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Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del
Instituto Politécnico Nacional
Unidad Zacatenco
Departamento de Matemática Educativa
El desarrollo del pensamiento algebraico, la visualización en el caso de los patrones
Tesis que presenta
Sergio Damián Chalé Can
para obtener el Grado de
Maestro en Ciencias en la
Especialidad de Matemática Educativa
Directora de la Tesis: Dra. Claudia Margarita Acuña Soto
México, Distrito Federal Julio de 2013
Agradezco al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT) el apoyo
financiero brindado a través de la Beca otorgada durante mis estudios.
Número de Becario: 372016
Tabla de contenido
Resumen ............................................................................................................. VII
Capítulo I Antecedentes ......................................................................................1
I.1. La investigación en álgebra ...........................................................................3
I.2. El álgebra como una generalización .............................................................5
I.3. Otras investigaciones y sus enfoques ...........................................................7
I.4. Dificultades reportadas ...............................................................................12
I.5. El problema .................................................................................................13
Capítulo II El Marco Teórico .............................................................................17
II.1. La Teoría de la Objetivación ......................................................................19
II.2. El pensamiento algebraico .........................................................................20
II.3. La generalización de patrones ...................................................................22
II.4. La visualización ..........................................................................................27
II.5. Síntesis ...................................................................................................... 36
II.6. Preguntas de investigación ........................................................................38
Capítulo III El Método .........................................................................................39
III.1. Consideraciones iniciales ..........................................................................41
III.2. Los participantes de la investigación .........................................................42
III.3. Acerca de las actividades propuestas .......................................................44
III.4. La actividad en clase .................................................................................47
Capítulo IV Análisis de los datos ......................................................................49
IV.1. Introducción ..............................................................................................51
IV.2. Análisis de las Actividades ........................................................................53
IV.2.1. Actividad I.1 ....................................................................................53
IV.2.2. Actividad I.3 ....................................................................................56
IV.2.3. Actividad II.4 ...................................................................................61
IV.2.4. Actividad II.6 ................................................................................... 65
IV.2.5. Actividad III.8 ..................................................................................67
Capítulo V Discusión y Conclusiones ..............................................................75
V.1. Discusión ...................................................................................................77
V.2. Conclusiones y perspectivas .....................................................................82
Bibliografía .........................................................................................................85
Anexos ................................................................................................................91
Resumen
En el currículum actual mexicano de secundaria y preparatoria, la introducción al
álgebra se sugiere a partir de la generalización de secuencias numéricas y
geométricas, en las que el estudiante necesita identificar la regla que modela su
crecimiento y establecer una fórmula de ésta en términos algebraicos.
La importancia del tema, radica en que la capacidad de razonar algebraicamente y
lograr cierto grado generalización es básica para la formación del estudiante, ya
que ésta última es parte esencial de la naturaleza de la matemática y es una
característica básica de la misma.
El objetivo de este trabajo fue indagar cómo los estudiantes del Nivel Medio
Superior, analizan el crecimiento de las secuencias, con base en representaciones
gráficas, así como la forma en que expresan algebraicamente la regla que
subyace a la secuencia; teniendo como supuesto que el análisis visual organizado
de las secuencias puede contribuir a la detección, formulación y generalización de
patrones.
A partir de los elementos teóricos de la Teoría de la Objetivación y la Teoría de la
Representaciones Semióticas construimos una herramienta con la cual
identificamos y clasificamos diferentes papeles de la visualización durante la
generalización de patrones.
Identificamos tres papeles distintos que juega la visualización durante el desarrollo
de la generalización de patrones: visualización de estructura numérica, de relación
contextual y de organización simbólica. Al mismo tiempo, identificamos algunas
dificultades a las que los estudiantes se enfrentan cuando resuelven este tipo de
tareas. Al final proponemos algunas directrices que podrían seguir trabajos
futuros, profundizando acerca de la organización simbólica, como una forma de
desarrollar el pensamiento algebraico.
Abstract
In the Mexican current curriculum for middle and high school, introduction to
algebra is suggested from the generalization of numerical and geometric
sequences in which the student needs to identify the rule that models its growth
and establish a formula for this in algebraic terms.
The importance of the subject is that the ability to reason algebraically and achieve
some generalization is essential for the formation of the student, and the latter is
an essential part of the nature of mathematics and is a basic feature of it.
The aim of this study was to investigate how Higher standard level students
analyze the growth of the sequences based on graphs and the way they express
algebraically the rule underlying the sequence, taking as a given that the organized
visual analysis of sequences may contribute to the detection, formulation and
generalization of patterns.
From the theoretical elements of Objectification Theory and Semiotics
Representation´s Theory build a tool with which to identify and classify the different
roles of the display for the generalization of patterns.
We identify three different roles that visualization plays in the development of
generalization of patterns: numerical structure visualization, contextual relation and
symbolic organization. At the same time, we identify some difficulties that students
encounter when solving these tasks. At the end we propose some guidelines for
future work that could follow, as deeply about the symbolic organization as a way
to develop algebraic thinking.
Capítulo I Antecedentes
En esta primera sección, exponemos los antecedentes de nuestra
investigación, que se apoyan en la revisión de la literatura relativa al tema de
secuencias y patrones algebraicos.
La revisión realizada, nos proporcionó un amplio espectro acerca del tema
abordado, lo que contribuyó a dirigir este trabajo hacia la idea relacionada con
la generalización en álgebra y su expresión.
De aquí en adelante trataremos los aspectos que hemos denominado: La
investigación en álgebra, El álgebra como una generalización, Otras
investigaciones y finalmente plateamos El problema de investigación.
Capítulo I Antecedentes
Capítulo I Antecedentes
I. 1. La investigación en álgebra
La enseñanza y aprendizaje del álgebra ha sido siempre un tema relevante en la
investigación en Matemática Educativa. Grupos como el PME (Psychology of
Mathematics Education) desde su primera reunión anual en 1977 hasta su última
reunión en del 2011, han dedicado espacios en su organización para trabajar y
reflexionar acerca de este tema (Kieran, 2006).
La citada autora, al realizar una revisión de los trabajos realizados durante los
pasados treinta años en el seno del PME, identifica tres grupos de temas
analizados, los cuales organiza cronológicamente. A continuación brevemente
describiremos cada uno de los tres grupos que la autora identifica; para
profundizar en el análisis de los enfoques y resultados relevantes en la producción
de la investigación en álgebra, recomendamos revisar (Kieran, 2006).
La autora considera que la investigación temprana en álgebra, iniciada en los años
70’s, se enfocaba en el estudio de la construcción de los conceptos algebraicos y
sus procedimientos, en la resolución de problemas con palabras, y las dificultades
de los estudiantes al transitar de la aritmética al álgebra. La mayoría de los
estudios de esa época se centraron en el desarrollo de la simbolización en los
estudiantes, y otros, en mostrar al álgebra como una generalización de la
aritmética. En esta última postura, el significado del álgebra estaría derivado de las
relaciones numéricas fundamentales, entonces, se esperaba que los estudiantes
pudieran aprender a ver estructuras similares y equivalentes en las expresiones
algebraicas a las que se encuentran en la aritmética. Sin embargo, debido a que
los signos y los símbolos en álgebra son interpretados de manera diferente que en
la aritmética, se hallaron dificultades de índole cognitivo para que los estudiantes
pudieran acceder al pensamiento algebraico bajo esas consideraciones.
A partir de los años 80’s hasta nuestros días, con el desarrollo de la tecnología y
la posibilidad de contar con diversas representaciones de los objetos matemáticos,
concretamente de los algebraicos, se realizaron estudios centrados en la
influencia de estas representaciones, usando las herramientas tecnológicas, a
Capítulo I Antecedentes
partir de lo cual se desarrollaron diferentes perspectivas acerca del contenido del
álgebra, lo que provocó una amplia variedad de marcos teóricos acerca de la
enseñanza y aprendizaje de esta rama de la matemática. La investigación dejó de
centrarse solamente en el estudio de ecuaciones y su resolución, creció el interés
por las funciones y el estudio de la variación y el cambio, así como la inclusión de
problemas del mundo real, y adicionalmente, la generalización llegó a ser centro
de atención en las investigaciones realizadas en este periodo.
Durante los 90’s, la investigación se centró en abarcar temas relacionados con el
pensamiento algebraico entre los estudiantes de la escuela elemental,
considerando las prácticas del profesor, así como la enseñanza y aprendizaje del
álgebra dentro de entornos que incluían modelos dinámicos de situaciones físicas.
Durante los 90’s, un cambio adicional ocurrió en la producción de la investigación.
La perspectiva teórica socio-cultural, fue desarrollada fuera del grupo PME, que
posteriormente fue apareciendo dentro de ésta. Las investigaciones de éste tipo
se centraron en analizar los factores sociales que afectan el aprendizaje del
álgebra, acompañado de un interés por el papel mediador de las herramientas
culturales. Este cambio también provocó el incremento de estudios situados en el
salón de clase, centrados en el discurso profesor-estudiante y estudiante-profesor.
Al mismo tiempo, esta postura dirigió a las investigaciones hacia el planteamiento
de nuevos temas acerca de la naturaleza del aprendizaje y el rol de los diferentes
participantes en el salón de clase.
De ésta revisión, podemos señalar que los temas descritos aún pueden ser
encontrados en las investigaciones actuales, con importantes cambios respecto a
su análisis. En cada nueva fase de la investigación, se incorporan temas, para
ampliar el alcance de las explicaciones del aprendizaje y enseñanza del álgebra
(Kieran, 2006).
En el núcleo de las tendencias de investigación del PME, está el tema de la
construcción del significado. A través de los años, la investigación en el terreno del
álgebra ha sufrido diversos cambios, pasando de considerar a “las letras” como
Capítulo I Antecedentes
centrales en la construcción de pensamiento algebraico a “las representaciones”
en entornos dinámicos. Este cambio, muestra que una evolución ha ocurrido
respecto a los recursos con los cuales se estudia el significado en la investigación
del aprendizaje del álgebra.
Las investigaciones conducidas en el transcurso de los últimos 30 años, cuyo
bosquejo anterior es incompleto y sucinto, trataron de responder la inevitable y
difícil pregunta ¿cuál es la naturaleza del pensamiento algebraico?
En este trabajo, no tenemos una respuesta que de por terminada la cuestión
anterior, pero sí consideramos que se ha llegado a establecer importantes
contribuciones que nos ayudan a comprender la situación. Y si todavía no
tenemos una definición precisa y concisa de lo que debe entenderse por
pensamiento algebraico, se debe a la amplia gama de objetos algebraicos
(ecuaciones, funciones, patrones…) y procesos (simplificación, inversión)
analizados, así como a las diversas formas de concebir el pensamiento en general
(Radford, 2006a). Sin embargo, con la producción actual de investigaciones en
este tema, ampliamos nuestra aproximación al problema y vamos aclarando los
elementos involucrados.
I. 2. El álgebra como una generalización
La capacidad de razonar algebraicamente es básica en la formación futura de los
estudiantes y en las oportunidades que a ellos se les presente, es por ello que es
un tema central en la educación. Lo anterior se ve especialmente reflejado en los
planes y programas de estudio de la Secretaría de Educación Pública de México
(SEP, 2010 & 2011).
En tales planes, dentro del eje llamado Sentido numérico y pensamiento
algebraico, se pide que el estudiante al finalizar la educación media básica, sea
capaz de “resolver problemas que impliquen expresar y utilizar la regla general
lineal o cuadrática de una sucesión de números” (SEP, 2011, p. 16) buscando con
esto desarrollar la capacidad de generalizar propiedades aritméticas mediante el
Capítulo I Antecedentes
uso del álgebra y la puesta en juego de diferentes formas de representar y realizar
cálculos.
Durante los tres niveles de educación secundaria, el eje Sentido numérico y
pensamiento algebraico, es el que rige los aprendizajes esperados de cada uno de
los tres grados escolares en ésta área. En el primer grado el aprendizaje esperado
es que el estudiante sea capaz de “representar sucesiones de números o de
figuras a partir de una regla dada y viceversa”, y como objetivo final “la obtención
de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión
geométrica”. Los aprendizajes esperados en el segundo grado coinciden con los
del primer año. En el tercer grado se espera que “en casos sencillos se utilicen
expresiones generales cuadráticas para definir el enésimo término de una
sucesión”, esperando con esto la obtención de una expresión general cuadrática
(SEP, 2011). En general podemos decir que se busca, a través de la
generalización el acceso o desarrollo del pensamiento algebraico, a través de la
obtención de una regla general.
En el presente trabajo estamos interesados en investigar acerca del álgebra como
generalización matemática, tópico en el que deseamos ser más precisos, y al cual
Kieran (2006) dedica una sección en su trabajo anteriormente mencionado, en el
que afirma lo siguiente:
El álgebra como generalización es una perspectiva que tuvo sus raíces en el PME,
iniciando en las investigaciones que analizaban el uso de la notación algebraica
como herramienta para expresar pruebas. La posición de que la generalización es
una ruta hacia el álgebra fue desarrollada por Mason, Graham, Pimm y Gowar
(1985, citados por Kieran, 2006, p. 19) a mediados de los 80’s. Un primer
acercamiento a este problema, fue analizar el uso de la notación algebraica como
una herramienta para expresar lo general, los términos de patrones gráficos y para
justificar afirmaciones generales acerca de cierto tipo de números, teniendo como
resultado que pocos estudiantes usaban el álgebra o apreciaban las posibilidades
que ésta les permitía. MacGregor & Stacey (1993 citados por Kieran, 2006, p.19),
Capítulo I Antecedentes
reportan algo semejante a lo anterior, afirman que los estudiantes tienen cierta
incapacidad para articular claramente la estructura de un patrón o relación usando
lenguaje ordinario.
Por otro lado Healy & Hoyles (1999), han señalado que la aproximación visual en
tareas que involucran la generalización, puede proveer fuertes bases para la
representación de secuencias y el desarrollo de un marco conceptual para las
funciones, pero enfatizan que hay una necesidad de trabajar fuertemente para
conectar los números observados en el patrón y la forma simbólica.
En Mason (1996, citado por Kieran, 2006, p. 20), se realiza una revisión de las
prácticas establecidas en la escuela que involucran generalización de patrones en
el álgebra. En ésta revisión se revela que el estudio de los patrones inicia con
figuras o secuencias geométricas, pero durante la solución de las tareas, el
énfasis se pone en la construcción de tablas de valores, de las cuales se abstrae
una fórmula. Esta aproximación, deja de lado toda la riqueza del proceso de
generalización, y limita la forma como los estudiantes pueden llegar a identificar la
relación del patrón y su representación algebraica. Mason sugiere que deben
promoverse e investigarse aproximaciones que lleven a los estudiantes a la
construcción de fórmulas algebraicas, que incluyan la visualización y la
manipulación de la figura sobre la cual el proceso de generalización se basa.
I. 3. Otras investigaciones y sus enfoques
La investigación en Matemática Educativa, ha demostrado que la generalización
de patrones puede ser una ruta hacia el desarrollo del pensamiento algebraico
(MacGregor & Stacey, 1992 citado por Radford, 2000, p. 237). Varias experiencias
han sido reportadas bajo la hipótesis de que la generalización de patrones
numéricos y la formulación simbólica de relaciones entre las variables podrían
llevar a los estudiantes a desarrollar las capacidades necesarias para el desarrollo
de la generalización algebraica (Stylianou, 2011; Bell, 2011; Beigie, 2011;
Johanning, 2011; Friel & Markworth, 2009; Smith, Hillen & Catania, 2007; Lee &
Freiman, 2006; Rivera & Rossi, 2005).
Capítulo I Antecedentes
El tema de la generalización de patrones se ha analizado desde diferentes puntos
de vista, como por ejemplo, el que se refiere a las actividades que los profesores
desarrollan cuando se enfrentan a este tipo de problemas y cómo aprovechan esta
herramienta para ayudar a sus estudiantes a acceder a la generalización.
Por ejemplo, en Bell (2011) se afirma que para muchos profesores en formación,
es usual tratar con patrones de números que representan una secuencia
aritmética, y ellos son capaces de determinar la representación general del
enésimo término de la secuencia. Sin embargo, para los profesores, no es fácil
realizar la conexión entre la representación gráfica y simbólica del patrón, cuando
se les presenta patrones que requieren de un tratamiento visual en lugar de darles
una secuencia numérica. Bell, muestra que explorando una variedad de patrones
de números en un contexto visual, los profesores, ganan una comprensión más
profunda de las secuencias aritméticas. Aprenden cómo relacionar la
representación gráfica de carácter geométrico de la secuencia y la representación
simbólica general de un patrón a través de la comunicación y creación de
conexiones, desarrollando y analizando representaciones. Al final concluye que,
para estos profesores, el recurso visual fue importante, ya que les permitió dar
explicaciones y justificaciones de sus acciones.
En otro contexto, Lee & Freiman (2006), desarrollaron un trabajo en el que se
afirma que la exploración de patrones es una actividad central en toda la
matemática y las ciencias en general. Aseguran que el enfrentamiento temprano
con tareas en las que se pide intentar expresar patrones matemáticamente, es una
excelente herramienta para aprender el lenguaje algebraico y participar en
actividades relacionadas con él.
Los autores, analizan cómo los profesores aprovechan el trabajo con patrones,
para desarrollar el futuro pensamiento algebraico e introducir el estudio formal del
álgebra en la escuela media. Lo anterior, mediante el análisis de las preguntas que
comúnmente realizan los profesores, y proponen un conjunto de “buenas”
Capítulo I Antecedentes
preguntas que los profesores tendrían que estar haciendo a sus estudiantes para
desarrollar el aprendizaje en esa dirección.
En un primer acercamiento a la introducción del tema, otros autores, se han
enfocado en analizar el trabajo empírico con herramientas tales como fichas o
bloques; otros, a estudiar la relación entre las secuencias numéricas y las
secuencias geométricas. Como ejemplo de lo anterior mencionamos a:
En Smith, Hillen & Catania (2007), se realizó un estudio en el que se mostró que
las tareas asociadas con los patrones geométricos, pueden ser usadas como
herramientas para ayudar a los estudiantes de nivel secundaria a desarrollar su
pensamiento algebraico. En las tareas propuestas se sugirió construir patrones
con materiales tales como fichas o bloques, los cuales ayudaron a los estudiantes
a enfocarse en los cambios físicos del patrón y cómo éste es desarrollado a partir
de cierto tipo de crecimiento. Tal trabajo podría ayudar a los estudiantes a
construir un puente entre su experiencia matemática temprana y preparar el
trabajo formal en álgebra. Esta forma de abordar los patrones pudiera proveer a
los estudiantes la oportunidad de conectar diferentes tipos de representaciones,
así como una forma de organización de la información matemática.
En Friel & Markworth (2009) se realizó una investigación en la que se analizaron
las relaciones inherentes entre patrones numéricos y geométricos. Los estudiantes
de secundaria fueron capaces de trabajar con ellos y explicar aspectos generales
acerca de los patrones propuestos al tiempo que usaban las relaciones entre ellos
para hacer predicciones. Trabajar con patrones involucró la exploración y
explicitación de regularidades. Las autoras estuvieron particularmente interesadas
en los patrones gráficos que pueden ser trabajados visualmente, referidos como
patrones geométricos, y enfatizaron el uso del razonamiento figural, es decir,
aquel razonamiento inductivo llevado a cabo por los estudiantes que toma como
elementos tanto a las propiedades matemáticas, como a las gráficas.
Cuando los estudiantes usaron razonamiento figural, ellos fueron capaces de
entender los patrones, poniendo atención a los signos gráficos que fueron
Capítulo I Antecedentes
organizados y transformados en elementos de las secuencias numéricas. Estos
signos, ayudaron a explicar y justificar el carácter general de los patrones.
En Beigie (2011), se asegura que el pensamiento algebraico implica un salto
crítico en el proceso de aprendizaje, al pasar de trabajar inicialmente con números
a trabajar con variables. Lo anterior se ejemplifica con problemas planteados a
estudiantes de secundaria y se muestra que para algunos de ellos la transición
entre los números y las variables es abstraída de inmediato, mientras que para
otros, hacerse de esta idea, podría tomar semanas o meses. El tránsito al
pensamiento matemático, usando variables tiene diferentes niveles, y para
algunos estudiantes la abstracción de estas variables son claras y para otros
podría ser opaca.
La autora sugiere que el conteo geométrico de patrones y los patrones
algebraicos, proveen un entorno ideal para ayudar a los estudiantes a desarrollar
niveles de abstracción de números a variables, haciendo énfasis en que el
contexto gráfico y su tratamiento visual en un problema geométrico, juega un rol
integral en el descubrimiento de patrones de números y expresiones algebraicas.
Ella ofrece nuevas perspectivas y promueve el pensamiento a través de una
secuencia de pasos algebraicos.
En los trabajos de Friel & Markworth (2009) y Beigie (2011), se ha puesto énfasis
en analizar el aspecto visual de la interpretación gráfica, es decir, analizar cuáles
son los fenómenos que acontecen cuando los estudiantes analizan las
representaciones figurales y las relaciones que pueden construir a partir de ellas.
Aunque se realizaron análisis desde el punto de vista geométrico, en ambos
trabajos, se hace énfasis en las técnicas numéricas, que se pueden usar a partir
de las representaciones.
Con un punto de vista semejante Lin & Yang (2004) realizaron un estudio en el
que se tenía dos propósitos. Uno era el comparar cómo los estudiantes de séptimo
y octavo grado razonan acerca de patrones numéricos lineales y cuadráticos,
cuando ellos no pueden aprender o no pueden generalizar patrones en la escuela.
Capítulo I Antecedentes
El segundo objetivo consistió en explorar las relaciones jerárquicas entre los
cuatro componentes del razonamiento: comprensión, generalización,
simbolización y control; que aparecen cuando se resuelven este tipo de tareas.
Tomado en cuenta que las estrategias de razonamiento podrían ser influenciadas
por diferentes componentes (generalización o simbolización) y estructuras (lineal o
no lineal), los autores convirtieron en jerarquías de exploración las relaciones entre
los diferentes componentes de razonamiento sobre los patrones numéricos. Estas
relaciones podrían ser esenciales e iluminar cuando investigamos cómo mejorar y
evaluar el aprendizaje de los niños en esta área.
Las relaciones entre el control y los otros componentes parecen ser diferentes
entre los patrones lineales y cuadráticos. Se propone que el control puede jugar
dos tipos de roles en el razonamiento sobre los patrones numéricos geométricos.
Uno es inducir las estrategias de generalización, y el otro es iniciar el desarrollo de
la simbolización después de ser integrado con la generalización.
Por otra parte, Stylianou (2011), analizó el proceso de abstracción por el cual los
estudiantes de secundaria pasan al usar representaciones diagramáticas y
simbólicas. Se considera que las representaciones, son signos o conjunto de
símbolos estáticos que ayudan a la instrucción o ilustran una idea en la clase de
matemáticas. Sin embargo, también se les considera como un tipo de proceso.
La investigadora, sugiere la manera como las representaciones de los estudiantes
evolucionan de lo concreto a lo abstracto, durante la actividad matemática. Los
estudiantes, utilizaron la representación gráfica como una herramienta para
pensar, lo cual abre una ventana de posibilidades para el proceso de resolución de
problemas y el desarrollo del razonamiento matemático con base en estas
actividades.
Finalmente en Rinvold (2011), se reporta un estudio en el que dos profesores
formaban a sus estudiantes para conjeturar y probar resultados en entornos donde
lo visual y lo físico jugaran un papel importante en la resolución de patrones
Capítulo I Antecedentes
numéricos. Los resultados del estudio, fueron usados para discutir acerca de cómo
la prueba multimodal puede ser usada y mostrar algunas de sus potencialidades
en el aprendizaje de la prueba. Los autores coinciden con Radford, en lo que
respecta al uso de los patrones para desarrollar el pensamiento algebraico, pero
mientras el segundo se centra en la introducción de los estudiantes en el álgebra
elemental, los primeros se centran en la validación de fórmulas. Rinvold, concluye
que la prueba multimodal podría incluir el uso de objetos físicos, de lo táctil, de los
gestos y otros tipos de acciones motoras.
Hasta aquí, podemos notar que la mayoría de los trabajos analizados que abordan
el tema del uso de patrones geométricos como aritméticos son de corte didáctico,
en ellos se pretende dar sugerencias al profesor de cómo usar los patrones en su
práctica docente, y pocos trabajos se encargan de estudiar los fenómenos
asociados a actividades de tipo cognitivo como la visualización cuando se
proponen este tipo de tareas.
I. 4. Dificultades reportadas
Otras investigaciones han reportado dificultades que los estudiantes enfrentan al
resolver tareas donde se generalizan secuencias. Dichas dificultades pueden
deberse a la naturaleza de estas propuestas o a problemas propios de los
estudiantes.
En Noss, Healy y Hoyles (1997) se identifican que algunas de las secuencias o
patrones propuestos para su resolución, no son analizados fácilmente, ya sea para
expresar una relación funcional o una expresión algebraica que los modele;
algunos estudiantes, que son capaces de expresar un patrón general o relación en
lenguaje natural, tienen dificultades para expresar esta relación en forma
simbólica. Los autores piensan que la razón por la cual sucede esto, es que la
formulación algebraica muchas veces es desconectada de la actividad que la
precede. De esta forma, no hay nada que ilumine o provea de significado a la
solución del problema. El álgebra es vista como un punto final, una solución al
problema más que una herramienta, que por un lado resuelve la situación
Capítulo I Antecedentes
particular, pero por otro, procura un potente instrumento que resuelve multitud de
problemas semejantes.
La atención tiende a estar centrada en los atributos numéricos de los patrones, y
los profesores en la escuela construyen estereotipos acerca de la forma de
resolver estos problemas. Se basan en datos que son aceptables, por ejemplo
enteros positivos, para buscar relaciones mediante la construcción de tablas de
datos numéricos, sin apreciar ninguna necesidad de comprender las estructuras
que sustentan sus razonamientos o tratamientos (Noss, Healy & Hoyles, 1997). Se
da evidencia de que convertir una secuencia visual en una tabla de valores,
incrementa la dificultad del proceso de generalización del patrón.
Cuando la actividad se plantea con un tratamiento de corte empírico, los
estudiantes formulan casos con toda libertad. Esta formulación puede ser
sistemática, incluso puede ser matemática, pero también puede que no lo sea.
Los autores consideran que el problema no está en el tipo de actividades que se
proponen, sino en las formas como las conexiones son construidas a partir de
ellas, el tipo de discursos que se dan alrededor de la actividad y las estructuras
que son construidas (Noss, Healy & Hoyles, 1997).
En Radford (2012), se reporta que cuando los estudiantes abordan este tipo de
secuencias geométricas, desarrollan técnicas que hacen énfasis en el conteo y
construcción de tablas, apareciendo incluso técnicas aritméticas avanzadas que
nada tienen que ver con el pensamiento algebraico.
I. 5. El problema
Los objetos matemáticos son abstractos por naturaleza, y para tener acceso a
ellos necesitamos de representaciones, las cuales, en ausencia de aquellos, nos
ayudan a comprenderlos. Este hecho debe ser considerado por la enseñanza, así
como las condiciones que las representaciones añaden al proceso de aprendizaje
en matemáticas.
Capítulo I Antecedentes
La enseñanza de la matemática requiere de las representaciones para referirse a
los objetos matemáticos y en este trabajo consideramos, como Radford (2006b),
que la matemática es una actividad simbólica, por ello es especialmente
importante establecer cómo es que funcionan los signos matemáticos, en
particular los signos gráficos en el caso que nos ocupa, lo cual se relaciona con la
introducción de los estudiantes al pensamiento algebraico a partir de la
generalización de patrones.
En el currículum actual mexicano de secundaria y preparatoria, aprobado por la
Secretaría de Educación Pública (2010 & 2011), la introducción al álgebra se
sugiere a partir de la generalización de secuencias numéricas y geométricas.
A los estudiantes se les pide predecir el elemento siguiente en un conjunto
ordenado de figuras (Figura 1). Posteriormente, hay que identificar una regla que
subyace a la secuencia y que permite encontrar la cantidad total de elementos que
la conforman, y finalmente generalizar, esto es, escribir tal regla en palabras o
símbolos algebraicos, para determinar el valor de un elemento de la secuencia en
una posición arbitraria.
El tratamiento dado a estas representaciones gráficas o figuras suele ser
superficial, debido a que rara vez se pone atención a las diversas interpretaciones
que los estudiantes realizan de la representación gráfica, ya que se da por hecho
que el estudiante rápidamente observa cuáles son los cambios entre dos figuras
consecutivas.
Capítulo I Antecedentes
Durante el tratamiento, se hace énfasis en señalar que para establecer la regla
que subyace al patrón, dos elementos deben detectarse dentro de la secuencia
para ser incorporados en las expresiones algebraicas asociadas a ésta; por un
lado, la posición que ocupa cada una de las figuras dentro de la secuencia, y por
otro, la razón de crecimiento de la secuencia.
Uno de los problemas que enfrentan los estudiantes, se refiere a que el proceso
de detección del patrón que subyace a la secuencia a partir del análisis de las
figuras no es espontáneo. La conexión entre la posición y la razón de crecimiento
no se establece, y el proceso a través del cual se descubren y organizan esas
relaciones del patrón, queda oculto para los estudiantes.
Consideramos que tal desconexión se debe, entre otras cosas, a que durante el
abordaje de las tareas no se hace uso de una interpretación organizada de la
visualización de este tipo de representaciones. En nuestra opinión, el análisis
visual de las organizaciones de una secuencia de figuras es de suma importancia,
puesto que la relación que existe entre la posición y la razón de crecimiento de la
secuencia, podría emerger del análisis visual de la secuencia.
Figura 1
Capítulo I Antecedentes
En Radford (2012), se reporta que cuando los estudiantes abordan este tipo de
secuencias, desarrollan técnicas que hacen énfasis en el conteo y construcción de
tablas, apareciendo técnicas aritméticas avanzadas que nada tienen que ver con
el pensamiento algebraico. Consideramos que los recursos usados por los
estudiantes para la solución de este tipo de tareas, que el autor citado menciona,
por un lado soslayan el análisis visual de las secuencias, porque rápidamente las
asocian con números, y por otro, se apoyan en estructuras aritméticas conocidas.
Por esta razón estamos interesados en indagar cómo los estudiantes analizan
secuencias de crecimiento visual, con base en las representaciones gráficas, así
como la forma en que expresan algebraica o aritméticamente los patrones
involucrados. Deseamos también detectar los problemas que tienen los
estudiantes cuando interpretan bajo esta modalidad una secuencia y tratan de
encontrar las expresiones algebraicas que las modelan.
Por lo que consideramos como hipótesis de investigación que: el análisis visual
organizado de las secuencias, a través de ciertas metodologías, puede contribuir a
la emergencia de la detección del patrón de una secuencia, a la formulación de
ésta y por ende a la generalización en el pensamiento algebraico.
Suponemos, que este tipo de análisis visual sobre las figuras que representan las
secuencias necesita del desarrollo de cierta capacidad visual de los estudiantes y
que ésta puede ser adquirida; además de ser necesarias ciertas habilidades para
detectar la forma como están organizados los objetos observados, de manera que
puedan ser transcritos a sus equivalentes formulaciones algebraicas o aritméticas.
Antes de lograr la abstracción del patrón que subyace a la secuencia, es deseable
analizar una representación de figuras con ciertas propiedades figurales.
Consideramos que esta tarea, muchas veces es dejada de lado al no atribuirle
importancia como herramienta que puede ayudar a cruzar la brecha que existe
entre la aritmética y el álgebra.
Capítulo II Marco
Conceptual
En esta sección, presentamos los elementos teóricos que guiaron nuestra
investigación. Primero, describimos los elementos que la fundamentan y nos
permiten explicar los resultados que obtuvimos, así como respaldar nuestra
hipótesis; en la segunda sección tomamos postura respecto al pensamiento
algebraico; en la tercera sección, caracterizamos la generalización en el
pensamiento algebraico; en la cuarta sección, discutimos acerca de la
visualización en general y el papel que juega dentro de nuestra hipótesis; y
por último con base en lo discutido planteamos nuestras preguntas de
investigación.
Capítulo II Marco Conceptual
Capítulo II Marco Conceptual
II. 1. La Teoría de la Objetivación
En la Teoría de la Objetivación, el aprendizaje se concibe como una adquisición
comunitaria de formas de reflexión sobre el mundo, guiadas por modos
epistémicos culturales históricamente formados. Es una praxis cogitans, esto es
una práctica social. “De manera más precisa el pensamiento es considerado una
reflexión mediatizada del mundo de acuerdo con la forma o modo de la actividad
de los individuos” (Radford, 2006a, p. 107).
El carácter mediatizado del pensamiento se refiere al papel, en el sentido de
Vygotsky, que desempeñan los artefactos (objetos, instrumentos, sistemas de
signos, etc.) en la realización de la práctica social. Los artefactos no son meras
ayudas al pensamiento (como lo plantea la psicología cognitiva) ni simples
amplificadores del significado, sino partes constitutivas y consustanciales de éste.
Se piensa con y a través de los artefactos culturales. El pensamiento es una re-
flexión, es decir, un movimiento dialéctico entre una realidad constituida histórica y
culturalmente y un individuo que la refracta (y la modifica) según las
interpretaciones y sentidos subjetivos propios.
La afirmación respecto a que el pensamiento es considerado como una reflexión
mediatizada del mundo de acuerdo con la forma o modo de la actividad de los
individuos, significa que la manera en que llegamos a pensar y conocer los objetos
del saber está enmarcada por significados culturales que van más allá del
contenido mismo de la actividad en cuyo interior ocurre el acto de pensar. Dichos
significados culturales orientan la actividad y le dan cierta forma y estructura.
La manera como los seres humanos a lo largo de la historia han resuelto
problemas matemáticos, su forma de pensar, la manera como se plantean sus
problemas y los considera resueltos, están enmarcadas por el modo mismo de la
actividad y la episteme cultural correspondiente.
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Para la Teoría de la Objetivación, el aprendizaje no consiste en construir o
reconstruir un conocimiento. Se trata de dotar de sentido a los objetos
conceptuales que encuentra el alumno en su cultura. La adquisición del saber es
un proceso de elaboración activa de significados. Es lo que el autor llama un
proceso de objetivación.
II. 2. El pensamiento algebraico
En diversos artículos, Luis Radford se cuestiona acerca de la naturaleza del
pensamiento algebraico, sus características y distinciones respecto a otros tipos
de pensamiento (Radford, 2000, 2006b, 2008, 2012). Las respuestas a las
interrogantes anteriores, nos permitirán tener una caracterización de lo que es el
pensamiento algebraico, desde el punto de vista de la Teoría de la Objetivación.
La Teoría de la Objetivación, es una teoría de la enseñanza y aprendizaje de las
matemáticas que se inspira en escuelas antropológicas e histórico culturales del
conocimiento. Dicha teoría se apoya en una epistemología y una ontología que
dan lugar, por un lado a una aproximación antropológica del pensamiento, y por
otro lado, a una concepción esencialmente social del aprendizaje. En esta teoría,
el aprendizaje de las matemáticas es tematizado como la adquisición comunitaria
de una forma de reflexión del mundo, guiada por modos epistémicos-culturales
históricamente formados (Radford, 2006a).
Teniendo en cuenta las anteriores consideraciones teóricas, “el pensamiento
algebraico es una forma particular de reflexionar matemáticamente y es
considerada una práctica cognitiva mediada por signos” (Radford, 2000, p. 2). La
naturaleza del pensamiento algebraico emergente en los estudiantes, es una
forma específica en la cual ellos actúan conceptualmente con el propósito de llevar
a cabo acciones requeridas para la generalización de tareas (Radford, 2000).
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Son tres las características que hacen distintivo al pensamiento algebraico, siendo
estas no exhaustivas (Radford, 2006b):
La primera se refiere a un sentido de indeterminación, que es propia de los objetos
algebraicos básicos tales como incógnitas, variables y parámetros. Es la
indeterminación (a diferencia de la determinación numérica), que hace posible, por
ejemplo, la sustitución de un objeto variable o desconocido por otro objeto. No
tiene sentido sustituir 3 por 3, pero puede tener sentido sustituir una incógnita
desconocida por otra bajo ciertas condiciones.
En segundo lugar, está la analiticidad. Los objetos indeterminados son manejados
analíticamente, es decir, se opera con ellos, son tratados como números
conocidos. Esta es la razón por la que Vieta y otros matemáticos en el siglo XVI se
refirieron al álgebra como un Arte analítico. Desde un punto de vista genético, esta
forma de pensar analíticamente, distingue la aritmética del álgebra (Radford,
2006b).
En tercer lugar, lo que caracteriza al pensamiento algebraico es el modo simbólico
peculiar que tiene para designar a sus objetos. En efecto, como el filósofo alemán
Immanuel Kant sugiere, “mientras que los objetos de la geometría se pueden
representar ostensivamente, incógnitas, variables y otros objetos algebraicos sólo
se puede representar indirectamente, a través de la construcción de significados
sobre la base de signos” (Kant, 1929, citado por Radford, 2006, p. 3). Estos signos
pueden ser letras, pero no únicamente.
Hay que hacer notar, que la producción de fórmulas o de expresiones simbólicas
en los patrones o tareas algebraicas, es un indicador del pensamiento algebraico,
pero no es equivalente a hacer uso del álgebra o pensar algebraicamente. El
autor, presenta tres ejemplos históricos que sostienen tal afirmación:
En Los Elementos, sin movilizar ideas algebraicas, Euclides recurre al uso de las
letras para representar segmentos; los antiguos matemáticos chinos resolvieron
sistemas de ecuaciones, poniendo en funcionamiento ideas algebraicas, sin usar
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la moderna notación actual, logrando resolver esta tarea por medio del movimiento
de fichas de colores en una tablilla de madera; y los escribas babilónicos, usaron
diagramas geométricos para pensar algebraicamente.
Como resultado se tiene que el uso de letras en el álgebra no es condición
necesaria ni suficiente para el desarrollo del pensamiento algebraico, y claramente
la historia de la matemática nos muestra que el álgebra también puede ser
practicada recurriendo a otros sistemas semióticos, además de la conocida
nomenclatura.
La enseñanza del álgebra, bajo esta perspectiva, se concibe como:
La apropiación de una nueva y específica forma matemática de acción y
pensamiento, la cual, es dialécticamente entretejida con una producción y
uso nuevo de signos, cuyos significados son adquiridos por los estudiantes,
como un resultado de su inmersión social en las actividades matemáticasc
(Radford, 2000, p. 241).
La apropiación del conocimiento es lograda a través de la tensión entre la
subjetividad de los estudiantes y los significados sociales de la objetivación
semiótica.
II. 3. La generalización de patrones
El estudio del papel de la letra en el aprendizaje del álgebra, es un tema que ha
estado en boga durante varios años (Matos & da Ponte, 2008; Ursini, Escareño,
Montes, & Trigueros, 2005). En este tipo de estudios, se identifican tres o más
papeles de la letra, y se sostiene que dado su carácter multifacético, el estudiante
debe enfrentarse a todos los usos de ésta como incógnita específica, como
número general y como relación funcional. Se sostiene que una buena compresión
del álgebra y de la matemática en general, depende de la comprensión de los
usos de la letra.
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Dentro de estas investigaciones, la generalización de patrones queda vinculada al
uso de la letra como número general. Durante la resolución de éstas, la letra tiene
distintas funciones, primero como representanta de un número concreto, luego
como una representación de una relación funcional, y posteriormente como
incógnita.
La generalización de patrones es usada como una ruta de aprendizaje hacia al
álgebra. La principal idea que subyace a esta aproximación es que cierta
experiencia con la exploración numérica y visual de los patrones podría llevar al
desarrollo del pensamiento algebraico (Radford, 2008). Varias experiencias han
sido reportadas acerca del hecho de que la generalización de patrones numéricos
y la formulación simbólica de relaciones entre las variables, llevan a los
estudiantes a desarrollar capacidades para el desarrollo de la generalización
algebraica (Stylianou, 2011; Bell, 2011; Beigie, 2011; Johanning, 2011; Friel &
Markworth, 2009; Smith, Hillen & Catania, 2007; Lee & Freiman, 2006; Rivera &
Rossi, 2005).
Es por ello que investigar cómo los estudiantes analizan patrones de crecimiento
visual, con base en el análisis de las figuras, así como la forma en que expresan
algebraica o aritméticamente el patrón que subyace a la secuencia puede resultar
relevante para el aprendizaje del álgebra.
Bajo las consideraciones anteriores, nos planteamos en principio las preguntas:
¿qué es un patrón?, ¿cuál es su naturaleza?, ¿cuál es su estatus como concepto
dentro de la matemática? y ¿qué significa generalizar un patrón?
En la resolución de este tipo de tareas en la escuela, a los estudiantes se les pide
predecir el siguiente elemento en un conjunto ordenado construido bajo cierta
norma, posteriormente se espera que éstos puedan generalizar la regla que
subyace a la secuencia, lo que generalmente se considera sucede cuando el
estudiante logra escribir una fórmula algebraica. Sin embargo, resulta difícil, si no
imposible para algunos estudiantes, generar una regla o expresión algebraica
debido a que esta acción subyace la idea de generalización (Stacey, 1989). Hay
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que notar que al extender un conjunto ordenado y estructurado de objetos, los
estudiantes muestran algún grado de generalización, pero esta actividad falla, al
pasar de una generalización expresada en lenguaje convencional a una expresada
en las formas convencionales matemáticas (Warren, Martínez & Schliemann,
2008).
Los patrones no son admitidos como un concepto estrictamente algebraico; libros
de texto, maestros y estudiantes toman una postura amplia y una aproximación
inconsistente hacia los patrones, sus propiedades y sus operaciones. Prueba de lo
anterior es la falta de definiciones, tanto en la literatura matemática especializada,
así como en la literatura que sirve de libro de texto en las escuelas acerca de lo
que es un patrón. No hay un acuerdo entre los matemáticos acerca de lo que son
los patrones, sus propiedades y operaciones (Warren, Martínez & Schliemann,
2008).
Rivera & Rossi (2008), señalan los resultados que en diversas investigaciones se
han obtenido al tratar de responder o caracterizar el proceso de generalizar un
patrón:
En la etapa inicial de la investigación de los estudiantes, ellos deben
“centrarse en” o “llamar la atención” en una posible propiedad invariante o
relación dentro del patrón (Lobato, Ellis & Muñoz, 2003), “tomar algo común”
o una “regularidad” (Radford, 2006), y “notar” o “llegar a ser conscientes” de
sus propias acciones en relación con el fenómeno sometido a generalización
(Mason, Graham & Johnston-Wilder, 2005).
Las autoras prosiguen señalando que:
En Lee (1996), se describe el rol central de la “agilidad perceptiva” en la
descripción y generalización de un patrón, la cual consiste en “ver varios
modelos y estar dispuestos a abandonar aquellos que no resulten útiles (es
decir aquellos que no conducen a una fórmula)”. Masón (2005), puntualiza
que en ruta hacia la generalización, los estudiantes requieren actos en los
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que deben de “prestar atención” a los detalles, sobre todo a los aspectos que
cambian o se mantienen iguales y “ver lo general a través de lo particular”.
Los resultado de Rivera & Becker (2007, 2003) confirman un acto
preparatorio por el cual la percepción es necesaria y fundamental en la
generalización –como una “forma de llegar a conocer” un objeto o alguna
propiedad o hecho acerca de un objeto- (Rivera & Rossi, 2008, p. 66-67)
Según Kieran (1989, citado por Radford, 2006, p. 5), “una de las características
que pueden constituir el núcleo de la generalización de un patrón es la capacidad
de percibir algo general en lo particular y que uno debe ser capaz de expresarlo
algebraicamente, un componente necesario de la generalización algebraica es el
simbolismo algebraico para razonar acerca de ella y expresar la generalización”.
Radford (2006), se declara de acuerdo con las exigencias de Kieran y afirma que
él podría agregar que la generalidad algebraica está hecha de diferentes niveles,
unos más profundo que otros. Además, que el grado de generalidad que se puede
alcanzar dentro de un nivel determinado es entretejido con la forma material que
utilizamos para razonar y expresar lo general.
Así el autor sugiere que generalizar un patrón algebraico consiste en:
Generalizar un patrón algebraico, descansa sobre la capacidad de notar algo
común, identificado en algunos elementos de una secuencia , siendo
conscientes que esto común es aplicable a todos los términos de y ser
capaces de usar esto para proveer una expresión directa de cualquiera de
los términos de (Radford, 2006, p. 5).
En otras palabras, la generalización algebraica de un patrón se basa en notar algo
común a nivel local y que es generalizado para todos los términos de la secuencia,
lo cual sirve para garantizar la construcción de expresiones de elementos de la
secuencia más allá del campo perceptual.
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Los diferentes niveles de profundidad en la generalización de patrones, lo que el
autor llama estratos de generalidad, “consisten en grados de manifestación de lo
general, los cuales son caracterizados por los símbolos a los que los estudiantes
recurren para conseguir sus generalizaciones” (Radford, 2006b, p. 16). Hay que
hacer notar que desde el punto de vista de este autor, la generalización es un
proceso y un producto del razonamiento construido como una práctica social
(Radford, 1996).
Los estudiantes realizan generalizaciones factuales cuando su discurso no va más
allá de ejemplos particulares, el adjetivo factual subraya la idea de que la
generalización ocurre con un grado elemental de generalidad. Este nivel de
generalidad es más desarrollado que la acción sobre números, en ella ocurre la
construcción de un esquema que opera sobre números particulares. La
característica de indeterminación del álgebra (una de las primeras características
del pensamiento algebraico anteriormente mencionadas) no es alcanzada, el
estudiante se queda en un nivel de expresiones concretas. La generalización
factual es suficiente para responder tareas, en las cuales se solicita valores
cercanos a la serie de un conjunto de figuras propuestas, pero en otras tareas
donde se piden valores lejanos, quizá este procedimiento ya no funcione. Los
estudiantes con razonamiento pragmático, permanecerán en las fronteras de este
nivel.
La generalización contextual, es aquella que ocurre cuando aparecen gestos que
ayudan a los estudiantes a comprender las relaciones que ocurren, en
combinación con el discurso y la visión. A través de la repetición y coordinación de
gestos y palabras, los estudiantes generalizan lo localmente percibido en la
secuencia a otras figuras de la misma, moviéndose de lo particular a lo general.
La generalización simbólica, se refiere a expresar la generalización a través de
símbolos alfanuméricos, el cual es un proceso complejo en el que los estudiantes
deciden acerca del significado de las letras, su organización y la coherencia entre
el proceso descrito y la expresión propuesta.
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Tipos de generalización y características
Tipo Característica Descripción
Factual
o de
hechos
Lo indeterminado
permanece innombrado.
La generalidad descansa en
acciones realizadas sobre números
o figuras.
Las acciones son realizadas sobre
palabras, gestos y actividades
perceptuales.
Contextual
Lo indeterminado es
lingüísticamente
explícito, es nombrado.
Los objetos generales son
nombrados a través de
descripciones corpóreas y situadas
de ellas (por ejemplo: la siguiente
figura, la fila de arriba, etc.)
Simbólica
Lo indeterminado es
lingüísticamente
explícito, es nombrado.
Los objetos generales y las
operaciones son expresados en el
sistema semiótico alfanumérico del
álgebra.
II. 4. La Visualización
No hay duda de la participación de los aspectos visuales en el proceso de
construcción del conocimiento matemático, pero decir cuál es el papel que juega
en ésta es un asunto en el que no hay un acuerdo general. En particular,
Hershkowitz (1989), identifica dos posturas respecto a este tema:
En la primera postura, la visualización se concibe como un paso perceptual
necesario para introducirse a una problemática, posteriormente puede dejarse de
lado en el momento en que intervienen procesos de pensamiento, que la relegan a
una participación marginal.
En la segunda postura, se le concibe como un actor directo del proceso de
construcción del pensamiento y por tanto como instrumento que participa
directamente de él. En esta postura, el papel de la visualización es fundamental
para el desarrollo del pensamiento matemático. Se le concibe como parte esencial
Tabla 1. Tipos de Generalizaciones
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de la inteligencia humana y su participación no ocurre de forma espontánea, hay
que provocarla, y debe darse de manera fenomenológica.
En este trabajo, pensamos que en un primer acercamiento a la matemática, la
visualización puede jugar un papel importante, y que una de las maneras como el
estudiante puede introducirse a este apasionante mundo, es a través de tareas
donde lo visual esté presente y resulte relevante para el proceso de pensamiento.
La información que nos proporcionan los elementos visuales será una herramienta
importante en el proceso de pensamiento, pero habrá momentos en que deberá
ser abandonada, dependiendo de las necesidades del problema a resolver.
Entendemos la visualización como una herramienta de naturaleza semiótica, y
reconocemos la existencia de otras herramientas de este tipo que nos pueden
ayudar al desarrollo del pensamiento algebraico. Para los fines de este trabajo la
visualización de patrones visuales, se requiere para la formulación algebraica de
éstos.
Queremos señalar que existe una confusión entre la visión y la visualización.
Concordamos con Duval (1999) en que no son fenómenos que juegan el mismo
papel en el desarrollo del pensamiento. Para remarcar esta diferencia
presentamos brevemente la manera como el citado autor concibe la visión y la
visualización:
La visión consiste en dar acceso directo a algún objeto físico “en persona”. Esta es
la razón por la cual la percepción siempre es tomada como un modelo para la
noción epistemológica de intuición. Nada es más convincente que lo que se ve. La
visión consiste en aprehender simultáneamente diversos objetos o un campo
completo. En otras palabras, la visión parece dar inmediatez a una aprehensión
completa de algún objeto o situación. Para Duval, la percepción visual desarrolla la
función sinóptica, provee acceso directo a los objetos y está al nivel de la
percepción (Duval, 1999).
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La visualización, es una organización de una cadena de unidades (palabras,
símbolos y proposiciones), la visualización implica tomar toda una estructura y
comprender sus relaciones. El autor afirma que no hay comprensión sin
visualización. La visualización hace visible todo lo que no es accesible a la visión.
La visualización requiere de un largo proceso de entrenamiento, es una actividad
cognitiva que es intrínsecamente semiótica, que puede ser mental o física. El uso
de la visualización necesita de especial entrenamiento, específicamente para
visualizar en cada registro semiótico. Las figuras geométricas o las gráficas
cartesianas no están directamente disponibles como representaciones. Y su
aprendizaje no puede ser reducido a tratar de construirlos. Esto es debido a la
sencilla razón de que la construcción hace que la atención se dirija sucesivamente
en algunas unidades y propiedades, mientras que la visualización consiste en
captar directamente toda la configuración de las relaciones y en la discriminación
de lo que es relevante en ella. Con mayor frecuencia, los estudiantes no van más
allá de una comprensión local y no ven la organización global relevante, sino
solamente una representación icónica.
Existe una brecha entre la percepción visual y la visualización. La percepción
visual necesita de la exploración a través de los movimientos físicos, porque ésta
nunca da una aprehensión completa del objeto. Por el contrario, la visualización
puede dar una completa aprehensión de cualquier organización de relaciones. La
forma de ver no es la misma en la visión que en la visualización, la visión: detecta,
observa; la visualización: estructura, relaciona.
La visualización en matemáticas es necesaria porque muestra la organización de
las relaciones observadas, pero no es primitiva, porque no es una mera
percepción visual. En este sentido, es aprender de los registros semióticos.
Cuando los estudiantes se enfrentan a tareas donde lo visual juega un papel
importante, tienen que aprender a discriminar las características visuales
relevantes, esta tarea no es fácil, puesto que desde el punto de vista de Duval, las
representaciones en matemáticas no son icónicas, es decir, en matemáticas las
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representaciones tienen conexión dinámica con el objeto que representan, en
cambio los íconos, permanecen sin conexión con el objeto que representan,
solamente las representan.
La complejidad de la visualización matemática consiste en la selección implícita de
cuáles valores de contraste visual, dentro de las configuraciones de las unidades,
son relevantes y cuales no lo son. Esta es la barrera de representación específica
para aprender visualización en matemáticas y en particular en geometría. En el
caso que nos ocupa no tenemos representaciones geométricas para indagar sobre
sus propiedades, sino representaciones gráficas para detectar y visualizar el
patrón que rige su secuencia, que esperemos sean transformados en expresiones
algebraicas.
En este sentido es útil para los fines de este trabajo la formulación que sobre la
visualización hace Duval, quien sugiere que la visualización se desarrolla a través
de diversos tipos de aprehensión Perceptual, Secuencial, Discursiva y Operatoria
y aunque no pretendemos hacer uso de ellas en este trabajo, si serán de gran
utilidad los tres tipos de operaciones visuales que pueden ser distinguidas para
modificar la figura dada: la mereológica, la óptica y la relacionada con el lugar.
La forma mereológica: consiste en dividir toda la figura dada en varias partes y
varias formas (bandas o rectángulos), y se pueden combinar estas partes en otras
figuras completas o puedes hacer aparecer nuevas sub-figuras. De esta forma, se
puede cambiar la forma de lo que se percibe en la primera mirada y entonces
enfocarse en las sub-figuras. Por ejemplo, un paralelogramo puede ser
transformado a un rectángulo, o aparecer como una combinación de triángulos; a
esta nueva configuración se le puede llamar un tratamiento de reconfiguración.
En la forma óptica: es posible transformar la figura original en otra más grande o
más estrecha, inclinarla, tal y como si usaras lentes. De este modo, sin ningún
cambio figural, las formas pueden aparecer de forma diferente. Por ejemplo, las
figuras planas son vistas como si ellas fueran localizadas en un espacio 3D. La
operación típica es el de la construcción de dibujos en perspectiva, donde dos
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figuras de tamaños iguales se observen en profundidad, la aparente diferencia de
tamaños se impone al observador.
Finalmente, la forma relacionada con el lugar se refiere al cambio de orientación
de la figura, dentro de su plano. Este cambio es débil. Afecta principalmente el
reconocimiento de ángulos rectos, los cuales visualmente son compuestos de
líneas verticales y horizontales.
Estas varias operaciones visuales son aplicadas sobre las propiedades figurales
de las representaciones gráficas, las cuales pueden ser aprovechadas a través de
las funciones heurísticas que sobre las figuras pueden desarrollarse. Estas
operaciones pueden proveer elementos para la solución de problemas donde haya
que identificar el patrón de una secuencia de datos.
En este trabajo la figura se convierte en un punto de partida con el fin de investigar
otras configuraciones que se pueden obtener por una de éstas operaciones
visuales (Duval, 1999).
Por otro lado, continuando con la reflexión acerca de la naturaleza de la
visualización y su papel entorno al desarrollo del pensamiento matemático,
presentamos la postura de Abraham Arcavi. Para este autor, la visualización es un
componente cognitivo central en la actividad matemática, es un producto y
proceso de creación sobre gráficos o imágenes (Arcavi, 2003). Respecto a la
visualización, se refiere a que ésta ofrece un método para ver lo invisible, ver lo
invisible se refiere a la posibilidad de desentrañar lo que no está ostensivamente
frente a nuestros ojos, debido a las limitaciones de las herramientas con las que
contamos para ver, ojos, software, maquinas, etc.
Para ver lo que el sentido de la vista nos permite, nos podemos ayudar de gráficas
de datos, gráficas analíticas, figuras geométricas, símbolos numéricos o
alfanuméricos y marcas que podrían tener un significado personal o comunitario.
Las herramientas visuales nos podrían ayudar a apreciar algunas características
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de los datos que se analizan, y también nos dejan ver más allá de las
características y un poco más lejos (Arcavi, 2003, p. 218).
La visualización que va más allá de lo aparente tiene un rol complementario:
respalda e ilustra los resultados simbólicos esenciales; es una posible forma de
resolver conflictos entre las soluciones simbólicas (alfanuméricas) y la intuición;
así como una manera de ayudar a reiniciar y recuperar bases conceptuales, las
cuales podrían ser fácilmente pasadas de largo por las soluciones formales; es
una herramienta que podría aclarar a uno mismo situaciones en las cuales uno no
encuentra cómo proceder; podría ser un instrumento al servicio de la resolución de
problemas que inspire soluciones, más ahí de meros procedimientos, y emerger
como legítimo elemento de la prueba matemática (Arcavi, 2003).
“Lo que vemos es influenciado por cuánto sabemos, y por el contexto en el
cual la observación es realizada. En diferentes contextos, el mismo objeto
visual podría tener diferentes significados incluso para los expertos” (Arcavi,
2003, p. 232).
Ampliando este punto con una visión cercana tenemos a Hershkowitz, Arcavi &
Bruckheimer, que sugieren:
La visualización en general se refiere a la habilidad de representar,
transformar, generar, comunicar, documentar y reflexionar acerca de la
información visual. Como tal, es crucial para el aprendizaje de los conceptos
matemáticos. Una imagen visual, por virtud de su concresión, es un factor
esencial para la creación de sentimientos de auto-evidencia e inmediatez
(Hershkowitz, Arcavi & Bruckheimer, 2001, p. 255).
Los autores dan evidencia de que la visualización puede ser más que un soporte
intuitivo y perceptual de niveles avanzados de razonamiento, podría constituir la
esencia de una matemática rigurosa dependiendo del tipo de uso que se haga de
ésta; además la visualización puede ser parte central, no solamente en áreas que
están asociadas con las imágenes visuales (tal como en la geometría), sino
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también en aquellas donde un argumento simbólico formal es necesario (por
ejemplo el álgebra).
Se sugiere que la visualización puede ser más que sólo organizar datos y poner a
la mano estructuras (Hershkowitz et al, 2001), sino que también es un importante
factor que podría guiar analíticamente el desarrollo de una solución. Sus
componentes analíticos podrían incluir: a) Descomposición de una estructura en
subestructuras, b) Creación de construcciones auxiliares, c) Transformación de la
estructura completa en otra estructura, y d) Una transformación de recomposición
y síntesis.
Una observación general que los autores realizan, es que la visualización juega un
rol importante para algunos estudiantes en la construcción de respuestas
simbólicas y que emerge un rico espectro de formas visuales al resolver tareas
donde lo visual es fomentado. Reportan también que existen grupos de
estudiantes, que no recurren a la visualización para la resolución de problemas de
manera natural.
En Noss, Healy & Hoyles (1997) se asegura que en el ámbito matemático y
escolar, se da por hecho una exclusión de la visualización. Noss et al (1997)
citando a Hadamard (1994), afirma que la visualización juega un papel clave en el
trabajo del matemático. Durante la resolución de un problema algunos
matemáticos evitan no solo usar palabras, sino también símbolos algebraicos; en
lugar de éstos, ellos usan razonamiento visual, incorporando geometría y otras
imágenes como base en sus intuiciones, y solamente al final del trabajo codifican
éstos en términos simbólicos. Entre los matemáticos existe una convención
implícita: los resultados son más importantes que los procesos. Y es por ello que
los elementos visuales, que aparecen al principio o durante la resolución de un
problema, son vistos nada más como pasos transitorios hacía la verdadera
matemática que es formal y rigurosa, existiendo así una exclusión de los modos
visuales de expresión matemática.
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Los autores prosiguen afirmando que a pesar de los estudios que dan evidencia
del potencial de las aproximaciones visuales para apoyar el aprendizaje de la
matemática y la resolución de problemas, los profesores y los estudiantes
muestran cierto rechazo a explotar la herramienta visual (Noss, et al, 1997). Esto
se debe a que algunos estudiantes tienen dificultades para leer diagramas y
reconocer las transformaciones implicadas en ellas y no construyen fácilmente
relaciones entre sus ideas visuales y su pensamiento analítico. Para los
profesores es más económico sortear estas dificultades a través de la enseñanza
de técnicas algebraicas o numéricas, además de considerarlas más serias y
confiables.
Desde el punto de vista de Rivera & Rosi (2008), en el caso de tareas que
involucran la resolución de patrones donde aparecen figuras, notan que entre los
tipos de percepción, la más importante es la percepción visual. La percepción
visual implica el acto de llegar a ver, y se caracteriza, además por ser de dos tipos,
la percepción sensorial y la percepción cognitiva. La percepción sensorial es
cuando los individuos ven un objeto como viendo el objeto en sí mismo. Y la
percepción cognitiva va más allá de lo sensorial, cuando los individuos ven u
organizan una idea o propiedad en relación con un objeto percibido e incluso son
capaces de anticipar nuevas situaciones o estados futuros del objeto.
Hemos realizado una breve caracterización de la visualización y su papel en el
aprendizaje, pero nos quedan preguntas pendientes por responder, como por
ejemplo: ¿cómo los estudiantes desarrollan sus habilidades visuales de análisis y
síntesis? Acaso este desarrollo, del que presuponemos su existencia, ¿es
automático o natural al desarrollo fisiológico de nuestros estudiantes?
El desarrollo de las habilidades de análisis y síntesis visuales, consideramos que
no se dan de manera espontánea, y mucho menos a la par del desarrollo
fisiológico de nuestros “instrumentos” para ver. No pensamos que el desarrollo de
la habilidad para “aprender a ver” en matemáticas, sea automático o natural en
sintonía con el desarrollo fisiológico de nuestros estudiantes, y menos que con la
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simple presentación de tareas donde lo visual juegue un papel importante se
detone el desarrollo de tal habilidad, es importante desarrollar tareas con estas
componentes, pero se requiere de cierto trabajo intencional para lograr esa
específica forma de tratar la información visual.
Coincidimos con Hershkowitz, Parzysz & Van Dormolen (1997) cuando afirman
que el ojo de los estudiantes debe ser educado, y que para lograrlo, se debe
presentar tareas donde se fomente: a) analizar formas a partir de elementos
básicos y desarrollar síntesis de éstos a formas complejas, b) afinar la codificación
y decodificación visual y la percepción visual directa e inmediata, c) flexibilidad
perceptual, expresada como la habilidad para moverse entre los modos de
percepción analítico y sintético, habilidad para percibir los invariantes de las
formas bajo cambios procedimentales, habilidad para elegir el nivel correcto de
detalles en la percepción visual y darle uso en una situación dada.
Desde el punto de vista sociocultural, eso que nosotros llamamos “aprender a ver”,
es llamado como la domesticación de los ojos (Radford, 2010).
La domesticación de los ojos, es un proceso lento, dentro del cual nosotros
llegamos a ver y reconocer cosas de acuerdo a los eficientes significados
culturales. Es el proceso que convierte a los ojos en un órgano intelectual
sofisticado. Los estudiantes pueden ver configuraciones que todos vemos, pero no
dan importancia al reconocimiento de las partes importantes de las figuras, es
decir, aquellas que son portadoras de las propiedades y relaciones que condensan
en sí mismos los significados matemáticos y que ayudan a comprender mejor su
estructura, como por ejemplo, en el caso de las representaciones gráficas de los
patrones, dividir en partes las figuras para llevar a cabo diversas organizaciones
que den sentido a la secuencia del patrón.
En el caso que nos ocupa, la capacidad de percibir los patrones visuales requiere
de la identificación de una estructura subyacente a la secuencia. De hecho percibir
ciertas estructuras así como su transformación, requiere de la capacidad de intuir
y atender estructuralmente el cambio posible en ellas. Esta capacidad de percibir,
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identificar y atender figura y sub-figuras, nace de la sensibilidad que los
estudiantes deben desarrollar acompañados de sus profesores y compañeros de
clase.
Aunque los ojos de los expertos, perciban las figuras como divididas u
organizadas, lo cual podría parecer un pequeño esfuerzo, no lo es para los
estudiantes, por lo que consideramos hay que trabajar explícitamente en la
adquisición y desarrollo de habilidades para aprender a ver los patrones visuales.
Los ojos de los matemáticos han sido educados culturalmente para organizar la
percepción de las representaciones gráficas de manera racional, ellos han estado
sujetos a un lento proceso de domesticación, por lo que en el caso de los
estudiantes esta adquisición representa un reto en la introducción del álgebra a
través de la detección de patrones numéricos y visuales.
II. 5. Síntesis
Como mencionamos en páginas anteriores, en este trabajo nos interesa estudiar
cómo los estudiantes analizan patrones de secuencias con base en
representaciones gráficas o geométricas, para lo cual consideramos algunos
elementos teóricos de la Teoría de la Objetivación, además tomamos en cuenta
las aportaciones de diversos autores acerca de la naturaleza del pensamiento
algebraico y de la generalización de patrones; poniendo especial énfasis en los
procesos cognitivos que se dan, cuando se presentan tareas donde la
visualización juega un papel importante.
La Teoría de la Objetivación, nos permitirá interpretar lo que ocurre en el salón de
clase cuando los estudiantes discuten entre ellos los significados que dan a sus
construcciones. Además de indagar acerca de las situaciones propuestas a los
estudiantes, así como los mecanismos de negociación de significados en el aula,
viendo el aprendizaje como una actividad social arraigada en una tradición cultural
manifestada en la escuela y representada por el profesor y los estudiantes.
Capítulo II Marco Conceptual
Las investigaciones que analizan la naturaleza del pensamiento algebraico, sus
características y distinciones, nos permiten identificarla como una forma particular
de reflexión matemática y como una práctica cognitiva mediada por signos, cuyos
significados se construyen mediante la interacción en el salón de clases. Serán
tres las características fundamentales, que nos permiten distinguirla de otros tipos
de pensamiento: la indeterminación, la analiticidad y el modo simbólico peculiar
con la cual designa a los objetos.
Debido a que la generalización de patrones es considerada como una ruta de
aprendizaje hacia el álgebra, revisamos lo que diversos autores han reportado
acerca del proceso de generalización que los estudiantes realizan. En un primer
momento los estudiantes deben centrarse en una posible propiedad invariante o
relación dentro del patrón, tomar algo en común y ser capaces de generalizar esto
a los demás elementos de la secuencia, siendo importante para ello una agilidad
perceptiva en la descripción y generalización de un patrón. La generalización de
un patrón, puede darse a través de niveles: factual, contextual y simbólica.
La visualización, como actividad que estructura y relaciona, jugará un papel
importante, puesto que las tareas que proponemos, son tareas donde la
interpretación de la información visual está presente y es determinante.
Suponemos que los estudiantes a partir del análisis visual explícito de
configuraciones gráficas, son capaces de desarrollar argumentos que los lleven a
la generalización de secuencias.
Como bien se anotó en páginas anteriores, visualizar no es tarea fácil, y es una
actividad en la cual los estudiantes deben ser formados. En palabras de Duval, se
deben desarrollar largos procesos de entrenamiento para que los estudiantes
aprendan a ver matemáticamente; Hershkowitz, Parzysz y Van Dormolen
aseguran que los ojos deben ser educados a través de cierto tipo de tareas en
donde se analicen formas complejas; desde el punto de vista de Luis Radford, los
ojos deben ser domesticados, convirtiendo a éstos en un eficiente órgano
intelectual.
Capítulo II Marco Conceptual
Este proceso de aprender a ver, que en un primer momento fue como nosotros lo
llamamos, no es un proceso inmediato, sino, como los anteriores autores afirman,
es un proceso lento y progresivo dentro del cual nosotros llegamos a ver y
reconocer cosas.
II. 6. Preguntas de investigación
Teniendo en cuenta lo anteriormente discutido, planteamos a continuación
nuestras preguntas de investigación:
¿Cómo influye el análisis visual en la generalización de patrones? y ¿cómo
en la detección y construcción de la ecuación que describe a la secuencia en
estudiantes del primer año de preparatoria?
A partir del análisis visual ¿los estudiantes son capaces de argumentar y dar
explicaciones que los lleven a construir generalizaciones?
¿De qué tipo son las explicaciones que dan los estudiantes para justificar la
forma como expresan los patrones?
Consideramos que con base en el análisis visual de las secuencias, podemos
organizar la representación gráfica del patrón y obtener una ecuación que describe
el crecimiento del mismo. Las diferentes maneras de configurar las figuras, hace
posible mirar los procesos para llegar a la formulación de expresiones simbólicas
de los patrones. Con base en el análisis visual de las secuencias, podemos
organizar de diversas maneras la representación del patrón y con ello obtener
ecuaciones distintas que son equivalentes. Ésta última actividad, podría ser
analizada en trabajos futuros, que creemos es posible derivar a partir del presente.
Capítulo III El Método
En este capítulo describimos el método que seguimos para el desarrollo de
nuestra investigación, las características de los participantes, los
instrumentos, técnicas y procedimientos usados para el análisis y recolección
de datos.
Capítulo III El Método
Capítulo III El Método
III. 1. Consideraciones iniciales
Nuestra investigación está basada en un método cualitativo de análisis, puesto
que este método, con sus diseños flexibles y sus objetivos, se adecúa a nuestros
objetivos, ya que nos permite comprender e interpretar procesos, más que hechos.
Buscábamos en este trabajo comprender y caracterizar lo que ocurre en el salón
de clase y ofrecer una interpretación de éstos a través de observar y analizar las
evidencias proporcionadas por los datos que hemos colectado por medio de las
actividades propuestas, considerando que:
“Observar, es el proceso de percibir y captar sistemática y detenidamente
cómo se desarrolla el fenómeno que nos interesa estudiar en su entorno
natural, sin manipularlo, tal cual ocurre en la vida cotidiana, en nuestro caso,
en el salón de clase” (Zapata, 2005, p. 145).
La observación científica, permite estudiar procesos y fenómenos en su desarrollo
natural dentro del marco de la vida cotidiana, valora los procesos en sí y no se
realiza ningún tipo de injerencia, por lo que no se interfiere en los procesos
observados.
La técnica concreta que elegimos, fue la de la observación participante. En Zapata
(2005), encontramos elementos que justifican el uso de esta técnica y su
descripción. El autor la caracteriza de la siguiente manera: en esta forma de
proceder, el tipo de observación que se desarrolla es en el entorno del participante
de la investigación, por medio de la interacción entre éste y el investigador, con la
mínima intrusión y con el objetivo de recoger sistemáticamente los datos que
interesan. Este tipo de investigación también se denomina etnográfica, ya que el
investigador selecciona un grupo humano dado, una tribu, el personal de una
fábrica o un grupo de jóvenes y se dedica a observarlo sistemáticamente
conviviendo como un integrante más del grupo que estudia.
Durante nuestra observación, captamos las situaciones que desde nuestro punto
de vista fueron más significativas y las que interpretamos a la luz de nuestro
Capítulo III El Método
marco teórico. Es importante hacer notar que toda observación está cargada de
cierto sesgo, propios de la cultura, ideología, lenguaje, sentimientos y la propia
personalidad del sujeto observador, pese a lo cual los resultados de investigación
continúan conservando su carácter de evidencia científica.
La diferencia entre la observación espontánea y la científica radica en las
características de intencionalidad, sistematicidad y control. La observación
científica trata de captar todo lo que se considera relevante para el fenómeno que
deseamos investigar, y para ello utiliza todos los recursos técnicos con los que se
puede contar, por ejemplo la filmación por medio de video cámaras, que en
nuestro caso, complementó nuestra bitácora de observador al igual que las
evidencias que obtuvimos por escrito en la solución de las tareas propuestas.
Todas las sesiones que se llevaron a cabo, fueron grabadas mediante una video
cámara, posteriormente los videos fueron clasificados y analizados, rescatando
aquellos pasajes que ayudaran a la concreción y explicitación de nuestros
objetivos de investigación. Estos pasajes elegidos que presentamos, fueron
transcritos debido a su importancia y presentamos los más representativos en el
siguiente capítulo, acompañados del análisis de sus contenidos, bajo la mirada del
marco teórico mencionado en el capítulo anterior.
III. 2. Los participantes en la investigación
La investigación se llevó a cabo con la participación de 36 estudiantes de la
Escuela Preparatoria Oficial Número 92 del Estado de México, los cuales
cursaban el segundo semestre del primer año de preparatoria.
Los estudiantes ya contaban con un semestre de estudios, en el cual se abordaron
temas relativos al álgebra, en la asignatura de Pensamiento numérico y
algebraico. Entre los temas que habían sido abordados, podemos mencionar:
expresiones algebraicas en contexto, el lenguaje algebraico, el valor numérico de
expresiones algebraicas, operaciones algebraicas con monomios, binomios y
trinomios, productos notables y factorización.
Capítulo III El Método
En el primer año de bachillerato, según el programa de la Dirección General de
Bachillerato, en el tercer bloque se busca que:
Los estudiantes sean capaces de realizar sumas y sucesiones de números;
identificar las series y sucesiones numéricas; sus propiedades; determinar
patrones de series y sucesiones aritméticas y geométricas; y que sean
capaces de realizar cálculos obteniendo el enésimo termino en una sucesión
mediante las fórmulas correspondientes (SEP, 2010, p. 19).
Entre las actividades sugeridas, para lograr el desarrollo de las competencias
previstas para los alumnos, se encuentran: “Mostrar la solución de problemas con
complejidad creciente relativas a series y sucesiones aritméticas y geométricas; y
sugerir modelos para dar solución a las situaciones propuestas por el docente e
inventar en equipos otros ejemplos” (SEP, 2010, p. 20).
En particular, en el Estado de México, para el tema Expresiones algebraicas en
contexto, se busca que los estudiantes desarrollen las competencias de:
Manejar e interpretar datos en sus diversas formas: numérica, geométrica y
gráfica que se generen de situaciones concretas.
Conocer el lenguaje algebraico como la generalización de situaciones
concretas.
Ejecutar las operaciones algebraicas como una herramienta para solucionar
problemas de la vida.
Teniendo en cuenta lo anterior, podríamos suponer que los estudiantes, para el
momento en que realizamos la puesta en escena de las actividades diseñadas,
deberían de haber sido capaces de resolver las actividades planteadas. Sin
embargo, la presencia de distintos tipos de conflictos durante la resolución de las
actividades, da evidencia de lo contrario, asunto que trataremos de analizar más
adelante.
Capítulo III El Método
III. 3. Las actividades propuestas
Para llevar a cabo nuestra investigación, en un primer momento realizamos una
investigación de tipo documental, en la que pudimos notar el estado del arte en el
asunto que nos atañe. A partir de los resultados obtenidos en esta primera fase,
con base en nuestras hipótesis, iniciamos el diseño de las actividades de clase
que propusimos.
A continuación mostramos algunos fragmentos representativos de los
instrumentos aplicados durante las sesiones, así como la explicación de los
objetivos de los mismos; para revisar las actividades de manera íntegra,
sugerimos ir al ANEXO A.
En general, las actividades propuestas a los estudiantes tenían como objetivo:
Evidenciar cómo los estudiantes organizan la información visual, cuando se
les presenta representaciones gráficas de secuencias, con el objeto de
detectar el patrón que subyace en ella.
Analizar la influencia de las representaciones figurales en el desarrollo de
ideas de generalización, es decir cómo influye la estructura de las
expresiones gráficas en la introducción del álgebra por medio de patrones
geométricos.
Las actividades las dividimos en tres sesiones; la primera y segunda sesión
constaban de cuatro actividades cada una, y la tercera sesión tuvo tres
actividades. Cada una fue diseñada para lograr un objetivo particular, a saber:
En la primera sesión, las secuencias elegidas fueron aquellas donde la relación
entre el patrón y su posición fuera visualmente explícita, buscando:
Enfocarse en la reproducción y continuidad de secuencias geométricas de
crecimiento aritmético simple.
Capítulo III El Método
Describir el patrón o regla que describe a la secuencia geométrica, con base
en la relación entre la posición de los elementos y su razón de crecimiento.
A partir de las relaciones entre los elementos de la secuencia, su posición y
razón de crecimiento, predecir y calcular los elementos de posiciones
arbitrarias. En la Figura 2, podemos ver la actividad más representativa de la
primera sesión.
Para la Segunda Sesión, en las secuencias elegidas, la relación entre el patrón y
su posición no era visualmente explícita o inmediata, Figura 3. En este caso se
hizo uso de la cantidad de elementos que aparecían en cada elemento de la
secuencia para llevar un tipo de control sobre el crecimiento. Los objetivos fueron:
Examinar de nuevo algunos de los patrones de la primera sesión, aquellos
cuya riqueza geométrica, permitieran un análisis diverso de su estructura.
Figura 2. Fragmento Actividades de la Primera Sesión
Capítulo III El Método
Desarrollar la capacidad de análisis visual de los estudiantes, para describir y
predecir los elementos de los patrones para alguna posición, a través de
otras secuencias.
A partir de la organización y análisis visual de los elementos de las
secuencias, describir el patrón o regla que describe a la secuencia, no
olvidando considerar la relación existente entre la posición de los elementos
y su razón de crecimiento.
Predecir y calcular los elementos de posiciones arbitrarias.
En la tercera sesión se siguieron realizando actividades, cuyos objetivos eran
semejantes a los anteriormente planteados. La única diferencia, es que se
propusieron secuencias, que aceptaban diversas configuraciones para su conteo.
Figura 3. Fragmento Actividades de la Segunda Sesión
Capítulo III El Método
En este caso el énfasis se puso en la detección de las configuraciones o
agrupamientos más que en la sola variación de la cantidad de elementos que
formaban cada elemento de la serie, poniendo especial atención en las cantidades
constantes que podían ser vistas como configuraciones gráficas constantes.
En la Figura 4, podemos ver una de las actividades de la tercera sesión, que tiene
las características antes mencionadas.
Todas las actividades de las diferentes sesiones, fueron diseñadas de tal forma
que permitieran analizar cómo los estudiantes analizaban las figuras presentadas,
tales figuras eran susceptibles de ser analizadas visualmente. Las preguntas
planteadas durante las actividades, nos permitieron tener evidencia concreta de
las argumentaciones y explicaciones que los estudiantes construyen cuando
resuelven este tipo de tareas. En el capítulo siguiente, profundizaremos en el
análisis de algunas actividades, y mostremos cómo nos ayudan a alcanzar
nuestros objetivos planteados.
III. 4. La actividad en clase
Se realizaron tres sesiones de dos horas cada una, en la escuela preparatoria
antes mencionada. En promedio, durante las tres sesiones se contó con
Figura 4. Fragmento Actividades Tercera Sesión
Capítulo III El Método
aproximadamente 36 alumnos para cada sesión. Las actividades fueron
desarrolladas en el curso normal, en las que estuvo presente la profesora a cargo
del grupo así como el investigador. En el siguiente capítulo reportaremos el
seguimiento que le dimos a cinco estudiantes, los cuales nos brindan una buena
aproximación a lo que ocurrió en el salón de clase.
Para la realización de las actividades, se solicitó la formación de equipos de cuatro
integrantes, puesto que deseábamos que los estudiantes discutieran sus posibles
respuestas y organizaciones de las diferentes secuencias que se les presentó.
A cada equipo, se le entregó la hoja de actividades por cada sesión, y se les pidió
responder las cuestiones planteadas en las hojas de trabajo, así como completar
los cuadros proporcionados en ellas.
Se dio un tiempo suficiente para que los estudiantes discutieran sus respuestas
con sus compañeros de equipo. Posteriormente se solicitó su participación, para
que los que así lo desearan, pasaran a compartir sus respuestas en el pizarrón.
Hemos de hacer notar que en esta parte los estudiantes participaron activamente
y con gran entusiasmo.
En las siguientes secciones del próximo capítulo, presentamos un análisis de las
partes más importantes que grabamos en video y que nos brindan elementos para
validar nuestras hipótesis y responden a nuestras preguntas de investigación, al
mismo tiempo que nos permiten plantearnos nuevas preguntas para futuras
investigaciones.
Capítulo IV Análisis de
los datos
En este capítulo, presentamos un análisis de los resultados más significativos
que nos llevaron a la comprobación de nuestras hipótesis planteadas. Se
analizan las estrategias que algunos estudiantes utilizaron para resolver las
tareas que les presentamos, así como las discusiones generadas alrededor de
ellas.
Capítulo IV Análisis de los datos
Capítulo IV Análisis de los datos
IV.1. Introducción
En este capítulo, presentamos un análisis de los resultados más significativos que
nos llevan a sostener las hipótesis planteadas. Primero se retoman de manera
general los elementos teóricos que guiaron nuestra observación y análisis;
posteriormente, se describen las estrategias más representativas que usaron los
estudiantes para resolver algunas actividades.
A partir de la producción escrita de los estudiantes y las discusiones generadas
durante la resolución de las tareas propuestas, que fueron video-grabadas,
presentamos evidencia acerca del papel de la visualización en la resolución de
secuencias.
Por un lado, para realizar el análisis de la producción de los estudiantes, nos
basaremos en la clasificación propuesta por (Radford, 2006b), anteriormente
mencionada en el Capítulo II, puesto que en ella se categorizan los tipos de
generalización que los estudiantes realizan.
Por otro lado, para discutir acerca de cómo los estudiantes analizan las figuras,
tomamos los tres tipos de operaciones visuales que Duval desarrolla dentro de la
teoría de las Representaciones Semióticas: la Mereológica, la Óptica y la
Relacionada con el Lugar, ya que esta clasificación se aproxima a lo que los
estudiantes realizan cuando analizan las figuras y nos permiten discutir acerca de
ello.
A partir de la organización y combinación de los anteriores puntos de vista citados,
elaboramos una clasificación para las respuestas dadas por los estudiantes a
nuestras actividades, la cual representamos en la Tabla 2. Nuestra intención, no
es sólo encasillar nuestras actividades en una clasificación, sino tener elementos
más precisos para analizar y discutir claramente lo realizado por los estudiantes.
Por ejemplo, la Actividad I.1 y I.2 están en la intersección de entre lo factual y lo
mereológico, esto quiere decir que cuando los estudiantes resolvieron esta
Capítulo IV Análisis de los datos
actividad, el grado de generalización logrado solamente llegó a lo factual, puesto
que al expresar las relaciones entre los elementos de la secuencia y su posición,
quedaron a un nivel básico, es decir, usaron solamente las palabras para expresar
lo general y fue difícil transitar a una expresión simbólica de la regla que modelaba
la secuencia. En cuanto al papel de la figura, es decir la manera de analizar la
figura, los estudiantes la vieron como un todo que visualmente era explícita y que
no necesitaban de sub-agrupaciones o reconfiguraciones para ser analizada.
En las páginas siguientes profundizamos y ofrecemos evidencia de lo
anteriormente afirmado para las Actividades I.1 y I.2, y así para el resto de algunas
actividades propuestas a los estudiantes.
Para discutir acerca del proceso de generalización de un patrón, retomaremos los
resultados que Rivera & Rosi (2008) señalan y que brevemente resumimos: En un
primer momento los estudiantes deben centrarse en una posible propiedad
invariante o relación dentro del patrón, tomar algo en común y ser capaces de
generalizar esto a los demás elementos de la secuencia, siendo importante para
Mereológica Óptica Lugar
Factual Actividad I.1
Actividad I.2 Actividad II.4
Contextual
Simbólica
Actividad I.3
Actividad II.4
Actividad II.6
Actividad III.8
Actividad I.3
Tabla 2. Clasificación de nuestras actividades
Grado de
generalización
Operación
visual
Capítulo IV Análisis de los datos
lograr lo anterior una agilidad perceptiva en la descripción y generalización de un
patrón.
Nuestras actividades fueron diseñadas de tal forma que lo visual jugara un rol
importante y que progresivamente fueran tomando mayor importancia para la
resolución de las actividades propuestas a los estudiantes, es por ello que
presentamos un análisis por actividad y discutimos acerca de lo realizado por los
estudiantes, dando mayor importancia a las formas como los estudiantes
utilizaban o no las imágenes presentadas en cada actividad.
IV. 2. Análisis de las Actividades
IV.2.1. Actividad I.1
La primera sesión inició con el análisis de las actividades correspondiente a ésta
(Anexo 1), en la cual, como se ha mencionado en páginas anteriores, se
presentaron secuencias donde la relación entre la posición del elemento de la
secuencia y su posición fuera visualmente explicita.
Todas las tareas de esta primera sesión, consistían en la presentación de una
secuencia de figuras que crecían, posteriormente se pedía la búsqueda y dibujo
de elementos cercanos, luego se solicitó una explicación con palabras de la forma
como los estudiantes explicarían el crecimiento descubierto a otros compañeros
de su misma edad y de otra escuela, y por último se pedía la fórmula algebraica
que modelaba el crecimiento de la secuencia.
Para la Actividad I.1 (Figura 5), los estudiantes fueron capaces de encontrar
elementos cercanos de las secuencias presentadas, y en esta primera tarea se
cumplió nuestro objetivo. Ellos fueron capaces de explicar con palabras el
crecimiento de la secuencia de figuras, relacionaban la posición de los elementos
con la cantidad de cuadros que formaban cada elemento de la secuencia (Figura
6).
Capítulo IV Análisis de los datos
En general, todo el salón recurrió a la fórmula ( ) , que fue
conocida por ellos en un curso anterior, para resolver el inciso f, en el cuál se
solicitaba la expresión algebraica que describe el crecimiento de la secuencia. En
este caso concreto, la fórmula era susceptible de ser utilizada, debido a que las
secuencias eran de crecimiento geométrico.
Figura 5. La Actividad I.1
Figura 6. Dos respuestas al inciso e. de la Actividad I.1
Capítulo IV Análisis de los datos
Sin embargo, hemos de hacer notar que la gran mayoría de los estudiantes no
entendía la forma adecuada de usar tal fórmula, no fueron capaces de encontrar
los elementos necesarios para su uso. Analicemos lo anterior con un ejemplo
concreto, durante la solución y discusión de la Actividad I.1:
Una estudiante (J) pasó al frente del pizarrón, escribió la fórmula antes
mencionada y el Investigador (I) cuestionó acerca de la fórmula y qué tenía que
ver con la secuencia presentada. (E) corresponde a otras voces de otros
estudiantes:
I: Ah, muy bien Jocelyn, a ver, ¿me la puedes explicar? (La fórmula que está
escrita en el pizarrón)
La estudiante leyó la fórmula que escribió en el pizarrón, sin dar sentido ni
significado a los elementos de la fórmula
I: ¿Sabes qué es esa ? Y ¿la ? (La estudiante no puede explicar el
significado de los elementos de la fórmula recursiva. Ante esto se escucha la
voz de otros estudiantes que explican los elementos de la fórmula)
E: La es el primer número (refiriéndose a la cantidad de cuadros en el
primer elemento de la secuencia). La es el número que se quiere obtener.
es la primera cantidad, entonces n es el número que se quiere obtener
menos uno por la diferencia entre los elementos.
J no pudo explicar la fórmula y sus relaciones, lo intentó pero se confundió. Su
producción escrita igual nos revela la misma situación, en la Figura 7, vemos lo
escrito por ella en las hojas de trabajo, y es evidente el mismo fenómeno
anteriormente mencionado.
Figura 7. La producción escrita de J
Capítulo IV Análisis de los datos
IV. 2. 2. Actividad I.3
Hubo una tercera tarea, que por su característica y el reto que representó para los
estudiantes, la reportamos a continuación. La Actividad I.3 (Figura 8), consistió de
una secuencia de papalotes cuya “cola” crecía conforme aumentaba su posición
en la secuencia. En esta última actividad, se agregaba un factor variable que
cambia según la posición del elemento de la secuencia. Esta relación fue difícil de
expresar con la formulación algebraica adecuada, pero el análisis visual realizado
por los estudiantes (Figura 9), los llevó a expresar estas relaciones en palabras
(Figura 10) y transformarlas a expresiones algebraicas.
Los estudiantes lograron una conexión entre lo que veían y las relaciones que
trataban de explicar. Por ejemplo, en la Figura 10, tenemos dos respuestas, en las
cuales podemos notar, en la primera respuesta, cómo los estudiantes relacionan el
crecimiento de la “cola” con la posición del elemento de la secuencia; y en la
segunda respuesta, cómo el estudiante nota que el aumento es uno a la vez y que
coincide con el lugar, y además que existe una estrecha relación entre la posición
y la cantidad de cuadrados en la “cola”.
Los estudiantes, a partir del análisis realizado, trataron de traducir lo descrito con
palabras a un lenguaje algebraico, obteniendo respuestas como las que se
muestran en las Figuras 11 y 12.
En el siguiente diálogo notamos cómo un estudiante realizó una descomposición
de la figura y a partir de ésta brindó las explicaciones que le llevaron a escribir su
fórmula (Figura 11):
I: ¿Qué fórmula obtuvieron? ¿Cómo resolvieron el problema?
A: Yo puse cuatro, que nunca va a cambiar, que es la cabeza.
I: Cuatro, la cantidad de cuadritos en la cabeza del papalote. ¿Y en la cola?
Capítulo IV Análisis de los datos
Figura 8. Actividad I.3
Figura 9. Parte del análisis realizado
por los estudiantes. Actividad I.3
Figura 10. Respuesta a la Actividad I.3
Capítulo IV Análisis de los datos
A: El número de la figura, vamos a ponerle . Por ejemplo, si tengo la figura
número trece, por ejemplo ahí la pide, solo voy a sumar cuatro más trece,
que me va a dar igual a diecisiete.
La fórmula que escribió este alumno, es la mostrada en la Figura 11.
Otra estudiante, encontró una forma diferente de explicar el crecimiento del patrón
a través de una formulación recursiva, sus explicaciones son las siguientes:
I: Veamos la respuesta de Brenda. (La estudiante escribió en el pizarrón):
B: es igual al número del elemento que estamos buscando (se refiere al
número de su posición), entonces es igual a 4, que es el que nunca va a
cambiar, más el número antes de la sucesión, más uno.
Posteriormente explicó el uso de su fórmula, con base en el primer elemento de
la secuencia:
B: Supongamos que estamos en uno (que estamos buscando la cantidad de
cuadritos en el primer elemento), un número antes pues no tiene, es cero,
entonces se quedaría así (no escribe nada en el pizarrón) más uno, ésto es
igual a cinco (señala en el pizarrón el primer elemento de la secuencia,
queriendo mostrar con ello que su fórmula arroja correctamente el resultado)
I: Pero lo que escribiste con letras (o sea la expresión algebraica), escríbelo
para que vean tus compañeros, ¿nos lo explicas?
Figura 11
Capítulo IV Análisis de los datos
B: es igual al elemento.
I: La posición del elemento.
B: Y cuatro es la cabeza del armazón, más un número antes de la sucesión,
más uno.
I: ¿Ese uno qué es?
B: Lo que aumenta.
I: Es lo que va creciendo.
A partir de la figura la estudiante distinguió una constante y una parte que varía, la
parte que es constante la representó con el número 4, y la parte que varía la
representó con .
La estudiante tiene conflictos con el uso de la , se refiera a ella como “igual al
elemento”, queriendo decir con esto que, la es igual a la posición que ocupa el
elemento de la secuencia. Ella desea explicar que con su fórmula podemos hallar
la cantidad de cuadritos en cualquier lugar de la secuencia. Hay que hacer notar
que la sintaxis y la notación utilizada no es la adecuada, en términos de la
terminología matemática, pero para la estudiante es claro el significado. La
relación que trata de expresar entre ambos lados del signo igual (
), la interpretamos como:
“la cantidad de cuadritos del elemento n, es igual a cuatro más la cantidad de
cuadritos anterior en la cola, más uno”.
Debemos hacer notar una dificultad a la que se enfrentaron los estudiantes, ellos
lograron describir con palabras la variación notada en la secuencia (Figura 10),
Figura 12
Capítulo IV Análisis de los datos
con palabras como “aumenta uno de acuerdo con…”; sin embargo, esto fue muy
complicado de expresar en símbolos, se requirió de tiempo para que esto
sucediera. El uso de las imágenes, ayudó a la obtención de diversas expresiones
de la variación dentro de la secuencia. Ello lo vemos reflejado en las palabras
y ” que los estudiantes usan en sus explicaciones.
Apareció otra forma de expresar la generalización, en la cual la sintaxis fue
adecuadamente utilizada. Sin embargo, esto sólo ocurrió en un caso, que
mostramos en la Figura 13.
Figura 13
Capítulo IV Análisis de los datos
IV. 2. 3. Actividad II.4
A partir de la Sesión II, el tipo de secuencias que resolvieron los estudiantes para,
eran aquellos donde la relación entre la posición de sus elementos y la regla que
regía al patrón no era visualmente explícita o inmediata.
Iniciamos examinando la Actividad II.5 (Figura 14). En general los estudiantes
abordaron el análisis de la secuencia a partir de su configuración visual, notaron
algo que era común a toda la secuencia y el cambio de elemento a elemento.
En la Figura 15, podemos ver la producción escrita de un estudiante, en la cual, se
hace explícito el análisis realizado sobre las imágenes por medio de marcas
realizadas por él mismo. Posteriormente, en sus explicaciones acerca de la
construcción de la secuencia, retomará elementos de este análisis visual.
Figura 14. Actividad II.5
Capítulo IV Análisis de los datos
En este caso, la parte constante de la figura es la representada por el cuadro
pequeño que se encuentra en la parte superior derecha de las figuras, y la parte
que varía según el patrón, es la correspondiente al cuadro mayor formado por
cuadros más pequeños. La expresión algebraica que modela el crecimiento de la
secuencia es , los estudiantes fueron capaces de escribir esta expresión a
partir de un análisis visual, el cual, desde nuestro punto de vista no era para nada
tan complejo.
Antes de escribir la expresión algebraica, los estudiantes realizaron un análisis
numérico de la secuencia, obteniendo las diferencias entre cada elemento de la
secuencia y las subsiguientes entre ellas (Figura 15 y 16). Hemos de aceptar que
con este método es posible resolver la secuencia presentada, sólo que es
necesario un poco más de pericia y recordar algunas fórmulas que se necesitan
para encontrar los coeficientes de la expresión , cosa que los
estudiantes no pudieron realizar.
Figura 15. El método de las diferencias usado por los estudiantes
Capítulo IV Análisis de los datos
Durante la resolución de la actividad, el recurso aritmético fue abandonado y se
recurrió al análisis visual para construir la fórmula que modela el crecimiento de la
secuencia. Notamos una constante transición entre las representaciones
geométricas y aritméticas, para darle forma a la idea que organiza lo constante y
lo variable de la secuencia, como podemos notar en el siguiente extracto:
I: A ver Katia, ¿cómo lo contaste?
K: Yo lo relacioné, porque aquí la diferencia es de… uno y aquí es cuatro, la
diferencia es de tres cuadros (cuenta la cantidad de cuadros en el primer
elemento y el segundo elemento y realiza la diferencia). Aquí la diferencia es
de cinco cuadros (entre el segundo y tercer elemento de la secuencia). De
aquí para acá la diferencia sería 7, y de aquí para acá la diferencia sería 9.
La diferencia va aumentando en dos.
I: ¡Ajá! Son números impares. ¿Y la fórmula?
Figura 16
Capítulo IV Análisis de los datos
K: La fórmula sería, es la cantidad de cuadritos, que es igual a , que es el
número de la posición, por , que es igual al número de la posición, más uno.
Que nos daría la cantidad de cuadritos.
I: ¿Qué tienen que ver esas diferencias con tu fórmula?
La estudiante se queda pensativa, no responde.
I: Entonces estas diferencias ya no te sirvieron para tu fórmula o ¿qué pasó?
K: Ya no.
I: ¿Ya no?
K: Ah bueno, lo que pasó, es que nada más fueron las diferencias que
nosotros encontramos, pero ya para sacar la fórmula nosotros solo nos
basamos en los lados de la figura.
I: ¿Los lados?
K: Ajá, o sea el número de la posición que daba. Supongamos que es cuatro
(la posición) por el número de cuadritos en el lado de la figura, más uno.
Figura 17. Interpretación de alumna K
El número de la posición que daba.
Por el número de cuadritos en el lado de
la figura.
Capítulo IV Análisis de los datos
Es claro, en este caso, cómo para la estudiante fue más útil el análisis visual y la
descomposición de las figuras que el método de diferencias utilizado. El análisis
visual le permitió construir argumentaciones y explicaciones, y no solamente
realizar avanzadas técnicas aritméticas que la llevaran a la solución.
IV. 2. 4. Actividad II.6
El análisis de la Actividad II.6 resulta sumamente importante para nosotros, puesto
que para el conteo de los elementos de la secuencia era necesario considerar la
imposibilidad de vincular inmediatamente la posición de los elementos de la
secuencia, con la cantidad de cuadros que aparecen en el primer elemento de la
secuencia (Figura 18), a lo cual llamamos desfase. Es aquí donde podremos notar
cómo es que el análisis visual jugó un papal sumamente relevante y llevó a los
estudiantes a expresar este desfase en términos algebraicos.
Figura 18. La Actividad II.6
Capítulo IV Análisis de los datos
La expresión algebraica que modela el crecimiento de esta secuencia es:
( )
El es porque en la primera posición se encuentra el cuadrado de dos, y el
cuatro se debe a la cantidad constante que es visible en la figura. Analicemos
cómo un estudiante transitó de explicaciones visuales a la expresión algebraica
correspondiente a la secuencia.
El estudiante (F) pasó al frente del pizarrón y escribió la fórmula a la que llegó, (I)
corresponde a las intervenciones del Investigador:
F escribe la siguiente fórmula ( ) e inicia su explicación.
F: Nada más a yo la consideré como si fuera el elemento, ¿no? Si
empezamos con éste (señala el tercer elemento de la sucesión) que es el
tres (debió decir tercero), éste (señala la n de su fórmula con una flecha) es
el elemento, es tres.
I: La posición de la figura (Aclarando el sentido de n).
El estudiante, para ejemplificar su fórmula, sustituye los valores de los que
habla en la expresión algebraica que escribió anteriormente para y realiza
las cuentas necesarias para obtener la cantidad de cuadrados en el tercer
elemento de la secuencia.
( )
I: ¿Por qué le pones +1? (El uno aparece en su fórmula como constante).
F: Porque es el… Porque éste (señala la , Figura 19), por ejemplo, es este
tres (señala una fila de tres cuadritos en la base del tercer elemento de la
sucesión, Figura 20) es el número del elemento (el número de la posición del
elemento de la secuencia, Figura 21), que son estos tres (señala de nuevo
tres elementos de la base de la figura), que yo consideré como si fuera este
Capítulo IV Análisis de los datos
tres (el tres que numera la posición), ya nada más fue éste (señala un cuadro
más en la base de la figura para explicar el significado del +1, Figura 22) el
extra.
Figura 19 Figura 20 Figura 21 Figura 22
Podemos notar, con base en lo que el estudiante F va afirmando, que la
justificación de su fórmula está fuertemente basada en los elementos visuales, sin
embargo, sus explicaciones aun contando con estos elementos visuales, están
arraigados en la seguridad que le da la concretes de los números.
Hay que hacer notar que aún con estos elementos numéricos presentes, el
estudiante fue capaz de generalizar el patrón, y lo más importante, es que logró
conectar el desfase notado en los elementos de la secuencia con la posición que
ocupan. Nosotros, vemos aquí lo numérico, como un recurso para explicar lo
general y que no es usado solo, sino que es acompañado del recurso visual y que
juntos ayudan al estudiante a abstraer y explicar a sus compañeros la regla del
patrón.
IV. 2. 5. Actividad III.8
En esta actividad, los estudiantes fueron capaces de desarrollaron diversas
interpretaciones de un mismo objeto, lo que lleva a la visualización al nivel de
razonamiento. El análisis que realizaron de la secuencia presentada los llevó a
construir diversas expresiones algebraicas para una misma situación. Apareciendo
con ello no solo la riqueza del uso de las representaciones visuales sino también
un uso de ésta en términos de una base reflexiva para la organización algebraica
de la información en el sentido que es expresado por Hershkowitz et al ( 2001) . La
Actividad III.8 se muestra en la Figura 23.
Capítulo IV Análisis de los datos
Los estudiantes notaron el crecimiento del patrón de diversas maneras, véase la
Figura 24, 25 y 26, en donde se reproduce lo escrito por algunos estudiantes. A
partir de su producción podemos analizar las formas como ellos visualizaban el
crecimiento del patrón.
La primera y segunda respuesta que se encuentra en la Figura 24 y 25,
respectivamente, nos dan evidencia de que los estudiantes visualizaron cada
elemento de la secuencia como un conjunto, al cual se le agrega cierta cantidad
de cuadritos de figura a figura. Pese a que la visualización aparece como parte de
un proceso reflexivo, en el primer caso la detección del patrón por este medio,
rinde frutos para la generalización, mientras que en el segundo caso la asociación
distinguida, no es adecuada para desarrollar la formulación de lo general.
Hay que hacer notar que la visualización no solo sirvió para expresar las
relaciones entre las figuras, sino que también sirvió para explicar y dar razón de
los crecimientos y la relación de éstos con la posición que ocupan los elementos
de la secuencia.
Figura 23. La Actividad III.8
Capítulo IV Análisis de los datos
La respuesta plasmada en la Figura 27, nos da evidencia de una descomposición
de la secuencia en filas, ésta a la vez en sub-elementos que forman sub-figuras,
cuya cantidad depende de la posición que ocupa cada elemento dentro de la
secuencia. El estudiante realizó un tratamiento mereológico de la figura, lo cual le
permitió organizar de manera adecuada la relación existente entre los elementos
de la figura, y lo llevó a generalizar de manera correcta, llegando a expresar lo
anterior a través de la fórmula algebraica adecuada.
Nuestra investigación no quedaría completa, si no mostramos que estos diversos
modos de ver, llevaron a nuestros estudiantes a expresar la generalidad de formas
distintas. Para ello analizaremos las respuestas dadas por los estudiantes al inciso
c. de la Actividad III.8.
La respuesta dada al inciso c. por el estudiante que organizó según lo mostrado
en la Figura 24, fue ( ) . La estudiante explicó la fórmula obtenida de
la siguiente forma:
I: Brenda por favor.
B: Nuestra fórmula fue, la cantidad de cuadritos es igual a dos n más uno.
Figura 24
Figura 27. Respuesta al inciso c.
Término 1 Término 2 Término 3
Capítulo IV Análisis de los datos
I: ¿Por qué pusiste ? Bueno, solo .
B: Porque es el término, entonces si el término es 1, va ser dos veces
(Señalando el primer elemento de la secuencia y los cuadrados inferiores y
superiores) en estos dos, más el uno que siempre va ser constante.
I: Muy bien, explícamelo con éste (Señala el segundo elemento de la
sucesión)
B: Si es dos, que sería el termino (el número de la posición), están los dos
(señala los cuadrados de la parte superior e inferior), más 1.
La estudiante traduce “el doble del término” por ( ) y agrega “+1”. Es evidente
la conexión entre lo analizado y la simbolización de lo analizado en términos
algebraicos.
Figura 25
En la respuesta mostrada en la Figura 25, el estudiante escribió una explicación
de cómo crecía la secuencia, sin embargo, para llegar a la expresión de la regla
que subyace a ella no es suficiente con notar el crecimiento de dos en dos, sino
que también es necesario analizar el comportamiento de la otra parte de las
figuras, y relacionar esto último con el crecimiento de dos en dos, como se
muestra en la Figura 26.
Término 1 Término 2 Término 3
Capítulo IV Análisis de los datos
Figura 27
Por otro lado, el análisis que se muestra en la Figura 27 es el más rico que surgió
en la actividad, el estudiante pudo conectar las relaciones entre las figuras a partir
de la separación de ellas en sub-figuras, lo que llevó a expresar correctamente
esta relación en una expresión algebraica (Figura 28).
Analicemos lo que el estudiante (A) argumenta acerca de su fórmula, (I)
corresponde a las intervenciones del investigador:
I: ¿Podrías explicar el patrón con el mensaje?
A: ¿Lo escribo?
I: ¿Me lo puedes explicar? … Bueno lee y luego trata de explicarlo.
Término 1 Término 2 Término 3
Figura 26. El análisis faltante
Figura 28.
Término 1 Término 2 Término 3
Capítulo IV Análisis de los datos
A: Los cuadritos de abajo son el número de la posición y los de arriba son el
número de la posición más uno y así.
I: Escribe entonces.
A: (La estudiante escribe la fórmula que construyó) . que es
el número de la posición, más igual el número de la posición, más uno que
son los que van arriba (Se refiere a )
I: Me podrías decir esta n (señalando el primer término de la ecuación escrita
por la estudiante) en la figura, ¿dónde está?
A: Abajo (Marca con el plumón los cuadros de la parte inferior del elemento
3)
I: ¿Y esta otra ?
A: Arriba (marca con el plumón tres cuadros de la parte superior del
elemento 3 y deja un cuadro sin marcar).
I: ¿Y este uno?
A: Es este cuadrito (señala un cuadrito que está siempre en cada elemento
de la secuencia)
I: Y este 1, ¿está en todos?
A: Sí, a todos se les suma más uno.
I: Entonces en todos siempre está la posición, y luego qué es esto, ¿qué me
dijiste? (Preguntando por n+1)
A: Igual es el número de la posición pero le aumentamos un cuadrito.
I: En la figura, ¿eso dónde pasa?
A: Arriba (Señala las filas de cuadrados en la parte superior del elemento de
la secuencia).
El estudiante escribió , el primer término representa el número que
se asigna “a la posición” del término, y el término se refiere a “el número de
la posición más uno”. De esta forma vemos cómo es que los estudiantes pueden
conectar lo que ven, lo que escriben y dicen con los símbolos algebraicos.
Capítulo IV Análisis de los datos
Llevar a cabo una visualización reflexiva no es suficiente para que los estudiantes
logren generalizar, debido a que por ejemplo en el caso en que escriben “crece de
dos en dos” hacen una elección de sub-figuras equivocada, sin embargo,
corrigiendo ese hecho es posible que lograran la idea de generalizar.
Consideramos que para construir la idea de generalización en las secuencias
gráficas para la construcción de expresiones algebraicas, estás deben ser vistas
como un conjunto que cambia. ¿Qué tanto cambia? y ¿cómo cambia? es
establecido a partir de la relación entre elementos consecutivos, pero también
como una relación entre el todo y sus partes de elemento a elemento, un ejercicio
de este tipo permite que la visualización logre ser reflexiva y de esta manera
descomponer la información visual de manera organizada.
De este momento al de la formulación propiamente del patrón de la sucesión,
todavía hay que sobrepasar el conflicto que puede representar el uso adecuado
del lenguaje algebraico, asunto que no abordamos explícitamente en el actual
trabajo, pero que confiamos en trabajos futuros.
Con esto, cerramos este capítulo, como se podrá notar, aquí solamente tratamos
de describir puntualmente lo ocurrido en el salón de clases durante la resolución
de algunas actividades que propusimos a los estudiantes. A continuación en el
siguiente capítulo, desarrollaremos una breve discusión acerca de lo reportado en
este capítulo.
Capítulo IV Análisis de los datos
Capítulo V Discusión y
Conclusiones
En este capítulo desarrollamos una discusión alrededor de los resultados
obtenidos. En la parte final desarrollamos nuestras últimas reflexiones que nos
llevan a la conclusión del presente trabajo de investigación y proponemos
elementos para una futura investigación.
Capítulo V Discusión y
Conclusiones
Capítulo V Discusión y
Conclusiones
V.1. Discusión
En esta sección presentamos una discusión general acerca de los resultados
obtenidos durante la puesta en escena de nuestras actividades, explicamos las
razones de por qué fueron clasificadas como se muestra en la Tabla 2 (página 52).
Además, hacemos énfasis en los procesos generales por los que los estudiantes
transitaron hacia la generalización de las secuencias que les propusimos.
La Actividad I.1 está en la intersección de entre lo factual y lo mereológico, esto
quiere decir que cuando los estudiantes resolvieron esta actividad, el grado de
generalización logrado solamente llegó a lo factual, puesto que al expresar las
relaciones entre los elementos de la secuencia y su posición, quedaron a un nivel
básico, es decir, usaron solamente las palabras para expresar lo general y fue
difícil transitar a una expresión simbólica de la regla que modelara la secuencia.
En cuanto al papel de la figura, es decir la manera de analizar la figura, los
estudiantes la vieron como un todo que visualmente era explícito y que no
necesitaban de sub-agrupaciones o reconfiguraciones para ser analizada.
Los estudiantes fueron capaces de identificar la correspondencia entre la cantidad
de elementos y la posición que ocupaban dentro de la secuencia, sin embargo, el
abandono de la figura y su análisis geométrico, los dejó en un nivel básico de
generalización.
Para concluir con esta actividad, hay que hacer notar que la forma de resolver el
inciso f de ésta, en general careció del uso de elementos visuales (Figura 7). En
un primer acercamiento usaron los elementos visuales para dar sus explicaciones
(Figura 5), pero al momento de llegar a la formulación escrita de la expresión que
modela la secuencia, los estudiantes abandonaron el argumento gráfico y
recurrieron a su memoria. Resaltamos que los estudiantes no pudieron conectar lo
que explicaron con base en lo que veían con los símbolos algebraicos.
Capítulo V Discusión y
Conclusiones
La Actividad I.3, con base en lo realizado por los estudiantes, en nuestra
clasificación lo situamos en la intersección entre la operación visual mereológica y
la generalización simbólica. Esto es porque al resolver la actividad, los estudiantes
recurrieron a la descomposición de las imágenes del papalote en partes que
constituyen un todo, la cola como una fila de cuadrados que crece en cantidad
según la posición, y la cabeza del papalote como cantidad constante. Esta
secuencia de figuras podría verse como una operación visual de lugar respecto a
la Actividad I.1, puesto que la semejanza con ésta es notoria, solamente es la
rotación de la misma.
Es interesante el hecho de que la secuencia en esta Actividad I.3 sea una rotación
de la secuencia presentada en la Actividad I.1, porque en ésta los estudiantes no
fueron capaces de expresar simbólicamente el crecimiento de la secuencia,
suceso contrario a lo ocurrido en la Actividad I.3, puesto que en ésta, los
estudiantes pudieron explicar el crecimiento de la secuencia tanto en palabras
como en símbolos.
Los símbolos usados para resolver la Actividad I.3, no son utilizados de manera
adecuada, es decir, los estudiantes no utilizan de manera estricta el moderno
código algebraico, sino que construyen sus propios símbolos para expresar lo que
varía. Nosotros pensamos, de acuerdo con nuestro marco teórico, que la discusión
y negociación de los estudiantes al resolver las secuencias, le da valía a la forma
como ellos interpretan y dan significado a los símbolos escritos, lo cual para
nosotros enriquece la producción de conocimiento.
Planteamos en este punto, respecto a la forma de ver de los estudiantes, el hecho
de que en la Actividad I.3 tuvieran que involucrarse más en el análisis de las
figuras. Descomponerla en partes que son susceptibles a analizarse y organizar
esta información es lo que los llevó, a diferencia de lo ocurrido en la Actividad I.1,
a dotar de sentido y significado a lo escrito por ellos mismos. La situación
planteada los llevó a realizar un análisis para arribar a la expresión de lo que
cambiaba.
Capítulo V Discusión y
Conclusiones
En esta actividad, claramente podemos notar cómo la generalización va
emergiendo, lo que varía fue notado en las figuras (Generalización Factual o de
hechos), fue hecho lingüísticamente explícito, de manera que fue puesto por
escrito (Generalización Contextual), posteriormente la variación fue representada
por medio de símbolos (Simbólica).
Por otro lado, en un primer acercamiento a la Actividad II.4, podemos afirmar que
se clasifica dentro de la intersección entre lo óptico y lo factual, puesto que los
estudiantes no realizan operación alguna sobre las imágenes de la secuencia y
realizan operaciones sobre números particulares, reflejando con esto un
razonamiento pragmático que no va más allá de las diferencias entre los números
obtenidos de la secuencia.
Sin embargo, conforme los estudiantes avanzan en el análisis de la secuencia, el
recurso visual va tomando importancia como elemento que evidencia, da forma y
justifica las argumentaciones de los estudiantes, ayudando a describir la variación
presente en la secuencia, y que es reconocida gracias al análisis visual.
La operación visual, pasa de ser una mera forma óptica de ver la secuencia, a una
forma mereológica, donde el análisis y descomposición de la figura en partes lleva
a los estudiantes a una comprensión más profunda de las relaciones que existen
dentro de la secuencia.
El grado de generalización alcanzado, que es basado en el análisis visual, llega al
nivel de generalización más avanzado, gracias al análisis realizado por los
estudiantes. Hemos de hacer notar que de haberse conformado los estudiantes
con el análisis numérico, al no contar ellos con la pericia suficiente, pudieron haber
quedado en un nivel más básico de generalización factual.
Esta forma de usar la información gráfica va más allá de sólo notar la organización
de los elementos, es lo que nosotros hemos llamado aprender a ver, educar los
ojos o domesticar los ojos en términos de Duval y Radford respectivamente. No
solo se tiene un acercamiento a la figura de manera local, sino que los estudiantes
Capítulo V Discusión y
Conclusiones
logran una apreciación local-global dentro de la secuencia, es decir, lo que ocurre
dentro de la estructura de un elemento de la secuencia, lo local, es extendido a
todos los elementos siguientes, para ser visto como una característica global de
todo el patrón de crecimiento. Esto, para nosotros es un paso importante que
todos los estudiantes deben dar, y damos evidencia de que es posible realizarlo a
partir de procesos de visualización.
Respecto a nuestra clasificación, la Actividad II.6 es un claro ejemplo del proceso
de generalización, los estudiantes utilizan ejemplos particulares para construir sus
explicaciones, con base en la utilización de números y la combinación de éstos
con los elementos visuales. Lo anterior, nos da evidencia de que los estudiantes
pasan de un nivel factual a uno contextual.
A partir de la conjunción del elemento numérico, visual y gestual, podemos afirmar
que los estudiantes ascendieron a un nivel más avanzado de generalización que
es la simbólica, la cual se expresa por medio de la utilización de los modernos
símbolos alfanuméricos. A diferencia de lo ocurrido en la Actividad II.4, el
acercamiento de los estudiantes a esta actividad es más visual, recurriendo a los
números como herramientas que ayudan a justificar lo que visualmente es más
rico.
Regresando a nuestra clasificación, la Actividad III.8, desde el inicio fue abordada
por los estudiantes a través del análisis visual, las diferentes descomposiciones
realizadas por los estudiantes, las podemos categorizar como mereológicas,
puesto que los estudiantes dividieron las figuras en varias formas, por ejemplo
grupos, filas o bandas dentro de los elementos mismos. La aparición de esta
diversidad de análisis visuales, es para nosotros, una muestra del potencial que
tiene este tipo de abordaje para la resolución de problemas en matemáticas,
especialmente en la generalización de patrones de crecimiento gráfico.
Sin embargo, debemos hacer notar que la visualización que no conlleva una
mirada analítica del problema, es decir, la capacidad de identificar subestructuras
Capítulo V Discusión y
Conclusiones
adecuadas que ayuden a contar los elementos de la secuencia y que son posibles
de ser recompuestas y sintetizadas, fracasa, como ocurrió con uno de los casos
de organización visual de la Actividad III.8
Algunos estudiantes pueden ver configuraciones que todos vemos, pero no dan
importancia al reconocimiento de las partes importantes de las figuras, es decir,
aquellas que son portadoras de las propiedades y relaciones que condensan los
significados matemáticos y que ayudan a comprender mejor su estructura.
Aquellas organizaciones donde se logró abstraer las propiedades de la secuencia,
fueron las que llegaron al grado de generalidad más avanzado, la simbólica. Las
fórmulas que modelaban el crecimiento de la secuencia fueron construidas con
base en las relaciones visuales que se notaron y fueron justificadas con éste
mismo razonamiento.
En general podemos notar cómo en un primer acercamiento los estudiantes se
resistían al uso de los argumentos visuales, conforme las actividades se fueron
realizando, recurrir al argumento visual se fue haciendo más común. No sólo se
fue haciendo recurrente, sino que se fue desarrollando cierta habilidad de algunos
estudiantes para usarla.
Hay que hacer notar que la combinación de elementos visuales, numéricos y
gestuales, ayudó a los estudiantes a tener argumentos más precisos acerca de lo
que ellos estaban generalizando. En un principio la falta de un vocabulario
adecuado no les permitía explicar lo que veían, es después de la discusión y
análisis visual, y a través de la aparición de los gestos y su interpretación, que los
estudiantes enriquecen su forma de ver y expresarse, y con ello poder escribir la
generalización a través de los recursos anteriormente descritos.
Capítulo V Discusión y
Conclusiones
V.2. Conclusiones y perspectivas
A partir de la combinación de los elementos teóricos propuestos por Duval (1999)
y Radford (2006b), analizamos la forma como los estudiantes resolvieron las
actividades que les propusimos. No solamente sugerimos una herramienta para
clasificar la actividad realizada por los estudiantes, sino que a partir de ésta
podemos tener elementos para caracterizar el papel de la visualización en el
desarrollo del pensamiento algebraico.
A partir de los niveles de generalización propuestos por Radford y las operaciones
visuales propuestas por Duval, detectamos tres formas de cómo la visualización
influye en el proceso de elaboración de patrones gráficos en la introducción al
álgebra, los cuales son de la siguiente forma:
En un primer momento, asociado con la generalización Factual, tenemos que la
visualización interviene para discriminar las partes de los elementos de la
secuencia, a partir de propiedades que pueden ser numéricas o no. Las
relaciones, dentro del patrón, se establecen con la comparación de conjuntos y
subconjuntos de objetos, que pertenecen a elementos consecutivos.
En un segundo momento, hemos asociado con la generalización contextual, los
actos de visualización que ligan la posición de los elementos de una secuencia
con la numerabilidad de sus elementos. Lo anterior se da a partir de las
interpretaciones que los estudiantes dan a las asociaciones de subconjuntos de
elementos que identifican.
Esta asociación se caracteriza porque está elaborada para explicar la formulación
construida para el patrón, de manera que conserva su carácter particular, pese a
utilizar expresiones generales del álgebra.
Finalmente, en un tercer momento, el papel de la visualización en la
generalización de formulación simbólica, enajena la cualidad numérica de los
objetos observados para centrarse en una metodología que organiza y relaciona
Capítulo V Discusión y
Conclusiones
los subconjuntos, identificados dentro de los elementos de la secuencia, para
destacar o abstraer totalmente la regla que sigue la secuencia.
Finalmente podemos concluir que la forma como participa la visualización en el
proceso de generalización de secuencias gráficas, es variada. En cada nivel de
generalización, la visualización apareció de diferentes maneras, las cuales
llamamos: visualización de estructura numérica, de relación contextual y de
organización simbólica, las cuales caracterizamos a continuación.
En el primer caso, la visualización de estructura numérica está relacionada con la
verificación de las propiedades numéricas de la secuencia, directamente sobre la
representación gráfica. Por lo que ésta, es usada como entorno de
experimentación y validación de lo supuesto sobre las secuencias gráficas.
En el segundo caso, la visualización de relación contextual, se establece entre las
expresiones simbólicas que empiezan a ser generales y los atributos de la
representación gráfica, como por ejemplo, el número del lugar que ocupan los
elementos y su numerabilidad con la expresión en palabras de la regla que
subyace al patrón. El vínculo identificado entre estos elementos es muy estrecho,
de manera que el estudiante no puede abandonar la relación entre los tipos de
representaciones para hacer referencia de ellos, no puede abstraer totalmente esa
idea general que gobierna la secuencia, para hablar de ella sin necesidad de
números.
En la visualización de organización simbólica, primero se pasa por una
interpretación en la que se detectan claramente los elementos que forman las
estructuras gráficas, por ejemplo constantes y variables, y se da sentido a
diferentes organizaciones de la representación gráfica de la secuencia,
conectando de manera adecuada o inadecuada las relaciones generales.
Capítulo V Discusión y
Conclusiones
Consideramos que bajo esta perspectiva, trabajos futuros podría dirigirse a
analizar éste último tipo de visualización que hemos llamado de organización
simbólica. Dado que consideramos que efectivamente es posible proveer
estrategias a los estudiantes, para que organicen la información gráfica que los
lleve a detectar la regla que conforma el patrón de la secuencia.
En un momento previo a la formulación, identificamos que los estudiantes tienen
diversas maneras de organizar las figuras que se les presentan. Y consideramos
que es necesario analizar ¿cómo los estudiantes aprenden a reconocer aquellas
organizaciones que son efectivas para generalizar una secuencia gráfica?
Otra vertiente que deseamos incluir en un trabajo futuro, es la que se refiere a la
diversidad de organizaciones gráficas que una misma secuencia gráfica acepta,
debido a que cada una de ellas es susceptible de ser transformada en una fórmula
también distinta, de ahí que los estudiantes tendrían que estar indagando sobre la
pertinencia de cada una de éstas fórmulas, pese a tratarse de formulaciones
distintas. Ésta situación nos permitiría aproximarnos a la idea de función, en el
sentido de regla de correspondencia. Nuestro reto es analizar la forma como los
estudiantes desarrollan la habilidad de aprender a visualizar por medio de
métodos que sean efectivos para la resolución de problemas gráficos.
Bibliografía
Bibliografía
Bibliografía
Arcavi, A. (2003). The role of visual representations in the learning of mathematics.
Educational Studies in Mathematics, 52, 215-241.
Barbosa, A. (2011). Patterning problems: Sixth graders’ ability to generalize.
Recuperado el 19 de octubre de 2012 de
http://www.cerme7.univ.rzeszow.pl/WG/3/CERME7_WG3_BarbosaA.pdf
Bell, C. (2011). Lining up Arithmetic Sequences. Mathematics Teaching in the
Middle School, 17(1), 34-39.
Beigie, D. (2011). The Leap from Patterns to Formulas. Mathematics Teaching in
the Middle School, 16(6), 329-335.
Carraher, D., Martines, M. & Schliemann, A. (2008). Early algebra and
mathematical generalization. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik-The
International Journal on Mathematics Education, 40(1), 3-22.
Duval, R. (1999). Representation, Vision and Visualization: Cognitive Functions in
Mathematical Thinking. Basic Issues for Learning. En F. Hitt & M. Santos (Eds.),
Proceedings of the 21st Annual Meeting of the North America Chapter of the
International Group of PME (pp. 3-26). Cuernavaca, Morelos, Mexico: PMENA.
Friel, S. & Markworth, K. (2009). A Framework for Analyzing Geometric Pattern
Task. Mathematics Teaching in the Middle School, 15(1), 24-33.
Hershkowiz, R. (1989). Visualization in Geometry-Two sides of the coin. Focus on
Learnig Problems in Mathematics, 11(1), 61-76.
Hershkowitz, R., Parzysz, B. & Van Dormolen, J. (1997). Space and Shape. En A.
Bishop, K. Clements, C. Keitel, J. Kilpatrick & C. Laborde (Eds.) International
Handbook of Mathematics Education 4, (pp. 205-237). Kluwer International
Handbooks of Education.
Hershkowitz, R., Arcavi, A. & Bruckheimer, M. (2001). Reflections on the status
and nature of visual reasoning -the case of the matches. International Journal of
Mathematics Education in Science and Technology, 32(2), 255-265.
Bibliografía
Johanning, D. (2011). Helping Students Develop Capacity for Tranfer. Mathematics
Teaching in the Middle School, 16(5), 260-264.
Kieran, C. (2006). Research on the learnign and the teaching of algebra. A
Broadening of sources of meaning. A. Gutiérrez & P. Boero (Eds.), Handbook of
research on the Psychology of Mathematics Education: Past, Present and
Future (pp. 11-49). Rotterdam: Sense Publishers.
Larios, V. (2010). Aspectos que influyen en la construcción de la demostración en
ambientes de geometría dinámica. Revista Latinoamericana de Investigación en
Matemática Educativa, 13(4-I), 147-160.
Lee, L. & Freiman, V. (2006). Devoloping Algebraic Thinking Through Pattern
Exploration. Mathematics Teaching in the Middle School, 11(9), 428-433.
Lin, F. & Yang, K. (2004) Differentiation on student’s reasoning on linear and
quadratic geometric number patterns. Proceedings of the 28th Conference of
the International Group for the Psychology of Mathematics Education 4 (pp 457-
464). Berguen, Norway.
Matos, A. & da Ponte J. (2008) O estudio de relacoes funcinais e o
desenvolvimento do conceito de variavel em aluno do 8° ano. Revista
Latinoamericana de Investigación en Matemática educativa, 11(2),195-231.
Noss, R., Healy, L. & Hoyles, C. (1997). The construction of mathematical
meanings: connecting the visual with the symbolic. Educational Studies in
Mathematics 33, 203-233.
Radford, L. (1998). On Culture and Mind: A Post-Vygotskian Semiotic Perspective
with an Example from Greek Mathematical Thought. 23rd Annual Meeting of the
Semiotic Society of America,Vicotria College, University of Toronto, Canada.
Radford, L. (2000). Signs and meanings in students’ emergent algebraic thinking: a
semiotic analysis. Educational Studies in Mathematics, 42, 237-268.
Bibliografía
Radford, L. (2006a). Elementos de una teoría cultural de la objetivación. Revista
Latinoamericana de Investigación en Matemática educativa, 9(Número
especial),103-129.
Radford, L. (2006b). Algebraic thinking and the generalization of patterns: a
semiotic perspective. Alatorre, S., Cortina, J.L., Sáiz, M. and Méndez, A. (Eds.)
Proceedings of the 28th annual meeting of the North American Chapter of the
International Group for the Psychology of Mathematics Education (pp.2-21).
Mérida, México: Universidad Pedagógica Nacional.
Radford, L. (2008). Iconicity and contraction. Zentralblatt für Didaktik der
Mathematik-The International Journal on Mathematics Education, 40(1), 83-96.
Radford, L. (2010). The eyes a theoretician: Seeing structures in generalizing
activities. For the Learning of Mathematics, 30(2), 2-7.
Radford, L. (2012). Early Algebraic Thinking Epistemological, Semiotic, and
Developmental Issues. ICME-12 Regular Lecture. Seoul, South Korea.
Recuperado el 23 de octubre del 2012 de
http://www.luisradford.ca/pub/5_2012ICME12RL312.pdf
Rinvoold, R. (2011). Multimodal derivation and proof in algebra. Recuperado el 20
de octubre del 2012 de http://www.cerme7.univ.rzeszow.pl/WG/1/CERME7-WG1-
Rinvold-Lorange.pdf
Rivera, F. & Rossi, J. (2005). Figural and Numerical Modes of Generalizing.
Mathematics Teaching in the Middle School, 11(4), 198-203.
Rivera, F. & Rossi, J. (2008). Middle school children’s cognitive perceptions of
constructive and deconstructive generalizations involving linear figural patterns.
Zentralblatt für Didaktik der Mathematik-The International Journal on
Mathematics Education, 40(1), 65-82.
Secretaría de Educación Pública (2011). Programas de estudio 2011. Guía para el
maestro. Educación Secundaria. Matemáticas. México: SEP.
Bibliografía
Secretaría de Educación Pública (2010). Serie: Programas de Estudio. Dirección
General de Bachillerato. México: SEP. Recuperado el 21 de marzo del 2013 de:
http://www.dgb.sep.gob.mx/informacion_academica/programasdeestudio/cfb_1e
rsem/MATEMATICAS_I.pdf
Smith, M., Hillen, A. & Catania, C. (2007). Using Pattern Tasks to Develop
Mathematical Understanding and Set Classroom Norms. Mathematics Teaching
in the Middle School, 13(1), 38-44.
Stylianou, D. (2011). The Process of Abstracting in Students’ Representations.
Mathematics Teaching in the Middle School, 17(1), 8-12.
Stacey, K. (1989). Finding and using patterns in linear generalising problems.
Educational Studies in Mathematics, 20, 147-164.
Ursini, S., Escareño, F., Montes, D. & Trigueros, M. (2005) Enseñanza del álgebra
elemental: una propuesta alternativa. México, D. F.: Trillas.
Zapata, O. (2005) Metodología de la Investigación para elaborar tesis e
investigaciones socioeducativas. México, D. F.: Editorial Pax México.
Anexo
Actividades Implementadas
Anexo
Anexo
Centro de Investigación y de Estudios Avanzados
del Instituto Politécnico Nacional
Cinvestav- IPN
Departamento de Matemática Educativa
I. Primera Sesión
1. En la Figura 1 se tiene una secuencia de cuadrados. Analiza cada uno de los
elementos de la secuencia y contesta las preguntas que a continuación se hacen:
a. ¿Cuántos cuadrados hay en cada elemento de la secuencia?
Responde completando la Tabla 1.
Elemento Dibuja
Cantidad
de
cuadrados
1
2
3
4
Nombre del alumno: Edad:
Grado escolar: Género:
Responsable: Sergio Damián Chalé Can
Figura 1
Tabla 1
Anexo
b. Dibuja en la Tabla 1 los elementos 5 y 6 de la secuencia.
c. Dibuja el elemento 17 de la secuencia
d. ¿Cuántos cuadrados necesitaremos para dibujar el elemento 59 de la secuencia?
e. ¿Hay alguna relación entre la cantidad de cuadrados y la posición del elemento
de la secuencia? Descríbela con tus palabras.
f. Escribe una fórmula para obtener la cantidad de cuadrados en cualquier
elemento del patrón.
Anexo
2. En la Figura 2 se tiene una secuencia de cuadrados. Analiza cada uno de los
elementos de la secuencia y contesta las preguntas que a continuación se hacen.
a. ¿Cuántos cuadrados hay en cada elemento de la secuencia?
Responde completando la Tabla 2.
Elemento Dibuja
Cantidad
de
cuadrados
1
2
3
… … …
12
Figura 2
Tabla 2
Anexo
b. Dibuja en la Tabla 2 el cuarto elemento de la secuencia.
c. ¿Cuántos cuadrados necesitaremos para dibujar el elemento 12 de la secuencia?
Dibújalo en la Tabla 2 en la fila correspondiente.
d. ¿Hay alguna relación entre la cantidad de cuadrados y la posición del elemento
de la secuencia? Descríbela con tus palabras.
e. Escribe una fórmula para obtener la cantidad de cuadrados en cualquier
elemento del patrón.
Anexo
3. En la Figura 3, se tienen unos papalotes formados por cuadrados, su cola igual es
formada por cuadrados.
a. Continúa la sucesión de papalotes dibujando el cuarto papalote. ¿Cuántos
cuadrados tendrá en el armazón (la cabeza)? Y ¿en la cola?
b. ¿Cuántos cuadrados tendrá el papalote número 13 de la sucesión?
¿Cuántos cuadrados habrá en el armazón (la cabeza) del papalote? Y ¿en la cola?
c. Escribe un mensaje para otro chico, explicando claramente qué debe hacer para
encontrar cuántos cuadrados habrán en cualquier papalote de la secuencia.
d. Escribe una fórmula para encontrar la cantidad de cuadrados en cualquier
papalote de la Figura 3.
Figura 3
Figura 3
Anexo
Centro de Investigación y de Estudios Avanzados
del Instituto Politécnico Nacional
Cinvestav- IPN
Departamento de Matemática Educativa
II. Segunda sesión
4. En la Figura 4 se tiene una secuencia de cuadrados. Analiza cada uno de los
elementos de la secuencia y contesta las preguntas que a continuación se hacen.
a. Completa la siguiente tabla con la información adecuada.
Elemento Dibuja
Cantidad
de cuadritos
en un lado
Total de
cuadritos
4
5
b. La cantidad de cuadritos en un lado del cuadrado, ¿es menor, igual o mayor que
el número de la posición del elemento de la sucesión?
Nombre del alumno: Edad:
Grado escolar: Género:
Responsable: Sergio Damián Chalé Can
Figura 4
Tabla 3
Anexo
c. ¿Cómo podemos relacionar la cantidad de cuadritos de un elemento de la
sucesión con la posición que ocupa?
d. Escribe una fórmula para obtener la cantidad de cuadritos en cualquier
elemento de la sucesión.
5. Analiza la sucesión representada en la Figura 5 y responde las preguntas que se
plantean a continuación.
a. Dibuja el quinto y sexto elemento, ¿cuántos cuadritos tiene cada uno?
Quinto elemento
Cantidad de cuadritos:
Sexto elemento
Cantidad de cuadritos:
b. ¿En la figura hay algo que siempre permanezca constante? Señala en las figuras
marcando con tu lápiz.
c. ¿Qué varía en la figura? Señala en las figuras pintando de otro color diferente a
tu lápiz.
Figura 5
Anexo
d. Escribe un mensaje para otro chico, explicando claramente qué debe hacer para
encontrar cuántos cuadrados habrán en cualquier elemento de la secuencia.
e. Escribe una fórmula para calcular la cantidad de cuadritos en cualquier elemento
de la sucesión.
6. Analiza la siguientes sucesión y dibuja los dos siguientes elementos en los espacios
vacíos de la derecha:
a. Completa la Tabla 4.
Elemento Dibujo Cantidad
variante
Cantidad
Constante
Cantidad total
de
cuadritos
1
2
Tabla 4
Figura 6
Anexo
3
4
a. ¿Cuántos cuadritos hay en cada cuadrado central de cada elemento?
b. ¿Cuántos cuadrados permanecen siempre, es decir, son siempre la misma
cantidad?
c. Escribe un mensaje para otro chico, explicando claramente qué debe hacer para
encontrar cuántos cuadrados habrán en cualquier elemento de la secuencia.
d. Escribe una fórmula para calcular la cantidad de cuadritos en cualquier elemento
de la sucesión.
Anexo
7. Analiza la sucesión presentada en la Figura 7 y responde las preguntas que se
plantean a continuación.
a. Completa la Tabla 5.
Elemento Dibujo Cantidad
variante
Cantidad
Constante
Cantidad total
de
cuadritos
1
2
3
Tabla 5
Figura 7
Anexo
4
a. Escribe un mensaje para otro chico, explicando claramente qué debe hacer para
encontrar cuántos cuadrados habrán en cualquier elemento de la secuencia.
b. Escribe una fórmula para calcular la cantidad de cuadritos en cualquier elemento
de la sucesión.
Anexo
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III. Tercera sesión.
8. En la figura 8 se tiene una secuencia, analiza y responde las preguntas que se
plantean.
a. Dibuja el cuarto y quinto término de la sucesión
b. Escribe un mensaje para otro chico, explicando claramente qué debe hacer para
encontrar cuántos cuadrados habrán en cualquier elemento de la secuencia.
c. Escribe una fórmula para calcular la cantidad de cuadritos en cualquier elemento de
la sucesión.
Nombre del alumno: Edad:
Grado escolar: Género:
Responsable: Sergio Damián Chalé Can
Termino 1 Termino 2 Termino 3
Figura 8
Anexo
9. En la figura 9 se tiene una secuencia, analiza y responde lo que a continuación se
solicita.
a. Dibuja el cuarto elemento de la sucesión en el siguiente espacio:
b. ¿Cuántos cuadritos tendrá el elemento número 17 de la sucesión?
c. Escribe un mensaje para otro chico, explicando claramente qué debe hacer para
encontrar cuántos cuadrados habrán en cualquier elemento de la secuencia.
d. Escribe una fórmula para calcular la cantidad de cuadritos en cualquier elemento
de la sucesión.
Figura 9
Anexo
10. Analiza la siguiente secuencia presentada en la figura 9.
a. Dibuja el cuarto elemento de la sucesión en el siguiente espacio:
b. ¿Cuántos cuadrados tendrá el elemento 21 de la sucesión?
c. Escribe un mensaje para otro chico, explicando claramente qué debe hacer para
encontrar cuántos cuadrados habrán en cualquier elemento de la secuencia.
d. Escribe una fórmula para calcular la cantidad de cuadritos en cualquier elemento
de la sucesión.
