APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

1. Se desconoce la tasa de crecimiento de cierta especie de bacteria, pero se supone que es constante. Al comenzar el experimento, se estim que haba alrededor de 1500 bacterias y una hora despus hay 2000. Cul sera su prediccin sobre el nmero de bacterias que habr al cabo de 4 horas despus de iniciado el experimento? Rta/.

2. Se tiene almacenado un istopo radiactivo en un laboratorio durante 10 aos, tiempo en el que se encuentra que contiene slo el 80% de su cantidad original de material radiactivo.a) Cul es la vida media de este istopo? Rta/. 31.063 aosb) En cuntos aos adicionales quedar slo 15% de la cantidad original? Rta/. 75.018 aos

3. La vida media del cobalto radiactivo es de 5.27 aos. Suponga que un accidente nuclear ha dejado que el nivel de cobalto radiactivo ascienda en cierta regin a 100 veces el nivel aceptable para la vida humana. Cunto tiempo pasar para que la regin vuelva a ser habitable?

4. La temperatura de un motor en el momento en que se apaga es 200C. La temperatura del aire que lo rodea es 30C. Despus de 10 minutos, la temperatura de la superficie del motor es 180C. Cunto tiempo debe pasar para que la temperatura del motor baje a 40C? Rta/. 226.4 minutos

5. La razn de cambio de una poblacin de lagartos en un pantano es proporcional al cuadrado de la poblacin. El pantano albergaba una docena de lagartos en 1998 y dos docenas en 2008. Cundo habr cuatro docenas de lagartos en el pantano? Qu sucede a partir de ese momento?

6. Suponga que en el instante inicial 10 mil personas en una ciudad con una poblacin de 100 mil personas ha escuchado cierto rumor. Despus de 1 semana el nmero de personas que ha escuchado el rumor ha aumentado a 20 mil. Suponiendo que la poblacin satisface la ecuacin logstica, cunto tiempo pasar para que el 80% de la poblacin haya escuchado el rumor?Rta/. Aproximadamente 4 semanas y 3 das

7. Suponga que cierta sal se disuelve en un solvente siendo el nmero de gramos de sal en solucin despus de segundos, de tal forma que se satisface la ecuacin logstica

a) Cul es la cantidad mxima de sal que se disolver en este solvente? Rta/. 200 gramos

b) Si cuando , cunto tiempo le tomar a 50 gramos adicionales de sal disolverse?

Rta/. segundos

8. Algunos experimentos han demostrado que cierta componente se enfra en el aire de acuerdo a la ley del enfriamiento con constante de proporcionalidad de 0.2. Al final de la primera etapa de procesamiento, la temperatura de la componente es 120 C. La componente se deja durante 10 minutos en un cuarto grande y despus pasa a la siguiente etapa de procesado. En ese momento se supone que la temperatura de la superficie es 60 C.a) Cul debe ser la temperatura del cuarto para que se lleve a cabo el enfriamiento deseado?

b) Suponga que las temperaturas de entrada y salida siguen establecidas en 120C y 60C, respectivamente, pero que el tiempo de espera en el cuarto es una constante. Encuentre la temperatura del cuarto deseado como una funcin de y haga una grfica.

9. El cuerpo de una vctima de un homicidio se encontr en una habitacin que se conserva a temperatura constante de 70F. A medioda la temperatura del cuerpo era de 80F y a la 1 p.m. era de 75F. Considere que la temperatura del cuerpo en el momento de la muerte era de 98.6F y que se ha enfriado de acuerdo a la ley de Newton. Cul fue la hora de la muerte? Rta/. Aproximadamente a las 10:30 a.m

10. El carbono extrado de una reliquia caracterstica de los tiempos de Cristo contena tomos de por gramo. El carbono extrado de un espcimen actual de la misma sustancia contiene tomos de por gramo. Calcule la edad aproximada de la reliquia. Cul es su opinin sobre la autenticidad de la reliquia?

11. Considere un tanque de 100 lleno de agua. El agua contiene un contaminante con una concentracin de 0.6 g/. Se bombea hacia el tanque bien mezclado agua ms limpia con una concentracin de contaminante de 0.15 g/, a una tasa de 5 . El agua fluye hacia afuera del tanque a travs de una vlvula a la misma tasa que se bombea hacia adentro.a) Determine la cantidad y concentracin del contaminante en el tanque como una funcin del tiempo. Grafique su resultado. Rta/. b) En qu momento ser la concentracin igual a 0.3 g/? Rta/. 22 segundos aproximadamente

12. Un lago con buena circulacin contiene 1000 kL de agua contaminada a una concentracin de 2 kg/kL. El agua del desage de una fbrica entra al lago a una tasa de 5 kL/h con una concentracin de 7 kg/kL de contaminante. El agua fluye por una tubera de salida a una tasa de 2 kL/h. Determine la cantidad y concentracin del contaminante como una funcin del tiempo.Rta/.

13. Un tanque de 120 galones contiene inicialmente 90 lb de sal disuelta en 90 gal de agua. Salmuera que contiene 2 lb/gal de sal fluye hacia el tanque a una tasa de 4 gal/min y la mezcla perfectamente revuelta fluye hacia fuera del tanque a una tasa de 3 gal/min. Cundo el tanque se llena cunta sal contiene? Rta/. 202 lb aproximadamente