El Problema de transporte

7/30/2019 El Problema de transporte

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E. Raffo Lecca

11El problema del transporte

El presente captulo est dedicado al problema de transporte. Este es una importante

extensin de la programacin lineal, con origen econmico y fsico.

El clsico problema de transporte fue planteado y resuelto por F. L. Hitchcock en1941, con anterioridad a la formulacin del concepto de la programacin lineal, mucho

antes que George Dantzig planteara el mtodo simplex. El problema del transporte se

caracteriza por lo siguiente:

Una cantidad fija en cada nodo de destino, denominada demanda. Una cantidad fija en cada nodo de origen, denominada oferta. El costo de envo desde un origen a un destino, es proporcional a la

cantidad enviada. El costo total, la suma de las contribuciones unitarias.

El total de la oferta es igual al total de la demanda.

11.1 Introduccin al problema del transporte

A finales de los aos 40, Koopmans desarrolla una tesis doctoral sobre el problema del

embarque martimo en la flota holandesa. En los tiempos napolenicos el matemtico

francs Gaspar Monge (1781) describe el problema de abastecimiento en el ejrcito de

Napolen.

11.1.1 Estructura del problema de transporte

Suponga que se desea enviar cantidades desde orgenes o almacenes a destinos omercados. Por cada origen i-simo, se tiene la oferta ai, i =1,2,..., m, y por cada destinoj-

simo, la demanda es bj,j =1,2,..., n.

Existe un costo de transporte o flete por cada bien que se enva. El costo total del

envo es minimizando, en el considerando que se enva las unidades disponibles y se

reciben las unidades requeridas. En la figura 11.1 se presenta el problema de la asignacin

de los puntos o centros de orgenes hacia los centros de destino.

El total de la oferta es igual al total de la demanda:


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E. Raffo Lecca

a bi j

j

n

i

m

11

1 1

i

j

m

n

...

...

......

...

ai

bj

Figura 11.1

Si el costo de enviar una unidad desde i a j es cij, el problema ser determinar

unidades de i a j,xij, de acuerdo a sus necesidades y disponibilidades, con la finalidad de

minimizar los costos totales.

njmix

njbbx

miaax

xcz

ij

jjij

iiij

ijij

m

i

n

j

m

i

n

j

,...,1,...,10

,...,1,0,

,...,1,0,

asujeto

Min

1

1

1 1

El primer juego de restricciones (uno por cada nodo de origen, totalizando m)

efecta el siguiente balance:

Cantidad que se enva en i = oferta en i

El segundo juego de restricciones (uno por cada destino, totalizando n) efecta el

balance siguiente:

Cantidad que se recibe en j = demanda en j


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E. Raffo Lecca

La estructura especial de un problema de transporte es como sigue:

mmnmm

n

n

axxx

axxx

axxx

=

=

=

21

222221

111211

nnn bxxx

bxxx

bxxx

=+++

=+++

=+++

mn21

2m22212

1m12111

mnmnmmnnnn xcxcxcxcxcxc 11222121111111

El modelo de transporte permite una forma tabular, tal como se presenta el

problema en la siguiente figura:

1 2 ... n

1 c11 c12 c1n a1

x11 x12 x1n

2 c21 c22 c2n a2

x21 x22 x2n

...

m cm1 cm2 cmn am

xm1 xm2 xmn

b1 b2 ... bn

De donde se desprende que cada variable xij se encuentra acotada.

0 xij min {ai,bj} i, j

Un problema de transporte, es de la forma:

Minz =cx

s.a:

Ax = b

x 0

y para m =2 y n =3, la matriz A es

x11 x12 x13 x21 x22 x23

1 1 1

1 1 1

1 1


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E. Raffo Lecca

1 1

1 1

y su tablero es :

1 c11 c12 c13 20

x11 x12 x13

2 c21 c22 c23 5

x21 x22 x23

10 5 10

Cuando Ud. empieza una solucin factible, desde el origen 1 y el nodo, se tiene

quex11 = min {ai, bj}; si a1 < b1 , entonces x11= a1 y a1 es cero, b1 queda como b1- a1 y

viceversa. En cada asignacin se elimina una fila o columna; pero al final se eliminan

ambos. Entonces se obtiene una solucin factible con (m+n-1) valores dexij diferentes decero.

Frecuentemente se tiene ms ofertas que demandas; en estos casos la demanda es

satisfecha completamente:

n

j

miax iij1

,...,1,

m

i

njbx jij1

,...,1,

De

m

i

n

j

ji ba1 1

Se introduce la variable de holguraxi,n+1 , para que

n

j

miaxx iniij1

,...,1,1,

y

m

i

n

j

jin bab1 1

1

La cantidad bn+1 es conocida como el exceso de oferta que ser asignada a un

destino ficticio, con un costo cero.

ci,n+1 = 0 ,i=1,.....,m


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E. Raffo Lecca

En el ejemplo, el total de oferta es mayor que el total de demanda, luego se

introduce una columna ficticia con demanda igual al exceso de oferta, siendo cero los

costos.

En la tabla que aparece a continuacin es para m =2 y n =3.

1 c11 c12 c13 20

x11 x12 x13

2 c21 c22 c23 5

x21 x22 x23

10 5 1

Quedando como:

1 c11 c12 c13 0 20

x11 x12 x13 x14

2 c21 c22 c23 0 5

x21 x22 x23 x24

10 5 1 9

Considere la otra variante

n

j

miax iij1

,...,1,

m

i

njbx jij1

,...,1,

O sea, el caso en que el total de la oferta es menor que la demanda total:

a bi j

j

n

i

m

11

Se introduce un origen ficticio con asignaciones y costos = 0 ; laoferta ficticia se expresar como :

m

i

n

j

ijm aba11

1

Sea el tablero de transporte:

1 c11 c12 c13 15

x11 x12 x13

2 c21 c22 c23 7

x21 x22 x23

10 5 11

Que origina:


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1 c11 c12 c13 15

x11 x12 x13

2 c21 c22 c23 7x21 x22 x23

3 0 0 0 4

x31 x32 x33

10 5 11

11.1.2 Propiedades de la matriz A

La matriz A posee filas y columnas. La columna corresponde a laposicin

. Esta columna es la unin de dos vectores unitarios, el primero es

el vector unitario en el conjunto de restricciones para el origen; y el segundo es elvector unitario en el conjunto de restricciones para el destino: =

Vectores que pertenecen al espacio .En el problema del transporte para el caso de se tiene que la

matrizAes de 5 filas por 6 columnas:

(

)

Seauna submatriz de orden kformada por kcolumnas y kfilas, se encuentraque su determinante es :

|

|

|| Se observa que cada columna de contiene al menos cero, uno o dos unos. Sicontieneuna o ms columnas de ceros entonces || .Una propiedad de la matriz A es cada menor de A puede tener los valores de . Propiedad conocida como la propiedad unimodular (UM) de la matrizA.


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E. Raffo Lecca

Si B es una base de A entonces tiene determinante || y la solucin es entera.Teorema

Sea A una matriz unimodular (UM) y b entero, entonces el poliedro *| +tiene vrtices enteros.

Una matriz A es una matriz totalmente unimodular (TUM), si est formada de

coeficientes enteros y el determinante de toda submatriz de orden ktiene determinante

de . En un problema de transporte la solucin es entera si las ofertas y destinos sonvalores enteros.

11.2 Tcnicas de solucin

El proceso de optimizacin del mtodo Simplex de la PL, se resume en lo siguiente:

1. Solucin inicial.2. Si los costos reducidos cumplen con el ptimo, entonces la BFS es ptima.3. En el caso de no cumplir con el ptimo, efectuar un cambio de base y

efectuar la prueba.

No

Mtodos de solucin

inicialBFS inicial

Cambiar BFS

BFS ptima

Si

Mtodos de solucin

ptima

Figura 11.2: Algoritmo de transporte

El algoritmo Simplex en transporte puede ser apreciado en dos fases:


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E. Raffo Lecca

Solucin inicial.

Solucin ptima.

Existiendo para cada uno de ellos un gran conjunto de algoritmos.

11.2.1 Algoritmos de Solucin inicial

Existe una variedad de algoritmos que generan una BFS cercana o lejana al ptimo,

dependiendo de que el procedimiento haga o no consideracin de los costos. Destacan la

regla de la esquina del Nor-Oeste, el Mtodo de Aproximacin de Vogel, columna

mnima, fila mnima, matriz mnima y el Mtodo de Russell.

La regla de la "esquina del Nor-Oeste" o NCM (Northwest Corner Method), es un

mtodo que no considera la evaluacin de costos. Es uno de los clsicos, de fcil

aplicacin y con una BFS lejana al ptimo. El nombre fue dado por G. Dantzig.

Considere el siguiente tablero:

1 c11 c12 c13 30

x11 x12 x13

2 c21 c22 c23 5

x21 x22 x23

20 5 10

Ubicndose en la celda superior izquierda, se debe decidir entre 30 y 20, es decir

i=1,j=1

x11= min {a1, b1}

= min {30, 20}

= 20

Luego se ha cumplido con la demanda 1 y se pasa a la demanda 2, quedando por asignar

una oferta de 10;

a1 = a1- x11 = 10

b1 = b1- x11 = 0

1 c11 c12 c13 10

10

2 c21 c22 c23 5

0 5 10

i=1,j=2


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E. Raffo Lecca

x11 = min {a1, b2}

= min {10, 5}

= 5

a1 = a1-x21 = 5

b2 = b2-x21 = 0

1 c11 c12 c13 5

20 5

2 c21 c22 c23 5

0 0 10

Nuevamente se pasa a la siguiente demanda y la oferta es actualizada.

x13 = min {a1,b3}

= min {5,10}

= 5

a1 = a1 -x31 = 0

b3= b3-x31 = 5

En este caso la demanda restante es 5; pasndose a la siguiente fila.

1 c11 c12 c13 0

20 5 52 c21 c22 c23 5

0 0 5

i = 2,j=3

x23 = min {a2,b3}

= 5

Resultando el tablero de solucin inicial

1 c11 c12 c13 30

20 5 52 c21 c22 c23 5

5

20 5 10


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E. Raffo Lecca

Si

I=1, J=1

X(I,J)=A(I)

A(I)=0, B(J)=B(J)-A(I)

I=I+1

X(I,J)=B(J)

B(J)=0, A(I)=A(I)-B(J)

J=J+1

Regla del Nor-Oeste

No

IF

A(I) M o J > N

Si

No

BFS inicial

Figura 11.3: Regla NCM

En todo el proceso de la regla NCM, no se hace uso de los costos. Evaluando z, se

tiene,

n

ji

ijijxcz,

90

xij cij xijcij

20

5

5

5

3

1

2

3

60

5

10

15

90

La regla de aproximacin de Vogel o VAM (Vogel Aproximation Method) hace

nfasis en los costos, incidiendo en aquellas celdas cuyos costos son muy diferenciados

con respecto a sus inmediatos adyacentes. Con ese fin trata de minimizar el costo penal

ms grande con la finalidad de evitar su ocurrencia.

Sea el modelo de transporte

1 3 2 1 10

2 4 2 1 5

3 1 2 2 15

10 15 5


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E. Raffo Lecca

La diferencia de costos entre el menor y su inmediato sucesor se encuentra en

cada fila y columna.

1 3 2 1 2-1

2 4 2 1 2-1

3 1 2 2 2-1

*

3-1 2-2 1-1

Escoger en la fila o columna con mayor valor de diferencia y asignar en la celda

de menor costo entre:

{ }1 3 2 12 4 2 1

3 1 2 2 15

x31

10

Para el caso se elimina la columna 1 y se actualiza la fila 3. Se repite el proceso hasta

encontrar (m +n - 1) variables:

1 3 2 1

x13 2-1

2 4 2 1

2-1

3 1 2 2

10 2-2

2-2 1-1

1 3 2 1

5 5 5

2 4 2 15 5

3 1 2 2

5 5 5

15

1 3 2 1 10

5 5

2 4 2 1 5

5

3 1 2 2 15

10 5

10 15 5


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E. Raffo Lecca

La solucin inicial tienez = 45.

Si

Para cada fila y columna calcular el costo

penal de no incurrir en una asignacin.

En la fila o columna con el mayor costo

penal, localizar la celda de menor costo:

c(p, q)

X(p, q)=A(p)

A(p)=0, B(q)=B(q)-A(p)

X(p, q)=B(q)

B(q)=0, A(p)=A(p)-B(q)

Regla de Vogel

No

IF

A(p)


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E. Raffo Lecca

1 2 3

1 3 2 1

2 4 2 1 55

3 1 2 2

5

Se elimina la columna 3 y la fila 2. Y la regla continua aplicndose.

1 2 3 ui

1 3 2 1 32 4 2 1

53 1 2 2 2

vj 3 2

En la siguiente iteracin ingresa la celda (3,1).

1 2 3

1 3 2 1 2 4 2 1 5

5

3 1 2 2 1510

10 5

Finalmente la SBF inicial usando la regla de Russell es como sigue:

1 2 3

1 3 2 1 10

10 2 4 2 1 5

5

3 1 2 2 15

10 5

10 15 5

11.2.2 bucles e independencia lineal

Una secuencia ordenada de cuatro o ms celdas es denominada bucle o loop, si

cualquier par de celdas consecutivas se encuentran en la misma fila o columna; y no

existen tres celdas consecutivas en la misma fila o columna.


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E. Raffo Lecca

(p,q) (p,r)

(s,r)(s,q)

Figura 11.5: Loops

Por ejemplo la secuencia * + .Se puede verificar que toda secuencia posee un nmero par de celdas.

En trminos del mtodo simple, una celda est ocupada con una asignacin,

significa que la celda corresponde a una variable bsica. Una celda en el tableroSimplex para el transporte, corresponde a la variable

, siendo su vector columna

.

En el problema del transporte existen m ecuaciones para los orgenes y n ecuaciones para

los destinos. En una columna de existe un vector unitario en el conjunto de las mecuaciones y un vector unitario en el conjunto de las n ecuaciones,

= TeoremaEn un conjunto de celdas asignadas al tablero Simplex del transporte, sus vectores

columnas cumplen con la independencia lineal. Un bucle o loop cumple con la

dependencia lineal.

Sea la variable una variable no bsica, constituye una dependencia lineal conlos vectores columnas asociados al loop o dicho de otro modo la variable de entrada es

dependiente de las variables que se encuentran en la base pero que se hallan en el bucle.


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E. Raffo Lecca

Se observa que los escalares tienen valores alternativos de mas y de menos 1.

Toda vez que si una celda no bsica ingresa a la solucin est sumando o asignado un

valor y las celdas contiguas en la secuencia ordenada son restadas en ese valor.

11.2.3 Mtodos de Solucin ptima

Una variable no bsica, se puede representar mediante un loop; su costo reducido, viene a

ser el negativo del costo incremental en dicho loop; es decir, el costo en que se incurre por

una unidad que ingresa a la base:

pq = - (zpq - cpq ) = cpq - cpr+ csr- csq

Si todos los (zpq - cpq) 0, la BFS es ptima; es decir..

Usando la solucin inicial siguiente:

1 3 2 1 10

5 5

2 4 2 1 5

5

3 1 2 2 15

10 5

10 15 5

Analizando los incrementos de costos para las variables no bsicas

11 = c11 - c12 + c32 - c31

= 3 - 2 + 2 - 1

= 2

21 = c21 - c22 + c32 - c31

= 4 - 2 + 2 - 1

= 3

23 = c23 - c22 + c12 - c13

= 1 - 2 + 2 - 1= 0

33 = c33 - c32 + c12- c13

= 2 - 2 + 2 - 1

= 1

Todos los cijson no negativos o dicho de otro modo, todos los costos reducidos

son no positivos, luego el problema es ptimo. Esta tcnica es conocida como el "Cruce

del Arroyo" del ingls Stepping Stone (las piedras que se colocan para cruzar un arroyo);

y fue ideada por Charnes y Cooper en 1954.


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E. Raffo Lecca

Qu ocurre cuando se encuentran incrementos de costos que pueden reducir la

FO?

Suponga la BFS:

1 3 2 1 10

5 5

2 4 2 1 5

5

3 1 2 2 15

5 10

10 15 5

Calculando los incrementos de costos:

12 = 2 - 2 + 1 - 3

= -2

21 = 4 - 2 + 2 - 1

= 3

23 = 1 - 2 + 2 - 1 + 3 - 1

= 2

33 = 2 - 1 + 3 - 1

= 3

El min { ij/ tal que ij < 0 } es en12, de:

z = zo - (zpq - cpq) xpq

= zo + cpqxpq

xpq = min (10,5)

= 5

z =zo + (-2)5

= 55 - 10= 45

La nueva BFS es

1 3 2 1 10

5 5

2 4 2 1 5

5

3 1 2 2 15

10 5


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E. Raffo Lecca

10 15 5

Probando los ij, todos son positivos; luego la solucin es ptima. Ver diagrama

de solucin en la figura 11.6.

1

1

2

2

3 3

5

5

10

5

5

Figura 11.6: Solucin ptima

11.3 Mtodos de los multiplicadoresEn el mtodo Simplex, los costos reducidos se calculan como:

zpq - cpq = = )- =

En la estructura de la matriz A, se tiene:

xpq

cpq

0...

1

...

0

1...

filap

...

m

u1...

up...

um

0

...

1

...

0

1

...

fila q

...

n

v1

...

vq...

vn


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E. Raffo Lecca

Aplicando el dual, la restriccin asociada axpq es:

Es decir:zpq - cpq= up + vq -cpq

Desde el algoritmo Simplex:

1. Si la variable es bsica

zpq - cpq = 0 , luego up + vq = cpq

2. Si la variable es no bsica, en el ptimo se cumple:

zpq - cpq 0 , luego up + vq cpq

Para que una variable no bsica ingrese a la base, es necesario que:

0>/max ),( ijijijijpqpq czczcz ji

Suponga la solucin

1 3 2 1 10

5 5

2 4 2 1 5

5

3 1 2 2 15

5 10

10 15 5

Para las variables bsicas se cumple que:

u1 + v1 = c11

u1 + v3 = c13

u2 + v2 = c22u3+ v1 = c31

u3 + v2 = c32

Haciendo que algn ui o vj sea igual a una cantidad, para solucionar que existen

ms incgnitas que ecuaciones se tiene:

u1= 0 entonces v1 = c11 = 3

v3 =c13 entonces v3 = 1

u3 + v1 = c31 entonces u3 = c31 - v1 = -2


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E. Raffo Lecca

u3+ v2 = c32 entonces v2 = c31 - u3 = 4

u2+ v2= c22 entonces u2 = c22 - v2 = -2

Luego:

z11 -c12 = u1+ v2 -c12= 0 + 4 - 2

= 2

z21 - c21 = u2 + v1 - c21= -2 + 3- 4

= -3

z23 - c23 = u2 + v3- c23

= -2 + 1 - 1

= -2

z33 - c33 = u3+ v3 - c33

= -2 + 1 - 2

= -3

Variable de entrada x12; tal como ocurre con la aplicacin del algoritmo del "cruce

del arroyo".

El nombre de mtodo de los multiplicadores, se debe George B. Dantzig quin

utiliz el nombre de multiplicadores Simplex, para denominar a las variables duales, de

all que en algunas bibliografas aparezcan como el mtodo U-V (desde las variables

duales ui, vj) o el mtodo Simplex para transporte.

Al asignar ui a la variable dual asociada a la restriccin de origen i y vj, a la

variable dual relativa a la restriccin de destinoj, se encuentra que al existir una ecuacin

redundante, cualquier ecuacin puede ser considerada como tal; por tanto, se puede

asignar un valor arbitrario a uno de los multiplicadores Simplex. Aqu se sugiere que:

u1 = 0

El problema dual del problema de transporte es:

asirrestrictson,

asujeto

max1 1

ji

ijji

jjii

vu

cvu

vbuazm

i

n

j


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E. Raffo Lecca

El siguiente teorema que viene a continuacin, da una nueva luz con respecto a las

variables duales.

TeoremaCuando los costos cijson enteros y uno de los multiplicadores es un valor entero, todos los

multiplicadores Simplex sern enteros.

11.4 Aplicaciones en transporteEn la presente seccin se presenta el uso del problema del transporte a algunas

aplicaciones prcticas que se encuentran en la vida real. Una de ellas es el denominado

transporte al tiempo [PRS76] y la otra es el problema del proveedor o caterer problem.

11.4.1 Transporte al tiempo

El departamento de produccin se encuentra planeando la cantidad de unidades a producir

en cada de uno de los siguientes cuatro trimestres.

En cada trimestre se conoce la capacidad de produccin , como la demandarespectiva . Si se incurre en un costo unitario de produccin de unidades monetarias;y se permite dejar inventarios a un costo por unidad por trimestre. Cul es el plan deproduccin que minimice los costos totales de produccin inventario?

El problema visto como un transporte, posee orgenes el tiempo cuando seproduce con sus capacidades de produccin; y posee destinos el tiempo cuando se entrega

para cumplir con la demanda o requerimientos. Por cada unidad que se deja en inventario

a un trimestre se carga a los costos de produccin el costo de inventario . Si se deja elinventario a dos trimestres, se carga el costo de ; y as sucesivamente.

1 c1 c1+h c1+2h c1+3h P1

2 c2 c2+h c2+2h P2

3 c3 c3+h P3

4 c4 P4

D1 D2 D3 D4

Figura 11.7: Tablero Simplex para el transporte al tiempo

En la figura 11.7, se presenta el tablero Simplex de transporte para este problema,

denominado transporte al tiempo. Se observa que las celdas oscurecidas significan

asignacin prohibida (un costo muy grande, infinito). Toda vez que la demanda no puede

ser diferida. Esto significa por ejemplo, que si necesitaba en el trimestre del verano, no

puede entregarlo en el trimestre del invierno.


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E. Raffo Lecca

Los datos referentes a la demanda, costo de produccin por unidad, costo de

inventario y capacidad de produccin, se presentan en la tabla 11.1.

TrimestreCosto

Produccin($/unidad)

Demanda

Costoinventario($/unid-trimestre)

Capacidadde

produccin

1 6 30 1 50

2 7 60 1 50

3 7 40 1 50

4 9 60 1 50

Tabla 11.1: Datos de produccin

1 6 6+1 6+2 6+3 50

2 7 7+1 7+2 50

3 7 7+1 50

4 9 50

30 60 40 60

Figura 11.8: Tablero Simplex para el problema

Como el transporte no est balanceado porque el total demandas es menor que el

total de las capacidades de produccin, se introduce una columna ficticia, con costos ceros

para las variables de holgura. La columna tiene una demanda ficticia de 10, que es la

cantidad del desbalance.

1 6 7 8 9 0 50

2 7 8 9 0 50

3 7 8 0 50

4 9 0 50

30 60 40 60 10

Figura 11.9: Tablero Simplex balanceado

Para la BFS inicial se ha utilizado el mtodo de la matriz mnima. La secuencia de

asignaciones ha sido la siguiente:


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E. Raffo Lecca

(Se eliminan las dos, existe degeneracin)

1 6 7 8 9 0 5030 10 10

2 7 8 9 0 50

50 3 7 8 0 50

40 10

4 9 0 50

50

30 60 40 60 10

Aplicando los multiplicadores, se encuentra que todos los costos reducidos para

las celdas no bsicas tienen valor no positivo: ptimo.

1

1

2 2

33

10

40

50

30

4 4

10

50

Figura 11.10: Solucin ptima

11.4.2 El problema del proveedor

El problema del proveedor o The Caterer Problem, es un famoso problema desde los

anales de la literatura en Investigacin de Operaciones, apareciendo en [JAC54],

[DAN63], [HAD62] y otros. Los textos que aparecen en esta seccin, han sido tomados

mayormente desde Raffo Lecca [RAF99].


23/25


24/25

E. Raffo Lecca

2 0 103

30

4 2015 10 30 20 75

La solucin ptima es comprar 15, 10 y 5 para los tres primeros das

respectivamente. En la tabla 12.2, se presenta la gestin completa para el proveedor.

Tambin ver la implementacin usando LINGO.

1 2 3 4 5

0 7515 10 5 45

1 0 15152 0 10

10

3 3020 10

4 2020

15 10 30 20 75

Da Nuevas LavanderaRpido Regular

1 15 0 15

2 10 10 0

3 5 20 0

4 0 0 0

Tabla 11.2: Gestin del proveedor

Implementacin

! PROBLEMA DE TRANSPORTE;! CATERER;

! E. RAFFO LECCA;

SETS:

ORIGEN/1..5/:OFERTA;

DESTINO/1..5/:DEMANDA;

TABLERO(ORIGEN,DESTINO):X,COSTO;

ENDSETS

DATA:

OFERTA =75 15 10 30 20;

DEMANDA=15 10 30 20 75;

COSTO=4 4 4 4 0

100 2 1 1 0

100 100 2 1 0


25/25

E. Raffo Lecca

100 100 100 2 0

100 100 100 100 0;

ENDDATA

! FUNCION OBJETIVO;

MIN=@SUM(TABLERO:X*COSTO);

! RESTRICCION DE ORIGEN;

@FOR(ORIGEN(I):

@SUM(DESTINO(J):X(I,J))=OFERTA(I);

);

! RESTRICCION DE DESTINO;

@FOR(DESTINO(J):

@SUM(ORIGEN(I):X(I,J))=DEMANDA(J);

);

[email protected]
mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]

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El Problema de transporte