ESTADSTICA
1.1 Introduccin a la Estadstica:
Concepto de Estadstica.
La Estadstica e una disciplina cientfica que hac4e uso de teoras
y mtodos que ha desarrollado apropiadamente para la recoleccin,
clasificacin, presentacin, anlisis e interpretacin de informacin
cuantitativa obtenida por observacin o experimentacin, con el fin
de extraer conclusiones tiles.
Campos de la Estadstica.
La Estadstica, proporciona instrumentos y tcnicas de gran
utilidad para los investigadores. Estos instrumentos y tcnicas son
de aplicacin general y tiles en cualquier campo de las ciencias y
de las actividades de l hombre.
Entre los tantos campos de aplicacin de la Estadstica podemos
citar los siguientes: Estudios de mercado
Anlisis de rendimiento de inversiones
Eficiencia de los empleados
Diseo y anlisis de experimentos.
La Estadstica es aplicable en todos aquellos campos de estudio
donde las caractersticas de los fenmenos analizados sean factibles
de expresarse en forma cuantitativa, para aplicar los instrumentos
estadsticos sobre la informacin numrica.
Estadstica Descriptiva y Estadstica Inferencial.
Estadstica Descriptiva
Es de gran valor prctico para la descripcin y anlisis de los
conjuntos de datos, se limita a los datos coleccionados en s mismos
y no se hacen generalizaciones de ningn tipo.
Incluye tcnicas como la construccin de cuadros, grficos,
distribucin de frecuencias, clculos de promedios entre otros.
Estadstica Inferecial
Es un proceso de induccin lgico que partiendo de los datos de
una parte, establece un juicio sobre todo el conjunto, al mismo
tiempo que se obtiene una medida de la incertidumbre implcita en la
inferencia.
1.2 Conceptos Bsicos en el campo estadstico:
Unidad Estadstica o elemental.
Son aquellas unidades de inters en el campo bajo estudio; sobre
ellas recae la observacin y de sta se derivan los datos para el
anlisis.
Ejemplo de unidades estadsticas:
Una persona
Una Vivienda
Un producto industrial
Una fabricaCaracterstica.
Cada una de las unidades elementales tiene una o varias
caractersticas, las cuales pueden ser consideradas en el
estudio.
Caractersticas Cuantitativas: las cuales al ser observadas,
producen directamente una magnitud numrica.
Caractersticas Cualitativas o Atributos: incluye aquellas que no
se pueden cuantificar y que para su expresin numrica podemos
recurrir al uso de clave o cdigo. Puede ser el color de una casa,
el sexo, etc.
Ejemplos de caractersticas de los elementos anteriores:
Estatura
Color de la casa
Longitud (especificaciones)
Capital fijo.
Observacin.
Son los valores numricos de las caractersticas.
Las caractersticas pueden ser expresadas numricamente bien sea
por medicin, por recuento o por asignacin de un cdigo. A cada
elemento le corresponde un valor numrico.
Ejemplos de observacin de las caractersticas anteriores:
165 centmetros
de color celeste
1 centmetro
9 000 000 millones de colones
Poblacin.
Es el conjunto de todas las observaciones de la misma
caracterstica de un conjunto de elementos. Otro concepto ms simple
de p oblacin indica que es un conjunto de elementos con una
caracterstica comn objeto del estudio.
Muestreo Estadstico
Es un mtodo de investigacin estadstico que consiste en obtener
resultados y conclusiones vlidos para la poblacin con base en la
observacin de una muestra aleatoria.
Muestra.
Es el estudio de la poblacin mediante el anlisis de una porcin
bien seleccionada de esta poblacin.Seleccin de Muestras:
En la prctica se distinguen en la actualidad tres formas de
seleccin de la muestra:
Muestra Aleatoria o al azar
Este muestreo brinda a todos los elementos de la poblacin
conocida la oportunidad de ser seleccionados al seguir
procedimientos que les brinde a cada elemento una probabilidad de
ser incluirlos en la muestra.Muestra intencional o de Juicio.
En est la seleccin la hace una persona con experiencia y
conocimiento amplio de la poblacin bajo estudio.
Muestra por conveniencia.
Son aquellas muestras seleccionadas de acuerdo a la mayor
conveniencia del investigador; es muy sesgado y no puede ser
aceptado por su naturaleza. Podemos decir que se escogen las
unidades o elementos que estn disponibles o que son ms fciles de
conseguir.
1.3 Fuentes de informacin:
Datos existentes.
Es la informacin que ya ha sido recopilada por alguna entidad,
persona entre otras, a la cual se recurre como fuente de
informacin
Fuentes primarias.
Se trata del productor original de la informacin, como es el
caso de aquellas oficina, persona o agencia que publica o
proporciona datos que ella misma ha producido.
Fuentes secundarias.
Se refiere a aquella oficina, persona o agencia que hace
publicaciones o trabajo que resumen o presentan informacin
originalmente recopilada por otros que son los productores de los
datos.
Datos no existentes.
En todos los estudios el investigador al realizar su trabajo se
propone ciertos objetivos, y en la mayora de los casos necesita
determinado tipo de informacin estadstica para alcanzar esos
objetivos, para lo cual investiga si esos datos estn disponibles en
alguna fuente, o si es necesario crearlos, es decir, no existen;
ante esto debe recurrir a algn medo de recoleccin de datos.
2.1Mtodos de recoleccin de datos no existentes.Observacin.
El investigador recoge los datos observando lo que le interesa y
anotando las observaciones.
Entrevista.
Es una forma de encuesta o enumeracin en que se visita a cada
uno de los informantes para pedir los datos de cada una de las
unidades de observacin. Se hacen las preguntas cuyas respuestas se
anotan en el cuestionario diseado para ese propsito.
Hoy en da se utiliza el telfono para realizar las preguntas y
llenar el cuestionario. En general el mtodo de entrevista es
propicio para investigaciones que se realizan en el campo social,
empresarial, econmico y otros.
Registro.
Consiste en registrar los eventos que ocurren, en algunos casos
porque existe la obligacin legal de proporcionarlos a las
autoridades competentes. Pero existen casos, sin que tal obligacin
exista, los hechos se registran y tales registros se usan para
producir datos.
Correo.
Es una forma directa de realizar una enumeracin. Se le enva un
cuestionario al informante previamente localizado, el cual deber
ser contestado y devuelto por la misma va.
2.1 Caractersticas de los mtodos de recoleccin de datos.
Los mtodos de recoleccin de datos no existente, no se aplican
indistintamente, sino que se aplica cada uno de ellos a casos
particulares, donde el mtodo se presente como ms conveniente.
Ventajas y Desventajas de los Mtodos.
Observacin.
Proporciona informacin muy completa y de buena calidad, ya que
es el mismo interesado quien la obtiene.
El diseo y realizacin del estudio posiblemente requiera bastante
tiempo y recursos.
Entrevista
Se produce informacin completa exacta de los diferentes asuntos,
debido al contacto directo entre el investigador y el
informante.
Es difcil deducir, la investigacin resulta ms costosa.
Correo
Es un mtodo muy econmico si se le compara con la entrevista.
Tiene los inconvenientes de la mayor tardanza en las respuesta,
mayor nmero de no respuestas e informacin incompleta o de baja
calidad.
Registro
Es un sistema muy econmico y rpido.
Presenta el problema de deficiencia de informacin por omisiones
de estas al registrar.
3.1 Fases de la investigacin estadstica basada en un modelo de
encuesta por muestreo:
Las etapas principales de una encuesta por muestreo:
a. Definicin y delimitacin del problema.
Una investigacin se lleva a cabo porque existe una situacin
problemtica (problema) a la que debe darse solucin.
El primer paso en toda investigacin debe corresponder, por
tanto, a identificar claramente el problema, con el propsito de
definir el objetivo de estudio. Debemos tener claro qu es lo que
queremos investigar y por qu. En la identificacin del problema
claro al mismo, para que no haya posibilidad de confundirlo con
otro problema o situacin.
b. Establecimiento de los propsitos del estudio.
En la prctica por lo general no se define un objetivo nico para
el estudio, sino que se investigan varios aspectos relacionados
c. Preparacin de un plan de trabajo.
Un plan implica un conjunto de decisiones sobre formas de accin.
Para llevar a cabo una investigacin estadstica al igual que en
cualquier otra actividad es conveniente, de antemano, formular un
plan de accin o plan de trabajo. El plan de trabajo permite conocer
previamente los factores positivos o negativos que aparecern en
desarrollo de la actividad pudiendo en esta forma orientar o
controlar sus efectos y adelantar sus soluciones.
d. Construccin y prueba del cuestionario.
Esta fase corresponde a la confeccin de loa boleta que se
utilizar para recoger la informacin en el caso de que haya que
producir la informacin mediante encuesta. Es una de las fases ms
delicadas, ya que de la estructura y contenido del cuestionario
depende en gran parte la calidad de la informacin.
En la confeccin del cuestionario podemos seguir la siguiente
secuencia
Decidir qu parte de la informacin total debe ser tomada en el
cuestionario y como se procesaran los datos.
Efectuar el primer diseo del cuestionario, tomando en cuenta la
forma en que se va hacer la encuesta.
Hacer varios diseos de cuestionarios, dando diferentes
estructuras y redacciones de preguntas.
Redaccin de los instructivos: todo cuestionario se acompaa de su
correspondiente instructivo.
Finalmente se procede a la impresin del cuestionario y del
instructivo.
En cuanto al tipo de preguntas pueden hacerse las
siguientes:
Pregunta Abierta:
La cual deja la posibilidad a cualquier respuesta. Su ventaja es
que da informacin no prevista. Su desventaja es su alto costo de
tabulacin y posibles sesgos.
Pregunta en dos direcciones (Bifurcada)
Es aqulla que slo tiene dos respuestas posibles. Tiene el
inconveniente de que puede sugerir la respuesta si no es usada en
los casos apropiados.
Pregunta de mltiple escogencia:
Se proveen varias respuestas o alternativas. Su desventaja, al
igual que la anterior, es que se puede sugerir la respuesta
e. Diseo y seleccin de la muestra.
El diseo de la muestra, implica el anlisis del mtodo de muestreo
conveniente para el estudio a realizar. Se debe seleccionar el
mtodo de muestreo a utilizar en la investigacin y el tamao de la
muestra con la que se va a trabajar.
f. Preparacin y ejecucin del trabajo de campo.
Se realiza cuando se tienen los cuestionarios debidamente
contestados, si es que se ha seguido este mtodo de recoleccin, o en
general cuando ya se ha obtenido los datos pero estn en bruto, es
necesario proceder a ordenarlos y clasificarlos adecuadamente
(procesamiento) p ara luego presentarlos en forma resumida en
cuadros y grficos.
g. Anlisis de la informacin.
Se procede al anlisis de los datos para deducir las conclusiones
del caso. Esto se logra obteniendo ciertas medidas como promedios,
variaciones, coeficientes de variaciones, ndices entre otros.
h. Preparacin del informe.
Se ordenan adecuadamente para su presentacin en el informe final
los resultados, hallazgos y conclusiones. Para la preparacin del
informe existen diferentes estructuras, entre las cuales esta la
siguiente:
Objetivos de la investigacin
Metodologa empleada con explicaciones sobre la fuente de datos
usada, diseo y seleccin de la muestra etc.
Diversas secciones para presentar los resultados de la
investigacin.
Resumen y conclusiones.
Anexos (cuadros, grficos, cuestionarios usados, etc.)
LA PRESENTACION DE DATOS
El aspecto de la presentacin de los datos estadsticos es de suma
importancia pues no basta slo conocer todos los ngulos de la
Estadstica, desde un punto de vista terico, sino que es necesario
adems poseer conocimientos prcticos que permitan exponer los hechos
y los datos que se quieren mostrar de una manera grfica y artstica
que estn de acuerdo con la capacidad terica del investigador.
La presentacin de la informacin como tal, tiene dos fundamentos
sustantivos: facilitar el anlisis de los datos y existe la
necesidad de poner los datos al alcance de todas las personas.
El problema de la presentacin de los datos, no es un proceso muy
simple, pues en ella es determinante el juicio de la persona que
maneja la informacin por lo tanto, no se pueden dar reglas fijas y
exactas. Sin embargo, se les darn ciertos requisitos mnimos bsicos
que pueden usarse como gua a la hora de presentar la
informacin.
Existen cuatro formas de presentacin de informacin:
a) Presentacin Textual.
b) Presentacin Semi-tabular.
c) Presentacin Tabular o Cuadro Estadstico.
d) Presentacin Grfica.
Presentacin Textual
Consiste en la indicacin de datos estadsticos en la redaccin de
un trozo o prosa, como consecuencia de conclusiones y
recomendaciones de una investigacin.
Este sistema de presentacin de datos se recomienda utilizarlo
cuando se tiene pocos datos y se quiere resaltar ciertas
cifras.
Ventajas:
Se harn resaltar ciertas cifras informativas.
Se pueden aplicar ciertos aspectos para dar una mejor
explicacin.
Desventajas:
Es necesario leer todo o casi toda la informacin.
Uso excesivo de la presentacin de datos numricos pueden causar
confusin.
Este tipo de presentacin se emplea mucho en peridicos y
revistas.
Presentacin Semi-tabularConsiste en separar las cifras del
texto, lo que se dice en el texto se refuerza o comprueba en
cuadros, grficos.
Ventajas:
Da mayor nfasis en cifras.
Desventajas:
El nmero de cifras debe de ser menor que el utilizado en la
presentacin textual.
Presentacin Tabular o Cuadro Estadstico.
Este mtodo consiste en presentar la informacin en lo que
comnmente se denomina "Cuadros Estadsticos"; sin embargo es
conveniente dar una definicin de que se entiende por cuadro
estadstico: Es el ordenamiento sistemtico de datos colocados en
columnas de acuerdo con criterios de clasificacin que se hallan
escogido para el mismo. De manera que puedan ser interpretados
rpidamente y sacar de ellos conclusiones.
Los cuadros estadsticos tienen cuatro partes bsicas u
obligatorias que son las siguientes:
Titulo
Encabezados
Columnas Matriz
Cuerpo o contenido
Sin embargo los cuadros estadsticos pueden tener alguna o todas
de las siguientes partes complementaras:
Nota Introductoria o Preliminar
Notas al calce o al Pie
Fuente
ALMACEN EL ECONOMICO
Ventas Totales al Contado y a Crdito por Departamento
Ao 200X(En miles de colones)
VENTA
DepartamentoTotalContadoCrdito
Abarrotes
Ferretera
Tienda
Librera
Zapatera
Total 449.00
400.00
800.20
100.00
250.80
2.000 300.00
350.00
300.20
100.00
199.00
1.250.00 149.00
50.00
500.00
0.00
51.00
750.00
1/ No incluye los ltimos 15 das del mes de diciembre.
Fuente: Libro diario del Almacn El Econmico.Titulo:
El objetivo del ttulo es dar en una forma corta y clara, una
idea del tipo de datos que contiene el cuadro.
Un titulo bien confeccionado debe responder a las siguientes
preguntas.
QUE son los datos, a QUE se refiere? (En el ejemplo seria Ventas
Totales).
DONDE Se recogieron los datos, a que lugar comprende?
CUANDO Ocurrieron los hechos a que se refieren los datos? Segn
el ejemplo:( Ao 1994)
CUALEs la clasificacin o clasificaciones principales a que se
obedecen los datos.
Segn el ejemplo: Ventas al contado y a crdito por
departamento.
Algunos aspectos de forma tales como:
El ttulo se coloca en la parte superior del cuadro.
Si el titulo tiene forma de pirmide truncada invertida.
Si el informe que se prepara incluye varios cuadros, el titulo
debe llevar incluido el nmero de cada cuadro.
Nota Introductoria o Preliminar
Se coloca debajo del titulo en un tipo de letra ms pequea, su
propsito es dar una idea ms clara o definida de todo el contenido
del cuadro o parte de l.
Ejemplos: (En miles de Colones), (No incluye datos del ao
2.00__).
Columna Matriz
Esta parte del cuadro es la primera que incluye la clasificacin
principal. En el ejemplo corresponde a los nombres de los
departamentos.
Encabezados
Estos son los nombres de las columnas que forman el cuadro, en
las cuales se indican unas varias clasificaciones de los datos; no
incluye la primera columna (columna matriz). En el ejemplo
comprende al total de ventas, contado, crdito.
Cuerpo o Contenido
Lo constituye todo lo que se encuentra dentro del rea enmarcada
entre la columna matriz y el encabezado y en el caso del ejemplo lo
constituyen las cifras.
Notas al Pie
El objetivo de las notas al pie es aclarar determinados aspectos
sobre ciertas cifras o clasificacin; se pueden utilizar varias en
un mismo cuadro y se colocan al pie del cuadro, pero antes de la
fuente (si hay).
Fuente
La fuente es otra de las partes del cuadro que no siempre
aparece, debido a que se utiliza cuando los datos del cuadro no
fueron obtenidos directamente por la persona o entidad que
confecciona el mismo. Cuando esto ocurre siempre se debe poner una
nota (la fuente) indicando el origen de los datos, la fuente debe
cumplir con los requisitos propios de una cita a saber: autor,
nombre de la publicacin, editorial, fecha y/o cuadros de donde
proceden los datos. En el ejemplo "Libro diario del Almacn El
Econmico."
Tipos de Cuadros
Desde el punto de vista del uso hay dos clases de cuadros:
Cuadros Generales
Los cuadros generales o de referencia son extensos, dan
informacin detallada y se planean de forma que el usuario encuentre
fcilmente las partidas que busca; sirven como fuente de
informacin.
Cuadros de Resumen
Los cuadros de resumen son de tamao relativamente pequeo y hecho
de tal forma que hacen resaltar con la mayor intensidad posible los
datos; su propsito es el de facilitar el anlisis de los datos, por
lo que a veces se agregan columna hileras adicionales para incluir
promedios, porcentajes, etc.
Presentacin Grfica
La presentacin grfica es una de las ms usadas al igual que la
presentacin tabular, no son competidoras entre si sino
complementaras.
Los grficos son figuras geomtricas que sirven para representar
un conjunto de datos. Los grficos no dan una expresin ms exacta de
los datos, sino que constituyen un medio auxiliar de expresin, que
facilita apreciar ms rpido los datos, as como tambin abarcan su
conjunto, aspecto que numricamente ofrece muchas dificultades.
En ellos los datos se constituyen por lneas, puntos superficies,
y otras figuras que representan los valores y el tiempo en que se
ha desarrollado el fenmeno o la operacin representada. Por lo
tanto, su aplicacin puede adaptarse a datos contables y al estudio
de las operaciones comerciales.
El uso de los grficos es muy provechoso, sin embargo, es
conveniente tambin mencionar algunas de sus limitaciones o
desventajas: Los grficos dan valores aproximados contrario a los
cuadros cuyos datos son exactos; adems en los grficos, el nmero de
datos que se quiere presentar es limitado pues sino el grfico sera
poco claro lo que atentara contra uno de sus objetivos bsicos.
Algunas reglas de aceptacin general, que pueden servir de gua
para realizar un grfico atractivo que no se preste para inadecuadas
interpretaciones, tales como:
El grfico debe tener tamao adecuado, puede adoptarse como regla
general la de la relacin entre la base y la altura sea de 1.5 a
1.
Todo grfico debe contar con titulo, escalas, fuentes y
notas.
Utilizar escalas adecuadas que no desfiguren los hechos que se
quieren presentar, es decir, o deben usarse mtodos que den una idea
falsa de lo que se representa, pues existen modos de exposicin que
dan lugar a ilusiones pticas y que no deben emplearse.
El grfico debe ser sencillo y cmodo de interpretar: por esto se
recomienda no representar muchas series de datos en un mismo
grfico.
Clases de Grficos
Los datos estadsticos se clasifican fundamentalmente en forma
cuantitativa, cualitativa, geogrfica y cronolgica, en atencin al
tipo de caractersticas que se use en su clasificacin.
De acuerdo con la forma de clasificacin de los datos que se van
a representar, se usan las siguientes clases de grficos para cada
clasificacin y propsito.
Grficos de barras, histogramas, grficos circulares y
pictogramas
Series cualitativa
Series cuantitativas (distribuciones de frecuencia)
Comparacin de datos cuantitativos y cronolgicos
Series geogrficas
Curvas o diagramas lineales
Series cuantitativas
Series cronolgicas
Diagrama semilogartmico
Anlisis de variacin relativa
Comparacin de series de magnitud diferente
Comparacin de series expresadas en unidades diferentes
Representacin de una serie con datos pequeos y grandes
Tipos de Grficos
Existen diferentes tipos de grficos por lo que slo se har
referencia a las posibles representaciones grficas ms utilizadas en
contabilidad y otras disciplinas afines, tales como:
Grficos de Barras:
horizontales
verticales
Barras 100%
Grficos Circulares
Polgono de frecuencia
Histograma
Grfico Lineal o Diagrama lineal
Histograma
Grfico de Bastones, etc.
Grficos de Barras Corriente o Simple
Es un conjunto de barras, verticales u horizontales y todas de
un mismo ancho.
Grfico de Barras Compuestas
Este grfico puede ser de barras horizontales o verticales segn
el caso. Se usa para representar una serie de totales, con
informacin de las partes componentes de cada total.
Grficos de Barras de dos Direcciones
Este grfico puede ser, segn el tipo de caractersticas, de barras
verticales u horizontales; se usa para representar aumentos y
disminuciones de una serie como variaciones en el ndice de precios,
nivel de ocupacin, saldo migratorio, etc.
Grfico de Barras Comparativas
Se usan para:
Comparar varias series (comparacin cronolgica de dos series)
Comparar las categoras o grupos de una magnitud cada una de las
cuales se divide en varias partes.
Comparacin de magnitudes para varios aos.
Grfico de Barras 100%
Se utiliza cuando interesa comparar las partes en que se divide
un todo, para analizar la estructura del total. Las partes se
presentan en forma proporcional en una barra rectangular,
ordenndolas de mayor a menor desde la base de la barra hacia arriba
si es vertical y de izquierda a derecha si es horizontal.
No es conveniente cuando el nmero de partes es muy grande o hay
partes muy pequeas en relacin con las dems.
Grfico Circular (Pastel)
Esta forma de representacin grfica hace las comparaciones a
travs de los sectores del crculo (rea). Es otra forma de presentar
las partes en que se divide un todo; la primera que citamos fue la
barra 100%. Ambos grficos se usan indistintamente para los mismos
tipos de datos con los mismos propsitos.
Para hacer el grfico primero se dibuja un crculo de radio
arbitrario pero adecuado; los 360 del crculo representa el total
que vamos a representar. Luego, por regla de tres se determinan los
arcos y por lo tanto, los sectores correspondientes a cada
parte.
S las partes vienen dadas en porcentajes, a cada 1% corresponden
3.6 por lo que basta entonces con multiplicar el porcentaje de cada
parte por 3.6 para obtener los grados que le corresponden.
*Confecciones un ejemplo de cada uno de los grficos:
DISTRIBUCION DE FRECUENCIA
Hecha la recoleccin de datos (observaciones), o sea el conjunto
de actividades necesarias para obtener la informacin cuantitativa,
con que se realizar el anlisis o estudio estadstico, es preciso
cumplir con una serie de pasos previos; como la clasificacin de los
datos y su posterior presentacin, que permitan reunir o condensar
la informacin obtenida. Los procedimientos usados para reunir o
condensar la informacin, constituyen parte de la estadstica
descriptiva.
Para tabular los datos obtenidos, o sea simplemente, para
presentar los datos en tablas, debemos tener presente dos de las
cualidades ms importantes que debe presentar cualquier tipo de
tabla: la claridad y la legibilidad.
Para que una tabla sea clara, debe contar con una titulacin
precisa y especificar ordenadamente y en forma sobresaliente, los
nombres de sus filas o columnas, as como de su contenido. La
legibilidad se obtiene, escribiendo nada ms que lo necesario, y
evitando reunir en una sola tabla demasiados datos diferentes; lo
conveniente es hacer dos o tres tablas distintas, que concentrar
demasiados datos en una sola.
La distribucin de frecuencia:
Consiste en un arreglo de los datos en forma de cuadro para
lograr un uso ms gil y eficiente de la informacin y obtener con
mayor facilidad ciertos valores descriptivos del conjunto.
La distribucin de frecuencia se utilizan para clasificar datos
correspondientes tanto a una caracterstica cualitativa (atributo),
como a una caracterstica cuantitativa, aunque por lo general nos
referimos a este arreglo cuando se trata de una clasificacin de
caractersticas cuantitativa, ya sea discreta o continua.
Distribucin de Frecuencia para Atributos
Para una mejor interpretacin del tema, partiremos del supuesto
que tenemos una muestra de 500 personas que son centroamericanos,
distribuidos as: 115 costarricenses; 90 nicaragenses; 100
salvadoreos; 85 hondureos y 110 guatemaltecos. De esta muestra de
500 personas, lo que nos interesa es la nacionalidad, que es un
atributo.
Siempre llamamos con n; el nmero total de observaciones, en este
caso n=500; tambin llamaremos con F la frecuencia absoluta de cada
categora, por ejemplo, 115 es la frecuencia absoluta de los
costarricenses; 90 es la frecuencia absoluta de los nicaragenses;
etc. Es decir, la Frecuencia Absoluta, es el numero de
observaciones pertinentes a la misma categora; tambin podemos
indicar: fi.
Esto lo podemos ir tabulando de la siguiente manera:
NACIONALIDADfi
Costarricenses115
Nicaragenses90
Salvadoreos100
Hondureos85
Guatemaltecos110
n= 500
Adems de esta clasificacin, en la cual obtenemos la fa, o sea la
frecuencia absoluta, es necesario obtener otros tipos de informacin
con respecto a estos dos datos, para completar mejor los criterios
que debemos emitir; estos criterios son: la frecuencia relativa y
la razn.
Frecuencia Relativa fr
Es el tanto por ciento de cada categora con respecto al total de
observaciones n. Para representarla simblicamente utilizamos: fr.
Por lo tanto
Ejemplo:
A. La frecuencia relativa fr correspondiente a los
costarricenses es:
B. La frecuencia relativa fr correspondientes a los nicaragenses
es:
C. La frecuencia relativa fr correspondientes a los salvadoreos
es:
D. La frecuencia relativa fr correspondientes a los hondureos
es:
A. La frecuencia relativa fr correspondientes a los
guatemaltecos es:
Fr = 110 x 100 = 11.000 = 22%
500
500
Observe que la suma de todas las frecuencias relativas debe dar
un 100%, ya que abarca el total de las observaciones. Ejemplo: 23%
+ 18% + 20% + 17% + 22% = 100%
La Razn
Es el nmero de casos de una categora con respecto al total de
observaciones N. Para hallar la razn, debemos utilizar la siguiente
frmula:
Una vez obtenida la Razn, aunque sta se pueda simplificar, no
debemos hacerlo, ya que lo que se pretende, es dar una visin
completa respecto al total de observaciones, y no una equivalencia
de ello, que es lo que se obtendra si simplificamos.
A. La razn de los costarricenses, con respecto al total es
de:
B. La razn de los nicaragenses, con respecto al total es de:
C. La razn de los salvadoreos, con respecto al total es de:
D. La razn de los hondureos, con respecto al total es de:
E. La razn de los guatemaltecos, con respecto al total es
de:
Observe que la suma de todas las razones de dar siempre la
unidad en nuestro caso ser:
Toda esta informacin, la recopilamos en una Tabla de Distribucin
de Frecuencia de manera que facilite su comprensin y a la vez, nos
proporcione economa de tiempo, de la siguiente manera:
NacionalidadfifrRazn
Costarricenses115 23%115/500
Nicaragenses 90 18% 90/500
Salvadoreos100 20%100/500
Hondureos 85 17% 85/500
Guatemaltecos110 22%110/500
Totales500100%500/500
Ejemplo de la posible interpretacin:
La fila correspondiente a los nicaragenses, la interpretamos
as:
Fr absoluta = 90, significa que del total de persona, 90 son
nicaragenses.
Fr = 18%, significa que el 18% del total de las personas de la
muestra son nicaragenses.
Razn = 90/500; significa que la razn en que se encuentran los
nicaragenses con respecto al total es de 90 por cada 500
personas.
Distribucin de Frecuencia para Variables
Para facilitar la comprensin de la Distribucin de Frecuencia
para Variables utilizaremos un ejemplo: los datos que a continuacin
se dan, corresponden a los resultados obtenidos, en un examen
parcial de Estadstica, aplicado a un grupo de 40 estudiantes:
72 - 61 - 83 - 91 48 73 88 94 100 85
54 - 58 - 67 - 78 98 100 50 56 64 67
79 - 78 - 86 - 81 82 82 100 91 98 - 64
60 65 80 86 77 67 96 80 74 - 69
Estos datos, as presentados, en una forma desordenada, sin
ordenamiento de ningn tipo reciben el nombre de Datos Crudos o
Datos sin Ordenar; y no nos proporcionan ninguna informacin, ni
propician ninguna conclusin aceptable, ya que estn en el orden en
que se presentaron durante la investigacin.
Lo primero que debemos hacer con ellos es ordenarlos por orden
de magnitud, ya sea en forma creciente o en forma decreciente.
Ordenarlos en forma creciente, es ordenarlos de menor a mayor, y
ordenarlos en forma decreciente es de mayor a menor.
Por lo tanto, ordenando los datos en orden creciente tenemos
que:
48 50 54 56 58 60 61 64 65 - 67
67 67 69 72 73 74 77 78 78 79
80 - 80 81 82 82 83 85 86 86 88
91 91 94 94 96 98 98 100 100 - 100
Cabe hacer notar en estos momentos, ciertos smbolos
convencionales, que por su uso tan difundido, debemos
conocerlos:
Cada uno de los conteos o mediciones se llaman
observaciones.
Cada observacin se representa con la letra mayscula X que puede
ir acompaada con sub-ndice. ( X1 , X2 , X3 ,... Xn, )
Todos los conteos o mediciones constituyen un conjunto de
observaciones.
Con el smbolo X se designa la ltima observacin del conjunto.
El nmero total de observaciones se representa con el smbolo
N.
En el ejemplo que estamos trabajando, tenemos que:
a) N = 40; ya que el nmero total de observaciones es 40.
b) Xn = X40 = 100
c) X1 = 48; ya que, corresponde a la primera observacin.
En general podemos establecer que:
48 50 54 56 58 60 61 .............................. 100
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 ----------------------- X40 = Xnd) X1 se
lee X sub 1
X2 se lee X sub 2
X3 se lee X sub3
X40 se lee X sub n
Una vez que los datos ya han sido ordenados de acuerdo a su
orden de magnitud, ya sea en forma creciente o en forma
decreciente, procedemos al clculo de Rango.
Rango
El Rango, llamado tambin: Recorrido o Amplitud, se calcula una
vez hecho el ordenamiento de los datos, restndole al mayor valor el
menor valor.
Ejemplo: Tenemos que la nota ms alta fue de 100 y la nota ms
baja fue 48, por lo tanto el Rango es 52 (Rango = 100 48 = 52)
Seleccin del Nmero de Clases
Se entiende por clase, todos los valores que puede tomar la
variable, y por intervalo, la distancia entre los lmites de
Clase.
El nmero de clases y el intervalo de clase, estn ntimamente
ligados, ya que cuando se adopta un determinado intervalo, se est
fijando el nmero de clases y viceversa.
El nmero de clases depende del nmero de los datos y del
intervalo seleccionado. No se recomienda hacer muy grande el nmero
de clases cuando el nmero de observaciones es pequeo; ni excesivo,
cuando el nmero de datos es mayor. Tambin se recomienda no elegir
intervalos muy grandes, ni usar intervalos muy pequeos, y hay que
evitar que las observaciones tiendan a caer sistemticamente en
cierta direccin con respecto al punto medio de la clase. En general
se acepta que el nmero de clases no debe ser menor de 5 ni mayor de
25; as mismo es recomendable utilizar como intervalo de clase los
mltiplos de 3; de 5; de 10 o esos nmeros.
Calculo de Intervalo
Conociendo el nmero de clases que se desea, el clculo del
intervalo se reduce a dividir el rango entre el nmero de clases. Es
decir
Ejemplo:
El Rango de los datos anteriores es 52.
Partamos de que queremos obtener 8 clases.
Entonces el intervalo de cada clase se obtiene as:
Lo cual podemos redondear siempre al entero Nmero de Clases
inmediato superior en este caso a 7.Para formar las clases
procedemos a la siguiente manera: la observacin menor es 48, a ste
le sumamos el intervalo que es de 7, pero incluyendo al 48; es
decir:
48 49 50 51 52 53 54; por lo tanto, el lmite superior 54 y la
primera clase es: (48 54)
1 2 3 4 5 6 7
La segunda clase, tiene de lmite inferior 55; y a que la
anterior termin en 54; luego le adicionamos el intervalo que es 7,
as: 55 56 57 58 59 60 61, de donde el lmite de la segunda clase es
61; y la segunda clase 1 2 3 4 5 6 7 es entonces: (55 61)
La tercera clase, tiene de lmite inferior 62; y a que la
anterior termin en 61, luego le adicionamos el intervalo que es 7,
as:
62 63 64 65 66 67 68, de donde el lmite de la tercera clase es
68; y la tercera clase 1 2 3 4 5 6 7 es entonces: (62 68)
La cuarta clase, tiene de lmite inferior 69; y a que la anterior
termin en 68, luego le adicionamos el intervalo que es 7, as: 69 70
71 72 73 74 75, de donde el lmite de la cuarta clase es 75; y la
cuarta clase 1 2 3 4 5 6 7
es entonces: (69 75)
La quinta clase tiene por lmite inferior 76 ya que la anterior
termin en 75, le adicionamos el intervalo 7; as 76 77 78 79 80 81
82, de donde el lmite de la cuarta clase es 82; y la quinta clase 1
2 3 4 5 6 7
es entonces: (76 82)
La sexta clase tiene por lmite inferior 76 ya que la anterior
termin en 75, le adicionamos el intervalo 7; as 83 84 85 86 87 88
89, de donde el lmite de la cuarta clase es 89; y la sexta clase 1
2 3 4 5 6 7
es entonces: (83 89)
La stima clase tiene por lmite inferior 90 ya que la anterior
termin en 89, le adicionamos el intervalo 7; as 90 91 92 93 94 95
96, de donde el lmite de clase es 96; y la stima clase 1 2 3 4 5 6
7 es entonces: (90 96)
La octava clase tiene por lmite inferior 97 ya que la anterior
termin en 96, le adicionamos el intervalo 7; as 97 98 99 100 101
102 103, de donde el lmite superior de clase es 103; y la octava 1
2 3 4 5 6 7
clase es entonces: (97 103)
Elaboracin de la Tabla
Como se indica a continuacin; en la columna de las clases se
colocan las clases, indicando solamente el lmite inferior y
superior de cada una de ellas, separndolas por un guin luego se
indica el conteo, que consiste en indicar con rayas verticales
pequeas, cuantas observaciones del total caen en cada clase, y por
ltimo se indica la frecuencia, que coincide con las rayas del
conteo. De acuerdo a nuestro ejemplo tenemos que:CLASESCONTEOFr
absoluta fi
48 54III3
55 61IIII4
62 68IIIII5
69 75IIII4
76 82IIIIIIIII9
83 89IIIII5
90 96IIIII5
97 100IIIII5
OTROS CONCEPTOS IMPORTANTES
Lmites de Clases: son los valores que definen una clase,
separndola de la anterior y de la posterior.
Frecuencia Absoluta: fi ; es el nmero de observaciones
pertenecientes a la misma clase.
Frecuencia Relativa: fr; es la relacin entre el nmero de casos
de observaciones de una clase, con todo el universo. Se obtiene
dividiendo la frecuencia absoluta entre el nmero total de
observaciones, y el resultado se multiplica por 100 para expresarlo
en forma de porcentaje
Ejemplo:
ClasesFasbsFr
10 - 14315%
fi = 3
Total de observaciones = 20
Frecuencia Acumulada: Fa Fi es el nmero de observaciones que son
mayores o menores que la frecuencia absoluta de una determinada
clase. Se obtiene sumando las frecuencias absolutas en sentido
ascendente, segn se quiera acu mular, hacia arriba o hacia
abajo.
fiFi
44
37
714
216
Punto Medio: PM Xi Es el centro, o sea el valor central de una
clase, se calcula sumando el extremo superior con el extremo
inferior de la clase, y dividiendo entre dos.
Ejemplo:
Si la clase es; 48 + 54 = 102 = 51
2 2
Resumiendo los aspectos que debe cubrir una Tabla de distribucin
de Frecuencias son en su respectivo orden: clases, frecuencia
absoluta; frecuencia acumulada, frecuencia relativa y punto
medio.
Por lo tanto la Tabla de Frecuencias correspondientes a los
resultados obtenidos en el examen de Estadstica, que hemos venido
tabulando, lo complementarios as:
ClasesFrecuencia absoluta fiFrecuencia
acumulada FifrPuntos Medios Xi
48-54337.5%51
55-614710%58
62-6851212.5%65
69-7541610%72
76-8292522.5%79
83-8953012.5%86
90-9653512.5%93
97-10354012.5%100
Distribucin de Frecuencia con Lmites Reales
Los lmites de las clases, con los cuales hemos trabajado hasta
el momento, reciben el nombre de: Limites Dados o Limites
Verdaderos; por cuanto en algn caos coinciden con los valores de
algunas de las observaciones. Ejemplo:
Observaciones: 27- 28- 28- 29- 30- 32- 32- 34-
35.....................
Primera Clase: (27 30)
Los valores que pertenecen a ella son:
27 28- 28-29 y 30, de donde la frecuencia absoluta es 5. Observe
que los extremos de la clase coinciden con 2 de las
observaciones.
Segunda Clase: (31- 34)
Los valores que pertenecen a ella son 32 34; por lo tanto, la
frecuencia absoluta es 3. Observe que el extremo superior de la
clase coincide con una de las observaciones.
Trabajando con clases cuyos lmites son reales, los extremos no
coinciden en ninguna oportunidad con los valores de las
observaciones.
Los Limites Reales son aquellos que quedan definidos como si
estuvieren media unidad sobre el lmite registrado superior y media
unidad bajo el lmite registrado inferior del respectivo intervalo
de clase.
Ejemplo:
1.Lmite Clase
Lmite Real
30 34
29.5 34.5
Para definir el intervalo del lmite real, no contamos el primer
extremo, es decir, en nuestro ejemplo, el 29.5 no lo contamos, sino
que empezamos en 30 .5 as:
30.5 31.5 32.5 33.5 34.5; es decir 5
1 2 3 4 5
2. Partiendo de que la observacin ms pequea es 48 construyamos
las 3 primeras clases con lmites reales y con intervalo 6.
a. Primera Clase: Como la observacin menor es 48; el lmite
inferior de la primera clase es: 47.5, a este le sumamos el
intervalo que es 6, pero excluyndolo; de la siguiente manera:48.5
49.5 50.5 51.5 52.5 53.5 1 2 3 4 5 6
Por lo tanto el lmite superior de la primera clase es 53.5,
resultando la primera clase (47.5-53.5)b. Segunda Clase: Tiene de
lmite inferior el superior de la primera clase, es decir 53.5 a
este se sumamos el intervalo que es de 6 pero excluyndolo, de la
siguiente manera:
54.5 55.5 56.5 57.5 58.5 59.5 1 2 3 4 5 6
Por lo tanto el lmite superior de la segunda clase es 59.5;
resultando de la segunda clase (53.5 59.5).
Tercera Clase: tiene de lmite inferior, el superior de la
segunda clase, es decir 59.5; a este le sumamos el intervalo que es
de 6, pero excluyendo, de la siguiente manera
60.5 61.5 62.5 64.5 65.5 1 2 3 4 5
Resultando el lmite superior de la tercera clase 65.5, por lo
tanto la tercera clase es 65.5.
Resumindolas:
CLASES
47.5 53.5
53.5 59.5
59.5 65.5
Y as sucesivamente seguiramos obteniendo el resto de las clases,
hasta obtener la ltima, que es la que incluye a la observacin de
mayor valor.
Las Tablas de Distribucin de Frecuencia con Lmites Reales,
incluye al igual que las de Lmites Verdaderos, las siguientes
partes: clases, frecuencia absoluta, frecuencia acumulada,
frecuencia relativa y punto medio.
Los conceptos de frecuencia absoluta, frecuencia acumulada,
frecuencia relativa y punto medio son los mismos que estudiamos
para las Tablas de Distribucin de Frecuencia con Lmites
Verdaderos.
Ejemplo
Construya la Tabla de Distribucin de Frecuencia correspondiente
a las estaturas en centmetros de un grupo de 30 alumnos; tomando un
intervalo de 6 y trabajando con LIMITES REALES; si las estaturas
son las siguientes:
160- 167- 125- 139- 157- 133- 148- 151- 137- 155
128- 141- 123- 147- 166- 163- 135- 148- 153- 141
163- 127- 158- 130- 158- 162- 135- 145- 135- 130
1) Ordenar los datos en forma creciente, es el primer paso que
debe realizar:
123- 125- 127- 128- 130- 130- 133- 135- 135- 135
137- 139- 141- 141- 145- 147- 148- 148- 151- 153
155- 157- 158- 158- 160- 162- 163- 163- 166- 167
2) Hallar el rango o amplitud:
167 123 = 44
3) Hallar el nmero de clases:
4) Confeccione la Tabla de Distribucin de Frecuencias
ClasesFrecuencia absoluta fiFrecuencia
Acumulada FiFrPuntos Medios Xi
122.5-128.54413.33125.5
128.5-134.53710.00131.5
134.5-140.551216.66137.5
140.5-146.531510.00143.5
146.5-152.541913.33149.5
152.5-158.552416.66155.5
158.5-164.542813.33161.5
164.5-170.52306.66167.5
La Frecuencia Absoluta: fi la obtenemos as:
a. ( 122.5- 128.5) estn: 123, 125, 127 y 128.5, es decir fabs =
4
b. (128.5- 134.5) estn: 130, 130 y 133; es decir: fabs = 3
c. (134.5- 140.5) estn: 135, 135, 135,137 y 139; es decir: fabs
= 5 y as sucesivamente.
La Frecuencia Acumulada: Fi la obtenemos sumando las frecuencias
absolutas de la siguiente manera:
4; 4+3= 7;7+5 = 12;12+3= 15
La Frecuencia Relativa: Fr la obtenemos aplicando la formula
a. La frecuencia relativa de la primer clase es:
b. La frecuencia relativa de la segunda clase es:
Fr = 3 x 100 = 300 = 10%
30 30
y as sucesivamente.
Los Puntos Medios PM de cada clase, los obtenemos as:
a. Punto Medio de la primera clase:
b. Punto Medio de la segunda clase:
y as sucesivamente.
INTERPRETACIN
La fila correspondiente a la tercera clase: (134.5 140.5) la
interpretamos as:
a. 5 personas tienen una estatura comprendida entre 134.5 y
140.5 centmetros.
b. De los 30 alumnos, tenemos que 12 tienen una estatura
inferior a 140.5 centmetros.
c. El 16.666% de los estudiantes tiene una estatura comprendida
entre 134.5 cms y 140.5 cms.
d. El valor representativo de las estaturas comprendidas entre
134.5 cms y 140.5 cms es 137.5 cms.
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
En el estudio de la distribucin de frecuencia, se anot la
importancia que tiene contar con elementos descriptivos acerca de
la forma o patrn de variacin de la distribucin, su posicin y la
dispersin o variabilidad alrededor de determinados valores. Si se
observa la distribucin de frecuencias analizadas, se aprecia que
los valores tienden a concentrarse alrededor de un sector, al
aceptar determinados criterios para representar con un valor o
categora la distribucin esa tendencia de las observaciones, que se
llama tendencia central.
La aceptacin de determinados criterios da lugar a la creacin de
distintos conceptos de medidas de tendencia central. Entre estos
conceptos o medidas ms utilizadas estn: La Media Aritmtica, La
Mediana, La Moda, La Media Geomtrica, La Media Armnica, y los
Cuantilos; sin embargo, debido a la poca utilidad en contabilidad
de algunas de estas medidas, solo nos limitaremos a estudiar las
mas utilizadas en las contabilidad.
LA MODA:
La Moda de un conjunto de observaciones, es el valor que ms se
repite, es decir, es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta.
Puede suceder que no haya ninguno, por lo tanto, no hay moda; por
el contrario, puede haber dos, en este caso se dice que es bimodal,
si hay 3 se dice que es trimodal; y as sucesivamente, Siempre es
conveniente ordenar los datos en orden "creciente", para obtener la
moda con mayor facilidad y hay menos probabilidad de error.
1. Ejemplo:
Obtenga la moda de los siguientes datos:
26-31-17-28-13-19-25-17-22-24-28-11-17-15
Primero ordenamos los datos en forma ascendente:
11-13-15-17-17-17-19-22-24-25-26-28-28-31
El valor que ms se repite es "17", ya que est tres veces, por lo
tanto, la moda es 17; es decir X = 17
2. Ejemplo:Obtenga la moda de los siguientes datos:
82-85-86-86-89-90-90-95-96-100
Los datos ya estn ordenados, y el que ms se repite es el 86 que
esta dos veces y tambin el 90 que est dos veces. Por lo tanto, hay
dos modas: X = 86 y X = 90, es bimodal.
3. Ejemplo
Obtenga la moda de los siguientes datos:
59-71-76-80-82-86-87-90-92-
los datos ya estn ordenados; pero como no hay ninguno que se
repita ms veces que los dems, no hay moda.
Moda de una Distribucin de Frecuencia con Clase
Debido a que al clasificarse las observaciones y asignarlas a
una clase determinada, se pierde el valor exacto de cada una de
ellas, para calcular la moda partimos de la hiptesis de que todas
las observaciones de una clase son iguales al punto medio de esta.
Por lo tanto, para hallar la moda una distribucin de frecuencia con
clases, debemos utilizar la siguiente formula:
A continuacin se presenta una de las frmulas de uso ms
difundido:
Donde:
= Lmite inferior real de la clase modal
= Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la
frecuencia de la clase anterior.
= Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la
frecuencia de la clase posterior.
c = Intervalo de la clase modal.Ejemplo:
Hallar la moda de los pesos de 40 estudiantes
CLASEFa
117.5 126.53
126.5 135.55
135.5 144.59
144.5 - 153.512
153.5 162.55
162.5 117.54
117.5 180.52
Primero debemos localizar la clase donde se encuentre la moda,
lgicamente ser la clase que tenga mayor frecuencia absoluta, en
este caso, la mayor frecuencia es 12, por lo tanto la clase es
(144.5 153.5).
Donde
=3
= 7Sustituyendo en la formula:
LA MEDIANA X
La mediana de un conjunto de observaciones es un valor tal que l
50% de las observaciones estn debajo de l; o lo que es lo mismo, la
Mediana es un valor tal que hacia arriba y hacia abajo hay igual
nmero de observaciones.
Se nos presentan dos situaciones diferentes al encontrar la
Mediana; uno cuando se trata nicamente de datos ordenados, y el
otro, cuando se trata de una distribucin de frecuencia con
clases.
Mediana () de n Nmeros
a. n es impar
S el nmero de observaciones es impar, la mediana ocupa el lugar;
es decir, la mediana es el termino.
Ejemplo
Hallar la mediana de: 8-12-9-7-4-7-11-10-13-15-5.
Lo primero que debemos hacer es ordenar las observaciones en
orden creciente, es decir de menor a mayor:
4-5-7-7-8-9-10-11-12-13-15.
En segundo lugar, debemos contar cuantas observaciones hay, para
definir si n es par o impar, en este caso hay 11 observaciones, es
decir, n = 11, es impar, por lo tanto, la media ocupa el lugar. Al
sustituir: =Lo que nos indica que la mediana ocupa el sexto lugar,
que corresponde al 9
La media es 9 y significa que el 50% de las observaciones son
superiores a 9. En otras palabras, hay igual nmero de observaciones
superior y menores que 9
b. n es ParSi el nmero de observaciones es par, la media es la
media aritmtica de las observaciones que ocupan el y el
Ejemplo:
Hallar la media de 76-91-95-64-78-96-57-83-98-60
Lo primero que debemos hacer es ordenar las observaciones en
orden creciente, es decir, de menor a mayor de la siguiente manera:
57-60-64-76-78-83-91-95-96-98
En segundo lugar, debemos contar cuntas observaciones hay, para
poder definir si n es par o impar, en este caso, hay 10
observaciones, es decir n = 10, por lo tanto n es par.Por lo que,
como n = 10, es par la medina es la media aritmtica de las
observaciones que ocupan el y el lugar es decir quinto lugar.
La observacin que ocupa el quinto lugar es 78 y la que ocupa el
sexto lugar es 83, por lo tanto la Mediana es:
R/ La Mediana es 80.5 y significa que el 50 % de las
observaciones son superiores que 80.5; y que el 50% de las
observaciones son menores que 80.5%; o lo que es lo mismo: hay
igual nmero de observaciones sobre 80.5 y debajo de 80.5.
Mediana de una Distribucin de Frecuencia con Clase
Al igual que la media aritmtica, debido a que al clasificarse
las observaciones y asignarlos a una clase determinada, se pierde
el valor exacto de cada una de ellas, para calcular la mediana
partimos de la hiptesis de que todas las observaciones de una clase
son iguales al punto medio de stas; por lo tanto, para hallar la
mediana de una distribucin de frecuencia con clases, debemos
utilizar la siguiente frmula:
=Lmite inferior de la clase donde est la mediana.
=Nmero total de observaciones.
=Nmero total de observaciones dividido entre 2.
Fa=Frecuencia acumulada de la clase donde est la mediana.
C = Intervalo de la clase donde est la mediana.
Ejemplo:
Hallar la mediana de los pesos de 40 estudiantes, de acuerdo a
la siguiente distribucin de frecuencia:CLASEFrecuencia absoluta
fi
117.5 126.53
126.5 135.55
135.5 144.59
144.5 - 153.512
153.5 162.55
162.5 117.54
117.5 180.52
Por lo tanto, antes de aplicarla, debemos completar la tabla de
distribucin que se nos da, hallando la frecuencia acumulada fa ya
que es fundamental para encontrar la clase donde est la
mediana.CLASEFrecuencia absoluta fiFrecuencia acumulada Fi
117.5 126.533
126.5 135.558
135.5 144.5917
144.5 - 153.51229
153.5 162.5534
162.5 117.5438
117.5 180.5240
Como n = 40, se tiene que = 20, en donde concluimos que la
mediana se encuentre en la clase donde se encuentre el 20avo,
lugar; este se encuentre en la clase:(144.5 153.5); ya que:en la 1
er. Clase llevamos del 1 ero. Al 3er. Trmino
en la 2 do. Clase llevamos del 4 to. Al 8avo. Trmino
en la 3 era. Clase llevamos del 9 eno. Al 17avo. Trmino
en la 4 ta. Clase llevamos del 18avo. Al 29avo. Trmino
Como la mediana ocupa el 20 avo. Trmino, est en esta clase.
Resumiendo los datos que utiliza la frmula:
n = 80
Fa = 17
fi = 12
= 144.5
C = 9
Sustituyendo en la frmula:
utilizar la siguiente frmula:
R/ La mediana es 146.75 y significa que el 50 % de las
observaciones tienen un valor superior a 146.75 y el otro 50% un
valor inferior a 146.75.
LA MEDIA ARITMTICA
Es la medida de Tendencia Central que ms se utiliza. El smbolo
que utilizamos para representarla es X.Tenemos dos formulas para
hallar la Media Aritmtica, una que usamos cuando nos dan un
conjunto de n nmeros; y la otra cuando nos dan una tabla de
Distribucin de Frecuencia con Clase.
Media aritmtica de n nmeros La Media aritmtica o simplemente la
Media de un conjunto de n nmeros: x1, x22, x3,....xn es el valor
que se define mediante la siguiente formula:
Ejemplo:
Un estudiante obtuvo en sus exmenes las siguientes notas:
67-84-96-57-72-90. Cul es la media aritmtica de sus notas?
La media aritmtica de sus notas es 77,66
NOTA:
Observe que n es el nmero total de observaciones, y que para
hallar la media aritmtica, sumamos todos los valores y dividimos
entre el nmero total de ellos. El alumno est acostumbrado a obtener
la media aritmtica de sus calificaciones, pero no est familiarizado
con este nombre, sino que emplea el de Promedio.
La Media Aritmtica es en genera, la medida que siempre hemos
obtenido con el nombre de promedio
Obtenga la Media Aritmtica de los siguientes nmeros: 8- 9- 12-
7- 5- 9- 4- 11- 10- 15
8+9+12+7+5+9+4+11+10+15 = 90 = 9
10 10
R/ La media aritmtica es 9Media Aritmtica Ponderada
En algunos casos, hay observaciones que se repiten do o ms
veces. Si llamamos con
x1, x2, x3 .............. xk a los valores distintos de las
observaciones, y con f1, f2, f3...................fk Es decir,
desarrollando la sumatoria:
En una fbrica, los salarios mensuales correspondientes a 12 de
sus trabajadores son:
tres ganan 107 880 ; dos 110 500; cuatro ganan 115 000 y tres
ganan 120 000.
Hallar la Media Aritmtica correspondiente a dichos salarios.
R/ La Media Aritmtica es: 113.720
Media Aritmtica de una Distribucin de Frecuencia con clases Se
trata de calcular la media aritmtica para datos agrupados, mediante
clases, con un intervalo adecuadamente escogido. Debido a que al
clasificarse las observaciones y asignarlas a una clase de
terminada, se pierde el valor exacta de cada una de ellas, para
calcular la media aritmtica partimos de la hiptesis de que todas
las observaciones de una clase son iguales al punto medio de
sta.
Hallar la media aritmtica de la siguiente distribucin de
frecuencia de 100 observaciones.
Procedemos a terminar la tabla de distribucin de frecuencia, en
la cual determinamos los puntos medios y luego en cada clase
determinamos el promedio de esta, al multiplicar el punto medio con
la frecuencia absoluta es igual a xifiClaseFr absoluta fiPuntos
medios xixifi
60 62561305
63 6518641.152
66 6842672.814
69 7127701.890
72 74875584
1006.745
R/ La Media Aritmtica es 67.45Prctica:
Halle la media aritmtica correspondiente a la siguiente
distribucin de frecuencia:
CLASEFabsPMfjPMj
51 546
55 58 9
59 627
63 665
67 708
71 743
75 789
Prctica general de Estadstica1. Obtenga la moda, la mediana y la
media para los siguientes datos agrupados. Complete los datos
necesarios para llegar a la respuesta.
Los siguientes datos representan las notas obtenidas por la
seccin 7-10 del Colegio Tcnico Profesional de Heredia.
Notas ObtenidasFrecuencias absolutas fiFrecuencias acumuladas
FiPuntos medios xixifi
1-202210,521
21-4081030,5244
41-60152550,5758
61-80123770,5846
81-10034090,5272
TOTAL402.140
Moda
= 7 = 3
La mediana
Resumiendo los datos que utiliza la frmula:
n = 40
Fa = 10
fi = 15 = 41
C = 19
Media
Los datos presentados a continuacin.
ClaseFrecuencias absolutas fiFrecuencias acumuladas FiPuntos
medios xixifi
200-23055215,01.075
230-260914245,02.205
260-2901125275,03.025
290-320833305,02.440
320350538335,01.675
350-380341365,01.095
TOTAL411.74011.515
Moda
= 2 = 3
La mediana
Resumiendo los datos que utiliza la frmula:
n = 41
Fa = 14
fi = 11 = 260
C = 30
Media
Los siguientes datos corresponden al gasto en vveres del da
24/12/2011 hecho por las familias en el supermercado PAL.
GASTOFrecuencias absolutas fiFrecuencias acumuladas FiPuntos
medios xixifi
10.000-20.000151515.000,0225.000
21.000-30.000284325.500,0714.000
31.000-40.000357835.500,01.242.500
41.000-50.0003010845.500,01.365.000
51.00060.0002213055.500,01.221.000
61.00070.0001714765.500,01.113.500
71.00080.000815575.500,0604.000
81.00090.000516085.500,0427.500
91.000-100.000416495.500,0382.000
TOTAL164499.0007.294.500
Moda
= 7 = 5
La mediana
Resumiendo los datos que utiliza la frmula:
n = 164
Fa = 14
fi = 11 = 260
C = 30
Media
Calcule la moda, mediana y la media aritmtica con los datos
presentados a continuacin.
GASTOFrecuencias absolutas fiFrecuencias acumuladas FiPuntos
medios xixifi
10-20111115,0165
20-30142525,0350
30-40214635,0735
40-50307645,01.350
5060189455,0990
60701510965,0975
7080711675,0525
8090311985,0255
TOTAL1194005.345
Moda
= 9 = 12
La mediana
Resumiendo los datos que utiliza la frmula:
n = 119
Fa = 46
fi = 30 = 40
C = 10
Media
QUOTE
- 14 -
_1405187317.unknown
