Ejercicios03AN

7/24/2019 Ejercicios03AN

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Barranquilla, 14 de septiembre de 2015

Universidad del Norte

Division de Ingenieras

Analisis Numerico - Taller 03

Ejercicios E1

1. En el metodo del gradiente, muestre que

= rTnrn

rTnArn

es un mnimo del funcional

(xn+1) =1

2(xn+ rn)

TA(xn+ rn) (xn+ rn)Tb,

con respecto al valor constante .

2. En el metodo del gradiente precondicionado, muestre que

= zTnrn

zTnArn

es un mnimo del funcional con respecto al valor constante.

(xn+1) =1

2(xn+ zn)

TA(xn+ zn) (xn+ zn)Tb,

3. SiAx= b, muestre que

(y) = (x + (y x)) = (x) +1

2(y x)TA(y x),

4. Implemente el metodo del gradiente precondicionado (GP) para solucionar el sistemaAx= bdonde A es la matriz obtenida mediante los comandos

>> G= numgrid(N,n);

>> A = delsq(G)

ybes vector obtenido al ser x= 1 el vector solucion. Ademas, aplicando los siguientes metodos

a) metodo de Gauss-Seidel sin precondicionador (GS)

b) metodo de Gauss-Seidel precondicionado (GSP)

c) metodo del gradiente sin precondicionador (G)

d) metodo del gradiente precondicionado (GP)

e) metodo del gradiente conjugado (GC)

usando (si aplica) como precondicionador el polinomio de Neumann pN3 (A), resuelva el sistemaAx= b y complete la siguiente tabla

NRC: 1117Prof. Catalina Domnguez

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GS GSP (G) GP GC

n t t it t it t it t it

6

10

20

30

40

dondet se refiere al tiempo de ejecucion del programa e it se refiere al numero de iteracionesdel metodo. Que puede concluir?

5. La flexion transversal de un barra asumiendo pequenos desplazamientos es gobernada mediantela ecuacion diferencial de 4to orden

(EJ u)(x) =P(x), 0< x < L

donde u denota el desplazamiento vertical. Asumiendo que la barra tiene seccion rectangularde ancho w y profundidads,Jcorresponde al momento de inercia J=rs3/12 (m4) yEes elmodulo de Young (Kg/m2). Supongamos las siguientes condiciones de frontera

u(0) =u(L) = 0, u

(0) =u

(L) = 0

Al resolver numericamente el problema de valores de frontera mediante diferencias finitas, seintroduce los nodos de discretizacion

xj =jh, con h= L/N yj= 0, 1, . . . , N

y se sustituye en cada nodo xj la derivada de orden cuatro mediante la aproximacion pordiferencias centrales. Tomando

f(x) =P(x)/(EJ), fj =f(xj)

y denotandouhj la aproximacion al desplazamiento nodal de la barra en el nodo xj se obtiene

el sistema de ecuacionesuhj2 4u

hj1+ 6u

hj 4u

hj+1+ u

hj+2= h

4fj j= 2, . . . , N 2

uh0 =uh1 =u

hN1= u

hN= 0

(1)

Observe que las condiciones de frontera han sido impuestas en los primeros y ultimos dosnodos de la discretizacion, de ah que N 4. A partir de las (N3) ecuaciones en (1) seobtiene un sistema lineal de la forma Ax= b con A R(N3)(N3), x = (uh2 , u

h3 , . . . , u

hN2)

T

y b= (f2, f3, . . . , f N2)T

a) Muestre que A es pentadiagonal, simetrica definida positiva.

b) Usando una carga de P = 2,5kN, sobre una barra de acero de seccion cuadrada de 20mmde ancho y 60cm de largo, compare el tiempo de computo usando el comando ticy toc

de los siguientes algoritmos (vistos en clase)

eliminacion gaussiana (EG)

descomposicion de Cholesky (DC)

eliminacion gaussiana para matrices tridiagonales (ELT)

metodo iterativo de Jacobi (J)


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metodo iterativo de Gauss-Seidel (GS)

metodo del gradiente (MG)

metodo del gradiente precondicionado (MGP) (utilice P =D)

metodo del gradiente precondicionado (MGP) (utilice P1 =pN4 (A))

Metodo del gradiente conjugado (GC).

y complete la siguiente tabla, si aplica determine el numero de iteraciones para los metodositerativos.

(EG) t(DC) t(ELT) (J) (GS) (MG) (MPG) (GC)h t t t t it t it t it t it t it

donde t se refiere al tiempo de ejecucion del programa e it se refiere al numero deiteraciones del metodo. Que puede concluir?

Tarea 3

Puntos a entregar: 2,4,5. Debe entregar o colocar dentro de su documento losprogramas usados en la resolucion de los tems.

Fecha de entrega: Viernes, 25 de Septiembre de 2015.


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