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Capıtulo 9
Ecuaciones en derivadas parcialesde primer orden
En este tema vamos a ofrecer una introduccion a las edp de primer orden, considerando laclasificacion y la solucion de algunos casos especiales de ecuaciones de este tipo. Veremos quela resolucion de este tipo de ecuaciones esta estrechamente relacionada con la integracion deciertos sistemas de ecuaciones diferenciales, en general no lineales.
9.1 Introduccion
De acuerdo con lo estudiado en el capıtulo precedente, diremos que una edp de primer ordenpara una funcion u definida en una region U de R
n es una relacion de la forma
F (x1, x2, . . . , xn, u, ux1 , ux2 , . . . , uxn) = g(x1, x2, . . . , xn, u), (9.1.1)
donde la posible existencia de terminos que dependen solo de las variables independientes y dela funcion u se ha separado, escribiendola explıcitamente como una funcion g(x1, x2, . . . , xn, u).Obviamente se trata de un caso especial de la definicion dada en (8.2.4).
Por lo que respecta a la interpretacion gometrica de las soluciones de (8.2.4) o de (9.1.1),dado que seran funciones u(x1, x2, . . . , xn), claramente podran ser consideradas como hipersu-perficies n–dimensionales en el espacio R
n+1 de las variables (x1, x2, . . . , xn, u), denominadassuperficies integrales (o hipersuperficies integrales) de la edp.
Particularizando algunas otras definiciones del tema anterior al caso que ahora no ocupa,podemos ver que la forma general de una edp lineal de primer orden es
n∑
k=1
ak(x1, . . . , xn)∂u(x1, . . . , xn)
∂xk= c(x1, . . . , xn) u(x1, . . . , xn) + d(x1, . . . , xn), (9.1.2)
y la forma mas general de una edp de primer orden cuasilineal esn∑
k=1
ak(x1, . . . , xn, u)∂u(x1, . . . , xn)
∂xk= c(x1, . . . , xn, u). (9.1.3)
Este tipo de ecuaciones aparecen en problemas de calculo variacional, en mecanica y en opticageometrica. La ecuacion es lineal respecto de las derivadas, pero puede ser no lineal respectoa la funcion incognita u.
15
16 Capıtulo 9. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
Ejercicio 1: clasificar las siguientes edp:
a)√
x1 − x2 (ux1x1)2 = 0.
b) x1 ux2 − x2 ux1 = u.
c) x1 ux1 + eu x2 ux2 − x1x2 u = 0.
d) (x21 + x2
2 + x23)
∂3u
∂x31
+ (cos x2)∂u
∂x2+
∂u
∂x3= 0.
e) ux uy = 1.
f) x u = y u2y − (tanx)ux = 1.
g) u = x ux + yu + u2x + u2
y + uxuy.
h) (y − z)ux + (z − x)uy + (x − y)uz = 0.
Aunque la teorıa que vamos a exponer inmediatamente se puede desarrollar exactamenteigual para un numero cualquiera n de variables independientes, resulta mucho mas conve-niente desde el punto de vista pedagogico hacerlo de forma explıcita para n = 2, ya queesto permite mostrar de manera mucho mas clara la interpretacion geometrica de las edp deprimer orden y de sus soluciones. Ası pues, en lo sucesivo trabajaremos casi siempre en elcaso bidimensional, con lo cual es mucho mas comodo denominar a las dos variables inde-pendientes (x, y) en lugar de (x1, x2). Ademas se suele introducir la siguiente notacion paralas derivadas primeras
∂u
∂x:= p,
∂u
∂y:= q, (9.1.4)
nomenclatura a la que nos sumamos y con lo cual la edp mas general de primer orden seescribe en forma simbolica ası:
F (x, y, u, p, q) = 0. (9.1.5)
Ejercicio 2: clasificar las siguientes edp de primer orden y reescribirlas enterminos de las derivadas de la funcion incognita u(x, y):
a) x p + y q = 0.
b) x q3 − y p = u.
c) (p + q + 1)u2 = 1.
d) (p2 + q2 + 1)u2 = 1.
e) q + p2 = 0.
f) x2 p + y2 q = (x + y)u.
g) u2 p +√
u q = (x + y)u.
h) (y + ux) p − (x + yu) q = x2 − y2.
Ejercicio 3: seleccionar aquellas ecuaciones del Ejercicio 1 que sean de primerorden en con dos variables independientes y reescribirlas en terminos de p y q.
9.2. El “problema de Cauchy” para las edp de primer orden 17
9.2 El “problema de Cauchy” para las edp de primer orden
Aunque esta fuera de nuestros objetivos una discusion pormenorizada y rigurosa de los teo-remas de existencia y unicidad, sı parece adecuado para el nivel de este curso dar una ideasomera de que es lo que entenderemos por teoremas de este tipo en el contexto de las edp.
Las condiciones para asegurar la existencia y la unicidad de soluciones de las edp deprimer orden se suelen expresar en una forma que se denomina el problema de Cauchy que,en el caso de dos variables independientes, puede formularse como sigue.
Problema de Cauchy: supongamos que
• xo(s), yo(s), uo(s) son funciones continuas y con derivada primeracontinua en M = (s1, s2) ⊂ R, es decir, son de clase C1(M);
• F (x, y, u, p, q) es una funcion continua de sus cinco variables enuna cierta region U del espacio R
5.
Se desea establecer la existencia de una funcion φ(x, y) que tenga lassiguientes propiedades:
1. φ(x, y) y sus derivadas parciales respecto de x e y son funcionescontinuas de las dos variables en una cierta region R ⊂ R
2.
2. Para cualquier valor de (x, y) que pertenezca a la region R, elpunto (x, y, φ(x, y), φx(x, y), φy(x, y)) esta en U ⊂ R
5 y ademas
F (x, y, φ(x, y), φx(x, y), φy(x, y)) = 0.
3. Para todo s ∈ M , el punto (xo(s), yo(s)) ∈ R y
φ(xo(s), yo(s)) = uo(s).
Dicho en terminos geometricos, se desea demostrar que existe una super-ficie u = φ(x, y) que contenga a una curva Γ dada en forma parametricapor las ecuaciones
x = xo(s), y = yo(s), u = uo(s). (9.2.1)
En cualquier punto de la superficie se cumple ademas que el vectornormal a ella, que es precisamente
(ux, uy,−1) ≡ (p, q,−1),
es tal queF (x, y, u, p, q) = 0. (9.2.2)
18 Capıtulo 9. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
9.2.1 Teorema de existencia y unicidad de Kovalevskaya
La que acabamos de dar es solo una de las ocho maneras diferentes y equivalentes en lascuales puede formularse el problema de Cauchy. El punto destacado es que el problemano puede resolverse con tanta generalidad como se acaba de proponer: para que exista unasolucion de la edp (9.1.5) que pase por una curva de ecuaciones (9.2.1) es preciso efectuar otrassuposiciones sobre la forma tanto de la funcion F como de la curva Γ. De hecho, existe todauna familia de teoremas de existencia, dependiendo de las hipotesis adicionales que se elijanpara F y Γ. Aquı solo mencionaremos uno de ellos, el clasico debido a la matematica rusaSofia Vasilievna Kovalevskaya, para que se vea el tipo de exigencias que se deben imponer.
Teorema 1 (de Kovalevskaya): consideremos una funcion g(y) tal que ella y todas susderivadas son continuas en el intervalo |y − yo| < δ (es decir, es de clase C∞ en ese intervalo)y un numero real dado, xo; supongamos tambien que uo = g(yo), qo = g′(yo) y que la funcionf(x, y, u, q) es de clase C∞ en la region S = |x− xo| < δ, |y − yo| < δ, |q − qo| < δ (es decir,en esa region la funcion y todas sus derivadas parciales son continuas), entonces existe unaunica funcion φ(x, y) tal que:
1. φ(x, y) es de clase C∞ en la region R = |x − xo| < δ1, |y − yo| < δ2.
2. Para todo (x, y) ∈ R, u = φ(x, y) es una solucion de la edp de primer orden escrita enforma normal
ux = f(x, y, u, uy).
3. Para todos los valores de y en el intervalo |y − yo| < δ1, se verifica que φ(xo, y) = g(y).
9.2.2 Soluciones generales y completas
Antes de adentrarnos en la explicacion de los diversos metodos de resolucion de edp de primerorden, es necesario precisar los diversos tipos de soluciones que vamos a encontrar.
Definicion 1: llamaremos solucion completa o integral completa de la edp de primer orden(9.1.5) a toda relacion
f(x, y, u, a, b) = 0 (9.2.3)
entre las variables x, y, u que contenga dos constantes arbitrarias a y b y que sea unasolucion de la edp (9.1.5).
Definicion 2: llamaremos solucion general o integral general de la edp de primer orden(9.1.5) a toda relacion
ϕ(v, w) = 0 (9.2.4)
que sea solucion de la edp (9.1.5) y que involucre una funcion arbitraria ϕ, de dos funcionesconocidas v(x, y, u) y w(x, y, u).
En principio parece obvio que una integral general proporciona un conjunto de solucionesmucho mas grande de la edp de primer orden que estemos estudiando que una integralcompleta (en una caso tenemos una funcion arbitraria ϕ mientras que en el otro solo tenemosdos constantes arbitrarias a y b). Sin embargo, como veremos luego, esto no es realmente ası,pues una vez que se conoce una integral completa es posible obtener, a partir de ella, unaintegral general.
9.3. La ecuacion cuasilineal de primer orden 19
Existen otras soluciones, importantes para las edp1 no lineales, que se obtienen comoenvolventes. Para las edp1 cuasilineales en teorıa es posible obtener la solucion general(en la practica puede ser complicado). Sin embargo, para las edp1 no lineales esto sueleser imposible y habitualmente no se plantea encontrar la solucion general sino resolver elproblema de Cauchy, del queya hemos hablado anteriormente. En ocasiones la variabley se identifica con el tiempo t y el problema que se plantea es hallar la solucion de la edp,u(x, t) tal que u(x, 0) = h(x). Este problema se denomina de condiciones iniciales y es uncaso particular de problema de Cauchy en el que la curva dato es x = s, t = 0, u = h(s).
9.3 La ecuacion cuasilineal de primer orden
La ecuacion cuasilineal de primer orden y dos variables independientes tiene la forma:
a(x, y, u)ux + b(x, y, u)uy = c(x, y, u) (9.3.1)
donde a(x, y, u), b(x, y, u) y c(x, y, u) son tres funciones conocidas definidas en un ciertodominio de R
3. La funcion u(x, y) es la incognita y esta definida en una cierta region D delplano real (u(x, y) : D → R). La expresion u = u(x, y) es una superficie en R
3. Por lo tanto,las soluciones de la ecuacion cuasilineal (9.3.1) pueden considerarse superficies en R
3 a lasque llamaremos superficies integrales. Consideremos una tal superficie y escribamosla de laforma ϕ(x, y, u) = 0 = u(x, y)− u. La ecuacion del plano tangente a la superficie en el puntoP0 = (x0, y0, u0) es
∂ϕ
∂x
∣∣∣∣P0
(x − x0) +∂ϕ
∂y
∣∣∣∣P0
(y − y0) +∂ϕ
∂u
∣∣∣∣P0
(u − u0) = 0 (9.3.2)
esto es,∂u
∂x
∣∣∣∣P0
(x − x0) +∂u
∂y
∣∣∣∣P0
(y − y0) − (u − u0) = 0 (9.3.3)
Como el punto (x, y, u) pertenece a este plano, (x−x0, y−y0, u−u0) es un vector que esta endicho plano. Por consiguiente, de (9.3.3) se deduce que (ux, uy,−1) es un vector perpendiculara este plano tangente, y por lo tanto tambien es normal a la superficie solucion.
Consideremos ahora el vector de componentes (a, b, c). Teniendo en cuenta (9.3.1), estevector es en cada punto perpendicular a (ux, uy,−1). Por consiguiente, segun lo comentadoanteriormente, esta en el plano tangente.
Llamaremos curvas caracterısticas de la ecuacion diferencial a todas aquellas curvas talesque en el punto P0 = (x0, y0, u0) ∈ R
3 admitan como vector tangente (a(P0), b(P0), c(P0)), yesto ∀P0 dentro de una cierta region. Sabemos que estas curvas son trayectorias del siguientesistema de ecuaciones ordinarias:
dx
a(x, y, u)=
dy
b(x, y, u)=
du
c(x, y, u). (9.3.4)
Llamando dt a esta relacion, podemos poner:
dx
dt= a(x, y, u),
dy
dt= b(x, y, u),
du
dt= c(x, y, u). (9.3.5)
20 Capıtulo 9. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
Este sistema tiene como soluciones x = x(t), y = y(t) y u = u(t), que es la ecuacion de latrayectoria en terminos del parametro t. Sabemos que, por el punto P0 pasa una y solo unade estas curvas caracterısticas.
Teorema 2: sea u = u(x, y) una superficie en R3 tal que sea union de curvas caracterısticas
que satisfacen elsistema (9.3.4) o (9.3.5). Entonces u = u(x, y) es una superficie integral de laedp1 que aparece en la ecuacion (9.3.1). Recıprocamente, sea P0 = (x0, y0, u0), γ una curvacaracterıstica conteniendo a P0, y S ≡ u = u(x, y) una superficie integral conteniendo a P0.Entonces γ esta totalmente contenida en S.
Demostracion: sea u = u(x, y) una superficie union de curvas caracterısticas. En cadapunto de la curva, el vector tangente a la misma es (a, b, c) y el vector normal (ux, uy,−1).Ahora bien, como la curva esta contenida en la superficie, su tangente en un determinadopunto estara contenida en el plano tangente a la superficie en dicho punto. Por consiguiente,(a, b, c) y (ux, uy,−1) son perpendiculares en cada punto de la superficie y, por lo tanto,aux + buy − c = 0, es decir, u(x, y) satisface la ecuacion diferencial.
Veamos el recıproco. Sea γ = (x(t), y(t), u(t)) la curva caracterıstica pasando por el puntoP0 = (x(t0), y(t0), u(t0)) que pertenece a la superficie solucion S ≡ u = u(x, y). Escribamos
W (t) = u(t) − u(x(t), y(t)). (9.3.6)
Si conseguimos demostrar que W (t) es cero para cualquier valor del parametro t, entonceshabremos probado que la curva γ esta totalmente contenida en la superficie integral S. Desdeluego, W (t0) = 0, pues P0 esta en S.
Derivando la expresion anterior y aplicando (9.3.5) y (9.3.6) queda:
dW
dt=
du
dt− ux(x(t), y(t))
dx
dt− uy(x(t), y(t))
dy
dt= c − ux(x(t), y(t)) a − uy(x(t), y(t)) b
= c(x(t), y(t), W (t) + u(x(t), y(t))) − ux(x(t), y(t)) a(x(t), y(t), W (t) + u(x(t), y(t)))−uy(x(t), y(t)) b(x(t), y(t), W (t) + u(x(t), y(t))). (9.3.7)
Ahora bien, γ es una curva caracterıstica que suponemos conocida. Por lo tanto lasfunciones x = x(t); y = y(t); u = u(t) son conocidas. Tambien conocemos la superficieintegral S y por consiguiente la funcion u(x(t), y(t)). De esta manera, podemos escribir(9.3.7) bajo la forma de la siguiente ecuacion diferencial:
dW
dt= F (W, t). (9.3.8)
Obviamente W ≡ 0 es una solucion particular de (9.3.8), pues por (9.3.7), haciendoW identicamente cero obtengo la ecuacion diferencial para la cual u(x, y) es una superficiesolucion. Si suponemos que F (W, t) posee las suficientes condiciones de regularidad, entoncesexistira una unica solucion de (9.3.8) con un valor prefijado para W (t0). Ahora bien, elpunto P0 esta en S y en γ. Esto se traduce en la condicion W (t0) = 0. Existe pues y esunica la solucion de (9.3.8) verificando esta condicion. Esta es W (t) ≡ 0. De esta manera,u(t) = u(x(t), y(t)) y por lo tanto todos los puntos de γ satisfacen la ecuacion de la superficiesolucion. Por lo tanto, γ ⊂ S. Con esto concluye la demostracion del teorema.
Supongamos ahora que dos superficies integrales, S1 y S2, tienen un punto en comun. Seaγ la curva caracterıstica que pasa por dicho punto. Entonces γ ⊂ S1 ∩ S2, la curva estara
9.3. La ecuacion cuasilineal de primer orden 21
contenida en las dos superficies integrales. Ello es un corolario inmediato del teorema anterior.Supongamos ahora que dos superficies integrales distintas, S1 y S2, se cortan a lo largo deuna curva que llamaremos γ. Sea P ∈ γ y π1 y π2 los respectivos planos tangentes a las dossuperficies integrales a las dos superficies integrales en P . Tanto π1 como π2 contienen alvector (a(P ), b(P ), c(P )), ya que las dos superficies son solucion. Como estamos suponiendoque las superficies son diferentes, π1 = π2 y (a(P ), b(P ), c(P )) ∈ π1 ∩ π2. Este vector seratangente a γ en P , pues dicha tangente tiene que estar a la vez en π1 y π2. Ası la tangenteen un punto arbitrario de γ tiene la direccion (a, b, c) y, como consecuencia, la curva γ escaracterıstica.
De forma practica, para hallar las superficies integrales de la edp1 cuasilineal (9.3.1) hemosvisto que hay que resolver el sistema (9.3.4) o (9.3.5). Esto, en principio, puede hacerse dedos maneras:
1. Hallando dos integrales primeras funcionalmente independientes de (9.3.4), sean
f1(x, y, u) = C1, f2(x, y, u) = C2. (9.3.9)
De aquı se obtiene la integral general de (9.3.1) como una funcion arbitraria ϕ(r, s) delas dos integrales primeras, es decir
ϕ(f1(x, y, u), f2(x, y, u)) = 0. (9.3.10)
Otras formas equivalentes de esta relacion son
f1(x, y, u) = ψ1(f2(x, y, u)) = 0 o f2(x, y, u) = ψ2(f1(x, y, u)) = 0, (9.3.11)
siendo ψ1(z) y ψ2(z) dos funciones arbitrarias.
2. Hallando la solucion de las curvas caracterısticas de (9.3.5) en forma parametrica:
x = x(t) + K1, y = y(t) + K2, z = z(t) + K3. (9.3.12)
Con uniones de curvas de este tipo se forma tambien las superficies integrales.
9.3.1 El problema de Cauchy para la ecuacion cuasilineal de primer orden
Supongamos que queremos hallar la solucion de la ecuacion (9.3.1)
a(x, y, u)ux + b(x, y, u)uy = c(x, y, u)
que contenga a la curva dato Γ, que puede darse bien en forma parametrica
Γ ≡ x = f(s), y = g(s), u = h(s), (9.3.13)
bien en forma implıcitaΓ ≡ g1(x, y, u) = 0, g2(x, y, u) = 0. (9.3.14)
Para calcular la superficie solucion pasando por la curva dato, consideremos todos lospuntos de la curva y todas las curvas caracterısticas pasando por cada uno de ellos. Comolas superficies solucion son uniones de curvas caracterısticas, este procedimiento nos va a
22 Capıtulo 9. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
dar una superficie solucion conteniendo a la curva dato, siempre y cuando la propia curvadato no sea una curva caracterıstica (en cuyo caso el problema no estara adecuadamenteplanteado). Ademas, debido a que por cada punto pasa una sola curva caracterıstica, lasolucion conteniendo a la curva dato sera unica (salvo en el caso ya indicado de que esta seaya una curva caracterıstica).
En el caso de que la curva dato venga dada en parametricas, nos sera util contar con lassoluciones de (9.3.5) en la forma (9.3.12). La superficie solucion que buscamos puede ponerseen forma biparametrica siendo sus coordenadas
x = X(s, t), y = Y (s, t), u = U(s, t). (9.3.15)
Aquı s parametriza la curva dato. Por cada uno de los puntos de la curva dato, ha de pasaruna curva caracterıstica parametrizada por t. De esta manera, cada punto de la superficiesolucion viene dado por dos coordenadas: la s nos indica en que curva caracterıstica esta,mientras que la t nos senala su localizacion en la curva caracterıstica. Podemos siempreajustar t de tal manera que t = 0 corresponda a la interseccion de la correspondiente curvacaracterıstica con la curva dato, es decir,
X(s, 0) = f(s), Y (s, 0) = g(s), U(s, 0) = h(s). (9.3.16)
Ejemplo 1: hallemos la solucion de la ecuacion uy + cux = 0 donde c es una constante, conla condicion inicial u(x, 0) = h(x), donde h(x) es una funcion conocida. La curva curva datocorrespondiente a esta condicion inicial es x = s, y = 0, u = h(s). El sistema caracterısticoes
dx
dt= c,
dy
dt= 1,
du
dt= 0. (9.3.17)
Integremos ahora el sistema caracterıstico y dejemos las constantes en funcion de s. Obtene-mos lo siguiente:
x = X(s, t) = ct + ϕ(s), y = Y (s, t) = t + ψ(s), u = U(s, t) = η(s). (9.3.18)
Para encontrar los valores de las funciones en s, en principio desconocidas, utilizamos lacondicion inicial. De una manera mas precisa, la condicion de que si t = 0 estamos dentro dela curva dato:
X(s, 0) = ϕ(s) = s ; Y (s, 0) = ψ(s) = 0 ; U(s, 0) = η(s) = h(s) (9.3.19)
Luego la superficie solucion es:
x = s + ct, y = t, u = h(s), (9.3.20)
en forma parametrica. Podemos ponerla en lo forma u = u(x, y) sin mas que eliminar los dosparametros:
u = h(x − cy). (9.3.21)
En caso de contar con la solucion general de la edp1 en la forma (9.3.10), lo que hay quehacer es imponer que la curva dato debe estar contenida en la superficie, para ası fijar lafuncion ϕ de forma precisa.
9.3. La ecuacion cuasilineal de primer orden 23
Ejemplo 2: hallemos la solucion general de la edp1 yp − xq = xyu2 y despues la solucionparticular al problema de Cauchy con curva dato x = y = u. Como sabemos, las curvas car-acterısticas se obtienen al resolver un sistema no lineal de ecuaciones diferenciales ordinarias,que en este caso es
dx
y=
dy
−x=
du
xyu2.
Dos integrales primeras del sistema se obtienen facilmente:
x2 + y2 = C1,x2
2+
1u
= C2.
La solucion general adopta cualquiera de las siguientes formas equivalentes
ϕ
(x2 + y2,
x2
2+
1u
)= 0, x2 + y2 = ψ1
(x2
2+
1u
),
x2
2+
1u
= ψ2(x2 + y2),
donde ϕ, ψ1, ψ2 son funciones arbitrarias.Para determinar la solucion particular al problema de Cauchy que nos dan, imponemos
la condicion de la curva dato sobre cualquiera de las tres ecuaciones anteriores, para fijaralguna de las funciones que hasta ahora son arbitrarias. Por comodidad elegimos la ultimade esas ecuaciones, eliminando las variables y, u:
x2
2+
1x
= ψ2(2x2).
Para hallar ψ2 hago un cambio de variable: 2x2 = z ≥ 0, de modo que la nueva variablees el argumento de la funcion incognita. Necesito ahora despejar la variable x en funcionde la nueva z: x = ±
√z/2 (en principio guardo el doble signo). Eliminamos ahora x en la
ecuacion que contiene ψ2(2x2):
ψ2(z) =z
4±
√2z.
De este modo hemos determinado completamente el valor de la funcion ψ2. Podemos escribirahora la solucion al problema de Cauchy dado:
x2
2+
1u
=x2 + y2
4±
√2
x2 + y2, o bien
1u
=y2 − x2
4±
√2
x2 + y2.
Para concluir esta seccion, indicar que si hubiera mas de dos variables independientes yla edp1 fuera cuasilineal, el metodo de resolucion es exactamente el mismo: dada la edp1cuasilineal (9.1.3)
n∑
k=1
ak(x1, . . . , xn, u)∂u(x1, . . . , xn)
∂xk= c(x1, . . . , xn, u),
hay que hallar soluciones del sistema nolineal asociado
dx1
a1(x1, . . . , xn, u)=
dx2
a2(x1, . . . , xn, u)= · · · =
dxn
an(x1, . . . , xn, u)=
du
c(x1, . . . , xn, u)
y proceder segun lo descrito anteriormente para hallar, bien la solucion general, bien lasolucion a un problema de Cauchy.
24 Capıtulo 9. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
9.4 La ecuacion no lineal F (x, y, u, ux, uy) = 0
Estudiaremos ahora la manera de resolver las ecuaciones no lineales de primer orden, suponien-do tambien que solo hay dos variables independientes (la generalizacion al caso de n variableses sencillo). Tendremos una ecuacion
F (x, y, u, p, q) = 0, (9.4.1)
con p := ∂u/∂x, q := ∂u/∂y. En cada punto (xo, yo, uo) de la superficie integral la ecuacion(9.4.1) define una familia de planos (cuyos vectores normales son, como ya hemos comentado,(p, q,−1)), o su envolvente, el llamado cono de Monge; cada una de las rectas contenidas en elcono proporciona una direccion para generar curvas caracterısticas. Para ser precisos, lo quetenemos ahora son bandas caracterısticas, ya que en cada punto no solo hay que determinaruna direccion, tambien un plano tangente. Aunque ahora la resolucion es mas enrevesadaque en el caso cuasilineal, en la practica lo que habra que hacer es resolver un sistema deecuaciones diferenciales ordinarias un poco mas complicado que en el caso cuasilineal
dx
Fp=
dy
Fq=
du
pFp + qFq= − dp
Fx + pFu= − dq
Fy + qFu= dt.
Si no somos capaces de hallar ninguna solucion de ese sistema, ni siquiera una integral primera,deberemos recurrir a metodos numericos aproximados si queremos conocer la solucion delproblema planteado.
Comentaremos a continuacion el resultado mas importante referente al tipo de edp1 no-lineales representadas por (9.4.1).
Teorema 2: sea Ω una region de R5 en la que cumple lo siguiente
1.- F ∈ C2(Ω).2.- |Fp| + |Fq| > 0 en Ω.
Consideremos ahora la curva Γ (se trata de una curva dato para resolver un problema deCauchy) escrita en funcion de un parametro s ∈ I ⊂ R: Γ ≡ x = α(s), y = β(s), u = γ(s),donde α, β, γ ∈ C1(I) y |α′(s)| + |β′(s)| > 0, ∀ s ∈ I. Supongamos ahora que existen dos
funciones σ(s) y τ(s) verificando las siguientes condiciones:
α′(s)σ(s) + β′(s) τ(s) = γ′(s), (9.4.2)F (α(s), β(s), γ(s), σ(s), τ(s)) = 0, (9.4.3)
y ademas la llamada condicion de transversalidad:∣∣∣∣∣
Fp(α(s), β(s), γ(s), σ(s), τ(s)) Fq(α(s), β(s), γ(s), σ(s), τ(s))
α′(s) β′(s)
∣∣∣∣∣ = 0. (9.4.4)
Con estas condiciones, existe una superficie integral u = ϕ(x, y) tal que:
1.- γ(s) = ϕ(α(s), β(s)), esto es, la curva dato Γ esta en la superficie integral.
2.- σ(s) = ϕx(α(s), β(s)).
3.- τ(s) = ϕy(α(s), β(s)).
9.4. La ecuacion no lineal F (x, y, u, ux, uy) = 0 25
Este teorema no se va a demostrar. A continuacion presentaremos una serie de comentariossobre este resultado. A la curva en R
5 dada por α(s), β(s), γ(s), σ(s), τ(s) se le llamabanda integral. El origen de este nombre es el siguiente: la condicion (9.4.3) nos determinaun vector (σ(s), τ(s),−1) perpendicular en cada punto, determinado por el valor de s, ala correspondiente tangente a Γ. Estos dos vectores nos determinan un plano tangente acada punto de Γ que es llamado la escama correspondiente al valor s del parametro. Labanda integral es entonces el conjunto de todas las escamas a lo largo de Γ. La condicion|α′(s)|+ |β′(s)| > 0 se impone para que este bien definida la banda integral. El calculo de lasuperficie integral buscada exige el analisis del siguiente sistema no lineal asociado a la edp1(9.4.1), denominado sistema caracterıstico:
dx
Fp=
dy
Fq=
du
pFp + qFq= − dp
Fx + pFu= − dq
Fy + qFu= dt. (9.4.5)
Para resolver este sistema (y por tanto la ecuacion en derivadas parciales de primer orden)disponemos de dos metodos el de Darboux-Cauchy y el de Lagrange-Charpit. Las curvassolucion de este sistema se denominan lıneas caracterısticas. Puede observarse que en el casoparticular de que la edp1 se cuasilineal, las tres primeras ecuaciones resultantes de (9.4.5)coinciden exactamente con el sistema (9.3.4) o (9.3.5), que permite determinar las curvascaracterısticas en el caso cuasilineal.
9.4.1 Metodo de Darboux-Cauchy
Este procedimiento proporciona una interpretacion geometrica muy clara del problema y desu solucion, pero exige conocer la solucion completa del sistema caracterıstico (9.4.5), quesera un conjunto de cinco funciones de la variable auxiliar t, que representan una bandacaracterıstica, es decir, una curva junto con un plano tangente en cada uno de sus puntos:x(t), y(t), u(t), p(t), q(t). Se han de verificar ademas las llamadas condiciones de banda.Tambien ahora se puede presentar el problema de Cauchy: encontrar la superficie integralque contiene una cierta curva Γ ≡ f(s), g(s), h(s); para ello lo que se hace es resolver (9.4.5)teniendo en cuenta que la superficie buscada u = u(x, y) ha de contener la curva, obteniendosela superficie solucion en forma parametrica (x(t, s), y(t, s), u(t, s)). Para ver como funcionaeste metodo, lomejor es analizar algun ejemplo.
Ejemplo 2: consideremos la siguiente edp1 no lineal∂u
∂xx +
∂u
∂yy − ∂u
∂x
∂u
∂y= 0. (9.4.6)
Pongamosla en la forma F (x, y, u, p, q) = 0:
px + qy − pq = 0. (9.4.7)
Queremos encontrar la solucion pasando por la curva
Γ ≡ x = α(s) = 0, y = β(s) = s, u = γ(s) = s, (9.4.8)
que es obviamente la bisectriz del plano (y, u). Par determinar si existe una solucion unica,veamos si existen dos funciones σ(s) y τ(s) satisfaciendo las debidas condiciones (9.4.2)–(9.4.3). En nuestro caso, estas condiciones son:
0 · σ(s) + 1 · τ(s) = 1, (9.4.9)0 · σ(s) + s τ(s) − σ(s) τ(s) = 0. (9.4.10)
26 Capıtulo 9. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
Estas ecuaciones tienen una unica solucion que es
τ(s) = 1, σ(s) = s. (9.4.11)
Tenemos, por consiguiente, una sola banda integral
B ≡ (0, s, s, s, 1). (9.4.12)
Vamos ahora a comprobar que se verifica la condicion de transversalidad (9.4.4). ComoFp = x − q y Fq = y − p, tenemos:
∣∣∣∣−1 00 1
∣∣∣∣ = −1, (9.4.13)
lo cual demuestra que la solucion esta bien definida. Para calcularla consideremos el sistema(9.4.5), que en nuestro caso particular es el siguiente:
dt =dx
x − q=
dy
y − p=
du
px + qy − 2pq= −dp
p= −dq
q. (9.4.14)
Nuestro objetivo es encontrar una solucion del tipo:
x = x(s, t), y = y(s, t), u = u(s, t), p = p(s, t), q = q(s, t) (9.4.15)
que satisfaga las siguientes condiciones iniciales:
x(s, 0) = α(t), y(s, 0) = β(s), u(s, 0) = γ(s), p(s, 0) = σ(s), q(s, 0) = τ(s). (9.4.16)
De esta manera, encontramos una superficie en R5. Su proyeccion a R
3 mediante sus tresprimeras coordenadas nos dara la superficie solucion. Esta sera:
x = x(s, t), y = y(s, t), u = u(s, t) (9.4.17)
en funcion de los parametros s y t. Para encontrarla vamos a integrar el sistema, paso a paso,escribiendo las constantes que surgen en funcion del parametro s:
dt = −dp
p⇒ p(s, t) = a(s) e−t, p(s, 0) = a(s) = σ(s) = s ⇒ p(s, t) = s e−t. (9.4.18)
dt = −dq
q⇒ q(s, t) = b(s) e−t, q(s, 0) = b(s) = τ(s) = 1 ⇒ q(s, t) = e−t. (9.4.19)
Estas son las ecuaciones mas sencillas de resolver del sistema (9.4.14). Tenemos tambien
dt =dx
x − q⇒ dx
dt= x − e−t ⇒ x(s, t) = A(s) et +
12
e−t, x(s, 0) = A(s) +12
= α(s),
lo que implica que
x(s, t) =12
(e−t − et) (9.4.20)
La ecuacion dt = dyy−p se resuelve de una manera similar y da como solucion
y(s, t) =s
2(e−t + et). (9.4.21)
9.4. La ecuacion no lineal F (x, y, u, ux, uy) = 0 27
Resolvamos ahora la ecuaciondt =
du
px + qy − 2pq. (9.4.22)
Sustituyendo (9.4.18)–(9.4.21) en la ecuacion anterior, se obtiene
dt = − du
s e−2t. (9.4.23)
Integrando resultau(s, t) =
s
2(1 + e−2t) (9.4.24)
Las ecuaciones (9.4.20), (9.4.21) y (9.4.24) nos dan, de forma parametrica la solucion denuestro problema. Aunque no siempre es posible, en este caso concreto se pueden eliminarlos dos parametros (s, t) entre estas tres ecuaciones, para dar la solucion al problema deCauchy en forma implıcita, siendo esta la siguiente:
u2 = y2 + 2xyu. (9.4.25)
Un calculo sencillo permite demostrar que esta es efectivamente una solucion de la edp1(9.4.6) y que la curva dato (9.4.8) esta contenida en esta superficie.
Ejemplo 3: consideremos la siguiente ecuacion diferencial en derivadas parciales:
F (x, y, u, p, q) ≡ p + q2 − 2x − 4y2 = 0. (9.4.26)
Queremos encontrar una superficie solucion que contenga a la siguiente curva:
Γ ≡ x = α(s) = s, y = β(s) = s, u = γ(s) = 2s2. (9.4.27)
Calculemos, en primer lugar la banda integral. Las ecuaciones (9.4.2) y (9.4.3) son, en estecaso:
σ(s) + σ(s) = 4s, (9.4.28)σ(s) + τ2(s) − 2s − 4s2 = 0. (9.4.29)
Recordemos que hemos substituido p por σ(s) y q por τ(s) en la edp1 (9.4.26). Restando(9.4.28) de (9.4.29), encontramos la siguiente ecuacion para τ(s):
τ2(s) − τ(s) + 2s − 4s2 = 0. (9.4.30)
Esta ecuacion tiene dos soluciones: τ(s) = 2s y τ(s) = 1 − 2s. A estos dos valores de τ(s)le corresponden dos valores de σ(s), a saber: σ(s) = 2s y σ(s) = 6s − 1, respectivamente.Por lo tanto, en este ejemplo nos encontramos con la existencia de dos bandas integrales(α(s), β(s), γ(s), σ(s), τ(s)), que son en este caso
B1 ≡ (s, s, 2s2, 2s, 2s), (9.4.31)B2 ≡ (s, s, 2s2, 6s − 1, 1 − 2s). (9.4.32)
Es de esperar que a cada una de estas bandas integrales le corresponda una solucion de laedp1 (9.4.26) conteniendo a la curva dato. Para ello es condicion suficiente que se verifiquela condicion de transversalidad. Veamos este aspecto. Para B1, tenemos:
∣∣∣∣Fp Fq
α′ β′
∣∣∣∣ =∣∣∣∣
1 4s1 1
∣∣∣∣ = 1 − 4s = 0, salvo para s =14. (9.4.33)
28 Capıtulo 9. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
Luego existira la correspondiente superficie solucion siempre que s = 1/4. No se puedegarantizar, sin embargo, que el punto de la superficie para s = 1
4 , que es(14 , 1
4 , 18), pueda ser
considerado de la superficie solucion. Lo mismo sucede con la segunda banda integral. Enefecto, la condicion de transversalidad para B2 dice que:
∣∣∣∣1 2 − 4s1 1
∣∣∣∣ = 4s − 1 = 0, salvo para s =14. (9.4.34)
Vemos que, en este caso, existen dos superficies solucion conteniendo a la curva dada, salvoun punto. El resto del problema se propone como ejercicio.
9.4.2 Metodo de Lagrange-Charpit
A diferencia del anterior, el metodo de Lagrange-Charpit solo requiere conocer una inte-gral primera; la solucion que ofrece, en principio, no es tan general como con el procedimientoanterior, pero en la mayorıa de los casos permitira tambien resolver el problema con unascondiciones iniciales dadas (el problema de Cauchy).
Consideremos el sistema caracterıstico (9.4.5) asociado a la edp1:
dt =dx
Fp=
dy
Fq=
du
pFp + qFq= − dp
Fx + pFu= − dq
Fy + qFu.
Supongamos que hemos sido capaces de determinar una integral primera de este sistema, seaG(x, y, u, p, q, ) = a. Consideremos ahora las ecuaciones:
F (x, y, u, p, q) = 0, G(x, y, u, p, q) = a, (9.4.35)
donde a es una constante arbitraria. Supongamos que F y G son funcionalmente indepen-dientes respecto de las variables p y q. Para ello se ha de verificar que el jacobiano
∂(G, F )∂(p, q)
= FpGq − FqGp = 0. (9.4.36)
Si lo anterior se cumple, en principio sera posible despejar p y q del sistema (9.4.35), ex-presandolas en terminos de (x, y, u, a). Hecho esto, consideremos la siguiente ecuacion dife-rencial en diferenciales totales:
du = p(x, y, u, a) dx + q(x, y, u, a) dy. (9.4.37)
Supongamos que esta ecuacion de Pfaff admite una solucion de la forma u = ϕ(x, y, a, b).Entonces
∂ϕ
∂x= p,
∂ϕ
∂y= q, (9.4.38)
y por consiguiente u = ϕ(x, y, a, b) satisface la ecuacion (9.4.1) para todo valor de las con-stantes a, y b esto es, hemos hallado una familia de soluciones de (9.4.1) dependiente de dosparametros: se trata por tanto de una solucion completa de la edp1.
Nos falta demostrar que (9.4.37) es siempre integrable. Para ello vamos a probar que severifica la condicion necesaria y suficiente para la integrabilidad de este tipo de ecuaciones:
9.5. La ecuacion de continuidad 29
X · rot X = 0, siendo X = (p, q,−1). Pero X · rot X = −pqu + qpu − (qx − py), con lo que lacondicion necesaria y suficiente para la integrabilidad de la ecuacion de Pfaff (9.4.37) es
py + qpu = qx + pqu. (9.4.39)
Para comprobar que se verifica (9.4.39), derivemos con respecto a x y a y las ecuaciones(9.4.35). Como resultado de esta derivacion se obtiene:
Fx + pFu + Fp (px + ppu) + Fq (qx + pqu) = 0, (9.4.40)Gx + pGu + Gp (px + ppu) + Gq (qx + pqu) = 0, (9.4.41)
Fy + qFu + Fp (py + qpu) + Fq (qy + qqu) = 0, (9.4.42)Gy + qGu + Gp (py + qpu) + Gq (qy + qqu) = 0. (9.4.43)
Multiplicando estas ecuaciones respectivamente por Gp, −Fp, Gq y −Fq y sumando, resulta:
(FpGq − FqGp) [py + qpu − (qx + pqu)] = (9.4.44)= −(Fx + pFu) Gp + (Gx + pGu)Fp − (Fy + qFu)Gq + (Gy + qGu)Fq.
Diferenciemos ahora la integral primera de (9.4.35) y dividamos el resultado por dt:
Gxdx
dt+ Gy
dy
dt+ Gu
du
dt+ Gp
dp
dt+ Gq
dq
dt= 0. (9.4.45)
En esta ultima ecuacion utilicemos el sistema caracterıstico (9.4.5), escrito en la forma
dx
dt= Fp,
dy
dt= Fq,
du
dt= pFp + qFq, −dp
dt= Fx + pFu, −dq
dt= Fy + qFu.
Queda lo siguiente
GxFp + GyFq + Gu (pFp + qFq) − Gp (Fx + pFu) − Gq (Fy + qFu) = 0. (9.4.46)
Notemos que el miembro de la izquierda de (9.4.46) coincide justamente con el miembro dela izquierda de (9.4.44). Por lo tanto
(FpGq − FqGp) [py + qpu − (qx + pqu)] = 0. (9.4.47)
Como ademas se verifica (9.4.36), queda finalmente
py + qpu − (qx + pqu) = 0, (9.4.48)
que es justamente la condicion necesaria y suficiente para la integrabilidad de la ecuacion dePfaff, demostrando ası la integrabilidad de (9.4.37).
9.5 La ecuacion de continuidad
Consideremos un sistema unidimensional representado en la figura siguiente:
30 Capıtulo 9. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
dx
x
Sea u(x, t) la densidad de “objetos” en el punto x en el instante t y sea j(x, t) el flujode esos “objetos” en x y en t, es decir, el numero de objetos que en t cruzan el punto xpor unidad de tiempo. Suponiendo que en dx no se crean ni se destruyen objetos, el numerode objetos en dx varıa con el tiempo debido a los que entran o salen por la izquierda y laderecha. Matematicamente,
∂
∂t[u(x, t)dx] = j(x, t) − j(x + dx, t) = − ∂j
∂xdx ⇒ ∂u
∂t+
∂j
∂x= 0.
Habitualmente se trata de calcular u(x, t) con una condicion inicial u(x, 0) = h(x).Para poder resolver esta ecuacion es necesario conocer una relacion entre el flujo y la
densidad, lo que nos definira el modelo de sistema que estamos estudiando. En Fısicaes frecuente usar modelos lineales en los que j ∝ x, lo cual es valido cuando la densidad espequena. Sin embargo en ocasiones un modelo lineal no es realista, especialmente a densidadesaltas, y es necesario estudiar modelos no lineales.
Vamos a suponer que los objetos son automoviles y el sistema una carretera. Veamos quecaracterısticas debe tener el modelo (relacion entre la densidad de coches y su flujo) para queeste sea realista:
a) Si no hay coches el flujo debe nulo.
b) A medida que la densidad de coches aumenta, el flujo aumentara tambien; pero siaumenta demasiado, la circulacion se hace mas problematica y el flujo acabara dismi-nuyendo, hasta que, para una densidad crıtica, el trafico se atasca y el flujo sera nulo.
Este comportamiento cualitativo puede modelarse por la funcion
j(u) = Au(1 − u) = A(u − u2), A > 0 (9.5.1)
que se representa en la grafica siguiente.
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0 0.25 0.5 0.75 1
x*(1-x)x
9.5. La ecuacion de continuidad 31
Con esta eleccion:∂j
∂x=
dj
du
∂u
∂x= A(1 − 2u)
∂u
∂x.
Para este modelo, la ecuacion de continuidad es∂u
∂t+ A(1 − 2u)
∂u
∂x= 0.
Observemos que se trata de una edp1 cuasilineal. Tendremos que anadir una condicion inicial(curva dato):
u(x, 0) = h(x), Γ ≡ x = s, t = 0, u = h(s).El sistema caracterıstico es:
dx
A(1 − 2u)=
dt
1=
du
0= dτ.
Indicar que dada la presencia del tiempo en la edp1 que estamos analizando, hemos preferidocambiar el nombre del parametro usado para describir las curvas caracterısticas (usualmentet), pasando a designarlo como τ . Para integrar este sistema caracterıstico hay que tener encuenta que las dos ultimas estan desacopladas, pero no la primera, que depende de u:
u = k1(s), t = τ + k2(s),
dx = A[1 − 2k1(s)]dτ ⇒ x = A[1 − 2k1(s)]τ + k3(s).
Para τ = 0 tenemos
u = k1(s) = h(s), t = k2(s) = 0, x = k3(s) = s.
Y la solucion sera:
t = τ,x = A[1 − 2h(s)]τ + s,u = h(s),
u = h(x − A[1 − 2u]t).
Esta forma de la solucion da muy poca informacion sobre la evolucion temporal (t > 0)del sistema. Para poder entenderla mejor es necesario especificar cual es la distribucion inicialh(x).
Supongamos una distribucion inicial dada por la funcion
h(s) =
1 s ≤ 0,
1 − s 0 ≤ s ≤ 1,
0 s ≥ 1.
-2 -1 1 2 3
0.2
0.4
0.6
0.8
1
32 Capıtulo 9. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
Sustituyendo ya t por τ , tenemos:
x = A[1 − 2h(s)]t + s, u = h(s).
Para poder escribir u como funcion de x y de t es necesario eliminar s, para lo cual hemosde considerar los distintos intervalos de s en la definicion de h(s):
(a) s ≤ 0 ⇒ h(s) = 1 ⇒ u = 1, x = −At + s, de donde despejando s y teniendo en cuentaque s ≤ 0, resulta:
x + At ≤ 0 ⇒ u(x, t) = 1.
(b) 0 ≤ s ≤ 1 ⇒ h(s) = 1 − s ⇒
u = 1 − s, x = A(2s − 1)t + s.
Despejando s de la segunda relacion, sustituyendo en la primera e imponiendo la condi-cion 0 ≤ s ≤ 1, resulta
−At ≤ x ≤ 1 + At ⇒ u(x, t) =1 + At − x
1 + 2At.
(c) s ≥ 1 ⇒ h(s) = 0 ⇒ u = 0, x = At + s. Repitiendo el proceso anterior resulta
x ≥ 1 + At ⇒ u(x, t) = 0.
En definitiva, la solucion, como funcion de x y t es de la forma:
u(x, t) =
1 si x ≤ −At,
1 + At − x
1 + 2Atsi −At ≤ x ≤ 1 + At,
0 si x ≥ 1 + At.
Representamos ahora esta solucion para el caso concreto A = 1:
-2 -1 1 2 3
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t=0
9.6. Problemas 33
-2 -1 1 2 3
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t=1/2
-2 -1 1 2 3
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t=1
9.6 Problemas
1. Resuelvase la ecuacion ut + fx = 0 con la condicion u(x, 0) = φ(x) en los siguientes casos:
f(u) =
A(1 − u)ukuu2
12u2, con φ(x) = x.
2. Resuelvanse las ecuaciones diferenciales que siguen con las condiciones iniciales indicadas en cada caso
a) ux + ut + 2u = 0, u(x, 0) = sin x.
b) xux + ut + tu = 0, u(x, 0) = f(x).
c) ux + ut = 0, u(x, 0) = cos x.
d) xux + tut + 2u = 0, u(x, 1) = sin x.
e) aux + buy + cut + fu = 0, u(x, y, 0) = e−(x2+y2); a, b, c, f ctes.
f) ux + ut + tu = 0, u(x, 0) = f(x).
g) ux + 2uy + 2u = 0, u(x, y) = f(x, y) sobre la curva y = x.
h) ux + ut = −ku, u(x, 0) = φ(x).
i) ux + ut = − 1
x, u(x, 0) = φ(x).
3. Resuelvanse los siguientes sistemas:
a)
∂u1
∂t+
∂u1
∂x+
∂u2
∂x= 0
∂u2
∂t+ 4
∂u1
∂x+
∂u2
∂x= 0
u1(x, 0) = f(x), u2(x, 0) = g(x).
34 Capıtulo 9. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
b)
∂u1
∂t+ 8
∂u2
∂x= 0
∂u2
∂t+ 2
∂u1
∂x= 0
u1(x, 0) = f(x), u2(x, 0) = g(x).
c)
∂u
∂x− ∂v
∂y= h1
∂v
∂x− ∂u
∂y= h2
u(0, y) = f(y), v(0, y) = g(y); h1, h2 ctes.
4. Resuelvanse las ecuaciones que siguen con las condiciones indicadas. Dibujense las soluciones paradiferentes valores de t.
a) ut + uux = 0, u(x, 0) =
0, x < 0x, 0 ≤ x.
b) ut + u2ux = 0, u(x, 0) =
0, x < 0x, 0 ≤ x.
5. Encuentrense las superficies integrales que pasan por las curvas que se especifican en cada caso:
a) (y − u)ux + (u − x)uy = x − y, u = 0, xy = 1.
b) xux − yuy + u = 0, u(x0, y) = φ(y), x0 = 0.
c) yux − xuy = 1 + u2, u = 0, x2 + y2 = 1.
d) yux − xuy = 1 + u2, u = 0, xy = 1.
e) yux + xuy = u, u = x3, y = 0.
f) xuy = u, y = 0, u = f(x).
g) uux − yuy = 0 x = 1, u = f(y).
h) yux = u, x = 2, u = y.
i) xux − yuy = u, y = 1, u = 3x.
6. Resuelvanse los siguientes problemas de valores iniciales
a) yuux + uy = 0, x = 0, u = y3.
b) 5xux − 3yuy = 15(u − 5), x = 1, u = f(y).
c) ux + uy + uz = 0, x = 0, u = f(y, z).
d) xux + 2yuy + 3zuz = 4u, x = 1, u = f(y, z).
e) ux − 2xuy = 0, x = 1, u = y2.
f) (x − 1)ux + (y − 2)uy = u − 3,
g) ux + uy = u2, u(x, 0) = h(x).
h) yux − xuy = u, u(x, 0) = h(x).
i) uy + cux = 0, u(x, 0) = h(x), c = cte.
j)n∑
k=1
xkuxk = αu, u(x1, , xn−1, 1) = h(x1, , xn−1), α cte.
k) uy + uux = 0, u(x, 0) = h(x).
l) uy = xuux, u(x, 0) = x.
m) xux + yuy + uz = u, u(x, y, 0) = h(x, y).
n) uy + a(u)ux = 0, u(x, 0) = h(x).
n) uy + ux = 1, x = s, y = s2, u = s + 1.
7. Elimınese la funcion arbitraria f de la ecuacion u = f(xy/u).
8. Hallese la ecuacion en derivadas parciales que resulta al eliminar la funcion arbitraria f en la ecuacionu = f(a(x, y)).
9.6. Problemas 35
9. Dada la ecuacion a(x, y)wxx +2b(x, y)wxy +c(x, y)wyy = h(x, y, wx, wy), demuestrese que es equivalenteal sistema
a(x, y)ux + b(x, y)vx + b(x, y)uy + c(x, y)vy = h(x, y, u, v)
vx − uy = 0.
Resuelvase en el caso en el que a = 1, b2 = c (constantes), h = wx + bwy con las condiciones w(0, y) =f(y), wx(0, y) = g(y).
10. Dada la ecuacion
(x2 + xy)∂u
∂x− (xy + y2)
∂u
∂y= (y − x)(2x + 2y + u),
hallese la superficie integral que pasa por la curva x = 1, u = f(y).
11. Dada la ecuacion
(y − u)∂u
∂x+ (x − y)
∂u
∂y= u − x,
hallese la superficie integral que pasa por la curva y = 1, u = x2.
12. Dada la ecuacion
(y + x)∂u
∂x+ (u − x)
∂u
∂y= u + y,
hallese la superficie integral que pasa por el eje x.
13. Dada la ecuacion
(xy − u)∂u
∂x+ (y2 − 1)
∂u
∂y= uy − x,
hallese la superficie integral que pasa por la curva y = 0, x2 −u2 = 1. Hallese asımismo la que pasa poru = 0, x2 + y2 = 1.
14. Dada la ecuacion ∣∣∣∣∣∣
ux uy −1yu xu xyx y u
∣∣∣∣∣∣= 0,
hallese la superficie integral que pasa por x = t, y = t, u = 1/t2.
15. Hallese la ecuacion general, en terminos finitos, de las superficies tales que si por un punto P cualquierade una de ellas se traza la normal, y esta corta al plano (x, y) en el punto N , se tiene que
∣∣ON∣∣ =
∣∣NP∣∣.
16. Consideremos el haz biparametrico u2 = a2 − x2 − (y − b)2. Obtengase la ecuacion diferencial quelo origina. Hallense las cuatro superficies integrales correspondientes a las relaciones a2 = 2b2, b =7, a2 − b2 = 1 y a2 = b2 − 1.
17. Dada la ecuacion yu dx + xudy + f(xy) du = 0, hallese la forma mas general de la funcion f para que:
(a) tengamos una diferencial exacta;
(b) la ecuacion sea completamente integrable;
Integrese la ecuacion cuando f(xy) = x2y2 + xy.
18. Hallense las superficies ortogonales a las curvas del campo vectorial
F = (u2, x3y,−x2y).
19. Considerese el conjunto de superficies
u = φ(x, y, u, f(ψ(x, y, u)))
donde φ, ψ son funciones determinadas y f es arbitraria.
36 Capıtulo 9. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
(a) Demuestrese que la ecuacion diferencial de estas superficies es una ecuacion cuasilineal.
(b) Demuestrese que para que la citada ecuacion diferencial sea de la forma
ψy(x, y, u)p − ψx(x, y, u)q = 0
es necesario y suficiente que la matriz jacobiana
∂(φ, ψ)
∂(x, y, u)
tenga rango menor que dos.
20. Compruebese que la teorıa desarrollada no se aplica, por lo menos directamente, a las ecuaciones
(p − q2)2 + (x − y)2 + u2 = 0.
(p − q2)2 + u2 = 0.
(p − q2)2 = 0.
21. Obtenganse las bandas caracterısticas de la ecuacion p = q2. Calculese la superficie integral que pasapor la curva x = 1, y = s, u = s2 usando los dos metodos conocidos: el de Darboux-Cauchy o de lascaracterısticas y el de Lagrange-Charpit.
Calculense tambien las superficies integrales que pasan por las curvas iniciales
a)
x = 0u = 0
b)
y = xu = 0
c)
y = 0u = x2 .
22. Calculese, usando los metodos de Darboux-Cauchy y de Lagrange-Charpit, la superficie integral de laecuacion pq = xy que pasa por la curva u = x, y = 0.
23. Encuentrese la superficie integral de la ecuacion
p + q2 − 2x − 4y2 = 0
que pasa por la curva x = t, y = t, z = 2t2.
24. Dada la ecuacion p2 + q2 = u2, encuentrense
(a) las superficies integrales que pasen por la lınea x = t, y = 0, u = 1;(b) las superficies integrales que pasen por la curva x = cos t, y = sin t, u = 1.
25. Dada la ecuacion en derivadas parciales
xp + yq +1
2(p2 + q2) − u = 0,
encuentrese cuantas superficies integrales pasan por la curva
u(x, 0) =1
2(1 − x2)
y calculese cuales son.
26. Dada la ecuacionp2 + q2 = 2(x2 + y2) + 4(x + y + 1)
hallese la banda integral que pasa por la escama E0 = (−1, 0,−3/2, 1,−1).
27. Dada la ecuacion p2 + q2 = f(x, y), que admite como superficie integral u = x2 + y2 + 7, se considerala banda que es solucion del sistema caracterıstico y pasa por la escama E0 = (0, 1, 13, 2, 0). Hallese laproyeccion de la curva que sustenta la banda citada sobre el plano (x, y).
9.6. Problemas 37
28. Hallese la solucion de q + p2x + y = 0 que pasa por la curva
Γ = x = s2, y = 1, u = s.
Considerese la curva caracterıstica C que esta contenida en la superficie anterior y pasa por el punto(1,1,1). Sabiendo que el punto M = (a, 3, b) pertenece a la curva C, calculense a y b.
29. Hallense las superficies integrales de la ecuacion p2 − q2 − 2u = 0 que pasan por la curva
Γ = x = 0, u = (1 + y)2.
Comentese la naturaleza de las superficies obtenidas.
30. Dado el punto P = (0, 0, c), hallese la ecuacion en derivadas parciales de primer orden de las superficiestales que la interseccion de un plano tangente cualquiera con la perpendicular trazada por P al mismosea un punto del plano (x, y).
Demuestrese que a lo largo de una banda caracterıstica p y q son constantes y tambien que las curvascaracterısticas son rectas.
Por consideraciones puramente geometricas resulta claro que el paraboloide de revolucion 4cu = x2 +y2
es una de las superficies que verifica la condicion del enunciado (por otra parte es inmediato comprobarque satisface la ecuacion diferencial). ¿Como se explica que este paraboloide no este engendrado porcurvas caracterısticas?
31. Dada la ecuacion p2 + q2 = 1, estudiese si existe superficie integral que contenga al arco de helice
x = cos s, y = sin s, u = s; 0 ≤ s ≤ π
2.
32. Elimınense las constantes a, b del haz biparametrico de superficies
(x − a)2 + (y − b)2 + u2 = 1,
y las constantes m, n de(y − mx − n)2 = (1 + m2)(1 − u2).
Compruebese que se obtiene la misma ecuacion diferencial (llamada de las superficies tubulares) yexplıquese el por que de este mismo resultado.
Partiendo de la primera integral completa, hallense las superficies integrales que pasan por la curva x2+
y2 = 14, u =
√3
2 y escama ( 1
2, 0,
√3
2,√
33
, 0), y por la curva y = u =√
22 y escama (0,
√2
2,√
22
, 0,−1).
Hallense las mismas superficies partiendo de la segunda integral completa.
33. Hallese una integral completa de la ecuacion p = (qy + u)2.
34. Dada la ecuacion pq = 4xyu, compruebese que la funcion
u = (x2 + a)(y2 + b)
es una integral completa. Hallese la envolvente de la familia uniparametrica de superficies que se obtieneal hacer a = b y compruebese que tambien es una solucion.
35. Dada la ecuacion de los rayos de luz en un medio bidimensional homogeneo p2 + q2 = 1,
(a) hallese una curva caracterıstica que pase por los puntos (0, 0, 0) y (3, 4, ξ), siendo ξ un numeroreal;
(b) hallese una curva caracterıstica que pase por los puntos (0, 0, 13) y (3, 4, η), siendo η un numeroreal;
(c) explıquese la relacion entre los dos resultados anteriores.
36. Dada la ecuacion p2 + q2 = f(x, y) y el paraboloide 2u = (x − 3)2 + (y − 3)2 que es una superficieintegral de ella, se considera la escama E0 = (x0, y0, u0, p0, q0) perteneciente al paraboloide y tal quex0 = y0 = 1.
38 Capıtulo 9. Ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
(a) Defınase la banda que pasa por E0 y es solucion del sistema caracterıstico.
(b) Explıquese la posicion relativa de la banda respecto del paraboloide.
37. Dada la ecuacion p2 + q2 = 1 y la curva Γ = y = 1, u2 = x2 + 1,
(a) hallese la superficie integral S que pasa por Γ;
(b) sabiendo que los puntos P = (3/4, 1, 5/4) ∈ Γ y Q = (a, b, 10) estan en una misma curva carac-terıstica C contenida en S, determınense los valores de a y b;
(c) determınese el valor numerico de µ sabiendo que el punto M = (a, b, µ) esta en la curva carac-terıstica que pasa por la escama E0 = (3/4, 1, 6, 3/5, q).
9.7 Bibliografıa
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8. Sneddon, I. N., Elements of Partial Differental Equations, McGraw-Hill, 1957.
9. Zwillinger, D., Handbook of Differential Equations, Academic Press, 1992.
