieson accesibles entre ellos mismos y no desde algun punto en otra hipersuperficie.

Estas superficies forman entonces una familia uni-parametrica de superficies, σ(x) = constante,tal que dσ = 0 implica dQ = 0. Por ende, debemos tener

dQ = τ (x)dσ(x), (5.3)

de donde

τ =X 1∂σ∂x1

= · · · =X n∂σ∂xn

. (5.4)

La familia de superficies, σ(x) = constante, puede escribirse tambien como alguna funcionS (σ), arbitraria en σ, por ejemplo S [σ(x)] = constante, ası la diferencial total de S es combinadacon la definicion (5.3)

dS =dS

dσdσ =

dS

dσ

dQ

τ ;

dS =n

i=1

∂S

∂xidxi,

dQ = T (x)dS, (5.5)

ası igualando los polinomios, termino a termino, a partir de la definicion (5.2)

T = τ dσ

dS =

X 1∂S∂x1

= · · · =X n∂S∂xn

. (5.6)

El teorema de Caratheodory expresa la equivalencia matematica entre la accesibilidad a lo largode curvas dQ = 0 con la existencia de denominadores integrantes τ (x) para Q, ahora mostraremoscomo ademas contiene la esencia de la segunda ley de la termodinamica.

5.1. El teorema de Caratheodory en el lenguaje de formas

En mas de tres dimensiones es muy conveniente el lenguaje de las formas diferenciales como mos-tramos a continuacion. Sea

α = f 1dx1 + · · · + f ndxn,



5.1. EL TEOREMA DE CARATH EODORY EN EL LENGUAJE DE FORMAS 41

una forma diferencial lineal en Rn, donde las f i son todas funciones en Rn. Llamamos a α 1-forma.

Para generalizar al rotacional y, entre otras cosas, al teorema de Stokes para n dimensiones, sea R

el campo de numeros reales a, b, c, . . . y sea L un subespacio vectorial definido en Rn con elementosα , β , . . . , con estos elementos podemos construir para cada p = 0, 1, 2, . . . , n un nuevo subespaciovectorial

pL

sobre R, llamado el espacio de p − vectores en L. Definimos

0L = L,

1L = L.

Los subespacios

pL poseen una operacion llamada multiplicaci´ on exterior, o producto cu˜ na,∧. Multiplicamos un p − vector µ por un q − vector ν para obtener un ( p + q) − vector (µ ∧ ν )

∧ :

pL

×

qL

→

p+qL.

Por lo tanto tenemos para todos los p− y q−vectores:

(α1 ∧ · · · ∧ α p) ∧ (β1 ∧ · · · ∧ βq) = α1 ∧ · · · ∧ α p ∧ β1 ∧ · · · ∧ βq.

Las propiedades basicas del producto exterior son

λ ∧ µ es distributivo,

λ ∧ (µ ∧ ν ) = (λ ∧ µ) ∧ ν, ley asociativa,

λ ∧ µ = (−1) pqµ ∧ λ.

La tercera propiedad establece que dos vectores cualquiera de grado impar son anticonmutativos, deotra manera los vectores son conmutativos.

Ası,

2L consiste de todas las sumas ai (αi ∧ βi)

sujetas a las condiciones

(a1α1 + a2α2) ∧ β − a1(α1 ∧ β) − a2(α2 ∧ β) = 0,α ∧ (b1β1 + b2β2) − b1(α ∧ β1) − b2(α ∧ β2) = 0,

α ∧ α = 0,

α ∧ β + β ∧ α = 0.

Aquı α , β , . . . son vectores en L y a , b , . . . son numeros reales;

Como ejemplo tomemos para L el espacio lineal basado en las 1-formas dxi. El producto exterior de las 1-formas dxi y dxj , se puede escribir como

dxi ∧ dxj = dxi ⊗ dxj − dxj ⊗ dxi.

Podemos finalmente, establecer una operacion d, llamada derivada exterior , que manda a cadaforma diferencial, p − forma, ω, a una ( p + 1) − forma, dω. El kernel de d son las llamadas formascerradas y la imagen de d son llamadas las formas exactas. En coordenadas locales (xi, . . . ,n ), sesatisface que si f es una funcion, df es la diferencial usual

df =i

∂f

∂xidxi.




y que d2f = 0. Ademas d(α ∧ β) = dα ∧ β + (−1)rα ∧ dβ, si α es una r-forma. Para la r-forma

ω =

i1,...,ir

f i1,...,irdxi1 ∧ · · · ∧ dxir ,

se tiene

dω =

i

∂f i1,...,ir∂xi

dx ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxir .

Ejemplos. En L3

, las componentes del producto

(Adx + Bdy + Cdz ) ∧ (Edx + F dy + Gdz) =

(BG − CF )dy ∧ dz + (CE − AG)dz ∧ dx + (AF − BE )dx ∧ dy,

corresponden precisamente a las componentes del producto cruz de dos vectores ordinarios [22].

Tenemos, para una 0 − forma f = f (x, y, z),

df =∂f

∂xdx +

∂f

∂ydy +

∂f

∂zdz (5.7)

para una 1 − forma, ω = P dx + Qdy + Rdz,

dω =∂R

∂y −

∂Q

∂z

dydz +∂P

∂z −

∂R

∂x

dzdx +∂Q

∂x −

∂P

∂y

dxdy, (5.8)

de esta manera el operador d expresa al operador gradiente f, al operador rotacional × F , y aloperador divergencia · F . Ası identificamos a una 2 − forma, dω, con un campo vectorial polaren R3.

Ahora bien, si existiese una funcion dos veces diferenciable f (x) tal que α = df entoncestendrıamos

f i =∂f

∂xi,

y por tanto∂ 2f

∂xi∂xj=

∂ 2f

∂xj∂xi.

Notemos que en general

dα =ij

∂f i∂xj

dxi ∧ dxj =i<j

∂f i∂xj

−∂f j∂xi

dxi ∧ dxj ,

por lo que dα = 0 implica las n(n − 1)/2 condiciones

∂f j∂xi

=∂f i∂xj

.

Si α no es integrable pero es tal que admite un factor integrante, por ejemplo, que puede expresarsecomo α = g df en terminos de dos funciones f y g, entonces dα = dg ∧ df ası que

α ∧ dα = gdf ∧ dg ∧ df = 0.

Este resultado es un caso particular del criterio resultante del teorema de Frobenius (1849-1917)para sistemas de Pfaff y es ademas la generalizacion de la condicion A · × A, del problematridimensional abordado por Sommerfeld. Para ver esto ultimo en detalle, reescribamos al calculovectorial tridimensional de Sommerfeld en terminos de 1-formas. Tomemos

α =3

i=1

αidxi, df =3

j=1

∂f

∂xjdxj = λα.



5.1. EL TEOREMA DE CARATH EODORY EN EL LENGUAJE DE FORMAS 43

Aquı g corresponde al inverso del factor integrante λ y f es la funccion potencial φ0 asociada a A0,esto es, tal que A0 = φ0 ≈ df . Ahora, el analogo de

× A0 = λ × A + ( λ) × A = 0,

es

d2f = λdα + dλ ∧ α = 0.

Tomando el producto punto con A en la primera y el producto cuna con α en la segunda se terminael calculo, ya que tales productos son completamente analogos. Explıcitamente,

A · ( λ × A) = A1(∂λ

∂x2A3 −

∂λ

∂x3A2) + A2(

∂λ

∂x3A1 −

∂λ

∂x1A3) + A3(

∂λ

∂x1A2 −

∂λ

∂x2A1) = 0.

Mientras que para las 1-formas, escribiendo dλ =

i βidxi, se obtiene

α ∧ (dλ ∧ α) = α3(β1α2 − β2α1)dx3 ∧ dx1 ∧ dx2 + α1(β2α3 − β3α2)dx1 ∧ dx2 ∧ dx3+

α2(β3α1 − β1α3)dx2 ∧ dx3 ∧ dx1 = 0.

Por el contrario, si consideramos la 1- forma α = dz + xdy, definida en R3 y que no esta dadapor el producto de alguna funcion g por una diferencial exacta, tendremos dα = dx ∧ dy. Ası que

α ∧ dα = dx ∧ dy ∧ dz,

la cual nunca es cero. Esta 1-forma lleva en particular a la distribuci on mas elemental posible, ladistribucion de Heisenberg, que junto con una metrica Riemanniana, define a una estructura sub-Riemanniana.

Si tomamos un punto P, entonces el valor de α en P lo podemos pensar como el vector columna(A1(P ), . . . , An(P )). Si tal vector es diferente del vector cero, su espacio nulo es el espacio (n − 1)-dimensional de todos los

X =

X 1

...X n

tales que A1(P)X 1 + · · · + An(P)X n = 0. Sea γ = x(t) una curva diferenciable a pedazos. Entonces

γ

α =

[A1(x(t))x1(t) + · · · + An(x(t))xn(t)]dt.

En particular, si para cada t el vector tangente

x(t) =

x(t)1...

x(t)n

cae en el espacio nulo de (A1(x(t)), . . . , An(x(t))), entonces la integral

γ

α = 0.

Una curva γ es llamada curva nula 1 de α si γ es diferenciable, continua y ademas en cada t para losque x(t) esta definido, x(t) cae en el espacio nulo de (A1(x(t)), . . . , An(x(t))).

1null curve




Para tener una idea geometrica del teorema de Caratheodory, consideremos el problema de unirpuntos en el espacio mediante curvas nulas [4]. Iniciemos en un punto P y para una funcion f definamos α = df . Entonces si γ es una curva nula que une a los puntos P y Q, se cumple que

γ

α = f (Q) − f (P) = 0.

Entonces debemos tener f (P) = f (Q). Si df = 0, el conjunto f (P) = κ es una superficie (n-1)-dimensional que pasa por P, y con la condicion de que Q se encuentre en esta superficie. Enparticular, habra puntos arbitrariamente cercanos a P que no podran unirse a P por la accion de

curvas nulas.

Lo mismo es cierto si α = gdf donde g es alguna funcion diferente de cero y df = 0. Esto sedebe a que γ es una curva nula de α si, y solo si, es una curva nula para g−1α = df . Las condicionespara que γ sea una curva nula son las mismas; Q debe residir en la superficie (n − 1)-dimensionalf = f (P) para que sea posible unir P a Q mediante una curva nula de α.

Podemos enunciar el teorema de Caratheodory utilizando este lengua je.

Teorema 3. Sea α una forma diferencial lineal con la propiedad de que para cualquier punto P

existen puntos Q arbitrariamente cercanos a P, que no pueden unirse a P con una curva nula de α.Entonces, existen funciones locales, f y g tales que α = fdg.

Recordemos finalmente, que las funciones a las que aduce este teorema son la temperatura y laentropıa.

5.2. Ecuaciones de Pfaff

Si consideramos una ecuacion de Pfaff

a1(x)dx1 + · · · + an(x)dxn = 0, (5.9)

en la cual los coeficientes a1, . . . , an son funciones C ∞ con valores reales dentro de un conjunto Ωde Rn y no se anulan simultaneamente en algun punto x = (x1, . . . , xn) de Ω. Una curva integral de(5.9) es cualquier solucion x = x(t) de la ecuacion diferencial

a1(x) dx1dt

+ · · · + an(x) dxndt

= 0,

y una trayectoria de (5.9) es una curva C ∞ suave, cada tramo C ∞ de una curva integral de (5.9).

Una curva integral de (5.9) es cualquier superficie (n − 1)−dimensional que envuelve el campo deelementos de superficie definidos por los coeficientes a a = (a1, . . . , an). Cuando n = 2 los conceptosde superficie y curva integral coinciden, en este caso (5.9) es una ecuaci on diferencial ordinaria, locual implica que a traves de cada punto pasa una sola curva integral de (5.9). Cuando n > 2 existeuna cantidad infinita de curvas integrales de (5.9) que pasan a traves de cada punto, sin embargopuede ser que no exista ninguna superficie integral, dado que un campo arbitrario de elementos desuperficie no necesariamente poseen una envolvente.

La ecuacion (5.9) es completamente integrable en Ω si existe una funcion λ tal que al multiplicarlaa (5.9) la convierta en la diferencial de alguna funcion φ, entonces la ecuacion toma la forma

dφ(x) = 0.

Si (5.9) es completamente integrable en Ω, entonces cualquier miembro de la familia de superficiesuni-parametricas

φ(x) = C, x ∈ Ω, (5.10)



5.3. GEOMETRIA SUB-RIEMANNIANA 45

es una superficie integral de (5.9). De manera inversa, si todo miembro de una familia uni-parametricade superficies, tales como los dados por (5.10), es una superficie integral de (5.9), entonces la ecuacioncompletamente integrable en Ω. Si (5.9) es completamente integrable en Ω entonces cualquier curvaintegral de (5.9), y por ende cualquier trayectoria, debe permanecer en la misma superficie de nivel deφ. De esta observacion se sigue que, si (5.9) es completamente integrable en Ω, entonces todo puntoP ∈ Ω tiene la propiedad de que en toda vecindad de P existen puntos que no pueden conectarse conP mediante trayectorias de (5.9) contenidas en Ω. El inverso de la ultima observacion es el teoremade Caratheodory.

Teorema 4.Supongamos que en toda vecindad de todo punto P ∈ Ω existen puntos que no puedenconectarse con P mediante trayectorias de (5.9) contenidas en Ω. Entonces (5.9) es completamente

integrable en Ω.

Si traducimos el teorema al lenguaje de la termodin amica, una consecuencia inmediata es laexistencia de entropıa.

Teorema 5. Arbitrariamente cerca de cualquier estado inicial J 0 de un sistema fısico, existen estadosque no son accesibles desde J 0 a lo largo de trayectorias adiabaticas.

Un sistema de n − p ecuaciones de Pfaff linealmente independientes representa un E p-campo enX n. Aquı tenemos dos problemas. El problema interior que requiere la determinacion de X m(m ≤

p) envueltos por los E p del campo para el valor m´ aximo de m. El problema exterior requiere ladeterminacion, para el valor mınimo de m, de las envolventes X m(m ≥ p), los cuales son los X m

cuya tangente E m en cada punto contiene la E p del campo.

En esta forma el problema exterior es equivalente al problema de la solucion de un sistema de p ecuaciones diferenciales parciales lineales homogeneas linealmente independientes de primer ordencon una variable desconocida.

5.3. Geometrıa sub-Riemanniana

El primer teorema en geometrıa sub-Riemanniana se debe Caratheodory y se relaciona con latermodinamica de Carnot. Algunos expertos se refieren por ello a la geometrıa sub-Riemannianacomo geometrıa Carnot-Caratheodory. Una geometrıa sub-Riemanniana es una variedad dotada

con una distribucion y un producto interno de fibras en la distribucion. Distribucion aquı significauna familia de k − planos, esto es un sub-haz lineal del haz tangente de la variedad. Se refiere ala distribucion como el espacio horizontal, y a los objetos tangentes a el como horizontales. Estageometrıa es una generalizacion de la geometrıa Riemanniana para la cual se parte tan solo de unproducto interno definido en todo el haz tangente. Es importante senalar que las 1-formas de interesen geometrıa sub-Riemanniana son usualmente no integrables, esto es, no-holonomicas.

El ejemplo mas elemental y a la vez mas importante es la 1-forma de Heisenberg ω = dz − xdy,en R3, ya que tenemos dω = dx ∧ dy y

ω ∧ dω = dx ∧ dy ∧ dz,

que no se anula. Ademas la ecuacion dz − xdy = 0 esta sub-determinada en R3. La distribucion se

encuentra proponiendo que el vector q = (x,y,z) satisfaga

q = xX 1(q) + yX 2(q),

de donde se sigue que ∆ esta formada por los campos vectoriales

X 1 =∂

∂x, X 2 =

∂

∂y+ x

∂

∂z.




Figura 5.1: Esfera sub-Riemanniana en R3.

Su parentesis de Lie lleva al algebra de Heisenberg

[X 1, X 2] = X 3, X 3 =∂

∂z,

que es linealmente independiente y define a una direccion “vertical”. Si ahora tomamos la metricaEuclideana al cuadrado x2 + y2, las geodesicas pueden ser explıcitamente calculadas. Para ello bastacon definir a la Lagrangiana

L =

1

2 (x

2

+ y

2

) + λ(z − xy),

en donde λ es un parametro de Lagrange, y calcular el extremo de la accion. Las ecuaciones deEuler-Lagrange resultantes son

x = −λy, y = λx, λ = 0.

Junto con la constriccion no-holonomica z = xy, se obtiene que las geodesicas son espirales en R3 yque la 2-esfera sub-Riemanniana es singular sobre el eje z, ver fig.(5.1).

Por el contrario, en R2, la misma 1-forma, si es integrable ya que

ω =∂z

∂x

dx +∂z

∂y

− xdy,

y dω = dx ∧ dy lleva a ω ∧ dω = 0, que es la condicion de integrabilidad de Frobenius, dadoque en R2, como cualquier otra 1-forma, dz puede escribirse como combinacion lineal de dx y dy.Finalmente, como la ecuacion ω = 0 si se puede resolver en R2, mediante un factor integrante, lasolucion determina una curva plana.

Un ejemlo elemental del caso inegrable es el gas ideal de atomos puntuales, para el cual la energıainterna y su ecuacion de estado son

U =3

2nRT, pV = nRT,

en donde n es el numero de moles y R es la constante de los gases. Con estas ecuaciones la ecuacionPfaffiana

T dS = dU + P dV,

puede ser integrada y su solucion escrita como

U = U 0

V 0V

2/3e2(S−S0)/3nR.



5.4. LA SEGUNDA LEY DE LA TERMODIN AMICA 47

Figura 5.2: Gas ideal en R3.

En la fig.(5.2) se muestran algunas superficies definidas por esta solucion, variando las condicionesiniciales. Notemos que estas superficies no se cortan y que por tanto en la vecindad de cualquierpunto siempre hay estados inaccesibles, como establece el teorema de Cartheodory.

El teorema de Caratheodory concierne a distribuciones de co-dimension uno. Una distribucion deco-dimension uno se define localmente mediante una ecuacion Pfaffiana en particular, θ = 0, donde θes una 1-forma no nula. Una distribucion de co-dimension uno se llama integrable si a traves de cadapunto pasa una hipersuperficie que es tangente en todas partes de la distribuci on. La integrabilidad es

equivalente a la existencia de factores integrantes locales para θ, esto es, a la existencia de funcioneslocalmente definidas T y S tales que θ = TdS. En este caso, cualquier trayectoria horizontal quepasa por un punto A, yace dentro de la hipersuperficie S = S (A). Como consecuencia, pares depuntos A,B, que yacen en diferentes hipersuperficies no pueden conectarse mediante una trayectoriahorizontal. El teorema de Caratheodory es lo contrario a este enunciado [35].

Teorema 6. Sea Q una variedad conexa y dotada con una distribucion de co-dimension uno. Si enella existen dos puntos que no pueden conectarse mediante una trayectoria horizontal, entonces ladistribucion es integrable.

Caratheodory desarrollo este teorema a instancias del fısico Max Born a fin de derivar la segundaley de la termodinamica y la existencia de la funcion de entropıa S. A partir del trabajo de Carnot,Joule y otros ya se sabıa que existen estados termodinamicos A,B, que no pueden conectarse uno

a otro mediante procesos adiabaticos, esto es procesos lentos en los cuales no se intercambia calor.Ahora traduzcamos “proceso adiabatico” por “curva horizontal”. Ası la restriccion horizontal fuedefinida por Caratheodory como una ecuacion Pfaffiana, θ = 0. La integral de θ bajo una curva seinterpreta como el cambio neto de calor experimentado por el proceso que representa la curva. Elteorema de Caratheodory, combinado con el trabajo de Carnot, Joule y otros implica la existenciade factores integrantes, tal que θ = TdS. La funcion S es la entropıa y T es la temperatura.

5.4. La segunda ley de la termodinamica

Los principios a partir de los cuales Kelvin y Clausius derivaron la segunda ley de la termodin amicase formulan de tal forma que sea posible cubrir el mayor numero de procesos imposibles de ejecutar:

Es imposible transformar completamente “calor” en trabajo.

Es imposible transferir “calor” desde un cuerpo frıo hacia uno caliente sin convertir simultanea-mente cierta cantidad de trabajo en “calor”.

Entonces podemos decir, en el sentido clasico, que la segunda ley de la termodinamica haceuna distincion entre el “calor” y otras formas de energıa. Para Caratheodory esto, ni siquiera esnecesario.




El punto esencial de la teorıa de Caratheodory es que formula los hechos experimentales de unamanera mucho mas general, permitiendonos, al mismo tiempo, obtener todas las consecuencias ma-tematicas de la segunda ley sin la necesidad de mas consideraciones f ısicas o cantidades definidas deuna forma no trivial, i.e. “calor”. Segun esta deduccion, para obtener todo el contenido matematicode la segunda ley, es suficiente que existan ciertos procesos que no sean posibles fısicamente. Ca-ratheodory establece su principio de la siguiente manera: existen estados, arbitrariamente cercanos a cualquier estado definido, que no pueden alcanzarse a partir de un estado inicial mediante procesosadiab´ aticos; por lo tanto la existencia de algunos procesos imposibles es suficiente para derivar lasegunda ley [7].

Una revision cuidadosa de los experimentos de Joule muestra la existencia de estos procesos impo-sibles. Tales experimentos consistieron en llevar un sistema, contenido en un recipiente adiabatico,desde un estado de equilibrio hasta otro mediante la aplicacion de trabajo externo; de la experienciaelemental podemos asegurar que no es posible recuperar el trabajo aplicado si invertimos el proceso,no importa que tan cercanos se encuentren los dos estados en cuestion. Entonces podemos decir queexisten estados adiabaticamente inaccesibles en la vecindad de cualquier estado, este es el principiode Caratheodory [7].

Estos hechos experimentales nos pueden mostrar la “direccion” del tiempo (aunque esta dimensionno se considera en termodinamica) porque podemos predecir analıticamente cuales procesos sonposibles en un sistema y cuales no lo son.

A partir del principio de Caratheodory se sigue que existen estados en la vecindad de algun otro enparticular, que son inaccesibles mediante procesos cuasi-estaticos adiabaticos. Estos se representanmediante lıneas adiabaticas que satisfacen la ecuacion Pfaffiana 2 (3.23); entonces, por el teoremade Caratheodory la expresion diferencial para dQ debe admitir un denominador integrante:

dQ = τdσ. (5.11)

Para una sustancia simple caracterizada por dos parametros V,t, el principio de Caratheodory noimplica nada nuevo porque una expresion Pfaffiana en dos variables, como ya hemos demostradosiguiendo a W. Pauli y gracias a los multiples teoremas de la teorıa de ecuaciones diferencialesordinarias, siempre admite denominadores integrantes.

Sin embargo, al considerar sistemas compuestos por dos cuerpos contenidos en un recipienteadiabatico y en contacto termico, el principio de Caratheodory asevera algo nuevo en cuanto a que

ahora podemos afirmar que dQ = dQ1 + dQ2 siempre puede escribirse en la forma

dQ = dQ1 + dQ2 = τ (V 1, V 2, t)dσ(V 1, V 2, t). (5.12)

Ası tenemos para cada uno de los dos cuerpos

dQ1 = τ 1(V 1, t1)dσ1(V 1, t1),

dQ2 = τ 2(V 2, t2)dσ2(V 2, t2). (5.13)

Si los dos cuerpos se encuentran en contacto termico tendremos

t1 = t2 = t. (5.14)

Por lo tanto,τ dσ = τ 1dσ1 + τ 2dσ2. (5.15)

Si ahora escogemos σ1, σ2, t, como las nuevas variables independientes en lugar de V 1, V 2, t, podemostomar a τ, σ como funciones de σ1, σ2, t; entonces (5.15) muestra que σ depende solamente de σ1, σ2,y no de t. A partir de (5.15) y de la definicion (4.19) tendremos

∂σ

∂σ1=

τ 1(σ1, t)

τ (σ1, σ2, t);

∂σ

∂σ2=

τ 2(σ2, t)

τ (σ1, σ2, t);

∂σ

∂t= 0. (5.16)

2El principio de Caratheodory en su forma mas amplia tambien aplica para procesos adiabaticos no estaticos




De la ecuacion anterior se sigue que σ es independiente de t; por lo tanto, σ depende solamente deσ1 y σ2, es decir

σ = σ(σ1, σ2). (5.17)

De las primeras dos ecuaciones en (5.16) se sigue que τ 1τ y τ 2

τ son tambien funciones independientesde t. Lo cual nos lleva a,

∂

∂t

τ 1τ

= 0;

∂

∂t

τ 2τ

= 0, (5.18)

de donde podemos inferir derivando y comparando con (5.16) que

1τ 1

∂τ 1∂t

= 1τ 2

∂τ 2∂t

= 1τ

∂τ ∂t

. (5.19)

Ahora τ 1 es una variable del primer fluido unicamente, por lo tanto solo depende de σ1 y t; lo mismoaplica para τ 2

τ 1 = τ 1(σ1, t); τ 2 = τ 2(σ2, t). (5.20)

La primera igualdad (5.19) puede cumplirse solamente si ambas cantidades dependen solo de t. Porlo tanto

∂ log τ 1∂t

=∂ log τ 2

∂t=

∂ log τ

∂t= g(t), (5.21)

donde g(t) debe ser una funcion universal, porque es numericamente igual para diferentes fluidos osistemas arbitrarios y tambien para el sistema combinado. Es ası que hemos sido conducidos a unafuncion universal de la temperatura empırica t. Esta simple consideracion nos conduce mediantematematicas ordinarias a la existencia de una funcion universal de temperatura. El resto solo escuestion de normalizacion [7].

Integrando (5.21) tenemos,

log τ =

g(t)dt + log Σ(σ1, σ2), (5.22)

log τ i =

g(t)dt + log Σi(σi), (i = 1, 2), (5.23)

donde las constantes de integracion Σ y Σi son independientes de t y son funciones solamente deotras variables fısicas que caracterizan al sistema. Podemos escribir (5.22) y (5.23) como

τ = Σ(σ1, σ2) · exp g(t)dt; τ i = Σi(σi) · exp

g(t)dt . (5.24)

Ası que para cualquier sistema termodinamico el denominador integrante consiste de dos factores,un factor que depende de la temperatura y que es el mismo para todas las sustancias, y otro factorque depende de las variables restantes que caracterizan al sistema. Por lo tanto introducimos latemperatura absoluta, T, definida por

T = C exp g(t)dt, (5.25)

donde C es una constante arbitraria determinada de tal manera que dos puntos fijos de referencia,por ejemplo los puntos de fusion y evaporacion del agua, tengan una diferencia de 100 en la escalaabsoluta. Debe notarse que T no contiene alguna constante aditiva, esto implica que el cero de laescala absoluta se determina fısicamente. A partir de (5.11), (5.24), (5.25) tenemos

dQ = τ dσ = T ΣC

dσ, dQi = τ idσi = T Σi

C dσi. (5.26)

Si estamos tratando con un cuerpo sencillo y homogeneo, tal que su estado se defina por las variablest y σ1, entonces Σ1 depende solamente de σ1, de esta manera podemos introducir la funcion S 1,definida como

S 1 =1

C

Σ1(σ1)dσ1 + constante. (5.27)




La funcion S 1 depende solo de σ1 y se determina aparte de la constante aditiva arbitraria. Mas aun,S 1 es constante a lo largo de una adiabatica. A la funcion S 1 definida de esta manera se le llamaentropıa. Ahora podemos escribir

dQ1 = T dS 1. (5.28)

Si ahora consideramos un sistema compuesto por dos cuerpos en contacto termico, tendremos paralos dos cuerpos por separado

dQ1 = τ 1dσ1 = T Σ1

C

dσ1 = T dS 1, (5.29)

dQ2 = τ 2dσ2 = T Σ2

C dσ2 = T dS 2, (5.30)

y para el sistema combinado

dQ = τ dσ = T Σ(σ1, σ2)

C dσ(σ1, σ2), (5.31)

= dQ1 + dQ2 = T Σ1(σ1)

C dσ1 + T

Σ2(σ2)

C dσ2. (5.32)

Por lo tanto,Σ(σ1, σ2)dσ = Σ1(σ1)dσ1 + Σ2(σ2)dσ2. (5.33)

A partir de (5.33) se sigue que

Σ(σ1, σ2) ∂σ∂σ1

= Σ1(σ1); Σ(σ1, σ2) ∂σ∂σ2

= Σ2(σ2). (5.34)

Por lo tanto,

∂ Σ1

∂σ2=

∂ Σ

∂σ2

∂σ

∂σ1+ Σ

∂ 2σ

∂σ1∂σ2= 0, (5.35)

∂ Σ2

∂σ1=

∂ Σ

∂σ1

∂σ

∂σ2+ Σ

∂ 2σ

∂σ1∂σ2= 0. (5.36)

De (5.35) y (5.36) inferimos que el determinante funcional

∂ Σ

∂σ1

∂σ

∂σ2−

∂ Σ

∂σ2

∂σ

∂σ1=

∂ (Σ, σ)

∂ (σ1, σ2(5.37)

es cero, y como consecuencia Σ(σ1, σ2) contiene las variables σ1 y σ2 solamente en la combinacionσ(σ1, σ2), dado que n funciones de n variables son independientes cuando su determinante funcional(o Jacobiano) no se anula [30]. Por lo tanto, podemos escribir

Σ(σ1, σ2) = Σ(σ). (5.38)

La ecuacion (5.31) puede escribirse como

dQ = τ dσ = TdS, (5.39)

donde

dS =Σ(σ)

C dσ, (5.40)

de otra forma

S =1

C Σ(σ)dσ + constante, (5.41)

donde S es ahora la entropıa total del sistema. A partir de (5.29), (5.30) y (5.39) tenemos que

dS = dS 1 + dS 2 = d(S 1 + S 2), (5.42)

es decir que el cambio en la entropıa de un sistema compuesto por dos cuerpos en contacto termico,durante un proceso cuasi-estatico, es la suma de los cambios de entropıa en los dos cuerpos porseparado.




Es posible arreglar nuestra definicion de entropıa mediante una constante aditiva adecuada detal forma que

S = S 1 + S 2, (5.43)

esto es: la entropıa de un sistema es la suma de las entropıas de sus diferentes partes.

La ecuacion (5.39) contiene el enunciado matematico de la segunda ley de la termodinamica,la cual resulta como una consecuencia matematica pura del principio de Caratheodory: la diferencialde calor, dQ, para un cambio infinitesimal cuasi-estatico, cuando se divide por la temperatura T, esuna diferencial perfecta, dS, de la funcion de entropıa.

Las ecuaciones (5.5) y (5.39) tienen diferencias esenciales. En (5.5) T y S (y τ y σ) son funcionesde todas las variables fısicas; mientras que en (5.39), τ y T dependen solamente de la temperaturaempırica, t, que es la misma para diferentes partes del sistema; ademas σ y S dependen solo de lasvariables (σ1 y σ2) que no alteran sus valores debido a cambios adiabaticos; finalmente, T es unafuncion universal de t, y S es una funcion solo de σ(σ1, σ2).

Ahora mostraremos como la escala del termometro de gas, pV = t, define una escala detemperatura proporcional a la temperatura absoluta. Usualmente se asume que la relaci on pV = tdefine, ademas de un factor constante, la escala absoluta de temperatura lo cual no es logicamenteconsistente porque cualquier funcion monotona, t = f ( pV ), puede definirla tambien. De esta maneraes imposible identificar la relacion pV ∝ T sin apelar a la segunda ley de la termodinamica. Para

seguir un razonamiento logico, es necesario conocer la energıa interna, U, como funcion del estadodel gas. La base experimental es el experimento idealizado de Joule-Kelvin, el cual muestra quecuando un gas se expande adiabaticamente sin realizar trabajo externo, el producto pV (esto es, latemperatura del gas, t = f [ pV ]) no cambia. Aquı es necesario apelar a un proceso irreversible enalgun momento, como Caratheodory lo ha puntualizado, para fijar el cero de la escala de temperaturaabsoluta. Partiendo del experimento de Joule-Kelvin, se sigue que U es independiente de V. Por lotanto podemos escribir

U = U (t); pV = F (t), (5.44)

donde t es la temperatura empırica. Para la diferencial de calor en un cambio cuasi-estatico, tenemos

dQ = dU + pdV =dU

dtdt + F (t)

dV

V

= F (t) 1

F (t)

dU

dt dt + d log V

. (5.45)

Definamos una cantidad, χ, mediante la ecuacion

log χ =

1

F (t)

dU

dtdt + constante. (5.46)

La ecuacion (5.45) puede rescribirse como

dQ = F (t)d log χV. (5.47)

Por lo tanto, podemos escoger F (t) como el denominador integrante

τ = F (t); σ = log χV. (5.48)

Ahora la ecuacion (5.47) toma la forma standard

dQ = τdσ. (5.49)

El factor integrante puede escogerse de muchas otras formas. Si

σ∗ = σ∗(σ); τ ∗ = F (t)dσ

dσ∗, (5.50)




entonces la ecuacion (5.49) puede escribirse como

dQ = τ ∗dσ∗. (5.51)

Por lo tanto, no existe alguna razon previa para escoger τ = F (t) = pV como denominador inte-grante. Hemos mostrado que

g(t) =∂ log τ

∂t(5.52)

es una funcion universal, la cual es la misma sin importar la forma en que hayamos definido el

denominador integrante. La funcion g(t), definida por (5.52), es invariante bajo las transformaciones(5.50). De nuestra definicion de temperatura absoluta (5.25), tenemos

T = C exp g(t)dt = CF (t) = CpV. (5.53)

Ası la escala de temperatura absoluta concuerda con la temperatura en la escala del termometro degas.

A partir de dQ = TdS, encontramos e integramos

dS =1

C d log χV, (5.54)

S =1

C

logχV + constante. (5.55)

Si escribimos U = cvT y consideramos cv como una constante, y ademas definimos R = 1/C,tendremos

log χ =

cv

RT dT =

cvR

log T + constante. (5.56)

Por lo tanto, finalmente,S = S 0 + cv log T + R log V, (5.57)

donde S 0 es una constante.

5.5. El principio de aumento de entropıa

Hasta ahora hemos considerado unicamente cambios de estado cuasi-estaticos, aunque en algunpunto fue necesario considerar procesos no estaticos cuando apelamos al experimento idealizado deJoule-Kelvin. Ahora discutiremos los procesos no estaticos de manera mas general.

Consideraremos, como hasta ahora lo hemos hecho, un sistema cerrado adiab aticamente com-puesto de dos cuerpos en contacto termico. El estado de equilibrio de tal sistema puede caracterizarsemediante tres variables independientes, tales como V 1, V 2, t, las mismas variables que hemos utilizadohasta ahora. Ahora escogeremos V 1, V 2 y S como las variables independientes. Sean V 01 , V 20 , y S 0 losvalores de las variables fısicas en un estado inicial y V 1, V 2 y S en un estado final. Ahora aseveramosque S es siempre mayor que S 0 o siempre menor que S 0.

Para mostrar esto, consideraremos que el estado final es alcanzado en dos pasos:

1. Alteramos los volumenes V 01 y V 02 mediante un proceso cuasi-estatico y adiabatico tal que losvolumenes al final sean V 1 y V 2. De esta manera mantenemos la entropıa constante e igual aS 0.

2. Luego alteramos el estado del sistema, manteniendo los volumenes fijos, pero cambiamos laentropıa mediante procesos adiabaticos mas no estaticos, (tales como agitar, frotar, en loscuales dQ = 0 pero dQ = T dS ) de tal manera que la entropıa cambie de S 0 a S.



5.5. EL PRINCIPIO DE AUMENTO DE ENTROP IA 53

Si ahora S fuera mayor que S 0 en algunos procesos y menor que S 0 en otros, entonces deberıaser posible alcanzar todo estado vecino cercano, (V 1, V 2, S ), al estado inicial, (V 01 , V 02 , S 0), medianteprocesos adiabaticos; esto serıa que despues de haber alcanzado el estado (V 1, V 2, S ), podrıamos al-canzar todos los demas estados (V 1 , V 2 , S 0), mediante procesos tipo [1]. Esto contradice el principiode Caratheodory en su forma mas general, que postula que en cualquier vecindad, arbitrariamentecercana a un estado, (V 01 , V 02 , S ), existen estados adiabaticamente inaccesibles aun cuando se permi-tan procesos no estaticos. Por consiguiente, mediante procesos [2], y por lo tanto tambien medianteprocesos [1] y [2], la entropıa S 0 del sistema puede o bien solo aumentar o solo disminuir. Puesto queesto se cumple para todo estado inicial, podemos ver que, debido a la continuidad de la imposibilidad

de incremento o disminucion, la entropıa del sistema que hemos considerado tiene que cumplir consolo una de las condiciones, nunca disminuir o nunca aumentar. Lo mismo tiene que cumplirse parados sistemas independientes por la naturaleza aditiva de la entropıa. Ası hemos probado que:

Teorema 7. Para todos los cambios posibles, cuasi-estaticos o no, que un sistema adiabaticamentecerrado puede experimentar, la entropıa, S, nunca debe, ya sea incrementar o disminuir.

Que la entropıa disminuya o aumente depende del signo de la constante C introducida ennuestra definicion de entropıa (5.41), que debera escogerse de tal modo que la temperatura absolutasea positiva. Entonces para determinar el signo del cambio de entropıa es suficiente un sencilloexperimento. Mediante la expansion de un gas ideal, G, en el vacıo, la entropıa S G del gas aumenta,como puede verse a partir de la ecuacion (5.57); V aumenta y T permanece constante. Ahoraconsideramos un sistema compuesto de un gas, G, y otro cuerpo, K. Si consideramos tales cambios deestado en los que la entropıa S K del cuerpo permanece constante y S G cambia, entonces S = S G+S Ktiene que aumentar, dado que, como hemos visto, S G siempre aumenta; por consiguiente, S nuncapuede disminuir. Por lo tanto, si consideramos procesos en los cuales la entropıa del gas permanececonstante, es claro que, como S solo puede aumentar, S K solo puede aumentar; esto se cumpletambien cuando K y G se encuentran separados adiabaticamente. De esta manera hemos probadoel siguiente resultado:

Teorema 8. Para un sistema adiabaticamente cerrado la entropıa nunca puede disminuir:

S > S 0, (proceso no estatico), (5.58)

S = S 0, (proceso estatico). (5.59)

Este razonamiento nos permite concluir que si en algun cambio de estado de un sistema adiaba-ticamente cerrado la entropıa cambia, entonces no se puede aplicar algun cambio adiabatico quecambie al sistema del estado final al estado inicial de donde se habıa partido. En este sentido, to-do cambio de estado en el cual la entropıa cambie, debe ser irreversible; esto es, para un sistema adiab´ aticamente cerrado la entropıa debe tender al m´ aximo.

Para formular lo anterior en forma integral tenemos

dQ

T ≤ 0, (5.60)

donde la integral se toma sobre un ciclo cerrado de cambios, y asumiendo que durante el ciclo elsistema puede caracterizarse a cada instante mediante un valor unico para T. Para probar estoconsideremos un ciclo de cambios en el cual la sustancia de trabajo se lleva a traves de los estadosA y B, y en el cual, ademas, la parte del ciclo desde A hasta B se realiza adiabaticamente (perono necesariamente estaticamente) mientras que la parte del ciclo desde B hasta A se lleva a caboreversiblemente. Para este ciclo de cambios

dQ

T =

BA

dQ

T +

AB

dQ

T . (5.61)




Dado que la parte del ciclo desde A hasta B se ha realizado adiabaticamente, tenemos

dQ

T =

AB

dQ

T = S A − S B, (5.62)

que de acuerdo con el teorema 8, debe ser cero o negativo. Ası hemos probado (5.60) para el cicloespecial de cambios considerado. Los mismos argumentos pueden extenderse para probar (5.60) demanera mas general.

A partir de todos los argumentos y pruebas anteriores podemos ver que el contenido matematicocompleto de la segunda ley puede deducirse del principio de Caratheodory. Pero aun falta mostrarcomo el principio de Caratheodory puede conducirnos a la formulacion de Kelvin de la segunda ley.Para esto es necesario dotar al principio de Caratheodory de algunos axiomas suplementarios antesde que podamos derivar la formulacion debida a Kelvin o Clausius de la segunda ley. Los argumentosnecesarios para establecer esto, van mas alla del alcance de este trabajo pero pueden consultarse lasreferencias pertinentes [21].

5.6. Equivalencia del principio de Kelvin y Caratheodory

On sait, d’ailleurs, que tout systeme d’equations aux derivees partielles peut se ramener a un systeme d’equations aux differentielles totales, en regardant au besoin certaines dederivees partielles des fonctions inconnues comme de nouvel les variables dependantes.Elie Cartan.

Aquı derivaremos el principio de Caratheodory a partir del principio de Kelvin.

Es suficiente mostrar que se viola el principio de Kelvin cuando se viola el principio de Ca-ratheodory. Asumamos que un sistema termicamente uniforme ha cambiado isotermicamente desdeun estado (1) hasta un estado (2) absorbiendo una cantidad positiva de calor Q. Dejemos que laenergıa interna de los dos estados sea U 1 y U 2 y sea A la cantidad de trabajo recibida, la primeraley de la termodinamica establece que

Q = U 2 − U 1 − A. (5.63)

Despues hagamos que el sistema cambie desde el estado (2) de regreso al estado (1) adiabaticamente.Esto es posible si el principio de Caratheodory no es verdadero. Si el trabajo recibido durante elproceso adiabatico es A, la primera ley establece que

0 = U 1 − U 2 − A. (5.64)

De (5.63) y (5.64)Q = −(A + A). (5.65)

Por lo tanto en el ciclo (1) → (2) → (1), el sistema absorbe calor, Q, del ambiente y realiza unaequivalente cantidad de trabajo −(A + A). Esto es una violacion al principio de Kelvin.

La validez del principio de Clausius o Kelvin significa que existe una cantidad de estado, S, y siT es la temperatura absoluta, dQ/T = dS. Para un proceso adiabatico, dQ = 0, dS = 0 y como dS es

una diferencial total de S, significa que S = a(constante). Esto es, existe un conjunto de superficiesen el espacio de las variables de estado, (x, y, z). Si el estado inicial es (x0, y0, z0), este reside en lasuperficie definida por S (x0, y0, z0) = a. Por lo tanto todos los cambios adiabaticos reversibles queinician en (x0, y0, z0) deben residir en esta superficie y cualquier punto fuera de esta superficie nopuede alcanzarse mediante un cambio adiabatico reversible. Ası en cualquier vecindad de un ciertoestado (x0, y0, z0) siempre existen estados tales que estos no pueden alcanzarse mediante un cambioadiabatico. Esto significa que el principio de Caratheodory es valido.



5.7. LA ENERGIA LIBRE Y EL POTENCIAL TERMODIN AMICO 55

El principio de Caratheodory ademas incluye procesos adiabaticos irreversibles. Partiendo delprincipio de Clausius o Kelvin (Thomson) se puede probar que la entropıa, S, aumenta en un proce-so adiabatico irreversible mediante la desigualdad de Clausius. Por lo tanto, para un estado inicial(x0, y0, z0), los estados que tienen un valor menor de entropıa y entonces residen en un lado de lasuperficie S (x, y, z) = S (x0, y0, z0) no pueden alcanzarse mediante algun proceso adiabatico irrever-sible. Por consiguiente, podemos afirmar que para cualquier estado existe un estado arbitrariamentecercano que no puede alcanzarse mediante un proceso adiabatico reversible o irreversible [29].

El principio de Caratheodory afirma que la equivalencia o accesibilidad adiabatica no es posible

en los sistemas termodinamicos fısicos, sino solamente en los sistemas mecanicos idealizados [32].Este principio es la induccion logica basada en la observacion fısica de la inaccesibilidad de ciertosestados a partir de alguno en particular [7].

5.7. La energıa libre y el potencial termodinamico

Hemos mostrado en la seccion 5.5 que dQ

T ≤ 0, (5.66)

donde la integral se toma sobre un ciclo cerrado de cambios. Ahora supongamos que el ciclo cerradode cambios lleva a la sustancia de trabajo a traves de los estados A y B, y que, ademas, la parte del

ciclo de B hasta A se realiza a lo largo de una trayectoria reversible. Entonces dQ

T =

BA

dQ

T +

AB

dQ

T , (5.67)

o, ya que la trayectoria desde B hasta A es reversible, tenemos, de acuerdo a (5.66) y (5.67),

BA

dQ

T ≤ S B − S A. (5.68)

La ecuacion (5.68) es equivalente a (5.66).

Ahora consideremos un cambio isotermico. Entonces (5.68) puede escribirse como

B

A

dQ ≤ T (S B − S A), (5.69)

donde T denota la temperatura constante. Por la primera ley de la termodinamica ahora tenemos

U B − U A + W AB ≤ T (S B − S A), (5.70)

donde W AB es el trabajo realizado por el sistema. La ecuaci on (5.70) puede escribirse alternativa-mente en la forma

F B − F A + W AB ≤ 0, (5.71)

dondeF = U − T S. (5.72)

La funcion F, ası introducida es la llamada “energıa libre” del sistema. De (5.71) se desprende quepara un cambio isotermico en el cual no se realiza trabajo la energıa libre no puede aumentar.

Otra funcion importante es el potencial termodin´ amico, que se define como

G = F + pV = U + pV − T S. (5.73)

Es claro que si la temperatura y las fuerzas externas se mantienen constantes, G no puede aumentar.




V F

U

T

G

S

? ?

H p

_ _

Figura 5.3: Triangulo termodinamico

5.8. Relaciones de MaxwellEl hecho de que los potenciales termodinamicos tengan diferenciales totales, permite derivar una

serie util de relaciones entre las variables de estado. El analisis formal esta basado en la igualdad delas derivadas parciales mixtas de las variables de estado en las expresiones que definen las funcionesde estado.

Una herramienta que permite revisar rapidamente los potenciales y sus variables, que llevan alas relaciones de Maxwell es el rect´ angulo termodin´ amico, se aplica en particular para sistemas simplescon una cantidad de partıculas constante. Las variables V,T,p,S, que son las unicas posibles alconsiderar un numero constante de partıculas forman los vertices del rectangulo. Los bordes denotanlos potenciales en funcion de las correspondientes variables en los vertices. Con esta representaciones facil leer las derivadas parciales. La derivada de un potencial con respecto a una variable (vertice)

esta dada por la variable del vertice diagonalmente opuesto, las flechas en la diagonal determinan elsigno. Por ejemplo, ∂F/∂V = − p,∂G/∂p = V. Las derivadas de las variables a lo largo de un bordedel rectangulo, a variable constante en el vertice diagonalmente opuesto, son iguales a la derivadacorrespondiente a lo largo del otro lado, el signo lo determinan las flechas diagonales,

∂V

∂S

p

=

∂T

∂p

S

5.9. Algunas formulas termodinamicas

Hasta ahora nos hemos ocupado de principios generales. Ahora derivaremos algunas f ormulastermodinamicas que son importantes en la practica.

Consideremos un medio isotropico homogeneo, i.e. todas las posiciones y direcciones son fısi-camente equivalentes y las propiedades del medio son independientes de la posici on [7]. Entoncespara un cambio cuasi-estatico (en la ecuacion (3.21) ahora utilizaremos la temperatura absoluta, T,en lugar de la temperatura empırica, t)

dQ =

∂U

∂V

T

+ p

dV +

∂U

∂T

V

dT. (5.74)

Como dQ/T es una diferencial perfecta, deberıamos tener

∂

∂T

1

T

∂U

∂V + p

=

∂

∂V

1

T

∂U

∂T

, (5.75)

o, haciendo las diferenciales,

−1

T 2

∂U

∂V

T

+ p

+

1

T

∂ 2U

∂T∂V +

∂p

∂T

V

=

1

T

∂ 2U

∂ V ∂ T , (5.76)

y a partir de aquı ∂U

∂V

T

= T

∂p

∂T

V

− p (5.77)



5.9. ALGUNAS F ORMULAS TERMODIN AMICAS 57

Ahora consideremos la energıa libre. Por definicion (5.72)

dF = dU − T dS − SdT, (5.78)

o, dado quedQ = T dS = dU + pdV, (5.79)

tenemosdF = −SdT − pdV. (5.80)

De cualquier manera, dF es una diferencial perfecta. Por lo tanto, debemos tener∂F

∂T

V

= −S ;

∂F

∂V

T

= − p. (5.81)

Finalmente, consideremos el potencial termodinamico, G. Tenemos

dG = dF + pdV + V dp, (5.82)

o, utilizando (5.80),dG = −SdT + V dp. (5.83)

Por lo tanto, deberıamos tener

∂G∂T

p

= −S ;

∂G∂p

T

= V. (5.84)






Capıtulo 6

Maquinas termicas solares

Las diferentes tecnologıas solares se clasifican como activas o pasivas dependiendo de la manera enque capturan, convierten y distribuyen la energıa solar. El tipo de tecnologıa activa incluye el uso depaneles fotovoltaicos y colectores solares termicos. Las tecnicas pasivas consisten en la orientacion deedificios hacia el sol, circulacion de ventilacion y seleccion de materiales con masa termica adecuada,las cuales pertenecen mas bien al area de diseno.

Dentro de la clasificacion de sistemas solares tenemos la categorıa de sistemas de energıa termi-ca y los que se refieren a generacion de potencia. Como parte de los sistemas solares termicos existenaplicaciones para calentamiento de agua, ventilacion y acondicionamiento de espacios, tratamien-to de agua (desalinizacion, desinfeccion), produccion de “calor” de procesos, almacenamiento deenergıa; mientras que los otros se utilizan para generacion de electricidad directa o indirectamente.

Las plantas de potencia termica solar generan electricidad al convertir la radiacion solar dispo-nible. Primero absorben la radiacion solar y luego generan la electricidad; este es el uso mas eficientede la energıa solar. El otro metodo consiste en los sistemas fotovoltaicos que convierten la energıasolar directamente en electricidad mediante el efecto fotoelectrico; el costo de estos sistemas es aunbastante alto en terminos economicos y de recursos, ademas su eficiencia es aun muy limitada.

Los sistemas de recoleccion solar de alta temperatura se utilizan para producir electricidad

indirectamente mediante el uso de procesos o ciclos termodinamicos. De hecho, todas las plantas depotencia actuales, basadas en combustibles fosiles y nucleares, trabajan bajo los mismos principios.De esta manera, la tecnologıa de los sistemas de recoleccion solar aprovecha el conocimiento yadisponible relacionado con las plantas de potencia convencionales. En el peor escenario de operacionde un sistema solar, puede utilizar combustibles fosiles como sistema de emergencia.

El potencial de generacion de electricidad termica solar que es tecnicamente alcanzable es mu-cho mayor que el consumo mundial de electricidad. A diferencia de las celdas solares fotovoltaicasque son ideales para sistemas descentralizados de baja potencia, las plantas de potencia termicasolar pueden generar electricidad a gran escala (50 − 250MW ). Mediante la integracion de “almace-namiento termico” la potencia de este tipo de plantas puede entregarse al momento de su demanda,incluso durante la noche. Por lo tanto las plantas de potencia termica solar tienen el potencial de

reemplazar a las plantas de potencia basadas en combustibles fosiles.

Entre el 30 − 50 % de la energıa termica necesaria en procesos industriales es menor a los250C y en general el agua requerida para usos residencial no excede los 90C, por lo tanto laentrega de energıa termica directamente, sin involucrar procesos de conversion de energıa, es otroaspecto importante para el escenario economico del desarrollo de los sistemas de energıa solar termicoy sus posibilidades de mercado tanto industrial como residencial.

59



60 CAP ITULO 6. M AQUINAS T ERMICAS SOLARES

Tecnologıas solares Otras renovablesAtributo Captador

solarAzotea fo-tovoltaica

Concentradorparabolico

Torrepotencia

Viento Geotermica

Hora del dıaProduccion

Maximo Maximo Maximo Maximo Variable Carga base

Necesidad decombustibles

Ninguna Ninguna Gas natural Ninguna Ninguna Ninguna

Abundanciade recursos

Buena Buena Buena Buena Justa No comun

Previsibilidad Buena Buena Buena Buena Intermitente BuenaFiabilidad Buena Buena Buena Justa Buena BuenaEficienciamaxima

29.4 % 9-13 % 15 % 13-22 % N/D N/D

Eficienciaanual

22-24 % <10 % 10.6-14 % 7.6-13.7%

N/D N/D

Figura 6.1: Comparacion de fuentes renovables.

Existen varias tecnologıas dentro de la clasificacion de las plantas de potencia termica solar,entre ellas,

Sistemas de concentracion.

Canales de espejos cilındricos parabolicos.

Reflectores de Fresnel.

Plantas generadores de torre central.

Platos solares parabolicos.

Plantas no-concentradoras.

En la fig.(6.1), tomada de [44], se muestra una comparacion de varias tecnologıas de energıas reno-vables. Nosotros exploraremos el caso de plantas de potencia de platos parabolicos simples (primeracolumna) y de espejos cilındricos parabolicos alineados (tercer columna), que son los de mayor efi-

ciencia.

En terminos de las necesidades practicas concernientes a comunidades humanas, tanto urbanascomo rurales, la energıa potencial del sol es ilimitada, anualmente se recibe mucho mas energıa solarque los requerimientos energeticos mundiales. Ademas de ser la energıa “renovable” con mayorpotencial, su disponibilidad es “in situ”, anulando ası los altos costos de logıstica y transporte demateriales.

La ubicacion ideal de las plantas de potencia termica solar es el “cinturon solar terrestre” que esla zona donde el sol brilla mas frecuentemente y su radiacion es mas intensa. Esta zona se encuentraentre los paralelos 40, norte y sur, aproximadamente. Dicho sea de paso, el territorio mexicano seencuentra precisamente dentro de esta zona.

De acuerdo con el consejo mundial de energıa [17], las emisiones de gases de efecto invernaderoson la causa principal de cambio climatico, de los cuales el CO2 es el que genera mayor impacto.Actualmente, a causa de la generacion de electricidad se produce el 41 % de las emisiones de CO2 anivel global, aun cuando 2000 millones de personas, aproximadamente 30 % de la poblacion mundial,viven sin electricidad1. Para hacer aun mas paradojico el escenario, segun proyecciones del consejo

1De acuerdo con una declaracion del secretario general de la organizacion de las naciones unidas, Kofi Annan, 2007



61

Figura 6.2: Disponibilidad de recurso solar global.

mundial de energıa, la demanda de electricidad global se incrementara entre 70 − 100% para el ano2050. De hecho, se estima que la demanda mundial de combustibles fosiles excedera su producciondentro del perıodo comprendido entre las proximas dos decadas.

En el escenario internacional pueden encontrarse algunas lıneas de accion enfocadas a abordar eltema del futuro energetico sostenible. Por ejemplo la Union Europea anuncio en 2007 sus planes ypolıticas para obtener el 20 % de sus necesidades energeticas mediante fuentes de energıa renovablea mas tardar en el ano 2020. Si este escenario se cumple, para el ano 2100 el 70 % del consumomundial de energıa sera producida mediante las tecnologıas de energıa solar, termica y fotovoltaica.

Para contextualizar la teorıa termodinamica que hemos desarrollado mostraremos algunos datosenergeticos contemporaneos, en terminos de disponibilidad y demanda. Consideramos que la tec-nologıa solar termica es una alternativa viable y sensata con amplias posibilidades de aplicacion yrentabilidad economica ademas, dados los siguientes hechos [17]

A nivel global, la generacion solar es la fuente energetica con mayor crecimiento en los ultimosanos, en promedio ha presentado un crecimiento del 35 %.

80 % de la energıa utilizada mundialmente esta basada en combustibles fosiles.

Dentro de las proximas dos decadas la demanda mundial de combustibles fosiles excedera suproduccion anual.

Segun proyecciones del consejo mundial de energıa para el ano 2100 la energıa mundial apartir de fuentes como gas, carbon y centrales nucleares aportara menos del 15 % del total delconsumo mundial, mientras que la energıa solar termica y fotovoltaica supliran cerca del 70 %.

Bastarıa con una centesima parte del area desertica terrestre para suplir la creciente demandaenergetica mundial, utilizando unicamente la potencia solar disponible.

El costo del transporte de la “electricidad solar” es eficiente a grandes distancias si se utilizanlas redes electricas apropiadas, i.e. corriente directa de alto voltaje, de esta manera las perdidasen la potencia serıan del 10 %.

A largo plazo, las plantas de potencia termica solar tienen la capacidad de reemplazar completa-mente a las plantas de potencia convencional. Pueden integrarse a la infraestructura energeticaexistente y, con uno de los procesos que mostraremos, generar electricidad al momento de sudemanda.




La electricidad entregada por las plantas de potencia termica solar es ideal para la demanda deelectricidad en paıses con un buen nivel de asoleamiento. Por ejemplo, dado el uso de sistemasde aire acondicionado, el consumo de electricidad y la radiacion solar tienen su punto de mayorintensidad simultaneamente durante el dıa.

El “almacenamiento termico” permite a las plantas de potencia termica solar generar electri-cidad incluso cuando el sol se ha ocultado. Por lo tanto, representan una contribuci on decisivaa la estabilidad de la red electrica.

La operacion durante la noche se realiza mediante la energıa suplida por el sistema de alma-cenamiento termico unicamente, si este ha sido dimensionado correctamente. Existen actualmentedisenos con una autonomıa de hasta 24h. Los sistemas de operacion hıbrida, combustion de gas obiomasa, ofrecen otra solucion al problema de la falta de radiacion solar continua.

6.1. Sustento teorico

La eficiencia maxima de cualquier sistema termodinamico esta dada por la relacion de Carnot,que nos indica que la eficiencia η de un ciclo termodinamico reversible operando entre dos fuentesqueda determinada por las temperaturas de las fuentes θ1, θ2 y es independiente del fluido de trabajoque se utilice, y esta dada por

η(θ1, θ2) = 1 −T 1T 2

,

donde T 1 y T 2 son las temperaturas absolutas de las fuentes. En nuestro caso las temperaturas deoperacion son las del aceite sintetico del circuito y la del sistema de refrigeracion en el “intercam-biador de calor” aceite-vapor. Y en el sistema de almacenamiento termico, las temperaturas de losrecipientes de la sal lıquida.

En la mayorıa de las maquinas termicas la temperatura mas baja T 1 es la temperatura del ambientey por ende es incontrolable. Por lo tanto es termodinamicamente deseable tener la temperatura T 2 tanalta como sea posible. Claro esta que la eficiencia real de una m aquina termica es considerablementemenor que la maxima teorica, dado que las maquinas termicas reales estan muy distantes de serreversibles.

El funcionamiento de las maquinas termicas que nos conciernen, se sustenta en los principios teori-cos de los ciclos termodinamicos que son procesos cuyos estados inicial y final coinciden. Aquı veremostres de ellos.

6.1.1. Proceso de Carnot

El ciclo de Carnot es el proceso ideal mediante el cual obtenemos trabajo desde una fuentetermica; se basa en el postulado de Kelvin (teorema de Caratheodory) que nos dice que es imposibletransformar en trabajo el “calor” tomado de alguna fuente sin provocar otros cambios en el sistema,para realizar tal transformacion es necesario tener al menos dos fuentes a diferentes temperaturas

T 1 y T 2.

El proceso de Carnot se realiza en un ciclo en el cual tenemos al inicio un fluido en alg uncontenedor aislante termicamente excepto en uno de sus lados, con un piston en uno de sus extremos.De esta manera el intercambio termico se realiza por uno de los lados y puede controlarse, suponemoslas fuentes a temperaturas T 1 y T 2 suficientemente grandes como para mantenerse constante duranteel proceso.



6.1. SUSTENTO TE ORICO 63

Figura 6.3: Intercambio de energıa en el proceso de Carnot.

Figura 6.4: Ciclo de Carnot.

1. Iniciamos con un volumen y presion V a y pa, con la temperatura mas alta T 2 de alguna delas fuentes, luego se mueve el piston muy lentamente aumentando el volumen reversiblementehasta V b, este proceso es isotermico.

2. Ahora el contenedor se coloca en una aislante termico total e incrementamos su volumen muylentamente hasta V c, como el sistema se encuentra termicamente aislado durante este proceso,este es adiabatico. Durante la expansion adiabatica la temperatura del fluido decae desde T 2hasta T 1.

3. Luego colocamos al contenedor en la fuente a temperatura T 1 y comprimimos el fluido lenta-mente isotermicamente hasta que el volumen decrece hasta V d.

4. Finalmente colocamos el contenedor en un aislante termico de nuevo y comprimimos lentamenteel fluido adiabaticamente hasta que se alcanza de nueva cuenta la temperatura T 2. Ahora nosencontramos de nuevo en el estado inicial.

Durante la expansion isotermica el sistema absorbe energıa termica Q2 desde la fuente atemperatura T 2. Durante la compresion isotermica el sistema entrega una cantidad de energıa termica




Figura 6.5: Proceso de Stirling.

Q1 de la fuente a temperatura T 1. Por lo tanto la energıa total absorbida por el sistema durante elciclo es Q2 − Q1. Si utilizamos la primera ley de la termodinamica tenemos que solamente la partede energıa termica que se absorbe por el sistema desde la fuente a temperatura mayor se transformaen trabajo mediante el ciclo Carnot, el resto de la energıa termica, Q1, se entrega a la fuente atemperatura menor en vez de transformarse en trabajo, matematicamente tenemos la expresion

W = Q2 − Q1,

de la cual podemos definir la eficiencia descrita m as arriba mediante

η =Q2 − Q1

Q2

,

esto es la relacion entre el trabajo realizado por el ciclo y la energıa termica absorbida de la fuentea temperatura mayor.

La aplicacion de este ciclo es una prueba de la equivalencia de los postulados de Kelvin, Clausius,Caratheodory. El ciclo Carnot es el maximo de eficiencia energetica que puede alcanzarse en la con-version de energıa termica en traba jo mediante una diferencia de temperaturas dado que es reversiblee isoentropico. Sin embargo, dicho ciclo es un modelo ideal inalcanzable, por lo que necesario consi-derar otros ciclos termodinamicos ideales que son mas faciles de ser aproximados experimentalmentey que difieren en diversas caracterısticas y procesos involucrados dependiendo de la aplicacion. Laeficiencia de dichos modelos esta dada por

ηm = qη,

siendo q menor que (o idealmente igual a) la unidad, dependiendo de la eficiencia de la m aquina

termica en consideracion. Dos procesos usados ampliamente en plantas solares comerciales son el deStirling y el de Ericsson.

6.1.2. Proceso de Stirling

Este proceso consta de dos isotermas y dos isocoras. Un sistema que realiza este proceso, constade uno o dos pistones, el gas se encuentra en una camara separada en dos partes, encontrandose



6.1. SUSTENTO TE ORICO 65

Figura 6.6: Ciclo de Stirling.

Figura 6.7: Motor solar tipo Stirling.

una de ellas ocupada por un regenerador por el que puede fluir el gas o fluido, y dos fuentes atemperaturas T 1 y T 2.

1. Principia con una expansion isotermica a temperatura T 1, durante la cual la entropıa del gas

aumenta ∆S .

2. Sigue un enfriamiento del gas a la temperatura T 2 manteniendo el volumen constante. El gasda una cantidad ∆S al regenerador.

3. Luego, el gas es comprimido hasta el volumen inicial de manera isoterma a temperatura T 2.Aquı el sistema cede una entropıa ∆S al reservoir a temperatura T 2.

4. Finalmente, el gas es llevado hasta la temperatura inicial T 1, de tal forma que mientras quefluye por el regenerador absorbe la entropıa ∆S nuevamente.

En la fig.(6.7), tomada de [44], se muestra un motor solar tipo Stirling, para el cual el platoquedarıa en la parte inferior.

6.1.3. Proceso de Ericsson

Este proceso consta de dos isotermas y dos isobaras. El sistema que realiza este ciclo, puedeconstar de un intercambiador de calor, y un compresor y una turbina, que trabajan sobre un mismoeje.

1. Comienza con una compresion isoterma a temperatura T 2 de presion p2 a p1.




Figura 6.8: Proceso de Ericsson.

Figura 6.9: Ciclo de Ericsson.

2. Sigue un proceso isobaro en el cual el gas absorbe una entropıa ∆S en un intercambiador decalor, pasando a temperatura T 1.

3. Luego sigue una decompresion isoterma a temperatura T 1 en la turbina a presion p2.

4. Como ultimo paso, el gas es enfriado a temperatura T 2 en el intercambiador a presion constante p2 y da una entropıa ∆S al gas que fluye del compresor a la turbina.

En la fig.(6.9) se muestra a un ciclo Ericsson de un proceso en un ciclo abierto [1], que partede aire a una presion P 0 a temperatura T k, para comprimirlo en el compresor C a presion P max

a temperatura T cr, para ser precalentado en el recuperador R hasta temperatura T rh, y ser luegocalentado por radiacion solar en un concentrador solar hasta la temperatura T h y ser expandido hastaalcanzar la presion inicial P 0 y temperatura T er. Finalmente el aire expandido en E propocionaenergıa termica al intercambiador termico antes de ser restituido a la atmosfera a presion P 0 ytemperatura T rk. En la fig.(6.10) se muestra [1] la eficiencia global como funcion del flujo de aire.Un esquema del correspondiente sistema consistente en un concentrador solar acoplado a un proceso

de Ericsson es mostrado en la fig.(6.11).

6.2. Reflectores cilındricos.

En las plantas de potencia basadas en sistemas de canales reflectores parabolicos con almacena-miento termico, la radiacion solar que incide en la superficie de estos espejos es enfocada mediante



6.2. REFLECTORES CILINDRICOS. 67

Figura 6.10: Eficiencia del proceso de Ericsson para β = P max/P 0.

una configuracion parabolica hacia un tubo concentrador que se localiza a todo lo largo del eje focalde los espejos parabolicos colectores, que pueden tener varios cientos de metros de largo si es necesa-rio y conveniente. La absorcion de esta radiacion mediante un fluido de trabajo, usualmente aceite,permite su posterior transferencia y conversion energetica en una planta generadora de vapor quesera utilizada para mover un sistema de turbinas que finalmente generan la potencia demandadapor la comunidad o sistema en cuestion, figura 6.12. Ademas el sistema complementario de almace-namiento termico dota al sistema completo de autonomıa energetica durante los periodos en que secarece de radiacion solar.

Un par de aspectos tecnologicos recientes que han revolucionado este tipo de plantas de po-tencia son los tubos concentradores al vacıo y la integracion de almacenamiento termico. Estosavances tecnologicos permiten el aumento de la eficiencia total del proceso de conversi on de energıa,en particular reduciendo las perdidas de energıa por conduccion y conveccion dentro de los tubosconcentradores, y la generacion de electricidad aun despues de que el sol se ha ocultado, dotando deestabilidad a la red electrica en general.

El diseno de campos de recoleccion para las plantas de potencia solar se componen de varias lıneasde canales de espejos parabolicos con dimensiones de hasta 6m de altura y varios cientos metros delargo de ser necesario. A pesar de su gran tamano estos dispositivos opticos se alinean con precisionmilimetrica. Las lıneas de espejo corren en direccion norte-sur y se rastrea al sol de este a oestedurante el dıa para maximizar la recoleccion de la radiacion disponible.

Los componentes de los colectores consisten de modulos de espejos concavos fabricados conplacas de vidrio blanco cubierto de plata con un area especıfica cada uno, que depende de la dimensiontotal del sistema. Dada la precision del terminado de los modulos de espejo, cerca del 98 % dela radiacion que estos reciben se refleja hacia el tubo de absorcion localizado en el eje focal delos colectores parabolicos. La tuberıa de absorcion contienen un fluido de trabajo que aumentasu temperatura hasta los 400C gracias a la luz solar concentrada, ademas dado que los tubosconcentradores se fabrican al vacıo, se evitan las perdidas considerablemente y aumentan su eficienciahasta un 95 %.

La tuberıa de absorcion o sistema receptor, consiste de dos tubos concentricos; un tubo metalicoque contiene al fluido de trabajo rodeado de otro tubo de vidrio de un diametro mayor. Entre los

dos tubos se produce un “vacıo” que aisla el tubo metalico, evitando ası las perdidas por conducciony conveccion, es decir que el sistema permite la radiacion solar y evita los demas procesos posibles.

Cabe mencionar que en el diseno de la forma de los colectores solares y de la posici on delconducto de fluido de trabajo, en el caso de los sistemas de espejos parabolicos el tubo localizado enel foco de la parabola, puede estudiarse tambien mediante un enfoque que involucra los conceptos deoptica y no solamente de geometrıa basica. Ası puede encontrarse que la localizacion de los puntos




Figura 6.11: Colector solar acoplado a un proceso de Ericsson.

Figura 6.12: Sistema parabolico de recoleccion solar.

de maxima coleccion energetica no se localizan en los focos geometricos sino mas bien en las zonasc´ austicas, concepto que viene precisamente de la teorıa de la geometrıa diferencial.

Descripcion tecnica del proceso. Los componentes de una planta de potencia con almacena-miento termico son:

Campo solar con un circuito de transferencia de energıa.

Sistema de almacenamiento.

Planta de potencia: turbina, generador y sistema de refrigeracion.

Por las mananas los colectores comienzan a seguir al sol. Los espejos parabolicos concentranla radiacion solar a los tubos de absorcion dentro de los cuales circula un fluido, aceite sinteticoresistente, que transmite la energıa termica recolectada hacia “intercambiadores de calor” en dondese genera vapor que a su vez activa una turbina conectada a un generador que produce electricidad.

Durante el dıa, si la radiacion del sol es suficientemente intensa, el campo solar suple la energıasuficiente para generar electricidad requerida y, simultaneamente, alimenta el sistema de almacena-

miento termico.

El sistema de almacenamiento contiene sal lıquida, y consiste de dos tanques a diferentestemperaturas, 280C y 380C.Cuando el sistema de almacenamiento esta siendo alimentado, sal a menor temperatura se bombeaal tanque de mayor temperatura mediante un “intercambiador de calor” desde el aceite sintetico ala sal.



6.2. REFLECTORES CILINDRICOS. 69

Durante la tarde o cuando el cielo se nubla un poco, el campo solar y el sistema de almacenamientosuplen la energıa requerida para mantener al sistema en funcionamiento. Para esto la sal contenida enel recipiente de mayor temperatura se bombea ahora al contenedor de menor temperatura, regresandode esta manera su energıa termica al aceite sintetico del circuito.






Capıtulo 7

Conclusiones

En el estudio cientıfico profundo de fuentes de energıa la termodinamica tiene un papel fundamental.Es por ello que el conocimiento de sus fundamentos es de gran importancia. El desarrollo de nuevastecnologıas alternativas para la generacion de energıa ha sido sumamente intenso en las ultimasdecadas. En especial, la energıa solar es particularmente atractiva para un paıs como el nuestro porrazones obvias, lo cual fue motivacion para estudiarla desde una perspectiva teorica basica. Muy enespecial la formulacion de la termodinamica introducida por Carnot y Caratheodory nos permiteanalizar a fondo aspectos basicos termodinamicos con una claridad y sencillez conceptual que solo sealcanza en otras formulaciones equivalentes mediante la introduccion de dispositivos ideales difıcilesde imaginar. El desarrollo de la novedosa metodologıa teorica aquı estudiada, firmemente fundada yde facil compension, puede contribuir al desarrollo de nuevas tecnologıas en el aprovechamiento dela energıa solar.

Existen diversos enfoques a la termodinamica. Como ha sido mencionado, en este proyecto ter-minal se estudio un enfoque basado en la formulacion rigurosa realizada principalmente por Carnoty Caratheodory, quienes lograron una teorıa de gran rigor matematico. Se alcanzo un conocimientoa fondo de los fundamentos de tal enfoque, con el proposito de contar con un poderoso herramentalteorico con el cual analizar problemas basicos que existen en la generacion de energıa de gran im-portancia para las sociedades actuales en todo el mundo. Este fue pues un proyecto que se dirigio ahacer mas accesible una teorıa basica y sus metodos para su mayor aprovechamiento en la Ingenierıa

Fısica de fuentes de energıa actuales o futuras. Este proyecto tuvo como antecedentes investigacio-nes realizadas recientemente en el fısica de sistemas dinamicos y en su fundamentacion matematicamediante geometrıa sub-Riemanniana y metodos variacionales durante la ultima decada.

Se entendieron a fondo los fundamentos geometricos involucrados en el enfoque de Carnot-Caratheodory, muy en particular el enunciado de la Segunda Ley de la Termodinamica ası comosu relacion con los enunciados tradicionales. Se resalto que el enfoque de Carnot-Caratheodory escompletamente equivalente a los demas existentes, y que ademas nos permite entender de manerarigurosa ideas fısicas basicas sin permitir que surjan dudas respecto a su coherencia matematica.Muy en especial se resalto el significado geometrico de las maquinas termodinamicas involucradasen la segunda ley.

Se logro la comprension de plantas de energıa solar convencionales en uso y entender los funda-mentos termodinamicos de su funcionamiento mediante el enfoque de Carnot-Caratheodory. Con elloeste trabajo realizado quedo situado dentro de los importantes desarrollos cientıficos y tecnologicospara la solucion actual y futura de generacion de energıa.

En suma, en este trabajo abordo al estudio de la formulacion de la termodinamica de Carnot-Caratheodory. Se mostro que es una formulacion que permite entender geometricamente el enunciado

71



de la segunda ley y en especial el significado de la existencia de la entropıa y de la imposibilidad deciertos procesos reales. Se elucido como esta formulacion se basa en un mınimo de suposiciones yen se encuentra estrechamente relacionada con el concepto de integrabilidad de ecuaciones y formasdiferenciales, y de ecuaciones Pfaffianas que tan frecuentemente ocurre en pr acticamente todas lasramas de la Fısica y sus aplicaciones. Como parte basica del estudio propuesto se considero laequivalencia de las formulaciones de Clausius, de Kelvin y la de Caratheodory en ejemplos simplesconcretos. Se estudiaron ejemplos sencillos, descritos en el el lenguaje de ecuaciones diferencialesordinarias simples y se vio el significado geometrico de los enunciados de la termodinamica. Serealizaron calculos tanto analıticos como computacionales en los diversos ejemplos estudiados. Se

hizo un breve resumen de plantas de aprovechamiento de energıa solar, para luego analizar procesostermodinamicos necesarios para comprender a las plantas de aprovechamiento de energıa solar.

De lo anterior se concluye que se alcanzaron plenamente los objetivos y metas de este trabajo,cubriendose ası con exito el objetivo de entender el enfoque geometrico de Caratheodory y mos-trado su relevancia en la comprension de procesos termodinamicos de importancia central en elaprovechamiento de la energıa solar.



Capıtulo 8

Apendice

En este apendice resumimos algunas definiciones y resultados conocidos usados en este trabajo.

Definicion 6. Llamamos a un conjunto de valores x1, x2, . . . , xn un punto. Las variables x1, x2,. . . , xn son sus coordenadas. La totalidad de los puntos que corresponden a todos los valores de lascoordenadas dentro de ciertos rangos constituyen un espacio n-dimensional , E n. Otras etiquetastales como hiperespacio, variedad tambien se utilizan para evitar confusiones con el comun uso deltermino “espacio”. E n−1 es una hipersuperficie.

Definicion 7. Una curva se define como la totalidad de puntos dados por las ecuaciones

xr = f r(u) (r = 1, 2, . . . , n) (8.1)

donde u es un parametro y f r son n-funciones.

Definicion 8. Una funci´ on f es el conjunto de tres cosas:

un conjunto X llamado el dominio de f ,

un conjunto Y llamado el rango de f ,

una regla que asigna a cada elemento de X un elemento correspondiente en Y

f : X → Y

Un principio basico en fısica nos dice que un sistema se comporta de la misma manera, sin impor-tar las coordenadas que utilicemos para describirlo. Sin embargo, ningun sistema coordenado puedeser utilizado en todas partes al mismo tiempo, en esta arbitrariedad en la elecci on del sistema decoordenadas reside la teorıa de variedades. La teorıa de curvas en el espacio euclidiano nos permi-te entender mas facilmente el papel que juegan los grupos de transformaciones en geometrıa y, enparticular, el hecho fundamental de que los mismos conceptos geometricos son invariantes diferen-ciales de ciertos grupos [2]. Las variedades son la generalizacion de nuestras ideas acerca de curvas ysuperficies hacia objetos dimensionales arbitrarios. Una curva y una superficie se consideran local-

mente homeomorficas a R y R2, respectivamente. Una variedad en general es un espacio topologicohomeomorfico a Rm localmente; puede ser diferente a Rm globalmente. El homeomorfismo local nospermite dotar a cada punto en una variedad, de un conjunto de m numeros llamados coordenadaslocales. Si la variedad es no homeomorfica a Rm globalmente, es necesario introducir algunas coor-denadas locales. Ası que es posible que un punto tenga dos o mas coordenadas. Es necesario quela transicion de una coordenada a otra sea suave. Tal como la topologıa se basa en el concepto decontinuidad , ası la teorıa de variedades se basa en el concepto de suavidad [37].

73



Existe una variedad que describe el comportamiento local de curvas no parametrizadas, haz decontacto1, de la misma forma que el haz tangente curvas parametrizadas. Existe tambien un haz decontacto, analogo al haz cotangente que representa la direccion de los gradientes locales de funcionessin tomar en cuenta su intensidad. Existen muchos otros haces de contacto que representan el Calculode los mapeos n-dimensionales.

Definicion 9. Un subconjunto de Rn se llama convexo si contiene a cualquier segmento que unaun par de puntos.

Definicion 10. Espacio de estados con estructura convexa , significa un espacio de estados Γ, el cuales un subconjunto convexo de un espacio lineal, e.g. Rn. Esto es, si X y Y son dos puntos cualquieraen Γ y 0 ≤ t ≤ 1, entonces el punto tX + (1 − t)Y esta bien definido en Γ. Una funci´ on c´ oncava , S ,en Γ satisface la desigualdad

S (tX + (1 − t)Y ) ≥ tS (X ) + (1 − t)S (Y ).

Definicion 11. Sea X un subconjunto de Rn, sea x un punto de X, y r un numero real positivo.Definiremos el entorno de x en X de radio r como el conjunto de todos los puntos de X cuyadistancia a x es menor que r.

Definicion 12. Sea X cualquier conjunto y Υ = U i ∈ I represente cierta coleccion de subconjuntos de X . El par (X, Υ) es un espacio topol´ ogico si Υ satisface los siguientes requerimientos.

∅, X ∈ Υ.

Si J es cualquier subcoleccion (posiblemente infinita) de I , la familia U j | j ∈ J satisfacej∈J U j ∈ Υ.

Si K es cualquier subcoleccion finita de I , la familia U k | k ∈ K satisface

k∈K U k ∈ Υ.

X es un espacio topologico. Las U i son conjuntos abiertos y se dice que Υ dota a X de unatopologıa .

Definicion 13. Una metrica d : X × X → R es un mapa que satisface las siguientes condiciones:

d(x, y) = d(y, x)

d(x, y) ≥ 0 donde la igualdad se cumple si y solo si x = y.

d(x, y) + d(y, z) ≥ d(x, z)

para cualquier x,y,z, ∈ X . Si X esta equipado con una metrica d, X se construye como un espaciotopologico cuyos conjuntos abiertos estan dados por “discos abiertos”,

U ε(x) = y ∈ X | d(x, y) < ε

y todas sus posibles uniones. La topologıa Υ ası definida, se denomina topologıa metrica determinadapor d. Al espacio topologico (X, Υ) se le llama espacio metrico.

Definicion 14. Sea X un subconjunto de Rn. Un subconjunto U de X se denomina un conjuntoabierto de X si para cada punto x de U existe algun entorno de x en X contenido en U .

Todos los entornos son conjuntos abiertos.

Definicion 15. Sean X 1 y X 2 espacios topologicos. Un mapa f : X 1 → X 2 es un homeomorfismo sies continuo y tiene inversa f −1 : X 2 → X 1 la cual tambien es continua. Si existe un homeomorfismoentre X 1 y X 2, se dice que X 1 es homeom´ orfico a X 2 y viceversa.

1Contact bundle



Definicion 16. Sea X un subconjunto de Rn. Una coleccion C de subconjuntos de Rn se llamaun recubrimiento de X si la union de los conjuntos de C contiene a X ; o sea, si cada punto deX pertenece al menos a uno de los conjuntos de C . Un recubrimiento C de X se denomina finitosi el numero de conjuntos de C es finito. Un recubrimiento C de X se dice que contiene a unrecubrimiento D de X si cada conjunto de D es tambien un conjunto de C . Un recubrimiento deX se llama recubrimiento abierto si cada conjunto del recubrimiento es un conjunto abierto de X .Finalmente, el espacio X se denomina compacto si cada recubrimiento abierto de X contiene unrecubrimiento finito de X ; esto equivale a decir que de cualquier colecci on infinita de conjuntos deX cuya reunion es X podemos seleccionar una subcoleccion finita cuya reunion tambien es X . Dicho

de otra forma, un subespacio X de Rn es compacto, si y solo si, para toda coleccion de conjuntosabiertos en X cuya union es X , existe una sub-coleccion finita cuya union es igual a X .

Teorema 9. Un conjunto compacto no vacıo X de numeros reales tiene un maximo y un mınimo;dicho de otra forma, existen dos numeros m y M en X tales que m es el menor de X y M el mayorde X .

Teorema 10. Si X es un subconjunto de Rm, cerrado, acotado y no vacıo, y si f : X −→ R esuna funcion continua (mapa) definida en X con valores reales, la imagen f X tiene un maximo y unmınimo m.

Definicion 17. Una separacion de un espacio X es un par A, B de subconjuntos no vacıos de X tales que A ∪ B = X, A ∩ B = ∅, y ambos A y B son abiertos en X . Un espacio sin separacion sellama conexo.

Teorema 11. Un espacio X es conexo si, y solo si, cada par de puntos de X esta contenido enalgun subconjunto conexo de X .

Un subconjunto de Rn se llama convexo si contiene a cualquier segmento que una un par depuntos. Puesto que los segmentos son convexos, el teorema implica:

Corolario 1. Cada conjunto convexo es conexo.

Definicion 18. Sean X y Y dos conjuntos. Un mapeo es una regla por la cual asignamos y ∈ Y para cada x ∈ X .

f : X → Y

Un mapa es uno-a-uno si x = x

implica que f (x) = f (x

)

Un mapa es sobre si para cada y ∈ Y existe al menos un elemento x ∈ X tal que f (x) = y.

Un mapa es biyectivo si es ambos, uno-a-uno y sobre.

Definicion 19. Un mapa convexo es tal que se cumple, D2f (x) > 0.

El concepto de relacion de equivalencia es fundamental para toda la teorıa matematica de latermodinamica a la Caratheodory; se define a partir del principio de comparacion o hipotesis, querelaciona clases de estados termodinamicos.

Definicion 20. Una relaci´ on de equivalencia es reflexiva, i.e., X X , y transitiva, i.e., X Y yY Z implica que X Z . Esto define una relacion de preorden porque X Z y Z X no implica

que X = Z .Una relacion de equivalencia afirma que para cualquiera dos estados, X y Y , que pertenecen a

la misma clase, se puede llegar adiabaticamente desde X hasta Y :

X Y,

o desde Y hasta X , esto es, Y X .



76 CAP ITULO 8. AP ENDICE

Lo anterior no es siempre posible. El requisito clave para que una relaci on de equivalencia secumpla es que si X Y y Z Y , entonces se cumple que X Z o Z X . Si ambas relaciones secumplen, X Y y Y X , entonces X y Y son adiabaticamente equivalentes, y se expresa como[32]:

X A∼ Y.

Para ilustrar la idea contenida en las ecuaciones Pfaffianas, a la luz de la geometrıa diferen-cial, recuperamos del libro de Schouten y Koulk [43] una imagen metaforica y algunas definiciones

preliminares pertinentes:

Transformaciones afines. Consideremos un espacio n -dimensional con coordenadas xκ, sujeto alas transformaciones del grupo afın :

xκ

= aκ

+ Aκ

κ xκ; ∆def = Det(Aκ

κ ) = 0 (κ = 1, . . . , n; κ = 1, . . . , n) (8.2)

con coeficientes constantes aκ

, Aκ

κ . Dado que ∆ = 0, existe una transformacion inversa

xκ = aκ + Aκκxκ

; Det(Aκκ) = ∆−1 (κ = 1, . . . , n). (8.3)

Todo sistema coordenado xκ

que puede formarse desde xκ aplicando (8.2) es llamado un sistema de coordenadas permitido. Un espacio equipado con todos estos sistemas de coordenadas permitidosrecibe el nombre de espacio afın , E n.

Geometrıa. Todos los puntos cuyas coordenadas son soluciones de un sistema de n − p ecua-ciones lineales, linealmente independientes, en cualquier sistema de coordenadas permitido, formanel espacio nulo del sistema. Siempre es posible escoger las coordenadas de tal forma que n − p deestas coordenadas se anulen en el espacio nulo. Todas las transformaciones del grupo afın que dejaninvariantes estas n − p coordenadas, forman el grupo afın en las otras coordenadas p. Por lo tantoel espacio nulo es un E p. A tal E p se le llama variedad lineal en E n, o un E p en E n. Llamamos a unE 0 un punto, a un E 1 una lınea recta , a un E 2 un plano y a un E n−1 un hiperplano.

Cantidades. Una cantidad en E n es una correspondencia entre los sistemas de coordenadas per-mitidos y los conjuntos ordenados de N numeros sujetos a las condiciones siguientes:

a cada sistema de coordenadas corresponde un, y solo un, conjunto ordenado de numeros N ;

si ΦΛ(Λ = 1, . . . , N ), y ΦΛ (Λ

= 1

, . . . , N

) corresponden a (κ) y (κ

) respectivamente, los

ΦΛ son funciones de los ΦΛ y los Aκ

κ , lineales en ΦΛ y algebraicamente homogeneos en Aκ

κ .

Se llama componentes a los ΦΛ con respecto al sistema coordenado(κ). Las cantidades se distinguenpor la forma de transformacion de sus componentes. Las cantidades mas importantes en E n son:

Un escalar es una cantidad con solo una componente, la cual es invariante con la transforma-cion.

Un vector contravariante es una cantidad con n componentes ν κ y la ley de transformacion

ν κ

= Aκ

κ ν κ (8.4)

Un vector covariante es una cantidad con n componentes ωλ y la ley de transformacionωλ = Aλ

λ ωλ (8.5)

Un vector ωλ se representa por dos hiperplanos2,

uλxλ = 1, ν λxλ = 1, uλ :: ν λ,

2:: significa “proporcional a”



1

ωλ=

1

uλ−

1

ν λ

Un vector se representa por dos puntos, xκ y yκ = xκ + ν κ, fijos dentro de la transformacion y conun sentido de xκ a yκ. p vectores contravariantes, linealmente independientes, determinan un E p,y las direcciones de todos los vectores contravariantes, linealmente dependientes de estos p estancontenidas en este E p. Tal sistema de vectores contravariantes se llama dominio contravariante y el E p su soporte.

Imagenes.

En tiempos pasados habıa un esclavo, empacando hojas valiosas para un rey. Pero lasempaco desordenadamente y las hojas se danaron, el rey mando cortar la cabeza delesclavo. Muchos otros esclavos vinieron y corrieron la misma suerte. Finalmente vinouno mas inteligente que sus predecesores, empaco las hojas delicadamente en capas, yresultaron en una forma que complacio al rey. Aquel esclavo no solo salvo su propia vida,sino que fue la primer persona en resolver un problema de Pfaff.

Ahora tomemos estas mismas hojas pero muy pequenas y muy finas, “facetas” infinitesimalesdigamos, y empaquemoslas tan cerca que haya una “faceta” en cada punto del espacio ocupado.Entonces podran ser arregladas de tal manera que formen un sistema de ∞1 superficies en el espacio.Este es un empaque eficiente. Pero si el empaque es desordenado, aunque continuo, no es posibleconstruir tales superficies. Ese modo de empaque es condenable si es que tratamos con “hojas”

valiosas. Las ecuaciones Pfaffianas nos dan la formulacion matematica exacta para manejar todotipo de empaques, ademas se da de una sola vez para cualquier espacio n -dimensional.

Una ecuacion diferencial Pfaffiana

wλdξλ = 0 (λ = 1, 2, . . . , n) (8.6)

representa un E n−1-campo en un X n, esto es, una (n − 1)-direccion en cada punto, donde X n es unavariedad geometrica n-dimensional . Si escribimos

W µλdef = ∂ µwλ − ∂ λwµ, (8.7)

puede suceder que

W µλwν + W λνwµ + W νµwλ = 0. (8.8)

en cuyo caso la ecuacion (8.6) se dice completamente integrable o completa, y sus E n−1 son tangentesa un sistema de ∞1 X n−1 en X n. Si (8.6) no es total, podemos pedir los X m en X n tales que latangente E m en cada punto reside en la E n−1 del campo en este punto.Al problema de la determinacion de todos los X m “envueltos” lo llamamos el problema simple dePfaff .





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