Espacio Estado –Modelamiento 1

Sistemas Dinámicos:

- Control

- Automatización

- Robótico

- Biomédico

- Economía

- Estadística

Objetivo: Representar los Sistemas Dinámicos por un descriptor denominado Espacio-Estado

Espacio de Estados – Conjunto de Ecuaciones Diferenciales de primer orden.

Ventajas:

- Información sobre el comportamiento Dinámico.

- Técnicas computacionales para solución de las ecuaciones.

- Diseño de Controladores.

- Tratamiento de Sistemas No Lineales.

-

Figura 1 Representación de Espacio de Estados

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De acuerdo a la Física: el estado de un sistema dinámico es un conjunto de cantidades físicas cuyas especificaciones (en ausencia de excitaciones externas) determinan completamente la evolución del sistema.

Observando la Figura 1, tenemos:

1) Parte sin memoria (Memoryless)

+ = “funciones instantáneas”

2) Parte con memoria: Conjunto de Componentes que “guardan” las variables internas

Los dos tipos de memoria consideradas son:

- Sistemas Continuos:

- Sistemas Discretos :

Sistemas Continuos:

Sistemas Discretos:

Note que:

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Ejemplo 1

Tenemos:

- Flujo de entrada u(t)

- Flujo de salida y(t)

- x volumen acumulado, luego y=h(x) - flujo de salida en función de x y de las características del líquido y del recipiente.

- La variación de volumen es :

Ejemplo 2 Masa – Resorte

Sabemos que: Ley de Newton

Objetivo: Ecuaciones diferenciales de 1er orden. Para eso, consideraremos la velocidad y la posición como variables de estado:

Luego:

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Figura 2 Tanque

Tenemos, entonces, una representación en espacio estados con x1 y x2 como las variables de estado.

Figura 3 Diagrama de bloques del Sistema masa-resorte

Ejemplo 3 Motor Eléctrico con carga inercial

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Figura 4 Motor Eléctrico con carga inercial

Motor: Condiciones ideales

- Torque proporcional de corriente ( )

- La fuerza electromotriz inducida y proporcional a la velocidad angular (f.e.m-V=k2w)

- La Potencia de entrada al motor es:

- La

Considerando 100% de eficiencia

Sabemos además que:

Finalmente

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Este modelo es adecuado para controlar la velocidad. En el caso que se desee controlar la posición, debemos considerar el ángulo .

El diagrama de bloques toma la siguiente forma:

Figura 5 Diagrama de Simulación de la representación de Espacio de Estados del Motor

Ejemplo 4 Temperatura

Figura 6 Temperatura de 02 masas

Objetivo: Controlar T1 de la masa 1 y la T2 de la masa 2 por medio de la temperatura T 0

del recipiente. Metálico.

Consideraciones: La temperatura T0 es constante en toda la superficie metálica

Utilizando el circuito eléctrico mostrado en la siguiente figura:

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Figura 7 Analogía Eléctrica del Sistema de Temperaturas

Y la siguiente tabla:

Sistema Térmico Sistema Eléctrico

Variables Símbolo Unidades Variables Símbolo Unidades

Temperatura

Flujo Térmico

Resist. Térmica

Capaci. Térmica

T

q

R

C

oC

cal/s

oC.s/cal

cal/deg

Tensión

Corriente

Resistencia

Capacitancia

V

I

R

C

V

A

F

Ecuación de Conducción

Ecuación de almacenamiento

Del circuito eléctrico y utilizando el análisis por nodos, tenemos:

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Pasando a la forma de variables térmicas tenemos el modelo de espacio estado:

Ejemplo 5 Tanque de Guerra – cañon torre accionado hidráulicamente

Las ecuaciones de estado son:

Donde:

u – entrada de control para el servo.

v – velocidad angular de la torre

p – aceleración angular

q – posición de la servo-váñvula hidráulica

Km= ganancia del servomotor

J – momento de inercia de la torre.

Ejemplo 6 Circuito RLC

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Las ecuaciones del circuito son:

La representación de espacio estado

Linealización

Para una determinada clase de sistemas no lineales y considerando las perturbaciones pequeñas, podemos encontrar un sistema lineal que se representa por:

Suponiendo en régimen permanente:

Podemos escribir como:

Que es una aproximación lineal basada en la expansión de Taylor.

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Las ecuaciones pueden ser expandidas como:

Escribiendo para los xi

El mismo efecto para la expresión en y:

Si las ecuación original es invariante en el tiempo y Xo(t)=Xo y Uo(t)=Uo (punto de operación) son constantes la linealización es LTI.

De la forma mas compacta eliminando los términos de orden elevado:

Ejemplo: Lorenz

Las ecuaciones que describen el sistema de Lorenz son:

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Donde el campo vectorial es:

Observe que invariante en el tiempo

Calculando el Jacobiano tenemos:

Los puntos de equilibrio son:

Haciendo las ecuaciones del campo vectorial iguales a cero:

De la segunda ecuación:

En la tercera ecuación tenemos:

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Luego:

Los Jacobianos para los valores de los puntos de equilibrio son:

Ejemplo Actuador electro-estático

Figura 8 Análogo eléctrico del sistema de Temperatura

Parte Eléctrica

Parte Mecánica

Las ecuaciones diferenciales que gobiernan el sistema son:

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Podemos definir las siguientes variables de estado:

Las ecuaciones de estado son:

Figura 9 Implementación en Simulink

Implementación en Matlab

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% InputVin=external_input(t,SP1,SP2,t0); % Vin=0.01; % Input% Statesdydt(1) = (1/R)*(Vin-(y(1)*y(2))/(epsilon*A));dydt(2) = y(3);dydt(3) = -(1/m)*((y(1)*y(1))/(2*epsilon*A)+k*(y(2)-g0)+b*y(3));

function u = external_input(t,SP1,SP2,t0)% function u = external_input(t,SP1,SP2,t0) returns the value of a% step input starting at t0%if (t<=t0)u=SP1;elseu=SP2;end;

%Simulation of an Electrostatic Actuatorclc;close all;clear;dt=0.01;oldOpts=odeset;newOpts=odeset(oldOpts,'InitialStep',dt,'MaxStep',dt);% External valuestff=input('Final time [50] => ');if isempty(tff)tff=50;end;tspan=[0 tff];y0=input('Initial Condition (3 values) => ');if isempty(y0)y0=[0 0 0]';end;

Vin=input('Input (Step function) [0.01] : ');if isempty(Vin)Vin=0.01;end;t=(0:dt:tff)';[ans,y]=ode45(@eleactuator,t,y0,newOpts,0,Vin,0);figure(1);plot(t,y);title(sprintf('Nonlinear system driven by the inputx(t)=%gu(t)',Vin));xlabel('Time');ylabel('States');grid;yss=y(end,:); % Steady State% New simulation - t=0 just to make things easierKu=input('Step input over the operating point [-0.001 0.01] : ');

if isempty(Ku)Ku=[-0.001 0.01];end;t0=input('Start time of the input (step) [5] : ');if isempty(t0)t0=5;end;if t0>tfft0=tff/2;end;% Linearization

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%% ParametersR=0.001; % Resistorepsilon=1; % PermittivityA=100.0; % Aream=1.0; % Massdo

B=jacobian(f,[V]);% Fixed Pointx3=0;aux=subs(solve(f(1),'X1'),'V',Vin);aux=subs(subs(f(3),'X1',aux),'X3',x3);x2=solve(aux,'X2');disp(' ');disp('Check whether the fixed points for X2 are complex or not');eval(x2)disp('I am assuming that they are not and therefore taking theabsolute value of them.');x2=abs(eval(x2));x1=zeros(3,1);for i=1:3x1(i)=eval(solve(subs(subs(f(1),'X2',x2(i)),'V',Vin),'X1'));end;% Linear System - I am choosing the first fixed pointa=subs(subs(subs(subs(A,'X1',x1(1)),'X2',x2(1)),'X3',x3),'V',Vin);b=subs(subs(subs(subs(B,'X1',x1(1)),'X2',x2(1)),'X3',x3),'V',Vin);c=eye(3);d=0;sys=ss(a,b,c,d);% Simulation of the linearized systemfor j=1:length(Ku)[ans,y1]=ode45(@eleactuator,t,yss,newOpts,Vin,Vin+Ku(j),t0);i=find(t>=t0);u=zeros(size(t));u(i)=Ku(j)*ones(size(i));yl=lsim(sys,u,t);figure(1+j);subplot(3,1,1);plot(t,y1(:,1),t,yl(:,1)+yss(1));title(sprintf('Nonlinear versus Linear - operating point - a step of %g applied',Ku(j)));xlabel('Time');ylabel('Output');grid;legend('Nonlinear','Linear');subplot(3,1,2);plot(t,y1(:,2),t,yl(:,2)+yss(2));xlabel('Time');ylabel('Output');grid;legend('Nonlinear','Linear');subplot(3,1,3);plot(t,y1(:,3),t,yl(:,3)+yss(3));xlabel('Time');ylabel('Output');grid;legend('Nonlinear','Linear');end;EduardoEdisp(' ');disp('We can clearly see that the linearization only works for small');disp('values of perturbations around the operating point');Eduardoduardo

Fuente: Introducao ao Controle em Espaco de Estados -

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Conceitos BasicosEduardo M. A. M. MendesDELT - UFMGCurso de Engenharia de Controle e Automacao Universidade Federal de Minas Gerais

Eduardo

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