Enseñanza de la Matemática Moderna,por JOSE R. PASCUAL IBARRA

¿Qué es la Matemática Moderna? ¿Es que hayuna Matemática Moderna que viene en sustitu-ción de otra antigua, ya fenecida? No; el cali-ficativo de «moderna» se contrapone más bienal de «clásica», aunque no sea fácil el distinguirtotalmente el porqué. No es cierto en absoluto,que la Matemática llamada clásica se haya de-rrumbado y ahora sea falso lo que antes se repu-taba como verdadero. La diferencia entre ambasconcepciones de la Matemática está más del ladode los métodos y del enfoque de los problemasque del contenido de los mismos. Hay, en efecto,problemas muy clásicos que forman parte hoyde la Matemática Moderna, y hay problemas muyactuales que admiten un enfoque muy clásico.

La Matemática, como toda la Ciencia, es unaIntegración de experiencia y razón, y debe sunacimiento a la necesidad de simplificar la ex-trema complejidad del mundo físico, para podermanejarlo. El hombre, a través de sus sentidos,percibe los hechos de la Naturaleza. Después es-tos conocimientos primitivos, experimentales, losordena y relaciona entre si por medio de la ra-zón. Y así es como, si llamamos científica a laorganización racional de nuestros conocimien-tos, se constituye en su origen la Matemáticacomo ciencia. Es lo que hicieron los griegos conel descubrimiento de la razón: ordenar y siste-matizar los conocimientos empíricos del mundoantiguo, en particular de los egipcios, para cons-truir la Matemática. Esta Matemática de losgriegos, que no niega la de los egipcios, sino quela supera, es una Matemática «moderna» con re-lación a la de éstos, que se hace clásica. El pri-mer libro «moderno» de Matemática ha sido,pues, el de los Elementos de Euclides.

¿Cuáles son las diferencias esenciales entreuna y otra Matemática? Fundamentalmente hayuna, y es que la Matemática griega se organiza

deductivamente. A partir de unos postulados bá-sicos, que se consideran como verdaderos, se de-muestran los teoremas. Los conocimientos dejande ser productos de la experimentación paraconvertirse en entes de razón. Como consecuen-cia, las proposiciones matemáticas son más ge-nerales, a la vez que más precisas. Más generalespor cuanto que abarcan a toda una clase de ob-jetos, no sólo a uno singular. Por ejemplo, elteorema de Pitágoras es un teorema relativo atoda la clase de triángulos rectángulos, y nosólo al de lados 3, 4 y 5 de los egipcios. Y son ala vez más concretas, puesto que su campo devalidez viene precisado por la estructura defi-nida por los postulados.

El valor de utilización práctica en la Matemá-tica egipcia no se disminuye con los griegos. LaMatemática sigue siendo tan práctica, y aúnmás, pero a la vez viene enriquecida con un te-soro conceptual por liberación de la carga rea-lista que pesaba sobre ella. Junto a los proble-mas de tipo práctico de contar y medir, apare-cen también ahora, como un regalo del espíritu,problemas puros de tipo especulativo: la trisec-ción del ángulo, la duplicación del cubo, la cua-dratura del circulo, los números irracionales, etc.

Tenemos así, dentro de un marco unitario, di-versos aspectos de la Matemática: primero, laMatemática como ciencia, organización racionalde nuestros conocimientos; en segundo lugar, laMatemática como instrumento de la técnica;después, la Matemática como arte, fuente e ins-piración de bellos problemas desprovistos de apli-cación práctica inmediata, y, finalmente, unaMatemática como filosofía, que investiga los fun-damentos de la ciencia y la verdad o falsedad desus proposiciones. Todos estos aspectos de laMatemática fueron ya cultivados por los griegos,que tienen en Euclides —filósofo y científico— y

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en Arquímedes —investigador y artista— sus másdestacados representantes.

Con el decurso de la historia, esta Matemáti-ca griega se ve extraordinariamente acrecida enel caudal de sus deducciones, pero permaneceencerrada en sus mismos moldes rígidos hastael siglo xvn, en el que tienen lugar el descubri-miento, primero, de la Geometría Analítica y,algo más tarde, del Cálculo Infinitesimal Conestos descubrimientos se abren nuevos horizon-tes, se utilizan métodos más potentes, surgennuevos problemas y nace una nueva Matemática,que será «Moderna» con relación a la griega, quepasa a ser clásica.

Todavía, no obstante, permanece la Matemá-tica en su papel de sirvienta de la Física, cuyosfenómenos siguen siendo las motivaciones con-cretas de las más bellas y útiles teorías ma-temáticas. La culminación de este proceso ven-drá señalada por la aparición de la MecánicaCeleste de Laplace, triunfo apoteósico de las le-yes de Newton.

Llegamos así al siglo xix, llamado el de larevisión de los principios, en el que la aparición,por una parte, de las Geometrías no euclídeasy, por otra, de las paradojas en la Teoría deConjuntos, hacen tambalear el edificio tan cos-tosamente construido. Como consecuencia de estarevisión de los fundamentos, las «verdades ma-temáticas» pierden lo que parecía ser su notacaracterística, la de ser una constante universal.Si todavía, en el lenguaje ordinario, el término«matemático» es sinónimo de verdad, los ma-temáticos saben que esto está muy lejos de sercierto. Las matemáticas han dejado de ser las«ciencias exactas». Hoy no tiene sentido pre-guntarse si una proposición matemática es ver-dadera o falsa. Las proposiciones matemáticasson simplemente «correctas»; esto es, coheren-tes, demostrables a partir de un sistema de axio-mas enunciados a priori, y, por tanto, con undominio de validez restringido al campo esta-blecido por los axiomas. Estos campos recibenel nombre genérico de estructuras, cuyo estudioconstituye hoy el objeto de la Matemática. Haytres tipos fundamentales de estructuras: alge-

braicas, de orden y topológicas. En la base co-mún se encuentra la Teoría de Conjuntos. Elconcepto primario de toda la Matemática es,por tanto, la noción de conjunto, noción que con-fiere al edifici3 matemático el sentido unitario yarmónico que posee, y cuyas columnas básicasson: el Algebra, estudio de las estructuras al-gebraicas (grupo, anillo, cuerpo, etc.), Y la To-pología (noción de límite, continuidad, etc.).

He aquí, pues, en bella metáfora de Puig Adam,«cómo la Matemática, que empezó por desnudaral mundo físico de sus infinitas galas hasta re-ducirlo a esquemas matemáticos puros, ha ter-minado desnudándose a sí misma de sus con-tenidos conceptuales, quedándose en puro es-queleto legislativo. Pero si este esqueleto no sus-tenta aparentemente carne alguna, es capaz de

sostener una infinidad de contenidos vitales, yen esta capacidad está precisamente su granpoder y fecundidad: la paradójica y enorme po-tencialidad de lo vaciado, de lo abstracto...».

Las dos notas esenciales de la llamada Mate-mática Moderna, esto es, de la actual, son elgrado de máxima abstracción en que se colocay su construcción axiomática. Se diferencia dela clásica fundamentalmente en el enfoque delos problemas. Mientras que ésta se polariza encuestiones concretas, la Matemática de hoy en-cuentra su herramienta más poderosa engloban-do los problemas en las teorías más generales,dejando los casos particulares como simples ejer-cicios de aplicación. Así, por ejemplo, la Geo-metría ha pasado a ser un modelo concreto delAlgebra Lineal y de la Topología, según loscasos.

La primera obra que se publica en esta líneafue el libro Algebra Moderna, de Van der Waer-den, aparecido en 1930, y la obra más funda-mental—diríamos la biblia de la Matemáticaactual— es la monumental de N. Bourbaki (seu-dónimo de un grupo de matemáticos franceses),que lleva el mismo título de los libros de Eucli-des: Elementos de Matemática. Comenzada lapublicación en 1939, han aparecido ya más de30 fascículos.

Paralelamente a la construcción matemática,y para poder manejar con relativa facilidad lasproposiciones matemáticas y poder moverse conagilidad entre tantas cadenas de deducciones ló-gicas, ha sido necesaria la creación de un sim-bolismo y una nomenclatura que, a la vez quedescansen nuestra mente, mecanicen los suce-sivos razonamientos. Se caracteriza este lengua-je matemático por tres notas: concisión, pre-cisión y universalidad. Un número muy reduci-do de palabras y de símbolos, tomados del len-guaje ordinario, si bien desprovistos de todo sig-nificado real, forman hoy el apoyo concreto delas creaciones matemáticas. Cada uno de ellostiene un significado muy claro, simple y preci-so, y responde a una necesidad de comunicaciónunitaria.

Para muchos «modernos» —los formalistas—,este lenguaje formalizado, si no es la Matemáti-ca misma, opinan por lo menos que ningunateoría puede calificarse de teoría matemática,mientras no haya llegado a organizarse por me-dio de esta formalización simbólica. Algunos—losintuicionistas—estiman, en cambio, que si de-trás de los símbolos y de las palabras no exis-tieran las cosas, con toda su existencia de rea-lidad, la Matemática sería un pasatiempo es-téril.

De cualquier forma, la Matemática, nacida paraleer el libro de la Naturaleza (Galileo), ha lle-gado a ser, para prestigio y honor del hombre(Jacobi), la más pura y libre creación del es-píritu humano, según se expresa Dedekind. Lahistoria de la Matemática, en su ascensión cons-

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tante hacia las más altas cumbres de la abstrac-ción, es la historia más bella del hombre en sucamino hacia la libertad.

La Matemática Moderna, por otra parte, si-gue ofreciendo, y cada vez más, los dos aspectosque siempre ha poseído. Primero, su utilidadpráctica, esto es, como Instrumento imprescin-dible de las aplicaciones técnicas, y, después,la Matemática como arte y filosofía, basada enel uso de la razón. Aspectos que son insepara-bles, ya que en perfecta simbiosis han hecho yhacen progresar incesantemente la edificaciónde la Matemática. De una parte, las necesidadescrecientes de la tecnología han dado nacimien-to a nuevas teorías matemáticas, y, de otra, lasmás puras creaciones matemáticas han resulta-do ser la herramienta adecuada de aplicacionestécnicas en los campos más imprevisibles.

Si durante siglos fue la Física el terreno casiúnico de aplicación concreta de la Matemática,hoy puede decirse que, desde la artesanía másmodesta hasta la técnica más depurada, no hayparcela del quehacer humano en que la Ma-temática, de una forma o de otra, no esté pre-sente. Y así, en las dos últimas décadas de estesiglo, hemos visto aparecer, a partir de la obrafundamental de Von Neumann sobre teoría dejuegos, la aplicación de esta teoría a los cam-pos más diversos, no sólo en el dominio de laEconomía, sino también en el de la Sociologiay Estrategia, y originar a su vez nuevas técni-cas, como la Programación, la Investigación Ope-rativa y los Procesos de Decisión, que son hoydía indispensables en la organización industrialy en la dirección de toda clase de empresas.Las necesidades militares de la última guerramundial, concretamente la confección de tablasde tiro para las armas automáticas, dieron na-cimiento a las primeras máquinas de cálculoelectrónico, y después, a los llamados ordena-dores o computadoras. Mediante ellos, no sólopor su fantástica rapidez de cálculo, sino esen-cialmente por la posibilidad de adoptar deci-siones lógicas, pueden hoy resolverse en pocosminutos intrincados problemas imposibles deabordar por los procedimientos clásicos. El Al-gebra de Boole —teoría Matemática «pura» crea-da por este profesor en el siglo xxx— resultó serel instrumento indispensable para el diseño deestos ordenadores. Su utilización ha hecho po-sible éxitos tan espectaculares como los vuelosespaciales y la reciente conquista de la Luna.Como consecuencia de este progreso impresio-nante, todas las técnicas de la ingeniería y dela industria han sido renovadas. Hoy un pro-blema está resuelto cuando se dispone de unalgoritmo, que nos permite, por una cadena deoperaciones, llegar a una solución. El factortiempo ya no cuenta. De aquí que las cuestio-nes puramente teóricas, que antes interesabansolamente al matemático, pero no al técnico, hanllegado a ser enormemente útiles e imprescin-dibles también para este. La llamada formación

practica, a base de formularios y recetas, ya nosirve. Es cada vez más necesario y más útil elconocimiento teórico de los fundamentos de laMatemática.

Asi como el origen de la revolución indus-trial hay que buscarlo en el descubrimiento delCálculo Infinitesimal, habría que pensar que alnacimiento de la nueva era tecnológica a la queestamos asistiendo no es ajena en absoluto laevolución de la Matemática contemporánea.

LA ENSEÑANZA DE LA MATEMATICA

Frente a este desarrollo impresionante de laMatemática, ¿qué panorama presenta la ense-ñanza de esta materia? Tenemos que contestarnecesariamente con una de las palabras de ma-yor frecuencia en nuestra época: crisis. Si, comotantas otras cosas, también la enseñanza de laMatemática, en todos sus niveles, está en crisis,y, por tanto, en estado de profunda renovación.

Abogan por la necesidad de la reforma los si-guientes factores:

— La evolución y desarrollo de la propia Ma-temática.

— Los avances logrados en la experimentaciónpsicológica y psicopedagógica.

— La cada día mayor utilización de la Ma-temática en las demás ciencias y profe-siones, incluso en algunas que antes se con-sideraban más alejadas.

— El papel preponderante que se concede hoya la formación matemática de la juventuden orden a la investigación científica, alprogreso técnico y al desarrollo de los pue-blos.

— El fenómeno social llamado «democratiza-ción de la enseñanza», que obliga a dar másMatemática a mayor número de alumnos.

— La constante historia de «vulgarización delsaber», por la cual todos los avances lle-van consigo el aumento de las necesidadesde conocimiento de los hombres.

En relación con la enseñanza de la Matemá-tica, son de importancia relevante los resulta-dos obtenidos por Piaget y su escuela psicope-dagógica. La experimentación había mostrado yaque hay una tendencia natural espontánea enla mente infantil para distinguir y agrupar loselementos semejantes de un conjunto, esto es,para la formación de clases de equivalencia ba-sada en la percepción de las formas (Gestalten).Esto prueba que en el niño existe desde muytemprano una capacidad de abstraer, si enten-demos por abstracción la facultad que permiteascender de la percepción de la unidad singu-lar a la concepción de la unidad específica. Tam-bién se había probado que los niños son capacesde relacionar conjuntos isomorfos, esto es, de

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reconocer una estructura común en situacionesconcretas aparentemente diversas. Pero, segúnPiaget, estas acciones infantiles corresponden aun estadio inferior al de la inteligencia, que élllama sensorio-motor. La inteligencia no apare-ce mientras no exista una coordinación de ac-ciones —ciertamente sugeridas por la percep-ción— que dé lugar a la formación de esquemasmentales dotados de un dinamismo operatorio,y, sobre todo, del carácter reversible del que ca-recen las rígidas estructuras perceptivas. Puesbien, el descubrimiento más importante de Pia-get, en relación con la didáctica de la Matemá-tica, es que estas estructuras primitivas de lainteligencia, esencialmente operatorias y rever-sibles, pertenecen a tres tipos de organizaciónque están en correspondencia con las estructu-ras que los matemáticos consideran como funda-mentales: algebraicas, de orden y topológicas.La consecuencia inmediata de este hecho apli-cado a la pedagogía, es que la acción didácticadeberá tender a la organización progresiva deestas estructuras operatorias hasta llegar a cons-tituirse en estructuras matemáticas. Natural-mente, en una buena didáctica, como señalabaPuig Adam, no basta que el alumno pueda; esnecesario que además quiera, esto es, habrá quemovilizar, junto a la percepción y la acción,la afectividad, hasta lograr lo que escribía Cla-parede en réplica feliz a sus detractores: «Nues-tros alumnos no hacen lo que quieren, sino quequieren lo que hacen.» Afectividad es efectividad.Querer es poder.

Como consecuencia de esta concepción psico-pedagógica, y de otros avances en el campo dela pedagogía, veamos someramente cuáles sonlas nuevas tendencias en la enseñanza de laMatemática.

El carácter instrumental —enseñanza del cálcu-lo— que tradicionalmente venía teniendo la en-señanza de la Matemática en la escuela prima-ria ha sido relevado por otro más formativo dela naciente personalidad del niño. Este, cierta-mente, debe aprender el mecanismo de las ope-raciones, pero antes ha debido captar, mediantepercepciones y acciones interiorizadas, las rela-ciones cualitativas—no sólo cuantitativas— y elsustrato lógico y el dinamismo estructural dedichas operaciones. Simultáneamente, las acti-vidades del niño sobre las formas y medidasespaciales deben permitirle la conquista del es-pacio, considerado ahora en intima conexión conlas relaciones numéricas. Las manipulaciones deconjuntos de objetos concretos con sus relacio-nes —juegos estructurados— forman la base deesta didáctica de la Matemática elemental, quedebe comenzar en los primeros cursos de la es-cuela maternal o preescolar y que Irá unida ala formación del lenguaje y a la adquisición pro-gresiva de hábitos de expresión correctos. Laverificación por parte del alumno de sus intui-ciones espontáneas contribuirá a una iniciaciónen el razonamiento y en el rigor lógico. Es esen-

cial, en orden a la movilización de los intereses,resaltar el papel relevante que, can este nuevoenfoque de la enseñanza de la Matemática ele-mental, se concede a la utilización de un adecua-do material didáctico: regletas de Cuisenaire,geoplanos, bloques lógicos, juegos estructurados,etcétera.

El primer ciclo de la enseñanza secundaria,de carácter esencialmente orientador —si biencaben moderadas opciones—, continúa la ense-ñanza primaria. Ya no se respeta en los pro-gramas la tradicional división en unidades ló-gicas: Aritmética, Geometría, Algebra, etc. Aho-ra se tiende a organizar los programas cíclicosen torno a unidades funcionales y en correspon-dencia con las estructuras fundamentales de laMatemática, con base en la teoría intuitiva deconjuntos. En cuanto a los métodos, se buscanlas motivaciones —sin descuido de las aplicacio-nes— en la propia Matemática. La actividad des-plegada por el alumno sobre situaciones concre-tas creadas por el profesor debe conducirle a laadquisición de los conceptos matemáticos y aformar en su mente los hábitos de un quehacermatemático. Se concibe, pues, la Matemática,más que como un acervo de conocimientos, comouna forma especial de la actividad intelectual,como suele decirse: «Saber es saber hacer.»

En el segundo ciclo de la enseñanza media,ya moderadamente especializado, se concede ala Matemática, no sólo en las secciones cientí-fica, técnica y modernas, sino también en las li-terarias—con la excepción hasta ahora de Es-paña—, la debida importancia con un horarioelevado. Naturalmente, ni los programas ni suenfoque son iguales en todas las secciones. Lasnociones de la Matemática actual, que han sidointroducidas en las etapas anteriores, adquierenen este periodo una formalización más abstrac-ta, sin dejar de recurrir a planos concretos cuan-do las necesidades didácticas lo precisen, y sindejar de cultivar tampoco el sentido de aplica-ción a las demás ciencias y a la vida profe-sional.

En la enseñanza superior, concretándonos ala impartida en las facultades de Ciencias, deconformidad con la triple misión de la Univer-sidad: cultivo de la ciencia, fomento de la in-vestigación y formación de profesionales, lassecciones de Matemáticas organizan sus estudiosen tres direcciones o especialidades. Sobre untronco común de dos arios de enseñanzas bási-cas —Algebra y Topología— se abren tres ramas,de tres arios más cada una, en el período de lalicenciatura. Con la primera, dirigida hacia lainvestigación, se pretende poner al alumno encondiciones de poder asimilar los conocimientosy las técnicas necesarias para poder enfrentarse,en tiempo relativamente breve, con los proble-mas actuales planteados en una parcela de suespecialidad. La segunda se orienta hacia algu-na de las aplicaciones más actuales de la Ma-temática de hoy: Análisis numérico, Estadística

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matemática, Física matemática, Astronomia. Porúltimo, la especialidad llamada de Metodologíatiende a satisfacer la gran demanda de profe-sores de esta disciplina, debidamente cualifica-dos, en la enseñanza media. La penuria de estosprofesores, manifestada en muchos países, hahecho pensar en una posible licenciatura máscorta en esta especialidad, que habilitaría parala docencia en el primer ciclo de dicha etapaeducativa.

LA OLIMPIADA MATEMATICA

Y, para terminar, diremos unas pocas palabrassobre la Olimpiada Matemática.

La Olimpíada Matemática es el concurso na-cional que organiza todos los arios la Real So-ciedad Matemática Española, con la colaboracióny ayuda de la hasta hace poco Comisaría deProtección Escolar, y hoy Dirección General dePromoción Estudiantil, con el fin de seleccionar33 alumnos —tres por cada uno de los distritosuniversitarios— entre los estudiantes del CursoPreuniversitario, los cuales podrán cursar conbeca los cinco cursos de la carrera de Matemá-ticas. Es decir, estas becas se conceden exclu-sivamente como premio al mérito y precisamen-te para estudiar Matemáticas, con independen-cia de cualquier clase de factores económicos.Forman, por tanto, un cupo especial, aparte delestablecido en la convocatoria general de becasde la Comisaría, constituido en favor de los es-tudios matemáticos.

¿Cómo se hace el concurso? En dos fases. Laprimera se realiza en las capitales de cada dis-trito universitario, donde ya se seleccionan lostres futuros becarios que les corresponden. Parala segunda vienen todos los seleccionados a Ma-drid, y, de los que obtienen las mayores pun-tuaciones en una serie de ejercicios, se procla-man un campeón y dos subcampeones. Estos,además de su derecho a la beca, reciben undiploma y un «modesto» premio en metálico. Loscampeones de la VI Olimpiada, correspondien-te al curso pasado, fueron:Campeón: Javier Luis García Ruiz, de Barce-

lona.Subcampeones: Dolores Carrillo Gallego, de Mur-

cia, y Jorge Bustos Pueche, de Madrid.

La Olimpiada de este curso, Dios mediante, serála VII. Procedentes de la primera tenemos ya15 licenciados olímpicos. Uno de ellos, el quefue campeón, ya ha formado parte del tribunalde jueces de la VI. Y son 89 alumnos los que,procedentes de las otras, estudian actualmenteMatemáticas con una de estas becas. Es unasatisfacción para la RSME proclamar que las ca-lificaciones académicas de estos estudiantes son,en general, muy buenas. Se trata, por consiguien-te, de una promoción escolar bien dirigida.

Podríamos ahora preguntarnos por las razonesque justifican este trato especial en favor de lasMatemáticas. Solamente diremos las siguientes:

— España, si bien ha logrado una alta cali-dad en su investigación matemática, no haalcanzado todavía el volumen que la co-rresponde y que su desarrollo necesita.

— La investigación matemática es básica paraasegurar el progreso científico y técnico delos pueblos.

— Sólo por este camino podrá un día Españaaligerarse de la carga económica, que, cualotros gibraltares dolorosos, pesan sobre ellaen concepto de patentes y royalties.

— Es evidente que no podemos cumplir estosobjetivos si no disponemos de una plantillaeficiente de matemáticos, y no tendremosmatemáticos si no se dispone de un buennúmero de profesores universitarios que losformen y de los profesores suficientes de en-señanza media capaces de fomentar y guiarlas psibles vocaciones. Porque si bien escierto en relación con la enseñanza media,que no es específicamente misión de éstala formación de matemáticos, también esverdad que los profesores de Matemáticasde este grado seremos responsables ante lasociedad si por nuestra culpa dejaran deseguir esta carrera los alumnos suficiente-mente dotados.

— Hacen falta por ello centenares de buenosprofesores de Matemáticas que, contestan-do ya a la pregunta que nos ha servido detítulo para esta charla, sepan enseriar laMatemática de hoy y hagan a la vez unaenseñanza moderna de la Matemática.

— Para ello se hace preciso que la pedagogíamatemática, adaptándose a la realidad so-cial de nuestra época —necesidad de aumen-tar la capacidad media matemática de lajuventud y orientación de los mejor dota-dos hacia esta disciplina—, evolucione rá-pidamente. Hay que modificar profunda-mente los programas, y no precisamente enel sentido de una rebaja de los niveles exi-gidos, como alguien equivocadamente pudie-ra pensar, pero al mismo tiempo hay queelaborar una metodología y una didácticaapropiadas. Es evidente que una enseñanzade tipo dogmático no puede llenar la fi-nalidad formativa que se exige a la Mate-mática, como tampoco, en el extremo opues-to, una acumulación de fórmulas y técnicasoperatorias —como en algunos casos, des-graciadamente, viene haciéndose— puedesatisfacer la exigencia utilitaria. Tanto des-de un punto de vista cultural como desdeel de su utilización, los conocimientos y lasactitudes que deben considerarse necesa-rios son hoy mayores y muy diferentes delos de hace veinte arios. Si útil es aquelloque permite satisfacer mejor las necesida-des de los hombres, podemos decir que la

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utilidad de una enseñanza es la medida desu humanidad. Humanizar, por tanto, noquiere decir facilitar —no hay camino realpara la Matemática—, sino hacer la ense-ñanza de la Matemática mas útil, más hu-mana, en el doble sentido de que satisfagamejor las necesidades del hombre futuro,y, a la vez, más alegre, menos tediosa, parael niño que hoy la aprende. Humanizar,en este sentido, es para mi la razón máspoderosa en favor de la introducción delas nociones de la Matemática Moderna en

los programas y de una enseñanza moder-na de la Matemática en los métodos. No valo uno sin lo otro. Ambas son facetas inse-parable de la misma y única tarea que hayque llevar a cabo: humanizar nuestra en-señanza.

Si hoy más que nunca, en el mundo cambian-te en que vivimos, educar es proporcionar la ca-pacidad de reacción ante una situación nueva,la Matemática, como siempre, debe seguir ocu-pando un lugar de excepción en todo el sistemaeducativo.

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