EDO de Primer Orden (I PARTE)

7/25/2019 EDO de Primer Orden (I PARTE)

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Ecuaciones diferenciales ordinarias

de primer orden

1


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2

Noexiste un mtodo generalpara resolver una EDO,

es decir, dada una ecuacin diferencial no tenemos

un procedimiento para hallar su solucin analtica.

Sin embargo, en algunos casos particulares bien

conocidos, s se tienen procedimientos para calcular

dicha solucin.

El nico "mtodo" entonces consiste en saber

identificar el tipo de EDO que se quiere resolver. Si es

un caso conocido, le aplicaremos el procedimientocorrespondiente. Si no es un caso conocido, podemos

intentar algn cambio de variable que la transforme

en un caso conocido.


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3

Separacin de variables

Una EDO de primer orden:

= (, ) = ()().

se dice que es separable o de variables separables.

En este caso, la ED dy/dx = g(x)h(y) puede resolverse

mediante integracin directa. Integrando a ambos lados:

dxxgdyyh )()(1

Ejemplo 1

cexy

dxedy

dxedy

edy/dx

x

x

x

x

2

21

2

2

2

1

1

1


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4

Solucin por separacin

de variables:

3)4(, yy

x

dx

dy

2

11

22

1

22

25

2

25,

2

4

2

)3(

22,

xy

cc

cxy

xdxydy

Ejemplo 2

Tambin podemos dejar la solucin en forma implcita como:

x2 + y2 = c2, donde c2 = 2c1

Aplicando la condicin inicial, 16 + 9 = 25 = c2

; x2

+ y2

= 25.

una solucin en forma explcita con dominio de definicin

I : -5 < x < 5.

225 xy


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Solucin: Como dy/y = dx/(1 +x), tenemos

Sustituyendo por c, obtenemos

y = c(1 + x).

)1(

1

1lnln

1

1

111 1ln1ln

1

xey

exeeey

cxy

x

dx

y

dy

c

ccxcx

1ce

Ejemplo 3x

yy

1'


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6

Posible prdida de una solucin

Cuando r es un cero de h(y), si sustituimos

y(x) = r en dy/dx= g(x)h(y), tenemos 0 = 0.

Es decir, y(x) = r tambin es solucin de

dy/dx= g(x)h(y).

Sin embargo, esta solucin no se revelar trasla integracin, puesto que:

dy/h(y) = g(x) dx queda indefinido en el cociente.

y(x) = r es una solucin singular.


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7

Ejemplo 4 dy/dx = y2 4

dxdyyy

dxydy

21

41

21

41

42

21 42

2ln2ln4

12ln4

1cxy

ycxyy

Separando variables, escribimos esta ED como:

1,1

12

2

2 44

4444 22

xx

xxxccx ce

ce

ceyceeee

y

y

Nota: y = 2 son soluciones constantes. y = 2 corresponde a lasolucin que encontramos con c = 0. Pero y = -2 es una solucin

singular que no podemos obtener de la solucin anterior.


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8

Solucin:

Separamos variables:

Aplicamos la identidad sen (2x) = 2 sen x cos x:

(eyye-y) dy = 2 sin x dx

Integrando por partes:

ey+ ye-y+ e-y= -2 cosx + c

Puesto que y(0) = 0, c = 4 y la solucin implcita es:

ey+ ye-y+ e-y= 4 2 cosx,

,

.

0)0(,2sin))((cos 2 yxedx

dyyex yy

dxx

xdy

e

yey

y

cos

2sin2

Ejemplo 5


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9

Nuestra solucin G(x, y) = ey + ye-y + e-y + 2 cos x = c es implcita.

En este caso no es posible despejar y(x). Pero utilizando

ordenador podemos trazar las curvas de nivel o isoclinas deG(x, y) = c. Las grficas resultantes estn representadas en las

siguientes figuras:

Uso de software


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Una EDO de primer orden de la forma

1()

+ 0() = ()

es una ecuacin lineal en y.

Cuando g(x) = 0, se dice que la ecuacin eshomognea; en el caso contrario, es no

homognea.

Ecuaciones lineales


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Al dividir: 1()(/) + 0() = ()

entre 1

() obtenemos la forma estndar de la

ecuacin lineal:

/ + () = ()

Buscaremos una solucin en un intervalo Idonde

P(x)y f(x) sean continuas.


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dxxP

cey

cdxxPydxxPydy

)(

1)(ln)(

Observemos que la ecuacin diferencial

homognea asociada / + () = 0

es separable, y eso nos permite encontrar

fcilmente su solucin general:

Seguiremos el siguiente procedimiento para resolver la

ecuacin diferencial no homognea:

/ + () = ()


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dxxPe)(

Llamamos a f ac t o r i n t e g r a n t e.

Multiplicamos la EDO

en forma estndar por el factor integrante :

)()( xfyxPdx

dy

)(

)()(

)()(

)()()(

xfeyedxd

xfeyxPedx

dye

dxxPdxxP

dxxPdxxPdxxP

Integrando a ambos lados obtenemos la solucin:

dxxfeey

dxxfeye

dxxPdxxP

dxxPdxxP

)(

)(

)()(

)()(


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EJEMPLO 6:Resolver la siguiente ED lineal de primer orden

xexy

dx

dyx 64

Dividimos entrepara obtener la forma estndar:

xexyxdx

dy 54

Reconocemos P(x) = -4/xy el factor integrante es:

0,4lnln44 4

xxeee xxxdx

445

4

cxexexy

cexedxxeyx

xx

xxx

Obtenemos la solucin en el intervalo (0, ):


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Como P(x) = 3, tenemos que

el factor integrante es

Entonces e-3x

y = -2e-3x

+ c y la solucin general esy = -2 + ce3x, -


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Solucin:

Tenemos P(x) = 1 y f(x) = xque son continuas en (-,).

El factor integrante es:

Entonces: = +

= 1 +

Como y(0) = 4, obtenemos c =5.

La solucin es = 1 + 5, < <

4)0(, yxydx

dy

xxdx

ee

/

Ejemplo 8


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Diferencial de una funcin de dos variables

Si z = f(x, y) tiene primeras derivadas parciales continuas,

sud i f e r en c i al es

Si z = f(x, y) = c,

De modo que si tenemos f(x, y) = c , podemos generar unaED de primer orden calculando la diferencial a ambos

lados.Por ejemplo, si 2 5 + 3 = , entonces

(2 5) + (5 + 32) = 0.

dyy

fdxx

fdz

0

dyy

f

dxx

f


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Ecuacin exacta

Una expresin M(x, y) dx + N(x, y) dyes unadiferencial

exacta en una regin R del planoxysi corresponde a la

diferencialde alguna funcinf(x, y) definida en R.

Una ED de primer orden en la forma diferencial

(, ) + (, ) = 0

es una ecuacin diferencial exacta, si la expresin del

lado izquierdo es una diferencial exacta.


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xN

yM

Criterio para una diferencial exacta

Sean M(x, y) y N(x, y) continuas y con primerasderivadas continuas en una regin rectangular R

definida por a < x < b, c < y < d. Entonces una

condicin necesaria y suficiente para que:

(, ) + (, )

seauna diferencial exacta es:


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Como f/x = M(x, y), tenemos:

Derivando con respecto a y, como/ = (,), tenemos

y

dxyxMyyxNyg ),(),()('

),()('),( yxNygdxyxMyy

f

)()(),( ygdxyx,Myxf

Mtodo de solucin de una ecuacin exacta

Integrando con respecto a y, obtenemos g(y). La solucin

implcita es: f(x, y) = c.


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Ejemplo 9 2 + (2 1) = 0

Solucin:

Identificando (,) = 2, (,) = 2 1 , tenemos

que M/y= 2x=N/x. As que la ecuacin es exacta y portanto existe una funcin ftq:

/ = 2, / = 2 1

Integramos Mrespecto a x : (, ) = 2 + ().

Derivando con respecto ay: / = 2 + () = 2 1

() = 1 () = (, ) = 2 .

Y la solucin es: 2 = =

El intervalo de definicin es cualquier intervalo que no contenga a

x = 1 x = -1.


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22

Solucin: Esta ED es exacta porque

M/y = 2e2y+ xysenxycosxy = N/x

f/y = 2xe2yx cosxy + 2y

xyyexhxyyex

f

xhysenxyxe

ydyxydyxdyexyxf

yy

y

y

cos)('cos

)(

2cos2),(

22

22

2

As que h(x) = 0, entonces h(x) = c. La solucin es

2 sin + 2 + = 0

Ejemplo 10 (e2y y cosxy)dx+(2xe2y x cosxy+ 2y)dy = 0

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