ejercicios02

Tallersemana2(03-07.08.15)Ecuaciones

diferenciales

NRC:4232,4235(R

P)-4231

(CD)-4233

(EB)-4234

(CDO)

Barranquilla, August 5, 2015

Universidad del Norte

Division de ciencias basicas

Departamento de matematicas y estadisticas

Ecuaciones diferenciales - Taller 02

Ejercicios

Ejemplo 1

Resolver el siguiente PVI

ex−y√x3 +

1− 2y√x

e−y2 dy

dx= 0, y(0) = 1

Solucion

Tenemos

dy

dx= − ex−y

√x3

1 − 2y√x

e−y2= −exe−y

√x3√x

(1− 2y) e−y2= − exe−y

√x4

(1− 2y) e−y2= − ex x2 e−y

(1− 2y) e−y2

= − ex x2

(1 − 2y) e−y2ey= − ex x2

(1− 2y) e−y2+y.

Observe que la anterior ecuacion es de variables separables, entonces∫

(1− 2y) e−y2+ydy =

∫

ex x2 dx+ C

Usando la sustitucion u = −y2 + y, la primera integral es∫

(1− 2y) e−y2+ydy =

∫

eudy = eu = e−y2+y

y la segunda integral se resuelve usando integracion por partes∫

ex x2 dx = x2ex −∫

2xexdx = x2ex −(

2xex −∫

2exdx)

= x2ex −(

2xex − 2ex)

= ex(x2 − 2x+ 2)

por lo tanto la solucion general de la ecuacion diferencial es

e−y2+y = −ex(x2 − 2x+ 2) + C

Ahora encontremos el valor de C para determinar la solucion del PVI. En x = 0 tenemosy = 1, asi

e0 = −e0 · 2 + C ⇒ C = 3

NRC: 4232,4235 (RP) - 4231 (CD) - 4233 (EB) - 4234 (CDO)Prof. Catalina Domınguez - Prof. Ricardo Prato T.

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entonces la solucion al PVI es

e−y2+y = −ex(x2 − 2x+ 2) + 3

Ejemplo 2

Aplicando separacion de variables resuelva la EDO

sin(x+ y) dx+ sin y(csc x dy − cos x dx) = 0

Solucion

Recuerde: sin(α± β) := sin (α) cos (β)± cos (α) sin (β)

Aplicando la identidad de seno de una suma y multiplicando obtenemos

sin(x+ y) dx+ sin y(csc x dy − cosx dx) = 0

(sin x cos y + cosx sin y) dx+ sin y csc x dy − sin y cosx dx = 0

sin x cos y dx+ cosx sin y dx+ sin y csc x dy − sin y cosx dx = 0

sin x cos y dx+ sin y csc x dy = 0

Utilizando separacion de variables

sin x cos y dx = − sin y csc x dy

sin x

csc xdx = − sin y

cos ydy

sin2 x dx = − tan y dy∫

sin2 x dx = −∫

tan y dy + C

−1

2sin x cos x+

1

2x = ln (cos y) + C

La solucion en forma implicita toma la forma

ln (cos y) +1

2sin x cosx− 1

2x+ C = 0

o en forma explicita

y = arccos

(

exp

(

−1

2sin x cos x+

1

2x+ C

))


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Ejemplo 3

Determine los puntos crıticos y el esquema de fase de la EDO. ¿Se puede asegurar existenciade una solucion para el PVI? ¿La solucion del PVI es una solucion de equilibrio? Realice unbosquejo de la solucion del PVI

dy

dx=

ey − 9

ey

y(1) = 0

Solucion

Se puede ver la EDO de la formady

dx=

ey − 9

ey=: f(y). Por lo tanto, los puntos crıticos se

obtienen cuando f(y) = 0, esto es:

ey − 9

ey= 0 ⇒ ey − 9 = 0 ⇒ y = ln(9) Punto Crıtico: {ln(9)}

Claramente f(y) es continua, por lo que se puede suponer que en los dos intervalos (−∞, ln(9))y (ln(9),∞) la derivada dy

dxno cambia de signo, basta evaluar para obtener

Valores Signo Observacion(−∞, ln(9)) − y = g(x) es Decrecientey = ln(9) y = g(x) es Constante(ln(9),∞) + y = g(x) es Creciente

en el plano XY se puede observar este comportamiento de la forma siguiente

1

2

3

4

5

−1

1 2 3 4−1−2−3−4

y(x) = ln 9

Esquema de fase:

Puesto que en la funcion f(y) la variable x se asume tacita, se puede afirmar que f estadefinida para cualquier x en R, es decir,

f(x, y) = f(y) =ey − 9

ey


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es una funcion continua en R2, y por tanto se asegura la existencia de alguna solucion del

PVI

dy

dx=

ey − 9

ey

y(x0) = y0

para cualquier (x0, y0) ∈ R2; en especial para (x0, y0) = (1, 0) se cumple la afirmacion. El

bosquejo del PVI planteado inicialmente se presenta a continuacion

1

2

3

4

5

−1

1 2 3−1−2−3−4

y = ln 9

b(1, 0)

Observe que el bosquejo de la solucion debe pasar por el punto (1, 0), ser decreciente (segun elesquema de fase) y la funcion constante y(x) = ln 9 se comporta como una asintota horizontalde la solucion.

Ejemplo 4

Considere el siguiente PVI

dx

dy= x2 + x3 − 6 x

x(y0) = x0

(a) Determine una familia de soluciones para la EDO.

(b) Determine la solucion cuando (y0, x0) = (3, 2).

(c) Determine la solucion cuando (y0, x0) = (1, 1).

(d) Realice un bosquejo de las soluciones anteriores.

Solucion

(a) La EDOdx

dy= x2 + x3 − 6 x


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es autonoma y por tanto se puede resolver aplicando el metodo de separacion de variables,es decir se tiene

dx

dy= x2 + x3 − 6 x

1

x2 + x3 − 6 x

dx

dy= 1

∫

dx

x2 + x3 − 6 x=

∫

dy + C

Como x2 + x3 − 6 x = x(x2 + x − 6) = x(x + 3)(x − 2), entonces aplicando fraccionessimples en el lado izquierdo se obtiene que la familia de soluciones viene dada por

1

10ln (x− 2) +

1

15ln (x+ 3)− 1

6ln (x) = y + C

(b) Primero se analiza la existencia de soluciones constantes (o de equilibrio) de la EDO,estas se obtienen al resolver la ecuacion

x2 + x3 − 6 x = 0 ⇒ Puntos criticos:c = 0, 2,−3

entonces dichas soluciones son x(y) = 0, x(y) = 2 y x(y) = −3. Se observa que x(y) = 2es solucion del PVI (¿Por que?).

(c) El punto (1, 1) NO se encuentra sobre una solucion constante de la EDO, entonces debe-mos encontrar la solucion en la familia de soluciones de la parte (a). En este caso

1

10ln (1− 2) +

1

15ln (1 + 3)− 1

6ln (1) = 1 + C

1

15ln (4) = 1 + C

C =1

15ln (4)− 1

entonces la solucion viene dada por

1

10ln (x− 2) +

1

15ln (x+ 3)− 1

6ln (x) = y +

1

15ln (4)− 1


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(d) ¡Por favor, construya los detalles!

1

2

−1

1 2 3−1−2−3

b

1

2

−1

1 2 3−1−2−3

b

Ejemplo 5


dr

ds=

r2 + 2r − 8

r2 + 2r(s0) = r0

(a) Determine una la solucion general (familia de soluciones) para la EDO.

(b) Determine la solucion cuando (s0, r0) = (1, 1).

(c) Realice el bosquejo de la solucion del PVI cuando (s0, r0) = (0, 5).

Solucion

(a) Usando el metodo de separacion de variables

∫

r2 + 2

r2 + 2r − 8dr =

∫

ds+ c

Tenemos∫

r2 + 2

r2 + 2r − 8dr =

∫

dr +

∫ −2r + 10

r2 + 2r − 8dr

= r +

∫

1

r − 2− 3

r + 4dr

= r + ln |r − 2| − 3 ln |r + 4|

por lo tanto,r + ln |r − 2| − 3 ln |r + 4| = s+ c

(b) Si s = 1 y r = 1 entonces

c = 1− 1 + ln |1| − 3 ln |5| = 3 ln 5

ası r + ln |r − 2| − 3 ln |r + 4| = s− 3 ln 5


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(c) Bosquejo de la grafica (¡Por favor, construya los detalles!)

1

2

3

4

5

6

7

0 1 2 3 4 5−1−2−3−4−5−6−7−8

b

Ejercicios E1

Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales

1.ey

2

x dx+ (x2 + 1)y dy = 0

2.

ex+y sin x dx+ (2y + 1)e−y2 dy = 0

3.

x ln(xy)dx+ ln y(dy − x dx) = 0

4.dy

dx=

y2 − 9

x2 + 4

5.

(x2y2 + x2 + y2 + 1)dy

dx= (xy + x)

Respuestas Ejercicios E1

1. Explicita: y (x) = ±√

− ln (ln (x2 + 1) + C)

Implicita: ln(

x2 + 1)

− e−(y(x))2 = C

2. Explicita: y (x) = −1

2± 1

2

√

1− 4 ln

(

−1

2cos (x) ex +

1

2sin (x) ex + C

)

Implicita: − 1

2cos x ex +

1

2sin x ex − e−y(x)−(y(x))2 = C

4. Explicita: y (x) = −3Ce3 arctan( 1

2x) + 1

Ce3 arctan( 1

2x) − 1

Implicita: arctan

(

1

2x

)

− 1

3ln (−3 + y (x)) +

1

3ln (y (x) + 3) = C


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Ejercicios E2

Determine si se garantiza la existencia de una solucion para cada uno de los siguientes PVIs

1.{

y′ = 2x2y2

y(1) = 1

2.{

y′ = (t− y)1/2

y(2) = 2

3.

dr

dt=

(t2 − 1)1/2

(t2 − r)1/2

r(0) = 5

4.

dr

dt=

√

t2 − 1

t2 − rr(0) = 5

5.{

x′ = ln(9t2 − 4x2)

x(−1) = 1/2

6.{

y′ = x ln y

y(1) = 1

7.{

u′ = ln(u(v − 1))

y(−2) = −3

8.{

r′ = (r3 − t) ln(t2 − 1)

y(5) = −1


Respuesta 3: f(t, r) es continua en

D = {(t, r) | t2 − 1 ≥ 0 ∧ t2 − r > 0}

y como (0, 5) /∈ D no se garantiza laexistencia de una solucion del PVI. 1

2

3

4

5

6

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4−1−2−3−4

bc (0, 5)


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Respuesta 4:

D =

{

(t, r)∣

∣

∣

t2 − 1

t2 − r≥ 0

}

y como (0, 5) ∈ D se asegura la exis-tencia de una solucion del PVI.

1

2

3

4

5

−1

1 2 3 4−1−2−3−4

bc (0, 5)

h = 31.33

Respuesta 5: f(t, x) es continua en

D ={

(t, x)∣

∣

∣9t2 − 4x2 > 0

}

y (−1, 1/2) ∈ D por tanto asegura laexistencia de una solucion del PVI.

1

2

3

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4−1−2−3−4

bc(−1, 1/2)

Ejercicios E3

Determine las soluciones de equilibrio (si existen) de las siguientes ecuaciones diferenciales

1.

(x2 − 4)dy

dx+√

1− y2 = 0

2.dy

dx=

xy√

1 + y2

3.dy

dx= (x2 + 2x+ 1) ln y

4.dy

dx= ex+y cos(x)

5.

xeydy

dx= 2y3 − 3y2 − 3y + 2

6.dy

dx=

y4 − 1

ex + 1


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1. y(x) = 1 y y(x) = −1

3. y(x) = 1

4. No tiene

5. y(x) = 12, y(x) = −1, y(x) = 2

Ejercicios E4

En cada caso determine los puntos crıticos y el esquema de fase de la EDO. ¿Se puede asegurarla existencia de una solucion para el PVI? ¿La solucion del PVI es una solucion de equilibrio?Realice un bosquejo de la solucion del PVI

1.

dy

dx= y2(4− y2)

y(0) = 2

2.

dy

dx= 10 + 3y − y2

y(−2) = −5

3.

dy

dx=

ey − 9

ey

y(1) = ln 9

4.

dy

dx= y2 − y − 6

y(0) = −2


Respuesta 4: Puntos crıticos

y = 3 y y = −2

Valores Signo Observacion(−∞,−2) + Crecientey = −2 Constante(−2, 3) − Decrecientey = 3 Constante(3,∞) + Creciente

Se asegura la existencia de unasolucion del PVI y en este caso lasolucion de equilibrio y(x) = −2 esuna solucion del PVI.

1

2

3

4

5

−1

−2

−3

−4

−5

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5−0.5−1.0−1.5−2.0−2.5−3.0

bc


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Ejercicios E5


y′ = y2 − 1

y(2) = −1(1)

1. ¿Existe una solucion para el PVI? Justifique su respuesta.

2. Determine la solucion general explicita de la EDO asociada al PVI

3. ¿Existe algun valor de c tal que la solucion general resuelva el PVI? Justifique su re-spuesta.

4. ¿Cual es la solucion del PVI? (en caso que dicha solucion exista!)


2. Solucion general explicita:

y =1 + ce2x

1− ce2x, c ∈ R

3. No existe un valor de c.

4. Solucion del PVI y(x) = 1

Ejercicios E6

Encuentre la solucion de los siguientes problemas de valor inicial

1.{

x′ = (x3 + 4 x2 + x− 6) ln y

x(2) = −3

2.{

x′ = (x3 + 4 x2 + x− 6) ln y

x(2) = 2

3.{

x′ = (x4 − 1)y cos (y)

x(0) = −1

4.{

x′ = (x4 − 1)y cos (y)

x(0) = −2


En algunos ıtems no es necesario determinar la solucion general de la ED asociada. ¿Por que?

1.x(y) = −3

2.

y ln (y)− y − 1

12ln (x− 1)− 1

4ln (x+ 3) +

1

3ln (x+ 2)− 8

3ln (2) + 2 +

1

4ln (5) = 0


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(CDO)

3.x(y) = −1

4.

cos (y)+y sin (y)+1

4ln (x+ 1)−1

4ln (x− 1)+

1

2arctan (x)−1+

1

4ln (3)+

1

2arctan (2) = 0


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