El método de volúmenes finitos aplicado a problemas de ingeniería

La Gaceta de la RSME, Vol. 12 (2009), Núm. 1, Págs. 71–93 71

El método de volúmenes finitos aplicado a problemasde ingeniería fluvial y costera

por

Luis Cea, M. Elena Vázquez-Cendón y Jerónimo Puertas

Resumen. El método de volúmenes finitos es una herramienta ampliamen-te utilizada en la actualidad para modelar problemas hidrodinámicos de lasdesembocaduras de ríos y estuarios. En este artículo se presenta la aplica-ción de este método al modelo de aguas someras bidimensional en el estudiode la hidrodinámica y los frentes de seco-mojado para la evaluación de zonasinundables en desembocaduras de ríos y en regiones litorales. Se consideran yanalizan los efectos de la turbulencia aplicado al problema de la escala de pecesen el contexto de la ingeniería fluvial. Se ilustran las aportaciones realizadas enel campo del Análisis Numérico con sus aplicaciones en los problemas reales,analizando las principales ventajas, inconvenientes y limitaciones del modelopara este tipo de aplicaciones, y se comparan algunos resultados numérico-experimentales.

1. Introducción

El estudio de la hidrodinámica de ríos y estuarios es de gran importancia paraentender, predecir y controlar los procesos físicos que tienen lugar en ellos, ademásde servir como base para estudios de transporte de contaminantes y de procesosde erosión, por citar sólo algunos ejemplos. La dificultad de realizar ensayos delaboratorio, así como el coste económico de llevar a cabo mediciones experimentalesen campo, hacen de los modelos numéricos una herramienta muy útil para el estudiode este tipo de problemas. La modelización numérica presenta además la ventaja depoder estudiar las afecciones e impacto que puede provocar una futura actuacióningenieril, permitiendo la evaluación de diferentes escenarios hipotéticos. Todo elloa un coste temporal y económico relativamente bajo.

Las ecuaciones de aguas someras promediadas en profundidad, también conocidascomo ecuaciones de St. Venant bidimensionales asumen una escala espacial verticalmucho más pequeña que la escala horizontal, lo cual permite asumir una distribu-ción de presión hidrostática. Al mismo tiempo se considera un campo de velocidadrelativamente homogéneo en profundidad. Ambas hipótesis se cumplen de manerarazonable tanto en ríos como en zonas litorales, haciendo posible la utilización demodelos de aguas someras para su estudio. Evidentemente un modelo tridimensionalproporcionaría unos resultados más precisos, pero a un coste computacional muchomás elevado, lo cual justifica que en la actualidad no se utilicen modelos tridimen-sionales de forma sistemática en ingeniería fluvial y costera.

72 Método de volúmenes finitos aplicado a ingeniería fluvial y costera

Desde el punto de vista matemático estas ecuaciones constituyen un sistema deleyes de conservación hiperbólicas con términos fuente. La riqueza de esta familia deecuaciones se traducirá en el contexto de la ingeniería hidráulica, entre otras opcio-nes, en la aparición de resaltos hidraúlicos -discontinuidades en las soluciones- y nospermitirá entender qué soluciones, de entre todas las admisibles matemáticamente,tienen un significado físico. En el contexto de las leyes de conservación hiperbólicasse incluyen en el primer miembro de las ecuaciones los términos que representan laderivada convectiva, la suma de la derivada temporal y la divergencia del flujo, yen los segundos miembros aparecen los restantes términos, que de forma general sedesignan por términos fuente. En el presente modelo los términos fuente suponenincorporar tanto la geometría real del fondo del dominio sobre el que estamos cal-culando como los términos que tienen en cuenta los efectos de fricción del fondo ylos términos de segundo orden de flujo difusivo que modelan la turbulencia.

Estas características de las ecuaciones, que como hemos mencionado conectancon aspectos relevantes del problema que nos planteamos resolver, también debende ser asumidas en el diseño de los métodos numéricos que nos permitan construirla respuesta al modelo real de ingeniería fluvial y costera.

El método de volúmenes finitos está consolidado entre la comunidad científica dela dinámica de fluidos computacional (CFD) para resolver este tipo de problemas.Los esquemas numéricos que proponemos para las discretizaciones espaciales se ba-san en técnicas de descentramiento (upwind) para los términos convectivos y aquellostérminos fuente que tengan una especial relevancia en los problemas estacionarios(Bermúdez et al. en [1]). Los estudios realizados en trabajos anteriores ilustran lanecesidad de incrementar la precisión en el cálculo de los campos de velocidades ensituaciones de flujo turbulento (Cea et al. [14]). El método numérico con el que seobtienen los resultados es un esquema híbrido que combina una aproximación deprimer orden para el cálculo de la superficie libre con una aproximación local de se-gundo orden por líneas para los campos de velocidades, que proporciona solucionesóptimas aunque el esquema resultante no sea de orden dos.

La aportaciones que condensamos en el presente trabajo están en conexión conlas desarrolladas por otros grupos españoles, particularmente, investigadores de lasUniversidades de Zaragoza, Málaga y Sevilla, con los que confluimos en el proyectode investigación coordinado REN2000-1162-C02-02 y que posteriormente aportaronmejoras centradas en diferentes aspectos. Por ser denominador común de los objeti-vos de cada grupo la presencia de los términos fuentes relacionados con la geometríay la fricción, estos grupos han aportado un análisis más detallado de estos términos yde los frentes de seco-mojado, en el marco de posteriores proyectos de investigación.

Nuevas contribuciones y mejoras, pueden seguirse tanto desde el punto de vistade las aplicaciones como del análisis numérico más teórico, en los trabajos del losequipos de la Dra. García-Navarro de la Universidad de Zaragoza ([5], [4], [21], [29]y [22]) como del Dr. Parés ([23], [8], [9] y [20]) de la Universidad de Málaga y delDr. Chacón ([19] y [15], [16]) de la Universidad de Sevilla, y en los que los dos últimosgrupos siguen confluyendo ([7] y [6]).

Con el presente trabajo nosotros describimos una línea de colaboración conjuntaentre los autores de las Universidades de A Coruña y Santiago de Compostela en la

La Gaceta ? Artículos 73

que combinamos los aspectos de las aplicaciones y validaciones con la descripción delos modelos y métodos numéricos desarrollados, sin pretender desarrollar todas lascontribuciones ni todos los detalles técnicos tanto desde el punto de vista numéricocomo experimental, que son objeto de otras referencias de los autores que puedenverse en la bibliografía.

En este trabajo se presentan diversas aplicaciones de un modelo numérico devolúmenes finitos que resuelve las ecuaciones de aguas someras promediadas en pro-fundidad, considerando tanto los esfuerzos turbulentos como los frentes seco-mojado.Se presentan los siguientes casos prácticos: el estuario Crouch (Reino Unido) y elcálculo de caudales y velocidades en un modelo de escala de peces.

2. Modelo matemático

2.1. Modelo de las aguas someras bidimensionales

Las ecuaciones de aguas someras bidimensionales se obtienen promediando enprofundidad las ecuaciones de Reynolds tridimensionales. En su derivación mate-mática se asume una distribución de presión hidrostática y un campo de velocidadrelativamente uniforme en profundidad. La hipótesis de presión hidrostática equivalea despreciar las aceleraciones verticales del fluido, cumpliéndose de manera razona-ble en flujos con una extensión horizontal mucho mayor que su profundidad, lo cuales habitual tanto en hidráulica fluvial como en regiones costeras.

Algunas causas comunes que invalidan esta hipótesis son la presencia de obs-táculos abruptos en el fondo o la curvatura excesiva de las líneas de corriente. Aúnen estos casos las ecuaciones de aguas someras pueden utilizarse, teniendo siempreen cuenta a la hora de analizar los resultados que en las zonas en las que se rom-pen las hipótesis de partida se está introduciendo un error de modelización. Lasecuaciones de aguas someras forman un sistema hiperbólico de 3 ecuaciones diferen-ciales de transporte con 3 incógnitas, estando definidas sobre un dominio espacialbidimensional. Las ecuaciones se pueden escribir como

∂h

∂t+ ∂hUj

∂xj= 0,

∂hUi∂t

+ ∂hUiUj∂xj

= −gh ∂h∂xi− gh∂zb

∂xi− τb,i

ρ

+ ∂

∂xj

(νh∂Ui∂xj

)+ ∂

∂xj

(hτeijρ

), i = 1, 2,

(1)

donde se emplea el convenio de la suma de Einstein (j = 1, 2) y las notaciones quese detallan a continuación: Ui, i = 1, 2, son las dos componentes horizontales dela velocidad promediada en profundidad1, h es el calado, g es la aceleración de lagravedad, zb es la elevación del fondo, ρ es la densidad del agua, ν es la viscosidad

1Esta notación permite aplicar el convenio de la suma de Einstein, que simplifica la descripcióndel modelo, en otros apartados del trabajo también se utiliza Ux = U1, Uy = U2, para denotar lasdos componentes horizontales de la velocidad promediada en profundidad.


cinemática del fluido, y τb,i, i = 1, 2, son las dos componentes horizontales de lafricción del fondo, que se modela habitualmente mediante la fórmula de Manningpara lechos rugosos:

τb,iρ

= ghn2|U |Uih4/3 , i = 1, 2, (2)

siendo n el coeficiente de Manning.Las tensiones efectivas horizontales promediadas en profundidad, τeij , incluyen la

suma de los efectos de las tensiones viscosas τvij , de las tensiones turbulentas −u′iu′j—también llamadas tensiones de Reynolds— y de los términos de dispersión lateraldebido a la no homogeneidad en profundidad del perfil de velocidad Dij (Rastog,[26]):

τeijρ

=τvijρ− u′iu′j +Dij , i, j = 1, 2. (3)

Su importancia será mayor cuanto menos uniforme sea el perfil de velocidad enprofundidad. Los tensiones viscosas se calculan a partir de la viscosidad cinemáticadel fluido ν como

τvijρ

= ν

(∂Ui∂xj

+ ∂Uj∂xi

). (4)

En problemas de flujo en ríos y en regiones costeras, el orden de magnitud de lastensiones viscosas es mucho menor que el del resto de los términos que aparecen enlas ecuaciones de las aguas someras, y por lo tanto su efecto puede despreciarse.

Las tensiones de Reynolds reflejan el efecto de la turbulencia sobre la velocidadmedia del fluido y en flujo turbulento toman valores mucho mayores que las tensionesviscosas. El efecto de las tensiones viscosas es especialmente importante en zonasde recirculación, en donde la producción de turbulencia es elevada, como se veráen la sección 4.2 dedicada al problema de aplicación de la escala de peces. Paracalcularlas es necesario recurrir a un modelo de turbulencia que detallamos en lasiguiente sección.

2.2. Modelo de turbulencia k-ε promediado en profundidad

Existen diferentes modelos de turbulencia específicos para las ecuaciones de aguassomeras promediadas en profundidad (véase Cea et al. [14]). Entre los más utilizadosse encuentran el modelo de longitud de mezcla y el modelo k-ε de Rastogi y Rodi [26].

Como suele ocurrir en la modelización del flujo en ríos y en zonas costeras, lainfluencia del modelo de turbulencia en los resultados de calado y velocidad es muypequeña, en general inapreciable, debido a que los esfuerzos convectivos son variosórdenes de magnitud superiores a las tensiones turbulentas, además, la geometría eslo suficientemente suave como para que no se produzcan zonas de recirculación enplanta. A pesar de ello, incluso en este tipo de situaciones es importante realizar unacorrecta modelización de la turbulencia, ya que esta juega un papel fundamental enlos procesos de transporte y mezcla de contaminantes y sedimentos. La difusión decalor, de un soluto, o de un sedimento en suspensión se produce básicamente por


turbulencia, siendo el coeficiente de difusión turbulenta varios órdenes de magnitudsuperior al coeficiente de difusión molecular.

El objetivo de los modelos de turbulencia es calcular las tensiones de Reynolds.En los modelos basados en la hipótesis de Boussinesq, las tensiones de Reynolds seevaluan a partir de la expresión

−u′iu′j = νt

(∂Ui∂xj

+ ∂Uj∂xi

)− 2

3kδij , (5)

en donde νt es la viscosidad turbulenta y k es la energía cinética turbulenta. Elmodelo de turbulencia proporciona la viscosidad turbulenta para utilizarla en laexpresión anterior.

Como se anticipa en el título de la sección, en este trabajo solamente describimoslas ecuaciones del modelo k-ε promediado en profundidad2. En la versión del modelode longitud de mezcla para aguas someras propuesto por Rastogi y Rodi [26], laviscosidad turbulenta νt se calcula a partir de las características locales del flujomediante la siguiente expresión:

νt = cµk2

ε, (6)

en donde k es la energía cinética turbulenta, ε es la tasa de disipación de turbulen-cia, y cµ es una constante con valor cµ = 0.09. El modelo resuelve una ecuación detransporte para cada una de las variables k y ε, en donde se tiene en cuenta la pro-ducción debida al rozamiento del fondo, la producción por gradientes de velocidad,la disipación y el transporte convectivo. Las ecuaciones que lo describen son

∂hk

∂t+ ∂Ujhk

∂xj= ∂

∂xj

((ν + νt

σk

)h∂k

∂xj

)+ hPk + hPkv − hε,

∂hε

∂t+ ∂Ujhε

∂xj= ∂

∂xj

((ν + νt

σε

)h∂ε

∂xj

)+ hcε1

ε

kPk + hPεv − hcε2

ε2

k.

(7)

Los términos que intervienen en los segundos miembros, y cuya interpretación serádescrita brevemente a continuación, son

Pk = 2νt(S211 + S2

22 + 2S212), Sij = 1

2

(∂Ui∂xj

+ ∂Uj∂xi

), i, j = 1, 2 ,

Pkv = cku3f

h, ck = 1

c1/2f

, u2f = cf |U|2,

Pεv = cεu4f

h2 , cε = 3.6 cε2c1/2µ

c3/4f

,

cµ = 0.09, cε1 = 1.44, cε2 = 1.92, σk = 1.0, σε = 1.31,

2Otros modelos también considerados por los autores pueden verse en [14].


donde el término Pk representa la producción de energía turbulenta debida a losgradientes horizontales de velocidad, y tiene la misma expresión que en el modelohidrodinámico de las aguas someras bidimensional definido en (1). Los términos fuen-te Pkv y Pεv son los responsables de modelar la turbulencia tridimensional generadapor la fricción del fondo, siendo cf el coeficiente de fricción el fondo. Finalmente,las cinco constantes del modelo (cµ, cε1, cε2, σk, σε) se supone que toman los mismosvalores que en el modelo k-ε tridimensional de partida.

El modelo k-ε es un modelo relativamente sofisticado. En flujos turbulentos pocoprofundos proporciona resultados relativamente buenos, siendo uno de los modelosmás utilizados en dicho ámbito cuando el nivel de turbulencia es importante. Noobstante, su grado de complejidad no garantiza resultados correctos en cualquiertipo de flujo. Al igual que cualquier modelo de turbulencia, los resultados obtenidoscon el modelo k-ε deben de analizarse y valorarse de forma crítica.

3. Discretización con volúmenes finitos de las ecuacionesde las aguas someras con turbulencia

Las modelizaciones presentadas en este artículo se han realizado empleando elcódigo Turbillon3, desarrollado en el Grupo de Ingeniería del Agua y del MedioAmbiente (GEAMA) de la Universidad de A Coruña en colaboración con la coauto-ra de la Universidad de Santiago de Compostela. El código resuelve las ecuacionesde aguas someras mediante un esquema numérico en volúmenes finitos para mallasbidimensionales no estructuradas. A continuación se realiza una descripción bre-ve de los esquemas numéricos utilizados en Turbillon, pudiéndose encontrar unadescripción más detallada de los mismos en Cea et al. [13].

3.1. Discretización de las ecuaciones de las aguas someras

La aplicación del método de volúmenes finitos se sigue de la forma conservativade las ecuaciones. Describiremos cómo aplicarlo en primer lugar al sistema de leyesde conservación de las aguas someras bidimensionales que tiene la siguiente expresiónen forma conservativa:

∂w∂t

+ ∂Fx

∂x(w) + ∂Fy

∂y(w) = S(x, y,w) + G(x, y,w) + D(x, y,w) (8)

con

w =

h

qx

qy

, Fx =

qx

q2x

h+ gh2

2qxqyh

, Fy =

qy

qxqyh

q2y

h+ gh2

2

,

3http://turbillon2d.googlepages.com


S =

0

−gh∂zb∂x

−gh∂zb∂y

, G =

0

−τb,xρ

−τb,yρ

, D =

0

∂

∂x

(νeh

∂Ux∂x

)+ ∂

∂y

(νeh

∂Ux∂y

)∂

∂x

(νeh

∂Uy∂x

)+ ∂

∂y

(νeh

∂Uy∂y

) ,

donde w es el vector de las variables conservativas, más concretamente, (qx, qx) =h(U1, U2) son las componentes de la variable conservativa que representan el flu-jo por unidad de longitud. La suma de la viscosidad cinemática y turbulenta nosproporciona la viscosidad efectiva νe, esto es, νe = ν + νt. Los vectores Fx y Fyrepresentan las dos componentes del flujo convectivo. Los términos fuente conside-rados, como ya se anticipó en la Introducción, dan cuenta de aspectos relativos a lageometría y a la turbulencia y viscosidad: S considera la pendiente del fondo, G lafricción del fondo y D la turbulencia.

Figura 1: Generación de la malla de volúmenes finitos a partir de una malla triangular.

La discretización del dominio espacial se realiza con volúmenes finitos no estruc-turados tipo arista. Bermúdez et al. en [1] proporcionan una descripción detalladade este tipo de volúmenes. Los volúmenes de control se generan a partir de unatriangulación previa del dominio espacial, situando los nodos en el punto medio delas aristas de los triángulos (figura 1). Las celdas construidas de tal manera tienencuatro aristas excepto en los contornos, en donde sólo tienen 3 aristas. Este tipo devolúmenes permite una definición simple del vector normal en las aristas del con-torno, evitando la indeterminación en la definición del vector normal que aparececuando se utilizan volúmenes tipo vértice en problemas con una geometría irregular(véase Dervieux y Desideri [18]).

Una vez introducidos los volúmenes finitos sobre los que vamos a trabajar pasa-mos a describir las discretizaciones en tiempo y espacio consideradas en el trabajo.La discretización explícita en tiempo de la ecuación (8) viene dada por

wn+1 −wn

∆t + ∂Fx

∂x(wn) + ∂Fy

∂y(wn) = Sn + Gn + Dn (9)

donde el superíndice n hace referencia al tiempo tn = n∆t, siendo ∆t el paso detiempo.


La discretización espacial, como ya anticipamos, se sigue de la integración de laecuación (9) sobre el volúmen de control Ci:

wn+1i −wn

i

∆t Ai +∑j∈Ki

∫Lij

(Fxnx + Fyny) dL =∫Ci

(Sn + Gn + Dn) dA, (10)

donde wni es el valor medio de w en la celda Ci en el instante tn, Ai es el área de la

celda Ci, Lij es el lado común a las celdas Ci y Cj , n = (nx, ny) es el vector unitarionormal exterior al correspondiente lado, y Ki es el conjunto de los índices de todaslas celdas Cj que comparten lados comunes con Ci.

3.1.1. Discretización de los términos convectivos

Para la discretización del flujo convectivo se utiliza una extensión, que mejorael orden uno, del esquema descentrado de Roe [27] con un limitador de pendiente(Superbee o Minmod), para evitar oscilaciones en regiones con máximos o mínimoslocales.

Figura 2: Reconstrucción de las variables conservativas de los nodos de las celdas alos lados de las celdas: definición de los triángulos descentrados con vértices en losnodos Ni, Ni1 , Ni2 y Nj , Nj1 , Nj , Nj1 (izquierda), representacion de las pendienteslimitadas (derecha).

Una vez conectada la necesidad de calcular las velocidades aproximadas conprecisión superior a orden uno cuando se considera la turbulencia, comenzamos pordescribir la reconstrucción lineal de las variables conservativas w, que inicialmenteconsideramos constantes por celdas, para asignarles un valor a cada lado Lij de lacelda: wIj y wiJ son los valores extrapolados de wi y wj , respectivamente (véase lafigura 2), que se obtienen de la forma

wIj = wi + 12∆∗i , wiJ = wj + 1

2∆∗j , (11)


donde ∆∗i , ∆∗j son las pendientes limitadas en los nodos Ni y Nj definidas por Toroen [28]. Las pendientes limitadas se pueden calcular de la forma

∆∗i ={

max[0, mın (∇wirij , ∆ij)] si ∆ij > 0mın[0, max (∇wirij , ∆ij)] si ∆ij < 0

con ∆ij = wj −wi, (12)

con una expresión análoga para ∆∗j . En la ecuación (12), rij es el vector que repre-senta, en módulo, la distancia entre los nodos Ni y Nj . Los gradientes ∇wi y ∇wj

(véase la Figura 2) se calculan a partir de los valores de w en los nodos Ni, Ni1 , yNi2 , y Nj , Nj1 y Nj2 , respectivamente. Los triángulos cuyos vértices vienen dadospor Ni, Ni1 , Ni2 y Nj , Nj1 , Nj , Nj1 se conocen como triángulos descentrados (paramás detalle véase Vázquez-Cendón [31]). Las pendientes limitadas calculadas en laecuación (12) reproducen el limitador Minmod descrito por Toro en [28].

La integral de contorno del flujo convectivo de la ecuación (10) se aproxima porel flujo numérico φij :∫

Lij

(Fxnx + Fyny) dL ≈ φij(wL,wR,nij). (13)

Más concretamente, la expresión del flujo numérico del esquema descentrado deRoe [27] asociado al flujo normal, Z(w,nij) = Fx(w)nijx+Fy(w)nijy, donde nij =(nijx, nijy) es el vector normal al lado de la celda Lij con su misma longitud, vienedada por

φij(wL,wR,nij) = Z(wL,nij) + Z(wR,nij)2 − 1

2∣∣Q(wL,wR,nij)

∣∣(wR−wL) (14)

con|Q| = X|D|X−1,

X =

0 1 1−ny Ux + cnx Ux − cnxnx Uy + cny Uy − cny

, |D| =

|λ1| 0 00 |λ2| 00 0 |λ3|

,

λ1 = nxUx + nyUy , λ2 = λ1 + c√n2x + n2

y , λ3 = λ1 − c√n2x + n2

y ,

donde wL = wIj y wR = wiJ , la matriz Q es la matriz promedio de Roe [27]que tiene como autovectores las columnas de la matriz X y como autovalores λi,i = 1, 2, 3, donde

h =√hLhR, c =

√ghL + hR

2 ,

Ux =√hLUx,L +

√hRUx,R√

hL +√hR

, Uy =√hLUy,L +

√hRUy,R√

hL +√hR

.


3.1.2. Término fuente de la pendiente del fondo

Cuando se aplica el esquema descentrado descrito en las ecuaciones (11)–(14) conuna discretización centrada SCi del término fuente relativo a la variación del fondo,esto es, SCi = S(xi, yi,wn

i ), se analizó y demostró en los trabajos previos [1] y [32]que se generan ondas espurias en condiciones de flujo hidrostático. Para evitar estasoscilaciones se propone una aproximación descentrada de este término Si:

Si = SCi −1Ai

∑j∈Ki

d⊥,ij2 |nij ||Q|ijQ−1

ij Sij , (15)

SCi = 1Ai

∑j∈Ki

d⊥,ij2 |nij |Sij , Sij = −ghi + hj

2zb,j − zb,id⊥,ij

0nx,ijny,ij

,

donde Sij es una aproximación promediada del término fuente en la frontera de lacelda Lij , y d⊥,ij = rijnij es la proyección de la distancia entre los nodos Ni y Njsobre el vector normal nij .

Como se demuestra en Bermúdez et al. [1], esta discretización descentrada de lapendiente del fondo proporciona un balance exacto de las ecuaciones de flujo en elcaso hidrostático, lo que se enuncia como Propiedad de Conservación.

Cuando se utiliza la extensión del esquema de Roe correspondiente del tratamien-to descentrado del término fuente descrito en [1] con los valores de la reconstrucciónlineal de las variables descrito en la ecuación (11), se generan oscilaciones de la su-perficie libre como se demuestra en [32]. Como posible solución, Cea et al. en [12]proponen utilizar un esquema híbrido definido por la extensión de orden dos por lí-neas únicamente para las dos componentes del caudal unitario (qx, qy), conservandouna discretización de primer orden para el calado y la pendiente del fondo.

De esta forma se elimina una gran parte de la difusión numérica, y se mantie-ne en gran medida la estabilidad del esquema logrando el objetivo de aproximarcorrectamente los remolinos sin necesidad de llegar al orden dos, como se validaexperimentalmente en la sección 4.2.

Existen otras alternativas al tratamiento de los términos fuente descentrados queconducen a esquemas de alto orden con mallas no estructuradas, como puede verseen el trabajo de Hubbard y García-Navarro [21] del año 2000 y con posterioridadlos también ya mencionados de Castro et al. [9] y Gallardo et al. [20]. En [10] secompara el método híbrido propuesto con los autores con el desarrollado en [21] yno se aprecian grandes diferencias en los resultados obtenidos para los problemasestudiados, aunque desde el punto de vista del Análisis Numérico son diferentes aligual que los otros mencionados.

Para el tratamiento del frente de marea se define una tolerancia seco-mojadoεwd, de forma que si el calado en una celda es menor a εwd, la celda se consideraseca y no se incluye en el cálculo. La altura de agua nunca se fuerza a cero, conel fin de evitar pérdidas de masa en el interior del dominio de cálculo. El esquemadescentrado de Roe genera oscilaciones espurias en la superficie libre del agua si seaplica directamente en un frente seco-mojado.


Figura 3: Frentes seco-mojado. Redefinición del fondo y condición de reflexión úni-camente en la configuración de la izquierda.

Brufau [3] atribuye estas oscilaciones a la diferencia entre los gradientes del fondoy del calado, y propone redefinir la elevación del fondo en el frente seco-mojado.En las simulaciones presentadas en este trabajo se ha redefinido el fondo tal comoproponen Brufau et al. [5], y se ha impuesto una condición de reflexión (flujo normalcero) en las aristas que definen el frente seco-mojado (véase la figura 3). Este tipo detratamiento fue utilizado por Cea et al. [11] para simular la llegada de oleaje de ondalarga a muros con pendiente elevada, proporcionando resultados aceptables, establesy con un frente no difusivo. Además en la figura 6 se analiza la dependencia de lavelocidad horizontal con el parámetro de tolerancia de la condición seco-mojado εwd.

Como fue anticipado en la Introducción en las referencias [4], [8], se planteandiscretizaciones posibles del tratamiento de los frentes de seco-mojado, además en[9] y [20] se estudió la positividad del esquema numérico propuesto por estos autores.El esquema propuesto se analizó en [5] y [12], en términos de la conservación de masa,y en el presente trabajo, con la validación experimental que se ilustra en el estuariodel Crouch, en la sección 4.1.

3.2. Discretización de los términos de viscosidad y turbulencia

El término de difusión se discretiza con un esquema semi-implícito centrado. Parasimplificar la exposición de dicho esquema detallaremos el tratamiento de los térmi-nos correspondientes a la ecuación de la conservación del momento en la variable x,procediéndose de forma análoga para la ecuación correspondiente a la conservacióndel momento en la variable y. La integral del término de difusión en la ecuación dela conservación del momento en la variable x sobre la celda Ci nos da

Dtot =∫Ci

(∂

∂x

(νeh

∂Ux∂x

)+ ∂

∂y

(νeh

∂Ux∂y

))dA

≈∑j∈Ki

νe,ijhij

(∂Ux∂x

nx + ∂Ux∂y

ny

)ij

.(16)

Cuando la viscosidad turbulenta es grande, se recomienda implicitar la diagonalprincipal del término fuente relativo a la difusión turbulenta para que la condición


de estabilidad no requiera disminuir considerablemente el paso de tiempo. Siguiendolas ideas de Davidson [17], el flujo total difusivo (Dtot) se puede descomponer en dospartes: la difusión ortogonal (D⊥) y la no-ortogonal o paralela (D‖), de forma queDtot = D⊥ +D‖.

Figura 4: Discretización del término de difusión.

El gradiente de la velocidad en el lado de la celda Lij se calcula aplicando elteorema de Gauss en el volumen Aij , que se sombrea en la figura 4. Los dos ladosdel volumen Aij que pasan por los nodos Ni y Nj tienen el mismo vector normal queel del lado de la celda Lij , i.e. nij . Los otros dos dados son paralelos a la recta queune los nodos Ni y Nj , y tiene como vector normal αij , con módulo |αij | = |rij |,tal que αijrij = 0. El área del volumen descrito la denotamos también por Aij yviene dada por Aij = |nij |d⊥,ij = rijnij . Empleando estas definiciones, el gradientede Ux en Lij se aproxima de la forma

∂Ux∂x

∣∣∣∣ij

≈ 1Aij

∫Aij

∂Ux∂x

dA = 1Aij

∫L

Uxnx dL

≈ 1Aij

(Ux,jnx,ij + Ux,Bαx,ij − Ux,inx,ij − Ux,V αx,ij) ,(17)

con una expresión análoga para ∂Ux∂y

∣∣∣ij. La discretización resultante para el flujo

total difusivo (Dtot) en la celda de partida Ci es

Dtot ≈∑j∈Ki

νe,ijhij|nij |d⊥,ij

(Ux,j − Ux,i)︸︷︷︸D⊥≡ortogonal

+∑j∈Ki

νe,ijhijdijd⊥,ij

(Ux,B − Ux,V ) (αx,ij nx,ij + αy,ij ny,ij)︸︷︷︸D‖≡no-ortogonal

,

(18)


donde (Ux,B , Uy,B) y (Ux,V , Uy,V ) denotan del valor del vector velocidad promediadoen vertical en los puntos B y V definidos en la figura 4, respectivamente.

La parte no-ortogonal (D||) se trata explícitamente de forma centrada con elresto de los términos fuente, mientras que la parte ortogonal (D⊥) se descomponede la forma

D⊥,ij = νe,ijhij|nij |d⊥,ij

(Ux,j − Ux,i) = ΓD⊥,ijUx,j −ΓD⊥,ijhi

qx,i, (19)

donde ΓD⊥,ij = νe,ijhij |nij |d⊥,ij

es el coeficiente de difusión ortogonal. En la ecuación (19)todas las variables se evalúan en el tiempo tn excepto el caudal por unidad de longi-tud qx,i, que se evalúa en el tiempo tn+1. Esta elección no supone incrementar el costecomputacional, ya que no se hace necesario resolver ningún sistema de ecuaciones.En el caso de emplear mallas ortogonales los vectores nij y αij son perpendicularesy por lo tanto, la difusión no-ortogonal de la ecuación (18) se anula (D‖ = 0).

3.3. Discretización del modelo de turbulencia k-ε promediado en pro-fundidad

Al igual que en el caso de las ecuaciones de las aguas someras, la aplicación delmétodo de volúmenes finitos se sigue de la forma conservativa del modelo modelo deturbulencia k-ε promediado en profundidad. Detallamos la expresión del mismo enforma conservativa:

∂Φ∂t

+ ∂FΦ,x

∂x(w) + ∂FΦ,y

∂y(w) =

4∑m=1

Hm(x, y,Φ) (20)

con

Φ =(kh

εh

), FΦ,x =

(khUx

εhUx

), FΦ,y =

(khUy

εhUy

),

H1 =

∂

∂x

((ν + νt

σk

)h∂k

∂x

)+ ∂

∂y

((ν + νt

σk

)h∂k

∂y

)∂

∂x

((ν + νt

σk

)h∂ε

∂x

)+ ∂

∂y

((ν + νt

σk

)h∂ε

∂y

) , (21)

H2 =(

2hνt(S211 + S2

22 + 2S212)

cε1εk2hνt(S2

11 + S222 + 2S2

12)

), (22)

H3 =

cku3f

cεu4f

h

, H4 =

−εh

−hcε2ε2

k

. (23)

donde el vector de las variables conservativas viene dado por Φ, el correspondienteflujo convectivo tiene por componentes FΦ,x y FΦ,y y los cuatro términos fuente


representan, respectivamente, la difusión viscosa y turbulenta (H1), la produccióndebida a los gradientes horizontales de velocidad (H2), la producción debida a lafricción del fondo (H3) y la tasa de disipación (H4).

La discretización explícita en tiempo viene entonces dada por

Φn+1i −Φn

i

∆t Ai +∑j∈Ki

∫Lij

(FΦ,xnx + FΦ,yny) dL =4∑

m=1Hm,iAi. (24)

Los términos convectivos se discretizan con un esquema descentrado de segundoorden por líneas con limitador como ya se detalló en la sección 3.1 dedicada a ladiscretización de las ecuaciones de las aguas someras. Además, en este caso el flujoconvectivo normal en cada lado de la celda Lij depende linealmente de la velocidadpromedio en profundidad:

ZΦ,ij = (Uxnx + Uyny)ij Φij . (25)

En cada uno de los lados de las celdas el flujo numérico se calcula de la forma

Z∗Φ,ij = Un,ijΦIj + ΦiJ

2 − 12 |Un,ij | (ΦiJ −ΦIj) (26)

donde Un,ij ≈ (Uxnx + Uyny)ij es una aproximación centrada de la velocidad normalen cada lado Lij , ΦIj y ΦiJ son los valores que se obtienen por extrapolación linealde los nodos de las celdas a los lados (véase la ecuación (11)).

Todos los términos fuente se discretizan evaluándolos en los nodos de las celdasde forma centrada. Al igual que se argumentó con relación a los términos relativosa la difusión turbulenta y viscosa, para no tener que reducir el paso de tiempo porrestricciones de estabilidad numérica, se emplea la siguiente descomposición de lostérminos fuente para dar un tratamiento implícito a las partes negativas HN de lostérminos fuente y explícito a las partes positivas HP :

H ≈ HnNΦn+1 + Hn

P . (27)

Los términos de producción H2 y H3 son siempre positivos por lo tanto están in-cluidos en Hn

P . El término de disipación H4 es negativo y se discretiza de la forma

H4 =

−εh

−cε2ε2

kh

=

−( εk

)n(kh)n+1

−cε2

( εk

)n(εh)n+1

. (28)

El término de difusión H1 puede ser positivo o negativo, por lo tanto se incluye enHnP o Hn

NΦn+1 dependiendo de su signo. Teniendo en cuenta estas consideraciones,los términos Hn

N y HnP en la ecuación (27) vienen dados por

HnN = mın

(Hn

1Φn

, 0)

+

− εk

−cε2ε

k

n

,

HnP = max (Hn

1 , 0) + Hn2 + Hn

3 .

(29)


Finalmente mencionar que, debido a que el esquema propuesto tiene un trata-miento explícito en tiempo4, el paso de tiempo está limitado por la condición CFL,la cual ha sido implementada como

∆t = CFLmıni

di

|Ui|+√ghi

, (30)

donde di es el cociente entre el área y el perímetro de cada volumen finito Ci. Estacondición de estabilidad se aplica tanto a la resolución numérica del modelo de lasaguas someras (véase [2] para las ecuaciones unidimensionales y el anexo de [30]para las leyes de conservación con términos fuente), como al modelo de turbulenciaconsiderado (véase [10]). El valor del CFL considerado en las aplicaciones es 1.

4. Aplicaciones

4.1. El estuario Crouch (Reino Unido)

El estuario Crouch (Reino Unido) se caracteriza por tener una forma relativamen-te estrecha y alargada, con una extensión longitudinal de aproximadamente 25Kmy una anchura de aproximadamente 1Km en la desembocadura (figura 5). Existennumerosas zonas inundables que se anegan y drenan con cada ciclo de marea. Debidoa su topografía relativamente plana e irregular el proceso de drenaje es lento, gene-rándose en bajamar bolsas de agua atrapada en ciertas depresiones del terreno. Estetipo de topografía puede provocar oscilaciones en la solución, produciendo inestabi-lidades numéricas si el tratamiento de los términos fuente y del frente seco-mojadono es correcto.

La malla no estructurada utilizada en el modelo numérico del Crouch consta de48995 volúmenes finitos tipo arista, cubriendo una extensión espacial de aproxima-damente 27.65Km2 con un tamaño medio de celda de 570m2. El tamaño de lasceldas varía aproximadamente entre 500m2 en el cauce principal y 2000m2 en laszonas más elevadas del estuario. La altura del fondo varía entre −15m en las zonasmás profundas de la desembocadura, y +3m en las zonas más elevadas.

Las aportaciones externas de agua dulce en todo el estuario son muy escasas,especialmente en comparación con el flujo de marea, por lo que no es necesarioconsiderarlas en las simulaciones numéricas. La única condición de contorno abiertoa imponer es el nivel de marea en la desembocadura, cuyo rango varía entre 3m conmareas muertas y 5m con mareas vivas. La variación temporal del nivel de mareaimpuesto como condición de contorno no estacionaria se ha obtenido directamentede una sonda de calado situada en la orilla norte de la desembocadura.

Debido a la extensión espacial del estuario, el tamaño de malla en los contornoses relativamente grueso, por lo cual se utiliza una condición de deslizamiento libre.En todo caso, durante la mayor parte del tiempo los contornos de la malla estánsecos, y por lo tanto no intervienen en la solución. Debido a ello se incrementa laimportancia del frente seco-mojado, el cual define el avance de los contornos del

4Los términos que se implicitan no requieren la resolución de un sistema.


Figura 5: Batimetría del estuario Crouch.

fluido, así como su extensión. En la figura 6 se presenta una análisis de sensibilidadal parámetro εwd.

Figura 6: Dependencia de la velocidad horizontal con el parámetro de tolerancia dela condición seco-mojado (εwd). Datos numéricos obtenidos para las localizacionesde Wallasea (izquierda) y Fambridge (derecha) con νt = 0. (Las diferencias entrelos resultados obtenidos con εwd = 0.001m y εwd = 0.0001m no se pueden apreciaren las figuras).

En general, las velocidades inducidas por la marea en el estuario son relativa-mente elevadas, con valores superiores a 0.8m/s en una gran parte del estuario enmedia marea entrante/saliente. Las velocidades máximas se producen cerca de ladesembocadura, con valores ligeramente superiores a 1.5m/s.


Para esta aplicación se dispone de medidas experimentales de calado y velocidaden 5 puntos del estuario cuya localización se muestra en la figura 5, donde porsimplificar se consideraron las localizaciones de Holliwell (figura 7) y Fambridge(figura 8).

En general, la predicción del calado es bastante buena en todos los puntos. Laspredicciones de velocidad son también bastante satisfactorias, especialmente en Wa-llasea, Holliwell y Fambridge. En Paglesham y Creeksea el modelo sobreestima li-geramente la velocidad máxima experimental. Probablemente las diferencias entrelos resultados experimentales y numéricos se deban a errores en la batimetría localdel modelo numérico o a la presencia de patrones de flujo locales que necesiten unamalla de cálculo tridimensional a nivel local.

Figura 7: Comparación numérico-experimental del calado (izquierda) y la veloci-dad (derecha) en Holliwell durante los 9 días de simulación. Comparación de losresultados con los modelos de turbulencia de longitud de mezcla (ML) y k-ε, y sinconsiderar turbulencia (νt = 0).

Figura 8: Comparación numérico-experimental del calado (izquierda) y la velocidad(derecha) en Fambridge durante los 9 días de simulación. Comparación de los re-sultados con los modelos de turbulencia de longitud de mezcla (ML) y k-ε, y sinconsiderar turbulencia (νt = 0).


Figura 9: Campo de la viscosidad turbulenta numérica calculada con el modelo k-εcorrespondiente a la marea entrante y a la desembocadura del estuario. Las zonassecas aparecen en negro.

Teniendo en cuenta que la turbulencia en el estuario está fundamentalmentegenerada por la fricción del fondo, se puede realizar una estimación de la viscosidadturbulenta a partir del modelo de longitud de mezcla, despreciando la generación porgradientes y utilizado la fórmula de Manning para estimar la velocidad de friccióndel fondo uf :

νt ≈ 1/6kufh ≈ 1/6k√gnh5/6U ≈ 0.21nh5/6U.

Asumiendo un calado de 10m, un coeficiente de Manning de 0.02, y una veloci-dad media de 1.5m/s, se obtiene una viscosidad turbulenta aproximada de 0.04m2/s.Con esta estimación, y asumiendo una escala espacial de 1000m (que es aproxima-damente la anchura del estuario en la desembocadura), se puede definir un númerode Reynolds turbulento como

Rt = UL/νt ≈ 21000.

Este valor es bastante elevado, lo que significa que el efecto de la difusión turbu-lenta sobre el flujo medio es pequeño en comparación con el efecto de las fuerzasconvectivas (fuerzas de inercia). Debido a ello, la influencia del modelo de turbulen-cia en el campo de velocidad es pequeña. La estimación de la viscosidad turbulentaes del mismo orden de magnitud que los valores máximos de viscosidad turbulen-ta obtenidos con el modelo k-ε (figura 9), lo cual confirma que la turbulencia estáfundamentalmente generada por la fricción de fondo. Se genera asimismo una zonade alta turbulencia en la entrada del río Roach. De todas formas, incluso en esaszonas la energía turbulenta no es excesivamente elevada, tomando valores del ordende 0.015m2/s2, lo cual equivale a una intensidad turbulenta del orden de 0.10.


4.2. Flujo turbulento en una escala de peces de hendidura vertical

Una escala de peces de hendidura vertical es un canal dividido en diferentespiscinas separados por paredes verticales a través de los cuales el agua fluye haciaabajo y que facilita que los peces puedan desplazarse aguas arriba salvando las alturasde las presas. Aunque la geometría de esta estructura hidráulica es bidimensional,la razón entre la altura del agua y la longitud de las piscinas es 0.5, lo que nogarantiza a priori que se pueda modelar a partir de las ecuaciones de las aguassomeras. Sin embargo, como se constata con la validación, los resultados numéricosy experimentales coinciden en gran medida.

Analizando los resultados experimentales de varios autores [25], [24] se concluyeque para condiciones de flujo uniforme la componente vertical del campo de velocida-des es casi independiente del flujo por unidad de longitud. Además, la altura del aguaes proporcional a Q con una relación prácticamente lineal. La primera característicaque podríamos esperar del modelo numérico es que reprodujese este comportamien-to. En trabajos anteriores se presentan por este motivo los resultados obtenidos enun número importante de simulaciones: 35 l/s, 65 l/s y 105 l/s (véase [14]); en elpresente documento haremos una selección de los resultados.

Figura 10: Campo de velocidades promedio en vertical para Q = 105 l/s. emplean-do el modelo k-ε de turbulencia. La línea negra separa las regiones con velocidadlongitudinal positiva y negativa.

El modelado numérico de la turbulencia es muy importante para describir correc-tamente las zonas de remolinos que se producen en estos flujos (véase la figura 10),ya que un exceso de turbulencia difunde los perfiles de las velocidades lo que hacedesaparecer los remolinos. Por otra parte, si se calcula a la baja la energía turbulentase obtendrán velocidades excesivamente grandes.

Un comparación de la velocidad horizontal promedio en diferentes seccionestransversales revela una satisfactoria validación de los resultados numéricos y ex-perimentales (figura 11). El modelo ASM (Algebraic Stress Models), descrito en [14],y el modelo k-ε, detallado en el presente trabajo, predicen con gran precisión los


torbellinos y las velocidades máximas que se obtiene cuando el flujo atraviesa deuna piscina a otra. Los resultados proporcionados por el modelo de de longitud demezcla que notamos por ML (Mixing Length), descrito también en [14] son peores,sobre todo si incrementamos el valor de Q.

Figura 11: Velocidad longitudinal promediada en vertical (Vx(m/s)), numérica yexperimental en las tres secciones transversales x = 0.16m (izquierda), x = 0.46m(centro) y x = 0.46m (derecha), con Q = 35 l/s.

Finalmente, las tensiones de Reynolds horizontales numéricas y experimentalesobtenidas con el modelo k-ε se presentan en la figura 12.

Figura 12: Tensiones de Reynolds horizontales numéricas y experimentales u′2 yv′2(m2/s2) es tres secciones transversales x = 0.16m (izquierda), x = 0.46m (cen-tro) y x = 0.86m (derecha), con Q = 65 l/s.

5. Conclusiones

Se han presentado diferentes aplicaciones de simulación numérica del flujo enestuarios y en escalas de peces, por medio de un modelo de volúmenes finitos queresuelve las ecuaciones de aguas someras bidimensionales. Se ha incidido en la mo-delización de los términos que contienen la información de la geometría y de laturbulencia.

Los métodos numéricos desarrollados por los autores plantean una discretiza-ción eficiente de los términos relacionados con la geometría y la necesidad de usaruna reconstrucción lineal por aristas a fin de obtener en el campo de velocidadeshorizontales la precisión necesaria para simular las zonas de remolinos.


En los casos presentados se dispone de medidas de campo, el ajuste numérico-experimental de velocidades y calados es muy satisfactorio, confirmando la capaci-dad de los modelos de aguas someras bidimensionales de modelar los procesos deinundación y drenaje generados por el flujo de marea en estuarios con geometría ytopografía complejas y el situaciones en las que la turbulencia es relevante.

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Luis Cea, Grupo de Enxeñaría da Agua e do Medioambiente GEAMA, E.T.S. Ingenierosde Caminos Canales y Puertos, Universidad de A CoruñaCorreo electrónico: [email protected]

M. Elena Vázquez-Cendón, Dpto. de Matemática Aplicada, Universidade de Santiago deCompostelaCorreo electrónico: [email protected]

Jerónimo Puertas, Grupo de Enxeñaría da Agua e do Medioambiente GEAMA, E.T.S.Ingenieros de Caminos Canales y Puertos, Universidad de A CoruñaCorreo electrónico: [email protected]

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El método de volúmenes finitos aplicado a problemas de ingeniería