Cálculo II - MAT 102 Aux.: Gunnady R. Caro C.

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1. La carga en A genera una fuerza de 60 lb en el alambre AB. Exprese esta fuerza como un vector

cartesiano actuando en A y dirigido hacia B como se muestra en la figura 1.

Solución:

Coordenadas:

A = ( 0, 0, -10 )

B = ( 5 sen 30°, 5 cos 30°, 0 ) = ( 5

2,5√3

2, 0)

Ahora vamos a representar la fuerza en el alambre como un vector unitario multiplicado por

la magnitud de la tensión en el alambre:

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = ⟨ 5

2,5√3

2, 10⟩ = ⟨ 2.5, 4.33, 10 ⟩ → |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗| = 11.18

𝐹𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑇𝐴𝐵

𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

|𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗|= 60

⟨2.5,4.33,10⟩

11.18

𝐹𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = ⟨13.42, 23.24, 5367⟩

Vector cartesiano: 𝑭 = {𝟏𝟑. 𝟒𝟐 𝒊 + 𝟐𝟑. 𝟐𝟒 𝒋 + 𝟓𝟑𝟔𝟕 𝒌} 𝒍𝒃

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2. Determinar la magnitud y los ángulos coordenados de dirección de la fuerza F que actúa sobre la

estaca. Figura 2

Solución:

Por trigonometría, las componentes de la fuerza F son:

𝑡𝑎𝑛 (𝜃) =3

4 → 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 (

3

4) = 36.87°

𝐹𝑥 = 40 𝑐𝑜𝑠(70°) = 13.68 𝑁

𝐹𝑦 = 40 𝑠𝑒𝑛(70°) = 37.59 𝑁

𝐹𝑧 = 40 𝑡𝑎𝑛 (36.87°) = 30 𝑁

𝐹 = {13.68, 37.59, 30} 𝑁

entonces la magnitud de la fuerza será:

Fz

Fy

Fx

𝜃

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‖𝐹‖ = √𝐹𝑥2 + 𝐹𝑦2 + 𝐹𝑧2 = √13.682 + 37.592 + 302

‖𝑭‖ = 𝟓𝟎 𝑵

finalmente los ángulos coordenados de dirección de la fuerza serán:

𝛼 = 𝑐𝑜𝑠−1 (𝐹𝑥

‖𝐹‖) = 𝑐𝑜𝑠−1 (

13.68

50)

𝜶 = 𝟕𝟒. 𝟏𝟐°

𝛽 = 𝑐𝑜𝑠−1 (𝐹𝑦

‖𝐹‖) = 𝑐𝑜𝑠−1 (

37.59

50)

𝜷 = 𝟒𝟏. 𝟐𝟓°

𝛾 = 𝑐𝑜𝑠−1 (𝐹𝑧

‖𝐹‖) = 𝑐𝑜𝑠−1 (

30

50)

𝜸 = 𝟓𝟑. 𝟏𝟑°