Ecuaciones DiferencialesAplicaciones12/Marzo/2015

Describamos el siguiente ejemplo para aplicacin de las ecuaciones diferenciales:El paracaidismo es uno de los deportes extremos que da a da cuenta con mayor nmero de adeptos. Los que practican este deporte se tiran desde un avin en movimiento y caen al inicio en cada libre, luego extienden su cuerpo perpendicularmente la trayectoria de cada y finalmente abren sus paracadas para aterrizar suavemente. Es notorio el cambio de la velocidad de cada del paracaidista de una etapa a la siguiente. Nuestra experiencia nos dice que el cambio observado se debe precisamente a la interaccin del aire (del medio) con la persona y luego con el paracadas. Interaccin que se traduce en una resistencia del aire al movimiento del paracaidista.Se observan dos tipos de movimiento: Una cada libre, que es el tipo de movimiento donde la resistencia del aire o del medio es despreciable por lo que se considera nula. Una cada no libre o con friccin, que es el tipo de movimiento donde la resistencia del aire o del medio no es despreciable. En este caso el medio se opone al movimiento del paracaidista.Experimentalmente se sabe que todo fluido (por ejemplo: aire, agua y aceite) se opone al movimiento de todo cuerpo u objeto que pasa a travs de l. Dicha oposicin al movimiento al movimiento se manifiesta se manifiesta mediante fuerza de resistencia que tiene direccin contraria al movimiento del cuerpo y con una magnitud que, para velocidades pequeas, es directamente proporcional a la magnitud de la velocidad instantnea (rapidez) del cuerpo.Para modelar el movimiento de un cuerpo a travs de un fluido, es necesario tener presente la segunda ley de Newton, la cual establece una proporcionalidad directa entre la fuerza resultante F que acta sobre el cuerpo y la aceleracin instantnea a de este. Esto es F = ma, donde la masa m del cuerpo juega el papel de la constante de proporcionalidad.Tengamos presente tambin que:

Si R(t) es la fuerza de resistencia del fluido al movimiento de m, entonces su magnitud I R(t) I es directamente proporcional a la rapidez I v(t) I de m. Esto es, , donde es la constante de proporcionalidad y adems por ser R(t) de sentidos opuestos.Tomando en cuenta lo anterior se presentan dos tipos de movimientos:1.- Cada Libre. Usemos la siguiente figura:

Se considera hacia abajo la direccin positiva. Y sabemos que la nica fuerza que acta sobra la masa m es su peso w = mg.

Suponiendo que la velocidad inicial es

Entonces la velocidad instantnea es, Por otra parte:

Suponiendo que la posicin inicial es

Luego, la posicin instantnea es,

Resumiendo en una cada libre la aceleracin es constante y el objeto obedece las ecuaciones para movimiento uniforme acelerado, es decir:

La velocidad instantnea es:

La posicin instantnea es:

2.- Cada no libre (con resistencia). Usamos la siguiente figura:

Consideremos hacia abajo la direccin positiva:

Suponiendo que la velocidad inicial es , encontramos la velocidad instantnea v(t) por la solucin de problemas iniciales (PVI):

Resolvemos este problema. La ED es lineal no homognea para v(t) y tiene por factor integrante a la exponencial . Luego:

Ahora bien.

Por lo tanto,

Que es la velocidad instantnea del cuerpo de masa m en el tiempo Note lo siguiente:

De lo anterior,

Denominamos velocidad lmite a este resultado, que es una velocidad constante:

Esto describe el comportamiento de la velocidad v(t) a medida que el tiempo t crece.Observe que la velocidad lmite se alcanza cuando el peso del paracadas es igual a la fuerza de resistencia del aire, es decir, cuando las fuerzas que actan sobre el paracaidista estn en equilibrio. Esta velocidad lmite constante es la que permite al paracaidista un aterrizaje suave.Veamos ahora la posicin instantnea x(t) del cuerpo de masa m en el tiempo Ya que entonces,

Y si es la posicin inicial del cuerpo, entonces:

Por lo tanto, la posicin instantnea es:

Dos frmulas muy particulares se tienen cuando y cuando En este caso:

Ejemplo 1: Una masa de 2 kg cae desde el reposo bajo la influencia de la gravedad y con resistencia despreciable. Modelar el movimiento mediante una ecuacin diferencial. Determinar la velocidad de la masa en cualquier instante Calcular la velocidad despus de 5 s. Determinar el tiempo que transcurre para que la velocidad sea de 100 m/s. Determinar la distancia recorrida por la masa durante los primeros t segundos. Calcular la distancia recorrida por la masa entre los segundos 4 y 5 as como entre los segundos 5 y 6.1.- Usaremos la siguiente figura:

Considerando hacia abajo la direccin positiva.Si a(t) es la aceleracin instantnea:

Al caer desde el reposo, ocurre que v(0) = 0.Hallamos la velocidad instantnea v(t) de la masa por la solucin del problema del valor inicial (PVI):

2.- Resolvemos el problema con valor inicial (PVI).

Entonces: v(t) = gt = 9.8 t m/s que es la velocidad de la masa en cualquier instante 3.- Despus de 5 s la velocidad es v(5) = 9.8 (s) m/s = 49m/s4.- La velocidad es v(t) es de 100m/s cuando 5.- Si x(t) es la posicin de la masa m con respecto a su punto de partida, entonces:

Considerando que la posicin inicial con respecto a su punto de partida es x(0) = 0, se tiene que:

Entonces, la posicin de m despus de t segundos es que es precisamente la distancia recorrida por m durante ese tiempo.6.- La posicin m despus de t = 4 s

La posicin de m en t = 5 s es

La posicin de m en t = 6 s es

La distancia recorrida entre los segundos 4 y 5 es

La distancia recorrida entre los segundos 5 y 6 es

Ejemplo 2: Un paracaidista y su paracadas pesan 200 lb. En el instante en que el paracadas se abre, l est viajando verticalmente hacia abajo a 40 pies/s. Si la resistencia del aire vara de manera directamente proporcional a la velocidad instantnea y su magnitud es de 180 lb cuando la velocidad es de 45 pies/s. Determinar la velocidad y la posicin del paracaidista en cualquier instante Calcular la velocidad limite.Usaremos en este ejemplo la siguiente figura:

Considerando que la direccin es positiva hacia abajo y que a partir de que el paracadas se abre. La resistencia del aire es R y se cumple que Tenemos:

Como mg = w = 200 lb, entonces Ya que 1.- En cualquier segundo ocurre que

Hallamos la velocidad instantnea por la solucin del PVI:

Esta ecuacin diferencial es lineal con factor integrante . Luego entonces:

Ahora bien, Por lo tanto la velocidad instantnea (en pie/s) del paracaidista, en cualquier , es

Si x(t) es la posicin instantnea, medida a partir del punto donde se abre el paracadas:

Como

Por lo que la posicin del paracaidista en el instante (segundo) es (en pies)

2.- La velocidad lmite del paracaidista es

Observemos que la velocidad ocurre cuando el peso es igual a la fuerza de resistencia del aire.Christian Romero AlgredoIng. en sistemas AutomotricesProfa. Gregoria Corona Morales