ejercicios09

7/24/2019 ejercicios09

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lersemana09(21-24.09.15)Ecuacio

nesdiferenciales

NRC

:4232,4235(RP)-

4231(CD)-4233

(EB)-4234(CDO)

Barranquilla, 22 de septiembre de 2015

UNIVERSIDAD DELNORTEDIVISIN DE CIENCIAS BSICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMTICAS Y ESTADSTICASECUACIONES DIFERENCIALES- TALLER09

EJERCICIOS

Ejemplo 1

Resolver utilizando el mtodo de variacin de parmetros la EDO

y 2y +y = 4x2 3+x1ex

Solucin

Paso I: Resolver la ecuacin homognea asociada:

La ecuacin caracterstica de la homognea asociada es

r2 2r+1 = 0

cuya razr = 1tiene multiplicidad 2entonces

yc = c1ex +c2xe

x

Paso II: Normalizar la ecuacin

En este ejemplo la EDO ya esta normalizada, por lo tanto

y 2y +y = 4x2 3+x1ex =f(x)

Paso III: Solucionar el sistema

y1u1+y2u2 =0

y 1u1+y

2u

2 =f(x)

Se definen

W=

ex xex

ex (x+1)ex

, W1 =

0 xex

f(x) (x+1)ex

, W2 =ex 0

ex f(x)

Parau1se tiene que

u1 =W1

W =

xexf(x)

e2x = xex(4x2 3+x1ex) = (4x3ex 3xex +1)

entonces

u1 =

(4x3ex 3xex +1) dx= 4 x3ex +12 x2ex +21 xex +21 ex x

NRC: 4232,4235 (RP) - 4231 (CD) - 4233 (EB) - 4234 (CDO)Prof. Catalina Domnguez - Prof. Ricardo Prato T.

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(EB)-4234(CDO)

Paso II: Normalizar la ecuacin

Se tiene al normalizar la EDO

x3y +4x2y + xy y = x

que

y + 41

xy +

1

x2y

1

x3y=

1

x2=:f(x)


y1u1+y2u

2+ y3u

3 =0

y 1u1+y

2u

2+ y

3u

3 =0

y 1u1+y

2u

2+y

3u

3 =f(x)

Utilizando el mtodo de Cramer para la solucin del sistema dado se tienen los siguientesdeterminantes

W=

x x1 x1 ln x

1 x2 ( ln x+1)x2

0 2 x3 (2 ln x3)x3

W1 =

0 x1 x1 ln x

0 x2 ( ln x+1)x2

x2 2 x3 (2 ln x3)x3

W2 =

x 0 x1 ln x

1 0 ( ln x+1)x2

0 x2 (2 ln x3)x3

W3 =

x x1 0

1 x2 0

0 2 x3 x2

los cuales son resueltos aplicando Sarrus, por ejemplo para el Wronskiano consideramos:

+ + +

- - -

x x1 x1 ln x

1 x2 ( ln x+1)x2

0 2 x3 (2 ln x3)x3

x x1

1 x2

0 2 x3

=+xx2 (2 ln x3)x3+x1 ( ln x+1)x2 0+x1 ln x12 x3

0x2

x1

ln x2 x3

( ln x+1)x2

x(2 ln x3)x3

1x1

= (2 ln x3)x4 +2 x4 ln x2( ln x+1)x4 (2 ln x3)x4

=4x4


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Ejemplo 3

Encuentre la solucin general de la ecuacin

x2y +xy +

x2 1

4

y= x3/2 cos x

dado quey(x) =x1/2 cos xes solucin de la ecuacin homognea asociada.

SolucinPaso I: Resolver la ecuacin homognea asociada:

Claramente la EDOno es de coeficientes constantes ni de Cauchy-Euler. Pero se tiene la in-formacin de una de sus soluciones. Para encontrar la otra solucin se aplicareduccin deorden

Paso I(a): Normalizar la ecuacin

y + 1

x

P(x)

y +

1 1

4x2

y= x

12cos x=:f(x)

Paso I(b): Reduccin de orden

P(x) dx=

1

xdx =ln x e P(x)dx = 1

x

eP(x)dx

y21=

1

x(x1/2 cos x)2

=sec2 x eP(x)dx

y21dx=

sec2 x dx=tan x

y2(x) =y1(x)

eP(x)dx

y21(x)dx= x1/2 sin x

Paso I(c): Solucin general de la homognea asociada

y(x) =c1x1/2 cos x+c2x1/2 sin x


y1u1+y2u

2 =0

y 1u1+y 2u2 =f(x)Parau1se tiene que

W1 =

0 x1/2 sin x

f(x) 12

sinxx3/2

+ cosxx

= sin x cos x

x W2 =

x1/2 cos 0

12

cosxx3/2

sinxx

f(x)

=cos2 x

x


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(EB)-4234(CDO)

W=

x1/2 cos x x1/2 sin x

12cosxx3/2

sinxx

12sinxx3/2

+ cosxx

= 1

x

u1 =W1

W =

sinx cosxx1x

= sin x cos x u1 =

sin x cos x dx=1

2cos2 x

De otra parte,

u2 = W2

W =

cos2 xx1x

=cos2 x u2 = 12

sin x cos x+1

2x

En conclusin, la solucin general esta dada por

y= yc+yp=yc+y1u1 + y2u2

=c1cos (x) +c2sin (x)

x

+1

2

cos (x) + sin(x)xx

Grupo de ejercicios E1

Resolver las siguientes EDO no homogneas usando el mtodo de variacin de parmetros

1. y +3y +2y = 4ex

2. y 4y +4y = 2e2x

3. y +4y =sin2 x

4. y +9y = 2 sec 3x

5. y 4y = xex

6. y 2y +y = x2ex

7. 4x2y 4xy +3y = 8x4/3

8. y +3y + 3y + y = ex

9. y y 2y = x2

10. y +4y = tan 2x

11. 24x3y +46x2y +7xy y = 24x3

12. 2x3y + x2y = 3x2 1

13. x4y + x3y 4x2y= 1


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Respuestas seleccionadas E1

1. y= c1ex +c2e2x + 23ex

2. y=e2x (c1+c2x) +x2e2x

3. y= c1 cos (2 x) +c2 sin (2 x) 14 sin x (x cos xsin x)

4. y= c1 cos (3 x) +c2 sin (3 x)+ 29 ln (cos (3 x)) cos (3 x) +

23x sin (3 x)

5. y= c1e2x +c2e2x 19ex (2+3 x)

6. y=ex (c1+c2x) ex (ln (x) +1)

7. y= c1x3/2 +c2

x 725

x4/3

8. y=ex

c1+c2x+c3x2

+ 16x3ex

9. y= c1+c2e2x +c3ex 16x3 + 58

34x+

14x

2

10. y= c1+c2 cos (2 x) +c3 sin (2 x) + 18 1

8 ln (cos (2 x)) 1

8sin (2 x) ln

1+sin(2x)

cos(2x)

11. y= c1 3

x+c2

x+c3 4

x+ 355x3

12. y= c1+c2x+c3x3/2 + 32x2 13 ln (x)

59

13. y= c1x4 +c2

x2

1

16

1+4ln (x)x2

Grupo de ejercicios E2

Encuentre la solucin general de las siguientes EDOs, dado quey1(x)es solucin de la homogneaasociada.

1. (x2 1)y 2xy + 2y = (x2 1)2,y1(x) =x

2. y + (tan x)y 6(cot2 x)y=cos2 x,y1(x) =2 sin3 x

3. (x4 x2)y (3x3 x)y +8y = (x2 1)2,y1(x) =x4

4. (x4 +x2)y (x3 x)y 4y = (x2 +1)2,y1(x) =x2

Respuestas seleccionadas E2

1. y= c1x+c2+c2x2 12x2 + 16x

4

2. y= c1(sin (x))5

+c2

(sin (x))2 14 (sin (x))

2

3. y= c1x6 +3 c2x

2 2 c2

x

2 + 18

14x

2

4. y= c1x4 +c2+2 c2x

2

x2 + 12 ln (x) x

2 14 14x

2


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