ELEMENTOS DE MATEMATICA

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D i r e c t o r : Prof. Roberto P.J. Hernández

Secretaria de Edición: Prof. Mariana A. Ortega

C o l a b o r a d o r e s P e r m a n e n t e s : Dr. Luis Santaló Prof. Jorge Bosch

Lic. Nicolás Patetta Lic. Lucrecia Iglesias

Prof. Elena García Prof. Juan Foncuberta

Prof. Mario Cozzani Dr. Natalio Héctor Guersenzvaig

Con el auspicio del Comité Argentino de Educación Matemática

Adherido al Comité Interamericano de Educación Matemática

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ELEMENTOS DE MATEMATICA

P U B L I C A C I O N D I D A C T I C O C I E N T I F I C A

DE LA UNIVERSIDAD C A E C E

D/i iV^

VOLUMEN XI NUMERO XLI Sept iembre 1996

SUMARIO Editorial 3

¿El pentágono místico? Prof. Mario J. Cozzani 5

Problemas de la teoría de números en las competencias matemáticas Dr. Héctor Guersenzvaig 13

Prof. Elena I. García 19

Problemas propuestos para la EGB y el Polimodal Prof. Mario J. Cozzani 24

Propuesta Didáctica Lic. Lucrecia D. Iglesias 27

Problemas y Soluciones para publicar sfíríry&y ¿^fvrr^y^r^.

Los Problemas en el Aula Prof. Juan Angel Foncuberta 3 6

Diagramac ión : Mariana A. Ortega ISSN 0326-8888

] Editorial

Estimado colega:

El número 41, Tomo XI, significa el comienzo del undécimo año de "nuestra existencia", que es el resultado de la constancia de nuestros suscriptores, del apoyo y dedicación de todos los colaboradores que se hicieron y se hacen presentes en las páginas de "Elementos de Matemática" ;y del respaldo de la Universidad CAECE.

Y aunque para nosotros este es un hecho de marcada impoHancia sólo queremos presentar un número más, con las características bien conocidas por todos.

Así, incluimos las cinco secciones fijas, a cargo de los colaboradores permanentes: Elena García, Lucrecia Iglesias, Juan A. Foncuberta, Héctor Guersenzvaig y Mario Cozzani.

Se agregan dos trabajos especiales: la segunda y última parte del artículo ' 'Problemas de la teoría de números en las competencias matemáticas (Pro-blemas propuestos)"/) reseníacfo porH. Guersenzvaig y "El pentágono místico", que a pesar del título -o a consecuencia del mismo- desarrolla una interesante cuestión matemática que puede dar lugar a jugosas "llevadas" al aula, del Prof. M. Cozzani.

Sirva el final para recordar -con un pequeño cambio de fechas- que durante los días 17, 18 y 19 de octubre del corriente año, se desarrollará en la Universidad CAECE el IV Congreso de Educación Matemática que tendrá, según lo anunciado opor-tunamente, una modalidad diferente respecto de la característica de los eventos anteriores: la de "curso taller", para que los participantes no sólo escuchen, sino que además trabajen.

El Director i —

E L E M E N T O S DE M A T E M A T I C A - Vol .XI , Nro . 41, S e p t i e m b r e de 1996

¿EL PENTAGONO MISTICO? MARIO J. COZZANI

Una de las preocupaciones que he tenido siempre como profesor de matemática, es la de infundirle al alumno un gran aprecio por las estructuras que estudia esa disciplina. Nunca me ha conformado con enseñarle una fórmula, una :écnica. He tratado de hacer sentir el poder de la misma para mostrar la relación de diversos temas y explicar su modo de comportarse.

Analizando los temas desde esta óptica, las fórmulas pierden su carácter frío rara cargarse de emoción.

Despertar este sentimiento de asombro es lo que pretendo, porque pienso que es el mismo que le produjo a los pitagóricos el descubrimiento de las relaciones matemáticas que laten bajo los intervalos musicales.

Desde la antigüedad hasta el Renacimiento, la historia de la estética, la armonía, la belleza de las estructuras matemáticas y las figuras geométricas desbordan de entusiasmo ante el poderío expresivo. Este entusiasmo debe ser compartido por los estudiantes que deben reflexionar a fondo sobre el nexo que vincula el Algebra, la Geometría y el Análisis de funciones.

Intento justificar lo dicho anteriormente con algunos ejemplos concretos: Si intentamos factorizar la ecuación z5 - 1 = 0 para obtener todas las raíces en

el cuerpo de los números complejos obtenemos:

Luego z - 1 = 0 z 0 = 1

z4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 0

Como z no puede ser cero, dividiendo por z2 queda:

z 2 + z + 1 + 1 + - 7 = 0 z z¿

Haciendo: z + —= u z u W + 4 + 2 z

2 ¿EL PENTAGONO MISTICO

u 2 + u - 1 = 0

/ _ 1 2

- 1 - V 5 2

Luego: z 2

V5 2 z + 1 =

z 2 2

-1 + V5 ± VT0+2V5 i -1-V5±7lO-2V5i

Esta solución puede ser mejorada y mucho, si pensamos en las raíces u-ésimas de latinidad, que son las soluciones de la ecuación z" = 1. Vienen dadas por la fórmula

2kn , • 2kn z,. = eos 1-1. sen k n n

En nuestro caso:

donde k va desde 0 a n-

z = 2k% , • 2kn z k = e o s — + i .sen-5

: eos 0 + i. sen 0

k: 0, 1,2,3,4.

2n • 2n z, = eos +1. sen

4K • 4tc z2 = eos —^—f- í . s e n - ^ -

„ 6tí . • 6K 4n 4n /.-, = e o s + í . s e n = c o s - ^ — í.sen - j -

87c • 871 271 • 271 z 4 = e o s ^ - + í.sen - j - = c o s - ^ — í.sen - j - .

Recordemos que todo número complejo admite n raíces complejas cuyas imágenes son los vértices de un polígono regular de n lados.

En nuestro caso z5 = 1, el polígono precedente está inscripto en una circunferencia de radio 1, siendo uno de sus vértices el punto z0 = 1.

El polígono regular es un "pentágono", este era la insignia de los pitagóricos. Se lo consideraba como un símbolo universal de la salud, belleza y amor. Ya aparece en la India (1700 A.C.) en un grabado en el templo de Kurma.

Construyámoslo, y saquemos algunas conclusiones interesantes: Se considera ABCDE, un pentágono regular inscripto en una circunferencia

de radio I. (circunferencia trigonométrica).

PROF. MARIO J. COZZANI 7

— > — > — > — > — >

Observamos que: OA+ OB+ OC+ OD+ OE = 0 si proyectamos ortogonalmen te sobre el eje de simetría xx'.

y B

c

/v 27t \ \ / \5 \ A

x' 0 X

D

E

Figura 1

Obtenemos: , , 2K . 4tc , 6% , 871 n 1 + COS - y - + e o s — + e o s — + e o s - y = 0

, , 0 2tí , -> 4tt n 1 + 2 . e o s — + 2 . e o s — = 0

Haciendo

u = cos-2_k 5

Recordando

eos2a = eos2 a - s e n 2 a = 2eos2 a - 1

eos — = 2 u - I

Queda:

1 + 2u + 2. (2u2 - 1) = 0

De donde:

-1 + V5

4u2 + 2u - 1 = 0

2 71 Como eos^ - es positivo, tenemos que:

271 V5 - 1 c o s _ 5~ = 4

Deducimos que:

471 2.(->/5 -eos- 5 16 - 4 V 5 - 4 _ V5 + 1

16 4

; EL PENTAGONO MISTICO"

Además, por el teorema de funciones circulares de arcos suplementarios tenemos que:

471 C O S ( T T - a ) = - c o s a e o s ( 7 1 — Y ) = c o s

Luego: (Fórmulas de la adición)

K 4tc 4TZ J 5 + 1 eos—r = c o s 7 i . e o s - — - + s e n n . s e n — - = — — 5 - 5 5 4

-i o 371 i 2%\ 2tí 2K

e o s - y = e o s [ n — y j = e o s n . e o s - y + s e n n . s e n y V 5 - !

¿Qué es lo que hemos obtenido?

Jt . 271 , 371 . 471 5 ' 5 ' 5 ' 5

Las funciones circulares de

K V5+1 e o s -

e o s

e o s

4

2n V5-1 ' 5 4

371 A/5-1 ' 5 4

47c _ V5 + 1

Teniendo los cosenos podemos obte-ner los senos de los arcos precedentes. Por ejemplo:

2 71 , 2 71 s e n — = 1 - e o s —

2 71 s e n - =

V5-v.

10-2^5

4 71 sen~ = ^VlO-2V5

Pero también podríamos pensar cómo hacer una construcción geométrica del pentágono regular convexo inscripto en una circunferencia de radio dado.

Construcción

Trazamos una circunferencia y dos diámetros perpen-diculares A'A y B'B. Sobre

OA' marcamos el punto I tal

que OI = -S- y sobre OB el

punto J tal que OJ = -y

figura 2

¿EL PENTAGONO MISTIC .

Además, por el teorema de funciones circulares de arcos suplementarios tenemos que:

cos¡K-a) = -cosa

Luego: (Fórmulas de la adición)

eos ¡7i-^p-) = cos ~

e o s ~ = e o s 7 1 . e o s — — 4- s e n TE.sen ^ = * 5 '—̂—' 5 ^ ^ 5 4 -•i o

3tc f 2n\ 2k 2 TI c o s - y = eos \ i 7 t - y j = c o s 7 i . c o s — + s e n 7 t . s e n y -

¿Qué es lo que hemos obtenido?

Las fundones circulares de j;

COS-TE V5+ 1

,2ti _ V5-" 4

Teniendo los cosenos podemos obte-ner los senos de los arcos precedentes. Por ejemplo:

e o s — = 2 71 , 2 7C sen y = 1 — eos y

cos-. 3 7 1

5 V s - i

4 2 TE , sen T = l -

+1

4TE \J~5 + C 0 S T = 4~

\

10-2a/5 16

sen = - W l O ~ 2a/5 5 4

Pero también podríamos pensar cómo hacer una construcción geométrica del pentágono regular convexo inscripto en una circunferencia de radio dado.

B D

E , J \ h \

A ' f / A A

C 1 1 0 J C /

F

B ' G

Construcción

Trazamos una circunferencia y dos diámetros perpen-diculares A'A y B'B. Sobre

OA' marcamos el punto I tal

que OI = y sobre OB el

punto J tal que OJ = R

figura 2

PROF. MARIO J. COZZANI 9

La circunferencia de centro I y radio IJ es:

u W + o r = = 5 R 2 4) \2) 16 4 16

IJ = corta a OA en C y OA' en C'

Queda

4 4 ' 4

4 4 4

Por qué: OI = - y porque consideramos AA' y BB' como los ejes x'ox; y'oy de un

sistema de referencia.

Para qué: para relacionarlo con las funciones circulares de y y y .

Las perpendiculares a AA' en C y C' cortan a la circunferencia en D, G y E, F respectivamente; el pentágono ADEFG es el inscripto en la circunferencia de radio R.

El eos Í 6 a , O d ] = ^ ^ y el ang foA,QE>l = ~

E1 eos = y el a n g [ O A , O e ] = 4 P

Luego el lado del triángulo OAD es:

AD2 = OA2 + OD2- 2 OA. OD. eos y - (teorema del coseno)

= 2 R 2 - 2 R 2 . ^ !

= ^-(l0—2V5) AD = e5 = y V 10- 2-J3

OH es la apotema y en el triángulo OHA

OH = a5 = OA. eos-?- = R. + ' 5 ' 4

Si unimos los puntos A, D, E, F, G de dos en dos obtenemos un pentágono regular estrellado. Los lados se calculan con los métodos precedentes.

El triángulo BDC es un Triángulo áureo porque es un triángulo isósceles con un ánsulo de 36°.

10 ¿EL PENTAGONO MISTICO

D

Lo mismo que: DEA; HFG; DFG;.... ¿Cuántos triángulos áureos hay? (25) ¿Cuántos Triángulos distintos pueden

A contarse en la figura? (35).

G figura 3

¿Cuántas secciones áureas encontró el Dr Fausto de Goethe para espantar a Mefistófeles, "El diablo"?

La sección áurea, es una proporción utilizada en la estética clásica que consiste en dividir un segmento en dos paites, de modo que la mayor sea a la menor como el segmento total es a la parte mayor.

Consideremos el segmento EB de la figura III y vamos a determinar el punto C que cumpla con la condición.

Trazamos por B una perpendicular a EB y determinamos un segmento igual a la mitad de EB. Es decir OB = ~ y con este radio se traza una circunferencia. El

2 segmento El es el segmento áureo del EB.

En efecto: el punto C cumple con la condición de dividir al segmento EB en dos segmentos tales que uno de ellos es medio proporcional entre eJ total y el otro. Pero este resultado: ¿de dónde sale?

Comenzamos por recordar una relación métrica en la circunferencia que dice: si por un punto de su plano, exterior, interior o perteneciente a la circunferencia trazamos una secante que la corta en los puntos A y B, el producto PA.PB es un invariante al girar la recta alrededor de P.

Sea EB = a

É Seg.áureo C B a

figura 4

PROF. MARIO J. COZZANI

caso (a) caso(b)

figura 5

P = A = C

caso (c)

Caso (a). Los triángulos PAD y PCB tienen un ángulo P común, e iguales los ángulos en B y D, por estar inscriptos en un mismo arco ABDC. Luego, son semejantes y se verifica que PA. PB = PC. PD •

Siendo AB y CD dos secantes cualesquiera queda demostrado para toda secante trazada por P.

Caso (b). Reemplazamos la palabra común por opuestos por el vértice; subsiste la demostración.

Caso (c). P está en la circunferencia. En este caso uno de los segmentos es nulo: por lo tanto PA. PB = PC. PD =• • • = 0.

Usando esta propiedad y teniendo en cuenta que por un punto P exterior se trazan una tangente y una secante a la misma, el segmento determinado por el punto y el de contacto es medio proporcional entre los segmentos determinados por el punto y cada uno de los de intersección de la secante con la circunferencia.

P es exterior a la circunferencia, PA es tangente en A y PCD secante. Del mismo modo que en el caso (a) obtenemos que:

_ _ PA2 = PC. PD figura 6

Aplicando este resultado en la figura 4 obtenemos que:

EB2 = ELEJ osea a2 = x(x + a) restando a.x de ambos miembros, resulta:

2 2 / \ 2 a — ax = x a(a-x) = x

2 ¿EL PENTAGONO MISTICO

i EB EC Luego: EB.CB = EC" o bien — = CB

Resulta que el segmento EC es medio proporcional entre el segmento total \ el segmento residual CB.

Finalmente, cómo calculamos el segmento áureo:

Conocemos EB = a y sabemos que x(x + a) = a2

( •> \

x" + ax - a =0 x" + ax + -V

- | a 2 = 0

x + f I - V5. = 0 S -

x = -2

Queda finalmente:

EB _ EC _ 1 + V5 ¡Verifíquelo!

DF 1 + ^5

EC CB 2

Analizando la figura 3 vemos otras secciones áureas: EAB; BCA; ECA;... En

el triángulo áureo DFG por ejemplo, se tiene r u 2

El Dr. Fausto dice que encontró 20 secciones áureas y que si se unen los vértices del pentágono central, se obtiene otro y así sucesivamente.

Podemos recordar que las cinco raíces de la unidad z = 1, constituyen un grupo multiplicativo isomorfo al grupo de las rotaciones que conservan un polígono regular de 5 lados. Este es un grupo cíclico, al igual que el grupo de

rotaciones que viene engendrado por las potencias de 2te 5 '

ELEMENTOS DE MATEMATICA - Vol.XL Nro. 41, Septiembre de 1996

PROBLEMAS DE LA TEORIA DE NUMEROS EN LAS COMPETENCIAS MATEMATICAS

(2° PARTE) NATALIO HÉCTOR GUERSENZVAIG

PROBLEMAS

Sin ánimo de realizar una clasificación exhaustiva, podemos decir que muchos de .os problemas que se plantean en las competencias pertenecen a alguno de los tipos siguientes -de hecho, gran parte de los problemas que siguen fueron tomados de competencias o de programas de entrenamiento para las mismas.

Sugerimos al lector intentar resolver los problemas precedentes (por tipo); si no :iene éxito en alguno, léalo que sigue hasta describir qué resultados pueden ayudar. Por último, puede medir el grado de destreza alcanzado intentando resolver los veinte problemas dados en primer lugar.

MULTIPLICATIVOS. Son problemas relacionados con la eoría de la divisibilidad en ios enteros y su solución depende, básicamente, de lafactorización en primos. Entre ellos hay problemas sobre el número de divisores de un entero dado, de máximo común divisor y/o mínimo común múltiplo, de números primos y/o compuestos, etc.. Porejemplo:

1. Determinar la cantidad de ternas ordenadas (a, b,c) de enteros mayores que 1 tales que abe = 177\

2. Hallar la suma y el producto de los divisores positivos de3 5 77'.

3. Sean/? y qenteros positivos,/? > q, tales que

{p+qf-(p-q)2> 29-

Hallar el menor valor posible de/?.

4. Hallar todos los enteros positvosm y n tales que

[/«;/?] = 630, 777"/? — 283500,

5. Sean a y/?enteros positivos tales que¿?|¿2, b2 |«3, ci3\b4, .... Probarquea=¿.

6. Determinar la mayor potencia de 10 que divide al número 2121!.

7. Hallar el mayor de los enteros positivos n tal quen + 10 es divisor den3+ 100.

14 PROBLEMAS DE LA TEORIA DE NUMEROS EN LAS COMPETENCIAS MATEMATICAS

8. Dados dos números impares a yétales quea - b es divisible por 2", probar que a - b es divisible por 2".

9. Sea/? primo positivo. Probar que el número racional

1 ! + - + - + • • • + -

2 3 p no es un entero.

10. Sean p y q números primos distintos y sea » = pq. ¿Cuántos son los entero -positivos menores o iguales que n que no tienen factores comunes con »

11. Probar que ti[n2 -1 ) es divisible por 24 si n es impar.

12. Probar que n{n2 -1 ) es divisible por 6.

13. Probar que el producto de n enteros consecutivos es divisible por ni.

14. Hallar todos los enteros n > 2 tales que n - 2 y n + 2 son primos.

15. SeaMun conj unto formado por 17 enteros positivos cuyos divisores primos son menores o iguales que 7. Probar que existen en M dos números cuyo producto es un cuadrado.

16. Hallar todos los pares de enteros positivos que tienen el mismo máximo común divisor y mínimo común múltiplo que el par de números 1470 y 126.

17. Probar que

{a\b;cY I a:b:c\ {a-b){a-c){b\c) [a,b][a,c][b\c]'

18. El siguiente de un número primo de la forma 9a2 ~b 2 es un múltiplo de 6. Demuéstrelo.

19. Determinar todos los enteros positivos» para los cuales»4 + 4"es primo.

20. ¿Es el número real

3/2 + ^ - ^ 2 - ^ / 3

un número entero?

EUCLIDEOS. Son problemas relacionados con la división entera. Entre ellos hav problemas de restos, de representaciones de enteros en bases dadas, de máximo común divisor, etc. Por ejemplo:

DR. NATALIO HECTOR GUERSENZVAIG 15

21. El resto de dividirá porpes 53. El cociente es— = 51.85... Hallara y b.

22. Hallar los valores dexparalos cuales es divisible por 7 el número que en base 12 se expresa

axb$3a\bl5a.

23. Probar que para todo entero n la fracción 4 /7+3

7//+ 5 es irreducible.

24. Determinar todos los números de tres divisbles por 11 que son iguales a once veces la suma de los cuadrados de sus dígitos.

25. Un número natural escrito en base 10 termina en 2. Si el 2 lo llevamos al primer lugar el número obtenido duplica el original. Hallarel número. Plantearel mismo problema en base 3.

26. Hallar el menor entero positivo n tal que su representación decimal tiene último dígito 6 y que cuando se colocaéste último dígito como primer dígito, el número resultante es el cuadruplo del número original.

27. Determinar los enteros positivos/? para los cuales la ecuación.

123765X+ 3302917 = 1

tiene soluciones enteras. Hallar todas las soluciones para el menor de tales n.

2972 b c 28. Escabel ¡a fracción - ——- en la forman+ — + —, don dea, b y c son enteros

j4J1 47 73 tales que

0 < b < 47, 0 < c < 73

29. Probar que dos términos consecutivos cualesquiera de la sucesión de Fibonacci 1,1,2,3,5,8,13,...

soncoprimos.

30. H aliar todos los enterosay b para los cuales las expresiones

9a + 5b, la + 13/?

dan el mismo resto cuando se dividen por 17.

31. Hallar el resto de la división por 7 de 9999"".

32. Sean a, b, c y d enteros con d no divisible por 5. Sea m un entero tal que

16 PROBLEMAS DE LA TEORIA DE NUMEROS EN LAS COMPETENCIAS MATEN! - ~ ' ~ - B

cim3 + bm" + cm + d

es divisible por 5. Probar que existe un enteron para el cual

dif + cn~ + bn + a

es también divisible por 5.

33. Determinarlas dos últimas cifras de la expresión decimal del número7

34. Una señora al extraer de una bolsa y repartir a cada uno de sus 5 hijos igu_ número de caramelos, advierte que sobran 4. Si los repartiera sólo entre I -3 varones, le sobrarían 2 y si en cambio lo hiciera sólo entre las 2 mujer. • sobraría 1. Hallar el número de caramelos de la bo 1 sa, sabiendo que no - r más de 50.

35. Muestre que existe una infinidad de enteros positivos n tales que 65 divide a4« 2 + l.

36. Probar de dos maneras que, cualquiera sea el número b, el número

4¿c + 392/?2 + 9606 no es un cuadrado.

37. Sean a y b enteros tales que a2 + b2 es múltiplo de 3. Probar que ab es múltiplo de 3.

38. Probar que 199 no puede expresarse como la suma de dos cuadrados.

39. Probar que 167 no puede expresarse como la suma de tres cuadrados.

40. Sean p2 y p3 primos tales que p2 + p\ + p\ es primo. Probar que alguno de los pi es igual a 3.

ECUACIONES DIOFANTINAS. Fueron estudiadas primeramente por Diofanto de Alejandría (aprox. año 250 A.C.). Son ecuaciones algebraicas en una o más variables cuyas soluciones deben ser enteras (o racionales según el caso). Por ejemplo:

41. (Diofanto, Aritmética, Problema 39, Libro 1) Dados los números 7 y 15 determinar un tercero positivo tal que, al efectuar de todas las maneras posibles la suma de dos cualesquiera de ellos, multiplicada por el restante, se obtengan tres números en progresión aritmética. Indique todas las soluciones.

42. Hallar el número de soluciones enteras y positivas de la ecuación

53X-45Y = 13-

DR. NATALIO HECTOR GUERSENZVAIG 17

43. Hallar todas las soluciones enteras del sistema

1X+15Y = 18

22X + \2Y = 17

44. Hallar todas las soluciones enteras y positivas de la ecuación

X Y Z — + — + — = 3. Y Z X

45. Hallar todas las soluciones positivas del sistema

XY + YZ = 143

XZ + YZ= 119

46. Dado que

1 1 1 1 - + — + - =

a h c a+o+c probar que

J _ J_ J 1_ cr Ir c5 ( a + ¿ + c)-s '

47. Hallar todos los enteros n tales que la ecuación

1 n X + Y ~ X + Y

se satisface para algunos enteros x, y con y ^ -x.

4S. Hallar todas las soluciones enteras de la ecuación

X2-Y2=36 49. Sean a y b enteros positivos tales que las ecuaciones

X2+Y2 = a, X2 + Y2 = b

tienen solución en los enteros. Probar que los mismo acontece con la ecuación

X2 + Y2 = ab.

Sfe Hallar tocias fas soluciones enteras de la ecuación

Z14 + Z.4+---+X,44 = 1599.

1 8 PROBLEMAS DE LA TEORIA DE NUMEROS EN LAS COMPETENCI - -

BIBLIOGRAFIA

1 G e n t i l e , E.RAri tmét ica Elemental en la Formación Maten: j.: _ _ I 1991.

2.- Gentile, E.RAritmét ica Elemental, MonografíaN°25, O.E.A.. .

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ELEMENTOS DE MATEMATICA - Vol.XI, Nro. 41, Septiembre de 1996 19

LA COMPUTACION COMO RECURSO ELENA INES GARCIA

Las construcciones geométricas a través de herramientas informáticas resultan habitualmente poco gratas para los docentes de matemática, pues se requieren productos complejos en lo sintáctico para lograr resultados medianamente satisfactorios, loque hace engorrosa su utilización en las clases cotidianas.

Esta situación se revierte si se trabaja con productos desarrollados especialmente para el aprendizaje y la enseñanza de la geometría como es el Cabri-Géométres, producido por el Laboratoire de Structures Discrétes et de Didactique del Instituto de Informática y Matemática aplicada de la Universidad JosephFourier de Grenoble.

Este producto es interesante por muchas razones entre las que mencionaremos las siguientes:

1.- Es de muy fácil manejo, se opera a través de menúes. El lenguaje utilizado es el habitual de los textos clásicos de geometría elemental y por lo tanto familiar para docentes y alumnos.

2.-Es interactivo, permite ir modificando las figuras construidas. 3.- Su interfase gráfica, si bien no tiene las prestaciones de los productos

comerciales actuales, es adecuada para el aprendizaje de lageometría en el último ciclo de laEGB y el Polimodal.

4.- Permite al docente especificar su ambiente de trabajo: limitando o ampliando el menú, agregando o quitando macro-instrucciones disponibles para el alumno, diseñando lapáginainicial de trabajo, etc.

5.- Trabajacon longitudes de segmentos y amplitudes de ángulos.

Como pasa con todos los productos lo mejor para conocer al Cabri es trabajar con el. El manual es claro y permite seguir sin dificultades los ejemplos planteados.

A continuación proponemos una serie de ejercicios para el estudio de i aversiones •r-pecto a circunferencias, también conocidas como reflexiones circulares, para los . - Jes resulta eficaz un software como el comentado.

Comenzamos trabajando con transformaciones

T R A N S F O R M A C I O N E S E N E L P L A N O .

Entendemos como transformaciones del plano en sí mismo alas funciones que a c r punto del plano le asignan otro punto del mismo. Ejemplo:

20 LA COMPUTACION COMO R E C l

Simetría del plano respecto de una rectaa:

A cada punto P del plano le corresponde otro punto Q situado en eJ semipié opuestorespectodehirectaacomosiLuectaafueraunespejo.Larectaaeslamtdi —

del segmento PQ.

Representarla simetría usando Cabri.

Trazar la recta a. Ubicar un punto P en el plano (comenzar con un punto no perteneciente a la recta Trazar la recta b perpendicular a a que pasa por P. Ubicar la intersección de ambas rectas, llamar R a ese punto. Trazar una circunferencia C con centro en R y radio RP. Llamamos Q a la intersección de la circunferencia y la recta b. El punto Q es el simétrico de P respecto ele la recta a.

Figura 1

Mover el punto P y observar como varía la posición de Q. ¿Qué pasa si P pertenece a la recta a?. Borrar el punto P. Dibujar una recta t distinta de a y tomar al punto P como objeto de esa recta y buscar su simétrico. Desplazar el punto P sobre larectat, y usar el comando Locusdel menú Construction para observar la evolución desu imagen. Hallar el simétrico de un triángulo, de una circunferencia, etc.

Inversión respecto a circunferencias: DadaunacircunferenciaC decentro en el punto O y radio r definimos como inverso

del punto P del plano respecto a la circunferencia C al punto Q de la semirrecta OP y tal que OP.OQ=r2

PROF. ELENA I. GARCIA 21

Construcción geométrica de puntos inversos:

Consideremos primero el caso en que P sea exterior a C. Se construye una circunferencia con centro en P y radio r, la que cortará a C en dos puntos A y B. Trazamos ahora circunferencias de radio r con centro en estos dos puntos A y B . Buscamos las intersecciones de estas circunferencias. Una es el centro de la inversión O y la otra es también un punto de la recta OP: este punto Q es el inverso de P.

Hacer laconstrucción respectivaen Cabri. Definir el centro O. Trazar la circunferencia C con centro en O y radio r. Elegir un punto P del plano. Trazar la circunferencia de centro P y radio OP. Determinar los puntos de intersección de ambas circunferencias a los que llamamos Ay B. Con centro en A trazamos una circunferencia de radio r. Con centro en B trazamos una circunferencia de radio r. Determinamos la intersección entre estas dos circunferencias: uno es el punto O y el otro, al que llamamos Q, es el inverso de P que buscamos.

Desplazar P para observar su inverso. Qué pasa si P es interior a la circunferencia C?

C: nsideremos ahora el caso en que P es interior a la circunferencia C. - _ eircunferenciaeon centro en PcortaaC en dos puntos laconstrucción anterior

-;endo válida. Cuando no es así determinamos sobre la recta OP un punto R a lacircunferenciaycuyadistanciaaOseaunmi.il tipio entero delOPI Fig. (3).

PROF. ELENA i. GARCIA 23

Figura 5

Les planteamos a continuación un conjunto de ejercicios que discutiremos en el próximo número.

a) Construir una macro para invertir tomando como objetos iniciales lacircunferencia C y el punto P.

b) Determinar una recta exterior a C y un punto P perteneciente a la recta; construir el inverso de P con la macro definida; observar cual es la transformada de 1 a rec ta por la inversión moviendo el punto P y habiendo pedido el locus para su inverso.

c) Observarcual es la transformada de una circunferencia.

E L E M E N T O S DE M A T E M A T I C A - Vol .XI , Nro . 41 . S e r

PROBLEMAS PROPUE PARA EGB Y POLIf.':

MARIO .

1. Si se multiplica el largo por el ancho se obtiene un área de 600. Cuan _ multiplica por sí misma la diferencia entre el largo y el ancho, y ese se multiplica por 9, da un área equivalente al cuadrado del largo. ¿C___r- 4 el largo y el ancho?

Respuesta: A'=30; Y=20

2. El área de un rectángulo es 375; el lado menor es igual a 30 veces la Ion _ de una caña, mientras el lado mayor tiene 5 unidades menos que el dobie otro lado. ¿Cual es la longitud de la caña y la de los lados del rectángul

Respuesta: a-1/2 x=\5 y= i 5

3. Un área está formada por dos cuadrados cuya suma es 1000 unidades. El lado de uno de los cuadrados tiene 10 unidades menos que 2/3 del lado del otro cuadrado.; Cuáles son los lados de los cuadrados?

Respuesta

x2 + y2 = 1000 x = 2/3. y - 1 0

PROF. MARIO J. COZZANI 25

4. Una viga de 30 unidades de largo se apoya verticalmente contra un muro; si el extremo superior de la viga se coloca 6 unidades más abajo ¿en cuántas unidades se desplazará el otro extremo de la viga? Respuesta:

x2 + 242 = 302

x — 18

x

5. Construir el lado de un cubo cuyo volumen sea el doble del volumen del cubo inicial.

V = a lado - a

/

V-

V = 2.a3

lado: - a.\¡2

1 1

)-/

/ /

Respuesta: Hay que construir un segmento de longitud igual a la raíz cúbica de 2. Esto es IMPOSIBLE utilizando regla y compás.

Dicho segmento lo podríamos obtener por la intersección de las curvas y = x2

2 e v — — .

y = x x = 2

, 2 x = —

X

ifi 1 2

26

6. En ambas orillas de un río hay dos árboles, uno frente a c árboles tiene 20 codos de altura, el otro 30 codos. La dis:_c: troncos es de 50 codos. En la cima de cada árbol hay un púu: los dos pájaros ven un pez que aparece en la superficie del agu„ ¿rrst árboles y se lanzan para alcanzarlo. Lo alcanzan al mismo tie~; distancia del tronco de los árboles apareció el pez?

Respuesta: x=20

pájaro 1 pu'^r:

pez

7. Calcular:

a) 10.(5 + 2 a/3 ) - (5 - 2 V3 - 1 1 - ^ 4 - 2 y ¡ 3 . ^ 4 + 2-^3

Expresar el resultado en función de s .

Respuesta: 40V3

b) Calcular el resto de una división entera sabiendo que el dividendo es el cociente es 2, y el divisor excede en 1 a dicho resto. Respuesta: |R=3

4 7 c) ¿Para qué valores de x se cumple — < — ?

x x Respuesta: [x > 0

2 100 d) ¿Para qué valores de z se cuplé — > ?

Respuesta: z < 0

e) Calcular reduciendo a la mínima expresión:

( 2 + VJ 2 - V 3

V2

' 2 V 2

Respuesta: QJ IF

ELEMENTOS DE MATEMATICA - Vol.XI, Nro. 41, Septiembre de 1996 27

mmmmmmBMmammmmmmmm PROPUESTA DIDACTICA

LUCRECIA DELIA IGLESIAS

La proporcionalidad es una de las nociones matemáticas que, tanto desde un punto de vista práctico como desde el punto de vista teórico, más contribuyen a la estructuración del pensamiento. Para la psicología genética, se trata de un esquema operatorio fundamental para la evolución desde el nivel de las operaciones concretas, al nivel de las operaciones formales.

Un eje posible de una propuesta didáctica que intente afianzar la noción de proporcionalidad puede constituirlo la construcción de familias de rectángulos. De este modo vamos a abordarlo ahora para alumnos que puedan organizar datos en tablas y representarlos en gráficos cartesianos.

FAMILIAS DE RECTANGULOS

GUIA DE TRABAJO 1

1. Construir rectángulos con los datos que siguen (con cualquier unidad):

A:

B:

largo: 3 ancho:2

largo: 4 ancho:3

C:

D:

largo: 20 ancho: 15

largo: 12 ancho: 9

E:

F:

largo: 5 ancho:2

largo: 81 ancho: 27

2. Dibujar las familias de rectángulos (hasta 4 ó 5 miembros) que resultan de aplicarlas transformaciones que se indican a continuación.

familia de A: cada rectángulo se obtiene del anterior duplicando los lados.

familia de B: cada rectángulo modifica los lados, sin cambiar el perímetro.

familia de C: cada rectángulo tiene 2 unidades menos en cada lado que el anterior.

familia de D: cada rectángulo modifica los lados sin cambiar la medida de su superficie.

familia de E: cada rectángulo se obtiene del anterior sumando 1 a las medidas de sus lados.

¿En cuáles de estas familias los rectángulos conservan la forma?

28 PROPUESTA DIDACT: : -

3. En el ejercicio anterior: una familia conserva el perímetro, otra familia conserva la medida de la superficie, y dos familias conservan la forma.

Organizar: a) otro ejemplodefamiliaderectángulosqueconserveel perímetro; b) otro ejemplo de famil ia de rectángulos que conserve la medida de

la superficie.

4. ¿Hay otras similitudes y diferencia entre las seis familias?

La resolución de la Guía 1 corresponde a una fase meramente constructiva. Sólo se intentan registrar aspectos descriptivos de la comparación de situaciones.

Para profundizar el análisis es útil hacer una transcripción de los aspectos numéricos a una forma de representación más adecuada.

GUIA DE TRABAJO 2

1. a) Para cada una de las familias de la Guía 1 que conservan la forma, construir una tabla que muestre la correspondencia entre los largos y los anchos de los rectángulos que la forman.

b) Mostrar los datos de cada tabla en un gráfico cartesiano. c) ¿En qué se parecen y en qué se diferencian las dos tablas?, ¿y

los dos gráficos? 2. Repetir a), b), c) para las familias de rectángulos que conservan el

perímetro. 3. Repetir a), b), c) para las familias de rectángulos que conservan la

medida de la superficie. 4. ¿En qué se diferencian los gráficos de las familias de rectángulos

analizadas?

Si los alumnos han hecho un registro cuidadoso en las tablas y si han repre-sentado cada tabla en un gráfico, habrán puesto en evidencia los aspectos de variación, dependencia y correspondencia que instalan el análisis en un punto de vista funcional.

Para completarlo, puede introducirse el lenguaje algebraico.

GUIA DE TRABAJO 3

1. En cada una de las tablas que sigue, ¿qué cálculos hay que hacer sobre el ancho para obtenerel largo de cualquiera de los rectángulos? Simbolizar con x el ancho y con y el largo para escribir las respuestas

LIC. LUCRECIA D. IGLESIAS 29

ancho largo ancho largo ancho largo 3 4 2 3 9 12 2 5 4 6 3 36 1 6 8 12 18 6 X y = - X y = - X y=-

2. En 1 se obtuvieron fórmulas para tres tablas correspondientes a "familias conservadoras" de la guía 1. Hallar las fórmulas para las tablas de las demás "familias conservadoras".

3. ¿En qué se parecen y en qué se diferencian las fórmulas de las "familias conservadoras" de la misma propiedad?

Para provocar el uso de propiedades aritméticas de las funciones que caracte-rizan a las familias de rectángulos puede apelarse a la inversión del proceso cuya dilección fue, hasta ahora, para cada situación:

GUIA DE TRABAJO 4

1. a) Dibujar un rectángulo de 12 unidades de largo y 8 unidades de ancho. Completar las tablas de modo que el nuevo rectángulo pertenezca a la familia indicada:

b) Explicar cómo se encontró el dato que falta de cada tabla. c) En alguna de las tres tablas, ¿es constante la suma de los números

correspondientes? ¿y el producto? ¿y la razón?

2. Explorar las tablas de familias de rectángulos de la Guía 1 que conservan características geométricas para comprobar si también conservan una propiedad aritmética. Si es así decir cuál es, para cada familia.

3. Completá las tablas de modo que verifiquen lapropiedad aritmética que las encabeza:

30 PROPLEST- 1

a) la suma entre elementos correspondientes es constante,

ancho largo

b) la diferencia entre elemento-correspondientes es constante.

ancho largo 2 3 4 5 6

12

14 16

18

20

c) el producto entre elementos correspondientes es constante

ancho largo

d) la razón entre elementos correspondientes es constante

ancho largo 2 3 5 6

10

3 5 7 9

4. S i se construyen familias de rectángulos con los largos y anchos que cumplan las propiedades de las tablas completadas en 3, ¿conservan algunapropiedad geométrica? Explorarlo y enunciar las respuestas.

A partir de poner en común los resultados de estas guías el profesor puede insti-tucionalizar las nociones de proporcionalidad directa, proporcionalidad inversa y rectángulos semejantes.

Para que los alumnos reinviertan estas nociones, es interesante analizar, otras familias de rectángulos como las que proponemos aquí.

GUIA DE TRABAJO 5

1. a) ¿Qué propiedad aritmética tienen los números de la sucesión que sigue? Agregar cuatro términos más

1, 2, 3, 5, 8, 13, ...

b) Construir lafamiliade rectángulos que tengan como largo y como ancho dos números contiguos de la sucesión: ¿conservan alguna propiedad geométrica?

ancho largo ¿Cuál es la razón de largo sobre ancho en cada uno de estos rectángulos?

1 2 2 3 3 5 5 8 8 13

LIC. LUCRECIA D. IGLESIAS 31

2. Se llaman rectángulos áureos aquellos en los que la razón entre el largo y el ancho

(p = ^ + ^ (aproximadamente igual a 1,6180).

Construir algunos, organizar una tabla de relación entre los largos y los anchos. Analizar las propiedades de los rectángulos de esta familia.

Para quienes deseen profundizarla relación entre los rectángulos áureos y las construcciones delaarquitecturaclásicarecomendamosconsultarProporciona/wtoí/ directa, la forma j el número de M. L. Fiol y J. M. Fortuny. Editorial Síntesis. Barcelona.

32 ELEMENTOS DE MATEMATICA - Vol.X, Nro.41, Septiembre de 199'-

PROBLEMAS Y SOLUCIONES PARA PUBLICAR

Esta sección contiene problemas sobre distin tos temas de matemática, invitamos a nuestros lectores a participar activamente en esta sección enviando soluciones de los problemas propuestos. Las soluciones debenestar escritas apropiadamente y ser claramente legibles. Cada solución debe comenzar en una hoja separada conteniendo el nombre y dirección clel autor. Para ser consideradas para su publicación, las soluciones de los problemas de esta edición deben ser remitidas por duplicado al editor antes del 15 de Diciembre de 1996.

23-. Hallar (sin usar computador) las raíces complejas del polinomio real X6-3X4 + 5X3-3X2+l.

24-. Pruebe que hay una infinidad de enteros positivos n tales que el máximo común divisor de In + 3 y 3n + 5 es 13.

UN PROBLEMA COMBINATORIO

16-. En una reunión se reencuentran viejos conocidos. Pruebe que el número de personas que estrecha las manos de un número impar de otras personas es par.

SOLUCION del editor. Supongamos que en la reunión hay n individuos, digamos /,,... , In ,y que r de estos individuos estrechan las manos con un número impar de

otras personas. Construimos una matriz A nxn con unos y ceros como sigue: A;/ = 1 si y sólo/, y 1 ¡ estrechansusmanos.Porlodichopreviamentehayrfilasconunnúmero impar de unos y n-r filas con un número par de unos. Dado que A es simétrica y en

NATALIO H. GUERSENZVAIG

PROBLEMAS PROPUESTOS

22-. Hallar la suma de la serie

SOLUCIONES (Problemas propuestos en Marzo de 1996)

DR. NATALIO HECTOR GUERSENZVAIG 33

la diagonal sólo hay ceros, el total de unos en la matriz es un número par. Consecuentemente el total de unos en las r filas con un número impar de unos es un número par, así que r debe ser par (pues la suma de un número impar de números impares es impar), como queríamos mostrar.

RACIONALIZACION VIA SISTEMAS LINEALES.

17.- Racionalizar la fracción

1 + 2 V3 + V 9

2 - 3 V3 + 2 i¡9 ' es decir, expresar dicha fracción en la forma

a + b V3 + c \Í9> con a, b y c números racionales.

SOLUCION de Rubén R. Rosas, Misiones 25, Paraná, Entre Ríos.

( 1 ) l + + >- = a + b*l3 + cl9, 2-3 \I3+ Z1I9

donde a, b y c están dados por

106 , 77 63 ' 2 ) = T 0 7 ' 1Ó7 ' C = W

En efecto, planteando (1) y multiplicando, luego de agrupar términos resulta

1 + 2 V3 + V9 = 2a+6b+9c+(-3a + 2b+6c)l¡3+(2a-3b+2c)\Í9,

que equivale a

2a + 6 6 + 9 c - 1 + ( - 3 a + 2b+6c- 2 ) ^ 3 + (2a - 3b+ 2 c - = 0 .

El polinomio X3 - 3 110 tiene raíces racionales (de acuerdo con un bien conocido criterio de Gauss sus únicas posibles raíces racionales son +1 y ± 3), así que dicho polinomio es irreducible sobre los racionales. Consecuentemente no existen polinomios no nulos de grado menor o igual que dos con coeficientes racionales

que tengan a \Í3 como raíz), locual equivale adecirque 1, V3y ( m sonlinealmente

-dependientes sobre Jo.s racionales. De (3) resulta entonces el sistema lineal 2 a + 6 2 ? + 9 c - 1

-3 a + 2b+6c= 2 2a-3b+2c= I >

- ue tiene solución única dada por (2).

34 PROBLEMAS Y SOLUCIONES PARA PUBLICA-

UN CASO SENCILLO DE ITERACION FUNCIONAL

12.- La función/está definida en los enteros positivos en la forma siguiente:

— s i n es par

n +1 si n es impar. 2

Para cada entero positivo n consideremos la sucesión {a,,,} definida

a, = f{n), a2 = /(a,) = f{f(n)), a, = /(a2) = /(./'(/(«))), ....

Pruebe que siempre existe un entero positivo k (que depende de n) tal que ak = 1. ¿Puede decir cuál es el mínimo de tales k para

„ = 81996+ 41996+ 1996?

SOLUCION del editor. Razonamos inductivamente. Sin = 1 entonces a, = l.Sean > 1 y supongamos que la afirmación es cierta para los enteros positivos menores que «; veamos que también lo es para n. En efecto, si n es par, at = n/2 < n, y si n es impar entonces a, = ( n + l)/2< n, así que por la hipótesis inductiva aplicada a m= at, la sucesión

fe = f(m), b = /(/(m)), fe, = / ( / ( / (« ) ) ) , ....

alcanza el valor 1 al cabo de un número finito, digamos k, de iteraciones. Luego la sucesión original alcanza el valor 1 al cabo de k + 1 iteraciones, como queríamos

mostrar. Sea k(n) el número mínimo de iteraciones necesario para alcanzar el valor

1 partiendo de n. Probaremos que k(n) es el número de cifras significativas en la

expansión de n en base dos (es decir &(n) = [log2ra]+1), así que para

n = 25988 + 23992 + 1996 tendremos k(n) = 5989.

Escribamos el número n en base dos, digamos

(*) n = am_í...ata0,

donde los a¡ son unos o ceros y am_l - 1. Comenzando desde la derecha, supongamos que se alternan bloques de ceros y unos y que el primer bloque de ceros tiene longitud ,v (s puede ser 0). Este bloque se elimina al cabo de ,v iteraciones. Si el bloque siguiente de unos tiene longitud r, al sumar 1 y dividir" por 2 dicho bloque queda reemplazado por 10...0(r-l ceros). Conr-1 iteraciones adicionales eliminamos los ceros, así que al cabo de r + s iteraciones el par de bloques de ceros y unos sobre la derecha queda reemplazado por un uno.

DR. NATALIO HECTOR GUERSENZVAIG 35

Prosiguiendo con este procedimiento se reemplazan todos los pares de bloques de ceros y unos por un uno al cabo de m iteraciones, como queríamos probar.

Resuelto también por Rubén R. Rosas, Misiones 25, Paraná, Entre Ríos y por Mariana Mendiburu, Universidad CAECE.

Nota del editor. Un famoso problema conocido como "Problema 3n +1" (también como "Problema de Siracusa-Kakutani-Collatz") se origina con la siguiente definición:

si n es par

3/7 + 1 —-— si n es impar.

La cuestión es que se ha comprobado para numerosos valores de n que la sucesión

a, = f{n), a2 = /(«,) = /(/(«)), a3 = / ( a j = /(./'(/(«)

alcanza el uno en un número finito de iteraciones, pero hasta ahora nadie ha podido probar este hecho para un n arbitrario.

36 E L E M E N T O S DE M A T E M A T I C A - Vol .Xi , Nro. 41, Sep t iembre Ce »

LOS PROBLEMAS EN EL AULA J U A N A N G E L F O N C U B E R T -

En este artículo se presenta la siguiente cuestión: determinar los puntos de abscisa entera pertenecientes a un paralelogramo dado.

PARALELOGRAMOS Y PUNTOS RETICULARES

Consideremos el paralelogramo de vértices (-5,4) (3,2) (5,-4) (-3,-2)

Las rectas tienen las ecuaciones: ab x + 4y = 11 be 3x + y = 11 cd x + 4y = - l l ad 3x + y = - l l

rs rnn x + 4y = 0 3x + y = 0

Figura 1

Queremos hallar el área del paralelogramo sombreado.

r -

( -1 ,3) \

0 ————-\(4'"13

n

Mediante la fórmula de distancia entre dos puntos resulta:

bn = V (4 -3 ) 2 + ( ~ l - 2 ) 2 = Vio

Para determinar la altura, hallamos la intersección de las rectas be 3x + y = 11 y la perpendicular rh x - 3 y = -10

Figura 2 [3 x+y= 11

— 3 y = —10 x = 2 3 y = 4,1

Tenemos entonces, rh = 2,3)2 + (3 -4 , l ) 2 = VJ2,1 y el área del

paralelogramo onbr resulta igual a ^JvIJ.yfTo = 11. Area de abed = 44.

PROF. JUAN A N G E L F O N C U B E R T A 37

En general, se verifica que si el paralelogramo está limitado por las rectas:

jcvc + by = +X ex + cly = ±|i

área onbr = Afi

a b c d

Verificación: Recordemos que el módulo del producto vectorial coincide con el área del paralelogramo determinado por los vectores; en nuestro ejemplo, si

tomamos: on = (4,-l) y or = (-1,3) resulta:

on A or = i j k 4 - 1 0

- 1 3 0 = 11 k cuyo módulo es 11

que es el área onbr.

Paralelogramos

Dadas dos rectas que pasen por el origen ax + by= 0, cx + dy = 0, denominaremos paralelogramo (pq) al conjunto intersección de las paralelas _ ax + by-X con -p< X < p con el conjunto de paralelas a ex + dy = ¡u con -q < LI < q.

Ejemplo. Consideramos: x+y = X con |X| < 3 y

4x-y = ¡i con \}ij < 6

Si resolvemos, como ilustración,

j x + y = 2 [4x-y = 4 obtenemos (l,2;0,8) que

es interior al paralelogramo. En cambio

x + y = 2 - y -1 no pertenece al paralelo-

gramo.

Según vrmos, el area abed = — r =14,4 Figura 3 1 1

38 LOS PROBLM AS EN EL AL L -

Puntos reticulares o nodos

Un problema interesante consiste en determinar los puntos cuyas do-coordenadas son enteras. A esos puntos los denominaremos reticulares : nodos.

Para que la recta ax + by = 0 pase por un nodo debe verificarse que a b sea racional.

(1,4) es nodo de 4x - y = 0 ; (0,2) de x +y = 2

La recta V3x + y = 0 no tiene nodos. En el caso del paralelogramo de la figura 3, (A,= 3 (i =6 ) el punto (1,4) está fuera del paralelogramo mientras que (1,-1) es interior al paralelogramo.

Puede plantearse el problema siguiente: dado un paralelogramo (pq) determinar sus nodos.

Paralelogramos libres

Definición: Diremos que (p,q) es un paralelogramo libre si no posee puntos reticulares interiores distintos de (0,0). Para que un paralelogramo sea libre debe verificarse que A.ll < l(Fig.4)

Paralelogramos extremos

Existen paralelogramos abiertos que son libres pero que poseen nodos en su perímetro; estos paralelogramos se denominan paralelogramos extremos.

Es un interesante problema determinar estos paralelogramos extremos en las distintas situaciones que pueden presentarse.

PROF. JUAN ANGELFONCUBERTA 39

PROBLEMA PROPUESTO

2 1 Considerar la recta —x+—y— 0. Determinar los puntos reticulares más

próximos al origen.

Dada otra recta ex + d = 0 , < fl) ¿cuál es el valor mínimo que debe tenei' 2 1

¡i para que el apralelogramo determinado por paralelas a — x + — y - 0 (no

consignamos X ) y cx + d = 0 tenga puntos reticulares? Bibliografía

HancockH.- Developmentof theMinkowski Geometry of Numbers (Macmillan)

Referencia MINKOWSKI, Hermann (1869-1909) nació en Lituania. Fue profesor en la Escuela Politécnica de Zurich (1896-1902) donde tuvo como alumno a Einstein. En 1882 fue premiado por la Academia de Ciencias de París por su teoría de formas cuadráticas. En la teoría de nímeros introdujo ideas geométricas. A él se debe la idea de espacio cuadrimensional relativista. Minkowski fue uno de los más grandes matemáticos de todos las épocas. Su comprensión de los conceptos geométricos parece casi sobrehumana.

RESPUESTA AL PROBLEMA DEL NÚMERO ANTERIO R

Si a + b + c = 1 y a, b y c son reales positivos:

1 1

Prueba

1 - / 7

b — c 1 - c - b + be — a + ac + ab — abe

abe

1

abe ab ac 1 1 1

- — + - + - _ ! = be b c

l - i •b 1 1 1 1 1 1 1 abe ab

+ - + - + — 1 = — - — + — + - + — 1 ab ab

+b+c a+b+c a+b+c b

-~l =

c a c a b • —+ - + 1 + - + —+ - + 1 - 1 =