03 EDO de Orden Superior Parte I-II

8/2/2019 03 EDO de Orden Superior Parte I-II

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MATEMÁTICA IV

2011

UNIDAD III

Ecuaciones Diferenciales Lineales de OrdenSuperior.

Recopilación: Oscar Díaz.

U N I D A D DE CI E N C I A S BÁ S I C A S. FIA - UES



2

3.1 TEORÍA PRELIMINAR.

Un problema de valor inicial para una ecuación de orden n es

Resolver 2

2 1 02 2

n

n

d y d y dya x a x a x a x y g x

dx dx dx

Sujeto a 1

0 0 1 0 1, , ,

n

n y x y y x y y x y

El teorema siguiente nos da las condiciones suficientes para la existencia de una solución únicadel problema de valor inicial de orden n . Recuerde que condiciones suficientes significa que silas condiciones enunciadas no se satisfacen, pueden existir soluciones únicas.

EEJJEEMMPPLLOO 11:: EENNCCOONNTTRRAANNDDOOEELLIINNTTEERRVVAALLOO DDEEDDEEFFIINNIICCIIÓÓNN..

Determine el máximo intervalo para el cual el teorema 1 asegura la existencia y unicidad de

una solución del PVI2

2

1ln

3

d y dy x y x

dx x dx

Sujeto a 1 3, 1 5 y y

2 1a x continuo para todo x

1

1

3a x x

es continua para 3 x

0a x x es continua para 0 x

lng x x es continua para 0 x

Por tanto el intervalo abierto más grande que contiene a 0 1 x para el cual los trescoeficientes son simultáneamente continuos es el intervalo 0,3 . Concluimos que el PVI

dado tiene una solución única en el intervalo 0,3 .

Teorema 1: Existencia de una solución única.

Si 1 0, , , yna x a x a x g x son continuas en un intervalo I , y que

0n

a x para toda x presente en ese intervalo. Si 0 x x está en cualquier

punto de este intervalo, entonces en el intervalo existirá una solución y x al

roblema de valor inicial 1 ésta será única.

(1)

SOLUCIÓN

En este caso debemos verificar la continuidad de loscoeficientes en la ED. Note que el coeficiente de la segundaderivada en continuo para todos los valores de x

0 x 3 x

I

Clase 1



3

PRROOBBLLEEMMAA DDEE VVAALLOORREESSEENN LLAA FRROONNTTEERRAA ((PVVF))..

Otro t ipo de problema similar al PVI consiste en resolver una ED de segundo orden o mayor enla cual la variable dependiente y, o sus derivadas estén especificadas en puntos diferentes. Porejemplo, un problema como

Resolver

2

2 1 02

d y dy

a x a x a x y g xdx dx Sujeto a 0 1, y a y y b y

Se denomina problema de valores en la frontera (PVF). Las condiciones impuestas se conocencomo condiciones de frontera. Para una ecuación diferencial de segundo orden podemosdefinir los siguientes pares de condiciones en la frontera además del presentadoanteriormente:

0 1, y a y y b y

0 1, y a y y b y

0 1, y a y y b y

EEJJEEMMPPLLOO 22:: UUNN PPVVFF

Use la familia biparamétrica de soluciones 1 2cos sin y c t c t de la ecuación diferencial

0 y y para encontrar una solución que satisfaga las condiciones de frontera

a) 0 1, 1 y y b) 0 1, 2 1 y y c) 0 1, 1

4

y y

Como no podemos hacer que 1c sea igual a 1 y -1 al mismo tiempo, esta condición implica que

el problema de valores en la frontera no tiene solución.

b) la primera y segunda condición implican que:

1 21 cos0 sin 0c c y 1 21 cos2 sin 2c c

Del sistema resulta que 1 1c , pero no podemos encontrar el valor de 2c . Esto nos indica que

cualquier valore es correcto, en otras palabras, el PVF presenta una infinidad de soluciones de

la forma 2cos sin y t c t .

c) finalmente, el par de condiciones implican que

1 21 cos0 sin 0c c y 1 21 cos sin4 4

c c de donde obtenemos 1 21 y 2 1c c .

Por tanto cos 2 1 sin y t t es la solución única al PVF

SOLUCIÓN

a) La primera condición implica que:

1 2 11 cos0 sin 0 1c c c y la segunda nos dice que

1 2 11 cos sin 1c c c .



4

En las siguientes figuras se muestran los resultados de los tres incisos anteriores.

FIGURA 1

Ninguna curva pasa por ambos puntos especificados a la vez.

FIGURA 2

Muchas curvas pasando por los puntos especificados.

FIGURA 3

Una única curva pasado por los puntos especificados.



5

OPPEERRAADDOORREESS DDIIFFEERREENNCCIIAALLEESS LIINNEEAALLEESS

Denotemos con D la derivada de la variable dependiente con respecto a la variable

independiente, es decir2

2

2, , ,

nn

n

dy d y d y Dy D y D y

dx dx dx . Usando esta notación

podemos escribir el lado izquierdo de la ecuación

2

2d y dyP x Q x y g xdx dx

de la siguiente manera:

2 2 D y PDy Qy D PD Q y

Esta expresión genera una nueva función a la que denominaremos operador diferencial L .

2 L D PD Q

De tal manera que (2) se puede escribir en forma simplificada como L y g x . La idea de

este operador la podemos comprender si lo imaginamos como una máquina que está lista a

derivar, pero que necesita una entrada (la función y x ) generando una salida que dependerá

de la naturaleza de ésta función de entrada.

Por ejemplo si P x x y 2Q x x las salidas generadas por el operador lineal serían las

siguientes:

De modo que L transforma la función de entrada en una nueva función de salida.Note que este operador tiene dos propiedades muy importantes que no son más que unaconsecuencia de las reglas básicas de derivación:

1. 1 2 1 2 L y y L y L y

2. 1 1 L cy cL y

Para cualquier par de funciones con segundas derivadas continuas en un intervalo I .

Cuando P y Q son constantes, podemos tratar a2

D PD Q como un polinomio en D elcual incluso podemos factorar. Esto se ilustra en el siguiente ejemplo.

2 D PD Q y L y y Py Qy

2 D PD Q 3 y x

sin y x

3 56 3 L y x x x

2sin cos sin L y x x x x x

Entrada Salida

(2)

Clase 2



6

EJJEEMMPPLLOO 33:: ÁÁLLGGEEBBRRAA DDEEOOPPEERRAADDOORREESSLLIINNEEAALLEESS..

Muestre que el operador lineal 24 3 D D es igual a la composición de operadores

1 3 D D (que resulta de factorar el operador lineal dado).

Para una función cualquiera y dos veces diferenciable tenemos

1 3 1 3 1 3 D D y D Dy y D y y

1 3 3 1 3 D D y D y y y y ¨

1 3 3 3 D D y y y y y

1 3 4 3 D D y y y y

Calculemos ahora 24 3 D D aplicado a la función y

2 24 3 4 3 4 3 D D y D y Dy y y y y

En consecuencia 21 3 4 3 D D D D

SOLUCIÓN



7

En los problemas 1 a 3 determine si se aplica el teoremade existencia y unicidad. En caso afirmativo, diga qué

conclusiones se pueden obtener. Si no se aplicaexplique por qué. Suponga que 0 y y 1 y son constantes

reales.

1. 31 y yy x , 0 1; 0 1 y y

2. ln3

x ye y y x

x

; 0 11 , 1 y y y y

3. 23 2 x x y xy y x ; 3 0; 3 1 y y

4. Dado que 1 2cos sin y x c x c x es solución de

0 y y , donde 1 2yc c son constantes

arbitrarias. Muestre quea. Hay una solución única que cumple las

condiciones de frontera 0 2, / 2 0 y y

b. No existe ninguna solución que satisfaga

0 2, 0 y y .

c. Hay infinidad de soluciones que satisfacen

0 2, 2 y y .

5. Verifique, como en el ejemplo 3, cada una de lassiguientes operaciones con operadores

a. 26 1 5 6 D D D D

b. 2 3 22 1 1 2 2 1 D D D D D

En ocasiones un operador aplicado a una función la

anula, es decir 0 L f . Este concepto se aplica en los

siguientes ejercicios.

6. Sea 3 L D y 3 x f x e . Calcule L f

7. Sea L D m y mx f x e . Calcule L f

Suponga que m es cualquier número real.8. Basado en los problemas anteriores, encuentre un

operador que anule a 7 x f x e y

2

3

x

g x e

9. Sea 2 44 y 6 x L D f x xe . Calcule L f

10. Sea

3 2 55 y 4 x L D f x x e . Calcule

L f

11. Basado en los problemas 9 y 10 encuentre un

operador que anule a 2 x xe

y

3 3 x x e .

12. Sea 2 1 y cos L D f x x . Calcule L f

13. Muestre que 2 D anula a 2 x y e y que D

anula a 1. Muestre además que 2 D D anula a

21

xe .

14. Construya un operador que anule a2 54 cos x f x e x .

15. Verifique que 3

21 2 D

anula a 2

sin2 x

x e x

16. Reescriba las siguientes ecuaciones diferenciales entérminos de la notación D .

5 6 5 3 y y y x 4 0 y y

23 4 cos x y y y xe x 17. Dada la ecuación diferencial 2 1 x y y e

teniendo en cuenta los resultados de los problemas

13 y 16 aplique el operador 2 L D D a ambos

lados de la ecuación. Esto deberá reducir laecuación dada a una ecuación homogénea en D .

EJERCICIOS DE LA SECCIÓN 3.1



8

3.2 ECUACIONES HOMOGÉNEAS Y NO HOMOGÉNEAS.

Llamaremos a una ecuación diferencial de n ésimo orden escrita en la forma

2

2 1 020

n

n n

d y d y dya x a x a x a x y

dx dx dx Ecuación Homogénea.

Mientras que llamaremosEcuación no homogénea a una ecuación del tipo

2

2 1 02

n

n n


dx dx dx con 0g x

EECCUUAACCIIOONNEESS HHOOMMOOGGÉÉNNEEAASS..

Iniciemos estudiando algunas de las propiedades más importantes de las ecuacioneshomogéneas.

EEJJEEMMPPLLOO 44:: EELLPPRRIINNCCIIPPIIOO DDEESSUUPPEERRPPOOSSIICCIIÓÓNN YYLLAASSEECCUUAACCIIOONNEESS HHOOMMOOGGÉÉNNEEAASS..

Dado que2

1 cos3 x

y e x y2

2 sin3 x

y e x son soluciones de la ecuación homogénea4 13 0 y y y , encuentre una solución de esta ecuación que cumpla el PVI

0 2 y 0 5 y y .

Por el principio de superposición, para cualquier par de constantes 1 2yc c 2 2

1 2cos3 sin 3 x x

y c e x c e x (una combinación lineal de las funciones) será solución de

4 13 0 y y y . Evaluando las condiciones iniciales obtenemos 1 22, 3c c . Por

consiguiente la solución al PVI es

2 22 cos3 3 sin3 x x y e x e x .

El principio de superposición se puede generalizar a una ecuación diferencial homogénea deorden n . Es decir, dada una ecuación homogénea con coeficientes constantes

2

2 1 02 0

n

n nd y d y dya a a a ydx dx dx si 1 2, , , k y y y son soluciones de ésta ecuación,

entonces cualquier combinación lineal de las mismas también será solución de la EDH en unintervalo I .

SOLUCIÓN

PRIINNCIIPIIO DDE SUUPERPOSIICIIÓNN.. ((CCOOMMBBIINNAACCIIÓÓNN LLIINNEEAALLDDEESSOOLLUUCCIIOONNEESS)) CCAASSOO DDEE

EECCUUAACCIIOONNEESSHHOOMMOOGGÉÉNNEEAASS..

Suponga que 1 y y 2

y son soluciones de la EDH 0 L y donde L es un operador diferencial

lineal. Entonces para cualesquier constantes 1c y 2

c la función 1 1 2 2 y c y c y también es

una solución de la ecuación diferencial homogénea dada.

Para evaluar el PVI necesitamos una solución que involucre dos

constantes arbitrarias 1 2yc c .



9

DDEEPPEENNDDEENNCCIIAA EE IINNDDEEPPEENNDDEENNCCIIAA LIINNEEAALL..

Si 1 2, , n y y y son soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea de n -ésimo orden

en un intervalo I . Entonces el conjunto de soluciones es linealmente independiente en I sí y

sólo sí 1, , 0nW y y donde W , el Wronskiano de las funciones, se define como

1 2

1 2

1

( 1) ( 2) ( 1)

1 2

, ,

n

n

n

n n n

n

y y y

y y yW y y

y y y

Este conjunto de n soluciones linealmente independiente recibe un nombre especial.

Un conjunto fundamental de soluciones nos es de mucha utilidad cuando se trata de encontrarla solución general de una ecuación homogénea.

EEJJEEMMPPLLOO 55:: SSOOLLUUCCIIÓÓNN GGEENNEERRAALLDDEEUUNNAA EEDDHH

Dado que 1 cos3 y x y 2 sin3 y x son soluciones de 9 0 y y en , , encuentre su

solución general.

cos3 sin 3

cos3 ,sin3 cos3 3cos3 3sin3 sin 33sin3 3cos3

x xW x x x x x x

x x

2 2 2 2cos3 ,sin 3 3cos 3 3sin 3 3 cos 3 sin 3 3 0W x x x x x x

Como 0W

concluimos que cos3 ,sin3 x x forman un conjunto fundamental de

soluciones. Por tanto la solución general de 9 0 y y es 1 2cos3 sin 3 y x c x c x

SOLUCIÓN

COONNJJUUNNTTOO FUUNNDDAAMMEENNTTAALLDDEE SOOLLUUCCIIOONNEESS

Cualquier conjunto 1 2, , , n y y y de soluciones linealmente independientes de una

ecuación diferencial homogénea de orden n en un intervalo I se llama conjuntofundamental de solucionesen el intervalo.

SOOLLUUCCIIÓÓNN GEENNEERRAALLDDEEUUNNAA ECCUUAACCIIÓÓNN HHOOMMOOGGÉÉNNEEAA..

Si 1 2, , , n y y y es un conjunto fundamental de soluciones de una ecuación diferencial

homogénea de orden n en un intervalo I , entonces, en el intervalo, la solución general de la ecuación es

1 1 2 2 n n y c y x c y x c y x

Donde 1 2, , ,n

c c c son constantes arbitrarias.

Primero verificamos si cos3 ,sin3 x x forman un conjunto

fundamental de soluciones. Esto lo hacemos de la siguiente manera:

Clase 3



10

AALLGGUUNNOOSSMMÉÉTTOODDOOSSDDEESSOOLLUUCCIIÓÓNN PPAARRAA EECCUUAACCIIOONNEESSHHOOMMOOGGÉÉNNEEAASS..

RREEDDUUCCCCIIÓÓNN DDEE OORRDDEENN..

Hemos aprendido hasta ahora que la solución general de una EDH de segundo orden está dadapor una combinación lineal de dos soluciones linealmente independientes. El primer métodoque estudiaremos se basa en el hecho de conocer una solución y buscar a partir de ella, una

segunda solución que sea linealmente independiente. El método se conoce como reducción deorden.

PPRROOCCEEDDIIMMIIEENNTTOO DDEERREEDDUUCCCCIIÓÓNN DDEEOORRDDEENN

Dada una solución no trivial 1 y x de 0 y P x y Q x y , se puede determinar una

segunda solución linealmente independiente y x en cualquiera de las formas siguientes.

1. Haga 2 1 y x v x y x y sustituya 2 2 2, y y y y en la ecuación dada. Esto lo

llevará a una ecuación separable para v . Despéjese v e intégrese para obtener v La segunda solución deseada está dada por 1v x y x .

2. La solución 2 y x también se puede obtener sustituyendo 1yP x y x

directamente en la fórmula de reducción de orden

( )

2 1 2

1

P x d x

e y x y x dx

y x

EEJJEEMMPPLLOO 66:: SSOOLLUUCCIIÓÓNN GGEENNEERRAALLDDEEUUNNAA EEDDHHPPOORREELLMMÉÉTTOODDOO DDEERREEDDUUCCCCIIÓÓNN DDEEOORRDDEENN.. Si 1

x y x e es solución de 2 0 y y y encuentre una segunda solución que sea

linealmente independiente. Proporcione la solución general.

Utilizando (3) con 12 y x

P x y x e obtenemos:

2 2P x dx dx x nota: por simplicidad no usaremos la constante de integración.

Entonces

2

2 2

x x x x

x

e y x e dx e dx xe

e nuevamente se ha omit ido la constante de

integración.

La solución general está dada por 1 2

x x y x c e c xe .

Nota: para la aplicación de la primera alternativa descrita en el procedimiento de reducción deorden vea el ejercicio 6 de esta sección.

(3)

SOLUCIÓN



11

ECCUUAACCIIOONNEESSDDIIFFEERREENNCCIIAALLEESSLLIINNEEAALLEESSHHOOMMOOGGÉÉNNEEAASSCCOONN CCOOEEFFIICCIIEENNTTEESSCCOONNSSTTAANNTTEESS..

Estudiaremos cómo resolver ecuaciones diferenciales de la forma

0ay by cy con , ya b c constantes y 0a

EECCUUAACCIIÓÓNN AAUUXXIILLIIAARR..

En el caso de una ecuación de segundo orden 0ay by cy se observa que una solución

de ella debe tener la propiedad de que una constante por su segunda derivada, más unaconstante por su primera derivada, más una constante por la misma función debe dar por

suma cero. Esto sugiere intentar una solución de la forma mx y e ya que sus derivadas son

iguales a una constante por mxe . Intentemos mx y e

mx y e mx y me

2 mx y m e

Sustituyendo en la ecuación obtenemos:

20

mx mx mxam e bme ce

2 0mxe am bm c puesto que 0mx

e para todo x se puede dividir por este factor para

obtener

20am bm c a la cual llamaremosecuación auxiliar.

Por consiguiente mx y e es solución de 0ay by cy si y sólo si m satisface la ecuación

auxiliar.La ecuación auxil iar resulta ser una ecuación cuadrática cuyas raíces están dadas por

2

1,2

4

2

b b acm

a

.

Recuerde además que

Si el discriminante 24 0b ac las raíces 1 2ym m son reales y distintas

Si el discriminante 24 0b ac las raíces son reales e iguales, y

Si el discriminante 24 0b ac las raíces son números complejos conjugados.

Estudiemos por separado cada unos de los tres casos.

CCAASSOO II:: RRAAÍ Í CCEESSRREEAALLEESSDDIISSTTIINNTTAASS

Si la ecuación auxiliar t iene raíces reales distintas 1 2ym m , entonces 1 2ym x m x

e e son soluciones

linealmente independientes de 0ay by cy . Por tanto la solución general es

1 2

1 2

m x m x

y x c e c e

Clase 4



12

EJJEEMMPPLLOO 77:: SSOOLLUUCCIIÓÓNN DDEEUUNNAA EDDHH.. CCAASSOO DDEERRAAÍÍCCEESSRREEAALLEESSDDIISSTTIINNTTAASS..

Encuentre la solución general de 5 6 0 y y y

La ecuación auxil iar está dada por

25 6 0m m

25 6 6 1 0m m m m y las raíces son 1 26 y 1m m . La solución general es

6

1 2

x x y c e c e

CCAASSOO IIII:: RRAAÍ Í CCEESSRREEAALLEESSRREEPPEETTIIDDAASS

Si la ecuación auxiliar tiene raíces repetidas 1 2=m m m , entonces, a diferencia del caso

anterior, se obtiene solamente una solución no trivial mx y e . Por supuesto los múltiplos

constantes de esta función son soluciones, pero no resultan úti les para encontrar una segundasolución linealmente independiente. Esta situación se puede remediar utilizando el método dereducción de orden. Aplicando este método se encuentra que una segunda soluciónlinealmente independiente es

2

mx y x xe

Por tanto, la solución general de 0ay by cy es

1 2

mx mx y x c e c xe

EEJJEEMMPPLLOO 88:: SSOOLLUUCCIIÓÓNN DDEEUUNNAA EEDDHH.. CCAASSOO DDEERRAAÍÍCCEESSRREEAALLEESSRREEPPEETTIIDDAASS..


La ecuación auxiliar es 28 16 0m m . Al factorar obtenemos

28 16 4 4 0m m m m

1 2 4m m . Puesto que esta es una raíz doble, la solución general es

4 4

1 2

x x y x c e c xe

SOLUCIÓN

SOLUCIÓN



13

CASOO IIIIII:: RRAAÍ Í CCEESSCCOOMMPPLLEEJJAASS..

Si la ecuación auxiliar tiene como raíces a los números complejos conjugados 1m i y

2m i , entonces la solución general es

1 2cos sin x x

y x c e x c e x

EEJJEEMMPPLLOO 99:: SSOOLLUUCCIIÓÓNN DDEEUUNNAA EEDDHH.. CCAASSOODDEERRAAÍÍCCEESSCCOOMMPPLLEEJJAASS..


Las raíces de la ecuación auxiliar2

2 4 0m m resultan ser

1 21 3 y 1 3m i m i por lo que la solución general es

1 2cos 3 sin 3 x x

y x c e x c e x

EEJJEEMMPPLLOO 1100:: SSOOLLUUCCIIÓÓNN DDEEUUNNAA EEDDHHDDEEOORRDDEENN 33

Encontrar la solución general de 3 4 5 2 0 y y y y

La ecuación auxiliar es 2 23 4 5 2 0m m m

Puesto que el coeficiente principal (el relacionado con el mayor exponente de m ) es 3 y elcoeficiente constante es 2 , tenemos varios potenciales ceros racionales.

Potenciales ceros racionales: Factores de 2 1, 2 1 2: : 1, 2, ,Factores de 3 1, 3 3 3

Por división sintética intentamos con el factor 1

SOLUCIÓN

SOLUCIÓN

3 4 -5 -21

3 7 2

3 7 2 0

Clase 5



14

Por lo que podemos escribir:

3 2 23 4 5 2 1 3 7 2 0m m m m m m

2

3 23 7 3 6

3 4 5 2 1 03

m mm m m m

3 2 3 6 3 13 4 5 2 1 0

3

m mm m m m

3 2 3 2 3 1

3 4 5 2 1 03

m mm m m m

3 23 4 5 2 1 2 3 1 0m m m m m m

Por lo que las raíces son1 2 3

11, 2 y

3

m m m

Por tanto la solución general es:

2 /3

1 2 3

x x x y x c e c e c e



15

1. Dado que 2

1 2cos y sin x x y e x y e x son

soluciones de la ecuación homogénea4 5 0 y y y , encuentre soluciones de esta

ecuación que cumplan las siguientes condicionesiniciales:

0 1, 0 1 y y

2 24 , 5 y e y e

2. Considere la ecuación diferencial 5 6 0 y y y

Muestre que 6

1, x x xS e e e

es un conjunto

fundamental de soluciones de la ecuación.

Muestre que 6

2,3 x x xS e e e es otro conjunto

fundamental de soluciones de la ecuación.Verifique que 6 x

x e es solución de la

ecuación dada. Luego escriba x como una

combinación lineal de funciones pertenecientes a

1S . Del mismo modo exprese x como una

combinación lineal de funciones pertenecientes a

2S .

3. Verifique que las funciones dadas forman un

conjunto fundamental de soluciones de la ED dada,y obtenga la solución general.

4 4 0, ,cos2 ,sin 2 x y y y y e x x

2 35 6 0, , x x y y y e e

2 5 0, cos2 , sin 2 x x y y y e x e x

4. ¿puede ser la función 2

3 1W x el wronskiano

en 0,2 de alguna ecuación de segundo orden

lineal homogénea con P y Q continuas?5. En los siguientes ejercicios se da una ecuación

diferencial y una solución no trivial. Encuentre unasegunda solución linealmente independiente yescriba la solución general .

13 2 0, x y y y y e

2 2

16 6 0, 0, x y xy y x y x

3

12 15 0, x

y y y y e

6. El procedimiento de reducción de orden puedeutilizarse, de manera más general, para reducir unaecuación lineal homogénea de orden n a una

ecuación lineal homogénea de orden 1n . Para la

ecuación 0 xy xy y y que tiene a

1

x y e como una solución, use la sustitución

2 1 y x v x y x para reducir esta ecuación de

tercer orden a una ecuación lineal homogénea desegundo orden en la variable w v

En los problemas del 7 al 19 Encuentre la solucióngeneral de la ecuación diferencial dada.

7.

2 0 y y y

8. 2 8 16 0 D D y

9. 7 10 0 y y

10. 2 0; 0 1, 0 3 y y y y y

11. 4 1 0 D y

12. 3 3 0 y y y y

13. 6 6 0 y y y y

14. 6 4 0 y y y y

15. 0 y y

16. 3 2 3 5 0 D D D y

17. 10 26 0 y y y

18. (4 ) 3 5 2 0 y y y y y

19. (4 ) 8 26 40 25 0 y y y y y


Gráfica de 3 26 6 y x x x

Gráfica de 3 26 4 y x x x



16

3.3 ECUACIONES NO HOMOGÉNEAS.

En esta sección estudiaremos ecuaciones de la forma

2

2 1 02 2

n

n


dx dx dx

Con la restricción que 0g x . Iniciemos con el principio de superposición aplicado aecuaciones no homogéneas.

EEJJEEMMPPLLOO 1111:: EELLPPRRIINNCCIIPPIIOODDEESSUUPPEERRPPOOSSIICCIIÓÓNN.. CCAASSOONNOOHHOOMMOOGGÉÉNNEEOO

Dado que 1

2

3 9

x y x es solución de 2 3 y y y x y

2

25

xe

y x es solución de

22 3 x y y y e , encuentre una solución de 22 3 4 5 x y y y x e .

Sea 2 3 L y y y y

Según las condiciones dadas 21 2y x L y x L y e

Como 2

1 24 5 4 5 x

x e g x g x , el principio de superposición nos indica que

2

1 2

4 84 5

3 9

x x y x y x e es solución de la ecuación diferencial

22 3 4 5 x y y y x e

TTEEOORREEMMAA:: PPRRIINNCCIIPPIIOODDEESSUUPPEERRPPOOSSIICCIIÓÓNN.. ((CCOOMMBBIINNAACCIIOONNEESSLLIINNEEAALLEESSDDEESSOOLLUUCCIIOONNEESS)) CCAASSOODDEEEECCUUAACCIIOONNEESSNNOOHHOOMMOOGGÉÉNNEEAASS..

Suponga que 1 y es una solución de la ecuación diferencial 1 L y g x y que 2

y es

solución de la ecuación diferencial 2 L y g x donde L es un operador diferencial lineal.

Entonces para cualquier par de constantes 1c y 2

c la función 1 1 2 2 y c y c y también es una

solución de la ecuación diferencial

1 1 2 2 L y c g x c g x

SOLUCIÓN

Clase 6



17

FFUUNNCCIIÓÓNN CCOOMMPPLLEEMMEENNTTAARRIIAA..

En el teorema anterior notamos que la solución general de una ecuación lineal no homogéneaconsiste en la suma de dos funciones

1 1 2 2

c

n n p c p

y

y c y x c y x c y x y y y

Los primeros términos de esta ecuación se conocen como función complementaria c y

mientras que el último término p y se conoce como solución particular. La función

complementaria es la solución general de la ecuación homogénea asociada y la soluciónparticular es cualquier solución de la ecuación no homogénea libre de parámetros arbitrarios.

EEJJEEMMPPLLOO 1122:: SSOOLLUUCCIIÓÓNN GGEENNEERRAALLDDEEUUNNAA EECCUUAACCIIÓÓNN NNOO HHOOMMOOGGÉÉNNEEAA..

Dado que 1 p y x x es solución particular de 2 1 2 y y y x encuentre la solución

general de esta ecuación.

Ahora encontremos las raíces de esta ecuación. Si factoramos la ecuación auxiliar obtenemos

2 1 0m m

Por lo que la función complementaria es 2

1 2

x x

c y c e c e

Por tanto, la solución general es 2

1 2 1 x x

y x c e c e x

En el ejemplo anterior suponemos conocida la solución particular p

y . Este no siempre será el

caso. En la mayoría de situaciones habrá que calcular esta función.

SOOLLUUCCIIÓÓNN GGEENNEERRAALLDDEEUUNNAA EECCUUAACCIIÓÓNN NNOOHHOOMMOOGGÉÉNNEEAA..

Si p

y es alguna solución particular de una ecuación diferencial lineal no homogénea de n -

ésimo orden en un intervalo I y 1 2, , , n y y y es un conjunto fundamental de soluciones

de la ecuación diferencial homogénea asociada en I .Entonces, en el intervalo, lasolucióngeneral de la ecuación no homogénea es

1 1 2 2 n n p y c y x c y x c y x y

Donde1 2, , ,

nc c c son constantes arbitrarias.

SOLUCIÓN

La solución general es la suma de la función complementaria y lasolución particular. La primera es la solución de la ecuaciónhomogénea asociada 2 0 y y y . Esta tiene como

ecuación auxil iar a 22 0m m



18

VVAARRIIAACCIIÓÓNN DDEEPPAARRÁÁMMEETTRROOSS.. (descubierto por Joseph Lagrange en 1774)

Este método puede emplearse para determinar una solución particular de una ecuación nohomogénea. El procedimiento es el siguiente.

Para determinar una solución part icular p

y de y P x y Q x y g x

1. Escriba la ecuación en la forma estándar y P x y Q x y g x 2. Resuelva la ecuación homogénea asociada para obtener la solución complementaria

1 1 2 2c y c y x c y x . Recuerde que el conjunto 1 2, y x y x forman un

conjunto fundamental de soluciones.

3. Suponga que la función particular tiene la forma 1 1 2 2 p y u x y x u x y x

4. Determine 1 1yu x u x con

2 1

1 2

1 2 1 2, ,

g x y x g x y xu x dx y u x dx

W y y W y y

5. Sustituya 1 1yu x u x en la expresión de p

y para obtener la solución particular

6. Construya la solución general

EEJJEEMMPPLLOO 1133:: IILLUUSSTTRRAACCIIÓÓNN DDEELLMMÉÉTTOODDOO DDEEVVAARRIIAACCIIÓÓNN DDEEPPAARRÁÁMMEETTRROOSS..

Resolver la ecuación no homogénea 32 2 4 2 x y y y e usando el método de variación de

parámetros.

La ecuación homogénea asociada tiene como solución a 2

1 2

x x

c y c e c e

. De esta solución

nos interesan el par de funciones 2

1 2y x x y e y e .

El wronskiano de estas funciones está dado por2

2

2, 3

2

x x

x x x

x x

e eW e e e

e e

Ahora podemos calgular 1 1yu x u x

3

1

1 1

3 3 3

x x x x

x

e eu x dx e dx e

e

3 2

4 4

2

1 1

3 3 12

x x x x

x

e eu x dx e dx e

e

La solución general es 2 3

1 2

1

4

x x x y x c e c e e

SOLUCIÓN

Primero escribimos la ecuación en la forma estándar

32 x y y y e

La correspondiente ecuación homogénea es

2 0 y y y

2 41 1

3 12

x x x x

p y e e e e

3 3 31 1 1

3 12 4

x x x

p y e e e

Clase 7



19

Dado que 1 cos y x x es solución de

sin y y y x y 2

2

3

xe y x es solución de

2 x y y y e . Encuentre soluciones de cada una de

las siguientes ecuaciones diferenciales.

1. 5sin y y y x

2. 2sin 3 x y y y x e

3. 24sin 18 x y y y x e

Sean 2 4 L y y y , 1

1sin2

4

y x x y

2

1

4 8

x y x . Verifique que 1 cos2 L y x y

2 L y x . Utilice el principio de superposición para

encontrar soluciones de cada una de las siguientesecuaciones diferenciales.

4. cos2 L y x x

5. 11 12cos2 L y x x

6. 2 3cos 2 L y x x

7. 0 L y

En los siguientes ejercicios se da una ecuación nohomogénea y una solución particular de ella. Escriba lasolución general de la ecuación.

8. 1; p

y y y x

9. ; p

y y x y x

10. 2 1 2 ; 1 p

y y y x y x

11. 2

24 3 2 ;

t t

p

d x dx x e x te

dt dt

12. 2 4 4cos 2 0; sin 2 p

y y y x y x

13. 2

2sin ; cos

p

d d t t

dt dt

En los siguientes ejercicios encuentre la solucióngeneral de la ecuación diferencial empleando el métodode variación de parámetros.

14. 4 tan 2 y y x

15. 32 2 4 2 x y y y e


16. 12 x y y y x e

17. 3tan 1 x y y x e Sugerencia: utilice el principio de

superposición.

18. 23sec 1 y y x x

19. 4 2 tan 2 x y y x e

20. 25 6 18 y y y x

21. 44 sec 2 y y x



20

33..33 ECCUUAACCIIÓÓNN DDEE CAAUUCCHHYY--EUULLEERR

Un caso especial de ecuaciones con coeficientes variables es la ecuación de Cauchy-Euler quetiene la forma

22

20

d y dyax bx cy

dx dx

Para resolver esta ecuación existen dos métodos. El primero hace uso de la sustitución t x e ,

la cual transforma la ecuación en una ecuación con coeficientes constantes y con una nueva

variable independiente t . El segundo método consiste en suponer m y x lo cual conduce a

una ecuación auxil iar en m . Ilustraremos esta segunda alternativa.

Suponiendo una solución de la forma m y x obtenemos los siguientes resultados:

m y x

1m y mx

21

m y m m x

Sustituyendo en la ecuación de Cauchy-Euler

2 2 11 0

x m max m m x bxmx cx

1 0m m m

am m x bmx cx

1 0m

x am m bm c como 0m

x

20am am bm c

2 0am b a m c Ecuación Auxiliar.

Como en el caso de coeficientes constantes, podemos tener t res tipos de soluciones

CCAASSOO II:: RRAAÍ Í CCEESSRREEAALLEESSDDIISSTTIINNTTAASS

Raíces distintas:1 2ym m . En este caso la solución es 1 2

1 2

m m y c x c x

CCAASSOO IIII:: RRAAÍ Í CCEESSRREEAALLEESSRREEPPEETTIIDDAASS

Raíces repetidas: 1 2m m m . En este caso la solución es

1 2lnm m y c x c x x

Nota: el segundo término se obtiene utilizando la fórmula de reducción de orden.

CCAASSOO IIIIII:: RRAAÍ Í CCEESSCCOOMMPPLLEEJJAASS..

Raíces complejas: 1m i y 2

m i . En este caso la solución está dada por la

ecuación 1 2cos ln sin ln y x c x c x

Clase 8



21

EJJEEMMPPLLOO 1144:: EECCUUAACCIIÓÓNN DDEECCAAUUCCHHYY--EEUULLEERR.. RRAAIICCEESSDDIISSTTIINNTTAASS..

Resolver la ecuación 2 4 4 0 x y xy y

Por lo que las raíces resultan ser 1 24 y 1m m . La solución general es 4

1 2 y c x c x .

EEJJEEMMPPLLOO 1155:: EECCUUAACCIIÓÓNN DDEECCAAUUCCHHYY--EEUULLEERR.. RRAAIICCEESSCCOOMMPPLLEEJJAASS..

Resolver 2 3 6 0 x y xy y

La solución general es 2 2

1 2cos 2 ln sin 2 ln y c x x c x x

EEJJEEMMPPLLOO 1166:: EECCUUAACCIIÓÓNN DDEECCAAUUCCHHYY--EEUULLEERRDDEETTEERRCCEERROORRDDEENN..

Resolver 3 22 3 3 0 x y x y xy y

Sustituyendo en la ecuación dada obtenemos:

3 3 2 2 11 2 2 1 3 3 0m m m m

x m m m x x m m x xmx x

1 2 2 1 3 3 0m m m m m m

1 2 2 1 3 1 0m m m m m m

1 2 2 3 0m m m m

21 4 3 0m m m

1 3 1 0m m m de donde obtenemos las raíces1 2 3

1; 3; 1m m m

La solución general es

3

1 2 3ln y c x c x x c x

SOLUCIÓN

SOLUCIÓN

SOLUCIÓN

Al no disponer de una fórmula para ED de orden superior, intentamos la

solución m y x

1m y mx , 21

m y m m x

y 31 2

m y m m m x

La ecuación auxiliar resulta ser2

4 6 0m m con raíces1 2 2m i y 2 2 2m i

La ecuación auxiliar es 25 4 0m m que se puede factorar como

25 4 4 1 0m m m m



22 33..44 MMÉÉTTOODDOO DDEELLAANNUULLAADDOORR..

En la sección 3.1 se estudió el algebra de los operadores diferenciales lineales. En esta secciónnos interesa un tipo en especial de operador: el operador anulador.

Si L es un operador diferencial lineal con coeficientes constantes y f una función

suficientemente diferenciable tal que 0 L f x para todo x , entonces L es un anulador

de la función.

TTAABBLLAA 11:: AALLGGUUNNOOSSAANNUULLAADDOORREESS..

Función Anuladorm y x 1m

D

x y e D m x

y x e

1m

D

cos o sin y x y x 2 2 D

cos o sinm m y x x y x x 1

2 2m

D

cos o sin x x y e x y e x 2 2 22 D D o 2 2 D

cos o sinm x m x y x e x y x e x 1

2 2 22m

D D

o 1

2 2m

D

Algunos comentarios:

Una función dada puede tener más de un anulador. Por ejemplo cada uno de los

operadores 3 4 5, , , D D D anulan a 2 x . Más aun, las combinaciones lineales de ellos,

como 5 32 D D también la anulan. Estos anuladores, sin embargo, tienen algo en común:

son múltiplos de 3 D . Por ejemplo, 5 3 2 5 3 3 2; 2 2 D D D D D D D . Así, cuando

buscamos una anulador para una función dada, es usual preferir una elección lo mássimple posible; una que tenga el menor orden posible (anulador de orden mínimo). Así que

en el caso de 2 x , su anulador de orden mínimo es 3

D .

¿Cualquier función tiene anulador? La respuesta depende de qué tipo de operadores seadmitan. Hasta este momento solo hemos considerado anuladores con coeficientesconstantes. Si admitimos coeficientes no constantes en los operadores, cualquier función

que se pueda diferenciar también podremos anularla. Hemos visto que 21 D anula a

cos x , pero también tan D x es un anulador de esta función con coeficientes variables.


Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales.

5. 2 7 7 0 x y xy y

6. 22 6 8 0 x y xy y

7. 2

1 50 y y y

x x

8. 2 33 3 x y xy y x

1. 2 23 5 x y xy y x

2. 3 28 12 2 0 x y x y xy y

3. 3 2 8 4 0 x y x y xy y

4. 3 5 x y xy y

Clase 9



23

Ciertas funciones como ln y tan x x no tienen anuladores con coeficientes constantes. Las

únicas funciones que tienen anuladores con coeficientes constantes son aquellas funcionesque aparecen en la tabla 1. Tenga en cuenta que esta tabla no dice de qué manera sedeben combinar estos operadores para anular combinaciones lineales cuando los términosindividuales tienen diferentes anuladores de orden mínimo. la regla consiste en tomar unmúltiplo común de los anuladores de los términos individuales de orden mínimo.

EEJJEEMMPPLLOO 1177:: CCOONNSSTTRRUUCCCCIIÓÓNN DDEEAANNUULLAADDOORREESS..

Encuentre un operador diferencial que anule a a) 46 5 sin 2

x x xe e x

b) 2 3sin4

x x e x x x

24 D anula a 4

6x

xe

2

1 4 D anula a 5 sin 2 x

e x

Por tanto 2 2

4 1 4 L D D

anula a 46 5 sin 2

x x xe e x

Para obtener el anulador de la función 2 3sin4

x x e x x x notamos que

3

1 D anula a 2 x x e

2

216 D anula a sin4 x x

4 D anula a 3

x

Por lo que 23 2 3

1 16 D D D anula a 2 3sin4

x x e x x x .

RREELLAACCIIÓÓNN CCOONN LLAA EECCUUAACCIIÓÓNN AAUUXXIILLIIAARR..

Recordemos que una ecuación diferencial de coeficientes constantes se puede escribir,

uti lizando la notación D de la siguiente manera

20 0ay by cy aD bD c y

Resulta interesante comparar la ecuación en la notación D con la ecuación auxiliar2

0am bm c . Notamos de inmediato que ambas involucran la misma función polinomial,aunque los símbolos D y m representan objetos matemáticos muy diferentes. D representa eloperador de diferenciación y m es una cantidad que satisface la ecuación auxiliar. Sinembargo, el hecho de que las formas polinomiales sean las mismas es gran utilidad cuando

resolvemos ecuaciones diferenciales.

SOLUCIÓN



24

Una alternativa de operadores para calcular derivadas:

Suponga que se desea calcular una derivada de la forma

x D e f x donde es una constante y f una función derivable cualquiera.

Según la regla del producto el resultado es

x x x D e f x e f x e f x este resultado lo podemos reescribir como

x x x D e f x e f x f x e D f x finalmente

x x D e f x e D f x

UUSSOODDEEAANNUULLAADDOORREESSPPAARRAA RREESSOOLLVVEERRUUNNAA EEDD

A continuación se ilustra el método para resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas

utilizando el método del anulador.

EEJJEEMMPPLLOO 1188:: MMÉÉTTOODDOO DDEELLOOSSAANNUULLAADDOORREESS

Resolver, usando anuladores la ecuación 3 25 6 x y y y e x

A continuación aplicamos el anulador a ambos lados de la ecuación, teniendo el cuidado deescribir ésta en la notación D

3 2 3 3 23 5 6 3 x D D D D y D D e x

3 23 5 6 0 D D D D y note como hemos llegado a una EDLH

La ecuación auxiliar es:

3 2

asociados a asociados a

3 5 6 0

p c y y

m m m m Recuerde además que la solución de la ED es la suma de y

c p y y

(4)

SOLUCIÓN

El método inicia calculando el anulador de la función g x

3 D anula a 3 xe

3 D anula a 2

x , por lo tanto 33 D D anula a 3 2 x

e x



25

3 3 3 2 0m m m m

Los términos en corchetes generan a c y y el resto generan a p

y

Para c y :

Las raíces son 1 22 y 3m m

2 3

1 2

x x

c y c e c e

Para p y :

Las raíces son 3 0m (de multiplicidad 3) y 4 3m (de multiplicidad 2)

2 3

3 4 5 6

x

p y c c x c x c xe pero recuerde que p

y debe de estar libre de parámetros

arbitrarios y además satisfacer la ED dada. Así que tenemos que eliminar estos parámetros.

2 3

3 4 5 6

x

p y c c x c x c xe

3 3

4 5 6 62 3x x

p y c c x c xe c e

3 3 3

5 6 6 62 9 3 3 x x x

p y c c xe c e c e

Sustituyendo en la ecuación obtenemos

3 25 6

x

p p p y y y e x

3 3 3 3 3 2 3 3 2

5 6 6 6 4 5 6 6 3 4 5 62 9 3 3 5 2 3 6 x x x x x x xc c xe c e c e c c x c xe c e c c x c x c xe e x

Desarrollando los productos y agrupando términos adecuadamente obtenemos

3 2 3 2

6 6 6 5 4 5 5 4 39 15 6 6 6 10 2 5 6 x x

e c c c c x x c c c c c e x

3 2 3 2

6 5 4 5 5 4 36 6 10 2 5 6 x x

e c c x x c c c c c e x

Ahora igualamos los coeficientes respectivos

6 1c 56 1c 4 56 10 0c c 5 4 32 5 6 0c c c

Al resolver obtenemos:6 5 4 3

1 5 191

6 18 108c c c c

Entonces

2319 5

108 18 6

x

p

x

y x xe la solución general es c p y y y

22 3 3

1 2

19 5

108 18 6

x x x x y c e c e x xe

No existen términos para igualar



26

Referencias:

1. Nagle, R. Kent-Saff, Edward B., Fundamentos de Ecuaciones Diferenciales, 1992,Addison-Wesley Iberoamericana.

2. Ricardo, Henry, Ecuaciones Diferenciales: Una introducción Moderna, EditorialReverté.


En los siguientes ejercicios encuentre un operadordiferencial de orden mínimo que anule a la funcióndada

1. 24 5 2 x x

2. 4 22 11 x x

3. 9 xe

4. 26

x xe e

5. 2 2 x x e

6. 2sin2

x x e x

7. 2cos x

8. 3cos5

x xe x

9. 2 3sin4

x x e x x x

En los siguientes ejercicios utilice el método de losanuladores para determinar la solución general de laecuación dada.

10. 5 6 cos2 1 y y y x

11. 22 1 y y y x x

12. 22 2 cos x y y y e x x

13. 2 x y y y x e

14. 2 2 1 x y y y y e

15. 22 5 6 x y y y y e x

En los siguientes ejercicios determine la forma de unasolución part icular de la ecuación dada

16. 24 4 1 sin 1 x y y y e x

17. 22 2 x x y y y x e xe

18. 9 cos3 x y y x e x

19. 2 86 7 x x y y y x e x e

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03 EDO de Orden Superior Parte I-II