,ELMETODO DE LOS ELEMENTOS,FINITOS APLICADO ALANALISISESTRUCTURAL,MANUEL VAZQUEZDoctor Ingeniero AeronuticoUniversidad Politcnica de Madrid, ,ELOISALOPEZDoctora en Ciencias FsicasUniversidad Complutense de MadridEditorial Noela - MADRID,IndicePrlogo XICaptulo 1. Conceptos bsicos 11.1. Introduccin 11. CONCEPTOSDE ELASTICIDAD 11.2. Ecuaciones de equilibrio 11.3. Relaciones esfuerzos-deformaciones 21.4. Relaciones deformaciones-desplazamientos 41.5. Problema elstico 5n. CONCEPTOS ENERGETICOS 71.6. Teorema de los trabajos virtuales 71.7. Principio dela energa potencial total 8III. CONCEPTOS MATEMATICOS 101.8. Coordenadas naturales 101.9. Jacobiano 171.10. Integracin numrica 20Captulo 2. Fundamentos del MEF 312.1. Introduccin 31,1. DESCRIPCION DEL MEF 312.2. Fases delmtodo 312.3. Divisin en elementos finitos 322.4. Vector de desplazamientos del elemento 352.5. Matriz de rigidez del elemento 382.6. Matriz completa de rigidez de la estructura 422.7. Respuesta de la estructura 46n. ANALISIS DEL MEF 482.8. Condiciones de las funciones de desplazamientos 482.9. Criterios de convergencia 512.10. Equilibrio de la estructura 562.11. Estabilidad de los elementos 57, ,III. FORMULACION DEBIL 582.12. Mtodo de Rayleigh-Ritz 582.13. Mtodos de los residuos ponderados 60VIIVIIICaptulo 3.3.1.3.2.1.11.III.Captulo 4.4.1.4.2.4.3.4.4.4.5.4.6.4.7.4.8.4.9.Captulo 5.5.1.5.2.1.11.III.INDICEBarras y estructuras articuladasIntroduccinEcuacin diferencial de gobiernoPLANTEAMIENTO yDESARROLLO DEL MEF3.3. Matriz completa de rigidez3.4. Vector de fuerzasnodales equivalente3.5. Respuesta de la barra3.6. Estructuras articuladasELEMENTOS DE GRADOSUPERIOR3.7. Elemento cuadrtico3.8. Elementos cbico y de grado n - 1FORMULACIN DBIL3.9. Mtodo de Rayleigh-Ritz3.1 O.Mtodos de los residuos ponderadosVigas y estructuras reticuladasIntroduccinEcuacin diferencial de gobiernoFuncin de desplazamientosMatriz completa de rigidezVector de fuerzas nodales equivalenteVigas de un solo tramoVigas continuasEstructuras reticu1adasMtodo de Rayleigh-RitzEstructuras bidimensionalesIntroduccinElasticidad bidimensionalELEMENTO TRIANGULAR DE TRES NODOS5.3. Funciones de desplazamientos5.4. Matriz de rigidez del elemento5.5. Vector de fuerzasnodales equivalente5.6. Matriz completa de rigidez de la estructura5.7. Respuesta de la estructuraELEMENTO RECTANGULAR DE CUATRO NODOS5.8. Funciones de desplazamientos5.9. Matriz de rigidez del elemento5.10. Vector de fuerzasnodales equivalente5.11. Matriz completa de rigidez de la estructura5.12. Respuesta de la estructuraELEMENTOS DE GRADOSUPERIOR5.13. Elementos lagrangianos5.14. Elementos serendpitos63636365657477929797102108108114127127127129134137143156162176181181182186186191195199205214214218219221226233233241Captulo 6.6.l.1.n.Captulo 7.7.l.7.2.7.3.7.4.7.5.7.6.7.7.7.8.Captulo 8.8.1.8.2.8.3.8.4.Captulo 9.9.1.9.2.9.3.9.4.9.5.9.6.Captulo 10.10.1.10.2.10.3.lOA.10.5.10.6.10.7.10.8.,INDICEEstructuras tridimensionalesIntroduccin,ELEMENTO TETRAEDRlCO DE CUATRO NODOS6.2. Funciones de desplazamientos6.3. Matriz derigidez del elemento604. Vector de fuerzasnodales equivalenteELEMENTO HEXADRlCO DE OCHO NODOS6.5. Funciones de desplazamientos6.6. Matriz de rigidez del elemento6.7. Vector de fuerzas nodales equivalentePlacas delgadasIntroduccinEcuacin diferencial de gobiernoMatriz de rigidez del elementoRespuesta de la placaElemento rectangular de12 g.d.!.Otros elementos rectangularesElemento triangular de10 g.d.!.Otros elementos triangulares.Estructuras axisimtricasIntroduccinElasticidad axisimtricaElemento triangular de tres nodosElemento rectangular de cuatro nodosFormulacin isoparamtricaIntroduccinElementos de barraElemento cuadrilateral de cuatro nodosElementos cuadrilaterales curvosElementos triangularesElemento hexadrico de ocho nodosClculo dinmicoIntroduccinEcuacin matricial de equilibrio dinmicoMatrices de masa, amortiguamiento yrigidezModos yfrecuenciasnaturalesMtodo de JacobigeneralizadoMtodos deiteracinMtodo de superposicin de modos naturalesMtodo delas diferencias finitasIX245245245245250255259259261265269269269274277279300302312315315315318335343343344353372374379383383383386394402404405411xApndicesA.B.c.D.E.,INDIcEAlgebra matricialAl. IntroduccinA.2. DefinicionesA3. Matrices especialesAA. Suma, resta y multiplicacin por un escalarA.5. Multiplicacin de matricesA6. Determinante de una matrizA.7. Rango de una matrizA8. Matriz inversaA9. Particin de matricesA10. Matriz de rotacinMtodo de las diferencias finitasB.1. IntroduccinB.2. Diferencias finitasB.3. Derivadas de una funcin F (x)BA. Derivadas parciales de una funcin F(x, y)B.5. Coordenadas triangularesMtodo de los desplazamientosC.1. IntroduccinC.2. Relaciones entre solicitaciones y desplazamientosC.3. Descripcin del mtodoCA. Matriz de rigidez de una barraC.5. Matriz completa de rigidez de la estructuraC.6. Respuesta de la estructuraBibliografa,Indice de materias413415415415416418419422424425427428431431431432440447451451451453466474482493495PrlogoElmtododeloselementosfinitos(MEF)esunadeherramientamuytil enlaresolucin deun gran nmero deproblemasdeingeniera, talescomolosderiva-dos del anlisis de la deformacin de los cuerpos, la transmisin del calor, las redeselctricas ylosmovimientosdelosfluidos. Enestelibronoslimitaremosalpri-mero de los problemas y, en consecuencia, aplicaremos el mtodo de loselemen-tos finitos al clculo de estructuras.El libroEl mtodode los elementos finitos aplicadoal anlisis estructuralforma partedeuna coleccin orientada al estudiodelasestructurasqueseinicicon Mecnica para Ingenieros-Esttica- en elao1971(5 ediciones), continuen1986 con Resistencia de Materiales(4 ediciones), Clculo matricial de estruc-turas (2 ediciones) en 1992y, finalmente en 1993, MecnicaparaIngenieros-Esttica y Dinmica- (2 ediciones). Todos estos libros, al igual que el que hoy sepresenta, tienenunenfoquecomn, quecombinalas exposicionestericas conejemplosdealtogradodedetalle. La relevancia otorgada alosejemplosfacilita,desde nuestro punto de vista, la comprensin delasexposiciones,aminorandoasla aridez propia de la materia.Los conceptos mnimos de Elsticidad, teoremas energticos y clculo numricosonresumidosenelprimercaptulodeConceptosbsicos. A continuacin, enelsegundo captulo se expone la descripcin y el anlisis del mtodo de los elementosfinitos que se aplicar a lo largo del resto del libro.Enlos captulos 3al 8seaplicael mtodode los elementos finitos a lossiguientes tipos de estructuras: Barrasy estructuras articuladas, Vigas y es-tructurasreticuladas, Estructuras bidimensionales, Estructuras tridimensiona-les, Placas delgadas y Estructuras axisimtricas. En todos estos captulosse comienza con las ecuaciones diferenciales de la Resistencia de Materiales o dela Teora dela Elasticidadquegobiernanel funcionamientodecada unodelostipos deestructuras. A continuacinseprosigueaplicandoacadaunadeesasestructuraslasdistintasfasesdelmtodo: Divisin enelementosfinitos, Vectordedesplazamientosdel elemento, Matrizderigidezdel elemento, Matrizcom-pleta derigidezdela estructura yRespuesta delaestructura. Enalgunosejem-plos se comprueba la aproximacin que se consigue en la respuesta dela estruc-turaobtenidapor el MEF, respectode laqueseconsideraexactaconformeala Resistencia de Materiales o la Teora de la Elasticidad. Se comprueba adems,en esos ejemplos, que esa aproximacin es tanto mayor cuanto mayor es el nme-rodeelementos finitosenquesedividela estructura. Enloscaptulos3 y4seaplicala formulacindbildel MEF, queutiliza principiosenergticos, a barrasy vigas.XIXII PRLOGOEnel captulo9seanalizala Formulacinisoparamtricaporsuimportanciapara la utilizacin de elementos curvilneos que se adaptan mejor a los contornos dela estructura.El captulo 10, ltimo del libro, se refiere al Clculo dinmico, debido a la impor-tanteaplicacinqueelMEF tieneen la resolucindelos problemasquepresentanlas cargas dinmicas en las estructuras. Se incluyen en este captulo los mtodos deJacobi generalizado, de iteracin, de superposicin de modos naturales y de diferen-cias finitas.Los diez captulos dellibro se complementan con tres apndices. El apndice A,es un pequeo resumen del AIgebra matricial cuyos conceptos resultan imprescindi-blesparael lectordeestelibro. El apndiceB, Mtododelasdiferencias finitas,expone el mtodo incluyendo ejemplos muy conceptuales. El apndice e, Mtodo delos desplazamientos, a travs de su desarrollo matricial, constituye un caso particu-lar del MEF y supone una introduccin al mismo.Seconserva la primera persona delpluralenla presentacin deestelibroa suslectores, pese a que la muerte delautor ManuelVzquez precede a su publicaci,n.Se hace as porque en el ofrecimiento de la obra a sus lectores,en la confianza y 'eldeseo de que les sea provechosa y ample sus conocimientos, se prolonga la cerradacompaa que presidi su escritura.Los autores agradecen la acogida que han tenido los anteriores libros de la colec-cin y esperan que tambin la tenga El mtodo deloselementos finitosaplicado alanlisis estructural, que nace con el nuevo milenio.Madrid, marzo de 2001MANUEL VZQUEZELOSA LPEZ1.,CONCEPTOSBASICOS,1.1. INTRODUCCIONLaTeoradelaElasticidaddeterminael comportamientodeunaestructuraantelascargasmediantelaresolucindesistemasdeecuacionesdiferenciales,llamadosecuaciones decampo ode gobierno, complementados por lascondicionesdecontornoodesustentacin.Los mtodos tradicionalesdeclculodeestructurasutilizanlaResistenciadeMaterialesqueaadehiptesissimplificatorias ala Teora de la Elasticidadpararesolver lasecuacionesdegobierno, obtenindoseunassolucionesqueseconsideran exactas.Sin embargo, estos mtodos tradicionales de clculo normalmente solo se pue-den aplicar a estructuras articuladas y reticuladas. En estructuras mas comple-jascomolasestructurascontinuasesnecesarioaplicar mtodosaproximadoscomoel Mtodo de los elementos finitos. Despus de dividir laestructuraenpartes, llamadas elementos finitos, interconectadasentres, el mtodode loselementosfinitosreduceel problemaelsticoalaresolucindeunsistemadeecuacionesalgebraicas. Estemtodosebasaenunaseriedeconceptosqueseagrupanen los apartadossiguientes'1. Conceptos deElasticidad.lI. Conceptosenergticos.lII. Conceptosmatemticos.I.CONCEPTOSDE ELASTICIDAD,,,1.2. ECUACIONESDEEQUILIBRIOSea un cuerpo sometido aun sistema de fuer-zasaplicadascualesquiera(Fig. 1.1a) y sea Oel puntodel cuerpocuyos estados deesfuer-zos y de deformaciones estamos considerando.Eligiendoel puntoOcomoorigendeltriedrode ejes coordenados x, y, z, el estado de esfuer-zosenel puntoOestadefinidoporel vectordeesfuerzoszyP3(1.1)Fig. 1.1(a).12 CONCEPTOSBSICOSz'Xl'O"y'yx'nO'tyzY'zB] = 1]BW1]B)](1-1/ v'3[e/>cJ =1]e 1]e)](l+1/v'3), 1]D 1]D)](l+l/vral sustituir las anteriores matrices en(e) se obtiene la matriz derigidez del elemento rec-tangulardecuatronodos, queesasu vezla matrizcompletaderigidezdela estructura8,25370,07270,072710,1091 -0,07271-O, 1091 -0,363613,9633 0,36361 1 11,163510,1454 -0,58171-0,7272 -0,72721-0,3636 0,1454- - -- - - - - -- - - - - - -- - - - - -0,1091 0,1454 16,1450 -1,018112,5817 0,14551-0,1091 0,7272-0,0727 -0,58171-1,0181 1,74531- 0,1455 -0,436310,3636 -0,72721 1 1- - - - - - - 1- - - - - - - -1 - - - - - - - 1- - - - - - --0,1091 -0,727212,5817 -O, 145516,1450 1,0181 10,1091 -0,1454-0,3636 -0,72721-0,1455 -0,436311,0181 1,7453' 0,0727 -O, 58171 I 1- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -3,9633 -0,3636: -0,1091 0,3636: 0,1091 0,0727: 8,2537 -0,07270,3636 0,1454, 0,7272 -0,7272, -0,1454 -0,5817, -O, 0727 1,1635Al igual que en el Ejemplo 8.3, las condiciones de contorno sonUl =O, Wl = O, Uz=O,Wz =0, U3= ypor simetraU4 =O. Debidoaello, eliminando de la matrizcompleta derigidez[Ka] las filasycolumnas1, 2, 3,4, 5 Y7 se obtiene la matrizde rigidez[K]iguala6 1,7453-0,5817[K]=10-0,5817 1, 1635La ecuacinmatricialdeequilibrio[K]{d}={Fe}deesta estructuraes1,7453-0,5817-0,5817 1, 1635W3dondelasfuerzasequivalentes, deacuerdocon la expresin(a) del Ejemplo8.5es1rL3 -41r . O, 5 201rFW3= 3 (2X3 +X4)p= 3 (2. 0,5 +0)( -40)=- 3 =-20,944t,1rL3-41r . 0,5 101rFW4= 3 (X3+ 2x4)P= 3 (0,5+20)(-40)=- 3 =-10,472t.ELEMENTORECTANGULARDECUATRONODOS 341Conestosvaloresdelasfuerzas nodalesequivalentes, laecuacinmatricial deequilibriodela estructuraes1,7453-0,5817-0,5817 1,1635-20,944,-10,472dela quesededuceel vectordedesplazamientosnodalesdesconocidosW3= 10-6-18-18que significa que la base superior del bloque cilndrico desciende uniformemente1810--{)m.b) Teniendoencuentalosanterioresresultados, el vectordedesplazamientos nodalesdel elementoes{Oe}= 10-6[O OOOO - 18 O - 18r. (d)Al sustituirlamatrizdeformacin[Be], ecuacin(a), y el vector dedesplazamientosnodales{Oe}, ecuacin(d), en{e}= [Be]{oe}, seobtieneel vectordedeformacionesdela estructurar Oe O{e}= (e)-18. 10-6 zfzr OAlser {a} = [D]{e}, el vectordeesfuerzosdela estructura es(Tr 2,2222 0,55560,5556 O O -10,000(Te= 1060,5556 2,2222 0,5556 O O -10,000{a}= (j)-18.10-6(Tz 0,55560,5556 2,2222 O -39,997T zrO O O 0,8333 O OLa expresin(e) muestra queel estadodedeformacionesesuniforme en todoel cuerpocilndricosiendosusnicostrminosnonulos z= -18 10-6. Igualmente, laexpresin(j)muestraquetambinelestadodeesfuerzosesuniformeysustrminosnonulosson(Tr = (Te = -10,000 t/m2, (Tz = -39,997 t/m2c) Siendolasolucinexacta, halladaenel Ejemplo8.3, unestadode deformacionesuniforme r= e = O, z= -18. 10-6, fre = O Y unestado de esfuerzos uniforme(Tr = (Te = -10t/m2, (Tz = -40t/m2, Tre = O, el erroe-que se obtiene conlasolu-cinaproximada esdespreciableal utilizarunmodeloaxisimtricoformadopor unnicoelementorectangulardecuatronodos.,9., ,FORMULACION ISOPARAMETRICA,9.1. INTRODUCCIONLa formulacinisoparamtrica regulariza la forma de los elementos transformando,porejemplo, unelementocuadrilateral, deladosrectosocurvos, enunelementocuadrado. Anlogamentetransformaelementoshexadricosenelementoscbicosymodifica loselementosdebarra redistribuyendouniformementesusnodos.Esta formulacinsimplifica la determinacindelamatrizderigidezdelosele-mentos y, adems, facilita el modelar empleando elementos de forma arbitraria queseadaptanmejor alaformadelas estructuras. Otraventajadelaformulacinisoparamtricaesel quelaformulacindeloselementostridimensionalesessim-plementelaextensindelaformulacindeloselementosbidimensionales, loquefavoreceel empleodelosprogramas deordenador.Laformulacin isoparamtricaexige la utilizacinde coordenadas naturales,siendonecesarioaplicarlaspropiedadesdel Jacobianodebidoaquelasderivadasquefiguranenlas matrices dedeformacinsonderivadas respectoalas coorde-nadascartesianas. Salvocasosmuysencillos, laintegracinnumricasermenoslaboriosa que la integracin analtica y proporcionar resultados con ms precisin.En el mtodo de los elementos finitos, losdesplazamientos de un elemento {ue}se expresan en funcinde losdesplazamientosnodales {oe}mediante la matrizdeinterpolacin[Ne], talqueIgualmente, lascoordenadasde unpunto delelemento {xe}pueden expresarseenfuncindelas coordenadasnodales {ce}mediantelamatrizdeinterpolacin[N:J, talqueUnelemento esisoparamtrico cuando son iguales lasmatrices de interpolacin[Ne] y[N:] expresadasenfuncindelascoordenadasnaturales. Unelementoessubparamtricocuandoel gradode [N:] es menor queel gradode/[Ne]. Y, porltimo, unelementoessuperparamtrico cuando el gradode[N:] es mayorqueelgradode[NeJ.En este captulo se determinanlasmatrices de rigidezde los elementos isopara-mtricos ms caractersticos, entre los que se encuentran los elementos triangulares.343344 FORMULACINISOPARAMTRICA9.2. ELEMENTOSDE BARRAA. EcuacionesgeneralesI,1 2l ln-l n 1 2 n-l n, o, , ,U U2Un;= -1 ;2t-l X(a) (h)Fig. 9.1.SeaunelementofinitodebarraisoparamtricodelongitudLyn nodosrefe-ridoaunsistemadecoordenadascartesianasx (Fig. 9.1a). Siendo N2(O,... , las funcionesde interpolacin expresadas en funcinde la coordenadanatural un puntocualquiera delelementotieneel desplazamiento(9.1)y al ser un elemento isoparamtrico, sus coordenadas estn definidas por la ecuacin(9.2)quetransformael elementofinitodelongitudLenunelementocuyosnodosex-tremos1 yntienenlascoordenadasnaturales= -1Y = +1, respectivamente(Fig.9.1b).La matrizderigidezdeunelementode barra, segn(3.19), es[ke] = [BefEA[Be]dx,Lsiendo[Be] la matrizdedeformacindefinida, deacuerdocon(3.21), por[Be] = dNedxy, teniendoen cuenta laspropiedadesdela derivacinen cadena,[B] = dNe= dNe e dx (9.3)(9.4)Segn(1.63), el Jacobianodel elementoesladerivadadelacoordenadax res-pectoes decir(9.5)Deesta expresin sededuce(9.6)ELEMENTOSDEBARRA 345y(9.7)Sustituyendo esta relacin en(9.3), seobtiene la matrizderigidezdel elementodebarra isoparamtrico1[keJ = [Be]T-1dondela matrizdedeformacin, deacuerdocon(9.4) y(9.6), es(9.8)B. ElementolinealSea un elemento finitode barra lineal delon-gitud L con nodos en sus extremos,referido aun sistema de coordenadas cartesianas x(Fig.9.2a). El desplazamientode unpuntocual-quieradelelementoes(9.10)siendo NI y Nz las funcionesde interpolacindelelemento. (9.9)LI2ILI2I1e2, ,I,u, u,"1x,-,Xcx "1 1x,Fig. 9.2( a).Utilizando unsistema decoordenadasnaturalescon origen en el punto medioe, deacuerdocon(1.35) = x - Xc = 2x - (Xl +Xz)L/2 XZ-Xl'la funcin(9.10) dedesplazamientoses(9.11)(9.12)ya que, segn(3.14b), lasfuncionesdeinterpolacin deunelementolineal sony, por tanto, la matrizdeinterpolacin(9.13)1-(1-2(9.14)346 FORMULACINISOPARAMTRICAPara que el elemento lineal sea isoparamtrico, la coordenada de un punto cual-quiera ha de ser1 eo I

2o esdecirFig. 9.2(b).(9.15)ecuacinquecoincidenaturalmentecon(9.11). Debidoaestatransformacindecoordenadas, el elemento finitode longitudLse convierte en un elemento decoor-denadasnodales= -1Y = +1(Fig. 9.2b).Teniendo en cuenta(9.5)y(9.15)sehalla elJacobianodelelemento linealy su lllversa[Je] = Je= dx=X2 - Xl2[ ]-12Je= dx = L'L2(9.16)(9.17)Asimismo, sustituyendoenlaexpresin(9.9) delamatrizde deformacin, lamatrizdeinterpolacin[Ne] (9.14)y la inversa delJacobiano(9.17), se obtienees decirdN1 2L1--212 '1[Be] = - [-1L1] . (9.18)Enconsecuencia, al sustituir (9.16) y(9.18) en(9.8) sedetermina lamatrizderigidezdel elemento finitolineal1 1[ke] = L2-1es decir-11I -1 11[ke] = 2LCuando EAesconstante1 -1-1 11 -1(9.19)[ke] = EAL1 -1-1 1 (9.20)c.ElementocuadrticoEn primer lugar consideramos un elemento fi-nitodebarracuadrticodelongitudL, quetienetres nodos distribuidos uniformemente(Fig. 9.3a). Esteelementoestreferidoaunsistemade coordenadas cartesianas. El des-plazamientodeunpuntocualquieradel ele-mentoesELEMENTOSDEBARRA 347Lf2 Lf2I I1 2 3I ee,UIU, UJXFig. 9.3( a).(9.21)Teniendo en cuenta los valores(3.55b)de las funciones de inter')olacim del ele-mentocuadrtico,su matrizde interpolacin es~[NeJ= - - ( 1 - ~ )2~ ( 1 + ~ )(9.22)y, por tanto, el desplazamiento deun punto cualquiera delelementoes(9.23)Para que el elementocuadrtico sea isoparamtrico,la coordenada deun puntocualquiera ha deser(9.24)es decirSustituyendoX2=Xl + L/2yX3=Xl +L,se obtieneL LX=Xl + - +_c2 2lS00.Ejemplo 9.5. Un elemento cuadrilateral isoparamtrico tiene cuatro nodos en los vrti-ces de coordenadas(0,0), (40,0), (SO,SO), (0,40), expresadas en cm (Fig. 9.12). Determinar:a) las ecuaciones de transformacin de coordenadas cartesianas a naturales, b) el J acobianodel elemento, e)el vector de deformaciones en el punto = 0,5, '1] = 0,5,cuando el vectordedesplazamientosnodaleses {8e}.Datos: {8e}T= [O OOO0,04 0,02 0,01 0,03] (cm).Solucin: a) Segn (9.44), las funciones de interpolacindelelementocuadrilateral sonTeniendoen cuenta(9.51), las ecuaciones de transforma-cindecoordenadascartesianasanaturalesy4'-'"1 2Fig. 9.12.x1NI = 4 (1- 0(1- '1]),1N3 = 4 (1 +0(1 +'1]),1N2 = 4 (1 +- '1]),1N4= 4 (1- +'1]).1 1x =2:.Ni xi = 4 (1 +- '1])40 +4 (1 ++'1])SO=30 + + 10'1] + 1 1Y =2:.NiYi = 4 (1 ++'1])SO + 4 (1- + '1])40 =30 ++ 30'1] +b) Segn(9.60), la matrizderivada delasfuncionesdeinterpolacines(a)1[uNe] = 4-(1- '1])-(1- O(1- '1])-(1(1 +'1])(1-(1 +'1])(1 -y, deacuerdocon(9.5S), elJacobianodelelementoes1(Je] = 4-(1 - '1])-(1 -(1-'1])-(1 +0(1 +'1])(1-(1 +'1])(1O O40 OSO SOO 40ELEMENTOCUADRILATERALDECUATRONODOS 365Al multiplicarambasmatricesseobtiene10r +30 +101Or + 10 +30comprobndoseque coincide naturalmenteconel resultadodesustituir lasecuacionesdetransformacindecoordenadas(a)en la ecuacin(9.58)quedefineal Jacobiano.e) Segn(9.82), el vectordedeformacionesenunpuntodelelementoesya que, segn(9.69),[Be]=[la][ra][8NelDeacuerdo con(9.53), la matrizunitaria ampliada[la]es[r]=100 OO O O 1O 1 1 O (b)Teniendoen cuenta queel determinantedelJacobianoesdet[Je ] = (10r ++30) - +10)(10r +10) = + r +4),la matrizinversa de[Jel es[r ]_ 1e -+r +4) +30- 10-1Or - 1010r +301 -1-r - 1r+3Portanto, la matrizinversadelJacobianoampliada(9.64) es

-r - 1 O O-1 r+3 O O[ra] _ 1- 1- _- - - - - - - - - - - - --O O

-r - 1O O -1 r+3ysuvalor correspondienteal punto =0,5, r =0,53,5 -15IO O ,3,5IO -15 O1,I[ra] '=0,5(e)100- - - - - - 1- - - - - - -'1=0,5O OI3,5 -1,5O OI-15 3,5 ,Segn(9.67), la matrizderivada delasfuncionesde interpolacinampliada es-1 +r O 1-r O 1+r O-1- rO[8Na] = O -1-OOOO -1 +r O 1-r O 1+r O -1- r 4O -1O -1-O O 366 FORMULACINISOPARAMTRICAy, por tanto, suvalorenelpunto~ = 0,5, r = 0,5es-o50,5 O 1,5 O -15 O , ,1-O5 O -151,5 O 0,5 [aNal, ,(d)-4~ = 0 , 5 O -0,5 O 0,5 O 1,5 O -15 ,,.,=0,5O -O5 O -15 O 1,5 O 0,5 , ,Multiplicandolasmatrices(b), (e) y(d) sehalla la matrizde deformacinen elpuntoconsiderado1[Be] "s = Ws = 25,89415 mLsW1 =.x;- =O, 1609ElmLs'W2 = .>:; = 1,7604ElmLs'Ws = ..x;- = 5,0886ElmLs'b) Los modos naturales correspondientesalos autovalores >"1, >"2Y>"shabrn de satis-facer la ecuacinmatricial (10.19). Utilizandocomocriteriodenormalizacinel queseaU1=1, sehallanlos tresmodosnaturales1,0000{oh= 0,5224 ,0,1506representadosen la Fig. 10.12b.1,0000{oh= -6,3414 ,-4,56221,0000{oh= -13,1981 ,19,2222.. 1 0000 ,0,52210,15061umodoFig. 10.12(b) .1,0000-6,3414. . -45622 ,,2modo-r1,0000-....... -13,1981--.------- ... 19222 ,3umodo10.5. METODODE JACOBIGENERALIZADOEste mtodo resuelve el problema de autovalorescon eficacia en estructuras depocos grados de libertad diagonalizando previamente las matrices de masa[M]yderigidez[K] de formasimultanea.La ecuacinmatricial (10.19) equivalealasnecuaciones[K]{8h=w; [M] {8}i,que pueden agruparseenla forma[K][A] = [M] [A] [O],siendo[A]la matrizdeautovectores(10.25)[A] = [{8h {8h... {8}n],(10.29)MTODOSDEITERACIN 403y[O] la matrizdiagonal deautovalores(10.28)Al O . . . OO A2 . . . O[O]-- O O AnAl normalizar los modosnaturales conel criterioCMi = 1 severificanlasecuaciones(10.26) y(10.27)[A]T [M][A]= [1], [Af[K][A]= [O].Elmtodo deJacobi generalizadocomienza utilizando una matrizdetrans-formacin[PI] queanula simultneamenteel mismotrminosituadofueradeladiagonal enlas matrices [P1V[M][P1]y [P1V[K][P1]. Delamismaformauna nueva matriz de transformacin[P2]anula un nuevo trmino situado fueradeladiagonal delasmatrices [P2V[P1]T[M][P1][P2] y [PdT[P2V[K][P1][P2].Prosiguiendoesteprocesoseconsiguediagonalizarlasmatrices[M] y[K] quese transforman, respectivamente, en(10.30)siendo[P] = [P1] [P2] ... [P) (10.31)Apartirdelasmatrices[M] y[K] se determinan lamatrizdeautovectores[A] = [P] [M]-1/2yla matrizdiagonaldeautovalores[O] =[Mt1[K],siendoM-1/ 2O O11OM-1/ 2 O[M]-1/2=22, O OM-1/2 nnM-1O O11OM-1 O[M]-l =22 (10.32)(10.33)(10.34)(10.35). O O ... M n ~Segn(10.32), paracalcular lamatrizde autovectores [A] sedividecadafilade[P] porlarazcuadradadel correspondientetrminodiagonal de[M].Asimismo, segn (10.33), para hallar la matriz diagonal de autovalores [O]~sedividecadatrminodeladiagonal de [K] por el correspondientetrminodiagonalde[M].404 CLCULODINMICO, ,10.6. METDOSDE ITERAClNPara resolver el problema de autovalores varios mtodos de iteracin de vectoresutilizan laspropiedadesdel cocientedeRayleigh Q(v), definido por{vY [K]{v}Q(v)= {vF [M] {v} ,(10.36)siendo{v}unvector arbitrario. Deacuerdocon(10.23) si {v}es cualquierade los autovectores {..= L/2. Deestamanera, elsistema deecuacionesdiferenciales(a) y(b) se reducealsistema deecuacioneslinealesq1 2 3 4 5o o, ,o ..Ll4 L/4 Ll4 Ll4(e)L(a)12 3o o o~ LI2LI2(b)~1\ \.. ~Fig. B.3.=-q.DERIVADASDEUNAFUNCIN 435LascondicionesdecontornoYI= Y3 =O, MI = M3 =O, permitenresolverel sistemade6 ecuacionescon6incgnitas (YI, Y2, Y3, MI, M 2, M3), obtenindoseY2=SiendoloscorrespondientesvaloresexactosY2 =5qL4384Elz'secompruebaqueal aplicar el mtododelasdiferenciasfinitas sehaobtenidounvalorexacto del momento flectoren la seccin central, mientras que la flecha obtenida en dichaseccinesun20%superioralvalorexacto.Sisedesea una mayoraproximacinesnecesarioaumentarelnmerodetramosdelaviga(Fig. B.3c). Enelcasodecuatrotramos, al aplicarlasecuacionesdiferencialesalospuntos2 y3, sustituyendolasderivadassegundasporsusaproximaciones, seobtieneYI - 2Y2 +Y3(L/4)2M I -2M2 +M3(L/4)2= -q,Y2- 2Y3 +Y4(L/4)2- -q- .Al aadir alas ecuaciones anteriores las ecuacionesYl =O, MI =O (condiciones decontorno), Y2 = Y4, M 2= M4(condiciones delasimetra) tendremos unsistemade 8ecuacionescon8incgnitas (YI, Y2, Y3, Y4, MI, M2, M3, M4). Resolviendoestesistema, seobtiene3qL2M 2= M 4= ---=--32 'Y2 =Y4=5qL4512Elz'7qL4Y3= 512Elz'Se compruebaqueal pasardedosacuatrotramos, el valordel momentoflector en laseccin central sigue siendo exacto, mientras que el valor de la flecha en la seccin centralpasa deunerror del 20%al5%.EjemploB.2. Unavigaempotradaensusextremosestsometidaaunacargauni-formemente distribuida q (Fig. B.4a). Utilizando el mtodo de las diferencias finitas,determinar el momentodeempotramiento, el momentoflector ylaflechaenlaseccincentralcomparndolosconlosvaloresexactos.Datos: q, L, Elz(rigidezaflexindelaviga).Solucin: Al igual quelaviga del ejemplo an-terior, laecuacindiferencial de laelsticaylaecuacin querelaciona el momentoflector My lacargadistribuida q(x) sonLFig. BA. (a)436 MTODODELASDIFERENCIASFINITASo 1 2 3 2' l' O'o . - . - - .l__---O__--O- - ~ o --&. - . - - - o_ . ~ ' __0-_0-_0_0 ' __0 __' __0(a)L/4 L/4Fig. B.4. (b)L/4 L/4 L/4 L/4(b)Sedivide la viga en cuatrotramosigualesdelongitudL/4definidosporlospuntos1,2, 3, 2', l' Y seaadenlospuntosficticios O y01quedefinendos tramosvirtualescon. lamismalongitudquelosanteriores (Fig. B.4b). Al aplicarlaecuacindiferencial (a) alospuntos1, 2 Y3, sustituyendo las derivadas segundaspor sus expresionesaproximadassegn(B.8e), resultaYo- 2YI +Y2(Lj4)2Y2- 2Y3 +Y2'(Lj4)2Al aplicarlaecuacindiferencial (b) alospuntos2 y3utilizandolasaproximaciones(B.8e) delasderivadassegundas, seobtiene= -q,M2- 2M3 +M2,(L/4)2= -q.Las condicionesde contornoquesetienenen cuenta sonYI = O,dy =Odx Iyal aplicaralasegundadeestasecuacioneslaaproximacin(B.6e) deladerivadapri-mera, se hallaesdecirY2- yo2(Lj4)= O,Y2=yoAl aadir alasecuacionesanterioreslasecuacionesY2' =Y2, M 2, = M2 (condicionesdesimetra), tendremosunsistemade7 ecuacionescon7incgnitas(yo, YI, Y2, Y3, MI,M2 , M 3 ). Resolviendoelsistema, seobtiene5 2MI = --qL64qL2128' ,3 2M3= 64 qLqL221,335 qL4yo =Y2 =2048Elz' YI = O,qL4Y3= 256Elz'DERIVADAS DEUNAFUNCIN 437Se hahalladoel momentodeempotramiento MI = _qL2/12,8siendo suvalorexactoMI = -qL2{12loq.uesupone.unerrar del 6,25%. Asimismo, el momentoftector de laseccin central M3= qL2/21,33representa un error del 12,5%respectoasu valor exactoM3 =qL2/24. Finalmente, laflecha obtenidaenlaseccincentral Y3 =qL4/256 Elzsuponeun error del 50%respectoal valor exactoY3 = qL4/384Elz , loqueexigenatural-mente aumentarelnmerode tramos. Al dividir la viga en6 tramosla flechamxima esY4=qL4/314 Elzconloque se reduceel erroral 22,2%.EjemploB.3. Unacolumnadeseccinrectangular variablebxhestempotradaenunextremoylibreenel otro(Fig. B.5a). Utilizandoel mtododelasdiferenciasfinitas,determinarla carga crtica delacolumna comparndola conelvalorexacto.Datos: L I =4m, L2 =6m, bl =b2 =40cm, hl =20cm, h2 =40cm, E=2 105kg/cm2.p pvIL,hLhL2x1A..kA3A4AlsA ,,,,A,,,,O, - .(a) (h)Fig. B.5.Solucin:Al serhl< blyh2= b2el pandeode la columna tienelugar enel planolongi-tudinal xyenelqueest representada laposicindeequilibrioindiferentede la columnadebidaala carga decompresin P,siendoOla flechaenel extremolibre. Representandoporyeyllasflechasdel primeroysegundo tramodela columna, lasecuacionesdiferen-cialesdelaelsticacorrespondientesaesostramosson(a)PyEh'd2 yl Mz(x) PylL I -.. = a/ (6 sen 60) = a, correspondiendo el punto Oal centro de la placa (Fig. B.14b). Deacuerdo con el esquema de la figura B.12a, reproducido enla figura B.14e, la aproximacinde la laplacianadeuna funcinF(x, y)enel puntoOes2 2 . .'V F(x, y)o= >..2 (F; + Fj+ Fk + Fl +Fm + Fn - 6Fo),3 .yal aplicarestaaproximacinalaecuacindiferencial (a) sucesivamenteenlospuntos0,1Y 2, teniendoen cuentaque2/(3)..2)= 18/a2, seobtiene18 Afoa2 (6w - 6wo) = - D'18 Afa2 (wo + 2w +W2 +W3 +W4- 6w)= - D'5 4 3(b)4 518' Af2-2 (2w + 2W4 + 2W5- 6W2)=- D.a ) .Anlogamente, al aplicar la misma aproximacin alaecuacindiferencial (b) sucesivamenteenlospuntosO, 1 Y 2, resulta182" (6Af - 6Afo) = -q,anA. -6 f...-(iJ 1Lascondicionesdecontornodelaplacaapoyadaenlos bordes sonW3 = W4 = W5 = O Y Af3= Af4=Af5=o. Resolviendoelsistemade12ecuacionescon12 incgnitas, seobtiene(e)Fig. B.14. (b) y(e).qa2Afo= 27'qa4Wo= 898DTeniendoen cuenta la ecuacin(e) del ejemplo B.5y la simetra existente en el centrodela placaAfo = Afxo +AfyO 2Afxo 2Afyo qa21 + v 1 + v 1 + v 27y, por tanto, losmomentosflectoresenel centrodela placa sonM_ 'A" _ qa2(1 +v)xO- lV1yO-54y coinciden conlos valores exactos. Encuanto a laflecha enel centro de laplacaelvalor obtenidoWo = qa4/898Drepresentaunerror del 8,24%respectoal valor exactoWo= qa4/972D.c.,METODODELOSDESPLAZAMIENTOSC.l. INTRODUCCIONConeltrminodebarra sedenominanaquelloselementosestructurales, comolasvigas ylos soportes, enlos que predominasudimensin longitudinal sobre lasdimensionestransversales. Enesteapndicesedescribeel mtododelos desplaza-mientosquees unmtododeanlisis matricial dirigidoaestructuras debarras.Estemtodoesuncasoparticulardelmtododeloselementosfinitosy, porello,constituyerealmenteuna introduccin almismo.Este resumendel mtodode losdesplazamientosseaplicaaestructurasplanas,ya sean reticuladaso articuladas, esdecir, a estructurascuyas barras estn unidasmediante nudos rgidos o articulaciones a los que llamaremos indistintamente nodos.C.2. RELACIONES ENTRE SOLICITACIONES Y DESPLAZAMIENTOSConsideremosunabarraABdepesodes-preciable, longitudL, mdulode elastici-dadE, siendoA el, respectivamente, elrea yelmomentode inercia 1zde su sec-cin transversal(Fig. C.I).Vamosa deter-minar las solicitaciones que hay que aplicara los extremos delabarraparaprovocardesplazamientosaislados en uno de sus ex-tremos, por ejemplo el A. Por supuesto, losresultados sernanlogos cuandose pro-voquen esosdesplazamientos aisladosen elextremo B.E,A,!A ( BI I, LFig. C.l.. Desplazamientolongitudinal alPara provocar el desplazamiento lon-gitudinal .61del extremo Aes preci- A A' Bsoaplicar enlos extremos delabarra - - " " ~ - - - - l i - - - - - - - - ' ~lasfuerzasnormalesNABYNBA(Fig. NA, ~ ~ : N'AI .81:C.2). Del equilibriolongitudinal dela l ;barrasededuceNAB= -NBA. Pues- v L'toque.6 _ NABL1- EA451Fig. C.2.452MTODODELOSDESPLAZAMIENTOSlassolicitacionesquehayqueaplicarsonEAN AB= -NBA= L 6. 1 . (C.l)B. Desplazamientotransversal a2Para provocar el desplazamiento transversal 6.2 del extremo A es preciso aplicar lasfuerzas cortantes TAB y TBA Y los momentos fiectores MAB y MBA(Fig. C.3). Delequilibriode la barra sededuceI;Y= O, T AB +TBA= O,(a)(b),MABLEle = = TABL2A 2ElConsiderando la barra como si estuvieseempotrada en su extremoB, resultaLr----------AIJ'--------------___.,Fig. C.3.Resolviendoel sistema deecuaciones(a) y(b) se obtienen lassolicitacionesl2El 6.L3 2,(C.2)c. Desplazamientoangular a3Paraprovocar el desplazamientoangular 6.3del extremoAes precisoaplicar alabarralasfuerzas cortantesTAByTBAY losmomentosfiectores MAByMBA(Fig. C.4).Delequilibriodela barra sededuce(c)I;Y= O, TAB +TBA= O,Considerandolabarracomosimplementeapoyada ensusextremosAy B,L//// \,. . - - = ~ ~ - - L~ 3__ I ~,J--r' : MEAIII - - - - - - - - - - - ~ JFig. CA.DESCRIPCINDELMTODO 453(d)Resolviendoel sistema deecuaciones(c) y(d) seobtienen las solicitaciones(C.3), ,C.3. DESCRIPCIONDEL METODOEl mtododelosdesplazamientos determina, primeramente, losdesplazamientosde los nodos de una estructura y, a partir de ellos,las solicitaciones en los extremosde las barras y las reacciones de los enlaces externos. A su vez, las solicitaciones deextremo permitirn hallar las solicitacionesydesplazamientosen cualquier seccintransversaly, seguidamente, losesfuerzos encualquier puntodela estructura.Consideremosunprticoplano(Fig. C.5a). Esteprticotieneactivos7 gradosdelibertadquesecorrespondenconel nmerondelosposibles desplazamientos01, 02, 03, 04, 05, 06, 07de susnodos. Estos7 desplazamientosnodalesconstituyenlasincgnitas del mtodode losdesplazamientos.AFig. e.5(a) y(b).(a)e(h)Supongamos quesobreel prticoactancargas cualesquiera, es decir, cargasaplicadassobrelosnodosysobrelasbarras(Fig. C.5b). Aplicandoel principiodesuperposicin sedescomponeel estadodecarga realen losestadosdecarga 1 y2.454MTODODELOSDESPLAZAMIENTOSEstadode carga1(Fig. C.5c), quecon-sidera lascargasaplicadassobrelasba-rrasanulando los posiblesdesplazamien-tos lineales y angulares de los nodos.Paraello se suponenlas barras carga-das empotradas ensus extremos y, portanto, sometidas a las cargas aplicadasya lasreaccionesdelosempotramientos{Re}= [F;,F;,Me]. De esta manera sedeterminanlas solicitaciones de las ba-rrassiendonuloslosdesplazamientosdelosnodosen este estado de carga.Estadodecarga 2 (Fig. C.5d), que consi-dera las cargasdirectamenteaplicadasalos nodos {Pd}alas quehayque aa-dir las acciones de los empotramientos_{Re}. Si las cargas {Pd} y_{Re}tie-nen sus componentes dirigidas segn ejesparalelosalasdireccionesdelosdespla-zamientos, lascargasaplicadasalosno-dos{pa}sern(e)M;BFe- AH(CA)Deestaformaseobtienenlas cargasaplicadas a los nodos Pf, P/f, Pf, P;,Pt, Pt, Pt, queoriginanlos desplaza-mientodelosnodos01, 02, 03, 04, 05, 06,67(Fig. C.5e).Ahora bien, el prticoalcanzael equi-librio tras estos desplazamientos y elloexigeque, encadanodo i el conjuntodesolicitaciones que el nodo ejerce sobre losextremos de las barrasformenunsiste-madefuerzas internas {Fi} equivalentea lascargas {Pi}. Engeneral, sineselnmerodegradosdelibertadactivosdelaestructura, sehande verificar las necuacionesdeequilibrio(e)(d)Fig. C.5(e), (d) y(e). {Fi } = {Pi} (C.5)dondeFieslafuerzainternaenladireccin8idebidaalos desplazamientos81,82,... ,8nde losnodos.Segn el principio desuperposicinR=R +R +... +R t t 1 t 2 t n'siendo Fijla fuerza interna en la direccin de 8idebida al desplazamiento nodal 6j.DESCRIPCINDELMTODO 455Asimismo, al ser la estructura linealmente elstica, la fuerzaFi; es proporcionalaldesplazamiento8jque la origina, o sea(C.6)dondeel coeficientekij, ocoeficientederigidezkijdelaestructura, representalafuerzainterna en la direccin 8ioriginada por un desplazamiento nodal 8junitario.Sustituyendo las igualdades anteriores en las necuaciones de equilibrio (C.5),seobtieneku81 +k12 82 + +kln 8n= PI'k21 81 +k22 82 + +k2n 8n= P!f,knI 81 + kn2 82 +... + knn 8n= P ~ .Estas ecuacionespueden escribirseen la formamatricial(C.7)donde{pa}= [Pf P!f ... p ~ ] T (C.8)esel vectordecargasaplicadasa losnodos.Lamatriz [K], cuyos elementossonloscoeficientes derigidezkij, es lamatrizderigidezdelaestructura[K]=(C.9)knlkn2... knnEsunamatriz cuadradadeorden nigual al nmerodeposiblesdesplazamientosdelos nodosdelaestructura, queesigualal nmerodegradosdelibertad quecon-servaactivoslaestructuradespus de tenerencuentalas coacciones queejercenlos enlaces externos. Enestamatriz tienenqueser nulos aquellos elementos kijcuyos subndices i, j corresponden adosnodos nocontiguos, es decir, ados nodosnounidospor una barra.Finalmente, {-A;-----------;B:+--..zN'Aquedeterminanloscoeficientesderigidezk12=O,(el)Fig. C.6.Porconsiguiente, la matrizderigidezdela estructura es[K] =OO458MTODODELOSDESPLAZAMIENTOSb) Siendoelvector decargasaplicadasalosnodosPcosa,-P senala ecuacinmatricial dela estructura(C.7) es8 _ PLI cosa1 - E1A1'82= _ P L 2 sen a.E2A2Ejemplo C.2. LaestructuraarticuladaABCDtiene todas las barras del mismomaterial, de la misma seccinyde la mismalongitud(Fig. C.7a). Determinarlamatrizderigidezdela estructura.Datos: E, A, L, a.A'- - --BABD D(a) (b) (e)Fig. C.7.Solucin: Laestructuraarticuladatienen= 2gradosdelibertadactivos quecorres-pondena los posibles desplazamientos 81, 82del nodo A. Provocandoaisladamente eldesplazamiento81= l (Fig. C.7b), mediantelasecuaciones(C.I), seoriginanlasfuerzasnormales1 EA EANAB = . l = ,L L1 EA EANAC = L lcosa = L cosa.El coeficientederigidezklleslacomponentesegnd1 delasfuerzas normales ante-riores, es decir1 1 EA EA 2kl1=NAB + NAC cos a = L + L cos a.460MTODODELOSDESPLAZAMIENTOSo _(H+P2 )L11 - E1A1'02 = (H + P2 ) L1 +P2L2E1A1E2A2sededucenlosvaloresdelasfuerzaslongitudinalesP1=De la definicin de coeficientes de rigidez, haciendo01 = 1 Y02 = Ohan de ser PI = kl1Y P2 = k21 . Por tantoAnlogamente, haciendo02 = 1 Y 01 = OhandeserPI = k12Y P2 = k22 . Por tantoEnconsecuencia, lamatrizderigidezdela mnsula esE1A1E2A2E2A2L1+ L2 L2[K] =E2A2E2A2L2L2EjemploC.4. La estructura articulada ABe est sometidaalascargasP yQapli-cadasenel nodoB (Fig. C.9a). Determinar la matrizderigidezde la estructura yhallarlosdesplazamientosdelosnodos.Datos: P = 20000kg, Q = 10000kg, AB = L = 5 m, senj3 = 4/5, EA = 3.107kg.Solucin: Laestructuratienen = 3gradosdelibertadactivos quecorrespondenalosdesplazamientos 01, 02 del nodo By al desplazamiento 03 del nodoe(Fig. C.9b). Lamatrizderigidezes deorden3 pudiendosernonulostodosloscoeficientesderigidezkijporsercontiguoslosnodosBy equeexperimentanlosdesplazamientos01, 02 Y03.DESCRIPCINDELMTODO 4611NBA,B,B'Oj=1A . ~ - - - , - C-p'B --01pBeQA(a)(b) (e)Fig. C.9.El desplazamiento 1 = 1 del nodoB(Fig. C.9c) de-terminaloscoeficientesderigidez1 EA EA 2kl1= NBA cos(3 = L cosfl cos(3 = L cos (3,1 EAk21=NBA sen fl = L cos fl . sen (3,El desplazamiento2 = 1 del nodoB (Fig. C.9d) de-terminaloscoeficientesderigidezEANiJA cos (3= L sen (3cos (3,e1 2---;;:fl +sen (3 ,sen(el)k32 = O.Por ltimo, el desplazamiento 3 = 1 del nodoe(Fig. C.ge)determina los coeficientes derigidezk23= O,3 EAk33 = NCA = .Lcos(3B(e)Fig. C.9.462MTODODELOSDESPLAZAMIENTOSEnconsecuencia, la matrizderigidezdela estructura articulada escos2(3 sen (3 cos(3 OEAsen (3 cos (31 2O[K] =(3 + sen (3LsenO O1cos (3Sustituyendolosdatos, resulta0,36 0,48 O[K] =60000 0,48 1,89 O O O 1,6667Teniendo en cuenta queelvectordecargasaplicadasalosnodoses20000-10000Odela ecuacinmatricialdeequilibrio(C. 7),0,36 0,4860000 0,48O1,89OoO1,666720000-10000O,se deducenlosdesplazamientosdelosnodos811,57882-0,489 (cm).OEjemplo e.5. Considerando indeformable longitudinalmente la viga continua de sec-cin constante ABCD(Fig. C.lOa), determinar sumatrizderigidez.Datos:El, L1 , L2 , L3 al 020304,r-... ,r-... ,r-... ,r-....A"A7Q.A:~ ~A B e D A L1L2L)(a) (b)Fig. C.IO(a) y(b).DESCRIPCINDELMTODO 463Solucin: Al serindeformablelongitudinalmente, lavigacontinuatienen = 4gradosde libertad activos quecorresponden alos posibles giros 81 ,82 ,83y84de los nodos A, B,e y D(Fig. e.lOb). Los coeficientesderigidezk13, kI4Yk24Ysussimtricostienenqueser nulospor corresponder sussubndicesanodosnocontiguos. Porello, el esquema dela matrizderigidezdela viga continua esknk12 O O[K]=Hallaremosloscoeficientesderigidezteniendoen cuenta lasecuaciones(e.3). Elgiro81=l del nodoA(Fig. e.lOe) determina loscoeficientesderigidez1 4EIkn = MAB = L1'El giro82=1 delnodoB(Fig. e.lOd)deter-mina loscoeficientesderigidez(e),,A "' e D-::.:.:.,:- -.. - --h - --- - -'-11;c M' :&M1,(d)BM1cA2 2EIk32=MCB= .L23 3 4EI 4EIk 33 = MCB +M CD = L2+L3'2 2 4EI 4EIk22 = MBA +MBc = L1 +L2'El giro83= l delnodo e(Fig. e.lOe)deter-mina los coeficientesderigidez3 2EIk43 = M Dc = L3.(e)El giro84=1 delnodo D(Fig. e.IO!)deter-mina loscoeficientesderigidez4 4EIk44= MDc= L3'4 2EIk34=MCD= .L3A Bif)Fig. C.IO(e), (d), (e) y (J).464MTODODELOSDESPLAZAMIENTOSConestoscoeficientesseconstruye la matrizderigidezdela viga continua2 1O OL IL11 2 2 1O+L1L2[K] =2ElL1L21 2 2 1O+L2L3L2 L3O O1 2-L3L3EjemploC.6. Enla estructuracontinua ABC seconsideranindeformableslongitu-dinalmentesusbarras(Fig. C.lla). Determinar: a) la matrizderigidez, b) losdesplaza-mientosdelosnodosdebidosala carga uniformementedistribuida q.Datos: q = 2 t/m, El =1010kgcm2, AB = 2L = 12 m, BC = L =6 m.Solucin: a)Al ser las barras indeformables longitudinalmente, los desplazamientos lon-gitudinalesdel nodoBsonnulos, porloquela estructuratienen=2 gradosdelibertadactivosquecorrespondenalosposiblesgiros61 y62delosnodosByC(Fig. C.llb).qA B-A----------B-i)01(a)Fig. C.1l (a) y (b).e(b)~ - - ; ~ . -"'--;.:-.:..:-- ~ - ~ - -:..-- ~ - ~ - - ~ - ~ - - ~ _ .- - - - - - - ---~ A 1El giro61 = 1del nodoB (Fig. C.lle) deter-mina loscoeficientesderigidez1 1 4El 4El 6El1 kl1=M BA +M Be = 2L + L = L 'Fig. C.1l (e).(e)e ) M ~ B1 2Elk21 = MeB = L .DESCRIPCINDELMTODO 465Asimismo, el giro82= 1del nodo e(Fig.C.lId)determina los coeficientesderigidez2 4EIk22 = MeE = L '2 2EIk12 = MEe = L .Porconsiguiente, lamatrizderigidezdelaestructura es_________-.."BM2BeA1[K]=2EIL3 11 2(d)b)El estado de carga 1 (Fig. C.lIe) suponelabarra ABempotrada en susextremos. Alareaccindeempotramientoe q(2L)2 qL2M - -EA- - 12 - - 3 'le corresponde la accin de empotramiento-MEAenel estadodecarga2(Fig. C.lIn,con lo que el vector de cargas aplicadas en esteestadodecargaesBe(e)- ~ A- A - - - - - - - B ~AqI?3Ola ecuacin matricial de laestructura De(C.7)2EI 3 1L 1 2,(f)eFig. C.U(d), (e) y (!J.sededuceelvectordedesplazamientosdelosnodosqL315EIqL330EISustituyendolosdatos, seobtiene810,07282 -0,036(rad).466MTODODELOSDESPLAZAMIENTOSCA. MATRIZDERIGIDEZDE UNABARRAA. Matrizderigidezde una barra en coordenadaslocalesYL6sYLSsS6 S462XL XL63 61BSIBA A(a) (b)Fig. C.12.En el caso particular de una barra el nmero total de grados de libertad es iguala 6quesecorrespondeconlos 6desplazamientosquepueden experimentar los extremos de la barra(Fig. 0.12a). Para provocar estos 6desplazamientosesnecesarioaplicaren losextremosdela barra lassolicitacionesSI, S2, S3, S4, Ss, S6 (Fig. C.12b). Lossentidospositivosdelosdesplazamientoslineales coinciden con los sentidos positivos de losejeslocales de la barra XL, YLYelsentidopositivodelosdesplazamientosangularesesel sinextrorsum. Elmismocriterio se aplica para lasfuerzasyparesqueconstituyen lassolicitaciones. En lasfigurasC.12 tanto losdesplazamientoscomo las solicitaciones se han representadocon sussentidospositivos.Teniendoencuenta lalinealidadelsticadela barra yel principiodesuperpo-sicin, entre losdesplazamientosylas solicitacionesexisten la relacionesSI =++ + S2=+ + +donde kijrepresenta lasolicitacin Si quehayqueaplicar a labarra para provocarnicamenteeldesplazamientounitario Estas expresiones pueden escribirse en la forma matricialMATRIZDERIGIDEZDEUNABARRA 467es decir{S}= [k]L{.6.}, (C.12)siendo[k]Lla matrizderigidezdelabarraencoordenadaslocales.Paradeterminar los 36coeficientes derigidez deestamatrizseprovocanais-ladamentedesplazamientos unitarios enlas direcciones