Ecuaciones Diferenciales aplicadas a problemas con circuitos eléctricos

Considerando a nivel general un circuito en serie que contiene una Fuerza Electromotriz (FEM) y elementos de resistencia, inducción y capacitancia, se aplicaran conceptos de Ecuaciones Diferenciales para modelarlos y resolverlos. En este sentido, deben especificarse algunas cuestiones relacionadas con dichos circuitos eléctricos:

Una FEM (batería, generador, etc) produce un flujo de corriente en un circuito cerrado y a su vez esta corriente produce una caída de tensión o de voltaje a través de cada uno de los elementos presentes en el circuito: resistencias, inductores y capacitores.

Las siguientes leyes aplican para las caídas de tensión en cada uno de los elementos mencionados:

La caída de tensión en cada uno de los elementos de resistencia se establece como:

ER=R i ,donde R esla resistencia e

i es laintensidad de lacorriente

La caída de tensión en un elemento de inducción viene dada por:

EL=Ldidt

, donde Les lainductancia e

i es laintesidad de lacorriente

La caída de tensión en un elemento de condensador es:

EC= 1C

q ,dondeC esla capacitancia y

q la carga eléctrica instantáneaenel condensador .

Esta expresióntambién se puede escribir como :EC=1C∫ idt .Debido aque i=dq

dt(Lavar aiciónde lacarga respecto al tiempo)

Se debe tener en cuenta que las unidades de medida que se manejan son las siguientes:

MAGNITUD SÍMBOLO UNIDADFEM, TENSIÓN E Voltio

CORRIENTE i AmperioCARGA q Coulombio

RESISTENCIA R OhmioINDUCCIÓN L Henryo

CAPACITANCIA C Faradio

También deben considerarse la siguiente ley de Kirchhoff:

La suma algebraica delas caídas de tensión, a lo largo de un circuito cerrado en un sentido específico es cero. Como las caídas de tensión en elementos de inductancia, resistencia y capacitancia, tienen signo contrario a las tensiones producidas por las FEM, la ley mencionada puede establecerse también como: La suma de las caídas de tensión en los elementos de inductancia, resistencia y capacitancia, es igual a la FEM total en el circuito cerrado.

El siguiente diagrama representa de manera general el circuito en cuestión:

Si se aplica la ley de Kirchhoff, en su segundo enunciado, se obtiene la siguiente ecuación diferencial:

Ldidt

+R i+ 1C

q=E

Ahora, como i y q (las variables dependientes) están relacionadas mediante:

i=dqdt

La ecuación obtenida por ley de Kirchhoff se convierte en:

Ld2qdt 2

+Rdqdt

+ 1C

q=E

Ó

Ld2 idt 2

+Rdidt

+ 1C

i=dEdt

Que son ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden en términos de la variable dependiente q e i respectivamente.

Así queda modelado el circuito en serie y por consiguiente puede aplicarse dicho modelo para solucionar un problema como el siguiente:

CONDENSADOR

INDUCTOR

RESISTENCIA

FEM

Un circuito en serie construido en un laboratorio de electrónica de la UNIVALLE sede Zarzal consta de una FEM = 100 sen (60t) Voltios, una resistencia de 2 Ohmios, un inductor de 0,1 H y un condensador de 3.85*10-3 Faradios. Se plantea que si la corriente y la carga iniciales del condensador son ambas cero, se calcule la carga del condensador en cualquier instante t>0.

El esquema del circuito es el siguiente:

Luego, para formular el problema en términos del modelo especificado anteriormente, se utilizan las leyes expuestas (las de caídas de tensión y la ley de Kirchhoff):

ER=R i=2 i

EL=Ldidt

= 110

didt

EC= 1C

q=260q

Según la ley de Kirchhoff, se obtiene:

110

d2qdt2

+2 dqdt

+260q=100 sen (60 t)

Ajustando la ecuación se obtiene:

d2qdt2

+20 dqdt

+2600q=1000 sen (60 t)

Especificando las condiciones iniciales:

q (0 )=0 , puesto que lacargaenel elemento es cero inicialmente .

C = 3.85*10-3 F

L = 0.1 H

R = 2 Ohm

FEM = 100 sen(60t)

q (0 )=0 , puesto que laintensidad de lacorriente es tambiéncero inicialmente .

Así se ha especificado el problema en términos de la ecuación diferencial propuesta. Lo que sigue ahora es solucionar la ecuación diferencial teniendo en cuenta las condiciones iniciales establecidas:

La ecuación auxiliar de la ecuación diferencial del modelo es:

r2+20 r+2600=0. Lasraícesde estaecuación soncomplejas−10±50 i .

Luego la función complementaria será:

qc=e−10 t∗(C1 sen (50t )+C2cos (50 t ))

Luego una ecuación particular es:

q p=Asen (60 t )+Bcos(60 t )

Luego calculando con base en la ecuación del modelo se obtienen los valores para A y B:

A=−2561

,B=−3061

Entonces la solución general es:

q=qc+qp

q=e−10 t∗(C1 sen (50 t )+C2cos (50 t ) )+Asen (60 t )+Bcos (60 t)

q=e−10 t∗(C1 sen (50 t )+C2cos (50 t ) )−2561

sen (60 t )−3061cos (60 t)

Obtenemos:

d qdt

=e−10 t [ (−10C1−50C2 ) sen (50 t )+(50C1−10C 2 )cos (50t ) ]−150061

cos (60 t )+ 180061

sen(60t )

Aplicando las condiciones iniciales se calculan C1=3661

,C2=3061

Por lo tanto la solución del problema es:

q= 661

e−10 t∗(6 sen (50 t )+5cos (50 t ) )− 561

(5 sen (60 t )+6cos (60 t ))

La cual expresada en términos de fases queda de la siguiente manera:

q=0,77 e−10 t cos (50 t−0,88 )−0,64cos (60 t−0,69 )

Sobre esta solución se puede observar lo siguiente: como el primer término incluye una función exponencial con exponente negativo, es término se hará despreciable en un tiempo relativamente corto. Este término recibe el nombre de transitorio. Al cabo de un tiempo suficiente sólo el segundo término será relevante y definirá exclusivamente la carga q en el elemento condensador. A este término se le llama estacionario.