Entrehierros Prot

c© Rafael R. Boix y Francisco Medina 1

Campo magnético en el entrehierrode un electroimán y de un imán permanenteConsideremos un anillo

toroidal de un material fe-rromagnético blando en el casoen que el espesor del anilloes mucho menor que su radiomedio (esto es, se cumple quea2 − a1 <<< am = (a1 + a2)/2,siendo a1 y a2 los radios interiorexterior del anillo respectiva-mente). Supongamos que elciclo de histéresis del materialferromagnético blando es muyestrecho de manera que el ferro-magnético se puede modelar co-mo un material lineal, isótropo y homogéneo de permeabilidadµ, siendo µ >>> µ0.

Imaginemos que alrededor del anillo toroidal se realiza un bobi-nado uniforme de N vueltas de un hilo conductor esmaltado, yque por este hilo conductor se hace circular una corriente esta-cionaria de intensidad I . Si hacemos coincidir el eje de revolu-ción del anillo toroidal con el eje z de un sistema de coordenadas(vea la �gura), debido a la simetría de la estructura, la intensi-dad magnética en el interior del ferromagnético blando será deltipo Hfb = H fb

ϕ (ρ)uϕ. Si ahora aplicamos la ley de Ampère enpresencia de medios materiales a una línea de campo magnéticoΓ situada dentro del ferromagnético blando, se llega a que Hfb


viene dado por:∮

ΓHfb · dr = NI =⇒ H fb

ϕ (ρ)2πρ = NI

=⇒ H fbϕ (ρ) =

NI

2πρ=⇒ Hfb =

NI

2πρuϕ (1)

En la ecuación (1) la coordenada ρ se mantiene dentro delintervalo a1 ≤ ρ ≤ a2, y como a2 − a1 <<< a1, el módulode Hfb no va a experimentar variaciones apreciables dentro delanillo toroidal. Por tanto, no cometeremos errores importantessi suponemos que H fb

ϕ (ρ) es aproximadamente constante dentrodel anillo toroidal e igual al valor que toma cuando ρ = am

(esto es, igual al valor que toma en el punto medio del intervaloa1 ≤ ρ ≤ a2), o lo que es lo mismo, si aproximamos Hfb mediantela exprexión:

Hfb ≈ NI

2πamuϕ (2)

De acuerdo con la ecuación (2), el campo magnético dentro delanillo toroidal tendrá una expresión del tipo:

Bfb = µHfb ≈ µNI

2πamuϕ (3)

con lo cual, el módulo del campo magnético también será apro-ximadamente constante dentro del anillo toroidal.

Aplicando la ley de Ampère en presencia de medios materia-les, es fácil comprobar que la intensidad magnética y el campomagnético son nulos en el exterior del anillo toroidal.


Consideremos ahora una piezadel mismo material ferromag-nético blando (para el cualµ >>> µ0) con forma de mar-co cuadrado de sección transver-sal cuadrada o circular. Supon-gamos que se lleva a cabo unbobinado de N vueltas de hi-lo conductor esmaltado alrede-dor de uno de los brazos delmarco cuadrado, y que se hacepasar una corriente estacionariade intensidad I a través de di-cho bobinado (vea la �gura ad-junta).

Tal y como se muestra en la �gura, las líneas de campo mag-nético atravesarán el interior del bobinado y se cerrarán pasando,bien por el marco ferromagnético, bien por el aire (a diferencia delo que ocurre con el anillo toroidal, debido a la falta de simetría,en este caso existe campo magnético de fuga que pasa a travésdel aire). No obstante, la densidad de líneas de campo magnéticoen el aire será mucho menor que en el interior del marco ferro-magnético. Para explicar esto, hay que pensar que al atravesarla interfase ferromagnético/aire, las líneas de campo magnéticosalen perpendiculares a la super�cie del marco ferromagnético(debido a que µ >>> µ0), y eso da lugar a que las líneas decampo magnético estén mucho más separadas en el aire que enel material ferromagnético (vea la �gura). Al ser mucho menor


la densidad de líneas de campo magnético en el aire, tambiénserá mucho menor el campo magnético en el aire que en el marcoferromagnético, y podemos suponer que el campo magnético enel aire es despreciable frente al que existe en el marco ferromag-nético (esta aproximación simpli�ca mucho el cálculo del campomagnético creado por el bobinado realizado alrededor del marcoferromagnético), tal y como se muestra en la �gura adjunta.

Si suponemos además queel espesor del marco cuadra-do es mucho menor que susdimensiones (esto es, si d2 −d1 <<< d1 + d2, siendo4d2 el perímetro exterior delmarco cuadrado y 4d1, elperímetro interior), por com-paración con lo que hemosvisto que ocurre con el ani-llo toroidal, podemos supo-ner también que los módulosde la intensidad magnética y del campo magnético se mantienenaproximadamente constantes en el interior del marco ferromag-nético.

Sea ucm un vector unitario que nos da la dirección y sentidodel campo magnético (y en consecuencia, de la intensidad mag-nética) en cada punto del marco ferromagnético, sea Γ una líneade campo magnético que pasa por los puntos medios de todas lassecciones transversales que se pueden de�nir en el marco ferro-magnético, y sea lm = 2(d1 + d2) la longitud de Γ. Si aplicamos


la ley de Ampère en presencia de medios materiales a la curvaΓ, podemos obtener una expresión para la intensidad magnéticaHfb = Hfbucm en el interior del marco ferromagnético. Operando,se obtiene:

∮

ΓHfb · dr = NI =⇒ Hfblm = NI =⇒ Hfb =

NI

lm(4)

Con lo cual, la intensidad magnética en el interior del marcoferromagnético vendrá dada por:

Hfb =NI

lmucm (5)

Y, a su vez, el campo magnético vendrá dado por:

Bfb =µNI

lmucm (6)

De acuerdo con la ecuación (6), si Amc es el área de la seccióntransversal de los brazos del marco cuadrado, el �ujo magnéticoa través de dicha sección transversal valdrá:

Φm =∫

SBfb · dS =

µAmc

lmNI (7)

Si ahora de�nimos la reluctancia del marco cuadrado comoR = lm/µAmc (R se mide en (Henrio)−1 en el sistema interna-cional), y de�nimos también la fuerza magnetomotriz del bobi-nado como M = NI , la ecuación (7) se puede reescribir como:

M = RΦm (8)

Consideremos ahora un generador de corriente estacionaria yresistencia interna despreciable, y conectemos el generador a unresistor. La ecuación (8) es muy similar a la que relaciona la


fuerza electromotriz del generador con la resistencia del resis-tor y con la intensidad de corriente que atraviesa a generador yresistor. De hecho, en la ecuación (8) la fuerza magnetomotrizdel bobinado juega el papel de la fuerza electromotriz del ge-nerador, la reluctancia del marco cuadrado juega el papel de laresistencia del resistor, y el �ujo magnético a través del marcocuadrado juega el papel de la intensidad de corriente que circulapor el resistor. Piénsese, por ejemplo, que el �ujo magnético semantiene constante a través de todas las secciones transversalesdel marco cuadrado (por ser el campo magnético solenoidal) de lamisma manera que la intensidad de corriente (�ujo de la densidadde corriente, que también es un campo vectorial solenoidal paracorrientes estacionarias) se mantiene constante a lo largo del cir-cuito formado por el generador y el resistor. Además, la fórmulapara la reluctancia del marco es muy similar a la fórmula parala resistencia de un hilo conductor, jugando la permeabilidad enla fórmula de la reluctancia el mismo papel que juega la conduc-tividad eléctrica en la fórmula de la resistencia. Debido a todaslas analogías que se han mencionado, al conjunto formado por elmarco cuadrado y el bobinado (el bobinado actúa como genera-dor del campo magnético que atraviesa el marco cuadrado) se leconoce con el nombre de circuito magnético.

En los laboratorios de Física, a veces es necesario disponer deregiones accesibles en las que existe un campo magnético aproxi-madamente uniforme (para poder colocar en dichas regiones unamuestra de un material que es objeto de estudio, para colocar unaespira conductora por la que circula corriente, etc.). Si cortamosun trozo pequeño del marco cuadrado de ferromagnético blando


al que antes se ha hecho re-ferencia (vea la �gura), elhueco de aire que queda enel marco (también conoci-do como entrehierro) consti-tuye una de esas regionesaccesibles (donde el campomagnético va a ser aproxi-madamente uniforme, siem-pre y cuando la longitud delhueco sea pequeña frente alas dimensiones de la seccióntransversal del marco cua-drado), y a la con�guración resultante se la conoce como elec-troimán.

Sea la la longitud del hueco de aire practicado en el marco fe-rromagnético del electroimán (vea la �gura), y supongamos quese cumple que la <<< (d2−d1)/2 <<< (d2+d1)/2, o lo que es lomismo, que la longitud del hueco de aire es mucho menor que lasdimensiones de la sección transversal del marco ferromagnético,y que estas dimensiones son a su vez mucho menores que lasdimensiones del marco. En esas condiciones, no sólo el módulo delvector intensidad magnética dentro del marco de ferromagnéticoblando, Hfb = Hfbucm, será aproximadamente constante, sinoque además el módulo del vector intensidad magnética dentrodel hueco de aire, Ha = Haucm, también será aproximadamente


constante (téngase en cuenta que los efectos de borde en la tran-sición del marco ferromagnético al hueco de aire serán mínimosde la misma manera que son mínimos los efectos de borde en uncondensador de placas paralelas cuando la separación entre lasplacas es mucho menor que las dimensiones de las mismas). Sealfb = 2(d1 + d2)− la el perímetro medio del marco ferromagnéti-co del electroimán, y sea Γ una línea de campo magnético quepasa por los puntos medios de todas las secciones transversalesque se pueden de�nir en el marco ferromagnético. Si aplicamosla ley de Ampère en presencia de medios materiales a la curva Γ,obtenemos la siguiente ecuación:

∮

ΓHfb · dr = NI =⇒ Hfblfb + Hala = NI (9)

Por otro lado, la componente normal del campo magnéticodebe ser continua en la interfases existentes entre el marco ferro-magnético del electroimán y el hueco de aire, con lo cual, se tieneque cumplir que:

Bfb · ni = Ba · ni =⇒ µHfb = µ0Ha (10)donde ni es un vector unitario normal a las interfases marco-hueco, y donde se ha supuesto que la permeabilidad del aire valeµ0. De la ecuación (10), se deduce que Hfb = µ0

µ Ha, y comoµ >>> µ0, se va a cumplir que Hfb <<< Ha, o lo que es lomismo, que la intensidad magnética en el marco ferromagnéticoes mucho menor que en el hueco de aire. Si despejamos Hfb enfunción de Ha en la ecuación (10) y sustituimos en (9), se llegaa la siguiente expresión para la intensidad magnética en el huecode aire:

Ha =NI

la + µ0µ lfb

ucm (11)


y, en consecuencia, el campo magnético en el hueco de aire valdrá:

Ba = µ0Ha =µ0NI

la + µ0µ lfb

ucm (12)

Por otro lado, el �ujo magnético a través de la sección transver-sal de los brazos del marco del electroimán (de área Amc) valdrá:

Φm =∫

SBfb · dS = µHfbAmc = µ0HaAmc =

NIla

µ0Amc+ lfb

µAmc

=⇒

M = NI =

laµ0Amc

+lfb

µAmc

Φm = (Ra +Rfb) Φm = RΦm (13)

donde Ra = laµ0Amc

es la reluctancia del hueco de aire, Rfb = lfbµAmc

es la reluctancia del marco ferromagnético, y R es la reluctanciatotal del marco con hueco de aire. La ecuación (13) nos dice que lareluctancia equivalente del marco ferromagnético en serie con elhueco de aire es igual a la suma de las reluctancias del marco y delhueco, con lo cual, la reluctancia equivalente de una asociaciónde materiales en serie sigue la misma regla que la resistenciaequivalente de una asociación de resistores en serie.

Si en las ecuaciones (11) y (12) tenemos en cuenta que µ >>>

µ0, las expresiones para la intensidad magnética y el campo mag-nético en el hueco de aire del electroimán se pueden escribiraproximadamente como:

Ha ≈ NI

laucm (14)

Ba ≈ µ0NI

laucm (15)


que son ecuaciones que equivalen a hacer la aproximación Hfb ≈0. La ecuación (14) nos indica que la intensidad magnética gene-rada por la fuerza magnetomotriz del bobinado del electroimánM = NI está esencialmente localizada en el hueco de aire.

Consideremos ahora unapieza de material ferromag-nético duro que tiene for-ma de marco cuadrado conhueco de aire. Supongamosque la pieza está magneti-zada en ausencia de corrien-tes libres, estando la magne-tización orientada a lo largodel marco cuadrado comomuestra la �gura adjunta.Debido a la ausencia de co-rrientes libres, la pieza mag-netizada de ferromagnético duro se comporta como un imánpermanente.

Supongamos ahora que en el imán permanente la longitud delhueco de aire es mucho menor que las dimensiones de la sec-ción transversal de los brazos del marco, y que estas dimen-siones son mucho menores que las dimensiones del marco (estoes, al igual que ocurría en el caso del electroimán, se cumple quela <<< (d2 − d1)/2 <<< (d2 + d1)/2). En esas condiciones, lafuga de campo magnético por las paredes del imán permanenteserá despreciable, y el recorrido seguido por las líneas de campo


magnético en el imán seráesencialmente el mismo queel que siguen dichas líneasen el electroimán alimenta-do por bobinado al que antesse ha hecho referencia (com-párese la �gura adjunta conla del electroimán). Sin em-bargo, a continuación vamosa ver que las líneas de inten-sidad magnética tienen unrecorrido distinto en el imánpermanente y en el elec-troimán.

Sea ucm un vector unitario que nos da la dirección y sentidodel campo magnético, tanto en el imán permanente como en elhueco de aire que queda entre sus extremos. Sean Bip = Bipucm yHip = Hipucm el campo magnético y la intensidad magnética en elinterior del imán permanente, y sean Ba = Baucm y Ha = Haucm

el campo magnético y la intensidad magnética en el hueco de aire(al igual que ocurre con el electroimán, Bip, Hip, Ba y Ha sonaproximadamente constantes). Asimismo, sea la la longitud delhueco de aire, sea lip = 2(d1 + d2) − la el perímetro medio delimán permanente, y sea Γ una línea de campo magnético que pasapor los puntos medios de todas las secciones transversales que sepueden de�nir en el imán permanente (de longitud 2(d1 + d2)).


Debido a que el imán permanente se encuentra magnetizado enausencia de corrientes libres, si aplicamos la ley de Ampère enpresencia de medios materiales a la curva Γ, se obtiene la siguienteecuación:

∮

ΓHfb · dr = 0 =⇒ Hiplip + Hala = 0 =⇒ Ha = −lip

laHip (16)

Por otro lado, si imponemos la continuidad de la componentenormal del campo magnético en las interfases entre el imán per-manente y el hueco de aire, obtenemos que:

Bip · ni = Ba · ni =⇒ Bip = Ba = µ0Ha (17)

donde ni es un unitario normal a las interfases imán�hueco, ydonde se ha supuesto de nuevo que la permeabilidad del aire valeµ0. De acuerdo con las ecuaciones (16) y (17), si Ha > 0, entoncesse cumple que Ba > 0 y Bip > 0, pero Hip < 0. Esto signi�ca queel campo magnético y la intensidad magnética llevan el mismosentido en el hueco de aire (al igual que ocurre en el caso delelectroimán), pero llevan sentidos contrarios en el interior delimán permanente (frente a lo que ocurre en el electroimán dondeel campo magnético y la intensidad magnética llevan el mismosentido). Si estamos interesados en conocer Hip y Bip, es precisoobtener primero una relación entre estas dos cantidades a partirde las ecuaciones (16) y (17), relación que viene dada por:

Bip = −µ0lipla

Hip (18)


A continuación, hay que repre-sentar la ecuación (18) en unagrá�ca de Bip frente a Hip, juntocon el ciclo de histéresis del ma-terial ferromagnético con el queestá hecho el imán permanente(vea la �gura adjunta). El puntode corte entre la recta de pen-diente negativa correspondientea (18) y el ciclo de histéresisnos da el punto de trabajo delimán permanente.

Como muestra la �gura, el punto de trabajo va a estar en elsegundo cuadrante del plano Hip − Bip, lo cual demuestra unavez más que el campo magnético y la intensidad magnética llevansentidos contrarios en el interior del imán permanente. Como Hip

se opone a Bip, en algunos libros a Hip se le conoce como campodesmagnetizante.

Como es de suponer, el vector magnetización en el imán perma-nente Mip sí lleva el mismo sentido que el campo magnético Bip.Esto se puede demostrar fácilmente haciendo uso de la ecuación(18) ya que:

Mip =Bip

µ0−Hip =

Bip

µ0ucm −Hipucm

=

Bip

µ0+

lalip

Bip

µ0

=

1 +

lalip

Bip

µ0(19)

Si representamos las líneas de intensidad magnética en el imánpermanente y en el hueco de aire, se observa que estas líneas van


del polo norte al polo sur del imán, tanto en el hueco de airecomo en el interior del imán (el que las líneas tengan este com-portamiento en el interior del imán se debe al campo desmagne-tizante).

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