SENTIDO DE LA EDUCACIN MATEMTICA EN LA ESCUELA EN PREESCOLARLa enseanza de las matemticas durante los primeros aos de escolaridad.La enseanza de la matemtica en el jardnPropsito: identificar, analizar y compartir las representaciones que tenemos los profesores sobre la enseanza y el aprendizaje de las matemticas durante los primeros aos de escolaridad.Actividades:

Por subgrupos se discute las siguientes preguntas: Cules son los contenidos de matemticas que usted considera son fundamentales en preescolar, 1, 2 y 3?

Cules son las principales dificultades que encuentran los nios de preescolar, 1, 2 y 3 durante el aprendizaje de las matemticas? Qu tipo de estrategias usted implementa para la enseanza de las matemticas y que le dan buenos resultados?Desarrollo del pensamiento matemtico, una tarea de todos.Propsito: analizar el enfoque actual sobre la enseanza de las matemticas a partir de los diferentes tipos de pensamiento matemtico.

Actividades:

2.1 Por subgrupos se realiza la lectura del documento N. 1: una nueva visin del conocimiento matemtico en la escuela y se discute la siguiente gua de lectura: En qu consiste cada uno de los pensamientos matemticos?

En cul pensamiento matemtico se hace mayor nfasis en los diferentes grados escolares y por qu?

Cmo est organizado el plan de estudios de matemticas en mi Institucin Educativa de acuerdo a los cinco tipos de pensamiento?

Cmo se puede posibilitar la construccin de los diferentes tipos de pensamiento matemtico en los nios a partir de su cotidianidad y cmo se podra establecer relaciones o conexiones entre los mismos? Desarrollo del pensamiento matemtico desde situaciones problema.

Propsito: Analizar diferentes estrategias que posibilitan el desarrollo del pensamiento matemtico.

Actividades:

3.1 Se realiza la lectura del documento N2 Implicancias didcticas del enfoque de la resolucin de problemas

3.2 En subgrupos se hace la discusin a partir de la siguiente gua de preguntas:

Del concepto de problema que desarrolla el documento qu elementos encontramos significativos para nuestra prctica docente?

En el texto por qu se privilegia la resolucin de problemas como estrategia fundamental para la enseanza de la matemtica?

El texto plantea la necesidad de proponer diferentes tipos de situaciones que respondan a unas intencionalidades especficas. Desde una situacin vivida en el aula cmo podemos ejemplificar los cuatro tipos de situaciones?

En los textos se habla de problema, situacin problema, situacin didctica, situacin, secuencia didctica y juegos. A qu se refiere y cmo se pueden relacionar estas estrategias?

Documento N. 2

Implicancias didcticas del enfoque de la resolucin de problemas.Tomado de: La enseanza de la matemtica en el jardn de infantes. A travs de secuencias didcticas. Adriana Gonzalez y Edith Weinstein. Homo Sapiens Ediciones. Argentina. 2006

Ensear es plantear problemas a partir de los cuales sea posible reelaborar los contenidos escolares y es tambin proveer toda la informacin necesaria para que los nios puedan avanzar en la reconstruccin de esos contenidos.

Ensear es promover la discusin sobre los problemas planteados, es brindar la oportunidad de coordinar diferentes puntos de vista, es orientar hacia la resolucin cooperativa de las situaciones problemticas

Ensear es alentar la formulacin de conceptualizaciones necesarias para el progreso en el dominio del objeto de conocimiento, es propiciar redefiniciones sucesivas hasta alcanzar un conocimiento prximo al saber socialmente establecido.

Ensear es promover que los nios se planteen nuevos problemas que no se hubieran planteado fuera de la escuela.

LERNER, D

Qu modelo didctico privilegiamos?

La enseanza y el aprendizaje son, en conjunto, procesos complejos en los cuales intervienen tres elementos: docente, alumno y saber, ubicados dentro de un contexto (medio, institucin, aula). Se trata de una relacin triangular, una trada.

En esta relacin los elementos interactan entre si y asumen diferentes roles; esta forma de relacin y los roles que asume cada uno ponen en evidencia un tipo particular de situacin didctica, de modelo didctico que se privilegia.

Sealamos se privilegia dada que el acto pedaggico es un acto complejo, en el cual el docente no utiliza exclusivamente un modelo, sino que hace una eleccin, focalizando un modelo sobre otro. Nos proponemos centrarnos en el modelo apropiativo o aproximativo, basado en el constructivismo y centrado en la construccin de saberse por parte del alumno.

En este enfoque los procesos de enseanza y de aprendizaje se llevan a cabo por media de una interaccin equilibrada entre los elementos que conforman la triada.

Este equilibrio permite tanto al saber como al alumno y al docente interactuar en forma dinmica.

El docente tiene un rol activo, ensearte, es quien propone problemas y situaciones con diferente nivel de dificultad que sean significativos para sus alumnos. En la eleccin de los problemas, tiene en cuenta tanto los saberes de los nimios como los contenidos que l, intencionalmente, se propone ensear.

El alumno tiene, tambin, un rol activo; es quien prueba, ensaya, busca caminos de resolucin, propone soluciones, confronta ideas y discute en torno a los problemas que se le presentan los que l propone y los que le son planteados por el docente. En la situacin escolar, los problemas, por lo general, son resueltos en interaccin con los pares.

El saber, el contenido, es considerado en si lgica propia; proviene de la disciplina matemtica y se selecciona teniendo en cuenta las posibilidades del sujeto que aprende.

Esta trada da lugar a la situacin didctica, que es una situacin diseada por el docente con el objetivo explicito de ensear algo y de que el alumna construya un saber determinado. Brousseau la define como:

Un conjunto de relaciones establecidas explicita y/o implcitamente entre un alumno o un grupo de alumnos, un cierto medio (...) y un sistema educativo (...) con la finalidad de lograr que estos alumnos se apropien de un saber constituido o en vas de constitucin.

Estas relaciones constituyen un contrato didctico. Contrato que se establece entre maestro y alumno, el cual incluye componentes explcitos e implcitos y define las reglas de funcionamiento dentro de la situacin, es decir, la distribucin de responsabilidades, la asignacin de plazos a determinadas actividades, el permiso o prohibicin del uso de ciertos recursos de accin, etc. Son las actuaciones del maestro esperadas por los alumnos y los comportamientos de los alumnos esperados por el docente.

Dentro del contrato didctico se incluye no solo lo relacionado can el saber, sine tambin las normas y costumbres, que hacen a la convivencia social; estas constituyen un contrato de cultura.

Cmo ensear y aprender a travs de la resolucin de problemas?

El aprendizaje matemtico, por lo general, aparece relacionado con la capacidad de resolver problemas; esto es as porque los conceptos matemticos han surgido como respuesta a problemas tanto de la vida cotidiana (por ejemplo: mediciones) como ligados a otras ciencias (fsica, astronoma) o problemas internos de la ciencia matemtica (ampliacin de campos numricos). Situaciones que a veces fueron resueltas parcialmente a la luz de los conocimientos existentes, y que a lo largo del tiempo llevaron a la construccin de nuevos conceptos matemticos.

Dentro del modelo apropiativo, la actividad de resolucin de problemas adquiere un lugar relevante y diferente a la que tuvo a lo largo de aos anteriores, desde otros enfoques de enseanza.

Pero qu se entiende por problema dentro de esta concepcin?

Brun, J. (1990) hace referencia a cuales deben ser, en lneas generales, las condiciones que debe cumplir un problema para ser llamado as: un problema se define generalmente como una situacin inicial con una finalidad a lograr, que demanda a un sujeto elaborar una serie de acciones u operaciones para lograrlo. Slo se habla de problema dentro de una relacin sujeto/ situacin, donde la solucin no esta disponible de entrada, pero es posible construirla

Douady, R. (1985) considera que, para asegurar las relaciones entre

Alumno y conocimiento, es necesario que al seleccionar las situaciones problemticas se tengan en cuenta ciertas condiciones, que enuncia de la siguiente forma:

Algunas de las condiciones a tener en cuenta son:

a) El enunciado debe tener sentido en el campo de conocimientos del alumno.

b) El alumno debe poder considerar lo que puede ser una respuesta al problema. Esto es independiente de su capacidad para concebir una estrategia de respuesta o la validacin de una propuesta.

c) Tener en cuenta los conocimientos del alumno a fin de que pueda iniciar un procedimiento de resolucin. La respuesta no es evidente, esto quiere decir que no puede proveer una respuesta completa sin desarrollar una argumentacin que lo conduce a preguntas que no sabe responder inmediatamente.

d) El problema es rico, esto quiere decir que la red de conceptos involucrados es bastante importante, pero no demasiado para que el alumno pueda abarcar su complejidad, si no slo, par lo menos en equipo o en el seno de la clase.

e) El problema es abierto por la diversidad de preguntas que el alumno puede plantearse o por la diversidad de estrategias que puede poner en accin.

f) El conocimiento que se desea lograr con el aprendizaje es el recurso cientfico para responder eficazmente al problema.

Dicho de otro modo es un recurso adaptado a la situacin.

Por lo tanto, un problema implica un obstculo cognitivo a resolver, un desafo que va ms all de los saberse que el alumno posee, pero a los que debe apelar para resolverlo.

En el problema debe estar planteada, en forma clara, la finalidad que se persigue, pero no la forma en que se debe resolver, dada que el alumno tiene que poder escoger la resolucin que l crea mas conveniente.

A su vez el problema debe permitir la discusin entre pares con el objetivo de analizar diferentes procedimientos de resolucin. Procedimientos que luego se debern compartir, explicar, discutir, validar con la totalidad del grupo.

Por otra parte, el docente al plantear problemas, debe tener en cuenta no slo los saberes del grupo escolar, sino tambin sus intereses para que la resolucin adquiera sentido para ellos.

En sntesis: el docente ensea matemtica a partir del planteo de situaciones problemticas y el nio construye el sentido de los conocimientos matemticos en la medida que resuelve y se plantea problemas.

Dentro de esta actividad cobran un papel relevante tanto la discusin como la reflexiono sobre lo realizado, pues a partir de ello se socializan los saberes haciendo circular el conocimiento y dndole un carcter pblico.

Hacer matemtica significa, entonces, acceder a los significados de los conocimientos a travs de un trabajo compartido en el que los nios debern adaptarse a las restricciones que les presenta una determinada situacin, confrontar sus ideas, aceptar errores y recomenzar la bsqueda en funcin de los aportes grupales e individuales, valorar el trabajo propio y el ajeno.

Analicemos un ejemplo.

Laura, docente de sala de 5, les plantea a sus alumnos:

Se acuerdan de que cuando fuimos de visita al acuario nos prometieron que nos iban a regalar 15 pececitos?, maana tenemos que ir a buscarlos, pero tenemos que decidir cuntas peceras compramos para ponerlos. Julio, el dueo del acuario nos dijo que son muy delicados y no pueden estar ms de cinco en la misma pecera, porque se pueden lastimar.

Ahora formemos Grupos de cuatro y piensen cmo podemos resolver la situacin.

Este problema tiene sentido para los chicos tanto a nivel de la comprensin de la situacin como a nivel de sus conocimientos los chicos son capaces de contar, en su mayora, hasta 20 sin dificultades.

Al presentar situaciones de este tipo los nios pueden buscar diferentes estrategias de resolucin y confrontar lo realizado con el grupo total.

Algunas de las formas de resolucin pueden ser:

Tomar 15 porotos, a modo de pececitos, y hacer grupitos de 3 o de 5 peces, o colocar slo un pez en cada pecera. En todas las peceras colocan la misma cantidad hasta llegar a un total de 15 peces.

Colocar diferentes cantidades de peces en cada pecera hasta llegar a un total de 15 peces.

Poner peces en cada pecera, sin cumplir la condicin dada, no ms de 5 peces por pecera, pero tener en cuenta la cantidad total de peces.

Una vez que cada grupo resuelve la situacin, explica las decisiones tomadas y entre todos controlan si son o no correctas, los alumnos debern verificar si se cumplen las dos condiciones dadas: 15 pececitos y no ms de 5 en cada pecera.

A partir de los resultados presentados por los nios, la docente puede aumentar o disminuir la cantidad de peces por pecera y modificar la condicin establecida o plantear la siguiente situacin: a ver chicos, como tenemos poco lugar en la sala, tenemos que tratar de comprar la menor cantidad posible de peceras, qu les parece, como podemos colocar los pececitos?.

De esta forma el docente plantea a los nios una nueva restriccin que los lleva a repensar sus respuestas, hacindolos modificar las estrategias antes utilizadas.

Nuevamente, despus de que cada grupo ha encontrado una solucin a la situacin planteada, se discuten las diferentes respuestas y se las evala en trminos del cumplimiento o no de las restricciones establecidas.

La resolucin de problemas se constituye en el centro de los procesos de enseanza y de aprendizaje, y abarca a ambos en su totalidad. No es un momento de aplicacin de lo aprendido, sino que interviene desde el comienzo del aprendizaje, constituyndose en la fuente, lugar y criterio de la elaboracin del saber.

La resolucin de problemas nos permite:

DIAGNOSTICARPlantear situaciones significativas para los alumnos, que, al tratar ellos de resolverlas, les posibiliten utilizar sus conocimientos. La forma en que el alumno resuelve los problemas planteados le permite al docente conocer cul es la calidad y el alcance de sus saberes.

Este conocimiento es el que da direccionalidad a los procesos de enseanza y de aprendizaje, porque, partiendo de l, el docente propone y selecciona problemas que permiten al alumno modificar, completar, encausar o construir saberes.

Por ejemplo:

Un docente de sala de 4, a principio de ao, con el fin de conocer los saberse de conteo de sus alumnos, les propone un juego de emboque de pelotas en el cual gana el equipo que emboca la mayor cantidad. Los alumnos, para poder resolver la situacin, debern cuantificar las pelotas embocadas y comparar lo obtenido por cada equipo con el fin de saber cul es el ganador.

En este caso, la situacin le posibilita al docente diagnosticar los saberes de conteo de los nios para luego presentar otros problemas que favorezcan avances en este sentido.

ENSEAR

Al conocer qu saben los alumnos, el docente les plantea situaciones en las que, para resolverlas, deben hacer uso de sus saberes, reorganizndolos de forma tal que logren, gradualmente, alcanzar nuevas construcciones.

Siguiendo con nuestro ejemplo, supongamos que la mayora de los nios cuentan correctamente hasta 5, el docente puede plantear la siguiente situacin:

Les presenta un dado con constelaciones (puntos) hasta 6 y les propone un juego que consiste en tomar la cantidad de tapitas que el dado indica y colocarlas en un pote.

Para resolver esta situacin, los nios debern hacer uso de sus saberes de conteo y ampliar el campo numrico hasta 6.

En este caso se han incluido dos variantes: el campo numrico y el contexto de juego, llenar el pote.

EVALUAR

Proponer problemas que permitan evaluar el nivel de logros alcanzados en un momento determinado y en relacin con ciertos contenidos.

Continuando con nuestro ejemplo, la docente entrega a cada nio un pote con 20 botones y a cada grupo un dado como el descrito. Cada jugador tira el dado y saca de su pote la cantidad de botones que ste indica. Gana el jugador que primero se queda sin botones.

En este caso se ha mantenido el campo numrico y se ha variado el juego, vaciar el pote.

Como se ve, los ejemplos presentados describen situaciones didcticas que pueden usarse en diferentes momentos de los procesos de enseanza y aprendizaje y que permiten diagnosticar, ensear o evaluar, dentro de un contexto concreto como lo es la sala, y en relacin con el propsito del docente.

Decisiones didcticas del docenteEl diseo de actividades didcticas es una de las tareas ms importantes que realiza el docente y es, a su vez, exclusiva de l, dado que a partir de las mismas da direccionalidad al proceso de ensear. Disear la enseanza es una tarea compleja, que requiere diversos tipos de saberes, habilidades, y tambin creatividad; se basa tanto en las prescripciones de los documentos curriculares de la jurisdiccin, como en los objetivos y propsitos de la institucin y las particularidades del grupo escolar.El docente, a la hora de proyectar situaciones didcticas, debe tener en cuenta, entre otros, los siguientes aspectos:

Saberes previos del grupo de alumnos

Contenido a ensenar

Problemas a plantear

Organizacin grupal

Saberes previos del grupo de alumnos

Conocer que saben los nios es una tarea de vital importancia en el momento de decidir qu y cmo ensear. Para ello se deben proponer actividades que permitan detectar, es decir, diagnosticar los conocimientos que los nios poseen.

Esta tarea no debe realizarse slo al comienzo del ciclo escolar, sino durante todo el ao, frente a los distintos contenidos que se desea ensear. Es por ello que, para nosotras, la tarea de diagnostico es permanente.

No se trata de actividades descontextualizadas, individuales, de laboratorio, sino de propuestas que se encuadren en los contextos de trabajo. Son situaciones que, para el docente, tienen la finalidad de diagnstico, pero para los nios constituyen actividades habituales, conocidas, ldicas.

Contenido a ensear

Como ya hemos planteado, los contenidos a ensear estn prescriptos en los Diseos Curriculares de cada jurisdiccin. Es el docente quien, a partir de esta lectura de los objetivos institucionales y del conocimiento del grupo escolar selecciona los contenidos que intencionalmente va a trabajar durante el ao. En esta seleccin tambin tiene en cuenta la secuencia de contenidos que se abordaran en la totalidad del nivel, es decir, articula lo que va a ensear con los docentes de las otras salas. (Sala de 3,4 y 5 aos).

El hilo conductor de todo este proceso es la transposicin didctica (Chevallard, 1985), que es la transformacin que sufre el objeto de conocimiento al convertirse en objeto de enseanza. Es la distancia existente entre el conocimiento acadmico y el conocimiento escolar.

La transposicin didctica la inician los autores de los Diseos Curriculares al seleccionar, del cuerpo acadmico de una disciplina, aquellos conocimientos que pueden ser transformados en contenidos a ensear.

El docente, primero, elige los contenidos a ensear y, luego, realiza los procesos de contextualizacin y descontextualizacin. El proceso de contextualizacin consiste en la bsqueda de contextos significativos para el grupo escolar, en los cuales el contenido a ensear tenga sentido. El proceso de descontextualizacin implica sacar al contenido del contexto especfico en el que fue abordado con el fin de generalizarlo y acercarlo al saber disciplinar. A partir de all, ese contenido debe ser puesto en movimiento en diferentes actividades.

Por ejemplo:

Supongamos que en una sala de 3 aos, para ensear a contar, presentarnos un dado con constelaciones (puntos) hasta tres y algunos palitos de helado. Les pedimos a los nios que, en grupos de a dos, tiren el dado y tomen los palitos que el dado indica.

En este caso el docente seleccion como contenido a ensear: Los nmeros como memoria de la cantidad. Designacin oral de cantidades en situaciones de conteo.

Al pensar la actividad ha contextualizado el contenido. Una vez que los alumnos pueden contar hasta tres sin dificultades, se inicia la descontextualizacin de ese saber, dado que, si bien no lo pueden verbalizar, comienzan a comprender que, al contar, deben asignar una palabra nmero a cada objeto.

Este saber de conteo deber ser utilizado en diferentes contextos y a su vez ser el punto de partida para avanzar en el conocimiento de la serie numrica.

Problemas a plantear

Los problemas para trabajar intencionalmente el contenido seleccionado se plantean a partir de la consigna de trabajo.

Pero, cabe preguntarse, todas las consignas son problematizadoras? Seguramente usted coincidir con nosotros en que no todas lo son.

Para que una consigna se transforme en un verdadero problema a resolver, en un obstculo cognitivo, es necesario que indique la finalidad que se persigue, es decir, qu hacer, pero sin especificar la manera de resolverlo, esto es, cmo hacer. De esta forma, la consigna de trabajo es una decisin didctica de vital importancia que requiere, por parte del docente, un anlisis y reflexin sobre lo que se plantear.

Por ejemplo:

En una actividad de plstica, a la hora de repartir los pinceles, se puede proponer:

Consigna A: Cmo podemos hacer para saber si los pinceles alcanzan para todos los chicos de la sala?

Consigna B: Cuenten los pinceles y luego a los chicos de la sala, as sabremos si alcanzan o no.

En una actividad matemtica contextualizada en un juego de emboque, la maestra puede plantear:

Consigna C: Tiren las pelotas para embocar en la caja. EI que emboca ms pelotas gana.

Consigna D: Tiren las pelotas para embocar en la caja, luego cuenten las pelotas que embocaron. El que emboca ms pelotas gana.

Analizando las consignas nos damos cuenta de que, al plantear la

Consigna B: Cuenten los pinceles y luego a los chicos de la sala y la Consigna D: luego cuenten las pelotas que embocaron, se les esta indicando el procedimiento a seguir, que es contar; por lo tanto no se trata de una consigna problematizadora, ya que indica el qu hacer y el cmo hacerlo.

En cambio en las Consignas A y C slo se les plantea la finalidad: saber si los pinceles alcanzan para los nios de la sala o saber cuntas pelotas embocaron. No se sugiere la forma en que lo deben resolver. Seguramente lo harn por medio del conteo, pero, en este caso, ese procedimiento surge de una decisin de los nios y no es propuesto por el docente. Es una consigna problematizadora que slo indica qu hacer sin decir cmo.

Organizacin grupal

Retomando la actividad de la pgina 23 en la cual los nios tiran el dado y toman los palitos de helado que el mismo indica, es difcil pensarla como una actividad de grupo total en la cual cada nio debera esperar que sus veinte compaeros tiren el dado para volver a tirar y reanudar su juego.

Seguramente usted acordar con nosotras en que, de realizarla en grupo total, los nios perderan el inters, se distraeran, se pelearan y, por lo tanto, el contenido a ensear no podra ser abordado. Adems, le implicara un gran esfuerzo, dado que, en lugar de centrarse solamente en la actividad y en el contenido, debera prestar atencin a cuestiones de ndole disciplinar como callarse, escucharse, sentarse, no tocar otro materiales, etctera.

Proponemos privilegiar la organizacin en pequeos grupos; de dos a cuatro integrantes por grupo. Siguiendo con nuestro ejemplo, armaramos parejas o trios que permitan a los nios una mxima participacin e involucracin durante toda la actividad y un trabajo en torno a la construccin del contenido.

El trabajo en pequeos grupos reduce el tiempo de espera, maximiza el nivel de participacin y el contacto directo con el conocimiento, alienta la autonoma y la toma de decisiones compartida y favorece el inters de todos los participantes por observar y seguir el proceso.

En relacin con el docente, la dinmica de pequeos grupos le permite observar, guiar, orientar a los diferentes grupos en las decisiones que ellos vayan tomando para resolver los problemas planteados. De esta forma, no slo se trabaja un contenido matemtico especfico, sino que se favorece el desarrollo de la autonoma, de la interaccin, de la confrontacin con otros, de la fundamentacin de las propias ideas que, en su conjunto, son procedimientos del quehacer matemtico.

A trabajar en grupos se aprende y se ensea, por lo tanto requiere intervenciones intencionales del docente. A su vez, este tipo de trabajo nos Ileva a pensar que los nios tambin aprenden en interaccin con sus pares, con independencia de nuestra presencia, y que no todos aprenden lo mismo ni lo hacen al mismo tiempo.

Ms all de haber planteado que privilegiamos el trabajo en pequeos grupos, sabemos que la totalidad de la actividad no siempre se realiza con esta dinmica, sino que es necesario usar en cada momento la organizacin grupal ms conveniente.

Por ejemplo:

En un juego de cartas se les propone a los nios que jueguen de a cuatro y que uno de ellos anote el orden de los ganadores.

En esta situacin el juego se realiza en pequeos grupos, mientras que una de las propuestas, anotar el orden de los ganadores, se desarrolla en forma individual. Al finalizar la actividad se les pide que, en grupo total, muestren las anotaciones realizadas por cada secretario y, entre todos, se analiza cules son las ms claras y precisas.

Pero, posiblemente usted se este preguntando: Cmo armar los grupos de trabajo?

Los grupos pueden estar conformados de manera homognea o heterognea.

Un grupo es homogneo cuando los saberes de los alumnos son similares y es heterogneo cuando sus conocimientos son diferentes o distantes entre s.

Dentro del grupo homogneo los nios discuten el problema a resolver en el marco de un determinado nivel, lo que les permite encontrar procedimientos de resolucin parecidos, con menor grado de confrontacin. Todos los nios tienen igual oportunidad de participacin.

En el grupo heterogneo se encuentran variadas formas de resolver la situacin; esta variacin favorece un mayor nivel de intercambio y de discusin. Si bien no todos tienen el mismo grado de participacin -generalmente los que ms saben resuelven antes que los que menos saben-, esta conformacin grupal hace que los nios que poseen menor nivel de construccin, a veces, conozcan y comprendan resoluciones ms avanzadas.

Nuestra sugerencia es trabajar a lo largo del ao escolar con ambos tipos de organizacin grupal, para aprovechar las ventajas de cada una. A su vez, los integrantes de los grupos deben variar; lo ideal es que a lo largo del ao cada nio tenga la oportunidad de trabajar con todos los dems.

Actividades y secuencias didcticas

Tipos de situaciones didcticas

Teniendo en cuenta lo desarrollado al comienzo de este captulo, retornaremos el concepto de situacin didctica, entendida como la estructura por la cual el docente ensea los contenidos que intencionalmente selecciona y plantea problemas al alumno.

Dentro de las situaciones didcticas el planteo de problemas permite vehiculizar los procesos de enseanza y aprendizaje.

Pero, cabe preguntarse: todas las situaciones didcticas son del mismo tipo, tienen la misma finalidad?Al respecto Brousseau distingue cuatro tipos:

_Situaciones de accin, en las que se genera una interaccin entre los alumnos y el medio fsico. Los alumnos deben tomar las decisiones que hagan falta para organizar su actividad de resolucin del problema planteado.

Situaciones de formulacin, cuyo objetivo es la comunicacin de informaciones entre alumnos. Para esto deben modificar el lenguaje que utilizan habitualmente, precisndolo y adecundolo a las informaciones que deben comunicar.

_Situaciones de validacin, en las que se trata de convencer a uno o varios interlocutores de la validez de las afirmaciones que se hacen. En este caso, los alumnos deben elaborar pruebas para demostrar sus afirmaciones. No basta la comprobacin emprica de que lo que dicen es cierto; hay que explicar que, necesariamente, debe ser as.

-Situaciones de institucionalizacin, destinadas a establecer convenciones sociales. En estas situaciones se intenta que el conjunto de alumnos de una clase asuma la significacin socialmente establecida de un saber que ha sido elaborado por ellos en situaciones de accin, de formulacin y de validacin.

Brousseau, en la caracterizacin planteada no se refiere especficamente al Nivel Inicial, dado que su mbito de investigacin se encuadra ms en EGB y Polimodal. De todas formas, teniendo en cuenta las posibilidades de los nios del nivel, esta caracterizacin arroja luz sobre el tipo de trabajo a realizar en la sala.

A continuacin ejemplificaremos los tipos de situacin descriptos.

Ejemplo 1

Marina, docente de sala de 5, les propone a sus nios jugar con las cartas espaolas del 1 al 9 a "La Guerra". Les pide que formen grupos de cuatro integrantes y que cada uno, a su turno, saque una carta del pozo, la de vuelta y la coloque en el centro de la mesa. Al terminar la ronda, el que sac la carta mayor se lleva todas las cartas de la mesa. Si hay empate, se produce "Guerra", en cuyo caso vuelven a sacar otra carta del pozo, y el que obtiene la carta mayor se lleva todas. Gana el que se queda con mayor cantidad de cartas.Marina, al seleccionar la situacin didctica "La Guerra", est proponiendo una situacin de accin, dado que el nio, para resolverla deber comparar los valores numricos de las cartas a fin de saber si son de igual, mayor o menor valor. Al finalizar el juego deber determinar quin obtuvo la mayor cantidad de cartas. Estas acciones permiten poner en movimiento el contenido matemtico que la docente intencionalmente se propone trabajar:

Los nmeros para comparar cantidades.

Comparacin de cantidades desde el punto de vista cuantitativo utilizando relaciones de igualdad y desigualdad.

Una vez que todos los grupos finalizaron, Marina los rene en grupo total y les plantea: En uno de los grupos no saban cul era mayor, si el 7de espadas o el 9 de bastos. A ustedes qu les parece, cul es el mayor?Los chicos dan diferentes respuestas:

Juan, mirando la banda numrica, dice: 9 est ms lejos que 7, entonces 9 es ms que 7

Ins toma una tiza y realiza en el pizarrn el siguiente grfico:

y dice: 9 es ms que 7 porque sobran dos.

Ariel busca el 7 de espada y el 9 de basto en el mazo, cuenta los objetos uno a uno y dice: 9 es ms grande que 7La situacin planteada par Marina, al grupo total, es una situacin de validacin, dado que los nios deben dar argumentos que permitan resolver el problema planteado.

Las situaciones de validacin se pueden resolver haciendo una comprobacin emprica -uso de los objetos- o mediante argumentos cuando se excluye la posibilidad del accionar emprico. En el Nivel Inicial, la validacin ms habitual es la de tipo emprica; y no es menos importante, dado que es la que posibilita acceder, posteriormente, al otro tipo de validacin.

Una situacin de institucionalizacin se da cuando se produce la descontextualizacin del saber de la situacin de accin, formulacin o validacin que le dio origen. Siguiendo con nuestro ejemplo despus de varios juegos, en los cuales se ha puesto en movimiento el contenido ya mencionado, Marina plantea: Estos das nos dimos cuenta que, para saber si un nmero es mayor que otro, podemos mirar la banda numrica y que, cuanto ms lejos de 1 est, ms grande es el nmero.

Marina llega a esta conclusin a partir de las formas en que los nios resolvieron la situacin, dado que ellos, en reiteradas oportunidades, recurrieron a la banda numrica. As acerca a todo el grupo a un saber cultural o acadmico, objeto de su enseanza.

Ejemplo 2

Liliana, docente de sala de 5, les propone a sus nios jugar a Las construcciones con figuras geomtricas (crculo, cuadrado, rectngulo, tringulo). Les pide que formen parejas y les plantea: Uno de los grupos tiene que realizar una construccin con las figuras sin que los dems grupos la vean. Luego debe dictar al resto lo realizado, para que la construyan igual. Al final, comparamos las construcciones.

Esta es una situacin de formulacin, ya que un grupo de alumnos debe emitir, en forma clara y precisa, un mensaje para que los otros grupos lo comprendan y realicen lo que el mensaje indica.

Con esta situacin el docente se propone trabajar intencionalmente:

Espacio.

Descripcin e interpretacin de la posicin de objetos.

Formas geomtricas.

Exploracin de las caractersticas de las figuras.

Luego, al comparar lo realizado por los grupos, se produce una situacin de validacin, dado que Liliana pregunta: Son iguales las construcciones? Hay diferencias?". Qu mensaje recibiste para colocar el crculo ac?. Qu le dijiste para que coloque el tringulo as?. Los nios, en este caso, realizan la validacin, tanto mediante la observacin como mediante la verbalizacin del mensaje emitido o recibido.

Es importante que el docente realice preguntas del tipo de las indicadas sea cual fuere el resultado de lo construido, para poder estar seguro de que la construccin idntica se debi a la precisin de los mensajes emitidos y decodificados, y no a la mera casualidad. Adems de esta manera, alienta la argumentacin por parte de los nios.

Al descontextualizar el saber, se produce una situacin de institucionalizacin. A partir de los mensajes emitidos por los chicos en diferentes situaciones de juego, la maestra y los nios Ilegan a las siguientes conclusiones:

para que Ia construccin quede bien hay que decir cul es el objeto y dnde se lo coloca.

el que Ilamamos redondo se llama crculo.

Secuencia didctica

Hemos analizado los diferentes tipos de situaciones didcticas que permiten el trabajo intencional de contenidos matemticos. Para llegar a la institucionalizacin, es decir, al proceso de descontextualizacin del saber, es necesario que se planteen variadas situaciones de accin, formulacin y validacin, dado que no existe una relacin directa entre la resolucin de un problema y la construccin de un contenido.

En el Pre-diseo Curricular, (GCBA, 1999) de la EGB se plantea:

El concepto no emerge mgicamente como producto de Ia resolucin de un problema.De esta forma, queda claro que el aprendizaje requiere de aproximaciones sucesivas a travs de la presentacin de un contenido en diferentes contextos y de la reiteracin de actividades. Es as como se progresa, se evoluciona en la apropiacin de los conocimientos.

Esta evolucin se da de diferentes formas, por ejemplo, cuando los nios adquieren mayores dominios de un saber, avanzan en los procedimientos; desechan procedimientos conocidos para reemplazarlos por otros nuevos y ms complejos.

Evolucionar puede querer decir dominar mejor lo que ya se sabe o enriquecerlo con nuevos sentidos o modificarlos para reorganizarlos en un nuevo campo de saberes como producto de la incorporacin de nuevos conceptos (GCBA, 1999)

Por ejemplo, supongamos que los alumnos, en una sala de 4 aos, cuentan sin dificultades hasta 6 utilizando dados, as como tambin otros elementos. La docente les puede proponer trabajar con dos dados con constelaciones (puntos) del 1 al 3 en cada uno para abordar la funcin: Los nmeros para calcular.

La intencin de la docente es que, a partir de las acciones de juntar, reunir, agregar, los nios puedan avanzar en sus procedimientos de cuantificacin de cantidades, pasando del conteo al clculo mediante el uso del sobre conteo y del resultado memorizado.

Para que se cumpla este progreso, el docente deber organizar las situaciones didcticas en forma de secuencias, planteando actividades con un progresivo nivel de complejidad, en la que cada una implica un obstculo cognitivo a resolver.

El Diseo Curricular para la Educacin Inicial, (GCBA, 2000) expresa:

Una secuencia es un conjunto de actividades que guardan coherencia, cuya progresin est pensada en funcin de complejizar, resignificar o transformar ciertos conocimientos (...); cada actividad se engarza con otra, y en su conjunto permiten diferentes modos de aproximacin a los contenidos propuestos, a la vez que favorecen que los alumnos complejicen, profundicen y enriquezcan sus conocimientos.

El docente, a la hora de disear las secuencias didcticas, debe pensar variables didcticas. Segn el ERMEL (1990):

Variable didctica es una variable de la situacin sobre la cual el docente puede actuar y que modifica las relaciones de los alumnos con las nociones en juego, provocando la utilizacin de distintas estrategias de resolucin.

Retomando el ejemplo planteado en este apartado, el docente, al pasar de jugar con un dado a dos dados, esta planteando una variable didctica en este caso referida al material con la intencin de generar nuevos procedimientos en los nios.

A lo largo de los siguientes captulos desarrollaremos ejemplos de secuencias didcticas relacionadas con los diferentes ejes del rea, que incluyen variables didcticas referidas: a cambios de material, de consigna, de contenido, de organizacin grupal. Estas secuencias tienen el carcter de esquemas prcticos que debern ser contextualizados, resignificados, enriquecidos por los docentes, en funcin de las caractersticas del grupo escolar, de la institucin y de la intencionalidad pedaggica.

El juego y la actividad matemtica

Las actividades ldicas dentro del Nivel son de incuestionable valor, dado que, como todos sabemos, el juego es una de las actividades fundamentales de la infancia. El nio, a partir del juego, entre otros aspectos, se expresa, aprende, se comunica consigo mismo y con los otros pares y adultos, crea e interacta con el medio. El juego involucra al nio desde lo corporal, afectivo, cognitivo, cultural, social, etctera.

El juego es, pues, patrimonio privilegiado de la infancia y uno de sus derechos inalienables, pero adems es una necesidad que la escuela debe no slo respetar, sino tambin favorecer a partir de variadas situaciones que posibiliten su despliegue, (Malajovich, 2000)

Ana Malajovich, en la obra citada, considera necesario diferenciar el juego que el nio realiza de las situaciones construidas por el docente con la intencin de ensear. Al respecto distingue tres tipos de situaciones:

Situacin Idica: el nio tiene la libertad de elegir el qu, el cmo y con quin jugar. No la vive como una situacin de aprendizaje. El docente planifica la situacin general, a partir de determinados contenidos que pueden o no trabajarse en el desarrollo de la situacin, pues es el nio quien toma la iniciativa. El docente adopta un rol de observador. Son situaciones no estructuradas.

Situacin de aprendizaje con elementos Idicos: Es una situacin estructurada planificada por el docente para trabajar intencionalmente determinados contenidos. La propuesta incluye la previsin de: materiales, consigna, organizacin grupal. Se trata de una estrategia para ensear. El problema a resolver se presenta en forma de juego, y son los nios quienes buscan diversas formas de resolucin.

Situaciones de no juego: son actividades estructuradas con la intencin de ensear determinados contenidos, que no presentan componentes ldicos, pero los nios sienten placer por realizarlas.

La enseanza de contenidos matemticos se realiza a partir de la planificacin de situaciones estructuradas, sean situaciones de aprendizaje con elementos ldicos o situaciones de no juego.

La mayora de las situaciones ejemplificadas en este captulo jugar con cartas, con dados, embocar pelotas corresponden a situaciones de aprendizaje con elementos Idicos, ya que en ellas el docente selecciona contenidos a trabajar y los contextualiza en forma de juego, suministrando los materiales, planteando la consigna y estableciendo la organizacin grupal. Los nios, a partir del problema que el juego les plantea, buscan cmo resolverlo.

En otros casos se presentan situaciones de no juego, como, por ejemplo, cuando se les propone preparar jugo para la merienda anticipando cuntos vasos de un determinado tipo se pueden llenar con el contenido de la jarra. No se trata de una situacin Idica, sin embargo, es estructurada; los nios sienten placer por realizarla y plantea obstculos cognitivos que permiten la construccin de un contenido que intencionalmente se quiere ensear.

Si bien, en la mayora de los casos, las actividades matemticas se presentan a travs de contextos ldicos, estos no son los nicos posibles. Una actividad se constituye en una situacin didctica cuandoplantea un problema a resolver, y no necesariamente dentro de unjuego.

Las propuestas de trabajo que incluyen elementos ldicos se presentan, por lo general, a travs de juegos reglados que implican la participacin de dos o ms jugadores. Al respecto, es importante recordar la caracterizacin que realizan Constance Kamii y Reta Devries, (1985):

Para que sea educativamente til, un juego colectivo debe:

1. Proponer algo interesante y estimulante para que los nios piensen en cmo hacerlo.

2. Posibilitar que los propios nios evalen su xito.

3. Permitir que todos los jugadores participen activamente durante todo el juego.

Si tomamos el juego de La Guerra, explicado anteriormente, vemos como se cumplen las tres condiciones planteadas: la situacin presenta un problema interesante, que consiste en saber quin obtuvo la carta mayor; son los propios nios quienes determinan el ganador de cada jugada. Adems, por trabajar en pequeos grupos, todos participan activamente, toman decisiones e interactan.

Los momentos del trabajo matemtico

Las situaciones de enseanza en el Nivel Inicial, cuando son llevadas a la sala, se plantean teniendo en cuenta diferentes momentos: de inicio, de desarrollo y de cierre.

Estos momentos adoptan, en la tarea matemtica, las particularidades que a continuacin se describen:

Presentacin de la situacin.

Es el momento en el cual el docente plantea la consigna, indica la organizacin grupal, entrega los materiales y se asegura, a travs de un intercambio de ideas con los alumnos, de que la consigna haya sido interpretada por todos. El docente tiene, en este momento, un rol protagnico.

Momento de resolucin.

Por lo general se desarrolla en pequeos grupos. Los alumnos intercambian opiniones, discuten, confrontan formal de resolucin, con el fin de dar respuesta al problema planteado. Es una situacin de comunicacin con y entre pares. El protagonismo pasa del docente a los alumnos, siendo el primero quien cumple un rol de gua, de orientador de la tarea

Presentacin de los resultados o propuestas en comn. Validacin de lo realizado.

Por lo general se desarrolla en grupo total. Los equipos presentan lo realizado y lo someten a la consideracin de los compaeros. Los alumnos deben fundamentar la validez de sus respuestas y aceptar los posibles errores. Se desarrolla una argumentacin sobre el problema, de la cual se pueden desprender nuevas preguntas y surgir nuevos problemas.

Los procedimientos se analizan en funcin del problema y de su pertinencia.

Panto el docente como el alumno protagonizan este momento, ya que intercambian opiniones, descubrimientos y procedimientos en torno al saber a construir.

Sntesis de lo realizado.

Es un momento destinado a elaborar conclusiones a partir de las resoluciones presentadas por los alumnos y a institucionalizar el saber construido.

Los dos ltimos momentos -validacin y sntesis- se llevan a cabo dentro del cierre de la actividad. Los momentos mencionados no necesariamente se deben complementar en un mismo da de trabajo; puede haber inicios y desarrollos sucesivos que se engloban en un cierre posterior, que retoma lo realizado en los diferentes das.

A veces, el cierre se puede transformar en el inicio de la actividad siguiente, dando a conocer el estado de construccin alcanzado. En este caso, son los nios quienes asumen un rol activo y el docente coordina.

Cuadro de sntesis

A modo de cierre presentamos un cuadro que tiene por objetivo sintetizar los conceptos fundamentales desarrollados en este captulo, teniendo en cuenta la relacin triangular entre docente, alumno y saber.

SEGUNDA PARTE

PENSAMIENTO NUMRICO Y SISTEMAS NUMRICOSPresentacin

Taller N. 4: La utilizacin del nmero en situaciones cotidianas.

Propsito: analizar diferentes situaciones cotidianas en las que se utiliza los nmeros y algunos referentes tericos que explican la manera como los nios y las nias van construyendo las nociones numricas.Actividades:

4.1 Por subgrupos se analizan las siguientes situaciones y se propone algn criterio de clasificacin.

Escuchando los estudiantes hablar entre ellos mismos, dicen cosas como: en mi casa tengo 6 bolas de cristal de colores y 7 bolas plateadas.

En la caja de colores apenas me quedan 9.

En la fila para comprar hoy me toc de quinto.

En la maana jugando me gan 3 caramelos ms de los que me gan ayer.

Hoy fui el primero en llegar al colegio.

Juan lleg de tercero y Jorge lleg de octavo.

Yo me demoro como unos 10 minutos caminando para ir de mi casa al parque.

Para ir donde mi amigo hay que subir como 5 cuadras.

Mi pap dice que l diariamente tiene que recorrer como 5 kilmetros en bicicleta para ir al trabajo.

Este ao me toc la ruta N5 del bus.

Vamos a jugar bolos pero colocamos la raya para tirar a una distancia de 10 pasos.

Midamos con la cuarta quin qued ms cerca. La ma qued a 5 cuartas, la de Juan qued a 7 y la de Jorge qued a 3.

Todava faltan 5 semanas para salir a vacaciones.

En esa caneca caben 5 botellas de gaseosa.

4.2 Por subgrupos, analizar y discutir la siguiente situacin:El seor que vende naranjas en la plaza las coloca en cajas de la siguiente manera:

Cuntas naranjas hay en cada caja?, si se juntan las naranjas de las cajas que tienen ms poquitas naranjas cuntas se ajustan?, en una hoja vamos a escribir cuntas naranjas hay en cada caja para luego acordarnos.

Discutir qu estrategias pueden utilizar los nios de preescolar y primero a la hora de resolver las diferentes tareas?, qu procedimientos de conteo pueden utilizar?

El seor de la tienda le pide a un nio que le colabore contando y escribiendo la cantidad de naranjas por cada caja pero este nio NO conoce los nmeros, ni los sabe decir, ni los sabe escribir. Cmo podra este nio realizar la tarea?4.3 Lectura, anlisis y discusin del documento N. 3, La construccin del nmero natural, teniendo en cuenta la siguiente gua de preguntas:

Qu importancia tiene el conteo en la construccin del nmero por parte de los nios y las nias?

En la accin de contar una determinada cantidad de objetos, cmo se evidencia en los nios y las nias los principios de conteo? En las diferentes acciones de contar que realizan los nios y las nias, explique los distintos niveles de organizacin y las diferentes fases de aprendizaje de la cantinela.

En las diferentes acciones de contar que realizan los nios y las nias, qu tipo de estrategias utilizan para reconocer las cantidades, contar y calcular?

Teniendo como base el numeral 3.1, explique los diferentes contextos de utilizacin del nmero.

4.4 Este taller y este documento qu elementos le aportan para su trabajo de matemticas con su grupo?

Documento N. 3La construccin del nmero naturalTomado de: Didctica de las matemticas. Preescolar. Coordinadora Mara del Carmen Chamorro. Pearson. Espaa. 2005

Contenidos5.1 Introduccin

5.2 Objetivos

5.3 Perspectiva histrica, corrientes y resultados

5.3.1 Introduccin

5.3.2 El problema de la conservacin de la cantidad

5.3.2.1. La cuotidad5.3.3.Los modelos matemticos de construccin del nmero natural5.4.El papel del conteo en la construccindel nmeroEl conteo y los conocimientos informales de los nios

Los principios de conteo de Gelman y Gallistel

5.5.Estructuracin de la cadena numrica verbal5.5.1. El sistema cognitivo que gobierna el tratamiento numrico

La adquisicin de la cantinela

Los distintos niveles de organizacin de la cantinela

Fases de aprendizaje de la cantinela

5.6.Niveles numricos y contestos de utilizacindel nmeroEl canteo sbito o subitizingContextos de utilizacin del nmero

5.7 La numeracin

5.8 Bibliografa

... Cunto es uno ms uno ms uno ms uno ms uno ms uno ms uno ms uno ms uno ms uno ms uno?No s respondi Alicia, Perd la cuenta.Al otro lado del espejo (Lewis Carroll)5.1. IntroduccinEs conocida de todos la frase de Leopold Krocneker: Dios hizo los nmeros naturales y el hombre hizo todo lo dems, que viene a expresar no tanto una creencia religiosa como el reconocimiento de la perfeccin que entraa la idea de nmero natural. Y es que, en efecto, los nmeros naturales, la idea primitiva de nmero, es una conquista histrica de un calado conceptual difcil de igualar.La idea de nmero, por mucho que se acompae del engaoso adjetivo de natural, es, como se ver a lo largo de la lectura de este captulo, de una enorme complejidad, por lo que no podemos esperar que los nios la construyan sin ayuda. Se trata, adems, de una construccin lenta y progresiva, que choca con la creencia social de que todo se reduce a saber recitar la serie de los nmeros en orden.El nio solo llega a la comprensin de la idea de nmero tras haber superado numerosas trampas perceptivas. Reconocer que seis elefantes representan la misma cantidad numrica que seis moscas es todo un reto para una mente infantil, que solo llega a comprender la naturaleza del nmero a travs de las mltiples cosas que ste le permite hacer. Por eso, el adulto, el profesor en particular, debe hacer una relectura del mundo que le rodea, en el que, como decan los pitagricos, casi todo es nmero, para descubrir que acciones rutinarias son solo posibles gracias a la existencia de la potente idea de nmero.As, saber con antelacin (esta es la clave), si tendremos bastantes naranjas para que cada miembro de la familia tome una de postre, es slo posible gracias a la existencia del nmero. Saber, antes de cobrar, si con el dinero que tenemos ahorrado en el banco y el sueldo del mes tendremos bastante para comprar los electrodomsticos de una cocina, o poder comprar las bombillas para todas las lmparas de la casa sin necesidad de desmontarlas y llevarlas con nosotros, son algunas de las muchas cosas triviales pero tiles que son posibles gracias a la idea de nmero. Sin el nmero nuestra vida cotidiana sera imposible, y estaramos condenados a inventarlo de nuevo o a volver a las cavernas.Si, como afirma Vergnaud, los conocimientos de los alumnos estn marcados por las situaciones que encuentran y dominan progresivamente, es de vital importancia proporcionar a los alumnos un amplio espectro de situaciones que reproduzcan artificialmente la gnesis de la idea de nmero natural. En el captulo 6 se proporcionarn numerosos ejemplos, que responden a la idea de que los conocimientos de los nios de esta edad son conocimientos en la accin, y tienen mucho que ver con el descubrimiento de procedimientos, adems de estar fuertemente contextualizados. Hoy sabemos que hay mucho conocimiento detrs de las acciones, y que hay toda una red semntica de acciones, tan compleja y estructurada como la de los conceptos.

Ahora bien, la construccin de dichas situaciones debe basarse en lo que sabemos de cmo se produce la conceptualizacin del nmero, en las etapas de aprendizaje por las que pasa el nio y en el conocimiento de los obstculos que encuentra y los errores que comete. Solo as se estar diseando y aplicando una gnesis productiva fundamentada en trabajos de investigacin, no en concepciones arcaicas practicadas durante decenios en las escuelas (por ejemplo, ensear el 1, despus el 2, despus el 3 y as sucesivamente, sin alterar el orden).Adquirir el concepto de nmero supone tambin ser capaz de pasar de representaciones analgicas de la cantidad, donde los smbolos utilizados estn en relacin con los objetos representados (cinco rayas para simbolizar cinco animales, tres dedos para representar tres personas, etc.), a representaciones convencionales cuya relacin con los objetos es arbitraria (usamos 3, o tres, o trois, como podamos usar cualquier otro smbolo o palabra para representar tres personas), y este paso no es trivial para los nios. Tambin es difcil comprender que la escritura convencional supone un modo de representacin ms potente y ms funcional que la analgica. Sabemos adems que la adquisicin por parte del nio del sistema de notacin numrica lleva aparejado un enriquecimiento de los conocimientos sobre el nmero, si bien necesita de un largo periodo de tiempo para su total comprensin.Por todo ello, y conscientes de las enormes barreras que el nio debe franquear para adquirir el concepto de nmero, nos proponemos una serie de objetivos.5.2. | Objetivos Conocer los principales problemas tericos surgidos en torno a la gnesis de la idea de nmero.

Analizar los conocimientos previos necesarios para construir el concepto de nmero.

Valorar el papel del conteo en la construccin del nmero.

Conocer los niveles de estructuracin de la cadena numrica verbal y las fases de adquisicin de la misma.

Diferenciar entre nmero cardinal y ordinal.

Reflexionar sobre los distintos contextos de utilizacin del nmero y los diferentes niveles numricos, en tanto que variables didcticas a considerar en el diseo de situaciones didcticas para el aprendizaje del nmero.

Valorar los conocimientos informales que poseen los nios en torno a la idea de nmero, buscando su relacin con los conocimientos institucionales que proporciona la escuela.

Conocer los distintos modelos matemticos de construccin del nmero natural.

5.3 Perspectiva histrica. Corrientes y resultados

5.3.1. IntroduccinSi hay un objetivo matemtico por excelencia en la Educacin Infantil, este es la construccin por parte del nio del concepto de nmero, sobre el que necesariamente van a basarse el resto de los conocimientos numricos del primer ciclo de la Educacin Primaria.Las investigaciones en torno a la gnesis del nmero y a su naturaleza son muy numerosas y variadas, y tienen su origen en los primeros trabajos de Piaget y Szeminska, de carcter estructuralista, publicados en 1941. La mayora de las investigaciones posteriores, que tienen como referente obligado los trabajos de Piaget, pueden ser reagrupadas en torno a dos orientaciones o perspectivas tericas: el cognitivismo de origen anglosajn, con el tratamiento de la informacin a la cabeza, y el neoestructuralismo.Los trabajos de Piaget y Szeminska son completados y reevaluados en la dcada de los sesenta por colaboradores del Centre International d'Epistmo-logie Gntique de Ginebra, entre los que se encuentran Beth, Papert, Grize, Greco y Morf. Todos estos trabajos han puesto de manifiesto que la construccin y evolucin de los sistemas normativos, que validan nuestros conocimientos de lo real, es idntica en el nio, el lgico o el matemtico, y que estos sistemas son inventados mucho antes de que puedan ser formalizados. En cuanto a la reevaluacin de los resultados de Piaget, muy cuestionados en diversos aspectos, se ha llevado a cabo a la luz de nuevos hechos experimentales, y de las distintas axiomatizaciones del nmero, centrndose en la hiptesis piagetiana de que la serie de nmeros se constituye como sntesis operatoria de la clasificacin y la seriacin.En lo que sigue pasaremos revista tanto a los trabajos de Piaget como a resultados posteriores que avalan o modifican tesis anteriores.5.3.2. El problema de la conservacin de la cantidadEl constructivismo de Piaget supone una ruptura tanto con el innesmo (las estructuras lgicas del individuo son innatas y forman parte del patrimonio gentico) como con el empirismo (la aportacin externa que viene a travs de los sentidos proporciona esas estructuras, que estaran en los objetos), y postula, bsicamente, que el nio construye las estructuras lgicas reconstruyendo y reestructurando lgicamente su entorno, en interaccin constante. Construye as dos modalidades de estructuras, las llamadas estructuras lgico-matemticas, que organizan los objetos discontinuos (seriacin, clasificacin y nmero), y las llamadas infralgicas, que organizan los objetos continuos (sustancia, peso, volumen, espacio, etc.). En la perspectiva constructivista los nios comparan, clasifican y ordenan en el espacio y en el tiempo, y gracias a estas acciones construyen sus conocimientos aritmticos, de manera que la experiencia del nio con los objetos, que slo juegan el papel de soporte, es necesaria para el descubrimiento del nmero, que es algo que no puede extraerse directamente de los objetos, en contra de lo que postula el empirismo.La conservacin es para Piaget la permanencia del objeto (nmero de elementos, sustancia slida o lquida, etc.), frente a un grupo de transformaciones (deformaciones, fraccionamiento, desplazamientos, etc.). Es decir, el reconocimiento de la igualdad, que requiere la construccin de invariantes, que, como veremos ms adelante, reposa sobre la construccin de la reversibilidad.La prueba clsica ms conocida de conservacin de las cantidades discretas es la siguiente. El experimentador dispone dos hileras, de siete fichas cada una, en correspondencia ptica, tal como sigue:Aooooooo

B o o o ooooy pregunta al nio si hay la misma cantidad de fichas rojas que de azules. Despus procede, a la vista del nio, a separar las fichas de una de las hileras hasta obtener una disposicin similar a la siguiente:Aooooooo

B o o o oooode manera que la correspondencia visual se rompa. Pregunta despus: hay ms rojas o ms azules?, cmo lo sabes? En otros casos, los nios son invitados a construir una hilera de fichas equivalente a una dada.Piaget encuentra cuatro niveles de conductas:1. Ausencia de correspondencia trmino a trmino. Se da en nios de edades comprendidas entre los 4 y 5 aos, y se caracteriza porque usando una intuicin simple tiene ms en cuenta la configuracin global y esttica de las hileras (longitud de la misma) que la cantidad de fichas. Los individuos de esta etapa no saben servirse de la correspondencia trmino a trmino para responder a la cuestin, y se hayan atrapados por las configuraciones figurativas de las fichas.2. Correspondencia trmino a trmino sin conservacin (5-6 aos). Si bien los nios son capaces de establecer una correspondencia trmino a trmino entre las fichas rojas y las azules, una vez que esta se rompe visualmente, porque las fichas se separan o se juntan, los individuos renuncian a la equivalencia numrica. Argumentan que hay ms fichas en la hilera B porque es ms larga, o bien en A porque las fichas estn ms juntas, segn se realice la centracin sobre uno u otro aspecto, longitud o densidad.3. Conservacin no duradera (en torno a los 7 aos). La conservacin depende de la transformacin realizada y del contexto, de manera que el individuo se muestra conservador en unos casos y en otros no. Segn Piaget, se trata de una etapa intermedia, por la que no pasan necesariamente todos los individuos; stos se encuentran sometidos a un conflicto, pues los datos emanados de la correspondencia trmino a trmino se contradicen con los ndices perceptivos, y la conservacin depende de si el individuo se centra en el resultado de la correspondencia trmino a trmino o en los ndices perceptivos.4. Conservacin necesaria (a partir de los 7 aos). El nio, a pesar de las transformaciones que pueden dar lugar a ndices perceptivos engaosos, afirma la conservacin de la cantidad, utilizando argumentos del tipo: Es parecido, no se ha aadido ni quitado nada, siempre es lo mismo, porque las fichas pueden volver a juntarse (o separarse, segn el caso), esta fila es ms larga pero en la otra las fichas estn ms juntas, etc. Respuestas que ponen en evidencia comportamientos de compensacin (longitud/densidad), o reversibilidad en la correspondencia (juntar/separar).Hay en esta etapa una especie de regulacin interna que hace que la centra-cin evolucione. As, el individuo es capaz de argumentar que si bien B es ms larga, en A las fichas estn ms juntas.Actividad1: Leer las experiencias relativas a la conservacin de las cantidades continuas de Piaget y Barbel Inhelder: El desarrollo de las cantidades en el nio.

5.3.2.1. La cuotidadEstudios posteriores de Pierre Greco han puesto de manifiesto que existe un estado intermedio entre la correspondencia trmino a trmino y la conservacin de la cantidad, en el que hay conservacin de lo que Greco ha denominado cuotidad o nmero contado {quotit en francs).Greco procede de la siguiente manera: en la prueba anterior de las fichas rojas y azules, se pide al nio que cuente las fichas que hay en A, se tapa B y se le pide que adivine, sin contar, cuntas hay en B. Despus, se le pide que cuente las fichas de B. Se le hace repetir el nmero de fichas encontrado para A y para B, que es el mismo. Se vuelve entonces a la situacin inicial, desplazando a continuacin las fichas de B, y se le pregunta: dnde hay ms, en A o en B?, cuntos hay en A y cuntos en B?Las respuestas obtenidas permiten, en primer lugar, diferenciar entre dos tipos de conservaciones: la relativa al nmero (la cuotidad), y la relativa a la cantidad. As, hay nios que prevn de forma acertada el nmero de fichas que habr en B, 7, si bien siguen diciendo que las 7 azules son ms grandes que las 7 rojas. Esta situacin, que puede parecer paradjica, es ms usual de lo que pudiera parecer, pues se da en el 20% de los nios de edades comprendidas entre 5 y 8 aos, que en el 75% de los casos dan juicios de no conservacin disociando cantidad y cuotidad. Segn Greco la conservacin de la cuotidad proviene de la accin de contar, que es utilizada muy tempranamente por los nios, y que es incluso aprendida como rito de carcter social. La cuotidad, a pesar de no tener un carcter enteramente cardinal, supone ya el carcter encajado de la serie numrica en el que se fundamentar despus la cardinacin operatoria.Como resultado de las diferentes experiencias llevadas a cabo, Greco afirma que hay una disociacin efectiva entre las conservaciones (de la cantidad o de la cuotidad) y el conteo instrumental. Ms adelante, define operacionalmente la cuotidad como la anticipacin numrica demandada, considerando tres niveles distintos de conservacin:I.No conservacin del nmero ni de la cantidad.II.No conservacin de la cantidad y conservacin del nmero.III.Conservacin del nmero y de la cantidad.Por tanto, un resultado interesante es:El nmero contado, la cuotidad, se conserva antes que la cantidad.Piaget y sus colaboradores estudian tambin el desarrollo y evolucin de la correspondencia trmino a trmino, y la seriacin, encontrando las mismas etapas que para la conservacin numrica.Investigaciones posteriores han confirmado la veracidad de esta afirmacin, por lo que puede afirmarse lo siguiente:Existe un estrecho paralelismo, en las tres etapas del desarrollo, de las clasificaciones, las seriaciones y el nmero (Beth & Piaget).Adems, los errores cometidos por los individuos en los estadios I y II de construccin del nmero se corresponden con dificultades del mismo tipo en clasificaciones y seriaciones (Piaget & Inhelder, Greco & Morf). Sin embargo, la mayora de las investigaciones posteriores a las de Piaget, parecen mostrar que no hay sincrona entre la adquisicin de la conservacin numrica y la seriacin y la inclusin; la adquisicin de esta ltima, as como de la transitividad (6 y 7 aos), sera posterior a la conservacin del nmero (5-6 aos).La afirmacin que acabamos de subrayar sirve a Piaget para establecer un hecho de gran trascendencia para la actuacin didctica en el aula:La serie de los nmeros se constituye en tanto que sntesis de la clasificacin y la ordenacin (Beth & Piaget).Un resultado interesante, debido tambin a Greco, es el hecho de que la conservacin de la desigualdad es ms resistente a las transformaciones que dan lugar a ndices perceptivos engaosos que la conservacin de la igualdad; es decir, los nios conservan ms fcilmente la desigualdad numrica que la igualdad numrica. Una posible explicacin es que, para romper la desigualdad se necesita realizar una transformacin de aumento o de disminucin hasta obtener la igualdad. Si A < B, hay que aadir objetos a A, o quitar objetos de B, para llegar a la situacin A = B, transformaciones pertinentes desde un punto de vista cuantitativo, en tanto que las transformaciones espaciales (separar, juntar, desplazar, etc.) no son pertinentes en este sentido.Como consecuencia, desde un punto de vista didctico, sera interesante disear aprendizajes basados en transformaciones aditivas o sustractivas, sobre las que los nios tienen conocimientos muy precoces, anteriores a la conservacin, de manera que los juicios de igualdad estuvieran basados en el tipo de transformacin llevada a cabo, aadir y quitar, y en la reversibilidad de tales acciones.5.3.3. Los modelos matemticos de construccin del nmero naturalSi bien nuestro objetivo no es hacer una discusin matemtica de los posibles modelos de construccin del nmero natural, razn por la cual no nos extenderemos demasiado (parte de esta informacin se incluye en el anexo), s nos parece oportuno estudiar el posible paralelismo entre Matemticas-Psicologa y Didctica, sobre todo con vistas a fundamentar una posible ingeniera didctica que recree la gnesis artificial del saber (ver captulo 2), pues slo mostrando la complejidad matemtica del concepto de nmero podrn apreciarse los mltiples aspectos que deben abordarse didcticamente, y la gran diferencia que existe entre el conocimiento social del nmero y el conocimiento lgico-matemtico.Si se comparan las tesis piagetianas con las distintas axiomticas del nmero natural: Peano, Quine, Poincar, Rusell..., se encuentra una cierta correspondencia con los procesos genticos, si bien son de naturaleza distinta. As, por ejemplo, la iteracin n+1 es construida lentamente por los individuos, de manera que en torno a los 8 aos es utilizada tan solo por un 70 % de los nios, lo que viene a demostrar que los principios innestas dePoincar, en los que la iteracin es un postulado primitivo, estn lejos del funcionamiento cognitivo real.Por otra parte, no lia podido verificarse la independencia entre ordinales y la serie de nmeros postulada por Russel y Whitehead, por lo que parece improbable que los mecanismos formadores de los cardinales y ordinales sean independientes. Las componentes lgicas del nmero dan lugar a una sntesis nueva que va ms all de la composicin de clases o la composicin serial, es la sntesis de las dos a la vez. El nmero no es ni un simple sistema de inclusin de clases, ni una simple seriacin, sino una sntesis indisociable de la inclusin y la seriacin.Russell privilegia la idea de cardinal, entendiendo el nmero natural como cualidad de una clase de conjuntos equipotentes (dos conjuntos son equipolentes o coordinables si se puede establecer una aplicacin biyectiva entre ambos). En la axiomtica de Peano (ver anexo), los cardinales y los ordinales se corresponden necesariamente, e implican un elemento de recurrencia acorde con los datos experimentales y la interpretacin de la epistemologa gentica. Estn presentes tanto la idea de equipotencia como la de siguiente de un nmero (funcin sucesor).La posicin de los distintos matemticos y su relacin con las actividades reales del sujeto los resume Droz as:Actividad del sujetoEl nmero esPerspectiva terica

ClasificarCardinalCantor, Frege, Russell

Comparar, seriarOrdinalPeano, Neumann, Weyl

Denotar y componerAlgebraicoHilbert

Denotar y contarConstructivoLorenzen

TransformarOperador/raznEuclides, Euler, Herbart

ContarProducto del conteoE. Cassirer

El examen detenido que este autor hace de las teoras anteriores le lleva a varias conclusiones que compartimos completamente:

Ni filsofos ni matemticos pueden decir de manera unvoca qu son, de dnde vienen y para qu sirven los nmeros.

Los nios no construyen una nocin del nmero ni una prctica del nmero. Hay nociones y usos mltiples del nmero que se solapan, se completan, se excluyen, etc.

Los investigadores psicogenticos se reducen a una nica perspectiva que no permite dar cuenta de toda la riqueza del pensamiento y las actividades infantiles.

Actividad 2: Confeccionar una lista de las ocasiones en las que usamos el nmero a lo largo de un da y con qu fines, estableciendo el carcter cardinal, ordinal u otro, de cada utilizacin.5.4.

El papel del conteo en la construccin del nmeroAunque la unanimidad entre los distintos autores est lejos de alcanzarse, hay una tendencia generalizada a considerar el conteo como una actividad importante para la adquisicin del nmero. Sin embargo, las investigaciones pia-getianas no han tomado en la consideracin que se debiera el aspecto cultural del nmero, olvidando que ste es el resultado de una evolucin sociohistrica. De hecho, una de las crticas ms extendidas de los resultados de la escuela de Piaget tiene que ver con la poca importancia dada al conteo, lo que consider una mera habilidad social sin contenido lgico-matemtico.Pero ms all de la parte mecnica e imitativa de los primeros recitados de la serie numrica verbal -la cantinela-, muchos autores coinciden al considerar que el conteo elaborado est estrechamente ligado al desarrollo cognitivo, y que saber contar puede conducir al descubrimiento del esquema que permite generar la serie de palabras-nmero.El importante papel concedido, primero por Greco y despus por Gelman, al conteo y a la correspondencia uno a uno, est basado en la precocidad de la conservacin de la cuotidad (nmero contado), y en el papel que esta juega en la formacin numrica. Pues las acciones del sujeto que utiliza una numeracin preaprendida, los gestos, las miradas que verifican si la correspondencia trmino a trmino est completa, introducen un orden implcito, que juega, sin embargo, un papel esencial en la formacin numrica: es, en efecto, el fundamento de lo diferente, sin el cual los conjuntos no seran ms que clases o categoras.El conteo en los nios ms pequeos, considerado por Piaget como meramente verbal, y por tanto subestimado, guarda una gran relacin con la cardi-nacin; aunque, como veremos ms adelante, los nios comienzan utilizando las palabras-nmero en contextos muy distintos, tanto de tipo simblico como no numrico y por tanto con significaciones muy distintas, y terminan por elaborar las conexiones entre estas significaciones y los distintos sentidos del nmero, y ello, a lo largo de un periodo que va de los 2 a los 8 aos. La relacin entre las conductas de conteo y las competencias numricas sigue siendo un tema de estudio. No obstante lo anterior, se puede afirmar lo siguiente:La tesis piagetiana de la insuficiencia del conteo como fundamento para la comprensin del nmero sigue en pie.5.4.1. El conteo y los conocimientos informales de los niosCon una perspectiva de enseanza, resulta vital estudiar la relacin entre el desarrollo de conceptos matemticos y la adquisicin de procedimientos numricos; por eso, muchos autores (Gelman y Gallistel, Resnick, Ford, Baroody), se han interesado por la manera de contar de los nios, ya que es para muchos un ndice de la riqueza de conocimientos matemticos en las primeras edades as como un factor potencial del desarrollo de las conceptualizaciones numricas.Para Rienaud, aunque los nios pequeos no sean capaces de expresar en trminos abstractos la nocin de conservacin, de hecho se comportan como si reconocieran la invariancia del nmero a pesar de los cambios perceptivos realizados en las colecciones, siempre y cuando se trate de colecciones pequeas, lo que es avalado por Resnick y Ford. Igualmente, desde edades muy tempranas, en cuanto el lenguaje aparece, los nios son capaces de actividades de conteo con resultado correcto, lo que est de acuerdo con los presupuestos expresados por Gelman y otros autores ya reseados. Para Gelman, la actitud de contar es natural y universal, igual que la palabra, y se constata que las poblaciones no escolarizadas son aptas para realizar clculos elementales simples.Para muchos autores (Rienaud, Baroody, Kamii), los nios poseen a partir de los tres aos la intuicin global de las operaciones elementales de adicin y sustraccin, siempre de forma no formalizada. As, los nios no tienen dificultades para reconocer que la adicin o sustraccin de objetos modifica la cantidad y la equivalencia entre dos colecciones equipotentes. Los nios usan, al principio, procedimientos mecnicos muy poco elaborados para contar, procedimientos que mejoran a la vez que van construyendo significativamente los distintos usos y contextos en los que el nmero es pertinente. Dicho de otra manera, para comprender lo que es el nmero hay que trabajar con l en una gran variedad de situaciones, y muchas de estas situaciones, que se encuentran fuera de la escuela, enfrentan al nio con la tarea de contar de una manera informal.Sin embargo, la matemtica informal, resultado de la elaboracin de la matemtica intuitiva, tiene sus limitaciones. Es imprecisa y poco til cuando las cantidades son grandes, requiere mucho tiempo y esfuerzo. Y es precisamente por sus limitaciones por lo que debe ser el punto de partida de aprendizajes ms formales, de manera que los alumnos puedan apreciar la necesidad y las ventajas de disponer de procedimientos ms formales, que generalmente necesitan el uso de signos especficamente matemticos, que encuentran as su razn de ser.La matemtica informal de los nios es el paso intermedio crucial entre su conocimiento intuitivo, limitado e impreciso y basado en su percepcin directa, y la matemtica poderosa y precisa basada en smbolos abstractos que se imparte en la escuela.5.4.2. Los principios de conteo de Gelman y GallistelSegn Gelman, el conteo es el medio por el cual el nio se representa el nmero de elementos de un conjunto dado y razona sobre las cantidades y las transformaciones aditivas y sustractivas. Las capacidades de conteo y razonamiento numrico son, como ya hemos dicho, muy precoces, y Gelman mantiene que si a veces el nio fracasa en la tarea de contar, se debe sobre todo a los condicionamientos ligados a la tarea. As, las acciones materiales que hay que realizar para que se pueda contar una coleccin: separar los elementos contados de los que quedan por contar, ir marcando los elementos ya contados, situar los elementos en una disposicin espacial que permita la identificacin de cada elemento, etc., lo que llamamos enumeracin^ son tareas complejas para los nios en edad preescolar, que carecen de estas competencias procedimentales.A pesar de lo anterior, Briand ha probado que los conocimientos enumerativos son ignorados, tanto por las instituciones escolares como por los enseantes, que no hacen ninguna transposicin didctica de estos saberes, que se convierten as en objetos didcticamente invisibles. Como la institucin escolar exige de una forma u otra que el alumno sepa contar, y por tanto enumerar, estos conocimientos quedan bajo la responsabilidad del alumno, quien deber adquirirlos mediante sus actividades sociales y familiares fuera de la escuela.Actividad 3: Examinar varios libros escolares de los niveles de Educacin Infantil y primer ciclo de Educacin Primaria, y comprobar la afirmacin anterior.Una consecuencia de lo anterior es lo siguiente:Deben disearse situaciones didcticas especficas para la enseanza de la enumeracin.Puntear, tocar los objetos o desplazarlos a medida que se van contando supone, como seala Fuson, la necesidad de fijar la vista en un objeto concreto, aislarlo en un punto particular del espacio y en un momento particular de tiempo, lo que crea unidades espacio-temporales que permiten la correspondencia trmino a trmino de la que hablaremos a continuacin.Los llamados principios de Gelman y Gallistel expresan las competencias que posee un individuo cuando tiene que hacer frente a la tarea de contar, y son los cinco que siguen:Principio de correspondencia trmino a trminoCada elemento de la coleccin que se va a contar debe corresponderse, de manera univoca, con una, y slo una, palabra-nmero de la cantinela.Este principio necesita, de manera implcita, que el alumno sepa hacer una correcta tarea de enumeracin que le permita no dejar elementos sin contar, o contar otro varias veces. Tericamente, tal y como ocurre con las cantinelas infantiles, es posible contar con una lista cualquiera de palabras distintas a la habitual, siempre que estas no se repitan y estn ordenadas; de hecho, cada lengua utiliza una lista diferente de palabras, lista que se aprende antes de manera so-ciocultural y sin significacin matemtica alguna, como quien aprende de memoria la letra de una cancin escrita en un idioma que desconoce.Muchos de los errores de conteo que cometen los nios se deben a que no respetan este principio, debido a la falta de pericia y entrenamiento en tcnicas de enumeracin. Muchos autores consideran que este principio no es dominado antes de los 4 aos.Principio de orden estableLa cantinela que escojamos para contar debe ser recitada siempre de la misma forma, siguiendo un orden estable. Es evidente que si contamos la coleccin con la cantinela habitual obtendramos cinco, en tanto que si mi cantinela fuese: uno, dos, tres, cinco, cuatro, el resultado sera cuatro. La cantinela usada debe ser siempre la misma y en el mismo orden; pues, aunque en principio la cantinela podra ser cualquiera, por necesidades de comunicacin todos usamos la misma.Este principio tiene por objeto etiquetar una coleccin de manera que pueda ser diferenciada de otras, razn por la cual las palabras-nmero de la cantinela deben ser necesariamente distintas, sin que una misma palabra pueda ser reutilizada.El aprendizaje de la serie numrica estable requiere tiempo, y es necesario esperar a los 4 aos y medio para que el nio pueda repetir la serie de nmeros hasta el 10 de forma correcta. Hay que tener en cuenta, sin embargo, que los aprendizajes numricos son muy variables de unos nios a otros, pues no hay que olvidar que el nmero tiene una componente sociocultural importante.Principio de abstraccinContar una coleccin supone interesarse solo por el aspecto cuantitativo de la misma, dejando de lado las caractersticas fsicas de los objetos contados. Por esa razn, las colecciones A y B tienen el mismo cardinal, y ello con independencia de que las bolas de A sean rojas y las de B azules, y sin importar si tienen diferente tamao. A BEn realidad, los nios no conservadores, que se dejan confundir por ndices perceptivos engaosos, ponen de manifiesto en algunos casos la transgresin de este principio. As, diran que hay ms en B, porque las bolas azules son ms grandes que las rojas, lo que supone tomar en consideracin aspectos no determinantes para la cardinalizacin.Principio de no pertinencia del ordenEl nmero obtenido al contar una coleccin no depende del orden en el que se enumeran sus elementos. Los elementos de una coleccin pueden ser contados en el orden en que se desee, puede empezarse por donde se desee, el orden no es pertinente, siempre se obtendr el mismo resultado.Cuando al contar el nio respeta los cuatro principios enumerados hasta ahora: correspondencia trmino a trmino, orden estable, abstraccin y no pertinencia del orden, se dice que hace un conteo numerado. Para reconocer que el nio hace un conteo, se requiere an otro principio, quizs el ms importante desde el punto de vista de la comprensin y significacin de lo que supone el hecho de contar.Los nios que segn Greco se encuentran en el estadio II (no conservacin de la cantidad y conservacin del nmero), en el que hay conservacin de la cuotidad, respetan los cuatro principios anteriores, no as el siguiente principio. Otros autores, anglosajones fundamentalmente, utilizan la expresin regla del ltimo nmero pronunciado, para referirse a la conducta de muchos nios que responden a la pregunta cuntos? con el ltimo nmero contado, sin que esto implique la comprensin del principio de cardinalidad al que nos referiremos a continuacin.Principio de cardinalidad o cardinalizacinEl nmero enunciado en ltimo lugar no representa nicamente al elemento correspondiente, sino tambin al total de la coleccin. As, seis no slo es la palabra-nmero que en la enumeracin corresponde a la bola negra, seis representa a la totalidad de la coleccin, es el cardinal de la misma. Segn Fuson esta regla precede a la comprensin del principio cardinal, y podra tener su origen en la imitacin de la actividad sociocultural de contar.

uno dostrescuatro cinco seisLos nios que aplican la regla del ltimo nmero pronunciado contestan seis si se les pregunta cuntas bolas hay, y cuando se les pide que muestren los seis, sealan la bola negra.La adquisicin del principio de cardinalidad supone dar significacin cardinal a los smbolos numricos, y se produce entre los 4 y 5 aos, dependiendo del nivel de estructuracin de la cantinela en que se encuentre el nio, aspecto que abordaremos a continuacin.La opinin ms extendida entre los investigadores es que las estructuras mentales subyacentes al conteo se construyen gradualmente, a medida que el nio desarrolla sus habilidades de conteo, si bien algunos de los principios, como el de no pertinencia del orden, parece que se alcanzan antes que otros, no as el de cardinalidad que es el ms tardo. En todo caso, hay que sealar que la prctica del conteo por s sola no es suficiente para adquirir la conservacin del nmero, pero s puede dar lugar a la conservacin de la cuotidad.5.5. Estructuracin de la cadena numrica verbal5.5.1. El sistema cognitivo que gobierna el tratamiento numricoComo analizaremos ms adelante, algunos autores (Mc.Closky, Caramazza, Basili) consideran que la organizacin cognitiva, que organiza el tratamiento numrico, comporta tres mdulos:Un sistema de comprensin (C) Designaciones escritas

Designaciones oralesDesignaciones orales Designaciones escritasConocimiento smbolos de las operaciones Procedimientos de clculo .Hechos numricos archivados en M.L.T.

Un sistema de produccin (P)Un sistema de clculo (Ca)Los dos primeros mdulos, C y P, se subdividen a su vez en dos partes, una relativa a las designaciones escritas de los nmeros, las cifras rabes, y otra relativa a las designaciones orales, la cantinela.El mdulo Ca distingue entre la comprensin de los smbolos de las operaciones numricas, el manejo de procedimientos de clculo (no slo algoritmos, sino tambin tcnicas artesanales o informales de clculo), y la necesidad de disponer de hechos numricos archivados en la memoria, de manera que para recuperar un resultado no sea necesario rehacerlo (por ejemplo, tener que hacer 3 + 3 + 3 + 3 para encontrar 3x4).Se hace una clara diferenciacin entre las designaciones escritas y las desig

Numeracin escritaNumeracin oral

Sistema de numeracin regularIrregular, sus irregularidades varan de una lengua a otra (once, doce, trece...).

Base 10.Varias bases auxiliares (veinte, treinta..., ciento, mil, diez mil...).

Mismos smbolos y designaciones con independencia del idioma.Cambian segn la lengua, no solo en el nombre sino en la estructura.

Actividad 4: Confeccionar una lista de todas las irregularidades de la cantinela en espaol hasta el milln, poniendo en paralelo el nombre que correspondera si fuese regular, y el usado. Buscar tambin las reglas para generar las palabras-nmero en espaol.Otros autores, como Dehane, hablan de un triple cdigo: Analgico: permite representarse el orden de magnitud de los nmeros, as como la aprehensin de la numerosidad.

Visual: imagen visual de las cifras rabes que permite la lectura y escritura de los nmeros.

Verbal auditivo: cadena numrica verbal, dependiente del tratamiento lingstico.

Estos cdigos seran utilizados por el nio en funcin de la tarea, siempre con posibilidad de traduccin de un cdigo a otro.Una descripcin como la anterior permite, por ejemplo, dar cuenta de las diferentes patologas de aprendizaje que afectan, muy a menudo, slo a ciertos aspectos de los anteriormente citados, que pueden funcionar disociadamente unos de otros. Segn lo anterior:Est perfectamente justificado dedicar en la escuela un espacio especfico para el aprendizaje de la cadena numrica verbal y no dejarla bajo la responsabilidad del alumno y de sus aprendizajes privados, ayudndole en el descubrimiento de las reglas de formacin de las expresiones matemticas verbales.5.5.2. La adquisicin de la cantinelaEn todo caso, nos interesa saber cmo adquieren los nios los cdigos visuales y auditivos, es decir, las designaciones orales y escritas de los nmeros.Sabemos que la construccin de la serie numrica verbal es laboriosa, comienza hacia los dos aos y no termina hasta el final del primer ao de Educacin Primaria, si bien la edad y el tiempo de adquisicin son muy variables de un nio a otro, dependiendo de factores como la interaccin social y la prctica extraescolar.Aunque los nios al principio recitan la cantinela, cuentan sin ningn significado cardinal. Tomando en consideracin las aportaciones de Vigotsky sobre la relacin entre pensamiento y lenguaje, habra que pensar que, en la medida en que el lenguaje se interioriza, esto permite comenzar la construccin inicial de la idea de cardinal, de manera que la cardinalidad queda posteriormente integrada en el conteo, pasndose de un recitado mecnico a una enumeracin basada en la cardinalidad.La mayora de los trabajos parten del postulado de que el nio efecta, casi de golpe, una estructuracin del sistema verbal numrico a partir de la base 10, lo que se ha manifestado como dudoso en ciertos trabajos realizados con la numeracin, inglesa y francesa, en las que al igual que en la espaola hay irregularidades, en nuestro caso en el 10 y el 15, lo que impide reestructurar dichos nmeros a partir del 10; en el caso de la numeracin japonesa, parece que la base 5 juega un papel importante durante un tiempo, lo que est en relacin con el uso de los dedos como colecciones testigo. El hecho de usar estas colecciones testigo, los dedos en particular, es para autores como Brissiaud una preparacin para el clculo pensado, que tiene a su vez como misin extender la red de relaciones numricas que se archivarn en la M.L.T.Sabemos que la serie numrica se construye a trozos: De 1 a 7, la serie se estructura con coordinacin del carcter sucesivo y la iteracin n + 1 (para encontrar el nmero que sigue sabemos que hay que aadir uno).

De 8 a 15, se trata de una serie ordenada de trminos equidistantes. Hay correspondencia entre cardinal y ordinal (el nmero que ocupa el undcimo lugar corresponde a una coleccin de cardinal 11). El nio no sabe usar la iteracin para encontrar el siguiente de un nmero.

- De 15 a 30, manteniendo durante mucho tiempo un mero carcter de orden serial, sin aritmetizar, sin reconocimiento de la relacin entre iteracin y orden. As, para encontrar el siguiente de un nmero, los nios se ven obligados a comenzar el recitado de la serie desde 1.Hay que pensar que la construccin de la serie numrica reposa sobre principios lgicos: esquemas de conteo perceptivo y figurativo, nmeros contenidos unos en otros, primero implcitamente y despus explcitamente, hasta constituir lo que Fuson caracteriza como serie numrica encajada, seriada, cardi-nalizada y unitizada, de la que hablaremos ms adelante.5.5.3. Los distintos niveles de organizacin de la cantinelaLos resultados ms interesantes se deben a la investigadora norteamericana Karen Fuson, que nos presenta una secuencia de desarrollo que toma en consideracin tres aspectos: el nombre de los nmeros, su estructuracin y las prcticas de conteo asociadas. Distingue cinco niveles:I.Nivel repetitivo. La cantinela es un todo: unodostrescuatrocincoseis... in-diferenciado, las palabras-nmero forman parte de una secuencia que no puede romperse. Los nmeros carecen de individualidad. No hay significacin cardinal, ordinal o aritmtica de ningn tipo. La serie puede ser recitada como cualquier otra cantinela infantil, aunque no haya ninguna coleccin que contar, fuera de todo contexto numrico. Cuando se cuenta en este nivel rara vez se respeta el principio de correspondencia trmino a trmino.II.Nivel incortable. La cantinela se compone de palabras individualizadas, que solo pueden ser recitadas en escrupuloso orden. El recitado no puede empezarse en cualquier nmero, la cadena es un todo incortable. Hay ya, sin embargo, una cierta significacin cardinal y ordinal del conteo, se tiene conciencia de que llegar ms lejos en el recitado significa una mayor cantidad. El nio empieza a tener la posibilidad de realizar una correspondencia trmino a trmino, siempre empezando por uno, y con enormes dificultades para pararse en el recitado una vez contados todos los elementos de la coleccin, pues llevar el control de dnde pararse supone una carga cognitiva muy pesada. La serie solo puede ser recitada partiendo de uno. El nio puede empezar a resolverproblemas sencillos, siempre verbales, de carcter aditivo y sustractivo. Puede responder a la pregunta