ejercicios06

Tallersemana6(02.03.15-06.03.15)Ecuaciones

diferenciales

NRC:2997,3000(R

P)-2998,2999(C

D)-3001

(EB)

Barranquilla, September 8, 2015

Universidad del Norte

Division de ciencias basicas

Departamento de matematicas y estadisticas

Ecuaciones diferenciales - Taller Semana 06

Ejercicios

Ejemplo 1

La temperatura de una taza de cafe acabada de servir es de 80C. Un minuto despues se ha enfriadoa 75C en un cuarto que esta a 23C Cuanto tiempo debe transcurrir antes de que el cafe alcanceuna temperatura de 65C?

Solucion

Datos:

1. Temperatura en el tiempo inicial t = 0: T (0) = 80 C

2. Temperatura 1 minuto despues T (1) = 75 C

3. Ta = 23C

Modelo Matematico:

PVI:

dT

dt= k(T 23)

T (0) = 80Ademas T (1) = 75

Resolvamos la ecuacion diferencial mediante el metodo de variables separables1

(T 23) dt =

kdt+ C

ln |T 23| = kt+ C1T (t) = ektC + 23 (1)

Los valores de la constantes de proporcionalidad k y de integracion C deben determinarse de acuerdoa al problema planteado. El valor de C se obtiene usando la condicion inicial T (0) = 80 en la familiade soluciones (1)

80 = e0C + 23 entonces C = 57

El valor de k se obtiene usando T (1) = 75 y el valor de C calculado anteriormente

75 = 57ek + 23 entonces k = ln52

57 0.0918

asi, la solucion explicita del problema es

T (t) = 57e(ln52

57)t + 23 57e0.0918t + 23

NRC: 4232,4235 (RP) - 4231 (CD) - 4233 (EB) - 4234 (CDO)Prof. Catalina Domnguez - Prof. Ricardo Prato T.

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Ahora, determinemos cuanto tiempo necesita el cafe para alcanzar una temperatura de 65C

65 = 57e(ln52

57)t + 23 entonces t =

ln 4257ln 5257

3.3263min.

20

40

60

80

20 40 60 80

T=23C

b

(65, 3.3)

b

(25, 28.7)

Tarea: Cuanto tiempo tardara el cafe enllegar a la temperatura ambiente?

Observacion 1: RC Series Circuit (Consultar Zill)

E

R

C

Teniendo en cuenta que la cada de voltaje en el con-densador viene dada por q(t)C y en la resistencia porRi, el modelo de los circuitos en serie RC se obtieneutilizando la segunda ley de Kirchhoff y toma la forma

Ri(t) +1

Cq(t) = E(t)

donde C denota la capacitancia, R la resistencia, i(t)la corriente y q(t) la carga en el condensador,

Pero i(t) :=dq(t)

dt, entonces el modelo se puede ver

como la EDO lineal de primer orden

Rdq(t)

dt+

1

Cq(t) = E(t)


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Observacion 2: LR Series Circuit (Consultar Zill)

E

R

L

El modelo se puede ver como la EDO lineal de primerorden

Li(t)

dt+Ri = E(t)

Ejemplo 2

Una fuerza electromotriz de 100 voltios se aplica a un circuito RC en serie en el que la resistenciaes de 200 ohmios y la capacitancia es de 104 faradios. Determinar la carga q(t) en el capacitor siq(0) = 0. Encuentre la corriente i(t)

Esquema de la Solucion

Identifique las variables

(a) Voltaje: E = 100V

(b) Resistencia: R = 200

(c) Capacitancia: C = 104 f.

Identifique el modelo: Circuito RC

Rdq(t)

dt+

1

Cq(t) = E(t)

Reemplace valores y solucione el PVI resultante

200dq(t)

dt+

1

104q(t) = 100, q(0) = 0

Tarea: Compruebe que la solucion del PVI toma la forma

q (t) =1

100 1

100e50 t

Tarea: Calcule la corriente i(t) =dq

dt

Ejemplo 3

Una fuerza electromotriz de

E(t) =

{120, 0 t 200, t > 20


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es aplicada a un circuito LR en serie, en el cual la inductancia es de 20 henrios y la resistencia esde 2 ohmios. Encuentre la corriente i(t) si i(0) = 0.



(a) Voltaje:

E(t) =

{120, 0 t 200, t > 20


(c) Inductancia: L = 20h

Identifique el modelo: Circuito LR

Li(t)

dt+Ri = E(t)


20i(t)

dt+ 2i = E(t), i(0) = 0

Tarea: Compruebe que la solucion del PVI toma la forma

i (t) =

{60 60e1/10 t, 0 t 20(60e2 60)e1/10 t, t > 20

Ejemplo 4

A 200-volt electromotive force is applied to an RC series circuit in which the resistance is 1000ohms and the capacitance is 5 106 farad. Find the charge q(t) on the capacitor if i(0) = 0.4A.Determine the charge and current at t = 0.005s. Determine the charge as t.



(a) Voltaje: E(t) = 200V


(c) Capacitancia: C = 5 106 f Identifique el modelo: Circuito RC

Rdq(t)

dt+

1

Cq(t) = E(t)


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1000dq(t)

dt+

1

5 106 q(t) = 200, i(0) = 0.4

Tarea:

(i) Compruebe que la solucion de la EDO es de la forma

q (t) =1

1000+ Ce200 t

(ii) Calcule la corriente i(t) y a partir de esta informacion determine la solucion del PVI(Calcule la constante!)

(iii) Calcule la carga y la corriente en t = 0.005s

(iv) A que es igual limt

q(t)?

Problemas

1. La velocidad a la que un farmaco se difunde en el torrente sanguneo se rige por la ecuaciondiferencial

dx

dt= r kx

donde r y k son constantes positivas. La funcion x(t) describe la concentracion del farmacoen el torrente sanguneo en cualquier momento t. Encuentre el valor lmite de x(t) cuandot . En que tiempo se tiene la concentracion de la mitad del valor lmite? Suponga quex(0) = 0.

2. Un circuito en serie LR tiene un inductor de inductancia variable definido por

L(t) =

{1 t10 , 0 t 100, t > 10

encuentre la corriente i(t) si la resistencia es 0.2 ohmios, la tension aplicada es E(t) = 4, yi(0) = 0 . Grafique i(t).

3. Al sacar una torta del horno, su temperatura es de 150C. Tres minutos despues, su temper-atura es de 120C. Segun el modelo, Cuanto demorara en enfriarse hasta una temperaturaambiente de 35 C? Cuanto demorara en enfriarse hasta una temperatura de 34 C?

4. Agua a temperatura de 100C se enfra en 10 minutos a 80C, en un cuarto cuya temperatura esde 25C. Encuentre la temperatura del agua despues de 20 minutos. Cuando la temperaturasera de 40C y 26C?

5. Maria desea cocinar un pernil de res el cual se encuentra a temperatura ambiente de 30C, paraello lo introduce en un horno con una temperatura interna 180C, y trascurridos 30 minutos latemperatura interna del pernil aumenta 15C. Despues de permanecer una hora en el horno,Maria cambia el pernil a otro horno cuya temperatura interna supera en 50C al horno inicial,transcurridos una hora y 15 minutos la temperatura interna de la carne aumenta a 65C.Cuanto tiempo tardara el pernil en alcanzar una temperatura de 70C?, 80C.?


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6. El numero N(t) de supermercados del pas que estan usando sistemas de revision computa-rizados, donde t se mide en anos, se describe mediante el problema de valor inicial

dN

dt= N(1 0.0005N)

N(0) = 1

6. a Trace un bosquejo de la solucion del PVI.

6. b En 10 anos, Cuantas companas se espera que adopten la nueva tecnologia ?

6. c A un periodo largo, Cuantos supermercados se espera adopten el nuevo procedimiento?

7. Un modelo para la poblacion P (t) en un suburbio de una gran ciudad es el problema de valorinicial

dP

dt= P (101 107 P )

P (0) = 5000

donde t se mide en meses. Cual es el valor lmite de la poblacion ? En que momento lapoblacion es igual a la mitad de este valor?

8. Si de una pesquera se recolecta un numero constante h de peces por minuto, entonces unmodelo para la poblacion P (t) de la pesquera en el tiempo t es

dP

dt= P (a bP ) h

P (0) = P0

Suponga que a = 5, b = 1 y h = 4,

8. a Realice un bosquejo del PVI segun el valor de P0 y determine el comportamiento a largoplazo de la poblacion en cada caso.

8. b Resuelva el PVI

8. c En algun momento la poblacion de la pesquera se extingue en un tiempo finito? En casoafirmativo, calcule ese tiempo.

9. Un modelo simple para la forma de un tsunami o maremoto, esta dado por la siguiente ecuaciondiferencial

dW

dx= W

4 2W

donde W (x) > 0 es la altura de la ola expresada como funcion de su posicion respecto a unpunto en altamar.

9. a Por inspeccion, realice un bosquejo de las soluciones de la ED.

9. b Resuelva la ecuacion diferencial.

9. c Determine la solucion del PVI si W (0) = 1. Trace un bosquejo de la solucion del PVI.

10. En una reaccion quimica, una molecula de una sustancia A se combina con una molecula deuna sustancia B para formar una molecula de una sustancia C. Se sabe que la concentraciony(t) de la sustancia C en el instante t es la solucion del problema de valor inicial.

y = k(a y)(b y) con y(0) = 0


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donde k es una constante positiva, y a y b son las concentraciones iniciales de las sus-tancias A y B, respectivamente. Supongamos que k = 0.01, a = 70 milimones/litro yb = 50 milimones/litro. Determine y(t).

Respuestas

1. (a) limt

x(t) =r

k; (b) t = ln(2)k

2.

i(t) :=

{20 15 (10 + t)2 0 t 1020 t > 10

5

10

15

20

2 4 6 8 10 12 14 16

b

3. Segun el modelo, la torta nunca llegara a la temperatura ambiente, aunque despues de unlargo periodo de tiempo la temperatura estara muy cercana a la temperatura ambiente. Eneste caso limt T (t) = 35.

Despues de t = 3 ln(1/115)ln(17/23) 47.09 minutos la torta estara a 34C.

8. (b)

P (t) =4Ce3t 11 +Ce3t C =

P0 1P0 4

9. (b)

x+1

2ln(4 2W (x) + 2) 1

2ln(2 +

4 2W (x) ) + C = 0


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